Методы построения и анализа динамических моделей манипуляционных систем роботов

Крахмалев, Олег Николаевич

Методы построения и анализа динамических моделей манипуляционных систем роботов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Крахмалев, Олег Николаевич АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Брянск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Методы построения и анализа динамических моделей манипуляционных систем роботов»

Автореферат диссертации на тему "Методы построения и анализа динамических моделей манипуляционных систем роботов"

На правах рукописи

005538686

Крахмалев Олег Николаевич

МЕТОДЫ

ПОСТРОЕНИЯ Н АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМ РОБОТОВ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

21 НОЯ 2013

Курск-2013

005538686

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Брянский государственный технический университет»

Научный руководитель доктор технических наук, доцент

Болдырев Алексей Петрович

Официальные оппоненты: Болотник Николай Николаевич,

член корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией робототехники и мехатроники Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук.

Безмен Петр Анатольевич,

кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической механики и мехатроники ЮЗГУ (г. Курск)

Ведущая организация Федеральное государственное бюджет-

ное учреждение науки Институт машиноведения им. A.A. Благонравова Российской академии наук (ИМАШ РАН)

Защита состоится 13 декабря 2013 г. в 10 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.105.01 при Юго-Западном государственном университете по адресу: 305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94 (конференц-зал).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Юго-Западного государственного университета.

Автореферат разослан 11 ноября 2013 г.

Учёный секретарь л

Диссертационного совета, /гЪ Л

Д 215.105.01 Угг' Лушников Борис Владимирович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Разработка методов построения и анализа динамических моделей манипуляционных систем и, в конечном счёте, методов и методик исследования их динамики, является актуальной задачей, способствующей внедрению компьютерных технологий в процессы проектирования роботов и робото-технических комплексов. Манипуляционные системы представляют собой исполнительные механизмы роботов. Структурная схема манипуляционной системы представляет собой разомкнутую кинематическую цепь, звенья которой соединены между собой шарнирами. Звенья приводятся в движение приводами через передаточные механизмы. При определении динамических нагрузок, возникающих в манипуляционных системах при их движении, используются динамические модели этих систем, представляющие собой математические модели, содержащие уравнения движения манипуляционных систем. Отметим основные недостатки известных методов построения динамических моделей манипуляционных систем роботов.

Традиционно используемыми при проведении проектных или проверочных расчётов являются методы, учитывающие влияние динамики путём прибавления дополнительной динамической (инерционной) добавки к основной эксплуатационной нагрузке. Эти добавки определяются с помощью коэффициентов динамичности, рассчитываемых эмпирическим путём или выбираемых из специальных графиков или таблиц. Недостатком этих методов является то, что они пригодны только для оценки критических состояний манипуляционных систем, но они не могут оценить динамическое влияние, возникающее при совместном движении всех или даже нескольких звеньев манипуляционной системы.

Большинство реализованных методов, учитывающих взаимовлияние звеньев, возникающее при их совместном движении, представляют манипуляционную систему системой абсолютно твёрдых тел. Уравнения движения такой системы определяют так называем)то программную траекторию движения характерной точки, связанной, как правило, с объектом манипулирования. Недостатком таких методов является заведомое несовпадение задаваемой (программной) и реальной траекторий движения ввиду того, что не учитываются упругие деформации, возникающие в реальной манипуляционной системе.

Известны методы, учитывающие упругую податливость в элементах манипуляционных систем, которые позволяют получать траектории движения близкие к реальным, однако в практических целях удобнее иметь программную траекторию и диапазон возможных: отклонений (динамических ошибок) от этой траектории, вызываемых упругой податливостью элементов системы.

Другим распространённым недостатком известных методов является недостаточность предоставляемых ими средств для проведения анализа влияния сил инерции на динамику манипуляционных систем. Как правило, этот недостаток является следствием ориентированности динамических моделей, используемых в этих методах, на проведение эффективных расчётов. Стремление к уменьшению

числа операций при проведении вычислений приводит к потере информации, необходимой для проведения такого анализа.

Установлено, что нагрузка на приводы манипуляционных систем определяется главным образом силами инерции, чем быстрее выполняется движение, тем выше инерционные нагрузки. Поэтому разработка методов, позволяющих выполнять анализ влияния сил инерции на динамику манипуляционных систем, является актуальной задачей, решение которой будет способствовать повышению быстродействия манипуляционных систем и снижению энергоёмкости процессов манипулирования.

Объект исследования. Объектом исследований, представленных в диссертации, являются манипуяяционные системы роботов. Рабочие органы (схваты) манипуляционных систем роботов не исследовались вследствие их многообразия. Исследование рабочих органов манипуляционных систем является самостоятельной прикладной задачей.

Предмет исследования. Предметом исследования в диссертации являются методы построения и анализа динамических моделей манипуляционных систем роботов. Динамическая модель манипуляционной системы - это математическая модель, содержащая уравнения движения манипуляционной системы.

Цель работы. Цель работы состоит в разработке методов построения и анализа динамических моделей манипуляционных систем роботов, позволяющих исследовать манипуляционные системы с жёсткими звеньями и упругими шарнирами, в том числе анализировать влияние сил инерции на динамику таких манипуляционных систем.

Задачи исследований. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать метод построения геометрической модели манипуляционных систем, представляющей собой математическую модель, отражающую пространственное положение манипуляционной системы с учётом всех имеющихся в ней связей. В математической модели предусмотреть разделение параметров, отражающих геометрию звеньев, и параметров, описывающих их относительное движение.

2. Разработать методику построения инерционной модели манипуляционных систем, представляющей собой математическую модель, отражающую распределение масс в манипуляционной системе и позволяющую моделировать распределение масс в каждом звене манипуляционной системы телами простой геометрической формы.

3. Получить уравнения движения манипуляционных систем как систем твердых тел с голономными связями (жёсткие манипуляционные системы), позволяющие решать прямую и обратную задачи динамики, а также анализировать возникающие силы инерции.

4. Разработать методику анализа влияния сил инерции на динамику манипуляционных систем.

5. Получить уравнения движения манипуляционных систем с упругими шарнирами, позволяющие определять малые упругие отклонения движения, воз-

никающие в таких системах, а также частотные уравнения, позволяющие определять собственные частоты и формы упругих колебаний.

6. Составить алгоритмы и разработать пакет прикладных программ для исследования динамики манипуляционных систем.

Методы исследовании!. Для описания закономерностей и связей в кинематике манипуляционных систем использовались матрицы преобразования однородных координат, а для изучения динамических процессов в манипуляцйонных системах уравнения Аппеля и Лагранжа 2-го рода.

При проведении численных исследований применялся разработанный автором пакет прикладных программ. С его помощью формировались уравнения движения, и выполнялось их решение с применением современных численных методов.

Достоверность результатов. Достоверность полученных в работе результатов обусловлена применением классических положений теоретической механики, строгостью математической постановки задач и подтверждается сопоставлением аналитических результатов с результатами численных расчетов, выполненных йа многочисленных тестовых примерах, а также сопоставлением результатов расчётов, получаемых на моделях, построенных на основе методик, разработанных другими авторами

Научная новизна и положения, выносимые на защиту:

1. Разработан метод построения геометрической модели манипуляционных систем, основанный на использовании двух систем координат, связываемых с каждым звеном манипуляционной системы, что позволяет разделить параметры геометрической модели манипуляционной системы, описывающие геометрию звеньев, и параметры, описывающие их относительное движение.

2. Разработан метод построения динамической модели жёстких манипуляционных систем роботов с учётом инерции приводов и характеристик двигателей, позволяющий учитывать инерционные свойства приводов в самом уравнении движения манипуляционной системы как исполнительного механизма, при этом уравнения приводов, отражающие их физические свойства, не используются.

3. Разработан метод построения динамической модели манипуляционных систем роботов с упругими шарнирами при малых деформациях, представляющей математическую модель манипуляционной системы с упругими шарнирами в виде трёх уравнений. Первое уравнение является уравнением движения жёсткой манипуляционной системы и определяет закон изменения обобщённых координат, задающих программную траекторию движения манипуляционной системы. Второе уравнение описывает колебательное движение манипуляционной системы около положения квазистатического равновесия при движении манипуляционной системы по программной траектории. Третье уравнение описывает квазистатические малые упругие отклонения манипуляционной системы в каждой точке её программной траектории.

4. Предложен новый подход для оценки влияния сил инерции на динамику манипуляционных систем, основывающийся на анализе ненулевых элементов матричных коэффициентов уравнения движения, отражающих возникающие силы инерции. При анализе ненулевых элементов матричных коэффициентов приме-

йены теоремы математического анализа и численные методы оптимизации, используемые для функций многих переменных.

Практическая значимость работы. Разработанные методы построения и анализа динамических моделей манипуляционных систем, как по отдельности, так и в комплексе, могут быть использованы в следующих областях:

1. При проектировании манипуляционных роботов и робототехнических комплексов, дополняя существующие методы и методики.

2. При создании автоматических систем управления манипуляционными роботами. Разработанные методы позволяют одновременно с расчётом программных траекторий производить оценку малых упругих отклонений от этих траекторий, возникающих за счёт упругой податливости шарниров.

3. В учебном процессе при организации практических и лабораторных занятий студентов, обучающихся по направлениям: «Прикладная механика» и «Меха-троника и робототехника».

Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсуждались на семинаре «Теория управления и динамика систем» Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН под руководством академика РАН Ф.Л. Черноусько (г. Москва, июнь 2011г.); на семинаре лаборатории машин-автоматов Института машиноведения РАН им. A.A. Благонравова под руководством профессора Б.И. Павлова, при участии H.A. Серкова, БЛ. Саламандра, Л.И. Тывеса (г. Москва, март 2013г.); на семинаре кафедры теоретической механики и мехатроники Юго-Западного государственного университета под руководством профессора С.Ф. Яцуна (г. Курск, март 2011г.); на семинарах лаборатории прикладной механики Брянского государственного технического университета (БГТУ) под руководством профессора Д.Ю. Погорелова (г. Брянск, февраль 2011г., январь 2013г.), на заседаниях кафедры «Динамика и прочность машин» (БГТУ) под руководством профессора Б.Г. Кеглина и профессора А.П. Болдырева; на конференциях:

- Ш Международной научно-практической конференции «Достижение молодых ученых в развитии инновационных процессов в экономике, науке, образовании», 10-12 октября 2011г., г. Брянск;

- XXI Международной инновационно-ориентированной конференции молодых учёных и студентов МИКМУС-2009,16-18 ноября 2009г., г.Москва;

- VIII Межреспубликанской студенческой научной конференции «Проблемы повышения прочности элементов машиностроительных конструкций», февраль 1990г., г. Пермь.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, включая 1 монографию, 11 статей, в том числе 5 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, а также 2 тезисов докладов.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, шести разделов, заключения, списка литературы из 188 наименований имеются приложения. Общий объём диссертации составляет 207 страниц, включая 75 рисунков и 3 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано краткое описание исследуемой области, обоснована актуальность темы исследований, сформулирована цель работы и определён объект исследования.

В первом разделе изложены основные понятия и методы построения динамических моделей манипуляционных систем, дан обзор работ по динамике манипуляционных систем. Проведен анализ методов составления уравнений движения манипуляционных систем, сформулированы задачи исследования и рассмотрены вопросы программирования движений манипуляционных систем.

Во втором разделе описан метод построения геометрической модели манипуляционных систем и представлены способы решения задач кинематики манипуляционных систем.

Геометрическая модель манипуляционных систем представляет собой математическую модель, позволяющую определять положение манипуляционных систем в абсолютной системе координат, жёстко связанной с её основанием. Для построения геометрической модели манипуляционных систем были использованы матрицы преобразования однородных координат размерности (4x4). Эти матрицы позволяют компактно записать кинематические соотношения в форме, удобной для компьютерного моделирования.

Использовшше двух систем координат для определения в пространстве положения звена манипуляционной системы позволяет разделить параметры геометрической модели манипуляционной системы, описывающие геометрию звеньев, и параметры, описывающие их относительное движение. Такое разделение может быть полезно в дальнейших исследованиях, связанных с изучением влияния отклонений параметров, описывающих геометрию, на динамику манипуляционных систем.

В третьем разделе рассмотрены вопросы динамики манипуляционных систем. Изложена методика построения инерционных моделей манипуляционных систем. На основе уравнения Лагранжа второго рода с применением матриц преобразования однородных координат представлен вывод уравнений, описывающих динамику жёстких манипуляционных систем, и представлен метод построения динамической модели таких манипуляционных систем с учётом инерции приводов и характеристик двигателей. Получено аналитическое выражение для определения обобщённых сил от действия внешних сил.

При построении инерционной модели каждое звено манипуляционной системы представляют в виде совокупности заранее определённых геометрических тел с равномерно распределённой массой. Используемые для моделирования геометрические тела или их объединения именуемые деталями размещаются в банке инерционных моделей (реляционной базе данных). В этом банке для каждого геометрического тела и детали получена и хранится в общем виде матрица инерции, вычисленная относительно системы координат, связанной с их центром масс. Каждому телу и детали банка ставится в соответствие код.

Для составления уравнений движения манипуляционных систем использовано уравнение Лагранжа 2-го рода, записанное для манипуляционных систем с применением матриц преобразования однородных координат и имеющее вид

<Ц ЭЕ

ЭЕ V-°<7,

ГЭА0Д „ дГ

—О.*

о?,

' (1)

где Нк - матрица (4x4) инерции к-го звена манипуляционной системы, А),к -матрица (4x4) преобразования однородных координат из системы связанной с к-м звеном, в абсолютную систему координат 50 , связанную с неподвижным основанием.

На основе уравнения (I), могут быть получены уравнения движения манипуляционных систем в виде

М?}+{?}г [с,м=а, .■=а,...,«),

Ш= .....9„Г ; {<?}= ;

(1хл) я _ _

дДи „ ЭЛГод —Ик-

Э,:

Ъ )

[СД^ХЫ, сщк =1г

ЭА„ „ дгА\.к

Э д, дд,дд)

, ] = (1,...,п);

(/, У = (!,...,*))

(2)

или в виде

[М&}+ [5]{д2}+ }= {О}, щ (г>7=(,,...,„)),

(Г.Хл) И . , /

<Цц т, ЭА'о.»

-Н

[$?)] = £[%], /г

дд,- " Э<73; )

, («, ; = (!,... .и));

,(».7 = 0.....«));

(3)

..........с.-^).

где / и / принимают значения порядковых сочета1шй из п элементов по 2, для соответствующих им индексов /.

Полную обобщённую силу, действующую на манипуляционную систему, будем обозначать вектором {2} размерности (пх1), элементами которого £>„,

являются суммы всех обобщённых сил, действующих на манипуляци-онную систему, по соответствующей обобщённой координате (д,):

Ш) = {(2р) + {<Эо} + Шп), (4)

где - вектор обобщённых сил, соответствующий внешним силам; во - вектор обобщенных сил, соответствующий силам тяжести; 2о - обобщённые силы, соответствующие усилиям (силам, моментам сил) Д, (=(1,...,п), развиваемым приводами.

Выражение для обобщённой силы соответствующей действию всех внешних сил имеет вид

или

, (6)

где К к и Мк ~ главный вектор и главный момент внешних сил ^ , действующих

на к-е звено, и Рмк - матрицы сил и моментов, , представляет собой единичный вектор относительного поворота 1-го звена.

Полученные аналитические выражения (4-6) для обобщённых сил, позволяют составить правую часть уравнения движения манипуляционных систем.

Уравнения (2) и (3) описывают динамику жёстких манипуляционных систем. Необходимо отметить, что при выводе этих уравнений не учитывалась инерция приводов.

Математическая модель, описывающая динамику манипуляционных систем с учётом инерции приводов, и позволяющая определять усилия Д, развиваемые на выходном валу двигателей приводов при условии, что привод каждого последующего звена устанавливается на предыдущем звене, имеет вид

Ш [Сщ]{рд}±2{рд}т [ССМД(1 -/;)<?}+{(1 - р)д}т [си,]{(1 -р)д}= ,

; = (7)

£2; — обобщённая сила, соответствующая обобщённой координате фу.

б, = А + бс, + бл. У = 21-1, 1 = (1,..., п), (8)

б; = От + би + б*. ] = Ъ., I = (1,..., п), (9)

где Д — усилие, развиваемое двигателем соответствующего привода.

При выврде уравнения (7) были введены обобщённые, координаты <р,, которые связаны с рбобщёнными координатами манипуляционной системы д! соотношениями (рис. 1)

9/ = Ф(2,!-1) + Фгг,1 = (!>■••.п), (10)

Ф(М-1)=Л4. ' (П)

Ф2/=(1 ~Р,к, (12)

где ф(2,-1) - угол поворота (2г'-1)-й системы

координат, связанной с г-м приводом, ф2,- -угол поворота 21-й системы координат, связанной с г'-м звеном, р1 — передаточное отношение /-го привода, п - число степеней свободы манипуляционной системы.

Матрицы коэффициентов, входящих в уравнения (7), имеют вид, аналогичный (2). Динамическая модель, основывающаяся на уравнениях (7-12), и рассмотренный в работе порядох составления этих уравнений определяют метод моделирования динамики манипуляционных систем роботов с учетом инерции приводов.

В четвёртом разделе проведен анализ матричных коэффициентов уравнения движения манипуляционных систем, отражающих влияние сил инерции.

Рассмотрена задача о движении двух связанных тел, в которой матричное уравнение движения исследуемой системы тел представлено в виде (3), что позволило разделить силы инерции на составляющие: матричные коэффициенты и векторы производных от обобщённых координат.

Практический результат рассмотренной задачи состоит в следующем:

1. На примере системы двух связанных тел обоснована возможность и целесообразность проведения анализа влияния сил инерции на динамику управляемых систем при планировании их траекторий движения.

2. Предложен подход, позволяющий оценить силы инерции, возникающие при движении системы двух связанных тел по различным траекториям, путём анализа матричных коэффициентов [Л/(<7)], [.%)] и [А'(<?)], получаемых при составлении уравнения движения в виде (3).

3. Проиллюстрирована возможность выбора оптимальных инерционных параметров системы связанных тел для обеспечения необходимого быстродействия и грузоподъёмности системы.

Прикладное значение рассмотренной задачи состоит в иллюстрации подхода к проведению анализа влняния сил инерции, возникающих в более сложных управляемых системах, содержащих более двух связанных тел, например в манипуляционных системах при их движении по различным траекториям.

Предложен новый подход для оценки влияния сил инерции на динамику манипуляционных систем, основывающийся на анализе ненулевых элементов матричных коэффициентов уравнения движения, отражающих возникающие силы инерции.

Рис. 1. Координаты ср.

Разработана методика анализа влияния сил инерции на динамику манипу-ляционных систем роботов, в которой для анализа ненулевых матричных коэффициентов уравнений движения предложено применять теоремы математического анализа и численные методы оптимизации функций многих переменных.

Так как элементы матричных коэффициентов [М], [5] и [К] уравнения (3) являются функциями обобщённых координат:

т,]= «г,/ф,...,<?„), 5,л,>(?!,.кш=кл(д 1,•••>?«)>

/¿=(1,...,п),/г=(1,...,С„2),

то при их анализе могут быть применены теоремы математического анализа и численные методы оптимизации, используемые для функций многих переменных.

Согласно теореме о необходимых условиях экстремума (минимума или максимума) функции многих переменных, для элементов матричных коэффициентов т,у, и кл в точках экстремума д, (¿=1,...,«) должны выполняться условия

^^ •

^Нч?;.....0=0, 4^(9,'....,?:)=о, -ч<7;,..,?;)=о, .....п>. <1з>

3?, щ, щ,

Аналитические выражения для частных производных матричных коэффициентов, составляющих уравнения (13), имеют вид

Э/я,

Эя » (

p-~I.tr

¿Я, Ы

ал э2д — *

Э д,

о,к . ТГ

¿Я^Я, ЪqJ

з лТ

Я,

Щ л х-=2,гг

'ЗА,.*

, эЧ* „ ~ + - 2 Ик

Эдг.Э <7

эчт

Я»

ММ,

(14)

(15)

(16)

Для нахождения экстремумов элементов матричных коэффициентов ту, я,; и и решения уравнений (13) могут быть использованы численные методы оптимизации, например метод Ньютона для безусловной минимизации функции многих переменных. В предположении, что функция/ (*(,..., х„) дважды дифференцируема в некоторой окрестности своего минимума/„,„=/ (Х|*,..., х„*), алгоритм поиска экстремумов на к-м шаге итерации может иметь вид

а2/к"'.....^1)/Аг(„1 э/(хГ....,хГ)

дх2 1-1 дх '

{х(к+1)}={х(к)}+{Лх(к)},

где {Ддс<4} - вектор (их1) разности промежуточных решений.

Кроме необходимых условий экстремума (13) по теореме о достаточности условия экстремума функции многих переменных требуется, чтобы наименьший не равный нулю дифференциал, начиная со второго, коэффициентов /л,,, и кш в точках экстремума был знакоопределённой величиной, т.е. положительно определён в точке минимума и отрицательно определён в точке максимума.

Для проверки условия достаточности экстремума в точке ((/,*,...,<7*)

иссле-

дуются квадратичные формы соответствующих функций ти, у,7 и кл, и=( 1.....п),

М1 ,..,С„2)

м-1 ¿<1Рддя

ЭАи

= Е "

я*

ЭЧ, , «Ни /7 эх*

3 \

э<7, * э^э^э^,

, н ЭЧГ> , эч, я эх,

^ч^д.,

.....и. ,

= 1Н

эх, ,ЗЧ,Я ЭХ, ;

* дд]ддрддя дд] к дд,ддрддя

, эч, „ эх, , эч, я эх,

—-=

Р ^ч

Гэд

= 1Н

эх* > эч, „ эх,

-^ д,---

-я*

Э<7, дд,дд,ддрддя Ъд,Ъд, 1 Ьд^д^д,

- +

эч,

ЭХ, эч,

Р ^ч

5 /(Г

ЭХ»

^__Я --и.» ^ " "О, я " "0.4

1дд,дд,ддч дд,ддя к дд,дд,ддр у

Анализ влияния сил инерции на динамику манипуляционных систем путём анализа ненулевых элементов матричных коэффициентов уравнения движения (3) позволяет доработать конструкцию манипуляционной системы при ее проектировании или скорректировать траекторию движения манипуляционной системы при ее программировании.

В пятом разделе представлен вывод и обоснование уравнений движения маиипуляционных систем с учётом упругой податливости, сосредоточенной в сочленениях (шарнирах) их звеньев. Рассмотрена задача определения собственных частот свободных упругих колебаний, возникающих в маиипуляционных системах.

Дифференциальное уравнение, описывающее движение манипуляционной системы с учётом возможных упругих отклонений обобщённых координат в направлениях их возможных изменений, может быть получено из уравнения (2) заменой вектора <7 (0 на вектор Д<?(г).

[М,(д + + Д?}+{? + Д?}Г[СД<7 + Д<7)К<7 + Д«?}= & ,/=(1.....п). (17)

Обобщённые силы , входящие в правую часть уравнения (17) имеют вид

(2,=<2к+<2с;+еп. (18)

Полагая, что упругие элементы сосредоточены в шарнирах, являются безынерционными и их деформации учитываются только в направлениях изменения соответствующих каждому шарниру обобщённых координат, будем иметь

= <2л • (19)

Обобщённые сипы 0>Р1, соответствующие силам, возникающим в упругих элементах при их деформации, в общем случае могут быть определены из потенциальной энергии деформации упругих элементов всей системы. Если упругая сила линейно зависит от Дд;, то

Ор^-ыАФ, 1 = (20)

где - коэффициент жёсткости 1-го шарнира.

Объединив уравнения (17), (18) и (20) в систему получим

[М, (д + Ад)1д + &д}+ {д + Д (? + Д^ + Ад}= Q¡J = (1,...„);

' = Оо, (<7>0 + Оа(Я + АЧ) + бл + АЯ),' = 0.-.»»);

1 (21)

=—ем.»=<1.....п).

Система уравнений (21) представляет собой динамическую модель манипуляционной системы с упругими шарнирами. Первое уравнение этой системы является нелинейным дифференциальным уравнением, два других - алгебраическими уравнениями. При определении матричных коэффициентов и обобщённых сил, входящих в уравнения системы, могут быть использованы выражения, полученные для жёсткой модели, сзаменой <&на <7, + Д<7,, 1=(1,...,и).

Уравнения свободных упругих колебаний манипуляционной системы около положения статического равновесия можно получить из уравнения (17) при условии {?}= 0, Ш= 0 и <2С, =0 , <2п=0.

=0,И1,...,П). (22) Если жёсткости в шарнирах велики, то упругие деформации можно считать малыми величинами и вторым слагаемым в уравнениях (22) можно пренебречь как величиной второго порядка малости.

\VtAqf = 0, ¿=(1, ...,„). (23)

Уравнения (23) можно преобразовать к матричному виду

[лф^+Ид^Ьо, (24)

где [Щ= diag (н'ь и>2,..., и>„) - диагональная матрица жёсткости.

Частотное уравнение, соответствующее уравнению (24) будет иметь вид

<1е1(И-А:2[м])=0. (25)

Учитывая вид матрицы [М\ и (25) может быть представлено в развёрнутом виде (поэлементно)

3^1 ' Э<7,

. д9г ' Ч ,

1-2 ^ о<72

¡.г ^ °Чг о?!

Мп одг

V 3-г, ддп ) I °Яг )

IV. -к2П

X» н д<

„ " дд.

= 0.

(26)

Уравнение (26) является частотным уравнением манипуляционной системы, а к- собственной частотой свободных упругих колебаний манипуляционной системы. В связи с положительной определённостью матриц [М\ и [IV] это уравнение всегда имеет п действительных положительных корней к{2, к22,..., кп2, среди которых могут быть и кратные.

Для манипуляционной системы с тремя степенями свободы (и=3) частотное уравнение (26), будет иметь вид

у9,-к2тп -к2тп ~к2тК -к2тгх п2-к2т22 -к2тТ -к2т,

— к2т,

Юз -кгтъъ

= 0.

(27)

Развернув определитель уравнения (27), имеющий порядок п=3, получим кубичное уравнение, содержащее неизвестную частоту к.

х3 +ах2 +Ьх+с = 0, х = к2, (28)

д _ -ПиЩЛ+пЛтиЩг-т,3т3| )+и>3(т,,тгг ~тпт21)

ти (т23т33 - т21т33)+тп (т21ш33 - т23тзх)+ш13(т22т31 - т21тзг)'

ь =_- Кгу2/п33 + \Уу\У3т22 + \У2УУ3ти)______

тп(т23т3з -тггтуз)+тп{т2хтгз -ш23т31)+ш13(тя22»131 -т2Хтзг)' с =___

тп{т23т33-т22т33)+тп{т2хт33-т23т31)+тп(т22т31 -ш21/и32) '

Корни хи х2, XI кубичного уравнения (28) могут быть определены, например численным методом.

Составление частотного уравнения (26) и нахождения корней этого уравнения способом, определяемым выражениями (27) и (28), составляют методику определения собственных частот и форм свободных упругих колебаний, возникающих в манипуляционных системах с тремя степенями свободы.

Если жёсткость упругих шарниров достаточно велика, то возникающие в них упругие смещения (деформации), определяющие упругие координаты, можно считать малыми величинами. В этом случае при определении каждой составной переменной в уравнении (17) необходимо складывать величины разного порядка малости. Используя метод малого параметра можно показать, что при малых упругих деформациях система уравнений (21) может бьггь представлена системой уравнений

[м,.(д)М+Ы7[сМ)Ш=йы +0а И1.....«);

< -,«); (29)

Во втором уравнении системы (29) учтено демпфирование с коэффициентом вязкости Ъ

Если для описания динамики жёсткой манипуляционной системы использовать уравнение (3), то можно показать, что математическая модель манипуляционной системы с упругими шарнирами при малых деформациях может быть представлена системой уравнений

[мм+И<?2}+ 2И<^}=}+{<2С}+{ел, ш о-,/=(!.-■•.")); '\мЬ'4<}+ }+ 2[к\чм' + ЧМ1 }= }- Л" },«¥Ш=(1,:,.,«));

[<2о}=-1Щ{Адь1 (30)

где [IV]- матрица жёсткости манипуляционной системы, [К] - матрица демпфирования, отражающая диссипацию энергии в шарнирах.

В шестом разделе рассмотрены на примере трёхзвенных манипуляционных систем методики моделирования динамики манипуляционных систем, разработанные на основе полученных динамических моделей манипуляционных систем, и представлен пакет прикладных программ для моделирования динамики манипуляционных систем роботов.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Результатом исследований, представленных в диссертации, являются полученные динамические модели манипуляционных систем роботов и разработанные на их основе методики моделирования динамики манипуляционных систем роботов.

1. Разработан метод построеши геометрической модели манипуляционных систем, основанный на использовании двух систем координат, связываемых с каждым звеном манипуляционной системы. В качестве математического аппарата для описания геометрии манипуляционных систем использованы матрицы (4x4) преобразования однородных координат, позволяющие выполнить запись кинематических соотношений в форме, удобной для компьютерного моделирования. Для проведения кинематического анализа манипуляционных систем разработаны алгоритмы решения прямой и обратной задач кинематики.

2. Разработана методика построения инерционной модели манипуляционных систем, позволяющая моделировать распределение масс (инерции) каждого звена манипуляционной системы телами простой геометрической формы на основе использования банка (реляционной базы) данных, содержащего матрицы инерции для таких тел, заданные в определённых осях. Структура банка моделей геометрических тел обладает достаточной общность,ю, допускает дальнейшее развитие включением новых моделей, как простейшей формы, так и сложных, комбинированных из других моделей.

3. Получены аналитические выражения для определения обобщённых сил соответствующих внешним силам, действующим на звенья манипуляционных систем.

4. Разработан метод построения динамической модели жёстких манипуляционных систем роботов с учётом инерции приводов и характеристик двигателей, позволяющий учитывать инерционные свойства приводов в самом уравнении движения манипуляционной системы как исполнительного механизма, при этом уравнения приводов, отражающие их физические свойства, не используются. В уравнениях движения, составляющих динамическую модель, выделены матричные коэффициенты, отражающие влияние сил инерции на динамику манипуляционных систем. Рассмотренные динамические модели обеспечивают решение прямой и обратной задач динамики манипуляционных систем.

5. Разработан метод построения динамической модели манипуляционных систем роботов с упругими шарнирами при малых деформациях, представляющий математическую модель манипуляционной системы с упругими шарнирами в виде трёх уравнений. Первое уравнение является уравнением движения жёсткой манипуляционной системы и определяет закон изменения обобщённых координат, задающих программную траекторию движения манипуляционной системы. Второе уравнение описывает колебательное движение манипуляционной системы около положения квазистатического равновесия при движении манипуляционной системы по программной траектории. Третье уравнение описывает квазистатические малые упругие отклонения манипуляционной системы в каждой точке её программной траектории.

6. Разработана методика определения собственных частот и форм свободных упругих колебаний, возникающих в манипуляционных системах с тремя степенями свободы.

7. Предложен новый подход для оценки влияния сил инерции на динамику манипуляционных систем, основывающийся на анализе ненулевых элементов матричных коэффициентов уравнения движения, отражающих возникающие силы инерции. Разработана методика анализа влияния сил инерции на динамику манипуляционных систем роботов.

8. Разработан пакет прикладных программ для моделирования динамики манипуляционных систем роботов.

9. Рассмотрены на примере трёхзвенных манипуляционных систем методики моделирования динамики манипуляционных систем, разработанные на основе полученных динамических моделей манипуляционных систем.

Основное содержание диссертации достаточно полно изложено в следующих опубликованных работах:

Публикации в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Крахмалев, О.Н. Моделирование отклонений движения манипуляционной системы стационарного робота с упругими звеньями [Текст] / О.Н. Крахмалев // В мире научных; открытий. -2010. -№4 (10), ч. 11. -С.43-44.

2. Крахмалев, О.Н. Моделирование движения манипуляционных систем с упругими звеньями [Текст] / О.Н. Крахмалев, А.П. Болдырев, Л.И. Блейшмидт // Вестник Брянского государственного технического университета, 2010 -№3 -С.31-38.

3. Крахмалев, О.Н. Моделирование обобщенных сил, действующих на звенья манипуляционных систем [Текст] / О.Н. Крахмалев, А.П. Болдырев // Вестник Брянского государственного технического университета, 2011 -№1 -С.115-121.

4. Крахмалев, О.Н. Исследование малых отклонений от программных движений манипуляционных систем с упругой податливостью, сосредоточенной в сочленениях звеньев [Текст] / О.Н. Крахмалев // Вестник Брянского государственного технического университета, 2011. -№4. -С.39-46.

5. Крахмалев, О.Н. Математическое моделирование динамики манипуляционных роботов [Текст] / О.Н. Крахмалев // В мире научных открытий. -2012. -№8.1 (32).-С. 51-59.

Публикации в прочих изданиях:

6. Крахмалев, О.Н. Математическое моделирование динамики манипуляцион-. ных систем промышленных роботов и крглов-манипуляторов: монография

[Текст] / О Н. Крахмалев. -Брянск: БГТУ, 2012. -200 с.

7. Блейшмидт, Л.И. Геометрия манипуляционных систем промышленных роботов [Текст] / Л.И. Блейшмвдт, О.Н. Крахмалев. - Брянск: БИТМ, 1990. -Деп. ВИНИТИ №1618-В91. -13 с.

8. Блейшмидт, Л.И. Вычисление кинематических параметров манипуляционных систем промышленных роботов [Текст] / Л.И. Блейшмидт, О.Н. Крахмалев. -Брянск: БИТМ, 1990. -Деп. ВИНИТИ №1617-В91. -14 с.

9. Блейшмидт, Л.И. Построение инерционной модели манипуляционной системы промышленного робота [Текст] / Л.И. Блейшмидт, О.Н. Крахмалев. -Брянск: БИТМ, 1990. -Деп. ВИНИТИ №1616-В91. -11 с.

10. Блейшмидт, Л.И. Уравнение движения манипулятора с упругими звеньями [Текст] / Л.И. Блейшмидт, О.Н. Крахмалев. - Брянск: БИТМ, 1990. -Деп. ВИНИТИ №1619—В91. -7 с.

11. Крахмалев, О.Н. Динамическая модель привода прыгающего робота с вращающейся массой [Текст] / О.Н. Крахмалев, Н.С. Парфенов // Ежегодная XXI Международная инновационно-ориентированная конференция молодых учёных и студентов МИКМУС-2.009. -Москва 2009. -С. 72.

12. Крахмалев, О.Н. Свободные упругие колебания в манипуляционных системах промышленных роботов [Текст] / О.Н. Крахмалев, Л.И. Блейшмидт // Материалы Ш Международной научно-практической конференции «Достижение молодых ученых, в развитии инновационных процессов в экономике, науке, образовании». -Брянск: БГТУ, 2011. -Ч. 1. - С. 35.

13. Крахмалев, О.Н. Методика анализа влияния сил инерции на динамику манипуляционных роботов [Текст] /О.Н. Крахмалев// Теория механизмов и машин, 2012.-№2 (20).-Том 10.-С.41-53.

14. Крахмалев, О.Н. Моделирование динамики манипуляционных систем роботов при малых упругих деформациях и диссипации в шарнирах [Текст] / О.Н. Крахмалев // Современные проблемы теории машин: Материалы I международной заочной научно-практической конференции/ Сиб. гос. индустр. ун-т. - Новокузнецк: Изд. цент СибГИУ, 2013. - С.122-124.

Подписано в печать 06.11.13. Формат 60*84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 118. Издательство Юго-Западного государственного университета 305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94 Отпечатано с готового оригинал - макета в лаборатории оперативной полиграфии ФГБОУ ВПО «Брянский государственный технический университет», 241035, г. Брянск, ул. Институтская, 16.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Крахмалев, Олег Николаевич, Брянск

ФГБОУ ВПО «Брянский государственный технический университет»

МЕТОДЫ

ПОСТРОЕНИЯ И АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМ РОБОТОВ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

(технические науки)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: д.т.н., доцент Болдырев А.П.

Крахмалев Олег Николаевич

Брянск - 2013

Оглавление

Введение....................................................................................................................................................................5

1 Состояние вопроса и задачи исследований....................................................................11

1.1 Основные понятия и методы построения динамических моделей манипуляционных систем............................................................................................................................11

1.2 Обзор работ по динамике манипуляционных систем ..............................................15

1.2 Анализ методов составления уравнений движения

манипуляционных систем............................................................................................................................17

1.4 Программирование движения манипуляционных систем....................................20

1.5 Постановка задач исследований................................................................................................................21

2 Кинематика манипуляционных систем..............................................................................23

2.1 Геометрическая модель манипуляционных систем........................................................23

2.2 Кинематические параметры манипуляционных систем............................................30

2.3 Обратная задача кинематики манипуляционных систем......................................32

2.4 Краткие выводы и результаты..........................................................................................................34

3 Динамика манипуляционных систем....................................................................................36

3.1 Инерционная модель манипуляционных систем..............................................................36

3.2 Механическая энергия манипуляционных систем........................................................40

3.3 Обобщённые силы......................................................................................................................................44

3.4 Уравнения движения манипуляционных систем............................................................50

3.5 Инерция приводов и характеристики двигателей........................................................58

3.5.1 Постановка задачи............................................................................................................................58

3.5.2 Геометрическая модель................................................................................................................58

3.5.3 Уравнения движения......................................................................................................................62

3.5.4 Характеристики двигателей....................................................................................................67

3.5.5 Анализ результатов................................................................................................................................68

3.6 Краткие выводы и результаты..........................................................................................................70

4 Анализ уравнений движения манипуляционных систем..................................72

4.1 Анализ уравнений движения......................................................................................................................72

4.2 Прямая и обратная задачи динамики....................................................................................................75

4.3 Анализ сил инерции в задаче о движении двух связанных тел........................77

4.3.1 Постановка задачи..............................................................................................................................77

4.3.2 Траектории движения....................................................................................................................81

4.3.3 Анализ сил инерции........................................................................................................................85

4.3.4 Итоги рассмотренной задачи..................................................................................................90

4.4 Анализ влияния сил инерции на динамику манипуляционных систем 93

4.5 Краткие выводы и результаты ......................................................................................................96

5 Моделирование упругой податливости

в манипуляционных системах............................................................................................................98

5.1 Динамическая модель манипуляционной системы

с упругими шарнирами........................................................................................................................................98

5.2 Свободные упругие колебания в манипуляционных системах..........................103

5.3 Уравнения движения манипуляционных систем

с упругими шарнирами при малых деформациях....................................................................107

5.3.1 Постановка задачи..................................................................................................................................107

5.3.2 Преобразования однородных координат......................................................................109

5.3.3 Вывод уравнений движения......................................................................................................112

5.3.4 Декомпозиция уравнений движения................................................................................117

5.3.5 Точность моделирования..................................................................................................................121

5.4 Краткие выводы и результаты..........................................................................................................124

6 Исследование динамики манипуляционных систем..............................................126

6.1 Комплексное исследование динамики манипуляционных систем................126

6.2 Исследование влияния сил инерции на динамику

манипуляционных систем............................................................................................................................150

6.3 Алгоритмизация методик моделирования динамики

манипуляционных систем..................................................................................................................................159

Заключение............................................................................................................................................................166

Список литературы..........................................................................................................................................................168

Приложение А. Банк инерционных моделей............................................................................185

Приложение Б. Пакет прикладных программ..........................................................................188

Приложение В. Акты внедрения ........................................................................................................206

Введение

Эффективным средством комплексной автоматизации производственных процессов в промышленности являются робототехнические комплексы (РТК). Главное отличие РТК от автоматических линий, традиционно используемых в массовом производстве, заключается в их способности быстро перенастраиваться на выполнение новых технологических операций. Создаваемые на основе РТК гибкие автоматизированные производства (ГАП) широко применяют в промышленности [5, 6, 9, 51, 145].

Промышленный (манипуляционный) робот, входящий в состав РТК, представляет собой машину, основное назначение которой состоит в перемещении своего рабочего органа в пространстве по заданной траектории. Поэтому среди систем (исполнительной, управляющей и информационно-сенсорной), входящих в состав такого робота, исполнительная система имеет определяющее значение. Исполнительная система, иначе называемая по своему функциональному назначению манипуляционной системой, представляет собой механизмы, обеспечивающие перемещение рабочего органа робота. Такими механизмами являются манипулятор, приводы, передаточные механизмы и рабочий орган (схват) [8, 11, 31,78,130, 138, 164].

В составе РТК роботы выполняют движения, которые могут быть заданы двумя способами: программированием или обучением. При программировании управляющую программу составляют, используя динамическую модель робота, и затем заносят в его устройство управления.

Перед программированием осуществляют планирование траекторий движения [21, 28, 29, 36, 48, 86, 104, 110, 118, 127] и определяют влияние динамики на усилия развиваемые приводами роботов.

Методы программирования роботов, используемые до начала их движения, относят к Off-line программированию. Методы программирования, используемые

системами управления для регулирования движения роботов, относят к On-line программированию [28, 36, 37,49, 59, 101, 114, 120, 128, 136].

Манипуляционные системы, кроме промышленных роботов, составляют функциональную основу кранов-манипуляторов. Краны-манипуляторы - это стреловые грузоподъёмные машины, используемые для погрузочно-разгрузочных, транспортных и складских работ и, как правило, устанавливаемые на мобильную платформу [84].

Объект исследования. Объектами исследований, представленных в диссертации, являются манипуляционные системы роботов. Рабочие органы (схваты) манипуляционных систем роботов не исследовались вследствие их многообразия. Исследование рабочих органов манипуляционных систем является самостоятельной прикладной задачей [75, 156].

Предмет исследования. Предметом исследования в диссертации является разработка методов построения и анализа динамических моделей манипуляционных систем роботов.

Большинство реализованных методов [10, 17, 30, 33, 34, 44-46, 55, 102, 125, 133-135, 137, 182-184] представляют манипуляционную систему системой твёрдых тел (СТТ). Уравнения движения такой системы определяют заданную траекторию движения манипуляционной системы. Недостатком таких методов является несовпадение заданной и реальной траекторий движения, вследствие того, что в СТТ не учитываются упругие деформации, возникающие в элементах манипуляционной системы. Отклонения от заданной траектории движения из-за упругих деформаций не могут быть даже оценены.

Недостатком указанных методов является также ограниченность имеющихся в них средств необходимых для проведения анализа влияния сил инерции на

W\ i К»

Ч, v I

I'O I I,

». I'*'

•ffV«,

', v

r i |

v ' j ," /

m'K

V If

-it}, '„4 , iI >}•»

V I

динамику манипуляционных систем. Как правило, этот недостаток является следствием ориентированности динамических (математических) моделей, используемых в этих методах, на проведение эффективных расчётов.

Методы [35, 42, 64, 92, 108, 141-143, 157, 158, 160], учитывающие упругую податливость в элементах манипуляционных систем, позволяют получать траекторию движения промышленных роботов близкую к реальной. Однако с практической цели более удобно иметь заданную траекторию и диапазон возможных отклонений (динамических ошибок) от этой траектории, вызываемых упругой податливостью элементов манипуляционной системы.

Задачи исследований. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать метод построения геометрической модели манипуляционных систем. В математической модели, описывающей геометрию манипуляционных систем, предусмотреть разделение параметров, отражающих геометрию звеньев, и параметров, описывающих их относительное движение.

2. Разработать методику построения инерционной модели манипуляционных систем, позволяющую моделировать распределение масс каждого звена манипуляционной системы телами простой геометрической формы.

4. Разработать методику анализа влияния сил инерции на динамику манипуляционных систем.

5. Получить уравнения движения манипуляционных систем с упругими шарнирами, позволяющие определять малые упругие отклонения движения, возникающие в таких системах, а также частотные уравнения, позволяющие определять собственные частоты и формы упругих колебаний.

Методы исследований. В диссертационной работе для описания кинематики манипуляционных систем использовались матрицы (4x4) преобразования однородных координат, а для составления уравнений движения применялись уравнения Аппеля и Лагранжа второго рода.

Достоверность результатов. Достоверность полученных в работе результатов обусловлена применением классических положений теоретической механики, строгостью математической постановки задач и подтверждается сопоставлением аналитических результатов с результатами численных расчетов, выполненных на многочисленных тестовых примерах, а также сопоставлением результатов расчётов получаемых на моделях, построенных на основе методик разработанных другими авторами.

Положения, выносимые на защиту и научная новизна:

2. Метод построения динамической модели жёстких манипуляционных систем роботов с учётом инерции приводов и характеристик двигателей, позволяющий учитывать инерционные свойства приводов в самом уравнении движения

Л11'

г Iй

■и

1 г f '

к ^

с ,т

"И-,

I «л

I с

1 1

♦ л

манипуляционной системы как исполнительного механизма, при этом уравнения приводов, отражающие их физико-химические свойства, не используются.

3. Разработан метод построения динамической модели манипуляционных систем роботов с упругими шарнирами при малых деформациях, представляющий динамическую модель манипуляционных систем с упругими шарнирами в виде трёх уравнений. Первое уравнение является уравнением движения жёсткой манипуляционной системы и определяет закон изменения обобщённых координат, задающих программную траекторию движения манипуляционной системы. Второе уравнение описывает колебательное движение манипуляционной системы около положения квазистатического равновесия при движении манипуляционной системы по программной траектории. Третье уравнение описывает квазистатические малые упругие отклонения манипуляционной системы в каждой точке её программной траектории.

■'ЧУ,

! 1

О ¡и

* 1 М

# и

ЛГ

и ( |

л/, Л

и V

Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсуждались на семинаре лаборатории робототехники и мехатроники Института проблем механики РАН им. А.Ю. Ишлинского под руководством академика РАН, профессора Ф.Л. Черноусько, чл.-корр. РАН, профессора H.H. Болотника, профессора В.Г. Градецкого (г. Москва, июнь 2011г.); на семинаре лаборатории машин-автоматов Института машиноведения РАН им. A.A. Благонравова под руководством профессора Б.И. Павлова, при участии H.A. Серкова, Б.Л. Саламандра, Л.И. Тывеса (г. Москва, март 2013г.); на семинаре кафедры «Теоретической механики и мехатроники» Юго-Западного государственного университета под руководством профессора С.Ф. Яцуна (г. Курск, март 2011г.); на семинарах лаборатории прикладной механики Брянского государственного технического университета (БГТУ) под руководством профессора Д.Ю. Погорелова (г. Брянск, февраль 2011г., январь 2013г.), на заседаниях кафедры Динамика и прочность машин (БГТУ) под руководством профессора Б.Г. Кеглина и профессора А.П. Болдырева; на конференциях:

- III Международной научно-практической конференции «Достижение молодых ученых в развитии инновационных процессов в экономике, науке, образовании», 10-12 октября 2011г., г. Брянск;

- XXI Международной Инновационно-ориентированной конференции молодых учёных и студентов МИКМУС-2009, 16-18 ноября 2009г., г.Москва;

- VIII Межреспубликанской студенческой научной конференции «Проблемы повышения прочности элементов м