Метод возмущений в задачах о распространении поверхностных волн в анизотропных упругих средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

самарский государственный университет специалшпрованшп совет к c63.94.0i

Ih правах руяошюи

¡шсеев вадаир Михайлович

МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ЗАДАЧАХ О РАСПРОСТАНЕНИИ ПОВЕРХЮСШК ВОЛИ В АНИЗОТРОПНЫХ УПРУГИХ СРВДАХ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого

твердого тела

Автореферат

диссертации lía ссжсгашгз ученоп степени кандидата ф!!зико-;хате!лат1пхвсп;1х наук

Самара - 1992

Работа выполнена в Воронежской иткшарно-строигельноы институту.

Научный руководитель: кандидат физшсо-1нте!.:атшгескнх шук, доцент Россихнн Ю.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических тук, профессор Чигарев A.B. доктор технических шук, Сыгуров П.Н.

Ведущая оргаштция: институт автоматики и процессов управления №0 АН СССР, г. Владивосток

Защита состоится____¿i А Л________1992 г.

в ауд. 203 да заседании специализированного совета:К.063.94.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Самарском государственном университете по адресу: 4430И г.Самара, ул. Академика Павлова, 1.

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного университета. Автореферат

университета. /j

разослан " j^T______*9S2 р.

Учений секретарь ß

специализированного совета ' Федечез

таг-::.....I

. гэ- .

:сс',л '' ' Общая характеристика работы

Развитие современных'разделов науки, таких как кибернетика, электроника, оптика, физика твердого тела, ядерная физика, космической и лазерной техники, а также точных технологий немыслимо без применения анизотропных материалов, в частности кристаллов. В связи с этим процессы и явления, происходящие в кристаллическом веществе, настоятельно требуют всестороннего и глубокого пх изучения. Одними из важнейших при этом являются динамические процессы распространения волн в кристаллах, в частности поверхностных волн в полупространствах со свободной границей. Свое развитие теория поверхностных волн в кристаллах-получила в работах Стоугаш Р., Вухвальда В., Турсунотза Д.А., Лоте Е., Бартнетта Д., Лима Т., йарнелла Дя., Альпшца В.Й., Викторова И.А., Любимова В.Н., Савинкова Д.Г.

Стоунли принадлежит пионертая работа о распространении ре-леевской волны на базисной плоскости кубического кристалла. 11м получены общие выражения для волновых характеристик в случае распространения волны вдоль кристаллографических осей и по направленна [иоЗ . Бухвадьд и Довис наряду е 1Урсуповым и др. получили численные результаты для Произвольных направлений в плоскостях симметрии различных кубических кристаллов. Лгал и Фарнелл исследовали численными методами некоторые плоскости в кристаллах различных симметрия и изучали вопросы распространения поверхностных, а также псевдоповерхностных ют "оттекащих" волн.

Теорема Лоте-Барнетта связывает вопрос о существовании и единственности поверхностной релеевской волны з кристаллическом

V

полупространства с наличием «ли отсутствием решения динамической задачи в виде объемной квазипоперечной волна, удовлетворяющей условиям' на свободной от напряжений границе (волна Фарнелла).

Задача о распространении полны Шарнелла в кристаллах произвольной симметрии решалась в работах Лоте и Альшица.

Алгебраическая система разрешающих уравнений динамической вадачи о распространении гармонических волн в кристаллическом Полупространстве является нелинейной. Основой для поиска решений этой системы с заданными свойствами в общем случае может стать метод возмущений. Так Любимов и Санников рассматривали волновые процессы, вводя в качестве малых параметров углы, на которые отклонятся плоскости и направления распространения поверхностной волна от.плоскостей и направлений, вдоль которых система может быть разрешена аналитически.

Другая важная задача динамики упругих тел связана с поиском решений, в которые трансформируется известная волна, бегущая по изотропному полупространству, в результате приобретения им слабой анизотропии, что является результатом слабого искажения упругой симметрии материала. Такого рода эффекты югут возникать, например, в результате механической обработки поверхности материала или кристаллизации поликристаллического вещества. Задача о трансформировании волн при наложении на кубический кристалл слабого искажения с гексагональной симметрией рассматривалась Банниковым и Любимовым, а распростанание волн Релея в слабо анизотропном полупространстве изучалось в работах Россихина,

Цель_работы. Используя метод малого параметра, определить . области существования решения динамической задачи теории упругости в виде поверхностных волн с заданными свойствами в реальных кристаллических полупространствах со слабой анизотропией и вычислить волновые характеристики втих решений; решить задачу о трансформировании волны Релея и ЗН -волны, распространяющихся в изотропном полупространстве, в случае, когда среда приобретает

слабую аниэотг>опии,*вылвить основные з#екты и особенности распространения поверхностных волн в полупространствах с произвольной анизотропией.

диссертации использованы метода возмущений: метод малого.параметра, метод растянутых параметров, метод сдвига. Для проверки результатов, полученных аналитически, использовался танке численный метод последовательных приближений.

. Шучнзя нов из! и. Основные результаты,'полученные в диссертации, являются новыми. К ним относятся:

- построение равномерно пригодного решения в виде релеевской волны для любой пары "плоскость - направление" в кристалле произвольной симметрии со слабой анизотропией;

- формулировка эквивалентной модели слабоанизотропного материала (ЭСАМ), построенной на базе монокристалла .конечной анизотропии;

- решение задачи о трансформировании водны чистого сдвига, бегущей по изотропно^ полупространству, в результате приобретения полупространством слабой анизотропии произвольной симметрии.

Теоретическая и практическая_зтчимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и разработанные в ней метода могут быть использованы при построении различных волновых решений в-слабо анизотропной среде, например, поверхностях золн в слоистых средах, волн в пластинках, поверхностных волн га криволинейных поверхностях и так далее. Практическая значимость рассмотренных в ,диссертации проблем обусловлена весьма широкой возможностью использования ее результатов, тпргалер, в сейсмологии и сейсморазведке, дефектоскопии, связи и при решении других технических задач.

Ащобация_Еаботы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах в Институте проблем механики АН СССР в

1986 г., в институте механики Воронежского Госуниверситета в

1987 г., в института механики Московского Госуниверситета п ! 1989 г., а также на научных кон|еренциях Воронежского инженерно-

строительного института в 1985-1991 г.т. . *

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы вче-ззырех работах, • -три'из которых написаны э соавторстве с тауч-шм руководителем. ...

- • Объем и структура. Настоящая работа состоит.из введения,, •грех.глав, .заключения и списка литературы и.содержит 154 страницы ' основного машинописного текста (без списка литературы), а такие 23 страницы иллюстраций. Список литературы содержит 91 наименование.

_ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В пераой гларе диссертации приводятся дифференциальные уравнения движения -и граничные .условия на свободной поверхности й выписываются определяющие соотношения, моделей, упругого однородного слабо анизотропного тела при малых деформациях.

Предположим, что поверхностная, волна расцространяется. вдоль ненапряженной границы ' ^ - 0 упругого анизотропного, полупространства ^ > О ; Система, дифференциальных уравнений и граничных условий на.свободной поверхности имеет вид

где " тензор модулей упругости, Щ - вектор переме-

щений,^ - плотность, - время; запятая после пшене г о индекса означает дифференцирование по времени или координате.

.. . Рассматривается монокристалл произвольной симметрии с упругими коэффициентами С у ^ и строится эквивалентная ему слабо анизотропная модель, упругие коэффициенты которой имеют вид

»£°> лС)

„ „ „ ' ,„ „ „ „

( 2 )

где Д у'ке. = -Я <5у С)кг, "ЧР^к^Зи^У к°мпоненты тензор упругости изотропного материала, - символ КронэкераД^кС.

и ■

- компоненты некоторого тензора четвертого ранга, & - малый параметр, М - коэффициенты Ламэ.

■ О' Л (о')

.Дяя нахождения величин Лу^ - используется метод Хилла, который состоит в том, что по известным упругим коэффициентам монокристалла С^кС. находятся изотропные коэффициенты К (модуль объемной упругости) и^ соответствующей ему поликристаллической модели, которая в среднем ведет себя так ие, как и монокристалл. Если компоненты ^.доопределить по формуле.

то соотношение ( 2 ) можно представить в виде

•Яу-кг = & - я^О с з)

т.е. при £=0 построенная модель переходит в изотропное тело, а при.А - в монокристалл. Гипотетическое твердое тело, матрица упругих коэффициентов которогр задается фор;,улой ( 3 ). назовем эквивалентной слабо анизотропной моделью (ЭСАМ) монотсрис-таллического тела.

Наряду с моделью ( 3 ) приводится используемая в работа модель слабо анизотропного материала. (САМ), предложенная Росси-

хиным и описывающая реальные материалы со слабой анизотропией, например, вольфрам, алюминий, молибден. В модели CAI.! предполагается, что

Приведены выражения для коэффициентов Aijkt для кубических и гексагональных кристаллов в системе координат tji , положение которой относительно кристаллографических осей Х^ определяется углами Эйлера.

Описываются метода возмущений, используемые в диссертации: метод малого параметра, метод,растяжения, метод сдвига.

Глава заканчивается обзором основных работ, посвященных различным поверхностным волнам в анизотропных срезах.

В главе 2 методом малого параметра строится решение системы ( I ) в виде суперпозиции двух квазипоперечных ('п = квазипродольной (п=5)волн смешанной поляризации

Uí-Í Л ЦП) ехР t - í-tot у« t)k(n)] т, 3.

n>1 иг

= c¿); D^UOC^"1 , 1^5= O (4)

откуда следует, что гармоническая волна распространяется по. направлению оси уJ, со скоростью .'Cj и затухает с глубиной , ¿ели Re * С(п) ~ скорости парциальных составляющих, со - час-

тота. . . ...

Характеристики волны представляются в виде рядов по £ , а вектор амплитуды каждой парциальной составляющей раскладывается по трем взаимно ортогональным векторам D (п)7 ^ j ^frO > т-е>

А _ fA™ * Г л у

СЮ \(о)

<< Ж)- СС * *«V 8 Ьс«. С-в <г- о*

С 5 1

В нулевом приближении^ получено, что скотэость объемной волны принимает значение ^ 'скорость пподоль- _ ной ВОДНЫЙ, С С -Р''^ (СК°Р0°ГЬ двух СЛИВШИХСЯ поперечных волн'*. На продольной волне Р ('а)-С^ (з)= О, К - произвольная постоянная. На попервчных волгах амплитуды определяются соотношениями

г С°) п _ (о) (о) п _ Ь1кк_( 6 1

"члгг (<*Г а(ооО, (оЦ / и <Ю - дао) 3 5 2Сщ у,,* &>-2

а скорость волны из уравнения

М,1-^01"* М'г/г - 0 .

( 7

Выражения для первых приближений скоростей кЕазипоперечных парциальных составляющих скоростей С^ имеют вид

( 8 > Ч

и< | I' - \

Здесь и далее верхний знак соответствует « нижний -

С(=2 • Ппи этом нижние индексы 3 и оС=1,2. , стоящие в скобках, относятся в нулевом приближении к продольной и двум слившимся

поперечным волнам соответственно, а в остальных приближениях-к квазипродольной и двум отдельным кваэипоперечным волнам. При этом индексы с<= 1,2. ставятся только у тех величин, которые принимают различные значения на квазипоперечных объемных волнах.

Амплитуды квазипродольной волны для П. -го приближения вычисляются по формулам

А(п) А (п-ь) Сз) -I „2.^1 (т) (*-">)

ай» = 5?0л > 'а- « с « СО 2 ь ^ р к .

. (о) >(о) , СйЗ _7/](0) & (г} .(5-г) '

уке. г=о«Кет) ССт) ? V. ^ /

Скорость квазипродольной волны определяется из уравнения „СвК (о) ,

Выражения, поденные для -го приближения амплитуд ива-зкподеречкых волн имеют вид

- У лСп2 1(п'к) р^.у р£ИиГп-к) п "О £ ^ , Сп-К) (ГТ) П Епз'. (п-ю п ч , , П

гг.? .£о) ггз

(10 )

. ( •*<~| ^[О} ^сгз гт-1

^ * Р«)

с - ьрж Р« - а^

С) ■ ^^

- и

арЯ-п о vVtvn tx+n г i tti i О) \Со)

m=2 гКС¿Ato iec'tel~si' еГ kL '<

p> л W , л

ijKevt(mV ^iju^em

+

•«'ода, сед^г1

Для определения И, -го приближения фазовых скоростей квазипоперечных- волн при >Ъ>1 получено уравнение

г,СП+-П л л СН+-13 л „

а скорость поверхностной волны ^^определяется из соотношения

С 12)

ftcnx - i f^m^-.o

'Амплитуды Л ?/л\ .зависят от И+1 произвольных постоянных

1 &) I Ctt) ilt>

"(jjj-'v (3) > так как в самой постановке задачи отсутствует причина, вызывающая распространение поверхностной волны. На рис.Л представлены результаты расчетов величин

для плоскости (ОИ), проведенных на базе ЭСАН монокристалла никеля при значении £ и 0,32 (сплошные линии) в сравнении с результатами, полученными для монокристалла никеля ( £ — = 1) в работах 'Дк.Фарнеляа (штриховые линии!. Цифрами -Гиб,

2 и б, 3 я 7, 4 и 8 отмечены соответственно графики величин квв1в), Re еч(2)/ tf¡ti¿iCi) ~ - t/fn, (3). При вычислениях прйнимапись следующие значения упругих постоянных: J^ =

■ 929кВар' К = 1875кБар- = 250кБар' Иэ графиков видно,

45-

-i

-Oí

/ / 8/ / / / ........ ,., ^..i-" ■ - — ■■'■

/ / / / / / ' / / /

У

\ ^ т i/ \\.. 6

[001] Ж

60'

um

Рис. i

что в поведении аналогичных кривых наблюдается хорошее качест- . венное соответствие.

Анализ решения, проведенный основе численных результатов, представленных на рис. 1 в виде графиков, показывает, что при значениях <рв<рг«'б7° решение ( 4 ) становит-

ся непригодным. В этом случае

^ОГ^иг.), ¿0.) г = -с«О (13)

Выполнение этих условий означает, что две квазгапперечные "вол-ш сливаются в од!^ и соотношения ( б ), (10 ) теряют сиясл.

По направлениям, удовлетворяющим условиям (13 ), 'строится, новое решение для поверхностных волн в виде

и1= { [4+^ А]ехР ^ к)+ АШ ехр (у, ^(5))} * (14 ) х'.ехр (Чсо-Ь + ^рг.)

Из формул ( 8*) следует, что соотношения (13 ) эквивалентны условию

¿1=0 ■ (15 )

.Действительная и мнимая части (15 ) представляют из. себя поверхности в пространстве параметров ^ Параметры 1р,

г является углами Эйлера, связывающими систему координат с системой кристаллографических осей Х -(см. рис.2). Уравнения;.! (25 ) удовлетворяет особая кривая,- вдоль которой эти поверхности пересекаются. Значения параметров на особой кривой обозначаются через ^р-^ $0/ ^ Для уточнения направления, вдоль которого распространяется вырожденная волна (14 ) предложено разлонение параметров по степени!,I £ а окрестности особой кривой

Рис* 2

: Итак,' для некоторых, таправлений распространения поверх--ностной. волш волновые характеристики не определяются ив. общих

■ соотношений.(6)-(12). Такие особые направления удовлетворяют одному из следующих соотношений

¿ = ° - • (IV)

1

^-О Э^к^к-о (18 )

Л /О З^к^к^О (19)

Особые направления (17) соответствуют сильно^, акустическое вырождению (при этом совпадают все приближения скоростей

- 15 -

- . "i

квазипоперечных волн). В окрестности отих направлений и

Л toi IZ.1

нулевые приближения амплитуд pfd), и скоростей wj}

имеют порядок . С . Величина. H (<*.)/ -^гл)/ WoU имеют уже порядок X ~s и т.д. Поэтому вблизи направления, удовлетворяющего условии (17), о.ростом порядка приближения нарастает сингулярность. решения, т.е. решение.(б)-(12) становится непригодным и для его регуляризации используется метод растянутых параметров в виде

' tp-X+îfk

К-1

оо

К = 1

( 20)

<JS=Ï + Z (¿(ЪЪ, Г) г'

k=T I

где /£/ ^ - новые параметры.....

Разложение системы (5) с учетом (20) приводит к построении в окрестности, кривой. (17) решения в виде трехпарциальной. волны, вида (4), причем'при Я^фо, % это решение

непрерывно переходит в двухпарциальнув волну (14), а преобразование (20) определяет особую кривую (16).

- Соотношение (£8) определяет направления слабого акустического вырождения. По так™ направлениям скорости квазипоперечных волн совпадает до К-го (К^Т) приближения. Из К+1 -го приближения прямого разложения (£), следует, что решение представляет собой, трехпарциальнуя волну (4).

К направлениям, вдоль, которых решение в виде трехпарциаль-ной поверхностной волны теряет смысл, относятся такие симметричные направления в кристаллах, удовлетворяющие условиям (19).

Вдоль таких направлений амплитуда одной из квазипоперечных волн обращается в ноль и решение представляет собой двухпар-счальцую вертикально поляризованную 'волну Релея (направления [001 ] и [НО] на рис.1).

рассматривается задача о трансформировании волны чистого сдвига, бегущей по изотропному полупространству со. .свободной границей 0 в результате приобретения полупространством слабой'анизотропии. В отличие от изотропной среды, трансформированная волна может распространяться лишь по тем направлениям, которые в первом.приближении удовлетворяют одному из следующих условий

л С 0(О о™ л

( 21)

С"® ■ ■ э^1Гзе-1)Х^з2=0 (22)

^232"° ^ = 0 (23)

Условия.(2*), (22). Ь пространстве .'р, 0, V определяют некоторые особые линии, которые нумеруются цифрами I, П соответственно, а условия (23) определяют точки пересечения линий I, П. ' Если строить волновые решения вдоль особых линий I, II .методом малого параметра, то оказывается, что волновые характеристики в первой приближении соответствуют волнам, которые в диссертации ■ называются неустойчивыми: "притекающим" и "оттекающим". Этот-факт соответствует тому, что вектор Умова-Пойнтинга полученных решений шклонен к свободной поверхности под углом отличным от ■ »^левого.

Задаваясь различными свойствами поверхностных волн, получаем различные условия для определения коэффициентов растяжения @К/ в преобразовании, аналогичном (1б> и, еле-

довательно, для нахождения в окрестности особых линий I, П та- ■ них областей, каждой точке которых соответствуют, волны с заданными, свойствам:-!.. В частности, растяжение параметров вида (16) позволяет, находить в окрестности особых .линий I, П области устойчивых решений, т.'е.-болн, не излучающих и не поглощающих энергию .при. своем распространении.

Среди устойчивых решений наибольший., интерес представляют волны, у которых, хотя бы одна из трех парциальных амплитуд не ' затухает и не нарастает с глубиной. Такие волны ; дзъгааются'особыми поверхностными волнами. . .

В окрестности особой линии I распространяются одновременно два вида особых поверхностных волн: волна, образованная двумя однородными (не затухающими и не нарастающими с глубиной) квази-■поперечными парциальными волнами и- волна, состоящая из двух од-' нородных квазипопер.ечных составляющих и одной квазипродольной составляющей, млеющей амплитуду порядка & и затухающей с глубиной. - .... •

.. Волна первого вида называется обобщенной волной Миндлина, ■ второго вида » волной типа отражения.

По направлениям, соответствующим линии I и, либо совпадав-щим с направлениями симметрии кристалла, либо лежащим в плоскостях симметрии, для каждого из указанных видов волн или для обоих видов одновременно может иметь место амплитудное вырождение (амплитуды всех, кроме одной квааипоперечной составляющей, обращаются в ноль). По вырожденным направлениям распространяются однородные однопарциальныв волны (вектор перемещения расположен в свободной поверхности), волновой вектор которых в общем случае наклонен га некоторый угол относительно свободной поверхности. Эти волны называются в работе простыми белками Фарнелла.

В 01фвстн0сти особой линии П имеет место акустическое вырождение (две парциальные квазипоперечные составляющие сливаются, а квазипродольная составляющая исчезает) и распространяется кратная волна Фарналла.

В окрестности точек пересечения особых линий I, П (23) распространяются одновременно два вида особых волн: кратная волна Фарнелла, поручающаяся из обобщенной волны Миндлина в результате акустического вырождения, и волна типа отражения.

Таким образом, метод растянутых параметров ^¡'О, ^ позволяет не только регуляризовать уже имеющееся разложение по малому параметру Б , но и получить разложения, отвечающие волновым процессам с заранее заданными свойствами.

В работе подучены и исследованы разложения в растяцутых параметрах для волновых характеристик в окрестности особых линий I и П с точностью до £& для кристаллов произвольной симметрии.

Детально рассмотрена задача о распространении особых поверхностных волн в гексагональном кристалле со слабой аниаотропией, для которого

ьтг&0 еоз2"^- с!, с! =

Здесь ГП„ т^ (Т)ь - значения компонентов /-^8535/^1313

соответственно в системе кристаллографических осей /

Кратко опишем результат исследований при значениях £ГП0/ <0. Пунктирная линия

/1С

(рио,

3 ) является проекцией линии склейки двуляотной рииановой

60'

70'

О 1Ю- 6о' У'

Рис. 3

поверхности решений, построенных в окрестности особой линии X, т плоскость параметров . В. точках 2., 2 линия склеПки

терпит разрыв. По направлениям,ссютзстстауюцта линии склейки распространяется трехпарциальная неоднородная устойчивая волгл. Сплошной линией КС па рио. 3 отмечены направления в плоскости ^ & »вдоль которых одновременно распространяются обобран-шз в о лиц М:ш,цл:ша и волны типа отражения (окрестность особой линии I). Из рисунка видно, что кривая КС не выходит в обпем случае ка плоскость симметрии '{7=0 (плоскость, содержащая ось изотропии), В точке С ¡¡тет место амплитудное вырождение и решение представляет собой волну чистого сдвига, волновой вектор которой наклонен к свободной поверхности.

Особая линия П и плоскости вырождается я точку. В ок-

рестности этой особо!! точки леяит точка Ь , соответствующая направлению акустического вирсждшгая, вдоль которого распространяется краттп вольа Фарнэлля. Фронт отсй волны перпендикулярен свободной поверхности,' 'а продольная составяяксия инее? порядок С ,

\ X. "ч * X а, / / / / П / / ! '!

X У ^ & // У / / / у ' / у / 4-

А____ 0--— И ъ "Л

Точка Р леяит з окрестности особо!! точки (23) и по направлоши, соответствующему огой точке, происходит акустическое вырождснпа обобщенной волну Мицдлина в краппа волку Фарнелла,- При значегап X = 0 точки р К , сливаются с точкой А .

В заключение автор выражает глубокуо признательность научно? гу руководителю доценту Ю.А.Роесихкку за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

.-Основные результаты диссертация опубликованы в следующих работах: ,

Маково В .!<!., Росагош Ю.А. Построение равномерно пригодного решения для волны Релея в слабо анизотропной упругой среде// Изв. АН СССР. МП.-5987.- В б.- С.75-82.

2. Макеев В.М., Россихин Ю.А. Использование слабо аннэотр'спных моделей для списания динамического поведения монокристаллов// Адуст.журн. - 1990. - Т,35.-Вып. 1.-С.76-80.

3. Макеев В.Ы., Россихин Ю.А."О распространении объемных волн в упругом слабо анизотропном полупространстве// Изв. АН СССР. ШТ.-1992.- » 5. -С.63-70.

4. Иакеев В.М. Метод возмущений в задачах,о распространении волн в кристаллах: Материалы яаучно-технич.конференции, поевкц. 20-лети» ВИСИ. - Вороне«, 1991. - С.94,

Подписано к печати 27.12.91. Формат 60/84 1/16 Объем I п.л. Тираж 100 око. Зазсаз Р 2 83.

Отпечатано на ротапринте Воронежского инженерно-строительного института. 39-3006. Воронеж, ул.20 летия Октября, 84.