Метод оптимизации формы аэродинамических профилей на основе решения сопряженных уравнений

Печеник, Евгений Валерьевич

Метод оптимизации формы аэродинамических профилей на основе решения сопряженных уравнений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Печеник, Евгений Валерьевич АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Самара МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Метод оптимизации формы аэродинамических профилей на основе решения сопряженных уравнений»

Автореферат диссертации на тему "Метод оптимизации формы аэродинамических профилей на основе решения сопряженных уравнений"

005008463

Печеник Евгений Валерьевич

Метод оптимизации формы аэродинамических профилей на основе решения сопряженных уравнений

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 9 ЯН В 2012

Самара-2011

005008463

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева (национальный исследовательский университет)» (СГАУ) на кафедре аэрогидродинамики

Научный руководитель кандидат технических наук, профессор

Шахов Валентин Гаврилович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Матвеев Валерий Николаевич

доктор физико-математических наук, г.н.с. Алексеев Алексей Кириллович

Ведущая организация: Федеральное государственное унитарное

предприятие «Центральный

аэрогидродинамический институт имени профессора Н.Е. Жуковского».

Защита диссертации состоится 27 января 2012 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.215.01 при федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева (национальный исследовательский университет)», по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ.

Автореферат разослан 23 декабря 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.215.01 к.т.н., профессор I __ В.Г. Шахов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

При проектировании дозвуковых самолетов, судов с динамическим принципом поддержания и экранопланов важной задачей является рациональный выбор форм несущих поверхностей (крылья, подводные крылья, горизонтальное и вертикальное оперения). Удачный выбор формы несущей поверхности в значительной степени обуславливает получение высоких аэродинамических характеристик несущей поверхности и аппарата в целом.

В связи с тем, что обтекание центральных частей несущих поверхностей, имеющих большое удлинение ( Л > 8 ), близко к плоскому обтеканию аэродинамических профилей, обоснованным является исследование и проектирование профилей с высокими аэродинамическими характеристиками. Фундаментальные исследования в этой области были проведены в ЦАГИ. На основе многочисленных экспериментов были сформулированы принципы, которые позволяют проектировать трансзвуковые профили с улучшенными аэродинамическими характеристиками. Однако подходы на основе обобщения экспериментальных данных не гарантируют получение оптимальных форм профилей. Поэтому в настоящее время широкое распространение получили численные методы аэродинамического проектирования. Эти методы основаны на использовании математического аппарата механики жидкости и газа и позволяют определить оптимальную форму профиля для заданного режима течения.

Среди численных методов наиболее эффективным является метод оптимизации на основе решения непрерывных сопряженных уравнений. Этот метод формулируется при помощи теории оптимального управления системами, описываемыми уравнениями с частными производными (J.-L. Lions 1968). Принято считать, что основоположниками метода являются авторы О. Pironneau и A. Jameson. Метод обладает рядом преимуществ, которые позволяют применять его к широкому классу задач. К таким преимуществам относятся:

1. Возможность использовать большое количество проектных переменных (величин определяющих форму оптимизируемого объекта). Например, в качестве проектных переменных могут выступать координаты узлов оптимизируемой поверхности.

2. Разнообразие в выборе целевого функционала. В качестве целевого функционала могут выступать различного рода аэродинамические характеристики оптимизируемых объектов, например лобовое сопротивление, аэродинамическое качество, аэродинамический момент и другие.

3. Сравнительно низкие вычислительные затраты. Согласно методу на основе решения непрерывных сопряженных уравнений на каждой итерации оптимизации машинное время практически не зависит от числа проектных

переменных и приблизительно равно машинному времени решения двух прямых задач.

4. Возможность использования надежного стороннего решателя с закрытым кодом для решения прямой задачи.

В работе рассматриваются задачи оптимизации аэродинамических профилей для стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости, описываемого осредненными по Рейнольдсу уравнениями Навье-Стокса. В современных работах, посвященных методу оптимизации аэродинамических форм на основе решения непрерывных сопряженных уравнений для рассматриваемого режима течения (S. Shankaran, A. Jameson, L. Martineiii 2010; L. Martineiii, A. Jameson 2007; A.S. Zymaris, D.I. Papadimitriou, K.C. Giannakoglou 2010), дня решения прямой задачи и сопряженных уравнений используется метод искусственной сжимаемости, впервые изложенный в работе A.J. Chorin 1967 года. Выгодной альтернативой методу искусственной сжимаемости является метод поправок давления, который был впервые предложен в работе S.V. Patankar и D.B. Spalding 1972 года. Благодаря хорошей производительности, надежности и универсальности метод поправок давления широко применяется для решения прямых задач в популярных коммерческих вычислительных пакетах, таких как STAR-CD, STAR-CCM+, CFX, FLUENT, TMG-Flow и другие. Так как сопряженные уравнения имеют схожую структуру с уравнениями движения, справедливо предположить, что использование метода поправок давления для решения сопряженных уравнений также будет эффективно.

Целью диссертационной работы является разработка эффективного инструмента проектирования аэродинамических профилей различных назначений для стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости и газа.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Разработать метод оптимизации для стационарного несжимаемого вязкого течения на основе решения непрерывных сопряженных уравнений, использующий метод поправок давления для решения прямой задачи и сопряженных уравнений.

2. Осуществить программную реализацию метода.

3. Провести анализ достоверности результатов оптимизации аэродинамических профилей.

4. Решить однорежимную задачу оптимизации несущего аэродинамического профиля.

Научная новизна работы:

1. Разработана численная схема решения сопряженных уравнений для двухмерного стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости, отличающаяся использованием модифицированного SIMPLE алгоритма.

2. Разработана процедура контроля формы оптимизируемой поверхности, позволяющая предотвращать появление изломов и самопересечений на профиле в ходе оптимизации.

3. Разработан алгоритм оптимизации аэродинамических профилей на основе решения непрерывных сопряженных уравнений, отличающийся использованием численной схемы на основе SIMPLE алгоритма для решения прямой и сопряженной задач и использованием сглаживания градиента совместно с процедурой контроля формы оптимизируемой поверхности.

4. Для оптимизации несущего аэродинамического профиля предложен оригинальный целевой функционал, учитывающий аэродинамические и массовые характеристики профиля.

Практическая значимость работы:

1. Разработанный метод может быть использован для однорежимной и многорежимной оптимизации аэродинамических профилей различного назначения, находящихся в потоке несжимаемой жидкости или газа при числе Маха М <0,3.

2. Результаты оптимизации профиля NACA0012 MOiyr быть использованы при проектировании пилонов, горизонтального и вертикального оперений дозвуковых самолетов и экранопланов.

3. Результаты оптимизации профиля FX 61-163 могут быть использованы при проектировании подводных крыльев и крыльев планеров.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

1. Использованием точных законов сохранения МЖГ и корректными математическими преобразованиями.

2. Использованием апробированного вычислительного пакета STAR-CD 3.24 для решения прямых задач. На примере тестовой задачи проведена валидация решения прямой задачи.

3. Верификацией разработанного метода. На примере тестовой задачи оптимизации выполнено сравнение результатов на расчетных сетках различной размерности. Проведен анализ влияния исходной формы профиля на результат оптимизации. Выполнено сравнение результатов оптимизации, полученных при помощи разработанного метода и градиентного метода на основе конечных разностей.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод оптимизации аэродинамических профилей для стационарного несжимаемого вязкого течения на основе решения непрерывных сопряженных уравнений, использующий метод поправок давления для решения прямой и сопряженной задач.

2. Результаты решения частных задач оптимизации аэродинамических профилей.

3. Анализ достоверности результатов оптимизации аэродинамических профилей.

Реализация результатов работы. Разработанный метод, его программная реализация и результаты решения задач оптимизации аэродинамических профилей переданы в ОАО «Гос МКБ «Радуга» им. А.Я. Березняка» и используются в курсовом и дипломном проектировании в СГАУ.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях: 9-я Международная конференция «Авиация и космонавтика — 2010», МАИ, г. Москва, 16-18 ноября 2010 г.; XXII научно-техническая конференция по аэродинамике, ЦАГИ НИО-2, пос. Володарского, 3-4 марта 2011 г.; III Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы машиностроения», СНЦ РАН, г. Самара, 22-24 марта 2011 г.; VI международная научно-практическая конференция STAR-2011: «компьютерные технологии решения прикладных задач тепломассопереноса и прочности», CD-adapco, Саровский инженерный центр, г. Нижний Новгород, 17-18 мая 2011 г.; Международная молодежная конференция «XIX Туполевские чтения», КГТУ, г. Казань, 24-26 мая 2011 г., XV Всероссийский семинар по управлению движением летательных аппаратов и их навигации, СГАУ, г. Самара, 13-15 июня 2011 г.; Семинар НИО-2 ЦАГИ, 21 июля 2011.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, из них 3 статьи - в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России.

Струюура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных результатов и списка использованных источников из 101 наименования. Работа содержит 107 страниц машинописного текста, 44 рисунка, 1 таблицу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе рассмотрены современные методы аэродинамического проектирования. Из аналитического обзора определен наиболее эффективный метод оптимизации аэродинамических форм на основе решения непрерывных сопряженных уравнений. Предложены меры по совершенствованию метода (использование метода поправок давления для решения прямой задачи и сопряженных уравнений), для стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости. Сформулированы цель и задачи исследования.

Во второй главе представлена формулировка метода оптимизации на основе решения непрерывных сопряженных уравнений. Необходимо минимизировать целевой функционал I(w,s) в соответствие с заданными функциональными ограничениями R(w,s)=0, где и>(s) - переменные поля течения, s - проектные переменные, описывающие форму тела. В качестве функциональных ограничений выступают уравнения Навье-Стокса для двухмерного стационарного несжимаемого вязкого течения. Обозначим

декартовы координаты как Х], Х2, а компоненты вектора скорости - и¡, щ, также будем подразумевать суммирование по повторяющимся индексам / 0=1,2). Тогда уравнения Навье-Стокса могут быть записаны следующим образом:

= 0 в области Д

дх, сх,

(1)

где

^ [ 0,если I £ ] '' }l,ecлui = j'

И/ 0

Ри,и! + М]

ри,и2 + р5л

ди, ои. -!- +-1

дх, дх.

р - давление; р - плотность; р. - динамическая вязкость. За переменные поля течения м-^ принимается вектор № = (р,и1,м2)г.

Для вывода сопряженных уравнений векторное уравнение (1) необходимо представить в вычислительном пространстве с системой координат С,. & такой, что контур исследуемого объекта лежит на оси

(2)

5 =

= 0 в области И,,

К *

где

Ь] = - конвективный поток; = - диффузионный поток; ' сх, йх, %

дхг дхх

"дТх 31.

Так как в вычислительном пространстве форма объекта и соответственно область остаются неизменными при вариациях формы в физическом

пространстве, то для любой точки вычислительной области /X с помощью уравнения (6) можно записать выражение для вариации функций ограничений <57?(1у,л) в форме

Вариации для потоков могут быть представлены в следующем виде:

= (4)

где вариации с индексом I являются вкладами, связанными с изменением переменных поля течения , а с индексом II — вклады, связанные с изменением формы объекта .

= 0.

(3)

В качестве целевого функционала могут выступать различного рода интегральные аэродинамические характеристики профиля, такие как лобовое сопротивление, аэродинамическое качество, момент и другие. В работе рассматривается целевой функционал I, который может быть записан в следующей общей форме

/= (5)

где В{„, - контур объекта в вычислительном пространстве;

- подынтегральная функция целевого функционала. Вид подынтегральной функции зависит от конкретной формулировки задачи оптимизации. Выражение для вариации целевого функционала может быть представлено в виде

51= \бМс1В{. (6)

в..

Уравнение (3), умножается на вектор множителей Лагранжа ц/1 ={у/х,ц/г,ц/^) в каждой точке рассматриваемой области Б, и интегрируется по ней, после вычитания результата из выражения (6) вариация 51 может быть записана в виде

81 = \5М<1В(- ¡^ [д^-З^еЮ^

В,„ В. 0.

где п* - компоненты вектора внешней нормали к границе области В, в

вычислительном пространстве. Исходя из предположения, что на внешней границе рассматриваемой области вариации потоков вследствие изменения формы объекта равны нулю, можно записать

81= +

Т * 6 (7)

Необходимо найти такой вектор ц/, чтобы первые два интеграла выражения (7) обратились в нуль. Таким образом, сопряжённые уравнения и соответствующие граничные условия могут быть представлены в форме:

(8)

|[<ш-и;У7(г/;-г^')]^=о. (9)

яг„

Из выражения (8) следует, что сопряженные уравнения не зависят от вида целевого функционала и могут быть использованы для решения произвольных двумерных задач оптимизации аэродинамических форм для стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости. В свою очередь,

граничные условия (9) для сопряжённых уравнений определяются видом целевого функционала.

В работе сопряженные уравнения для двухмерного стационарного несжимаемого вязкого течения получены в следующей форме:

8х1 дх2

д{рщщ) . д{ри2у1) [ | д2щ 11 ^Ъщ [ [ дщ ^

ох, йх2 V. йх,2 Э^ ^ га:, ¿Ц &с,

д(рир3) , 3(/»2У3) . /'я2---1-----н

&[ й*2

О °У з

ду/, 8 у/, 8ц/, . дх2 ах2 дх2

(10)

В качестве примера получены граничные условия для трех различных формулировок задачи оптимизации аэродинамического профиля.

Определив вектор множителей Лагранжа у из уравнений (10) с соответствующими постановке задачи граничными условиями, можно найти вариацию целевого функционала по формуле

51 = $£{5Рш-5Р:п)Щ. (П)

О,

Вариации потоков могут быть представлены как:

^и, Аз, 8ГШ

ох оз

8Е 8ЕУ

где —- и —— определяются численно варьированием соответствующего & 8ь

компонента вектора проектных переменных л при неизменном поле течения. Градиент целевого функционала записывается как

. & 55

<т. (12)

В качестве процедуры оптимизации используется метод градиентного спуска с постоянным шагом и сглаживанием градиента. Сглаженный градиент б получается в результате решения неявного сглаживающего уравнения:

О-М-в, (13)

ЭЙ"

где е - параметр, влияющий на степень сглаживания градиента.

Таким образом, для вариации вектора проектных переменных можно записать:

6з=-аб, (14)

где а - шаг градиентного спуска (положительное малое число), который определяется в ходе численных экспериментов.

В работе при решении задач оптимизации в качестве проектных переменных используются координаты узлов расчетной сетки, лежащие на поверхности оптимизируемого объекта. Координаты узлов варьируются вдоль линий расчетной сетки (рисунок 1).

Как показывают численные эксперименты, в ходе оптимизации поверхность объекта может принимать неприемлемые формы (самопересечение, изломы). Такие решения формально удовлетворяют поставленной задаче, однако не могут быть использованы на практике. Поэтому необходимо ввести такую процедуру контроля, которая не позволит объекту принимать неприемлемую форму в ходе оптимизации. Так как проектные переменные являются независимыми величинами, то при фиксации некоторых из них результатом оптимизации будет являться локальный минимум, удовлетворяющий заданным ограничениям. Поэтому справедлив следующий подход:

1. На каждой итерации алгоритма оптимизации вычисляется сглаженный градиент, и форма объекта изменяется. После этого производится проверка поверхности объекта на наличие самопересечений и изломов.

2. Если выявлены дефекты в геометрии измененного объекта, определяются узлы, которые нужно зафиксировать на объекте, чтобы устранить найденные дефекты.

3. Компоненты градиента, соответствующие зафиксированным узлам, приравниваются нулю. Далее заново вычисляется сглаженный градиент, после чего изменяется форма объекта.

Разработанная автором процедура контроля формы оптимизируемой поверхности позволяет получить гладкую поверхность без самопересечений.

Как для решения прямой задачи, так и для решения сопряженных уравнений в данной работе используется метод поправок давления. Сопряженные уравнения, в отличие от уравнений Навье-Стокса, являются линейными, поэтому для их решения автором разработан модифицированный вариант алгоритма SIMPLE.

На рисунке 2 представлена блок-схема алгоритма оптимизации аэродинамических форм на основе решения сопряженных уравнений.

Рисунок 1 - Проектные переменные

Тд»

Конец )

Рисунок 2 - Блок-схема алгоритма оптимизации

В качестве исходных данных выступают начальная геометрия профиля и соответствующая расчетная сетка, которая на каждой итерации строится при помощи метода, основанного на решении уравнений Пуассона. Прямая задача решается методом контрольного объема при помощи алгоритма SIMPLE в вычислительном пакете STAR-CD 3.24. Сопряженные уравнения (10) решаются при помощи разработанной численной схемы на основе SIMPLE алгоритма. Приложение для решения сопряженной задачи реализовано в среде Microsoft Visual Studio 2010 Express. Градиент целевого функционала вычисляется численно при помощи выражения (12). Сглаживающее градиент уравнение (13) решается при помощи численной схемы на основе метода конечных разностей. Процедура контроля формы оптимизируемой поверхности позволяет избежать некорректных результатов.

Новая форма объекта определяется при помощи сглаженного градиента и метода градиентного спуска с постоянным шагом (14). Выход из цикла происходит при достижении заданного числа итераций. Затем на основе анализа характера сходимости целевого функционала принимается решение о продолжении или останове процесса оптимизации. Использование данного критерия обусловлено немонотонным характером сходимости целевого функционала. Обычно для сходимости процесса оптимизации требуется 20 — 300 итераций.

В работе при выводе сопряженных уравнений не учитывалось влияние турбулентных напряжений. То есть предполагается, что вариации турбулентных напряжений слабо влияют на результат оптимизации. Однако при необходимости в дальнейшем турбулентные напряжения могут быть учтены при составлении сопряженных уравнений, что позволит вычислять градиент целевого функционала более точно.

В третьей главе представлен анализ достоверности результатов оптимизации. Выполнена вапидация решения прямой задачи. В качестве тестовой была выбрана задача обтекания аэродинамического профиля NACA0012 для нулевого угла атаки. Число Рейнольдса Re«3,3-106, модель турбулентности Спаларта-Альмараса. Задача была решена на трех расчетных сетках С-топологии с числом ячеек NFV 330x60, 660x120 и 1320x240 соответственно. На рисунке 3 представлен график сходимости по сетке коэффициента лобового сопротивления Ст. На том же графике горизонтальная линия показывает значение коэффициента лобового сопротивления, полученного в эксперименте (I.H. Abbott 1959).

Рисунок 3 - График сходимости по сетке коэффициента лобового сопротивления

Из графика сходимости следует, что при измельчении расчетной сетки значение коэффициента лобового сопротивления приближается к экспериментальному значению. На рисунке 4 представлено распределение коэффициента давления СР, полученное на различных сетках и в эксперименте.

—сетка 330x60 —сетка 660x120 -—сетка 1320x240 * эксперимент

0.1 0.2 0.3 0 4 0.5 0.6 0.7 08 0.9 Рисунок 4 - Распределение коэффициента давления

Верификация алгоритма оптимизации. Для анализа влияния размерности расчетной сетки и исходной геометрии профиля на результат оптимизации сформулирована тестовая задача. Минимизируются лобовое сопротивление Ха симметричного аэродинамического профиля и отклонение площади профиля от исходной величины при фиксированной хорде. В качестве исходного профиля используется ЫАСА0012 при нулевом угле атаки. Число Рейнольдса Яе & 3,3-106, модель турбулентности Спаларта-Альмараса.

На рисунке 5 изображены исходный и оптимизированные профили, полученные на расчетных сетках размерностью 330x60 и 660x120.

Рисунок 5 - Профили, полученные в результате оптимизации, на сетке 330x60 и 660x120, исходный профиль ЫАСА0012

Величина коэффициента лобового сопротивления профиля, полученного в результате оптимизации на сетке 330x60, снизилась на 20,4%, при этом площадь уменьшилась на 0,6%. На сетке 660x120 величина коэффициента лобового сопротивления снизилась на 31,6%, при этом площадь уменьшилась на 0,4%. Рисунок 5 свидетельствует о том, что профили, полученные в результате оптимизации на расчетных сетках 330x60 и 660x120 отличаются незначительно. Следовательно, решение задачи оптимизации слабо зависит от размерности расчетной сетки. Следует также отметить, что по результатам решения прямой задачи для профиля МАСА0012 на сетках 330x60 и 660x120

значения коэффициентов лобового сопротивления отличаются значительно (рисунок 3), а характер распределения коэффициента давления -незначительно (рисунок 4). В связи с этим справедливо предположить, что на результат оптимизации в большей степени влияет характер распределения переменных поля течения, а не их абсолютные значения. Поэтому использование грубых сеток при решении задач оптимизации может быть оправдано.

Для анализа влияния исходного профиля на результат оптимизации, тестовая задача была решена для различных исходных профилей с площадью, равной площади ЫАСА0012, (рисунок 6) на сетке 330x60.

Рисунок 6 - Исходные профили Профили, изображенные на рисунке 6, состоят из овала (носовая часть) и дуги окружности (хвостовая часть) с координатой максимальной толщины дгс = [0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6]. На рисунке 7 представлены оптимизированные профили, полученные для различных исходных профилей.

Рисунок 7 - Профили, полученные в результате оптимизации, для различных исходных вариантов

Согласно рисунку 7 результаты оптимизации для различных исходных профилей отличаются несущественно, поэтому справедливо предположить, что в ходе оптимизации определен глобальный экстремум.

Для оценки адекватности результатов оптимизации разработанный метод сравнивается с другим градиентным методом на основе конечных разностей (М. Secanell, A. Suleman, Р. Gamboa, 2006). Задача оптимизации формулируется следующим образом: минимизируется лобовое

сопротивление профиля Ха, при условии С,п > Cdya и с^ >0,05 , где Cdw-1,51 - заданный коэффициент подъемной силы; ~сшх - максимальная относительная толщина профиля. В качестве исходного рассматривается профиль Eppler 66, угол атаки а - б". Число Рейнольдса Re к 1,3 • 106, модель турбулентности Спаларта-Альмараса. Ниже представлены результаты оптимизации, полученные на расчетной сетке размерностью 330x60. На рисунке 8 изображен исходный профиль Eppler 66, оптимизированный при помощи разработанного метода и оптимизированный при помощи метода на основе конечных разностей. У 0.1 0.05 О

-0.05 -0.1

'ül50~ 0.1 ~ 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 х Рисунок 8 - Результаты оптимизации В таблице 1 представлены аэродинамические характеристики изображенных на рисунке 8 профилей.

Таблица 1 - Аэродинамические характеристики исходного и __оптимизированных профилей

Исходный профиль Eppler 66 Оптимизированный профиль при помощи метода на основе конечных разностей Оптимизированный профиль при помощи разработанного метода

СМАХ 0,100 0,051 0,051

Су. 1,117 1,510 1,524

сш 0,043 0,047 0,040

к 26,06 32,35 38,45

0,0% 9,3% -7,7%

Данные таблицы 1 свидетельствуют о том, что разработанный метод позволяет получить существенно лучшее решение поставленной задачи по сравнению с методом на основе конечных разностей. Кроме того, для вычисления градиента целевого функционала в методе на основе конечных разностей требуется время, эквивалентное времени решения 12 прямых задач, в то время как в разработанном методе это время эквивалентно времени решения двух прямых задач. На рисунках 9 и 10 представлено распределение коэффициентов давления и трения для исходного профиля,

оптимизированного при помощи разработанного метода и при помощи метода на основе конечных разностей.

Рисунок 9 - Распределение коэффициента давления

I - » Верхняя часть профиля И ——' Исходный профиль Оптимизированный угри помощи ^ —___^ метода на основе конечных разностей - \ _Оптимизированный при помаши \ '-^разработанного метода

; / 1 1 . ^^^^Ян жняя часть профшя | 1 • .1 - | . _1 |

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 О.Я 0.9 х Рисунок 10 - Распределение коэффициента трения

Благодаря перераспределению давления и снижению напряжений трения на профиле, оптимизированном при помощи разработанного метода, коэффициент подъемной силы достигает заданного значения, а коэффициент лобового сопротивления снижается по сравнению с исходным профилем. Перераспределение давления и снижение напряжений трения на профиле, оптимизированном при помощи метода на основе конечных разностей, позволило достичь заданного значения коэффициента подъемной силы, однако коэффициент лобового сопротивления по сравнению с исходным профилем увеличился.

Четвертая глава посвящена решению задачи оптимизации несущего аэродинамического профиля. Для получения практически применимых результатов в оптимизации несущего профиля необходимо учитывать погонную массу сечения крыла. Теоретически необходимый объем

материала полнонапряженной конструкции может быть оценен при помощи силового фактора (В.А. Комаров 2000). Поэтому задача оптимизации формулируется следующим образом: минимизируются лобовое сопротивление профиля Х„, отклонение подъемной силы от исходной величины и отклонение силового фактора от исходного значения. В качестве исходного используются аэродинамический профиль FX 61-163. Этот профиль широко используется на многих современных планерах, таких как Mistral-C, Schweizer SGS 1-34, Bikle T-6. Угол атаки а=5,5°, что соответствует углу максимального аэродинамического качества данного профиля. Число Рейнольдса Re~3,3-106, модель турбулентности Спаларта-Альмараса. Ниже представлены результаты оптимизации, полученные на расчетной сетке размерностью 660x120. На рисунке 11 изображен исходный профиль FX 61-163 и оптимизированный.

Величина коэффициента лобового сопротивления профиля, полученного в результате оптимизации, снизилась на 21,6%, при этом подъемная сила уменьшилась на 0,5%, силовой фактор увеличился на 0,3%. На рисунках 12 и 13 представлено распределение коэффициентов давления и трения для исходного и оптимизированного профилей.

и/с

Из рисунков 12 и 13 следует, что коэффициент лобового сопротивления

уменьшается одновременно за счет перераспределения давления и снижения

напряжений трения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан метод оптимизации форм аэродинамических профилей на основе решения сопряженных уравнений для стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости и газа. Метод позволяет использовать практически неограниченное число проектных переменных, при этом машинное время вычисления градиента не зависит от их количества и приблизительно равно времени решения двух прямых задач.

2. Разработана численная схема решения сопряженных уравнений на основе SIMPLE алгоритма. В отличие от метода искусственной сжимаемости, использование SIMPLE алгоритма для решения прямой и сопряженной задач позволяет снизить затраты оперативной памяти до 9 раз.

3. Разработана процедура контроля формы оптимизируемой поверхности, позволяющая предотвращать появление изломов и самопересечений на профиле в ходе оптимизации.

4. Выполнена валидация решения прямой задачи. Получено хорошее согласование расчетных данных с экспериментальными. Коэффициент лобового сопротивления для профиля NACA0012 при нулевом угле атаки, полученный на сетке 1320x240 отличается от экспериментального значения на 2%.

5. Произведена верификация алгоритма оптимизации. Сравнение результатов оптимизации, полученных при помощи разработанного метода и градиентного метода на основе конечных разностей, показало преимущества разработанного метода. Коэффициент лобового сопротивления профиля, оптимизированного при помощи разработанного

— исходный профиль

— оптимизированный профиль "

верхняя часть профиля,

нижняя часть профиля

"0 0.1 0.2 0 3 0 4 0.5 0.6 07 ОМ 0.9 х Рисунок 13 - Распределение коэффициента трения

метода, на 15% меньше, чем у профиля, оптимизированного при помощи метода на основе конечных разностей. 6. Решена задача оптимизации несущего аэродинамического профиля. Предложен целевой функционал, учитывающий аэродинамические и массовые характеристики профиля. В ходе оптимизации получено существенное улучшение несущих характеристик аэродинамического профиля FX 61-163 для рассматриваемого режима течения (аэродинамическое качество увеличилось на 27% по сравнению с исходным значением). Результаты оптимизации могут быть использованы при проектировании подводных крыльев, адаптивных крыльев, крыльев дозвуковых самолетов и планеров.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ

В изданиях, рекомендованных высшей аттестационной комиссией:

1. Печеник, Е.В. Оптимизация симметричного профиля методом сопряженного градиента [Текст] / Е.В. Печеник // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - 2011. - т. 13, № 1(2). - С. 330333.

2. Печеник, Е.В. Оптимизация симметричного профиля для вязкого турбулентного несжимаемого течения методом сопряженного градиента [Текст] / Е.В. Печеник // Вестаик СГАУ. - 2011. - № 2(26). - С. 93-97.

3. Печеник, Е.В. Оптимизация несущего аэродинамического профиля методом сопряженного градиента [Текст] / Е.В. Печеник // Вестник СГАУ. -2011.-№2(26).-С. 98-102.

В других изданиях:

4. Печеник, Е.В. Численная оптимизация аэродинамических форм при помощи метода сопряженного градиента [Текст] / Е.В. Печеник // 9-я международная конференция «Авиация и космонавтика-2010». 16-18 ноября 2010 г., Москва. Тезисы докладов.-СПб.: Мастерская печати, 2010. - С. 13.

5. Печеник, Е.В. Оптимизация аэродинамического профиля методом сопряженного градиента [Текст] / Е.В. Печеник // Международная молодежная конференция «XIX Туполевские чтения». 24-26 мая 2011 г., Казань. Тезисы докладов. - 2011. - С. 34.

6. Печеник, Е.В. Оптимизация методом сопряженного градиента в задачах аэрогидродинамики [Текст] / Е.В. Печеник // XXII научно-техническая конференция по аэродинамике. 3-4 марта 2011 г., пос. Володарского. Тезисы докладов. - 2011. - С. 117.

7. Печеник, Е.В. Оптимизация аэродинамических форм методом сопряженного градиента с использованием решателя STAR-CD [Текст] / Е.В. Печеник //. VI международная научно-практическая конференция STAR-2011 «Компьютерные технологии решения прикладных задач тепломассопереноса и прочности». 17-18 мая 2011 г., Н. Новгород. Тезисы докладов. - 2011. - С. 31.

Подписано в печать 21.12.2011 г. Формат 60x80/16. Объем 1,25 п.л. Тираж 100 экз. Отпечатано с готового оригинал-макета Типография ООО «Инсома-пресс», г. Самара, Санфировой 110А.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Печеник, Евгений Валерьевич, Самара

61 12-5/1531

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева (национальный исследовательский университет)»

Метод оптимизации формы аэродинамических профилей на основе решения сопряженных уравнений

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

На правах рукописи

Печеник Евгений Валерьевич

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Научный руководитель: к.т.н., профессор, В.Г. Шахов

Самара - 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Введение...................................................................................................................4

1 Обзор методов аэродинамического проектирования.....................................10

1.1 Методы аэродинамического проектирования..................................10

1.2 Численные методы аэродинамического проектирования............... 10

1.3 Оптимизация на основе решения сопряженных уравнений в задачах аэродинамического проектирования..................................14

1.4 Метод поправок давления и метод искусственной сжимаемости для стационарного несжимаемого вязкого течения........................17

1.5 Цель и задачи исследования...............................................................19

2 Оптимизация на основе решения сопряженных уравнений для стационарного несжимаемого вязкого течения...........................................21

2.1 Сопряженные уравнения.....................................................................21

2.2 Процедура оптимизации.....................................................................36

2.3 Численное решение сопряженных уравнений методом поправок давления...............................................................................................41

2.4 Алгоритм..............................................................................................54

2.5 Выводы по главе 2...............................................................................57

3 Анализ достоверности результатов оптимизации..........................................58

3.1 Валидация решения прямой задачи...................................................58

3.2 Верификация алгоритма оптимизации..............................................60

3.2.1 Постановка тестовой задачи....................... ..................................60

3.2.2 Анализ влияния размерности расчетной сетки на результат оптимизации..................................................................................63

3.2.3 Анализ влияния формы исходного профиля на результат оптимизации..................................................................................71

3.2.4 Сравнение результатов оптимизации, полученных при помощи разработанного метода и градиентного метода на

основе конечных разностей.........................................................72

3.3 Выводы по главе 3...............................................................................79

4 Оптимизация несущего аэродинамического профиля...................................80

4.1 Постановка задачи....,..........................................................................80

4.2 Результаты оптимизации....................................................................85

4.3 Выводы по главе 4........V......................................................................88

Основные результаты работы..............................................................................90

Список литературы...............................................................................................92

Приложение.........................................................................................................103

Введение

Актуальность. При проектировании дозвуковых самолетов, судов с динамическим принципом поддержания и экранопланов важной задачей является рациональный выбор форм несущих поверхностей (крылья, подводные крылья, горизонтальное и вертикальное оперения). Удачный выбор формы несущей поверхности в значительной степени обуславливает получение высоких аэродинамических характеристик несущей поверхности и аппарата в целом.

В связи с тем, что обтекание центральных частей несущих поверхностей, имеющих большое удлинение (Я >8), близко к плоскому обтеканию аэродинамических профилей, обоснованным является исследование и проектирование профилей с высокими аэродинамическими характеристиками.

Современные методы аэродинамического проектирования можно разделить на экспериментальные и численные. Экспериментальные методы опираются на результаты многочисленных экспериментов и опыт исследователя. Этот подход является дорогостоящим, затратным по времени и не гарантирует получение оптимального решения задач аэродинамического проектирования. Численные методы основаны на использовании математического аппарата механики жидкости и газа и позволяют определить оптимальную форму для заданного режима течения. Эти методы являются более дешевыми, быстрыми и позволяют находить оптимальное решение.

Среди численных методов наиболее эффективным является метод оптимизации на основе решения непрерывных сопряженных уравнений. Этот метод обладает рядом преимуществ, которые позволяют применять его к широкому классу задач. К таким преимуществам относятся: 1. Возможность использовать большое количество проектных переменных (величин, определяющих форму оптимизируемого объекта). Например, в

качестве проектных переменных могут выступать координаты узлов оптимизируемой поверхности.

3. Низкие вычислительные затраты. Согласно методу на основе решения непрерывных сопряженных уравнений на каждой итерации оптимизации машинное время практически не зависит от числа проектных переменных и приблизительно равно машинному времени решения двух прямых задач.

4. Возможность использования надежного стороннего решателя с закрытым кодом для решения прямой задачи.

В работе рассматриваются задачи оптимизации аэродинамических профилей для стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости, описываемого осредненными по Рейнольдсу уравнениями Навье-Стокса. В современных работах, посвященных методу оптимизации аэродинамических форм на основе решения непрерывных сопряженных уравнений для рассматриваемого режима течения, для решения прямой задачи и сопряженных уравнений используется метод искусственной сжимаемости. Выгодной альтернативой методу искусственной сжимаемости является метод поправок давления. Благодаря хорошей производительности, надежности и универсальности метод поправок давления широко применяется для решения прямых задач в популярных коммерческих вычислительных пакетах, таких как STAR-CD, STAR-CCM+, CFX, FLUENT, TMG-Flow и другие. Так как сопряженные уравнения имеют схожую структуру с уравнениями движения, справедливо предположить, что использование метода поправок давления для решения сопряженных уравнений также будет эффективно.

Целью данного исследования является разработка эффективного инструмента проектирования аэродинамических профилей различных

назначений для стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости и газа. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- Разработать метод оптимизации для стационарного несжимаемого вязкого течения на основе решения непрерывных сопряженных уравнений, использующего метод поправок давления для решения прямой задачи и сопряженных уравнений.

- Осуществить программную реализацию метода.

- Провести анализ достоверности результатов оптимизации аэродинамических профилей.

- Решить однорежимную задачу оптимизации несущего аэродинамического профиля.

Ниже представлено краткое содержание работы по главам.

Вторая глава посвящена формулировке метода. На основе уравнений Навье-Стокса для двухмерного стационарного несжимаемого вязкого течения выводятся сопряженные уравнения. Рассмотрены различные формулировки задач оптимизации аэродинамических профилей, записаны целевые функционалы и соответствующие граничные условия для сопряженных уравнений. Представлен метод градиентного спуска с постоянным шагом и сглаживанием градиента. Разработана процедура контроля формы оптимизируемой поверхности, необходимая для получения корректных результатов оптимизации. Разработана численная схема решения сопряженных уравнений на основе модифицированного SIMPLE алгоритма. Представлено описание разработанного алгоритма оптимизации.

В третьей главе представлен анализ достоверности результатов оптимизации. Выполнена валидация решения прямой задачи. Показано, что вычислительный пакет STAR-CD 3.24, который используется для решения прямой задачи, позволяет получать адекватные результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными. Сформулирована тестовая задача. Записан целевой функционал, соответствующие граничные условия для сопряженных уравнений, представлена численная схема вычисления градиента. Показано, что результаты оптимизации для сеток 330x60 и 660x120 отличаются несущественно. Произведен анализ влияния исходного профиля на результат оптимизации. Показано, что геометрия исходного профиля слабо влияет на результат оптимизации. Выполнено сравнение результатов оптимизации, полученных при помощи разработанного метода и градиентного метода на основе конечных разностей. Показаны преимущества разработанного метода.

Четвертая глава посвящена решению задачи оптимизации несущего аэродинамического профиля. Записан оригинальный целевой функционал, учитывающий аэродинамические и массовые характеристики профиля. Сформулированы граничные условия для сопряженных уравнений и численная схема вычисления градиента. Получено существенное улучшение несущих характеристик аэродинамического профиля FX 61-163 в ходе оптимизации для рассматриваемого режима течения.

Завершается диссертация кратким обзором основных результатов работы и библиографией.

Научная новизна работы:

Практическая значимость работы:

2. Результаты оптимизации профиля NACA0012 могут быть использованы при проектировании пилонов, горизонтального и вертикального оперений дозвуковых самолетов и экранопланов.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

- Использованием точных законов сохранения МЖГ и корректными математическими преобразованиями.

- Использованием апробированного вычислительного пакета STAR-CD 3.24 для решения прямых задач. На примере тестовой задачи проведена валидация решения прямой задачи.

- Верификацией разработанного метода. На примере тестовой задачи оптимизации выполнено сравнение результатов на расчетных сетках различной размерности. Проведен анализ влияния исходной формы профиля на результат оптимизации. Выполнено сравнение результатов

оптимизации, полученных при помощи разработанного метода и градиентного метода на основе конечных разностей.

Публикации. По итогам выполненных исследований опубликовано 7 печатных работ, в том числе 3 статьи в периодических научно-технических изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Перечень опубликованных работ представлен в конце списка используемой литературы.

1 Обзор методов аэродинамического проектирования

1.1 Методы аэродинамического проектирования

Повышение эффективности аэродинамического проектирования является актуальной задачей для авиационной, судостроительной, автомобильной и энергетической отраслей промышленности. Значительное внимание в этом направлении уделяется совершенствованию методов проектирования аэродинамических профилей. Это связано с тем, что широкий класс задач можно привести к двумерному проектированию аэродинамического профиля. В работах [1, 2] на основе многочисленных экспериментов были сформулированы принципы, которые позволяют проектировать трансзвуковые профили с улучшенными аэродинамическими характеристиками. Однако подходы на основе обобщения экспериментальных данных не гарантируют получение оптимальных форм профилей. Поэтому в настоящее время широкое распространение получили численные методы аэродинамического проектирования. Эти методы основаны на использовании математического аппарата механики жидкости и газа и позволяют определить оптимальную форму профиля для заданного режима течения. Кроме того, многие численные методы аэродинамического проектирования, разработанные для решения двумерных задач, могут быть распространены на трехмерные задачи и различные режимы течения. Эффективность таких методов обычно не зависит от вида конкретной задачи аэродинамического проектирования. Поэтому ниже представлен краткий аналитический обзор численных методов для решения произвольных задач аэродинамического проектирования.

1.2 Численные методы аэродинамического проектирования

Современные численные методы аэродинамического проектирования можно разделить на две группы: обратные методы и прямые методы оптимизации.

Обратные методы позволяют найти аэродинамическую форму по заданному распределению давления или скорости [3 - 5]. В большинстве случаев для того, чтобы получить физически реализуемое решение обратной задачи, необходимо удовлетворить условиям разрешимости [6, 7]. В работах [3, 8] разработан метод, в котором производится коррекция исходного распределения скорости с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. В результате применения такого подхода исходное распределение скорости или давления может существенно измениться. Следует также отметить, что для большинства задач аэродинамического проектирования поле давления (скорости) не задано.

Численные методы оптимизации совместно с методами вычислительной гидроаэродинамики (ВГАД) позволяют найти такую аэродинамическую форму, которая доставляет минимум целевому функционалу при заданных функциональных ограничениях. Целевым функционалом может быть лобовое сопротивление, аэродинамическое качество, перепад давления и т. д. В качестве функциональных ограничений могут выступать различного рода аэродинамические или геометрические ограничения, такие как заданные подъемная сила, объем или площадь оптимизируемого объекта. Аэродинамическая форма описывается при помощи набора параметров, которые выступают в качестве проектных переменных. Процедура поиска экстремума целевого функционала представляет собой итерационный процесс. На каждой итерации новые значения проект�