Методы решения обратной задачи рассеяния для волоконных брэгговских решеток тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Белай Олег Владимирович

Методы решения обратной задачи рассеяния для волоконных брэгговских решеток

01.04.05 "Оптика"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 3 ОКТ 2008

Новосибирск—2008

003450287

Работа выполнена в Институте автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Шапиро Давид Абрамович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Федорук Михаил Петрович

доктор физико-математических наук Царев Андрей Владимирвич

Ведущая организация ФГУТТ

«Научно-производственная корпорация «Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова»

Защита диссертации состоится « 6 » ноября 2008 года в / О часов на заседании диссертационного совета Д 003.005.01 в Институте автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, Новосибирск, просп. Академика Коптюга, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИАиЭ СО РАН.

Автореферат разослан «3 » октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук 1 Насыров К.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Благодаря широким возможностям методов записи и разнообразию свойств, волоконные брэгговские решетки находят все больше приложений [1]. Они используются в оптических линиях связи [2], в сенсорных системах [3], а также для обработки радиочастотных и микроволновых аналоговых сигналов [4]. Для телекоммуникаций наиболее важные приложения—это компенсаторы дисперсии [5], зеркала волоконных [6] и полупроводниковых [7] лазеров, фильтры для разделения каналов [8].

Многообразие приложений требует создания решеток с различными спектральными характеристиками, которые определяются деталями строения решетки. Конструирование решетки требует решения обратной задачи рассеяния. Одномерная обратная задача рассеяния может быть сведена к системе двух интегральных уравнений Гельфанда— Левитана—Марченко (ГЛМ). Непосредственное численное решение этих уравнений представлялось слишком трудоемким, что привело к появлению различных методов численного решения обратной задачи, основанных на других подходах. Однако существующие методы имеют невысокую точность и, к тому же, оказываются неустойчивыми в случае сильноотражающих решеток.

Таким образом, актуальность работы обусловлена потребностью в высокоэффективных методах конструирования волоконных брэгговских решеток для различных применений.

Цель работы

Основные цели диссертационной работы были сформулированы как разработка точных и эффективных методов решения интегральных уравнений ГЛМ для синтеза волоконных брэгговских решеток; проверка точности и устойчивости предложенных методов на аналитических решениях; синтез прямоугольных оптических фильтров для линий связи с частотным уплотнением каналов; оптимизация спектральных характеристик фильтров.

Исследование состояло из трех этапов:

1. Выбор эффективных алгоритмов решения прямой задачи рассеяния. Проверка точности приближения связанных мод и численных

методов. Исследование аналитических решений.

2. Преобразование системы интегральных уравнений Гельфанда— Левитана—Марченко к эрмитовой и теплицевой форме. Разработка эффективных и точных алгоритмов решения обратной задачи рассеяния.

3. Проверка точности и устойчивости предложенных методов синтеза брэгговской решетки на аналитических решениях для высокоот-ражающих решеток. Синтез прямоугольных оптических фильтров для линий связи с частотным уплотнением каналов. Оптимизация спектральных характеристик фильтров.

Научная новизна

1. Получены простые асимптотические формулы для спектра и групповой задержки решетки с линейно меняющейся вдоль длины частотой штрихов.

2. Предложены эффективные методы численного решения обратной задачи рассеяния с помощью интегральных уравнений ГЛМ.

3. Повышена точность численного решения обратной задачи рассеяния без увеличения числа арифметических операций.

4. Предложен вариационный метод оптимизации, позволяющий находить профиль квазипрямоугольного оптического фильтра при условии наименьших фазовых искажений.

Значение для практики

1. Создан пакет программ для решения прямой и обратной задач рассеяния в волоконной брэгговской решетке, который может быть использован при интерпретации экспериментальных данных.

2. Сконструирован прямоугольный фильтр с малыми фазовыми искажениями в брэгговской полосе, позволяющий увеличить дальность безошибочной передачи данных в сверхскоростной линии связи с частотным уплотнением.

3. Предложена процедура подавления шумов экспериментальных данных при реконструкции высокоотражающих решеток.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Осцилляции групповой задержки в брэгговской решетке с линейной модуляцией частоты вызываются дополнительным отражением в той точке решетки, где локальная частота модуляции удовлетворяет условию параметрического резонанса.

2. Применение теплицевой симметрии матрицы и разработанной техники «внутреннего окаймления» позволяет уменьшить число операций с N4 до N2 при численном решении интегральных уравнений Гельфанда—Левитана—Марченко на отрезке, разбитом на N частей.

3. Точность численного синтеза волоконных брэгговских решеток на отрезке длиной N можно повысить с N'1 до N"2 без увеличения числа операций. Шум исходных данных можно подавить с помощью адаптивной регуляризации.

4. Минимизация среднеквадратичной групповой задержки квазипрямоугольного фильтра существенно подавляет фазовые искажения сигнала вблизи краев спектра. Фильтр с уменьшенной задержкой обеспечивает большую дальность оптической связи с частотным уплотнением каналов при фиксированной вероятности ошибки.

Апробация работы

Результаты работы доложены на следующих конференциях: IV Международный оптический конгресс «Оптика—XXI век» (4-7 сентября 2006, Санкт-Петербург); XII Конференция по лазерной оптике (26 — 30 июня 2006, Санкт-Петербург); XIII Конференция по лазерной оптике (23 — 28 июня 2008, Санкт-Петербург); Всероссийский семинар «Юрий Николаевич Денисюк — основоположник отечественной голографии» (22 — 24 мая 2007, Санкт-Петербург); 33-я Европейская конференция и выставка по оптической связи (33rd European Conference and Exhibition on Optical Communication) (16 — 20 сентября 2007, Берлин); 5th International Symposium on Modern Problems of Laser Physics (24 — 30 августа 2008, Новосибирск); I Российский семинар по волоконным лазерам (4 — 6 апреля 2007, Новосибирск); II Российский семинар по волоконным лазерам 2008 (1 — 4 апреля 2008, Саратов); Научно-практическая конференция молодых ученых и студентов НГУ и ИАиЭ СО РАН «Инфор-

национно-вычислительные системы анализа и синтеза изображений» (19 — 20 сентября 2006, Новосибирск).

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в сени статьях [А1-А7] в российских и зарубежных рецензируемых журналах, в том числе в шести журналах, входящих в перечень ВАК.

Личный вклад автора

Автор выполнял основную работу по написанию программ и проведению вычислений, принимал активное участие в постановке задач, обсуждении результатов и подготовке статей. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы, включающего 96 наименований. Общий объем работы составляет 124 страницы, включая 35 рисунков.

Содержание работы

Во введении сделан обзор литературы, сформулированы цели и задачи диссертации, приведены основные положения, выносимые на защиту. Описаны новизна и практическая значимость выполненной работы. Приведена структура диссертации.

Первая глава посвящена изложению теории связанных мод для волоконной брэгговской решетки.

В разделе 1.1 описана постановка задачи рассеяния для волоконной брэгговской решетки (ВБР), приведен вывод уравнений связанных мод и обсуждение пределов их применимости. Одномерное рассеяние света в среде с показателем преломления п + &п(г) описывается уравнением Гельмгольца

d2E

dz2

, 2 6n(z) 1 +-—+

ón(z)

Е = 0, к =

un

(1)

fgí Ь(2,)

aW

b(zr)=0

Рис. 1: Постановка задачи рассеяния.

где г — координата, к — волновое число в однородном волокне (при 5п(г) — 0), и, с — частота и скорость света в вакууме. Добавка 6п(г) к среднему показателю преломления п образует в волокне брэгговскую решетку, то есть является квазипериодической функцией, которая может быть промодулирована по амплитуде и по фазе.

Sn(z)

~/(z) + 20(z)cos(*z + e(z)):

(2)

где я — частота быстрого изменения показателя преломления, пространственная частота решетки, 9(z)—медленно меняющаяся фаза, (3(z) — глубина амплитудной модуляции, 7(2) — медленно меняющаяся часть добавки к показателю преломления, усредненное изменение показателя преломления. Функции, описывающие решетку, удовлетворяют условиям:

/5.7« 1; (3)

Так как 5п/п 1, можно пренебречь квадратичным членом в уравнении (1).

В резонансном приближении £ = к-я/2 <С х/2 при соблюдении условий (3) справедливы уравнения связанных мод (УСМ)

da , т db - .

— = i£a + q(z)b, — = -i$b + q*{z)a,

где q(z) —коэффициент связи мод, определяемый формулой

/ Ч 18(z)-ix Г-y(z')dz'

q{z) = 1_2~е 1 •

(4)

(5)

Постановка задачи рассеяния для брэгговской решетки проиллюстрирована на рисунке 1. Решетка имеет конечную длину и располагается на отрезке 2; < 2 < гТ. Слева на решетку падает волна, которая частично отражается влево и частично проходит вправо. Электрическое поле

Е(г) можно представить в виде суммы волн с комплексными амплитудами а и Ь, бегущих в положительном и отрицательном направлениях вдоль оси г

Е = ае1к + &Г1Ь. (6)

На концах решетки амплитуды волн удовлетворяют условиям: а{г{) = 1, Ь{гт) — 0. Требуется найти зависимость комплексных коэффициентов отражения и прохождения от волнового числа г (к) = = Ь(гг),

£(£:) = а(гг)/а(гг) = а(гГ) (здесь подразумевается зависимость амплитуд также и от к).

В разделе 1.2 приводится несколько примеров точных решений уравнений связанных мод, которые в следующих главах используются для тестирования численных методов решения обратной задачи рассеяния. Особое внимание уделено решетке с постоянной амплитудой и линейной модуляцией пространственной частоты, для ее спектра отражения и групповой задержки получены асимптотические формулы и дано качественное описание возникновения нерегулярных осцилляции в спектральных характеристиках.

Линейная модуляция пространственной частоты решетки эквивалентна квадратичной модуляции фазы

в(г) = аг2/2, (7)

где а — параметр частотной модуляции. Решетка расположена на отрезке —Ь<г<Ь. Задача рассеяния для такой решетки имеет точное решение, выражаемое через вырожденные гипергеометрические функции. Спектр отражения = |г(£)|2 приведен на рисунке 2. Из рисунка видно, что внутри полосы отражения имеются сложные апериодические осцилляции с переменной амплитудой. Однако точное решение не позволяет их проанализировать и дать им объяснение.

В решетке с частотной модуляцией волны с различными волновыми вектрами наиболее сильно отражаются в разных точках го — 2(/а (так называемых точках поворота). При условии расположения точки поворота вдали от концов решетки, что соответствует волнам внутри полосы отражения, для спектра отражения получается простая асимптотическая формула.

+ До) х

со— 7г/4 + ф+ — 2г]\пф+) ^ сое(ф ~ 7г/4 + ф_ — 2г]1пф~) ^

_ %/^/2{Ь + 2д/Ы) у/^/2(Ь - 2д/а)

Рис. 2: Спектр отражения й(() при а = 600 см~2 и различных значениях амплитуды решетки ¡3, сверху вниз происходит уменьшение амплитуды /3 = ¡За, А/2, Д>/4, гДе А> = 0.67 х Ю-3.

Здесь _/?о = 1 — е-4"4 — коэффициент отражения для волны с точкой поворота в центре решетки, 77 = /32я2/8а — адиабатический параметр, /3 — амплитуда решетки, Ф±(я) = <*(£ ± 2д/а)2/2, ф — агд[Г(Й7)Г(1/2 +• щ)), Г — гамма-функция Эйлера.

Для сильноотражающей решетки осцилляции в (8) подавлены (верхняя кривая на рисунке 2), при меньших коэффициентах отражения (средняя и нижняя кривые) наблюдается сумма двух колебаний с частотами ф'+(д) = 21 + Ц/а и Ф1(я) = 2Ь- 4<?/а, соответствующих слагаемым в квадратных скобках.

Объяснение состоит в том, что точка поворота и концы решетки, в которых также происходит заметное отражение, образуют трехзеркаль-ный резонатор с «подвижным» средним зеркалом в точке г0. Положение «подвижного» зеркала зависит от расстройки. Волна, отраженная влево от точки поворота го может отразиться обратно от левого конца решетки, таким образом возникает резонатор между 2 = —Ь и г = ад его эффективная длина / = го + Ь = а + Ь. В результате получаются осцилляции с периодом 7г/(Ь + 2д/а). Резонатор с подвижным зеркалом длиннее для синего света и короче для красного, поэтому частота ос-цилляций возрастает с В результате действия правого резонатора с подвижным левым зеркалом возникают дополнительные осцилляции. Их период тг/(Ь — 2д/а), напротив, длиннее для красного света.

В разделе 1.3 описан метод трансфер-матриц (Г-матриц) решения задачи рассеяния для одномерного уравнения Гельмгольца и для системы уравнений связанных мод, применяемый в следующих главах

диссертации для расчета спектра отражения заданной решетки.

Вторая глава посвящена решению обратной задачи рассеяния в приближении связанных мод. Обратная задача рассеяния состоит в определении профиля брэгговской решетки по заданному комплексному спектру отражения.

Аналогом этой задачи в квантовой механике является задача нахождения потенциала в одномерном уравнении Шредингера по данным рассеяния, которая сводится к решению интегрального уравнения Гель-фанда—Левитана—Марченко [9,10]. Обратная задача рассеяния для УСМ может быть сведена к паре связанных интегральных уравнений ГЛМ [11].

В разделе 2.1 дан вывод системы интегральных уравнений ГЛМ.

2х

0 = А\{х,х - s) + J R(t - s)A\{x,T - x)dr, s > 0 (9)

5

Г

0 = A2{x, t - x) + R{t) + J R{t - s) Л^т, x - s)ds, т < 2x. (10)

о

Здесь комплексная функция R(x)—фурье-преобразование коэффициента отражения г (к)

Щх) = I ^r{k)e'ikx, (11)

Ai, A-j — комплексные неизвестные функции, которые требуется найти. Коэффициент связи находится по формуле [11]

д(х) = 2 lim A2(x,z). (12)

z—tx—0

Уравнения (9)-(12) связывают между собой профиль решетки и ее комплексный спектр отражения, однако их решение для конкретных зависимостей г(к) до сих пор считалось слишком сложной задачей. Поэтому применяются различные методы, исключающие решение уравнений ГЛМ. Далее описаны новые численные методы решения обратной задачи рассеяния для уравнений связанных мод, основанные на решении уравнений ГЛМ с использованием присущей задаче симметрии.

В разделе 2.2 представлена ускоренная процедура решения уравнений ГЛМ, основанная на разложении Холецкого. Показано, как обеспечить второй порядок аппроксимации, не увеличивая требуемое число

арифметических операций. Выполнена проверка эффективности описанного метода на точных решениях, описывающих однородную и апо-дизированную решетки. Проведено сравнение предложенного метода с широко используемым методом дискретного послойного восстановления (ДПВ). Показано, что предложенный метод точнее и устойчивее ДПВ, а сопоставление методов при фиксированной погрешности показывает, что новый метод также и быстрее.

Дискретный аналог уравнений ГЛМ может быть представлен в матричном виде

С(т)и(т) = ь(т)_ (13)

Здесь вектор 6^ = (Як + к = 1,... ,т— аппроксимация функ-

ции Д(£) в точках Ь = п(к — 1/2) с точностью 0(/г2) и т х т матрица С<т> = Е-т) - ф(т), где Е(т) — единичная матрица, а эрмитова матрица ф(т) с точностью О (/г2) дается сумной

Ф^Ф&^ьЕ^и (14)

1=1

Ёо = До/2, Ёк = Як,к ф 0.

Эта матрица имеет рекуррентное представление. Пусть матрица —

известна, тогда ф(™) может быть получена из матрицы ф(т-1) окаймлением:

Ф^-ФЙГ1' =!,...,«-1, (15)

П 1=1

Коэффициент связи в точке хт = то/г/2 даётся выражением

/ яг/Л _ ГЗ^ - Д, га > 1;

9 V 2 У "" -Ь2Л(0), т = 1,

поэтому систему уравнений (13) решается при всех т = 1,..., Я, где /V — число частей, на которое разбивается решетка при дискретизации. При каждом т находятся только последняя строчка и последний столбец <"£1 = («)' по формуле (14).

Эрмитовость матриц С(т> позволяет использовать специальное треугольное разложение, так называемое разложение Холецкого [12], на

каждом шаге т. Рекуррентное представление (15) позволяет выполнять разложение Холецкого рекуррентно. Выполнив разложение на некотором шаге = получаем разложение на следующем. Здесь Ь'"1-1' — левая треугольная матрица размерности (т — 1) х (т — 1), символ «|» означает эрмитово сопряжение. Окаймление уменьшает необходимое число операций с О (Ж4) до <9(Лг3). Разложение Холецкого повышает устойчивость. Линейная аппроксимация повышает точность до б = 0(М~Т) по сравнению с е = 0(ДГ~1) для ступенчатой аппроксимации.

Для тестирования, предложенным методом были восстановлены однородная решетка конечной длины с постоянным коэффициентом связи <?о при 0 < х < 1 и аподизированная решетка с профилем в виде обратного гиперболического косинуса [13]

где N к С — параметры, имеющие следующий физический смысл: параметр Л/"—плотность решетки, то есть, произведение глубины модуляции показателя преломления на эффективное число штрихов; параметр С—эффективная длина, характерная ширина амплитуды д(х). В этих случаях уравнения связанных мод имеют точные решения.

В разделе 2.3 уравнения ГЛМ записаны в форме, позволяющей выявить теплицеву симметрию дискретизованной системы уравнений, что позволило на порядок повысить скорость вычислений. Предложен специальный алгоритм «внутреннего окаймления», повышающий скорость еще на порядок. При этом общий вид дискретных уравнений (13) сохраняется, но матрица С(т) —блочная с блоками размером тх т:

Здесь Е — единичная матрица размером т х т, а К = Е/"1*—нижняя треугольная теплицева т х т-матрица следующего вида:

(16)

(17)

/До 0 0 ... О \ Дх До 0 ... О 11= Д2 Дг До ... О

\ Дт-1 Дт-2 Дт-3 • ■ • До /

Матрица R+ является верхней треугольной теплицевой m х т-матрицей, эрмитово сопряженной матрице R. Блочная матрица является теплицевой и эрмитовой матрицей.

Для решения системы алгебраических уравнений (13) с теплицевой матрицей G^1' используется подход, аналогичный алгоритму Левинсо-на [14]. Алгоритм Левинсона, использующий окаймление обращаемой матрицы (то есть обращение подматрицы, занимающей левый верхний угол, с последующим расширением подматрицы на одну строку и один столбец), непосредственно не применим в рассматриваемой задаче. В данном случае происходит «внутреннее» окаймление: с увеличением индекса m на 1 матрицы R+(m) и Е увеличиваются на один столбец и одну строку. При этом матрица (17) увеличивается, соответственно, на две строки и два столбца. Причем один новый столбец и новая строка появляются внутри матрицы Излагаемый ниже метод, использующий теплицеву симметрию и внутреннее окаймление матриц, для краткости обозначен «ТВО».

Суть алгоритма ТВО состоит в том, что матрица обратная к теплицевой полностью определяется любыми двумя своими столбцами и эти столбцы находятся методом окаймления. Однако, поскольку для вычисления коэффициента связи (12) в точке х требуется знать функцию А2(х, г) только при z = х — 0, нужно находить на каждом шаге окаймления только правый столбец обратной матрицы. Другое отличие от алгоритма Левинсона состоит в том, что окаймлению подвергается не сама матрица G'm), а составляющие ее блоки. Соответственно, делится на «блоки» (столбцы вдвое меньшей длины) и искомый столбец обратной матрицы. Алгоритм ТВО для восстановления решетки на сетке из N точек требует 0(N2) операций, обеспечивая точность 0(N~2).

Сравнение метода ТВО с алгоритмом ДПВ при восстановлении решетки с профилем (16) показано на рисунке 3. Профиль слабоотра-жающей решетки хорошо восстанавливается обоими методами (нижняя кривая), в случае решетки большей оптической плотности метод ДПВ начинает терять устойчивость и дает заметное отклонение (правая часть средней кривой), при дальнейшем повышении плотности решетки, когда ее коэффициент приближается к единице, метод ДПВ перестает работать (верхняя кривая). При этом метод ТВО дает хорошее согласие с точным решением.

Третья глава посвящена применениям разработанных численных методов для конструирования фильтров в оптических линиях связи.

Рис. 3: Профиль решетки (относительная модуляция показателя преломления $птах/п как функция координаты ( = Ьх 1С)5, восстановленный методами ТВО (линии) и ДПВ (+) при плотностях решетки (снизу вверх) <2 = 1; 1.75; 2.5.

В разделе 3.1 рассмотрен вопрос устойчивости решения обратной задачи рассеяния по отношению к шуму входных данных (комплексного спектра отражения). Продемонстрирована устойчивость метода внутреннего окаймления в случае низкого уровня шума. Предложен метод адаптивной регуляризации, позволяющий получать решения для высокого уровня шума, когда процедура решения становится неустойчивой. Регуляризация сводится к преобразованию комплексного спектра отражения перед решением обратной задачи рассеяния г(к) >-> г(к)/(1 + Со), где С—стабилизирующий множитель, а—дисперсия распределения шума в спектре отражения. Коэффициент С зависит от профиля решетки и требует подбора. Результат использования описанной регуляризации показан на рисунке 4

В разделе 3.2 описано применение прямоугольного фильтра с малыми фазовыми искажениями для оптической линии связи со спектральным уплотнением каналов. При оптимизации использовался реализуемый фильтр с неидеальными спектральными характеристиками. Профиль решетки и спектральные характеристики приведены на рисунке 5. В результате численной оптимизации удалось достичь дальности передачи 1550 км.

В разделе 3.3 предложен вариационный метод оптимизации спек-

50 |

40 ! } 40 -

30 / 30

20 20

10 к-.* к? 1.0 ЯЬ,у Мб. & & л* 1хЬ

10 20 30 «.^»мт.'с^'гггъ« 1 -10 -20

(а)

<Ь>

(с)

(а)

Рис. 4: Вещественная (а) и мнимая (Ь) части коэффициента связи (16) точного (черная кривая) и восстановленного численно (серая) при СЦ = 1.5, Р = 2, а = 0.033 без регуляризации (слева) и после адаптивной регуляризации при С = 1.0 (справа).

И2 (дБ)

т (пс)

5п

-30 -20 -10 0 10 20 30 Р (ГГц)

хЮ4

3 2.5 2 1.5 1

0.5 0

-0.5

1 1 - (б)

»111

О

4 б г (см)

10

Рис. 5: (а) Абсолютная величина коэффициента отражения брэгтовской решетки как функция отстройки частоты света от резонанса (левая ось) и групповая задержка (правая ось), (б) Профиль огибающей показателя прелонления, реконструированный по спектру отражения методом послойного восстановления.

тральных характеристик волоконного оптического фильтра, позволяющий достичь компромисса между полнотой использования спектральной полосы и фазовыми искажениями сигнала. Предложен функционал, в простейшем предельном случае найдена аналитически его экстремаль.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации. Основные результаты и выводы

1. Получены простые асимптотические формулы для спектра отражения и групповой задержки брэгговской решетки с линейной модуляцией пространственной частоты. Формулы проверены численным расчетом.

2. Предложен метод численного решения обратной задачи рассеяния с помощью уравнений Гельфанда—Левитана—Марченко. Показано, что обращение матрицы методом Холецкого снижает вычислительную сложность с М4 до № операций. Получена схема второго порядка аппроксимации.

3. Предложен метод «внутреннего окаймления», который при использовании теплицевой симметрии снижает требуемое число операций с АГ3 до Ы2. Показана устойчивость метода по отношению к шуму исходных данных.

4. Найден профиль прямоугольного фильтра для многоканальной оптической связи с частотным уплотнением, увеличивающий дальность безошибочной передачи битовых последовательностей.

5. Показано, что фазовые искажения квазипрямоугольного фильтра можно уменьшить, подбирая профиль спектра отражения. В предельном случае найден оптимальный профиль фильтра.

Цитированная литература

[1] Erdogan Т. ГШег Огайг^ Эрес^а/Д. Тес1то1о§у.-1997.-

У15, К8.-Р.1277-1294.

[2] Thomas G. A., Ackerman D. A., Pruenal P. R., Cooper S. L. Physics in the whirlwind of optical communications//Physics Today.-2000.-V.53, N.9.-P.30-36.

[3] Udd E., ed. Fiber Optics Sensors: an introduction for engineers and scientists. Wiley, New York - Toronto. 1991.

[4] Hill К О., Meltz G. Fiber Bragg Grating Technology Fundamentals and Overview//J. Lightwave Technology.-1997.-V.15, N.8.-P.1263-1276.

[5] Sumetsky M., Eggleton B. J. Fiber Bragg gratings for dispersion compensation in optical communication systems//J. Opt. Fiber. Commun. Rep.-2005.-V.2.-P.256-278.

[6] Babin S. A., Churkin D. V., Kablukov S. I., Rybakov M. A., Vlasov A. A. All-fiber widely tunable Raman fiber laser with controlled output spectrum//Opt. Express.-2007.-V.15, N.13.-P.8438-8443.

[7] Ishii H., Tanobe H., Kano F., Tohmori Y., Kondo Y., Yoshikuni Y. Quasicontinuous wavelength tuning in super-structure-grating (SSG) DBR lasers/ЛЕЕЕ J. Quant. Electr.-1996.-V.32, N.3.-P.433-441.

[8] Turitsyna E. G., Ania-Gastanon J. D., Turitsyn S. K., Kennedy L., Sugden K. Impact of design of sharp non-uniform fibre Bragg grating on system performance//Electr. Lett.-2003.-V.39, N.4.-P.351-352.

[9] Гельфанд И. M., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции//Изв. АН СССР . Сер. HaT.-1951.-V.15, N.4.-P.309-360.

[10] Марченко В. А. Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн//Докл. АН CCCP.-1955.-V.104, N.5.-P.695-698.

[11] Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах//ЖЭТФ.-1971.^.61, N.1.-P.118-134.

[12] Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. Наука, Москва. 2003.

[13] Shapiro D. A. Family of exact solutions for reflection spectrum of Bragg grating//Opt. Commun.-2003.-V.215, N.4-6.-P.295-301.

[14] Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. Мир, Москва. 1989. [R. Е. Blahut. Fast algorithms for digital signal processing, Reading, Massachussetts: Addison-Wesley, 1985].

Список работ по теме диссертации

[Al] Belai О. V., PodivilovE. V., Shapiro D. A. Group delay in Bragg grating with linear chirp//Opt. Commun.-2006.-V.266, N.2.-P.512-520.

[A2] Belai О. V., Frumin L. L., Podivilov E. V., Schwarz O. Y., Shapiro D. A. Finite Bragg grating synthesis by numerical solution of Hermitian Gel'fand — Levitan — Marchenko equations//J. Opt. Soc. Am. B-

2006.-V.23, N. 10.-P.2040-2045.

[A3] Белай О. В., Шапиро Д. А, Шапиро Е. Г. Оптимизация высокоскоростной оптической линии связи с неидеальным квазипрямоугольным фильтром/ДСвантовая электроника.-2006.-У36, N.9.— Р.879-882.

[А4] Belai О. V., Frumin L. L., Podivilov Е. V., Shapiro D. A. Efficient numerical method of the fiber Bragg grating synthesis//.!. Opt. Soc. Am. B.-2007.-V.24, N.7.-P.1451-1457.

[A5] Belai О. V., Frumin L. L., Podivilov E. V., Shapiro D. A. Reconstruction of high reflectance fiber Bragg grating from noisy data//Laser Physics.-

2007.-V.17, N.11.-P.1317 - 1322.

[A6] Belai О. V., Shapiro D. A Minimization of dispersion for symmetric FBG optical filters//Opt. Commun.-2008.-V.281, N.12.-P.3291-3294.

[A7] Белай О. В., Подивилов Е. В., Фру мин JI. J1., Шапиро Д. А. Устойчивость численного восстановления волоконных брэгговских ре-шеток//Оптика и спектроскопия.-2008.-V.105, N.1.-P.114-121.

Подписано в печать 1 октября 2008 г. Формат бумаги 60x841/16 Объем 1,1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 451

Отпечатано Зао РИЦ "Прайс-курьер", 630128, Новосибирск, ул. Кутателадзе, 4б оф. 311, тел. 332-0820

Введение

1 Теория связанных мод в волоконной брэгговской решётке

1.1 Уравнения связанных ыод.

1.2 Точные решения.

1.3 Численное решение задачи рассеяния.

2 Новые методы синтеза волоконных брэгговских решёток

2.1 Уравнения Гельфанда—Левитана—Марченко.

2.2 Разложение Холецкого.

2.3 Тёплицева симметрия и внутреннее окаймление.

3 Синтез оптических фильтров для линий связи

3.1 Устойчивость восстановления решётки по зашумлённым данным

3.2 Прямоугольный фильтр для оптической связи.

3.3 Оптимизация квазипрямоугольного фильтра.

Волоконная брэгговская решётка (ВБР) представляет собой оптическое волокно, в ядре которого показатель преломления квазипериодически изменяется в продольном направлении. Такая решётка работает как узкополосный фильтр для проходящего через неё излучения. Наиболее сильно отражается свет с длиной волны, равной удвоенному периоду решётки. Амплитуда изменения показателя преломления в такой решётке мала, поэтому в любой заданной точке отражается небольшая часть излучения. Однако, за счёт участия в отражении всей длины решётки коэффициент отражения может быть большим и даже приближаться к единице. Когда волна, отражённая от одного из периодов решётки, оказывается в фазе с отражёнными от других периодов, происходит её усиление. Синфазность достигается в узком диапазоне длин волн, таким образом, решётка имеет узкую полосу отражения, а свет с другими длинами волн проходит через решётку. Отражение всей длиной решётки приводит к тому, что излучение разной частоты выходит из решётки с разными фазами — возникает неоднородная задержка сигнала (дисперсия).

Возникновение волоконной брэгговской решётки впервые описано в работе Хилла с соавторами [1]. Видимое излучение аргонового лазера с длиной волны 488 нм, направленное через торец в оптическое волокно, легированное германием, образовывало стоячую волну за счёт слабого отражения 4%) от выходного конца волокна. Длительное воздействие (несколько десятков секунд) стоячей волны на материал волокна приводило к неоднородному изменению показателя преломления с образованием периодической структуры. Интерес к таким решёткам был ограничен тем, что их период определялся длиной волны излучения, производящего запись, кроме того процесс записи имел низкую эффективность и не позволял произвольно задавать профиль решётки. Позже было установлено [2], что фоточувствительность волокна определяется поглощением на длине волны 244 нм, а в работе [1] наблюдалось двухфотонное поглощение, что и снижало эффективность записи.

Устранить недостатки, присущие методу Хилла, удалось Мелтцу с соавторами, разработавшим метод голографической записи [3]. В этом методе запись производится ультрафиолетовым излучением с длиной волны 244 нм. Периодическая структура формируется интерференцией двух когерентных пучков, направленных в волокно сбоку, через оболочку. Изменяя угол между пучками можно выбирать период решётки и, соответственно, брэгговскую длину волны.

Позже были созданы методы, использующие фазовую маску [4,5]. Благодаря использованию фазовой маски, дающей дифракционную картину в проходящем пучке, снизились требования к когерентности излучения и механической стабильности записывающего оборудования, появилась возможность записывать несколько решёток одновременно. Кроме того, изготовив фазовую маску нужного профиля, можно создавать «аподизированные» (плавно спадающие к краям) и «чирпованные» (с периодом, изменяющимся вдоль длины) решётки. В настоящее время активно развиваются также и другие методы записи [6,7], позволяющие создавать решётки различного назначения с широким набором свойств.

Благодаря широким возможностям методов записи и разнообразию свойств, волоконные брэгговские решётки находят все больше приложений [8]. Они используются в оптических линиях связи [9-12], в сенсорных системах [13], а также для обработки радиочастотных и микроволновых аналоговых сигналов [14,15]. Для телекоммуникаций наиболее важные приложения — это компенсаторы дисперсии [7,16], зеркала волоконных [17—19] и полупроводниковых [20] лазеров, оптические усилители [21], фильтры для разделения каналов [22-24], в том числе для сверхплотной упаковки данных [25—27].

Сенсорные устройства на основе волоконных брэгговских решёток [28—31] могут применяться для измерения статических и динамических полей деформации, температуры и давления. Действие сенсоров основано на том, что при изменении температуры или деформации среды, в которую внедрена решётка, изменяется период решётки. Это приводит к изменению брэгговской длины волны и, соответственно, к смещению полосы отражения. Такой принцип действия обеспечивает малую чувствительность сенсорной системы к шумам и линейность характеристики в широком диапазоне значений измеряемой величины. Если размеры отдельного датчика малы, его деформацию можно считать однородной, а сигнал датчика несет информацию только об одной точке среды. Чтобы получить пространственное распределение измеряемой величины, решётки объединяются в сенсорные сети. Каждая решётка должна иметь брэгговскую длину волны, отличную от всех остальных. Для такого применения требуются узкий спектр отражения и малые размеры [28]. Возможно также использование длинной решётки как распределённого датчика, для этого необходимо измерять частотную зависимость коэффициента отражения. Решив для полученного спектра обратную задачу рассеяния, можно определить структуру решётки и, следовательно, распределение параметров вдоль волокна [28,32].

Для передачи данных по оптоволоконной линии связи они кодируются последовательностью коротких световых импульсов, генерируемых волоконным или полупроводниковым лазером. В качестве зеркал в нём используются узкополосные брэгговские решётки с характерными параметрами АЛ = 0.1 — 1 нм, Л = 1 — 100%. Данные передаются одновременно на нескольких частотных каналах, что требует мультиплексирования на входе в линию и демультиплексирования на выходе. Демультиплексор на основе брэгговской решётки должен обеспечивать спектр отражения с шириной ДА = 0.2 — 1 нм и высокую (> 30 дБ) степень подавления соседних каналов. При распространении импульсов в оптоволоконной линии связи, они расплываются за счёт дисперсии волокна, взаимодействуют друг с другом за счёт нелинейности и затухают. Все эти явления приводят ограничению дальности и скорости передачи данных. Затухание импульсов компенсируется волоконными оптическими усилителями, расположенными периодически вдоль линии связи. Волоконный усилитель содержит высокоотражаюгцее зеркало с параметрами АД = 2 — 25 нм, Л = 100 %. Дисперсионное расплывание импульсов устраняется периодически расположенными компенсаторами дисперсии ДА = 2—25 нм, групповая задержка 1600 пс/нм [9,28].

Многообразие приложений требует создания решёток с различными спектральными характеристиками, которые определяются деталями строения решётки: медленно-изменяющимися профилем огибающей и слабой модуляцией периода решётки вдоль её длины. Конструирование решётки требует решения прямой и обратной задач рассеяния. Первая заключается в нахождении комплексных коэффициентов отражения и прохождения излучения падающего на решётку с заданными профилем в нужном диапазоне длин волн, вторая — в определении профиля решётки по заданному комплексному спектру отражения. Обычно задача рассматривается как одномерная: при вычислениях используется только продольное распределение одной компоненты электромагнитного поля, а поперечное учитывается введением эффективного показателя преломления. Прямая задача рассеяния решается однозначно — задавая с необходимой подробностью всегда конечную по длине решётку, можно получать с соответствующей точностью спектральные характеристики решётки. В то же время, входными данными для решения обратной задачи является комплексный спектр отражения, который подразумевается заданным при всех частотах, что невозможно при численном решении задачи. При этом две решётки, спектры которых совпадают лишь в заданном диапазоне частот, могут иметь между собой мало общего. Таким образом, обратная задача рассеяния подразделяется на задачу восстановления профиля существующей решётки по данным рассеяния (измеренным в эксперименте) и задачу конструирования (синтеза) решётки, удовлетворяющей некоторым заданным требованиям [33,34].

Решение прямой задачи рассеяния для волоконной брэгговской решётки сводится к решению линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (уравнения Гельмгольца) или системы двух уравнений первого порядка и потому не представляет значительных сложностей. Обратная задача рассеяния более сложна, существует несколько подходов к её решению.

Одномерная обратная задача рассеяния может быть сведена к системе двух интегральных уравнений Гельфанда—Левитана—Марченко (ГJIM) [35]. Если решётку длины L разбить на N слоёв толщины h = L/N, а интегралы заменить суммами, то получится система линейных алгебраических уравнений — дискретный аналог интегральных уравнений. Как известно, решение системы уравнений с матрицей общего вида требует N3 операций. Однако, в отличие от классических интегральных уравнений, решение системы ГЛМ является функцией двух переменных, то есть задачу размерности N нужно решить N раз. Решение f(x, у) надо найти в N точках по оси у при различных значениях переменной х. Отсюда получается, что непосредственное численное решение требует порядка N4 операций. При характерных N ~ 104 расчёт представлялся слишком трудоёмким, это заставило исследователей искать более эффективные методы численного решения обратной задачи, основанные на других подходах. Эти методы могут быть разделены на три группы. Первая и наиболее распространённая группа состоит из нескольких модификаций алгоритма послойного восстановления: непрерывного [36] и дискретного [33]. Вторая группа, использующая уравнения ГЛМ, включает различные численные методы. Третья группа использует конечно-разностные схемы для решения нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений [37], эквивалентных ГЛМ для достаточно гладких функций, так называемые методы чехарды (leapfrog) [38-41]. Методы первой и третьей групп — очень быстрые, так как требуемое число операций — порядка N2. Однако, они имеют сравнительно низкую точность, особенно при высоком отражении, поскольку профиль ВБР аппроксимируется кусочно-постоянной функцией [42].

Один из основных подходов в настоящее время — послойное восстановление решётки (layer peeling), метод, давно известный в квантовой механике и геофизике и применённый к синтезу ВБР Феседом с соавторами [43], Поладиа-ном [36] и Скааром с соавторами [33]. Его достоинствами являются высокая скорость (порядка N2 арифметических операций) и ясная физическая интерпретация применяемых процедур.

Он основан на использовании принципа причинности—задача переформулируется таким образом, что вместо стационарного пространственного распределения гармоник рассматривается распространение в решётке бесконечно короткого (5-образного импульса. Импульс, упавший на решётку в момент времени = О, вызовет отклик, форма которого зависит от устройства решётки. Однако, вне зависимости от устройства решётки отклик обладает двумя свойствами: он равен нулю при £ < 0, а при £ > 0 несет информацию только о передней части решётки длиной с1/2п, так как свет, отражённый дальше этой точки к моменту £ ещё не успел вернуться. Здесь с—скорость света в вакууме, п — средний показатель преломления волокна. Решётка представляется как совокупность различных однородных слоев или точечных отражателей. Каждый тонкий слой имеет слабое отражение и может рассматриваться в первом борновском приближении.

В итоге, решение обратной задачи рассеяния сводится к следующему: 1) вычисляется импульсный отклик решётки при I — 0, 2) определяются параметры первого слоя решётки, 3) решается задача о распространении волн в слое, параметры которого определены на предыдущем шаге, 4) определяется отношение амплитуд противоположно-направленных волн на выходе из слоя, совпадающее с коэффициентом отражения оставшейся части решётки. Процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнут конец решётки, определяемый соотношением неопределённости для дискретизованного спектра отражения.

Благодаря высокой эффективности метод приобрёл широкое распространение. Недостаток обычного метода послойного восстановления — экспоненциальное падение точности вдоль решётки вследствие накопления ошибки в процессе восстановления [42]. Лучшие результаты для сильно-отражающей решётки продемонстрировал комбинированный метод, сочетающий итерации и послойное восстановление, интегральный метод послойного восстановления, предложенный Розенталем и Хоровицем [44]. Решётка разбивается на тонкие слои, которые однако не предполагаются однородными. Профиль каждого слоя находится итерационным решением уравнений ГЛМ. Этот метод уменьшает накопление ошибки и работает до очень высоких коэффициентов отражения, но требует для сходимости заранее неизвестного числа операций.

Ко второй группе относятся различные итерационные методы с числом операций Ш3, где I— число итераций, необходимое для сходимости. Например, метод последовательных приближений ядра, предложенный Франгосом и Джаг-гардом [45], метод борновских приближений высших порядков, предложенный Пералом с соавторами [46] или усовершенствованный алгоритм Поладиана [47], который использует информацию о спектрах отражения от обоих концов решётки. Иногда используются дополнительные предположения. Например, Сонг и Шин [48] заменили заданный спектр отражения дробно-рациональной функцией, а Ахмад и Раззаг [49] аппроксимировали ядра интегральных уравнений полиномами. Эти методы плохо сходятся, особенно при сильном отражении.

Третья группа методов, сравнимая по эффективности (М2 операций) с первой, включает метод Чао и Яширо [40], которые преобразовали интегральные уравнения ГЛМ в систему гиперболических уравнений в частных производных и решили её сеточный аналог. Существуют также другие разновидности этого метода, например, Папахристос и Франгос [38] вывели и решили дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Во всех случаях точность остаётся невысокой из-за аппроксимации спектра отражения ступенчатой функцией.

Цель настоящей диссертации — разработка эффективных методов решения интегральных уравнений ГЛМ для синтеза ВБР.

Исследование состояло из трёх этапов:

1. Выбор эффективных алгоритмов решения прямой задачи рассеяния. Проверка точности методов и приближения связанных мод. Исследование аналитических решений.

2. Преобразование системы интегральных уравнений Гельфанда—Левитана—Марченко к эрмитовой и тёплицевой форме. Разработка эффективных и точных алгоритмов решения обратной задачи рассеяния.

3. Проверка точности и устойчивости предложенных методов синтеза брэг-говской решётки на аналитических решениях. Синтез прямоугольных оптических фильтров для линий связи с частотным уплотнением каналов. Оптимизация спектральных характеристик фильтров.

Диссертация состоит из Введения, трёх глав и Заключения. Первая глава посвящена изложению теории связанных мод для волоконной брэгговской решётки. В разделе 1.1 приведён вывод уравнений связанных мод и обсуждение пределов их применимости. В разделе 1.2 приводится несколько примеров точных решений уравнений связанных мод, которые в следующих главах используются для тестирования численных методов решения обратной задачи рассеяния. Особое внимание уделено решётке с постоянной амплитудой и линейной модуляцией пространственной частоты. В разделе 1.3 описан метод транс-фёр-матриц (Т-матриц) решения задачи рассеяния для одномерного уравнения Гельмгольца и для системы уравнений связанных мод.

Заключение

Далее приведены основные результаты диссертационной работы.

1. Получены простые асимптотические формулы для спектра отражения и групповой задержки брэгговской решётки с линейной модуляцией пространственной частоты. Формулы проверены численным расчётом.

2. Предложен метод численного решения обратной задачи рассеяния с помощью уравнений Гельфанда—Левитана—Марченко. Показано, что обращение матрицы методом Холецкого снижает вычислительную сложность с М1 до Л7"3 операций. Получена схема второго порядка аппроксимации.

3. Предложен метод «внутреннего окаймления», который при использовании тёплицевой симметрии снижает требуемое число операций с ТУ3 до ТУ2. Показана устойчивость метода по отношению к шуму исходных данных.

4. Найден профиль прямоугольного фильтра для многоканальной оптической связи с частотным уплотнением, увеличивающий дальность безошибочной передачи битовых последовательностей.

5. Показано, что фазовые искажения квазипрямоугольного фильтра можно уменьшить, подбирая профиль спектра отражения. В предельном случае найден оптимальный профиль фильтра.

1. Hill K. O., Fujii Y., Johnson D. C., Kawasaki B. S. Photosensitivity in optical fiber waveguides: application to reflection filter fabrication//Appl. Phys. Lett-1978.-V.32, N.10.-P.647-649.

2. Lam D. K. W., Garside B. K. Characterization of single-mode optical fiber filters//Appl. Opt.-1981.—V.20.—P.440-445.

3. Meltz G., Morey W. W., Glenn W. H. Formation of Bragg gratings in optical fibers by a transverse holographic method//Opt. Lett.-1989.-V.14, N.15.-P.823-825.

4. Hill K. O., Malo B., Bilodeau F., Johnson D. C., Albert J. Bragg gratings fabricated in monomode photosensitive optical fiber by UV exposure through phase mask//Appl. Phys. Lett.-1993.-V.62.-P.1035-1037.

5. Anderson D. Z., Mizrahi V., Erdogan T., White A. E. Production of in-fiber gratings using a diffractive optical element//Electr. Lett.-1993.-V.29.-P.566-568.

6. Malo B., Hill K.O., Bilodeau F., Johnson D.C., Albert J. Point-by-point fabrication of micro-Bragg gratings in photosensitive fibre using single excimer pulse refractive index modification techniques//Electr. Lett.—1993.—V.29, N.18.— P.1668-1669.

7. Sumetsky M., Eggleton B. J. Fiber Bragg gratings for dispersion compensation in optical communication systems//J. Opt. Fiber. Commun. Rep.-2005.—V.2.— P.256-278.

8. Erdogan Turan Fiber Grating Spectra//J. Lightwave Technology.-1997.-V.15, N.8.-P.1277-1294.

9. Thomas G. A., Ackerman D. A., Prucnal P. R., Cooper S. L. Physics in the whirlwind of optical communications//Physics Today.—2000.-V.53, N.9.-P.30-36.

10. Mokhtar M. R. Bragg grating filters for optical networks. Ph.D. thesis, Faculty of Engeneering, Science and Mathematics, University of Southampton, Southampton, UK. 2006.

11. Agrawal G. P. Fiber-optic communication systems. Wiley, New York. 2002.

12. Agrawal G. P. Nonlinear Fiber Optics. Elsevier, New York. 2007.

13. Udd E., ed. Fiber Optics Sensors: an introduction for engineers and scientists. Wiley, New York Toronto. 1991.

14. Hunter D. B., Nguyen L. V. T. Widely Tunable RF Photonic Filter Using WDM and a Multichannel Chirped Fiber Grating//IEEE Transactions On Microwave Theory And Techniques.-2006.-V.54, N.2

15. Hill K. O., Meltz G. Fiber Bragg Grating Technology Fundamentals and Overview//J. Lightwave Technology.-1997.-V.15, N.8.-P.1263-1276.

16. Litchinitser N. M., Sumetsky M., Westbrook P. S. Fiber-based tunable dispersion compensation//J. Opt. Fiber. Commun. Rep.-2007.-V.4.-P.41-85.

17. Chow J., Town G., Eggleton B., Ibsen M., Sugden K., Bennion I. Multiwavelength generation in an erbium-doped fiber laser using in-fiber comb filters//IEEE Photonics Technol. Lett.-1996.-V.8, N.1.-P.62-64.

18. Song Y. W., Havstad S. A, Starodubov D., Xie Y., Willner A. E., Feinberg J. 40-nm-Wide Tunable Fiber Ring Laser With Single-Mode Operation Using a Highly Stretchable FBG//Photonics Technol. Lett.-2001.-V.13, N.11.-P.1167-1169.

19. Babin S. A., Churkin D. V., Kablukov S. I., Rybakov M. A., Vlasou A .A. Allfiber widely tunable Raman fiber laser with controlled output spectrum//Opt. Express-2007.—V.15, N. 13.-P.8438-8443.

20. Ishii H., Tanobe H., Kano F., Tohmori Y., Kondo Y., Yoshikuni Y. Quasicontinuous wavelength tuning in super-structure-grating (SSG) DBR lasers//IEEE J. Quant. Electr.-1996.-V.32, N.3.-P.433-441.

21. Digonnet M. J. F., ed. Rare-Earth-Doped Fiber Lasers and Amplifiers. Marcel Dekker Inc, New York Basel. 2001.

22. Ibsen M., Durkin M. K., Cole M. J., Laming R. I. Optimised square passband fibre Bragg grating filter with in-bandfiat group delay response//Electr. Lett.-1998.-V.34, N.8.-P.800-802.

23. Iocco A. Tunable fiber Bragg grating filters. Ph.D. thesis, Laurea in Ingegneria Meccanica, Universita degli Studi di Brescia, Brescia, Italy. 1999.

24. Iocco A., Limberger H. G., Salathe R. P., Everall Lorna A., Chisholm K. E., Williams John A. R., Bennion I. Bragg Grating Fast Tunable Filter for Wavelength Division Multiplexing//J. Lightwave Technology.-1999.-V.7, N.17-P.1217-1221.

25. Turitsyna E. G., Ania-Gastanon J. D., Turitsyn S. K., Kennedy L., Sugden K. Impact of design of sharp non-uniform fibre Bragg grating on system performance/TElectr. Lett.-2003.-V.39, N.4.-P.351-352.

26. Лысакова M. В., Федорук M. П., Турицын С. К, Шапиро Е. Г. Новый формат данных для волоконно-оптических линий передачи с плотной упаковкой частотных каналов//Куап^ Elektr.-2004.-V.34, N.9.-P.857-859.

27. Shapiro Е. G., Fedoruk М. P., Mezentsev V., Turitsyn S. К, Shafarenko А., Tanaka К., Morita I., Edagawa N., Suzuki M. Optimization of WDM (N x 40 Gbit/s) Transmission in Strong Symmetric Dispersion Maps//J. Opt. Comm.-2005.-V.26, N.1.-P.32-36.

28. Othonos A., Kalli K. Fiber Bragg gratings: fundamentals and applications in telecommunications and sensing. Artech House, Norwood, MA. 1999.

29. Ohn M. M. Fiber Bragg-Intra Grating Measurement and Control and their Application to Sensing and Telecommunications. Ph.D. thesis, University of Toronto, Toronto, Canada. 1999.

30. Grattan К. Т. V., Meggitt В. T. Optical Fiber Sensor Technology : Fundamentals. Kluwer Academic, Boston. 2000.

31. Кульчин Ю. H. Распределенные волоконно-оптические измерительные системы. Физматлит, Москва. 2001.

32. Skaar J., Wang L., Erdogan T. On the Synthesis of Fiber Bragg Gratings by Layer Peeling/ЛЕЕЕ J. Quant. Electr.-2001.-V.37, N.20.-P.165-173.

33. Skaar J., Waagaard О. H. Design and characterization of finite-length fiber grating/ЛЕЕЕ J. Quant. Electr.-2003.-V.39, N.10.-P.1238-1245.

34. Захаров В. E., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах/УЖЭТФ—1971.-V.61, N.1.-P.118-134.

35. Poladian L. Simple grating synthesis algorithm//Opt. Lett.-2000.-V.25, N.ll.-P.787-789. Errata: Opt. Lett. 25 (18) 1400 (2000)].

36. Frangos P., Jaggard D. A numerical solution to the Zakharov—Shabat inverse scattering problem/ЯЕЕЕ Transactions of Antennas and Propagation-1991.-V.39, N.l.-P.74-79.

37. Papachristos Ch., Frangos P. Design of corrugated optical waveguide filters through a direct numerical solution of the coupled Gel'fand—Levitan— Marchenko integral equations//«! Opt. Soc. Am. A.-2002.-V.19, N.5.-P.1005-1012.

38. Papachristos Ch., Frangos P. Synthesis of single- and multi-mode planar optical waveguides by a direct numerical solution of the Gel'fand—Levitan— Marchenko integral equations//Opt. Commun.-2002.-V.203.-P.27-37.

39. Xiao G. В., Yashiro K. An efficient algorithm for solving Zakharov-Shabat inverse scattering problem/ЯЕЕЕ Transactions on Antennas and Propagation.-2002.-V.50, N.6.-P.807-811.

40. Frangos Panayiotis V., Jaggard Dwight L. The reconstruction of stratified dielectric profiles using successive approximations//IEEE Transactions of Antennas and Propagation.-1987.-V.35, N.11.-P.1267-1272.

41. Skaar J., Feced R. Reconstruction of gratings from noisy reflection data//J. Opt. Soc. Am. A.-2002.-V.19, N.11.-P.2229-2237.

42. Feced R., Zervas M. N., Muriel M. A. An efficient inverse scattering algorithm for the design of nonuniform Bragg gratings//IEEE J. Quant. Electr.-1999.-V.35.-P.1105-1115.

43. Rosenthal A., Horowitz M. Inverse Scattering Algorithm for Reconstructing Strongly Reflecting Fiber Bragg Gratings//IEEE J. Quant. Electr.-2003.-V.39, N.8.—P.1018-1026.

44. Frangos P. V., Jaggard D. L. Inverse scattering: solution of coupled Gelfand—Levitan—Marchenko integral equations using successive kernel approximations//IEEE Transactions of Antennas and Propagation-1995.-V.43, N.6.-P.547-552.

45. Peral E., Capmany J., Marti J. Iterative solution to the Gel'fand — Levitan — Marchenko coupled equations and application to synthesis of fiber gratings//IEEE J. Quant. Electr.-1996.-V.32, N.12.-P.2078-2084.

46. Poladian L. Iterative and noniterative design algorithms for Bragg gratings//Optical Fiber Technology.-1999.-V.5.-P.215-222.

47. Song G. H., Shin S. Y. Design of corrugated waveguide filters by the Gel'fand — Levitan — Marchenko inverse scattering method//J. Opt. Soc. Am. A.-1985.-V.2, N.11.-P.1905-1915.

48. Ahmad F., Razzagh M. A numerical solution to the Gel'fand — Levitan — Marchenko equation//Appl. Math, and Computation.-1998.-V.89.-P.31-39.

49. Kogelnik H. Coupled wave theory for thick hologram gratings//Bell Sys. Tech. J.—1969—V.48.-P.2909-2947.

50. Денисюк Ю. H. Голография и ее перспективы//ЖПС.—1980.—V.33, N.2.-Р.397-414.

51. Денисюк Ю. Н. Статические и динамические объемные голограммы//ЖТФ.—1981.-V.51, N.8.-P.1648-1655.

52. Allen L., Eberly J. Н. Optical Resonance and Two-Level Atoms. Dover, New York. 1986.

53. Carmel L., Mann A. Geometrical approach to two-level Hamiltonians//Phys. Rev. A.—2000—V.61, N.5.-P.052113.

54. Shapiro D. A. Family of exact solutions for reflection spectrum of Bragg grating//Opt. Commun.-2003.-V.215, N.4-6.-P.295-301.

55. Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions, Vol. 1. Mc Grow -Hill, New York Toronto - London. 1953.

56. Matsuhara M., Hill К. ОWatanabe A. Optical-waveguide filters: Synthesis//JOSA.-1975.-V.65, N.7.-P.804-809.

57. Podivilov E. V., Shapiro D. A., Trubitsyn D. A. Exactly solvable profiles of quasi-rectangular Bragg filter with dispersion compensation//J Opt A: Pure and Applied 0ptics.-2006.-v.8, N.9.-P.788-795.

58. Ouellette F. Dispersion cancellation using linearly chirped Bragg grating filters in optical waveguides//Opt. Lett.-1987.-V.12, N.10.-P.847-849.

59. Sheridan J. Т., Larkin A. G. Approximate analytic solutions for diffraction by non-uniform reflection geometry fiber Bragg gratings//Opt. Commun.—2004-V.236, N.l-3.—P.87-100.

60. Horwitz P. Population inversion by optical nonadiabatic frequency chirping//Appl. Phys. Lett.-1975.-V.26, N.6.-P.306-308.

61. Bonino S., Norgia M., Riccardi E. Spectral behaviour analysis of chirped fibre Bragg gratings for optical dispersion compensation. In: Proc. IOOC-ECOC'97 (Edinburgh, 22-25 Sept. 1997 ), IEE Conf. Pub. # 448, -V. 3, -P. 194-197. 1997.

62. Kashyap R. Fiber Bragg Gratings. Academic Press, New York. 1999.

63. Воеводин В. В., Тыртышников Е. Е. Вычислительные процессы с тепли-цевыми матрицами. Наука, Москва. 1987.

64. Gray R. М. Toeplitz and Circulant Matrices: A review//http://www-ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf

65. Boettcher A., Silbermann B. Introduction to Large Truncated Toeplitz Matrices. Springer, New York. 1999.

66. Levinson N. The Wiener RMS error criterion in filter design and prediction//J. Math. Phys.—1947.-V.25.-P.261-278.

67. Trench W. F. An algorithm for inversion of finite Toeplitz matrices//J. SIAM.-1964.-V.12, N.6.-P.512-522.

68. Zohar S. The solution of a Toeplitz set of linear equations//J. Assoc. Comput. Math.—1974.—V.21.-P.272-276.

69. Бахвалов H. С., Жидков H. П., Кобельков Г. M. Численные методы. Наука, Москва. 2003.

70. Гелъфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции//Изв. АН СССР. Сер. мат.—1951 — V.15, N.4.-P.309-360.

71. Марченко В. А. Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн//Докл. АН CCCP.-1955.-V.104, N.5.-P.695-698.

72. Poladian L. Group-delay reconstruction for fiber Bragg gratings in reflection and transmission//Opt. Lett.-1997.-V.22, N.20.-P. 1571-1573.

73. Lamb, Jr G. L. Elements of soliton theory. Wiley, New York Toronto. 1980.

74. Sacks P. An inverse problem in coupled mode theory//J. Math. Phys.-2004-V.45.—P.1699-1710.

75. Press William H., Flannery Brian P., Teukolsky Saul A., Vetterling William T. Numerical Recipes in Fortran. Cambridge Univesrsity Press, Cambridge — New York. 1992.

76. Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions, Vol. 2. Mc Grow -Hill, New York Toronto - London. 1953.

77. Belai О. V., Frumin L. L., Podivilov E. V., Shapiro D. A. Efficient numerical method of the fiber Bragg grating synthesis//J. Opt. Soc. Am. B.-2007.-V.24, N.7.-P.1451-1457.

78. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. Мир, Москва. 1989. R. Е. Blahut. Fast algorithms for digital signal processing, Reading, Massachussetts: Addison-Wesley, 1985].

79. Cooley J. W., Tukey J. W. An algorithm for machine calculation of complex Fourier series//Math. Communications.-1963.-V.19.-P.297-301.

80. Кули Дж. У., Льюис П. А. У., Уэлч П. Д. Быстрое преобразование Фурье и его применение к анализу временных рядов, -Р. 373-434. Наука, Москва. 1986.

81. Rosenthal A, Horowitz М. Reconstruction of a fiber Bragg grating from noisy ' reflection data//J. Opt. Soc. Am. A.-2005.-V.22, N.1.-P.84-92.

82. Ахманов С. А., Дьяков Ю. E., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. Наука, Москва. 1981.

83. Belai О. V., Frumin L. L., Podivilov Е. V., Shapiro D. A. Reconstruction of high reflectance fiber Bragg grating from noisy data//Laser Physics-2007-V.17, N.11.-P.1317 -1322.

84. Shapiro E. G., Fedoruk M. P., Shapiro A. D., Ania-Castanon J. D., Turitsyn S. K. Nonperiodic quasi-stable nonlinear optical carrier pulses with sliding chirp-free points for transmission at 40 Gbit/s rate//Opt. Commun.—2005.-V.250, N.l-3.—P.202-206.

85. Shapiro E. G., Fedoruk M. P., Turitsyn S. K. Numerical estimate of BER in optical systems with strong patterning effect/ZElectonics Letters.-2001.-V.37, N.19.-P.1179-1181.

86. Белай О. В., Шапиро Д. А., Шапиро Е. Г. Оптимизация высокоскоростной оптической линии связи с неидеальным квазипрямоугольным филь-тром//Квантовая электроника.-2006.-У.36, N.9.-P.879-882. Quant. Electr. 36 (9) 879-882 (2006)].

87. Eggleton В. J., Lenz G., Litchinitser N., Patterson D. В., Slusher R. E. Implications of fiber grating dispersion for WDM communication systems/ЯЕЕЕ Photonics Technology Lett.-1997.-V.9.-P.1403 -1405.

88. Lenz G., Eggleton B. J., Madsen С. K., Giles C. R., Nykolak G. Optimal dispersion of optical filters for WDM systems/ЯЕЕЕ Photonics Technology Lett.-1998.-V.10.-P.567 569.

89. Lenz G., Eggleton B. J., Giles C. R., Madsen С. K, Slusher R. E. Dispersive properties of optical filters for WDM systems/ЯЕЕЕ J. Quant. Electr.-1998-V.34.-P.1390 1402.

90. Zheng R. Т., Ngo N. Q., Binh L. N., Tjin S. C. Two-stage hybrid optimization of fiber Bragg gratings for design of linear phase filters//J. Opt. Soc. Am. A-2004.-V.21, N.12.-P.2399-2405.

91. Manos S., Poladian L. Multi-objective and constrained design of fibre Bragg gratings using Evolutionary Algorithms//Opt. Express,-2005.-V.13, N.19.-P.7350-7364.

92. Baskar S., Zheng R. Т., Alphones A., Ngo N. Q., Suganthan P. N. Particle Swarm Optimization for the Design of Low-Dispersion Fiber Bragg Gratings/ЯЕЕЕ Photonics Technology Lett.-2005.-V.17, N.3.-P.615-617.

93. Cheng H.-C., Lo Y.-L. The Synthesis of Multiple Parameters of Arbitrary FBGs Via a Genetic Algorithm and Two Thermally Modulated Intensity Spectra//J. Lightwave Technology.-2005.-V.23, N.6.-P.2158-2168.

94. Song G. H. Theory of symmetry in optical filter responses//«!. Opt. Soc. Am. A.-1994.-V.11, N.7.-P.2027-2037.

95. Belai O. V., Shapiro D. A. Minimization of dispersion for symmetric FBG optical filters//Opt. Commun.-2008.-V.281, N.12.-P.3291-3294.