Методы оптимизации гелиоцентрических перелетов с солнечным парусом к астероидам и кометам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

ОД

На правах рукописи УДК 62-50

ПОМАЗАНОВ Михаил Вячеславович

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИХ ПЕРЕЛЕТОВ С СОЛНЕЧНЫМ ПАРУСОМ К АСТЕРОИДАМ И КОМЕТАМ

Специальность 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

старший научный сотрудник А.В.Лукьянов

доктор физико-математических наук профессор В.А.Егоров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук В.В.Сазонов

кандидат физико-математических наук доцент К.Г.Григорьев

Ведущая организация : Институт Проблем Механики РАН

Защита состоится 1997 г. в ^~°счас. на за-

седании Диссертационного Совета К 053.05.18 при Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова ( г. Москва, Ленинские горы, физический факультет, ауд. ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан " " 1997г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 053.(ЩЛ8

д.ф.-м.н. л^^Я^^^П.А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Исследование астероидов и комет, а также околосолнечного пространства необходимо для формирования целостной научной картины образования и развития Солнечной системы. Промышленное освоение астероидов для нужд строительства крупногабаритных конструкций в космосе весьма перспективно. Среди космических аппаратов (КА), которые предполагается использовать для этих целей, очень привлекательным является аппарат с солнечным парусом (СП), разработка и проектирование которого активно ведется в настоящее время. Основное преимущество КА с СП перед другими аппаратами - это практически неистощимая энергетика, которая дает возможность использовать КА с СП для многоцелевых и долгосрочных программ. Создание таких программ должно основываться на расчетах оптимальных стратегий перелетов к заданным целям, а также на методах отбора наиболее подходящих целей. Базой для таких расчетов являются теоретически обоснованные методики оптимизации перелетов, методы определения возможностей КА с СП выполнить поставленные задачи.

Целью диссертационного исследования является разработка методов расчета оптимальных и квазиоптимальных траекторий перелетов КА с СП к малым телам Солнечной системы, а также методов отбора тел, наиболее быстро достижимых, теоретическое обоснование и сопоставление методов, аналитическая оптимизация управления в упрощенных моделях движения, вычисление минимальных времен перелета к конкретным астероидам и кометам.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые приближенно решена задача синтеза оптимального управления для слабоупра-вляемых систем в случае, когда заданные функционал и ограничение являются терминальными. Дан метод, основанный на трехмерной интерполяции, для отбора наиболее быстродостижимых целей полета для КА с СП, аналитически решены две новые задачи оптимального по быстродействию управления перемещением материальной точки, проведена оценка степени неоптимальности локально оптимального упра-

вления в задачах наибыстрейшего достижения астероидов.

Научная и практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы для решения теоретических и прикладных задач оптимального управления, для разработки многоцелевых программ исследования астероидов и комет с помощью КА с СП, для анализа возможностей КА с СП выполнить задачи просмотра и исследования конкретных малых тел Солнечной системы.

Результаты могут быть использованы в ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, ИПМ РАН, НПО "Машиностроение", НПО "Энергия", ИПУ РАН, МГУ им. М.В.Ломоносова и др.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на: XXIX, XXX, XXXI Чтениях К.Э. Циолковского (сентябрь 1994, 1995, 1996, г.Калуга), II Международной конференции "Математические алгоритмы" (26 июня — 1 июля 1995, г. Нижний Новгород ), Конференции по методу малого параметра "Тихонов-90" (июль 1996, г.Обнинск), II Симпозиуме по небесной и классической механике (август 1996, г.Великие Луки), Всероссийской конференции с международным участием "Наблюдения естественных и искусственных тел Солнечной системы" (ноябрь 1996, С.-Петербург), а также на спецсеминарах по общим проблемам управления в ИПМ РАН (рук. акад. Ф.Л.Черноусько), по механике космического полетав МГУ (рук. проф. В.А.Егоров, проф. В.В.Белецкий и др.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста, двух приложений, заключения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 137 страниц текста, набранного в издательской системе LATEX.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во "Введении" представлена модель КА с СП, приводится обзор литературы, формулируются цели исследования и кратко описывается содержание диссертационной работы по главам.

В главе 1 предлагается приближенный метод построения оптимального управления слабоуправляемой динамической системой для задачи минимизации функционала на заданном терминальном ограничении. Квазиоптимальное управление представляется в виде синтеза. Доказывается теорема об асимптотической близости по функционалу такого управления к оптимальному. Метод применяется к расчету управления КА с СП при полете к астероидам и кометам.

§1 является вводным.

В §2 ставится задача синтеза оптимального управления для минимизации терминального функционала на заданном терминальном ограничении, рассматривается соответствующее уравнение Беллмана. Вводится понятие допустимого решения этого уравнения, формулируются требования необходимой гладкости рассматриваемых функций и единственности пересечения неуправляемого решения с поверхностью терминального ограничения.

В §3 рассматриваются последовательные приближения к решению уравнения Беллмана. Выводятся формулы для первого приближения квазиоптимального управления

В §4 дается определение локально оптимального управления. Показывается, что полученное §3 квазиоптимальное управление локально оптимально относительно некоторой синтезирующей функции, являющейся нулевым приближением к функции Беллмана. Выводится формула для "дрейфа" упрежденного времени, т.е. нулевого приближения ко времени окончания процесса.

В §5 рассмотрено обоснование метода синтеза квазиоптимального управления, который предлагается в §3, §4 . Доказываются несколько минимаксных лемм, далее доказывается основная теорема, которая утверждает, что если задача синтеза оптимального управления имеет допустимое решение и выполнены требования §2, то отличие значения функционала, соответствующего квазиоптимальному управлению, от

минимального не превосходит величины 0(е2), где в — малый параметр при управляющем воздействии.

В §6 формулируется метод локально оптимального управления (ЛОУ) и рассматривается применение этого метода к задаче минимизации времени перелета КА с СП к астероиду. Метод ЛОУ сравнивается с известным методом малого параметра для слабоуправляемых систем.

В главе 2 предлагается экономный метод отбора среди обширного списка тел, движущихся по известным траекториям, тех из тел, к которым движение до встречи возможно с минимальными потерями по функционалу. Метод основан на интерполяции значений параметров, необходимых для построения оптимальных траекторий. Для малой ¿-окрестности точки старта доказывается теорема о непрерывной зависимости значений этих параметров от терминальных координат. Представлены асимптотические при 5 —> 0 формулы для вычисления начальных приближений. Метод применяется для решения задачи отбора астероидов, достижимых за кратчайшее время при старте с круговой орбиты, и для построения оптимальных траекторий перелета к ним КА с СП.

§1 является вводным.

В §2 формулируется задача выбора и достижения целей с минимальными потерями по функционалу. Для управляемой материальной точки (МТ), движущейся согласно уравнениям

x=f(x,v), v-g(x,v,u), ueU,

где а;, и — вектор координат и скоростей, и — управление, требуется достигнуть цель, движущуюся по известной траектории x{t) с минимальными потерями по функционалу Ф(£Р — ts, v(tr)) min, где tr — время встречи с целью, ts — время старта. Старт МТ происходит из начала координат х = 0, v = 0, которое является точкой покоя системы. Для области терминальных координат хг, которой принадлежит и х — 0, ставится задача минимизации функционала Ф потерь в форме краевой задачи принципа максимума.

В §3 вводится понятие оптимального многообразия (ОМ). Под ОМ понимается полный набор функций, являющихся решением краевой задачи принципа максимума и зависящих от вектора хг терминальных координат. Зная эти функции, легко решить задачу оптималь-

ного управления для достижения конкретной цели х(1), просто подставив в них значение хг — Доказывается теорема о непрерывности и единственности ОМ в ¿-окрестности точки старта при некоторых условиях выпуклости множества управлений. Выведены <5-асимптотические формулы для ОМ.

В §4 предложена и обсуждается схема вычисления ОМ.

В §5 для КА с СП, движение которого задается во вращающихся координатах (в которых круговая траектория является точкой покоя), вычисляется ОМ по асимптотическим формулам теоремы, доказанной в §3, сравнивается с ОМ, найденным численно методом продолжения по параметру. Результатом сравнения является то, что в окрестности точки старта, для которой функционал (время перелета) не превосходит величины 1 /7г года, ОМ достаточно близки и асимптотические формулы для сопряженных переменных и времени перемещения дают хорошее приближения к оптимальным значениям.'

В главе 3 рассматривается идеализированная задача оптимального по быстродействию управления конечным положением материальной точки посредством ограниченной силы для случая, когда центр шарового ограничения смещен из начала координат пространства управлений. Для старта из состояния покоя решение доводится до окончательных формул и графиков. В случае симметричного ограничения на управление для задачи о "жесткой встрече" аналитически получено локально-оптимальное управление, которое сравнено с оптимальным.

§1 является вводным.

В §2 дается постановка задачи наибыстрейшего достижения начала координат для МТ, движущейся под действием управляющей силы. Область управления является единичным шаром, смещенным относительно нуля на величину 0 < а < 1. Рассматриваются задачи достижения начала координат х = 0 с нефиксированной скоростью (задача о "жесткой встрече") или с нулевой конечной скоростью V = 0 (задача о "мягкой встрече"). Формулируются соответствующие краевые задачи принципа максимума.

В §3 задача о "жесткой встрече", решается в общем случае. Для времени перемещения получается уравнение четвертой степени, которое аналитически решается для частного случая нулевой начальной скорости.

В §4 для задачи о "мягкой встрече" вводится удобная параметри-

зация, выводится зависимость оптимального управления от времени и введенных параметров.

В §5 рассматриваются вырожденные типы оптимального управления, возможные в задаче о "мягкой встрече".

В §6 для оптимального управления общего вида выписывается алгебраическая нелинейная система уравнений краевой задачи, которая в дальнейшем решается для частного случая старта с нулевой начальной скоростью. Оказывается, смещение а (ограничения на управление) нетривиально влияет на решение. Наблюдается значительное увеличение минимального времени Т перемещения при смещении, стремящемся к единице: Т ~ (1 — а2)-1/2. При фиксированном расстоянии до начала координат самое выгодное положение старта находится на прямой, перпендикулярной вектору смещения и проходящей через начало координат. На этой прямой зависимость Т от а другая: Т ~ (1 — а2)-1/1. Обнаружена симметричность минимального времени перемещения относительно этой прямой при любых 0 < а < 1, хотя оптимальные траектории не симметричны, а более выпуклы в сторону смещения области управления.

В §7 для случая, когда область ограничения не смещена, рассмотрено локально оптимальное управление в задаче о "жесткой встрече"для МТ, движущейся под действием ограниченной силы. Локально оптимальное управление сравнивается с оптимальным, вычисленным в §3. В результате аналитически показано, что для достаточно большой начальной скорости, направленной по касательной к окружности фиксированного радиуса с центром в начале координат, существует область старта, в которой наблюдается близость по функционалу (времени перемещения) оптимального и локально оптимального управления. Степень неоптимальности локально оптимального управления асимптотически убывает до нуля по мере увеличения начальной скорости до бесконечности.

В главе 4 сопоставляются оптимальное и локально оптимальное управления и соответствующие траекторий КА с СП при полетах к астероидам и к Марсу. Производится сравнение этих результатов с результатами, полученными для идеальной модели, рассмотренной в главе 3.

В §1 содержится обзор предыдущих результатов диссертации, полученных с применением оптимального и локально оптимального упра-

влений.

В §2 сравниваются результаты расчетов, проведенных методом ЛОУ и методом интерполяции ОМ. Для нескольких астероидов сравниваются зависимости минимальных времен перелетов от даты встречи, вычисленные этими методами. Оказывается, для той даты встречи, для которой оптимальное управление дает наименьшее время перелета, локально оптимальное управление дает время перелета ненамного больше (менее 5%). Представлены траектории КА и астероида в трех проекциях, а также зависимости от текущего времени перелета оптимальных и локально оптимальных углов установки паруса, вычисленные для той даты встречи, при которой оптимальное управление и ЛОУ дают наиболее близкие значения времени перелета.

В §3 рассматривается перелет КА с СП к фиксированной точке на орбите Марса, задаваемой угловой дальностью /3 перелета. Приводятся зависимости времен перелета от угла ¡3 для оптимального и локально оптимального управлений. Параметры упрощенной модели, рассмотренной в §7 предыдущей главы, приводятся в соответствие с условиями перелета к Марсу, и строятся зависимости времен перелета от угла ¡3 для оптимального и локально оптимального управлений. Эти зависимости качественно согласуются с зависимостями, вычисленными для КА с СП.

В главе 5 представлены: результаты расчета траекторий перелета к наиболее быстро достижимым астероидам и кометам, списки соответствующих астероидов и комет при стартах с обиты Земли в 19962001 годах, а также зависимости времен перелетов от даты встречи при старте с круговых орбит Марса или астероида Весты (принадлежащего Главному астероидному поясу).

В §1 представлены для перелета с ЛОУ результаты расчета квазиоптимальных времен перелетов к некоторым астероидам для двух различных параметров паруса (соответствующих отношениям максимальной тяги паруса к массе КА на орбите Земли /, = 0.5тт/с2, /2 = \mmld).

В §2 представлены результаты расчетов минимальных времен перелета к астероидам и кометам, полученные методом интерполяции ОМ. Представлены списки астероидов и комет, наиболее быстро достижимых при старте с орбиты Земли, совокупные зависимости минимальных времен перелетов от даты встречи с астероидами и кометами в

1996 — 2001 г., а также таблицы возможных дат старта и минимальных времен перелетов.

В §3 сравниваются совокупные зависимости минимальных времен перелета от даты встречи при старте с орбит Земли, Марса или астероида Веста для одного и того же параметра СП. Сравнение показывает, что практически для любой даты старта найдется астероид, минимальное время перелета до которого не будет превосходить одного года, а в некоторых случаях это время может составлять лишь 3-4 месяца.

В приложениях приводятся формулы небесной механики, использованные в работе, формулы метода многомерной интерполяции и обсуждаются связанные с ним предложения по повышению эффективности использования памяти ЭВМ.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА

ЗАЩИТУ

1. Теорема о единственности и непрерывности оптимального многообразия в окрестности точки старта.

2. Формулы синтеза квазиоптимального (локально оптимального) управления для слабоуправляемых систем в задаче минимизации функционала на заданном терминальном ограничении, а также теорема о близости по функционалу такого управления к оптимальному. Оценка отличия по времени перелета космического аппарата (КА) с солнечным парусом (СП) к астероидам или к Марсу оптимального и локально оптимального управлений (для наилучших условий старта это отличие не превосходит 5%).

3. Точное аналитическое решение оптимальной по быстродействию задачи управления перемещением материальной точки, которое получено для случая смещенного из начала координат шарового ограничения на управляющую силу при старте из состояния по-

коя. Существенность влияния этого смещения на зависимость от положения точки старта минимального времени перемещения.

4. Обнаружение эффективности применения методов трехмерной интерполяции к построению оптимального многообразия для отбора наиболее быстродостижимых целей, когда их общее число велико. Составление перечня астероидов и комет, наиболее быстродостижимых при старте с орбиты Земли КА с СП (с параметром паруса а = 0.083). Вывод, что при перелете с орбит Земли, Марса и Весты, практически для любой даты старта, найдется астероид, минимальное время перелета до которого не будет превосходить одного года, а в некоторых случаях это время может составлять лишь 3-4 месяца.

ПУБЛИКАЦИИ

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Помазанов М.В. Получение локально-оптимальных управлений слабоуправляемых систем из уравнения Беллмана // Изв. РАН. сер. "Теория и системы управления", 1995, N3, с.84-93

2. Pomazanov M.V. The method of lokally optimal control for weakly controllable systems//Abstract of the Second International Conference "Mathematical Algoritms", Nizhny Novgorod, june 26 —july 1, 1995, c.44

3. Лукьянов A.B., Помазанов M.B. Полеты с солнечным парусом к астероидам: задачи и расчет траекторий// Труды XXIX Чтений К.Э. Циолковского. Серия "К.Э. Циолковский и проблемы космического производства". М., 1995, с.63-69

4. Помазанов М.В., Лукьянов A.B. Полеты с солнечным парусом к астероидам: анализ методов расчета //Труды XXX Чтений К.Э.Циолковского, секц. "Механика космического полета", 1996, с.22-27

5. М.В.Помазанов. Интерполяция оптимального многообразия для расчета минимальных времен перелета космического аппарата с солнечным парусом к астероидам // Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, N45, 1996, 32 с.

6. Помазанов М.В. Отбор достижимых за минимальное время астероидов для космического аппарата с солнечным парусом// Тез. докл. II Симп. по небесной и классической механике, М.-Великие Луки, 1996, с.67-69

7. Помазанов М. В. Вычисление минимальных времен перелетов с солнечным парусом к астероидам с круговых орбит Земли, Марса и малой планеты Веста//Тез. докл. XXXI Чтений К.Э.Циолковского, г.Калуга 17-20 сентября 1996 г, М., 1996, с.53-54

8. М.В. Помазанов. Сравнение оптимальных и локально-оптимальных гелиоцентрических перелетов с солнечным парусом, исследование упрощенной модели//Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, N89, 1996, 26 с.

9. Помазанов М.В., Егоров В.А. О возможностях просмотра астероидов и комет долгосрочным космическим аппаратом с солнечным парусом// Тез. докл. Всерос. конф. "Наблюдения естественных и искусственных тел Солнечной системы", С.-Петербург, 26-28 ноября 1996, с. 121-123