Метод параметризации и его использование в вырожденных задачах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

ОД

■ 8 И гзи

Лутошкин Игорь Викторович

МЕТОД ПАРАМЕТРИЗАЦИИ И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ВЫРОЖДЕННЫХ ЗАДАЧАХ

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2000

Работа выполнена в Ульяновском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.К.Горбунов

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор И.В. Семушин, доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Голунков

Ведущая организация - Институт проблем механики РАН,

г.Москва

Залдита диссертации состоится " 18 " дскайря 2000 г. в " 14 " часои на заседании диссертационного совета К053.37.03 по защите лиссеотапий в.Ульяновском госутяпгтвйнном х'тгаврпситете, я уд. 701

i , % - ■ - - .--1- -----------V------Г J V Г^

в кори, на Набережной реки Свияги (432700, Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан г' /о'" ноября 2000 г.

Ученый секретарь i

диссертационного совета, до понт "JcLutJ Е.А. Михеева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи опттгального управления (ОУ), наряду с дифференциальными уравнениями (ДУ), являются одними из основных в математическом моделировании динамических процессов в различных областях техники, технологии, естествознания и экономики. Имеется достаточно широкий набор численных методов для различных типов задач, однако усложнение проблем, охватываемых математическим моделированием, приводит к вычислительным задачам, для которых известные методы становятся малоэффективными или неприменимыми. Это так называемые вырожденные или нерегулярные задачи ОУ и ДУ. Они представляют специальный класс некорректно поставленных вычислительных задач. Явление вырождения условий экстремума в оптимальном управлении получило название "особых управлений". Такие задачи существенно сложнее для исследования и численного решения. Другой сложный класс - это задачи с промежуточными фазовыми ограничениями. Из класса задач для сингулярных дифференциальных уравнений выделим дифференциально-алгебраические системы уравнений и уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной. Таким образом, нерегулярные задачи математического моделирования становятся типичным явлением и их усложнение требует постоянного развития соответствующей теории и численных методов. Разработка эффективных методов их решения является одной из важных проблем математической кибернетики.

Среди большого количества исследований, посвященных развитию численных методов решения вариационных задач, выделим работы Полака Э.1, Черноусько Ф.Л.2, Федоренко Р.П. 3, Евтушенко Ю.Г. 4, Бояринцева Ю.Е., Чистякова А.Ф.. Проблема решения вы- ; рожденных задач ОУ в первую очередь связана с именами Г.Келлп5, Р.Коппа и Г.Мойера6. Дальнейшее развитие было продолжено в ра-

1 Пол а к Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. V.: Мир, 1974.

2Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решений задач оптимального управления. -//ЖВМнМФ. 1962. Т.2. N6. С.Ш2-Ш8.

3Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

Евтушенко Ю.Г. Методы решення экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1082.

5Кслли Г. Необходимое условие для особых экстремален, основанное на второй вариации. -Ракетная техника и космонавтика. 1964. Х8. С.26-29.

6Копп Р., Монер Г. Необходимые условия оптимальности особых экстремалей. - Ракетная техника и космонавтика. 1965. >¡8. С.84-91.

ботах Г.Габасова и Ф.Л1.Кириллов,>11', В.А.Срочко.

Несмотря на широкий набор численных методов решения задач ОУ и ДУ, они ограничиваются в ос новном регулярными задачами. Для нерегулярных задач разрабатываются узко специализированные методы. Поэтому, в нерегулярных случаях представляется перспективным использование методов второго порядка (см., например, Анрион Р.8). Возможность развития численных методов с использованием вторых производных заложена, в частности, в работе Горбунова В.К. 9.

Цель работы состоит в развитии и практической реализации метода параметризации задач ОУ 9. Развитие метода с целью использования вторых производных минимизируемого функционала по параметрам управления. Обоснование сходимости метода параметризации. Исследование и применение метода параметризации второго порядка в вырожденных задачах оптимального управления и сингулярных дифференциальных уравнениях.

Методы исследования. При формулировке и доказательстве результатов в диссертационной работе используются элементы теории оптимального управления, дифференциальных уравнений, многозначных отображений.

Научная новизна. Метод параметризации развит с целью использования вторых производных минимизируемого функционала по параметрам управления. Это позволяет применять метод Ньютона или линейно-квадратичной аппроксимации в задачах ОУ, что актуально в вырожденных случаях. Получена теорема о сходимости метода —параметризации в случае компактного множества управления. Отдельно выделен случай регулярных терминальных ограничений.

Теоретическая и практическая значимость диссертационной ра' боты заключается в развитии метода параметризации задач ОУ, расширяющем область его применения, в частности, на вырожденные задачи ОУ и ДУ.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Развитие нового метода параметризации задачи оптимального управления с целью использования при численном решении вто-

'Габасов Г., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.

8Анрион Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптимальном управлении. - пер с франц., Наука, Гл. ред. фпэ.-мат. лит., 1979, 208 С.

9Горбунов В.К. Метод параметризации задач оптимального управления // ЖВМиМФ. !979. Т.19. N2. С. 292-303.

рых производных минимизируемого функционала задачи по параметрам искомого управления.

2. Обоснование сходимости метода параметризации по функционалу задачи при сгущении узлов искомого управления, в случае компактного ограничения на управление.

3. Алгоритмизация метода параметризации, ориентированного на решение вырожденных задач оптимального управления, задач с промежуточными фазовыми ограничениями, а также сингулярных задач дифференциальных уравнений.

4. Вычислительный эксперимент, выявляющий практическую эффективность реализованного метода в проблемных задачах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

• VI научно-практической конференции Ульяновского государственного университета (г. Ульяновск, 1997 г.);

• Всероссийской научной конференции ''Алгоритмический анализ некорректных задач" (г. Екатеринбург, 1998 г.);

• III международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения'1 (г. Саранск, 1998 г.);

• II международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов" (г. Ульяновск, 1999 г.);

• IV международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Саранск, 2000 г.).

Личный вклад. Основные теоретические положения разработаны совместно с научным руководителем. Вывод вторых производных, по параметрам, определяющим управление, исследование приложений, анализ результатов, выводы из них, программная реализация метода и вычислительный эксперимент выполнены автором самостоятельно.

Щ'бликации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Структура II объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 67 наименований. Общи» объем диссертации составляет 107 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности рассмотренных в диссертации вопросов. Здесь же определяются цель исследования, научная новизна и практическое значение. Кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава имеет обзорный характер по тематике, определяющей некоторые классы вырожденных вариационных задач. Кроме того, приведены схемы решения вырожденных задач, предложенные научным руководителем, исследуемые и реализованные автором. В частности, рассмотрены такие классы вырожденных задач как: задачи оптимального управления с особыми управлениями, задачи оптимального управления с промежуточными фазовыми ограничениями, дифференциально-алгебраические системы уравнений. Рассмотрены традиционные подходы к решению вырожденных задач; для задач с особыми управлениями - условие Келли, условие Коппа-Мойера 7, а также обобщение этих условий; для задач с промежуточными фазовыми ограничениями - стандартный метод штрафных функций и метод дискретизации фазовых ограничении 3. Наряду с традиционными методами подхода к решению этих задач используются новые подходы, предложенные Горбуновым В.К.. Для задачи с промежуточными фазовыми ограничениями рассмотрен метод сведения к задаче без промежуточных ограничений путем расширения . фазового пространства 10. Исследуются свойства принципа максимума полученной задачи. Для дифференциально-алгебраической системы с ограничениями на концы траекторий рассматривается вариационная постановка задачи и для нее исследуется принцип максимума. Приводятся схемы регуляризации полученных задач оптимального управления.

Вторая глава посвящена развитию метода параметризации, заключающемуся в обосновании его сходимости, и построению алгоритма вычисления вторых производных параметризованных функционалов.

'"Горбунов В.К. Задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями н особые управления // Днфф.ураен. и их прил.: то. докл. межд. наз'чио-пр. конф. С-Пб. 1996. С.58.

Рассмотрим задачу оптимального управления:

*=/(*(*), «(*)), *(*о) = Л /О <Ь<Т-,

Я(0 6 Ьг\ (2)

да(х(Т))< 0, ¿=1,...,т: (3)

^ = 9а(х{Т)) —> 111111. (4)

Фазовая переменная .г(£) = (£1(1)...., .г„ (?)), вектор параметров управления ¡/(¿) = (и^),..., ¡/г(0)- Функции /¡(.г(*),«(£)), 1 < г < и, и 1 < / <пг-~ = (~ь • • • г ^п)^ будем считать дважды непрерывно дифференцируемыми по всем переменным. Множество допустимых значений управления и должно иметь структуру, позволяющую применять методы дифференцируемой оптимизации. Время окончания процесса Т может быть свободным и задача (1)-(4) считается разрешимой в классе кусочно-непрерывных пли непрерывных функций

«(О-

Метод параметризации заключается во введении произвольного разбиения промежутка [?о, Г]

'0<<1 <...<*.¥ Г, (5)

и закреплении структуры управления на [^—1, 1 < />■ < -V. Приближенное решение исходной задачи ищется в классе управлении вида:

и„(0 = t^1<t<tk, к = А*= 1.....г, (6)

где и*' £ И*1, и({) = (м.1 (£),..., мг(4)) £ V и, соответственно, и* = (г*,... ) 6 /?',хг. В том случае, когда ищется непрерывное решение, на параметризованный класс накладываются дополнительные ограничения

л

и* (**,»*) = 1 <к < N -I.

Условия непрерывности можно также наложить и на производные управления. Такое кусочно-аналитическое представление искомого управления можно считать обобщенным сплайном.

Таким образом, при подстановке параметризованного .управления (С) в (1) получается траектория аг(£), зависящая от параметров управления

,-[t) = 2(t; v\t и ■ ■ ■, t?4"1, ft-i,«.*), tt_, < t < tk. где функция .. ,tt,vk+1) определяется на промежутках

[h,tt+i) интегральными соотношениями, эквивалентными в совокупности задаче Кошн (1). Введем функции от управляющих параметров {и/1} : .

9,{w\ ..., WN) = g,(z(T; w\..., wN~\vN)), l = 0.1,... ,m. (7)

В терминах этих функций задача (1)-(4) пригашает форму задачи нелинейного программирования:

<Ро(г1>\..., wN) —> min при ограничениях ip,(w\...,wN) = 0, 1 </ <mi,

<pi(u:\...,n>N) < 0, mi + l</<m, (8)

W = {wk : < u*(t:i>1") 6 tr, и>£-1 < t < uß,

fc = 1.....ЛГ; «'Ü = i0,«'0Ar = r<T*}.

В параграфе 2.2 обосновывается сходимость метода параметризации по числу точек разбиения временного промежутка для случая, когда множество значений параметров управления компактно. Допустимые управления - кусочно непрерывные функции. Они аппроксимируются в виде:

u(N;t) = uk(t;vk)eU, < t < tk, 1 < к < N. (9)

Область дифференцируемости j(x. и) должна охватывать множество допустимых значений управлений U, которое считается компактом. Время окончания процесса Т фиксировано пли ограничено

некоторой величиной У* сверху. Наименьшее значение функционала-

(4) (значение задачи) обозначим ,/*.

Обоснование реализуемости и сходимости метода параметризации требует выполнения следующего условия.

Условие ограниченности (УО). Каждому допустимому управлению (2) отвечает ограниченная траектория x(t) системы (1), определенная на [fo?^) и семейство возможных траекторий равномерно ограниченно. «

Пусть разбиение интервала времени [(q. Т], на котором рассматривается динамическая система, определяется в виде (5), н на каждом промежутке [tk-iJk) фиксируем управление, структура которого зависит от вектора параметров vk Е Rdxr, в виде (G).

Ослабим терминальные ограничения (3) исходной задачи:

<*№))< г, / = 1,...,щ, >->0. (10)

Введем обозначения: ЛУ - множество достижимости системы (1),(2), Кг - его замыкание, и

■?'/ ('') = {х € Кт : (10)}

- достижимая часть расширенного терминального множества; Очевидно, что замыкание последнего можно представить как

sT(r) = {.г е Кг ■ (ю)}- (И)

В силу построения §т(>'), непрерывности функции <JiA < I < ш, и компактности множества Л/, отображение St непрерывно в точке го > 0 справа. Случай, когда отображение §т непрерывно в точках г > 0 в обычном смысле, называется регулярным. Достаточным условием регулярности отображения SY является его выпуклость. Доказывается

Теорема 1. Если множество достижимости К j и функции !/h 1 < / < т, выпуклы, то отображение §г регулярно. Введем функцию J(r) в виде

J(r)=m{{g0(4T)):x(T)eSr(r)}.

Расширим ограничения редуцированной задачи (8). Будем рассматривать задачу минимизации ____i("V) 11:1 (8) на множестве па-

])аметров управления

Qx(r) = {(а»1,..., irN) € И": ..., wx) < г, 1 < / < m}, г > 0.

(12)

Значение этой задачи

('') = min у>о(«Л■ ■ ■ > (13)

<?Л(г)

Эта задача при любом г > 0 и достаточно большом Л~(г) разрешима.

Теорема 3. Если задача (1)-(4) удовлетворяет условию ограниченности, то для любых положительных чисел г и г существует такое число N = N(r.s), что параметризованная задача (12). (13) разрешима и ее значение (г) удовлетворяет неравенствам:

J(r)<r0v(r)<J(r)+e.

Условие ограниченности задачи ОУ (1 )-(•!) обеспечивает возможность сколь угодно точной аппроксимации разрешимой задачи параметризованной конечномерной задачей (12),(13) как по терминальным условиям (3), так и по функционалу (4). Условие регулярности

терминальных ограничений обеспечивает непрерывность аппроксимации минимизируемого функционала по параметру грубости аппроксимации траекторий.

Проблема первых производных функционалов задачи (8) была решена Горбуновым В.К.а. Для вторых производных был указан путь их нахождения. В параграфе 2.4 проблема вторых производных функционалов задачи (8) решена полностью.

При дифференцировании равенства (7) по параметрам а появляются соответствующие вариации траектории системы (1), (С). Обозначим их

гЫ/'Г1

о ш;,,<>

Для вариаций, отвечающих параметрам — Ьк, 1 < к < N — 1, это

— -;--У > ч ^ Г $ 1 1

=7(4**), - /М**),«н,(**; 1Л+|));

и для вариаций относительно г^ а (1 < < г, 1 < а < с/, !</,-< А")

это

■k„a=df(At)Mt)) кца 1 ^ )

öx- k duf, dv^a '

ft_i < t < T,

ykf,a(tk-1) = 0.

-Здесь-н-да1ее-функция-Хевпсайда 0(^-=-О,-еслн ^-<-О,-и если t > 0. Вариация по конечному времени Т конечна:

— f(x(T), и{Т)).

Определим функцию Га м и л ьт она- По нтр ягина

п

H(p(t),x(t), «(£)) = Х>(0/.'(*(*)<«(0), « • 1

и введем для каждой функции gi(z) исходной задачи свою сопряженную вектор-функцию pl{t) — (p[{t),... ,pln[t)) :

¿¿jEùgim, „<t<T. = ..............

Техника дифференцирования для вторых производных основана на анализе вторых вариации траектории п введении соответствующих сопряженных функций - матричных импульсов = : а, ¡3 = 1,..., п }, определенных на 0 < / < 7 :

Ф' =

Ф'(Г) =

От

о'ЫАТ))

Ох1 '

Ох1

В терминах введенных переменных справедлива

Теорема 4. Пусть функции /. <//. / = 0,1,____//г, входящие в

постановку задачи (!)-(4). дважды непрерывно дифференцируемы по всем переменным. Тогда для вторых производных по параметрам, управления верны формулы:

для < А'

Ог^дк^

°<0

+

ди„ +

+ <),к

+ &т> - ,.' \ ,. " X

дирди„ ' с\

Оицдх

/"*(«) ) +

57/0/(0,^), «(0)1

/1

ди„

для ] < А*

дн^им,«™^**))

д.г

дх

¡¡.а

Ои,,

для ] < к

- —-^-+

/ ди„дх

1

+

Л:

\ дх

^ |_ ^ +

/дн&цк),х(ь)У(ъ-,ук)) диЧь-у) \ дх т

Если конечный момент Т подвижный, то 0Тд1к

ЭУ,(ш\... _ /дН(р(Т),х(Пи(Т)) диК(Т-, +

<9г2_\_ди_ м

(«нм + щтх{т)МтЫ(4П 4Т))},

.,«*>") 0«№(Г;И)0Я(р(7У(7-),«(Г)) , + + ВД/Мт),«<т/-(г)}.

Требование использования вторых производных обусловлено тем, .что в вырожденных задачах условия экстремума первого порядка вырождаются, и. соответственно, численные методы нелинейного программирования, основанные на первых производных, становятся

неэффективны. В первую очередь это замечание касается задач с особым управлением.

В параграфе 2.5 рассмотрена задача оптпматьного управления с оптимизируемыми параметрами и, опираясь на разработанную технику нахождения первых и вторых производных, найдены соответствующие частные производные: первые производные по оптимизируемым параметрам; совместные вторые производные по парам: оптимизируемый параметр - момент переключения управления, оптимизируемый параметр - коэффициент управляющей функции, оптимизируемый параметр - оптимизируемый параметр.

Третья глава посвящена применению метода параметризации. Приводятся схемы решения конечномерных задач нелинейного программирования, возникающих при параметризации задачи оптимального управления:'метод модифицированных штрафных функции Узавы, методы нелинейного программирования, проекция на множество специального типа. Рассматривается ряд вырожденных задач и их численное решение:

— В параграфе 3.2 задача с особым управлением и.

ii = З.г2, ¿'2 = 2 и, .¿'i(0) = -7, ¿'г(О) = 3, \u(t)\ < 1, J(u) = д;2(2) + 4(2) min.

Эта задача поставлена в классе непрерывных функций. Методом снятия промежуточных ограничений путем расширения фазового пространства задача ОУ сводилась к классической вариационной задаче:

¿1 = 3*2, х2 = 2м, ¿з = ([« - 1]+)2 + ([—г/. - 1]+)2:• si(0) = -7, 1'2(0) = 3, x3(q) = 0, «3(2) = 0, ' J(u) = aj(2). + х\(2) -> min.

При одинаковой начальной параметризации управления сравниваются решения, полученные методом первого порядка (градиентный метод), квазиньютоновским методом (метод Дэвндона-Флэтчера-Пауэлла), методом второго порядка (метод Ньютона).

— В параграфе 3.3 модельная задача оптимального планирования с промежуточным фазовым ограничением (ограничения по

"Лнтоннк В.Г., Срочко В.Л. Метод проекций в линейно-квадратичных задачах оптимального управления// ЖВМпМФ. 1998. Т.38. N1. С. 564-572.

монотонности и по уровню фазовых ограничений).. Динамика средств производства описывается уравнениями

¿1 = qh.I'1 — тх 1, xj(0) = xj,

¿2 = q(1 - h).ti - mx2, x2(0) — a:®.

с функционалом качества

т

I(.r{T)) = J Xi{t)dt max о

и ограничением на управление 0 < и < 1. Решение этой задачи имеет недостаток, заключающийся в падении уровня средств производства ниже начального к концу планируемого периода. Такой режим нежелателен для экономики, поэтому накладывались два типа ограничении на фазовые переменные: неубывание средств производства

(аи — m)xi >0. Q(1 — и)х\ — тх2 >0, 0 <t<T

и ограничение по уровню средств производства

•>•(0 > -Л 0 < t < Т.

Обе задачи сводились методом снятия фазовых ограничений путем расширения фазового пространства к классическим вариационным задачам. Задача ОУ с ограничением на монотонность фазовых переменных переходила в эквивалентную задачу

-.i't = auxj—mj'i.--

х 2 = Q(1 — u)xi - mx-2.

h = ([(го - а«)-п(*)Г)3 + ([mx2(i) - a(l - фчфПЧ

+ ([-«3+)3 + ([»/-l]+)3,

с краевыми условиями

x,(0) = x°. x2(0) = x«, x3(0) = x3(T) = 0.

Такая же схема была применена к задача ОУ с ограничением на уровень фазовых переменных. Соответствующие классические вариационные задачи решались методом параметризации в классе кусочно постоянных управлений с одним моментом переключения управления.

— В параграфе 3.4 задача оптимального управления со смешанным критерием качества 12

¿,=х2, ¿2 = И, х(0) = (1, —4), .г (Г) = (0,0), |и(01</>. íG[0;r]i /(и,/»)=2Г + />->тт.

Требуется минимизировать время перевода системы из одного состояния в другое, сохраняя при этом минимальную интенсивность (означает наличие параметра, требующего оптимизации). Состояние системы и функционал линейны. Особенность задачи - параметр, ограничивающий управляющую функцию, входит в минимизируемый функционал.

— В параграфе 3.5 сингулярные задачи дифференциальных уравнений: краевая задача с малым параметром при старшей производной 13, система дифференциально-алгебраических (ДА) уравнений с начальными данными и, система ннтегро-днфференциальных уравнений. В последнее время большое внимание уделяется ДА уравнениям, здесь решается система

•i'i = 10fcxp{5jft(f) - 1}¿2(í). ¿2 = -2¿ln{y,(f)}, . yi(t) = (t)V\ y3(t) = (4(t)+á(t)) /2, t € [fo;T], с начальными условиями

■i'i(ío) = exp {5síu(¿q)} , x2(t0) = cos(Íq),

ijiih) = exp {sia(íj)} , ij-2%) - sin(ф + 1.

Эта система имеет единственное решение

я, (t) = exp {5 sin/>2)} , l-2(t) = cos(r'),

m(t) = exp {síh(í2)} , Si(t) = sin(t2) +1.

Стандартные разностные методы решения систем ДА уравнений требуют невырожденность соответствующего Якобиана конечной подсистемы на интервале [ío- Т]. В точке = 0 требуемый Якобиан вырождается. Здесь данная система решалась на

"Костина Е.А., Костюкова О.II. Исследование одной задачи оптимального управления со сменным критерием качества // ЖВМпМФ. 1997. Т.37. N2. С.153-161.

''Задорин АЛ1.. Игнатьев В.II. Численное решение квазилинейного сингулярно возмущенного шненпя второго порядка. - ЖВМпМФ. 1991. Т.31. N1. СЛ57-161.

' К \ л и коп Г.Ю. т1нсленное решение задачи Коши для системы дн<(н{)еренш!ально-ебранчеекпх уравнений с помощью неявных методов Рунге-Кутты с нетривиальным престаром //ЖВМпМФ. 1998. Т.38. NI. С.68-84.

отрезке [0; 0.5] методом частичных штрафных функции по следующей схеме. Система 'ДА сводилась к задаче оптимального управления

¿1 = 10*ехр {51/2(0 - ¿2 = -2Пп{У1{1)},

т

<0

+ [аг1(*)1/5 - У1(«)]2} Лг тт.

с начальными условиями х^о) = ехр {5 вт^)}, ¿г^о) = Интервал [0; 0.5] разбивался на несколько подннтервалов £о < tl < ... < ¿125 = Т. На оптимальной траектории ,/(;/,Г(,т2) = 0 для любого [г^тг] С [(о! Г], поэтому решение строилось последовательно на каждом интервале ;

Численное решение задач главы 3 методом параметризации показало оправданность использования метода второго порядка для вырожденных задач оптимального управления и дифференциальных уравнений. Несмотря на то, что метод второго порядка требует больших ресурсозатрат на каждой итерации, в вырожденных ситуациях с помощью этого метода удалось получить решение гораздо точнее и быстрее по сравнению с методами первого порядка. При этом точность полученных решений сравнима с результатами, полученными специализированными методами, а в некоторых случаях находились приемлемые решения, когда известные методы неприменимы.

В выводах и заключении перечислены основные результаты диссертационной работы, подчеркнута их новизна и значимость.-

Работы автора подтеме диссертации

[1] Лутошкин И.В. Вырожденные задачи оптимального управления. // Тезисы докладов студентов и аспирантов на VI научно-практической конф. Ульяновск. 1997. С.8-10.

[2] Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Вторые производные параметризованной задачи оптимального управления// Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Выпуск 3 - Ульяновск, 1997. С. 17-24.

[3] Горбунов В.К., Лутошкнн II.B. Задачи оптимальною управления с фазовыми ограничениями н особые управления. // Математическое программирование и приложения: тезисы докладов Х-ой Всероссийской конф. Екатеринбург. 1997. С.70-71.

[4] Горбунов В.К., Лутошкпн II.В. Вторые производные параметризованной задачи оптимального управления. ]¡ Методы оптимизации и их приложения: труды 11-ой Байкальской международной школы-семннар. 1998 г. Иркутск. Т.4. С.90-93.

[5] Горбунов В.К., Лутошкнн И.В. Метод параметризации задач оптимального управления со вторыми производными // Математическое моделирование. Т.10. N12. 1998. С.С

[G] Лутошкпн И.В. Численное решение задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями// Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики'1. Выпуск 5 - Ульяновск. 1998. С. 85-91.

[7] Лутошкнн И.В. Метод параметризации задач оптимального управления с фазовыми ограничениями. // Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов: труды междун. научной конф. Ульяновск. 1998. С.26-27.

[8] Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Сходимость метода параметризации задач оптимального управления с компактным множеством управлений. // Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Выпуск 1(6) - Ульяновск. 1999. С.76-83.

[9] Горбунов В.К., Лутошкнн И.В. Сходимость метода параметризации. // Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов: труды второй международной научной конференции. Ульяновск. 1999. С.16.

10] Лутошкпн И.В. Варнашюнные методы решения дифференциально-алгебраических систем. // Математическое моделирование и краевые задачи: труды девятой межвузовской конференции. Самара, 1999. С.82-84.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ВЫРОЖДЕННЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Задачи оптимального управления, имеющие особое управление.

1.2. Задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями

1.3. Дифференциально-алгебраические системы уравнений

2. МЕТОД ПАРАМЕТРИЗАЦИИ

2.1. Постановка задачи и ее параметризация.

2.2. Сходимость метода параметризации.

2.2.1. Условия сходимости.

2.2.2. Расширение4 терминальных ограничений

2.2.3. Теорема аппроксимации

2.3. Первые производные параметризованных функционалов

2.4. Вторые производные.

2.5. Задачи с оптимизируемыми параметрами.

3. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ПАРАМЕТРИЗАЦИИ

3.1. Используемые методы и алгоритмы.

3.2. Задача с особым управлением.

3.3. Задача оптимального планирования с фазовым ограничением

3.4. Задача со смешанным критерием качества.

3.5. Сингулярные задачи дифференциальных уравнений

3.5.1. Краевая задача с малым параметром при старшей производной.

3.5.2. Дифференциально-алгебраическая система

3.5.3. Интегро-дифференциальная система.

Диссертация посвящена проблеме численного решения задач оптимального управления (ОУ) и нелинейных дифференциальных уравнений (ДУ). Эти классы задач являются одними из основных в математическом моделировании динамических процессов в различных областях техники, технологии, естествознания и экономики. Имеется достаточно широкий набор численных методов для различных типов задач, однако усложнение проблем, охватываемых математическим моделированием, приводит к вычислительным задачам, для которых известные методы становятся малоэффективными или неприменимыми. Это так называемые вырожденные или нерегулярные задачи оптимального управления и дифференциальных уравнений. Они представляют специальный класс некорректно поставленных вычислительных задач. Данная работа нацелена на развитие методов решения именно таких задач.

Остановимся подробнее на проблеме вырождения вычислительных задач для дифференциальных уравнений. При стремлении учесть как можно больше связей в исследуемом объекте в системе формальных соотношений появляется алгебраическая избыточность, приводящая к вырождению Якобиевых матриц в алгебраических подсистемах, а также невозможность приведения сложных систем уравнений к каноническим (нормальным) формам, что требуют стандартные методы решения. Кроме того, известны приемы сведения некоторых типов задач оптимального управления с ограничениями-неравенствами и с ограничениями на управляющию функцию к вариационным задачам классического типа (см., например [3. 51, 59]). Первый прием - это преобразование Валентайна, сводящее задачу ОУ с ограничениями-неравенствами к задаче О У с ограничениями только типа равенства. Второй прием Фрайеса де Вебека [3] - замена исходного управления и на некоторую функцию f{v), область значений которой совпадает с областью значений допустимого управления, а область определения аргумента совпадает со всем пространством, (например, если есть ограничение \и(Ь)\ < 1, то, делая замену ?/,(£) = 8ш(г>(£)), получаем, что ограничение на новое управление и(1) в постановке задачи снимается).

Формально более простая задача вариационного исчисления, получаемая в результате применения этих приемов, является вырожденной. Это присходит, когда по крайней мере одна из компонент и достигает границы1. Необходимое условие первого порядка - уравнение Эйлера - становится неинформативным. Оно выполняется в виде тривиального тождества, и методы, основанные на первых вариациях функционала, становятся неэффективными. Однако в [3, стр.20] утверждается, что возмущение первого порядка переменной г;, вызывает ненулевое возмущение и во втором порядке. В этом случае, вторая вариация функционала является ненулевой, что делает перспективным эффективное применение методов со вторыми производными.

Явление вырождения условий экстремума в оптимальном управле В [59] явление вырожденности полученной вариационной задачи описывается термином "прилипание" нии получило название "особых управлений". Такие задачи известны в ракетодинамике, космической навигации, электротехнике [35, 36]. Они существенно сложнее для исследования и численного решения ([4, 12, 35, 36, 59]).

Другой сложный класс - это задачи с промежуточными фазовыми ограничениями (например, [37, 38, 39, 58, 59]). Такие задачи зачастую возникают при моделировании процессов стабилизации, демпфирования [39, 59], экономических процессов [о, 57. 66]. Задачи с промежуточными фазовыми ограничениями могут сводиться к задачам без промежуточных ограничений, но с вырождением условий оптимальности первого порядка [19].

Из класса задач для дифференциальных уравнений выделим здесь дифференциально-алгебраические системы уравнений (например, [6, 7, 9, 41, 65]) и уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной (например, [31, 32, 65]). Уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной (сингулярно возмущенные уравнения) проявляются во многих задачах моделирования процессов в аэродинамике, балистике, химической кинетике, молекулярной и ядерной физике [62, 65].

Таким образом, нерегулярные задачи математического моделирования становятся типичным явлением и их усложнение требует постоянного развития соответствующей теории и численных методов.

Современное состояние проблемы численного решения задач оптимального управления, а также нелинейных и сингулярных (линейных или нелинейных) дифференциальных и интегральных уравнений характеризуется многообразием и сложностью подходов, часто ориентированных на достаточно узкий класс задач. До настоящего времени наиболее развит универсальный метод сеток (конечных разностей и квадратур), базирующийся на идее Эйлера об аппроксимации искомой функции сеточной и, таким образом, сводящий исходную функциональную задачи к задаче нелинейного программирования (НП). В него вложены огромные интеллектуальные ресурсы, что позволило и еще позволит решать немало важных прикладных проблем. Однако в последние десятилетия начали развиваться гораздо более эффективные вычислительные методы, основанные на нередко сложном аналитическом аппарате. В качестве примера можно привести проекционные методы и метод обобщенных сплайнов. Эти и другие численно-аналитические методы при их квалифицированном применении позволяют эффективно учесть специфику сложной задачи, получить лучшую аппроксимацию решения при сравнительных вычислительных ресурсах и решать вырожденные задачи, недоступные методу сеток. Кроме того, разрабатываются методы, использующие особенности класса, которому принадлежит данная задача. Таким образом, возникает целый ряд различных методов.

Остановимся на особенностях основных классов решения задач оптимального управления. К первому, простейшему классу, относится метод конечно-разностных аппроксимаций (отражен, например, в монографиях Э.Полака [54], Д.Табака и Б.Куо [56]). В общем случае данный метод определяется следующими шагами: дифференциальная система заменяется конечно-разностной, ограничения задачи переходят в ограничения на значения сеточных функций, интегралы заменяются соответствующими суммами. К полученной конечномерной задаче нелинейного программирования можно применять соответствующие численные методы НП. В зависимости от специфики задачи оптимального управления, разработаны различные алгоритмы. В качестве примера можно привести алгоритм "киевский веник", метод "блуждающей трубки", метод локальных вариаций, метод "бегущей волны", некоторые схемы решения задачи Майера [51, 63].

К достоинствам подхода, основанного на конечно-разностных аппроксимациях, стоит отнести универсальность его применения практически к любым задачам оптимального управления. Недостатки данного подхода также очевидны: этот метод приводит, как правило, к задачам большой размерности и сложной структуры; в нем плохо учитывается специфика задач ОУ, именно, динамическая связь дискретизированных фазовых переменных; происходит резкое усложнение задачи с увеличением интервала, на котором решается задача ОУ.

Второй класс, как по уровню развития, так и хронологически, составляют методы, основанные на условиях экстремума, главным образом принципа максимума Л.С.Понтрягина. Эти методы достаточно полно изложены в монографии Н.Н.Моисеева [51]. Они сводят исходную экстремальную задачу к нелинейной краевой задаче относительно фазовых и сопряженных переменных с условием максимума, позволяющим выразить параметры управления через эти переменные. Среди численных методов, принадлежащих данному классу, стоит выделить следующие методы: сведение задачи оптимального управления к задаче отыскания корней трансцендентной функции, методы переноса граничных условий краевой задачи, метод последовательных приближений Крылова-Чсрноусько [40, 63] и его модификация [49].

Данные методы относительно просты для программирования и позволяют использование стандартных программ. Однако задача получения параметров управления через фазовые и сопряженные переменные в нетривиальных случаях очень сложна. Следующим недостатком данных методов является то, что полученное решение чаще всего является только претендентом на оптимальное. Поэтому, чтобы убедиться, что полученное решение - искомое, следует проводить дополнительные исследования. Далее, если на оптимальной траектории встречаются участки с особым управлением [12], то методы, основанные на принципе максимума Л.С.Понтрягина, становятся неработоспособными в окрестности оптимального решения. так как условие оптимальности (принцип максимума) вырождается. Для задач оптимального управления с промежуточными фазовыми ограничениям!! необходимые условия формулируются настолько сложно [34, 55], что применение методов данного класса становится практически невозможным.

Отметим здесь также синтетический подход Ю.Г.Евтушенко [30]. сочетающий априорную разностную дискретизацию исходной задачи как в первом классе методов, но на основе схем высокого порядка Рунге-Кутты, и вычисление производных функционалов задачи ОУ с дискретным временем с использованием сопряженных переменных (для каждого функционала своей). Этот подход наследует высокую размерность и сложность аппроксимирующих задач. Сопряженные уравнения здесь требуют согласования с избранной разностной схемой для исходного уравнения, хотя уравнения для сопряженных переменных всегда линейные.

Наконец, третий класс решения задач оптимального управления объединяет методы, в которых минимизация функционала исходной задачи выполняется градиентными методами в некотором функциональном пространстве на основе вычисления соответствующих градиентов минимизируемого функционала и функционалов, определяющих ограничения задачи. Отметим, что градиенты функционалов вычисляются с помощью сопряженных переменных, причем для каждого функционала решается своя сопряженная задача Коши. Этот класс методов прямого типа (не использующих на итерациях условий экстремума) представлен в монографиях Р.П.Федоренко [59] и Ф.П.Васильева [10]. Метод параметризации, разрабатываемый в диссертации, наиболее близок к методам этого типа, поэтому остановимся на них подробнее.

Наиболее развитыми численными методами данного класса являются различные варианты метода проекции градиента (метод условного градиента, метод минимальной поправки, gradient-restoration algorithm и другие модификации метода, определяемые спецификой задачи) и метод последовательной линеаризации, заключающийся в линейном представлении исходных функционалов в окрестности текущего итерационного приближения относительно управляющей функции, а затем решении линейной задачи оптимального управления [59]. Оба эти метода наряду с достоинствами (формально достаточно простые схемы решения; не используют напрямую условие принципа максимума, что в вырожденных задачах существенно) обладают и рядом недостатков.

К основному недостатку метода проекции градиента стоит отнести следующий: построение проекции фиксированного управления на ограничивающее множество зачастую является задачей по сложности равносильной исходной. В случае метода последовательной линеаризации можно выделить такие недостатки как сложность построения области, которой должно принадлежать линейное приращение управления, определяемое на каждой итерации; величина приращения (с одной стороны она должно быть небольшой, так как должно быть справедливо линейное приближение, с другой стороны достаточной, чтобы процесс сходимости не был слишком медленным). Кроме того, трудность этих методов заключается в сложности достаточно точной аппроксимации функциональных производных при численной реализации. Однако развитие численных методов данного класса предполагает быть перспективным.

Для систем с малым параметром при старшей производной (в частности, "тихоновских") наиболее развиты методы теории пограничного слоя с "экспоненциальной подгонкой" и "направленных разностей" (например, [31, 32, 65]). Большое внимание уделяется в последние годы дифференциальным и интегро-дифференциальным уравнениям, не разрешаемым относительно производных. Наиболее изученный здесь класс - дифференциально-алгебраические системы [6, 7, 41, 65]. Линейные системы с переменными коэффициентами, как и нелинейные системы, в случае особенностей решаются, как правило, сложными специализированными разностными методами [6, 41, 65]. Простейший подход к ним основан на сочетании неявных разностных схем с методом Ньютона. Развитие этого направления для нелинейных интегро-дифференциальных алгебраических систем до настоящего времени ограничено регулярным случаем, когда Якобиан алгебраической подсистемы невырожден относительно части разрешенных в дифференциальной подсистеме переменных.

Таким образом, в настоящее время численные методы решения задач оптимального управления и дифференциальных уравнений эффективны в основном для регулярных случаев. Методы, основанные на полной дискретизации исходной задачи, плохо сходятся в нетривиальных случаях. В методах, базирующихся на принципе максимума, в случае особых управлений вырождаются условия, образующие основу метода. В градиентных методах, в вырожденных задачах, условия экстремума первого порядка становятся плохо обу-словлеными вблизи оптимального решения. Следовательно, в вырожденных случаях кажется перспективным использование методов, основанных на условиях второго порядка.

Предлагаемая диссертация посвящена развитию и практической реализации нового численного метода решения задач оптимального управления, предложенного в работах В.К. Горбунова [14, 15] и названного методом параметризации. Этот метод заключается в произвольном разбиении временного промежутка и представлении искомой функции управления на каждом из промежутков в виде конечно параметризованной функции, например, константы или полинома.

Вообще, искомое управление можно считать обобщенным сплайном (кусочно-аналитической функцией). Таким образом, функционалы исходной задачи становятся функциями конечного числа параметров, включая переменные узлы разбиения (сетка параметризации), и исходная функциональная задача сводится к конечномерной задаче нелинейного программирования. Для частных производных функционалов по параметрам управления были получены формулы, сводящие их вычисления к задачам Коши для сопряженных переменных. В [15] также была заложена основа вычисления вторых производных. Здесь с помощью "матричных импульсов", известных в качественной теории особых управлений [12], были получены формулы для вторых производных по узлам сетки параметризации. Этим был открыт новый подход к эффективному решению задач ОУ путем использования методов нелинейного программирования, основанных на первых или вторых производных. Отметим, что проблема численного интегрирования исходной и сопряженных систем в методе параметризации разделена с оптимизацией управления, что позволяет решать задачу более гибко, чем при конечно-разностной аппроксимации исходной задачи, как в [54, 30], и во многих случаях иметь аппроксимирующую задачу нелинейного программирования небольшой размерности [44].

В данной работе метод параметризации В.К. Горбунова развивается с целью повышения его эффективности, в особенности при решении вырожденных (нерегулярных) задач оптимального управления и дифференциальных уравнений. Это достигается благодаря завершению проблемы построения вторых производных и использованию некоторых новых приемов при алгоритмизации вырожденных задач. Кроме того, получено теоретическое обоснование сходимости метода при сгущении узлов искомого сплайна.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 68 наименований. В первой главе содержится обзорный материал по тематике, определяющей некоторые классы вырожденных вариационных задач. Кроме того, приведены схемы решения вырожденных задач, предложенные научным руководителем, исследуемые и реализованные автором. В частности, рассмотрены такие классы вырожденных задач как: задачи оптимального управления с особыми управлениями, задачи оптимального управления с промежуточными фазовыми ограничениями, дифференциально-алгебраические системы уравнений. Рассмотрены традиционные подходы к решению вырожденных задач: для задач с особыми управлениями - условие Келли, условие Коппа-Мойера, а также обобщение этих условий; для задач с промежуточными фазовыми ограничениями - стандартный метод штрафных функций и метод дискретизации фазовых ограничений. Наряду с традиционными методами подхода к решению этих задач используются новые подходы [19, 22]. Для задачи с промежуточными фазовыми ограничениями рассмотрен метод сведения к задаче без промежуточных ограничений путем расширения фазового пространства [16, 19]. Исследуются свойства принципа максимума полученной задачи. Для дифференциально-алгебраической системы с ограничениями на концы траекторий рассматривается вариационная постановка задачи и исследуется принцип максимума для полученной за

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 98 компактного ограничения на управление.

3) Алгоритмизация метода параметризации, ориентированного на решение вырожденных задач оптимального управления и сингулярных задач дифференциальных уравнений.

4) Вычислительный эксперимент, выявляющий практическую эффективность реализованного метода в проблемных задачах.

1. Алексеев В.M., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. - М.: Наука, 1984.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

3. Анрион Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптимальном управлении. пер. с франц., Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979, 208 С.

4. Антоник В.Г., Срочко В.А. Метод проекций в линейно-квадратичных задачах оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т.38. N4. С. 564-572.

5. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.

6. Бояринцев Ю.Е. Алгебро-дифференииальные системы и оптимальное управление. //Методы оптимизации и их приложения: труды 11-ой Байкальской международной школы-семинар. 1998 г. Иркутск. С.60-63.

7. Бояринцев Ю.Е., Данилов В.А., Логинов A.A., Чистяков А.Ф. Численные методы решения сингулярных систем. Новосибирск: Наука, Сиб.отд., 1989. 223С.

8. Будак Б.М., Беркович Е.М., Соловьева Е.П. О сходимости разностных аппроксимаций для задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т.9. N3. С. 522-547.

9. Булатов М.В., Чистяков А.Ф. Решение алгебро-дифференциальных систем методом наименьших квадратов.// Методы оптимизации и их приложения: труды 11-ой Байкальской международной школы-семинар. 1998 г. Иркутск. С.72-75.

10. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

11. Воскресенский Е.В., Черников П.Г. Управляемость численным процессом // Труды Средневолжского математического общества. Т.2. N1. 1999. С.3-17.

12. Рабасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.

13. Рилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.

14. Горбунов В.К. О сведении задач оптимального управления к конечномерным // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1978. Т.18. N5. С. 1083-1095.

15. Горбунов В.К. Метод параметризации задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19. N2. С. 292-303.

16. Горбунов В.К. Снятие фазовых ограничений в задачах оптимального управления. Рукопись 1979.

17. Горбунов В.К. Методы редукции неустойчивых вычислительных задач. Фрунзе: "Илим", 1984. 134С.

18. Горбунов В.К. Метод нормальной сплайн-коллокации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1989. Т.28. N2. С. 212-224.

19. Горбунов В.К. Задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями и особые управления // Дифференциальные уравнения и их приложения: тезисы докладов 1-й междун. научно-практ. конф. С-Пб. 1996. С.58-.

20. Горбунов В.К. Введение в теорию экстремума: Учебное пособие. Ульяновск: Изд-во УлГУ. 1999. 143С.

21. Горбунов В.К. Релаксационно-штрафной метод решения экстремальных задач// Шестая конференция "Обратные и некорректно поставленные задачи", тезисы докл. конф. Москва. МГУ. 2000. С.22.

22. Горбунов В.К. Вариационные методы регуляризации вырожденных дифференциальных уравнений и неравенств // Труды Сред-неволжского математического общества. 2000. Т.З. N1. (в печати).

23. Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Вторые производные параметризованной задачи оптимального управления// Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Выпуск 3 Ульяновск, 1997. С.17-24.

24. Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями и особые управления. // Математическое программирование и приложения: тезисы докладов Х-ой Всероссийской конф. Екатеринбург. 1997. С.70-71.

25. Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Вторые производные параметризованной задачи оптимального управления. // Методы оптимизации и их приложения: труды 11-ой Байкальской международной школы-семинар. 1998 г. Иркутск. Т.4. С.90-93.

26. Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Метод параметризации задач оптимального управления со вторыми производными // Математическое моделирование. Т.10. N12. 1998.

27. Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Сходимость метода параметризации задач оптимального управления с компактным множеством управлений. // Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Выпуск 1(6) Ульяновск. 1999. С.76-83.

28. Горбунов В.К., Петрищев В.В. Метод нормальных сплайнов в вырожденных системах дифференциальных уравнений // Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Выпуск 3 Ульяновск. 1997. С.125-132.

29. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т.5. N3. С. 395-453.

30. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

31. Задорин А.И. Численное решение краевой задачи для системы уравнений с малым параметром. //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т.38. N8. С.1255-1265.

32. Задорин А.И., Игнатьев В.Н. Численное решение квазилинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка. -Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т.31. N1. С.157-161.

33. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Наука, Прогресс, 1975.

34. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

35. Келли Г. Необходимое условие для особых экстремалей, основанное на второй вариации. Ракетная техника и космонавтика. 1964. N8. С.26-29.

36. Копп Р., Мойер Г. Необходимые условия оптимальности особых экстремалей. Ракетная техника и космонавтика. 1965. N8. С.84-91.

37. Костина Е.А., Костюкова О.И. Исследование одной задачи оптимального управления со смешанным критерием качества //

38. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. Т.37. N2. С. 153-161.

39. Костюкова О.И. Оптимизация линейных динамических систем с фазовыми ограничениями. Ин-т математики, АН БССР. 1989. Препринт N23. Минск.

40. Костюкова О.И., Прищепова C.B. Конечный алгоритм решения задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями в дискретные моменты времени // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т.38. N2. С.189-206.

41. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решений задач оптимального управления. -//Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т.2. N6. С.1132-1138.

42. Куликов Г.Ю. Численное решение задачи Коши для системы дифференциально-алгебраических уравнений с помощью неявных методов Рунге-Кутты с нетривиальным предиктором //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т.38. N1. С.68-84.

43. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

44. Лутошкин И.В. Вырожденные задачи оптимального управления. // Тезисы докладов студентов и аспирантов на VI научно-практической конф. Ульяновск. 1997. С.8-10.

45. Лутошкин И.В. Численное решение задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями// Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Выпуск 5 Ульяновск. 1998. С. 85-91.

46. Лутошкин И.В. Метод параметризации задач оптимального управления с фазовыми ограничениями. // Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов: труды междун. научной конф. Ульяновск. 1998. С.26-27.

47. Лутошкин И.В. Вариационные методы решения дифференциально-алгебраических систем. // Математическое моделирование и краевые задачи: труды девятой межвузовской конференции. Самара. 1999. С.82-84.

48. Лутошкин И.В. Метод параметризации в сингулярных задачах дифференциальных уравнений // Труды Средневолжского математического общества. Т.2. N1. 1999. С.98-99.

49. Лутошкин И.В. Решение вырожденных задач оптимального управления и дифференциальных уравнений методом параметризации // Труды Средневолжского математического общества. Т.З. N1. 2000. (в печати).

50. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1971. 424 С.

51. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.

52. Олейников В.А., Зотов Н.С., Пришвин A.M. Основы оптимального pi экстремального управления. Учебн. пос. для ст. вузов. М.: Высшая школа, 1969.

53. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974.

54. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961.

55. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. Гл. ред. физико-математической литературы, М.: Наука, 1975. 280 С.

56. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977.

57. Тятюшкин А.И. Численные методы решения задач оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты. //

58. Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования N 6. Научн. изд. Екатеринбург: УрО РАН, 1996.•59. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука. 1978.

59. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.

60. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980.

61. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1990.

62. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973.

63. Чистяков А.Ф. Системы интегро-дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной главной частью. Рукопись. Иркутск, 2000.

64. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация (в прикладной математике и механике). М.: Эдиториал УРСС, 1999. 224 С.

65. Blok М. Dynamic Models of the Firm. Berlin: Springer, 1996.

66. Hal R. Varian Computational Economics and Finance Modeling and Analysis with Mathematica. Springer. 1996. New-York.