Методология исследований поверхностных и реологических свойств жидкостей на основе компьютерных моделей тема автореферата и диссертации по химии, 02.00.04 ВАК РФ

Коренченко Анна Евгеньевна

МЕТОДОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ ПОВЕРХНОСТНЫХ И РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЖИДКОСТЕЙ НА ОСНОВЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ

(02.00.04 - «Физическая химия»)

Автореферат на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Челябинск -

2008

Работа выполнена на кафедре «Общая и теоретическая физика» ЮУрГУ и в Челябинском филиале ИМЕТ УрО РАН.

Официальные оппоненты: профессор, доктор физико-

математических наук Попель Петр Станиславович;

профессор, доктор технических наук Каган Дмитрий Наумович;

профессор, доктор физико-математических наук Прокудина Людмила Александровна.

Ведущая организация -

Институт химии твердого тела УрО РАН, г. Екатеринбург.

Защита состоится 10 сентября 2008 г., в 11 ч, на заседании диссертационного совета Д212.298.04 при Южно-Уральском государственном университете (ЮУрГУ) по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. В.И. Ленина, 76, ЮУрГУ, тел. (351) 267-91-23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Уральского государственного университета.

Ваш отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенном гербовой печатью, просим высылать по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. В.И. Ленина, 76, ЮУрГУ, ученый совет. Тел. (351) 267-91-23, факс (351) 267-92-28.

Автореферат разослан « » июня 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д. ф.-м. н.

Гельчинский Б.Р.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Вследствие происходящей в последние десятилетия технологической революции резко увеличился объем исследований физико-химических свойств жидкостей. Это связано, в первую очередь, с тем, что жидкая фаза участвует во многих производственных процессах. Так, при добыче, транспортировке и переработке природных ресурсов возникают проблемы, связанные с отложениями нежелательных осадков на поверхностях оборудования, в результате чего растет энергопотребление, снижается продуктивность и качество. Важнейшими техническими характеристиками жидкого сырья, например, нефти являются его плотность и реологические свойства. Эти характеристики определяют методы их добычи, условия перевозки и транспортировки по трубопроводам.

Появление новых технологий также вызывает интерес к физико-химическим свойствам жидкостей, например, особенности распыления и осаждения капель при струйной печати или в процессе капельного осаждения припоя существенно зависят от поверхностного натяжения, вязкости и реологических параметров жидкой среды.

Примеры можно распространить на процессы, в которых участвуют высокотемпературные расплавы. Интенсивные измерения физико-химических свойств металлических расплавов, проводимые с середины прошлого века, позволили создать основу для решения многочисленных проблем жидкого состояния и синтеза новых сплавов. Однако свойства расплавов тугоплавких металлов изучены недостаточно, часто противоречивы и требуют уточнения.

Интенсивно развивается в последнее время область медицины, основанная на диагностике заболеваний по физико-химическим свойствам крови. Значения поверхностного натяжения, вязкости и реологических свойств крови - предела текучести и вязкоупругих параметров - существенно изменяются при некоторых заболеваниях.

С теоретической точки зрения интерес к жидкостям связан с интенсивно развивающимися ныне исследованиями неупорядоченных систем, с выяснением фундаментальных вопросов о роли порядка и беспорядка в формировании свойств конденсированных фаз. В настоящее время представления о строении жидкостей основываются, главным образом, на результатах дифракционных экспериментов и одним из основных положений является факт существования ближнего порядка в расположении частиц жидкой фазы. Плотность жидкости, а также коэффициенты вязкости и поверхностного натяжения являются структурно-чувствительными свойства-

ми, так что сведения об изменениях в строении расплавов можно получать из температурных и временных зависимостей этих величин.

Важным для методов измерений физико-химических свойств представляется разделение эффектов, связанных со свойствами жидкостей и их изменениями, и эффектов, вызванных другими причинами. Таковыми могут быть, например, неточности, связанные с приближениями, принятыми в аналитических теориях, а также влияние на результаты экспериментов факторов, отсутствующих в теоретических основах применяемых методов измерений, но присутствующих в экспериментах.

Изложенное выше позволяет заключить, что на данном этапе экспериментальных исследований физико-химических свойств жидкостей необходимо исследовать теоретические основы методик измерения с целью теоретического обоснования методов определения поверхностных и реологических свойств жидкостей и поиска возможных источников погрешностей при измерениях.

Задачи исследования заключаются в проведении численного анализа гидродинамических уравнений в их полной нелинейной постановке для условий вискозиметрических экспериментов и сравнения результатов численного расчета и аналитических решений; расширении возможностей вискозиметрических методик на измерения неньютоновских свойств; создании теоретических основ новых методов исследования физико-химических свойств жидкостей.

Научная новизна работы. Можно выделить следующие новые результаты, полученные в работе:

1. Впервые численными методами получено решение сопряженной задачи о движении крутильного вискозиметра, заполненного ньютоновской жидкостью, за пределами приближений, принятых в стандартных аналитических теориях.

2. Получено численное решение задачи о естественной конвекции в рабочем объеме вискозиметра при высокотемпературных измерениях и обсужден вопрос о возможном влиянии свободноконвективных течений на результаты измерений.

3. Решена задача нестационарного поведения вязкопластической жидкости в ротационном и крутильном вискозиметрах.

4. Предложена модель вязкоупругой жидкости, пригодная для описания упругих свойств воды и водных растворов. Численными методами решена задача о затухающем вращении диска, погруженного в такую жидкость. Подгонкой под экспериментальные данные найдены упругие параметры воды.

5. Предложен метод определения вязкоупругих параметров жидкостей в экспериментах с крутильным вискозиметром в рамках предложенной модели. Метод основан на наблюдении размерных эффектов.

6. Разработан метод компьютерной обработки профиля лежащей капли, заключающийся в сравнении изображения, полученного в результате процедуры минимизации полной механической энергии и экспериментального.

7. Предложен метод определения поверхностного натяжения и вязкости жидкости по наблюдениям за собственными и вынужденными колебаниями капли, зажатой между двумя плоскими поверхностями.

Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается использованием фундаментальных принципов механики сплошной среды для моделирования и современных методов численного решения.

Практическое значение полученных результатов. Предложенные в работе новые методы и проведенный анализ возможных источников погрешностей могут способствовать точному измерению вязкости, поверхностного и межфазного натяжения, а также вязкоупругих и вязкопластиче-ских свойств жидкости.

Личный вклад соискателя. Все приведенные в диссертации результаты получены лично автором или при его непосредственном участии. В постановке и решении ряда задач и обсуждениях принимали участие проф. Бескачко В.П. и асп. Головня О.А.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XI Российской конференции «Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов» (Екатеринбург, 2004), VI и VHI Российских семинарах «Компьютерное моделирование физико-химических свойств стекол и расплавов» (Курган, 2002, 2006), 23-м Международном Симпозиуме по реологии (Валдай, 2006), ХШ Международной конференции «Liquid and amorphous metals» (Екатеринбург, 2007), Всероссийской конференции «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 2007).

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 26 работ. Из них 13 - в журналах, рекомендованных ВАК, 5 - в зарубежных журналах.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 158 наименований, приложения и содержит 211 страниц текста, включая 59 рисунков и 1 таблицу.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, научная и практическая ценность исследования, сформулированы цели работы

Первая глава содержит анализ литературных данных о методах измерения структурно-чувствительных свойств жидкостей.

1. На примере литературных данных об измерении вязкости жидких металлов показано, что значения вязкости, полученные различными авторами, могут отличаться на сотни процентов даже в пределах одной методики крутильных колебаний, а аномалии политерм вязкости в виде перегибов, скачков или гистерезиса воспроизводятся не во всех экспериментальных исследованиях. Скачкообразные изменения и гистерезис на политермах вязкости обычно связывают с необратимой перестройкой расплавов, фазовыми переходами в расплаве или влиянием примесей [1]. Однако, имея в виду невоспроизводимость указанных данных по вязкости в работах разных авторов, можно предложить еще одно объяснение этим явлениям, например, рассматривая их как результат принятых в стандартных виско-зиметрических теориях приближений и вытекающих из них расчетных схем ("рабочих уравнений"), или же влияния на результаты экспериментов неучтенных аналитической теорией факторов.

В [2-4] был проведен теоретический анализ последствий стратификации жидкости, заполняющей крутильный вискозиметр, неверной оценки условий, реализующихся на верхней границе образца (присутствие вязкой тонкой пленки) и приведены результаты исследования влияния внешнего магнитного поля, именно, присутствия в объеме образца некомпенсированного магнитного поля нагревателя.

Однако изложенным не исчерпываются возможные причины разброса значений вязкости жидкостей, полученных методом крутильных колебаний. Среди причин, не исследованных прежде, можно назвать следующие:

• возможные неточности, связанные с приближениями, принятыми в аналитической вискозиметрической теории;

• неньютоновские свойства исследуемых жидкостей. Согласно основному реологическому тезису, неньютоновскими свойствами обладают все жидкости, вопрос в том, как их измерить, если они выражены слабо.

Исследования возможности применения перечисленных методов к измерению вязкопластических и вязкоупругих свойств жидкостей не проводилось, исключение составляет работа [5].

2. При измерении вязкости металлических расплавов в работе [6] обнаружены интервалы температур с повышенным статистическим разбросом результатов - шумом, которые авторы соотносят с шумоиндуцирован-

ными фазовыми переходами в метастабильных системах. Однако существуют иные причины, которые могут вызвать разброс данных при высокотемпературных измерениях. Одной из таких причин может быть влияние внешних факторов, например, неизбежной температурной конвекции, возникающей в рабочем объеме вискозиметра при измерении вязкости металлических расплавов. Перестройка конвективных режимов с изменением градиента температур есть известный и проверенный факт. В пределах существования каждого режима конвекции подвесная система вискозиметра испытывает влияние со стороны набегающего потока, что создает дополнительный источник шума в измерениях. При смене режима конвекции следует ожидать возрастания этого шума вследствие хаотичности движений потерявшего устойчивость течения. Решение задачи о конвективных течениях в условиях геометрии рабочей камеры вискозиметра отсутствует, как и ответ на вопрос каким образом эти течения, перестраиваясь при изменениях температуры нагревателя, ведут себя в области, где находится вискозиметр.

3. Существуют методы определения неньютоновских свойств жидкостей, не имеющие достаточного математического обоснования. Так, в эксперименте по исследованию затухающего вращения диска, погруженного в жидкость, наблюдаются возвратные движения диска при его вращении в воде и расплаве В203 [7]. Авторы указывают на проявление в таком эксперименте механической упругости жидкости к сдвиговым деформациям, хотя возможность возникновения возвратных течений нельзя исключать даже в случае ньютоновской жидкости, учитывая нестационарность, трехмерность и нелинейность задачи. Окончательный вывод невозможен без проведения дополнительных исследований.

4. В работе [8] приведены опытные данные о поверхностном натяжении жидкого кремния, полученные за последние 50 лет и указано, что их разброс составляет более 30%, что намного превышает декларируемую авторами точность измерений. Эта и другие работы указывают на необходимость теоретического анализа уже существующих методов измерения поверхностных свойств и разработки новых.

Эксперименты с колеблющейся каплей давно используются для определения вязкости и поверхностного натяжения расплавов. Известно решение, полученное Релеем [Lord Rayleigh, 1879]) для малых колебаний сферической капли идеальной жидкости в отсутствие объемных сил и решение Чандрасехара [Chandrasekhar S., 1959], полученное для капли вязкой жидкости.

Случай малых колебаний свободной капли реализуется на практике только в экспериментах, проводимых в специальных башнях (drop tower),

где за время свободного падения капли в безвоздушном пространстве осуществляется слежение за изменением ее формы, либо в исследованиях, проводимых в условиях невесомости на космических кораблях. В прочих бесконтактных методиках измерения параметров жидкости из анализа колебаний капли используются различные методы левитации: электростатической, аэродинамической, диа- или парамагнитной. Общей чертой всех перечисленных методик обеспечения левитации является то, что на каплю действуют в противоположных направлениях сила гравитационного притяжения и подъемная сила, которые компенсируют друг друга, только будучи проинтегрированы по объему, а элементы капли при этом не обязательно находятся в состоянии равновесия, что может вызвать внутренние течения в образце и его вращение. Это делает невозможным применение теорий Релея и Чандрасехара, во всяком случае, без дополнительного анализа.

Эксперименты с каплей, зажатой между двумя плоскостями, ранее не использовались для измерения физико-химических свойств жидкости. Однако в таких опытах можно измерить те же свойства жидкости, что и в экспериментах со свободными каплями и не требуется сложного оборудования для обеспечения левитации.

В обобщение приведенных фактов, в первой главе конкретизируются цели исследования по каждому из 4-х названных пунктов.

Во второй главе приведено численное исследование движения крутильного вискозиметра, заполненного ньютоновской жидкостью, за пределами приближений, принятых в стандартных аналитических теориях, и анализируется возможное влияние на колебания вискозиметра конвекции в окружающей газовой среде в условиях температурной неоднородности.

Рассматривается цилиндр вискозиметра с радиусом Лц, заполненный до высоты Я исследуемой жидкостью. Полагаются выполненными следующие условия:

• жидкость ньютоновская и несжимаемая;

• распределения скоростей и давления имеют осевую симметрию;

• на твердых границах выполнены условия прилипания.

Уравнение движения цилиндра при условии пренебрежения затуханием колебаний, связанным с процессами внутреннего трения в нити и трением о воздух, имеет вид

Г <^со (Лл

/ц—- = -к<р + тъяз, (1)

где /ц- момент инерции, со и (р - угловая скорость и угол поворота цилиндра вискозиметра, к- крутильная жесткость нити, твяз - момент вязких сил трения, действующий на цилиндр со стороны жидкости:

Щяз =/Я1+/И2,

где моменты т\ и т2 обусловлены трением жидкости о боковую поверхность цилиндра и его торцы соответственно:

н

тх = 2лт}Яч I

в

дг

Л

г

(2)

т2=

о I дх

Здесь Ув = Ув(г,&,2,()

г2с1г.

(3)

г'*-ъЛ*

2=0 о

азимутальная компонента поля скорости V - (УГ,У^,У2) (введена цилиндрическая система координат (г, 9,г)), т} -коэффициент динамической вязкости жидкости.

Движение цилиндра возбуждает течение заполняющей его жидкости, подчиняющееся системе уравнений Навье-Стокса и неразрывности. Вводятся следующие безразмерные переменные и параметры: компоненты радиус-вектора отнесены к радиусу цилиндра вискозиметра Лц, время - к

л л

Яц ¡у, угловая скорость - к у/Яц , здесь и = т]/р - коэффициент кинематической вязкости, р - плотность жидкости. Также приняты следующие обозначения: \= (у, и) - компоненты вектора безразмерной скорости, у = \Яц/у, Р - возмущение давления сверх др, отнесенное к Яц /(р^2),

К = Яц4к/(у21ц) - безразмерный коэффициент жесткости нити на кручение, Мвяз = /Мзда /{ру2Яц) - момент вязких сил.

Отметим волной безразмерные величины: 7 - безразмерное время, (г, г) - компоненты радиуса-вектора, 5 - угловая скорость цилиндра. Тогда движение цилиндра и заполняющей его жидкости при условии осевой симметрии течений и давления описывается следующей системой уравнений:

-^ = -К<р + Мвяз,

ди ди ди

—^ +V— + и-<

д7 дг дг

дР | д2и | 1 ди | дги 02 Зг2 Г дг д

dv dv_ __v_

dt dr dz r ~ dr gr2 r & r2 dz1 '

dw dw dw vw d2w 1 dw w d2w

——+ v-+ u-+ — = —- +----— +-, ("4")

dt dr dz r dr2 r dr у1 dz2

3 d(fv) | du r dr dz

Граничными условиями для (4) служат условия прилипания жидкости ко всем твердым границам, на оси сосуда выполняются условия v(0, z,7) = 40, zJ) = 0, дР(0, z,T)/dr= ди(0, z,7)1 dF = 0. На поверхности жидкости рассмотрены 2 вида граничных условий: 1) жидкость соприкасается с твердой крышкой; 2) поверхность свободна. Жидкость в начальный момент времени покоится, а цилиндр удерживается в состоянии покоя в положении, повернутом на угол <р0 относительно положения равновесия. В соответствии со сказанным выше, начальными условиями для уравнений (4) являются:

v(?",z,0) = 0, 3(0) = 0, <р(0) = <рй. (5)

Задача заключается в отыскании закона движения цилиндра <p(t).

Численное решение системы (4) с указанными граничными условиями и начальными условиями (5) находилось методом конечных разностей.

Вернемся к приближениям, используемым в стандартных вискози-метрических теориях и оценим их справедливость, располагая численным решением рассматриваемой задачи. При рассмотрении удобно обозначить у = Н / - отношение высоты жидкости в цилиндре к его радиусу, и

отношение моментов инерции цилиндра и «замороженной»

жидкости.

1. Предположение о малости радиальной и осевой компонент скорости жидкости по сравнению с азимутальной не всегда верно для цилиндра конечной длины. На рис. 1 изображено поле скоростей в осевом сечении цилиндра, у = 1, заполненного слабовязкой жидкостью. Видно образование двух вихрей, причем наибольшая осевая скорость наблюдается вблизи поверхности цилиндра (точка А). Как показывает численный расчет, вихри зарождаются в углах вискозиметра в моменты, когда угловая скорость максимальна. Затем они распространяются вглубь жидкости, охватывая все больший объем, расплываются и исчезают. Области существования вихрей прилегают ко дну и крышке вискозиметра, поэтому их влияние на

движение общей массы жидкости для достаточно длинного цилиндра будет малым. Еще одна особенность течений в осевой плоскости заключается в том, что зарождение вихрей происходит при каждом прохождении положения равновесия, поэтому Рис. 1. Картина мгновенного распреде-осевая и радиальная скорости ления скоростей в осевом сечении ци-имеют двойную частоту. линдра при условии прилипания жидко-

сти к верхней крышке

На рис. 2 приведены временные зависимости осевой скорости в жидкости для отношений у = 1 и у = 2 в точке А и указано наибольшее значение азимутальной скорости (равное амплитуде угловой скорости цилиндра). Из рисунка видно, что отношение наибольших значений осевой и азимутальной скоростей для у=1 превышает 0,1. Это не дает достаточных оснований для пренебрежения нелинейными слагаемыми в уравнениях (4), во всяком случае, на начальном этапе колебаний.

2. Для разделения переменных в уравнениях (4) используется предположение о том, что жидкость внутри цилиндра совершает колебательные движения около положения равновесия с частотой, равной частоте колебаний цилиндра и фазой, определяемой скоростью передачи момента импульса к внутренним слоям. Это предположение выполняется не всегда. На рис. 3 изображены зависимости от времени азимутальной скорости на небольших расстояниях (г = #ц/4) от оси вращения

для слабовязких жидкостей. Расчеты произведены для цилиндра с = Я = 0,01м, Р = а крутильная жесткость нити подобрана так, чтобы период колебаний

пустого вискозиметра был Рис. 2. Осевая скорость в области Г0 = 7 с. Как видно из рисунка, наиболее интенсивного движения;

предположение о характере из- -Кц~°>01 м

менения азимутальной скорости как затухающей синусоидальной функции времени выполняется лишь асимптотически и тем позднее, чем меньше вязкость жидкостей. Чем дальше от оси (и ближе к стенкам), тем быстрее устанавливается режим затухающих колебаний. Рассмотрение распределения скоростей в поперечном сечении вискозиметра показывает, что возможны режимы, когда прилежащая оси область покоится или движется как твердое ядро.

3. Сравним предсказания аналитических и численных расчетов параметров колебаний вискозиметра. Для этого, выбрав некоторые параметры установки и зафиксировав плотность жидкости, мы выполнили расчеты зависимости <р(/) для значений вязкости, типичных для слабовязких жидкостей. Далее эти данные были подогнаны под зависимость вида

= А-е~** япО + ^о) (6)

с целью определения частоты колебаний/и коэффициента затухания р.

На рис. 4 изображены зависимости коэффициента затухания от вязкости жидкости. Отметим следующие особенности: 1) при у-* оо аналитические и численные результаты практически повторяют друг друга, а при конечном у располагаются по разные стороны от этой «кривой согласия» и отстоят от нее тем дальше, чем меньше у; 2) согласие достигается в пределе малой вязкости, и становится тем хуже, чем больше вязкость; 3) из рис. 4а видно также, что при фиксированном значении /? (равном 20 в данном случае) согласие тем лучше, чем «длиннее» цилиндр. Таким образом, расчеты показали, что предположения аналитической теории верны не всегда. Погрешности, связанные с приближениями, малы в случае слабовязких жидкостей, т.к. тогда имеет малую толщину пограничный слой внутренней поверхности цилиндра, и для длинных цилиндров, когда можно пренебречь влиянием вторичных течений. При неблагоприятном сочетании экспериментальных условий погрешность, связанная с неточностями аналитической теории, может достигать сотни и более процентов.

и<Я/2;Л/4) (б.е.)

;/у = 3.10-7м2/с

V = 2-10-7М2/С У = 10~7М2/С

75

Ко)

Рис. 3. Зависимость азимутальной скорости вблизи оси от времени

4. При проведении оценки вязкости расплавов методом крутильных колебаний всегда считают, что колебания совершаются столь долго, что все переходные процессы, связанные с выбором начальных условий (выбором способа возбуждения колебаний) уже завершились, и система находится в режиме установившихся затухающих колебаний. Для корректной интерпретации опытных данных необходимы количественные оценки длительности переходного процесса. Во второй главе с этой целью проведен анализ частотных характеристик закона движения крутильного вискозиметра.

Как было отмечено выше, частота колебаний осевой и радиальной скоростей в 2 раза превышает частоту колебаний азимутальной скорости. Это

а)

0,011 0,010 0,009

о.ооа 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001

р(с) Численный расчет, Численный расчет,

'-«С!......-7

fAtîii ......

Бесконечный цилиндр

б)

0,07-

0,05 0,04

0,02-

0,01

Численные расчеты В = 2

бескон^н^Дцилиндр Y

......••'^Л'4 * /

VtoV/c)

Численные расчеты = 2; Г =7

Аналитические расчеты р=2;у = 7

V Л0'(м%)

Рис. 4. Зависимость коэффициента затухания колебаний от вязкости жидкости; а) = 20; б) р = 2

вызывает появление высших гармоник в спектре азимутальной скорости, благодаря инерционным членам уравнений Навье-Стокса. Фурье-анализ зависимости co(t) указывает, что наряду с основной частотой в ней присутствуют и другие гармоники, обусловленные затуханием колебаний, влиянием начальных условий, а также нелинейным взаимодействием между различными колебаниями. В процессе установления колебаний отношение амплитуд второй и первой гармоник изменяется, приближаясь к некоторому постоянному значению. Длительность интервала установления существенно зависит от параметра р. Так, например, при р = 10 переходный интервал длится 2 периода колебаний, а при Р - 5 - 4 периода. Приблизительно с десятого колебания во всех рассмотренных случаях для р £ 2 можно считать, что колебания установились, и проводить измерения.

!

Ь -

I

Рис. 5. Схема установки для измерения вязкости высокотемпературных расплавов

Далее во второй главе рассмотрен еще один фактор, влияющий на измерения вязкости в экспериментах с крутильным вискозиметром: свободно-конвективные течения в камере вискозиметра, возникающие всякий раз, когда камера заполнена газом и существует разница температур между элементами ее конструкции - нагревателем и охлаждаемыми стенками. На рис. 5 изображена идеализированная схема расположения нагревателя в камере вискозиметра. Стенки камеры и нагреватель представляют собой цилиндрические слои, температура стенок камеры поддерживается равной комнатной. Камера наполняется гелием, давление газа незначительно превышает атмосферное. Цилиндр вискозиметра подвешивается на упругой нити вдоль оси установки. Численно исследуется случай осесимметричных конвективных течений, азимутальная составляющая скорости предполагается равной нулю. Газовая среда считается несжимаемой.

Расчеты были выполнены для трех перепадов температур: АТ = Гн — Гс = 250,750и 1250К, здесь Тп иТс - температуры нагревателя и стенок камеры. Результаты (рис. 6) показывают, что уже при Л7425 0 К в камере формируются развитые конвективные течения, всегда сопровождающие, таким образом, измерения вязкости высокотемпературных металлических расплавов. На рисунке стрелки представляют поле скорости конвективного течения, серым цветом отмечен нагреватель. Во всех случаях показана половина осевого сечения камеры.

Следует отметить следующие особенности этого распределения: 1) зона покоя вихря, формируемого между нагревателем и внешней стенкой камеры остается неподвижной для всего рассмотренного диапазона температур, распределение скоростей в этом вихре мало изменяется с увеличением Гн; 2) эволюция течений в области внутри нагревателя при увеличении его температуры приводит к формированию вихря, вытянутого вдоль нагревателя так что течение направлено вниз вдоль оси симметрии и поднимается вдоль нагревателя; 3) в этом течении достигаются наибольшие абсолютные значения скорости в объеме, причем они возрастают с увеличением Гн.

Таким образом, в условиях, типичных для высокотемпературных вискозиметрических экспериментов, в рабочей камере вискозиметра

действительно реализуются условия для развитой свободной конвекции со сменой ее режимов по мере возрастания перепада температур между

2 2 I

» -ч -»•*-» » > ^ „ ^ ^ .» , , - ' 1 -1 •*•>-» ' - г В л " 5 ; ' + 1 * Г I 1 . < 1 1 Г , J .. ^ . »1 | <• С " » • » 1 1 * * | * «■ Г * ► ^ с. «. , т » к- +- г- >• » * Г * ^ Ь Г * ' 1 1 ( с ( <■ < -> —>-)-< ч « * " -V, — — - 1 > ^ ? N —* V :;|г::::: Л *— V г I» '— (Г Г < ( <• 1 \ ' ' : /11'г:;: т * <--«- <- <. ,, Ч > * < « *

ДГ=250 К ДГ=750 К ДГ=1250К

Рис. 6. Поле скоростей конвективных течений в газовой среде при различных температурах нагревателя. Показана половина осевого сечения рабочей камеры

нагревателем и стенками. Не исключено, что это является одной из причин наблюдаемых температурных областей с повышенным разбросом значений параметров колебаний.

Таким образом, численное исследование метода крутильных колебаний позволяет дать следующие рекомендации по его применению:

• Использование цилиндров с у>1 дает при измерении слабовязких жидкостей расхождение между результатами аналитических и численных расчетов, меньшее 3%.

• Выполнение условия р> 2 гарантирует установление режима затухающих колебаний за 10 первых колебаний.

• С целью уменьшения уровня шума при проведении высокотемпературных измерений рекомендуется подавить свободную конвекцию в рабочей камере вискозиметра.

Третья глава диссертационной работы посвящена определению вязко-пластических свойств жидкости в экспериментах с ротационным и крутильным вискозиметрами. Эта проблема интересна как для измерения вяз-копластических свойств (известно, что пластическими свойствами обладают нефти, топлива и кровь), так и с точки зрения их влияния на результаты измерения вязкости.

Ротационный вискозиметр является распространенным инструментом для измерения реологических свойств жидких сред. В частных случаях возможна аналитическая связь между скоростью сдвига а (относительной угловой скорости вращения цилиндров) и моментом сил, приводящих цилиндр во вращение М(й>) (рассматривается случай вращения внешнего цилиндра, внутренний покоится). К этим случаям относятся ньютоновская среда и линейная вязкопластическая жидкость (Бингама). Оба решения получены в приближении длинных цилиндров (тогда гидродинамические уравнения содержат только азимутальную скорость), осесимметричности (рассматривается только зависимость этой скорости от радиальной координаты г) и стационарного вращения (производные по времени равны нулю). Решение задачи определения вида зависимости М(«а) при снятии любого из наложенных ограничений возможно только численными методами.

Нестационарное уравнение движения вязкопластической среды в приближении длинного цилиндра и осесимметричности запишется как

Определяющие соотношения для линейного вязкопластического материала имеют вид

где обозначения совпадают с приведенными ранее, кроме того, о - тензор напряжений, сг0 - предел текучести, ¿у - компоненты тензора скоростей

деформации, из которых отлична от нуля только ёгв = дУв! дг - У6 / г.

Уравнение (7) справедливо только в области вязкого течения, остальная часть жидкости представляет собой застойную зону и движется как твердое тело. На твердых границах выполнены условия прилипания. В на-

чальный момент времени жидкость вместе с цилиндрами находится в покое, а при i =0 внешний цилиндр толчком приобретает скорость со.

Для решения задачи (7), (8) была использована разностная схема с равномерной сеткой. Условия (8) означают, что для существования вязкого течения в окрестности некоторой точки необходимо выполнение требования ,ДО)/2>0, тогда как в области твердотельного движения имеем лД?, é)/2 s 0, волной отмечены безразмерные аналоги переменных. Граница, разделяющая области вязкого течения и застойные зоны, заранее неизвестна и изменяется во времени до наступления стационарного состояния. Сложность численного описания нестационарных течений вязкопластиче-ской жидкости состоит в том, что области вязкого течения следует определять на каждом временном шаге, используя условия (8), которые в разностной интерпретации задачи могут выполняться лишь приближенно. В работе использовался следующий критерий определения границы застойной зоны: течение считается вязким для -^(é, é)/2 ~¿8, а в области твердотельного движения выполнено условие л/(е, é)/2 < S. Как показал анализ, достаточную точность при сравнении аналитических и численных зависимостей дает выбор S = crQ -R2x/{n -v2 -р), Rtx - радиус внешнего цилиндра, N- число разбиений сетки.

В момент начала движения модуль тензора скоростей деформации отличен от нуля лишь в области, непосредственно прилегающей к внешнему цилиндру, вся остальная жидкость покоится. Застойная зона, прилегающая к внутреннему цилиндру, очень быстро «рассасывается». Через некоторое время значение е)/2 в точках вблизи внешнего цилиндра может стать меньшим 5, что указывает на формирование застойной зоны, прилипшей к внешнему цилиндру. Тогда в течение некоторого времени происходит увеличение толщины этой зоны, затем наступает режим стационарного вращения. По достижении стационарного состояния вычисляется радиус стационарной застойной зоны (если она сформирована) и момент М вязких сил, действующих на внешний цилиндр и равный вращательному моменту, необходимому для поддержания движения с заданной угловой скоростью.

На рис. 7 изображены аналитическая и численная зависимости М = М(го) для жидкостей с различными значениями предела текучести.

Формирования застойной зоны для жидкости с <т0 = Ю-4 Па не происходит в рассмотренном диапазоне угловых скоростей, характер зависимости М(й>) линейный, а разность между аналитическими и численными ре-

10

сг0=1,5-Юг3 Па

— аналитический расчет • численный расчет

00=1 О*4 Па

0.01

оде

0,04

»(с"1)

Рис. 7. Зависимости приложенного вращающего момента от угловой скорости вращения внешнего цилиндра ротационного вискозиметра

зультатами не превышает м'10 (Н'м)

0,1%. Угол наклона этой прямой используется в реологической практике для измерения вязкости г], а отрезок, отсекаемый ею на оси ординат, - для измерения предела текучести. Для жидкости с <т0 =1,5-Ю-3Па застойная зона формируется при угловых скоростях т < 0,01 с"1. Это отражается на характере зависимости вращающего момента от угловой скорости. Отклонение численной кривой от аналитической линейной зависимости является не погрешностью расчета, а следствием того, что прямая, полученная в предположении, что застойная зона в жидкости не формируется, продолжена в область угловых скоростей, где это условие не выполняется. Для диапазона угловых скоростей, при которых застойная зона не формируется, аналитическая и численная зависимости совпадают.

Используя данные численного расчета, можно решить вопрос о времени установления течений в ротационном вискозиметре при принятых физических допущениях. На рис. 8 показаны зависимости времени установления от угловой скорости вращения внешнего цилиндра при различных значениях предела текучести. Как видно из рисунка, каждая зависимость представляет собой кривую с выраженным скачком производной. Левая часть кривой соответствует условиям, при которых происходит формирование застойной зоны, а правая — отсутствию этой зоны.

0,16

0,12

0.08

0.04

0,05 Па

о.оо

0,10

оло

0,40 0.50„|С-')

Рис. 8. Зависимости времени установления течения в ротационном вискозиметре от угловой скорости и предела текучести

Стационарное состояние устанавливается менее чем за 300 мс, что значительно меньше периода вращения для указанных на рисунке значений угловой скорости. Поскольку выход на стационарное вращение происходит за очень малые промежутки времени, то установление стационарного состояния в ротационном вискозиметре определяется в основном стабильностью механической системы, приводящей цилиндр во вращение, и не может стать источником погрешностей при измерениях.

Далее в третьей главе в предположении осевой симметрии течения и в приближении бесконечно длинного цилиндра решена-задача о колебаниях крутильного вискозиметра, заполненного вязкопластической жидкостью.

В принятом приближении застойная зона может представлять собой либо цилиндр, если находится в центре, либо цилиндрический слой некоторой толщины. Тогда уравнения движения цилиндра вискозиметра и застойных зон запишутся как

Здесь /,-, со{ - момент инерции и угловая скорость застойной зоны, /ц -момент инерции вискозиметра, М( - момент сил трения, действующих на застойную зону, Мп - момент сил трения, действующих на цилиндр. В (10) предполагается, что могут существовать несколько застойных зон одновременно, г - порядковый номер зоны.

В начальный момент скорость деформации отлична от нуля лишь в области, непосредственно прилегающей к цилиндру. На протяжении первого периода колебаний радиус застойной зоны, расположенной вдоль оси цилиндра уменьшается. Если угол начального отклонения достаточно мал (< 0,05 рад), то полного «рассасывания» осевой застойной зоны в процессе колебаний не происходит. Эволюция застойных зон в поперечном сечении вискозиметра на протяжении первого полупериода пятого колебания показана на рис. 9. Как видно из рисунка, в момент прохождения положения

Рис. 9. Распределение застойных зон в поперечном сечении вискозиметра на протяжении первого полупериода пятого колебания

/„ —= -*■•© + М, А 1

ц

(9)

(10)

равновесия (характеризуемого горизонтальным положением риски) в цилиндре существует только осевая зона. По мере торможения вискозиметра формируется кольцеобразная зона, затем происходит сближение и «слипание» осевой и кольцеобразной застойных зон. Кроме того, наблюдается постепенное увеличение максимального радиуса осевой застойной зоны, что сказывается на зависимости её момента инерции от времени (рис. 10). Эта зависимость имеет сложную негармоническую форму и двойную по сравнению с частотой вискозиметра частоту, поскольку выполнение условий разделения твердое - вязкое не связано со знаком напряжений и, значит, воспроизводится дважды на протяжении одного периода. Как видно на рис. 10, момент инерции осевой застойной зоны увеличивается «в среднем» в процессе колебаний, что связано с уменьшением амплитуд скоростей жидкости внутри цилиндра вискозиметра вследствие затухания и, следовательно, с расширением в среднем области твердотельного движения. Периодическое скачкообразное возрастание момента инерции на рис. 10 связано со «слипанием» осевой и кольцеобразной зон.

На рис. 11 представлены зависимости коэффициента затухания (а) и частоты (б) колебаний вискозиметра от номера колебания для жидкостей с различными значения ми предела текучести <г0. Для получения этих кривых производится подгонка закона движения вискозиметра <рЦ) под затухающую синусоиду (6) с целью определения частоты колебаний / и коэффициента затухания р. Определение характеристик колебаний для построения графиков на рис. 11а, б производилось локально, на основании данных из небольшого участка записи колебаний.

Пока радиус осевой застойной зоны мал, ее существование никак не влияет на значения параметров колебаний. Интервал стационарных значений сменяется отрезком, на котором происходит возрастание коэффициента затухания, связанное с тем, что пограничные слои на боковых поверхностях вискозиметра и осевой застойной зоны начинают перекрываться, сильно влияя друг на друга и соответствующее уменьшение частоты коле-

/,!06(кгм2)

Рис. 10. Зависимость момента инерции осевой застойной зоны от номера колебания

а)

'Па,

<т0=10"

Па

баний. Интервал возрастания коэффициента затухания длится около 2-х -3-х колебаний, при этом он изменяется на величину, достаточно большую для регистрации в экспериментах с крутильным вискозиметром, где относительная погрешность измерения коэффициента затухания достигает

ю-4.

Следующий этап развития колебаний характеризуется уменьшением коэффициента затухания почти до нуля. Это связано с тем, что радиус осевой застойной зоны возрастает так, что она может «прилипнуть» к цилиндру, и тогда вся система движется как твердое тело. Затухание при этом определяется схемной вязкостью, и поэтому мало. Условное разбиение на этапы применимо также к временной зависимости частоты колебаний.

Как можно увидеть из рис. И, изменение характера колебаний происходит тем быстрее, чем больше значение предела текучести. Так, при прочих равных условиях для предела текучести <70=1(Г5Па максимум р и начало убывания /приходится на 25-е колебание, в то

время как для <т0 = Ю-4 Па -на 12-е. Эти обстоятельства можно использовать для оценки пластических

свойств жидкости - предела текучести сг0. Заметим, что такие вязкопластические жидкости, как биологические (кровь, плазма и т.п.),

имеют пределы текучести «10

10 16

25 30

35 Ы

Лс )

Рис. 11. Зависимость коэффициента затухания (а) и частоты (б) от номера колебания для жидкостей с различными пределами текучести; /3 = 10, Дц = 0,01 м

-3

Па, что на два порядка превышает отмеченный выше предел чувствительности метода крутильных колебаний («10~5Па). Это означает, что методом крутильных колебаний возможно

исследование сред с гораздо менее выраженными вязкопластическими свойствами, чем даже в биологических жидкостях, если, конечно, теоретически предсказанное поведение параметров колебаний удастся зафиксировать в эксперименте.

Далее в третьей главе проводится анализ оптимальных параметров установки для проведения такого эксперимента и показано, что изменения параметров колебаний происходит тем на большую величину, чем меньше период колебаний вискозиметра. Однако следует иметь в виду, что тогда стационарный участок зависимостей p(t) и f(t) длится дольше и, таким образом, меньшую амплитуду будут иметь колебания в момент, когда коэффициент затухания начнет изменяться. Это может создать трудности в эксперименте при отделении очень малого сигнала - затухающей синусоиды - от шумов

В четвертой главе приведены результаты исследования поведения вязкоупругой жидкости в экспериментах с плавающим диском и крутильным вискозиметром.

В 1997 году были выполнены эксперименты, в которых исследовалось затухающее движение диска, помещенного в жидкость, заполняющую цилиндрический сосуд [7]. Диск располагался так, чтобы его ось совпадала с осью сосуда, и притапливался (рис. 12). Затем диск приводился в состояние вращения относительно собственной оси с постоянной (очень малой) угловой скоростью. После достижения стационарного гидродинамического режима внешний момент, действующий на диск, отключался, и наблюдалось затухающее, вследствие вязкого трения со стороны жидкости, вращение. На рис. 13 изображены результаты такого эксперимента, проведенного в воде. Как видно из графика, затухание носит характер осцилляции. Это дало повод авторам предположить, что в исследованных ими жидкостях наряду с вязкими присутствуют также и упругие свойства, хотя, учитывая нестационарность, трехмерность и нелинейность задачи, даже в ньютоновском случае трудно предвидеть характер течения и априори исключить возможность возвратных течений.

Рис. 12. Схема установки

В первом разделе четвертой главы приводятся результаты моделирования движения диска, помещенного в ньютоновскую жидкость и показано, что никакие рассмотренные начальные условия и комбинации геометрических размеров диска и сосуда и физических параметров диска не приводят к возвратным движениям, так что осцилляции, наблюдавшиеся в эксперименте, скорее всего, связаны с упругими свойствами жидкости.

Для описания вязкоупру-гих эффектов предлагается использовать представление о жидкости с конвективной упругостью. Такая жидкость определяется как материал, для которого напряжение зависит как от деформации, так и от скоростей деформации, причем деформация определяется через различия в конфигурации материала в последовательные моменты времени, а не в сравнении с некоторой предпочтительной формой. Таким образом, в среде существуют одновременно и вязкие, и упругие напряжения, действие которых суммируется, так что тензор напряжений может быть представлен в виде а = овяз + оупр. Упругая часть

тензора напряжений изотропной жидкости с конвективной упругостью, согласно предложенной модели, выражается формулой

cynp(t)= Jap(-(t-S)/TyG.<&{<). (П)

—оо

В расчетах эта формула использовалась в дискретной форме:

= + -exV(~yT),

где о^р - тензор упругих напряжений в момент времени е - деформация за время At, G - модуль сдвига и учтено, что упругие напряжения за каждый интервал At не аддитивны, а имеет место экспоненциальная релаксация. Вязкая часть тензора напряжений удовлетворяет уравнению Ньютона овяз =-rj-t .Таким образом, предложенная модель вязкоупругой жидкости содержит, помимо вязкости, два независимых параметра: модуль сдвига G и время релаксации упругих напряжений Т.

dm)

Рис. 13. Экспериментальная и численная зависимости угла поворота диска от времени при затухающем движении в воде

Основная цель этого раздела работы состояла в подборе упругих параметров воды G и Т так, чтобы наилучшим образом подогнать экспериментальную кривую зависимости угла поворота диска от времени (рис. 13). В безразмерных переменных, введенных так же, как ранее, движение диска и окружающей его жидкости описывается следующей системой уравнений:

|UAu-u-Vu-VP-fynp, (12)

Vu = 0, (13)

^ = Maa+M*np. (14)

Система (12)—(14) отличается от (4) присутствием слагаемых, описывающих упругое взаимодействие, f упр есть объемная безразмерная плотность упругих сил, Мвяз и Мупр - безразмерные моменты вязких сил трения и сил упругого взаимодействия, приложенных к диску со стороны жидкости.

Выражение для f упр выводится из (11) с учетом конвективного переноса упругих напряжений и записывается как

f£f = El • Au + fj^ • exp(- (u • УУ^ • exp(- AT,

где = A7 - безразмерный временной шаг разностной схемы, т-pv

безразмерное время релаксации.

Варьируя значения времени релаксации и модуля сдвига можно получить различные модельные законы движения диска. Наилучшая подгонка под экспериментальную кривую зависимости угла поворота диска от времени дает график, изображенный на рис. 13 сплошной линией. Численная кривая получена при значениях модуля сдвига G = 1,3-Ю-5Па и времени релаксации упругих напряжений Т = 29,33 мин. Как видно из рисунка, численный расчет хорошо описывает приведенные экспериментальные данные, во всяком случае, для первой волны колебаний.

В таблице для сравнения приведены экспериментальные данные о модуле сдвига для различных жидких сред. Как видно из таблицы, найденный модуль сдвига воды, оказывается, по крайней мере, на два порядка меньше такового для наименее «упругой» из измеренных вязкоупругих

жидкостей - крови.

Таким образом, определение слабых упругих свойств возможно численной подгонкой экспериментального закона движения диска <p(t), однако

этот метод нельзя рекомендовать для рутинных измерений упругости, так как и сам эксперимент, и численная подгонка занимают значительное время. Для обнаружения слабых вязкоупругих свойств необходимы экспе-

Таблица

Модули сдвига для жидких материалов

Материал (7(Па)

Желатиновый студень [Папков С.П., 1974] 1,0-104

5% суспензия крахмала в минеральном масле Га В. Thurston, 19911 2,0-3,0

Кровь [G. В. Thurston, 1996] ю-1-ю-3

Вода [настоящая работа] 1,3-Ю-5

рименты, в которых реализуются весьма малые скорости деформации, например, такие, которые возникают в крутильном вискозиметре по мере затухания его колебаний.

Далее в 4-й главе проведен анализ поведения вязкоупругой жидкости в крутильном вискозиметре с целью разработки метода измерения модуля сдвига в таких экспериментах. Пусть вязкоупругая жидкость, удовлетворяющая предложенной модели, помещена в крутильный вискозиметр. Так как эта модель является линейной, а экспоненциальный закон релаксации упругих напряжений - самым общим из всех возможных, то можно считать, что в первом приближении так можно описать большинство слабоупругих жидкостей. Записываются уравнения движения вискозиметра и жидкости в нем с учетом упругих сил и уравнение неразрывности. Результатом расчета для каждого набора параметров вязкоупругой жидкости был закон движения вискозиметра <р(!). Затем этот закон аппрокси-мировался затухающей синусоидой (6) с целью определения частоты и коэффициента затухания колебаний.

На рис. 14 изображены графики зависимостей локально определенного коэффициента затухания от времени для ньютоновской жидкости и для жидкостей с тем же коэффициентом вязкости, но различными значениями упругих параметров. Как видно из рисунка, для ньютоновской жидкости эта зависимость только на начальном этапе, когда происходит уста-

0,03-

0,02-

0,01-

0,00-

р{ С )

00,001 Па; Р=24 с

0=0,001 Па; 15=2,4 с

ньютоновская жидкость

; У • ¿=0,002 Па; 7*=24 с

Рис. 14. Зависимость коэффициента затухания от номера колебания для вяз-коупругих сред с различными временами релаксации и модулями сдвига

новление колебаний (1-2 колебания), отличается от постоянной функции. Для сред с упругими свойствами коэффициент затухания также является постоянным всюду, за исключением начального интервала (2-4 колебания). Интервал установления крутильных колебаний для среды с упругими свойствами длится значительно дольше, чем для ньютоновской жидкости. Небольшая модуляция на кривых имеет частоту, в 2 раза превышающую частоту крутильных колебаний. Как видно из рис. 14, значение установившегося коэффициента затухания существенно зависит от модуля сдвига вязкоупругой среды, он может принимать меньшее (например, для в = 0,002Па) или ббльшее (при С = 0,001 Па) значение по сравнению со случаем ньютоновской жидкости с тем же коэффициентом вязкости. Также ясно, что временные зависимости параметров колебаний крутильного вискозиметра не подходят для идентификации вязкоупругой среды, так как их вид качественно совпадает с таковым, полученным для ньютоновской среды. Для идентификации среды как вязкоупругой интересно рассмотреть размерные эффекты, например, зависимости частоты и коэффициента затухания колебаний от радиуса цилиндра вискозиметра. Эти зависимости представлены на рис. 15 а и б в сравнении с таковыми для ньютоновской среды. Коэффициент жесткости нити выбирался так, чтобы период колебаний пустого вискозиметра для всех численных экспериментов был Г0 =12с, а отношение моментов инерции цилиндра и жидкости - /? = 10. Обращают на себя внимание особенности на каждой из кривых при Дц = 11,46мм: «резонансный» пик в первом случае и скачок частоты во

втором.

Возможно, что это есть результат наложения двух процессов: движения среды, обусловленного крутильными колебаниями цилиндра, и волнового движения, связанного с распространением в ней поперечной упругой

0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00

/КС" )

Л(ММ)

0,49

0.47 0,46 0,45 0,44

(15)

/(с"')

волны. Для этого предположения есть следующие основания: скорость упругой поперечной волны равна фМр* 1,732-10"3 м/с и за а) половину периода колебаний вискозиметра (» 6,63 с) она успевает пробежать расстояние, равное 11,48 мм. Это значение с большой точностью совпадает с радиусом цилиндра, при котором наблюдается максимум затухания колебаний вискозиметра и соответствующий скачок частоты на рис. 15.

Таким образом, особенности на зависимостях р(Кц) и б) /(Дц) имеют «резонансное»

происхождение и наблюдаются при выполнении условия

1

2 V Р / что позволяет определить модуль сдвига (7.

Заметим, что скачок частоты и высота «резонансного» пика достаточно велики для регистрации в экспериментах с крутильным вискозиметром и что сходные эффекты будут иметь место, если при фиксированном радиусе изменять период колебаний, например, варьируя крутильную жесткость нити подвеса. На практике это можно сделать, изменяя длину нити при прочих равных условиях.

Далее в 4-й главе исследованы возможности метода по измерению модуля сдвига жидких сред. Проведен анализ чувствительности определения модуля сдвига крутильным вискозиметром. Выявлены диапазоны изменения модуля сдвига и времени релаксации, которые могут быть измерены в таких экспериментах. Обнаружено, что при радиусе цилиндра вискозиметра, равном 11 мм, возможно определение модуля сдвига б¿0,001 Па, если время релаксации упругих напряжений Т>Зс. Так, за-

5 10 15 20 Яц(м«)

Рис. 15. Зависимости коэффициента затухания (а) и частоты (б) колебаний вискозиметра от радиуса цилиндра; ■ - <3=0,001 Па, 743 мин; • -

висимости р{Яц) и /(Яц), рассчитанные для воды в крутильном вискозиметре при значениях упругих параметров, полученных ранее, не имеют никаких особенностей и совпадают с полученными в предположении ньютоновского закона трения. Расширение диапазона измерения С? возможно при использовании цилиндров большего радиуса.

В пятой главе предложен метод определения физико-химических свойств жидкостей в экспериментах с жидкой каплей.

Предлагаемая методика измерения коэффициентов поверхностного сгжг и межфазного сг.^ - сг^ натяжения является разновидностью метода лежащей капли и предполагает сравнение формы, полученной из обработки изображения лежащей капли, и формы, вычисленной из условия минимума полной механической энергии капли. При отработке экспериментальной методики на каплях дистиллированной воды на парафиновой подложке (рис. 16) были получены значения поверхностного натяжения воды с относительной погрешностью 0,5%. Преимуществом описанного метода обработки является возможность определения коэффициентов межфазного натяжения по части изображения профиля капли, что удобно в случаях, когда сложно отобразить нижнюю часть капли на фотографии.

Определение вязкости жидкости предлагается проводить на основании анализа свободных или вынужденных колебаний капли. Эксперименты с каплей, зажатой между двумя плоскостями, ранее с этой целью не проводились, однако они удобны по следующим причинам:

• присутствие ограничивающих плоскостей облегчает выделение основной моды колебаний;

• существует возможность наблюдения как собственных, так и вынужденных колебаний капли. Для реализации последней возможности, одну из плоскостей можно привести в движение, например, заставить колебаться в направлении нормали;

• эксперименты по наблюдению равновесной формы зажатой капли позволяют определить плотность жидкости и

Н

_

гг-

к

-гу»и

Рис. 16. Экспериментальное изображение капли дистиллированной воды на парафиновой подложке (серым цветом) и профиль, полученный подгонкой (сплошная линия). V = 4,348мм3. Результаты обработки: сгжг = 0,0734 Н/м,

Сжг ~ оУг = 0,0315 Н/м, р = 998,34 кг/м3

коэффициенты поверхностного и межфазного натяжения, а вязкость жидкости можно определять из характеристик свободных и вынужденных колебаний капли, т.е. существует возможность одновременного измерения нескольких физико-химических свойств;

• требуется малый объем образца, что особенно важно для физико-химических исследований биологических жидкостей.

Рассматривается жидкая капля (рис. 17) объема У, зажатая между двумя плоскостями, расстояние между которыми Я, и выполнены следующие предположения: ¡г -

■ жидкость ньютоновская и не- —-- .[... , ,..__

сжимаемая; ——■ X— —

■ вязкость окружающего каплю газа пренебрежимо мала, так что влиянием газовой среды можно

пренебречь; ^ рис 17 разбиение стесненной капли

■ форма расплющенной капли, а

также шля скорости и давления в жидкости имеют осевую симметрию;

■ тепловыделение, обусловленное движением жидкости, незначительно, так что справедливо изотермическое приближение;

■ можно пренебречь испарением с поверхности капли;

■ механизм растекания таков, что условия прилипания на твердых поверхностях не нарушаются;

■ отсутствует гистерезис смачивания.

При нарушении равновесной формы капли восстановление равновесия

будет происходить в виде затухающих колебаний. Течения в капле во всех

случаях описываются системой гидродинамических уравнений движения

ЭУ 1

—— = -у. УУ+^ДУ— дг р

(16)

У-У = 0.

Здесь V = (Уг, Уд, Уг) и Р - поля скорости и давления в жидкости, g - ускорение свободного падения. Обозначим через п = {иг, п2} единичный вектор внешней нормали, через ч = {тг,т2} единичный касательный вектор к свободной поверхности в осевом сечении. Тогда выполнены следующие граничные условия:

У|г =0, п-Т|г -т = 0, п-Т|г = (17)

жт »Г

где Ту = -реу + 7]{дщ/дХ]+ [дх^ у = г,г - тензор напряжений, К.(г) -кривизна свободной поверхности капли. Первое условие означает непро-

ницаемость твердых границ Г^ и отсутствие проскальзывания на них, второе - обращение в нуль касательной составляющей вектора напряжений, действующей на свободную поверхность Гжг, а третье - равенство нормальных напряжений на этой границе поверхностному давлению, определяемому формулой Лапласа.

Для решения системы (16), (17) использовалась разностная схема, построенная на равномерной пространственной сетке. Вместо уравнения неразрывности записывалось уравнение Пуассона для давления. Сетка перестраивалась на каждом временном шаге в соответствии с передвижением границы капли. Форма капли определялась ее радиусами поперечных сечений г,- (рис. 17).

Была рассчитана связь между параметрами свободных колебаний капли и физико-химическими свойствами жидкости. Для этого временная зависимость радиусов поперечных сечений подгонялась затухающей синусоидой (6). Как выяснилось, определенные локально собственная частота ©о и коэффициент затухания р изменяются в процессе колебаний и значения их стабилизируются лишь после завершения переходных процессов. На рис. 18 приведена зависимость частоты свободных колебаний ®0 от коэффициента поверхностного натяжения на границе жидкость-газ. Расчетные точки графика (Dq (<тш ) подгонялись зависимостью у - а(х-Ь)с, где определению подлежат а, Ь, и с. Подгонка дает функцию

fflofaj = 2190,71(сгжг - 0,0476)1/2 (18)

(на рис. 18 изображена пунктирной кривой), где погрешность определения показателя степени с=1/2 оказалась меньшей 1%. Проведенный анализ размерностей ©о ~ {(Уш)1'2paRP показал, что зависимость частоты колебаний от радиуса равновеликой свободной капли R должна иметь вид а>0 ~ R-1'5. Подгонка расчетной зависимости ©0(J?) функцией

a/Rls+b дала формулу Рис. 18. Собственная частота колебаний щ (R) = 1069,53 / R ' - 5,768 капли как функция поверхностного натя-(рис. 19, пунктиром), жения; #=1,5 мм, v = 10~б м2/с

600-

550-

500-

<»0(ожг)=2190,71(ожг-0,0476)'

0,4922

0,05 0,06 0,07 0,08

С^Н/м)

гай (С"Ч

V

400

ш0 (Д) = 1069,53/Л1'5-5,768

1,0

1.5

2.0

2,5

3,0 Д(ММ)

Рис. 19. Собственная частота колебаний капли как функция радиуса равновеликой свободной капли; вода

описывающую расчетные точки с очень малой погрешностью. Следует отметить, что показатели рассчитанных степенных зависимостей ¿о0(д) и

®0(°жг) совпадают с таковыми, полученными аналитически для свободной капли.

Коэффициент затухания колебаний при фиксированном значении Я зависит только от вязкости жидкости, график такой зависимости изображен на рис. 20, Точки графика р(у) хорошо подгоняются зависимостью

р = 53,554(|/ • 10б - 0,255^ (19) (на рис. 20 изображена пунктирной ]фивой), где с оказывается равным 0,5 с погрешностью, меньшей, чем 2%. По формулам, подобным (18, 19), можно рассчитать вязкость жидкости и поверхностное натяжение из экспериментальных значений частоты и коэффициента затухания.

Движение верхней плоскости, когда она совершает колебания в направ-вызывает изменение радиусов ц во времени. На рис. 21 изображены временные зависимости радиуса поперечного сечения вблизи нижней плоскости для частоты вынужденных колебаний 0)в большей (а), меньшей (б) и близкой (в) собственной частоте. Как видно из рисунка, происходит наложение свободных и вынужденных колебаний. При а>в = 10&>0 (а) такое наложение дает высокочастотные вынужденные колебания, модулированные затухающими собственными колебаниями, при а>в- щ/2 (б) влияние свободных колебаний менее заметно и выражается в небольшом

лении нормали, -1.

р1 с')

90

40

30

Ш

5(у'106-0,2б)°'507

0,5

2,0

2,5

3,0

у'ЮТм/с)

Рис. 20. Зависимость коэффициента затухания свободных колебаний капли от вязкости жидкости; сг™ =0,073 Н/м

искажении синусоидальной формы. При г»в ~ ©0 (в) переходный процесс протекает в виде биений.

ит-

ог, "Щ/2

в)

||!Н

$

1

Рис. 21. Релаксация радиуса поперечного сечения капли, г-Н / б

Передача количества движения от верхней части капли к ее нижней части не происходит мгновенно, следовательно, верхнее и нижнее пятна смачивания будут колебаться в разных фазах.

Аппроксимация кривых г0(/) и гт{{) (радиусы пятен смачивания) синусоидой вида г,- (0 = А, зт(<»в ■£ + (//,•)+(?,-, где подгонке подлежат А1, С,-, позволяет получить начальные фазы щ вынужденных колебаний верхнего и нижнего пятен смачивания, и их разность 8ц/ Наибольшая разность фаз достигается вблизи резонанса, юв ~ ю0.

На рис. 22 изображены зависимости разности фаз колебаний верхнего

1,6 1.5 1,4 1,3 1,2 1.11.00.9 0.8

'•е-.

'о.. '"о. Л

"••«.••в..д

•о-.'а Л

"А. Й

0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8

\-10б (м2/с)

Рис. 22. Зависимость разности фаз колебаний верхнего и нижнего пятен смачивания от вязкости жидкости при различных амплитудах колебаний верхней плоскости; А -А-2 мкм, о -А=3 мкм, о -А-5 мкм; = 1000 кг/м3, аш = 0,073 Н/м, сг^ - ап = 0 Н/м

и нижнего пятен смачивания 8ц/ от вязкости V для значений амплитуды колебаний А = 5 мкм, Л = 3мкм и Л = 2мкм при резонансе. Расчеты для графиков на рис. 22 получены для модельных жидкостей различной вязкости. Как видно из рисунка, для А = 5 мкм график представляет собой прямую линию для всего рассмотренного диапазона значений вязкости. Зависимости, построенные для А = 2 мкм и Л = 3 мкм являются линейными только при малых значениях вязкости, причем нелинейные эффекты проявляются при тем меньших вязкостях, чем меньше амплитуда А. Как видно из рисунка, значения разности фаз для жидкостей, вязкости которых превышают 1,4-Ю-6 м2/с, слабо зависят от амплитуды колебаний плоскости. Чувствительность метода измерения вязкости, определенная по углу наклона кривой 5ц/(у) на линейном участке (пунктирные прямые), тем больше, чем меньше амплитуда колебаний верхней плоскости.

Отметим основные причины, по которым удобно проводить определение вязкости с помощью вынужденных колебаний: измерение разности фаз пятен смачивания технически проводить легче, чем запись временной эволюции формы капли; при измерениях свободных колебаний капли процесс ограничен во времени затуханием, тогда как вынужденные колебания длятся сколь угодно долго; моды возбуждаемых свободных колебаний зависят от начального неравновесного состояния капли и технически сложно обеспечить возбуждение только основной моды.

В приложении описаны численные методы, используемые в работе, и приведены результаты тестовых расчетов.

Основные выводы

1. Построена численная модель движения крутильного вискозиметра, в которой течение заполняющей его ньютоновской жидкости в цилиндре конечной длины рассматривается в полной нелинейной постановке. Выполненные численные эксперименты позволяют создать детальную картину движения от момента старта и до достижения режима установившихся затухающих колебаний и определить условия, при которых справедливы аналитические вискозиметрические теории. Приведены рекомендации по использованию метода крутильных колебаний для измерения вязкости.

2. Получено численное описание нестационарного процесса формирования течений вязкопластической жидкости в ротационном и крутильном вискозиметрах. Разработан численный критерий для описания застойных зон. Обнаружены особенности на временных зависимостях параметров

крутильных колебаний, позволяющие идентифицировать жидкость как вязкопластическую и определить предел текучести.

3. Предложена модель вязкоупругой жидкости. В рамках модели описаны возвратные движения, обнаруженные экспериментально при затухающем вращении диска, погруженного в воду. Подгонкой к эксперименту получены упругие параметры воды.

4. Предложен новый метод определения модуля сдвига жидких сред: по положению особенностей на графиках зависимостей параметров колебаний от радиуса цилиндра.

5. Проведено исследование температурной конвекции в рабочем объеме крутильного вискозиметра, возникающей при проведении высокотемпературных измерений. Показано, что характерная для исследования жидких металлов разница температур между элементами конструкции - нагревателем и охлаждаемой стенкой - гарантировано приводит к формированию свободно-конвективных течений в рабочем объеме крутильного вискозиметра. Высказано предположение о возможной связи между повышенным статистическим разбросом результатов измерений вязкости металлических расплавов и температурной перестройкой конвективных течений. Проведено исследование однородности температурного поля в области расположения цилиндра вискозиметра.

6. Предложен новый численный метод компьютерной обработки изображения лежащей капли для определения поверхностных свойств, основанный на численной минимизации полной механической энергии капли. Создана программа для обработки измерений экспериментального профиля капли. При отработке экспериментальной методики на каплях дистиллированной воды на парафиновой подложке получены значения поверхностных свойств воды с погрешностью, меньшей 0,5%.

7. Численно рассмотрена эволюция формы капли, стесненной двумя параллельными плоскостями и выведенной из состояния равновесия. Предложена методика определения значений коэффициентов вязкости и поверхностного натяжения из значений частоты и коэффициента затухания свободных колебаний зажатой капли.

8. Проведен численный анализ гидродинамического поведения капли, зажатой между двумя горизонтальными плоскостями, когда верхняя плоскость начинает колебания в направлении собственной нормали. Теоретически обоснована методика измерения вязкости жидкостей по значению разности фаз колебаний верхнего и нижнего пятен смачивания.

Список цитируемой литературы

1. Изв. ВУЗов. Черная металлургия. -1985. -№ 5, 7, 9.

2. Влияние поверхностных пленок на результаты измерения вязкости по методу Швидковского. П. Численные эксперименты / В.П. Бескачко, Г.П. Вяткин, Н.М. Писарев, А.И. Щека // Расплавы, 1990. - № 6. - С. 9- 16.

3. Теория крутильного вискозиметра, помещенного в осевое магнитное поле / В.П. Бескачко, Г.П. Вяткин, Н.М. Писарев, М.Б. Хисматулин // Магнитная гидродинамика. - 1992. -№ 2. -С. 65- 70.

4. Бескачко, В.П. Теория крутильного вискозиметра, заполненного двумя несмешивающимися проводящими жидкостями и помещенного в магнитное поле / В.П. Бескачко, A.M. Сомов // Вестник ЮУрГУ сер. «Математика, физика, химия». -2003. - Вып. 3. -№ 6(22). - С.60- 71.

5. Kleiman R.N. Analysis of the oscillating cup viscometer for the measurement of viscoelastic properties / Kleiman R.N. // Phys. Rev. A: Gen. Phys. -1987. - V. 35. - № 1. - P. 261-275.

6. Non- monotonie relaxation process in non-equilibrium metal liquid / V.l. Lad'yanov, M.G. Vasin, F.V. Logunov, V.P. Bovin // Phys. Rev. В1. -2000. -V. 62.-№18.-P. 12107- 12112.

7. Апакашев, P.A. Определение предела прочности и модуля сдвига воды при малых скоростях течения / P.A. Апакашев, В.В. Павлов // Механика жидкости и газа. -1997. - № 1. -С. 3-7.

8. Шишкин, A.B. О поверхностном натяжении жидкого кремния / A.B. Шишкин, A.C. Басин // Тр. XI Российской конференции «Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов». - Екатеринбург-Челябинск: Изд. ЮУрГУ. - 2004. - Т. 2. - С. 84- 88.

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Коренченко, А.Е. Особенности установления колебаний в крутильном вискозиметре / А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко // Вестник ЮУрГУ. Сер. «Математика, физика, химия». -2002. -№ 3 (12). -С. 62-68.

2. Бескачко, В.П. Течения, возбуждаемые диском, вращающимся на поверхности вязкой жидкости / В.П. Бескачко, А.Е. Коренченко П Вестник ЮУрГУ. Сер. «Математика, физика, химия». -2002. -№ 3 (12). -С. 68-71.

3. Коренченко, А.Е. Влияние твердого ядра на колебания крутильного вискозиметра / А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко, Г.П. Вяткин // Вестник ЮУрГУ. Сер. «Математика, физика, химия». -2003. -№ 8 (24). - С. 21-25.

4. Коренченко, А.Е. Гидродинамические явления при вращении диска на поверхности вязко-упругой жидкости / А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко // Расплавы. - 2005. -№ 5. - С. 77-81.

5. Коренченко, А.Е. Определение модуля сдвига жидких сред в экспериментах с крутильным вискозиметром / А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко //

Вестник ЮУрГУ. Сер. «Математика, физика, химия». -2005. -№ 6(46). -С. 99-103.

6. Коренченко, А.Е. Численная модель крутильного вискозиметра, заполненного ньютоновской жидкостью вискозиметра / А.Е. Коренченко, В .П. Бескачко, О. А. Головня // Расплавы. -2006. -№ 1. - С. 71-76.

7. Коренченко, А.Е. Возможность идентификации вязкопластических свойств жидкостей в экспериментах с крутильным вискозиметром / А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко, О.А. Головня // ПМТФ. - 2006. - № 6. - Т. 47. - С. 59-63.

8. Коренченко, А.Е. Колебания капли, ограниченной двумя плоскостями / А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко // Вестник ЮУрГУ. Сер. «Математика, физика, химия»-2006. -№ 7(62). - С. 104-108.

9. Бескачко, В.П. Численная модель нестационарного течения вязко-пластической жидкости в ротационном вискозиметре / В.П. Бескачко, О.А. Головня, А.Е. Коренченко // ИФЖ. -2007. -№ 1. -С. 12-14.

10. Бескачко, В.П. Определение вязкопластических свойств жидкости в экспериментах с крутильным вискозиметром / В.П. Бескачко, О.А. Головня, А.Е. Коренченко // ИФЖ. -2007. -№ 1. -С. 123-127.

11. Коренченко, А.Е. Естественная конвекция в рабочем объеме крутильного вискозиметра / А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко // Расплавы. -2007.-№2.-С. 42-46.

12. Головня, О.А. Локальный анализ данных реологических экспериментов / О.А. Головня, А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко // Расплавы. -2007. -№3.~С. 50-58.

13. Коренченко, А.Е. Численный анализ колебаний капли, ограниченной двумя плоскостями / А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко // Расплавы. -

2007.-№4.-С. 86-90.

14. Korenchenko, А.Е. Numerical simulation of oscillations of a drop, bounded by two rigid planes / A.E. Korenchenko, V.P. Beskachko // Meas. Sci. Technol. -2007. -V. 18. -№ 11. -P. 3359-3364.

15. Коренченко, А.Е. Определение модуля сдвига воды в экспериментах с плавающим диском / А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко // ПМТФ. -

2008.-№ 1.-С. 100-103.

16. Компьютерная обработка профиля лежащей капли / В.П. Бескачко, А.Е. Коренченко, А.И. Токарчук, С.Б. Хохулина // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. -2008. -№ 6. -С. 33-35.

17. The oscillating-cup viscometer placed in the magnetic fîeld: the experiments under liquid gallium / V.P. Beskachko, O.A.Golovnya, M.B.Khismatulin, A.E.Korenchenko // Journal of Physics: Conférence Sériés. -2008. -V. 98. - P. 062016-062019

18. Korenchenko, A.E. Behavior of a liquid drop situated between two oscillating planes / A.E. Korenchenko, V.P. Beskachko // Journal of Physics: Conference Series. -2008. - V. 98. - P. 062027-062029

19. Коренченко, A.E. Достоверность значений коэффициента вязкости, полученного из анализа данных крутильного вискозиметра / А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко, O.A. Головня // Тр. XI Российской конференции «Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов». - Екатеринбург-Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2004. - Т. 2. -С. 121-125.

20. Коренченко, А.Е. Об определении вязко-упругих свойств жидкости из анализа данных крутильного вискозиметра / А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко // Тр. XI Российской конференции «Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов». - Екатеринбург-Челябинск: Изд. ЮУрГУ. - 2004. - Т. 2. - С. 125-129.

21. Головня, O.A. Поведение вязкопластической жидкости в крутильном вискозиметре вискозиметра /O.A. Головня, А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко // Тр. XI Российской конференции «Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов». - Екатеринбург-Челябинск: Изд. ЮУрГУ. 2004. - Т. 2. -С.251-254.

22. Коренченко, А.Е. Возможность идентификации вязкопластиче-ских свойств жидкостей в экспериментах с крутильным вискозиметром /

A.Е. Коренченко, В.П. Бескачко, O.A. Головня // Материалы 23 Симпозиума по Реологии. - 2006. - С. 42.

23. Коренченко, А.Е. Определение вязкоупругих свойств жидкостей в экспериментах с крутильным вискозиметром / А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко // Материалы 23 Симпозиума по Реологии. - 2006. - С. 77

24. Коренченко, А.Е. Особенности поведения жидкой капли, помещенной между двумя колеблющимися поверхностями / А.Е. Коренченко,

B.П. Бескачко // Тезисы VIII Российского семинара «Компьютерное моделирование физико-химических свойств стекол и расплавов». -2007. -С. 55.

25. Бескачко, В.П. Применение метода локального спектрального анализа для обработки данных реологических экспериментов / В.П. Бескачко, O.A. Головня, А.Е. Коренченко // Тезисы VIII Российского семинара «Компьютерное моделирование физико-химических свойств стекол и расплавов». -2007. - С. 77.

26. Головня, O.A. Анализ поведения ньютоновской жидкости в крутильном вискозиметре / O.A. Головня, А.Е. Коренченко, В.П. Бескачко // Сборник тезисов всероссийской конференции «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва». - 2007. - С. 34.

•7 1

Коренченко Анна Евгеньевна

МЕТОДОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ ПОВЕРХНОСТНЫХ И РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЖИДКОСТЕЙ НА ОСНОВЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ

(02.00.04 - «Физическая химия»)

Автореферат на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Издательство Южно-Уральского государственного университета

Подписано в печать 05.06.2008. Формат 60x84 1/16. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 2,09. Уч.-изд. л. 2. Тираж 100 экз. Заказ 177/270.

Отпечатано в типографии Издательства ЮУрГУ. 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76.

2007519824

2007519824

Введение.

Глава I. Обзор литературы.

1.1 Современные методы определения физико-химических свойств жидкостей.

1.2 Необходимые направления дальнейших исследований.

Глава II. Численное исследование движения крутильного вискозиметра, наполненного ньютоновской жидкостью.

2.1. Достоверность значений коэффициента вязкости, полученного из анализа движения крутильного вискозиметра.

2.2. Особенности установления колебаний в крутильном вискозиметре.

2.3. Естественная конвекция в рабочем объеме крутильного вискозиметра.

Выводы к главе II.

Глава III. Определение вязкопластических свойств жидкости в экспериментах с ротационным и крутильным вискозиметрами.

3.1. Численная модель нестационарного течения вязко-пластической жидкости в ротационном вискозиметре.

3.2. Влияние вязкопластических свойств жидкости н параметры крутильных колебаний.

3.3. Оптимизация эксперимента по идентификации вязкопластических материалов и определению предела текучести.

Выводы к главе III.

Глава IV. Определение вязко-упругих свойств жидкости в экспериментах с вращающим диском и крутильным вискозиметром.

4.1. Гидродинамические явления при вращении диска в ньютоновской жидкости.

4.2. Гидродинамические явления при вращении диска на поверхности вязко-упругой жидкости.

4.3. Измерение модуля сдвига жидкости в экспериментах с крутильным вискозиметром.

Выводы к главе IV.

Глава V. Определение физико-химических свойств жидкостей по наблюдениям за формой капли.

5.1. Определение плотности и поверхностного и межфазного натяжения жидкости из анализа равновесной формы капли.

Вследствие происходящей в последние десятилетия технологической революции резко увеличился объем исследований в области физико-химических свойств жидкостей. Это связано, в первую очередь, с тем, что жидкая фаза участвует во многих производственных процессах. Так, при добыче, транспортировке и переработке природных ресурсов возникают проблемы, связанные с отложениями нежелательных осадков на поверхностях оборудования, в результате чего растет энергопотребление, снижается продуктивность и качество. Важнейшими техническими характеристиками жидкого сырья, например, нефти являются его плотность и реологические свойства. Эти характеристики определяют методы добычи, условия перевозки и транспортировки по трубопроводам.

Появление новых технологий также вызывает необходимость в точных методах определения физико-химических свойств жидкостей, например, особенности распыления и осаждения капель при струйной печати или в процессе капельного осаждения припоя существенно зависят от поверхностного натяжения, вязкости и реологических параметров жидкой среды.

Примеры можно распространить на процессы, в которых участвуют высокотемпературные расплавы. Жидкие металлы в настоящее время рассматриваются не только как одна из важнейших, но промежуточных фаз металлургических процессов, но и как класс материалов, перспективных для использования непосредственно в жидком виде в энергетике, машиностроении, химических технологиях и пр. Интенсивные измерения физико-химических свойств металлических расплавов, проводимые с середины прошлого века, позволили создать основу для решения многочисленных проблем жидкого состояния и синтеза новых сплавов. Однако свойства расплавов тугоплавких и химически агрессивных металлов изучены недостаточно и часто противоречивы. Для проведения измерений в таких средах и уточнения значений вязкости необходимо дальнейшее развитие бесконтактных методов измерения.

Интенсивно развивается в последнее время область медицины, основанная на диагностике заболеваний по физико-химическим свойствам крови. Значения поверхностного натяжения, вязкости и реологических свойств крови - предела текучести и вязкоупругих параметров -существенно изменяются при некоторых заболеваниях. Требования к методам определения свойств биологических жидкостей, помимо высокой точности, состоят в необходимости проводить измерения с образцом малого объема, который может изменить свои свойства при контакте с металлическими или нагретыми поверхностями, а также при хранении.

С теоретической точки зрения интерес к жидкостям связан с интенсивно развивающимися ныне исследованиями неупорядоченных систем, с выяснением фундаментальных вопросов о роли порядка и беспорядка в формировании свойств конденсированных фаз. В настоящее время представления о строении жидкостей основываются, главным образом, на результатах дифракционных экспериментов и одним из основных положений является факт существования ближнего порядка в расположении частиц жидкой фазы [1-3]. Плотность жидкости, а также коэффициенты вязкости и поверхностного натяжения являются структурно-чувствительными параметрами, так что сведения об изменениях в структуре расплавов можно получать из температурных и временных зависимостей этих величин. Поэтому важным для постановки экспериментов представляется разделение эффектов, связанных с особенностями структуры жидкостей и ее изменениями, и эффектов, вызванных другими причинами. Таковыми могут быть, например, неточности, связанные с приближениями, принятыми в аналитической теории обработки результатов измерений, а также влияние на результаты экспериментов факторов, отсутствующих в теоретических основах применяемого метода измерений, но присутствующих в экспериментах.

Изложенное выше позволяет заключить, что на данном этапе экспериментальных исследований физико-химических свойств жидкостей необходимо исследовать теоретические основы методик измерения. Цель настоящей работы состоит в теоретическом обосновании методов определения поверхностных и реологических свойств жидкостей и поиске возможных источников погрешностей при измерениях.

5.4. Выводы к главе V

1. Разработан численный метод построения равновесной формы капли, основанный на минимизации выражения для полной энергии капли. Разработан метод компьютерной обработки профиля «лежащей» или зажатой капли, основанный на минимизации невязки экспериментального профиля капли с профилем, полученным в результате минимизации энергии.

2. Рассмотрена эволюция формы капли, зажатой между двумя плоскостями и выведенной из состояния равновесия. Показано, что процесс перехода формы капли к равновесной представляет собой затухающие колебания. Предложен метод измерения вязкости и поверхностного натяжения жидкостей из анализа свободных колебаний зажатой капли.

3. Проведен численный анализ гидродинамического поведения капли, зажатой между двумя плоскостями, когда верхняя плоскость начинает колебания в направлении собственной нормали. Получены зависимости от времени полей скорости и давления в капле; проведен анализ эволюции формы капли и установлены способы релаксации к установившимся вынужденным колебаниям в зависимости от сравнительных значений частот вынужденных и собственных колебаний. Обнаружено, что наибольшая разность фаз между колебаниями верхнего и нижнего пятен смачивания получается при совпадении частоты колебаний плоскости с частотой собственных колебаний (резонанс). Выявлена связь между коэффициентом кинематической вязкости жидкости у и разностью фаз колебаний верхнего и

183 нижнего пятен смачивания 8цг. Определена область линейной зависимости 8ц/(у) для различных значений амплитуды колебаний плоскости. Полученные в разделе 5.3 результаты могут быть положены в основу методики измерения вязкости жидкостей по наблюдениям за разностью фаз колебаний верхнего и нижнего пятен смачивания зажатой капли.

184

Заключение

1. Построена численная модель движения крутильного вискозиметра, в которой течение заполняющей его ньютоновской жидкости в цилиндре конечной длины рассматривается в полной нелинейной постановке. Выполненные численные эксперименты позволили создать детальную картину движения от момента старта и до выхода в режим установившихся затухающих колебаний, что позволило определить условия, при которых справедливы аналитические вискозиметрические теории. Приведены рекомендации по использованию метода крутильных колебаний для измерения вязкости.

2. Получено численное описание нестационарного процесса формирования течений вязкопластической жидкости в ротационном и крутильном вискозиметрах. Разработан численный критерий для описания застойных зон. Обнаружены особенности на временных зависимостях параметров крутильных колебаний, позволяющие идентифицировать жидкость как вязкопластическую и определить предел текучести.

3. Предложена модель вязкоупругой жидкости. В рамках модели описаны возвратные движения, обнаруженные при затухающем вращении диска, погруженного в воду. Подгонкой численного закона движения <p(t) к экспериментальной зависимости получены упругие параметры воды.

4. Предложен новый метод определения модуля сдвига жидких сред, основанный на наблюдении размерных эффектов: по положению особенностей на графиках зависимостей параметров колебаний от радиуса цилиндра.

5. Проведено исследование температурной конвекции в рабочем объеме крутильного вискозиметра, возникающей при проведении высокотемпературных измерений. Показано, что характерная для исследования жидких металлов разница температур между элементами конструкции - нагревателем и охлаждаемой стенкой - гарантировано приводит к формированию свободноконвективных течений в рабочем объеме крутильного вискозиметра. Высказано предположение о возможной связи между повышенным статистическим разбросом результатов измерений вязкости металлических расплавов и температурной перестройкой конвективных течений. Проведено исследование однородности температурного поля в области расположения цилиндра вискозиметра.

6. Предложен новый численный метод компьютерной обработки изображения лежащей капли для определения поверхностных свойств, основанный на численной минимизации полной механической энергии капли. Создана программа для обработки измерений экспериментального профиля капли. При отработке экспериментальной методики на каплях дистиллированной воды на парафиновой подложке получены значения поверхностных свойств воды с погрешностью, меньшей 0,5%.

7. Численно рассмотрена эволюция формы капли, стесненной двумя параллельными плоскостями и выведенной из состояния равновесия. Показана возможность определения значений коэффициентов вязкости и поверхностного натяжения из значений частоты и коэффициента затухания

186 свободных колебаний такой капли.

8. Проведен численный анализ гидродинамического поведения капли, зажатой между двумя горизонтальными плоскостями, когда верхняя плоскость начинает колебания в направлении собственной нормали. Теоретически обоснована методика измерения вязкости жидкостей по значению разности фаз колебаний верхнего и нижнего пятен смачивания.

187

1. И.В. Радченко Строение жидких металлов // УФН, 1957. Т. 61. - № 2. - С. 249- 276.

2. Ватолин Н.А., Пастухов Э.А. Дифракционные исследования строения высокотемпературных расплавов. М.: Наука, 1980,- 189 с.

3. Попель С.И., Спиридонов М.А. Жукова J1.A. Атомное упорядочение в расплавленных и аморфных металлах. Екатеринбург: УГТУ (УПИ), 1997.

4. Регель А.Р., Глазов В.М. Периодический закон и физические свойства электронных расплавов.- М.: Наука, 1978,- 307 с.

5. Регель А.Р., Глазов В.М. Физические свойства электронных расплавов-М.: Наука, 1980.- 294 с.

6. Регель А.Р., Глазов В.М. Закономерности формирования структуры электронных расплавов.- М.: Наука, 1982,- 320 с.

7. Вилсон Д.Р. Структура жидких металлов и сплавов. М.: Металлургия, 1972.- 247 с.

8. Белащенко Д.К. Явления переноса в жидких металлах и полупроводниках. М.: Атомиздат, 1970. - 399 с.

9. Белащенко Д.К. Структура жидких и аморфных металлов. М.: Металлургия, 1985.- 193 с.

10. Faber Т.Е. Introduction to the theory of liquid metals. Cambridge: Univ. Press, 1972.-587 pp.

11. Shimoji M. Liquid metals. London & New- York: Acad. Press, 1977.

12. Shimoji M. Atomic transport in liquid metals. Diffus, and Defect Data, 1986. -V.43.-344 pp.

13. Баум Б.А. Металлические жидкости. M.: Наука, 1979. - 120 с.

14. Шпильрайн Э.Э., Фомин В.А., Сковородько С.Н., Сокол Г.Ф. Исследование вязкости жидких металлов. М.: Наука, 1983. - 243 с.

15. Жидкие металлы. Под ред. Эванса Р., Гринвуда Д. М.: Металлургия, 1980. 389 с.

16. В. А. Алексеев, A.A. Андреев, В .Я. Прохоренко Электрические свойства жидких металлов и полупроводников // УФН, 1972. Т. 106, - № 3. -С.393- 429.

17. Ухов В.Ф., Ватолин H.A., Гельчинский Б.Р., Бескачко В.П., Есин O.A. Межчастичное взаимодействие в жидких металлах. М.: Наука, 1979. -195 с.

18. Марч Н.Г. Жидкие металлы. М.: Металлургия, 1972. - 127 с.

19. Катлер М. Жидкие полупроводники. М.: Мир, 1980. - 256 с.

20. Полухин В.А., Ухов В.Ф., Дзугутов М.М. Компьютерное моделирование динамики и структуры жидких металлов. М.: Наука, 1981. - 323 с.

21. Харьков Е.И., Лысов В.И., Федоров В.Е. Физика жидких металлов. Киев: Вища школа, 1979. - 247 с.

22. Арсентьев П.П., Коледов J1.A. Металлические расплавы и их свойства. -М.: Металлургия, 1976. 376 с.

23. Невидимое B.H., Никитин Ю.П., Спиридонов M.A., Медведева Ю.В. Вязкость боросиликатных расплавов. // Изв. Челяб. Научного центра Физическая химия и технология неорганических материалов, 1999. вып. 3.

24. L. Son, R. Ryltcev, V. Sidorov, D. Sordelet Structural transformation in liquid metallic glassformers. // Mater. Sci. and Eng. A, 2007. V. 449-451. - P. 582585.

25. Кривошеин Б.JI. Магистральный трубопроводный транспорт М.: Недра, 1985.-256 с.

26. Муфтахов Е.М. Реологические свойства нефтей и нефтепродуктов- М.: Недра, 2001.- 158 с.

27. Фукс Г.И. Вязкость и пластичность нефтепродуктов. М.; Ижевск: Изд. Института компьютерных исследований, 2003. - 327 с.

28. Левтов В.А., Регирер С.А., Шадрина Н.Х. Реология крови М., Медицина, 1982.-340 с.

29. G. В. Thurston Viscoelastic properties of blood and blood analogs. Advances in Hemodynamics and Hemorheology ed. by Т. C. Howe, JAI Press, 1996.

30. Takuji Ishikawa, Luis F. R. Guimaraes, Shuzo Oshima and Ryuichiro Yamane. Effect of non- Newtonian property of blood on flow through a stenosed tube // Fluid Dynamic Research, 1998. Vol. 22. -P. 251-264.

31. Швидковский Е.Г. Некоторые вопросы вязкости расплавленных металлов.-М.: ГИТТЛ, 1955.- 152 с.

32. Островский О.И., Григорян В.А. О структурных превращениях в металлических расплавах. // Известия ВУЗОВ, Черная металлургия, 1985. -N5.- С. 1-12.

33. Замятин В.М., Баум Б.А. Условия обнаружения аномалий на политермах физических свойств жидкого алюминия. // Расплавы, 1989. N 1. - С. 1622.

34. Е.А. Клименков, Б.А. Баум О возможности скачкообразных изменений структуры расплавов железа // Известия ВУЗОВ, Черная металлургия, 1985.-N5,- С. 12-17.

35. П.С. Попель Фазовый переход или распад метастабильных агрегатов? // Известия вузов. Черная металлургия, 1985. № 5. -С. 34-41.

36. Asai A., Makoto S., Hiragana S., Okazaki Т. An impact of the drop on paper // J. Image Sci. Technol, 1993. V. 37. - P. 205.

37. Zhao Z., Polikakos D., Fukay J. Heat transfer and fluid mechanics during the collision droplet on a substrate- 1 // Int. J. Heat Mass Transfer, 1996. V. 39. -№ 13. - P.2771- 2789.

38. Бескачко В.П., Вяткин Г.П., Писарев H.M., Щека А.И. Влияние поверхностных пленок на результаты измерения вязкости по методу Швидковского. 1. Теория // Расплавы, 1990. № 6. - С. 3 - 8.

39. Бескачко В.П., Вяткин Г.П., Писарев Н.М., Щека А.И. Влияние поверхностных пленок на результаты измерения вязкости по методу

40. Швидковского. II. Численные эксперименты // Расплавы, 1990. № 6. - С. 9-16.

41. Бескачко В.П. Математическое моделирование экспериментов по измерению физико- химических свойств жидких металлов. Дисс. на соискание степени д.ф м.н. Челябинск. ЮУрГУ, 1995. -212 с.

42. Бескачко В.П., Сомов A.M. Теория крутильного вискозиметра, заполненного двумя несмешивающимися проводящими жидкостями и помещенного в магнитное поле // Вестник ЮУрГУ сер. Математика, Физика, Химия, 2003. Вып. 3. - № 6(22). - С.60- 71.

43. Бескачко В.П., Вяткин Г.П., Писарев Н.М., Хисматулин М.Б. Теория крутильного вискозиметра, помещенного в осевое магнитное поле. // Магнитная гидродинамика, 1992. -N 2. -С. 65- 70.

44. Апакашев P.A., Павлов В.В. Определение предела прочности и модуля сдвига воды при малых скоростях течения // Механика жидкости и газа, 1997.-N 1. С. 3-7.

45. Lord Rayleigh Capillary phenomena of jets // Proc. R. Soc., 1879. V. 29. - P 71.

46. Chandrasekhar S. The oscillations of viscous liquid globe // Proc. Lond. Math. Soc., 1959.-V. 9,- P. 141.

47. Kleiman R.N. Analysis of the oscillating- cup viscometer for the measurement of viscoelastic properties // Phys. Rev. A: Gen. Phys., 1987. V. 35. - N 1. - Pp 261-275.

48. Lad'yanov V.I., Vasin M.G., Logunov F.V., Bovin V.P. Non- monotonic relaxation process in non-equilibrium metal liquid // Phys. Rev. Bl, 2000. V. 62. -№ 18.-Pp. 12107-12112.

49. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 342 с.

50. А.В. Шишкин, А.С. Басин О поверхностном натяжении жидкого кремния // Тр. XI Российской конференции «Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов». Екатеринбург- Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2004. -Т. 2.-С. 84-88.

51. Haferl S., Butty V., Poulikakos D., Giannakouros J., Boomsma K., Megaridis C.M., Nayagam, V. Freezing dynamics of molten solder droplets impacting onto flat substrates in reduced gravity // Int. J. Heat Mass Transfer, 2001. -V. 44 (18). p.3513-3528

52. Sauerland S., Eckler R., Egry I. High precision surface tension measurement on levitated aspherical liquid nickel droplets by digital image processing // J. Mater. Sci. Lett., 1992.-V. 11. p. 330-333.

53. Taihei Matsumoto, Hidetoshi Fujii, Takaharu Ueda, Masayoshi Kamai, Kiyoshi Nogi Measurement of surface tension of molten copper using the free- fall oscillating drop method // Meas. Sci. Technol., 2005. -V. 16. P. 432.

54. T.G. Wang, A.V. Anilkumar and C.P. Lee Oscillations of liquid drops: results from USML- 1 experiments in space // J. Fluid Mech., 1996. -V.308. p. 1- 14.

55. Hisao Azuma and Shoichi Yoshihara Three- dimensional large- amplitude drop oscillations: experiments and theoretical analysis // J. Fluid Mech., 1999. V. 393.-P. 309.

56. Cummings D.L., Blackburn D.A. Oscillations of magnetically levitated aspherical droplets // Journal of Fluid Mechanics, 1991. -V. 224. p. 395-416.

57. Egry, Giffard H., S. Schneider The oscillating drop technique revisited // Meas. Sci.Technol, 2005.-V. 16.-P. 426-431.

58. H. Azuma and S. Yoshihara Three- dimensional large- amplitude drop oscillations: experiments and theoretical analysis // Journal of Fluid Mechanics., 1999.-V.393.-p. 309-332.

59. Brooks R.F., Mills R.C. Measurement of the thermophysical properties of melts by a levitated- drop method // High Temp. High Pressures., 1993. -V. 25. -p. 657.

60. R.W. Hyers Fluid flow effects in levitated droplet // Meas. Sci. Technol., 2005. -V. 16.-P. 394.

61. E.D. Wilkes, O.A. Basaran Drop ejection from an oscillating rod // J. Colloid Interface Sei., 2001. V. 242. -P. 180.

62. N. Fujie, T. Imaizumi, K. Ito, S. Okada Actuator and control system for cleaning of mirror- like object // U.S. Patent 5. 025.187, 1991.

63. H.Y. Kim Drop fall- off from the vibrating ceiling // Phys. Fluids., 2004. -V. 16.-P. 474.

64. D.W. DePaoli, J.Q. Feng, O.A. Basaran, T.C. Scott Hysteresis of forced oscillations of pendant drop // Phys. Fluids., 1995. -V. 7. -P. 1181.

65. O.A. Basaran, D.W. DePaoli Nonlinear oscillations of pendant drop // Phys. Fluids., 1994. -V. 6. -P. 2923.

66. E.D. Wilkes, O.A. Basaran Forced oscillations of pendant drop // Phys. Fluids., 1997.-V. 9.-P. 1512.

67. T. Tsukada, M. Sato, N. Imaishi, M. Hozawa, K. Fujinava A theoretical and experimental study on the oscillation of a hanging drop // J. Chem. Eng. Jpn., 1987.-V. 20.-P. 88.

68. J.H. Moon, B.H. Kang The lowerst oscillation mode of a pendant drop // Phys. Fluids., 2006. -V. 18. -P. 021702.

69. Е.П. Емец, Г.Ю. Коломейцев, B.B. Широков Определения вязко- упругих характеристик материалов при высоких температурах // Материалы Научной Сессии МИФИ, 2006. -С. 34-35.

70. Grouvel J.M., Kestin J. Working equations for the oscillating- cup viscometer. // Appl. Sci. Res., 1978. V. 34. P. 427- 443.

71. Kestin J., Newell G.F. Theory of oscillating type viscometers: the oscillating cap. Part I. // ZAMP, 1957. V. VIII.- P. 433- 449.

72. Batchelor G.K. Heat transfer by free convection across a closed cavity between vertical boundaries at different temperatures. //Quart. Appl. Math. -1954. -V. 12. No 3. - P.209-233.

73. Бирих P.B., Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Рудаков Р.Н. О колебательной неустойчивости плоскопараллельного конвективного движения в вертикальном канале // ПММ. -1972. Т. 36. вып. 4. - с. 745748.

74. Кирдяшкин А.Г. Леонтьев А.И., Мухина Н.В. Устойчивость ламинарного течения жидкости в вертикальных слоях при естественной конвекции // Теплофиз. высоких темп. -1969. т. 7. - № 5. -С. 940-945.

75. Bontoux P., Gilly В. Roux В. Natural convection in cabities for hight Rayleigh numbers // Notes Numer. Fluid Mech. -1980. -V. 2. P. 22-35.

76. Chenoweth D.R., Paolucci S. Natural convection in an enclosed vertical air layer with large horizontal temperature differences // J. Fluid Mech. 1986. -V. 169. -p. 173-210.

77. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. Гидродинамическая и тепловая неустойчивость стационарного конвективного движения // ПММ. -1968. Т. 32. вып. 2. - с. 256-263.

78. S. Sillanpââ M., Heinonen The varying effect of natural convection on shear stress rate on cylindrical surfaces // Experimental Thermal and Fluid Science. -2007. -V. 32. No 2. P. 459-466.

79. Osipov, A.I., Uvarov, A.V., Roschina, N.A. Influence of natural convection on the parameters of thermal explosion in the horizontal cylinder // Int. J. Heat Mass Transfer. -2007. -V.50, No 12. -P.5226-5231.

80. Gray D.D., Giorgini A. The validity of the Boussinesq approximation for liquids and gases // Int. J. Heat Mass Transfer. -1976. -V.19, No 5. -P.545-551.

81. Boussinesq J. Théorie analitique de la chaleur. V. 2. -Paris: Gauthier Villars, 1903. 625 p.

82. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. -M.: Мир, 1981. -638 с.

83. Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. М.: Химия, 1974. -512 с.

84. Дюво Г., Лионе Ж Л. Неравенства в механике и физике. - М.: Наука, 1980.-431 с.

85. Гавриленко С. Л., Шилько С. В., Васин Р. В. Определение характеристик вязкопластического материала в условиях течения Куэтта // ПМТФ, 2002. -№ 3. -С. 117-124.

86. Кузнецов С. Ф., Чернышов А. Д. Течение вязкопластического материала между двумя концентрическими сферами // ПМТФ, 1999. -№ 1. -С. 133— 139.

87. Гуткин A.M. Движение вязкопластической среды в зазоре между двумя вращающимися конусами // Коллоид, журн., 1955. -Т. 17. -№ 6. -С. 421423.

88. Takuji Ishikawa, Luis F. R. Guimaraes, Shuzo Oshima and Ryuichiro Yamane Effect of non- Newtonian property of blood on flow through a stenosed tube // Fluid Dynamic Research, 1998. -Vol. 22. -Pp 251-264.

89. Огибалов П. M., Мирзаджанзаде А. X. Нестационарные движения вязкопластических сред М.: Изд- во МГУ, 1977.

90. Павлов В.В. О "кризисе" кинетической теории жидкости и затвердевания: Необходимое изменение традиционной молекулярной модели жидкости и твердого тела Екатеринбург: изд. Урал. гос. горно- геол. акад., 1997. -361 с.

91. Т. Inamuro, A. Yamaguchi, F. Ogino. Fluid flow in a rotating cylindrical container with a rotating disk at the fluid surface. // Fluid Dynamics Research, 1997.-V. 21. -P. 417.

92. Астарита Дж., Маруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей -М.:Мир, 1978. -302 с.

93. Бартенев Г.М., Френкель Я.С. Физика полимеров Л.: Химия, 1977. - 478 с.

94. Ианг Дей Хан Реология в процессах переработки полимеров М.: Химия, 1979,-366 с.

95. Бартенев Г.М., Сандитов Д.С. Релаксационные процессы в стеклообразных системах. Новосибирск.: Наука, 1986. - 236 с.

96. Виноградов Г.В., Малкин А.П. Реология полимеров. М.: Химия. 1977. -438 с.

97. Baaijens, F.P.T. An iterative solver for the DEVSS/DG method with application to smooth and non-smooth flows of the upper convected Maxwell fluid // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1998. -V. 75. -P. 119-138.

98. Renardy, M. High Weissenberg number boundary layers for the upper convected Maxwell fluid. J. Non-Newton. Fluid Mech. 1997 - V. 68. - P. 125-132

99. Oliveira, P.J. Pinho, F.T. Plane contraction flows of upper convected Maxwell and Phan-Thien-Tanner fluids as predicted by a finite-volume method // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1999. -V. 88. P. 63-88

100. Sadeghy K., Hajibeygi H., Taghavi, S.M. Stagnation-point flow of upper-convected Maxwell fluids // Int. J. Non-Linear Mech. 2006. -V. 41. -No 10. p. 1242-1247.

101. Alves M.A., Poole R.J. Divergent flow in contractions // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2007. -V. 144. -No 2. p. 140-148.

102. Renardy M. The high Weissenberg number limit of the UCM model and the Euler equations // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1997. -V. 69. -No 2. p. 140-148.

103. S.C. Xue, N. Phan-Thien, R.I. Tanner Fully three-dimensional, time-dependent numerical simulations of Newtonian and viscoelastic swirling flow in a confined cylinder // J. Non-Newtonian Fluid Mech. -1999. -V. 87. -P. 337-367.

104. I.J. Rao, K.R. Rajagopal On a new interpretation of the classical Maxwell model // Mech. Res. Com. 2007. -V. 34. -P. 509-514.

105. M.A. Alves, R.J. Poole Divergent flow in contraction // J. Non-Newtonian Fluid Mech.-2007.-V. 144.-P. 140-148.

106. W.M.H. Verbeeten, G.W.M. Peters, F.P.T. Baaijens Numerical simulation of the planar contraction flow for a polyethylene melt using the XPP model // J. Non-Newtonian Fluid Mech. -2004. -V. 177. -P. 73-84.

107. Папков С.П. Студнеобразное состояние полимеров М.: Химия, 1974. -196 с.

108. G. В. Thurston and Е. В. Gaertner Viscoelasticity of electrorheological fluids during oscillatory flow in a rectangular channel // Journal of Rheology, 1991. -V. 35.-P. 1327- 1343.

109. M.P. Предтеченский, A.H. Черепанов, B.H. Попов, Ю.Д. Варламов Исследование динамики соударения и кристаллизациижидкометаллической капли с многослойной подложкой // ПМТФ, 2002. -Т. 43.-С. 113-116.

110. В.Т. Борисов, А.Н. Черепанов, М.Р. Предтеченский, Ю.Д. Варламов Влияние смачиваемости на поведение жидкой капли после ее соударения с твердой подложкой // ПМТФ, 2003. -Т. 44. -С. 64-71.

111. Ronghui Zhou, Hsueh- Chia Chang Capillary penetration failure of blood suspensions // Journal of Colloid and Interface Science, 2005. -V. 287. -P. 647656

112. Kratochvil, E. Hrncir Correlation Between the Blood Surface Tension and the Activity of Some Enzymes // Physiol. Research, 2001. -V. 50. -P. 433- 437.

113. E. Hervieu, N. Coutris and C. Boichon Oscillations of a drop in aerodynamic levitation // Nuclear Engineering and Design, 2001. -V. 204. -№ 1-3. P. 167.

114. E. Beaugnon, D. Fabregue, D. Billy, J. Nappa, R.Tournier Dynamics of magnetically levitated droplets // Physica B: Condensed Matter, 2001 . -V. 294-295. -P. 715-720.

115. В. V. Jayawant Electromagnetic suspension and levitation // Reports on Progress in Physics, 1981. -V. 44 (4). P. 411- 477.

116. P.- F. Paradis, T. Ishikawa, N. Koike Non- contact measurement of the surface tension and viscosity of molybdenum using an electrostatic levitation furnace // Int. J. Refractory Metals and Hard Materials, 2007. V. 25. - Issue 1. - P. 95100.

117. H.H.K. Tang, C.Y. Wong Vibration of a viscous liquid sphere // J. Phys. A: Math., Nucl., Gen., 1974.-V. 7.-№9.-P. 1038-1050.

118. A.H. Жаров, А.И. Григорьев О капиллярных колебаниях и устойчивости заряженного пузырька в диэлектрической жидкости // ЖТФ, 2001. -т. 71. -вып. 11. -с. 12- 20.

119. С.О. Ширяева Нелинейные осцилляции заряженной капли в электростатическом подвесе // ЖТФ, 2006. -т. 76. вып. 3. - с. 93- 95.

120. Васенин И.М., Сидонский О.Б., Шрагер Г.Р. Численное решение задачи о движении вязкой жидкости со свободной поверхностью // Доклады АН СССР, 1974. т. 217. - № 2. - с. 295-298.

121. Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, А.А. Черепанов Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях -М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2003. -216 с.

122. S. Sauerland, G. Lohofer, I. Egry Surface tension measurement on levitated liquid metal drop // J. Non- Cryst Solids, 1993. -V. 156- 158. P.833.

123. F. Bashforth, J.C. Adams An attempt to test the theories of capillary action by comparing the theoretical and measured form of fluid drop. // Cambridge University Press. London. 1883.

124. Rotenberg Y., Boruvka L., Neumann A. W. Determination of Surface Tension and Contact Angle from the Shape of a Sessile Drop // J. Colloid Interface Sci. 1983. V. 93. P. 169.

125. Krylov A. S., Vvedensky A. V., Katsnelson A. M., Tugovikov A. E. Software package for determination of surface tension of liquid metals // J. Non-Cryst. Solids. 1993. V. 156-158. P. 845.

126. Сумм Б.Д., Горюнов Ю.В. Физико- химические основы смачивания и растекания М.: Химия, 1976. - 135 с.

127. Ребинер П.А. Физикохимия флотационных процессов М.: Металлургиздат, 1933. - 123 с.

128. Schwartz A.M. Contact angle hysteresis; A molecular interpretation // J. Colloia and Interface Sci., 1980. -V. 75. -№ 2. -P. 404- 408.

129. Хлынов В.В., Есин О.А., Кутьин А.Б. О причинах гистерезиса при смачивании расплавленным металлом твердых окислов // Докл. АН УССР. Сер. Металлы, 1971. -№ 5. -С. 1116- 1120.

130. Ватолин Н.А., Ухов В.Ф., Ченцов В.П. Изучение гистерезиса краевого угла смачивания металлическими расплавами твердого окисла // Докл. АН УССР. Сер. Металлы, 1974. -№ 5. С.81- 83.

131. Попель С.И., Кожурков В.Н., Захарова Т.В. Плотность и поверхностное натяжение свинцово- оловянистых расплавов // Защита металлов, 1971. -Т. 7. -№ 4.-С. 421-423.

132. С.И Попель. Поверхностные явления в расплавах М.: Металлургия, 1994. -432 с.

133. Ю.В. Найдич, В.М. Перевертайло, И.А. Лавриненко, Г.А. Колесниченко, B.C. Журавлев Поверхностные свойства расплавов и твердых тел и их использование в материаловедении Киев: Наукова думка, 1991. -276 с.

134. Lamb Н. On the oscillation of a viscous liquid globe // Proc. Lond. Math. Soc. 1881.-V. 13.-P. 51.

135. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование М.: Мир, 1975,- 534 с.

136. Ш. Пизо, М. Заманский Курс математики. Алгебра и анализ. -М.: Наука, 1971.- 655 с.

137. П. Роуч Вычислительная гидродинамика. -М.: Издательство Мир, 1980. -616 с.

138. Patancar S.V., Spalding D.V. A finite- difference procedure for solving the equations of the two- dimensional boundary layer // Int. J. Heat Mass Transfer. 1967.-V. 10.-P. 1389- 1411.

139. Патанкар, С. В. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости -М.: Энергоатомиздат , 1984. 150 с.

140. Марчук Г.И. Методы расщепления М. : Наука , 1988. 263 с.

141. Яненко Н.Н., Ковеня, В. М. Метод расщепления в задачах газовой динамики Новосибирск : Наука, 1981. - 304 с.

142. А. Ф. Воеводин, В. В. Остапенко, Ю. В. Пивоваров, С. М. Шугрин Проблемы вычислительной математики Новосибирск: Изд- во Сиб. отд-ния РАН , 1995.- 154 с.

143. Самарский А. А. Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений -М.: Наука, 1978. -302 с.

144. Самарский, А. А. Численные методы решения задач конвекции- диффузии- М. : Эдиториал УРСС, 1999. 247 с.

145. Полежаев В. И., Белло М. С., Верезуб Н. А. Конвективные процессы в невесомости -М. : Наука, 1991. -239 с.

146. П.Н. Вабищевич Численные методы решения задач со свободной границей- М.: Изд. Московского университета, 1987. 164 с.

147. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред-М.: Наука, 1984. 519 с.

148. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена М.: Мир, 1988. 537 с.

149. Райе Д. Р. Матричные вычисления и математическое обеспечение -М.:Мир, 1984. 260 с.

150. Голуб Д. Матричные вычисления М.: Мир, 1999. 538 с.

151. Воеводин В. В. Матрицы и вычисления М.: Наука , 1984. 318 с.