Методы реалистического описания систем с сильными корреляциями и нелокальностью тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.09 ВАК РФ
|
Рубцов, Алексей Николаевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2009
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.09
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Физический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова кафедра квантовой электроники
На правах рукописи
Рубцов Алексей Николаевич
Методы реалистического описания систем с сильными корреляциями и нелокальностью
01.04.09 - физика низких температур
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
О 9 АПР 2003
Москва - 2009
003466404
Работа выполнена на физическом факультете
Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
Официальные оппоненты:
д.ф.-м.н., профессор
Анисимов Владимир Ильич
д.ф.-м.н., член-корреспондент РАН
Арсеев Петр Иварович
д.ф.-м.н., профессор
Ведяев Анатолий Владимирович
Ведущая организация:
Институт физических проблем им. П.Л. Капицы
Защита состоится 16 апреля 2009 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.70 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова, по адресу: Москва, Ленинские горы 1, стр. 35, конференц-зал центра коллективного пользования физического факультета МГУ
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета
Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по адресу: Москва 119991 Ленинские горы 1, физический факультет МГУ, ученому секретаря диссертационного совета Д 501.001.70 Плотникову Г.С..
Ученый секретарь диссертационного совета,
д.ф.-м.н., профессор Плотников Г.С.
МГУ.
Автореферат разослан
марта 2009 г.
Общая характеристика работы
Актуальность работы Экспериментальный прогресс в области сканирующей туннельной микроскопии (СТМ), исследовании фотоэмиссии (включая спектроскопию с угловым разрешением, ARPES) и других спектроскопических методов позволяет получать существенную информацию об электронных и структурных свойствах нанообъектов. Физики научились манипулировать микрочастицами вплоть до уровня отдельных атомов, что открывает принципиальную возможность конструирования наноструктур с наперед заданными свойствами. При этом, особенный интерес представляют исследования свойств систем с сильными электронными корреляциями при низких температурах, необычные свойства которых обусловлены физикой низкоэнер-гстических многочастичных электронных возбуждений.
Однако, этот прогресс в сильной степени сдерживается отставанием теоретических и расчетных методов: серьезную проблему представляет количественно точное описание электронных свойств многих экспериментально реализованных наносистем, даже имеющих сравнительно простую структуру. В этом контексте можно упомянуть так называемые квантовые кораллы, квантовое изображение магнитного атома, кобальтовые кластеры на углеродных нанотрубках и другие объекты. В частности, СТМ-экспсримеиты с кластерами из атомов Cr и Со на поверхности Au(lll) 1 демонстрируют сложную связь между числом атомов, их взаимным расположением и наличием Кондо-пика на уровне Ферми системы. Спектр одиночного атома Со содержит такой пик, а спектр атома Cr - нет. Димеры как атомов Cr, так и Со Кондо-резонанса не показывают. Наличие пика в спектре тримеров Cr зависит от геометрии взаимного расположения атомов. Теоретический анализ и чиелен-
'Т. Jamncala, V. Madhavan, and M.F. Crommie, Phys. Rev. Lett. 87 256804 (2001).
ные расчеты указанных систем должны принципиальным образом включать в рассмотрение эффекты межэлектронных корреляций. Это сразу означает недостаточность таких методов расчета, как, например, метод функционала плотности.
Учет электронных корреляций необходим также при описании объемных свойств материалов с частично заполненными внутренними оболочками. Можно упомянуть такие системы, как высокотемпературные сверхпроводники 2 и магнетики с делокализованными электронами 3.
Некоторые многочастичные эффекты могут быть учтены и рамках простых моделей, таких как модели Андерсона и Кондо, однако, в этом случае модели не содержат конкретной информации о соединениях и, соответственно, расчеты не могут количественно описывать экспериментально наблюдаемые свойства реальных структур.
Цель диссертационной работы Основной задачей диссертации является построение методов реалистического описания систем с сильными электронными корреляциями. Под реалистическим понимается количественно точное описание в диапазоне параметров задачи, соответствующем экспериментальной ситуации (в противоположность модельному описанию, предполагающему выбор вида и параметров модели, допускающий возможность точного решения или построения теории возмущений по тому или иному малому параметру). В соответствии с установившейся терминологией, сильнокоррели-ванными называют системы, в которых характерная величина кулоновского взаимодействия электронов сравнима с шириной зон. Основные требования к развиваемым аналитическим и численным методам состоят в следующем. Во-первых, существенно необходимым является включение в теорию много-
2D.J. Scalapino, Phys. Rep. 250 329 (1994)
3T. Moriya, Spin Fluctuations in Itinerant Electron Magnetism T. - Berlin : Springer, 1985.
электронных эффектов в низкоэнергетической области спектра, соответствующей случаю низких температур. Во-вторых, поскольку коррелированные оболочки являются многоорбитальпыми, теория должна быть пригодной для описания термовых эффектов для таких оболочек. В-третьих, поскольку во многих экспериментально важных системах существенны корреляции электронов, находящихся на различных узлах решетки, теория должна описывать такие нелокальные эффекты. Наконец, точность развиваемых методов должна быть достаточной, чтобы рассматривать (хотя бы в перспективе) возможность прямого сравнения результатов иервопринцшшых расчетов с экспериментальными данными. Представленные в диссертации подходы решают эти задачи, открывая, таким образом, новое научное направление - реалистическое описание нелокальных эффектов в системах с сильными корреляциями.
Научная новизна В работе представлено два новых взаимодополняющих метода - метод дуальных переменных и квантовый метод Монте-Карло в непрерывном времени. Эти методы в совокупности позволяют количественно точно определять свойства решеточных моделей с кулоновским взаимодействием на узле.
Хотя решеточные модели являются базовыми для описания систем с коррелированными электронами, задача анализа их свойств до сих пор представляет существенные трудности. Это связано, с одной стороны, с неприменимостью асимптотических разложений, построенных вблизи пределов сильной и слабой связи и. с другой стороны, с невозможностью прямых численных расчетов на решетке из-за проблемы экспоненциальной сложности известных алгоритмов. Автору представляется, что в этой ситуации следует использовать приближения, позволяющие непрерывным образом интерполировать между предельными случаями, допускающими явный анализ.
Такие интерполирующие теории действительно известны. Они представ-
ляют собой комбинированные схемы, в рамках которых решеточная задача приближенно сводится к проблеме одного коррелированного узла, помещенного в эффективное окружение с гауссовой статистикой (так называемая примесная задача). Предполагается, что задача определения свойств примесной задачи гораздо проще расчетов для решетки. Корректное поведение таких схем в предельных случаях гарантируется их построением.
Поскольку наиболее интересные и важные эффекты в спектрах квазичастиц связаны со спиновыми и орбитальными флуктуациями, требуется использование приближений, в которых собственная энергия зависит от частоты. Включение в рассмотрение эффектов временной дисперсии приводит к динамическому приближению среднего поля (DMFT) 4 . Физически, основное приближение DMFT заключается в предположении о том, что корреляции в системе локализованы в пространстве (то есть, на узле решетки), но нелокальны во времени.
Применительно к методу DMFT можно поставить два вопроса. Во-первых, необходимо указать, каким именно образом решать примесную задачу. Во-вторых, необходимо определить, в какой мере оправданным является предположение о пространственной локализации корреляций и рассмотреть возможные обобщения. Решению этих вопросов и посвящена диссертация.
Предложенный в диссертации квантовый метод Монте-Карло в непрерывном времени (CT-QMC) - новый метод численного решения примесной задачи. основанный на случайных блужданиях в пространстве членов ряда теории возмущений по степеням взаимодействия. В отличие от использовавшегося ранее алгоритма Хирша-Фая, предложенный метод не содержит иску-ственной дискретизации времени и вводимых посредством преобразования
4 A. Georges, G. Kotliai, W. Krauth, and M.J. Rozenberg, Rev. Mod. Phys. 68 13 (1990); V. I. Anisimov, A. I. Poteryaev, M. A. Korotin, A. 0. Anokhin, and G. Kotliar, J. Phys.: Condens. Matter. 9 7359 (1997).
Хаббарда — Стратоновича классических нолей. Это позволяет избавиться от систематической ошибки в полученном результате и рассматривать системы со взаимодействием, нелокальным в пространстве спиновых и орбитальных индексов. Последнее является принципиальным для корректного учета вращательной симметрии коррелированных оболочек. Алгоритм был предложен в 2004 году; в последующие годы появились и другие родственные методы, в частности использующие случайные блуждания по степеням гибридизации В настоящее время алгоритмы семейства ct-qmc стали стандартным методом решения примесных задач.
Далее, в настоящее время наиболее распространенным методом описания пространственной нелокальное™ является использование так называемых кластерных методов, подразумевающих решение примесной задачи для состоящего из нескольких атомов решетки кластера. Кластерные методы страдают рядом недостатков; в частности, потерянной оказывается дальнодейству-кицая часть корреляций, отвечающая, например, за такие эффекты, как перенормировку электронного спектра в окрестности сингулярностей вап Хова или формирорование латтинжеровской жидкости в низкоразмерных системах. В диссертации предложен новый подход к проблеме пространственной нелокальности корреляций - метод дуальных фермионов, свободный от указанного недостатка. Этот метод представляет собой диаграммную технику специального вида, в которой результат метода DMFT является нулевым приближением теории. Последующие диаграммные поправки позволяют строить регулярное разложение, включающее одновременно близко- и дальнодсйству-юшую часть корреляций
Развитые методы позволили также получить ряд новых результатов, относящихся к анализу конкретных моделей. В частности, объяснено появле-
SP. Werner, A. Comanac, L. do' Medici, M. Troycr, and A. J. Millis, Phys. Rev. Lett. 97, 076405 (2006).
ние/исчезновение Кондо-пика в плотности состояний тримеров магнитных атомов на металлической подложке в зависимости от геометрии тримера. Рассмотрены свойства изоляторной фазы УгОз; описан феномен анизотропного разрушения поверхности Ферми ВТСП-керамиках; исследована и объяснена фазовая диаграмма дискретной модели.
Практическая значимость Развитые в диссертации методы имеют хорошую перспективу применения для задач квантовой химии и физики коррелированных наноструктур, поскольку позволяют говорить об имеющих предсказательную силу расчетах электронных свойств таких объектов.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
1. Разработан новый алгоритм численного моделирования систем сильнокоррелированных фермионов - квантовый метод Монте-Карло в непрерывном времени (СТ-С^МС). В программе используется случайное блуждание по членам ряда теории возмущений в представлении взаимодействия. Метод не включает вспомогательных бозонных полей и не использует дискретизации времени.
2. Программа, реализующая алгоритм СТ-С^МС, позволяет проводить расчеты для негамильтоновых систем с несколькими электронными орби-талями и для оператора взаимодействия, нелокального в пространстве координатных, спиновых и орбитальных индексов. В проведенных расчетах функции Грина на частотах Мацубары была достигнута точность на уровне 10"3 и выше, что позволяет разрешать особенности электронного спектра с точностью около 5-10% для положения и 20-30% для амплитуды пиков для систем с температурой 100-300 К.
3. По результатам тестовых расчетов для систем с диагональным операто-
ром взаимодействия, CT-QMC по сравнению с использовавшимся ранее алгоритмом Хирша-Фая G, обеспечивает уменьшение требуемого числа операций в 3-5 раз и улучшение показателя спадания среднего знака на 20 %, что позволяет моделировать системы при температурах 100 К и ниже.
4. С использованием метода CT-QA4C проведено моделирование коррелированного тримера па поверхности металла; получены графики плотности состояний. Показано, что для объяснения подавления Кондо-резо-ианса, экспериментально наблюдаемого в кластерах Cr на поверхности Au, необходимым условием является учет недиагональных матричных элементов гейзенберговского оператора обмена.
5. Развит новый подход - метод дуальных переменных - позволяющий регулярным образом учитывать эффекты пространственной нелокальности сильных электронных корреляций. Метод основан на переходе к ансамблю новых переменных, при этом локальная часть корреляций учитывается непосредственно в процедуре замены переменных. В предельных случаях слабой и сильной связи теория содержит явный малый параметр, а в промежуточной области может быть описана как диаграммная техника, описывающая нелокальные поправки к результату динамического приближения среднего поля.
6. Рассмотрены эффекты пространственной нелокалыгости корреляций в модели Хаббарда без допирования. Показано, что эти эффекты играют наибольшую роль на начальных стадиях формирования антифер-ромагиитпой псевдощели. По сравнению с расчетом в пренебрежении нелокальными корреляциями, учет первых членов лестничного ряда ду-
°J. Е. Hirsch and R. М. Fye, Phvs. Rev. Lett. 56 2521 (1986).
альных диаграмм для модели Хаббарда с параметрами [/ =1.0, £ = 0.25, /? = 20 позволил улучшить точность определения локальной плотности состояний в 3-4 раза (приблизительно, от 20 до 5%).
7. Показано, что феномен анизотропного разрушения поверхности Ферми в купратах связан с эффектами пространственной нелокальное™ корреляций. Учет первой нелокальной поправки к динамическому приближению среднего поля для < — модели Хаббарда с допированием 14% позволяет качественно описать экспериментально наблюдаемую картину частичного разрушения поверхности Ферми в антинодальном направлении при параметрах модели V = 4.0, £ = 0.25, I' = —0.075,/3 = 80 (что соответствует температуре около 140 К).
8. Развит метод описания моделей решеточных степеней свободы, основанный на перенормировке теории в терминах восприимчивостей одно-узельной задачи. Метод применим для переходов типа 'порядок-беспорядок', 'мягкая мода' и в промежуточной области. Нулевой порядок теории воспроизводит результат приближения среднего поля. Учет первой поправки позволяет улучшить точность вычисления критической температуры (в случае температурных флуктуаций) и критической массы (в случае нулевых квантовых флуктуаций) дискретной ф4 модели с примерно 30% до 0-7 % (в зависимости от типа перехода).
9. Развит аналог метода дуальных фермионов для классических решеточных моделей с локализованной нелинейностью. На его основе построен метод ренормализационной группы, включающий переход к новым переменным на каждом шаге ренормгруппового преобразования. В случае трехмерной модели Изинга, нулевое (гауссово) приближение метода оказывается совместимым с гипотезой подобия и воспроизводит значения
критических индексов с точностью около 1%.
Структура и объем диссертации Текст диссертации включает вступление, четыре главы и заключительные разделы. Общий объем диссертации — 179 страниц, без учета 26 рисунков, вынесенных на отдельные листы. Список цитированной литературы включает 101 наименование.
Содержание работы
Глава 1 представляет собой введение в проблемы теории систем с сильными электронными корреляциями и обзор работ, имеющих наибольшее значение для темы диссертации. Основной упор делается на вопросе реалистичности теоретического описания. Под реалистическим понимасстся количественно точное описание в диапазоне параметров задачи, соответствующем экспериментальной ситуации (в противоположность модельному описанию, предполагающему выбор параметров модели, допускающий возможность построения теории возмущений по тому или иному малому параметру). В соответствии с выбранной парадигмой, важность представляет метод динамического среднего ноля (БМРТ) — приближение, позволяющее свести исходную задачу на решетке к задаче об одном коррелированном узле в эффективном окружении. Это приближение за последние 15 лет стало основным методом анализа систем с сильными электронными корреляциями. В работе проанализирована физическая природа, достоинства и недостатки метода, и поставлено два основных вопроса — вопрос улучшения алгоритмов решения примесной задачи и вопрос построения теории возмущений, стартующей с БМЕТ и учитывающей нелокальность корреляций в системе.
Глава 2 посвящена формулировке и практическому применению нового типа алгоритмов для решения примесной задачи — квантовому методу
Монте-Карло в непрерывном времени (СТ-СЗМС). В отличие от использовавшихся ранее алгоритмов, предложенный метод не содержит искуствен-ной дискретизации времени и вводимых посредством преобразования Хаб-барда—Стратоновича классических полей. Это позволяет избавиться от систематической ошибки в полученном результате и рассматривать системы со взаимодействием, нелокальным в пространстве спиновых и орбитальных индексов. Последнее является принципиальным для корректного учета вращательной симметрии моделируемых систем.
Рассмотрим ансамбль фермионов с парным взаимодействием. В случае негамильтоновой системы, статистическую сумма можно представить в виде:
Z = ТгГе-5, (1)
5 = / ¡^4,сЧг(1г' + / / / ¡т^с^с^йгф^г^.
Разделим действие на гауссову часть 5о и взаимодействие IV следующим образом
^ = (2) «о = $ I (< + 11 + «Йг ¿г,сг (№',
П = ИП^Ы'/1 - - а^йпйг'^йг',.
Здесь обобщенная координата г = {г, сг, _/} представляет собой комбинацию непрерывного аргумента - мнимого времени г - и дискретных индексов а,], нумерующих, соответственно, проекцию спина и узлы решетки. Интегрирование по г определено естественным образом: _[ ¿г = /о Величины агг, представляют собой, в общем случае, функции обобщенных координат. Их значения не входят в полное выражение для действия 5о + IV, однако надлежащий выбор в дальнейшем позволяет оптимизировать структуру рядов теории.
Рассмотрим \V в качестве возмущения и запишем разложение Z по степеням W в представлении взаимодействия:
ПО со
Z=Y,Zk = ESdnSdr[...$ dr2k J dr'2knk(rh ri, ...,r2ky2k), (3) b=0 fc=0
O, — 7nizD!„/>rs . . ,,,Г«-1Г2* Г)ПГг...ггк
lik — ZJ 0—Шг,г2 ■■• wTik-\rikUrilT'2...T'2It-
Здесь = TrTe~s° — стат. сумма гауссовой системы, а величины D определены как средние следующего вида:
Up-p* =< сп - ар) •... • (<£ сГ24 - >0 . (4)
1" 2к Х Г1 Г1 4 r2fc 4
Здесь символ < >о означает усреднение по гауссовому ансамблю, то есть < ... >= Zg1TrT...e~So. Заметим сразу, что гауссов характер So позволяет выписать явные формулы для величины D; технически, вычисление D сводится к расчету детерминанта матрицы 2к х 2к.
Выписанные формулы можно представить в более компактной форме. Заметим, что порядок аргументов в подынтегральных выражениях не важен, то есть величины Гiк остаются неизменными при перестановках аргументов вида rj,7V,ri+i,r;»+i *-* rj,rjt,rj+\,rji+i. Это означает возможность ввести величину К, которую мы будем называть состоянием системы, и которая представляет собой комбинацию порядка разложения к и неупорядоченный набор из к четверок координат операторов. В этой нотации можно записать
Z =
f1KD{K], Qk = k\Qk
где $ 0[К] подразумевает интегрирование но всем возможным реализациям неупорядоченного набора четверок координат для каждого заданного порядка разложения к, и последующее суммирование по всем к.
Полностью аналогично можно записать и формулы для средних, в част-
ности для функции Грина:
= г-1
дкпко[к}. (5)
Несмотря на то, что выражение (5) выглядит довольно формально, оно может быть непосредственно использовано для организации вычислений методом Монте-Карло. Идея алгоритма состоит в организации марковских случайных блужданий в пространстве всех возможных К. Обратим внимание на некоторую необычность ситуации, состоящую в том, что К представляет собой множество с переменным числом элементов. Тем не менее, в работе показано, что это обстоятельство не препятствует организации марковского процесса по аналогии с алгоритмом Метрополиса - то есть, с выполнением условия детального равновесия и плотностью вероятности Рк ос \£1к\- Элементарный шаг этого случайного процесса состоит в уменьшении или увеличении текущего порядка разложения на 1. В первом случае из системы удаляется случайно выбранная четверка координат, во втором - добавляется новая. Шаги принимаются или отвергаются в соответствии с критерием Метрополиса.
С точки зрения организации вычислений, необходимыми условиями являются сходимость рядов и практическое знакопостоянство Пд- (то есть, среднее по марковским блужданиям значение знака должно существенно отличаться от нуля). В диссертации показано, что ряды вида (5) действительно сходятся. Величина же среднего знака Ик может быть оптимизирована выбором параметров ак• В работе на практических примерах показано, что при правильном выборе а к средний знак И к в развитом методе оказывается во всяком случае не хуже, чем в ранее использовавшихся алгоритмах с дискретизацией времени. Разобран ряд модельных задач, показавший работоспособность написанного на основе алгоритма программного кода.
Практическая реализация алгоритма позволила получить новые важные результаты, относящиеся к свойствам кластеров магнитных атомов вблизи подложки, а также к описанию изоляторной фазы оксидов переходных металлов (на примере УгОз). Полученные для этих систем результаты приведены на рисунках 1 и 2.
Глава 3 посвящена диаграммной технике специального вида (диаграммной технике в дуальных неременных), предназначенной для описания нелокальных эффектов в системах сильнокоррелированных фермионов. Этот новый метод основан на переходе к специальному набору переменных, такому что локальная часть корреляций учитывается непосредственно в процедуре замены переменных, а нелокальная — посредством разложения в диаграммный ряд. Формальным малым параметром разложения оказывается вершинная часть примесной задачи БМРТ. Теория непрерывным образом интерполирует между атомным пределом и пределом слабой связи; в предельных случаях малый параметр разложения может быть указан явно.
Сформулируем основные идеи вывода применительно к модели Хаббарда
Н = Щ и=з-гс]сг + плпц - ц £<пя + пя). (6)
И'о 3 3
Здесь величины I/ и 4 определяют, соответственно, кулоновское отталкивание
на узле и переходы электронов между различными узлами решетки из-за
перекрытия орбиталей, ц - химический потенциал, индекс ] пробегает узлы
решетки, а =ТД - величина проекции спина на выбранную ось.
Нас будут интересовать равновесные свойства системы при заданной обратной температуре /?. Соответствующее действие в представлении Мацуба-ры имеет вид
0
с] = (ек - ц - ш) + и ^ ^п^тпцт(1т. (7)
i 0
0.7-j—■—'—i—'—■—i—J—■—'—■—i—■—'—•--
0.6- et 1 -2-з| ;
IT1
0.5- IT 2-3 .
3 0.40.30.20.10.0 -4-3-2-10 1 2 3 4
s[eV]
Рис. 1. Результаты CT-QMC расчета плотности состояний коррелированного кластера в форме равностороннего (обозначены на графиках ET, equilateral triangle) и равнобедренного (обозначены IT, isosceles triangle) треугольников на поверхности подложки, для антиферромагнитного характера обменного взаимодействия. В случае равнобедренного треугольника, вершины неэквивалентны, поэтому на графиках приведено по две зависимости - для атомов основания 2,3 и для вершины 1. Кондо-пик в плотности состояний проявляется для для вершины 1 и полностью подавлен в случае равностороннего треугольника (кривая 1-2-3). Работа мотивирована результатами экспериментов по СТМ-исследований кластеров магнитных атомов на поверхности немагнитных металлов. В частности, упомянутые эксперименты показывают, что свойства кластеров атомов Сг па поверхности Аи существенно зависят от геометрии кластера: Кондо-пик отсутствует в плотности состояний кластера, если атомы расположены в вершинах равностороннего треугольника, по появляется для равнобедренного кластера со стороной, не равной основанию. На момент опубликования результатов данной работы (2005 г.), это было первое исследование данной модели, учитывающее полную матрицу оператора взаимодействия (что было невозможно для предыдущего поколения алгоритмов). Правильный учет вращатслпой симметрии задачи оказался принципиальным для описания эффекта. Расчет выполнен в соавторстве с В.В.Савкипым.
ЕТ 1-2-3' IT1 IT 2-3
Рис. 2. Плотность состояний (Л'о.эбгСго.озвЬОз для Т— 580 К (/? = 20 еУ^1). Кристалл находится в фазе моттовского изолятора. Результаты расчетов методом БМРТ с использованием СТ-С^МС для значений параметров I/—4.2 c^г. 3=0.7 е\г, и t2J функций Вальс, рассчитанных методом ЬБА. На вставке приведено сравнение известными данными по спектроскопии фотоэмиссии (теоретическая кривая получена сверткой плотности состояний с фермисвской функцией дтя заданной температуры, после чего была уширена на величину разрешения оборудования, использовавшегося в эксперименте (90 те\'), С/=4.2 еУ, и 3—йЛ е\'. Сложность моделирования этой системы состояла в необходимости учета нарушения вырождения <29 орбиталей в сочетании со сложной структурой пространства состояний системы (наличия неэквивалентных изолированных минимумов). Проблема была решена введением шагов специального типа (одновременная перестановка всех орбитальных индексов). Расчет выполнен в соавторстве с А.И. Потерясвым.
и = № + 1)тг/у8, (] — 0, ±1,...) - частоты Мацубары, г - 'мнимое время', к - волновое число.
Следуя парадигме ИМИ?, введем вспомогательную одноузельную примесную задачу
/з
Simp = ^2(АШ~ /г - iuijc^cup + U
и,а
ЩтП^йт, (8)
где (пока не определенная) функция гибридизации Дш описывает взаимодействие выбранного узла с эффективным гауссовым окружением. Обозначим одночастичную функцию Грина примесной задачи и ее вершинные части высших порядков, соответственно, как и 7'4',7'6\.... Определение этих величин гораздо проще расчетов для исходной системы (7); в частности, их несложно вычислить численно с использованием алгоритмов семейства СТ-QMC.
Задачей теории является определение свойств системы (7), а именно функции Грина G^k и вершинных частей Г'"', через свойства примесной задачи, которые мы будем считать известными.
Поскольку величина Д является локальной (то есть, не зависит от к), действие (7) можно представить в следующем виде
с*] = Simp[Ci, с*} - - £fc)c*fcffa,ka- (9)
i шк<7
Последующие выкладки определяют переход к новому ансамблю грассмапо-вых переменных /, /*. Поскольку этот переход не содержит приближений, мы называем новые переменные дуальными.
Отправной точкой является тождество
eA*clk„ с„к„ = ^ (10)
которое выполняется для произвольных комплексных коэффициентов А и а. Выберем А2 = — а = д~1 для каждой фермионной моды.
Подставляя указанное тождество в выражение с*Т>с для
статистической суммы модели (С), получим выражение для действия, включающее как исходные, так и новые переменные'. Z — J j е~^с'с'^'^1У/*Т>/Т>с*7Ус,
S[c, С, /, Г) = - Ц, In (£(ДШ - ек)) + Ei Simp[ci, с*1+
(П)
+ + clkJuko) + 9Zl{Au. - ik)~laZ4tkof^a) ■
Смысл перехода к действию 5[с, с*, /, /*] заключается в том, что, поскольку T.k9Zl{Zk^ka + clkJ^ko) = Hjg^ifÛj^ja + cljaLja), выражение (И) не содержит нелокальных членов по отношению к переменным с, с*. Поэтому интегрирование по этим переменным в стат. сумме с действием (11) сводится к решению одпоузелыюй задачи. Формально, результат такого интегрирования можно представить в виде выражения
su, Г] = - in - **)) - Ei
(12)
+ ¿С1 ((А- - + flu,) g^f*k!7Lko + E, И,
в котором 21'mp = Je~Sim,,Ic"*'c''2?c*2?Ci представляет собой статистическую сумму примесной задачи, а "дуальный потенциал" = V[/*,/,] определяется выражением, включающим интегрирование по переменным, относящимся только к одному узлу. Коэффициенты Тейлора для V[fi, ff] с точностью до знака оказываются равны вершинным частям примесной задачи ....
Переход к новым переменным /*,/ привел к выражению для действия (12), напоминающему исходное действие (7). Выражения для средних в новых и исходных переменных удается связать посредством точных соотношений. В частности, можно получить тождество, связывающее функцию Грина ис-
ходного ансамбля и собственно-энергетическую дуальной системы
= -г- (13)
Разумеется, поскольку переход к новым переменным является точным, он не упрощает задачу с точки зрения формального анализа. Идея замены переменных состоит в том, что при оптимально выбранной функции гибридизации Д, действие (12) допускает построение теории возмущений (диаграммной техники), более эффективной, чем для исходной задачи (7). Это предположение оправдывается тем фактом, что при соответствующем выборе Д уже гауссово приближение для дуальной системы Е^д."' = 0 позволяет воспроизвести результат расчета методом ОМГТ, который полностью включает эффекты локализованных на узле корреляций. Дальнейшие диаграммные поправки по степеням нелинейности У[/*,/] улучшают результат БМРТ, позволяя включить в рассмотрение нелокальную часть корреляций.
Диаграммы по степеням нелинейности дуального потенциала строятся стандартным образом. Их узлы соответствуют членам ряда Тейлора для V, то есть вершинным частям примесной задачи, а линии - функции Грина дуальных переменных С^ш»! (рисунок 3). В качестве критерия выбора функции гибридизации Д в общем случае предложено требовать обращения в нуль простых петель на диаграммах (диаграмма а на рисунке 3), что существенно упрощает структуру диаграмм и позволяет воспроизвести результат ОМРТ для пулевого порядка теории. В работе проанализированы свойства полученной диаграммной техники. Рассмотрение модельных примеров показало очень быструю практическую сходимость - хорошие результаты дает уже учет первой нелокальной поправки (диаграмма 6 на рисунке 3). Конкретные результаты, полученные для модели Хаббарда, приведены на рисунках 4, 5.
Наконец, в главе 4 рассмотрено применение метода дуальных перемен-
а
с
е
9
ъ
(1
г
Рис. 3. Некоторые диаграммы, дающие вклад в дуальную собственно-энергетическую функцию.
ных к моделям, описывающим решеточные степени свободы, а также некоторые родственные теории. Упор сделан на построение подходов, применимых для широкого диапазона режимов рассматриваемых моделей и интерполяции между физически различными предельными случаями (например, переходами «мягкая мода» и «порядок-беспорядок»). Формальная процедура замены переменных в целом повторяет представленную в Главе 3, однако присутствуют существенные технические отличия: для классических ансамблей и квантовых систем без вторичного квантования корреляторы нечетных порядков могут отличаться от нуля. Также, дополнительного анализа потребовали вопросы сходимости интегралов.
Исследована важная проблема фазовой диаграммы дискретной ф4 модели. Эта классическая решеточная модель с температурными флуктуациями и потенциальной энергией
А, В, С > 0 - параметры модели. Соответствующий выбор единиц измерения энергии и ф позволяет избавиться от двух из этих величин, так что модель
(14)
Рис. 4. Результаты расчета пространственной дисперсии собственно-энергетической функции модели Хаббарда без допировапия методом дуальных переменных, с использованием диаграммы (Ь). Данные получены для модели Хаббарда при £ = 0.25,/? = 20, для значений и = 1.0 и и = 2.0. Приведенные данные относятся к энергии Ферми и получены полиномиальной экстаполяцией с частот Мацубары. Верхняя часть: дисперсия мнимой части собственной энергии. При переходе от С/ = 1.0 к ¡7 = 2.0 величина 1тХ в максимуме возрастает на два порядка и существенно меняет характер своего пространственного распределения от металлического к характерному для антиферромагнетика. Нижняя часть: перенормированный закон дисперсии + 11еЕ„=о,ь в сравнении с контрольными данными для решетки 10 х 10, Следует заметить, что без учета диаграммной поправки, то есть в приближении одпоузельного ОМУТ, перенормировка закона дисперсии отсутствует (собственная энергия является локальной).
Рис. 5. Дисперсия спектральной функции допированной модели Хаббарда Аш=о,* на уровне Ферми: расчет методом дуальных переменных, с использованием диаграммы (Ь). Использована tt' модель Хаббарда с параметрами t = 0.25, t' = —0.075, U = 4.0, ß = 80. Величина допирования дырками 14%. Применительно к реальным ВТСП-керамикам эта область параметров соответствует так называемому режиму псевдощели. Плотность состояний, измеряемая экспериментально, в этом случае показывает провал вблизи уровня Ферми, хотя перехода в сверхпроводящее либо антиферромагпитное состояние не наблюдается. Существенной особенностью псевдощели является ее анизотропия: как следует из данных ARPES (М. R. Norman, A. Kanigicl, М. Randeria, U. Chatterjcc, .1. С. Campuzano, Phys. Rev. В. 76 174501 (2001)), поверхность Ферми разрушается, в первую очередь, вблизи границы зоны Бриллюэпа (аптинодалыюс направление), в то время для гюдальпого направления экспериментальные данные по-прежнему содержат отчетливый пик на уровне Ферми. Приведенные теоретические результаты находятся в хорошем соответствии с этой картиной.
характеризуется единственным безразмерным параметром а = А/С.
Параметр а управляет типом перехода в системе (то есть фактически, величиной корреляций). В случае трехмерной системы, модель показывает фазовый переход второго рода при конечной температуре любом положительном значении а. При а —» +оо, потенциал на узле содержит два резких глубоких минимума при ф = ±у/А/В, и система (с точностью до тривиальных численных факторов) переходит в модель Изинга, показывающую переход 'порядок-беспорядок'. В случае же малой нелинейности а —> +0, фононы остаются хорошо обусловленными квазичастицами вплоть до точки перехода, то есть имеет место переход типа "мягкая мода". Изменение величины а позволяет непрерывным образом переходить от одного предельного случая к другому.
В работе получены надежные численные данные для фазовой диаграммы модели. Показано, что метод среднего поля обеспечивает ее описание во всем диапазоне параметров (с погрешностью около 30%). Построено обобщение этого метода, использующее разложение по степеням нелинейности отклика одноузельной задачи метода среднего поля и позволяющее уменьшить погрешность до 7%. Эти результаты приведены на рис. б.
Далее, для описания окрестности критической точки предложен новый метод, включающий переход к дуальным переменным как элемент рспорм-групового преобразования. Рассмотрен нулевой (гауссов) порядок теории. Фактически, речь идет о ренормгрупповом преобразовании, учитывающем (в процедуре замены переменных) только локальную на узле часть корреляций. Такая теория позволяет с неожиданно хорошей точностью воспроизвести значения критических индексов трехмерной модели Изинга. Например, для индекса и получается величина 0.652 (литературные данные - 0.63). Теория позволяет также вычислять неуниверсальные характеристики; точность та-
1п(а)
Рис. 6. Температура фазового перехода в дискретной ф1 модели, как функция параметра модели а. Величина температуры перехода приведена в единицах С\А\/В. Точки -результаты прямого расчета па решетке методом Монте-Карло. Пунктир - приближение среднего поля. Сплошная линия - приближение независимых мод, пергаюрмированное в терминах восприимчивости примесной задачи метода среднего поля).
ких вычислений легко повысить учетом нелокальных поправок. Из полученных результатов можно заключить, что метод дуальных переменных действительно позволяет построить не только эффективные диаграммные техники, но и ренормгрупповые теории.
Апробация работы
1. Savkin, V.V. A continuous time QMC study of the correlated adatom trimer / V.V.Savkin, A.N.Rubtsov, M.I. Katsnelson, A.Liechtenstein // Nano-structures, St. Peterburg - 2005.
2. Рубцов, A.H. Нелокальная физика сильных электронных корреляций /' А.Н. Рубцов // Ломоносовские чтения, Москва. - 2008.
3. Рубцов, А.Н. Серия докладов по методу дуальных фермионов // Семинар по теории конденсированного состояния, ФИАН, Москва. - 200G-2007.
4. Рубцов, А.Н. Локальные и нелокальные эффекты в системах с сильными электронными корреляциями: можно ли объединить приближения слабой и сильной связи? // Семинар отделения теоретической физики ФИАН (руководитель Л.В. Келдыш), Москва. - 2006.
5. Рубцов, А.Н. Новое поколение методов Монте-Карло для расчета соединений и наноструктур с сильными электронными корреляциями / А.Н. Рубцов // Тематический семинар РНЦ "Курчатовский институт' (руководитлеь A.A. Солдатов), Москва. - 2007.
6. Rubtsov, A.N. Continuous time QMC for fermions // PSI-K LDA+DMFT school, Hamburg. - 2005.
7. Rubtsov, A.N. Continuous time QMC methods: applications for DMFT and beyond // Workshop "Progress in Computational Electronic Structure
Theory Bohn. - 2008.
8. Rubtsov, A.N. Beyond the DMFT: Dual Fermion scheme // Ab-initio Many-Body Theory summer school, San-Sebastian. - 2007.
9. Rubtsov, A.N. Continuous-time QMC for fermions: state of art and perspectives // Electronic Structure Calculation of Solids and Surfaces workshop, Strasbourg. - 2004.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в виде главы в монографии и в 12 статьях в ведущих научных журналах (полный список статей автора насчитывает 40 наименований). Глава в монографии (по материалам главы 2):
• Rubtsov, A.N. Kondo Effect in Mesoscopic System / A.N.Rubtsov, M.I.Kats-nelson, E.N. Gorclov, and A.I. Lichtenstein, in book: Electron Correlations in New Materials and Nanosystems, K. Scharnbcrg and S.Kruchinin (eds). - Amsterdam: Springer, 2007. - PP. 327-341.
Статьи (результаты, представленные в главе 2, опубликованы в статьях 1-3, в главе 3 - в статьях 4-7, а в главе 4 - в статьях 8-12):
1. Рубцов, А.Н. Квантовый метод Монте-Карло для фермионов в непрерывном времени: выход за рамки схем со вспомогательными полями /' А.Н. Рубцов, А.И. Лихтенштейн // письма ЖЭТФ. - 2004. - Т.80. - С. 67-70.
2. Savkin, V.V. Correlated adatom trimer on metal surface: A continuous time quantum Monte Carlo study / V. V. Savkin, A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, and A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. Lett. - 2005. - V.94. -P.02G402. - 4 pages.
3. Rubtsov, A.N. Continuous-time quantum Monte Carlo method for fermions / A. N. Rubtsov, V. V. Savkin, and A. I. Liehtenstein // Phys. Rev. B. -2005. - V.72. - P.035122. - 9 pages.
4. Hafermann, H. Cluster Dual Fermion Approach to Nonlocal Correlations / H. Hafermann, S. Brener, A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, A. I. Liehtenstein // письма ЖЭТФ. - 2007. - T.8G. - C.769-774.
5. Poteryaev, A.I. Enhanced costal-field splitting and orbital-selective coherence induced by strong correlations in V2O3 /' A.I. Poteryaev, J.M. Tomczak, S. Biermann, A. Georges, A.I. Liehtenstein, A.N. Rubtsov, T. Saha-Dasgupta, and O.K. Andersen // Phys. Rev. B. - 2007. - V.76. -P.085127. - 17 pages.
6. Rubtsov, A. N. Dual fermion approach to nonlocal correlations in the Hubbard model / A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, A. I. Liehtenstein // Phys. Rev. B. - 2008. - V.77. - P. 033101. - 4 pages.
7. Brener, S. Dual fermion approach to susceptibility of correlated lattice fermions / S. Brener, H. Hafermann, A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, and A. I. Liehtenstein // Phys. Rev. B. - 2008. - V.77. - PP.195105. - 12 pages.
8. Rubtsov, A.N. Crossover between displacive and order-disorder phase transition ,/ A.N. Rubtsov, J. Hlinka, T. Janssen// Phys. Rev. E. - 2000. -V.61. - PP.126-131.
9. Савкин, В.В. Двумерные и слоистые структуры в дискретной ф4 модели / В.В. Савкин, А.Н. Рубцов // ЖЭТФ. - 2000. - Т.118. - С. 1391-1401.
10. Rubtsov, A.N. Quantum phase transitions in discrete ф4 model: the crossover between two types of the transition / A.N. Rubtsov, T. Janssen
// Phys. Rev. В. - 2001. - V.G3. - P. 172101. - 4 pages.
11. Savkin, V.V. Quantum discrete ф1 model at finite temperatures / V.V. Savkin, A.N. Rubtsov, T. Janssen // Phys.Rev. B. - 2002. - V.65. -P.214103. - 12 pages.
12. Rubtsov, A.N. Quality of the mean-field approximation: A low-order generalization yielding realistic critical indices for three-dimensional Ising-class systems / A.N. Rubtsov // Phys. Rev. B. - 2002. - V.66. - P.052107. - 4 pages.
Личный вклад автора Соискатель впервые предложил идеи методов дуальных переменных и CT-QMC. Дальнейшая разработка этих идей, результаты которой приведены в статьях по теме диссертации, происходила с непосредственным участием автора, вклад которого во всех случаях являлся существенным или определяющим. В случаях, когда в диссертации приведены результаты, полученные не лично соискателем, этот факт явно отражен в тексте.
Глава 1. Введение
1.1. Введение в проблемы физики сильных корреляций
1.2. Методы решения примесной задачи.
1.3. Проблема пространственной нелокальности
1.4. Решеточные модели для бозонных степеней свободы
Глава 2. Квантовый метод Монте-Карло в непрерывном времени.
2.1. Математические основы алгоритма
2.2. Тестовые расчеты CT-QMC
2.3. Проблема коррелированного тримера.
2.4. Расчеты для изоляторной парамагнитной фазы V2O
2.5. Дальнейшее развитие метода - разложение по величине гибридизации
Глава 3. Метод дуальных фермионов.
3.1. Основные определения
3.2. Переход к дуальному ансамблю и его анализ в гауссовом приближении
3.3. Связь спектров возбуждений исходной и дуальной систем
3.4. Минимизация функционала Фейнмана и условие самосогласования DMFT
3.5. Диаграммное разложение.
3.6. Организация вычислений.
3.7. Расчеты для модели Хаббарда без допирования
3.8. Модель Хаббарда с допированием.
Глава 4. Метод дуальных переменных для бозонных степеней свободы.
4.1. Исследуемая модель и простейшие приближения
4.2. Фазовая диаграмма дискретной фА модели
4.3. Замена переменных
4.4. Тестовые расчеты для модели Изинга.
4.5. Метод ренормгруппы, включающий дуальное преобразование
Выводы
Список публикаций автора по теме диссертации
Благодарности.
1.1. Введение в проблемы физики сильных корреляций
Экспериментальный прогресс в области сканирующей туннельной микроскопии (СТМ), исследовании фотоэмиссии (включая спектроскопию с угловым разрешением, ARPES) и других спектроскопических методов позволяет получать существенную информацию об электронных и структурных свойствах нанообъектов. Физики научились манипулировать нанообъектами вплоть до уровня отдельных атомов, что открывает принципиальную возможность конструирования наноструктур с наперед заданными свойствами. При этом, особенный интерес представляют исследования свойств систем с сильными электронными корреляциями при низких температурах, необычные свойства которых обусловлены физикой низкоэнергетических многочастичных электронных возбуждений.
Однако, этот прогресс в сильной степени сдерживается отставанием теоретических и расчетных методов: серьезную проблему представляет количественно точное описание электронных свойств многих экспериментально реализованных наносистем, даже имеющих сравнительно простую структуру. В этом контексте можно упомяпуть так называемые квантовые кораллы [1], квантовое изображение магнитного атома [2], кобальтовые кластеры на углеродных нано-трубках [3] и другие объекты. В частности, СТМ-эксперименты с кластерами из атомов Сг и Со на поверхности Au(lll) [4] демонстрируют сложную связь между числом атомов, их взаимным расположением и наличием Копдо-пика на уровне Ферми системы. Спектр одиночного атома Со содержит такой пик, а спектр атома Сг - нет. Димеры как атомов Сг, так и Со Кондо-резонапса не показывают. Наличие пика в спектре тримеров Сг зависит от геометрии взаимного расположения атомов. "Магнитные молекулы например V15, М1112, Fes, представляющие собой сложные органические соединения с включением соответствующих ионов переходных металлов [5-7] - еще один пример интересных напообъектов с сильными электронными корреляциями. В них наблюдается, например туннелирование намагниченности и квантовые осцилляции величины туннельного расщепления. Эти материалы рассматривались в качестве возможной элементной базы квантового компьютера [8, 9]. Теоретический анализ и численные расчеты указанных систем должны принципиальным образом включать в рассмотрение эффекты межэлектрониых корреляций. Это сразу означает недостаточность таких методов расчета, как, например, метод функционала плотности.
Учет электронных корреляций необходим также при описании объемных свойств материалов с частично заполненными внутренними оболочками. Можно упомянуть такие системы, как высокотемпературные сверхпроводники [10, 11], магнетики с делокализованпыми электронами [12] и моттовскис изоляторы [13]. Сильные корреляции показывают атомы в оптических решетках при сверхнизких температурах [14-16].
Некоторые многочастичные эффекты могут быть учтены в рамках простых моделей, таких как модели Андерсона и Кондо, однако, в этом случае модели не содержат конкретной информации о соединениях и, соответственно, расчеты не могут количественно описывать экспериментально наблюдаемыесвойства реальных структур.
Целью настоящей работы является разработка и развитие методов реалистического описания структур с сильными корреляциями. Под реалистическим понимается количественно точное описание в классе моделей и диапазоне их параметров, соответствующих экспериментально реализуемым структурам. Поскольку речь идет о структурах с сильными корреляциями, используемые модели не содержат явных малых параметров. Для проверки применимости развитых методов используется сравнение, во-первых, с имеющимися экспериментальными данными и, во-вторых, с результатами прямого численного расчета в случаях, когда такой расчет возможен.
Базовым классом моделей, используемых для описания сильнокоррелированных структур, являются решеточные моделей с сильным взаимодействием. При этом, гауссову часть модельного гамильтониана выбирают таким образом, чтобы закон дисперсии электронов коррелированных орбиталей воспроизводил результаты расчета методом функционала плотпости. Что касается кулоновского взаимодействия коррелированных электронов, то, в подавляющем большинстве случаев, оказывается достаточным учесть только взаимодействие электронов, соответствующих орбиталям одного атома.
Важность развития методов теоретического анализа этих систем связана, в том числе, с тем, что прямой численный анализ свойств систем коррелированных фермионов практически невозможен из-за проблемы экспоненциальной сложности известных алгоритмов. Заметим, что экспоненциальный рост требуемых компьютерных ресурсов с увеличением размера системы имеет место не только для метода точной диагонализации, но и для стохастических методов: для известных алгоритмов семейства квантовых методов Монте-Карло (QMC), так называемая проблема знака [17] приводит к экспоненциальному росту дисперсии результата при низких температурах (подробнее, эта проблема описана в разделе 1.2.1).
С другой стороны, необходимо сразу оговориться, что использование традиционной парадигмы теоретической физики - построение разложения по малому параметру вблизи точного решения - для рассматриваемого класса моделей затруднительно. Разумеется, известны разложения в предельных случаях слабокоррелированной системы и ансамбля почти независимых атомов (соответственно, разложения в пределах слабой и сильной связи). Однако, физически интересной является как раз промежуточная область, в которой указанные разложения неприменимы. Автору представляется, что в этой ситуации следует использовать приближения, позволяющие непрерывным 1 образом интерполировать между двумя известными предельными случаями.
Такие интерполирующие теории действительно известны. Они представляют собой комбинированные схемы, в рамках которых решеточная задача приближенно сводится к проблеме одного коррелированного узла, помещенного в эффективное окружение с гауссовой статистикой (так называемая примесная задача). Предполагается, что задача определения свойств примесной задачи гораздо проще расчетов для решетки. Корректное поведение таких схем в предельных случаях гарантируется их построением. В пределе слабой связи предположение о гауссовой статистике окружения оказывается точным. В случае же почти изолированных атомов мало влияние окружения на свойства коррелированного узла, так что отклонение статистики окружения от гауссовой не играет существенной роли.
Простейшей из схем эффективной среды, применяемых в настоящее время для описания систем с локализованными d или / состояниями, является метод функционала локальной плотности в сочетании с учетом локального кулоновского взаимодействия в приближении статического среднего поля (так называемый LDA+U метод, [18]).
Тем не менее, эта схема имеет внутренние ограничения из-за статического характера приближения среднего поля: с помощью схемы LDA+U можно хорошо описать только фазы диэлектриков Мотта-Хаббарда с упорядочиванием по спиновым, зарядовым, или орбитальным степеням свободы. Однако наиболее интересные и важные эффекты в спектрах квазичастиц связаны со спиновыми и орбитальными флуктуациями и требуют для описания приближений, в которых собственная энергия зависит от частоты. Включение в рассмотрение эффектов временной дисперсии приводит к динамическому приближению среднего поля (LDA+DMFT) [19, 20]. Физически, основное приближение DMFT заключается в предположении о том, что корреляции в системе локализованы в пространстве (то есть, на узле решетки), но нелокальны во времени. Формально, такая ситуация соответствует пределу бесконечной размерности системы [13].
Приведем без вывода систему уравнений метода DMFT [13]. Учет эффектов временной дисперсии означает, что примесная задача DMFT является негамильтоновой. Соответствующее действие имеет вид где Sq - действие, соответствующее изолированному узлу решетки, величина а нумерует спиновые и орбитальные индексы, а ш - частота Мацубары. Здесь и в дальнейшем, символы с*, с в выражениях для действия обозначают грассмановы переменные описывающие
1.1) электронные степени свободы, а те же символы в гамильтонианах соответствующие вторично-квантованные операторы.
Второй член действия (1.1) определяет гибридизацию атомных орбиталей решеткой. Величина гибридизации А выбирается такой, чтобы функция Грина примесной задачи дш>а удовлетворяла самосогласованному уравнению
Здесь индекс к — 1.N нумерует моды системы с исходным законом дисперсии Выражение под знаком суммы представляет собой од-ноэлектронную функцию Грина DMFT на решетке. Видно, что поскольку величины д, А зависят от ш, но не включают индекса к, собственно-энергетическая функция DMFT имеет определенную временную дисперсию, но при этом оказывается локальна в пространстве.
Таким образом, применительно к методу DMFT можно поставить два вопроса. Во-первых, необходимо указать, каким именно образом решать примесную задачу (то есть, определять величину Вовторых, необходимо определить, в какой мере оправданным является предположение о пространственной локализации корреляций и рассмотреть возможные обобщения.
1.2)
Выводы
1. Разработан новый алгоритм численного моделирования систем сильнокоррелированных фермионов - квантовый метод Монте-Карло в непрерывном времени (CT-QMC). В программе используется случайное блуждание по членам ряда теории возмущений в представлении взаимодействия. Метод не включает вспомогательных бозонных полей и не использует дискретизации времени.
2. Программа, реализующая алгоритм CT-QMC, позволяет проводить расчеты для негамильтоновых систем с несколькими электронными орбиталями оператора взаимодействия, нелокального в пространстве координатных, спиновых и орбитальных индексов. В проведенных расчетах функции Грина на частотах Мацубары была достигнута точность на уровне Ю-3 и выше, что позволяет разрешать особенности электронного спектра с точностью около 5-10% для положения и 20-30% для амплитуды пиков для систем с температурой 100-300 К.
3. По результатам тестовых расчетов для систем с диагональным оператором взаимодействия, CT-QMC по сравнению с использовавшимся ранее алгоритмом Хирша-Фая, обеспечивает уменьшение требуемого числа операций в 3-5 раз, и улучшение показателя спадания среднего знака на 20 %, что позволяет моделировать системы при температурах 100 К и ниже.
4. С использованием метода CT-QMC проведено моделирование коррелированного тримера на поверхности металла; получены графики плотности состояний. Показано, что для объяснения подавления Кондо-резонанса, экспериментально наблюдаемого в кластерах Сг на поверхности Аи, необходимым условием является учет недиагональных матричных элементов гейзенберговского оператора обмена.
5. Развит новый подход - метод дуальных переменных - позволяющий регулярным образом учитывать эффекты пространственной нелокальности сильных электронных корреляций. Метод основан на переходе к ансамблю новых переменных, при этом локальная часть корреляций учитывается непосредственно в процедуре замены переменных. В предельных случаях слабой и сильной связи теория содержит явный малый параметр, а в промежуточной области может быть описана как диаграммная техника, стартующая с динамического приближения среднего поля.
6. Рассмотрены эффекты пространственной нелокальности корреляций в модели Хаббарда без допирования. Показано, что эти эффекты играют наибольшую роль на начальных стадиях формирования антиферромагнитной псевдощели. По сравнению с расчетом в пренебрежении нелокальными корреляциями, учет первых членов лестничного ряда дуальных диаграмм для модели Хаббарда с параметрами U — 1.0, t = 0.25, (3 — 20 позволил улучшить точность определения локальной плотности состояний в 3-4 раза (приблизительно, от 20 до 5%).
7. Показано, что феномен анизотропного разрушения поверхности Ферми в купратах связан с эффектами пространственной нелокальное™ корреляций. Учет первой нелокальной поправки к динамическому приближению среднего поля для t — t' модели Хаббарда с допированием 14% позволяет качественно экспериментально наблюдаемую картину частичного разрушения поверхности Ферми в антинодалыюм направлении при параметрах модели U = 4.0, t = 0.25, t' = -0.075,/? = 80 (что соответствует температуре около 140 К).
8. Развит метод описания моделей решеточных степеней свободы, основанный на перенормировке теории в терминах восприим-чивостей одноузельной задачи. Метод применим для переходов типа 'порядок-беспорядок', 'мягкая мода' и в промежуточной области. Нулевой порядок теории воспроизводит результат приближения среднего поля. Учет первой поправки позволяет улучшить точность вычисления критической температуры (в случае температурных флуктуаций) и критической массы (в случае нулевых квантовых флуктуаций) дискретной ф4 модели с примерно 30% до 0-7 % (в зависимости от типа перехода).
9. Развит аналог метода дуальных фермионов для классических решеточных моделей с локализованной нелинейностью. На его основе построен метод ренормализационной группы, включающий переход к новым переменным на каждом шаге ренормгруп-пового преобразования. В случае трехмерной модели Изинга, нулевое (гауссово) приближение метода оказывается совместимым с гипотезой подобия и воспроизводит значения критических индексов с точностью около 1%.
Список публикаций автора по теме диссертации
Глава в монографии:
• Rubtsov, A.N. Kondo Effect in Mesoscopic System / A.N.Rubtsov, M.I.Katsnelson, E.N. Gorelov, and A.I. Lichtenstein, in book: Electron Correlations in New Materials and Nanosystems, K. Scharnberg and S.Kruchinin (eds). - Amsterdam: Springer, 2007. - PP. 327-341.
Статьи по теме диссертации: полный список статей автора насчитывает 36 наименований)
1. Rubtsov, A.N. Crossover between displacive and order-disorder phase transition / A.N. Rubtsov, J. Hlinka, T. Janssen// Phys. Rev. E. - 2000. - V.61. - PP.126-131.
2. Савкин, В.В. Двумерные и слоистые структуры в дискретной ф4 модели / В.В. Савкин, А.Н. Рубцов // ЖЭТФ. - 2000. -Т.118. - С. 1391-1401.
3. Rubtsov, A.N. Quantum phase transitions in discrete фА model: the crossover between two types of the transition / A.N. Rubtsov, T. Janssen // Phys. Rev. B. - 2001. - V.63. - P. 172101. - 4 pages.
4. Savkin, V.V. Quantum discrete ф4 model at finite temperatures / V.V. Savkin, A.N. Rubtsov, T. Janssen // Phys.Rev. B. - 2002. -V.65. - P.214103. - 12 pages.
5. Rubtsov, A.N. Quality of the mean-field approximation: A low-order generalization yielding realistic critical indices for three-dimensional Ising-class systems / A.N. Rubtsov // Phys. Rev. B. - 2002. - V.66.
- P.052107. - 4 pages.
6. Рубцов, A.H. Квантовый метод Монте-Карло для фермионов в непрерывном времени: выход за рамки схем со вспомогательными полями / А.Н. Рубцов, А.И. Лихтенштейн // письма ЖЭТФ. - 2004. - Т.80. - С. 67-70.
7. Savkin, V.V. Correlated adatom trimer on metal surface: A continuous time quantum Monte Carlo study / V. V. Savkin, A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, and A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. Lett. - 2005.
- V.94. - P.026402. - 4 pages.
8. Rubtsov, A.N. Continuous-time quantum Monte Carlo method for fermions / A. N. Rubtsov, V. V. Savkin, and A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. B. - 2005. - V.72. - P.035122. - 9 pages.
9. Hafermann, H. Cluster Dual Fermion Approach to Nonlocal Correlations / H. Hafermann, S. Brener, A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, A. I. Lichtenstein // письма ЖЭТФ. - 2007. - T.86. - C.769-774.
10. Poteryaev, A.I. Enhanced crystal-field splitting and orbital-selective coherence induced by strong correlations in V2O3 / A.I. Poteryaev, J.M. Tomczak, S. Biermann, A. Georges, A.I. Lichtenstein, A.N. Rubtsov, T. Saha-Dasgupta, and O.K. Andersen // Phys. Rev. B.
- 2007. - V.76. - P.085127. - 17 pages.
11. Rubtsov, A. N. Dual fermion approach to nonlocal correlations in the Hubbard model / A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. B. - 2008. - V.77. - P. 033101. - 4 pages.
12. Brener, S. Dual fermion approach to susceptibility of correlated lattice fermions / S. Brener, H. Hafermann, A. N. Rubtsov, M. I. Katsnelson, and A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. B. - 2008. - V.77.
- PP.195105. - 12 pages.
Апробация работы:
1. Savkin, V.V. A continuous time QMC study of the correlated adatom trimer / V.V.Savkin, A.N.Rubtsov, M.I. Katsnelson, A.I.Lichtenstein Nanostructures, St. Peterburg - 2005.
2. Рубцов, A.H. Нелокальная физика сильных электронных корреляций / A.H. Рубцов // Ломоносовские чтения, Москва. -2008.
3. Рубцов, А.Н. Серия докладов по методу дуальных фермионов / / Семинар по теории конденсированного состояния, ФИ АН, Москва. - 2006-2007.
4. Рубцов, А.Н. Локальные и нелокальные эффекты в системах с сильными электронными корреляциями: можно ли объединить приближения слабой и сильной связи? / Семинар отделения теоретической физики ФИАН (руководитель Л.В. Келдыш), Москва. - 2006.
5. Рубцов, А.Н. Новое поколение методов Монте-Карло для расчета соединений и наноструктур с сильными электронными корреляциями / А.Н. Рубцов // Тематический семинар РНЦ "Курчатовский институт"(руководитлеь А.А. Солдатов), Москва. -2007.
6. Rubtsov, A.N. Continuous time QMC for fermions // PSI-K LDA+DMFT school, Hamburg. - 2005.
7. Rubtsov, A.N. Continuous time QMC methods: applications for DMFT and beyond // Workshop "Progress in Computational Electronic
Structure Theory Bohn. - 2008.
8. Rubtsov, A.N. Beyond the DMFT: Dual Fermion scheme // Ab-initio Many-Body Theory summer school, San-Sebastian. - 2007.
9. Rubtsov, A.N. Continuous-time QMC for fermions: state of art and perspectives // Electronic Structure Calculation of Solids and Surfaces workshop, Strasbourg. - 2004.
Благодарности
Выражаю благодарность всем моим коллегам, результаты совместной работы с которыми легли в основу диссертации. Идея перенормировки теории возмущений для сильнокоррелированных систем с сосредоточенной нелинейностью родилась в результате попыток регулярным образом описать фазовую диаграмму дискретной модели - задачи, поставленной передо мной Тедом Янссеном (Ted Janssen). Неоценимый вклад в дальнейшее развитие этих идей применительно к системам коррелированных фермионов внесли А.И. Лихтенштейн и М.И. Кацнельсон. Стимулирующую роль сыграл интерес, проявленный А. Джорджесом (Antoine Georges), П.И. Арсеевым, Н.С. Масловой и многими другими. Алгоритм QMC в непрерывном времени появился после дискуссий проблем численного моделирования систем фермионов с А.И. Лихтенштейном. Приятно поблагодарить всех, кто счел полезным использование CT-QMC программного кода; некоторые результаты, полученные В.В. Савкиным и А.И. Потеряевым, вошли в текст диссертации. Наконец, я искренне благодарен старшему поколению кафедры квантовой электроники физического факультета МГУ, прежде всего О.А. Акципетрову, П.В. Елютину и Л.В. Келдышу - людям, которых я считаю своими учителями.
1. Crommie, M.F. Confinement of Electrons to Quantum Corrals on a Metal Surface / M.F. Crommie, C.P. Luts, D.M. Eigler // Science. - 1993. - V. 262. - PP. 218-220.
2. Manoharan, H. C. Quantum Mirages: The Coherent Projection of Electronic Structure / H. C. Manoharan, C. P. Lutz, D. M. Eigler // Nature 2000. - V. 403. - PP. 512-515.
3. Odom, T. W. Magnetic Clusters on Single-Walled Carbon Nanotubes: The Kondo Effect in a One-Dimensional Host / T. W. Odom, J.-L. Huang, C. L. Cheung, С. M. Lieber // Science. -2000. V.290. - PP. 1549-1552.
4. Jamneala, T. Kondo Response of a Single Antiferromagnetic Chromium Trimer / T. Jamneala, V. Madhavan, and M.F. Crommie // Phys. Rev. Lett. 2001. - V. 87. - P. 256804. - 4 pages.
5. Gatteschi, D. Large Clusters of Metal Ions, the Transition from Molecular to Bulk Magnet / D. Gatteschi, A. Caneschi, L. Pardi, and R. Sessoli // Science 1994 - V.265. - PP.1054-1058.
6. Thomas, L. Macroscopic quantum tunnelling of magnetization in a single crystal of nanomagnets/ L. Thomas, F. Lionti, R. Ballou,
7. D.Gatteschi, R. Sessoli, and B. Barbara // Nature. 1986. - V. 383. - PP. 145-147.
8. Wernsdorfer, W. Quantum Phase Interference and Parity Effects in Magnetic Molecular Clusters / W.Wernsdorfer and R.Sessoli // Science. 1999. - V.284. - PP.133-135.
9. Leuenberger, M. N. Quantum computing in molecular magnets / M. N. Leuenberger and D. Loss// Nature. 2001. - V. 410. -PP.789-793.
10. Dobrovitski, V. Mechanisms of decoherence in weakly anisotropic molecular magnets / V. V. Dobrovitski, M. I. Katsnelson, and B. N. Harmon // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 84. - PP.3458-3461.
11. Scalapino, D.J. The case for dxi yi pairing in the cuprate superconductors / D.J. Scalapino // Phys. Rep. 1994. - V.250. - PP.329-365.
12. Anderson, P.W. The Theory of Superconductivity in High-Tc Curpates / P.W. Anderson. Princeton : Princeton Univ. Press, Princeton Univ. Press, 1997. - 446 pages.
13. Moriya, T. Spin Fluctuations in Itinerant Electron Magnetism / T. Moriya. Berlin : Springer, 1985. - 239 pages.
14. Georges, A. Dynamical mean-field theory of strongly correlatedfermion systems and the limit of infinite dimensions / A. Georges,
15. G. Kotliar, W. Krauth, and M.J. Rozenberg // Rev. Mod. Phys. 1996. - V.68. - PP.13-125.
16. Modugno, G. Production of a Fermi gas of atoms in an optical lattice /G. Modugno, F. Ferlaino, R. Heidemann, G. Roati, and M. Inguscio // Phys. Rev. A 2003 - V.68. - P. 011601(R). - 4 pages.
17. Kohl, M. Fermionic Atoms in a Three Dimensional Optical Lattice: Observing Fermi Surfaces, Dynamics, and Interactions / M. Kohl,
18. H. Moritz, T. Stoferle, K. Giinter, and T. Esslinger // Phys. Rev. Lett. 2005. - V 94. - p. 080403. - 4 pages.
19. Chin, J.K. Evidence for superfluidity of ultracold fermions in an optical lattice / J.K. Chin etal// Nature. 2006. - V.443. - PP. 961-964.
20. De Raedt, H. Monte Carlo Calculation of the Thermodynamic Properties of a Quantum Model: A One-Dimensional Fermion Lattice Model / H. De Raedt and A. Lagendijk // Phys. Rev. Lett. 1981. - V.46. - pp. 77-81.
21. Anisimov, V.I. First-principles calculations of the electronic structure and spectra of strongly correlated systems: the LDA-f
22. U method / V.I. Anisimov, F. Aryasetiawan, and A.I. Lichtenstein // J. Phys.: Condens. Matter. 1997. - V.9 - pp. 767-808.
23. Lichtenstein, A. I. Ab initio calculations of quasiparticle band structure in correlated systems: LDA+-1- approach / A. I. Lichtenstein and M. I. Katsnelson // Phys. Rev. B. 1998. - V. 57. - PP. 6884-6895.
24. Hirsch, J.E. Discrete Hubbard-Stratonovich transformation for fermion lattice models / J.E. Hirsch // Phys. Rev. B. 1983. -V.28. - PP. 4059-4061.
25. Hirsch, J.E. Monte Carlo Method for Magnetic Impurities in
26. Metals / J. E. Hirsch and R. M. Fye // Phys. Rev. Lett. 1986. -V.56. - PP. 2521-2524.
27. Scalapino, D.J. Method for Performing Monte Carlo Calculations for Systems with Fermions / D. J. Scalapino and R.L. Sugar // Phys. Rev. Lett. 1981. - V.46. - PP. 519-521.
28. Blankenbecler, R. Monte Carlo calculations of coupled boson-fermion systems. I / R. Blankenbecler, D. J. Scalapino, and R. L. Sugar // Phys. Rev. D. 1981. - V.24. - PP. 2278-2286.
29. Hirsch, J.E. Two-dimensional Hubbard model: Numerical simulation study / J. E. Hirsch // Phys. Rev. B. 1985. - V.31.- PP. 4403-4419.
30. Rombouts, S.M.A. Quantum Monte Carlo Method for Fermions, Free of Discretization Errors / S. M. A. Rombouts, K. Heyde, and N. Jachowicz // Phys. Rev. Lett. 1999. - V.82. - PP.4155-4159.
31. Hubbard, J. Calculation of Partition Functions / J. Hubbard // Phys. Rev. Lett. 1959. - V.3. - PP.77-78.
32. Стратонович, P. Jl. Об одном методе вычисления квантовых функций распределения / Стратонович, P. J1. // ДАН СССР.- 1957. т. 115. - с. 1097-1100.
33. Troyer, М. Computational complexity and fundamental limitationsto fermionic quantum Monte Carlo simulations / M. Troyer, U. J. Wiese // Phys.Rev.Lett. 2005. - V.94. - P.170201. - 4 pages.
34. Feynman, R. Quantum Mechanics and Path Integrals / R. Feynman and A.R. Hibbs // NY, McGraw-Hill, 1965. 365 pages.
35. Прокофьев, H.B. Точный процесс квантового Монте-Карло для статистики дискретных систем / Прокофьев Н.В., Свистунов Б.В., Тупицын И.С. // Письма ЖЭТФ 1996. - т.64. - сс. 853-859.
36. Beard, В.В. Simulations of Discrete Quantum Systems in Continuous Euclidean Time / В. B. Beard and U.-J. Wiese // Phys. Rev. Lett. 1996. - V.77. - PP.5130-5133.
37. Kornilovitch, E.P. Continuous-Time Quantum Monte Carlo Algorithm for the Lattice Polaron / P. E. Kornilovitch // Phys. Rev. Lett. 1998. - V.81. - PP.5382-5385.
38. Sandvik, A.V. Quantum Monte Carlo simulation method for spin systems / A. W. Sandvik and J. Kurkijarvi // Phys. Rev. B. -1991. -V.43. PP.5950-5961.
39. Jarrell, M. Bayesian inference and the analytic continuation of imaginary-time quantum Monte Carlo data / M. Jarrell and J. Gubernatis // Phys. Rep. 1996. - V. 269. - PP. 133-195.
40. Feynman, R. Statistical mehanics / R. Feynman. NY : Perseus Books, 1998. - 354 pages.
41. Hewson, A.C. The Kondo Problem to Heavy Fermions / A.C. Hewson Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1993. - 476 pages.
42. Mahan, G.D. Many-particle physics / G.D. Mahan N.Y. : Plenum Press, 1993. - 785 pages.
43. Irkhin, V.Yu. Effects of van Hove singularities on magnetism and superconductivity in the t-t? Hubbard model: A parquet approach / V.Yu. Irkhin, A.A. Katanin, and M.I. Katsnelson // Phys. Rev. В. V. 64. - P.165107. - 11 pages.
44. Irkhin, V.Yu. Robustness of the Van Hove scenario for high-Tc superconductors // V.Yu. Irkhin, A.A. Katanin, and M.I. Katsnelson // Phys. Rev. Lett. 2002 - V. 89 - P.076401. - 4 pages.
45. Schafer, J. Fermi surface and electron correlation effects of ferromagnetic iron / J. Schafer, M.Hoinkis, E. Rotenberg, P.Blaha, and R. Claessen // Phys. Rev. B. 2005. - V.72. - P. 155115 - 11 pages.
46. Poteryaev, A.I. Enhanced crystal-field splitting and orbital-selective coherence induced by strong correlations in V203 / A.I.
47. Poteryaev et al. // Phys. Rev. B. 2007. - V. 76. - P. 085127. -17 pages.
48. Maier, T. Quantum cluster theories / T. Maier, M. Jarrell, T. Pruschke, and M. Hettler // Rev. Mod. Phys. 2005. - V. 77. - pp.1027-1081.
49. Lichtenstein, A.I. Antiferromagnetism and d-wave superconductivity in cuprates: A cluster dynamical mean-field theory / A.I. Lichtenstein and M.I. Katsnelson // Phys. Rev.
50. B. 2000 - V. 62. - pp. R9283-R9286.
51. Kotliar, G. Cellular Dynamical Mean Field Approach to Strongly Correlated Systems / G. Kotliar, S.Y. Savrasov, G. Palsson, and G. Biroli // Phys. Rev. Lett. 2001. - V.87. - P. 186401. - 4 pages.
52. Potthoff, M. Variational Cluster Approach to Correlated Electron Systems in Low Dimensions / M. Potthoff, M. Aichhorn and C. Dahnken // Phys. Rev. Lett. 2003. - V. 91. - P. 206402 - 4 pages.
53. Jarell, M. Quantum Monte Carlo algorithm for nonlocal corrections to the dynamical mean-field approximation / M. Jarrell, T. Maier,
54. C. Huscroft, and S. Moukouri // Phys. Rev. B. 2001 - V.64 -P.195130. - 23 pages.
55. Mazurenko, V.V. Nature of insulating state in NaV2C>5 abovecharge-ordering transition: A cluster dynamical mean-field study / V.V. Mazurenko ct al. // Phys. Rev. B. 2002. - V. 66. - P. R081104. - 4 pages.
56. Poteryaev, A.I. Nonlocal Coulomb Interactions and Metal-Insulator Transition in Ti203: A Cluster LDA+DMFT Approach // A. I. Poteryaev, A. I. Lichtenstein, and G. Kotliar // Phys. Rev. Lett. 2004. - V.93 - P. 086401. - 4 pages.
57. Biermann, S. Dynamical Singlets and Correlation-Assisted Peierls Transition in VO2 / S. Biermann, A. Poteryaev, A. I. Lichtenstein, and A. Georges // Phys. Rev. Lett. 2005. - V. 94 - P. 026404. -4 pages.
58. Kusunose, H. Mean-Field Theory: Inclusion of Spatial Fluctuations / H. Kusunose // J. Phys. Soc. Jpn. 2006. - V.75. - P. 054713. - 9 pages.
59. Nekrasov, I.A. Pseudogaps in Strongly Correlated Metals: A generalized dynamical mean-field theory approach/ I.A.Nekrasov, E.Z.Kuchinskii, Th.Pruschke, V.I.Anisimov, M.V.Sadovskii // Phys. Rev. В .- 2005. V.72. - P.155105. - 11 pages.
60. Bruce, A.D. Structural phase transitions / A.D. Bruce and R.A. Cowley. London : Taylor and Francis Ltd., 1981. - 326 pages.
61. Aubry, S. A unified approach to the interpretation of displacive andorder-disorder systems. I. Thermodynamical aspect / S. Aubry // J. Chem. Phys. 1975. - V.62. - PP.3217-3230.
62. Hlinka, J. Order-disorder versus soft mode behaviour of the ferroelectric phase transition in S^PaSg / J. Hlinka, T. Janssen, V. Dvorak // J. Phys.: Cond. Matter. 1999. - V.ll. - PP.3209-3216.
63. Janssen, T. Incommensurate Phases in Dielectrics // edited by R. Blinc and A.P. Levanyuk. Amsterdam: Elsevier Science, 1986. -PP. 67-142.
64. Bussmann-Holder, A. Crystal structure of samarium selenide / A. Bussmann-Holder, H. Biittner, A. R. Bishop //J. Phys.: Condens. Matter. 2000. - V.12. - PP. L115 -L120.
65. Kvyatkovskii, O.E. Quantum effects in incipient and low-temperature ferroelectrics / O.E. Kvyatkovskii // Phys. Solid State. 2001. - V.43. - 1401-1419.
66. Zhong, W. Effect of quantum fluctuations on structural phase transitions in ЭгТЮз and ВаТЮз / W. Zhong and D. Vanderbilt // Phys. Rev. B. 1996. - V.53. - PP. 5047-5050.
67. Zhang, L. A study of the quantum effect in ВаТЮз / L. Zhang, W-L. Zhong, and W. Kleemann // Phys. Lett. A. 2000. - V. 276. - PP.162-166.
68. Zhong, W. Phase Transitions in ВаТЮз from First Principles / W. Zhong, D. Vanderbilt, and K.M. Rabe //Phys. Rev. Lett. -1994. V.73. - PP.1861-1864.
69. Prosandeev, S.A. Low temperature behavior of quantum paraelectric SrTi03 weakly doped with Ca2+ impurities / S.A. Prosandeev, W. Kleemann, and J. Dec // J. Phys.: Condens. Matter. 2001. - V. 13. - PP.5957-5970.
70. Miiller, K.A. БгТЮз: An intrinsic quantum paraelectric below 4 К / K.A. Muller and H. Burkard // Phys. Rev. B. 1979. - V. 19. -3593-3602.
71. Itoh, M. Ferroelectricity Induced by Oxygen Isotope Exchange in Strontium Titanate Perovskite / M. Itoh, R. Wang, Y. Inaguma, T. Yamaguchi, Y-J. Shan, and T. Nakamura // Phys. Rev. Lett.- 1999. V. 82 - PP.3540-3543.
72. Onsager, L. Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition / L. Onsager // Phys. Rev. 1944.- V.65. PP.117-149.
73. Metropolis, N. Equation of State Calculations by Fast Computing Machines / N. Metropolis, A.W. Rosenbluth, M.N. Rosenbluth. A.H. Teller and E. Teller // J. Chem. Phys. 1953. - V.21. -PP.1087-1092.
74. Kalos, M.H. Volume 1: Basics / M.H. Kalos and P.A. Whitlock I j Monte Carlo Methods. NY : Wiley, 1986. - 186 pages.
75. Swendsen, R.H. Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations / R. H. Swendsen and J. S. Wang // Phys. Rev. Lett. 1987. - V.58. - PP.86-88.
76. Wolff, U. Collective Monte Carlo Updating for Spin Systems / U. Wolff // Phys. Rev. Lett. 1989. - V.62. - PP.361-364.
77. Wang, F. Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states / F. Wang and D. P. Landau // Phys. Rev. Lett. 2001. - V.86. - PP. 2050-2053.
78. Wang, F. Determining the density of states for classical statistical models: A random walk algorithm to produce a flat histogram / F. Wang and D. P. Landau // Phys. Rev. E. 2001. - V.64. -P.056101. - 16 pages.
79. Batrouni, G.G. Fermion sign problem: Decoupling transformation and simulation algorithm / G. G. Batrouni and P. de Forcrand // Phys. Rev. B. 1993. - V.48. - PP.589-592.
80. Hamann, D.R. Energy measurement in auxiliary-field many-electron calculations / D. R. Hamann and S. B. Fahy // Phys.Rev. B. 1990. - V.41. - PP. 11352-11363.
81. Doniach, S. The Kondo lattice and weak antiferromagnetism / S. Doniach 11 Physica B. 1977. - V.91. - PP.231-234.
82. Irkhin, V.Yu. Scaling picture of magnetism formation in the anomalous f-electron systems: Interplay of the Kondo effect and spin dynamics / V. Yu. Irkhin and M. I. Katsnelson // Phys. Rev. B. 1997. - V.56. - PP.8109-8128.
83. Irkhin, V.Yu. Scaling theory of magnetic ordering in the Kondo lattices with anisotropic exchange interactions / V. Yu. Irkhin and M. I. Katsnelson // Phys. Rev. B. 1999. - V.59. - PP.9348-9356.
84. Irkhin, V.Yu. Non-Fermi-liquid behavior in Kondo lattices induced by peculiarities of magnetic ordering and spin dynamics / V. Yu. Irkhin and M. I. Katsnelson // Phys. Rev. B. 2000. - V.61. -PP.14640-14646.
85. N. F. Mott, 1990, Metal-Insulator Transitions (Taylor and Francis, London / Philadelphia).
86. Pavarini, E. How chemistry controls electron localization in 3dlperovskites / E. Pavarini, A. Yamasaki, J. Nuss, and О. K. Andersen // New J. Phys. 2005. - V.7. - P.188. - 89 pages.
87. Werner, P. Continuous-Time Solver for Quantum Impurity Models / P. Werner, A. Comanac, L. de' Medici, M. Troyer, and A. J. Millis // Phys. Rev. Lett. 2006. - V.97. - P.076405. - 4 pages.
88. Werner, P. Hybridization expansion impurity solver: General formulation and application to Kondo lattice and two-orbital models / P. Werner and A. J. Millis // Phys. Rev. B. 2006.- V.74. P.155107 - 13 pages.
89. Gull, E. Performance analysis of continuous-time solvers for quantum impurity models / E. Gull, P. Werner, A. Millis, and M. Troyer / Phys. Rev. B. 2007. - V.76, 235123. - 9 pages.
90. Haule, K. Quantum Monte Carlo impurity solver for cluster dynamical mean-field theory and electronic structure calculations with adjustable cluster base // K. Haule // Phys. Rev. B. 2007.- V.75. P.155113. - 12 pages.
91. Baym, G. Conservation Laws and Correlation Functions / G. Baym and L. P. Kadanoff // Phys. Rev. 1961. - V.124. - PP.287-299.
92. Baym, G. Self-Consistent Approximations in Many-Body Systems / G.Baym // Phys. Rev. 1962. - V.127. - PP.1391-1401.
93. Norman, M.P. Modeling the Fermi arc in underdoped cuprates / M. R. Norman, A. Kanigiel, M. Randeria, U. Chatterjee, J. C. Campuzano // Phys. Rev. B. 2001. V.76. - P.174501. - 7 pages.
94. Janssen, T. Incommensurate crystal phases in mean-field approximation / T. Janssen, and J.A. Tjon // J.Phys. C. 1983.- V.16. PP.4789-4810.
95. Chakrabarti, B.K. Quantum Ising Phases and Transitions in Transverse Ising Models // B.K. Chakrabarti, A. Dutta, and P. Sen, // Lecture Notes in Physics. Heidelberg : Springer-Verlag, 1996. - Vol. 41. - 204 pages.
96. Pfeuty, P. The Ising model with a transverse field. II. Ground state properties / P.Pfeuty and R.J. Elliott // J. Phys. C. 1971. - V.4.- PP. 2370-2385.
97. Risting, M.L. Correlated-basis-function analysis of the transverse Ising model / M.L.Risting, J.W. Kim // Phys. Rev. B. 1996. -V.53. - PP. 6665-6676.
98. Kadanoff, L.P. Scaling Laws for Ising Models Near Tc / Kadanoff, L.P. //Physics. 1966. - V.2. - PP. 263-272.
99. Wilson, K.G. Critical Exponents in 3.99 Dimensions / K.G. Wilson and M.E. Fisher // Phys. Rev. Lett. 1972. - V.28. - PP.240-243.
100. Pelissetto, A. Critical Phenomena and Renormalization-Group Theory / A. Pelissetto and E. Vicari // Phys.Rept. 2002. - V.368.- PP. 549-727.
101. Wegner, F.J. Renormalization Group Equation for Critical Phenomena / F.J. Wegner and A. Houghton // Phys. Rev. A.- 1973. V.8. - PP. 401-412.
102. Bagnuls, C. Exact renormalization group equations: an introductory review / C. Bagnuls and C. Bervillier // Physics Reports. 2001. - V.348. - PP.91-157.
103. Capone, M. Strongly Correlated Superconductivity / M. Capone, M. Fabrizio, C. Castellani, and E. Tosatti // Science. 2002. -V.296. - PP.2364-2366.
104. Itzykson, С. C. Quantum Field Theory / С. C. Itzykson, J.-B. Zuber. NY : McGraw-Hill, 1980. - 705 pages.
105. Zhu, J.-X. Continuous Quantum Phase Transition in a Kondo Lattice Model / J.-X. Zhu, D. R. Grempel, and Q. Si // Phys. Rev. Lett. 2003. - V.91. - P.156404. - 4 pages.1995).
