Оценка надежности систем с кратными отказами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА'ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИЙ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.243.

Двинских Светлане Феодосьэвна

ОЦЕНКА НАДЕЯНОСТИ СИСТЕМ С КРАТНЫМИ ОТКАЗАМИ 01.01.05,- теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матема.тнческих наук

МОСКВА - 1991

Работе внполненв на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.Д.Соловьев. Официальные оппоненты: доктор физико-математических неук

матемвтике *1 (Д.053.05.04.)при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносове по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские Горн, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14

А.В.Печинкин

кандидат физико-математических наук А.В.Пввлов

Ведущая организация - Московский институт электронного

машиност

Зашита диссертаций состоится " 1991г.

в час. на заседании специализированного Совета по

1991г.

зтах)

Автореферат разослан

(V

199 г.

Учений секретарь специализированного Совета по математике №1(д.053.05.04.) при МГУ, доцент

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Математическая теория надежности является одной из интенсивно развивающихся областей математики. Наиболее сложной и важной аналитической проблемой является проблема расчета или оценки надежности цевосстанавлкваемих а восстанавливаемых систем. В последних отказавшие в сист&мэ элементы поступают в ремонтное устройство, и после зосстановления возвращаются на свое место в систему.

Модели восстанавливаемых систем, с математической точки |рения, являются моделями теории массового обслуживания, если сказавшие в системе элементы считать- требованиями, а их установление - обслуживанием. Поэтому для анализа таких истем применялись методы, разработанные в теории мзссового бслуживания. Однако, характеристики представляющие наибольший нтерес в теории надежности, являются более сложннни ункционалами от процесса .обслуживания, нежели характеристики, зучаемые в теории массового обслуживания. А именно, задача ичисления характеристик надежности системы сводится к задаче эхождения распределения времени пребывания, процесса в зкотором множестве состояний. Кроме того, модели постанавливаемых систем по своей дискретной и вероятностной рруктуре гораздо сложнее стандартных моделей массового !служивания. По этим причинам только для самых простых моделей йстанавливаемых систем удается получить замкнутые выражений 1Я характеристик надежност.1. К счастью, для подавляющего числа алышх восстанавливаемых систем время восстановления ементов во .много раз меньше интервалов ' между соседними

откезами элементов. Это лает возможность исследовать надежность восстанавливаемых систем асимптотическими методами. Все вышесказанное потребовало разработки собственных методов анализа восстанавливаемых систем.

• В 1965-80 гг. в основном в _работах И.Н.Коваленко, А.Д.Соловьева и их учеников была разработана асимптотическая теория, позволяющая находить оценки характеристик надежности восстанавливаемых систем1^3'.

Современное состояние математической теории надежности изложено в монографии Отметим, что в этой асимптотической теории основные аналитические трудности возникают при доказательстве так называемого "принципа моногононной траектории", согласно которому при "бистром" восстановлении элементов выход случайного процесса (процесс £(0 - это число или множество неисправных в момент г элементов) на высокий уровень происходит с вероятностью, эквивалентной единице, по

'^Соловьев А.Д. Резервирование с быстрым восстановлением// Изв.АН СССР, Техническая кибернетика.-19Т0,-№ 1

^Соловьев А.Д. Асимптотическое поведение момента первого наступле редкого события в регенерирующем процессе//Изв.АН СССР, Техническа кибернетика.-19716

3'Коваленко И.Н. Анализ редких событий при оценке эффективности и надежности систем.-И.: Сов. радио, 1980.

Вопросы математической теории надежности/ .Ю.Бразилович, Ю.К.Беляев,'В.А.Каштанов, и др; Под ред. Б.В.Гнеденко.-М.: Радио и связь, '1983.

монотонной траектории, когда от момента выхода процесса из нулевого состояния и до момента попадания системы в неисправное состояние не успеет восстановиться ни один из отказавших элементов.

Однако, во всех приведенных работах рассматривались системы с простыми отказами, т.е. системы, в которых в один момент времени может произойти не более одного отказа. Это условие, по разним причинам, довольно часто нарушается на практике.

• ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучить модели надежности с кратными отказами. Получить эффективные асимптотические оценки для характеристик надежности таких систем.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новями. В диссертации решены следующие задачи:

1. Найдено предельное распределение времени до отказа ¡«восстанавливаемой система с кратными отказами.

2. Для восстанавливаемых систем в условиях "быстрого ремонта" найдена асимптотическая оценка распределения момента первого отказа, при этом используется введенный в работе "пргацип обратной монотонной траектории".

3. В условиях "быстрого ремонта" для восстанавливаемых систем найдены оценки времен пребывания системы в исправном состоянии. Все предельные теоремы для восстанавливаемых систем доказаны в равномерной форме, когда в предельном переходе меняются все параметры и распределения, задающие процесс. Существенно и то, что теоремы доказаны при минимальных условиях, близких к необходимым.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Для анализа системы используются асимптотические методы и методы теории массового обслуживания,

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Результаты диссертации носят теоретический характер. .Предложенный метод может быть использован для дальнейшего исследования надежности моделей сложных восстанавливаемых систем с кратными отказами. Результата диссертации могут быть полезны специалистам по теории надежности для оценки характеристик надежности конкретных систем.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на Ломоносовских чтениях 19Э0 года, на семинаре "Вероятностные методы в технике" ( МГУ, механико-математический факультет, '990), ¡'.а научно-технической конференции молодых специалистов "Вопроси 'роц-энального использования природных, сырьевых и энергетических ресурсов европейского севера" (Архангельский лесотехнический институт,1991).

ПУБЛИКАЦИИ.Основные результаты диссертации опубликованы в пяти рвботах, список которых приведен в конце автореферата". Ра>"-та [2)' является совместной статьей диссертанта и А.Д.Соловьева, которому принадлежат постановка задачи и общая идея асимптотического анализа.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Работа состоит-из введения и трех глав, содержащих восемь параграфов и библиографии.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приводится краткий обзор результатов, относяиих-Ся к теме диссертации и изложены основные результаты диссертации.

В первой главе изучается модель невосстанавлмваемой системы с кратными отказами. Эволюция такой системы задается полумарковским процессом ае(0, который определяется так: вложенная цепь Маркова гек- номера проходимых процессом

остояний- задается переходными вероятностями

р{ »„н^К^Кч'1»

I время пребывания процесса ае С«> в состоянии 1 не зависит от :ледующего за ним состояния и имеет функцию распределения I 1<1). Отказ системы- это выход процесса за уровень п, время ;о отказа

т:п=!п/| I >0: ае(»)>п | а(П)=0 ].

¡десь исследуется асимптотичсеское поведение величины 1 при I—>®. Ради общности соответствующая предельная теорема юквзывается в схеме серий. Поэтому переходные вероятности и >аспределения, введение выше, снабжены индексом п. Основное 'тверждение зтой главы сформулировавно в теорем« 1.1: !еореиа 1.1. 1усть

(I) для всех п>1 и всех Нп распределение случайной ¡еличины £n i задается функцией р| în }=В L, —

такой,

1TO

' (la) для всех х)0 В(х,• кС(0,1]

(lb) функция B,(i)= in/' BU,у) является функций« )аспределения, и

vClO.11

t2B+ )<<»

о

(1Т) для всех' п>1 и всех lin распределение случайной

¡еличины vn -ж задается функцией распределения

'|vn iik|=n[k,—], такой, что

(Па) для всех К>0 П (k,.* ) «CIO, 1 ]

(IIb) Функция - П^(k)= Inf П(k,у) является функцие! ' . jiCtOJ]

распределения целочисленной случайной величины, и

Обозначим а(к)=

kr 1

iB(dx.v); сг(v)=|хгВ Cdr,и); Ьг=сгU )-ас U);

VJ

(»>=Jl

k

FI {k, v)-П (k -1 ,y>

кг1

Тогда , если а(»|>0 для всех ие-10,11, то

п г

? 1/2 (11 'О )

где ц=

a(«) , f ре(и)Ьг(и) —:—du; о • = I-=-du

o(u) -J а (u)

n-» (2*)

г )

UJ

Т7г|

Вторая и третья главы посвящены асимптотическому анализу восстанавливаемых системам с кратными отказами. Для удобства модель резервирования с восстановлением и кратными отказами описывается в терминах теории массового обслуживания, и ниже мы будем пользоваться этой терминологией.Рассматривается система массового^, обслуживания, состоящая из г обслуживающих приборов и бесконечного,числа мьот для ожидания. В систему поступает неординарный пу. ооновский поток требований с интенсивностью

о

15К Число требований в одной группе есть случайная величина V с распределением вероятностей, задаваемым производящей функцией

со к= 1

Бремя обслуживания одного требования есть случайная величина т]

с функцией распределения В(г)=р{ т)<г| и математическим

ожиданием Ь=Мт).

Время обслуживания одного требования есть случайная величина 1) с функцией распределения В(г)=р|т]^г| и математическим .ожиданием

Ь=Мт). ■

Система считается исправной в данний момент, если число требований в системе в этот момент времени не превышает уровень п. Изучается распределение времени до первого отказа система т^, а так же распределение интервалов исправного состояния системы.

Во второй главе рассмотрен случай одной ремонтной единицы ■(г=) ) .

Основным результатом второй главы является1 ТЕОРЕМА 2.4.

Если параметр X и распределение случайной величина т) меняются так, что

р

А-п —> О

то

Р{ хопЧ>* } —

ь^Хинчин А.Я. Вопросы по матемакгической теории массового обслуживания.-.М.-Физматгиз, 1963.

где коэффициент О задается функцией

со, п

р{Х(1-П(г))>

) о„2п=(1-п(г))----, (п

рио-пы)}-*

к = 0

а. р(и) - преобразование Лапласа-Стильтьеса функции Ъ(х).

Если X• Ь-М^ОО, то процесс ге(г), равной числу требований в системе' в момент г будет эргодическим. Тогда для т^ - к-ого периода исправного состояния верна ТЕОРЕМА 2.5

Если параметр К и распределения случайных величин т) и V меняются так, что

А-Ь-МКСО ,то

рК)-р{ яс№ * } < р { > * } < р| > 1 )

где Ск~ событие, заключающееся в том, что к-ый по счету отказ является последним на том периоде занятости, на котором он произошел. Из теорема 2.5 легко следует ТЕОРЕМА 2.6

Если параметр к и случайные величины т| и V меняются так, что

И при этом то равномерно по к

Р

Лт] —> О,

г{ ад > X }

где задается функцией (1).

3 § 4 главы 2 рассмотрено обобщение системы на случай Марковского входящего потока, в котором вероятность поступления группы из К требований на интервале и^ + до.при условии, что в момент « в системе находится 1 требований,, не зависит от

рошлого поведения процесса обслуживания и равна X. '1(1(, 1) • Л1 + о (Ле),

для любого 1^0

к = 1

усть \=шог(Х0Д1 дг,.. ДП).

ЕОРЕИА 2.7.

ели Х'Ь —» О, то

Р| ) — '**•

де

Г1 и

? 1 = 0 ^ = II 1 -1

стационарные вероятности р^ "урезанного . процесса бслуживания", т.е. процесса, для которого для всех к>п Хк=0,и, ;рй условии, что в системе находится 1 требований, вероятность вступления группы из (п-1+1) требований равна

(п-1+1.1)= > х<],1)

аходятся стандартными методами.

В третьей главе изучаются восстанавливаемые системы . с :ратными отказами для случая неограниченного числа ремонтных диниц (Г=ю).

определение.Случайная величина ц с функцией распределения В(г)

х

тремится к нулю по Хинчину, т) —> О если для всех 1>0

®

1

--В(и)(Ь —► о

ь .

сковным результатом третьей глава, является

ТЕОРЕМА 3.2

Если параметр X и случайные величины т] и V меняются так, что

х

Ни —> (по Хинчину) ,

то

где 0' определяется из функцией

ш

О' Ы

= ехр|-х||-П(В(и) + гВ(и)|<1и|

п-0

Если \-ij-Mv —^ О (по Хинчину), то процесс Ж(1) будет эргодичвским. В этом случае можно поквзать, что случайные величина ^ имеот предел по распределению:

* А

Ч,'->Т'

к

Тогда верна следующая ТЕОРЕМА 3.3

В условиях теорема 3.2.

• ?! х.о;.т'>г| —. £.г1

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководители Александру Дмитриевичу Соловьеву зз постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1С

РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

. Двинских С.Ф, Надежность система с кратными отказами// естннк МГУ.-1991-ЛЗ-С.63-64.

. Двинских С.Ф,, Соловьев А.Д. Восстанавливаемые системы с :ратными отказами.// Вестник МГУ 1991,л/^, е.■м-*?. !. Двинских С.Ф, Надежность системы с кратными отказами и одним )емонтцым устройством// Рук.деп.в ВИНИТ И-.№1595-В91. I, Двинских С.Ф. Оценка надежности систем с кратными отказемц и 1еограниченнымчислом ремонтных единиц// Рук.деп.в ВИНИТИ-¿1594-В91.

5. Двинских С.Ф. Асимптотическая оценка времени безотказной работы восстанавливиасмых систем с кратными отказами// Тззиси докл. н.-т.к."Вопросы рационального использования природных, сырьевых и энергетических ресурсов европейского севера" 1991.