Методы оптимизации избыточности в целях повышения надежности технических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. АПРИОРНЫЕ ПОЛИТИКИ В ЗАДАЧЕ ДИНАМИЧЕСКОГО

РЕЗЕРВИРОВАНИЯ.

§ 1,1. Алгоритм сокращенного перебора

§ 1.2. Алгоритм приближенного решения задачи для случая ненадежных элементов

§ 1.3. Качественный анализ оптимальных распределений элементов.

ГЛАВА П. УПРАВЛЕНИЕ РЕЗЕРВОМ СИСТЕМЫ, ФУНКЦИОНИРУЮЩЕЙ

НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ.

§ 2.1. Управление резервом в случае контроля состояния системы в детерминированные моменты времени. I

§ 2.I.I. Однородные марковские политики управления резервом.

§ 2.1.2. Двухуровневые политики управления резервом

§ 2.1.3. Неоднородные марковские политики управления резервом.

§ 2.1.4. Проведение профилактических замен в системе нагруженного резервирования

§ 2.2. Управление резервом в случае контроля состояния системы в случайные моменты времени

§ 2.2.1. Двухуровневые политики управления резервом

- 3

§ 2.2.2, Проведение профилактических замен в системе нагруженного резервирования

§ 2.3. Управление резервом в случае непрерывного контроля состояния системы

§ 2.3.1. Двухуровневые политики управления резервом

§ 2.3.2. Неоднородные марковские политики управления резервом.

ГЛАВА Ш. ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ СИСТЕМ С НАКОПЛЕНИЕМ ПОЛОМОК.

§ 3.1. Проведение профилактических замен по числу поломок или времени наработки системы (случай непрерывного контроля за состоянием системы).

§ 3.2. Проведение профилактических замен по числу поломок или времени наработки системы (случай контроля за состоянием системы в дис1фетные моменты времени)

§ 3.3. Проведение профилактических замен в условиях неопределенности

§ 3.4. Проведение профилактических замен оборудования, функционирование которого имеет циклический характер.

Математическая теория надежности существует уже около трех десятилетий. Первые работы в этой области относятся к 50-м годам, и это не случайно. Именно в это время бурное развитие техники столкнулось с цроблемой надежности. За црошедшее время надежность изделий существенно повысилась, коренным образом изменились принципы конструирования технических систем. Но постоянное усложнение как самих систем, так и задач, перед ними стоящих, привело к тому, что в состав современных систем входят десятки и даже сотни сложнейших объектов, что заставляет относиться к цроб-леме надежности с особым вниманием. Недаром решения ХХУ и ХХУ1 съездов нашей партии направлены на повышение эффективности и качества, важнейшей составляющей которых является именно надежность.

Одним из наиболее расцространенных способов повышения надежности технических систем является введение в них избыточности. Как правило, это либо постоянно действующие функциональные цепи, либо запасные устройства и элементы. Однако обеспечение работоспособного состояния системы за счет введения избыточности связано со значительными трудовыми и материальными затратами, соизмеримыми, а подчас и превышающими затраты на изготовление самих систем. Поэтому возникает очень важная и актуальная задача рационального использования избыточности с целью достижения наилучших показателей надежности системы.

Основная цель работы состоит в изучении следующих важных для практики методов оптимизации избыточности: априорного динамического резервирования; управления резервом системы, функционирующей на большом интервале времени; проведения профилактических замен системы с накоплением поломок.

Научная новизна работы заключается в следующем.

Впервые для задачи априорного динамического резервирования решается задача распределения резервных элементов по моментам включения с целью достижения максимальной вероятности безотказной работы системы на заданном интервале времени. Предложен ряд алгоритмов, позволяющих получить точное или приближенное решение этой задачи. Получены достаточные условия оптимальности некоторых важных на практике распределений элементов. Найдено простое решение задачи в случае двух моментов включения.

Исследованы задачи управления резервом системы по ее состоянию. Рассмотрены случаи,когда состояние системы контролируется в детерминированные, случайные моменты времени, непрерывно. Наряду с двуху .ровневыми политиками изучены более эффективные марковские однородные и неоднородные политики управления резервом. Решены задачи оптимизации показателей надежности системы при ограничении на средние удельные затраты, связанные с поддержанием работоспособного состояния системы, и обратные задачи - задачи минимизации функции средних удельных затрат при ограничении на показатели надежности.

Предложена модель системы с накоплением поломок, обобщающая имеющиеся модели таких систем. Изучены специальные политики проведения профилактических замен систем с накоплением поломок. Рассмотрены случаи непрерывного контроля состояния системы и контроля в дискретные моменты времени. Исследована задача о проведении замен в условиях неопределенности. Решена задача о проведении профилактических замен оборудования, функционирование йоторого носит циклический характер.

Среди методов повышения надежности путем введения избыточности наибольшее распространение получило резервирование. При этом возникает задача оптимального расцределения резерва в целях обеспечения максимально возможной надежности [1-41. К этому классу задач относятся задачи динамического резервирования.

Суть задачи состоит в следующем. Пусть имеется система, функционирующая на заданном интервале времени и состоящая из однотипных элементов, предназначенных для подключения в работу в определенные моменты времени. Элементы, включенные в работу, отказывают, а элементы,находящиеся в резерве,сохраняют полную работоспособность. Очевидно,что подключение всех элементов в начальный момент функционирования системы приведет к тоь^у, что все они начнут расходовать свой ресурс. Наоборот, слишком экономное подключение их на первых этапах работы может сразу привести к отказу системы. Следовательно,существует оптимальное правило подключения резерва.

Актуальность решения задач динамического резервирования вытекает из следующих соображений. На практике используются два основных типа резервирования: нагруженное резервирование (все резервные элементы находятся в рабочем режиме) и ненагруженное резервирование (один элемент находится в рабочем состоянии, осталь

- 8 ные - в запасе; после выхода из строя рабочего элемента он заменяется запасным). Очевидно, что второй тип резервирования с точ:. -ки зрения использования резерва существенно рациональнее первого.

Однако на практике использование ненагруженного резервирования сталкивается с трудностями. Для его применения должна существовать возможность постоянного контроля состояния системы: необходимо знать, когда откажет рабочий элемент, чтобы заменить его запасным.

Между тем, если в некоторые моменты времени в системе предусмотрена возможность контроля ее состояния или даже если в некоторые моменты времени существует возможность только подключения дополнительных элементов, то с успехом может использоваться динамическое резервирование. При этом его применение в смысле показателей надежности системы цри одинаковом резерве элементов почти всегда лучше (по крайней мере никогда не хуже) использования нагруженного резервирования. Область же практического использования динамического резервирования шире, чем у ненагруженного (не требуется постоянный контроль состояния системы).

Однако динамическое резервирование на практике црименяется мало. Последнее обстоятельство в значительной мере (особенно это касается задач априорного динамического резервирования) связано с отсутствием простых методов решения этих задач. Все это указывает на необходимость изучения динамического резервирования. Эта необходимость тем более актуальна, что рациональное использование ресурсов является одним из основных принципов решения народнохозяйственных задач.

Практическая ценность динамического резервирования оцреде-п ляется сказанным выше. Оно может использоваться при резервировании систем, в которых нельзя осуществлять постоянный контроль состояния, а одновременное включение всех элементов не является целесообразным для достижения наилучших показателей надежности. Потребность в динамическом резервировании имеется в системах, в которых используется резервирование дорогостоящей дефицитной аппаратуры. Конкретными примерами таких систем являются космические станции, спутники, системы передачи информации.

Существует много постановок задач динамического резервирования, отличающихся по функционалу, структуре системы, характеру включения элементов, способу использования резерва [5] . Наиболее важным является разделение задач динамического резервирования по политике управления резервом.

К первому классу относятся задачи с динамической политикой подключения резерва, когда распределение ресурса производится в каждой точке включения в зависимости от состояния системы в этот момент времени. Ко второму классу относятся задачи с априорными политиками подключения резервных элементов, когда распределение ресурса производится заранее и в дальнейшем не изменяется.

Большинство работ, посвященных задачам динамического резервирования [6-16] , относится к первому классу. Это естественно, поскольку решения этих задач эффективнее решений задач второго класса в смысле показателей надежности при одинаковых ресурсах. В то же время практическая реализация решений задач первого класса не всегда возможна. Например, при резервировании аппаратуры на спутниках часто не известен: маличный ресурс резерва, что делает невозможным использование динамических политик. В связи с этим особое значение приобретает изучение априорных политик L 5,17,18J .

В первой главе настоящей работы изучаются априорные политики в задаче динамического резервирования. Первой работой в этой

- 10 области является 117] . В ней получено выражение для вероятности безотказной работы системы на заданном интервале времени при произвольном расцределении элементов по точкам включения, рассматривается частная постановка задачи, когда система состоит из трех элементов. При условии, что два из них включаются в начальный момент функционирования, находится момент включения третьего элемента. В [18] рассматривается задача максимизации среднего времени, безотказной работы системы, функционирующей на бесконечном интервале времени, при фиксированном числе резервных элементов и моментов их включения.

Наиболее общие постановки задач динамического резервирования приведены в работе И.А.Ушакова [б] . В этой работе получены ггриближенные решения задач, которые могут быть полезны в качестве начального ггриближения при использовании более точных методов, в виде гипотез сформулированы свойства решений рассматриваемых задач.

В настоящей работе рассматривается частная и в то же время, по-видимому, наиболее на практике важная постановка задачи априорного динамического резервирования. В этой постановке в качестве целевого функционала берется вероятность безотказной работы системы. При фиксированных равноудаленных моментах включения элементов ставится задача такого их расггределения по точкам включения, ггри котором вероятность безотказной работы системы на заданном интервале времени максимальна.

Если сравнить задачи динамического резервирования первого и второго классов по математической сложности их решения, то можно утверждать, что задачи второго класса являются более трудными. Дело в том, что знание наличного ресурса резерва в каждый момент включения позволяет выписывать рекуррентные соотношения для иссле

- II г дуемых функционалов, зависящие только от этого ресурса. Поэтому задачи первого класса допускают эффективное решение методами динамического программирования. Во многих работах (см. обзор в [19] ), кроме того, найдены некоторые свойства оптимальных распределений элементов, что еще сильнее упрощает решение. При решении задач второго класса мы не знаем наличный ресурс резерва в каждой точке включения. Это приводит к необходимости вероятностного описания оставшегося ресурса, которое зависит от того, как были распределены резервные элементы до рассматриваемого момента. Поэтому применение методов динамического программирования в этом случае практически сводится к полному перебору.

Первая глава диссертации имеет следующую структуру.

В § 1,1 при некоторых ограничениях на основании метода построения последовательности планов [56] предлагается алгоритм сокращенного перебора. В приложении I получена верхняя оценка скорости сходимости этого алгоритма. Показано, что, если вероятность безотказной работы элемента между соседними точками включения р близка к единице, алгоритм быстро приводит к решению задачи. Этот алгоритм был реализован в виде программы для ЭВМ (приложение 2). Машинный эксперимент подтверждает теоретические результаты.

В § 1.2 рассматривается случай ненадежных резервных элементов. В этом случае задачу можно свести к задаче теории оптимального управления дискретными системами. При малых значениях р эта задача в свою очередь заменяется приближенной, для которой на основании принципа максимума Понтрягина строится простая оптимизационная процедура. Таким образом, для малых значений р построен алгоритм получения приближенного решения задачи. Дается оценка приближения.

В § 1.3 производится анализ оптимальных распределений элементов по точкам включения. Доказано, что, если значение р близко к единице, оптимальным является такое распределение, когда все элементы включаются в начальный момент функционирования системы. Если значение р мало, то оптимальным является равномерное распределение элементов (элементы в некотором смысле распределяются по точкам включения поровну). Такое поведение оптимальных распределений элементов позволяет предложить простую оптимизационную процедуру приближенного решения задачи при произвольных значениях р .

В этом же параграфе получено простое решение задачи для случая двух моментов включения элементов. Это решение было реализовано на программируемом микрокалькуляторе. Результаты вычислений приводятся в приложении 2.

Вторая глава данной работы посвящена задачам оптимального управления резервом системы, функционирующей на бесконечном интервале времени. Эти задачи являются естественным обобщением задач динамического резервирования. Общая постановка этих задач следующая. Пусть имеется система, состоящая из однотипных элементов, находящихся в резерве с целью повышения надежности. В определенные моменты времени имеется возможность контроля состояния системы, во время которого могут быть установлены некоторые ее параметры (например, число работоспособных элементов, их возраст и т.д.), и на основании значений этих параметров принято решение о подключении в систему дополнительных элементов. При этом задается стоимость подключения элементов, штраф за попадание системы в состояние отказа, штраф за простой системы в единицу времени. В качестве оптимизируемого функционала рассматривается функция средних удельных затрат на.обслуживание системы. Кроме того, рассматриваются оптимизационные задачи смешанного типа: максимизировать стационарный коэффициент готовности или вероятность безотказной работы системы между соседними моментами контроля при ограничении на средние удельные затраты; наоборот, минимизировать функцию средних удельных затрат при ограничении на показатели надежности.

На практике для улучшения показателей надежности системы часто применяется резервирование ее элементов. Однако резерв постепенно исчерпывается, и, если система функционирует на большом интервале времени, возникает задача его пополнения. Между тем такие задачи для систем резервирования исследованы мало. Поэтому изучение политик управления резервом является несомненно актуальным.

Область практического использования этих задач обширна: они могут использоваться при резервировании систем, функционирующих на большом интервале времени. В качестве конкретных примеров можно привести системы связи, энергоснабжения, передачи данных и т.д.

В теории надежности внимание главным образом уделялось управлению резервом систем с восстановлением. При этом задачи не формулировались как задачи управления резервом, а рассматривались лишь конкретные модели функционирования систем с заданной политикой управления резервом.

Наиболее простой задачей из этого класса является следующая [25-32, 35, 36, 44, 45 ] , Имеется система, состоящая из двух элементов, один из которых рабочий, а другой - резервный. После выхода из строя рабочего элемента он заменяется резервным и направляется в ремонт (в этом заключается политика управления резервом). Отказ системы равносилен неработоспособному состоянию обоих элементов. Наиболее полные результаты, касающиеся этой задачи, получены в работах [25-30l . В работе [26J изучается случай, когда запасной элемент находится в облегченном режиме, в I зх! - оба элемента являются рабочими. В работе [35] рассматривается ситуация, когда резервный элемент переходит в рабочее состояние с помощью переключателя, который сам может отказывать. Интересные результаты получены в [30, 36] . Здесь предполагается наличие возможности проведения профилактических замен рабочего элемента.

Похожая задача изучалась в работах [ 38-421 . В них рассматривается система, состоящая из /г одинаковых элементов. После поломки элемент начинает ремонтироваться. Считается, что система отказала, если в состоянии отказа находятся не менее I элементов. Времена безотказной работы и ремонта распределены по экспоненциальному закону. Наиболее интересный результат получен в f42J . Здесь для некоторых на практике важных случаев показано, что функция распределения безотказной работы системы достаточно точно аппроксимируется экспоненциальным распределением.

Близкими по постановкам к настоящей работе являются задачи, рассмотренные в [19, 33, 34, 37] . В § 5.4 [19] изучается задача оптимального обеспечения системы резервными элементами в течение конечного числа периодов. Находится правило пополнения резерва, которое при минимуме ожидаемых затрат, связанных с закупкой этого пополнения, обеспечивает в течение каждого периода уровень показателя надежности не ниже заданного.

В работе f33J рассматривается следующая политика управления резервом системы нагруженного резервирования: в момент контроля все отказавшие элементы заменяются новыми.

Интересная задача решается в 1341 . Рассматривается система, состоящая из N основных элементов, соединенных параллельно в смысле надежности. Имеется резерв, состоящий из /г запасных элементов, находящихся в ненагруженном резерве. Отказавший элемент немедленно заменяется резервным и поступает в ремонтную бригаду, состоящую из % человек. После ремонта элемент направляется в резерв. Отказ системы равносилен неработоспособному со-: стоянию всех элементов. Решается задача минимизации функции средних удельных затрат по размеру резерва и числу рабочих в бригаде.

В [37] авторы рассматривают систему, состоящую из т блоков, соединенных параллельно, и поступающую через равные интервалы времени на станцию технического обслуживания, где все вышедшие из строя блоки заменяются новыми. Максимизируется вероятность безотказной работы системы на заданном интервале времени при ограниченном запасе элементов на станции. """

В работе f 43J изучается задача нахождения оптимальной поли тики использования ограниченного резерва с целью максимизации среднего времени безотказной работы системы.

По своей постановке задачи оптимального управления резервом являются специального вида задачами теории управления запасами [20-24] , Их специфика состоит, пользуясь терминологией теории управления запасами, в необходимости рассмотрения нерекуррентного, зависящего от запаса, потока спроса с прерываниями, функционалов специального вида, возможности наблюдения состояния системы лишь в дискретные моменты времени. Кроме того, часто будут рассматриваться не традиционные дисциплины управления запасами (политики двух уровней), а более общие марковские однородные и неоднородные политики управления резервом.

Среди работ по теории управления запасами особенно следует отметить работы Г,Б.Рубальского [23, 24] . В [23] автор решает задачу управления резервом системы ненагруженного резервирования с помощью политик двух уровней, В [24] рассматривается модель системы, в которой спрос зависит от наличного запаса, возможности пополнения которого появляются в случайные моменты времени.

Резюмируя изложенное, можно сказать следующее. Несмотря на большое количество работ, посвященных изучению систем с резервированием, в теории надежности имеется известный пробел в области задач управления резервом систем, функционирующих на бесконечном интервале времени. Во второй главе этой работы делается попытка в какой-то степени заполнить этот пробел.

Вторая глава диссертаций имеет следующую структуру. В § 2,1 рассматриваются задачи управления резервом в случае, когда контроль состояния системы осуществляется в заданные детерминированные моменты времени,

В § 2,1,1 изучаются марковские однородные политики подключения дополнительных элементов в системе нагруженного резервирования, состоящие в следующем. Если в некоторый момент контроля система состоит из I исправных элементов, принимается решение

0 подключении еще (di-C) элементов, причем ciu <= Di , где

01 = { I, L + 1,.f Ы] , Как видно из определения множеств Di , после подключения элементов их общее число всегда не больше Д/ , Обозначим класс всех политик, описанной выше структуры, через

Д'СДО , т.е. А'(А/)= {S--(cL0,.,dv) clb£Di СI

Вводятс я функция стоимости подключения и, дополнительных элементов a(Hi) , штраф за попадание системы в состояние отказа и рассматривается задача минимизации функции средних затрат за период между соседними моментами контроля $>(£) . Для решения этой задачи предлагается алгоритм Ховарда, В случае, когда clck,) - выпуклая вверх или выпуклая вниз функция, найдены простые свойства оптимальных политик, сокращающие трудоемкость алгоритма Ховарда. Для этих же случаев в приложении 9 получены достаточные условия оптимальности политики ( А/, Л/-/ ) уровней в д'(/У) (в случае, когда си(к,) - линейная функция, достаточное условие является также и необходимым). Исследован вопрос рентабельности системы.

В § 2.1.2 изучаются политики (N,m ) уровней, состоящие в том, что в момент контроля производится подключение элементов до их общего числа в системе /V $ если в этот момент контроля число исправных элементов было не больше пъ . Очевидно, политики (f\/1m) уровней принадлежат классу Д/C/V) . N

Пусть АСА/) - U А'Со) • Доказано, что если иск) - ли-1-л нейная функция, то при любом Ы-1, оо оптимальной в ДСЛО является политика (loflff~i) уровней. Предлагается способ нахождения L0 . Таким образом, в случае линейной функции а, (к) задача нахождения тмъ&С$) для любого N-1, со полностью решена.

Особое внимание уделено изучению политик (Л/, А/"/) и (/\f,P) уровней. Для этих политик удается получить аналитические выражения для функции средних удельных затрат (приложение 10). Решены задача минимизации этих функций, а также задача максимизации вероятности безотказной работы системы в интервале между соседними проверками при ограничении на средние затраты.

В § 2.1.3 рассматриваются марковские неоднородные политики, имеющие следующую структуру. В момент п «ой после последнего подключения элементов проверки в зависимости от Zn и Н, пришшается решение о подключении N~Z^. дополнительных элементов, где А/ - фиксированное число, Ъп, " число исправных элементов^ момент п -ой проверки. Если Z.^-0 , то в момент п -ой проверки обязательно производится подключение А/ элементов.

Пусть Ю(Ы) класс всех возможных политик, имеющих описанную выше структуру. В § 2.1.3 на основании теории правил оптимального останова при некоторых ограничениях на параметры системы находится оптимальная в классе Ю(А/) политика. Получены достаточные условия оптимальности политики (Д/;Л/-/) уровней в ЯШ). Решена задача выбора Ы0 • такого, что политика

A N"

А/о М0~1) уровней является оптимальной в классе = l

L-1 где yV * - заданный максимально допустимый уровень подключения дополнительных элементов.

В § 2.1.4 рассматривается система, состоящая из однотипных элементов, находящихся в нагруженном резерве. Изучается политика проведения профилактических замен элементов по их возрасту. Получено необходимое и достаточное условие предпочтительности (в смысле максимума вероятности безотказной работы системы в интервале между соседними проверками) этой политики по сравнению с политикой, согласно которой замены элемента производятся только в случае его отказа. Разработаны алгоритмы решения задач безусловной и условной максимизации стационарного коэффициента готовности системы.

В § 2.2 показано, что определенный интерес представляет случай, когда проверки состояния системы производятся в некоторые случайные моменты времени. В этом параграфе рассматривается случай, когда интервалы между соседними проверками распределения по экспоненциальному закону.

В § 2.2.1 рассматривается политика (IV, пъ) уровней подключения дополнительных элементов. Решается задача оптимизации функции средних удельных затрат.

В § 2.2.2 рассматривается случай, когда время жизни элемента системы - случайная величина, распределенная по произвольному закону. Изучается политика подключения нового элемента вместо элемента, проработавшего время, не меньшее чем Т0 . Решается та же задача, что и в предыдущем пункте.

В § 2.3 изучается случай, когда существует возможность непрерывного наблюдения за состоянием системы.

В § 2.3.1 и приложении II рассматривается система нагруженного резервирования. В любой момент времени можно подать заказ на подключение дополнительных элементов, который выполняется через случайное время, распределенное по произвольному закону. Исследуется политика двух уровней. Решается задача минимизации функции средних удельных затрат.

В § 2.3.2 изучается система ненагруженного резервирования, в которой в любой момент времени имеется возможность подачи заказа на пополнение резерва дополнительными элементами. Пополнение резерва происходит через время CL с момента подачи заказа.

Рассматриваются два класса политик управления резервом. Структура политик первого класса такова, что в некоторые моменты времени t в зависимости от t и Zj принимается решение о подаче заказа на пополнение системы Yi (Et) элементами.

Политики второго класса состоят в том, что в некоторые моменты времени t в зависимости от t и fj принимается решение о подаче заказа на пополнение резерва до уровня N (после пополнения резерва общее число элементов в системе становится равным N ),

В обоих классах найдены достаточные условия оптимальности политики, состоящей в том, что в момент пополнения резерва подается заказ на новое пополнение. Решены задачи выбора n,(Zt), N •

Третья глава посвящена задачам проведения профилактических замен систем с накоплением поломок. В работах [46-49 ] изучалась следующая модель системы. Пусть имеется рекуррентный поток внешних воздействий (удары, вибрация и т.д.). Предполагается, что состояние системы в момент времени t описывается некоторый случайной величиной Yt t называемой износом системы. В результате L -го по счету воздействия Yt увеличивается на случайную величину Xi , которая представляет собой ущерб от I -го воздействия. Таким образом, Yt определяется равенством

Yt = jtXi , Nt>0 о , f/ta 0 , где /V^ - число внешних воздействий за время t . Считается, что Xi - независимые и одинаково распределенные величины. Система отказывает в момент времени Г , если в этот момент времени впервые реализуется событие { Ут 1 \ , где £ - случайный пороговый уровень износа системы.

В работах [46-48] изучались условия разного типа "старения" распределения времени безотказной работы системы при различных предположениях относительно вида функции распределения величины ущерба за одно воздействие.

Рассматриваемая модель при попытке использования ее на практике имеет существенные недостат ки, выражающиеся в следующем.

1) Вводятся такие характеристики системы, как ущерб, износ, пороговое значение ущерба, которые часто не имеют физического аналога.

2) Предполагается независимость и одинаковое распределение величин ущерба, что на практике почти никогда не имеет места.

3) Математическая сложность решения задач теории надежности с использованием данной модели.

Предлагается следующая модель, устраняющая перечисленные недостатки. Предположим, что в результате -го по счету воздействия (воздействия в дальнейшем будем называть поломками) система с вероятностью рл выходит из строя и с дополнительной вероятностью = 1 - рк остается работоспособной. Таким образом, р^ - есть вероятность того, что система выйдет из строя во время ht -ой поломки при условии, что до этого она из строя не выходила.

Очевидно, что первая модель является частным случаем второй, Действительно, для первой модели функция распределения времени безотказной работы системы имеет вид:

Fi (t) = 1 Р{ Nt * ^ Piiti * ZX< z) , а для второй эта функция равна оо

Fi(t) = L PI Nt * * j сил ,

К.-1 К-1 где а- рк Пас • Таким образом, на практике достаточно знать статистические оценки вероятностей Р{ ZX^ ъ % r'v I '

Z лс< 2 j , что обычно бывает нетрудно сделать, чтобы описать

L-1 первую модель в рамках второй.

Возможности второй модели при этом значительно шире, т.к. не требуется введения величины износа, независимости последствий внешних воздействий. Кроме того, с точки зрения математической сложности вторая модель существенно проще первой.

В настоящей работе для описанной выше модели системы рас

- 22 сматриваются задачи цроведения профилактических замен. Задачи проведения профилактических замен с учетом износа изучались в [49,50]. Их отличительной особенностью является наличие информации о текущем состоянии юистемы. Так для рассматриваемой здесь системы изучаются политики проведения профилактических замен не только по времени наработки, но и по числу поломокtнаступивших в системе. Интересные особенности появляются при решении этой задачи в условиях неопределенности.

Актуальность изучения задач проведения профилактических замен системы с накоплением поломок вытекает из следующих соображений. Как показывают исследования, в 85-90% случаев отказ системы наступает вследствие ее износа. Износ системы является как результатом ее функционирования, так и результатом внешних воздействий. Часто оказывается возможным обе эти причины описать в рамках модели системы с накоплением поломок.

На практике наибольшее распространение получила политика проведения профилактических замен системы по времени ее наработки. Специфика модели системы с накоплением поломок дает возможность рассматривать проведение профилактических замен не только по наработке системы, но и по числу поломок, наступивших в системе (иногда замены по числу поломок оказываются единственно возможными). Использование таких политик позволяет сократить средние удельные затраты на техническое обслуживание систем, т.е. рациональнее использовать имеющиеся ресурсы. Все это говорит о необходимости изучения задач проведения профилактических замен системы с накоплением поломок.

Третья глава имеет следующую структуру.

В § 3.1 изучается политика проведения профилактических замен по числу поломок или времени наработки системы в случае непрерыв

- 23 ного контроля ее состояния. Профилактическая замена производится в момент времени £ = тллг { Т} » где - момент наступления в системе щ -ой по счету поломки, J - время наработки системы с момента последней замены. Получено выражение для функции средних удельных затрат С(гп,Т) на обслуживание системы и решается задача ее минимизации.

В приложении 3 для частного случая этой задачи, когда Т- со , т.е. замены производятся только по числу поломок, получены достаточные условия предпочтительности рассматриваемой политики по сравнению с политикой, согласно которой замены производятся только в случае отказа системы (политика А ), и достаточные условия унимодальности функции С(пг, со) . При выполнении последних условий решение задачи существенно упрощается.

В приложении 8 рассмотрен случай, когда профилактические замены производятся только по времени наработки системы. Получено необходимое условие предпочтительности этой политики по сравнению с политикой А , предложен способ нахождения оптимального времени наработки.

Наряду с рассмотренной задачей решается задача максимизации стационарного коэффициента готовности системы при ограничении на средние удельные затраты. В приложении 5 дано решение этой задачи для некоторого класса функций распределения времени между наступлениями соседних поломок.

В § 3.1 решена также задача максимизации вероятности безотказной работы системы в интервале между соседними моментами проведения профилактических замен по числу поломок в случае, когда проведение замены не прерывает функционирования системы.

В § 3.2 рассматривается система с накоплением поломок, состояния которой можно наблюдать лишь в дискретные моменты времени. Для такой системы рассматривается следующая политика проведения профилактических замен. Замена осуществляется в одном из следующих случаев: либо если в момент контроля произошло более,чем т поломок, либо если момент контроля является К0-м по счету с момента последней замены. Решаются те же оптимизационные задачи, что и в § 3.1.

В случае, когда время между наступлениями соседних поломок расцределено по экспоненциальному закону, предлагается политика проведения профилактических замен, которая цри некоторых ограничениях на параметры системы является оптимальной в классе всех марковских неоднородных политик лтроведения профилактических замен.

В § 3.3 рассматривается решение задачи о проведении профилактических замен системы с накоплением поломок в условиях неопределенности. Рассматриваются два случая неопределенности. В первом случае неизвестен вид функции распределения между соседними поломками С*(х) , но известно среднее значение времени между наступлениями соседних поломок. В качестве минимизируемого функционала берется кгш с.(т.,Т, &) , где W(cl) - класс всех функций распределения положительной случайной величины со средним О, .

Доказано, что использование политики цроведения профилактических замен по числу поломок в системе всегда не хуже использования политики А . Найдены достаточные условия оптимальности политики проведения замен по числу поломок в классе W(a) .

Второй случай неопределенности связан с ситуацией, когда известны значения функции GtCx) в нескольких точках: Сг(хг)= 71 l ; i= i,S . Доказано, что пъсис oimfT,Ci) достигается на функциЛ ях распределения вида

G&WiO.) Xjc-t <■ ос* хк ( 5 ■ хо = 0)

1 , х > Zs

- 25 где SI - класс всех функций распределения, таких, что G (Х^)

В § 3.4 рассматривается проведение профилактических замен оборудования, функционирование которого носит циклический характер. Эта модель была применена для расчета оптимального периода проведения профилактических замен футеровок в иццукционных плавильных печах (приложение 4).

В приложении 6 рассматривается марковская неоднородная политика проведения профилактических замен системы, износ которой определяется марковским процессом.

В заключении формулируются основные результаты работы.

Рассмотренная модель проведения профилактических замен систем с накоплением поломок применялась для расчета оптимального периода проведения замен футеровок в индукционных плавильных печах [51,52]. Совершенно аналогичным способом эта модель может использоваться для расчета оптимальных сроков работы экономайзеров в системах глубокой утилизации тепла на теплоходах [53 ] ,смазочно-охлаждающих жидкостей на операциях резания [54, 55] и т.д.

Таким образом, в первых двух главах изучены способы управления резервом системы (под избыточностью здесь понимаются резервные устройства и элементы), в третьей главе рассмотрены задачи проведения профилактических замен систем, подверженных рекуррентному потоку внешних воздействий (говоря об избыточности в этом случае, мы подразумеваем запасные элементы системы, используемые для проведения црофилактик).

Легко проверить, что все рассмотренные в работе способы управления избыточностью можно формально определить четверкой

Л Л Л л Л 5 , Т, Ю, Сг j , где 5 = { 5 j - множество наблюдаемых состояний системы, Т = { t} - множество моментов контроля состояния системы, Ю = { cl}- множество решений относительно введения избыточности, G = {cLs - непустое подмножество множества всевозмож Л Л А ных отображений С S х J) , задающее класс допустимых управлений избыточностью. Например, априорное динамическое резерви

Л Л Л Л Л рование определяется четверкой { 5., Т* , , Gi } , где = = { = Сп,пг, Т)}т h = {ti Ю4 = {cL, = С/г0,., /гт): Zri^n} { $1 cs„) = (tb0,., Пггь) * ЮЛ . ^

Пусть ttty} " соответственно показатель надежности и функция затрат, связанных с управлением избыточностью. Понятно, что вид функционалов » £ ( ^ зависит от структуры системы, способа ее функционирования, способа введения избыточности и т.д.

Тогда задачи оптимизации избыточности ставятся следующим образом: найти ССй) или пъалс (ft С а) ; где оС, С* - заданные

G ч аб G ' величины (знак ( ± ) означает, что в зависимости от характера функционала fl( fy) перед ним ставится + или - ; аналогичный смысл имеет знак ( % )).

Таким образом, в рамках предложенной формализации удается описать постановки всех задач, рассмотренных в настоящей работе.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах лаборатории " Исследование операций" ВЦ АН СССР, на заседаниях кафедры "Большие системы" Московского физико-технического института, на научно-технической конференции МФТИ. По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю, профессору И.А.Ушакову, за помощь в работе над диссертацией.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обобщая вышеизложенное, отметим основные результаты диссертации.

1. Изучена задача априорного динамического резервирования. Предложен ряд алгоритмов, позволяющих получить точное или приближенное решение этой задачи. Получены достаточные условия оптимальности некоторых важных на практике распределений элементов. Найдено простое решение задачи в случае двух моментов включения.

2. Исследованы задачи управления резервом системы по ее состоянию. Рассмотрены случаи, когда состояние системы контролируется в детерминированные, случайные моменты времени, непрерывно. Наряду с двухуровневыми политиками изучены более эффективные марковские однородные и неоднородные политики управления резервом. Решены задачи оптимизации показателей надежности системы при ограничении на средние удельные затраты, связанные с поддержанием работоспособного состояния системы, и обратные задачи - задачи минимизации функции средних удельных затрат при ограничении на показатели надежности.

3. Предложена модель системы с накоплением поломок, обобщающая имеющиеся модели таких систем. Изучены специальные политики проведения профилактических замен систем с накоплением поломок. Рассмотрены случаи непрерывного контроля состояния системы и контроля в дискретные моменты времени. Исследована задача о проведении замен в условиях неопределенности. Решена задача о проведении замен оборудования, функционирование которого носит циклический характер.

4. Результаты диссертации были внедрены в производство для расчета оптимального периода проведения замен футеровок в индукционных плавильных печах, для управления резервом запасных частей вычислительных машин. Внедрение методики проведения замен фу-теровок позволило получить экономический эффект.

1. Барлоу Р., Прошан 3>. Математическая теория надежности. Пер. с англ. под ред. Б.В.Гнеденко. - М.:. Сов.радио, 1969. - 488с.

2. Оптимальные задачи надежности. Сборник переводов под ред. И.А.Ушакова. - М.: Издательство Комитета стандартов, мер и измерительных приборов цри Совете Министров СССР, 1968. - 292с.

3. Ушаков И.А. Методы решения простейших задач оптимального резервирования. М.: Сов.радио, 1969. - 173с.

4. Райкин А.Л. Вероятностные модели функционирования резервированных устройств. М.: Наука, 1971. - 215с.

5. Ушаков И.А. Задачи оптимального резервирования. В сб.: Оптимальное резервирование и управление запасами. - М.: Знание, 1979. с. 3-69.

6. Райкин А.Л. Маневрирование аппаратурной избыточностью в реальных системах. В кн.: Труды Ш Всесоюзного совещания по автоматическому уцравлению. - Одесса, 1965, т. 5. - Технические средства автоматики. - М.: Наука, 1967, с. 94.

7. Райкин А.Л., Мандель А.С. Составление оптимального плана включений запасных элементов. Автоматика и телемеханика, 1967, № 5, с. 55-63.

8. Герцбах И.Б. Об оптимальном управлении включением резервных элементов. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1966, № 5, с. 55-63.- 152

9. Пестов Г.Г., Ушакова JI.B. Исследование оптимальных стратегий в задаче динамического резервирования. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1973, № 5, с. 76-82.

10. Никаноров Е.М., Райкин A.JI. Динамическое резервирование для поддержания готовности хранимых изделий. Автоматика и телемеханика, 1973, № 8, с. 138-145.

11. Герцбах И.Б. Динамическое резервирование. Оптимальное управление включением резервных элементов. Изв. АН Латв.ССР. Автоматика и вычислительная техника, 1970, № I, с. 28-34.

12. Томиленко В.А. Об одной задаче динамического резервирования. -Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1975, № 4, с. 93-100.

13. Конев В.В., Овчинников А.В. Оптимальное резервирование группы однотипных элементов. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1976, № 4, с. 75-84.

14. Пестов Г.Г., Ушакова Л.В. Оптимальные стратегии в задаче динамического резервирования. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1971, № 5, с. 69-72.

15. Ушакова Л.В. Об одной задаче управляемого резервирования при неодинаковых интервалах контроля. Надежность и контроль качества, 1979, № 8, с. 3-12.

16. Конев В.В. Об оптимальном программном включении резервных элементов. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1975, № 3,с. I09-II7.

17. Конев В.В. Об оптимальном включении резервных элементов. -Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1974, № 4, с. 75-83.

18. Райкин А.Л. Элементы теории надежности технических систем. -М.: Сов.радио, 1978. 280с.

19. Рубальский Г.Б. Управление запасами при случайном спросе/ модели с негтрерывным временем/. М.: Сов.радио, 1977. - 160с.- 153

20. Хедли Дж., Уайтин Т. Анализ систем управления запасами. -Пер. с англ. М.: Наука, 1969. - 5Пс.

21. Прабху Н. Методы теории массового обслуживания и управления запасами. Пер. с англ. - М.: Машиностроение, 1969. - 356с.

22. Рубальский Г.Б. Задачи управления запасом резервных изделий. В сб.: Оптимальное резервирование и управление запасами. -М.: Знание, 1979, с. 70-93.

23. Рубальский Г.Б. Оптимальное управление запасом изделий цри случайных возможностях пополнений и расходе, зависящем от наличия. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1982, № 3, с. 96-103.

24. Соловьев А.Д. Асимптотическое распределение времени жизни дублированного элемента. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1964, № 5, с. II9-I2I.

25. Гнеденко Б.В. О дублировании с восстановлением. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1964, № 5, с. III-II8.

26. Беляев Ю.К. Линейчатые марковские процессы и их приложение к задачам теории надежности. Труды У1 Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической статистике. - г.Вильнюс: Гос.изд.политич.и научн.литературы Литовской ССР, 1962, с. 309-323.

27. Соловьев А.Д., Зайцев В.А. Резервирование с неполным восстановлением. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1975, № I, с. 72-76.

28. Соловьев А.Д., Зайцев В.А, Резервитровние сложных систем. -Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1975, № 4, с.83-92.

29. Гнеденко Б.В^, Динич М., Наср Ю. О надежности дублированной системы с восстановлением и профилактическим обслуживанием. -Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1975, № I, с. 66-71.

30. Осиял, D. p. 3-util to fytuluM cubd ситйаШЛц. ofr ^ojuJhhA, uHXh ZhsOrtA. (>ri MmJaI., 1963, v.R.-1&,yAf*Z9p.30-38.

31. ЧъауИъ D. P. turn a vujuAAvd&nt wpaibcdUt ^Xun ojf two dXA^irrubwv llirnzntA.- IEEE &ьшпл. on RilUold., 1964, V. R.-13 , 1 f p. M-ZZ.

32. Соловьев А.Д. Определение оптимальных профилактик для систем с резервом. В сб.: Прикладные задачи технической кибернетики. - М.: Сов.радио, 1966, с. 182-190.

33. Райкин А.Л., Рубцов А.Ф., Пенин B.C. К воцросу о надежности технических систем с регулярно возобновляемым резервом. Изв. Ш СССР. Техническая кибернетика, 1964, № 4, с. 13-18.

34. OuJvqa ft. У. ^лАгъМаАал, ггъ&с& oj. Аулкип оршшюгurUiv CL trdЧЛ^МЪ^ ddLAjpM> 4 *JpOJOA & илоляА, Умышлял, г

35. XOpwoZ. Пел., 1960, Aij^urd^ (ktМь,p.

36. YLnbcJU, RAMxMjXf 4 рыьаШ- ^Аял with >uf>оХг cuuL ^urc. Hat 'l лутр. огь Rj&UxfaXbLfr and QuusaiiZy. Control, 1961, p. 1Z9- 133.

37. Vdc tywcfstrt 14. CL. (Ipp>u>bi4rudtim, fyobrrudciA |/tn. 'alwxJbiUXy, urith ирълл,IEEE Зъсиьь. on FUluJrtl., 1963, v. У'Ц ,p. 6H-9Z.

38. Сox D.tC. CL пмшлгоХ pn/Mun with bulk (УгхЬллль^- of cornjjvrizntb- 3-. Hoy. \tatut. 'W:.; 1959 , /Wv. 3, v.Zi, Jtf-1, p. 180-189.

39. VfUntAj- ft. C. Wit ^ZoiJwmJLu, fyutpmtuA* o|- а с&пьръътА-плпшгоХ, cUurucugt Trvo-dzl r OjpVv. Rjl^., 1966 , у. 7j\f£5, p. 90Z~ 908.

40. Sva/u^ D., TJboA/JvcM CL. W., ^M>vclwm £ -m/OclAucuvd и>еол. pt/o-селлм. CUm- РъоЬ., 1973, v.1, .

41. Северина Т.И. Модель накопления повреждений. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1975, № 2.

42. Disimxui С., "Wb- 5-. RjyploKJuniriZ релллн{м>сМу> \лъиря*аи1 ы^шрггигъь tuxatcjl llbu^vofi tfrtylbt. glwant., 19 60, v. 7, иЛ2* , p. 597-60?.

43. Dvvmcub С. OpZirricJ, xepla^errwiZ cuvd ^cUnte*ымш, usvcU/L cLeiibwxaXurri г ТТЬсиыи^. ^ti., V963, v. 9 , р.Ч78-Н%1.

44. Сойфер B.M., Точигина М.Ю., Розкошная А.В. Опыт футеровки тн-дукционных сталеплавильных печей на заводах СССР. Литейное- 156 -производство, 1982, № 4, с. 27-29.

45. Еднерал Ф.П. Электрометаллургия сталей и ферросплавов. М.: Гос.научно-техническое издательство литературы по черным и цветным металлам, 1963. - 487с.

46. Журавлев А.А. Исследование причин отказов судовых установок глубокой утилизации тепла по статистическим данным. Надежность и контроль качества, 1983, № 8, с. 23-29.

47. Полянсков Ю.В., Маценко П.К. Определение сроков службы СОЖ на операциях резания. Надежность и контроль качества, 1982,2, с. 38-43.

48. Технологические свойства новых СОЖ для обработки резанием. -Под ред. М.И.Клушина. М.: Машиностроение, 1979. - 192с.

49. Емеличев В.А., Комлик В.И. Метод построения последовательности планов для решения задач дискретной оптимизации. М.: Наука, 1981. - 208с.

50. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дисьфетных процессов. -М.: Наука, 1973, 256с.

51. Григелионис Б.И. Предельные теоремы для сумм процессов восстановления. В сб.: Кибернетику - на службу коммунизму, т. 2 -М.: Энергия, 1964, с. 246-266.

52. Ховард Р. Динамическое программирование и марковские процессы. М.: Сов.радио, 1964. - 189с.

53. Майн X., Осаки С. Марковские процессы принятия решений. М.: Наука, 1977. - 175с.

54. Неймарк Ю.И., Преображенская A.M. Ускорение процедур рекуррентной оптимизации управления марковским процессом с доходами. -Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1979, № 6, с. 72-79.

55. Висков О.В., Ширяев А.Н. Об управлениях, приводящих к оптимальным стационарным режимам. Труды математического института им. В.А.Стеклова, 1964 (71), с. 35-45.

56. Кокс Д.Р., Смит B.JI. Теория восстановления. Под ред. и с дополнением Ю.К.Беляева. - М.: Сов.радио, 1967. - 300с.

57. Сильвестров Д.С. Полумарковсрие процессы с дискретным множеством состояний. М.: Сов.радио, 1980. - 272с.v. 11, улГ£1,р. 1ZI-188.

58. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М. Случайные процессы (справочник). Киев: Наукова думка, 1983. - Зббс.

59. Барзилович Е.Ю., Каштанов В.А. Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. М.: Сов.радио, 1971.

60. Барзилович Е.Ю., Захаренко С.К. Сравнительная оценка оптимальных методов управления монотонно возрастающим случайным процессом с независимыми приращениями. В сб.: О надежности сложных технических систем. - М.: Сов.радио, 1966, с. 92-125.

61. Вопросы математической теории надежности. Под ред. Б.В.Гне-денко. - М.: Радио и связь, 1983. -376с.

62. Климов Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Изд. МГУ, 1983. 328с.

63. Каштанов В,А. Оптимальные задачи технического обслуживания. -В сб.: Оптимальные задачи технического обслуживания. Вопросы надежности механических систем. М.: Знание, 1981, с. 3-67.- 272с.