Метод пограничного слоя решения краевых задач для эллиптических уравнений с быстро осциллирующими и сильно изменяющимися коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

. ! -л" у"1'

I'' - I» _ '-У )

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ км. М.В. ЛОМОНОСОВА НИВЦ МГУ

На правах рукошси УДК 517.946

ТАЙМУРАЗОВА Лариса Таймуразовна

МЕТОД ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ И СИЛЬНО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук 01.01.07 - вычислительная математика

Научный руководитель: Доктор физико- математических наук, профессор Панасенко Г.П.

Москва; 1993

г

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики механико-математического факультета Московского

государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Г.П. Панасенко Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В.Кучеренко кандидат $изико-математических наук доцент В.Г.Сушко Ведущая организация: ШНХ им.Губкина.

Защита состоится "¿Г" с^Шь ■М 1994 г. в /Г~час._

на заседании Специализированного С!овета К.053.05.84 при Научно исследовательском вычислительном центре МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу:

119899, Москва, Ленинские горы, НИВЦ МГУ, конференц-зал. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ

Автореферат разослан " Ш. " 199 4

г.

Ученый секретарь специализированного Совета кандидат физико-математических уу^/Т)

наук ''^{Ал^^ М.Н. Киоса.

ь

Актуальность темы. В настоящее время композиционные материалы применяются в широком круге областей науки и техники. С целью получения качественно новых свойств они, как правило, конструируются по признаку контрастности физических характеристик компонентов. В математическом плане процессы в композиционных материалах описываются дифференциальными уравнениями с быстро осциллирующими и сильно изменяющимися коэффициентами. Таким образом, краевые задачи содержат два малых (больших параметра): е - малый параметр, характеризующий отношение периода структуры к размеру задачи и ы г- большой параметр, характеризующий отношение тепло-физических или физико-механических свойств компонентов.

Численное решение краевых задач для таких уравнений существенно затруднено из-за необходимости выбора слишком мелкой сетки и сильного разброса значений коэффициентов. Для •того, чтобы получить микроструктуру полей напряжений или тепловых шлей в композиционном материале в непосредственной близости от границы, необходимо проводить строгие математические построения асимптотик пограничного слоя по двум малым (большим ) параметрам. Такие построения могут быть полезны при изучении, например, процессов разрушения композиционного материала, часто начинающихся от границы или при конструировании композиционных материалов с заранее заданными свойствами.

■'Н

Целью работы является построение и обоснование нового численно - асимптотического метода решения краевых задач в слое и полуплоскости для эллиптических уравнений с быстро осциллирующими и сильно изменяющимися коэффициентами, описывающих приграничные эффекты в сильно неоднородных средах.

Научная новизна. Ранее дифференциальные уравнения с бистро осциллирующими и сильно изменяющимися коэффициентами рассматривались во всем пространстве с условиями периодичности, либо строилось лишь первое приближение, не. описывающее приграничных эффектов. Доказаны теоремы, оценивающие разность частичных сумм асимптотического ряда и точного решения исходной задачи в норме пространства IV*. Построен и обоснован новый численно асимптотический метод решения краевых задач в результате применения которого исходная краевая задача с двумя малыми ( большими ) параметрами сводится к рекуррентной цепочке краевых задач, не содержащих малые ( большие ) параметры.

Методы исследования'. В диссертации используются известные ранее комбинированные асимптотические методы осреднения уравнения,с быстро осциллирующими и сильно - изменяющимися коэффицнентамив пространстве и метод пограничного слоя. . Практическая значимость работы. Полученный алгоритм может быть использован в качестве численно-асимптотического метода решения краевых задач в слое и полуплоскости,- а также для получения микроструктуры' полей напряжения или тепловых ' полей

в сильно неоднородных средах в непосредственной близости от границы композита. Проведенный асимптотический анализ пограничного слоя может оказаться полезен при построении новых расчетных схем решение краевых задач и определении границ применимости как новых, так и " уже известных. Полученные результаты могут быть использованы в МГУ, МИНХГ, ШСИ, ИФХ им.Ландау РАН.

Апробация. Результаты диссертации докладывались в МИСИ, МИНХГ, ИФХ ■ им.Ландау РАН, а также на семинарах кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав й списка, литературы из 23 названий. Общий объем диссертации 181 машинописная стр.

• СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Содержание - диссертации. Во введении показана актуальность работы и дается краткий обзор работ, относящихся к рассматриваемым в диссертации задачам.

Численно-асимптотическое исследование, проводимое в диссертации для решения краевых задач в сильно неоднородных средах на различных этапах использует известные ранее асимптотические и численно-асимптотические методы. Это в первую очередь, метод . осреднения уравнений с быстро

осциллирующими коэффициентами. Один из вариантов метода, предложенный академиком Н.С. Бахваловым, предусматривает поиск решения в виде ряда:

-Е

е" К (Е)ГМге

к >о

где Б у£= ^—77-35-» Функции К (£) зависят только от быстрыз

переменных и параметра ^ ы, ^- решение осредненного уравнения, не зависящее от

Этот метод комбинируется с методом построения пограничного слоя на микроуровне в неоднородных средах, впервые рассмотренным в работах Г.П. Панасенко: функции (!) предлагается искать в виде суммы где

N'(5)- периодическая по и с периодом I, функция

погранслойного характера и периодическая по с периодом I.

На втором этапе решения задачи используется метод осреднения композиционных сред с сильно изменяющимися свойствами компонентов, разработанный проф. Г. П. Панасенко. Асиптотическое разложение N (£) при ь>— ® отыскивается в виде ряда:

-I ,

На третьем этапе происходит исключение быстрых переменных и получение осредненного уравнения бесконечного порядка. Перейдем к краткой формулировке результатов диссертации.

- - • у

В первой главе рассматриваются краевые задачи с граничными условиями Дирихле и Неймана для эллиптического уравнения, коэффициенты которого имеют порядок- ы везде, кроме периодической системы ограниченных областей, где коэффициенты уравнения aiJ имеют порядок единицы. Перейдем к более строгой постановке.

В полосе Ос^сй рассматривается эллиптическое уравнение (1).

fc (I % )-*<*> (D

На границах полосы заданы граничные условия первого рода (2). и(0,х2>^(хг) iKd.x.,)^^) (2)

Функции a. (£,со) терпят разрыв на границе области В и имеют следующую структуру :

fa1. (С) ^В, a'j (сос^ (?) С € П\В, здесь Функции gt(x), gj(x) и f(x) являются

периодическими по хг с периодом Т, поэтому было бы естественным рассматривать задачу (I), (2) в прямоугольнике CM х: 0<xi<d,0<x2<T }. Будем предполагать, что Те-1 и ds~4-натуральные числа. ' На линии разрыва коэффициентов a . ставятся условия сопряжения (3).

(ul=0 (3)

Построено полное асимптотическое разложение решения задачи (1-3), описывающее пограничный слой.

Доказаны теоремы, оценивающие разность частичных сумм и точного решения задачи в норме пространства W^(Q).To есть , существует некоторая константа М , что выполняется

в '

неравенство:

¡и - м^е^'ш1 + е'и1") (4)

В параграфе 2 первой главы, в полосе 0<х1<с1 рассматривается эллиптическое уравнение (1) с теми же коэффициентами, что и в предыдущем параграфе.

На левой границе полосы задано граничное условие второго род (2'), на правой границе задано условие первого рода (2").

05Г|, 0"*(х*} '(2')

и(й,хг)=вг(хг) (2й)

Построено 'полное асимптотическое разложение решения задачи (1-3), описывающее пограничный слой.

Доказаны теоремы, оценивающие разность частичных сумм и точного решения задачи в норме пространства (П).То есть , существует некоторая константа МК1_, что выполняется неравенство (4). В результате исходная задача сведена к цепочке задач, которые могут быть решены численно. Полученный алгоритм может рассматриваться, как численно асимптотический метод решения исходных краевых задач. Следует заметить, что применение стандартных численных методов затруднено из-за необходимости вводить слишком густую сетку и сильного разброса значений коэффициентов.

Во второй главе рассмотрены краевые задачи с условием Дирихле в полуплоскости для однородного эллиптического уравнения (I) с быстро осциллирующими и сильно изменяющимися коэффициентами в слоистой среде. -Рассматривается

двухкомпонентная среда 1° состоящая из слоев переменной ширины.

В $1 исследуется случай, когда жесткие слои с изменяющейся шириной перпендикулярны границе {х1=0>. На границе плоскости задано граничное условие первого рода (2). Функции а.(£,ш) терпят разрыв на границе области В и имеют следующую структуру :

£ .€ В,

Iо*j (?) £ € Q\B, где а. (£)=5„(g). Функции g(x) и f(x) являются периодическими по х2 с периодом Т. На линии разрыва коэффициентов а. заданы условия сопряжения (3).

В f2 этой главы исследуется случай, когда В£ состоит из горизонтальных слоев В. с изменяющейся шириной к не доходящих до границы xt=0, е - периодических по х , кроме интервала (0,е), и s - периодических по х2, В£=.ид.. Граница 3Bi - бесконечно дифференцируемая функция, I-периодическая по xt, при' xt>e. Обозначим g^x./E, i=I,2 - "быстрые переменные", переводят В£(|)вВ(£)-1- периодическую по I область при £ >1. В R* задано однородное эллиптическое уравнение. (1) На границе xt=0 задано ' граничное условие первого рода (2).

Асимптотическое разложение в пространстве решения задачи (1)-(3) совпадает с асимптотическим разложением в пространстве решения предыдущей задачи, когда область В состоит из I - периодических по gt и слоев, выходящих на

ю :

границу полуплоскости К* . При построении пограничного слоя, к обычным требованиям , предъявляемым к пограничным слоям во всех остальных задачах этой диссертации, добавляется еще одно: необходимо будет учитывать внесенное изменение в значения коэффициентов уравнения (1) при С4<1, с целью выделить I - периодическую по ^ и часть асимптотического разложения в.пространстве решения задачи (1)-(3).

Вид осредненной задачи в случае, когда жесткие слои .не доходят до границы совпадает со случаем, когда жесткие слои выходят на границу. Оценка погрешности проводится дословно. В случае слоистой среды коэффициент осредленного уравнения обращается в 0 , проявляется масштабный

эффект. Поэтому в задаче дополнительно появляется дополнительный параметр е/ИГ. Предполагается, что е/ИГ« 1, будем тогда.уе искать в виде ряда (5).

I ■ Ч ■ I к -I /2 _ р /2

к , I ,р > о 1 11 —

Осуществляется замена переменных т)= Х/-/1Г и подставляется в осредненнов уравнение бесконечного порядка. Дальнейшее построение осредненной задачи и оценка погрешности проводятся стандартно.

Доказаны теоремы, оценивающие разность частичных сумм и точного решения задачи в норме пространства УТ*(П). То есть , существует . некоторая константа Мк1_, что выполняется неравенство (4). —

В §3 второй главы исследуется задача Дирихле в

полуплоскости. х4>0 рассматривается эллиптическое уравнение

На границе плоскости задано граничное условие первого рода (2).

Функции К.а терпят разрыв на границе области В и имеют следующую структуру :.

где К.(£)=0 при Область В состоит из вертикальных

слоев постоянной ширины. Функция в(х) является периодической по хг с периодом Т.

В этой в задаче также появляется дополнительный параметр еУ ш . Предполагается, что е/ со « 1, однако при построении осредненной задачи приходится осуществлять другую замену переменных: т]= х^УИТ . Во всех трех задачах этой главы построение пограничных слоев на микроуровне происходит различным образом.

. В главе 3 рассматривается система уравнений теории упругости с периодическими, быстро осциллирующими и сильно изменяющимися коэффициентами в области О г йп , ограниченной гиперповерхностями хп=0 и хп=<1. Перейдем к более строгой постановке задачи.

г»

Пусть В4={х: 2 (х~)г<гг } - открытый шар с радиусом

и(0,хг)=в(х2)

(2)

I < В, С € П\В,

' 12

, 0<г<1/2. Область В образована всевозможными сдвигами Б1 на векторы г=(а ,..гп) с целочисленными компонентами где гп- положительное число. Обозначим через В£ область полученную из В гомотетическим сжатием в е"1 раз, т. е. Ве= Сх: £"4х=? € В). Пусть П= С х:(х,хп), х€Нп~\ 0<х.<1, 0<хп<сП, 0<х.<£, 1=1,...,п>, С= (х: 0<х.<е, 1=1,..;,п-1; 0<хп«1}. Будем всегда предполагать, что &е~1 - натуральное число. В области О рассмотрим следующую задачу для линейной системы уравнений теории упругости:

ь£ш(иш>= эН <1 КГ*- ) = Г(х)

г т *

и^х.О^Чх), и^х.й^х)

и^ - периодична по х1,...хп1 с периодом 1(1-

периодична по х, - матрицы, элементами которых являются а'"(£) суть I - периодические по функции, кусочно

непрерывные в в. Они терпят разрыв на границе области В,

предположим, что ГеСот(1Г), ФЧС^Ш""1), И и Ф" .являются 1 периодическими го . х, £=(Г ,...Г )*, Ф*=(Ф\...Ф')*,

* П 1 п

причем (т4,...тп)* обозначает столбец с компонентами На линии разрыва коэффициентов

ставятся условия сопряженияг . —

Здесь оеш(иеш)=л;т-^-у, где - единичный

вектор нормали к <ЭВ, внутренний то отношению к В. Будем также предполагать, что коэффициенты ) удовлетворяют, условиям, принятым в теории упругости,-

^(^сГ.^сГ.Ю,

и для любого и любой симметричной (п*п) матрицы т]=Ст^} где ^ и эег - положительные постоянные.

Для- любых'- целых К и Ъ решение задачи и£ш(х) будет представлено в виде:

I. К к I

I > О (а . . .

К-4 1-1.

Доказана близость' частичной суммы ряда и1"* к точному решению, то есть , существует некоторая константа Мкь, что выполняется неравенство:

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Г. П. Панзсенко за большую помощь и внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Таймуразова Л.Т. Метод пограничного слоя для краевой задачи для эллиптического уравнения с быстро осциллирующими и сильно изменяющимися коэффициентами.- Вестник МГУ. Сер. Выч. матем. и киберн., 1991, Х6, с.79-83.

2. Таймуразова Л.Т. Асимптотический анализ пограничного слоя в краевой задаче для эллиптического уравнения с быстро осциллирующими и сильно изменяющимися коэффициентами.- Деп. В ВИНИТИ *2776-В93,.1Э93, 42 с.

3. Таймуразова Л.Т. Асимптотический анализ пограничного слоя в краевой задаче для однородного эллиптического уравнения с быстро осциллирующими и сильно изменяющимися коэффициентами в полуплоскости.- Деп. в ВИНИТИ Л2777-В93, 1993, 49 с.

4. Таймуразова Л.Т. Асимптотический анализ пограничного слоя в краевой задаче для линейной системы уравнений теории-упругости. с быстро осциллирующими и сильно изменяющимися . коэффициентами. - Деп. в ВИНИТИ *2737-В93, 1993, 31 с.

Подписано в печать Ю. 93 Заказ 164А Тираж $0 тп^

Типография 1№И, Каширское шоссе, 31