Методы и алгоритмы обработки сигналов на основе локальной аппроксимации в задачах автоматизации физического эксперимента тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

ИНСТИТУТ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

На правах рукописи

САХАРУК Тимур Анатольевич

УДК 543.08:681.518.2

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ ЛОКАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ В ЗАДАЧАХ АВТОМАТИЗАЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Специальность 01.С4.01. - Техника физического эксперимента,

физика приборов, автоматизация физических исследований

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фпзпко - математических наук

Санкт-Петербург - 1992

Ч

Работа выполнена в Институте аналитического приборостроения Российской академии наук.

Научный руководитель -кандидат технических наук А.М. Могильницкий

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук Е.В. Седунов кандидат технических наук' Е.В. Ланин

Ведущая организация - НПО "Альтаир"

Защита диссертации состоится "/2" Л^ьФРЯ 199£ г. в К? ^-тас. на заседании специализированного совета К 003.53.01 Института аналитического приборостроения Российской академии наук по адресу: 198103 Санкт-Петербург, Рижский пр., 26.

С диссертацией можно ознакомиться в технической библиотеке института.

Автореферат разослан

"4" 9РбЛТрЛ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, к.ф.-м.н. 1енев А.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время благодаря развитию вычислительных средств практически" любая экспериментальная установка содержит ЭВМ, осуществляющую управление экспериментом, диалог с пользователем, преобразование и интерпретацию данных. В связи с этим особое значение приобретает разработка эффективных ' методов обработки данных, позволяющих повысить метрологические характеристики прибора и достоверность результатов.

Основной темой исследования диссертации • являются алгоритмы первичной обработки, а именно, алгоритмы дискретного представления непрерывных сигналов : и задачи оценки значений функций. Под оценкой' значения функции понимается некоторое число, близкое к истинному значению функции и получаемое по неточно известным величинам. Эта задача возникает в связи с тем, что любой физический эксперимент находится под влиянием большого числа случайных факторов, которые невозможно учесть заранее, и поэтому необходимо применять некоторые процедуры, позволяющие оценивать истинное значение измеряемой величины в условиях влияния случайных мешающих факторов. Под дискретным представлением непрерывного сигнала понимают числовую последовательность, получаемую из непрерывного сигнала, т.е. такую последовательность, по которой можно восстановить непрерывный сигнал.

Исследования этих методов представляются актуальными по следующей причине. Несмотря на значительный период развития цифровой техники и теории дискретного представления сигналов, на практике, как правило, используются только лишь простейшие схемы, когда в качестве .отсчетов берутся мгновенные значения сигнала или его интегральные средние. При этом, заданная точность восстановления достигается путем повышения частоты квантования. Однако во многих задачах частота квантования не модет быть увеличена по. принципиальным соображениям.

Отличительной чертой алгоритмов первичной обработки данных, исследуемых в диссертации, является их локальный характер. Локальным будем называть преобразование, требующее для оценки истинного значения функции в некоторой точке только ее измеренных значений в заданной конечной

окрестности этой точки. Преимущества локальных алгоритмов по сравнению с глобальными (использующими одновременно весь массив данных) очевидны: они могут быть реализованы в реальном времени. В отличие от рекурсивных алгоритмов локальные не учитывают всю предысторию и поэтому их следует считать более устойчивыми к аномальным выбросам.

Причины, побудившие автора обратиться к исследованию именно локальных алгоритмов, заключаются в следующем. Алгоритмы локальной оценки, использующие метод Полиномиальной локальной аппроксимации (ПЛА), широко используются во многих системах обработки информации физического эксперимента для решения задач сглаживания и дифференцирования данных. (Основная идея этих алгоритмов заключается в том, что в качестве оценки значения функции в точке берется значение аппроксимирующего исходные данные полинома в этой точке, причем полином строится локально в пределах окрестности каждой точки.) Однако детальная теория, позволяющая анализировать результаты отсутствует. Поэтому применение алгоритмов ПЛА во многих случаях носит эвристический характер, а следовательно, может приводить к ухудшению результатов или к неэффективности как в смысле восстановления сигнала, так и в смысле вычислительной трудоемкости. Таким образом, вывод обоснованных рекомендаций по корректному применению и разработка других, более эффективных методов имеют большое практическое значение.

Анализ известных методов квантования показал, что основными проблемами при реализации алгоритмов дискретного представления непрерывных сигналов являются трудности, связанные с бесконечной протяженностью базисных функций, возникающих в классической постановке задачи. В связи с этим кажется разумным использование локальных базисов. Развитие в последние годы теории В-сплайнов (локальных базисных функций в пространстве сплайнов, отличных от нуля на промежутке минимальной длины) дает возможность получить новые результаты.

Алгоритмы первичной обработки рассматриваются в диссертации на формальном уровне, так что полученные методы могут быть применены в различных областях. Однако в основном, в качестве примеров рассматриваются задачи обработки данных в электронной спектроскопии.

Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов синтеза локальных операторов усреднения и дифференцирования Функций, уменьшение частоты квантования и повышение точности восстановления сигналов и дискретного представления линейных систем с помощью алгоритмов аппроксимации в базисе в-сплайн'ов.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решались следующие задачи:

1. Развитие математического аппарата анализа и синтеза операторов ПЛА с использованием ортогонального полиномиального базиса и методов регрессионного анализа. Разработка математического аппарата аппроксимации линейных операторов и сигналов в базисе в-сплайнов на основе формализма интегральных преобразований.

2. Исследование классических методов построения локальных оценок значений функции и ее производных по дискретным неточным отсчетам. Получение формул для вычисления оценок по методу ПЛА:

3. Исследование свойств весовых функций операторов усреднения в комплексной области и методами частотных характеристик с целью решения задачи синтеза операторов усреднения, обладающих заданными свойствами.

4. Анализ результатов применения методов ПЛА для сглаживания и дифференцирования сигналов в спектроскопии, выработка рекомендаций. . ■

5. Разработка оптимальных алгоритмов сглаживания и дифференцирования данных в электронной спектроскопии.

6. Разработка алгоритма вычисления оценок по методу ПЛА для обработки двумерных сигналов. . .

7. Исследование возможностей применения полученных алгоритмов расчета весовых функций в других задачах обработки сигналов.

8. Разработка алгоритма дискретного . представления сигналов и операторов, позволяющего повышать точность представления по сравнению с традиционными методами без повышения частоты квантования.

Методы исследования. Основные результаты работы получены с использованием математического аппарата 2-преобразования, преобразования Лапласа и дискретного преобразования Фурье, регрессионного анализа, теории

В-сплайнов и теории цифровой фильтрации.

Научная новизна работы заключается в следующем: •

1. Исследованы свойства операторов ПЛА. Впервые выведена зависимость первого нуля частотной характеристики оператора от размера окрестности аппроксимации и степени полинома.

2. Предложен алгоритм оптимальной фильтрации и дифференцирования сигналов в спектроскопии (в предположении, что спектральные пики гауссовские). Показано, что ПЛА-фильтр с параметрами, выбранными по эмпирической формуле, распространенной на практике, обеспечивает ошибку по полезному сигналу, не превосходящую 1%.

3. Впервые получены аналитические выражения для весовых функций двумерных ПЛА фильтров.

4. Доказана разделимость двумерных фильтров ПЛА.

5. Предложен более эффективный алгоритм дискретного представления линейных операторов, основанный на аппроксимации функции в базисе в-сплайнов и переходе от интегральной свертки функций к дискретной свертке коэффициентов в-сплайнов. Показано, что традиционный метод квантования (9 ;; использованием экстраполятора нулевого порядка) является по своей сути аппроксимацией в базисе в-сплайнов нулевой степени.

6. Получено описание в-сплайнов в терминах преобразования Лапласа и г-преобразования, а также две новые формулы для вычисления г-преобразования в-сплайнов. Использование формализма интегральных преобразований позволило, кроме того, вывести простые и наглядные доказательства ряда известных теорем теории сплайнов.

7. Получено выражение, связывающее преобразование Лапласа непрерывной функциии ■ с г-преобразованием последовательности коэффициентов аппроксимирующего сплайна, и выражение, связывающее ^-преобразование последовательности коэффициентов в-сплайна, аппроксимирующего результат интегральной свертки, с преобразованием Лапласа исходной функции и весовой функции оператора свертки.

8. Дана оценка ошибки дискретного представления линейного оператора. Показано, что с ростом степени сплайна растет порядок аппроксимации и уменьшается ошибка восстановления (при условии достаточной гладкости исходной

функции и ядра оператора).

Практическую ценность работы составляют:

1. Обоснованная методика фильтрации и дифференцирования спектроскопических сигналов при помощи операторов ПЛА.

2. Расчетные формулы для определения параметров частотных характеристик сглаживающих фильтров ПЛА по ширине интервала аппроксимации и степени аппроксимирующего полинома.

3. Алгоритм синтеза и расчетные формулы для вычисления наилучшей аппроксимации оптимального фильтра низкочастотным' фильтром с конечной импульсной характеристикой.

4. Расчетные формулы для получения весовых функций двумерных сглаживающих фильтров ПЛА, позволяющие синтезировать фильтры произвольных порядков для любого промежутка аппроксимации без потери информации в крайних точках и требующие существенно меньшего числа арифметических операций для выполнения фильтрации по сравнению с ранее известными.

5. Метод предсказания сигнала на один отсчет на основе техники ПЛА, дающий точное предсказание изменения сигнала, представимого полиномом в некоторой окрестности.

6. Алгоритм вычитания полиномиального фона (тренда) по методу наименьших квадратов без непосредственного решения задачи наименьших квадратов.

7. Метод реализации линейного . преобразования непрерывных сигналов в дискретном виде, позволяющий значительно уменьшить частоту квантования по сравнению с традиционными методами (вплоть до частоты Котельникова).

Положения, выносимые на защиту:

1. Методика использования регрессионного анализа и ортогонального полиномиального базиса при решении задач оценивания значений функции по методу ПЛА.

2. Алгоритм расчета оптимального сглаживающего и дифференцирующего фильтров спектроскопических сигналов.

3. Алгоритм фильтрации двумерных сигналов по методу

ПЛА.

4. Метод дискретного представления сигналов и линейных операторов на основе аппроксимации в базисе в-сплайнов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались:

1) на XV всесоюзном совещании по рентгеновской и электронной спектроскопии. Ленинград, 1988,

2) на II Международной балтийской олимпиаде по автоматическому управлению. Санкт-Петербург, 1992,

3) на научно- технических семинарах ЛИТМО. Санкт-Петербург, 1992.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 9 рабпт.

Реализация и внедрение. Теоретические и практические результаты, полученные в диссертации, использовались при разработке программного обзспечения для автоматизации электронного спектрометра ЭС2403 (тема 01.90.0064581) и дифрактометра медленных электронов ДЭ1101 (тема 01.89.0078668). Алгоритм измерения сигналов с большим динамическим диапазоном использован в измерительно-вычислительной системе, разработанной по теме "Анаконда". Синтез методов дискретного представления линейных операторов ii сигналов был выполнен в ранках НИР "Щеколда - ДВН".

Структура диссертации. Работа состоит из 6 глав, введения, заключения, списка литературы, содержащего 117 источников, и 3 приложений. Содержание работы изложено на 178 страницах печатного текста, иллюстрируется 27 рисунками и 5 таблицами.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе обосновывается актуальность темы, формулируются цели и основные задачи диссертации, раскрыта научная новизна и практическая ценность работы.

Во второй главе вводятся, базовые понятия и даются определения, используемые в дальнейшем изложении. Приводимый материал необходим для понимания хода рассуждений и основных результатов, полученных автором. В разд. 2.1. даны определения операторов различных типов. Главным об'ектом исследований этой главы являются операторы дифференцирования (операторы усреднения рассматриваются как частный случай операторов дифференцирования (.2=0)) вида

где f(x) - функция, определешая в евклидовом пространстве

R1, xeR1; dj(x) - весовая функция, определенная на множестве точек, задающих в R1 сетку оператора с координатами узлов *k; р - неотрицательный скалярный параметр усреднения;

fl1'{х,р) - оценка значения i-ой производной D1f(x) функции f(x); г- порядок оператора. Понятие порядна вводится через условия равенства нулю дискретных моментов весовой функции. Показано, что порядок оператора есть, по сути дела, максимальная степень полинома, для которой соответствующие оценки являются точными.

Проведен анализ повторного применения операторов. Установлено, что повторное применение операторов оценки J-ой и р-ой производных дает оценку (1+р)-ой производной. Порядок повторного оператора v = min(r+J, g+p), где г и q- порядки исходных операторов, а весовая функция определяется как свертка весовых функций исходных операторов.

Оценка ошибок операторов выполнена в разд. 2.2. стандартными методами численного анализа в общих предположениях об оцениваемых функциях. Показано, что для широкого класса функций f(x) имеет место предельный переход

В разд. 2.3. и 2.4. рассматриваются частотный подход и метод г-преобразования при анализе свойств дискретных операторов. Доказано, что порядок г оператора оценки .2-ой производной п'Пх) определяется поведением его частотной характеристики при нулевой частоте:

где 1 - мнимая единица.

Сглаживающие свойства операторов по отношению к сигналу типа белого шума анализируются в разд. 2.5. Установлено, что по частотным характеристикам оператора можно оценить его сглаживающие свойства.

Третья глава посвящена решению задачи синтеза алгоритма' сглаживания по методу ПЛА. В основу метода положено предположение о локальной гладности полезного сигнала. При этом считается, что полезный сигнал в некоторой окрестности и(к)=[к-т, к+т] лЛбой точки к может быть достаточно точно представлен в виде полинома степени и, а

lirn f<n(x,p) = Dlf(x). /з->0

помеха в этой окрестности не содержит полиномиальных составляющих вплоть до степени и. В таком' предположении задача сглаживания может быть решена следующим образом. В окрестности и (к) (симметричной относительно к-ой точки) по методу наименьших квадратов строится полином, в качестве оценки значения функции барется значение этого полинома в центре окрестности (в точке к). Далее рассматривается следующая, точка и ее окрестность. Известно, что такая процедура эквивалентна фильтрации, которая описывается выражением

где МЛ.р) - весовая функция фильтра, 2га+1 -. ширина окрестности. При обработке конечных массивов данных х(к), к*Н,N1 для ш первых и л> последних точек не может быть построена симметричная окрестность. Поэтому в качестве сглаженного значения берется значение аппроксимирующего полинома в точке т.е. в точке окрестности, . отстоящей от центральной точки на р узлов сетки, при этом

Для решения задачи синтеза необходимо не только иметь формулы, позволяющие рассчитывать весовые функции, но и выбирать исходные, параметры синтеза (ширину промежутка аппроксимации 2ш+1 и степень аппроксимирующего полинома м) в соответствии с требуемыми свойствами получаемого оператора.

Постановка задачи сглаживания в электронной спектроскопии и обзор результатов применения алгоритмов ПЛА для сглаживания приведены в разд. 3.1. Анализ литературы показал, с одной стороны, _ большую популярность рассматриваемых методов, а с другой стороны, отсутствие обоснованной методики анализа и синтеза алгоритмов ПЛА, что подтверждает актуальность исследования в этой области. Действительно, к настоящему моменту была известна лишь формула для вычисления весовых функций сглаживающих фильтров по методу ПЛА. Выбор же исходных параметров расчета, судя по литературным данным, осуществляется по эмпирическим формулам, не всегда дающим корректные результаты и применимым только к частным задачам электронной

е(к)= г"--. Ьи.РМк+Л. р=о. кег.

О

к+т-Ы

к с |1,ш] к • [т+1 ,М-Л1).

* • [и-йн-г,N1

спектроскопии. Кроме того, до настоящего времени не был разработан эффективный аппарат, позволяющий оценивать результаты подобной обработки.

Постановка задачи оценивания значений функции по методу локальной аппроксимации и ее решение с применением методов регрессионного анализа приводятся в разд.- 3.2. Этот подход разработан автором и изложен в работе [5].

В разд. 3.3. осуществляется переход от общего случая непосредственно к полиномиальной локальной аппроксимации. Отличительной особенностью предлагаемого метода является использование ортогонального полиномиального базиса аппроксимации. В результате формализации задачи методами регрессионного анализа были получены простые и удобные в ходе дальнейшего анализа выражения для расчета весовых функций операторов ПЛА сглаживания (С1,^) = и

дифференцирования порядка 1:

« Р(1'(1,ш) Р lj.ni) 1 и-0 у ™ р2( )

где р'1'(х,т) = -—Р (х,га), Р (х,га) - полиномы степени к, " йх1 " к

ортогональные на дискретном множестве точек -т.....т.

Анализ выражений для весовых функций операторов ПЛА,

выполненный в разд. 3.4., позволил доказать ряд свойств этих

функций: антисимметричность, четность, нормированность.

Кроме того, показано, что порядок оператора г равен

наименьшему нечетному числу, большему или равному степени

аппроксимации И. В диссертации впервые приводится полный

набор свойств.

Анализу операторов ПЛА на комплексной плоскости посвящен разд. 3.5. Частотные характеристики дискретных операторов традиционно используются на практике для изучения их свойств. Применительно к операторам ПЛА анализ частотных характеристик был проведен в работах [2,3]. Изучение принципа расположения нулей передаточной функции операторов ПЛА, выполненное автором, позволило получить ' следукщие результаты. Вывести выражение для расчета координаты о^ первого нуля частотной характеристики операторов усреднения порядка г

Найти оценки для коэффициентов qt и q , обеспечивающие точность вычисления е^ порядка 0.5%. Показать, что частотные характеристики Л|Чы) в области пропускания и g 1о,сЛ] могут быть аппроксимированы полиномом, т.е.

il'(u) и 1 - (ы/0Г)Г*1

г 1

при этом ошибка не превосходит 5%, что вполне достаточно для практического решения задачи синтеза.

Две последние формулы имеют большое практическое значение, поскольку они позволяют определить вид частотной характеристики оператора ПЛА без ее построения непосредственно по исходным параметрам синтеза - степени аппроксимирующего полинома и ширине промежутка аппроксимации. С помощью численных методов получена таблица максимальной амплитуды пульсаций в полосе пропускания, которая также имеет большое практическое значение при -синтезе алгоритмов сглаживания и может использоваться в качестве справочной, при выборе оператора усреднения.

■ В четвертой главе на примере решения задач первичной обработки данных в электронной спектроскопии рассматривается практическое применение разработанных методов. Постановка задачи сглаживания в спектроскопии приводится в разд. 4.1. Предполагается, что полезный сигнал представляет собой суперпозицию гауссовских пиков, а помеха - белый шум.

В разд. 4.2. анализируется эффективность использования алгоритма полиномиальной локальной аппроксимации, известного как • метод Савитского-Голая, для сглаживания и дифференцирования, а также даются' рекомендации по его корректному применению. Доказано, что эмпирическая формула Проктора и Шервуда для выбора параметров сглаживающих операторов ПЛА

т = Ent[ 0,35 D /Т - 0,5 ], М=2,

rain

где Ent[•] - целая часть числа, D - минимальная ширина

rain

пиков спектра электронов на полувысоте, т - шаг квантования, приводит к фильтрам, обеспечивающим ошибку по полезному сигналу не более 1%, при этом не гарантируется малость ошибки по помехе. Показано, что применительно к задачам электронной спектроскопии алгоритмы сглаживания ПЛА не являются оптимальными в смысле минимума квадрата нормы ошибки. Получен алгоритм синтеза фильтров, являющихся

наилучшим приближением н оптимальному в классе ПЛА фильтров.

В разд. 4.3. предлагается альтернативный метод, основанный на применении принципов цифровой оптимальной фильтрации и позволяющий максимально использовать априорную информацию о сигналах. Выражение для передаточной функции оптимального фильтра, в предположении о характере полезного сигнала и помехи, имеет вид

я ,(,)= 1 - 9

<-| г->

opt 1 + Q exp(D* 7Z) Здесь Q = <т2/Аг, Л2= К Лэ£> /Т, D = К D /Т, r=wT/n -

а п i rain а 2 а 1 п

относительная частота, <т2 - дисперсия помехи, А - средняя амплитуда пиков, к , я,- некоторые константы. Установлено, что при уменьшении отношения сигнал/шум передаточная функция оптимального фильтра стремится к функции Гаусса, т.е. к передаточной функции согласованного фильтра.

Показано, что оптимальные сглаживающие и дифференцирующие фильтры могут быть с успехом аппроксимированы обычными низкочастотными фильтрами. Процедура синтеза фильтров с конечной импульсной характеристикой по методу "окна" описана в разд. 4.4.

В разд. 4.5. для сглаживания спгналоз з электронной спектроскопии получен алгоритм расчета параметров стандартного фильтра (частота среза и крутизна фронта), аппроксимирующего оптимальный наилучшим образом в смысле минимума квадратичного критерия.

Другие возможные варианты применения методов ПЛА для решения задач обработки, рассматриваются в разд. 4.6. Получен алгоритм для вычитания полиномиального фона (тренда) степени и из данных f(.k), Jrs[i,w], подобранного по методу наименьших квадратов без непосредственного решения задачи наименьших квадратов, т.е. без обращения матрицы. Для вычисления значений искомого тренда используется формула

f(?:) - hn(.j-n-l,k-m-í)f(.j) , ke[ 1 ,/v] ,

где m=(W-1)/2.

Разработан способ измерения сигналов с большим динамическим диапазоном путем предсказания значения сигнала на один отсчет вперед и измерения разности между предсказанным и полученным значениями. Для предсказания функции в точке k+m+i по имеющимся отсчетам к-ш,..., к+т,

используется метод ПЛА

f(k.fin-i) = JjH(j,m+i)f(k-J)',

обеспечивающий заданный порядок астатизма - а.

Результаты, приведенные в главе 4 (кроме разд. 4.4), были ранее получены автором [2,3,5].

В пятой главе задача синтеза операторов ПЛА обобщается на двумерный случай.

Краткий обзор методов расчета двумерных операторов ПЛА в задачах сглаживания приводится в разд. 5.1. Анализ литературы показал отсутствие аналитических выражений для расчета весовых функций двуыорных операторов сглаживания с произвольными степенью аппроксимирующего полинома и промежутком аппроксимации.

В разд. 5.2. осуществляется еывод аналитического выражения для вычисления весовых функций двумерных операторов ПЛА. Как и для одномерного случая, здесь применяется аппарат регрессионного анализа и ортогональный полиномиальный базис. Значение функции fix,у), (х,у) е {l,i/Ml,wj, в точке (С,с), сглаженное при использовании полинома степени 1 по переменной х и степени р по переменной у, при ширине окрестности (2ш+1)х(2п+1) определяется согласно формуле двумерной свертки:

_о п

= L.-B L-n Ve(x'y)

i р РЛа)РЛр)РЛх)Р(у) где U.у) = J I -L-!-i- - весовая

У У Р2Лх)Рг(у) функция, параметры аир отличны от нуля только в крайних точках массива данных, для которых не может быть построена симметричная окрестность заданного размера

л-и-1 х е О х е

x+iu-IJ х е

l.mj

у-Л-1 у е [ 1 ,л] О у е [n+l,W-n]

У+П-N у е [N-n+1,W]

Результат дает возможность отказаться от таблиц и сложных формул, применявшихся раньше, и тем самым исключить случайные ошибки. Кроме того, выражение для весовой функции фильтра позволяет осуществлять обработку без потери данных в крайних точках массива. Этот подход был предложен автором в работе [9].

Разд. 5.3. посвящен анализу выражения для весовой функции оператора с точки зрения его практического применения для сглаживания двумерных сигналов. Доказано, что весовая функция двумерного оператора ПЛА является разделимой. Это приводит к возможности эффективной вычислительной реализации таких фильтров. Число умножений на одну точку сглаживаемой функции при обычной реализации свертки составляет . (2л?+1)(2л+1), а с учетом свойства разделимости - 2(л+ш)+2. Кроме того, отмеченное свойство весовой функции позволяет использовать для ее расчета уже имеющиеся процедуры синтеза одномерных фильтров.

Приведены частотные характеристики фильтров, полученные с помощью аппроксимирующих полиномов двух различных видов.

В шестой главе рассматривается задача дискретного описания линейных непрерывных операторов. В разд. 6.1. приводится краткий обзор литературы, посвященной дискретному представлению сигналов; очерчивается круг проблем, связанных с переходом к дискретному представлению операторов в вида

+ш

й(т) и ( т )с!т,

о

действующих в пространстве Ьг(«0, где *=(-»,+«.). Здесь и(») <= ьг(.к) - исходная функция, МО е ¿2(к) - импульсный отклик, все используемые функции отличны от нуля только для ¿£0, возрастают не быстрее показательной функции и являются достаточно гладкими. Операторами такого типа описываются большинство технических систем. Под дискретным представлением понимают оператор вида дискретной свертки

. у„ - X,

где и^ - отсчеты функции и(0, а величины й и ик должны вычисляться по й(*) и и(0 таким образом, чтобы ошибка восстановления непрерывной функции по ук была минимальной.

Постановка задачи дискретизации как задачи аппроксимации дана в разд. 6.2. Идея подобной аппроксимации . заключается в ограничении области определения исходного оператора, т.е. в построении аппроксимирующего оператора для конкретного класса функций. Предполагается, что существует подпространство я(к) с базисом {Вк)к такое, что все рассматриваемые функции достаточно близки к нему в смысле нормы - Таким образом, ортогональная проекция и » Ги исходной функции и на подпространство яск) аппроксимирует и

уш= Г

с заданной точностью. Предполагается также, что результат отображения Яи достаточно близок к подпространству s(k). Тогда в качестве аппроксимирующего значения у можно взять ортогональную проекцию ви на s(к), т.е. у = УВи, а аппроксимирующий оператор определить как в = уву. Полученный оператор в отображает пространство s(K) в себя, а так как в этом пространстве введен счетный базис, то оператор может быть задан своей матрицей.

Исследованию традиционного метода квантования сигналов посвящен разд. 6.3. Анализ трудностей, возникающих при реализации традиционных методов, показал, что повышение их эффективности может быть достигнуто благодаря использованию локальных базисов. В основе предлагаемого в этой главе способа квантования лежит применение базиса в-сплайнов в качестве базиса аппроксимации.

В разд. 6.4. рассматриваются основные свойства В-сплайнов. Их описание и доказательство базовых теорем осуществлялось с помощью интегрального преобразования Лапласа и z-преобразования. Это позволило получить более простые доказательства ряда известных теорем теории сплайнов, а также обеспечило возможность использования сплайнов во многих прикладных областях, где описание в терминах интегральных преобразований необходимо для применения стандартных алгоритмов анализа и синтеза.

Получены доказательства двух новых формул для вычисления а-преобразования в-сплайнов, которые

сформулированы в виде теорем.

Теорема 1. z-Преобразование от в-сплайна дает следующая формула:

где R(z) =V1 5* с* и-г-1)'-^,. ,iz). Riz) = 1.

К ujal К К-J О

Теорема 2. Полиномы Rk(z) могут быть представлены так же,, как определители

Br~(z) ~R (z)/T(r-l)!,

г-1

1

1/2!

1-z'1 ООО 1 l-z'1 О О

Hk(z) = z~1kl

1/2! 1 l-z"1 1/3! 1/2! 1

l/(k-l)! 1 /к!

Установлено, что z-преобразование в-сплайна порядка г равно числителю 2-преобразования функции (х^)г.

Разд. 6.5. посвящен доказательству основной теоремы об аппроксимации в базисе В-сплайнов и описанию алгоритма на языке интегральных преобразований. В качестве подпространства аппроксимации берется пространство sr(K) в-сплайнов вг(t) порядка г, натянутое на базис {в£; Bk(t) = Вг(t-kT))■ В этом случае аппроксимирующая функция

представила в виде

u(t) = У" и В (.t-kT) и имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Коэффициенты разложения uk по базису в-сплайнов ортогональной проекции uCfc) произвольной функции u(t)eL2(K) на подпространство сплайнов порядка г Sr(К) определяются из следующей системы уравнений

(I ru)(jT)= uk В2г ((j-k)T) , jc2(,

В

где (I u)(t) : = вг

На языке интегральных преобразований результаты теор'ёмы записываются в виде

т [u*(s)Br"(s)} = u(z)B2r~(z),

а

где u(z) = ultz_k ~ z-преобразование последовательности

{uk)keZ, оператор ставит в соответствие преобразованию *

Лапласа f(s) = js(i"(t)} функции fit) z-преобразование f~(z)~ = z[f(t)} той же функции.

Доказана теорема об аппроксимации в базисе в-сплайнов непрерывного линейного оператора в типа свертки оператором з, представимым в виде дискретной свертки. Результирующее выражение позволяет вычислять ядро дискретного оператора по непрерывному такое, что восстановленный по результатам дискретной свертки сплайн является наилучшей аппроксимацией точного результата.

В качестве аппроксимирующего оператора взят оператор В» = ву^, где ¡fTr - оператор ортогонального проектирования на подпространство sr(K). Оператора задает преобразование а пространстве сплайнов, в котором введен базис . и

следовательно, оператор может быть задан относительно этого базиса, т.е. задан как преобразование коэффициентов

Г u(z)Br(т-t) dT - интеграл свертки.

В-сплайна. Проекция у it) функции Suit) на подпространство Sr(К) имеет следующий вид:

у, в'и-кп,

тогда коэффициенты этого разложения могут быть найдены из уравнения

Е-о W- = Е-о У* S2rC(j-*)r),

где h = (I Ю(кт), к е г . ' На языке интегральных "в

преобразований последнее уравнение приобретает вид

Рш{Л-(я)В2г-(з)} Liz) yiz)BZr~iz),

где h~iz) ?>{h"(s)B2r*(s)}, yiz) = ykz~k. Отсюда

получается окончательный результат

yiz) = (l-z_1)3r Т [his)/sZr]/BZr~iz) 9 {u(s)/sr}/B2r~(z).

ш a

Эта формула позволяет рассчитать коэффициенты ук сплайна y(t), т.е. функции, аппроксимирующей точное решение y(t), исходя из информации о функциях иit) и hit).

В разд. 6.6 выводятся формулы, позволяющие оценить ошибку, возникающую в результате аппроксимации оператора описанным методом. Показано, что ошибка при уменьшении шага квантования г убывает пропорционально r-ой степени т.

Замечания по поводу реализации предлагаемого метода и обсуждение результатов приводятся в разд. 6.8. Реализация алгоритма дискретизации сводится к выбору шага сетки и порядка сплайна в зависимости от степени гладкости исходной функции и требуемой точности. Для получения отсчетов ик функции u(t) необходимо взять г раз проинтегрированную функцию u(t), после квантования вычислить конечную разность порядка г и выполнить дискретную свертку с инверсной функцией в-сплайна вгг~(кТ). Отсчеты hk функции hit) определяются путем 2г-кратного интегрирования, квантования, взятия разности порядка 2г и последующей свертки с инверсной функцией в2г"(£Т). Отсчеты ук результирующей функции получаются путем дискретной свертки ис h^. При восстановлении непрерывной функции используется тот факт, что ук есть коэффициенты сплайна y(t). Повышение порядка позволяет увеличить точность и уменьшить частоту квантования.

Результаты компьютерного моделирования показали, что применение сплайн-аппроксимации для решения задачи

квантования дает возможность существенно сократить по сравнению с традиционными методами число отсчетов' и значительно уменьшить ошибку восстановления. При этом реализация не требует больших затрат. Кроме того, возрастает устойчивость к случайному шуму, всегда присутствующему в данных.

В главе 7 приводятся краткие характеристики программных продуктов, в которых были использованы идеи, разработанные в диссертации. В разд. 7.1. рассматривается программное обеспечение дифрактометра медленных электронов ДЭ1101, разработанного в ИАП. Разд. 7.2. посвящен описанию программного обеспечения электронного спектрометра ЭС2403. Программное обеспечение представляет собой замкнутый пакет программ, позволяющий выполнять практически все необходимые функции первичной и вторичной обработки. В разд. 7.3. приведены результаты моделирования на ЭВМ метода дискретного представления операторов. Этот метод был разработан в рамках НИР "Щеколда - ДВН".

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате диссертационного исследования были решены поставленные задачи и получены следующие основные результаты.

1. С использованием ортогонального полиномиального базиса и аппарата регрессионного анализа выведено аналитическое выражение для расчета весовых функций операторов полиномиальной локальной аппроксимации и установлена зависимость частотных свойств таких операторов от размера окрестности аппроксимации и степени аппроксимирующего полинома. Это позволило решить задачу анализа и синтеза алгоритмов сглаживания методом ПЛА.

2. Установлено, что применение фильтров ПЛА в задачах спектроскопии не является оптимальным в смысле минимума квадрата нормы ошибки. Для сигналов возникающих в электронной спектроскопии разработана методика оптимального сглаживания и дифференцирования сигналов. В качестве исходных параметров синтеза используется информация о ширине пиков спектральных линий и дисперсии шума.

3. Впервые получены аналитические выражения для расчета двумерных фильтров ПЛА, позволяющие выполнять обработку без

потери данных в крайних точках массива. Доказано свойство разделимости этих фильтров, приводящее к реализации двумерной фильтрации посредством процедуры одномерной фильтрации. Это дает возможность уменьшить число необходимых умножений С (2Л7+1) (2л+1) до 2(ш+п) + 1 на одну точку, обрабатываемых данных.

4. На основе ПЛА разработаны алгоритм вычитания полиномиального фона и алгоритм измерения сигнала с большим динамическим диапазоном, обеспечивающий заданный порядок астатизма.

5. Разработан математический аппарат дискретного представления сигналов и линейных систем на основе аппроксимации в базисе B-сплайнов и интегральных преобразований, позволяющий получать аналитическое описание дискретных об'ектов в терминах ^-преобразования непосредственно по преобразованию Лапласа непрерывных.

6. Выведены две формулы для вычисления z-преобразования л-сплайнов, доказана теорема об аппроксимации функций и линейных операторов в базисе B-сплайнов, а также на основе разработанного математического аппарата получены простые доказательства ряда известных теорем теории сплайнов.

7. Предложен алгоритм квантования и восстановления сигналов и дискретного представления линейных операторов на основе аппроксимации в базисе B-сплайнов. Показано, что при использовании базиса B-сплайнов порядка г ошибка аппроксимации пропорциональна r-ой степени шага квантования. Это приводит к снижению ошибки восстановления в несколько раз по сравнению с традиционными методами уже для сплайнов третьего порядка.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Дифрактометр ДЭ 1101. Технический проект. -Л.: НТО АН СССР. - 1990. - 1Г3.394.601 ПЗ. - С. 78.

2. Домнич Li. Б., Сахарук Т. А." Алгоритм цифрового сглаживания электронных спектров на основе частотного подхода // XV Всес. совещ. по рентгеновской и электронной спектроскопии: Тез. докл. - Л., 1988. - Т. 2. - С. 105-106.

3. Домнич U.Б., Сахарук Т.А. Традиционный и альтернативный методы цифрового сглаживания и

дифференцирования спектроскопической информации// ЖПС. -1990. - Т. 53, N 4. - С. 645-651.

4. Сахарук Т.А. Аппроксимация линейных операторов в пространстве в-сплайнов// Препринт N 54. - 1992. - Санкт-Петербург: ИАП РАН. - С. 40.

5. Сахарук Т.А. Два метода сглаживания электронных спектров// Научное приборостроение. Электронная оптика. -Л.: Наука, 1989. - С. 122-129.

6. Сахарук Т.А. Дискретизация и восстановление непрерывных сигналов. Метод в-сплайнов// Научное приборостроение. - 1991. - Т.1, N 3. - С. 142-155.

7. Сахарук Т.А. Дискретная модель систем автоматического управления с широтно - импульсными преобразователями// Изв. ВУЗов. Приборостроение. - 1989. -Т. 32, N 2. - С. 19-22.

8. Sakharuk Т.A. Approximation of linear systems in the space of в-splines// Abstracts of 2-nd Int. Baltic Olympiade on Aut1. Control, Sept. 1992. - St. Petersburg.- 1992. - P.9.

9. Sakharuk T.A. The computation of weight function for the smoothing of two-dimensional data by local polynomial approximation techniques// Analytica Chimica Acta. - 1991. -V. 249, N2. - P. 331-336.