Полумарковские модели в анализе показателей надежности восстанавливаемых систем с резервом времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОПИСАНИЕ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ С РЕЗЕРВОМ

ВРЕМЕНИ ПОЛУМАРКОВСКИМИ ПРОЦЕССАМИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ

МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ. IV

§ I.I. Основные определения и используемые результаты

§ 1.2. Процессы марковского восстановления, описывающие функционирование восстанавливаемых систем с ре зервом времени.

§ 1.3. Предельные теоремы о времени безотказной работы для восстанавливаемых систем с пополняемым резервом времени в условиях высокой надежности.

§ 1.4. Асимптотический анализ функции распределения времени безотказной работы систем с большим пополняемым резервом времени.

ГЛАВА П. СИСТЕМА Р ИЗ N С РЕЗЕРВОМ ВРЕМЕНИ: СТАЩОНАРНЫЕ

ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ, БОЛЬШОЙ РЕЗЕРВ ВРЕМЕНИ. бб

§2.1. Нагруженное резервирование из N элементов с восстанавливаемым резервом времени (с отключением). Полумарковская модель.

§ 2.2. Стационарные показатели надежности системы Р из N с резервом времени.

§ 2.3. Предельное поведение времени безотказной работы системы Р из А/ при большом резерве времени.

§2.4. Нахождение стационарного распределения jd для ПМП с конечным множеством состояний.

ГЛАВА Ш. ВРЕМЯ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ С РЕЗЕРВОМ ВРЕМЕНИ ПРИ УСЛОВИИ БЫСТРОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ $ 3.1. Система р из А/ с резервом времени в случае неограниченного восстановления.

§3.2. О времени безотказной работы системы Р из N с резервом времени при ограниченном восстановлении. III

§ 3.3. Ненагруженное дублирование с резервом времени.

Одним из способов повышения надежности систем является введение в нее резерва времени или временной избыточности. О временной избыточности говорят в тех случаях, когда системе в процессе функционирования предоставляется возможность израсходовать некоторое дополнительное время на восстановление ее технических характеристик. Можно указать несколько основных источников резерва времени Г27,44]. qh может создаваться за счет увеличения времени, выделяемого системе для выполнения порученного ей задания. Другим основным источником является запас производительности, который позволяет уменьшить минимальное время выполнения задания и создать резерв без увеличения оперативного времени системы. Следующим источником резерва времени является функциональная инерционность; таким свойством обладают, например, системы термостатирования, жизнеобеспечения судов и др. Ряд задач, связанных с резервом времени, возникает в теории восстановления

С 48 ] .

Приведем два примера реальных систем, исследование надеж -ности которых связано с рассмотрением резерва времени.

Пример I [ 271. Система передачи данных (СПД) осуществляет передачу радиолокационной информации, поступающей с устройства вторичной обработки в реальном масштабе времени. Длительность сеанса t^ задана. В процессе функционирования системы возможны отказы СПД и восстановления ее работоспособности. В системе предусмотрен специальный накопитель большой емкости, который запоминает всю информацию, поступающую для передачи во время ремонта СПД. После окончания ремонта,в первую очередь, передается накопленная информация, а затем вновь поступившая. По условиям функционирования перерыв в передаче информации на время, большее допустимого tn , обесценивает поступающую информацию и 7 рассматривается как срыв функционирования системы.

Пример 2 Г 27]. Рассмотрим ЦВМ, используемую в некоторой автоматизированной системе управления и работающую в реальном масштабе времени. Машина решает определенную задачу, причем время £, необходимое и достаточное для ее решения (при абсолютЪ ной надежности ЦВМ), известно. В процессе решения задачи возникают отказы и сбои, нарушающие нормальную работу машины. Для обнаружения указанных выше внешних возмущений и обеспечения высокой достоверности выходной информации в ЦВМ реализуется метод двойного просчета. Для решения задачи выделена норма времени t , превышающая необходимое и достаточное время t^ для решения задачи при отсутствии внешних возмущений. Задача будет решена,если суммарная наработка ЦВМ достигает величины t, раньше, чем сумд марные потери рабочего времени превзойдут величину ta = t-, где ta - избыточное время относительно минимально необходимого для решения задачи в условиях абсолютной надежности ЦВМ.

Примеры I и 2 иллюстрируют основные особенности систем с резервом времени.

Системы с резервом времени различаются по способу использования временного резерва.

Наиболее исследованы два вида систем: а) системы с пополняемым резервом времени, которые характеризуются тем, что для восстановления работоспособности системы выделяется одно и тоже время, не зависящее от предыдущих нарушений работоспособности системы; б) кумулятивные системы, в которых при очередном нарушении работоспособности системы используется только та часть первоначального резерва, которая не была израсходована при предыдущих отказах.

Система, описанная в примере I, является системой с пополняемым резервом времени; система представленная в примере 2, кумулятивная.

Можно привести примеры систем со смешанным использованием резерва времени.

Исследованию систем с резервом времени посвящены работы Г.Н.Черкесова [43,44,45], Б.П.Креденцера С 24,26,27 1, Ю.К.Беляева С 3 1, Я.Г.Гениса С 7 J, Л.В.Коломенского I 20 ], О.Ф.Пос -лавского U 35 1, Н.А.Северцева С 37 ] и др., в которых изучен широкий класс систем с резервом времени.

Для исследования систем с резервом времени применялись различные методы: метод интегральных преобразований различных видов для решения интегральных уравнений, которым удовлетворяют характеристики надежности систем с резервом времени С 27,46 использовались марковские С 27 ], полумарковские с конечным множеством состояний [ 24 ], регенерирующие процессы. В большинстве из этих работ предполагалось, что или время безотказной работы или время восстановления элементов системы имеют экспоненциальное распределение, что сужает возможности применения полученных результатов.

В последнее время интенсивно проводятся исследования, результаты которых позволяют полностью или частично отказаться от предположения о конкретном виде исходных распределений при анализе надежности восстанавливаемых систем. Отметим в этом направлении работы Б.В.Гнеденко, Ю.К.Беляева, И.Н.Коваленко, А.Д.Соловьева,

И.И.Ежова, В.В.Анисимова, Д.С.Сильвестрова, А.А.Войны, Н.Ю.Кузнецова и др.

В ряде работ В.С.Королюка C2IT23 1, А.Ф.Турбина E21,29,411 » В.Н.Кузнецова [28 ], Г.Ж.Цатуряна [ 29 3, Т.Л.Влаха, Р.Л.Диснея [ 50 ] и др. для анализа надежности сложных систем Использовались полумарковские процессы с произвольным множеством состояний и предельные теоремы типа фазового укрупнения, что позволило получить характеристики надежности ряда систем при отказе от предположения о конкретном виде распределений, времен безотказной работы и восстановления элементов системы.

Целью данной диссертации является разработка методики описания функционирования восстанавливаемых систем с резервом времени посредством полумарковских процессов с произвольным множестве вом состояний, исследованиечкоторых общих свойств систем с резервом времени и решение задач по нахождению показателей надежности конкретных систем при достаточно общих предположениях относительно распределений времен безотказной работыУвосстановления элементов системы.

В диссертации используются термины и определения, а также некоторые результаты теории полумарковских процессов с произвольным множеством состояний, полученные в работах Е.Цинлара Г 49 3, Королюка B.C., Турбина А.Ф £2,233, Кузнецова В.Н. С 28 1 и др. При выводе предельных теорем и асимптотического разложения для распределения времени безотказной работы систем с пополняемым резервом времени в условиях высокой надежности автор использовал идеи работ В.С.Королюка, А.Ф.Турбина С 21 3, В.Н.Кузнецова Г 28 1.

Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения.

1. Анисимов 6.6. Асимптотический анализ надежности сложных систем под воздействием неоднородных случайных возмущений. -Докл. АН yCGP, 1979, сер.А, №1, с. 66-69.

2. Барлоу Р., Прошан §. Математическая теория надежности. М.: Сов.радио, 1969. - 488 с.

3. Беляев Ю.К. Производительность при наличии двух типов отказов.- Б кн.: Кибернетику на службу коммунизму. М.-Л.: Т.2, 1964, с. 303-310.

4. Беляев Ю.К. Линейчатые марковские процессы и их приложения к задачам теории надежности. Тр. У1 Бсесоюзн.совещ. по теории вероятностей и математ.статистике. Бильнюс, 1962, с. 309-323.

5. Война А.А. Бремя пребывания в фиксированном подмножестве и укрупнение состояний случайных процесоов с произвольным фазовым пространством. В сб.: Теория вероятностей и математ.статистика. Киев, 1979, #20, с.30-39.

6. Гаркави А.Л., Гоголевский В.Б., Грабовецкий В.П. Надежность контролируемых восстанавливаемых систем с временной избыточностью. Б кн.: Теория надежности и массовое обслуживание. (Под.ред. Б.В.Гнеденко). М.: 1969, с. I08-II8.

7. Генис Я.Г. Сходимость одного класса функций распределения к экспоненциальной в задачах надежности и массового обслуживания. Изв. АН СССР. Техн.кибернетика, 1978, №6, с. II8-I25.

8. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965. - 524 с.

9. Гнеденко Б.В. 0 ненагруженном дублировании. Изв.АН СССР, Техн.кибернетика, 1964, №4, с. 3-12.Ю.Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр.лит., 1962. - 895 с.

10. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z -преобразования. М.: Наука, 1971. - 288 с.

11. Ежов И.И. Цепи Маркова с дискретным вмешательством случая, образующим полумарковский процесс. Укр.матем.журн., 1966, т.18, Ш I, с.48-65.

12. Ежов И.И., Королюк B.C. Полумарковские процессы и их приложения. Кибернетика, 1967, № 5, с.58-65.

13. Збырко М.Д., Кузнецов В.Н., Турбин А.Ф. О полумарковской модели для анализа надежности систем с восстанавливаемой защитой. Автоматика и телемеханика, 1980, № 6, с.175-185.

14. Зубова А.Ф. О холодном дублировании с восстановлением при любом законе распределения потока отказов и времени восстановления. Изв.АН СССР, Техн.кибернетика, 1964, № 5, C.I07-III.

15. Канторович Л.В., Акияов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 7.44 с.

16. Коваленко И.Н. Исследования по анализу надежности сложных систем. Киев: Наук.думка, 1975. - 212 с.

17. Коваленко И.Н. Анализ редких событий при оценке эффективности и надежности систем. М.: Сов.радио, 1980. - 209 с.

18. Козлов Б.А., Ушаков И.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. М.: Сов.радио, 1975. - 472 с.

19. Коломенский Л.В. О выполнении работ в условиях временной избыточности. Автоматика и телемеханика, 1970, № II, с.173-181.

20. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наук.думка, 1982. -236 с.

21. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Математические основы фазового укрупнения сложных систем. Киев: Наук.думка, 1978. - 217 с.

22. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наук.думка, 1976. - 181 с.

23. Креденцер Б.П. Оценка надежности систем с аппаратурной и временной избыточностями и мгновенным обнаружением отказов. -Изв.АН СССР. Техн.кибернетика, 1971, № 4, с.58-69.

24. Креденцер Б.П. Надежность систем с аппаратурной избыточностью при наличии резерва времени. Автоматика и вычислительная техника, 1973, № 3, с.34-48.

25. Креденцер Б.П. Оценка характеристик надежности одного класаа сложных систем с избыточностью. Точность и надежность кибернетических систем, 1973, вып.1, с.72-80.

26. Креденцер Б.П. Прогнозирование надежности систем с временной ~ избыточностью. Киев: Наук.думка, 1978. - 237 с.

27. Кузнецов В.Н. Полумарковские процессы с произвольным множеством состояний в задачах анализа надежности сложных восстанавливаемых систем. Дисс.на соиск.ученой степ.канд.физ.-мат.наук. Киев, 1981. 125 с.

28. Кузнецов В.Н., Турбин А.Ф., Цатурян Г.Ж. Полумарковские модели восстанавливаемых систем. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981. - 44 с. (Препринт 81.II).

29. Лангер Ю.М. Об учете временной избыточности при/расчете надежности резервированных систем. В кн.: Повышение надежности РЭА путем резервирования. ЛДНТП, 1969. - 242 с.

30. Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. - 309 с.

31. Обжерин Ю.Е. Расчет надежностных показателей некоторых типов неоднородных структур. В кн.: Прикладные задачи теории вероятностей. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982, с.91-102.

32. Обжерин Ю.Е. Вычисление показателей надежности системы с временной избыточностью. В кн.: Предельные теоремы для марковских и полумарковских моделей./Препринт 83.14. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983, с. 3-26.

33. Обжерин Ю.Е. Процесс марковского восстановления для систем с пополняемым временным резервом. В кн.: Аналитические методы теории вероятностей. Киев: Ин-т математики АН УССР,1983, с. 93-101.

34. Пославский О.Ф. Введение в терминологию и классификацию резервирования времени. В кн.: Методы оценки контроля и обеспечения надежности промышленной продукции.-М.: ВНИИС, 1971, вып.II, с.

35. Рябинин И.А., Рубинович В.Д. О влиянии типа законов распределения времени исправной работы и времени восстановления на характеристики надежности резервированной системы. В кн.: Теория надежности и массовое обслуживание. М.: Наука, 1969, с. 46-54.

36. Северцев Н.А. Временная избыточность как фактор безопасности системы "человек-машина",- В кн.: Основые вопросы теории и практики надежности. М.: 1975, с. 390-394.

37. Сильвестров Д.С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний. М.; Сов.радио, 1980. - 272 с.

38. Соловьев А.Д. Надежность системы с восстановлением.- В кн.: Кибернетику на службу коммунизму. - М.: Энергия, 1964, т.2, с. 189-193.

39. Соловьев А.Д. Резервирование с быстрым восстановлением. -Изв. АН СССР. Техн.кибернетика, 1970, №1, с. 56-71.

40. Турбин А.Ф., Збцрко Н.Д., Кузнецов В.Н. Анализ надежности систем с защитой посредством полумарковских процессов со сложным фазовым пространством. В кн.: Надежность и эффективность АСУ ТП. Киев, 1976, с. 8-9.

41. Черкесов Т.Н. Влияние резерва времени на работоспособность восстанавливаемых систем.- В кн.: Теория и техника вычислительных устройств. М.: 1967, вып.1, с. 131—139.

42. Черкесов Г.Н. Надежность технических систем с временной избыточностью. М.: Сов.радио, 1974. - 296 с.

43. Черкесов Г.Н. О временном резервировании. Надежность и контроль качества, 1975, №1, с. 58-68.

44. Черкесов Г.Н. Оценка надежности систем с временной избыточностью. В кн.: Основные вопросы теории и практики надежности. - М.: Сов.радио, 1971^ с. 154-163.

45. Ушаков И.А. О вычислении среднего стационарного времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний. -Изв. АН СССР. Техн.кибернетика, 1969, №4, с. 62-65.

46. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее применения.-М.: Мир, 1967, т.2. 752 с.

47. Ginlar IT. Oil semi-Markov processes on arbitrary space.-Proc.Cambridge Phil'Soc., 1969,66,172, p. 381-922.

48. Disney R.L., VTach. T.L. The departure processes from the quene.- J.Appl.Probab.* 1969*6, p.704-707.

49. Pyke R. Markov renewal processes: definitions and preliminary properties.- Ann.Math.Statist. ,1961, 32 N4,p. 1231-1242.

50. Szasz D. A problem of two lifts.- Ann.Probab., 1977»5» ГГ4, p. 550-559.