Методы фукнционального анализа в некоторых задачах теории управления и оптимизации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

и • ч ъ }

Институт проблем управления (Автоматики и телемеханики)

На правах рукописи

БУРМАН Юрий Михайлович

УДК 517. 97: 681. 511. 4

МЕТОДЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ

Специальность 01. 01. 11 - Системный анализ и

автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена в ордена Ленина Институте проблем

управления ЛН СССР.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Н.А.БОБЫЛЕВ.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Н.А.КРАСНОСЕЛЬСКИЙ, доктор'технических наук профессор А.И.БАРКИН.

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова.

Защита состоится " £/ " . 199,2. г. в

/4 час. на

I.

заседании специализированного совета Доо2.вв.*оз Института продлен управления (117806, Москва, ул. Профсоюзная, Д.65).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЛУ. Автореферат разослан " " 199 г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат технических наук

*

С.А.ВЛАСОВ.

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАбОТЫ.

Актуальность работы. В последние десятилетия методы Функционального анализа начали широко использоваться в различных разделах теории управления, оптимизации, системного анализа. Эти методы позволили не только расширить область исследуемых проблем, но и получить существенное продвижение в ряде задач, которые уже стали классическими. Так, например, с помощью методов нелинейного анализа были установлены новые критерии оптимальности для различных классов задач, обоснованы различные численные процедуры решения задач теории автоматического регулирования и оптимизации, ранее носившие эвристический характер, созданы новые методы качественного исследования и приближенного решения широких классов задач управления.

Эти обстоятельства обуславливают актуальность и важность внедрения методов современного нелинейного- анализа в различные области теории управления и ее приложений.

В диссертационной работе методы нелинейного функционального анализа (теория вращения, методы неподвижной точки, теория функциональных пространств, методы бесконечномерной оптимизации) применяются к исследованию задач вариационного исчисления и оптимального управления, к анализу проекционных процедур отыскания колебательных режимов в системах автоматического регулирования, к проблеме исследования устойчивости колебательных режимов и к исследованию сходимости итерационных процедур построения оптимальных управлений.

Цель работы. Целью работы является:

1. Исследование метода гармонического баланса отыскания колебательных режимов одноконтурных систем автоматического

регулирования, оценки погрешностей этого метода, изучение применимости этого метода к исследованию устойчивости колебательных процессов в системах автоматического регулирования.

2. Изучение задачи управления динамическими объектами с помощью управляющих воздействий с минимальным числом переключений.

3. Исследование возможности приведения к каноническому виду Функционалов, возникающих в задачах управления с интегральными ограничениями, и функционалов классического вариационного исчисления.

Общие методы исследования. В диссертации используются: теория вращения вполне непрерывных векторных полей, методы бесконечномерной оптимизации, метод направляющих функций, методы классического функционального анализа.

Практическая и теоретическая ценность полученных в работе результатов заключается в том, что

1. Получены эффективные априорные оценки числа гармоник в методе гармонического баланса, достаточного для нахождения колебательных режимов систем автоматического регулирования с заданной точностью.

2. Обоснован итерационный метод построения допустимого управления с переключениями в заданные моменты времени.

3. Исследована возможность приведения к каноническому виду (типа квадратичной формы) широкого класса интегральных Функционалов, Получены приложения к исследованию экстремалей задач вариационного исчисления в ситуациях, которые не охватываются классическими условиями второго порядка..

АПРРбацил результатов. Результаты работы докладывались на

семинарах в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова, Институте проблем управления АН СССР,1 ВНИИ системных исследований АН СССР, а также в Воронежской 1989 г. и Тартуской 1990 г. зимних математических школах.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано г> научных работ.

Структура работы. ' Работа состоит из введения, шести параграфов, библиографических комментариев, заключения и списка литературы, содержащего 58 названий. Общий объем работы - 97 страниц.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель исследования, приводится краткое содержание работы, формулируются основные результаты.

В первом параграфе исследуются погрешности метода гармонического баланса приближенного построения колебательных режимов систем автоматического регулирования. Получены оценки количества гармоник, дающих приближение к отыскиваемому решению с заданной точностью. Указан способ, позволяющий по найденному приближению судить об устойчивости отыскиваемого колебательного режима.

Рассмотрим одноконтурную систему б автоматического регулирования, динамика которой описывается дифференциальным сравнением

1,(р)х = м(рки.х). (1)

*

Здесь, как обычно, р = с1/<н,

Г)

Мр) = р' + а'р1"1 + . .'. + ,

М(р) = Ь р" + Ь р"" 1 + . . . + Ь , 0 1 ■

и 1 > га. Предполагается, что нелинейность ги,х) непрерывна по совокупности переменных, ограничена и т-периодична по и

т+т,х) ■ т,х),

а многочлен Мр) не имеет корней вида 2як1/т (к = о, и, ±2, ...).

Для исследования колебательных режимов системы б удобно перейти от уравнения (1) к эквивалентной ему системе уравнений в пространстве состояний; имеющей вид

г = Вг + Еи.й), (2)

где матрица в и Функция вИ,г) определяется многочленами ь и м и Функцией г, а вектор г связан с х равенством

х(К = (с,и(1)),

где с - фиксированный вектор. Тем самым задача о колебательных

режимах системы б сводится к задаче отыскании периодических

решений уравнения (2).

Обозначим через ш множество приближений к периодическому 11

решению уравнения (2), полученных методом гармонического баланса

с п гармониками.

Теорема 1.1. Пусть матрица п и нелинейность ц в правой части уравнения (2) удовлетворяют оценкам:

I8(Ь,2 ) I í С,

«в^ и,2)и л к,

Пусть

где

тах II ев ' П * Ь,

1Е|0,Т]

II (1-е"1 Г1 II < О.

р в кть/ 2(1+ОЬг) < 1,

аЬ2 с/( 2п+1 ) Л 1/4,

а = ^ / 2 (IIВII2II1 + ТС* ) ,

71

ь = 1/П-р),

с = ШХ Л

и = сть/г( 1+оь2).

(1

Тогда к »0 1,2,...), и для каждого г (•) е а уравнение

п п п

(2) имеет по крайней мере одно решение (• ), удовлетворяющее

условию

»г - г II 1 Г ,

,* п I. I о , т 1 п

где

1-/1-4аЬ2 с/(2п+1) г» " -2Ьс-• <3>

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда для

)

получения приближения г к периодическому режиму г ' системы (2) с

п ■

гарантированной точностью е < 1/2Ьс в норме пространства ьа[о,т]

достаточно п определить формулой

2аЬ С ♦ 1/2

1-( 1-2Ьсе )'

Пусть - периодическое решение системы (г).

Теорема 1.2. Пусть матрица в и нелинейность в и,г) в правой части системы (2) удовлетворяют оценкам теоремы 1.1. Пусть г (О

п

- приближение к периодическому решению уравнения (г), полученное методом гармонического баланса с п гармониками. Пусть, наконец, выполнено неравенство

R H(Т > R + Dr exp(2(И DM +K)T) < 1,

где H(t) - решение задачи Коши

Г H(t) = (в + g't (t,zn(t))) H(t), I H(0) » I,

а гв определяется формулой (3). Тогда любое колебание z (t)eB(z * г ) асимптотически устойчиво (в(я ,г ) - шар в

* n n n п

пространстве L [0,т] с центром z и радиусом г ).

2 n п

Для перенесения полученных результатов на системы с сильными нелинейностями используется метод направляющих функций М.А.Красносельского.

Непрерывно дифференцируемая функция v(z) называется направляющей.функцией для уравнения (2), если

(7V(z), Bz + g(t,z)) > О

(t с tO,T], Izl * R0). Направляющая функция называется растущей, если

lira V(z) = ». Izl-»»

Теорема 1.3. Пусть для системы ( 2 )■ существует растущая направляющая функция. Тогда множество *' т-периодических режимов этой системы непусто, и имеет место оценка:

max max I z ( t ) I i Р , (4)'

m О

Z> ( • )е» OitiT

где - радиус шара в ( о, ) с содержащего лебегово множество

Lo = {z Ê К1 ; V( z ) i М0 } ,

а

И s max V(z)♦ UUR0

Теорема 1.4. Пусть для системы (£) существует растущая направляющая Функция v(z), и ро - константа из оценки (4). Пусть для матрицы в выполнены неравенства теоремы l.1, а вектор-функция й(t.,z) при о s t î т, о t Izl, 12^1, Iz=2 I s po удовлетворяет

оценкам

lg(t,z)| s м1 ,

Ile (t,z)ll s K,

II й' ( 11 z ) - (t,z )ll i D Iz - z I . it 1 ft 2 112

Пусть, наконец,

P « LK т/ 2 ( L1 Q1 + II ВII1 L1 + 2 ) < 1.

Тогда* ^ О (и = N. N +1, ...,). и для каждого ъ (■) е X

и 0 0 п п

уравнение (2) имеет по крайней мере одно т-периодическое решение *.(•). удовлетворяющее условию

Иг; - я II 1 * г |

• п ы п

где

1-/1-4«.

ь;с( /( 2п +1 )

2Ь с

1 1

в = 1 я

/ 2т2ь2м2 (1+ь2ч2) + 2 я в и2 р1 + 2н3

ь1 = 1/(1-Р1 ),

ЮТ / 2(Ь3(32+Т2+Ь2Ч211В112+1 :

- пространство Соболева абсолютно непрерывных вектор-функция, производная которых суммируема с квадратом).

Во втором параграфе .изучаются задачи управления динамическими объектами, описываемыми дифференциальными уравнениями вида

„( п )

= Г ( £ , х, х' . . . ,х' 1 ' ) ♦ и,

( 5 )

X (0 ) = Хо , х(т) а Х4 , (Г.)

с помощью управляющих воздействий с минимальным числом переключений. Управление и, решающее задачу (5)-(б), ищется в классе и кусочно-постоянных управлений вида

и(1) = и^ кТ^п* Ъ * ( к +1) Т / п,

к = 0,1, ..., п-1; и , ..., и е

и г. - х

Теорема 2.1. Пусть уравнение (5) имеет вид

и пусть все корни Х1, , ..., лп многочлена

Р(Ь) = Ъ" - а 1 - ... - а

п - 1 О

различны. Тогда управление класса , решающее задачу (5)~(б), существует и единственно.

Для построения управляющего воздействия из класса и, решающего задачу (5)-(6), предлагается следующий итерационный алгоритм:

= и' + с (- х"" (Т)), (7)

где оо - некоторое фиксированное число, а х(ь) - решение уравнения (б) с начальными условиями (б) и управлением и*. Положим

(п) = а х'"-1' + ... + а х + и

X I / п X Т / п

В = (Пай (г, (е - 1 - 1 )/А. ) *

1 ! п п

А., Г/п

X I /п

* У(е 1 .....е " ),

где

к к 1 кк-1 к к♦I кп

а , .я ) - матрица Вандермонда, соответствующая системе

1 п

.....X •

1 п

Теорема,2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и матрица э, гурвицева. Тогда при достаточно малом е>о итерационный процесс (7) сходится К управляющему воздействию е и , решающему задачу

( 5)- (6 ).

Пусть теперь уравнение (5) имеет вид

х<п) = а (их'""1' + ... + а Н)х + и.

п - 1 О

Построим по коэффициентам ак(ь) уравнения матрицу

АН)

О 1 о

О 0.1

ао Н) а1 Н) а2 Н)

а Н) п - 1

Теорема 2.3. Пусть определяемая матрицей АН) матрица

и =

л

I А t -Г ) d -Г г( к < t > / n J ->

dt

к . О v к Т / п

L , к

(8)

где (L ) =1, и (l ) =0 при (i,j) и (к,п), невырождена. Тогда

к к п к 1 J

задача (5)-(б) имеет единственное решение d классе управлений Ut. Если, кроме того, матрица в гурвицева, то при достаточно малом и >о ото решение может быть найдено с помощью итерационного процесса (7). ■

В общем нелинейном случае систему удобно записать в векторном виде:

У = F(t,y) + v, у(0)=р, у(Т) = ч.

Здесь

у: [ 0 ,т]ч»;п ,

НУ) =

f ( t, У.....у, и

0

. V •

0

и

Теорема 2.4. Пусть и< » (и*,

и , > п • 1

^ - вектор,

соответствующий управлению (• ) е и , решающему задачу (5)-(б). Пусть хш(0 - решение задачи (Б)-(0) при ц » ч(л). Пусть функция { такова, что матрица р, вычисленная по формуле (8), где а(0 = к'и^и)), гурвицева. Тогда при достаточно малом е>о и достаточно близком к и начальном приближении итерационный

1 г

роцесс (7) сходится к решению задачи (5)-(б).

В третьем Параграфе! предлагается конструкция, позволяющая [оказать аналог классической леммы Морса для Функционала f на (ространстве w2 (о) = w2 (а) f| w1 (п). Эта конструкция основана на

О , р р 1

;спользовании при изучении функционала f двух пространств -(анахова, на котором Функционал f обладаот нужными ;ифференциальными свойствами, и гильбертова, на котором изучаются центральные свойства соответствующих производных Функционала f. 1начале доказывается лемма Морса для абстрактных Функционалоо называемых (в,н)-правильными функционалами), а затем она :спользуется для доказательства леммы Морса для Функционалов (ариационного исчисления.

Пусть вещественное банахово пространство Е непрерывно а [лотно вложено в вещественное гильбертово пространство н. Через -Uj и п-и обозначаются, соответственно, нормы в Е и н; через ■>■) обозначается скалярное произведение в Н; через £(Е) ^означается пространства линейных ограниченных операторов, [ействующих s Е,- через S(E) обозначается подпространство щераторов Ае£(Е), симметрических относительно скалярного фоиззедения в н :

(Au.v)^ = (u,Av)H - ( u , ve Е ) .

Полоним n={ueE: Huilai 1). рассмотрим определенный и дважды |авномерно непрерывно дифференцируемый по фреше на н функционал Пусть vf ( • ) :е-»е* - градиент этого Функционала, а 1 f ( - ) : е->/"( к, е" ) - производная «решо градиента. Будем |редполагать, что функционал г удовлетворяет следующим условиям:

п) |<УГ(и),Ь>| 1. МIIЬIIа- (иеВ, ЬеЕ);

b) | <Уг Г (и )Ь ,в> I * МП Ы1 н И в" н (иеВ, g,heE).

Здесь через <и,у> обозначено значение функционала иеЕ* на элементе

Из п) и Ь) следует, что линейный функционал <7Г(и),ь> (Ье.Е) и билинейная форма <?гПи)ь,в> (в.ЬсЕ) допускают продолжение, соответственно, до линейного функционала и билинейной формы, определенных на н. В силу теоремы об общем виде линейного Функционала на гильбертовом пространстве найдется элемент V Пи)еИ, зависящий от иеВ как от параметра, для которого

^ Г (и ), Ь> = (7нГ(и),Ь)и ( Ье Е).

Аналогично, найдется определенный на н линейный самосопряженный операторами) (иеВ) такой, что

<У2 Г (и )Ь, 8> = (У^(и)Ь,8)н (8,ЬеЕ).

Ниже будем предполагать, что

c) оператор '„П-) действует и равномерно непрерывно дифференцируем из в в Е;

а) оператор действует и непрерывно дифференцируем из

В в £(Е);

е) оператор чг{(-) действует и равномерно непрерывен из в в

л

ГА н) .

Функционал {, удовлетворяющий условиям а) - е), будем азывать (б,н(-правильным.

Теорема 3.1 (Лемма Морса). Пусть Г:Е-»о? - (в,н)-правильный ункционал, для которого Г(0)=0, V по),=о. Пусть спектр ст(V^ г(о)) ператора 7^г(0):е-»е не пересекается с мнимой осью. Тогда в екоторой окрестности исе нуля в е существует такой диффеоморфизм :и->е класса с1, для которого Т(0)=0 и

ПТ(и)) = \ (V* Г (0)и,и)я ( не 1/) .

Пусть теперь Ос«" - ограниченная область с достаточно

ладкой границей. Положим е = v2 (п) = м2 ы) П и1(о), н = и1(о).

о , р р г 2

|удем считать, что р>ы и норма в е индуцирована нормой

:ространства иг(о), а скалярное произведение в н определяется р

|авенством

(и.у) = ^Уи.^Мх,

о

де (■,•) - скалярное произведение в к".

Рассмотрим на е интегральный функционал

Г (и) = | Р(х,и(х) ,7и(х ) ) <1х (9)

П

гладким интегрантом Р(х,и,р) (хеП, иеК , рер").

Теорема 3.2. Пусть функционал t регулярен на экстремали в(х)-0:

(К0 г а I Ь 12 (ЬеК" , а>0) ,

1 г>

и оператор v2 f(o) :ii-»n, заданный формулой н

V f(u)h = й"1(div (F h + F Vh) - (F ,Vh) - F h),

II и p pp и p * и

где л - оператор Лапласа, обратим. Тогда в некоторой окрестности

и нуля пространства е существует диффеоморфизм T:U-*E класса с1 , для которого

f (T(и)) = i f (F° u2 + 2(F° ,Vu)u + <F° ?V>,Vu) )dx.

¿ j и и up pp

O

В четвертом параграфе рассматривается случай, когда

изучаемая критическая точка функционала вырождена. Вначале

доказывается аналог классической леммы Hopea с параметрами для

абстрактных (в,н)-правильных функционалов, а затем - для

интегральных функционалов вариационного исчисления.

Рассмотрим случай, когда нулевая точка принадлежит спектру

o(v2f(o>) оператора v'f(o):E-»E. Будем считать, что о

изолированное собственное значение оператора v2f(o):E->E конечной

кратности. В этом случае пространство е разлагается в прямую

сумму подпространств е и е : е=е фе , отвечающих спектральным

0 1 0 1

множествам {0} и c(vjf(0))\{0}. Проекторы, отвечающие' этому разложению, обозначим через р и Р .

О 1

Теорема 4.1 (Параметрическая лемма Морса). Пусть f (ь,н)-правильный функционал, для которого f(0)=0, v г(о)во. Пусть

для некоторого е>0 . '

сг (V2 f ( о ) ) П {Лес: |ReM<c}-s {0}. н г

Тогда в некоторой окрестности UcE нуля пространства е существует

иффеоморфизм т: и-»Е класса с1 и непрерывно дифференцируемпй ункционал { , определенный на некоторой окрестности иосЕо нуля в , такие, что

о

ПТ(и)) = Г 0 ( Р0 и) + \ (7^ Г (0)Р5 и,Р1 и)н .

Пусть теперь f - интегральный функционал (9), и остальные бозначенип- - те же, что в фэ. Ядро оператора v' f(o):и-»н овпадает с пространством Ео решений задачи Дирихле

div(F° Vh + F° h) - (F° ,Vh) - F° h = 0,

РУ up up uu

h|añ =

бозначим через Ejпересечение E с ортогональным дополнением в и к о, а через h , ..., ортонормированный базис в ео.

Теорема 4.2. Пусть функционал f регулярен на экстремали о(х («о, и нуль 'принадлежит спектру o(v*f(0)) оператора * f (о): н-»н. Тогда в некоторой окрестности и нуля пространства и уществует диффеоморфизм т:1Н&>,,®е класса с1 , для которого

f(T(u)) = J F(x,u(x,£),V^u(x,0) Jx +

+ I f (F° v2 + 2(F° ,V v) + (F° Vv.Vv) )dx. ¿ J u u up lip

n

цесь vtEj , a u(.\,£) - решение уравнения

iv F - F i £ Ah (x) í h {(i i v F - F )<ix t £ Ь (x)f(Vh ,V u) lix = i> u k J k p u ^ i I k

1 ÍJ 11 О

= £«л<х). к ■ 1

В дальнейшем параметрические леммы Морса применяются к анализу вырожденных экстремалей функционалов вариационного исчисления.

Теорема 4.3 (Якоби). Если спектр о(V* г(о)) оператора

у^поынн лежит на положительной полуоси, то экстремаль ио

реализует локальный минимум в Е функционала Г. Если же о(V* г(о>)

пересекается с отрицательной полуосью, то ио не является точкой

локального минимума функционала Г.

Если экстремаль и (х) вырождена, т.е. спектр а^'по)) лежит о н

на неотрицательной полуоси и 0ео(7^г(о)), то теорема Якоби к анализу этой экстремали неприменима. Однако и в этом случае анализ экстремали на минимум, вообще говоря, может быть полностью завершен. Ниже указывается схема анализа вырожденной 'экстремали, основанная на теореме 4.2. Оказывается, что при естественных предположениях ядро оператора 7^г(0):н-»н для функционала (9) одномерно. Пусть*и(х,г:) - решение уравнения

сНу к - р + ЛЬ (х)[ Ь (с11у к - р )ах ¥

р и 1.11 р и

а

+ Ь1 (х)| (7Ь1 .УиЫх = г;ь1 (х). (Ю)

о

Теорема 4.4. Пусть функционал Г регулярен на вырожденной

экстремали и (х)*о. Тогда в некоторой окрестности и нуля

пространства е существует диффеоморфизм т:и-»к'®е класса с1 , для

г 1

которого

ПТ(и)) = | Р(х,и(х,5),711и(х,е))ах +

о

+ | [ и® V2* 2(Р° ,Уу)у + (К° 7 v ,7 v) )(1х (уеЕ ). (И)

с 1 ии и р рр 1

П

В условиях теоремы 4.4 .

[ (р'° v2 + 2(К° ,7 v ) v + (Р° 7 v ,7 v ) )с!х * а И vII2 . Juu ир рр 1Н

О

Поэтому иэ (п) следует, что экстремаль ио будет точкой покального минимума в Е функционала г, если и только если точка С=о будет точкой минимума скалярной функции

<р(0 = } р(х,и(х,«:).'11и(х,5))ах. (1?)

о

Анализ на минимум критической точки с = о функции ф:к->к производится вычислением последовательных производных ф'(0), р"(0), ... ; номер и знак первой, отличной от нуля, решают вопрос о том, является ли экстремаль ио функционала f точкой локального минимума в е. Последовательные производные ф(М(0) функции <р вычисляются по правилу вычисления производной неявной Функции из (Ю), (12).

В пятом параграфе леммы Морса доказываются для интегральных функционалов вариационного исчисления, зависящих от старших производных. Пусть ОсЕн - ограниченная область с достаточно гладкой границей: Обозначим

к = и*"(0) = V/**1 (п) П и"(о), н = й'(п).

0 . |> р .2 2

Предположим, что р>ы. норма в е порождена нормой пространства к"*'(о)| а скалярное произведение в п определяется формулой

(u,v) = J J] 2>%îfv dx. О la|=m

Здесь Z>° = 1... J^-] N ; a = («I , ..,, oN ) - мультииндекс, at

N

- целые неотрицательные числа, loi = a +...+«)(. Рассмотрим в E интегральный функционал

f(u) = I F(x,u,Du, ...,D*u) dx il

с гладким интегрантом F(x,s) (xeO, teR* ). Здесь

D*u = {»"u : |al=k}, (k = 1, ..., m)

Теорема 5.1. Предположим, что функционал х регулярен на экстремали и0(х)«о, т.е.

I Рвр\Л» 4 ° I Ла ,ч«еВ' С>0)'

|аI.ш |а I.ш

1Р1.Ш

а оператор 7*г(0):1нн обратим. Тогда в некоторой окрестности и нуля пространства Е существует с1-диффеоморфизм Т:и-»Е такой, что

f ( Т ( u ) ) = \

I ï^u dx.

~ lalim " IPIsm

В общем случае ядро оператора 7^по):н-»н ' совпадает с пространством е решений задачи Дирихле

I (-П1«1^ Л) = о,

|а I

10 I £ Ш

ь|ао=0- сь|ао=0.....°"1ь|ай=°-

х х

Обозначим е пересечение е и е , где ео - такое подпространство х х

н, что е ®е = н и е и е ортогональны. Пусть ь..... ь

' 0 0 0 0 I к

ортонормированный базис в ео .

Теорема 5.2. предположим, что функционал г регулярен на экстремали и (х)»о, и нуль принадлежит спектру а(721(0))

0 Н

оператора 72г(0):н-»н. Тогда в некоторой окрестности и нуля существует с1-диффеоморфизм т:и-<кк®Е такой, что

т(и)) = | К(х,ч(х,С),Ви(х,С), ..., И* и (х, С )) <1х + О

I ^ ^

|а I

1Р 11га

Здесь усе , С = (С , ..., С ). а и(х,С) - решение уравнения » к 1 к

ги г(ч(х,с)) = £ сд (х).

В_шестрм_пардгр_афз рассмотрена задача оптимального управления движением со свободным правым концом и закрепленным временем:

1

|ф° ( , х , и )(Л-»ш1п ,

(П)

ч=Ф<I ,х,и), х(0)= 0.

( И )

+ 2

Пусть при каждом управлении и(-)еС[0,1 ] задача Коши (14) имеет единственное решение х(-) = а(и(-)). Тогда задача (13)-(14) эквивалентна задаче минимизации функционала

1

Пи) = |ч>°и,а(и),и)«и. (15)

о

Теорема 6.1. Пусть функции ф(ъ,х,и) и ф0(ъ,х,и) дважды непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных. Пусть, кроме того, для некоторых р и ц

IФ(Ъ,х,и)I, |ф(1,х,и)|1р+91х|.

Тогда функционал I, заданный формулой (15), является (в,ь"[о,1])-правильным, где

В = {и(•)е(с[0,1]]м:|и(1)|*11}

(с[0,1]]н .

- шар пространства

Теорема 6.2. Пусть выполнены условия теоремы 6.1. Пусть для некоторого а>о выполнено неравенство ''

1

«ф° и) + Пф° (я>х(в)ав]х"1 и)<р (ив > а.

и и V-' х ) и и

и оператор V2 {(о) [о, 1 [0,1 ] обратим. Тогда в некоторой

окрестности нуля и пространства ^с[о,1]^н существует

диффеоморфизм Т:1ии класса с1, для которого

1

Нт(и)) =

[^г(0)и]н),ии)

о

г

В заключении диссертации сформулированы основные выводы, полученные в работе.

I

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Бобылев H.A., Бурман Ю.М. Леммы Морса для функционалов вариационного исчисления // Функц. анализ и его приложения.

1991. - Т.25. - вып.З. - С.1-11.

2. Бобылев H.A., Бурман Ю.М. Леммы Морса для интегральных ФУНКЦИОНаЛОВ // ДОКЛ. АН СССР. - 1991. - Т.317. - N2. - С.267-270.

3. Бобылев H.A., Бурман Ю.М., Коровин С.К. Оценки погрешности метода гармонического баланса // Автоматика и телемеханика. -

1992, - n6 - С.3-12.

4. Бобылев H.A., Бурман Ю.М., Коровин С.К. Оценки погрешности метода гармонического баланса // Докл. АН СССР. - 1ээг. -Т.320 - N3. - С. 133-137.

5. Бобылев H.A., Бурман Ю.М., Шубин А.Б. Алгоритмы управления с минимальным числом переключений // Автоматика и телемеханика. - 1992. - N5. - С.3-10.