Осреднение нестационарных уравнений с сильно изменяющимися коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Общие принципы построения асимптотических разложений решений уравнений с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами

§1.1. Алгоритм построения асимптотических разложений решений эллиптических уравнений

§1.2. Эллиптические уравнения дивергентного вида произвольного порядка 5-

§1.3. Примеры

Глава 2. Осреднение параболических уравнений с сильно изменяющимися коэффициентами

§2.1. Постановка задачи. Теоремы об оценках

§2.2. Вспомогательные леммы

§2.3. Доказательство теорем 2.1-2.

§2.4. Доказательство следствий 2.1-2.

Глава 3. Осреднение системы уравнений теории упругости с сильно изменяющимися коэффициентами

§3.1. Постановка задачи. Теоремы об оценках

§ 3.2. Вспомогательные леммы

§3.3. Построение начальных членов асимптотики

§ 3.4. Доказательство теорем 3.1-3.

Глава 4. Осреднение нестационарной системы Стокса в перфорированной области

§4.1. Постановка задачи. Теоремы о сходимости решений

§4.2. Вспомогательные леммы

§ 4.3. Доказательство теорем 4.1-4.

Глава 5. Осреднение системы уравнений акустики в перфорированной области

§5.1. Постановка задачи. Теоремы о сходимости решений

§5.2. Вспомогательные леммы

§ 5.3. Доказательство теорем 5.1 - 5.

Настоящая работа посвящена математическому исследованию дифференциальных уравнений в частных производных с сильно изменяющимися быстр о осциллирующими коэффициентами. Такие уравнения описывают разнообразные физические процессы в микронеоднородных средах. Под такими средами обычно понимают среды, состоящие из многократно чередующихся объемов веществ с сильно различающимися физическими свойствами. Примером таких сред могут служить композиционные материалы, используемые в различных областях науки и техники. При математическом описании микронеоднородных сред, как правило, предполагается наличие у таких сред некоторой упорядоченной структуры. Предполагается также, что масштаб неоднородности среды, имеет малый порядок по сравнению с характерным размером области, занимаемой рассматриваемой средой.

Коэффициенты исследуемых уравнений задаются функциями вида а(х/е), описывающими локальные характеристики микронеоднородных сред. В соответствии с предположениями об упорядоченности функция а (у) может быть периодической, квазипериодической или принадлежать другому определенному классу. При малом е такие коэффициенты являются быстр о осциллирующими, что чрезвычайно усложняет практический расчет характеристик микронеоднородных сред. По этой причине возникает естественная математическая задача исследования асимптотических по е свойств решений таких уравнений.

За последние четверть века такой асимптотический анализ был проведен для определенных классов эллиптических уравнений в частных производных и соответствующих нестационарных аналогов таких уравнений. Оказалось, что для рассмотренных классов решения подходящих краевых задач для уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами сходятся в соответствующем пространстве при е —> О к решению однозначно определенной краевой задачи для уравнения с постоянными коэффициентами. Такие уравнения с постоянными коэффициентами описывают "осредненные" или "эффективные" свойства микронеоднородной среды и поэтому называются осредненными или усредненными уравнениями.

Наиболее полные результаты в этом направлении получены для линейных уравнений и систем дивергентного вида с периодическими бы-строосциллирующими коэффициентами. Для таких уравнений второго порядка были построены асимптотические по е разложения решений и доказаны оценки близости между точным решением и полученным разложением. Главным слагаемым этого разложения являлось решение осредненного уравнения. Построение нескольких слагаемых такого разложения позволяет определить не только осредненные характеристики, но и микроструктуру полей в микронеоднородной среде (например, полей напряжений или тепловых полей в композиционном материале). Это дает более полное представление о физических процессах, протекающих в микронеоднородных средах.

Вопрос о вычислении осредненных характеристик для уравнений в частных производных имеет давнюю историю и ставился еще в классических работах Пуассона, Максвелла, Рэлея, Фойгта, Рейсса. Аналогичный вопрос для обыкновенных дифференциальных уравнений ассоциируется с: методами нелинейной механики, развитыми в трудах Пуанкаре, Ван дер Поля, Крылова, Боголюбова, Митропольского и многих других исследователей. Первые строгие математические результаты для линейных уравнений в частных производных второго порядка дивергентного вида c: периодическими быстроосциллирующими коэффициентами были получены в работах [4,5,102,103,111].

В работах Н. С. Бахвалова [4,5] получены начальные члены асимптотических разложений и доказаны соответствующие оценки для эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида и их нестационарных аналогов - уравнений параболического и гиперболического типа. Результаты этих работ обобщены и систематизированы в книге Н. С. Бахвалова и Г. П. Панасенко [9]. Аналогичным вопросам для таких уравнений посвящены также работы А. Бенсуссана, Ж.-Л. Ли-онса и Г. Папаниколау [102,103], развернутое изложение этих работ и соответствующие обобщения приведены в книгах [104] и [129].

В отличии от работ [4,5], в которых при обосновании полученных разложений доказываются оценки разности между точным решением рассматриваемого уравнения и полученным разложением, в работах [102,103] доказывается только сходимость в соответствующем пространстве точного решения к главному слагаемому разложения - решению осредненного уравнения. В этом отношении результаты работ [4,5] "точнее" результатов работ [102,103]. С другой стороны, при доказательстве только сходимости требуются более слабые условия регулярности начальных данных для рассматриваемого уравнения. Кроме того, результаты о сходимости были обобщены в книгах [104], [129] и на другие классы задач с быстр о осциллирующими коэффициентами (вариационные неравенства, некоторые нелинейные уравнения), соответствующие оценки для которых пока не получены.

Методы построения асимптотических разложений для некоторых задач механики микронеоднородных сред были предложены также в работах В. Л. Бердичевского [21] и Э. Санчес-Паленсии [145] и развиты далее в книгах [22] и [78]. В книге [78] приводятся также и некоторые утверждения о сходимости решений соответствующих уравнений.

Впервые доказательство теоремы о сходршости решений уравнения второго порядка с периодическими быстр о осциллирующими коэффициентами, основанное на теории С-сходимости дифференциальных операторов в частных производных, было дано в работе Е. Де Джорджи и С. Спаньоло [111]. Общие результаты по С-сходимости дифференциальных операторов произвольного порядка дивергентного вида и второго порядка недивергентного вида получены в работах [36,38-40] и приведены в книге В. В. Жикова, С. М. Козлова и О. А. Олейник [37]. Для системы уравнений теории упругости такие результаты представлены в книге О. А. Олейник, Г. А. Иосифьяна. и А. С. Шамаева [54]. В этих книгах приведены также доказательства соответствующих оценок точности для: уравнений и систем второго порядка с периодическими быстроосщшлирующими коэффищиентами и рассмотрены некоторые спектральные задачи для таких уравнений.

Большинство отмеченных выше результатов получено для линейных уравнений и систем. Эти результаты нашли эффективное применение в механике композиционных материалов (см., например, [9,32,48,58]). Методы построения асимптотических разложений для некоторых нелинейных уравнений и систем предложены в работах [6,8,9,22,57,78]. Доказательство утверждений о сходимости решений таких уравнений, основанное на теории Г-сходимости для вариационных задач и теории двухмасштабной сходимости, даны в [37,104-106,151]. Однако, эти общие теории сходимости, развитые в работах [37,93,94,96,137,151], применимы пока для доказательства сходимости решений достаточно узкого класса нелинейных уравнений в частных производных.

Вопросы вычисления осредненных характеристик для систем уравнений гидродинамики микронеоднородных сред с периодической структурой рассматривались в работах [7,11-14,112-115,123-126]. Аналогичным вопросам для стационарных задач фильтрации в периодических пористых средах посвящены работы [29,34,88,91,120,131,134,141]. Нестационарные задачи фильтрации в пористых средах рассматривались в работах [17,72,74,86,87,92,13-5,136,148,149]. Основным результатом этих работ является математический вывод и обоснование закона Дарси, экспериментально полученного и широко используемого в теории фильтрации. На квазипериодические и случайные пористые среды этот результат обобщен в работах [20,100,101,143,144].

В работах [62-64,95,107-110,132,138-140,146] получены осредненные уравнения для систем уравнений гидродинамики суспензий и смесей жидкостей. Аналогичные уравнения для задач с малым объемом включений выведены в работах [89,90,127,147]. Первые математические результаты для задач с малым объемом включений представлены в книге В. А. Марченко и Е. Я. Хруслова [52]. Для системы уравнений теории упругости с периодическими коэффициентами и малой концентрацией одной из фаз аналогичные результаты получены в работах Н. С. Бах-валова, Г. П. Панасенко и М. Э. Эглит [10,16,18,19,98,99].

Начальные члены асимптотических разложений решений различных задач гидродинамики построены в книге Э. Санчес-Паленсии [78]. В этой же книге отмечено, что много вопросов в этой области остаются открытыми, в частности, сходимость решений таких задач и влияние дополнительных малых параметров, характеризующих различные физические величины (например, плотность и вязкость), на сходимость решений и вид осредненных уравнений. Аналогичные вопросы о влиянии дополнительных малых параметров на вид осредненных уравнений для задач диффузии и упругости ставились в книге Н. С. Бахвалова и Г. П. Панасенко [9]. Таким образом возникают естественные математические задачи исследования асимптотических по нескольким малым параметрам свойств решений таких уравнений и систем. Общие строго математические результаты в этом направлении практически отсутствовали и таким задачам диффузии, упругости и гидродинамики с несколькими малыми параметрами посвящена настоящая работа.

Проблема математического исследования асимптотического поведения решений некоторой задачи с малыми параметрами обычно разбивается условно на две части: построение формального асимптотического разложения и обоснование этого построенного разложения. В § 1.1 первой главы данной работы описаны общие принципы построения формальных асимптотических разложений решений эллиптических уравнений с периодическими быстр о осциллирующими коэффициентами. Эти принципы позволяют глубже понять общую картину получения осред-ненных уравнений и полезны при рассмотрении конкретных примеров. Для уравнений дивергентного вида произвольного порядка и для некоторых уравнений недивергентного вида построенные в §1.1 асимптотические разложения обосновываются в § 1.2 и § 1.3 первой главы.

Сформулированные в этой главе общие принципы использовались и для построения начальных слагаемых асимптотических разложений решений уравнений диффузии, упругости и гидродинамики с несколькими малыми параметрами. Теоремы, обосновывающие эти построения, доказаны в главах 2-5 настоящей работы. Следует также отметить, что все известные до сих пор примеры построения асимптотических разложений решений линейных эллиптических уравнений с периодическими быстр о осциллирующими коэффициентами охватываются приведенным в §1.1 алгоритмом и обоснование этих построений можно перенести, например, из работ [9,37,54,78,104,129].

В частном случае оператора сдвига, рассматриваемого как псевдодифференциальный оператор, предложенный в §1.1 алгоритм построения асимптотических разложений приводит к разложению Тейлора гладких функций. Кроме того, ограничение этого алгоритма построения асимптотических разложений на обыкновенные дифференциальные уравнения с периодическими возмущениями совпадает с методом Крылова, Боголюбова и Митропольского. Теоремы, обосновывающие этот метод, достаточно хорошо известны и приведены, например, в работах [26,81].

Алгоритм построения начальных членов асимптотического разложения решений уравнения с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами хорошо известен для следующего примера.

Пусть для гг > 2 заданы ограниченная область О С 1" с гладкой (класса С°°) границей и гладкая функция / Е Определим функцию и как решение задачи Дирихле для уравнения дивергентного вида второго порядка: д,г (а%к дк и) = / в П, и = 0 на дП, (0.1) зависящей от малого положительного параметра £ следующим образом.

Для 1г, к = 1,., п коэффициенты этого уравнения имеют вид а\к = а]1к{х/е)1 где анк{у) являются 1-периодическими ограниченными (почти всюду) функциями на КЛ Здесь и далее дк обозначают соответствующие частные производные по хк, 1-периодичность функции означает периодичность этой функции с периодом 1 по каждому к — 1,., п, и принято соглашение о суммировании по повторяющимся индексам /г и к от 1 до п. Предполагается также, что для коэффициентов уравнения (0.1) выполнены условия симметрии анк{у) = ^кк{у) и равномерной эллиптичности:

Со Ы/г ^ акк(у)^к <: С1 аа для У е У и £„) е м?г, (0.2) где со и с\ заданные положительные постоянные и У" — (0,1)п обозначает ячейку периодичности.

Пусть для р = 1 функции Мр(у) являются 1-периодическими решениями уравнений:

9 Ы(у) Яр(у))= 4-аьр(у) в к (°-3) дун ' дук дун которые принято называть задачами на ячейке. Определим для = 1,., п постоянные адр равенствами а

I? с) (' с) адр + аф Nр ) ее у (аЧР{у) + ачк(у) Атр{у)) с1у. (0.4)

Известно [9,104], что постоянные адр образуют положительно определенную матрицу и поэтому однозначно определено решение v задачи Дирихле для осредненного уравнения с постоянными коэффициентами: дн (о'ккдку) = / в (], г» = 0 на Ш. (0.5)

Основным результатом работ [9,37,54,78,104,129] для задачи (0.1) при малых е являются оценки и — v 2

Ь2Се, и-щ Се, (0.6) где постоянная С не зависит от £ и = V + £ Мк(х/е) дку обозначает два слагаемых асимптотического разложения решения задачи (0.1). Можно построить и следующие слагаемые этого разложения, но это не улучшает оценки (0.6), что связано с краевыми эффектами в задаче (0.1) вблизи границы дП.

Таким образом, решение задачи (0.1) для уравнения с быстроосцил-лирующими коэффициентами достаточно хорошо приближается при малых £ решением задачи (0.5) для уравнения с постоянными коэффициентами. Однако, возникли определенные трудности при обобщении методов построения и обоснования асимптотических разложений решений задачи (0.1) на задачу Дирихле для уравнения второго порядка: дн (аНк(х/е)дки) + е~1ак(х/е) дк и + £~2а0(х/£)и =

0.7) / в П, и — 0 на сЮ.

Частные случаи задачи (0.7) для 1-периодических функций анк{у), ак{у)т(1о{у) при /г, к = 1,., п рассматривались в работах [40,59,104,129]. В этих же работах ставился вопрос об исследовании асимптотических свойств решений задачи (0.7) в общем случае. Формулируемые в §1.1 первой главы общие принципы построения асимптотических разложений проясняют причины возникновения этих трудностей и дают возможность построит асимптотику решений задачи (0.7). Конкретные примеры построения и обоснования таких асимптотических разложений приведены в § 1.3 первой главы.

В §1.1 настоящей работы рассматриваются аналоги: задач (0.1) и (0.7) для дифференциальных операторов произвольного порядка с эллиптической главной частью и периодическими быстр о осциллирующими коэффициентами. Конкретный вид таких задач определяется следующим образом.

Пусть для п ^ 2 заданы четное целое га > 0, ограниченная область О с Мп с гладкой (класса С°°) границей и гладкая финитная функция ./ в Со°(П). Будем обозначать через а = (аг,., ап) мультииндексы с целочисленными неотрицательными компонентами с |а;| = ^как и = . Д««, где Ик = Г1 дк для к = 1,., п и г = Определим функцию и как решение задачи Дирихле для дифференциального уравнения в частных производных порядка т:

Р£(х/е, Дс) и{х) = а(х/е)/(х) в О, д'1и(х) = 0 на сЮ,

Р£{х/е,Ох)и{х) = гГт ]Г еааа{х/е)В^и(х), (°-8) где е является малым положительным параметром, 5 = 0,., т/2 — 1, £а £|а| и ^ обозначает производную по нормали к границе дО,.

Для каждого а с |а-| ^ т коэффициенты аа(у) и а (у) уравнения (0.1) являются гладкими 1-периодическими функциями класса С°°(Ете). Предполагается, что для главной части дифференциального оператора Ре задачи (0.8) выполнено условие эллиптичности: для 7/еГг И (еГ\о, а | = т где = . для ( = ((ь.,(п) £ Предполагается также, что для достаточно малого фиксированного £ однозначно определенное решение задачи (0.8) существует и принадлежит пространству Соболева

Асимптотическое разложение решения задачи (0.8) определяется в § 1.1 в виде асимптотической суммы: I = (0-Ю) о Ш где р и I обозначают целые числа с I ^ 0 и является некоторым конечным множеством мультииндексов.

Для определения составляющих этой асимптотической суммы используется следующее разложение оператора Р£(х/£,ПХ) задачи (0.8): I

Ре »'„ = е" ]Г г' ^ Ре ( А'3 (х/е) !>■)) = Ш (0.11) = £Р~тЕ ^ Е (Е£0 [Р"(у>*>*)щм Ш 101 <т при у = х/е, где учтена обобщенная формула Лейбница и через Р13 = Р^(у,Оу) обозначен дифференциальный оператор порядка га — |/3|, соответствующий символу = д^ рг (х/е, £) при е = 1 и ( Е 1".

Функции и'да(х) и 1-периодические функции Ат^(у) в разложении (0.10) естественно выбрать так чтобы уравнение

Ре(х/е,Вх)и1р(х) = а(х/£)/(х) в О (0.12) выполнялось с наибольшей точностью по малому параметру г.

В простейшем случае обратимости оператора Р(у,Пу), рассматриваемого как дифференциальный оператор на 1-периодических функциях, для выполнения (0.12) достаточно выбрать р = га и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях е к нулю. Тогда, в соответствии с (0.11), получаем равенства

X] [Р(у,П,)Ж°о(у)]и^(х) = а(у)Дх), Ш (0.13)

ЕКМ«?м + Е Е= о,

Для выполнения первого из этих равенств достаточно выбрать (А)} = {0}, и®(х) — I'('■'') и определить гладкую функцию (у) как 1-периодичес:кое решение уравнения

Р(у,Ву)Н*(у) = а(у), (0.14) которое естественно назвать задачей на ячейке. Для выполнения второго равенства из (0.13) достаточно выбрать {[5{} = {/3 = ((3\,., /Зп) : |/3| = 1}, г/¡'! (./•) — 1:(х)/р|! и определить для каждого (3 Е {А} гладкую функцию Мр(у) как 1-периодическое решение уравнения

Р(у,Оу)Щ(у) = -Р^Щу). (0.15)

Аналогично определяются другие составляющие разложения (0.10) и построение завершается индукцией по 5.

Таким образом, построенное асимптотическое разложение и1р = етМ$(х/е) /(*) + X] Щ(Ф) ¡>1 /М//Я + • • • (0.16)

3|=1 удовлетворяет граничным условиям из (0.8) и удовлетворяет уравнению (0.12) с точностью до 0(ег+1), где О(-) вычисляется, например, в норме пространства С0(О).

В общем случае оператор Р(у,Пу), рассматриваемый на 1-периоди-ческих функциях, является фредгольмовым и приведенное построение разложения (0.10) несколько усложняется. Прежде всего, в качестве 1-периодических функций Що{у) из (0.10) следует выбрать образующие ядра оператора Р(?/,1)у). Тогда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £ в (0.12) к нулю, получаем осредненные уравнения с постоянными коэффициентами для функций и^°(х) из условий разрешимости соответствующих задач на ячейках (типа задач (0.14) и (0.15)). Дальнейшим подробностям этих построений и посвящен § 1.1.

В § 1.2 алгоритм построения асимптотических разложений из § 1.1 применен к эллиптическим уравнениям дивергентного вида с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами. Для построенного асимптотического разложения доказаны оценки точности, аналогичные оценкам (0.6). Для точной формулировки этих оценок понадобятся некоторые дополнительные обозначения.

Для заданного целого г > 0 определим функцию и как решение задачи Дирихле для дифференциального уравнения в частных производных дивергентного вида порядка 2г :

У^ (аау(х/е) и(х)) = а(х/е)/(х) в О, М,М=г (0.17) д'1и(х) = 0 на дП для 5 = 0,., г — 1, где £ является малым положительным параметром и использованы обозначения, введенные для задачи (0.8). Предполагается, что коэффициенты аау(у) и а (у) уравнения (0.17) являются 1-периодическими функциями класса С°°(МП). Предполагается также, что для дифференциального оператора Р£ задачи (0.17) выполнено условие эллиптичности: Е ^ со IС Г для У е ег и е е г\ (0л8) где со заданная положительная постоянная.

Пусть функции Атв(у) являются 1-периодическими решениями уравнений:

Р{у,Оу)Щ(у) = -]Г Ща^{у) при Щ т, где через Р(у)Ву) обозначен оператор Р£ задачи (0.17) при е = 1. Определим для мультииндексов а и (3 постоянные Аар равенствами

Аар = {с1а(3 + ^ аахВуЩ) при |а| = Щ = т.

X =г

Известно [37,104], что постоянные Аар удовлетворяют условию эллиптичности (0.18) и поэтому однозначно определено достаточно гладкое решение V задачи Дирихле для осредненного уравнения с постоянными коэффициентами:

А^Д^ф) = <«>/М в П, \<*Ш\=г (0.19) д'1 у(х) = 0 на сЮ для в — 0,., г — 1.

Решение этой задачи определяет главное слагаемое разложения (0.10) для решения задачи (0.17). В § 1.2 построены и дальнейшие слагаемые разложения (0.10), что позволило доказать следующее утверждение.

Теорема 1.1. Пусть и является решением задачи (0.17) и V -решение задачи (0.19). Тогда а — V

2 < С г где постоянная С не зависит от е.

Задача (0.17) рассматривалась в работах [37,38,104]. В этих работах доказана сильная сходимость при £ —» 0 решения задачи (0.17) к решению задачи (0.19) в пространстве £2(П). Таким образом, оценка теоремы 1.1 уточняет результаты этих работ, гарантируя соответствующую скорость сходимости при е —> 0. Оценки такого типа являются существенными при численном нахождении решений задачи (0.17).

В §1.3 алгоритм построения асимптотических разложений из §1.1 применен к некоторым модельным эллиптическим уравнениям с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами. Для построенных асимптотических разложений доказаны оценки точности, обосновывающие эти разложения.

Пусть для п = 2 функция и является решением задачи Дирихле для уравнения второго порядка: где Д обозначает оператор Лапласа и использованы обозначения, введенные для задачи (0.8). Предполагается, что для к = 0,1,2 коэффициенты а к (у) и а (у) уравнения (0.20) являются 1-периодическими функциями класса С°°(М.2), удовлетворяющими условиям: где с0 заданная положительная постоянная. Таким образом, задача (0.20) является частным случаем задачи (0.7).

Асимптотическое разложение решения задачи (0.20) определяется равенством (0.16). В этом равенстве, например, функция ^(у) определяется как 1-периодические решение уравнения

В силу предположения (0.21) достаточно гладкое решение ^(у) этого уравнения определено однозначно. В §1.3 построены дальнейшие слагаемые разложения (0.10) и доказано следующее утверждение.

Теорема 1.2. Пусть и является решением задачи (0.20) и выполнены неравенства (0.21). Тогда где постоянная С не зависит от е.

Пусть для п = 2 функция и является решением задачи Дирихле для уравнения второго порядка: Аи + е 1ак(х/е)дки + г 2ао(х/£)и = = а{х/е)$ в О, м = 0 на дО,,

0.20) дУкак(у) ^ г0 п с0 < а0(у) для у £ М2

0.21) ак{у)дУк№0(у) + а0{у)№0(у) = а (у). А и + £ 1Ьо{х/£)и = а(.т/е)/ в О, и = 0 на <90,

0.22) где использованы обозначения, введенные для задачи (0.8). Предполагается, что коэффициент Ьо(у) уравнения (0.22) является 1-перио-дической функцией класса С'°°(М.2), удовлетворяющей условию: где с0 заданная положительная постоянная.

В § 1.3 построено разложение (0.10) для решения задачи (0.22) и доказано следующее утверждение.

Теорема 1.3. Пусть и является решением задачи (0.22) и выполнено неравенство (0.23). Тогда где постоянная С не зависит от е.

Задача (0.22) рассматривалась в работе [104] при условии, что (Ьо) — 0. В этой работе доказана сильная сходимость в Ь2(0,) при £ 0 решения задачи (0.22) к решению однородной задачи Дирихле для осредненного уравнения второго порядка. В этой же работе отмечено предположение о невозможности получения осредненного уравнения второго порядка для задачи (0.22) в случае (Ьо ) ф 0. Таким образом, оценка теоремы 1.3 подтверждает это предположение, поскольку в условиях этой теоремы (Ьо) ф 0 и осредненное уравнение для задачи (0.22) имеет нулевой порядок.

В § 1.3 построено разложение (0.10) и для недивергентных уравнений второго порядка. Определим для п ^ 2 функцию и как решение задачи Дирихле для уравнения второго порядка: где использованы обозначения, введенные для задачи (0.8). Предполагается, что для /¿, к = 1,., п коэффициенты аьк(у) и а (у) уравнения (0.24) являются 1-периодическими функциями класса С°°(МП), удовлетворяющими условию эллиптичности (0.2).

Пусть функция М(у) является 1-периодическим решением уравнения со ^ Ь0(у) для у 6 М2,

0.23) и - е (а) (Ьо) V |7™ ^ С £, акк(х/£)дкдки = а(х/£) / в П, и — 0 на

0.24) дУАнЫ(у)М(у)) = 0.

Известно [37], [104], что решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям (М) — 1 и М > 0, определено однозначно. Следовательно, однозначно определено достаточно гладкое решение V задачи Дирихле для осредненного уравнения с постоянными коэффициентами: а,1кМ)дкдку{х) = (аМ)Цх) в О, г> = 0 на 50. (0'25)

Решение этой задачи определяет главное слагаемое разложения (0.10) для решения задачи (0.24). В § 1.3 построены и дальнейшие слагаемые разложения (0.10), что позволило доказать следующее утверждение.

Теорема 1.4. Пусть и является решением задачи (0.24) и у -решение задачи (0.25). Тогда и — v < С р

С°(Г2) ^ ^ с' где постоянная С не зависит от е.

Задача (0.24) рассматривалась в работах [37,39,104,129]. В этих работах доказана сильная сходимость при £ —0 решения задачи (0.24) к решению задачи (0.25) в пространстве 1/2(0). Таким образом, оценка теоремы 1.4 уточняет результаты этих работ, гарантируя соответствующую скорость сходимости при е —> 0.

В § 1.3 построено разложение (0.10) и для эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами. Определим для п ^ 2 функцию и как решение задачи Дирихле для уравнения с постоянными коэффициентами порядка та:

Р ап0^и(х) — а{х/£)${х) в О, Н<т (0.26) д*и(х) = 0 на 50 для 5 = 0,., т/2 — 1, где использованы обозначения, введенные для задачи (0.8), и а(у) является 1-периодической функцией класса С00(М.П). Предполагается, что для главной части дифференциального оператора Р£ задачи (0.26) выполнено условие эллиптичности (0.9). Предполагается также, что однозначно определенное решение задачи (0.26) существует и удовлетворяет неравенству

Нт(П) ^ ^ II а/ ||/,2(Г2) с постоянной С не зависящей от е.

В рассматриваемом случае однозначно определено достаточно гладкое решение v задачи Дирихле для осредненного уравнения с постоянными коэффициентами: anD*v(x) = (a)f(x) в П. Н<т (0.27) d'lv(x) =0 на дй для s = 0,., т/2 — 1, и в § 1.3 доказано следующее утверждение.

Теорема 1.5. Пусть и является решением задачи (0.26) и v -решение задачи (0.27). Тогда

IIй - У\\1цп) < где постоянная С не зависит от е.

Приведенная оценка теоремы 1.5 подтверждает естественность построения асимптотических разложений (0.10). В соответствии с (0.27) для получения осредненной задачи для эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами следует вычислить среднее от правой части этого уравнения по "быстр о осциллирующим" переменным. Простейшим одномерным эллиптическим оператором является оператор дифференцирования и приведенный рецепт приводит к "усредненной" задаче метода Боголюбова-Митропольского для такого оператора с периодическими возмущениями.

Во второй главе рассматриваются нестационарные параболические уравнения с коэффициентами, зависящими от двух малых положительных параметров е и о. Параметр мелкомасштабности е задает период коэффициентов таких уравнений, а параметр контрастности о характеризует отношение минимального и максимального значений коэффициентов проводимости. Начально-краевые задачи для этих уравнений моделирует диффузию в среде с включениями, имеющими малую проводимость и расположенными периодическим образом с периодом е.

Предполагается, что при е —> 0 выполнены соотношение о —> 0 и одно i из следующих трех условии: g¡¿2 оо, (0.28) aje2 tf, (0.29) и/е1 0, (0.30) где д заданная положительная постоянная.

Пусть для п > 2 заданы ограниченная область О С с, гладкой (класса С°°) границей, положительное Т, финитные в О и гладкие функции /, д Е С'о° ([О, Т] х О) и ги Е (О). Определим функцию и как решение начально-краевой задачи: т£и[ - сНу Аа£ (Ум + а£и + Ьед) + = ге/ в П х (О, Т), и = 0 на <90 х (О,Т), и|г=0 = ад в О, зависящей от двух малых положительных параметров е и а, следующим образом.

Пусть Р1 является 1-периодическим открытым связным подмножеством Мп с границей класса С'2, Ро = КП\Р1 является (не обязательно связным) множеством с границей класса С2 и Р£ = еР\ — {ех, х = (х\,., хп) Е }. Здесь и далее 1-периодичность множества означает периодичность характеристической функции этого множества с периодом 1 по каждому хь, к = 1,., п. Таким образом, К = (0,1)п является ячейкой периодичности и множества РьРо вполне определяются множествами У] — У ПР\ и Уо = У ПРо- Предполагается, что эти множества имеют положительные меры Лебега в К'1. Кроме того, отождествляя противоположные грани У, множества У) и У0 можно также рассматривать как подмногообразия тора с обшей границей (класса С2): дУ\ = дУо ее 5.

Матричнозначная функция Асе и вектор-функция 1С в (0.31) зависят от е и а:

А% = Аг {х¡£), кае = к\ (х/е) в Щ = О П Г£, А* = сгЛо (х/£), ка£ = (.т/г) в По — ^•

Предполагается, что компоненты матричнозначных функций А\(у), А0(у) и вектор-функций к\(у), ко (у) являются 1-периодическими ограниченными функциями на Р\ и Р0 соответственно. Кроме того, А\ (у) и Ао(у) симметричны и равномерно эллиптичны: а\£\2 < (А1(у)^,0 < /Ш2, < 7 Для у Е У1 и £ Е Г\ а|£|2 < (Ао(у)^О < /?|£|2, М?/)1 ^ 7 Для у Е У0 и £ Е где а,/3 и 7 заданные положительные постоянные и (•, •) обозначает скалярное произведение векторов из Мп. Функции те, гЕ и вектор-функции ае и Ь£ в (0.31) зависят от е: где т3(у),г8(у) и компоненты а<,.(?/), Ья(у) являются 1-периодическими ограниченными функциями на для я = 0,1. Кроме того, т^у) и то (у) отделены от нуля.

Основные результаты второй главы составляют теоремы о предельном поведении решений задачи (0.31) при £ —у 0 в предположении, что выполнены соотношение и —> 0 и одно из условий (0.28)-(0.30). Для точной формулировки этих теорем понадобятся некоторые дополнительные обозначения.

Пусть вектор-функция является 1-периодическим решением задачи Неймана на У[: где V внешняя нормаль к границе Определим матрицу А с постоянными компонентами равенством

Известно [9], [37], что матрица А положительно определена и удовлетворяет неравенствам (0.32) с теми же постоянными а и /3.

Пусть функции Ма(у),Щ(у) являются 1-периодическими решениями задач Неймана на У|: га£ — т8(х/г), г£ = г8(х/е) в Г^, а £ = а8(х/е), Ье = Ь^х/е) в О^

- с\1уу(А^уМг) = сНуу Аг в У1 ~(А1ЧуНиу)^(Аир) на 5, сНуу(А1УуЛУ = сИу у(А1а1) в Уь -(АгЧуМ^и) = (Аха^р) на 5, сНу?,(А1УуЛу = с\1Уу(А1Ь1) в Уь -(/ЦУ^,!/) - (АуЬиу) на 5.

Введем обозначения

М = (m0)o + {mi} 1 = / т0 dy + /

J У о JY.1 т1 Ф/;

1 1 а = А~1(А1а1+А1Чу^)1, Ь = А'1 {АгЬ, + АгУуМь) К = (Ь + ЬЧуЩ^ ка = (к^уЫа)^ кь = {к^уЩ)^ Л - (г0)о + (п),.

Определим функцию V как решение начально-краевой задачи для осред-ненного уравнения с постоянными коэффициентами:

Му[ - сНу A{Vv + ау + Ьд) + + кау+ кьд = 11/ в 0х(0,т), (0.33) г; = 0 на Ш х (0,Т), у\г=0 = ии в О.

Теорема 2.1. Пусть выполнено условие (0.28). Предположим, что и является решением задачи (0.31) и V - решение задачи (0.33). Тогда max о <t<T и — v 2

Ь2(П) C(£ + a + £2/a), где постоянная С не зависит от £ па.

Пусть функции Q(t,y) и P(t, у) являются 1-периодичес:кими решениями начально-краевых задач на Уо: m0 Q't - ti clivy{A0Vy Q) = 0 в Y0 x (0, oo), Q = 0 на Y\ x (0, oo), Q\t=Q = 1 в Y0, m0Pft-d divy(AoVyP) =0 в У0х(0,оо), P = 0 на У'1 x (0, oo), p\t=Q = ra/mo B

Введем обозначения

Мг = (mi>1} M0(i) = {mo.Q't >0, = Я&Ф), Ri = Ых, ДоМ = КР/)о, Pe = P(t1x/e)1 здесь, например, продолжена как 1-периодическая функция на Мп, тогда <2е обозначает ограничение этого продолжения при у = х/е на П) и определим функцию у как решение начально-краевой задачи для осредненного уравнения:

М{у[ - Мо * {и[) - сИу 4- ау + Ъд) + К^у + кау+ kьg = Rlf-R^f в Пх(0,Т), (0.34)

V = 0 на ¿Юх(0,Т), у\1=0 = ги в П, где * обозначает свертку по Ь.

Теорема 2.2. Пусть выполнено условие (0.29), /, д £ Со°((0,Т) х Л) и ш = 0. Предположим, что и является решением задачи (0.31) и V - решение задачи (0.34). Тогда тахт || м - и - Ре * / + <2е * {У[) С(£+у^+\$-а/е21), где постоянная С не зависит от е и о.

Пусть Х\ и Хо обозначают характеристические функции областей Щ и Од соответственно. Определим функцию у как решение начально-краевой задачи для осредненного уравнения с постоянными коэффициентами:

Мгу[ - сИу + ау + Ъд) + XVу + кау+

А:Ь(/ = Л1/ в Пх(0 ,Т), (0.35)

V = 0 на <9Пх(0,Т), = ги в О.

Теорема 2.3. Пусть выполнено условие (0.30), то,го Е С2(Ео), А0 Е С2(Ро)пХп и £ С'3. Предположим, что и является решением задачи (0.31) и у - решение задачи (0.35). Тогда

•Ь max

О <1<Т u - Xi V - Хо w - Хо (ro/mo) / fdt

Vо С'(е + у/а + у/а/е),

2 < L2(f2) ^ где интеграл обозначает первообразную not и постоянная С не зависит от е и а.

Проверяется, что в условиях теорем 2.1-2.3 достаточно гладкие решения осредненных задач (0.33), (0.34), (0.35) существуют и определены однозначно. Гладкость и финитность /, g, w (и равенство ги = 0 из условий теоремы 2.2) используются в доказательстве именно этого утверждения о решениях осредненных задач. Это утверждение для задач (0.33) и (0.35) хорошо известно [47], поскольку при сделанных предположениях на исходные данные выполнены условия согласования произвольного порядка. Это утверждение для задачи (0.34) выводится в §2.2 из результатов работы [119], в которой была доказана разрешимость задачи (0.34) в пространстве Я1 (0,Т; Ь2(П)) П £2(0,Т; Щ(П)).

Для построения начальных членов асимптотического разложения решения задачи (0.31) используются методы главы 1. Это построение заключается в последовательном разрешении некоторых периодических задач на ячейке, условия разрешимости которых приводят к осред-ненным задачам (0.33), (0.34) или (0.35) в зависимости от выполнения одного из условий (0.28)-(0.30). В §2.3 приводятся явные формулы для начальных членов асимптотики, построенные как и в § 3.3 третьей главы. После этого доказательство теорем 2.1-2.3 проводится энергетическими методами. При этом учитывается гладкость решений осредненных задач и некоторая регулярность решений задач на ячейке, в доказательстве которой используется гладкость (класса С2) границы 5. Кроме того, в случае выполнения условия (0.30) эту асимптотику необходимо "подправить" погранслойными добавками, экспоненциально убывающими внутрь включений. Эти добавки строятся в §2.3 по схеме метода Вишика-Люстерника. Для задач осреднения эта схема реализована в работе [63]. Гладкость коэффициентов и границы включений из условий теоремы 2.3 используется при построении этих погранслойных добавок. В реальных задачах встречающихся на практике коэффициенты тх, т0, Ао, ,. как правило постоянны, так что гладкость коэффициентов не слишком существенна.

Вопросы осреднения стационарного варианта задачи (0.31) рассматривались в работах [9|, [15] и [56]. Задача (0.31), в случае когда а = е2 и некоторых отличных чем здесь предположениях, рассматривалась в работах [83] и [119], в которых были анонсированы утверждения о сходимости решений в соответствующих пространствах.

Отметим также, что с помощью использования подходящих аппроксимаций исходных данных, из теорем 2.1-2.3 выводятся утверждения о сходимости решений задачи (0.31) при более слабых предположениях на /, д и V]. Точнее, в обозначениях из теорем 2.1-2.3 выполнены следующие утверждения о сходимости решений.

Следствие 2.1. Пусть выполнено условие (0.28) я /, д Е Ь2 (0,Т; Ь2(Г2)), ги Е Ь2(0,) в задаче (0.31). Предположим, что и является решением задачи (0.31) я v - решение задачи (0.33). Тогда i ii — v 0 при £ —> 0 я а —У 0.

Следствие 2.2. Пусть выполнено условие (0.29) я /, <7 £ Ь2 (0,Т; 1/2(0)), V) = 0 в задаче (0.31). Предполоясим, что и является решением задачи (0.31) я - решение задачи (0.34). Тогда при е —>■ 0 я сг —> О выполнены следующие соотношения и — v я « - V - Ре * / + Яе * К) Иьоо(о5Т;1,1№)-^ 0.

Следствие 2.3. Пусть выполнено условие (0.30), г7г0,г0 Е С'2(-Р0), -А0 Е С2(^0)пхте, ад Е С3 я/,.д Е I/2 (О, Т; £2(П)), ги Е Ь2{П) в задаче (0.31). Предполоясим, что и является решением задачи (0.31) я V - решение задачи (0.35). Тогда « - XI « - Хо V) - Хо /Л О при £ —» 0 я а —> 0.

В реальных задачах встречающихся на практике имеются разнообразные асимптотические соотношения между коэффициентами задачи (0.31). Некоторые из этих соотношений приведены в работах [97], [117] и отличаются от принятых здесь. В работе [97] рассмотрена задача (0.31), в случае когда а = £2, Щ — 0 и коэффициенты ао(у) и Ьо(у) умножены на е-1. При этих предположениях в [97] доказана сходимость решений задачи (0.31) к решению осредненной задачи в пространстве Ь2 (0, Т; £2(Г2)). Однако, осредненная задача в [97] определяется через решение "двухмасштабной задачи на ячейке", зависящей от х Е П как от параметра.

Доказательства теорем 2.1-2.3 и следствий 2.1-2.3 даны в §2.3 и § 2.4. Несколько вспомогательных лемм, используемых в этих доказательствах, приведены в §2.2.

В третьей главе рассматривается нестационарная система уравнений линеаризованной теории упругости с коэффициентами, зависящими от двух малых положительных параметров е и о. Параметр мелкомасштабности г задает период коэффициентов этой системы, а параметр контрастности а характеризует отношение минимального и максимального модулей упругости. Начально-краевая задача для такой системы уравнений моделирует в линейном приближении упругое поведение микронеоднородной среды (композита) с порами, заполненными легкодеформируемым материалом и расположенными периодическим образом с периодом е. Предполагается, что при е 0 выполнены соотношение а —> 0 и одно из трех условий (0.28)-(0.30).

Пусть для п ^ 2 заданы ограниченная область О С I" с гладкой (класса С°°) границей, положительное Т, финитные в О и гладкие вектор-функции /,дк Е С0°°([о',Т] х П)п и Е С£°(П)п, где к = 1,.,п. Определим вектор-функцию и — (их,. ,ип) как решение начально-краевой задачи для нестационарной системы уравнений линеаризованной теории упругости: т. д2'Ы 9 в П х (О,Т). ог> дх1г" °£дхк> " дх^ у ' " (0.36) в ^ иг\г=о ~ 11,1 Б и ~ ® на ^ х зависящей от двух малых положительных параметров е и а, следующим образом.

Пусть и Р2 являются открытыми 1-периодическими подмножествами К» с границами класса С2, Рг П Т2 = 0, = ЖП\(Р] и Р2) является множеством с границей класса С2 и = еР$ = \ех,х = (х[,., хп) Е Рв} для 5 = 0,1,2. Таким образом, У = (0,1)" является ячейкой периодичности, и множества .Ро, Р2 вполне определяются множествами У0 = У П У\ = У П Р\ и У2 — У П Р2. Предполагается, что эти множества имеют положительные меры Лебега в Мп и множества У\ и У> связны. Кроме того, отождествляя противоположные грани У, множества У0, У\ и У2 можно также рассматривать как подмногообразия тора с общими границами (класса С2 ¿1 = ад = дУ0\дУ2 и ЕЕ дУ2 = ОУоХдУг.

Для //,, к = 1 ,.,п матричнозначные функции Аьак и В!^к в (0.36) зависят от малых параметров е и ст:

А>£ = аА%к(х/е), В™ = оВ%к(х/е) в П£0 = О п Акк = Вкк = В[гк(х/£) в =

А™ = А%к(х/е), В™ = В%к(х/е) в = П П

Предполагается, что для з = 0,1,2 и г,^, /г, /г = 1,.,п компоненты а ^ (;>/), Ь'-к8 (у) матричнозначных функций А^к(у) и В%к(у) являются 1-периодическими ограниченными функциями на ^ соответственно. Кроме того, для этих компонент выполнены условия симметрии, а для а'-к8(у) и условие равномерной эллиптичности:

Ьк лл лАг/г /„л Лк иНк /Лл 7,А;/г / л

2/) - аJ?8 (2/) - <-e Ы, (У) = Ь% (у) = ЩкМ, « ^¿ьЛгк < а?/я(у)6:/)л;;7е ^ f4ih£ih для у £ Ys и 5 = 0, 1, 2, где а и ß заданные положительные постоянные и ^ = для г, j = 1,.,п. Здесь и далее приняты обычные для теории упругости обозначения и соглашение о суммировании по повторяющимся индексам г, j, h, к от 1 до п. Функции те и rs в (0.36) зависят только от е\ те = гп8(х/е), г£ = rs(x/e) в О S5 где т3(у) и г8(у) являются 1-периодическими ограниченными функциями на Р8 и т,ч{у) отделены от нуля для з = 0,1, 2.

Предполагается также, что множество Р[ является связным, а множество Р2 вполне несвязно. Последнее по определению означает, что П <9У=0. Таким образом, между множествами Р\ и Р? имеется существенное различие. Множество Р-2 составлено из изолированных компонент и нагрузка приложенная к части этих компонент не передается на другие компоненты, а для множества Р\ это не так, поскольку Р] связно. Аналогичное замечание относится и к множествам Щ и Щ, что в пределе при е —> 0 и о —> 0 приводит к нулевому вкладу компонент в осредненный тензор упругости.

Основные результаты третьей главы составляют теоремы о предельном поведении решений задачи (0.36) при е —» 0 в предположении, что выполнены соотношение <т -4 0 и одно из условий (0.28)-(0.30). Для точной формулировки этих теорем понадобятся некоторые дополнительные обозначения.

Пусть для р = 1,. ,п матричнозначные функции ^а(у) являются 1-периодическими решениями задач Неймана на : дуй дук 7 ду,г

-УьХЛ1^ на 5ь

Щ1к где V — {ь>1,., ип) внешняя нормаль к границе ¿>1. Определим для = 1,., п матрицы А^р с постоянными компонентами равенствами

АГ = < АГ + АТ А N1= ^ (ЛГ + АТ А N1) йу.

Известно [9], [37], что компоненты матриц А\р удовлетворяют условиям симметрии и равномерной эллиптичности (0.37).

Пусть для р = 1 ,.,п матричнозначные функции Щь{у) и Щь{у) являются 1-периодическими решениями задач Неймана на и У^: д (А>;к= 4-в*р в дуь 8 дук *ь' дуК на 5,, 5 = 1,2, где V — {V1,., рп) обозначает также внешнюю нормаль к границе Введем для (¡,р — 1,. . п обозначения вг = (В? + АТ ^ Л& >а = I (ЯГ + А* А ) (1у,

А/1 = (то)о + (т^ + (т2)2 = / т0 ¿у + / тх йу + / т2 ф/, уь -/у, -л 2

БГ = (ЯГ + Л?*' л = <г0)о + Ы, + Ы2, и определим вектор-функцию у = (у[,., уп) как решение начально-краевой задачи для осредненной системы уравнений с постоянными коэффициентами:

ВПХ(°'Т)< (0,8) = в П, = и)1 в О, V = 0 на<90х(0,Т).

Теорема 3.1. Пусть выполнено условие (0.28). Предполоясим, что и является решением задачи (0.36) и V - решение задачи (0.38). Тогда тах о<г<сг и — V

С (£ + а + £2/а), где постоянная С не зависит от е па.

Пусть матричнозначная функция Е\(у) является 1-периодическим решением задачи Дирихле на У0:

8 < 11%к д

А5к — Е1)= 0 в У0,

Оуь Оук Е1=Е на У1} Ег = 0 на У2, где Е единичная матрица для Мп.

Используемые до сих пор матрицы (и матричнозначные функции) имели размерность н х п, но в дальнейшем понадобятся и более общие матрицы, размерность которых определяется явно или ясна из контекста. Пусть п = п + п(п — 1)/2 и Е-2 = (еь . обозначает (пхп)-матрицу, столбцы которой образуют базис в линейном пространстве жестких перемещений в Еп (см., например, [31], [37]). Без ограничения общности можно считать, что первые п столбцов Е-2 образуют единичную матрицу, Е2(у) определена и непрерывна на У2 и выполнено условие нормировки: (тоЕ^ Е2)~, = (т2)пЕ, где Е единичная матрица для 1К.П. Здесь Е2 обозначает матрицу, сопряженную к Е2. Доопределим

Е2(у) на У\У2 как 1-периодическое решение задачи Дирихле: д / д а£*Я2)= 0 в У0 дуй дук Е2 = 0 на Уь Е2 = Е2 на У2.

Пусть (пхп)-матричнозначные функции Р(£, ?/), ф 1 (¿, у) и (пхп)-мат-ричнозначная функция С^2(£, ?/) являются 1-иериодическими решениями начально-краевых задач на У0:

Я2 р п л р

0 в У„х(0,оо): Р|(=о=0вУ„, Р,'|(=0 = (г0/т0)Е вУ0, Р = 0 на (Уа и У2) х (0, со),

9»|(=0= о вУ0, <&|,=0= вУо, <9.„ = 0 на (¥1 и У2) х (0, со), где 5 = 1,2. Далее введем для .5,1 = 1, 2 и = 1,., п обозначения М8 = <т8)., Р, = <Явтг8)., (0 = (т0 ЕвТ РЦ >0, г) г) Р д1е = Я^х/е), Ре = Р&х/е), где, например, Р(Ь,у) продолжена как 1-периодическая функция на М.п и тогда Р£ обозначает ограничение этого продолжения при у = х/е на и. Пусть уох обозначают п-мерные вектор-функции, первые п компонент которых равны г/;0, иох соответственно, а остальные компоненты являются нулевыми. Определим п-мерную вектор-функцию и п-мерную вектор-функцию г>2 как решения начально-краевой задачи для осредненной системы уравнений: г О1 Ул „ г1 /д2и\ ч , г, х 1 ,

М, ~ М} * - 1\4 * (~) + а\гЧ + 4у2

- -¿-{АУр-) = ГС,/ - д?*/ + ^-(вГ'дк) В Пх(О.Т),

1.Г1, ОХ!- Ох К г , г-» , г 9 ,д2У<>\ о 9

М, — - М:Г * (—) - М1 * + а\ух + «2- (0.39) в 0х(0,т),

0 = «.'о в П, (г-!)!| = гиу в О, = 0 на <9Г2х(0,Т).

У-7

1=0 ги0 в Г2, Ы;|4=0 = «;1 в 11

Теорема 3.2. Пусть выполнено условие (0.29), /, дк 6 ((0, Т) х П) 7\ шо = 0 и 101 — 0, где к = 1 ,.,п. Предположим, что и является решением задачи (0.36) и (г^гь) - решение задачи (0.39). Тогда тахт|| и-Е1£У1-Е2еУ2-Ре*1 + Я1£*(Ы)и)+Я2е*({У2)н) Ц^)^ v где постоянные С и с не зависят от е, о и с не зависит от ?9.

Пусть Хо 5 Х\ и Х2 обозначают характеристические функции множеств Щ, и соответственно. Определим п-мерную вектор-функцию VI и п-мерную вектор-функцию г>2 как решения начально-краевых задач для осредненных систем уравнений с постоянными коэффициентами: = то в VI. Г-г^ 1)СI. П = Ю1 в О, ^1=0 на <90х(0,Т),

9 и=° (0.40)

М2^= К2/+^-{В%кдк) в Ох(0,Т),

У-2\1=о = ™0 в П, (ь2уг ^=0=й?1 в О.

Теорема 3.3. Пусть выполнено условие (0.30) и Уу(г0/т0) Е 1/°°(Уо)п. Предполоясим, что и является решением задачи (0.36) и 1)\, -решения задач (0.40). Тогда

1, г шах, || и-х\щ-Х^Е2£У2 ~Хо™о ~Хо^~Хо (го/то)^У\fdtclt || о о где интегралы обозначают вторую первообразную по I, и постоянная С не зависит от е и а.

Проверяется, что в условиях теорем 3.1 - 3.3 достаточно гладкие решения осредненных задач (0.38), (0.39), (0.40) существуют и определены однозначно. Гладкость и финитность к;0, (и равенства г^о — 0, г^х = 0 из условий теоремы 3.2) используются в доказательстве именно этого утверждения о решениях осредненных задач. Это утверждение для задач (0.38) и (0.40) хорошо известно [4-5], [49], поскольку при сделанных предположениях на исходные данные выполнены условия согласования произвольного порядка. Это утверждение для задачи (0.39) доказывается в §3.2 методами работы [63], в которой была доказана разрешимость аналогичной задачи для линеаризованной системы уравнений гидродинамики.

В условиях теоремы 3.3 последние п — п компонент вектор-функции и2 описывают "средние вращения" компонент множества 0,%. Пусть г2 = т2 и В2к = Л-2ктогда последние п — п столбцов матрицы В,2 являются нулевыми и В2к = 0, где /г, к = 1,.,п. Следовательно, эта равенства приводят к нулевым "средним вращениям", но в общем случае это не так, поскольку система уравнений для у2 интегрируется явно. В условиях теоремы 3.2 система уравнений для и2 связана с системой уравнений для V] и определить, когда "средние вращения" являются нулевыми, достаточно сложно.

Для построения начальных членов асимптотического разложения решения задачи (0.36) используются методы главы 1. Это построение заключается в последовательном разрешении некоторых периодических задач на ячейке, условия разрешимости которых приводят к осреднен-ным задачам (0.38), (0.39) или (0.40) в зависимости от выполнения одного из условий (0.28)-(0.30). Кратко это построение излагается в § 3.3. После того как начальные члены асимптотики построены, доказательство оценок теорем 3.1 - 3.3 проводится в §3.4 энергетическими методами. При этом учитывается гладкость решений осредненных задач и некоторая регулярность решений задач на ячейке, в доказательстве которой используется гладкость (класса С2) границ 5} и Б2. В доказательстве теоремы 3.3 попользуется также условие регулярности отношения коэффициентов г0 и т0. В реальных задачах, встречающихся на практике, коэффициенты ?тг0, ^ь т2,. как правило постоянны, так что это условие не слишком существенно.

Теоремы 3.1 - 3.3 выполнены также, когда У\ — 0 или У2 — 0. Так, например, в последнем случае интегралы по У2 следует считать нулевыми, что согласуется с определением интеграла Лебега. Кроме того, следует выбрать Е\ = Е, Е2 = 0 и поэтому — 03 = 0, впрочем, это подразумевается определениями решений соответствующих задач. Более того, после соответствующих изменений в формулировках, теоремы 3.1 - 3.3 выполнены и в случае, когда имеется si связных непустых открытых 1-периодических множеств Fi,. . ., FSl и .s2 вполне несвязных непустых открытых 1-периодических множеств FSl+1,., FSl+S2 с границами класса С2, замыкания которых не пересекаются, и Fq = M.n\(Fi U • • • U FSl+S2). Осредненные задачи (0.39) и (0.40) принято называть многокомпонентными. Это определение введено Г. П. Панасенко [56], [57], в случае, когда множества i7!,. составлены из цилиндров. Этот случай является в некотором смысле прямым произведением рассматриваемых здесь случаев, поскольку каждый такой цилиндр является связным в направлении образующей и вполне несвязен в перпендикулярных направлениях. Кроме того, в работах [56], [57] предполагается, что т0 имеет порядок с, поэтому осредненные задачи из этих работ существенно отличаются от осредненных задач полученных здесь. Используемые в третьей главе методы позволяют рассмотреть задачу (0.36) и в более общей ситуации, когда т0 или то и г о имеют порядок /¿, где /г является малым положительным параметром. Поскольку коэффициенты те и ге соответствуют плотности, последний случай встречается в реальных задачах, возникающих на практике, и рассмотрен в главе 3 более подробно.

Пусть в определение коэффициентов ms и г£ внесено изменение, что гщ(х/е) = /tm(i/e), г0(х/е) = ц г(х/е) в (0-41) где /i —У 0 и т(у), г (у) являются 1-периодическими ограниченными функциями на Fq и т(у) отделена от нуля. Определим

М = (т1}1 + (m2)2, R = (п)1 + (?-2),.

Теорема 3.4. Пусть выполнены условия (0.28) и (0.41). Предположим, что и является решением задачи (0.36) и v - решение задачи (0.38), в которой М и 11 заменены па М, R соответственно. Тогда max о <t<T и — v

С +a + /Г е1 ¡о), где постоянная С не зависит от е, о и ц.

В этой теореме разность и — v оценивается только на множестве = и в отличии от теоремы 3.1, что связано со спецификой рассматриваемой задачи. Впрочем, и эта оценка дает представление об асимптотическом поведении решения задачи (0.36) в рассматриваемом случае. Кроме того, в процессе доказательства этой теоремы оценивается "энергетическая" норма разности решения задачи (0.36) и начальных членов асимптотического разложения на всем множестве П.

Теорема 3.5. Пусть выполнены условия (0.29) и (0.41) Предположим, что и является решением задачи (0.36) и (у\, у2) - решение задачи (0.39), в которой М18 = 0 и ВР8 = 0 для в, / = 1, 2. Тогда о<Í<T '' U ~ EleVl ~ B'2eV2 C{£ + a + v2 + \d-a/£2\), где постоянная С не зависит от е. о и ¡i.

В случае, когда выполнены условия (0.30) и (0.41), предполагается также, что при £ —У 0 выполнены соотношения a —у 0, ¡i —У 0 и одно из следующих трех условий: x/(eV) °о, (0.42) т/(е2д) в, (0.43) сг/(е2ц) -> 0, (0.44) где в заданная положительная постоянная.

Теорема 3.6. Пусть выполнены условия (0.30), (0.41) и (0.42) Предположим, что и является решением задачи (0.36) и v\, v2 - решение задач (0.40). Тогда

Л II 11 ~ - E2ev2 ||¿2(nf2)n< С{е + и + /i2 + a¡£2 + {s2 fi/a)2), где постоянная С не зависит от е. о п /(.

Теорема 3.7. Пусть выполнены условия (0.30), (0.41), (0.43), /,дк £ ((0, Т) х О) , п)о = 0 и ш 1 = 0, где к = 1,., п. Предположим, что и является решением задачи (0.36) и У\, у2 - решение задач (0.40). Тогда 9 max ^ — м о <t<T и - Elevi - E2ev2 ||¡,2(íí; + ° + /j? + a/e2+ \0 - <t/(£2/í)|), где постоянная С не зависит от £, a и /í.

Теорема 3.8. Пусть выполнены условия (0.30), (0.41), (0.44) и Х/у{г/гп) £ Ьос(\/о)п. Предположим, что и является решением задачи (0.36) и и\, 1-2 - решения задач (0.40). Тогда шах и

XIVI -х1Е2£У2 Ц/^^)»^ С{е + а +/г + <7/е2 + \/а/{ где постоянная С не зависит от е, о и ц.

Вопросы осреднения стационарного варианта задачи (0.36) рассматривались в работах [9], [56] и [57]. В работе [57] предложен алгоритм построения асимптотики решения задачи (0.36) в случае, когда то имеет порядок <т. В работе [57] намечена схема обоснования этой асимптотики в предположении, что условия Дирихле из (0.36) заменены на условия периодичности, и множества . являются цилиндрами. Асимптотические разложения по параметру а решений задачи на ячейке (0.3) и более общих 1-периодических задач были получены в работе [42]. Однако, такие разложения оказались мало эффективными для вычисления асимптотических разложений решений исходных задач с быстроосциллирующими сильно изменяющимися коэффициентами (например, задачи (0.36)), поскольку в общем случае такие разложения содержат решения нестационарных задач на ячейке, а задача (0.3) является стационарной.

Доказательства теорем 3.1-3.8 даны в §3.4. Несколько вспомогательных лемм, используемых в доказательствах этих теорем, приведены в § 3.2 и § 3.3.

В четвертой главе рассматривается нестационарная система уравнений Стокса в периодической перфорированной области с малым периодом е, моделирующая в линейном приближении течение вязкой несжимаемой жидкости в периодической пористой среде. Предполагается, что коэффициент вязкости а л этой системе зависит от £ и удовлетворяет при е — > 0 одному из трех условий (0.28)-(0.30).

Пусть для п ^ 2 вектор-функция ие = [и],., и£1Г1) и функция р£ являются решениями начально-краевой задачи для нестационарной системы уравнений Стокса с положительными параметрами £ и а: и£% - аАи£ + \/р£ = /, (Нуме = 0 в Пе х (0,Т),

0.45) и£ — 0 на Ш£ х (0,Г), и£ = 0 в 0£, где / Е Ь2 (О, Т; Р2(0)п) и положительное Т может быть произвольным. Зависящая от малого параметра е перфорированная область 0,£ определяется следующим образом.

Пусть Рх является открытым 1-периодическим связным подмножеством Еп и О - ограниченная область в М.п с (локально) липшицевой границей. Тогда где = £Р1 = {еж, х = (ж!,., хт) Е Р\ }. Таким образом, У = (0,1)п является ячейкой периодичности и множества Р1, др1 вполне определяются множествами Р = У П и 5 = У П дР\. Предполагается, что множество допускает представление в виде объединения конечного числа 1-периодических областей с липшицевыми границами, множество Р имеет положительную меру Лебега в и справедливо неравенство Фридрихса где положительная постоянная С не зависит от и. Отметим, что это неравенство заведомо выполнено, если множество У\Р имеет положительную меру Лебега в Мп.

Известно, что для фиксированных е и а существуют единственная вектор-функция ме(£,.т) Е Р2 (О, Т; Щ (0£)п) и распределение р£(1, х), определенное с точностью до произвольной функции от t, удовлетворяющие (0.4-5) в соответствующем [46], [79] смысле. Предполагается, что вектор-функция и£ (соответствующая скорости жидкости в Г2е) продолжена нулем на "твердую" фазу и через ш СС П обозначается произвольная подобласть К" с липшицевой границей, замыкание которой ш принадлежит П. Таким образом, для каждого £ вектор скорости и£ определен в области О , а р£ (соответствующее давлению жидкости) определено только на, "жидкой" фазе Пе. Для каждого и С С О. и достаточно малых £ (^ £ш для некоторого положительного еш) проверяется, что р£ Е Р2 (0, Т; Р2 (ш П п£)/Щ.

Основные результаты четвертой главы составляют следующие теоремы о предельном поведении последовательностей {/г/е} и \р£} при £ —> 0 в предположении, что выполнено одно из условий (0.28)- (0.30). В этих теоремах через 7 и V обозначаются внешние нормали для <90 пе - п П 5 о и S. Кроме того, через (•) обозначается интеграл по F от функций, определенных на этом множестве.

Теорема 4.1. Пусть выполнено условие (0.28). Тогда для каждого üj С С О, и достаточно малых £ для последовательностей {п£} и {р£ } при с —> 0 имеют место соотношения р£-^р в норме L2 (0, Т; L2 (и; Г) fL)/]R) (0.46) и a¡£2)us ->u = A1(f- Vp) слабо в L2 (0, Т; L2(Ü)n), где clivií = 0 в О, (tí, 7) = 0 на dQ. Здесь Ai = (а) и a (у) является матричнозначным 1 -периодическим решением краевой задачи для стационарной системы Стокса на F:

-Да + Vb = Е, diva = 0 в F, a = 0 на S.

Теорема 4.2. Пусть выполнено условие (0.29). Тогда для каждого о,' С С О и достаточно малых £ для последовательностей {ие} и {р£} при £ —> 0 имеют место соотношения (0.46) и

U? у u = A2(t) * (/ - Vp) слабо в L2(0,T;L2(Q)n), где clivti = 0 в Q, (и, у) = 0 на dQ, и * обозначает свертку по t. Кроме того, u£ —> и слабо-* в L°°(0, Т; L'2(Q)n), если f € Ll (О, Т; L2(0)n). Здесь A2(t) = (a(y,i)) и a(y,t) является матричнозначным 1-периодическпм решением начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса на F: a't - 0 Да + УЬ = 0, divа = 0 в F х (0, оо), а — 0 на S х (0,00), a\t=Q = Q(E) в F, где Q{E) = E-VB и В (у) является векторнозначным 1-периодическим решением задачи Неймана на F:

АВ = 0 в F, iyB,v) = (Е,р) на S. (0.47)

Теорема 4.3. Пусть выполнено условие (0.30) и конечное Т фиксировано. Тогда для каждого и С С О и достаточно малых £ для последовательностей {и£} и {р£ } при с —> 0 имеют место соотношения (0.46) и где сНум = 0 в (^,7) = 0 на <90. Кроме того, (пе)'г —>- (и)[ слабо в ^(О,!7;!2^)"). Здесь А3 = (Е - УБ) и В (у) является решением краевой задачи (0.47).

Проверяется, что в условиях теорем 4.1-4.3 соответствующие краевые задачи для "предельного" давления р имеют единственные решения, принадлежащие Ь'2 (0, Т; Н1(0) ПЬ2(0)/Е). В случае выполнения условия (0.28) соответствующая краевая задача для осредненного уравнения: определяется как и для стационарной системы уравнений Стокса и зависит от времени только параметрически. В случае выполнения условия (0.30) осредненное уравнение имеет аналогичный вид. Краевая задача для осредненного уравнения из теоремы 4.2 имеет схожую структуру: сНуА2*(/- Чр) = 0 в О, (А2*(/-Ур),7) =0 на дО, но зависит от времени нелокальным образом.

В §4.1 рассмотрена также задача (0.45) с неоднородными начальными условиями и аналогичная задача для системы уравнений Навье-Стокса при не слишком малом коэффициенте вязкости. Для этих задач в §4.3 доказаны аналоги теорем 4.1-4.3.

Вопросы осреднения стационарной системы уравнений Стокса в периодических перфорированных областях рассматривались в работах [9,29,34,78,88]. Для доказательства утверждений о сходимости в [78,88] использовался технически сложный метод продолжения давлений, предложенный Л. Тартаром. В статье В. В. Жикова [34] предложен новый метод, не использующий такого продолжения и позволяющий рассматривать наиболее общие периодические перфорированные слабо-* в 1°°(0,Т;12(П)П) сНуАхС/- Ур) = 0 в О, Ур),7) -0 на <90, области. Метод продолжения давлений применялся также при изучении вопросов осреднения нестационарной системы уравнений Навье-Стокса в работе [135] с постоянной вязкостью и нестационарной системы уравнений Стокса с вязкостью порядка £2 в работах [92,136]. Условия (0.28) - (0.30) возникали ранее в работе [63] при осреднении линеаризованной системы уравнений гидродинамики с периодическими коэффициентами и малой вязкостью. Для доказательства теорем 4.14.3 в четвертой главе используются методы, разработанные в работах [34] и [63]. Некоторые из этих утверждений были анонсированы в работе [72], где также применялся метод продолжения давлений. Использование в четвертой главе методов работ [34] и [63] позволило значительно ослабить требования из [72] на рассматриваемые перфорированные области.

Доказательства теорем 4.1-4.3 даны в § 4.3. Несколько лемм, используемых в этих доказательствах, приведены в §4.2.

В пятой главе рассматривается нестационарная линеаризованная система уравнений гидродинамики в периодической перфорированной области с малым периодом е, моделирующая в линейном приближении процесс распространения малых возмущений относительно состояния покоя вязкой сжимаемой жидкости в периодической пористой среде. Предполагается, что коэффициент вязкости о в этой системе зависит от £ и удовлетворяет при £ —у 0 одному из трех условий (0.28)-(0.30).

Пусть для п ^ 2 вектор-функция и£ — [и\,., иет) и функция р£ являются решениями начально-краевой задачи для нестационарной линеаризованной системы уравнений гидродинамики с положительными параметрами е и о\ и£)\ - аАщ - ат]У сНу и£ + Уре = / в П£ х (0,Т), д(Ре)[ + се сНу и£ = 0 в П£ х (0,Т), (0.48) и£ — 0 на дП£ х (0,Т), и£\1=0 = 0 в П£, Ре\1=0 = Ро в Ое, где / (Е 1/2(0,Т; 1/2(П)п), р0 £ Ь2(0,)/ИИ и положительное Т может быть произвольным. Нормирующий множитель с£ в (0.48) равен а/е2 в случае когда выполнено условие (0.28) и с£ = 1 в других случаях. Такая нормировка системы уравнений (0.48) гарантирует нетривиальность предельных уравнений. Кроме того, положительные постоянные д и т] в (0.48) фиксированы, а "моделирующая" пористую среду и зависящая от малого параметра е перфорированная область определяется как и для задачи (0.45).

Проверяется, что для фиксированных е но существует единственное решение и£ £ L2(0,T; Щ(П£)п), р£ £ L°°(0,T; L2(Q£)/R) задачи (0.48).

Предполагается, что вектор-функция и£ и функция р£ продолжены нулем на "твердую" фазу 0\0е. Таким образом, для каждого е в области П определены последовательности {и£ \ и {р£}. Основные результаты пятой главы составляют теоремы о предельном поведении этих последовательностей при г —> 0 в предположении, что выполнено одно из условий (0.28) (0.30). Для точной формулировки этих утверждении понадобятся некоторые дополнительные обозначения.

Пусть матричнозначная функция а\(у) является 1-периодическим решением краевой задачи для стационарной системы Стокса на .Р:

Дуа1 + = Е, гНуу «1=0 в Е, «1=0 на 5.

Определим матрицу А\ с постоянными компонентами и положительное 0 равенствами

Известно [78], что матрица А1 симметрична и положительно определена. Пусть функция р является решением начально-краевой задачи для параболического уравнения на П: где 7 обозначает внешнюю нормаль для

Теорема 5.1. Пусть выполнено условие (0.28). Предположим, что р является решением задачи (0.49) и ие, р£ - решение задачи (0.48). Тогда ai = (fli> ее ai(y)dy, 0 = (l)=mes(F).

Q$p[ - divAi(Vp - f) = 0 в fix (0,T), (Ai(Vp-/),7) =0 на дПх(0 ,T), p|i=0=p0 в О

0.49) o/e2) u£ —Ai(/ — Vp) слабо в L2 (0, T; L2{tt)n), p£ Op слабо - * в L°° (0, T; L2 (Q)/R) при e 0.

Пусть векторнозначная функция В (у) является 1-иериодическим решением задачи Неймана (0.47) и (¿(Е) = Е—УуВ. Пусть матричнознач-ная функция а2(уЛ) является 1-периодическим решением начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса на Р: а2){ - АуО-2 + УуЬ2 = 0, <Х\ууа2 = 0 в Р х (0,оо), С12 — 0 на 5х(0,оо), а2\1=0 = Я{Е) в Р.

Определим А2(£) — (а2 (?/,£)). Пусть функция р является решением начально-краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения: д9р[ - &уА2*{Ур - /) = 0 в Пх(0,Т), (А2*(Ур-/),7) = 0 на Шх(0 ,Т), в О. (°'50)

Теорема 5.2. Пусть выполнено условие (0.29). Предположим, что р является решением задачи (0.50) и и£,р£- решение задачи (0.48). Тогда ие и = А2 * (/ - Ур) слабо в I? (0, Т; Г2(0)п), ре вр слабо - * в Р°° (0, Г; Р2(П)/Ш) при е ->> 0.

Кроме того, и£^и слабо-* в Е°° (0,Т;Е2(П)п), если/еХ1(0,Т;Р2(0)п).

Определим матрицу А3 с постоянными компонентами равенством Аз = (Е—ЧуВ ), где В является решением краевой задачи (0.47). Пусть функция р является решением начально-краевой задачи для гиперболического уравнения на О: в 0 р"ь - сНу Аз (Ур - /) = 0 в Ох (0 ,Т), (А3(Ур-/),7) = 0 на0Пх(О,Т), = ^|е==0 = 0 в

Теорема 5.3. Пусть выполнено условие (0.30) и f £ Р1 (0, Т; £2(0)п). Предположим, что р является решением задачи (0.51) ии£,р£ - решение задачи (0.48). Тогда ; и£ А3 / (f-Vp)dt слабо-* в Р°° (0, Т; L2(Û)n), J о

11£-^вр слабо-* в Р°°(0 ,T;L2(0)/M) при е -> 0.

ВВЕДЕНИЕ

40

Проверяется, что в условиях теорем 5.1-5.3 решения осредненных (предельных) задач (0.49), (0.50) и (0.51) существуют, определены однозначно и р £ (0,Т; /М.). Это утверждение для задач (0.49), (0.51) хорошо известно [49], а для задачи (0.50) проверяется при доказательстве теоремы 5.2. Из априорных оценок для решений задачи (0.48), приведенных в §5.2, и второго уравнения этой задачи следует, что соответствующие предельные вектор-функция и и функция р удовлетворяют соотношениям двр[ + сНум = 0 в О х (0,Т), (гг,7) — 0 на <9Г2 х (0,Т), р| = р0 в О.

Таким образом, для доказательства теорем 5.1-5.3 необходимо вывести только равенства связывающие и и р. Эти равенства совпадают в точности с соответствующими равенствами для нестационарной системы уравнений Стокса (0.45). Такое совпадение вполне естественно, поскольку первое уравнение из (0.48) фактически совпадает с соответствующим уравнением из (0.45). Поэтому, для доказательства теорем 5.1-5.3 используются соответствующие модификации доказательств из главы 4. Эти доказательства даны в §5.3. Несколько вспомогательных лемм, используемых в этих доказательствах, приведены в в §5.2.

Вопросы осреднения задачи (0.48) рассматривались в работах [78], [86] и [100]. В работе [78] описан алгоритм построения начальных членов асимптотического разложения решения задачи (0.48) в случае, когда коэффициент вязкости имеет порядок е2. В работах [86] и [100] рассмотрен случай постоянной вязкости и доказано соответствующее утверждение о сходимости для периодических и случайных перфорированных областей.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11], [65]—[77], [148]-[150].

1. Абрамович М., Стиган И., Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами, Наука, М., 1979.

2. Агранович М.С., Вишик М.И., Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида, УМН, т. 19 (1964), п 3, с. 53-161.

3. Александров А.Д., Условия единс7пвенности и оценки решения задачи Дирихле., Вестн. Ленинград. Ун-та. Сер. математика, механика, астрономия. (1963), п 3, с. 5-29.

4. Бахвалов Н.С., Осредненные характеристики тел с периодической структурой,, Доклады АН СССР, т. 218 (1974), п 5, с. 1046-1048.

5. Бахвалов Н.С., Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами, Доклады АН СССР, т. 221 (1974), п 3, с. 516-519.

6. Бахвалов Н.С., Осреднение уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами, Проблемы математической физики и вычислительной математики. Наука, М., 1977, с. 34-51.

7. Бахвалов Н.С., К вопросу о скорости звука в смесях, Доклады АН СССР, т. 245 (1979), п 6, с. 1345-1348.

8. Бахвалов Н.С., Осреднение уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами, Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. Наука, М., 1982, с. 38-47.

9. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П., Осреднение процессов в периодических средах, Наука, М., 1984.

10. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П., Эглит М.Э., Эффективные свойства конструкций и композитов с включениями в виде стен и стержней, Журнал вычисл. матем. и матем. физики, т. 36 (1996), п 12, с. 73-79.

11. Бахвалов Н.С., Сандраков Г.В., Эглит М.Э., Математическое исследование процесса распространения волн в смесях, Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика, механика. (1996), п 6, с. 19-21.

12. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э., О скорости распространения возмущений в микронеоднородных упругих средах с малой сдвиговой упругостью, Доклады РАН, т. 323 (1992), п 1, с. 9-15.

13. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э., Осреднение уравнений динамики композитов, составленных из слаб о сжимаемых упругих компонент, Журнал вычисл. матем. и матем. физики, т. 33 (1993), п 7, с. 1066-1082.

14. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э., Оценка погрешности осреднения динамики малых возмущений сильнонеоднородных смесей, Журнал вычисл. матем. и матем. физики, т. 34 (1994), и 3, с. 395-414. (

15. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э., О предельном поведении периодических сред с мягкомодульными включениями, Журнал вычисл. матем. и матем. физики, т. 35 (1995), и 6, с. 905-917.

16. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э., Явное вычисление эффективных модулей композитов армированных нерегулярной системой волокон, Доклады РАН, т. 340 (1995), п 3, с. 259-263.

17. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э., Осреднение уравнений статики и динамики пористой среды из несжимаемого материала, Тр. семинара имени И.Г. Петровского, в. 19 (1996), с. 284-303.

18. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э., Эффективные модули тонкостенных конструкций, Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика, механика. (1997), и 6, с. 1-4.

19. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э., Эффективные модули композитов, армированных системами пластин и стержней, Журнал, вычисл. матем. и матем. физики, т. 38 (1998), п 5, с. 813-834.

20. Беляев А.К)., Эфендиев Я.Р, Усреднение системы уравнений Стокса со случайным потенциалом, Мат. заметки, т. 59 (1996), п 4, с. 504-520.

21. Бердичевский B.JL, Пространственное осреднение периодических структур, Доклады АН СССР, т. 222 (1975), п 3, с. 565-567.

22. Бердичевский В.iL, Вариационные принципы механики сплошной среды, Наука, М., 1983.

23. Березанский Ю.М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, Наукова думка, Киев, 1965.

24. Боговский М.Е., Решение некоторых задач векторного анализа, связанных с операторами div и grad., Тр. семинара С.Л. Соболева, т. 1 (1980), с. 5-40.

25. Боговский М.Е., Решение первой краевой задачи для уравнения неразрывности несжимаемой среды, Доклады АН СССР, т. 248 (1979), и 5, с. 1037-1040.

26. Боголюбов H.H., Митропольскнн Ю.А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Наука, М., 1974.

27. В шпик М.И., Люстерник Л.А., Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром, УМН, т. 12 (1957), п 5, с. 3-122.

28. Владимиров B.C., Уравнения математической физики, Наука, М., 1988.

29. Волков Д.Б., Асим.пт.отическое разложение для решений систем Ст,окса и теории упругости в областях специального вида, Журнал вычисл. матем. и матем. физики, т. 23 (1983), п 6, с. 1464-1476.

30. Годунов С.К., Уравнения математической физики, Наука, М., 1979.

31. Дюво Г., Лионе Ж.-Л., Неравенства в механике и физике, Наука, М., 1980.

32. Дюво Ж., Функциональный анализ и механика сплошной среды. Приложение к изучению композиционных материалов с периодической структурой гомогенизация, Теоретическая и прикладная механика. Мир, М., 1979, с. 323-346.

33. Егоров Ю.В., Лекции по уравнениям с частными производнглми. Дополнительные главы., Изд-во МГУ. М., 1985.

34. Жиков В.В., Об усреднении системы уравнений Стокса в перфорированной области, Доклады РАН, т. 334 (1994), и 2, с. 144-147.

35. Жиков В.В., Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости, Матем. сборник, т. 187 (1996), и 8, с. 3-40.

36. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A., О G-сходимости параболических операторов, УМН, т. 36 (1981), и 1, с. 11-58.

37. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A., Усреднение дифференциальных операторов, Физматлит, М., 1993.

38. Жнков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A., Ха Тьен Нгоан, Усреднение и G-сходимостъ дифференциальных операторов. УМН, т. 34 (1979), п 5, с. 65-133.

39. Жиков В.В., Сиражудинов М.М., Усреднение недивергентных эллиптических и параболических операторов второго порядка и стабилизация, решения задачи Коши, Матем. сборник, т. 116 (158) (1981), п 2, с. 166-186.

40. Козлов С.М., Осреднение дифференциальных операторов с почт,и периодическими быыпроосгьиллирующими коэффициентами, Матем. сборник, т. 107 (149) (1978), Ii 2, с. 199-217.

41. Композиционные сверхтвердые материалы, Институт сверхтвердых материалов АН УССР, Киев, 1979.

42. Косарев А.Ю., Асимптот,ика осредненных харак7перистик периодических упругих сред с сильно изменяющимися свойствами, Доклады АН СССР, т. 267 (1983), n 1, с. 38-42.

43. Кристенсен Р., Введение в механику композитов, Мир, М., 1982.

44. Курант Р., Уравнения с частными производными, Мир, М., 1964.

45. Ладыженская O.A., Смешанная задача для гиперболического уравнения, Го-стехиздат, М., 1953.

46. Ладыженская O.A., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, Наука, М., 1970.

47. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967.

48. Лионе Ж.-Л., Замечания по некоторым вычислительным аспектам метода гомогенизации в композиционных материалах, Вычислительные методы в математике, геофизике и оптимальном управлении. Наука, Новосибирск, 1978, с. 5-19.

49. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э., Неоднородные граничные задачи и их приложения, Мир, М., 1971.

50. Люстерник Л.А., Соболев В.И., Краткий курс функционального анализа, Высш. школа, М., 1982.

51. Мазья В.Г., Пространства Соболева, Изд-во ЛГУ, Л., 1986.

52. Марченко В.А., Хруслов Е.Я., Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей, Наукова думка, Киев, 1974.

53. Назаров С.А., Общая схема осреднения самосопряженных эллиптических систем в многомерных областях, в том числе и тонких, Алгебра и анализ, т. 7 (1995), п 5, с. 1-95.

54. Олейник O.A., Иосифьян Г.А., Шамаев A.C., Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред, Изд-во МГУ, М., 1990.

55. Панасенко Г.П., Осреднение процессов в сильно неоднородных структурах, Доклады АН СССР, т. 298 (1988), n 1, с. 76-79. !

56. Панасенко Г.П., Многокомпонентное осреднение процессов в сильно неоднородных структурах, Матем. сборник, т. 181 (1990), n 1, с. 134-142.

57. Панасенко Г.П., Численно-асимптотический метод многокомпонентного осреднения для уравнений с контрастными коэффициентами, Журнал вычисл. матем. и матем. физики, т. 30 (1990), п 2, с. 243-253.

58. Победря Б.Е., Механика композиционных материалов, Изд-во МГУ, М., 1984.

59. Пятницкий А.Л., Усреднение сингулярно возмущенного уравнения с быстр (¡осциллирующим,и коэффициентами в слое, Матем. сборник, т. 121 (163) (1983). п 1, с. 18-39.

60. Ремпель Ш., Шульце Б.-В., Теория индекса эллиптических краевых задач, Мир, М., 1986.

61. Рид М., Саймон Б., Методы, современно й математической физики, Т. 1, Мир, М., 1977.

62. Сандраков Г.В., О скорости звука в неоднородной периодической среде, Методы вычислительной и прикладной математики. ОВМ АН СССР, М., 1985, с. 122-135.

63. Сандраков Г.В., Осреднение линеаризованной системы гидродинамики с малой вязкостью и скорость звука в смесях. Препринт N 178, ОВМ АН СССР, М., 1987.

64. Сандраков Г.В., Осреднение линеаризованной системы гидродинамики скорость звука в смесях, Численный анализ, математическое моделирование и их применение в механике. Изд-во МГУ, М., 1988, с. 67-72.

65. Сандраков Г.В., Принципы осреднения уравнений с быстр о осциллирующими коэффициентами, Матем. сборник, т. 180 (1989), п 12, с. 1643-1690.

66. Сандраков Г.В., Осреднение и резонансы многочастотных систем, УМН, т. 46 (1991), п 6, с. 189.

67. Сандраков Г.В., Об одной задаче А. Пуанкаре, Доклады РАН, т. 317 (1991), п 2, с. 321-324.

68. Сандраков Г.В., Эволюция резонансов при возмущении системы с постоянными частотами, Доклады РАН, т. 317 (1991), п 3, с. 576-579.

69. Сандраков Г.В., Усреднение квазипериодических функций, Доклады РАН, т. 329 (1993), п 4, с. 419-422.

70. Сандраков Г.В., Об одной задаче с малым параметром, связанной с граничными эффектами в осреднении, УМН, т. 48 (1993), п 4, с. 301-302.

71. Сандраков Г.В., Ма,тематические вопросы осреднения для периодических сред, Импульсные процессы в механике твердого тела. Инт. Импульсных процессов, Николаев, 1994, с. 131-137.

72. Сандраков Г.В., Осреднение нестационарного течения Стокса в периодической пористой среде, Доклады РАН, т. 347 (1996), и 3, с. 312-315.

73. Сандраков Г.В., Диффузия в сильно неоднородной периодической среде, УМН, т. 51 (1996), п 5, с. 208-209.

74. Сандраков Г.В., Осреднение нестационарной системы Стокса с вязкостью в перфорированной области, Известия РАН, Сер. математическая, т. 61 (1997), п 1, с. 113-140.

75. Сандраков Г.В., Осреднение нестационарных уравнений с контрастными коэффициентами, Доклады РАН, т. 355 (1997), п 5, с. 605-608.

76. Сандраков Г.В., Осреднение нестационарных задач теории сильно неоднородных упругих сред, Доклады РАН, т. 358 (1998), и 3, с. 308-311.

77. Сандраков Г.В., Осреднение динамических задач теории упругости с сильно изменяющимися коэффициентами, Доклады РАН. т. 362 (1998), п 4, с. 456460.

78. Санчес-Паленсия Э., Неоднородные среды и теория колебаний, Мир, М., 1984.

79. Темам Р., Уравнения Навье-Стокса, Мир, М., 1981.

80. Треногин В.А., Развитие и применение м,етода Люстерника-Вишика, УМН, т. 25 (1970), 11 4, с. 123-156.

81. Хапаев М.М., Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний, Высшая школа, М., 1988.

82. Хилле Э., Филлппс Р., Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, М., 1962.

83. Хруслов Е.Я., Рост Г., Усреднение уравнения диффузии с коэффициентами, не удовлетворяющими условию равномерной эллиптичности, УМН, т. 46 (1991), 11 6, с. 189-190.

84. Шубин М.А., Псевдодифференциалъные операторы и спектральная теория, Наука, М., 1978.

85. Шубин М.А., Почти-периодические функции и дифференциальные операторы с частными производными, УМН, т. 33 (1978), и 2, с. 3-47.

86. Aganovic I., Note on model of slightly compressible flow through a porous medium, Boll. Unione Mat. Ital. Ser. 7, v. 7-A (1993), n 1, p. 67-76.

87. Aganovic I., Mikelic A., Homogenization of nonstationary flow of a two constituent mixture through a porous medium. Asymptotic Anal., v. 6 (1992), p. 173-189.

88. Allaire G., Homogenization of the Stokes flow in a connected porous medium, Asymptotic Anal., v. 2 (1989), p. 203-222.

89. Allaire G., Hom,ogenization of the Navier-Stokes equations in open sets perforated with tine holes, Arch. Rational Mec.li. Anal., v. 113 (1991), p. 209-298.

90. Allaire G., Continuity of the Darcy's law in the lov)-volume fraction limit, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Series IV, v. 18 (1991), p. 475-499.

91. Allaire G., Homogenization of the Navier-Stokes equations with a, slip boundary conditions, Comm. Pure Appl. Math., v. 44 (1991), n 6, p. 605-641.

92. Allaire G., Homogenize,Hon of the unsteady Stokes equations in porous media, Progress in partial differential equations: calculus of variations, applications. Research Notes in Math. Series 267, Longman Higher Education, New York, 1992, p. 109-123.

93. Allaire G., Homogenization and two-scale convergence, SIAM J. Math. Anal., v. 23 (1992), p. 1482-1518.

94. Allaire G., Briane M., Multiscale convergence and, reiterated homogeniza.tion, Pros. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A, v. 126 (1996), n 2, p. 297-342.

95. Allaire G., Conca C., Bloch-wave homogenization for a spectral problem in fluid-solid structures, Arch. Rational Mecli. Anal., v. 135 (1996), 11 3, p. 197-257.

96. Amare M., Two-scale convergence and homogenization on BV(fi), Asymptotic Anal., v. 16 (1998), p. 65-84.

97. Arbogast Т., Douglas J., Hornung U., Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory, SIAM J. Math. Anal., v. 21 (1990), n 4, p. 823-836.

98. Bakhvalov N.S., Effective properties of irregularly reinforced materials, Zeitschrift Ang. Math. Mech., v. 4 (1996), p. 81-83.

99. Beliaev A.Y., The homogenize,tion of compressible flows in a randorn porous domain, Homogenization and Applications to Material Sciences. Proceedings of the International Conference, Nice. Galckotosho, Tokyo (1995), p. 31-44.

100. Beliaev A.Y., Kozlov S.M., Darcy equation for random porous media, Comm. Pure Appl. Math., v. 49 (1996), p. 1-34.

101. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G., Sur quelques phenornenes asympto-tiques stationares, Comp. Rend. Acad. Sci. Paris. Ser. A., v. 281 (1975), p. 89-94.

102. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G., Sur quelques phenornenes asympto-tiques d'évolution, Comp. Rend. Acad. Sci. Paris. Ser. A., v. 281 (1975), p. 317-322.

103. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G., Asymptotic analysis for periodic structures, North-Holland Pnbl. Comp., Amsterdam, 1978.

104. Bourgeat A., Mikelic A., A note on the homogenization of Bingham flow through a porous medium, J. Math. Pures Appl., v. 72 (1993), p. 405-414.

105. Bourgeat A., Luckhaus S., Mikelic A., Convergence of the homogenization process for a double-porosity model of immiscible two-phase flow, SIAM J. Math. Anal., v. 27 (1996), n 6, p. 1520-1543.

106. Conca C., On the application of the homogenization theory to a class of problem arising in fluid mechanics, J. Math. Pures et Appliquées, v. 64 (1985), p. 31-75.

107. Conca C., The Stokes sieve problem, Comm. in Appl. Num. Mech., v. 4 (1988), p. 113-121.

108. Conca C., Planchard J., Vanninathan M., Limiting behavior of a spectral problem in fluid-solid structures, Asymptotic Anal., v. 6 (1993), n 4, p. 365-389.

109. Conca C., Zuazua E., Asymptotic analysis of a multidimensional vibrating stricture, SIAM J. Math. Anal., v. 25 (1994), n 3, p. 836-858.

110. De Giorgi E., Spagnolo S., Sulla convergenza degli integrali dell'energia per opera-tori ellipttici del secondo ordine, Boll. Unione Mat. Ital. (1973), n 8, p. 391-411.

111. Fleury F., Propagation des ondes dans une suspension de particules solides, Comp. Rend. Acad. Sci. Paris. Ser. A, v. 288 (1979), p. 77-80.

112. Fleury F., Acoustique dans une suspension de particules élastiques, Comp. Rend. Acad. Sci. Paris. Ser. B, v. 295 (1982), p. 83-86.

113. Fleury F., Sedimentation d'une suspension de gouttelettes visqueuses spheriques, Rev. Math. Pure Appl., v. 37 (1992), 11 5, p. 397-405.

114. Fleury F., Sanchez-Palencia E., Asymptotics and spectral properties of the acoustic vibrations of a body perforated by narrow channels, Bull. Sci. Math. Ser. 2, v. 110 (1986), n 2, p. 149-176.

115. Geymonat G., Sanchez-Palencia E., On the vanishing viscosity limit for acoustic phenomena in a bounded region, Archive Rational Mech. and Anal., v. 75 (1981), 11 3, p. 257-268.

116. Hornung U., Jager W. Diffusion, convection, adsorption, and reaction of chemicals in porous media, J. Diff. Equat., v. 92 (1991), n 2, p. 199-225.

117. Hornung U., .Jager W., Mikelic A., Reactive transport through an array of cells with semi-permeable membranes. Math. Model. Numer. Anal., v. 28 (1994), n 1. p. 59-94.

118. Hornung U., Showalter R.E., Diffusion models for fractured media, J. Math. Analysis and Applications, v. 147 (1990), n 1, p. 67-80.

119. Jager W., Mikelic A., On the boundary conditions at the contact interface between a porous medium and a free fl,uid, Ann. Scuola Norm. Slip. Pisa, Series IV, v. 23 (1996), n 3, p. 403-465.

120. Jager W., Luc.khaus S., On explosions of solutions to a system of partial differential equations modeling chemotaxis, Trans. Amer. Math. Soc., v. 329 (1992), n 2, p. 819-824.

121. Kobelkov G.M., Valedinsky V.D., On the inequality ||p.| ^ C |j grad p|| —i and its finite dimensional image, Soviet J. Numer. Anal. Math. Moddelling, v. 1 (1986), n 3, p. 189-201.

122. Levy T., Acoustic phenomena in elastic porous media, Mech. Res. Comm., v. 4 (1977), p. 253-257.

123. Levy T., Propagation of waves in a fluid-saturated porous elastic solid, Intern. J. Eng. Sci., v. 17 (1979), p. 1005-1014.

124. Levy T., Fluid flow trough an array of fixed particles, Intern. .J. Eng. Sci., v. 21 (1983), p. 11-23.

125. Levy T., Sanchez-Palencia E., Suspension of solid particles in a newtonian fluid, J. Non-Newtonian Fluid Mech., v. 13 (1983), p. 63-78.

126. Levy T., Sanchez-Palencia E., Einstein-like approximation for homogenization with small concentration. II Navier-Stokes equation, Nonlinear Anal., v. 9 (1985), p. 1255-1268.

127. Lions J.-L., Asymptotic expansions in perforated media with a periodic structure, Rocky. Mountain J. Math., v. 10 (1980), p. 125-144.

128. Lions .J.-L., So?ne methods in the mathematical analysis of sistems and their control, Gordon and Breach, New York, 1981.

129. Lions J.-L., B,emarques sur l'homogénéisation, Computing Met,h. Appl. Sciences and Engin., v. 6 (1984), p. 299-315.

130. Lipton R., Avellaneda A., A Darsy law for slow viscous flow past a stationary array of bubbles, Proc. Royal Soc. Edinburgh, Sect. A, v. 114 (1990), p. 71-79.

131. Lipton R., Vernescu B., Homogenization of two-phase emulsions, Pros. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A, v. 124 (1994), n 6, p. 1119-1134.

132. MacCamy R.C., Wong J.S.W., Stability theorems for some functional equations, Trans. AMS., v. 164 (1972), p. 1-37.

133. Marusic-Paloka E., Mikelic A., An error estimate for correctors in the homogenization of the Stokes and the Navier-Stokes equations in a porous medium, Boll. Un. Mat. Ital. A(7), v. 10-a (1996), n 3, p. 661-671.

134. Mikelic A., Homogenization of nonstationary N a,vier-Stokes equations in a domain viith grained boundary, Ann. Mat. Pure Appl., v. 154 (1991), p. 167-179.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 267

135. Mikelic A., Mathematical derivation of the Darcy-type law vrith memory effects, governing transient flow in porous media, Glasnik Mat., v. 29 (1994), p. 57-77.

136. Nguetseng G., A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization. SIAM J. Math. Anal., v. 20 (1989), p. 608-623.

137. Nguetseng G., Asymptotic analysis for a stiff variational problem arising in mechanics. SIAM J. Math. Anal., v. 21 (1990). 11 6, p. 1394-1414.

138. Nguetseng G., Sanchez-Palencia E. On the asymptotics of the vibration problem for a solid-fluid mixture, Bull. Sci. Math., v. 107 (1983), и 2, p. 413-435.

139. Panasenko G., Multicomponent homogenization of the vibration problem for incompressible media with heavy and rigid inclusions, Сотр. Rend. Acad. Sci. Paris. Ser. I, v. 321 (1995), p. 821-826.

140. Polisevski D., On the homogenization of fluid flows through periodic media, Rend. Sem. Mat. Univers. Politec. Torino, v. 45 (1987), n 2, p. 129-139.

141. Polisevski D., Uniqueness for the Navier-Stokes problem in periodic media, Bull. Math. R. S. R.- Noi.iv. Serie, v. 32 (1988), n 2, p. 161-166.

142. Polisevski D., Further rema.rks on the appearance of Darcean convection, Rev. Roumaine Math. Pure Appl., v. 37 (1992), n 4, p. 335-343.

143. Polisevski D., Saint Jean-Paulin J., Homogenization of Stokes-Boussinesq flows in a quasiperiodic domain, Rev. Roumaine Math. Pure Appl., v. 40 (1995), n 9-10, p. 797-80S.

144. Sanchez-Palencia E., Comporteinents local et macroscopique d'un type de milieux physiques heterogenes, Intern. J. Eng. Sc.i., v. 12 (1974), p. 331-351.

145. Sanchez-Palencia E., On the asymptotics of the fluid flow past an array of fixed obstacles, Intern. J. Eng. Sc.i., v. 20 (1982), p. 1291-1301.

146. Sanchez-Palencia E., Einstein-like approximation for homogenization vrith small concentration. I Elliptic problems, Nonlinear Anal., v. 9 (1985), p. 1243-1254.

147. Sandralcov G.V, Homogenization o f the nonstationary Stokes equations in a perforated domain, Homogenization and Applications to Material Sciences. Proceedings of the International Conference, Nice. Gakkotosho, Tokyo (1995), p. 383-392.

148. Sandrakov G.V, Influence, of viscosity on acoustic ph.enom.ena in porous media, Russ. J. Numer. Anal. Math. Moddelling, v. 13 (1998), n 3, p. 245-264.

149. Sandrakov G.V, Homogenization of dynamical problems of the theory of strong nonhomogeneous elastic media, Book of abstracts. Tenth International Conference, Riga, 1998. Riga, Latvia. (1998), p. 94.

150. Tartar L., H-m.easure.s. а new approach for studying homogenization, oscillation and concentration effect in partial differential equations, Pros. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A, v. 11.5 (1990), n 3-4, p. 193-230.