Оценка надежности системы с кратными отказами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРьСКОИ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.Б. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.248.

Двинских Светлана Феодосьавна

ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ С КРАТНЫМИ ОТКАЗАМИ ' 01.О],05.теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матема,тических наук

МОСКВА - 1991

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университете имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-матемэтических наук,

профессор А.Д.Соловьев. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

в с. на заседания специализированного Совете по

математике S1 (Д.053.05.04.)при Московском государственной увиварситете имени М.В.Ломоносова по адресу: 1)9899, ГСП, Москве, Ленинские Гс-ры, МГУ, механико-м8гем8тическ"ий факультет, аудитория 16-21.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета ИГУ (Главное здание, 14

ЭТ8Х)

А.В.Печинкин

кандидат физико-математических наук А.В.Павлов

Ведущая организация - Московский институт электронного

диссертации

Автореферат разослан

Учений секретарь специализированного Совета по математике #1(д.053.05.04.) при МГУ, доцент

Т.П.Лукашенко

| общая характеристика работы

^ртгд'.'.й АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМУ. Математическая теория надежности является одной из интенсивно развивающихся областей математики. Наиболее сложной и важной аналитической проблемой является проблема расчета или оценки надежности невосстанавливаемых и восстанавливаема систем. В последних отказавшие в системе элементы поступают в ремонтное устройство, и после восстановления возвращаются на свое место в систему.

Модели восстанавливаемых систем, с математической точки зрения, являются моделями теории массового обслуживания, если отказавшие в системе элементы считать требованиями, в их восстановление - обслуживанием. Поэтому для анализа таких систем применялись методы, разработвнкие в теории массового обслуживания. Однако, характеристики представляющие наибольший интерес в теории надежности, являются более сложными функционалами от процесса .обслуживания, нежели характеристики, изучаемые в теории массового обслуживания. А именно, задача вычисления характеристик надежности системы сводится к задаче нахождения распределения времени пребывания, процесса в некотором множестве состояний. Кроме того, модели восстанавливаемых систем по своей дискретной и вероятностной структуре гораздо сложнее стандартных моделей' массового обслуживания. По этим причинам только для самых простых моделе-К восстанавливаемых систем удается получить замкнутые выражения для характеристик надежности. К счастью, для подавляющего числа реальных восстанавливаемых систем время восстановления элементов во .много раз меньше интервалов между соседними

отказами элементов. Это дает возможность исследовать надежность восстанавливаемых систем асимптотическими методами. Все вааесказанноа потребовало разработки собственных методов анализа восстанавливаемых систем.

• В 1965-80 гг. в основном в работах И.Н.Коваленко, А.Д.Соловьева и их учеников была разработана асимптотическая теория, позволяющая находить оценки характеристик надежности восстанавливаемых систем1*.

Современное состояние математической теории надежности изложено в монографии * Отметим, что в этой асимптотической теории основные аналитические трудности возникают при доказательстве так называемого "принципа монотононной траектории", согласно которому при "быстром" восстановлении элементов выход случайного процесса (процесс НО - это число или множество неисправных в момент г элементов) на высокий уровень происходит с вероятностью, эквивалентной единице, по

'^Соловьев А.Д. Резервирование с быстрым восстановлением// Изв.АН СССР, Техническая кибернетика.-1970,1

^Соловьев А.Д. Асимптотическое поведение момента первого наступлещ редкого события в регенерирующем процессе//Изв.АН СССР, Техническая кибернетика.-19716

3^Коваленко И.Н. Анализ редких событий при оценке эффективности и надежности систем.-М.: Сов. радио, 1980.

Вопросы математической теории надежности/ .¡О.Бразилович, 0.К.Беляев,'В.А.Каштанов, и др; Под ред. Б.В.Гнеденко.-!•!.: Радио и связь, "1983.

г

монотонной траектории, когда от момента выхода процесса из нулевого состояния и до момента попадания системы в неисправное состояние не успеет восстановиться ни один из отказавиих элементов.

Однако, во всех приведенных работах рассматривались системы с простыми отказами, т.е. системы, в которых в одни момент времени может произойти не более одного отказа. Это условие, по разным причинам, довольно часто нарушается на практике.

ЦЕЛЬ РАБОТа. Изучить модели надежности с кратными отказами. Получить эффективные асимптотические оценки для характеристик надежности таких систем.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертац.г; являются новыми. В диссертации решены следующие задачи:

1. Найдено предельное распределение времени до отказа ^восстанавливаемой системы с кратными отказами.

2. Для восстанавливаемых систем в условиях "быстрого ремонта" найдена асимптотическая оценка распределения момента первого отказа, при этом используется введенный в работе "пргнцип обратной монотонной траектории",

3. В условиях "быстрого ремонта" для восстанавливаемых систем найдены оценки времен пребывания системы в исправном состоянии. Все предельные теоремы для восстанавливаемых систем доказаны в равномерной форме, когда в предельном переходе меняются все параметры и распределения, задавшие процесс. Существенно и то, что теоремы доказаны при минимальных условиях, близких к необходимым.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Для анализа системы и.спользуются эсимптотические методы и методы теории массового обслуживания.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Результаты диссертации косят теоретический характер. .Предложении!! метод может Сыть использован для дальнейшего исследования надежности моделей сложных восстанавливаемых систем с кратными отказами. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам по теория надежности для оценки характеристик надежности конкретных систем.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на Ломоносовских чтениях (990 года, на семинаре "Вероятностные методы в технике" ( МГУ, механико-математический факультет, 1990), на научно-технической конференции молодых специалистов "Вопросы рац"энального использования природных, сырьевых и энергетических ресурсов европейского севера" (Архангельский лесотехнический институт,1991).

ПУБЛИКАЦИИ.Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приведен в конце автореферата'. Ра'-та [2)' является совместной статьей диссертанта и Л.Д.Соловьева, которому принадлежат постановка задачи и общая идея асимптотического анализа.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Работа состоит-из введения и трех глав, содержащих восемь параграфов и библиографии.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приводится краткий обзор результатов, относящихся к теме диссертации и изложены основные результаты диссертации.

В первой главе изучается модель невосстанавливаемой сисгемы с кратными отказами. Эволюция такой системы задается полумарковским процессом ге(*), который определяется так: вложенная цепь Маркова аек~ номера проходимых процессом

остояний- задается переходными вероятностями

время пребывания процесса 2(1) в состоянии 1 не зависит от ледующего за ним состояния и имеет функцию распределения 1<1). Отказ системы- это выход процесса за уровень п, время

э отказа

Vln/{ !>0: >>n I se(0>=0 ].

десь исследуется асимптотнчсеское поведение величины t при —>œ. Ради общности соответствующая предельная теорема оказывается в схеме серий. Поэтому переходные вероятности и эспределения, введение выше, снабжены индексом п. Основное гверждение этой главы сформулировавно в теорем« 1.1: эореиз 1.1, усть

(I) для всех и всех Un распределение случайной

такой,

зличины го

£n t задается функцией р| £n jii }=в|я, —

(la) для всех х^О В С г,■ )еС(0,1]

I

(1Ь) функция B„(r)= in/ ' B(l,l/)

V € t о, 1

является функцией

зспределения, и

х В(di)<и

о

(1Т) для всех п>1 и всех lin распределение случайной ¡личины v l=3elt1"'£l задается функцией распределения Ki }=П(к,—], такой, что

п

(Па) для всех к>0 П(к,*)еС10,1 ]

(IIb) функция- ü,(k)= Inf П(k,v) является функцие

»ito.n

распределения целочисленной случайной величин«, и

Обозначим a(i/) = |sB(di,v); сгЫ = о

tzB(ix,y)\ Ьг=сг (¡j)-аг (j/);

аЫ

П(к,у)-П(к-)

к:1

к= I

ГЫ = 7'Ы-аьЫ.

Тогда , если аЫ>0 для всех uifO.I), то

(п-ог)

иг

1

П-Ю

(2т)

1/г

е иу,

ГД8 [и

аЫ о(и)

и) „ [ Рг(и)Ьг(и)

-du; о£= -г-du.

и) J и (а)

Вторая и третья главы посвящены асимптотическому анализу восстанавливаемых системам с кратными отказами. Для удобства модель резервирования с восстановлением и кратными отказами описывается в терминах теории массового обслуживания, и ниже мн будем пользоваться этой терминологией.Рассматривается система массового.обслуживания, состоящая из г обслуживающих приборов и бесконечного,числа мь^т для ожидания. В систему поступает неординарный пу;' ооновский поток требований с интенсивностью

б

Число требований в одной группе есть случайная величина V

с распределением вероятностей, задаваемым производящей функцией

00

к=1

Время обслуживания одного требования есть случайная величина т} с функцией распределения В(г)=р| и математическим

ожиданием Ь=Ит).

Время обслуживания одного требования есть случайная величина т) с функцией распределения В(х)=р{т]$т} и математическим ожиданием

Ь=Мт).

Система считается исправной в данный момент, если число требований в системе в этот момент времени не превышает уровень п. Изучается распределение времени до первого отказа системы т^, а так же распределение интервалов исправного состояния системы.

Во второй главе рассмотрен случай одной ремонтной единицы (г=1).

Основным результатом второй главы является ТЕОРЕМА 2.4.

Если параметр К и распределение случайной величины т] меняются так, что

?

Хт] —» О

то

р{ } _

5*Хинчин А.Я, Вопросы по матемактической теории массового обслуживания.-М.-Физматгиз, 1963.

где коэффициент Q задается функцией

со. 11

■IV

в(Х.(1-П(г) )}

q (*)=> q„«n={1-n(ï))----, (1)

к = 0

в. р(и) - преобразование Лвпласа-Стильтьеса функции Б(г).

Если I • b ■ Mi'^5 < 1 , то процесс ae(t), равный числу требований в системе'в момент t будет зргодическим. Тогда для т^ - к-ого периода исправного состояния верна теорема 2.5

Если параметр Я и распределения случайных величин т) и v меняются так, что

Л-Ь-Mv<6<1,то

рК1'р| 1 Ьр {чч > * Ь р{ > *}

где Ск~ событие, заключающееся в том, что k-ый по счету отказ является последним на том периоде занятости, на котором он произошел. Из теоремы 2.5 легко следует теорема 2.6

Если параметр \ и случайные величины т) и v меняются так, что À *Ь■Mv<ô<),

и при этом то равномерно по к

\т] —» О,

Р{ AQn4 > х }

где 0П задается функцией (1).

В § 4 главы 2 рассмотрено обобщение системы на случай марковского входящего потока, в котором вероятность поступления групп« из к требований на интервале и,4 + ДО.при условии, что в момент « в системе находится 1 требований, не зависит от

прошлого поведения процесса обслуживания и равна

У~\(к.1) = 1.

г! ДЛЯ любого 1>0 2_-IÍ (к, i) = 1

к=1

]усть ¡Umax (\Q Д, Дг> . . Л ) . ГЕОРЕМА 2.7. i сли Х'Ь —> 0, то

Р{ }

Лде

п

» 1

р

и

0 i = o j=mt-i j стационарные вероятности р| "урезанного . процесса

)бслуживания", т.е. процесса, для которого для всех k>n Хк=0,и,

1ри условии, что в системе находится i требований, вероятность

юступления группы из (п-1+1) требований равна

оо

■»•I

1С' (П-1 + 1,1)= ) t(d.l)

1=п-1Н

1эходятся стандартными методами.

В третьей главе изучаются восстанавливаемые системы . с ;ратннми отказами для случая неограниченного' числа ремонтных ¡диниц (Г=и).

•предаление.Случайная величина т) с функцией распределения В(а)

х

:тремится К нулю ПО Хинчину, Т) -1 0 если для всех г>0

<0

'- ВЫби —* о

Ь ] г

сновным результатом третьей главы, является

ТЕОРЕМА 3,2

Если параметр X и случайные величин^ т| и V меняются так, что

х

А -г)' Мт —> (по Хиичину),

то

-I

где 0' определяется из функцией

п со

те

- егр|-\Ц-П(В(и) + гВ(и) |(3и}

п = 0 ' 0

Если Х-л-Нг —I О (по Хинчину), то процесс ае (1) будет

зргоднчвским. В этой случае можно показать, что случайные

величины х! имрят предел по распределению: 11 а

Тогда верна следующая ТЕОРЕМА 3.3

В условиях теоремы 3.2,

г* х.• о;• х• >3]

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Александру Дмитриевичу Соловьеву за постановку задачи и постоянное внимание к раб.оте.

РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ,

. Двинских С.Ф, Надежность системы с кратными отказами// естник МГУ,-1991-№3-С.63-64.

. Двинских С.Ф., Соловьев А.Д. Восстанавливаемые системы с ратными отказами.// Вестник МГУ 1991 в печати. . Двинских С.Ф. Надежность системы с кратными отказами и одним емонтцым устройством// Рук.деп.в ВИНИТИ-Л1595-В91, , Двинских С.Ф. Оценка надежности систем с кратными отказами и еограниченнымчислом ремонтных единиц// Рук.деп.в ВИНИТИ -I594-В91.

. Двинских С.Ф. Асимптотическая оценка времени безотказной зботы восстанавливыэсмых систем с кратными отказами// Тезисы жл, н.-т.к."Вопросы рационального использования природных, ¿рьевых и энергетических ресурсов европейского севара" 199!.