Метод осреднения для систем переменного порядка и его использование при исследовании динамики виброударных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

\■ 1

ДШШГКуРЮш ГОСТ^ГСТЫЬНп.: ТЕКЕИНЖ!:» ЛЙВгРСЙТЗТ

На призах р;лсог~:с1:

ьЦЩ'й Алексалдр йковлевчч

атсд оорс&шгд да СЖТ&! ПЬРЗ.ПШОГО ПОРЯДКА и его кспальзоадшЕ ют. ксевдоа«ш дшашж ЗАУДАРНЫХ СКСТЫ»

ОГ.02.01 ~ Теоретическая механика

А В Т 0 ? 2 ; 2 ? А Т диссертации на соискание ученой степени кандидата ^.зкко-гатЕлатпчесгЛЦг наук

С.-Петербург 1522

?глЧ"ч; Бнполнена во Всесоюзном ордена Трудового Красного З'шшею-. tг;уию-исследоватапьском и проектноч кнституте механической о^аботки полезных иойотзаемку ISBHQBP.

Научны;; руководитель: .акадш.::: Ksi ССОД

доктор физ:г-:о-г.;атс:.;а,Г;1чбСК,11х: наук, sp&reccop EJLGl.ïAIî И.И.

оппо-чаыг:;: до:стор iciaumecrziz наук, дроеессор ?.оловс;с:.:

г.андмдат «ззако-шаа'даитачесюис пап:, до и екг „'„ЬВОЗЭТ Л.10.

Зздудее предприятие - Яеюшградскял срденос Ленки, ик-тжЗрьской РеволвиЕЕ к Трудового Красного Зведхяя горит кнегатут ;i:.î. Г'..В.Плеханова

. Зашита состоится 1992 г. в " /£" час. на

заседании Специализированного Совета К 063.38.20 Лсшшграцского государственного технического университета по адресу: 195253, С.-Петербург, Полит ег-иче екая ул., д.

С дпссертадиеи мзжыо озкакошться в каучно-тежлес/.о.; •ЗЕблкотеке Ленинградского государственного технического yaur.ee-. ситста.

Автореферат разослан

«фСряё^ЛМжг г.

Уча if.ii секретарь

ОШЯ НРШ'ЕРКСТт РЛЕОП:

. Развитее и соверленствование вк^рп-двоняой тскюжх для обогащения и рудоподготсшш, а так:.;е других впбра^юшшх устройств требует анализа вез более тонких от>;,ак-тов, связанных с взаимодействием виброударннх систем и источников возбу^дешм ограниченно;': аоэдосга. Дяя иовстеаия эффективности работы указаных мадш несыта перспектнвкгал является использование резонанса. Реальные условия работы вибрационной техника не позволяют при расчете соответствующие динамических спстс;.; ограничиться анализом периодических ре:ш:.;ов двк;.<енпя, а требуют изучения переходннх процессов в слоних кслйнепннх системах, со-дерпищкх внброударнке элементе, и построения конечных облаете:-! црптязеелия устойчивых, многообразий. &$фозшижш сродством реае-яия этих задач являет.. д гстод осреднения, применение которого к уравнениям, опасквшвдш системы рассматриваемого класса, обосновано, однако, линь дли случаев абсолютно или почти абсолютно упруг1:« ударов. Вследствие этого но охватываются условия работы многих реальных вибромашин, в которых реализуется практически совершенно неуиругпй удар.

Сказанное определяет практическую к теоретическую актуадъ-ность разработки математического аппарата, позволяющего распространить возюулости метода осреднения на исследование динамики впороударштх систем с абсолютно неулругими сэудареппя.г.1, а такгт.о выгвления па его основа нових вибрационных эффектов и требовании, выполнение которых необходим для обеспечения стабильно;', ргботи резонансных впбромашш.

Цель раоотн. Целъч работк является разработка и обоснование ьроиеду-п осреднения для шброудприих спетая с абсолютно пеунру--'"•"л соударениям;: и зглвлелие па ос основе новцх закономерностей

Г .

резонаясного двженпя кодебательннх систем указанного класса, взалмодеаствуяввх с инерционным вабровозбудателем ограниченной мощности.

Методы исследования. В работе используются аналитические методы теориа нелинадаых колебаний, главнш образом, ыетод осреднения, а такае теория устойчивости движения. ■

Новые натчике результаты и положения. Разработанные диссертантом и зыдзигавше к защите.

I. ЛЕвдено понятие системы переменного порядка в стандартной корме, для которой обоснована продедура осреднения, ставязси а соответстзав исходной: неавтономной - автономнув систему, из-' //-отощал т;скллчены все выравненные переменные. Показано, что разность между рааензями этих систем, отвечающими одним :: тек :ге начплшны условиям, есть величина порядка малого параметра.// иг интервале времени порядка¿//Ц .

3. доказано, что асимптотически устойчивым полокенияы равновесна осредненной системы отвечают асимптотически же устойчивые подшйнея кваззразновесия исходной.

3. Построена иерархически процедура осреднения систем пе— репейного порядка с даукя бистро вракияетмюя фазами в окрестности существенно нелинейного резонанса, позволяющая определить "медленные" переменные исходной систеш с погрешностью порядка

■[/] на интервале времени порядка ¿/¡и.

I/ ►

4. Предложена неаналитичеаае регуляризиру/дае замен» перемени«*, Ер/Еодкпае урашелкя дв^еция щюсте&иа: вкбррударша «гсхси с одно- и двустороннем ограляченкеы к взду системы поре-г.хклого порчдка.

3 пространстве. параметров построены области сужестиою-а .: усто^гивоста стахкопаркух ресо;г.кеш.'х рзжшв дарения

внброуаарной. слотам с двусторонним ограничением. возотахомо.-ИЕетзппбнннм (деоалакониг) источником огэашчеЕНСп глшкост.:.

6. Дано ребенке задачи о Беотацяояарно: дзяхенпзс у&гзгззс: системы как в решме с конечны?.® ннтегшалам впемегш. совместного движения соударявзххся топ. так и в рскиме с мгновенными соударениями, которая описывается автономной системой обыкновении дитЕеренциальнкх уравнений шестого порядка (из них даа - вырожденных). Задача сведена к интегрирован!» системы двух автоноглных уравнений первого порядка относительно "медленных" переменных, скорости изменения которых составляют величины порядка г.илого параметра, вводимого согласно суцествукцей традиции. Фазовая поверхность последней системы представляет собой двумерное много-

V

образие четырехмерного фазового пространства дваяды осредненной системы. Структура этого многообразия определяется смзной воз-ыоаннх виброударных реги.гав.

7. Построена область притяжения особой точки, соответствующей стационарному резонансному процессу. При этом учтена возможность смены виброударного ре;£има в процессе эволюции.

8. Получено выражение для эффективного коэффициента вязкого нелинейного трения, Бвличдна которого зависит от амплитуды колебаний, к которому сводится учет влияния ударов в вкороудар-ком элементе при изучении движения на многообразии медленных переменных.

Достоверность научных положений и выводов обеспечивается использованием строгих методов теории нелинейных колебаний и теории устойчивости движения.

Практическая пенность. Результаты работы могут использоваться при создании и исследовании высокоэффективной вибрационной техники, предназначенной для переработки и транспортирования

сыпучих и иных материалов, обладали;,высокими диссипативными свойствами.

и обсуждалась на расширенном семинаре но теории катин я механизмов "Динамика виброударных систем" Института маличоведення имени А.А.Благонравова АН СССР (Москва, 1988 г.), на объединенном се-г.г.'ларе кафедры "Теоретическая механика" Ленинградского горного института имени Г.3.Плеханова и отдела фундаментальных исследовании института "Ысханобр" (Ленинград, 1990 г.), на семинаре ка-

"Теоротдческая механика" Ленинградского технического университета (Ленинград, 1991 г.), на Всесоюзной конференции по ш:йра.'5ЮЛкоИ технике (г.Батуми, 199С г.).

Дублжа^и. lio теме диссертация опубликованы 4 печатные работы.

Ч'рзх глав, заключения и библиографического сшюка. Общий объем диссертации составляет i страниц, в том числе /ЗУ страниц основного токста, С5 рисунков и библиографический список из í'"f наименовании использованных литературных источников.

Зо введении обоснована актуальность томи, сформулированы цель к основные научные результаты работы.

Л петой главе приведен-краткий обзор работ но динамике впбрг'ударннх систем, а такзе согостаглои?' iiCKOvopao подходи к асг.мптотпчежому кссяодоясша» колсбаил»! п окрестности суисстсм::— по пелннсДкого резонанса.

Отуст-по, что. хотя теория соударения тзерднх тел восьми f кхлг:-., oi\j:üko во одопгс щ-актсчоекз дкпк'л случ-дас окчзчкиг.ч»:

. Основные результаты работы

;. диссертация состоит из введения,

КРАТКОЙ соди^лшк PJUJOTL;

допусттш при определения результпрулп-чх кинематических характеристик дксг.енкя соударяодкхс* тел полкоотья нсклю«еть яз рассмотрения процесс удара п получить конечные соотношения, сеязк-ваякиэ их до- к послеударнь-о скорости. Соответствуикая элокен— тарная теория удара единообразно описгвает все виды прямого удара тел от абсолютно упругого до чисто пластического. Последний случаи цредставляет большой практический интерес щи описании транспортных и технологических кашш, предназначенных для переработки насшпшх массовых грузов, а так.ю в тех случаях, когда удар твердых тат происходит через слой материала, обладаэдего внеокши диссмпативнкш свойствам:. Поатаду дальнейшее рассшт-рение ограничено- стереокеханпческпм подходом.

Специфика задач определяет методы теоретического исследования динамики впброударшн. систем.

Наиболее простуд юс групп;/ составляют систею!, представляющие собой совокупность виброударшгх элементов,' связанных с линейной колебательной системой. С математической точки зрения, соответствующая задача представляет собой кусочно-лнненную сис-те;лу дифТюренциальннх уравпешш, которая в пришдше допускает построение точного реяештя путем поэтапного интегрирования. Этот подход (в варианте так называемого "метода нрппассовывания") позволил рассмотреть весьма широкий класс задач, долус.чаюют кусочно-линейную идеализацию. Отмети.; здесь классические монографии К.И.Влехмана и Г.Ю.Джанелкдзе, А..2. п А.А.Кобрипсккх, Ю.К.Нейгарка, К.М.Р;!Гулъскиса.

Непосредственно к ¡методу црипассовнвачил пригллсаст и существенно более сб'диЛ метод топотнях отображений, позволивший получать условия существования и устойчивости периодических реа:-мов дз:г.:ст:я ряда слогшн нешшоиних колебательна схстеи с раз-

•5

рэтткка хз;.«хгг>рзртянаш.

сквибглс 1'Ь.го, яо насколько -отличные по форме результаты, каорюаыеоя су.1.$с*.'зозався и устойчивое® периодических даизеакй нелинейных кк)£.."гдршзс систем с учетом свойств вибровозбудате-ля, была подучет- при погэд» вокального петого малого параметра , Пуанкаре-Ляпунова, которгп бьи обобщен да случай- исследования .сусочно-непрзрывятхс систем ди^оеронциальних уравнений в работах ¡.¡.З.Коловского и Р.С.Нагаева. В частности, последним бьпш доду-«епи условия существования и устойчивости скнхрсдного разима движения инерционно возбуэдаачой.виброщековой дробилки, щеки ко- ' торо;'; совершаю? абсолютно пеупругяе соударения.

Однако задачи обеспечения стабильности работк рсальнгх: виз-" роашан не позволяют ограничиться анализом условий существования и устойчивости периодических ремизов движения, но требуют т,дх;;е изучения переходных процессов. Сделать ото позволяет матоц осреднения, восходящий к классическим работам Н.М.Кршсва, й.Н.Бо-гшазбоьа, Ю.А.Ыитропольского, А.Ы.Самойленко и другах. Однако попытки приспособить его к исследованию динамики кцброударных систем имели успех лишь до отношению к системам, близким'к ков-сервятивикм (почти абсолютно унрузлги удар). Среди о тих работ выделяются результаты В.И.Бабицкого и его соавторов, связанные с использованием введсняцх Л.Н.Розеавассерсм периодических функций Грина, а ган'.е предлог.снннЛ В.Ф.Т£уравлев,-.гм подход, связанный с срокеддоЗ регуляризкруютх негладких са.\дан переисяиых.

Что у.е касается систем с абсолютно ноуирупплл соударениями, •го соотзетствужаиа работы, г,-;к правою, ошцдатся па чаояйишо ::о?оди исследования.

jccьма перепек лзлп;г.: ддя легиптния элективное:.: работы

'.га :.:ч яьлястся пспод:-зоз:'п:;о резонанса. чз'^асо р-.:-

альнне условия раооп: техники, погаеккекпоет.ъ усто.этшчг: а к— лом сезонапсннх резхнов сшзаы редут к исойу.одакосг»: поетдасп^г. -конечные областей поктягсония устойчигаж кногообгйзкй. В работе отмечается, что указанная зазэта для псогт^х (две реэоютт-яне фазы) резснансов б существенно незпзе&щх • системах остается посредством специфического резонансного осреднения системк -окрестности оезонансной повеохности ( М ^ О, - малк£ ггарэ;.;етр). Процедура резонансного осреднения связана с возможностью представления уравнений в специальной "иерархической" форме с одно;': быстрой а одной "лолумедленной" фазой, имеющей скорость изглене-нкя порядка £7 • Осредненная по быстрин а "полумедаенной" фазам спсте'.а оказывается справедливой с оепбкой порядка на асимптотически болыаом илтервале времени ¿/*/. Эти результаты

V

для систем дифференциальных уравнений с гладкша праг та -частями бита независимо подучены В.И.Арнольдом, А.К.Ыейштадтоы, а такае А.В.Печеневым, причем последний использовал соответству}>-¡дую процедуру яри исследовании явления резонансного взаимодействия простейшей колеоательной снстеж, имение,; одну степень свооодц, с инерционным источником возбугдигкя ограниченной мощности.

Бтоэая глава посвящена разработке и обоснованию процедур осреднения, пригодна., для анализа-систем с абсолютно ноупругнмк соударениями.

Вводится в рассмотрение систеш переменного порядка ь стандартной фогме:

(I)

7

-/V УСх,- мМ,

X (о) = Х0; у (л = в- Ы*™),^); * = 0л у...

Здесь X . V ~ ограниченные, ^/Г-перподлческиг по явно входящему времени £ вектор-функции произвольной конечной размерности, определенные в некоторой области 23 изменения векторных аргументов к удовлетворявудае в ней по этим аргументам условиям Дкн;шца. (Ограниченная вектср-фунхц-м (ре,,//) удовлетворяет уо-,лов;:ям Липшица вместо со своей правой частной производной но вектору х ;М(1) -периодическая кусочно-постоянная функ-

ция, представленная на рис.I,- малый параметр.

МП)

1

/Г Л'и t

Ркс.1

<*Г Л'Г ,2ГГ,Л 4 и I:

Рис.2

Векторная функция у ) представляет собой реиошю бесконечной последовательности систем дисТф^гре.'Щначьшд ур'шнош-ш, каждая из которых действует на интервале времени ¿¿•¡хин ,(¿>1* () тг / , а на следующем'интервала времени 1: ('{(¿чч) к'^От) Тг[ ¡'моется лишь сйстека дпсТ<Гюрснц::алг,ш'х урглшший для , которая в момент времени Ь - -2 О'1 определяет порыв начальные условия для. функции {¿} .

Наряду с с/стемой (I) расемач ¡.ш-лвдея оооодишашо у.» ичшш.я

п^дкгеломкюях енрашдопг.ч

Теорема I: если рэ>леш1е системы-(2) определено на интервале времени порядка 1 то на том ке интерзале времени сцра- • ведливы оценки:

*

а постоянныеостаются сграничекни.ш при // —»- 0.

Если, к тому п.9, функции V , имеют непрерывные второе частяне производные по аргументам Х,^ , то справедлива

Теорема 2; аскилтотг,чески устойчявш полог.егиям равновесия осредканной системы (2) отЕечаят такке асимптотически устойчивые положения квазиравновесня систе:.м (I).

Сформулированные утверждения сохраняют свою силу к в том случае, когда функдая /-/(£) представляет собой на интервале [_0} 2 V£ конечное число единичных импульсов произвольной фиксированной длины. В тон числе сказквается зозможнщ/ охватить и случай, когда кусочно-постоянная функция М Ы-) равна единице везде, за ксклвчением сметного множества точек ^ =АП7Г3 Я-О^ ± В эти моменти времени уравнения для ^' обращаются в .

тождества, а для переменичх ^ ставятся новые начальные условия.

Отмечается, что' последняя ситуация-соответствует вз'брэудар-" ним системам с абсолютно неупругиш ударами в режиме движения с мгновенными соударениями. Системы же (Г) связаны с виброударными системами в динамическом реетде с конечннмп интервалами прет кеки совместного деи-тения соударяачс-.хся тел.

Лальнп;гппе обобщения связаны с анслиаои1,систем переменного порядка в стандартной форме, характеризуема тем, что длительность едижчпих импульсов йулкцип //(£ ) :,ю:~ет медленно изменяться в процессе эволюции, (31ри этом функция заменяется на Ы±1ь , См. рис.2.)

}

Н;> -пу о "системой переменного порядка в стандартной форме" О." вводится в рассмотрение система переменного порядка с иерарх"ей скоростей нрашензя фаз:

. у ни)-/*

' - {¡7 А± (х> У МЛ), и,/;) ^

еЛ ■ ■

ТС [о)* Хс ^ и 1о)= Л С; и (2 /г?) ^{фчг^р¿С>л и)'/]'^ I,...

С/сте:а. (3) отличается от (I) наличие.«, наряду с быстрым временем нолу-.шдленной фазы , монотонно возрастаэдел с ростом г

со скоростью порядка \£л7 (функция предполагается отделсшюй с * *

от куля величиной порядка единицы). Функции Л , У , А , А2 ~ 2 Т -периодически зависят от переменкой ^ .

Уравнения вида (3) получается при исследовании двидзкия системы переменного порядка с двумя быстрым фазами (имеющими скорость изменения порядка единицы) в Г,1Т -окрестности .сущэст-венно нелинейного,резонанса. Соответствующая процедура перехода

системе (3) основана на хвазигг^Ельтояовиста слоте:.) с дбумя бь'стря.я фазами в окрестности резонанса а ки чей не отличается от соответствующей операции для гладких уравнений.

Наряду с уравнениями (3) рассматривается дваздн ссреднсЕ-• ная по переменны.: £ (второе пряблнкшпе) и ^ (первое прпблпге-гае) система:

р ■ -м Р(р>/< П. г* (А")

. к} * / (4 /

(4)

г^1 Р/'И^-

Показано, что сг? заполнении греЗовзяий ■%. засшссчгга фунг-

ЕйХ ,У,Ах,А<. • авалсгаччшс форулювсвг.е Т%орк.т 1,

на интервале време:-::: г "г. ккет место опенки:

-/Мф^Я;

а постоянные Ср , С,-, , С'у остается ограниченными при ¿Ц —0.

Ь заключение второй главы приведены два примера приведения уравнена* движения простеилин ьиброударннх. систем с нулевым ко-з:^;:ш;ектом восстановления скорости при удаве (рис.З) к виду систем переменного порядка,

Рис.3,а Рис.3,6

Как в случае виброудапяси системы с двусторонним ограничением (рис.З,а), ты: ив случае системы с односторонним огразп:-чениек,■находящейся в однородно!« сгловом доле, зта задаче, рассматривается посредством неаналитических регуляркзиругоих замен переменных. Зш этом поводится заигаее задаться тем пли инкм • ьиброудррнда релизом (рассмотрен!; проствичие рвюшп с конечная иьт ерзала:.::: времени совместного движения соударявшихся те~1). Показано, что по отно'лшппэ к медленным дврхонеям б колебательно"; системе -дт-яние виброуцарного злемелта зквгяалевтяо введение систему некоторого дополнительного нелинейного третья, величина кстогчэго слолним обгазом зависит от амплитуды кляебшп:".

В третьей главе на оснозе разработанных математических методов рассматривается динамика механической схемы ниброударной дробшпг, работающей в резонансном рзлсше, которая возбуждается знерциоинш источников вибрации, приводимым г-> вращение асинхронным двигателем ограниченной моицюсти. Рабочий орган машины идеализируется в виде виброударасго элемента с двусторонним ограничением, состоящего из тяжелой обоймы, в полости которой дзи-нется относительно легкий боек (ряс.4). Удар ыекду обоймой и бойком реализуется через слой разруиаемого материала, масса которого пренебрежимо маяа, однако е1'о присутствие обеспечивает равенство нулю коэффициента восстановления скорости при удара. 3 качесгзо малого параметра, в задаче вводится отношение массы бойка к массе всего рабочего органа. Остальные предположения о порядках величин, входящих в уравнения движения, традвдюнны для работ, посвященных колебаниям систем с ограниченным возбуждением.

у/* т

р И,

?йс.4

Двженхв этой системы описывается автонсииой• систолой ураг.-Ь'яизй восьмого-порядка:

г

'к %Т4)~ №

Здесь - координата пектра масс аг.ороударнсго зле:.:оига, относительная координата бойка и зазоре, пмекч^е:.: д-;-.ку»*, -*- . координата основания, кесумего дббллалс, - угол гоеорота -

Г»" ~

баланса, - его статически,: момент, а 1. - момент ипьтрчп. . -бытсчный момент на валу деоачанса Р{'у7') предполагается дс:туе: гардам линеаризацию вила Р(&')~ вблизи частот:; свободних колебании системы Д = (с (М/1 + (Лц

Уравнения (5) дополняптся условиями абсолютно неупругогс удара: 1^1 = I ,^'-0, а такса условиями отрива, г.оторне ставятся в моменты перехода от этапа совместного к этапу раздельного движения соударяющихся тол:

Условия (6) отражают Ниудер:,швак11диа характер связи макду обопмоГ: и бондом на этане их совместного движения, Соответстяетло различается режм» с коночш.та интервалами времгн.: совместного ш/име-нпя (в моменты ударов неравенство (6) не выполнено) и ре—::::: с мгновеням.:: соударениям (в моментн ударов лег :п^лсхьо (б) «и-полнеяо). Наиболь-луг. частоту ннтекепзчоптъ соу-пре::;:- а Д':о-

бчлг.е, в, следовательно, и наибольшую эффективность ее работы обеспечивает динамический ремнм, при котором зг. один период ко-леоаиин обойми происходит два ее столкновения с божсм. Именно тг-хие резонансные режим изучаются в работе.

Ъ системе (5), (С) можно ввести переменнуюУ'-Х^-х^ > кс_ клэтив из рассмотрения переменные и (3 силу наличия степени свободы, связанной с перемещением центра касс), а такт.е безразмерные паракетрр

Ф^«]; е- 4 (м^т}'1)-,

иЛ*1- = С/ац*

К* = Су}; £л - ¿4//; ¿/л - ; = г^; с)} « о/г^.

Ъ дальнейшем предполагается, что величины л/ , £ , £ , ¿/ , ^

<

якляются малыми параметрада одного порядка, а остальные величи-пн имезт оорядок единицы. Это характеризует определенный масс вибрационных ыааин.

Б работе предоауны регуляризирутеие неакалитическле замена переменил, приводящее уравнения (5), (6) и виду системи переменного порядка. Б случае режима движения с зона!® контакта а га. замеса имеет вид (переход от переменных Л', ос ', ^ < < 4' у к переменили А , , , ): -

' /

И: «■') - (гЬ, г^ )

I. - - ^1(г>4

вспомогательная переменная ояоедзлкзтся траксцевдвгааю уравнением Ви-¡<1А 21 р = с< = Л £ л имеет скизл продолжительности интервала времени раздельного движения соударяпстхся тел.

3 случае реякш двкггагяя о ииеоваанкж сеударегся-с: замена

перемеьных аналогична*.

Уравнения (5). (б), првоЗризсвскяпо ж кезм; лепскрннч;..,

поедстявлям собой систему переменного порядка'с

¡ли переменными А и -ЗС , ввеюядвнкла п^ремеиин;.:: Й и

и двумя ^иотрнми разам; и у? . Лосколыст лоудмегом нголсг.сг

О . ■

чдя яаяеттси лзиленля сксто>н волне/ глазного пезск-ьпсп _•<- - ,

з рассмотрение вводится величина отстро..::;: С - (_!)"?_ -1!ч ■

тад;;е переменная -о - Ср.

- /

Лодученазя та.сич образом систома додусгает применен;:; пераохлчеспоЛ процедуры осреднения, обоснованной для снс:е:л переменного поряят-а зо второй главе. ¿остЕОтетвупие ур.гвнвк;:.-парзого огапа п^рорхичьтигон гроцэдурн (второе прдоли.мруне -легсди осреднения) имевт вид;

¿?; -/у('л, л-.,^ - ал- АдЧ]/

(в)

67 -- б 1 ) ъ ъ :

Здесь ГГ± -= Ах/{} % , 'чЛ'Л , лчдннс I

своей есэтьетстгут;нм сс.-гяпплпта н^рсмсннкм. Нлид^р;'-:::? :,Г-Л-

, , Н, спрлзатяг>гся '-•де^г-гд::.' оорай'лм:

- д\я р":-:имл с .'.::г -рс.' г;.-":-'-;::: ''лв...' т..с;

ЛБ; л:ек:ш > 7Г ):

Г* М - /К.1 % ТГ'\1-соь^У ; ИМ = °

СгХ^)г ■{ ъ ^ * Iл

Функция С ^ ) есть решение трансцендентного уравнения ■ С<± - = я/ах К1 } О < -¿ТГ;

- для ратама движения с игнозенниш соударениями (¿А, « < ¿/«¿К )-.

функция ~ определяется тригонометрическим уравнением

Уравнения первого приближения, получаемые путем отбрасывания в правых частях системы (8) слагаемых порядкауи , описывают движение так называемого эквивалентного маятника / , 5''+^ и// $ ил=// ¿-/ц ), режим движения которого соответетву 61 характеру резонансного процесса. Если и^, то возможен только ротацлснньй разим движения маятника,. а стационарный пезо какснцй режим невозможен. Б противном случае возможен как ротационный. так и либрационный режим в зависимости от начальных ус ловил. Эти два типа.движения разделяются лимптационным реяимом, которому на 'Тазовом портрете маятника соответствует движение по сспаратрхссе.

При покоен уравнений (8) определены параметры стационарных резонансных ре<о:мэв и псетрослы области ях существования и ус-' ■ю.гчдьости (рис.5) на плоскости параметров - ¡Го^ ^¿^/л , в ---- ТГ£ 1 /л А'^ • (Речь идет о ре/ямах, соответствую®« устоГгак-15

но,-.:;/ p.-:tîHonoc.c.j агоглши.) â области Í.A существует устоЯчив h'íiíhctpcüí::.''; 1юг~'г. pucosw.MmcfxЛ чратпостп, хар'.ктегазуе:.::::: кпювсиш'к; соуцврсизял. ¡i области L.ß ow- ravJst существует, по iüyci'O.'ina». В oüitacvjix Ш.А iü.B cjTscevnyvr дса parc;,va, рчз-jn:n;imi«c«i гчачсчгпяып шшктудк оташшгшзс ucaeS-m.i. Прпчеи в оашсти iii.Ü о'>ч ¡ч-зап нсусто.'.'шш, a в оЛпст.г ь'.А устойчив то? но ролигл, что к в I.A. 13 оод::с.-<»х ¡í и 1У существует и ус-г^пчпв виброу.плрп!;; pe:-r.u j\iocr,:- 1тр.;вао1.;оuoutaocTU с хоавтпяя: штешт:»".' npcbcüit совместного ц;иг:сипя сеудатоизгися тел, п в cd •иста II параду с ir.:i" cyicca ьуот кгуето&'лвкЦ ¡«ас;; дьплочпя о [.;r:¡iuinii!¡:::.u соудчрсштки.

На втором этапе прсцгдуон иерархического паре ; ¡опия прокз-j!(<4«Tca Ч!>!)рход от пзрсиеякюс У , (Уi к иессмс;:: v л: глс.р'г,:я z и муме.'унчппч Лчза пилеолкп;; ¡т.вииллен'ПЮл'О малт:и.;:а -j и J (¿ ¡J/'< - полная энергия движения зкы'пачептьог.- маят.гика) :

)

Стегая независимо" лерекенной, можно полить неавтономную састеду второго порядка в стандартной форме относительно , гоавые часта которой периодическим образом згшисят от . Замб-на переменных (9) справедлива в области либрацконных .двазенпй маятника. Осреднга указанные уравнения по р , могло получить окончательные уравнения процедуры иерархического осреднения (сс ответствулаим осредненыым перемзнным присвоен индекс Л , а штр! хок обозначено дифференцпрованге по^ ):

Ба= л* ^; 9л = и, м (I.

Этд уравнения верны с погреашостъш порядка ын на интервале вр меак порядка Здесь

- положительные функции Й,, ^ л , представляющие собой квадратуры от неявно (посрадотв уравнений- замены (9)} заданных функций.

Уравнения (IX) определяют .структуру двумерного многообраз четырехмерного разового пространства системы,' на котором распо лаг-.чтог. трасктсркк медленных движений (10;. Б случае рестма с еонзчеым:: интервалами времени совместного дбиыьгжя ото многооо разке представляет собой часть плоскости ,

определяемую условием ¡0(^')1 < ¡0(Щ где (ал

= - Уровень энергии я

мптацкенноге репгма, а ) - Ееличана более высокого, поряди малости по^д/ , начали единица. Выписанное неравенство осредел 18 '

зт область на поверхности перокгкниг ( Ол ), в которой справедливы уравнения (10) и удастся вкзелкть область притяжения устойчивого стационарного резонансного регима дз::'-:е5Гия при различных соотношениях параметров. ¿оказано, что при всхолнешс; условия Ц^/Ух (инброударкггй ранил с конечккмп интервалами'.эрсмзгш совместного двпкешгя) и достаточно солъипх'¿•"2 (крутой наклон падающего участка статяче'сг.ой характеристики двигателя) областью щааяяеюя устойчивого ст-ъ-'лошояогс г?':~:г.:а ,¡2) яйакется вся область 1)и . йоли вгаэдаенс услетзе , то существует единственная ка-лт^я •/„"(•'„г - л^т-'— ляйюя из указакптз сбтасть ¿гптя^ания с. .

I ,

J V

/ г- Г / О

ж, / ^

V

f

о

Рис. 6.

Дозоикв траехторп.:,

зге i'ir.!e !юг;г';пгш.>< кривой втжищ? n:i циедоип сблистл ,Z).iv , aoaavif в окг-.-стксоть

«•¡w-'nrciiHOi'O piÄ'.i.;-» i; елу•■n.-г".: о->:.■ уг^ннсм мсгут бггь си.'т.о-je;::; в обл-хт: погний -когс г.'чяггпггт,, с-г-ста^тс:-

ч

зуот с'": ? no:3c;:'u:::;jr;j ,тг."Г:'5"л С-Х:•':.,<;.

yv-^exv. Ut/'W2к t , л

попадает граница, отдаляющая режимы движения о конечными интервалами времени контакта соударяющихся тол от режимов с мгновен-шл!И соударениями. При зтсм та часть области £)/./ . которая находится справа от прямой dг-S/KiT , по-прекнему представляет собой часть плоскости = О t - ^I, а левая часть области 1)и знходнт из эгоУ плоскости и представляет собой часть t/

поверхности, определяемой уравнения:®

- ¿{¡л Z *■ &л = 2/бл К± ,

причем решение последнего уравнения ®з.~ Н< j имеет точку возврата при С<х - 2/<i f~l+ ¿j . Это;! особенности в четырехмерном фазовом пространстве соответствует складка поверхности (, %з ). Интерес представляет только лист этой поверхности, прпли-паздий к исследованной выае плоскости, поскольку на втором листе не существует устойчивых стационарных точек рассматриваемого типа. Показано, что за исключением ситуации, когда граница режимов проходит через стационарную точку ¿/щ или малую ее окрестность, уравнения (10) не теряют асимптотический порядок точности при пересечении разовой траекторией указанной границы.

Определены области допустимых значений параметров систем!' и их возмояшяс везмудений в процессе скспкуатации мамины, которые не ведут к срыву ее регулярного резонансного режима работ!.: с максимальной частотой ударов в рабочем органа.

Показано, что атая.тае ударов на динамику всей систем;» на многообразии медденнэт движении эквивалентно введект дополнительного ье.гд:непною вязкого трения, величина которого зависит ст амшгптуин колебаш:;: рабочего органа. Построена зтжечшетъ коойлцлента трения от амплитуды колсбгшн.!.

го

CCHOffiLB впвода

1. Метол осреднения для систем переменного порядка з стан-¡.ртной скорме поззоляет произзеоти силья;» рсдугазга системы, жшпш из уравнении параду с независимой такме и вьромденнне

кскокце переменные. иоотвстстаузцие приближенные уравнения ¡еснечшзалт определена исходных неизвестны:-: с олпбкой порядка ¡лого параметра J-i на интервале времени пор&дка L//J.

2. метод иерархического осреднения для систем дспег/скиого :рдч,ка в окргстпосй! простого оуузствсшга нелинейного резонанса »зволяет rrpo.ibBecin йсюибчеано бистро.; ;: кАсуке.тгсзкой о> !Вроме:<но о выроненными переменными. Соответствуй',::е оеосдгк-д-•о урасл'нгл обесисч.;вку определение 1герзмд;:;к:: за-1ЧИ с погрс:п;оста-о порядка & па п-перв-одс в.ткиж rop-шса 1//> -

3. Уравнения дни гения в/.зроудар;::^ систем с aScaawne нсул-т:::л: соуцчрснкял: могуг б~'ть нокыедсны к в;:ду систсмы кереузк->го порядка посредство!.; регудярвзг.оулт неза-иплгоссккх замен ¡ремешшх, соли огргиипг.ть рчессетрешо нанзрод заданной пссло-'ляташ'остьд ударов.

Р. Резонансная схема момет быть использована для позбусдо-я интенсивного пиороудчршго двплслия в с.гстспс с двусторонним

'р.'ШИЧЗННОМ.

и. ¡.тблаоть ¡:р:;тя'лишя устойчивого ст-дкяэпнрпого резонансно--рс*-:\а в расскитшяший схеме везоурчоник имеет пру порядка ч , что ликд.-1днпаст досгаючпо г.есткис ограничения на нозмо:.:-е «ourjyticim« чг.рмдачр.ч! ckciv:.;!1. Однако по отноде.ппо г. наибо-« пг:р')л'П!1.м на црекг ига ним ношавд велпчг.нк зазооа в в::бро5'длр-М'-нп о crcrciri является lyytfcii, поскольку уменьшение веяг-лг з-.-зопа i;o ср »пненл-э с пка.лч¡bHoii н<: и-с-т иглист:: систему про';.(-':;•' полает,: пр.:резонансного рспнма.

6. Орьз вязроударнсго режима с конечными интервалами втэе-пэн^ совместного движения минимальной кзатности носит в некотором сг.гысле мягкий характер, поскольку представляет собой перь-ход к лееззшш с мгновенными соударениями той же кратности.

7. Траектории медленных двиденЕЕ осредненной системы в рассмотренной задаче с погрешностью порядка Л-Гпринадлежат двумерному многообразию четырехмерного вазового пространства. Структура этого многообразия определяется сменой возмогших виб-роударлых ратаков.

8. По отналенко к дтапкзяшо в указанном многообразии влияние ударов в виброударном элементе сводится к некоторому дополнительному- Еязкоку нелинейному трети с эффективным коэффициентом трения, непрерывно зависящим от амплитуда колебаний.

4 . ПУБЛИКАЦИИ ПО ТНДЕ ЛИССЕРШЩ!

1. Влехыан И.Ь., Вяльцева О.А., Вайсберг Л.А., Фидлин А.Я. Производительность вибрационных грохотов с активными работай поверхностями. // Исследования процессов, машин и аппаратов разд&текия материалов по крупности: Мегдувед. сб. науча. тр. -I.: "Ыйханобр", 1988. - С.20-35.

2. аидлкн АЛ. Об осреднении в система:' переменного порядка. Препринт. - Е.: Иад. Ленингр. Зклиада ин-та машшовадениа

АЛ.Елагонравова 12 СССР, 1930. - Г? с.

3. 'Гудсд Л-£_ Об усреднении в системах с переменит числом степеней свободы // Ей:. - 1991. - Г. .55"- вкл.- С.СЪЧ-6

4. йтдлин А Л. Колебания малин виироударного действия с точки зрения деея^яке систем переменного порядка // Тез. докл. Зсзсоыэя. ген?, по вибрационной технике. Батуми, 1901 г. 7 Тби-.пак, 1991. - С.£3