Методические основы учета нелинейных эффектов при решении контактных задач механики твердого деформируемого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Бабин Александр Павлович

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ ПРИ РЕШЕНИИ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

Специальности: 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и

аппаратуры

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Брянск - 2004

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Брянский государственный технический университет" (БГТУ) на кафедре "Динамика и прочность машин".

Научные руководители:

доктор технических наук, профессор

Кеглин Борис Григорьевич кандидат технических наук, доцент

Зернин Михаил Викторович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор

Сакало Владимир Иванович доктор технических наук, профессор

Савин Леонид Алексеевич

Ведущая организация: Московский инженерно-физический институт (государственный университет)

Защита состоится 29 июня 2004 г., в 16 часов, на заседании диссертационного совета К212.021.02 при Брянском государственном техническом университете по адресу: 241035, г. Брянск, бульвар имени 50-летия Октября, 7, ауд. 220.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Брянского государственного технического университета.

Автореферат разослан мая 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Реутов А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Огромные резервы роста производительности общественного труда и дальнейшего повышения жизненного уровня населения скрываются в проблеме повышения качества выпускаемых машин и приборов. Надежность, долговечность, эффективная работоспособность машин, механизмов и приборов в значительной степени определяется процессами, происходящими в зоне контакта. Именно в зоне контакта часто условия нагружения материала наиболее жесткие, а процессы повреждения конструкции начинаются с поверхности. В ряде случаев, при решении контактных задач, наряду с поиском площадки контакта важен учет тонких нелинейных эффектов, обусловленных шероховатостью, окисными пленками, наличием продуктов изнашивания и т.д. В решении контактных задач существует значительный разрыв между направлением, решающим прикладные контактные задачи тел без учета их шероховатости, и направлением, изучающим контакт шероховатых поверхностей.

В связи с указанным разработка эффективных методов и алгоритмов, позволяющих учесть многие типы нелинейностей при решении контактных задач, является актуальным направлением.

Известны многочисленные попытки решать нелинейные контактные задачи, применяя методы и алгоритмы, разработанные ранее в теории пластичности. В отечественной и зарубежной научно-технической литературе эти подходы получили названия такие, как: методы переменных параметров упругости (переменной жесткости); методы дополнительных (начальных) деформаций; методы дополнительных (начальных) напряжений и т.п. Для сохранения общепринятой терминологии будем далее подразумевать, что разработка методических основ учета нелинейных эффектов при решении контактных задач", вынесенная в название работы, предполагает разработку метода и алгоритмов.

Целью работы является разработка метода и алгоритмов решения контактных задач с учетом нелинейных явлений, имеющих место в области контакта тел.

Методика исследования. В работе использованы методы математического моделирования упругих и неупругих тел на основе метода конечных элементов (МКЭ).

Научная новизна. Научная новизна исследований, проводимых лично соискателем и выносимых на защиту, состоит в том, что разработан метод и алгоритмы решения нелинейных (контактных упругих и упругопластических) задач методом конечных элементов с учетом шероховатости поверхности, геометрии контактирующих тел (поиска площадки контакта), истории нагружения и других нелинейных эффектов.

Разработанный метод основан на методах дополнительных напряжений и дополнительных деформаций и отличается от них тем, что менее требователен к виду нелинейных зависимостей напряжений от деформаций, и практически для всех видов нелинейных зависимостей обеспечивает устойчивость итерационного процесса. В рамках метода разработаны алгоритмы, позволяющие учитывать: геометрию контактирующих тел (поиск площадки контакта) за счет специальных свойств контактных конечных

ЮС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.ПететЪург ОЭ Уй/ мт'/Д

мальных напряжений (контактных давлений) на зависимость напряжений от деформаций в касательном направлении; различные свойства контактного слоя в двух взаимоперпендикулярных касательных направлениях; упругопласгиче-ское деформирование материала и другие явления.

Практическая ценность и внедрение. Практическая ценность заключена в разработке универсального метода решения нелинейных (контактных упругих и упругопластических) задач методом конечных элементов. Разработанный метод позволяет свести нелинейную систему разрешающих уравнений к сходящейся последовательности решений систем линейных уравнений, без изменения в процессе решения матрицы жесткости системы. Последнее обстоятельство позволяет выполнять факторизацию матрицы жесткости системы один раз в начале решения задачи, что заметно сокращает время расчета.

Разработанный метод решения контактных задач использован для обоснования замены штатного двухслойного вкладыша подшипника (баббит и бронза) модифицированным трехслойным вкладышем (баббит, бронза, сталь). Экономический эффект при этом достигается благодаря снижению себестоимости вкладыша подшипника и увеличению срока его службы (показано уменьшение фактороз, влияющих на развитие фреттннг-усталости, а также на появление и развитие усталостных трещин).

По заказу Института механики металлополимерных систем Национальной академии наук Беларуси (ИММС НАНБ) решена задача о контакте индентора с двухслойным упругопластическим основанием. Показано влияние толщины хромового покрытия на жесткость основания.

Достоверность полученных результатов и выводов диссертационной работы. Достоверность результатов и выводов настоящей работы подтверждена удовлетворительным соответствием результатов решения тестовых задач с аналитическими решениями или решениями, полученными другими численными методами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на: Международном симпозиуме "О природе трения твердых тел" (Гомель, 1999г); Молодежной научно-технической конференции технических вузов центральной России (Брянск, 2000г); Международном симпозиуме "О природе трения твердых тел" (Гомель, 2002г); Международной научно-технической конференции "Современные проблемы машиноведения" (Гомель, 2002г).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах общим объемом 45 страниц, 8 работ написаны совместно с другими авторами.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы, включающего 93 наименования. Работа содержит 194 страницы в том числе: 112 рисунков, 2 таблицы, 3 приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и представлена общая характеристика работы.

В первой главе дана характеристика контактных задач. Выделены основные факторы, обуславливающие специфику контактных задач, такие как поиск площадки контакта, нелинейная зависимость напряжений от деформаций в нормальном и в касательных направлениях, нелинейное деформирование шероховатости контактирующих поверхностей и многие другие. Рассмотрены методы решения контактных задач и показана целесообразность выбора в качестве метода решения контактных задач метода конечных элементов (МКЭ).

Проанализированы основные виды моделей контакта и обоснован выбор подхода, получившего название механика "контактной псевдосреды". Рассмотрены работы по этой теме следующих авторов: А.В. Воркушевского, Л.А. Рози-на, М.С. Смирнова, Б. Фридриксона, Р. Михайловского, 3. Мроза, Н.Г. Меле-щенко, А.Г. Кузьменко, М.В. Зернина, Е.М. Морозова, В.Г. Пашнина, В.Т. Сапунова, П.П. Гонтаровского, Б.Н. Киркача и др.

Выбраны некоторые алгоритмы, снижающие трудоемкость решения задач по МКЭ: использование метода Холецкого для решения системы линейных уравнений и факторизации матрицы жесткости, использование алгоритма конденсации и некоторых других. Также разработан и применен алгоритм выполнения вычислений с матрицами, содержащими данные в компактном виде.

По результатам анализа публикаций в качестве основной цели диссертации определена разработка метода и алгоритмов решения контактных задач с учетом нелинейных явлений, имеющих место в области контакта тел. Для сохранения общепринятой терминологии, предложенный подход в рамках данной работы называется методом (по аналогии с методами дополнительных напряжений и дополнительных деформаций, на которые он опирается). Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи: выполнить оценку эффективности известных методов решения нелинейных задач МКЭ; разработать метод решения нелинейных задач; разработать алгоритмы решения контактных задач в рамках предложенного метода с учетом нелинейных явлений, имеющих место в области контакта тел; реализовать разработанные алгоритмы на ЭВМ в виде программы; выполнить идентификацию свойств контактного слоя с учетом истории нагружения, используя экспериментальные данные; апробировать разработанный метод на ряде задач.

Во второй главе реализованы и протестированы контактные конечные элементы (КЭ) для решения плоских (двухузловой, четырехузловой, шестиуз-ловой контактные КЭ), осесимметричных (четырехузловой), объемных (двух-узловой, восьмиузловой) задач.

Изложены особенности построения контактных КЭ в отличие от КЭ сплошных тел: необходимость учитывать ориентацию в пространстве контактных КЭ, отличие параметров матрицы упругости контактных КЭ от параметров матрицы упругости КЭ сплошных тел и др. Показаны преимущества и недостатки контактных КЭ каждого вида. Предложено использовать в качесгве основных: четырехузловой контактный КЭ для плоских и осесимметричных задач, восьмиузловой для объемных задач. Эти контактные КЭ, с одной стороны, позволяют моделировать часть пространства с его свойствами, (а не только

связь между узлами), а, с другой стороны, не уменьшают точность при определении границы контакта.

В качестве тестов решены некоторые известные задачи, такие как: контакт штампа с полуплоскостью, задача Герца для двух цилиндров, посадка толстостенных цилиндров с натягом и др. Показано соответствие результатов расчетов полученных в рамках механики "контактной псевдосреды", аналитическим решениям.

В третьей главе выполнена оценка эффективности известных методов решения нелинейных задач и разработан новый метод решения таких задач с учетом различных свойств КЭ.

Для решения нелинейных задач применяются метод переменных параметров упругости, метод дополнительных напряжений (МДН), метод дополнительных деформаций (МДД) и др. Так как в методе переменных параметров упругости изменяется матрица жесткости системы на каждой итерации, то в данной работе он подробно не рассматривался.

Сущность методов дополнительных напряжений и деформаций заключаются в том, что жесткостные параметры системы считаются постоянными, а нелинейности сосредотачиваются в правых частях уравнения и входят так же, как начальные напряжения или деформации. В частности, в МДН зависимость напряжений от деформаций записывается в виде:

{а}=[о]-{г}+К^)|, (1)

а в МДД - в виде:

> < (2)

Здесь - постоянная матрица жесткости, а {а } и {е*| - соответственно векторы начальных напряжений и деформаций, в которые сведены все нелинейные члены уравнения. Применяя такие псевдоначальные параметры, изменяющиеся на каждой итерации, можно решить нелинейную задачу как последовательность линейных задач.

В рамках данной работы применялись МДД и МДН для решения контактных задач с различными свойствами контактной псевдосреды. Было замечено, что эти методы не всегда обеспечивают быструю и устойчивую сходимость решения.

Как показали многочисленные серии расчетов, характер сходимостей, изображенных на рис. 1б и 1в ("пилообразная" последовательность решения),

-е -е .£ .Е

а> б) В) г)

Рис. I. Сходимость метода дополнительных деформаций (а,б) и метода дополнительных напряжений (в,г) с различными свойствами контактной псевдосреди

является более предпочтительным, чем изображенные на рис. 1а и 1г ("петлеобразная" последовательность решения). Не было замечено случаев, когда

"пилообразная" последовательность итераций представляла бы собой расходящуюся последовательность. В то же время, для случаев с "петлеобразной" последовательностью решений при определенных обстоятельствах наблюдалось увеличение размеров петли, то есть процесс расходился. Пример неустойчивости такой схемы сходимости приведен на рис. 2.

Анализируя большой объем результатов применения МДЦ и МДН для разных типов нелинейностей, приходим к выводу, что каждый из этих методов дает положительный результат лишь на некотором этапе решения задачи. В связи с этим было сделано предположение, что МДД и МДН могут успешно дополнять друг друга. В частности, там, где один из них может не обеспечить сходимость, другой справляется успешно и наоборот. Это наблюдение подтолкнуло к разработке подхода решения нелинейных (в частности контактных) задач, опирающегося на МДД и МДН одновременно. Разработанный подход в рамках данной работы назван методом по аналогии с МДД и МДН. Мы не встречали подобного метода в публикациях и считаем его новым.

Вкратце основную идею этого метода можно сформулировать следующим образом: если точка текущего решения (упругого решения на текущей итерации) находится над кривой о(с) контактного КЭ, то следующее решение ищется методом, аналогичным МДН, а если ниже, то - МДД (рис. 3). Для этого зависимость напряжений от деформаций представлена в виде:

(3)

где {е*^{сг*}- начальные напряжения и деформации. То есть, уравнения аналогичны уравнениям упругой задачи при наличии одновременно и начальных напряжений и начальных деформаций. В отличие он нее для удовлетворения физических зависимостей мы на каждом шаге решения определяем или дополнительные напряжения или дополнительные деформации. Решение задачи будем искать в виде:

№}-{/»}+ КЙФ-

(4)

где [аг]= |[в]г [o]{e}JV- матрица жесткости КЭ.

Продемонстрируем метод на схеме, изображенной на рис. 3. На первой итерации вычисляются напряжения и деформации от приложенной внешней нагрузки, при этом используется линейная матрица жесткости [К], а начальные деформации и начальные напряжения {а*} принимаются равными нулю (точка 1). Затем возможны два варианта последующих действий. Если полученная точка находится ниже (рис. 3) кривой а(е) контактного КЭ, то определяем те деформации которые соответствуют полученным напряжениям, с уче-

том нелинейных свойств контактной псевдосреды. Иначе определяем напряже-

ния ( а'"'),которые соответствуют полученным деформациям, с учетом нелинейной зависимости сг(£) контактной псевдосреды (точка Г). После этого вычисляем дополнительные деформации или напряжения (¿г'"' или Лт""') как разность между е™ (или с**") идеформа-циями (напряжениями), полученными из линейного решения. Начальные деформации и напряжения следующей итерация {е"}, {<?'} изменяются на величину дополнительной деформации ¿е*1" или дополнительного н а п р я ж е ния в зависимости от того, как была расположена точка текущего решения относительно кривой ст(£) контактной псевдосреды. На следующей итерации по формуле (4) находим вектор перемещений, вычисляем деформации и напряжения на новой итерации (точка 2). Итерационный цикл заканчивается, когда дополнительные деформации или напряжения станут малыми.

Таким образом, процесс решения в каждом нелинейном КЭ может сходиться либо по схеме МДД, либо МДН, либо их комбинации (каждый из этих методов используется на некоторых этапах решения), независимо от процесса сходимости в других КЭ. То есть, в процессе решения в одних КЭ реализуется итерационная схема МДД, в других - МДН. Кроме того, на различных этапах итерационного процесса в каждом КЭ возможно изменение метода отыскания решения.

При решении нелинейных задач этим методом внешняя нагрузка прикладывается по частям, при этом применяется предложенный алгоритм удовлетворения физическим соотношениям для каждой части нагрузки. Таким образом, моделируется реальный процесс нагружения.

При решении контактных задач с учетом касательных напряжений учитывается влияние величины нормальных напряжений (контактных давлений) на

зависимость касательных напряжений от величины сдвига. Для этого сначала решзется контактная задача без учета касательных напряжений, после чего выполняется решение с учетом нелинейных свойств, как в нормальном, так и в касательном направлении. То есть, в качестве начального приближения для текущего уровня внешней нагрузки используется решение задачи с

Рис. 4. Схема сходимости ра1работднного метода для касательных напряжений

учетом нелинейных зависимостей для контактного слоя только в нормальном направлении. При последующем учете нелинейностей в касательном направлении величина нормальных напряжений в каждом контактном КЭ в большинстве случаев меняется незначительно. Такой подход обеспечивает сходимость итерационного процесса. Например, на рис. 4 нагрузка приложена по частям и для каждого уровня нагрузки демонстрируется процесс сходимости касательных напряжений.

Рассмотрим применение разработанного метода для решения контактных задач с известной площадкой контакта. В качестве примера рассмотрим задачу о контакте двух тонких пластин под действием сосредоточенной нагрузки с учетом шероховатости поверхностей (рис. 5).

С учетом нелинейных свойств контактного слоя эта задача была решена методом минимизации нелинейного функционала потенциальной энергии системы (методами градиентного и покоординатного спусков) и разработанным методом. Также для того, чтобы понять роль нелинейных свойств контактной о контакте двух пластин псевдосреды эта задача бы-

ла решена без учета нелинейного контактного слоя шероховатости между пластинами (свойства контактного слоя считались линейными).

Разработанным методом задача была решена значительно быстрее, чем методом минимизации нелинейного функционала, причем разница между этими решениями составила менее процента. В то же время решение без учета нелинейных свойств контактного слоя отличается от них до 9% (рис. 6).

Предположим теперь, что часть контактного слоя нижней пластины предварительно была деформирована жестким штампом так, что в ней возникли остаточные деформации (рис. 7а).

Результаты решения этой задачи с применением разрабатываемого метода в зависимости от величины нагрузки Р приведены на рис. 8. Здесь видно, что при приложении малой нагрузки напряжения в центре равны нулю (нагрузку эти элементы не воспринимают) (рис. 8а). При увеличении нагрузки в контакт входят не только крайние, недеформированные ранее элементы, но и элементы, находящиеся в центре (верхняя пластина достаточно гибкая) (рис. 8б). При еще большем увеличении нагрузки элементы на краях и в центре деформируются упругопластически (рис. 8в). При увеличении нагрузки упругопластическая зона растет, а зона упругого деформирования сокращается, затем вся зона в центре начинает деформироваться упругопластически. В итоге распределение напряжений в контакте становится плавным, без скачков и разрывов (рис. 8г).

СТ.МПа -СГ.МПа

в) Длина, мм г) Дчина, мм

РИС. 8. Результат решения задачи контакта пластинок по схеме рис. 7а

Для решения задач с поиском площадки контакта не используется прием "включения/выключения" элементов из зоны контакта, требующий применения внешнего цикла по макрогеометрии контактирующих тел. В разработанном алгоритме учитываются индивидуальные свойства каждого контактного КЭ. Так, у элементов, не находящихся в контакте в начальный момент времени, кривая зависимости напряжений от деформаций "выходит" не из начала координат. То есть, начальный зазор включен в свойства контактных КЭ. Подобные элементы в пределах некоторой деформации не оказывают сопротивления внешней нагрузке (аналогичны свойства у элементов при повторном нагружении, рис. 7б). Таким образом, получаем, что при решении контактных задач с поиском площадки контакта все контактные элементы будут иметь различные свойства (различный начальный зазор). Такой подход сводит задачу о контактировании тел с различной геометрией (внешней нелинейностью) к задаче с внутренней нелинейностью, определяемой свойствами контактных КЭ.

Для того, чтобы зыяснить влияние шероховзтости при решении задачи о контакте двух цилиндров, можно решить эту задачу с одной и той же шероховатостью, но различными радиусами, при этом нагрузку будем выбирать таким образом, чтобы величина максимальных давлений в области контакта, полученная аналитическим решением, не менялась, то есть qo=const. Результаты решений построены в относительных координатах: х/b и сг/дл.

На рис. 9 приведены результаты решения задачи контакта двух цилиндров как с учетом шероховатости поверхностей цилиндров (Ra10), так и без нее (гладкие цилиндры), а также аналитическое решение по Герцу (кривая 1а). Здесь кривая 1б -решение МКЭ без учет шероховатости поверхности, II - решение для радиуса цилиндров 0.1м, III - для радиуса 0.03м и IV - 0.01м.

Как видно на рис.9, уже при радиусе цилиндров 0.1м (кривая II) шероховатость (RalO) не сильно влияет на результат решения, при дальнейшем увеличении радиусов цилиндров распределение напряжений в области контакта приближается к кривой \а, то есть шероховатостью поверхностей можно пренебрегать. В то же время, при меньших радиусах цилиндров влияние шероховатости становится все более заметным, и результат решения может сильно отличаться от результата, полученного без учета шероховатости поверхности - размер площадки контакта возрастает, максимум давлений падает.

Решена задача о контакте двух цилиндров под действием нормальной и касательной нагрузок (рис. 10). Для сухого трения эта задача аналитически была решена Коттанео.

Исходные данные задачи следующие: радиусы цилиндров - 0,01 м, модуль упругости материала Е = 2.0-10" Г1а, коэффициент Пуассона ^ = 0.3.коэффициент трения =0.3, сжимающая нагрузка Р = 200 кН/м, сдвигающая нагрузка Q = 42кН/м.

На рис. 11а представлено распределение касательных давлений в области контакта, полученные аналитически и по МКЭ. На рис. 116 представлено распределение отношения касательных напряжений к нормальным. На этих рисунках видны зона скольжения и зона сцепления цилиндров.

Рис. 11. Распределение касательных напряжений (а) и распределение отношения касательных напряжений к нормальным (6)

При решении объемной контактной задачи используются нелинейные свойства объемного контактного КЭ, как по нормали, так и в двух касательных направлениях. Здесь учитывалось, что свойства контактного слоя в двух взаи-моперпенднкулярных касательных направлениях могут быть различными, а также учитывалось взаимовлияние касательных напряжений.

Рассмотрим контакт двух жестких пластин, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой д. При этом зависимости касательных напряжений от деформаций вдоль осей X и У различны (рис. 12 а и б).

а> б)

Рис. 12. Контакт пластин (а) с различными касательными свойствами контактной псевдосреды вдоль осей X и У (б).

Нижняя пластина неподвижна, а на верхнюю действует сдвигающая нагрузка Р под углом 45" к осям X и У. Если бы касательные свойства контактной псевдосреды были бы одинаковыми, то под действием нагрузки Р верхняя пластина сдвигалась бы относительно нижней вдоль действия силы, то есть под углом 45° к осям X и У.

Но так как касательные свойства в двух направлениях различны, то в зависимости от уровня нагрузки сдвиг верхней пластины относительно нижней будет происходить под разными углами (угол изменяется). Была построена зависимость угла сдвига и величины смещения от касательного напряжения и выполнено сравнение его с теоретическим решением. Параметры задачи (высокая жесткость пластин, распределенная нагрузка) нами были выбраны таким обра-

зом, чтобы все контактные КЭ былл нагружены примерно одинаково. Это позволило легко построить теоретическое решение данной задачи.

На рис.13 представлены аналитическое и численное решения. Здесь видно, что при небольшом уровне нагрузки верхняя пластина сдвигается больше в сторону оси X (?><45'), а при больших нагрузках, наоборот, больше в сторону У >45'). Численное решение практически точно совпадает с аналитическим.

Рис. 13 Зависимость угла сдвига (а) и смещения (б) верхней пластины от нагрузки' сплошная линия - аналитическое решение, пунктирная - численное решение

Разработанный метод также можно применять и для решения задач пластичности (в том числе и контактных). При этом в рамках метода можно применять деформационную теорию пластичности, теорию пластичности в приращениях, и др. теории. Ниже приводится решение задачи о контакте индентора с двухслойным упругспластическим основанием.

В четвертой главе на примере экспериментальных данных, описанных в работах Н. Б. Демкина "Контактирование шероховатых поверхностей" (М: Наука, 1970), и В.И. Максака "Предварительное смещение и жесткость механического контакта" (М.: Наука, 1975) выполнена аппроксимация зависимостей напряжений от деформаций контактного слоя при первом и повторном на-гружениях.

Для экспериментальной установки ПКД, описанной в работе Н. Б. Демки-на, выполнен анализ погрешности эксперимента.

Рис. 14. Схемы деформирования образцов (I и II - контактные слои до и после деформации)

Расчеты по МКЭ с использованием контактных КЭ позволяют достаточно точно определить все перемещения, обусловленные деформацией экспериментальных образцов. Для анализа погрешностей эксперимента на рис. 14 приве-

дена принципиальная схема перемещений: U^ - перемещение, фиксируемое индуктивным датчиком, {/, - прогиб средней части верхнего образца, 1}1 - деформация части нижнего образца, выступающей над проточкой. Сумма перемещений (/,={/,+ иг практически линейно зазисит от уровня нагрузки, в то время, как перемещения, определяемые контактной жесткостью - нелинейно. Чем выше уровень нагрузки, тем большую долю общего перемещения {/, составляют перемещения Иг, погрешность экспериментального определения контактной жесткости возрастает.

Использование МКЭ и механики контактной псевдосреды при анализе результатов таких экспериментов позволяет учесть погрешности с целью белее точного определения контактной жесткости (выполнить идентификацию свойств контактных конечных элементов).

Расчеты, выполненные нами для некоторых экспериментальных данных из работы Н.Б. Демкина, показали, что погрешность, обусловленная упругими перемещений образцов 1/1 может достигать 10% при первом нагружении и 1520% при повторном. Исключение этих перемещений позволяет несколько уточнить параметры контактной жесткости.

Для решения контактных задач необходимо иметь характеристики контактных КЭ в координатах "напряжение - деформация". Их можно получить, например, из экспериментальных данных, предварительно удалив из них упругие составляющие иг. На основе экспериментальных данных Н.Б. Демкина (для нормальных напряжений) и В.И. Максака (для касательных напряжений) выполнена аппроксимация зависимостей напряжений от деформаций контактного слоя при первом и повторном нагружениях. На основе полученных результатов построены зависимости, описывающие поведение контактного слоя с учетом истории нагружения (рис. 15), с учетом влияния величины нормальных напряжений на свойства контактного слоя в касательном направлении, а также с учетом проскальзывания контактирующих поверхностей. Для аппроксимации экспериментальных данных использовалась степенная функция а = А-ет. Полученные зависимости, описывающие свойства контактного слоя, использовались при решении ряда контактных задач, описанных в других главах данной работы.

В пятой главе разработанный метод решения контактных задач использован для решения задачи о внедрении индентора в двухслойное упругопластиче-ское основание, а также для обоснования замены штатного двухслойного вкладыша подшипника (баббит и бронза) модифицированным трехслойным вкладышем (баббит, бронза, сталь).

По запросу ИММС НАНБ рассмотрены задачи об индентировании двухслойного упругопластического основания. Индентируемое основание имеет вид цилиндра высотой 10 мм и площадью сечения 100 мм2. Верхний слой адгезионно (без отрыва и проскальзывания) связан с основой. В качестве индентора выбраны: конус с углом при вершине 90"; конус с углом при вершине 120*; шар радиусом 0.5 мм. Радиус закругления конусов - 1 мкм.

Механические свойства материала нижнего (основного) слоя: сталь, модуль упругости Еа =2.1-10" Па, предел текучести аТ0 =390 МПа, модуль упрочнения основания (линейный закон упрочнения)

Аналогичные механические свойства материала верхнего, весьма тонкого слоя толщиной 11: хром, £. =2.0-10" Па, предел текучести атп =1700 МПа, упрочнение отсутствует Е° = 0. Три варианта толщины покрытия: 5, 15, 30 мкм. Модуль упругости индентора:

При решении данной задачи учитывались упругопластические свойства материалов основания и осуществлялся поиск площадки контакта. Результаты расчета переданы в ИММС НАНБ для внедрения.

В качестве штатного вкладыша подшипника оппозитного компрессора используется двухслойный вкладыш, изготовленный из бронзы ОЦС-5-5-5 с заливкой баббитом марки Б-83. Толщина вкладыша составляет 10 мм, толщина баббитового слоя 1 мм. Наружный диаметр вкладыша в свободном состоянии составляет В =340,5 мм, ширина вкладыша Я = 160 мм.

В ОАО "ГазЭнергоСерЕис" был создан модернизированный трехслойный вкладыш, состоящий из слоев баббита, бронзы и стали. Габаритные размеры вкладыша соответствуют штатному вкладышу. Бронзовый слой располагается между стальным и баббитовым слоями. Толщина бронзового слоя в модернизированном вкладыше составляет 1 мм. Толщина слоя стали 8 мм.

Совместно с М.В. Зерниным был выполнен анализ повреждений штатного вкладыша шатуна. На появление и развитие усталостных трещин, перпендикулярных оси вращения, влияют растягивающие осевые напряжения в баббитовом и бронзовом слоях вкладыша. Причиной фреттинг-процессов может быть сдвиг тыльной стороны вкладыша относительно головки шатуна.

При решении задачи в объемной постановке учитывалась посадка вкладыша с натягом, а также шероховатость внутренней поверхности головки шатуна и тыльной стороны вкладыша.

В результате расчетов показано значительное уменьшение (более чем в два раза) максимальных растягивающих осевых напряжений в бронзовом и баббитовом слоях модернизированного вкладыша по сравнению со штатным. Таким образом, можно предположить большую выносливость модернизированного вкладыша по сравнению со штатным. Также для модернизированного вклады-

ша уменьшается микропроскальзывание его тыльной стороны относительно головки шатуна.

Полученные результаты позволяют судить о преимуществах модернизированного вкладыша подшипника, по сравнению со штатным. Результаты переданы в ОАО ТазЭнергоСервис" для внедрения. На основании опытно-промышленной эксплуатации в ОАО 'ТазЭнергоСервис" партии трехслойных вкладышей установлено увеличение срока службы трехслойного вкладыша в несколько раз.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Выполнена оценка эффективности следующих известных методов решения нелинейных задач: метода дополнительных напряжений; метода дополнительных деформаций. На ряде примеров показано, что ни один из этих методов не обеспечивает сходимости итерационного процесса в общем случае.

2. Предложен метод, сочетающий преимущества метода дополнительных напряжений и метода дополнительных деформаций с автоматическим Еыбо-ром одного из них для каждого КЭ. При этом в процессе решения задачи возможна ситуация, когда в одних конечных элементах реализуется итерационная схема метода дополнительных деформаций, в других - метода дополнительных напряжений. Кроме того, на различных этапах итерационного процесса в каждом КЭ возможно изменение метода отыскания решения.

3. На основе предложенного метода разработаны алгоритмы решения контактных задач с учетом ряда нелинейных явлений, имеющих место в области контакта тел. Алгоритмы позволяют учитывать нелинейную зависимость напряжений от деформаций контактного слоя; историю нагружения; зависимость кривой г(у) контактного слоя в касательном направлении от уровня нормальных напряжений различные зависимости напряжений от деформаций во взаимоперпендикулярных касательных направлениях; геометрию тел (поиск площадки контакта); упругопластическую деформацию контактирующих тел и другие явления.

4. Разработанные алгоритмы реализованы на ЭВМ в виде программы и на ее основе выполнена серия расчетов, подтвердивших работоспособность метода и алгоритмов. Результаты расчетов сопоставлялись с аналитическим решением или решением, полученным методом минимизации функционала потенциальной энергии системы. Получена согласованность результатов.

5. Проанализированы экспериментальные данные исследований контактной жесткости Н.Б. Демкина и В.И. Максака. На примере экспериментальной установки ПКД, описанной в работе Н.Б. Демкина, расчетным путем оценена величина погрешности эксперимента. Установлено, что при первом нагружении погрешность эксперимента достигает 10%, при повторном приложении нагрузки достигает 15-20%. Выполнена аппроксимация имеющихся экспериментальных данных и построены зависимости напря-

жений от деформаций контактного слоя с учетом истории нагружения. Полученные нелинейные зависимости напряжений от деформаций использовались в ряде случае» при решении задач в качестве базовых свойств контактных КЭ.

6. Решена задача о контакте индентора с двухслойным упругопластическим основанием, показано влияние толщины хромового покрытия на жесткость основания. Результаты переданы на внедрение в ИММС НАНБ.

7. Разработанный метод был применен для вычисления НДС штатного и модифицированного вкладышей подшипников компрессора. По результатам расчета сделаны выводы о преимуществах модифицированного трехслойного (баббит, бронза, стальное основание) вкладыша перед штатным (баббит, бронзовое основание) вкладышем. Установлено, что растягивающие осевые напряжения в бронзовом и баббитовом слоях модифицированного вкладыша более чем в два раза ниже аналогичных напряжений в штатном вкладыше. Таким образом, замена штатного вкладыша подшипника модифицированным обеспечивает экономический эффект за счет снижения себестоимости и за счет увеличения срока службы вкладыша. Результаты переданы в ОАО "ГазЭкергоСервис" на внедрение.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНЫ В РАБОТАХ

1. Бабин А.П., Бурак В.Ю., Бурак И.И., Зернин М.В., Рытик А.И., Шилько СВ. Решение задач трибологии методом конечных элементов в рамках модели "третьего тела" //Международный симпозиум "О природе трения твердых тел". Тезисы докладов, Гомель: ИММС НАНБ, 1999г., с. 48-49

2. Бабин А.П., Бурак И.И. Конечноэлементное моделирование контактного взаимодействия с учетом нелинейных эффектов // Молодежная научно-техническая конференция технических вузов центральной России. Тезисы докладов. Брянск: БГТУ, 2000г., с. 72-74

3. Зернин М.В., Бабин А.П., Бурак И.И., Яковлев А.В. Дискретное моделирование повреждений подшипников скольжения с учетом комплекса воздействий и критериев отказа. Сообщение 3. Конечноэлементоные модели контактного взаимодействия поверхностей. // Трение и износ. Том 21, № 4, 2000г, с. 361-368.

4. Зернин М.В., Бабин А.П. К исследованию контактной жесткости с использованием модели механики "контактной псевдосреды". // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. №. 6,2001, том 67, с. 51-54.

5. Бабин А. П. Конечноэлементный алгоритм решения контактных задач с учетом нелинейных эффектов. // Динамика, прочность и надежность транспортных машин. Сборник научных трудов. Под ред. Б.Г. Кеглина. Брянск, БГТУ 2002 г., с. 138-148

6. СВ. Шилько, В.Е. Старжинский, А.П. Бабин, М.В. Зернин Моделирование контактного взаимодействия в сопряжениях микроэлектромеханических

систем. // Вестник Гомельского Государственного Технического университета имени П.О. Сухого, 3-4 2002, с. 31-38

А.П. Бабин, М.В. Зернин, Е.В. Мефед, Л.В. Мишин, С.Н. Осипов, СВ. Шилько. Реализация алгоритмов моделирования взаимодействия поверхностей при наличии и отсутствии смазочного материала с учетом зарождения и развития трещин в поверхностных слоях // Международный симпозиум "О природе трения твердых тел". Тезисы докладов, Гомель: ИММС НАИБ, 2002г., с. 23-24

СВ. Шилько, А.П. Бабин, В.Е. Старжинский, М.В. Зернин. Моделирование контактного взаимодействия в сопряжениях микроэлектромеханических систем // Современные проблемы машиноведения: Тез. докл. Международной научно-технической конференции. - Гомель, ГГТУ, 2002г., с. 53-54 СВ. Шилько, В.Е. Старжинский, А.П. Бабин, М.В. Зернин, Е.В. Шалобаев. Особенности расчета сопряжений компонентов МЭМС. //'Микросистемная техника, №6,2003, с. 16-20

Бабин Александр Павлович

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ ПРИ РЕШЕНИИ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

Подписано в печать 21.05.2004. Формат60х84 1/16. Бумага офсетная. Офсетная печать Усл. печ. л. 1 Уч.-изд. л. 1 Тираж 100 экз. Заказ 373

Издательство Брянского государственного технического университета 241035, г. Брянск, бульвар им. 50-летия Октября, 7, БГТУ Лаборатория оперативной типографии БГТУ, ул. Институтская, 16

»1242 7

Аббревиатуры и основные условные обозначения.

Введение.

1. Анализ состояния проблемы, цель и задачи исследования.

1.1. О специфике контактных задач и выборе методов их решения.

1.2. Методология механики контактной псевдосреды.

1.3. Выбор рациональных алгоритмов, снижающих трудоемкость решения задач по МКЭ.

1.4. Результаты анализа публикаций, постановка цели и задач исследования.

2. Построение контактных конечных элементов.

2.1 Двухузловой контактный элемент (двумерный и трехмерный варианты).

2.2 Четырехузловой контактный конечный элемент (двумерный).

2.3. Шестиузловой контактный конечный элемент (двумерный).

2.4. Объемные контактные конечные элементы.

2.5. Результаты и выводы главы 2.

3. Разработка метода решения контактных задач с учетом нелинейных эффектов различного вида.

3.1. Оценка эффективности известных алгоритмов решения контактной задачи по МКЭ.

3.1.1. Метод минимизации нелинейного функционала.

3.1.2 Оценка эффективности известных методов решения нелинейных задач теории пластичности применительно к решению контактной задачи по МКЭ.

3.2. Разработка метода решения контактных задач с учетом различных нелинейных свойств контактных конечных элементов.

3.3 Применение разрабатываемого метода для решения задач с известной площадкой контакта.

3.4 Пример применения разрабатываемого метода для решения задач с поиском локальных площадок контакта, в пределах номинальной площадки контакта.

3.5 Алгоритм применения разрабатываемого метода для решения задач с поиском площадки контакта, обусловленной макрогеометрией контактирующих тел.

3.6 Особенности алгоритма учета нелинейных свойств материала контактирующих тел.

3.7 Алгоритм учета специфики объемной задачи. Учет различных касательных свойств контактного слоя в разных направлениях.

3.8 Общий алгоритм решения контактных задач на основе механики контактной псевдосреды.

3.9. Результаты и выводы главы 3.

4. Методика идентификации свойств контактных конечных элементов на основе анализа экспериментальных исследований контактной жесткости.

4.1 Описание экспериментальных установок для исследования контактной жесткости.

4.2 Влияние параметров экспериментальных образцов и вариантов

Актуальность темы. Огромные резервы роста производительности общественного труда и дальнейшего повышения жизненного уровня населения скрываются в проблеме повышения качества выпускаемых машин и приборов. Надежность, долговечность, эффективная работоспособность машин, механизмов и приборов в значительной степени определяется процессами, происходящими в зоне контакта. Именно в зоне контакта часто условия нагружения материала наиболее жесткие, а процессы повреждения конструкций начинаются с поверхности. В ряде случаев, при решении контактных задач, наряду с поиском площадки контакта важен учет тонких нелинейных эффектов, обусловленных шероховатостью, окисными пленками, наличием продуктов изнашивания и т.д. В решении контактных задач существует значительный разрыв между направлением, решающим прикладные контактные задачи тел без учета их шероховатости, и направлением, изучающим контакт шероховатых поверхностей.

В связи с указанным разработка эффективных методов и алгоритмов, позволяющих учесть многие типы нелинейностей при решении контактных задач, является актуальным направлением.

Известны многочисленные попытки решать нелинейные контактные задачи, применяя методы и алгоритмы, разработанные ранее в теории пластичности. В отечественной и зарубежной научно-технической литературе эти подходы получили названия такие, как: методы переменных параметров упругости (переменной жесткости); методы дополнительных (начальных) деформаций; методы дополнительных (начальных) напряжений и т.п. Для сохранения общепринятой терминологии будем далее подразумевать, что разработка "методических основ учета нелинейных эффектов при решении контактных задач", вынесенная в название работы, предполагает разработку метода и алгоритмов.

Целью настоящей работы является разработка метода и алгоритмов решения контактных задач с учетом нелинейных явлений, имеющих место в области контакта тел.

Научная новизна исследований, проводимых лично соискателем и выносимых на защиту, состоит в том, что разработан метод и алгоритмы решения нелинейных (контактных упругих и упругопластических) задач методом конечных элементов с учетом шероховатости поверхности, геометрии контактирующих тел, истории нагружения и других нелинейных эффектов.

Разработанный метод основан на методах дополнительных напряжений и дополнительных деформаций и отличается от них тем, что менее требователен к виду нелинейных зависимостей напряжений от деформаций, и практически для всех видов нелинейных зависимостей обеспечивает устойчивость итерационного процесса. В рамках метода разработаны алгоритмы, позволяющие учитывать: . геометрию контактирующих тел (поиск площадки контакта) за счет специальных свойств контактных конечных элементов; влияние величины нормальных напряжений (контактных давлений) на зависимость напряжений от деформаций в касательном направлении; различные свойства контактного слоя в двух взаимоперпендикулярных касательных направлениях; упругопластическое деформирование материала и другие явления.

Достоверность результатов и выводов настоящей работы подтверждена удовлетворительным соответствием результатов решения тестовых задач с аналитическими решениями или решениями, полученными другими численными методами.

Практическая ценность заключена в разработке достаточно универсального метода решения нелинейных (контактных упругих и упругопластических) задач методом конечных элементов. Разработанный метод позволяет свести нелинейную систему разрешающих уравнений к сходящейся последовательности решений систем линейных уравнений, без изменения в процессе решения матрицы жесткости системы. Последнее обстоятельство позволяет выполнять факторизацию матрицы жесткости системы один раз в начале решения задачи, что заметно сокращает время расчета.

Имея профилограмму шероховатости поверхности можно: методом конечных элементов [50, 51], статистическими или теоретическими методами [20, 34, 38, 67] или с помощью экспериментов [20, 21, 38, 42, 60, 67] получить зависимости напряжений от деформаций для поверхностного слоя (слоя шероховатости). Эти зависимости затем можно использовать в качестве свойств контактных конечных элементов для решения с помощью разработанного метода практических контактных задач с учетом требуемой шероховатости поверхности.

Реализация результатов исследования. Разработанный метод решения контактных задач использован для обоснования замены штатного двухслойного вкладыша , подшипника (баббит и бронза) модифицированным трехслойным вкладышем (баббит, бронза, сталь). Экономический эффект при этом достигается благодаря снижению стоимости вкладыша подшипника и.увеличению срока его службы (показано уменьшение факторов, влияющих на;развитие фрет-тинг-усталости, а также на появление и развитие усталостных трещин).

По заказу Института механики металлополимерных систем Национальной академии наук Беларуси (ИММС НАНБ) решена задача о контакте индентора с двухслойным упруго пластическим: основанием, показано: влияние толщины хромового покрытия на жесткость основания. Результаты переданы на внедрение.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на: Международном симпозиуме "О природе трения твердых тел" (Гомель, 1999г); Молодежной научно-технической конференции технических вузов центральной России (Брянск, 2000г); Международном симпозиуме "О природе трения твердых тел" (Гомель, 2002г); Международной научно-технической конференции "Современные проблемы машиноведения" (Гомель, 2002г).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах [3-9, 28, 29, 76, 78, 79] общим объемом 48 страниц, 10 работ написаны совместно с другими авторами.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы, включающего 93 наименования. Работа содержит 194 страницы в том числе: 112 рисунков, 2 таблицы, 3 приложения.

Заключение

1. Выполнена оценка эффективности следующих известных методов решения нелинейных задач: метода дополнительных напряжений; метода дополнительных деформаций! На ряде примеров показано, что ни один из этих методов не обеспечивает сходимости итерационного процесса в общем случае.

2. Опираясь на полученные результаты, разработаны модификации методов дополнительных напряжений и дополнительных деформаций. При этом сходимость была улучшена, но потребовалось применения некоторых плохо формализуемых приемов, возросло время выполнения расчета. Поэтому эти подходы признаны не перспективными.

3. Предложен подход, сочетающий преимущества метода дополнительных напряжений и метода дополнительных деформаций с автоматическим; выбором одного из них для каждого конечного элемента при решении задачи. Для сохранения: общепринятой терминологии, предложенный подход в рамках данной работы называется методом (по аналогии с методами дополнительных напряжений и дополнительных деформаций, на которые он опирается). При этом один из двух методов применяется лишь в случае, когда гарантируется сходимость. То есть в процессе решения в одних конечных элементах реализуется итерационная схема метода дополнительных деформаций, в других - метода дополнительных напряжений. Кроме того, на различных этапах итерационного процесса в каждом конечном элементе возможно изменение метода отыскания решения. При решении задач применяется пошаговое приложение нагрузки, что позволяет моделировать реальный процесс нагружения. Метод позволяет все нелинейные зависимости вынести в правую часть системы уравнений, что дает возможность выполнить факторизацию матрицы жесткости системы. Поиск площадки контакта в рамках метода, осуществляется за счет особых свойств контактных КЭ (моделирующих наличие начального зазора).

4. На основе предложенного метода, разработаны алгоритмы решения контактных задач с учетом ряда нелинейных явлений, имеющих место в области контакта тел. Алгоритмы позволяют учитывать: нелинейную зависимость напряжений от деформаций контактного слоя; историю нагружения зависимость кривой i т(у) контактного слоя в касательном направлении от уровня нормальных напряжений i сг; различные зависимости напряжений от деформаций во взаимоперпендикулярных касательных направлениях; геометрию тел (поиск площадки контакта); упругопла-стическую деформацию контактирующих тел и другие явления.

5. Разработанные алгоритмы реализованы на ЭВМ в виде программы и на ее основе выполнена серия расчетов, демонстрирующих работоспособность разработанного метода. Результаты расчетов сопоставлялись с аналитическим решением или решением, полученным методом минимизации функционала потенциальной энергии системы. Получена согласованность результатов.

6. Проанализированы экспериментальные данные исследований контактной жесткости Н.Б. Демкина и В.И. Максака. На примере экспериментальной установки ПКД, описанной в работе Н.Б. Демкина, расчетным путем; оценена величина, погрешности эксперимента. Установлено, что при первом нагружении погрешность эксперимента не превышает 10%, при повторном приложении нагрузки может достигать 15-20%. Выполнена аппроксимация имеющихся экспериментальных данных и построены зависимости напряжений от деформаций контактного слоя с учетом истории нагружения. Полученные нелинейные зависимости напряжений от деформаций использовались в ряде случаев при решении задач в качестве базовых свойств контактных КЭ.

7. Решена задача о контакте индентора с двухслойным упругопластиче-ским основанием, показано влияние толщины хромового покрытия на жесткость основания. Результаты переданы на внедрение в ИММС НАНБ.

8. Разработанный метод был применен для вычисления НДС штатного и модифицированного вкладышей подшипников компрессора. По результатам расчета сделаны выводы о преимуществах модифицированного трехслойного (баббит, бронза, стальное основание) вкладыша перед штатным (баббит, бронзовое основание) вкладышем. В частности, растягивающие осевые напряжения в бронзовом и баббитовом слоях модифицированного вкладыша более чем в два раза ниже аналогичных напряжений в штатном вкладыше. Таким образом, замена штатного вкладыша подшипника модифицированным обеспечивает экономический эффект за счет снижения себестоимости и за счет увеличения срока службы вкладыша. Результаты переданы в ОАО "ГазЭнергоСервис" на внедрение.

1. Атопов В.И., Сердобинцев Ю.П., Славин O.K. Моделирование контактных напряжений. - М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.

2. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин B.C. Методы оптимизации: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 440с.

3. Бабин А.П. Конечноэлементный алгоритм решения контактных задач с учетом нелинейных эффектов. // Динамика, прочность и надежность транспортных машин. Сборник научных трудов. Под ред. Б.Г. Кеглина. -Брянск: БГТУ 2002. с. 138-148

4. Бабин А.П. Решение контактных задач с применением нелинейных контактных конечных элементов // Тезисы докладов 54-й студенческой научной конференции. Брянск: БГТУ, 1999. - С. 44.

5. Бабин А.П., Бурак И.И. Конечноэлементное моделирование контактного взаимодействия с учетом нелинейных эффектов // Молодежная научно-техническая конференция технических вузов центральной России. Тезисы докладов. Брянск: БГТУ, 2000г. С. 72-74

6. Бате К.Ю., Вильсон Э.А. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы т.1 М.: Наука, 1975 - 631с.

8. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 542с.

9. Вовкушевский А.В. Вариационная постановка и методы решения контактной задачи с трением при учете шероховатости поверхности // МТТ,. 1991. №3. С. 56-62.

10. Галанов Б.А. О приближенном решении некоторых задач упругого контакта двух тел. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1981, № 5 С. 61-67

11. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980.-304с.

12. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.-428 с.

13. Гаркунов Д.Н. Триботехника. М.: Машиностроение, 1985. - 424 с.

14. Горячева И.Г. Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. -256 с.

15. Гудман JI.E. Исследование контактных напряжений в нормально нагруженных шероховатых сферических телах // Тр. Амер. об-ва инженеров-механиков. Прикладная механика. М.: Мир, 1962. Т. 29. № 3. - С. 74-82

16. Демкин Н. Б. Фактическая площадь касания твердых поверхностей. М.: Издательство академии наук СССР, 1962. - 109 с.

17. Демкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей. М.: Наука, 1970.-227 с.

18. Джонсон К.Л. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 510с.

19. Дрозд М.С., Матлин М.М., Осипенко А.П. Инженерные расчеты упруго-пластической контактной деформации. М.: Машиностроение, 1986. -224с.

20. Дьяченко П.Е., Толкачева Н.Н., Андреев Г.А:, Карпова Т.М. Площадь фактического контакта сопряженных поверхностей. Изд. АН СССР, -М.:1963. 95 с.

21. Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков: Основа, 1991. - 271с.

22. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций / Подгорный А.Н., Гонтаровский П.П., Киркач Б.Н. и др. / Отв. ред. Рвачев В.Л.; АН УССР. Инст-т проблем машиностроения. Киев: Наукова думка, 1989. -232 с.

23. Зенкевич 0., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. - 318 е., ил.

24. Зернин М.В., Бабин А.П. К исследованию контактной жесткости с использованием модели механики "контактной псевдосреды". // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. № 6, 2001, том 67. С. 51-54.

25. Крагельский И.В. Триботехника: современное состояние и перспективы. Надежность и контроль качества, 1975, № 8. - С. 3—9

26. Крагельский И.В., Харач Г.М. О расчете износа поверхностей трения. // Расчетные методы оценки трения и; износа. Брянск: приок. кн. изд-во, 1975.-с. 5—47

27. Кузьменко А.Г. Основные уравнения теории упругости и пластичности и метод конечного элемента: Тула: Тульский политехи, ин-т, 1980. - 100 с.

28. Кузьменко А.Г. Решение МКЭ контактных задач теории упругости с учетом износа: Смешанные задачи механики деформируемого тела // Тез. докл. 3-й Всесоюзной конф. Харьков: 1985. - С. 108-109.

29. Кузьменко А.Г., Довидович Э.Б., Новисов В.И. Алгоритм и комплекс программ решения пространственных контактных упруго-пластических задач для шероховатых тел // Тез. докл. 8-й Всесоюзной конф. по прочности и пластичности. Пермь, 1983. - С. 108-109

30. Кузьменко А.Г., Зернин М.В., Овсий В.И. Разработка алгоритма и программы решения МКЭ плоских упруго пластических задач для соединений с натягом. Брянск: БИТМ, 1982. - 21с.

31. Кузьменко А.Г., Овсий В.И. Метод конечного элемента в расчетах деталей машин и конструкций. Брянск: Брянский ин-т транспорт, машиностроения, 1982. - 91с.

32. Левина З.М., Решетов Д.Н; Контактная жесткость машин. М.: Машиностроение , 1971. - 264с.

33. Максак В.И. Предварительное смещение и жесткость механического контакта. М.: Наука, 1975. - 57 с.

34. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. - 400с.

35. Мелещенко Н.Г. К вопросу расчетной оценки условий работы стыковых соединений двигателей. // Тр. / ЦНИДИ. 1978. Вып. 73. С. 31-36.

36. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под. ред. А.С. Сахарова, И.А. Альтенбаха. Киев: Высшая школа, 1982. - 480с.

37. Метод определения нормальной контактной жесткости неподвижных стыков. Методические рекомендации МР42-82. М., ВНИИНМАШ, 1982.- 18 с.

38. Мишин А.В. Расчет динамически нагруженных опор скольжения методом конечных элементов. //Динамика, прочность и надежность транспортных машин. Сборник научных трудов. Под ред. Б.Г. Кеглина. Брянск: БГТУ, 2002.-С. 174-182

39. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. -Киев: Наук. Думка, 1989. 269с.

40. Морозов Е.М;, Зернин М.В. Контактные задачи механики разрушения. -М.: Машиностроение, 1999. 544 с.

41. Нагарадж Х.С. Упругопластический контакт тел под действием нормальной и касательной нагрузок при трении // Тр. Амер. об-ва инж.-механиков. Проблемы трения. 1984. Т. 106. № 4. С. 93-102

42. Никишков Г.П. Программный комплекс для решения задач механики деформируемого твердого тела. М.: МИФИ, 1988. - 84 с.

43. Образцов И.Ф., Савельев Л;М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985-390 с.

44. Ольшевский А.А., Винник, JI.B., Фридберг A.M. Решение нормальной контактной задачи для шероховатых номинально плоских поверхностей // Динамика и прочность транспортных машин: Сб. науч. тр. Брянск, 2000. -С 102-108.

45. Орлов А.В., Пинегин С.В. Остаточные деформации при контактном нагружении. М.: Наука, 1971. - 62 с.

46. Основы трибологии (трение, износ, смазка) / Под ред. А.В. Чичинадзе. -М.: наука и техника, 1995. 778 с.

47. Пашнин В.Г., Сапунов В.Т. Контактное взаимодействие топливного сердечника с оболочкой ТВЭЛА // Деформация и разрушение материалов и элементов конструкций ЯЭУ. М: МИФИ, 1993. - С. 38-47

48. Пономарев B.C. Внедрение жесткого штампа в эластичный материал. Механика деформированного твердого тела. Томск: 1987. - С. 147-152.

49. Рвачев B.JL, Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наукова думка, 1977. - 567с.

50. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Регсдел К. Оптимизация в технике. Том 1. -М.: Мир, 1986.-349 с.

51. Розин JI.A., Смирнов М.С. Решение контактных задач теории упругости с податливостью в односторонних связях // Известия вузов. Строительство. 2000. №5. С.27-32.

52. Рыжов Э.В., Колесников Ю.В., Суслов А.Г. Контактирование твердых тел при статических и динамических нагрузках. Киев: Наук, думка, 1982. -172с.

53. Сакало В.И. An iterative method for solving contact problems. Доклад на международном конгрессе ICIAM-95. Гамбург, 1995

54. Сакало В.И., Ольшевский А.А., Шевченко К.В., Винник JI.B. A direct finite element method for solving the rolling contact problems // Extended abstracts of the 5-th Int. Conf. on Railway Bodies and Running Gears. Budapest, 2001. - C.47-49

55. Сакало В.И., Тищенко П.А. Алгоритмы трехмерных контактных задач. // Динамика и прочности транспортных машин. Сб. науч. тр./БГТУ: Под ред. В.И. Сакало. Брянск: Изд. БГТУ, 1998. - с. 156

56. Самуль. В.И. Основы теории упругости и пластичности. Учеб. пособие для инж.-строит. специальностей вузов. М.: Высшая школа, 1970. -288с.

57. Свечков И.Н., Ярославский A.M. Технология компрессоростроения. М.: Машиностроение, 1978.- 199с.

58. Секулович М. Метод конечных элементов: Пер. с серб. М. Стройиздат, 1993.-664с.

59. Суслов А.Г. Техническое обеспечение контактной жесткости соединений. М.: Наука, 1977. - 100 с.

60. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с. англ. / Под ред. Г.С. Шапиро. 2-е изд. М.: Наука, 1979. - 560 с.

61. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие. М.: Наука, 1987.-320 с.

62. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Изд. Наука, 1970. -544с.

63. Фурунжиев Р.И. Дискретный; контактный конечный элемент в механике твердых деформированных тел // Вопросы строительства и архитектуры. 1979: №9.-С; 66-72

64. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей машин тепловых двигателей. JL: Машиностроение, 1983. - 212 с.

65. Шилько С.В., Можаровский ВВ. Численное исследование микропроскальзывания в контакте индентор-упругое основание // Трение и износ, том VI, № 2, 1985. С. 283-288.

66. Шилько С.В;, Старжинский В.Е;, Бабин А.П., Зернин М.В. Моделирование контактного взаимодействия в сопряжениях микроэлектромеханических систем. // Вестник Гомельского Государственного Технического университета имени П.О. Сухого, 3-4' 2002. С. 31-38

67. Шилько С.В., Старжинский В.Е., Бабин А.П., Зернин M.Bi, Шалобаев Е.В. Особенности расчета сопряжений компонентов МЭМС. // Микросистемная техника, №6, 2003. С. 16-20

68. Экспериментальная механика // Под ред. А. Кабаяси. М:: Мир, 1990. Т. 2.-551 с.

69. Эюоз Ф.А., Мервин Дж. Е. Решение нелинейных задач упругопластично-сти методом дискретных элементов // "Ракетная техника и космонавтика" том. 6, № 10, октябрь 1968. С. 3-10

70. Яковлев А.В. Остаточные напряжения в анитифрикционном слое баббитового подшипника // Вопросы исследования прочности и динамики элементов машин и подвижного состава железных дорог. Тула: Тульск. политехи. ин-т, 1978. G. 119 123.

71. Cattoneo С. Sul Contatto di due corpi elastici: distribuzione locale degli sforzi. Roma: Reale Academia nazionale dei lincei, serie 6, vol. 27., 1938 pp. 342348

72. Dumas G., Baronet C.N. Elastoplastic indentation of a half-space by an infinitely long rigid circular cylinder. // International journal of mechanical sciences, 1971, v.13. P. 519-530.

73. Fridriksson B. Finite elements solutions of surface nonlinearities in structural mechanics with special emphasis to contact and fracture mechanics problems // Сотр. and Struct. 1976. V. 6. P. 281-290.

74. Herrman L.R. Finite element analysis of contact problems // Int. Eng. Mech. Div. Proc. ASCE. 1978. Vol. 104, N 5. P. 1043-1057.

75. Hughes T. J. R., Taylor R. L., Sackman J. L., Curnier A., Kanoknukulchai W. A finite element method for class of contact-impact problems // Сотр. met. in applied mechanics and engineering. 1976. Vol.8. N 4. P. 249-276

76. Mazurkewicz M., Ostachowicz W. Theory of finite element method for elastic contact problems of solid bodies // Сотр. Struct. 1983. Vol. 17. N 1. P. 5159

77. Michalowski R., Mros Z. Associated and nonassociated studing rules in contact friction problems // Arch. mech. stosow. 1976. № 3. P. 259-276.

78. Sachdeva T.D., Ramakrishan C.V. A finite element solution for the two-dimensionnal contact problems with friction // Int. J. Number. Meth. Eng. 1981/Vol. 17. P. 185-192.

79. Satoshi O. Finite element analysis of elastic contact problems // Bull. JSME. 1973. Vol. 16. N95.-P. 12-25

80. Yamada Y., Yoshimura N., Sakurai T. Plastic stress-strain matrix and its application for the solution of elastic-plastic problems by the finite element method. // International journal of mechanical sciences, 1968, v. 10, N5 P. 343-354.

81. Zahavi E. Concerning the solution of elastic-plastic problems by the finite-element method. Journal of applied mechanics. June 1980, v. 47. P. 435-436.