Метод производящего функционала в сильно коррелированных и спиновых системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Чащин Николай Иванович

МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩЕГО ФУНКЦИОНАЛА В СИЛЬНО КОРРЕЛИРОВАННЫХ И СПИНОВЫХ СИСТЕМАХ

01 04 07 физика конденсированного состояния

иц-'

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2005

Работа выполнена в отде к- магматической и теоретической физики ордена Трудового Красного Знамени Института физики мел а члов УрО РАН

Научный руководигепь чтен корреспондент РАН

доктор физико магматических наук профессор Ю Л. Изюмов Официальные оппоненты доктор физико математических наук

профессор Ю Н Скрябин доктор физико математических наук профессор М П Кащенко Ве 1ущая организация Уральский гос\ дарственный университет

им А М Горькою

Защита СОСТОИТСЯ

2005 г в

И

часов на засе

дании шссертационною совета Т, 004 003 01 при Институте физики метал юв \рО РАН по атресч 020219 г Екатеринбург Г( П 170 \л С Ковалев (кой 18

С диссертацией можно ознакомиться в биб пютеке Инстипта физики метал тов УрО РАН

Автореферат разоспан 2005 г

Ученый секретарь диссертационного совета «

доктор физ мат наук ✓-/г. п)Чошкарева Н Н

Актуальность темы.

В настоящее время одной из приоритетных областей теоретических исследований в теории твёрдого тела являются системы с сильными электронными корреляциями. Всесторонне и полно изучение сильно коррелированных систем ведётся в рамках ряда электронных и смешанных моделей: модели Хаббарда, ^-модели, периодической модели Андерсона, sd-обменной модели Эти внешне простые модели, содержащие небольшое число энергетических параметров, были первоначально предложены для описания магнитных свойств веществ, фактически же. область их применения оказалась много шире. Однако, теоретическое изучение этих моделей столкнулось с серьёзными трудностями, связанными с тем, что в области сильных и промежуточных корреляций обычная тория возмущений по параметру взаимодействия не применима.

За прошедшие годы были предложены многочисленные пути преодоления этой трудности (см.обзор [1|) и в этом ряду особое место занимает теория возмущений вблизи атомного предела (при нулевом значении матричного элемента перескока электронов по решётке) и естественным способом попрдовательного построения такой теории может служить теорема Вика, обобщённая на случай операторов, не коммутирующих на с-число (например. Л'-операторы Хаббарда, уже включающие в себя электронные корреляции) Построение рядов диаграммной техники с такими операторами является самостоятельной нетривиальной задачей, впервые осуществлённой для модели Хаббарда и £.Г-модели в работах [5, 9]и для модели Гейзенберга с S-операторами [7].

Существует и другая возможность осуществления этой задачи - метод производящего функционала (GFA), предложенный Кадановым и Беймом[2] более сорока лет назад и применённый ими к системе коллективизированных 5-электронов со слабым кулоновским взаимодействием. Суть метода заключается в том, что уравнения движения для ФГ записываются в присутствии флуктуирующих в пространстве и времени вспомогательных полей Это позволяет вместо бесконечной цепочки, зацепляющихся уравнений записать од-

но замкнутое уравнение в вариационных производных по этим полям для так называемого производящего функционала 1[У] Функционал ф 1уктуи-рующих полей 1[У] является обобщением статистической суммы модельной системы в присутствии внешних полей В этом случае при подходящем выборе оператора V, включающего в <ебя вспомогательные поля, различные ФГ определяются вариационными производными от 1[У] по этим полям В конце всех вычиспений для получения физического результата эти фуктуирующие поля необходимо положить равными нулю, и функционал 1[У] в этом случае превращается в статистическую сумму модели Применение этого подхода к системам с сильными корреляциями является перспективной и актуальной задачей

Цель и задачи работы.

Основной по( тавленной целью являлось обобщение метода производящего функционала на модели представленные в терминах операторов, не коммутирующих на г-число и в (вяш с этим решались следующие задачи

1 Вывод основных уравнений в вариационных производных для функций Грина модельных систем, нахождение и исследование их простейших решений выявление общих черт полученных результатов для различных моделей

2 Разработка общего алгоритма нахождения функций Грина, определяющих восприимчивости системы различного типа магнитные поперечные и продольные , зарядовые и другие

3 Исследование на основе разрабатываемого метода проблемы флуктуации продольных спиновых компонент для изотропного гейзенберговского ферромагнетика

4 Получение в модели Хаббарда приближения среднего поля с помощью подгоночных параметров, учитывающего статические флуктуации спина и заряда, и исследование в рамках этого приближения спектра квазича-стии а также возможности возникновения корреляционного перехода металл

диэлектрик

Научная новизна.

В представляемой диссертационной работе метод производящего функционала последовательно обобщён на модельные системы: электронные, спиновые, смешанные, гамильтонианы которых представлены операторами не коммутирующими на с-число. Для всех рассмотренных моделей оказалось возможным в едином подходе получить уравнения в вариационных производных для базовых ФГ. Предложена удобная мультипликативная форма решения позволяющая записывать точные уравнения для собственно-энергетической и концевой частей ФГ - скалярные для модели Гейзенбер-га и смешанной вё-модели и матричные для модели Хаббарда. Простейший способ получения решений - итерационный - приводит к теории возмущений вблизи атомного предела. Возможны и другие решения. В частности, разрабатываемый подход позволил выйти за пределы, ранее используемых приближений, при вычислениии динамической восприимчивости продольных спиновых флуктуации в изотропном гейзенберговском ферромагнетике.

Для модели Хаббарда был разработан метод, позволяющий в максимальной степени учитывать статические бозонные флуктуации и приводящий к прибпижению типа среднего поля в сильно коррелированном режиме. Вычисленная в рамках этого приближения электронная ФГ. приводит к двух-зонной структуре спектра со щелью между зонами, исчезающей для п — 1 при некотором критическом значении кулоновского отталкивания ис Достоверность и обоснованность результатов:

1 Выведенные точные уравнения в вариационных производных |1*, 4*. 5*, б*, 7*]допускают решения, полученные ранее другими авторами [5, 7, б] в стандартной диаграммной технике на основе теоремы Вика.

2.Трёхпиковая форма динамического структурного фактора [3*]продольных спиновых флуктуации в модели Гейзенберга, полученная в нашем подходе, качественно согласуется с численными расчётами по методу Монте-Карло [10], выполненными для классической модели ферромагнетика.

3.Физические результаты, к которым приводит приближение среднего поля, разработанное нами на основе анализа точных уравнений модели

Хаббарда, качественно и количественно согласуются с результатами, полученными в работах [12] другими методами.

Результаты, выносимые на защиту:

1.Метод построения уравнений в вариацинных производных для производящего функционала и ФГ моделей, гамильтонианы которых представлены в операторах, не коммутирующих на число. Универсальная мультипликативная форма решений уравнений для ФГ и построение точных уравнений для собствнно-энергетической и концевой частей, определяющих ФГ квазичастиц.

2.Единый алгоритм вычисления бозонных ФГ и, связанных с ними вос-приимчивостей. во всех рассматриваемых моделях.

3.Выражение для продольной спиновой восприимчивости модели Гей-зенберга и численный анализ динамического структурного фактора, обнаруживающий его i рёхпиковую форму.

4.Метод выделения статического вклада из точных у равнений для собственно-энергетической и концевой частей ФГ с помощью подгоночных параметров, что соответствует приближению среднего поля в сильно коррелированной модели Хаббарда. Квазичастичный спектр модели в данном приближении и критическое значение параметра кулоновского отталкивания Ur для условия перехода металл-диэлектрик в наполовину заполненной зоне

5.Впервые полученное выражение для дублонной ФГ - коллективного возбуждения боюнного типа, связанного с коррелированным движением по решётке пустых и дважды занятых узельных электронных состояний. Для случая наполовину заполненной зоны мода становится голдстоуновской на волновом векторе что является признаком нестабильности однородной парамагнитной фазы по отношению к волне зарядовой плотности

Практическая значимость работы.

Предложенный в диссертации подход GFA обладает рядом существе-ных преимуществ по сравнению с другими методами: расцеплением двухвре-менных ФГ и диаграммной техникой на основе теоремы Вика Полученные точные уравнения в вариационных производных позволяет лучше контроли-

ровать приближения, используемые при решении этих уравнений. Идея извлечения приближения среднего поля из точных уравнений очень плодотворна, а ФГ в этом приближении может быть испопьзована далее для вычисления поправки к собственной энергии электрона от динамических флуктуации и для расчёта бозеподобных ФГ. описывающих эти флуктуации. Другое направление использования точных уравнений для электронной ФГ состоит в исследовании магнито-упорядоченных фаз модели Хаббарда. Третье направление - исследование сверхпроводящего состояния и возможность такого решения уже заложена в точных матричных уравнениях, включающих в себя аномальные хронологические средние.

Личный вклад. Чащин Н. Pi. принимал участие в постановке задачи, разработке метода производящего функционала для операторов не коммутирующих на с-число, в выводе всех основных уравнений, их решении и получении физических результатов, представленных в диссертации.

Апробация работы.Результаты диссертационной работы докладывались на 29-й (2002) и 30-й (2004) зимней школе физиков-теоретиков; на симпозиуме Euro-Asian Simposium «Trends in magnetism». EASTMAG - 2004. Красноярск. Россия: а также семинарах в Институте физики металлов УроРАН

Публикации.Wo теме диссертации опубликовано десять научных работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объём диссертации.Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объём составляет 115 страниц, включая 29 рисунков. Список литературы содержит 64 наименования.

Краткое содержание работы.

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертации, дан литературный обзор, сформулированы цели и задачи, крако изложено содержание работы по главам.

В первой главе в духе основополагающей работы Каданова и Бей-ма [2] сформулированы основные положения метода вычисления функций Грина (ФГ) с помощью производящего функционала (GFA) на примере мо-

дели Хаббарда [3] в режиме слабой связи, то есть в области параметров, где кулоновское отталкивание на узле много меньше ширины электронной в-зоны (и ^ Алгоритм построения такой теории состоит из нескольких шагов Во-первых, выбирается линейный оператор V, посредством которого в систему вводятся вспомогательные флуктуирующие поля, и определяется производящий функционал

где Т - оператор хронологического упорядочения. Как видно, Z[V] представляет обобщение статистической суммы в присутствии внешних флуктуирующих полей Во-вторых, записываются уравнения движения для ФГ, характеризующих поведение системы Эти уравнения становятся замкнутыми, если их рассматривать как уравнения в вариационных производных по полям, линейно входящим в V И наконец третий шаг состоит в нахождении решений полученных точных уравнений

В противоположном случае сильной связи I) ^ И , гамильтониан удобнее представлять в операторах уже заключающих в себе корреляционные эффекты например X-операторах Хаббарда [4] Главная трудность обобщения техники ОБА в этом сл\чае состоит в некоммутируемости А'-операторов на с-чнс ю Впервые с подобной трудностью столкнулись при построении диаграммной техники с помощью теоремы Вика [5] [О] а ранее для спиновых операторов модели Гейзенберга [7] операторы спина также не коммутируют на с-число, и это обстоятельство позволило надеяться, что применение подхода ОБА к модели Гейзенберга. чему посвящена вторая глава,- кроме самостоятельного значения может служить ориентиром и для моделей с сильными корреляциями.

Изотропная модель Гейзенберга описывается гамильтонианом

где Л = (¡^Н Оператор V определяется оператором продольной компоненты спина в гейзенберговском представлении свёрнутым по индексам с полом Г] также зависящем от узла и термодинамического времени т (цифровой

8

индекс включает в себя и то. и другое)

V = -Ы'Б;..

Отсюда следует, что производящий функционал (1) даёт возможность получать термодинамические средние и ФГ продольных спиновых компонент любого порядка операцией вариационного дифференцирования Однако, 1[У] при данном выборе У не в состоянии порождать ФГ поперечных спиновых компонент

(3)

и поэтому в следующем шаге для неё составляется отдельное уравнение движения, которое после некоторых преобразований приобретает вид линейного уравнения в вариационных производных по вспомогательному полю V

(4)

Здесь - обратный магнонный пропагатор в

отсутствии обменного взаимодействия I и, кроме того, (о(5^))(Г2) означает свёртку амплитды а по последнему цифровому индексу. Начиная с этого момента, явная зависимость величин от V для краткости при написании будет опускаться.

Сравнение (4) является основным для модели Гейзенберга, и его решение в виде итерационного ряда по степеням / в точности соответствует ряду диаграммной техники, разработанной на основе теоремы Вика в книге [7]. Анализ первых членов этого ряда позволяет сделать предположение об общей структуре решения уравнения (4) в виде следующей мультипликативной формы

Здесь пропагаторная ФГ. связанная с собственно-энергетической ча-

стью магнона М. уравнением Дайсона

а V концевая часть. Подстановка (5) . (6) в уравнение (4) расщетяет последнее на два связанных уравнения

( 5 \ _

(7)

(8)

Уравнения (б), (7), (8) представляют точную нелинейную систему уравнений в вариационных производных. Процедура итерационного разложения этих уравнений по степеням ампчитуды взаимодействия а приводит к рядам для

Установленная тождественность итерационных рядов разложения полученных точных уравнений, рядам диаграммной техники, даёт возможность воспользоваться результатами последней. Продольная ФГ

(9)

рассчитывается самосогласованно в приближении, учитывающем вклады всех простых петель, образованных антипараллельными магнонными ФГ. Подобный подход был осуществлен впервые для модели в работе [9]. где суммировались петли, состав пенные из антипараллельных электронных ФГ. и результат был назван авторами обобщённым приближением хаотических фаз (ОЯРЛ) В рамках данного приближения продольная ФГ в импульсном представлении выглядит следующим образом

(10)

где П, Q, Л, Ф - петлевые диаграммы, рассчитанные в простейшем приближении.

После аналитического продолжения дискретной частоты на действительную ось реальная и мнимая части были рассчитаны в простейшем приближении для энергии магнона Вычисления показали, что при достаточно высоких температурах в системе существуют сильно затухающие продольные спиновые колебания с

Рис 1 Динамический структурный фактор продольных спиновых колебаний

линейным законом дисперсии

П, И 0,43(5'") д,

энергия которых расположена выше энергии спин-волновых котебаний вг На Рис 1 представлен результат численных расчетов динамического структурного фактора

при различных значениях волнового вектора и фиксированной температуре Как видно из рисунка, обнаруживает трехпиковую структуру с дву-

мя широкими максимумами на частотах ±П9 и довольно узким центральным пиком меньшей интенсивности С ростом волнового вектора q высоты этих пиков сближаются и они стремятся образовать одно широкое спектральное распределение Появление области отрицательных значений в озна-

чает, что при данной фиксированной температуре для q < 0,15 примененное приближение GRPA не работает в этой об пасти параметров - области i идродинамического режима Полученные результаты качественно согласуются с расчетами спектралной плотности продольных флуктуации в классической гейзенберговской модели ферромагнетика полученными методом

Монте-Карло [10].

В третьей главе метод GFA, разработанный выше для модели Гей-зенберга, применён к модели Хаббарда [3] сначала для более простого предельного случая U —> оо а затем и для конечных значений U Как уже было отмечено выше, в условиях сильного кулоновского оттаткивания на одном узле по сравнению с шириной затравочной зоны (U 2> И''), гамильтониан Хаббарда удобно выразить в терминах X-операторов: И^Но + И^ [1 6]

где есть собственные значения гамильтониана

Для предельно коррелированного случая U —> 00 извсей СОВОКУПНОСТИ атомных электронных состояний исключаются состояния с двумя электронами на узле "двойкипри этом гамильтониан (11) значительно \ прощается

(12)

1де

/( (/; -химический потенциал)

Вспомогательный оператор V выбирается в виде линейной комбинации всех бозе-подобных, описывающих переходы с сохранением чипа час гиц на vj./ic. А' операторив

Таким образом соответствующим вариационным дифференцированием производящего функционала Z[V] (1) порождаются всевозможные хронологические средние произведений операторов бозонного типа

Стандартным образом записывается уравнение движения для электронной ФГ

в присутствии флуктуирующих полей, которое как и для ФГ модели

Гейзенберга, приобретает замкнутую форму линейного уравнения в вариационных производных

(G0v-)ir - (Й1Ф0,Г - (ait)Tr'JQV? = -¿12(¿i*)

12

Здесь Ф[1']= 1п2[1'7], Сц^Г2 обратный атомный пропагатор электрона I! ирис утствии вспомогательных полей, а аI'"2 предсгавлиег линейную комбинацию вариационных производных по диагональным и недиагональным полям г [8*, 9*]

Решение уравнения (14) ищем в следующей мультипликативной форме

= 2 = (сл)ТГ- м

где С - пропагаторная часть электронной ФГ. подчиняющаяся уравнению Дайсона, и Л - концевая часть Подстановка (15) в (14) расщепляет исход ное >равнение на пару связанных уравнений для концевой и собственно-энергетической частей

{Лй" = 6,2(0^)'"" + (¿С^йГ1-^'^ цр = - ¿12 [¿„„^б^г - + (Ю)

Важно обратить внимание на необходимое прш утствие в этих уравнг ниях нефизических величин Е"" С". Л"", исчезающих при обращении в нуп, вспомогатетьных нолей и Однако, гак как прошводные от них по по.¡ям г"' дают физические величины, то до нахождения окончательного решения сп-брас ывать их из системы (16) нельзя Итерационное разложение уравнений этой системы порождает ряды по степеням матричною элемента перескока электронов по узлам решетки и члены рядов зависят от точных пропа-гаторов б и точных же бозонных ФГ различного порядка подобно тому, как это было при итерациях уравнений (7), (8)

В отличие от рассмотренного выше предельного случая V оо га мильтониан модели Хаббарда при конечных и включает все четыре атомных-электронных состояния. В терминах двухкомпонентных спиноров, составленных из ферм и-подобных (меняющих на единицу число электронов на уз те) А'-операторов

*(го)= . *Чгв)=(ХГ\. пХГ).

гамильтониан (11) приобретает следующий компактный вид

i \ о 1 у a ctiQ2

Здесь — U - 2¿í, а нумерует компоненты спинора и ta¡ „2(г]) представляет матричный элемент двухрядной матрицы

Как и ранее, производящий функционал Z\V] определяется выбором оператора V с помощью которого в систему вводятся вспомогательные флуктуирующие поля

I = vfxf + 42*12'2 + 1Í.VAT,V + v(/x°:a' + vfx¡? +

По своей структуре гамильтониан (17) подобен гамильтониану (12), и поэтому оед\ет ожидать подобных же уравнений Действительно, для матричной (4 х 4) электронной ФГ

£(П)=- t t Í18)

\ (Г!Р*( 1(7,) « Ф\2о2)) {ТГ{ха,) в Щгаг)) j

уравнение движения представляется в виде (ср с (14))

[Ои')- (ЛФГ)(11')-ипа1,)]а1'2) = (Дф)а2) аэ)

Здесь подчеркнутый снизу цифровой индекс включает в себя полную совокупное» дискретных и непрерывных индексов l = (ii т\ 0\ Qi fj) где V\ принимает два значения, нумеруя столбцы матрицы (19) Lg¿( 1,2) обратный матричный электронный пропагатор в атомном предепе (^2 = 0) А - матричный дифференциальный оператор, определяемый вариационными производными по различным полям и, У - матрица 4x4, составленная из интегралов перескоков (см [8* 9*]) Спедует отметить что близкий по форме к уравнению (19) результат получен в статье [8]

Выбор решения в стандартной мультипликативной форме

Щ2) = £(ШЩ1'2), 14

как и прежде расщепляет уравнение (19) нн два связанных матричных уравнения для концевой П(12) и собственно-энергетической частей, итерационное разложение которых приводит к рядам по степеням матричной амплитуды взаимодействия У (12). то есть фактически по степеням tl].

Концевая часть, рассчитана с точностью до первого порядка по Ь (Л = Ло + Л1) Собственно-энергетическая часть £=£' + получена с точностью до второго порядка £'=£', + £', (см [9*])

Простейшим приближением является приближение Хаббард-1 [3]. которое относится к приближению типа среднего поля Сюда же можно отнести и вклад первого порядка в СЭЧ, не зависящий от частоты. Однако, существует возможность дополнитетьного извлечения статической части и из поправки к СЭЧ второго порядка, которая аппроксимируется следующим факторизо-ванным выражением

Константы и р° в принципе, могут быть определены из выражений для и но так как это сопряжено со значительными вычислительными трудностями, в работе используется другой подход [8*, 9*]. Очевидно, электронные ФГ, описывающие межзонные переходы, должны тождественно равняться нулю при совпадающих аргументах, го есть 0°2{\\) ~ (Л'^.ХГ^) =0. £2,(11) = {Л7°Л72} = 0. Эти два условия и дают возможность определить искомые подгоночные параметры. Впервые подобная идея была осуществлена в статьях [11. 12] при работе с композитными операторами в технике расцепления двухвременных ФГ.

Таким образом, объединяя вместе вклады (??), (20), имеем

В этом выражении первый член ответственен ?а сдвиг подзон, а второй перенормирует их ширины, за счет статических флуктуаций спина и заряда Электронная ФГ. определяемая собственной энергией и конце-

(20)

(21)

Рис 2 Химический потенциал, как функция концентрации для а) II = О 5 и Ь) Г/ = 2 3

вой частью Ag, имеет двухполюсную структуру с соответствующими зонными энергиями и матричными (2 х 2) вычетами Параметры n,rf, (па),р° р? определяются самосогласованно

Численное ис( ледование параметров модели проводилось для однородного парамагнитного с лучая в нескольких вариантах с постоянной и эллиптической плотностью электронных состояний и дня п\чая квадратной решетки в приближении ближайших соседей На Рис 2 представлена концентрацион ная зависимость химического потенциала ц при двух значениях кулоновско-го отталкивания U (здесь и далее все энергетические параметры приводят ся в единицах ширины затравочной зоны W), темперал>ре равной н>лю и постоянной плотности электронных состояний Расчеты показывают что с уменьшением U величина скачка химпотенциала при л = 1 уменьшается и при некотором крилическом значении U/W х 1,73 определяемом парамет ром р\ обращается в нуль Это соответствует смыканию подзон то есть переходу диэлектрик металл Эволюция плотности квазичастичных состояний с изменением U для модельной полуэллиптической плотности

показана на Рис 3

Из трех одночастичпых бозонных ФГ в последнем разделе данной главы подробно рассматривается только дублонная

О

|е| > W/2

z>02(12) = - (:Txfxf) =

д2Ф

(22)

6v°2v™

р(Е)

Рис 3 Эволюция затравочной полуэллиптической тотности состояний с из менениеч U п = 1

описывающая коррелированное движение по решетке пустых и дважды sa нягых электронных состояний которая в импульсном представлении имеет вид

iQ„ - (с 2n)-M°-{q) С помощью электронных Ф1 взятых в приб тлении среднего по ля произведен исследование выражения (23) ког w волновой вектор q ~ Q = (i 7г 7г) Расчеты покалывают что свойства по носов дуб юнной ФГ сущепвснно зависят от эюмронной концентрации Д тя случая n < 1 им<(т(и дей( шиельный полюс опреде 1яющий ко 1лективное возбуждение с квадраш шым ¡аконом цн перс ии (вб ш sn Q) и с эжр1 пей амивации U-2fi Эм щ( ib исчсзаег при it = 1 и в системе появляется гоцстомгавская мола возникновение ко юрой косвенно \ называет на нестаби 1ыюсгь однородной па рамагнитной фазы по отношению к волне зарядовой плотности с волновым вектором Q то есть к образованию в системе двухподрешеточной электрон ной структуры [5* 6*]

В четвертой главе рассматривается tJ модель описывающая кор релированное движение в узких зонах электронов, которые связаны между собой обменным взаимодействием Гамильтониан tJ модели получается кано ническим преобразованием гамильтониана модели Хаббарда в пределе боль ших U (см например обзор [13|)

н = Е + Е +\ Е (Х''ХГ - А"АГ) <24>

i(7 i]<7 ija

Первые два члена в (24), соответствуют гамильтониану V -4 ос (12), последний описывает взаимодействие коррелированных электронов с обменным ин-2£2

тегралом ^ — Отсюда следует,что основные уравнения для электронной ФГ 0 этих двух моделей, собственно-энергетической Е и концевой частей А отличаются только аддитивными вкладами от обменного взаимодействия 3.

В последней пятой главе рассмотрена «/-обменная модель и ее сильно коррелированный предел - модель двойного обмена (ШГ-модель). ¿-(¿-модель описывает контактное взаимодействие я-электронов с локализованными в узлах решётки спинами и, в данном смысле, является смешанной моделью фер-мионного газа электронов и модели Гейзенберга. Гамильтониан модели представляется в следующем виде:

И = ~Н(1 + 'Нв — Jsл 53 (5'13СГ1СГ, Сгсг5;

Кг | С1

Я. = £ е<,с+с„ + £ t¡]c+cJa, (25)

га 1)1т

И<1 = "Л^С^,2 - | 53

^ Ч

Оператор V, вводящий в систему вспомогательные поля, записывается следующим образом:

V = -„¡-^ - + + №)

Здесь в отличие от модели Гейзенберга (с.м (2)) дополнительно введены поля, VI , и[, связанные I операторами поперечных компонент локализованных спинов , и. кроме того, поля ■wf.wf.wi~, связанные с операторами спинов коллективизированных электронов. Введение полей, сопряжённых с операторами, средние от которых в нормальных условиях равны нулю, вызвана необходимостью представлять вариационными производными от Ф(У]. появляющиеся при исследовании модели смешанные ФГ. Система, состоящая из локализованных спинов и свободных электронов в рамках нашего подхода требует совместного рассмотрения уравнений движения для электронной ФГ = - {Тсщс^)у и Щ[У) = - (Г5?. Процедура получения уравнений в вариационных производных для [V] и близка той, которая была разработана в первой паве для модели со слабой кулоновской связью

18

и во второй I тавр для модепи Гейзенберга Дтя ыектронной ФГ резу штат в

форме уравнения Дайсона представляется в виде

__у1'71'7?

в котором СЭЧ подчиняется уравнению

д

(27

ди?

8и\ би^ ¿и,

Здесь первый член в (27) представляет хартриевскую поправку, отвечающую за обменное расщепление элктронного уровня второй член описывает все остальные взаимодействия с системой локализованных спинов Магнонная ФГ локализованных спинов, представленная в стандартной мультипликативной форме (5), определяется уравнениями для Маа и Т"0, которые отличаются от соотвествующнх уравнений (6 8) поправками, исчезающими для

Л<1=о

Из точных уравнений в вариационных производных для Е,М,Р достаточно легко получаются решения в виде итерационных рядов по параметру

77т < 1. что, фактически, соответствует режиму слабой связи В принципе. И

эти уравнения можно пытаться решать и для противоположного предельною случая, однако, здесь возникает проблема нахождения с учётом флуктуиру ющих полей нулевого (гг = 0) приближения /ня рассматриваемых величин В таких случаях целесообразно проводить исследование в рамках эффективного гамильтониана Кубо и Охата [14]

ч в\0?

(28)

_ 5 - (5,сг)

где г, = ——- - проекционный оператор на состояния с антипараллель-

25 4- 1

ной ориентацией локализованных 8 и электронных в спинов Проекционный фактор Р,Р) в (28) можно расписать, следуя работе [15], после чего эффективный гамильтониан двойного обмена представляется в виде квадратичной

формы

Um = £ £ V,V№[S2 - 25(5, + S,)saia2 + (S^à^,-

г] o\ai

- £ o'SfSfs^ - £ c'iSfS; - SfSf ] (29)

a' a'

Выбирая оператор V, определяющий производящий фvн^циoнaл Z[V) в виде

можно записать точные, но довольно громоздкие уравнения определяющие элекгонн\ю СЭЧ и магнонную ФГ локализованных спинов Первые итерации этих уравнений дают энергию коррелированных электронов в приближении среднего поля, совпадающую с резульлатами работы [15]

««-TS^'W- 1301

откуда видно что эффективная ширина зоны электрона проводимости существенно зависит от ориентации его спина по отношению к токализованному спин>

В первой части Заключения проведен анализ подхода GF \ к различным модраям и где пан вывод об очевидной схожести полученных уравнений в вариационных производных во всех с п'чаях Данное набпюдение позволило записать универсальные уравнения для ФГ, собственно-энергетических и концевых частей что в свою очередь приводит и к универсальной форме решений уравнений и для электронных, и для спиновых, и для смешанных моделей

Во второй части дан обзор полученных результатов основные выводы по диссертационной и показаны ближайшие перспективы дальнейших иссле дований в этом направлении

Основные результаты и выводы

В представленной работе проведено исследование ряда важных моделей теории твердого тепа, методом производящего функциона id, позволяющие сделать ряд выводов и заключений

1 Подход ОБА разработан для моделей, гамильтонианы которых представлены в операторах, не коммутирующих на г-число. Во всех рассмотренных моделях получены точные замкнутые уравнения в вариационных производных дня собственно-энергетической и концевой частей - величин, определяющих любую ФГ. Простейшим методом приближённого решения являются итерации, приводящие к рядам по степеням параметра, считающегося малым. Данные ряды соответствуют рядам теории возмущений, однако, в отличие от стандартной диаграммной техники, основанной на теореме Вика, их построение много проще и определяется только многократным вариационным дифференцированием производящего функционала.

2.Эффективность данного подхода в модели Гейзенберга была продемонстрирована при вычислении температурной ФГ продольных компонент спина (продольной восприимчивости) В приближении ОЯРА бы л исследован динамический структурный фактор продольных спиновых колебаний поведение которого качественно согласуется с результатами численного моделирования методом Монте-Карло в классической модети гейзенберювского ферромагнетика

3 Л 1Я модели Хаббарда в режиме ппьных корречяций разработана процедура получения приближения среднего поля, учитывающего вклад статических фл\кт\апий спина и заряда, с помощью подгоночных параметров В данном приближении вычислена электронная ФГ, исследование которой показывает, что при половинном заполнении зоны (п= 1). в системе существует фазовый переход металл - диэлектрик при достижении энергией кулоновско-го отталкивания критического значения иг = 1.73^

4.В рамках приближения среднего поля осуществлён расчёт дублонной ФГ в парамагнитной области для волнового вектора и показано, что

при 7? = 1 дублонная ФГ имеет полюс голдстоуновского типа, и это косвенно указывает на нестабильность однородной фазы по отношению к волне зарядовой плотности с волновым вектором р. то есть к образованию в системе двухподрешёточной электронной структуры.

5 Для ¡'./-модели точные уравнения для электронной и магнонной ФГ

были решены в простейшем итерационном приближении Результаты обнаруживают тенденцию перехода системы к магнитному упорядочению за счёт движения электронов по решётке и обменного взаимодействия.

6.В рамках srf-модели показано, что вторая итерационная поправка точного уравнения для собственно-энергетической части приводит к энергии электрона, соответствующей приближению SCBA. Получено также выражение для магнонной ФГ и в области феромагнитного решения на качественном уровне исследовано поведение её полюсов.

7.Модель двойного обмена была рассмотрена, исходя из эффективного гамильтониана Кубо и Охата. В низшем порядке по малому параметру W/Jß для ферромагнитного состояния рассчитана собственная энергия электрона со спином а. состоящей из двух вкладов - вклада среднего поля и хартри-фоковской поправки, определяемой статическими флуктуациями спина и заряда

8.Обобщённый и развитый в диссертации подход GFA. полученные на его основе методологические и физические результаты, могут быть исполь зованы в аналитических расчетах и служить основой дня дальнейших теоретических исследований роти эчектронных коррепяций в формировании физических свойств системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Изюмов Ю.А // УФН 1995 - Том.165, вып 4 - С 403-427

2 Каданов Л.. Бейм Г Квантовая статистическая механика. Метод функций Грина в теории равновесных и неравновесных процессов: Пер. с англ. / Под ред. Д Н. Зубарева. — М. Мир. 1964. -2 5 5 с. (Серия: Теоретическая физика))

3. Hubbard J./l Proc.Roy.Soc.A - 1963. - Vol 276. No. 1365. - С 238-257.

4. Hubbard J. Ц Proc. Roy. Soc. A - 1965 - Vol. 285. No. 1403. - P 542560.

5. Зайцев P.O/I ЖЭТФ. 1976. Том70,вып.2. С 110-117.

6 Изюмов Ю А.. Кацнелъсон М И., Скрябин Ю Я. Магнетизм коллективизированных этектронов. — М . Физматлит. 1994. 368 с

7 Из ю мое Ю 1 Касган о/ш Ф А Скрябин К) Н Полевые методы и тео рии ферромагнетизма М Наука Гл ред физ мат тит 1974 224 с

8 Плакида Н М, Антон Л Адам С, Адач Г , ЖЭТФ 2003 -Том124 вып 2(8) С 367 378

9 kyiimoi YuA and Letjuloi В \1 / / J Ph\s Condens Matter - 1990 Vol 2, No 2 - P 7151-7151

10 Bunker A and Landau D P 11 Phys Rev Lett 2000 Vol 85 Noll P 2601-2604

11 Avella A Mantini F \illani D , Siurakshina L and Yushankhai \ Yu ' Int J Mod Phys 1998 Vol 12 P 81-95

12 Манат F, Avella A / cond mat/0006377 2003 \ ol 4

13 Изюмов Ю A / \ФН - 1997 Том 167 выи 5 С 465 497

14 hubo К, Ohata V J, Phys Soc Japan 1972 Vol 33 P 21 33

15 Hu CD // Phys Sor Ipn - 2000 Vol 69 P 2261-2272 Список публикаций

1* lim мое Ю А Чащин Н И Спиновая динамика гейзенберговского фер ромагпетика в широком интервале температ\р 1 Метод производящего функционала II ФММ 2001 Том 92 вып 5 С 30-38

2* Ihm нов Ю А , Чащин Н И Спиновая динамика гейзенберговского фер ромаг нетика в широком интервале температур 2 Связь с диаграммной техникой '/ФММ 2001 Том 92, вып 6 Г 5-13

3* Изюиов Ю А , Чащин НИ Спиновая динамика ieñ ¡енберговскот фер ромагнетика в широком интервале температур 3 Динамика фт\кг\аций продольных компонент спинов // ФММ 2002 Том 93 вып 1 С 2331

4* куитпоъ Yu А , Chaschin Л I and \ushankhai V Yu Longitudanal spin dynamics in the Heisenberg ferromagnet Diagrammatic approach // Ph\s Rev В 2002 - Vol 65 - P 214425 214442

5* Изюмов Ю A , Чащин H И Анализ ¿./-модели теории сильно коррели рованных систем методом производящего функционала / ' ФММ 2002 Том 94, вып 6 С 17-25

0/-W

6* Изюмов Ю А Чащин Н И sd- модель в терминах уравнений в вариационных производных // ФММ - 2002 Том 94, вып 6 С 5 16 7* Изюмов Ю А , Чащин Н И Модель Хаббарда в представлении производящего функционала // ФММ 2004 - Том 97, вып 3 - С 5-14 8* Изюмов Ю 4 Чащин Н И, Алексеев Д С Метод производящего функционала для модели Хаббарда // Magn Res in Solids (Electronic Journal) - 2004 - Vol 6, No 1 - P 59 73 9* Ю А Изюмов, Н И Чащин, Д С Алексеев Метод производящего функционала для модели Хаббарда // В сб Актуальные проблемы физики конденсированных сред - Казань, Новое знание 2004 10* Ю А Изюмов Н И Чащин Д С Алексеев Метод производящего функционала чля систем с сильнми корреляциями // Euro-Asian Simposium «Trends m magnetism», EASTMAG 2004 - Красноярск Россия

835

24 '" vi,, ;cos

Введение

1 Метод производящего функционала для обычных ферми-систем

1.1 Производящий функционал. Уравнение движения для од-ночастичной функции Грина.

1.2 Итерационное решение уравнения движения.

1.3 Бозонные функции Грина и восприимчивости.

1.4 Производящий функционал и теория возмущений вблизи атомного предела.

2 Модель Гейзенберга

2.1 Производящий функционал

2.2 Уравнение движения для поперечной функции Грина

2.3 Самосогласованная теория возмущений.

2.4 Динамика флуктуаций продольных компонент спина

3 Модель Хаббарда

3.1 Гамильтониан модели в терминах операторов Хаббарда. Производящий функционал и электронная ФГ в пределе

3.2 Итерационные решения уравнений для электронной ФГ в пределе С/ —> оо

3.3 Производящий функционал модели для конечных значений и.

3.4 Уравнение- движения для матричной электронной функции Грина.

3.5 Итерационные решения для концевой и собственно-энергетической частей.

3.6 Приближение среднего поля.

3.7 Бозонные функции Грина

4 /«/-модель

4.1 Уравнение движения для электронной функции Грина

4.2 Магнонная функция Грина и поперечные спиновые колебания

5 8<1-модель

5.1 Производящий функционал. Определение электронной и магнонной функций Грина.

5.2 Уравнение движения для электронной функции Грина

5.3 Магнонная функция Грина.

5.4 Полная магнитная восприимчивость

5.5 Модель двойного обмена.

5.5.1 Эффективный гамильтониан модели.

5.5.2 Электронная функция Грина коррелированного электрона.

5.5.3 Магнонная функция Грина.••.

В настоящее время теория конденсированного состояния вещества развивается по двум основным направлениям. Первое связано с численным расчётом структуры изучаемых веществ, исходя из первых принципов. Современные мощные вычислительные системы и математические методы позволяют получать достаточно точное количественное описание физических систем с учётом особенностей их кристаллической структуры и электронных состояний. Второе основано на аналитическом исследовании моделей, представляющих эти вещества. В модельном подходе, то есть при аналитическом расчёте на основе моделей, выявляются общие закономерности их квантово-статистического поведения в зависимости от внешних и внутренних параметров, конкретным свойствам вещества, при этом, уделяется меньше внимания.

Настоящая работа посвящена исследованию магнитных и электрических свойств некоторых фундаментальных электронных, спиновых и смешанных моделей. Во-первых, это модель Хаббарда вместе с её предельными версиями бесконечного кулоновского взаимодействия и /«/- моделью. Во-вторых, модель Гейзенберга и, наконец, «¿-модель и её предельный сильно коррелированный случай - модель двойного обмена. Перечисленные модели вместе с моделью Андерсона, которая не исследуется в диссертации, являются основными в теории твёрдого тела благодаря их глубокому физическому содержанию и сравнительной простоте. По существу, в рамках этих моделей могут быть аналитически исследованы в том или ином приближении все важнейшие физические свойства твёрдых тел, как магнитные, так и электрические.

Модель Хаббарда является одной из основных моделей электронных систем и в режиме слабой связи, и в режиме сильных корреляций. За сорок лет своего существования были предложены многочисленные подходы к исследованию её возможных состояний, спектра квазичастиц, коллективных мод, транспортных свойств, различных типов упорядоченных состояний и фазовых переходов между ними. Столь значительный период развития, на первый взгляд, простой модели с двумя параметрами -затравочной шириной зоны IV и кулоновским отталкиванием £/ на одном узле - обусловлен тем, что наиболее интересное физическое содержание представляет случай С/ > IV, то есть сильно коррелированный режим. Но как раз в этой области обычная хорошо разработанная теория возмущений по параметру С/ не применима.

Уже первые исследователи пытались отойти от методов, связанных с теорией возмущений, использовали другие подходы. Начиная с пионерских работ Хаббарда [1, 2], успешно применялся метод расцепления двухвременных функций Грина (ФГ). В его простейшем варианте, получившем в литературе название "приближение Хаббард-1", было показано, что электронная зона расщепляется на две подзоны, разделённые щелью порядка [/. Недостатки этого приближения хорошо известны (см., например, обзор [3]), в частности, это расщепление на подзоны остаётся конечным при любом сколь угодно малом кулоновском отталкивании С/. Таким образом, приближение Хаббард-1 не описывает фазового перехода металл - диэлектрик. Позднее Рот [4, 5] усовершенствовала процедуру расцепления уравнений движения, включив корреляционные эффекты ближнего порядка. В работе [б] было показано, что квазичастичный спектр, полученный в работе [5], удовлетворяет точным соотношениям для первых четырех моментов и является наилучшим приближением для спектра с двумя зонами незатухающих квазичастиц. Очевидно, что теория основанная на расцеплении Рот, имеет статус приближения среднего поля. Наиболее продуктивное применение этого подхода было осуществлено для композитных операторов [7]-[11] не только в модели Хаббарда, но и в других моделях сильно коррелированых систем. Вариационный метод Гутцвиллера [12], позволивший на качественном уровне исследовать широкий класс сильно коррелированных систем, также принадлежит к подходам, не использующим теорию возмущений. Другим важным направлением исследований в режиме сильных корреляций является метод вспомогательных частиц (слэйв-бозонов) [13]—[19], в котором основные операторы модели представляются через обычные фермиевские и бозевские операторы рождения и уничтожения с последующим исключением нефизических состояний. Подходящий выбор вспомогательных частиц позволяет правильно отразить физику низко энергетических состояний уже в рамках приближения среднего поля. К сожалению, здесь нет стандартного рецепта конструирования таких представлений и не всегда ясно какие из них адекватны рассматриеваемой задаче.

За последнее десятилетие метод динамического среднего поля (ОМРТ) стал весьма популярным [20, 21]. С его помощью оказалось возможным исследовать поведение почти всех моделей теории коррелированных систем в режиме сильного и промежуточного взаимодействий. Метод БМЕТ является эффективным методом исследования таких систем, хотя и не без некоторых недостатков, так как требует большого количества численных расчётов и имеет проблемы с описанием коллективных мод (см. обзор [21]). Здесь мы не останавливаемся на численных методах, таких как квантовый метод Монте - Карло и диагонализация малых кластеров, так как концентрируем наши усилия только на аналитических методах.

Мы хотим обратить внимание на один из таких аналитических подходов, в рамках которого возможно построить последовательную теорию W возмущений по параметру — и данный подход, очевидно, соответствует теории возмущений вблизи атомного предела W = 0. Суть этого метода заключается в том, что уравнения движения для ФГ записываются в присутствии флуктуирующих в пространстве и времени вспомогательных полей. Это позволяет вместо бесконечной цепочки зацепляющихся уравнений записать одно замкнутое уравнение в вариационных производных по этим полям для так называемого производящего функционала Z[V]. Функционал флуктуирующих полей Z[V] является-обобщением статистической суммы модельной системы в присутствии внешних полей. В этом случае при подходящем выборе оператора V, включающем в себя вспомогательные поля, различные ФГ определяются вариационными производными от Z[V] по этим полям. В конце всех вычислений для получения физического результата поля необходимо положить равными нулю, и функционал Z[V] в этом случае превращается в статистическую сумму модели.

Вначале такой подход - с помощью производящего функционала (GFA) - был разработан для случая слабого взаимодействия Кадановым и Беймом [22, 23] сорок лет назад. Он может быть обобщён на сильно коррелированные системы, если вместо исходных фермиевских операторов рождения и уничтожения гамильтониан выразить через операторы, уже учитывающие корреляции (например, Х-операторы Хаббарда) [2]. Такое обобщение не является тривиальным, так как перестановочные соотношения для Х-операторов не определяются с-числами. Каждый коммутатор или антикоммутатор соответствующих Х-операторов сам является Х-оператором, как это имеет место для S-операторов спинов. Общее число спиновых операторов (S+,S~,SZ) значительно меньше числа различных Х-операторов модели Хаббарда (даже для случая её двух сильно коррелированных предельных форм U —> оо и ¿./-модели), поэтому разработка подхода GFA для модели Гейзенберга кроме самостоятельного значения может, в определённом смысле, служить и ориентиром для модели Хаббарда.

Конечно, точно вычислить производящий функционал и функцию Грина в общем случае невозможно, но уравнения, которым они подчиняются, можно решать приближённо. Один из самых простых методов решения этих уравнений - итерации, в результате чего получаются ряды, эквивалентные рядам диаграммной техники, построенным на основе теоремы Вика. Например, для модели Гейзенберга будет показано, что итерация уравнений для Z[V] приводит к диаграммной технике, ранее построенной традиционным способом [24]. Для модели Хаббарда, хотя и значительно сложнее, итерации также приводят к рядам, которые можно интерпретировать как ряды диграммной техники, но при этом надо иметь в виду, что в силу значительно большего числа Л'-операторов, само построение диаграммной техники с помощью теоремы Вика в модели Хаббарда неоднозначно [26]- [28]. Одно из преимуществ разрабатываемого метода - регулярный, достаточно автоматизированный способ нахождения различных ФГ.

Целью представляемой диссертации является исследование ряда электронных, спиновых и смешанных моделей теории твёрдого тела методом GFA, обобщаемом на случай операторов, не коммутирующих на с-число: хаббардовские Х-операторы и операторы спина S. Отметим, что такие попытки уже были предприняты в работе [29].

В первой главе излагаются основы подхода GFA на примере электронной s-зонной модели со слабым кулоновским взаимодействием (в соответствии с [22],[23]). Здесь представлены все основные этапы нахождения решения в рамках этого метода: выбор вспомогательного оператора V и, определяемого им, производящего функционала Z[V]\ получение уравнения движения в вариационных производных первого порядка для одночастичной электронной ФГ. Составленное уравнение допускает решение в виде итерационного ряда, который в точности соответствует ряду стандартной диаграммной техники для слабого кулоновского взаимодействия. Онако, на практике оказывается гораздо удобнее находить итерационное разложение не для самой ФГ, а для её обратной величины, то есть для собственно-энергетической части, при этом важным является то, что это разложение производится с точными ("одетыми") ФГ. Кроме того, в этой главе на примере вычисления бозонных - магнонной и плаз-монной ФГ - показана определяющая роль одночастичной электронной ФГ: собственно-энергетическая часть в хартри-фоковском приближении, соответствующем первой итерации, позволяет получить для бозонных ФГ решение в приближении хаотических фаз (RPA).

Вторая глава посвящена модели Гейзенберга. Спиновые операторы S+,S~,S2 не коммутируют на с-число, и это усложняет задачу, однако, основные этапы построения теории GFA остаются такими же, что и для модели со слабым кулоновским взаимодействием. Роль одночастичной электронной ФГ играет здесь магнонная ФГ, а роль бозонных ФГ (магнонной и плазмонной) выполняет ФГ продольных компонент спина. В этом смысле поперечная магнонная ФГ является определяющей - базовой - для модели Гейзенберга. Выбором оператора V в систему вводятся вспомогательные флуктуирующие поля и затем записывается уравнение в вариационных производных первого порядка по этим полям, которое одновременно можно рассматривать и как уравнение для производящего функционала Z\y]. Итерационное разложение полученного уравнения точно воспроизводит ряд диаграммной техники, построенной на основе теоремы Вика (24]. Структура членов этого ряда позволяет представить точное решение для магнонной ФГ в виде произведения пропагаторной части, подчиняющейся уравнению Дайсона, и концевой части. Выбранная мультипликативная форма решения даёт возможность расщепить исходное уравнение для магнонной ФГ на два связанных уравнения для собственной энергии (массовый оператор) и концевой части. Из этих уравнений следует, что массовый оператор представим в виде суммы двух слагаемых, один из которых пропорционален обменному взаимодействию 3{у Очевидно, что при итерациях он будет порождать члены, которые в диаграммной технике называются разрезаемыми по одной линии взаимодействия. Второе слагаемое массового оператора воспроизводит члены, не разрезаемые по одной линии. Такое разбиение автоматически приводит к представлению решения для магноной ФГ в виде уравнения Ларкина (см. [30]-[32]).

В последнем разделе главы исследуется динамика продольных спиновых компонент, теоретическое и экспериментальное изучение которых в ферромагнетике ведётся уже более тридцати лет (см., например, фундаментальную работу Вакса, Ларкина, Пикина (ВЛП) [30]), однако, до сих пор нет ясности даже в главном вопросе - какова природа этой динамики. Подход СЕА позволяет выйти за пределы приближений, использованных ВЛП при вычислении динамического структурного фактора продольных флуктуаций в изотропном гейзенберговском ферромагнетике.

В третьей главе рассматривается модель Хаббарда. Шестнадцать различных Х-операторов по сравнению с тремя операторами спина в модели Гейзенберга делают физическое содержание модели Хаббарда значительно разнообразнее, а задачу построения теории вРА много сложнее. Оказалось целесообразным разработать этот подход сначала для более простого (девять операторов) предельного случая V —» оо. Базовой ФГ, для которой составляется уравнение в вариационных производных, является электронная одночастичная ФГ. Представление решения этой ФГ в мультипликативной форме снова приводит к системе двух связанных уравнений: для собственно-энергетическая части, не разрезаемой по одной линии взаимодействия (матричный элемент перескока электрона с узла на узел) и концевой части.

Гамильтониан модели Хаббарда с конечным значением и, записанный в терминах двухкомпонентных спиноров, составленных из фермиподобных Х-операторов, по своей структуре и форме совпадает с гамильтонианом модели и —> оо, но с двухрядными матрицами в качестве энергетических параметров, определяющих движение электрона. Таким образом, матричность величин, формально, составляет единственное отличие уравнений для модели с конечными II от соответствующих уравнений при и оо. Если в качестве базовой рассматривать матричную электронную ФГ размерности 4 х 4, в состав элементов которой дополнительно входят и аномальные ФГ, то получающиеся при этом матричные уравнения для собственно- энергетической и концевой частей по форме полностью идентичны скалярным уравнениям предела 17 оо (см. также работу [42]). Последовательная итерация этих уравнений порождает ряд

IV теории возмущений по параметру —, то есть вблизи атомного предела. Мы ограничились рассмотрением поправок первого и второго порядка и извлекли из них часть, типичную для приближения среднего поля, которая включает в себя вклады, зависящие только от волнового вектора к, но не от частоты. В этом приближении собственно-энергетическая часть состоит из двух членов, определяющих сдвиг хаббардовских подзон и перенормирование их ширины. Процедура выделения статической части близка той, которая применялась в работах [7]-[11], где исследование проводилось методом расцепления уравнений движения для двухвременных ФГ, составленных для композитных операторов (СОМ). Основная идея этого подхода состоит в том, что бозонные корреляторы, описывающие статические флуктуации заряда, спина и "двоек", не рассчитываются с помощью какого-либо неконтроллируемого приближения (например, расцепления и решения уравнений движения), а определяются из общих свойств электронной ФГ [11].

Подходы СГА в рамках приближения среднего поля и СОМ в двухполюсном приближении имеют разные структуры для электронной ФГ, но, несмотря на это, результаты, полученные этими методами для различных свойств модели Хаббарда, оказались в очень хорошем согласии. В частности, ФГ в приближении среднего поля описывает две квазичастичные подзоны со щелью между ними, которая для половинного заполнении исчезает при некотором критическом значении С/ = С/с, то есть, появляется фазовый переход металл - диэлектрик.

С помощью найденных электронных ФГ мы можем рассчитать бозо-подобные ФГ для плазмонов, магнонов и дублонов. Здесь мы изучаем только дублоны - коллективные моды, описывающих коррелированное движение по узлам решётки пустых и дважды занятых электронных состояний. Получено точное уравнение в вариационных производных для ФГ, отвечающей за такое движение - дублонной ФГ. В парамагнитном состоянии при половинном заполнении (п = 1) дублонная мода становится мягкой для волнового вектора = (п, 7г, 7г), что указывает на возможную нестабильность однородного состояния по отношению к образованию волны зарядовой плотности. Когда заполнение отклоняется от единицы (п < 1), полюс дублонной ФГ имеет щель и — 2/х {¡х - химический потенциал), что демонстрирует активационый характер этого возбуждения.

В четвёртой главе подход вРА применяется к ¿./-модели, описывающей коррелированное движение электронов по решётке с эффективным обменным взаимодействием 3 на разных узлах. £ ./-модель генетически связана с моделью Хаббарда, и впервые гамильтониан получен каноническим преобразованием гамильтониана Хаббарда в пределе больших II (7 = —) (см.[33|). С другой стороны, чрезвычайно широкий класс задач, которые исследуются в рамках данной модели, делают её самостоятельной фундаментальной моделью квантовой теории твёрдого тела. Как и ранее, получены уравнения в вариационных производных для собственно-энергетической и концевой частей электронной ФГ, итерация которых порождает ряды теории возмущений по параметру —, что соответствует диаграммной технике, детально разработанной в книге [28]. Кроме того, здесь получено выражение для магнонной ФГ, обобщающее на случай больших С/ магнонную ФГ, взятую в пределе II —> оо.

Последняя пятая глава посвящена яй-модели, в которой фермион-ный газ я-электронов связан контактным обменным взаимодействием («/,</) с локализованными в узлах решётки спинами Б, образованными ¿-электронами. Локализованные спины описываются в рамках модели Гейзенберга, а ¿-электроны - зонной модели. Две разные системы частиц - спины и электроны - требуют двух связанных уравнений в вариационных производных: уравнения для электронной ФГ и уравнения для ФГ поперечных компонент локализованного спина. Электронная ФГ определяется только собственно-энергетической частью (можно сказать, что в этом случае концевая часть тождественно равна единице), а ФГ локализованных спиновых поперечных компонент представляется в стандартной мультипликативной форме. Таким образом, три уравнения в вариационных производных: для электронной собственно-энергетической части , спиновых массового оператора и концевой части образуют систему связанных уравнений, позволяющих получить решения для яй-модели в любом порядке по параметру обменного взаимодействия

В последнем разделе данной главы методом СРА исследуется модель двойного обмена (-О-Е-модель) , которая является предельным случаем ^(¿-модели при условии IV. В этом пределе целесообразно работать с эффективным гамильтонианом, получающимся после проектирования гамильтониана ей-модели на пространство состояний, в котором электронный спин параллелен или антипараллелен локализованному спину, в зависимости от знака параметра JS(^. Этот гамильтониан впервые вывели Кубо и Охата [34]. Получено уравнение в вариационных производных для собственно-энергетической части электронной ФГ , из которого в приближении среднего поля получено выражение для энергии квазичастицы. Кроме этого, получено выражение для магнонной ФГ локализованных спинов, массовый оператор которой вычислен во втором порядке по параметру —

3»л

Выводы

Эффективность данного подхода была продемонстрирована в модели Гейзенберга при вычислении температурной одночастичной ФГ продольных компонент спина (продольной восприимчивости) в приближении, при котором суммируются все петлевые диаграммы. В динамическом структурном факторе продольных флуктуации спина обнаруживается трёхпиковая структура с двумя интенсивными широкими максимумами на частотах О, ~ ±Т(5г)д, соответствующих затухающим модам, и более узким менее интенсивным центральным пиком. По мере приближения к 7л- интенсивность всех пиков быстро растёт и, сливаясь, они образуют одно широкое распределение. При фиксированной температуре ширина пиков меняется практически линейно с ростом волнового вектора (}. Такая картина качественно согласуется с численными расчётами методом Монте-Карло [50] в классической модели гейзенберговского ферромагнетика. Полученная картина работает за пределами гидродинамического приближения, пригодного для малых д и более высоких температур. Эволюция спектральной плотности с ростом температуры от трёхпиковой к однопиковой структуре (вне гидродинамической области) может быть причиной противоречивости экспериментальных данных по динамике продольных флуктуаций в разных ферромагнетиках, полученных с помощью рассеяния нейтронов [49].

Для модели Хаббарда в условиях сильных корреляций из точных уравнений, определяющих электронную ФГ выделены уравнения среднего поля, учитывающие вклад статических флуктуаций спина и заряда. Показано, что двухполюсная ФГ в даном приближении описывает существенные черты квазичастичного спектра и его эволюцию при изменении электроннй концентрации п и величины кулоновского отталкивания на узле I/. Для половинного заполнении п = 1с изменением и возникает фазовый переход металл - диэлектрик при критическом значении ис = 1,73\У, где V/ - ширина электронной зоны свободных электронов.

Приближение среднего поля, полученное в нашем подходе вРА, даёт близкие результаты по структуре электронной ФГ, и по рассчитанным с её помощью физическим свойствам, которые соответствуют результатам, полученным методом композитных операторов ]7]-[11]. В обоих случаях имеет место двухполюсная ФГ. Однако, подход СОМ содержит один параметр р, который находится из условия равенства нулю электронной ФГ при совпадающих аргументах, описывающей межзонные переходы, а в нашем случае возникает две величины рх и р2} определяемые из аналогичных двух условий, так как мы имеем дело с матричной ФГ и существует две сопряжённых ФГ, описывающие такие переходы. В силу очевидной связи между этими условиями, один из этих параметров исключается, и в результате электронная ФГ зависит только от одного параметра р\. По физическому содержанию параметры р и р\ близки друг другу. В подходе СОМ параметр р появляется в результате статических флуктуаций спина и заряда, и в нашем случае выражение для рх также содержит следы подобных флуктуаций. Поправки к собственной энергии электронов за счёт динамического взаимодействия с бозонами в обоих подходах практически совпадают и соответствуют БСВА.

Из всех возможных для модели бозонных ФГ в рамках приближения среднего поля проведён расчёт дублонной ФГ в парамагнитной области для волнового вектора q ~ (7г,7г,7г). Получено её общее, - обладающее правильной симметрией, - выражение, из которого видно, что свойства ной магнонной моды, а другое - на зависимость магнонного спектра от величины намагниченности в системе.

Таким образом, подход СКА, обобщённый и развитый в диссертации, полученные методологические и физические результаты, могут быть использованы в аналитических расчётах и служить основой для дальнейших теоретических исследований роли электронных корреляций в формировании физических свойств систем.

Заключение

Общая структура уравнений различных моделей

Обобщая полученные в представленной диссертации результаты, можно установить значительное сходство между рассмотренными моделями и это сходство выражается в том, что структура основных уравнений в вариационных производных для различных моделей, идентична. Очевидно, что в основе этой идентичности лежит схожесть перестановочных соотношений операторов изучаемых моделей. Данный факт позволяет представить уравнения и решения, следующие из них, в едином универсальном подходе для всех моделей.

Пусть какую-либо модель описывает система операторов двух типов: а = 1,2,.,/ (6.1) и г??;£,+р},7>=1,2,.,6 . (6.2)

Перестановочные соотношения между любыми операторами полной совместной системы (6.1), (6.2) снова приводят к операторам, являющиеся элементами этой системы. В модели Хаббарда, и-модели, модели с бесконечным кулоном в качестве операторов системы (6.1) рассматривались фермионные Х-операторы: Х?" ,Х?2 (и их сопряжённые Х(°,Х29). В роли операторов системы (6.2) выступали бозеподобные операторы Л7*,ЛГ°2 (и их сопряжённые Х?",Х™ ), а также диагональные операторы Х°а, ХУ0, Х'(2. В случае модели Гейзеибсрга операторами первой группы были , , в то время как единственный оператор 5г образовывал вторую группу. Назовём операторы, принадлежащие системе (6.1) основными, а системе (6.2) - присоединёнными.

Гамильтонианы, рассмотренных моделей, в узельном представлении сейчас могут быть записаны в следующем общем виде: = Е н?в?+£ Е (б-з)

Ы \} а/3

Первый член (6.3) представляет одноузельную части гамильтониана, выраженную линейной комбинацией диагональных операторов. Сумма по индексу (1 для Л'-операторов включает операторы Л'00, Хса, Л'22, тогда как для модели Гейзенберга - только оператор 5г. Второй член гамильтониана (6.3) описывает электронные перескоки с узла на узел для электронных моделей и обменное взаимодействие для модели Гейзенберга. Для смешанной ¿(/-модели основными являются операторы двух типов: Сха (с-^ ) для коллективизированных электронов и 5,^,5," для локализованных (I- электронов, так что и эта модель вместе с её сильно коррелированной версией - моделью двойного обмена - представима формой (6.3).

Интересующие нас ФГ строятся и из основных, и из присоединённых операторов: - = - (тв'ву), (6.4) где, как и ранее, цифровые индексы включают в себя номер узла и термодинамическое время г, то есть 1 = (¿1, т{). Стандартным образом определяем производящий функционал г[У} = ((Те~у)) = еф№, (6.5) где символ ((.)) означает статистическое усреднение по ансамблю Гибб-са, а Ф[1'г] может быть назван производящим функционалом связных ФГ. Оператор V представляет взаимодействие системы со вспомогательными флуктуирующими полями и записывается в виде линейной комбинации присоединенных операторов б.б) г р=1

Определим ФГ системы с вспомогательными флуктуирующими нолями в виде

И = -(ТГГЯре-У), (6.7)

VP1¡[V} = ~{ТВрхВре~у). (6.8)

Используя общую схему (см. (А.9)), запишем уравнение движения для ФГ (6.7) в следующем виде: ((Г е~у))+

Т^20е~у)) - ((Г ОТ} е~у)). (6.9)

Подставляя сюда выражение для производной по времени от оператора

6.10) приходим к уравнению, содержащему смешанные. ФГ, то есть ФГ, построенные на операторах Т и В. Далее необходимо выразить эти ФГ через вариационные производные базовой ФГ по вспомогательным полям, используя при этом тождество (АЛО) = ¿12 8рд- (6.11)

В силу полноты системы операторов Т и В уравнение в вариационных производных для Я\У\ оказывается уравнением первого порядка и всегда может быть представлено в следующем универсальном виде

СоЛп') - (ЛФУ)(п-) ~ (АУ)(п>)] д(1'2) = (АФЩ, (6.12) где цифровой подчёркнутый снизу индекс включает в себя дополнительно дискретный индекс а, то есть, например, (/(ц) = (/°]аг и, кроме того, по псом повторяющимся штрихованным индексам предполагается суммирование. В уравнении (6.12) А есть матрица, элементами которой являются линейные дифференциалные операторы, и её вид определяется гамильтонианом модели и перестановочными соотношениями операторов, а У -- матрица, составленная из матричных элементов 7". й^у определяет обратную ФГ при нулевом значении величин Та/3 (У = 0) в присутствии флуктуирущих полей, и выражение ЛФ представляет матрицу, элементами которой являются средние значения присоединённых операторов (В\). Дифференциальный оператор АУ, действующий на~9[У] в левой части уравнения (6.12), описывает все возможные корреляционные эффекты в системе, тогда как член ЛФУ представляет поправку типа среднего поля. Легко видеть, что структура уравнений движения для базовой ФГ во всех рассмотренных в диссертации моделей совпадает со структурой уравнения (6.12).

Следующий этап заключается в нахождении решения полученного уравнения в мультипликативной форме:

12) = <?(И')Л(1'2), (6.13) здесь С? выражается через СЭЧ посредством уравнения Дайсона

С(12)=С0-^(12)-Е(12). (6.14)

Удобно представить £ в виде двух вкладов

Е(12)=Е'(12) + (ЛУ)(12), (6.15) где - иеразрезаемая часть по "линии взаимодействия"}', а вклад "от второго члена (6.15) в этом смысле всегда разрезаем.Таким образом, основное уравнение (6.12) распадается на пару уравнений для Л и

Л(12) = (ЛФ)(12) + (У£)(1'5')Д(Н')Л(2'2), (6.16)

Е'(И) = {УЬ)ШАЫ') - £'(з'2)), (6.17) итерация которых приводит к ряду по степеням матрицы У, то есть фактически по степеням параметра 7~, что соответствует теории возмущений вблизи атомного предела. При осуществлении этих итераций появляются многократные производные от функционала Ф[К] по вспомогательным полям, представляющие одночастичные и многочастичные ФГ, построенные на присоединённых операторах: <бл8)

Многочастичные ФГ (6.19) могут быть выражены через одночастичные (6.18) с помощью тождества (А.11).

Подход СРА к рассмотренным моделям дал возможность по новому подойти к построению диаграммной техники. Разложение производящего функционала по вспомогательным флуктуирующим полям позволило получать диаграммные ряды без использования теоремы Вика. Преимущество развитого подхода по сравнению со стандартной техникой [28] состоит в том, что в этом случае члены разложения для собственно -энергетической и концевой частей одночастичных ФГ определяются уже одетыми ФГ, так что фактически раскладываются только вершинные части.

1. Hubbard J.// Proc.Roy.Soc.A. - 1963. - Vol.276, No.1365. - C. 238-257.

2. Hubbard J. // Proc. Roy. Soc. A. 1965. - Vol. 285, No. 1403. -P. 542-560.

3. HsroMoe K).A.// y®H. 1995. - Tom.165, Bbin.4. - C. 403-427.

4. Roth L.M.I I Phys.Rev. 1969. - Vol.184, No.2. - P. 451-459.

5. Roth L.M.// Phys.Rev. 1969. - Vol.186, No.2. - P. 428-434.

6. Goryachev E.G. ,Kuzmin E.V. and Ovchinnikov S.G. // J.Phvs.C. -1982. Vol.15. - P.1481-1490.

7. Mancini F. , Marra S. and Matsumoto H.// Physica C. 1995. -Vol.244.- P.49-52.

8. Avella A. , Mancini F. , Villani D. , Siurakshina L. and Yushankhai V. Yu./J Int.J.Mod.Phys. 1998. - Vol.12. - P.81-95.

9. Mancini F. and Avella A. // Condens.Matter.Phys. 1998. - Vol.1. -P.11-28.

10. Avella A. , Mancini F. and Miinzner R.// Phys.Rev.B. 2001. - Vol.63. - P.245117- 245131.

11. Mancini F., Avella A.// cond mat/0006377 2003.- Vol.4.

12. Gutzwiller M.C.f / Phys.Rev.Lett. 1963. - Vol.lO,No.5. - P.159-162.

13. Barnes S.E. // J.Phys.F. 1976. - Vol.6. - P.1375-1384.

14. Barnes S.E. // J.Phys.F. 1986. - Vol.7. - P.2637-2647.

15. Kotliar G. and RuckensteinA.E. // Phys.Rev.Lett. 1986. - Vol.57, No.ll. - P.1362-1365.

16. Coleman P. // Phys.Rev. 1984. - Vol.29. - P.3035-3343.17j Richard J.L. and Yushankhai V. Yu.// Phys.Rev.B. 1993. - Vol.47"-P.1103-1111.

17. Wang Y.R. , Rice M.J.// Phys.Rev.B. 1994. -Vol.49. - P.4360-4368.

18. Khaliullin G. .// JETP Lett. 1990.- Vol.52. - P.389-392.

19. Metzner W. and Vollhardt D.// Phys.Rev.Lett.B. 1989. - Vol.62, No.3. - P.324-327.

20. A. Georges, G. Kotliar, W. Krauth and M.J. Rotenberg// Rev.Mod.Phys. 1996. - Vol.68,No.l. - P.33-83.

21. Baym G. and Kadanov LP. //Phys.Rev. -1961. Vol.124. - P.287-291.

22. Кадапов JI., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. Метол функций Грина в теории равновесных и неравновесных процессов: Пер. с англ. "/ Под ред. Д. Н. Зубарева. — М.: Мир, 1964.— 255 с. (Серия: Теоретическая физика))

23. Изюмов Ю. А., Кассан-оглы Ф. А., Скрябин Ю. Н. Полевые методы в теории ферромагнетизма. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974.-224 с.

24. Зайцев P.O.// ЖЭТФ. 1976. - Том70,вып.2. - С. 110-117.

25. Слободян П.М., Стасюк И.В.// ТМФ. Том19. - С. 423-429.

26. Westwanski В. // Phys.Lett.A. 1973. - Vol.44. - Р.27-31.

27. Изюмов Ю. А., Кацнелъсон М. И., Скрябин Ю. Н. Магнетизм коллективизированных электронов. — М.: Физматлит, 1994. -368 с.

28. Дзюб И.П., Николаев В.А.// ТМФ. 1977. - Том32. - С. 237-245.

29. Вакс В.Г., Ларкин А.И., Пикин С.А.// ЖЭТФ. 1967. - ТомбЗ. -С. 281-189.

30. Вакс В.Г., Ларкин А.И.,Пикин С.А.// ЖЭТФ. 1967. - ТомбЗ. -С.1089-1099. '

31. Ларкин А.И.Ц ЖЭТФ. 1959. - Том37. - С.264-271.

32. Chao К.А., Spalek J. and Oles A.M.// J.Phys.C. 1972. - Vol.10. - P. L271-L283.

33. Kubo K, Ohata N.J.//Phys. Soc.Japan. 1972. - Vol.33. - P.21-32.

34. Izyuama T., Kubo D. and Kubo R.// Phys. Soc. Japan/ -1963. Vol.18.- P.1025-1036.

35. Боголюбов H.H., Тябликов C.B.// ДАН СССР. 1959. -Том126. -С.53-59.

36. Изюмов Ю.А., Скрябин Ю.Н. Базовые модели в квантовой теории магнетизма. Екатеринбург: УрО РАН, 2002 - 224с.

37. Изюмов Ю.А., Скрябин Ю.Н. Статистическая механика магнито-упорядоченных систем. М: Наука,1987 - 323с.

38. Изюмов Ю.А.ЦУФН. 1997. - Том167, вып.5. - С.465-497.

39. Изюмов Ю.А., Чащин Н.И. // ФММ. 2001. - Том 92, вып.5. -С.30-38.

40. Izyumov Yu.A. , Chaschin N.I. and Yushankhai V.Yu. //'Phys.Rev.B.- 2002. Vol.65. - P. 214425-214442.

41. Плакида H.M., Антон Л., Адам С., Адам Г.// ЖЭТФ. 2003. -Том124, вып.2(8). - С.367-378.

42. Plakida N.M.// Physica С. 1997. - Vol.282. - Р.1737-1746.

43. Форстер Д. Гидродинамические флуктуации, нарушенная симметрия и корреляционные функции — М.: Атомиздат, 1980. 185с.

44. Izyumov Yu.A. and Letfulov В.M.// J.Phys.: Condens.Matter. 1990.- Vol.2, No.2. P.7151-7151.

45. Yu.A. Izyumov, В.M. Letfulov and E.V. Shipitsyn/ j J.Phys.:Cond.Mat.- 1992. Vol.4. - P.9955-9963.

46. Wilkox R.N. //Phys.Rev. 1968. - Vol.174. - P.624-623.

47. Kwok P.C. and Schultz T.D.// J. Phys. C: Solid State Phys. -- 1969. -Vol.2. P.1196-1204.

48. Mitchell P.W., Cowley R.A.and Penn R.// J.Phys.C: Solid State Phys.- 1984. Vol.textbfl7. - P. L875-L881.

49. Bunker A. and Landau D.P.// Phys.Rev.Lett. 2000. - Vol.85, No.ll.- P.2601-2604.

50. Ruckenstein A.E.and Schmitt-Rink S.// Phys.Rev.B . 1988. - Vol.38.- P.7188-7196.

51. Kulic M.L. and Zeyher R./J Phys.Rev.B. 1994. - Vol.49. - P.4395-4404.

52. Zeyher R. and Kulic M.L.// Phys.Rev.B. 1996. - Vol.53. - P.2850-2861.

53. Zeyher R. and Kulic M.L.// Phys.Rev.B. 1996. - Vol.54. - P.8985-8991.

54. Kulic M.L.and Zeyher R./f Mod.Phys.Lett. 1997. - Vol.11. - P.333-337.

55. Cappelluti E. and Zeyher R.// Int.J.Mod.Phys.B. 1999. - Vol.13. -P.2607-2618.

56. Изюмов Ю.А., Чащин Н.И. // ФММ. 2001. - Том 92, вып.6. -С.5-13.е

57. Изюмов Ю.А., Чащин Н.И. // ФММ. 2002. - Том 93, вып.1. -С.23-31.

58. Изюмов Ю.А., Чащин Н.И. // ФММ. 2002. - Том 94, вып.6. -С.17-25.

59. Plakida N.M., Hayan R. and Richard ././/Phys.Rev.B. 1995. - Vol.51. - P.16599-16608.

60. Изюмов Ю.А., ВонсовскийС.В.//ФММ. I960 - ТомЮ. - С.321-327.

61. Wang X.// Phys.Rev.B. 1998. - Vol.57. - P.74277438.

62. Furukawa N.J.//?hys. Soc.Jpn. 1972. - Vol.65. - P.21-29.

63. Ни C.D.J/ Phys.Soc.Jpn. 2000. - Vol.69. - P.2261-2272 .