Применение спиральных траекторий и пертурбационного маневра для оптимизации гелиоцентрических перелетов космического аппарата с солнечным парусом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова. Механико-математический факультет

ТЫЧИНА Павел Александрович

ПРИМЕНЕНИЕ СПИРАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ И ПЕРТУРБАЦИОННОГО МАНЕВРА ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИХ ПЕРЕЛЕТОВ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С СОЛНЕЧНЫМ ПАРУСОМ.

Специальность 01. 02. 01 - теоретическая механика

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: Д.ф.м.н. проф. Егоров В А. Д.ф.м.н. проф. Сазонов В.В.

Москва - 1999

Содержание

Введение. 3

0.1 Математическая модель космического аппарата с

солнечным парусом и уравнения движения..........3

0.2 Использование К А с СП для космических перелетов. 7

0.3 Содержание данной работы............................10

Глава 1 Экстремальность по быстродействию логарифмических спиральных траекторий как следствие квазиоднородности уравнений движения. 12

1.1 Введение ........................ 12

1.2 Общий случай. Исследование экстремальности по быстродействию квазиоднородных лучей....... 12

1.3 Случай движения КА с солнечным парусом. Исследование экстремальности по быстродействию квазиоднородных лучей.................. 18

1.3.1 Множество квазиоднородных лучей...... 19

1.3.2 Экстремальные свойства спиральных траекторий....................... 24

Глава 2 Квазиоптимальный перелет космического аппарата с солнечным парусом между компланарными гелиоцентрическими круговыми орбитами. 30

2.1 Постановка задачи................... 30

2.2 Квазиоптимальная траектория............ 31

2.2.1 Первый этап построения квазиоптимальной траектории.................... 32

2.2.2 Второй этап построения квазиоптимальной траектории.................... 33

2.2.3 Численное построение квазиоптимальной траектории.................... 36

2.3 Сравнение квазиоптимальной и оптимальной траекторий ......................... 36

Глава 3 Перелет космического аппарата с солнечным парусом между гелиоцентрическими круговыми орбитами с близкими наклонениями. 46

3.1 Постановка задачи................... 46

3.2 Уравнения движения и краевые условия перелета. 46

3.3 Построение квазиоптимальной траектории..... 49

3.3.1 Первый этап построения квазиоптимальной траектории.................... 49

3.3.2 Второй этап построения квазиоптимальной траектории.................... 50

3.3.3 Параметры конечной орбиты......... 54

3.3.4 Численное построение квазиоптимальной траектории.................... 55

3.4 Сравнение квазиоптимальной и оптимальной траектории.......................... 58

Глава 4 Оптимизация перелета космического аппарата с солнечным парусом от Земли к Марсу с пертурбационным маневром у Венеры. 66

4.1 Постановка задачи................... 66

4.2 Метод решения..................... 67

4.3 Численный алгоритм................. 70

4.4 Результаты расчетов................. 75

Заключение. 91

Введение.

0.1 Математическая модель космического аппарата с солнечным парусом и уравнения движения.

Давление солнечного света было экспериментально открыто П.Н. Лебедевым (1899) [1]. Идея использования силы давления света для перелета к другим планетам была впервые научно обоснована в работах Ф. Цандера [2]. Сила светового давления на участок плоской поверхности равна сумме нормальной и касательной проекций [3]

= Р + Й, (0.1)

|Р| = (1 + е)^4со82/?, |Й| = (1 - е)—Асов/Зяп/?.

с с

Здесь А — площадь освещенной площадки, (5 — угол падения лучей, 5Г — мощность светового потока на единицу площади на расстоянии г, б — коэффициент отражения поверхности, с — скорость света (см. рис 0.1 на стр. 6). Мощность светового потока убывает обратно пропорционально квадрату расстояния

= 5зф2. (0.2)

Здесь 53 = 1.4 • 103 Вт/м2 — солнечная постоянная, г3 = 149,6 • 10б

км — среднее расстояние от Земли до Солнца.

Если поверхность зеркально отражающая (б = 1), то сила Г светового давления будет направлена по нормали к площадке п

р = ?^4со82/?п, (0.3)

Аппарат, использующий в качестве тяги силу светового давления, называется космическим аппаратом (КА) с солнечным парусом (СП). Уравнения гелиоцентрического движения К А с СП имеют вид

? = -//с4 + - + г). (0.4)

г6 т

3

Здесь /¿с — гравитационный параметр Солнца, г - радиус-вектор

КА, g - ускорение от возмущающих сил, значение F дается формулами (0.1)-(0.2).

Если парус плоский с зеркально отражающей поверхностью, то действующее на КА с массой m ускорение

^K = ^ecos2/?n, е = (0.5)

гг с m fic

Здесь е — безразмерная константа, зависящая от конструкции КА

с СП. Константа е характеризует относительную тягу паруса. Она равна отношению максимальной величины |w3epK| к гравитационному ускорению, действующего на КА со стороны Солнца.

Рассмотрим КА с двухсторонним зеркально отражающим СП. Возьмем инерциальную гелиоцентрическую систему координат Oxyz с центром в Солнце. Введем сферические криволинейные координаты — радиус г, долготу ср и широту д обычны-

ми формулами

х — г cos •& cos <р , у = г cos ê sin (p, z — r sin fl .

Уравнения движения в сферических координатах (г, (p, û) с учетом (0.4) и (0.5) принимают вид

г = Vr, ê = — , ф =

'г — а )

г г cos V

т> vj + yj , №,е,х)

vr — "Г 9 ,

у*

= + (0.6) V^-^-Stgrf + M,

(jf* J"*

£(е, 9, х) = c°s X cos 9\ cos2 x cos2 9 — 1, r](sу 9, х) = s\ cos х cos в\cos2 х cos в sin 9, 9, х) = cos хcos 91 cos 9 cos xsinx •

Здесь г — гелиоцентрическое расстояние К А, Уг, У<р, — проекции скорости на векторы локального базиса ег, ё^,, криволинейной сферической системы координат. Углы в и % определяют направление вектора нормали к СП в локальном базисе ё^., ё^,, , точкой обозначено дифференцирование по времени Ь. Угол х есть угол между вектором нормали и плоскостью (ё£,ё^), в — угол между вектором ег и проекцией вектора нормали на плоскость (ё£, ё^) (см. рис 0.2 на стр. 6).

Система (0.6) записана в безразмерных переменных: единица длины — расстояние от Земли до Солнца, единица времени равна 1год/27г. В уравнениях (0.6) влияние возмущающего ускорения ^ не учитывается. В этом случае также удобно записывать уравнения (0.4) в кватернионной форме. Этот подход описан в главе 3.

Основные возможные конструкции КА с СП даны в работах [4]-[7]. В работе [4] описан проект плоского солнечного паруса, в работе [5] — парус-гелиоротор, в работах [6] и [7] — миниатюрные и микроминиатюрные СП. В настоящее время, в рамках проекта " Знамя", осуществлен эксперимент по развертыванию СП на орбите искусственного спутника Земли и освещению с его помощью участков земной поверхности [8]-[9].

Мы не будем рассматривать конкретную конструкцию КА с СП. Задача о гелиоцентрическом перелете КА с СП будет рассматриваться в модельной постановке (0.6), причем, согласно работам [4]-[7] будет предполагаться, что возможно создание аппарата с тяговым параметром £ « 0.1.

Уравнения (0.6) являются приближенными. В них не учитываются возмущающее ускорение неидеальность СП (е ф 1). Кроме того, сама формула (0.1) является приближенной. В точных расчетах следует учитывать еще и коэффициент прозрачности пленки, а также диффузность отражения и температурные характеристики освещенной и теневой сторон [10]. Если время перелета велико или аппарат подходит близко к Солнцу, то нужно учитывать и износ СП [11], [12]. Условия физической реализуемости накладывают ограничение на величину угловой скорости вращения СП [7], [33]. Все эти условия здесь не рассматриваются.

Рис. 0.1 Солнечное давление на СП

е1

п

Рис. 0.2 Управляющие углы

0.2 Использование К А с СП для космических перелетов.

Задачи о перелетах КА с СП делятся на геоцентрические и гелиоцентрические. В геоцентрическом случае рассматривается полет внутри сферы действия Земли для маневров различного назначения (разгона или торможения, освещения участков земной поверхности, захвата К А Луной и т.д.). В гелиоцентрических задачах рассматриваются перелеты К А с СП вне сферы действия планет.

Впервые траектория гелиоцентрического перелета КА с плоским СП была предложена в работе Ф.А. Цандера [2]. На этой траектории СП во все время движения перпендикулярен солнечным лучам. Движение при этом происходит по кеплеровым коническим сечениям вокруг Солнца с постоянной притяжения, уменьшенной на величину, пропорциональную г. Такая задача называется фотогравитационной [3]. Перелет по цандеровским эллипсам применялся в [2] для достижения Марса с орбиты Земли. Такой перелет не является оптимальным по быстродействию: время полета может быть уменьшено за счет управления ориентацией вектора п нормали к СП. Согласно формулам (0.1), изменение направления вектора п меняет величину и направление вектора тяги.

Другая траектория была предложена в работе [13]. Движение центра масс КА плоское и происходит по логарифмической спирали

г = го ехр(<£ ctga). (0.7)

где го, а - const, г и ср - полярные координаты. Нормаль к СП лежит в плоскости движения (х = 0). Угол 9 между нормалью к СП и радиус-вектором - постоянный. Этот угол связан с параметром спирали а некоторым соотношением. При фиксированном значении параметра тяги е существует два семейства спиральных траекторий. Например, при е < £кр « 0.578 для любого 9 существуют две спиральные траектории. Одна из них называется скрученной спиралью, а другая - развернутой спиралью [3], [13].

В работе [14] среди семейства спиральных траекторий находились спирали с наибыстрейшим ростом или убыванием гелиоцен-

7

трического расстояния. Для скрученных спиралей оптимальный угол установки 9 « 30°, а для развернутых оптимальным будет тривиальное решение, соответствующее углу установки 9 = 0.

В работе [10] для случая малых £ асимптотическими методами было найдено решение, обобщающее логарифмическую спираль [13]. Наклонение на этой траектории изменялось периодическим образом. Положение вектора нормали к СП было фиксировано относительно трехгранника Ганзена во все время движения. В [10] была рассмотрена модификация этой траектории, на которой изменение наклонения было монотонным. При этом положение вектора нормали было кусочно постоянной функцией времени, а на участках постоянства управления траектория представляла собой пространственную логарифмическую спираль.

Траектории в работах [2], [10], [13], [14] получаются с помощью некоторых упрощенных алгоритмов управления перелетом оптимальность которых по быстродействию не рассматривалась. Точные численные решения вариационной задачи быстродействия были построены в работах [15]-[17]. В работе [15] построен плоский перелет между круговыми орбитами Земли и Марса для различных значений тяги паруса. В работе [16] построен плоский перелет от Земли к Марсу без уравнивания скоростей. Задача об оптимальном перелете к Меркурию, Венере, Марсу и астероиду Эрос в трехмерной постановке решалась в работе [17]. В работах [15]-[17] для нахождения оптимальных траекторий использовались условия принципа максимума Понтрягина [18]-[23], а решение краевой задачи принципа максимума строилось численно.

В работах [24], [25] для построения оптимальных траекторий применяются асимптотические методы. Причем в [24] оптимальный перелет между круговыми орбитами строится на основе логарифмической спиральной траектории из работы [13].

Интересный метод построения оптимальных по быстродействию траекторий был предложен в работе [26]. Метод основан на интерполяции значений параметров, необходимых для построения оптимальных траекторий. В работе [26] вводится понятие оптимального многообразия (ОМ). Под ОМ понимается полный

набор функций, зависящих от терминальных координат. Зная эти

8

функции легко решить задачу оптимального управления. С помощью метода интерполяции ОМ построена зависимость оптимальных перелетов К А с СП от терминальных координат. В начальный момент времени КА находится на орбите Земли, терминальная точка находится в ее окресности, уравнивание скоростей не требуется.

Методика [26] позволила найти оптимальные траектории достижения астероидов, проходящие через области терминальных координат, для которых было расчитано ОМ. Асимптотические формулы дали результаты близкие к точным численным расчетам для времен перелета менее 1 /(27т) года. Численный вариант метода интерполяции ОМ работал вплоть до значений времени перелета 5/(27г) года.

Задачи геоцентрических перелетов рассматриваются в работах [2], [3], [27]-[33]. СП "наилучшей конструкции" рассматривался в работах [27], [29]. Оптимальные перелеты космических аппаратов с малой тягой рассматривались в работах [34]-[38].

Численные методы решения краевых задач рассматриваются в [30], [39]. Численным методам оптимизации посвящены работы [43]-[45]. Методы решения систем ОДУ и систем линейных уравнений содержатся в работах [40]-[49]. Этим методам мы следуем и в данной работе.

Различным применениям пертурбационного маневра в сфере дейтвия Луны посвящены работы [50]-[54] и [31]. В работе [31] рассматривается применение пертурбационного маневра в сфере действия Луны для оптимизации геоцентрического разгона КА с СП. В работе [23] обобщен принцип максимума Понтрягина на случай систем с разрывами. Это позволяет выписывать необходимые условия оптимальности для траекторий, использующих пертурбационный маневр в сфере планеты, который в рамках метода точечной сферы действия приводит к скачку гелиоцентрической скорости.

0.3 Содержание данной работы.

Целью диссертации является нахождение путей применения логарифмических спиральных траекторий и пертурбационного маневра в сфере действия планеты для оптимизации гелиоцентрических перелетов К А с СП.

Диссертация состоит из четырех глав, введения, заключения и списка литературы.

В первой главе для квазиоднородных управляемых систем общего вида доказывается экстремальность по быстродействию точных решений в виде квазиоднородных лучей и в частности — плоских логарифмических спиральных траекторий. Уравнения движения КА с СП при постоянном угле постановки СП являются квазиоднородными, а логарифмические спиральные траектории являются точными частными решениями в виде квазиоднородных лучей. Для последних уравнений множество квазиоднородных лучей является более широким, чем множество плоских логарифмических спиралей. Оно включает в себя также и пространственные решения, являющиеся обобщениями плоских. Эти решения ранее были известны лишь как приближенные.

В главе 1 находятся два семейства экстремальных по быстродействию плоских логарифмических спиралей, которые при е = О переходят в круговые орбиты. Одно из этих семейства соответствует случаю удаления от Солнца, а другое — приближению к нему. Интересно также то, что оптимальным является управление, оставляющее постоянным угол постановки СП в течение всего времени движения.

Во второй главе строится квазиоптимальная траектория перелета КА с СП между компланарными гелиоцентрическими круговыми орбитами. Траектория включает в себя участок логарифмической спирали и еще два участка, на каждом из которых угол постановки СП постоянный. Оценивается отличие по функционалу таких квазиоптимальных траекторий от оптимальных, полученных в результате численного решения краевой задачи принципа максимума Понтрягина.

В третьей главе строится квазиоптимальная траектория пере-

лета КА с СП между гелиоцентрическими круговыми орбитами с близкими наклонениями. Траектория состоит из трех участков, на каждом из которых положение СП фиксировано. В качестве среднего участка берется экстремальная по быстродействию плоская логарифмическая спираль. Оценивается отличие по функционалу построенной квазиоптимальной траектории от оптимальной, найденной численно.

В четвертой главе оптимизируется перелет от Земли к Марсу с пертурбационным маневром у Венеры. Траектория строится численно в результате решения краевой задачи, выражающей необходимые условия оптимальности по быстродействию [23]. Находится зависимость оптимальных траекторий от начальных угловых положений планет и область этих положений, для которой время перелета меньше, чем время прямого перелета Земля-Марс.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [59], [65]-[68].

Глава 1 Экстремальность по быстродействию логарифмических спиральных траекторий как следствие квазиоднородности уравнений движения.

1.1 Введение

В данной главе показывается, что существование логарифмических спиральных траекторий КА с СП является следствием квазиоднородности уравнений движения (0.6). Спиральные траектории являются квазиоднородными лучами. Ранее, в работе [59], было замечено, что спиральные траектории являются экстремалями задачи быстродействия. В этой главе доказывается общая теорема, дающая необходимые и достаточные условия экстремальности по быстродействию квазиоднородных лучей. Эта теорема применяется для случая КА с СП. Множество квазиоднородных лучей в случае К А с СП шире, чем множество плоских логарифмических спиралей. Оно включает в себя также и пространственные решения, являющиеся обобщениями плоских. Эти решения ранее были известны лишь как приближенные. Находятся два семейства логарифмических спиралей, удовлетворяющих принципу максимума Понтрягина для задачи быстродействия. При нулевой тяге паруса эти семейства переходят в круговые орбиты. Одно из семейств соответствует случаю удаления от Солнца, а другое — приближению к нему.

1.2 Общий случай. Исследование эк�