Методы решения интегральных уравнений Фредгольма в пространствах обобщенных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Па правах рукописи

5 ОД

УДК 517.968

3 МАЙ

ГАББАСОВ Назим Салихович

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА В ПРОСТРАНСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

0L.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1996

Работа выполнена на кафедрах теории функций и приближений Казанского государственного университета и математического анализа Набережночелнинокого государственного педагогического института

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бугхгейм А. Л.

доктор физико-математических наук, профессор Лифанов И.К.

доктор физико-математических наук, профессор Цецохо В.А.

Ведущая организация — Московский государственный университет.

Защита состоится 18 сиен* 1996 г. в 15 часов на

заседании диссертационного Совета Д 063.98.02 при Новосибирском государственном университете.

(630090, г.Новосибирск, Пирогова, 2)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан % б АИредл 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, доктор физико-математических наук,

профессор В .С.Белоносов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена методам решения линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего и первого родов в пространствах обобщенных функций.

Актуальность темы. Теория интегральных уравнений на протяжении последнего 100-летия оставалась одной из центральных областей математики. С одной стороны, ее развитие стимулировалось потребностями многочисленных приложений к механике, физике, технике и другим дисциплинам, с другой - она оказалась на пересечении многих областей чистой математики - функционального анализа, теории функций, алгебры, теории вероятностей и др. При этом основное внимание уделялось таким разделам, как теория регулярных интегральных уравнений Вольгерра и Фредгольма первого и второго родов, теория сингулярных интегральных уравнений. В этих областях были получены наиболее полные результаты. Подробный обзор имеющихся результатов и обширную библиографию можно найти в справочных пособиях А.Ф.Верланя; и В.С.Сизикова, В.В.Иванова, в специальных обзорных работах Б.Г.Габдулхаева, З.Пресдорфа, а также в монографиях С.М.Белоцерковского и И.К.Лифанова, Г.М.Вайникко, В.Вольтерра, Б.Г.Габдулхаева, Ф.Д.Гахова, В.В.Иванова, Л.В.Канторовича и Г.П. Акилова, Л'.В.Канторовича и В.И.Крылова, М.Л.Краснова, А.Ю. Лучки и Т.Ф. Лучка, С.Г.Михлинаи Х.Л.Смолицкого, Н.И.Мусхелишвили, З.Пресдорфа, И.И.Привалова, Ф.Дж.Трикоми и др. В то же время ряд важных задач теорий упругости, переноса нейтронов, рассеяния частиц, а также теорий сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом, краевых задач для уравнений смешанного типа и теории некоторых нагруженных шггегро-дифференциальных уравнений приводит к линейным интегральным уравнениям Фредгольма третьего рода. Впервые интегральные уравнения третьего рода рассматривали Д.Гильберт, Э.Пикар, Ш.Платрие (1911-1913 гг.). Дальнейшие исследования их проводили А.Р.Хволес, В.Шмайдлер, В.А.Морозов, Х.Г. Бжихатлов, В.Б.Короткое, П.Н.Денисенко и другие. В их работах решение рассматриваемых уравнений отыскивается в классических пространствах (аналитических, непрерывных, интегрируемых или др. функций) и при этом не привлекается аппарат обобщенных функций. Однако, обнаружилось, что очень часто естественными классами решений ряда прикладных задач, приводящихся к интегральным уравнениям третьего рода, являются пространства обобщенных функций специальной структуры. Впервые в классе обобщенных функций уравнение третьего рода исследовалось Г.Р.Бартом и Р.Л .Варноком.

Исследования этих авторов были продолжены и развиты в работах В.С.Рогожина и С.Н.Расламбекова, Г.Р.Барта, Н.Сукаванама, К.Б. Бараталиева, С.Н. Рас .т амб скоп а. Эти работы посвящены построению теории Нетера для соответствующих интегральных уравнений третьего рода в пространствах непрерывных, интегрируемых и обобщенных функций. Таким образом, приходится отмечать, что работ по теории уравнений третьего рода сравнительно немного, в 'частности, вопрос о разработке и теоретическом обосновании,приближенных методов их решения в литературе, по существу, до сих пор оставался открытым.

При решении многих теоретических и практических вопросов возникают интегральные уравнения Фредгольма первого рода, относящиеся к некорректным задачам. Фундаментальные результаты в области таких задач получены А.Н.Тихоновым, М.М.Лаврентьевым, В.К.Ивановым, В.А.Морозовым, их учениками, сотрудниками и последователями. Особенностью этого важнейшего направления является то, что поиск решений уравнений первого рода производится, как правило, в классических пространствах (налр., в С, Ьч и их подклассах или др.) и устойчивое приближенное решение некорректных задач достигается, как известно, их регуляризацией различными способами. Достаточно полные обзоры методов и результатов по решению некорректных задач и библиография содержатся в монографиях В.К.Иванова, В.В.Васина и В.П.Тананы, М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова и С.П.Шишатского, В.А.Морозова, А.Н.Тихонова и В.Я.Арсенина и др. В то же время возникла необходимость развития теории уравнений первого рода и в несколько ином направлении, а именно, решения их в классе обобщенных функций специального вида. В самом деле, рядом авторов на теоретических и практических примерах было показано, что линейные интегральные уравнения первого рода могут иметь обобщенные решения с особенностями, сосредоточенными на границах промежутка интегрирования, причем решения такой структуры часто возникают в задачах современной физики, механики и техники. Более того, во многих случаях интегральные уравнения первого рода, связанные с задачами оптимального автоматического управления, имеют решение лишь в обобщенных функциях. Это обстоятельство стимулировало появление работ, в которых построены обобщенные решения интегральных уравнений первого рода общего вида. К ним относятся статьи М.И.Иманалиева, П.С.Панкова и О.Г.Брендера, А.Д.Мышкиса, Э.Т.Мусуралиевойи А.Д.Мышкиса.

Из анализа имеющихся работ следует, что вопросы разрешимости интегральных уравнений третьего и первого родов в пространствах обобщенных функций недостаточно изучены. Ввиду того, что рассматриваемые уравнения точно решаются лишь в очень редких частных случаях, особенно актуальной является разработка эффективных приближенных методов их рещеншг в классах обобщенных функций с со-

А

ответствующим теоретическим обоснованием.

Отличительной особенностью настоящей работы является то, что отыскание решения изучаемых уравнений третьего и первого родов рассматривается как корректно поставленная задача. При этом класс искомых элементов есть конечномерное расширение области определения исходного оператора уравнения (заметим, что в основе понятия корректности по Тихонову лежит фундаментальная идея сужения области задания исходного оператора). Это обстоятельство,-с-одной стороны, позволяет снять условия разрешимости, а с другой — делает невозможным непосредственное использование известных результатов по теории приближения. Возникает необходимость построения подходящей теории приближения в основных пространствах и, на этой основе, разработки новых методов решения интегральных уравнений третьего и первого родов с соответствующим обоснованием. .

Цель работы состоит в построении полной теории разрешимости линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего и первого родов в пространствах обобщенных функций и разработке эффективных приближённых методов их решения с теоретическим обоснованием.

Методика исследований. Работа построена по следующей логической схеме.. В зависимости от структуры коэффициентов исследуемых уравнений конструируются пары основных пространств, изучаются их . функциональные свойства, необходимые в дальнейших исследованиях,., и строится специальная теория приближения в этих пространствах.;. Затем изучаются вопросы разрешимости рассматриваемых уравнений в подобранных пространствах. После этого предлагается классиче- . ский подход к приближенному решению изучаемых уравнений. Далее строятся и обосновываются специальные новые прямые методы, обладающие существенным преимуществом перед классическими методами. В заключение проводится оптимизация по порядку точности прямых и проекционных методов решения исследуемых уравнений. Такой подход работе в целом придает законченный вид в смысле полноты исследований. Методы, применяемые в диссертации, основываются на существенном использовании теорий обобщенных функций, операторов Нетера, приближения функций и общей теории приближенных методов анализа. Широко-используются методы функционального анализа.

Научная новизна. В диссертации изучены функциональные свой-, ства основных пространств, используемых в исследованиях, и построена "специальная теория приближения в этих пространствах, приспособленная к решению линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего и первого родов. Для интегральных уравнений третьего рода с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка, построена полная теория разрешимости в различных классах обобщенных функций (нетеро-вость, условия разрешимости, методы точного решения, достаточные

условия непрерывной обратимости оператора уравнения). Воспользовавшись существенным образом этими результатами, разработаны и теоретически обоснованы вычислительные схемы на основе ряда классических прямых проекционных методов решения уравнений третьего и первого родов в пространствах обобщенных функций. На базе построенных в настоящей работе "полиномиальных" и "сплайновых" операторов (определенных на пространствах основных функций) и их аппроксимативных свойств предложены специальные новые прямые методы решения уравнений третьего рода, обладающие существенным преимуществом перед классическими методами в смысле улучшения скорости сходимости приближенных решений, и дано их обоснование. Построены и обоснованы специальные прямые метода решения уравнений первого рода в классе обобщенных функций. Совокупность полученных результатов по приближенному решению исследуемых уравнений позволила поставить и решить проблему оптимизации по порядку точности различных классов прямых и проекционных методов решения уравнений третьего и первого родов в Пространствах обобщенных функций. При этом построены новые оптимальные по порядку прямые и проекционные методы решения эТих уравнений.

Теоретическая и практическая ценность.Работа носит теоретический характер. Ее результаты по приближенному решению инте* тральных уравнений содержат аффективные оценки погрешности приближенных решений и позволяют предсказывать быстроту сходимости к точному решению и, следовательно, могут служить основой для численных расчетов в соответствующих задачах. В целом методы и результаты данной диссертации могут быть использованы при дальнейшем развитии теории интегральных ¿уравнений в пространствах обобщенных функций и найти применения при решении прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям'.

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации сообщались на семинаре "Теория аппроксимации и ее приложения" при Казанском университете (1984-1996, руководитель — член-корр. - АНТ В.Г.Габдулхаев),на семинаре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского университета (1987, руководитель - проф. В.С.Рогожин), на итоговых научных конференциях Казанского университета (1984-1996), на научных конференциях Куйбышевского политехнического института (1984, 1986), на Волжском зональном совещании-семинаре по дифференциальным уравнениям (математической физике) (Куйбышев, 1984), на Всесоюзной школе "Теоретические основы и конструирование алгоритмов решения задач математической физики" (Казань, 1984), на Сибирской школе-конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 1988), на Всесоюзной конференции по классическим и неклассическим краевым задачам для дифференциальных уравнений с частными производными, специальным функциям, инте-

тральным уравнениям и их приложениям (Куйбышев, 1987), на Всесоюзном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Харьков, 1989), на Всесоюзной конференции по современным проблемам сингулярных интегральных уравнений (Тарту, 1989), на Республиканской конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (Одесса, 1989), на Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (Одесса, 1991), на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (Самара, 1992), на Республиканской конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Одесса, 1992), на Международной конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Казань, 1992), на Международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (Казань, 1994), на Международной конференции "Механика машиностроения" (Набережные Челны, 1995), на научных межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1995, 1996), на летней школе-конференции "Теория функций и ее приложения" (Казань, 1995). Кроме того, доклады по теме диссертации были включены в программу и отражены в материалах Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" (Бишкек, 1991) и Всемирного конгресса математиков (Швейцария, Цюрих, 1994). Основные результаты диссертации в целом докладывались в Казанском государственном университете на семинаре кафедры теории функций и приближений (1994, 1996, руководитель - член-корр. АНТ Б.Г.Габдулхаев), в Московском государственном университете на семинаре кафедр математической физики и вычислительных методов (1995, руководители - проф. Е.В.Захаров и проф. И.К.Лифанов), на семинаре "Современные проблемы численного анализа" при НИВЦ МГУ (1995, руководитель - проф. В.А.Морозов), в Институте гидродинамики СО РАН на семинаре по математическим моделям механики сплошных сред (1996, руководитель - член-корр. РАН П.И.Плотников), в Новосибирском государственном университете на семинаре кафедры теории функций (1996, руководитель — акад. РАН М.М.Лаврентьев).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 27 работ.

Объем и структура работы.Диссертация изложена на 318 страницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав и библиографии, содержащей 123 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение включает в себя краткий исторический обзор работ по исследуемой теме, краткое изложение содержания диссертации и перечисление ее основных результатов.

Первая глава посвящена изучению функциональных свойств основных пространств, необходимых в дальнейших исследованиях, и построению специальной теории приближения в этих пространствах. Полученные здесь результаты существенно используются во всех последующих главах работы. Это, в значительной мере, и предопределило выбор материала рассматриваемой главы.

В первом параграфе, следуя З.Пресдорфу и В.Б.Дыбину, вводится класс С{т; <0} точечно "гладких" функций; изучаются его элементарные свойства.

Пусть С — С[«,Ь] - пространство непрерывных на [а, Ь] функций с обычной вир-нормой. Если существуют последовательно пределы

j-l

j\ Еш(Г'>)(0 н j\ lim{fo>(t) -£>{Í}(M(Í -М» -<о)"0 -t—'flrt t—»<0

1=0

• = (j=Mb m€ N, Vi°>(to) = <p(t9))t

то величины y^'^(fo) называются тейлоровскими ( или разностными ) производными j-ro порядка от функции у £ С в точке to € (а,Ь). Линеал функций из С, имеющих в точке <о € (а, Ь) тейлоровскую производную.порядка т, обозначается через С/™^ [а, Ь] = С{т; ío} (естественно считается, что C{0;t0} = С). По соответствующей норме C{m;ío} полно.

В §2 изучаются основные свойства C{m;¿a}, интересные и с точки зрения функционального анализа. В частности, установлены сепарабельность пространства C{m;t0}, критерий компактности множеств в C{m;ío}> теоремы о вложении банаховых пространств.

В §3 вводятся частные тейлоровские производные и определяемые ими классы функций двух переменных; изучаются их свойства, относящиеся к элементам теории приближения функций. В частности,

I]2) S {к б С(\-1, l]2)|tfü>(í, 0)ес (; =

cí-'a-Mi3)=cí"»j([-i,ii2)n c/m>a-i,ij2).

В §4 устанавливаются функциональные свойства банаховых пространств С{т;т} и Р{т;т}, а также приводятся некоторые необходимые определения и вспомогательные факты.

Пусть

С{ш-,т} = = П (</ е (-1,1)).

Обозначим через Р{тп\ т} семейство обобщенных функций /, определенных на основном пространстве С(т; т), вида

V mi

m=5(0+Е Е M{i,(< - <>)+«я^ - с1)

j = l ¡=0

где д £ С, 6 1- произвольные постоянные, 6 и ¿М - соответ-

ственно дельта-функция Дирака и ее "тейлоровские" производные, а знак "F.P." указывает на конечную часть интеграла по Адамару. Пространства D{m;г} и V{rn;r} -этоподпространстваР{пТ;г}, состоящие из элементов вида (1) при а¿,- = 0 и = 0 соответственно.

§5 посвящен построению специальной теории приближения в пространствах C{m;r} и Р{т;т}. Устанавливается полнота системы полиномов в С{т\т}\ исследуются вопрос о наилучшем полиномиальном приближении элементов из C{m;r}, поперечник по Колмогорову множеств в С{гп;т}. Обсуждается вопрос о приближении функций из С{Ш;т] при помощи общих линейных полиномиальных операторов и, на этой основе, строятся новые конкретные операторы в пространстве С{т;т} и изучаются их аппроксимативные свойства. Исследуется также вопрос о приближении элементов C{m;r) с использованием сплайнов первого и второго порядков. Аналогичные вопросы рассматриваются и для P{m;r}. . .

Пусть Нга = span{t'}g, Еп(д) - наилучшее равномерное приближение функции g(t) полиномами из Нп,

fn

Я» (V)= inf0 \УР- ¥>п||сг{«;Г}, p« е н„

(<р Е С{гтг;т}), Т :С{т;т} —* С — "характеристический" оператор класса С{т; г}, а d„(Q,X) -n-й поперечник по Колмогорову множества Q в пространстве X. Имеет место

Теорема 1. Справедливы следующие факты:

(i) V<p 6 C{m;r} Vn> ¡1 3xj>n € Ш„ : \\г-Фп\\C{m;r} = Епт(ц>у,

(») ЕпТ(<р) = £>„_,( Т» (у € С{Щ7}, р. = £ ms);

з=1

(in) ¿w(Q,C{m;r}) = dN.,{ T(Q),C) (N > ¡i).

Далее, обозначим через = Din+|i-i : C{m; r} —» Hre+(1_i линейное отображение, всякий образ Э?п1£> которого характеризуется свойствами

У - = о (к =

-1

где \¥к - одна из следующих "весовых" функций: (К) = S{t — Vk) (5 — функция Дирака, - узлы Чебышева);

(М) = /э(<)Т*_1(<) ({Та;_1 } - полная ортонормированнал на

[—1,1] по весу />(4) = (1 — <2)-1/2 система полиномов Чебышева первого рода);

(П) И7*(0 = Х[п-,,тк]0) - индикатор множества [тц,^], где -

система узлов Чебышева второго рода, обогащенная концами отрезка [-1,1]-

Георема 2. Оператор обладает, следующими свойствами:

(¿) ж* =

(*») ||Зг«||с{п»;г}'-С7{т;г) -Ьп (л - 1 £ К);

'(ш) ЗД|с{™5г} = 0{Еп-1{ Т^)1пп) (у> 6 С{Щт}).

Пусть {^¡}о ~ фундаментальные сплайны первого порядка по произвольной системе узлов С [—1,1], для которой

Д„= шах (*+!-*)-О (п оо), = (/ € С),

0<«<п—1 '

а7„ = : С{т;т) —» зрап{17ф^ $ обозначает линейный опе-

ратор, относящий к любой функции <р 6 С{тп;г} "обобщенный сплайн" упу> (ц + 1)-го порядка, определяемый условиями

( т7»р)<*0 = (т*>)(*0 ({= бТп), (лпг){'Чь) = <Р{ЧЬ)

Теорема 3. Для спяайнового оператора. имеют место соотношения:

7п = 7п, |Ы|с{5й;г} = 1,

\[ч> ~ 7пИ1 < «( Тр; Д„) (<р 6 С{т; г}),

где и;(/; Д) - модуль непрерывности фунхции / в точке А (0 < Л < 2).

Строятся также и другие полиномиальные и сплайновые операторы в С{тп\ г}, применяемые в дальнейшем при приближенном решении определенных классов интегральных уравнений третьего рода.

В §6 вводятся пространства С{р1;р2) (основных функций), Р{р1;рг}, 0{р1\р-1), У{р\]р2) (обобщенных функций); изучаются их функциональные свойства м в них строится специальная теория приближения, аналогичная теории §5.

В §7 рассматриваются класс С= 1] и пространство П =

С®зрап{6^(Ь)}1®$рап{6^(1— ¿)}д ^ < т) обобщенных функций, определенных на . Изучаются некоторые новые функциональные свойства класса , необходимые в дальнейших исследованиях. Далее на базе рассуждений и результатов §5 предлагается специальная теория полиномиального и сплайнового приближений в пространствах С^ и П, аффективная при приближенном решении интегральных уравнений первого рода в классе $1. Приведем один результат в полиномиальном случае.

Пусть р„ : С<т) —> Ип+т-1 - оператор, относящий ко всякой функции / € С(т> полином удовлетворяющий условиям

(рп/ - /)(0(0) = О

I (2?р„/-1?/)(<)Л = 0 и = М),

г,-1

где = а система узлов {т¿} такая же, что и в §5.

Теорема 4, Полиномиальный оператор р„ обладает свойствами

(a) р2п = р„;

(b) Цр'пИсгМ-^сС") ~ 1пп (п-16 Н);

(c) ||/-_р„/||С(Ж,=0{Вп_1(1>ЯЬп} (/ее«).

Во второй главе строится полная/теория разрешимости определенных классов уравнений Фредгольма третьего и первого родов в пространствах обобщенных функций (нетеровость, условия разрешимости, методы точного решения, достаточные условия непрерывной обратимости оператора уравнения). При этом пары основных пространств конструируются в зависимости от структуры коэффициентов уравнений.

В §1 приводится постановка задачи и описывается характер полученных в данной главе результатов.

Исследуются следующие линейные интегральные уравнения Фредгольма:

ь

Ах = v(t)x(t) + I К(1,= у(*) (а < * < Ь) (2)

а

— уравнение третьего рода (УТР) с коэффициентом «(<), имеющим на [а, Ь] конечное множество нулей степенного порядка;

Кх = J = з/(<) (а < < < Ь) (3)

а

— уравнение первого рода (УПР) с верхним пределом принимающим величины Ь или t, причем при сг(£) = Ь достаточно гладкое ядро К имеет скачок частной производной некоторого порядка на диагонали = з) области определения. §2 посвящен исследованию разрешимости УТР с коэффициентом, имеющим нули степенного порядка внутри промежутка интегрирования. Решение отыскивается в классах непрерывных и обобщенных функций. При определенных условиях точечной "гладкости" на ядро К устанавливается нетеровость оператора А третьего рода, подсчиты-вается его индекс. Даются необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородного уравнения в виде требований ортогональности правой части всем решениям соответствующего однородного союзного уравнения. При этом существенно используются нетеровость оператора умножения на коэффициент уравнения и полная непрерывность регулярного интегрального оператора.

В §3 рассматривается УТР с коэффициентом, имеющим нули любого степенного порядка на концах промежутка интегрирования. Проводятся те же исследования, что и в §2.

В §4 исследуется общее УТР с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка. На основании содержания предыдущих §§2-3 приводятся обоснованные результаты по разрешимости, аналогичные изложенным в §2.

«Предварительно вводятся банаховы пространства.основцых и обобщенных функций:

С{Р1,Р2-,Ш,г} = !] = С{Р1;Р2} П С{т;т),

Р{Р1,Р2;т,т} = р2} ® врап{бМ^ -=0,т,-1, ] =Т7р},

V{pi,p2;rñ,r} г V{p1-,p2}Bspan{F.P.(t-tj)-i-1\i = 0, ту - 1, j = Г^},

Р{рьр2;т,т} s P{pi;pí} ©¿panfí^i ф span{F.P.(t - t/T'1}.

Затем рассматривается УТР (2), в котором v(t) = tPl(l — <)Р2П?=1(<-tj)mf (Pi £ R+, t e [0,1], tj € (0,1), rrij € N (j = l~p)), К и у

- известные непрерывные функции, обладающие определенными свойствами " гладкости" точечного характера, а х - искомый элемент. Линейные расширения оператора А : С -+ C{pi,p2; m,r} на пространства D{pi>P2;m,r}, V{pi,p2]rñ,T} п P{pi,p2]m,T} обозначаются через Л, Л и А соответственно. Доказываются следующие утверждения.

Теорема 5. Операторы А, А, А и А нетерови со следующими индексами:

к(А) = -ц - Л] - - 2, = K(Á) = 0, к(Л) =

гдеХi = \(p¡) (t' = lT2), A(s) = [i]-x(0}(5-W) (s 6 R+).

Теорема 6. УТР Ах— y (ye С{р\,рг\т,т}) разрешимо в С тогда и только тогда, когда

i

Jymk(t)dt = 0 (* = 1,2,...,а(Л')),

о

где {фк} - базис пространства решений однородного союзного уравнения' А'ф = 0 (ф € Р{риР2',Ш,т}).

Аналогично формулируются условия разрешимости неоднородных: уравнений Ах = у, Ах = у и Ах — у в классах D{pi,p2] m, г}, и P{pi,p2\m, т} соответственно.

В дальнейшем при обосновании приближенных методов решения операторных уравнений существенную роль играет непрерывная обратимость соответствующих операторов. В связи с этим следующие два параграфа посвящены этому вопросу.

В §5 даются достаточные условия непрерывной обратимости оператора третьего рода, определенного соотношением (2), и указывается метод отыскания точного решения УТР в пространствах D{p\ ,p2;m, г} и V{pi,p2',m,r) обобщенных функций.

В соответствующих работах М.И.Иманалиева, П.С.Панкова й О.Г. Врендера, А.Д.Мышкиса, Э.Т.Мусуралиевой и А.Д.Мышкиса были найдены условия, достаточные для разрешимости УПР вида (3) в пространстве П. Особенностью §6 является то, что здесь, имея в виду дальнейшие исследования, достаточные условия обратимости интегрального оператора К первого рода формулируются по аналогии со случаем УТР и на этой основе конструируется метод отыскания точного решения УПР в ÍÍ, доведенный до практически удобного алгоритма. Как следствие получаются результаты по разрешимости одного класса уравнений Вольтерра первого рода в классе обобщенных функций. Приводятся примеры, которые, с одной стороны, иллюстрируют изложенный алгоритм, а с другой - находят в дальнейшем полезные

применения при оптимизации прямых проекционных методов решения УПР.

Глава третья посвящена приближенному решению УТР и УПР в различных пространствах обобщенных функций. Здесь на основе ряда классических прямых проекционных методов разрабатываются соответствующие вычислительные схемы и дается их теоретическое обоснование. Следуя Л.В.Канторовичу (см. также соответствующую монографию Б. Г. Габ дул хаев а ), под теоретическим обоснованием приближенных методов в диссертации понимается следующий круг задач:

- доказательство теорем существования и единственности решения приближенного уравнения;

- установление оценок погрешности приближенного решения;

- доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и исследование скорости сходимости;

- исследование устойчивости и обуслов ленностиприближенных уравнений.

При обосновании рассматриваемых методов существенно используются: вариант общей теории приближенных методов анализа, предложенный Б.Г.Габдулхаевым, установленные в первой и второй главах результаты, а также некоторые факты конструктивной теории функции.

§1 содержит постановки задач обоснования и оптимизации прямых проекционных методов решения линейных операторных уравнений и ряд вспомогательных результатов из общей теории приближенных методов.

В §2 для приближенного решения УТР (2) (v(t) = - tj)m>) в

пространстве D{m\ т} предлагаются и обосновываются методы колло-кации, моментов, подобластей и коллокации-подобластей. Ради простоты выкладок подробное исследование проводится в случае р — 1 , tj = 0. А для.общего случал рассматриваемых уравнений даются вычислительные схемы и приводятся основные результаты.

Пусть дано УТР вида

1

Ах = tmx{i) Ч- J K{t, s)x(s)ds = y(t) {t € [-1,1]), (4)

-l

где

* €C0{m>«-l,l}2), АГ.%,0)€С{т;0} 6(t,s) = (TtK)(tts) 6 Cim>([-l,ll2) (T = Tm); у € C{m;0},

а. х £ D{rn\0} - искомая обобщенная функция. Приближенное решение уравнения (4) отыскивается в виде агрегата

п—1 т—1

x"(t) = Ectifc+ Е сЬ+п5[к]{*) (n€ N, п > т). (5)

Jb=0 fc=0

Неизвестные параметры с* = с^ (к = 0,п + т — 1) определяются по методу коллокациииз системы линейных алгебраических уравнений

(СЛАУ)

(Ax„)("j) = У (?j) (j = 1 ,п + т), (6)

где Vj = € [—1,1] - узлы Чебышева (первого или второго рода).

Для вычислительной схемы (4) - (6) справедлива следующая

Теорема 7. Пусть УТР Ах = 0 имеет в £){т;0} лишь нулевое решение, а функции h = Т,в ( по t), gi(t) = 0) (г = 0,т — 1), Ту 6 С^2гп\ причем производные ( по t равномерно относительно s ), д\2т\(ТуУ2т^ S DLip (т.е. -классу Дини-Липшица). Тогда при достаточно больших п приближенные решения х*, определяемые из (5),(6), существуют, единственны и сходятся к точному решению х* — А~*у по норме пространства D{m\ 0} со скоростью

ТП—1

||< - = 0{[Е(п_,(к) + £ £?„_!(*) + Яп_а(Гу)]п2т Inn}.

i=0

Следствие 7.1. Если h (по t), gi,Ty 6 Я£ (r > 2m, 0 < а < 1), mt в условиях теоремы 7 верна оценка

||г* —3*11 = 0(n2m~r~a' In. п).

Теоретическому обоснованию перечисленных методов решения УТ1 в пространстве V{m;r} посвящен §3. Следует отметить, что и в это) случае оценки погрешности рассматриваемых методов хорошо учиты вают .структурные свойства исходных данных. В §4 проводятся ана логичные исследования при приближенном решении УТР (2) с v(t) -ipi( 1 -<)Ps (Pi > 0) в классах D{pi)p2} и

В §5 рассматривается УТР (2) в общем случае нулей (граничных i внутренних одновременно) произвольного степенного порядка, т.е. пр: v(t) = <fl(l - t)p*Il?=l(t - tj)m>. На базе содержания предыдущих §§2-приводятся основные результаты по обоснованию методов коллокациз моментов, подобластей и коллокации-подобластей решения исследу! мого УТР в пространствах D{pi,p2',m,т) и У{р1,рг;г",г}.

В заключительном, шестом параграфе исследуется УПР (3). Его [риближенное решение отыскивается в классе £1 обобщенных функций :пециального вида. В этих целях предлагаются и обосновываются вы-вислительные схемы, построенные на основе вышеупомянутых прямых фоекционных методов. Оценки погрешности приближенных решений юлучаются в зависимости от структурных свойств исходных данных.

Пусть дано УПР

1

Кх = I = у(<) (0 < г < 1), (7)

о

в котором К и у известны, причем ядро К удовлетворяет условиям:

q = т/2-1, тп/2е К);

ГУ« = " [^¡тМ-. = 0 и = МГГ2), (9)

7т-1(«) Ф 0 (о < * < 1); (Ю)

правая часть у € С^"1^ (порядок т определи условиями на, К ), а х € П - искомая обобщенная функция. В качестве иллюстрации рассмотрим метод подобластей. Считаются выполненными следующие дополнительные предположения:

£(*,.), (г > 2тп, а 6 (0,1]). (11)

Приближенное решение УПР (7) строится в виде комбинации п—1 д

= £ + 1><+»*(,'}С<) + - <)], (12)

»3=0 »"=0

где {с;}£+2?+1 — коэффициенты, подлежащие определению. Они находятся из СЛАУ

Т>+1

I [Кхп - у)(<)Л = 0 0' = 0,п + 2д + 1), (13)

(8)

где {tj} - система узлов, использованная в §5 гл.1. Относительно вычислительного алгоритма (7)-(13) имеет место Теорема 8. Нустъ функции. К и у удовлетворяют условиям (11). Если УЛР (7) однозначно разрешимо в fi при любом у 6 то при всег п > По система (13) также имеет единственное решение {с*}о+2®+1 и по следовательно cms приближенных решений т*п1 построенных по формуле (12) при = с*}, сходится к то\-ному решению х* = К~гу в метрике пространства £1 со скоростью

\\х*п - г*|| = 0(п2т~Т~а Inn) (г > 2m, 0 < а < 1).

Исследуются также методы кол локации, моментов и коллокации-подобластей и рассматриваются вопросы устойчивости и обусловленности этих методов.

В главе четвертой строятся и обосновываются специальные прямые методы, приспособленные к решению УТР в различных классах обобщенных функций.

Результаты третьей главы показывают, что при решении УТР на основе классических приближенных методов сходимость приближенных решений достигается путем ограничения исходных данных жесткими требованиями гладкости. Это означает, что известные методы приводят к "плохой" скорости сходимости (в частности, по естественному сравнению со случаем уравнений ■Фредгольма второго рода). В этой связи представляет интерес задача улучшения скорости сходимости при естественных условиях относительно исходных данных. В настоящей диссертационной работе эта важная задача находит свое решение за счет построения новых эффективных прямых методов, в определенном смысле максимально учитывающих характерные свойства элементов основных пространств,

§1 посвящен "полиномиальным" методам решения УТР в пространствах D{тп; т} и V{rn;r} . Разрабатываются некоторые новые варианты методов коллокации и подобластей, основанные на применении специальных полиномов (Бернштейна, Эрмита-Фейера и Канторовича соответственно). В случае этих методов имеет место безусловная сходимость приближенных решений к точному решению однозначно разрешимого УТР. Кроме того, предлагаются "полиномиальные" метода (обобщенныеметодыколлокации, моментов, подобластей и коллокации-подобластей), которые, в частности, вбирают в себя (в зависимости от значений некоторых параметров) рассмотренные в третьей главе классические прямые методы. При обосновании получаемых алгоритмов существенно используются соответствующие результаты первой главы (§5).

Пусть имеем УТР (2), в котором v(t) = Пpj=i(t - tj)mi, х € £{пг;т} - неизвестная обобщенная функция, а исходные данные Kay таковы,

(¿ = 1,т_,-1, ,р), уеС{т;т). у '

Конечномерное приближение к решению х* = Л-1 у ищется в виде 1разования

п-1 р

я„(<) = £ а? + £ £ с¡+п+мо_1)г<;}(< - ¿Д (15)

,=0 >=] »=0

где

я

М(9) = £т,- (д = 0,1,...,р), М(0)г0, М(р) = /х.

скомые параметры определяются согласно обобщенному

;тоду ко л локации из условий (т.е. СЛАУ):

(Ахп - у)« (4,-) = 0(г = 0, ту--1^ = 1^), , .

(та^п- ту)(^о=о

где {^у} - узлы Чебышева. Для алгоритма (2),(14)-(16) справедли-

I

Теорема 9. Лустпъ уравнение Ах = 0 имеет, в 1){т;г} лишь триви-нное решение, а Л = (по Ь ), fji — Тфц , Ту 6 БЫр. Тогда при

> щ приближенные решения х* , определяемые из (15),(16), существу-п, единственны и сходятся к х* по норме £>{га;т} с быстротой

т "у—1

К-х1=0{[Е<-1(Л) + £ ^ Е„-1(/,ч) + Д.-1( Ту)] 1пгг}.

3 = 1 >=0

Следствие 9.1. Ясли Л (по t ), Ту 6 Нта (0 < а < 1, г + 1 € М), о в -условиях теоремы, 9 истинна оценка

К х* — 1*|| = 0(п~г~а 1пгг).

При ту = 0 (у = 1,р) рассматриваемое УТР превращается в урав-яше второго рода в С , а прямой проекционный метод (15),(16) - в шестный метод коллокации (название метода (16) вполне правомер-)е!), причем Ту = у, к = К . Следовательно, теорема 9 содержит себе известные результаты по обоснованию метода коллокации для равнения второго рода.

Аналогичные исследования проводятся в §2 при приближенном рвении УТР в классах £*{р1;р2} и 1/{р1;р2} обобщенных функций.

В §3 предлагаются и обосновываются новые прямые методы (обобщенные методы сплайн-кол локации, сплайн-подобластей и обобщенный метод подобластей на, базе параболических сплайнов) решения УТР в .D{rn;r} и V{m;r} , построенные на. основе сплайнов первого и второго порядков. В частности, эти методы содержат в себе (в зависимости от "веса" и значений соответствующих параметров) ряд известных сплайн-методов.

Сказанное проиллюстрируем на примере метода, использующего сплайны первого порядка. Рассмотрим УТР (2) при v(t) = П?=1(£ — tj)m', в котором Kay удовлетворяют условиям (14). Приближенное решение его ищем в виде агрегата

п р "Ч —1

Xn=Xn(t-,{ci})=Y^Cii'¡W + E Е {=0 "j'=l i=0

где {'/'¡jo — система фундаментальных сплайнов первого порядка по узлам s; = — 1 + 2г/п (t = 0,п). Неизвестные коэффициенты {су}о+'1 находим по обобщенному полигональному, методу из СЛАУ:

1 _

/ wk(t){ ТАхп - Ty)(t)Ä = 0 (к = 0,п);

-1 __V1';

(Ах„ - (tj) = 0 (» = 0, mj - 1, j = ТТр),

где Wh - любой из следующих "весов": (К) wt(t) = 8{t — Sk); (П) wjt(i) = причем в случае (П) = so, а также Со — сп или

со = Cl.

Теорема 10. Если кегА = {0} (А : Б{тп;т} —► С{т;т}), то при всех п (п > пг) СЛАУ (17) обладает единственным решением-{cj} и последовательность приближенных ■решений х* — xn(t\ {с^}) сходится к х* = А~^у в смысле метрики пространства D{m; г) со скоростью

р mj -1

II®; - «-и = омл; д„) + Е Е w(/iM Л")+ту; л»)1.

j=l ¿=0

где Ап = 1/п, а функции h и jji определены » теореме 9.

Как следствие из теоремы 10 получается, что рассмотренный метод дает наивысший порядок для погрешности 0(Д„). Указанного недостатка лишен метод, основанный на использовании сплайнов второго порядка. А именно, справедлива следующая

Теорема 11. Если функции h (по i ), /,•;, Ту £ С<г' (г = 172), то в условиях теоремы 19 погрешность обобщенного метода подобластей на базе параболических сплайнов может быть оценена неравенством

+Ц(т3/)И;ДП)]Д;;} (г = м).

Аналогичные вопросы по " сплайновым" методам рассматриваются и в §4 в случае решения УТР в пространствах Г>{р1;рг} и У{рз;рг}-

Анализ результатов третьей (§§2-5) и четвертой (§§1-4) глав позволяет утверждать, что теория методов приближенного решения УТР (2) в пространствах обобщенных функций стала доведенной примерно до такой же степени завершенности, что и аналогичная теория для интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Этот факт делает актуальной новую задачу построения и исследования оптимальных по точности методов решения рассматриваемых уравнений в классах обобщенных функций. Ряд результатов в этом направлении излагается в §5 настоящей диссертации. Здесь подробно исследуются случаи решения УТР в пространствах Р{тп] г}, У{т;т},Щр1;ри} и У{р1;р2}. Устанавливается, что предложенные выше обобщенные методы кол-локации, моментов, подобластей оптимальны по порядку на соответствующем классе типа Н* среда всех "полиномиальных" проекционных методов, а обобщенные сплайн-методы — среди всех проекционных методов решения УТР в соответствующем пространстве обобщенных функций. Приведем один из установленных результатов.

Следуя Б.Г.Габдулхаеву, через Удг(.Г) обозначим оптимальную оценку погрешности всевозможных проекционных методов решения данного операторного уравнения на классе Л Рассмотрим оптимизацию на классе однозначно разрешимых в £){т;г} уравнений вида (2) в случае, когда исходные данные принадлежат семейству С—"^= {/ 6

С {т; т)| т/ е я;;} (г +1 е к). Пусть — {Гп} - совокупность всех линейных операторов Гп : С{тп; 7»} —У„, отображающих С{тп\т} на. подпространство Уп С С{т/г; т} размерности N = п + ц + 1.

Теорема 12. Пусть Р = С^Н^. Тогда

(18)

и среди всех проекционных методов Г„ £ Гп^ решения УТР (2) опти-малъннми по порядку на, классе Б1 являются обобщенный полигональный метод (г = 0,1) и обобщенный метод подобластей на, базе параболических сплайнов (г = 0,2).

Следует отметить, что в ряде исследуемых случаев при получении нижней оценки для Удг(-Р) известные способы неприменимы. Поэтому здесь предлагается несколько иной путь, а именно, точное и приближенное уравнения рассматриваются при специальном симметричном ядре. Соответствующая этому случаю погрешность приближенных решений позволяет получить требуемую нижнюю оценку.

В §6 рассматривается общее УТР с коэффициентом,,имеющим на [0,1] конечное множество нулей любого степенного порядка. Все изложенные выше результаты по построению, обоснованию и оптимизации специальных прямых методов решения соответствующих уравнений переносятся на исследуемый общий случай. Для иллюстрации приведем лишь конструкцию вычислительной схемы обобщенного метода взвешенных невязок. Исследуем УТР (2) при и(4) = -Ь,)т>, в котором К и у удовлетворяют определенным условиям "гладкости" точечного характера, а I € £>{р1 Щт} - искомая обобщенная функция. Приближение к точному решению образуется в виде элемента

коэффициенты {су} которого определяются из условий

(Ах„-у)М(о+) = о (» = мГ); (Ах,-у)Ю(1-) = 0 (¿ = 0,Л2);

. (Л**-»)<'>(<>)= О (г = 0,ту — 1,7 = 17р);

¡\¥кЩ ТЛхп - Ту)(4)Л = 0 (к = Т^О,

о

где Игк - один из "весов" , введенных в §5 гл.1, Т : С{р1,р2;тп, г} —► С — "характеристический" оператор класса С{р1,р2]Ш,т}.

§7 содержит некоторые замечания и дополнения к четвертой главе. В частности, в нем рассматриваются вопросы о скорости сходимости невязки исследуемых методов, применимости предложенных выше специальных методов для УТР к решению и других линейных функциональных уравнений. В качестве иллюстрации разбираются случаи приближенного решения уравнений Фредгольма второго рода в классе точечно"гладких" функций и одного важного класса интегральных уравнений с интегралом в смысле конечной части по Адамару.

В заключительной, пятой главе излагаются результаты по разработке и обоснованию специальных прямых методов, приспособленных к решению УПР (3) в пространстве П обобщенных функций. Необходимость в таких исследованиях вызвана теми же причинами, что и в случае рассмотренных УТР.

В §1 предлагаются и обосновываются новые варианты методов подобластей и коллокации, основанные на применении полиномов Канторовича, Бернштейна и интерполяционного полинома Эрмита-Фейера соответственно. В §2 на базе идей и результатов для УТР (см., напр., §1 гл. 4) разрабатываются специальные методы (обобщенные методы коллокации, моментов и подобластей) решения УПР в 12, использующие стандартные полиномы. При обосновании получаемых схем существенно применяются соответствующие результаты первой главы

(§7). Рассмотрим, например, случай обобщенного метода подобластей. Приближенное решение задачи (7)-(10) ищем в виде комбинации (12), коэффициенты которой определяем из СЛАУ

/ (DKxn - Dy)(t)dt = 0 (i = Vi), '

Г(Кхп - y)W(O) = О (¿ = 0^1),

где {ту} - система узлов, определенная в §5 гл.1. Для вычислительной схемы (7),(12),(19) справедлива

Теорема 13. Пусть УПР (7) однозначно разрешимо в П при любой правой части у € а функции DtL — (DtL)(t,s), DtM .( по t), Dm, DPi (¿ = Ö^), \{i) = (DtL){i,t), ß(t) = (DtM)(t,t), Dy£ DLip. Тогда при достаточно больших п приближенные решения х*, построенные алгоритмом (12),(19), существуют, единственны и. сходятся к точному решению х* = К~2у по ноуме О со скоростъю

||®; - х*|| = ОЦе^К) + En-^Dy) + W(A; Д„) + Д„) + Д„] Inn),

где

4-iW = ¿[^-liDTTO+iJn-KPpOl+^-iC^^+^-iCAM), Д„ = l/n. j=0

Следствие 13.1. В условиях теоремы 13 имеют место утверждения:

(i) обобщенный метод подобластей для УПР (7) устойчив относи. тельно малых возмущений элементов СЛАУ (19); ^

(ii) если УПР (7) хорошо обусловлено, то хорошо обусловленной является также СЛАУ (19).

На основе рассуждений и результатов ло "сплайновым" методам решения УТР (см., напр., §3 гл.4) в §3 строятся новые прямые методы (обобщенные методы сплайн-кол локации, сплайн-подобластей и обобщенный метод подобластей на бале параболических сплайнов) с использованием сплайн-функций первого и второго порядков, дается их обоснование.

Конечномерное приближение к точному решению х* задачи (7)-(10) отыскиваем в виде

?

Хп ' гп + £[ci+n+1<5«(t) + <:,-+„+,+2<5(,)(1 -1)], (20)

t=0

где параболический сплайн zn(t) = <¡¿.02,¿(f) удовлетворяет

определенным граничным условиям (здесь В— обычные В-сплайны

второго порядка на равномерной сетке с носителем (s,_i,s;+2) (» = —1,п)). Неизвестные параметры {су} находим из требований (т.е. СЛАУ):

(Кхп ~у)<«'>(0) = 0 (j = 0, m — 1), / (DKxn - Dy)(t)dt = 0 (t = T~n). (21)

Я.--1 • r

Теорема 14. Пусть в условиях теоремы 13 функции DtL, DtM (по t ), Dm, Dpi, А, ц и ЛуеСМ (г =1,2). Тогда погрешность прямого метода (20),(21) может быть оценена неравенством

IK -х'\\ = 0{АгМУ{т+г)\Лп) + ^m+r); Д„) + шх{м\т+г)- Д„)+ + ¿И7Г»"'"+г); Дп) + -Ыт+Г); An)] + ¿ИаЫ; л«)+

¡=0 j= о

+ы(м(л;Ал)] + А„]} (Д. = 1 Jn, г=ТД).

§4 посвящен вопросам оптимизации прямых проекционных методов решения УПР (7) в Q. Доказывается, что методы, предложенные в §2, оптимальны по порядку на классе #™+г (r+1 £ N) среди всех полиномиальных проекционных методов, а методы в §3 - среди всевозможных проекционных методов решения исследуемых УПР.

В §5 приводятся заключительные замечания и некоторые дополнения. Именно, рассматриваются вопросы о сходимости невязки построенных методов, об исследовании обобщенных решений сильно некорректной задачи для интегральных уравнений Вольтерра первого рода, а также о применимости разработанных выше методов к решению и других линейных задач (перечисляются некоторые важные классы линейных уравнений). Для иллюстрации приводятся результаты по приближенному решению уравнений Фредгольма второго рода в классе С'т). В заключение на базе изложенных выше методов и результатов для УТР и УПР предлагается один универсальный подход к исследованию УТР. Результат такого подхода охватывает ряд вышеизложенных результатов для уравнений третьего и второго родов.

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты:

— построена специальная теория приближенияв пространствах основных и обобщенных функций, приспособленная к решению интегральных уравнений третьего и первого родов;

- построена полная теория разрешимости уравнений третьего рода с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка;

— разработаны и теоретически обоснованы вычислительные алгоритмы на основе ряда" классических прямых проекционных методов решения уравнений третьего и первого родов в пространствах обобщенных функций;

- построены и обоснованы специальные прямые методы решения уравнений третьего рода, обладающие существенным преимуществом перед классическими методами в смысле улучшения скорости сходимости приближенных решений;

— предложены и обоснованы специальные прямые методы решений уравнений первого рода в классе обобщенных функций;

- решена проблема оптимизации по порядку точности различных классов прямых и проекционных методов решения уравнений третьего и первого родов, при этом построены новые оптимальные по порядку прямые и проекционные методы решения этих уравнений.

Автор выражает благодарность участникам семинара "Теория аппроксимации и ее приложения" при Казанском университете, особенно своему научному консультанту член-корр. АНТ Б.Г. Габдулхаеву за внимание к работе и полезные обсуждения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Габбасов Н.С. К теории интегральных уравнений Фредгольма третьего рода в пространстве обобщенных функций // Известия вузов. Математика. - 1986. - № 4. - С.68-70.

.2. Габбасов Н.С. О приближенном решении интегральных уравнений третьего рода // Известия вузов. Математика. - 1986. - № 6. — С.49-52.

3. Габбасов Н.С. К приближенному решению интегральных уравнений третьего рода // Тез. докл. Всесоюзн. науч. конф. "Классич. и неклассич. краевые задачи для диффер. уравн. с частн. производными, спец. функции, интегральные уравнения и их приложения". — Куйбышев, 1987. - С. 39.

4. Габбасов Н.С. К приближенному решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода в пространстве обобщенных функций // Аналитические методы в теории дифференциальных и интегральных уравнений. - Куйбышев: изд-во Куйбышевского ун-та, 1987. -

С. 24-28.

5. Габбасов Н.С. О прямых методах решения интегральных уравнений третьего рода // Аналитические методы решения дифференциальных уравнений. - Куйбышев: изд-во Куйбышевского ун-та, 1988. -С. 64-69.

6. Габбасов Н.С. К численному решению интегральных уравнений третьего рода // Тез. докл. Всесоюзн. симп. "Методы дискретных особенностей в задачах матфизики" . - Харьков, 1989. - Ч. 1. -

С. 57-59.

7. Габбасов Н.С. Прямые методы решения интегральных уравнений типа Фредгольма / Казан, хим.-технол. ин-т. - Казань, 1989. - 34 с.

- Деп. в ВИНИТИ 15.06.89, № 3998-В89.

8. Габбасов Н.С. Обобщенный метод коллокации для интегральных уравнений третьего рода // Дифференциальные уравнения. - 1989. -Т. 25. - № 9. - С. 1612-1614.

9. Габбасов Н.С. Новый прямой метод численного решения интегральных уравнений первого рода // Тез. докл. научно-техн. конф. " Интегральные уравнения в прикладном моделировании" . - Киев, 1989.

- Ч. 1. - в. 53-54.

10. Габбасов Н.С. Новые прямые методы решения интегральных уравнений третьего рода // Известия вузов. Математика. - 1990. -№ 4. - С. 7-15.

11. Габбасов Н.С. Новый прямой метод решения интегральных уравнений первого рода // Дифференциальные уравнения. - 1990. — Т. 26. - № 12. - С. 2122-2127.

12. Габбасов Н.С. Новый прямой метод решения интегральных уравнений третьего рода // Математические заметки. - 1991. -

Т. 49. - Вып. 1. -С. 40-46.

• 13. Габбасов Н.С. Численный метод решения интегральных уравнений типа Фредгольма// Тез. докл. Всесоюзн. симп. "Метод дискретных особенностей в задачах матфизики". - Одесса, 1991. - Ч. 2.

- С. 13-14.

14. Габбасов Н.С. Об аппроксимации решений интегральных уравнений первого рода // Тез. докл. Всесоюзн. конф. "Асимптот, методы теории сингулярно-возмущ. уравнений и некорректно поставленных задач". - Бишкек, 1991. - С. 32.

15. Габбасов Н.С. Об одном сплайн-методе численного решения интегральных уравнений третьего рода // Дифференциальные уравнения. - 1991. - Т. 27. - № 9. - С. 1648-1650.

16. Габбасов Н.С. Новые варианты метода коллокации для интегральных уравнений третьего рода // Математические заметки. -1991. - Т. 50. - Вып. 2. - С. 47-53.

17. Габбасов Н.С. Оптимальный алгоритм решения одного класса интегральных уравнений третьего рода// Тез. докл. .Международной

научн. конф. "Дифференц. и интегральные уравнения. Мат. физика и спец. функции". - Самара, 1992. - С. 59-60.

18. Габбасов Н.С. Об одном прямом методе численного решения интегральных уравнений третьего рода // Иссл. по краевым задачам и их приложениям. - Чебоксары, 1992. - С. 68-73.

19. Габбасов Н.С. К оптимизации проекционных методов решения интегральных уравнений третьего рода // Тез. докл. конф., посвящ. 200-летию со дня рожд. Н.И.Лобачевского. - Одесса, 1992. - С. 60.

20. Габбасов Н.С. Коллокационный метод решения интегральных уравнений первого рода в классе обобщенных функций // Известия вузов. Математика. - 1993. - № 2. - С. 12-20.

21. Габбасов Н.С. Оптимальный метод решения одного класса интегральных уравнений первого рода // Тез. докл. Международной науч. конф. "Алгебра и анализ", посвящ. 100-летию со дня рожд. Н.Г.Чеботарева. - Казань, 1994. - С. 35-36.

22. Габбасов Н.С. Оптимальный проекционный метод решения одного класса интегральных уравнений // Дифференциальные уравнения. - 1994. - Т. 30. - № 2. - С. 333-335.

23. Gabbasov N.S. Optimal spline method for solving intégral équations of the third kind // Short Communications of ICM. - Zurich, 1994. - P. 239. .

24. Габбасов Н.С. Об обобщенных решениях некоторых задач автоматического управления // Тез. докл. Международной научно-техн. конф. "Механика машиностроения" . — Набережные Челны, 1995. -С. 233.

25. Габбасов Н.С. Оптимальный метод решения одного класса интегральных уравнений типа Фредгольма // Тез. докл. межвуз. научн. конф. "Мат. моделирование и краевые задачи". - Самара, 1995. -С. 64-65.

26. Габбасов Н.С. Один новый полиномиальный оператор и его приложения // Тез. докл. школы-конф. "Теория функций и ее приложения". - Казань, 1995. - С. 13-14.

27. Габбасов Н.С. Некоторые варианты метода подобластей для интегральных уравнений первого рода // Известия вузов. Математика. - 1996. - № 3. - С. 22-30.