Методы решения сеточных эллиптических уравнений в прямоугольных и составных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение.*.

Глава I. Алгоритмы четно-нечетной циклической редукции. II

§ I, Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. II

§ 2. Модификация процесса четно-нечетной редукции

Р. А. Свита.

§ 3. Обобщение процесса Самарского-Николаева.

§ 4. Постановка задачи о решении систем,включающих соотношения,эквивалентные условиям Неймана,

Ньютона и периодическим.

§ 5v Алгоритмы четно-нечетной циклической редукции при "решении задач с условиями второго и третьего рода.

§ 6. Решение периодической паевой задачи.

Глава 2. Алгоритм редукции делением пополам.

§ 7. Описание метода.

§ 8. Анализ устойчивости и оценки числа действий алгоритма редукции делением пополам.Сравнение алгоритмов редукции,основанных на четно-нечетном исключении и делении пополам.

§ 8. Решение задач с краевыми условиями второго, третьего рода и .периодическим методом редукции, основанной на делении пополам.

Глава 3. Алгоритмы альтернирования по пересекающимся подобластям.

§ 10»Альтернирующий процесс на подпространстве.

Сходимость алгоритма типа Шв&рца bw^ ^.

§ II. Оптимизация альтернирующих процессов.

§ 12. Анализ влияния погрешностей.Двухступенчатый альтернирующий процесс.

§ 13. Об использовании эквивалентных по спектру операторов при построении итерационных алгоритмов в подпространстве.

§ 14. Реализация решения уравнения Пуассона итерациями по подобластям.

Многие важные научно-технические задачи приводят к исследованию установившихся процессов, описываемых эллиптическими уравнениями второго порядка. Несмотря на значительные успехи, достигнутые в области численного решения этих уравнений (см., например, обзоры, приведенные в гл.10 книги [i] Г.И.Марчука и во введении книги [2] А.А.Самарского и Е.С.Николаева), проблема дальнейшего совершенствования алгоритмов остается актуальной.

Заметное место среди работ по методам решения сеточных эллиптических уравнений занимают исследования, связанные с построением высоко эффективных алгоритмов для решения задач в областях спец и алыюго вида, как правило, - прямоугольниках и прямоугольных параллелепипедах. В связи с этим следует отметить методы методы быстрого дискретного преобразования Фурье (БДПФ) и циклической редукции, которые подробно рассматривались многими автора!®, в том числе в известных книгахН/.-б.Бахвалова [з], Г.И.Марчука [l] , Е.С.Николаева [2] , А.А.Самарского [2,4] .

В связи с дальнейшим содержанием данной работы рассмотрим несколько подробнее известные процессы циклической редукции.

Алгоритмы циклической редукции применяются, прежде всего, для определения векторов У^ , ., Ум в системах вида + BWt - Чс+4 = Fc , L^TM, (I) (2) где В - матрица-коэффициент, a R, , ., F^ -заданные правые части.

Два, можно считать, классических варианта редукции описаны в работах [б] и [2] . Алгоритм из [5] назван авторами алгоритмом Бунемана ( O.fWcmavt , см. [6] ), а алгоритм из п.1-3, § 2, гл. Ш книги [2] будем называть методом Самарс-кого-Николаева. Они заслужили высокие оценки (см.например, [I, 2] ), однако, до последнего времени область применения этих методов при решении систем сеточных уравнений ограничивалась следующим условием: необходимо было, чтобы число интерварлбномерно^ ловЧзетки по крайней мере по одному координатному направлению было равно i"1 , так, чтобы параметр М удовлетворял условию М = 1 , m - целое.

Алгоритмы, обобщающие метод циклической редукции [6] , рассматривались неоднократно, но первоначально они не были достаточно. эффективными. Не удавалось снять все ограничения на число неизвестных векторов (см., например, [7] ) или, как в С81, терялась устойчивость.

Один из достаточно экономичных методов был описан в работе Ю.А.Кузнецова и А.М.Мацокина [9] .

В ней предлагалась записать систему (I), (2) в виде аМ с вектором неизвестных У , составленным из Ml компонентов, правой частью f и матрицей А ,

4« О

А : I Аг\ ^гг ^гъ

О А3г W а блоки , / = 1,3, подбирались по величине так, чтобы матрицы кг кз \

1^2 A33) имели размерности i™-{ ,

В этом случае решение задачи (I), (2) может быть построено как комбинация решений двух пар систем вида (I), (2) с £mL / , J^j неизвестными векторам и решений более простых вспомогательных задач, поэтому алгоритм [ 9] в сочетании с алгоритмами Бунемана или алгоритмом Самарского-Николаева имеет несколько большие коэффициенты при старших слагаемых в оценках объема вычислений, чем сами эти методы. Важно, однако, отметить, что результат [9] позволяет обобщить на случай произвольного М любые методы, приспособленные для решения систем специальных размерностей.

Наконец, в работе [ю] Р.А.Свитом ( R.A.Sweei ) было предложено эффективное обобщение алгоритма Бунемана для случая /И с произвольным двоичным представлением.

Метод [10] сохраняет схему нечетно-четного исключения [2] и £6J : на каждом шаге прямого хода исключаются известные с нечетными номерами, а оставшиеся векторы перенумеровываются. При этом последнее уравнение может оказаться нестандартным, так как уже не предполагается, что М=2УИ-'( , где м = [бо^М+Л] , а [{>] обозначает целую часть вещественного числа £ .

Использование нестандартных соотношений несколько увеличивает трудоемкость процесса редукции, но не меняет старшего слагаемого в оценке числа действий (см. [Ю] ).

Выполненное в [ю] описание имеет существенный недостаток - Переход к X^-i приводит к необходимости решать в процессе редукции некоторые вспомогательные задачи, причем, как следует из [9] , использованный в [10] алгоритм не является устойчивым.

Задачи дальнейшего совершенствования алгоритмов циклической редукции рассматриваются в гл. I и 2.

Напомним еще, что большое число работ (см., например, статьи R,W- Ноские^ [ II, 12] , Р.А/.SwaR2-tклыЕе^з], СДетрег+оиМ [14] , Е.С.Николаева [15] , R. Е. Вапк^аи Т)Л. dose [16] , И.Е. Капорина [17] и § 3, гл. 17 книги

2] ) посвящено алгоритмам, где применяются и метод БДПФ , и метод циклической редукции,или один из них рассматривается в' сочетании с другими способами решения, превде всего (см. [16], [181 [19] с алгоритмом названным авторами [1б] процессом марша (независимо от работы [1б] , родственный процессу марша способ решения теплицевых систем был предложен В.П.Ильиным и И.М.Лиснянским [20] ).

Такие комбинированные методы в диссертации не рассматриваются, хотя для ряда случаев именно они дают возможность строить решения с минимальными затратами. Дело в том, что результаты цитированных работ позволяют получать "гибридные" методы достаточно легко, а их эффективность целиком зависит от эффективности составляющих "базисных" методов. Кроме того, можно заметить, что все рассмотренные ниже методы непосредственно позволяют получать решения уравнений вида

О) при cL = 0, cL - I это уравнение Пуассона в декартовых и цилиндрических координатах, или даже более- общих уравнений вида

Smu't + ecx)u^-f-J(x)u - /Ц^ (4) а комбинированные процессы используют, как правило, более сильные предположения, связанные с возможностью применять БДПФ, редукцию или "марш" по разным координатным направлениям и для задач с уравнениями (3), (4) не предназначены. Если же задача удовлетворяет всем необходимым условиям и допускает использование составных методов, то вновь разрабатываемые алгоритмы без каких-либо ограничений применимы вместо известных и дополнительно повышают эффективность.

Рассмотренные в гл. 1,2 методы могут быть использованы при решении эллиптических уравнений и в более сложных областях, например, на основе метода фиктивных компонент [21 - 2б] , применения сеток?топологически эквивалентных сеткам в прямоугольных областях (см. [27, 28] или на основе выделения сравнительно простых подобластей. Последний подход допускает сопряжение подобластей без налегания - метод разделения областей (см. [26, 29 - 35])- или вариант, эквивалентный классическому алгоритму Шварца. В любом из двух этих случаев речь идет, фактически, об определении частичного решения, т.е. об определении компонентов' решения, соответствующих узлам на границах подобластей альтернирования, так как остальные значения могут быть найдены сравнительно просто - проще, чем выполняется одна итерация альтернирующего процесса.

Если альтернирующий алгоритм рассматривать как алгоритм частичного решения и в ходе итераций пересчитывать только соответствующие компоненты искомой сеточной функции, то будет получен итерационный процесс в подпространстве. Методы в подпространстве в общей постановке рассматривались первоначально в книге [48] Г.И.Марчуком и 10.А.Кузнецовым, а затем при решении некоторых задач математической физики Ю.А.Кузнецовым [49 - 52] Е.Г.Дьяконовым [53] и другими авторами.

Что касается метода Шварца, то он неоднократно рассматривался во многих работах. Подробное изложение и некоторые ссылки можно найти в известных книгах С.К.Годунова [361 , А.Гур-вица и Р. Курант а [37] , Е.Г.,Цьяконова [38] , Л.В. Канторовича и В.И.Крылова [39] , Р.Куранта [40], Р.Куранта и Д.Гильберта [41] , В.И.Смирнова [42].

В последние годы, в связи с построением эффективных алгоритмов для решения сеточных эллиптических уравнений, метод использовался Е.А.Волковым в [43] и [44] , Е.Г.Дьяконовым [45] и [38] , К. Millet в [46] , С.Е.Романовой в [47] и другими авторами.

Во всех перечисленных работах по методам решения сеточных эллиптических уравнений алгоритм Шварца не исследовался как алгоритм частичного решения специальных алгебраических систем.

В гл. 3 такой анализ проводится, а альтернирующий процесс Шварца рассматривается в подпространстве. Благодаря этому подходу, разработанному указанными выше авторами, для метода , предложенного еще Германом Амандусом Шварцем (I843-I92I), удается установит^шзоиства и, при некоторых простых предположениях, построить более эффективные варианты альтернирующего процесса, чем ранее известный.

Кроме данного введения, работа содержит три главы, разбитых на параграфы, заключение и приложение.

- 10

В параграфах принята десятичная система ссылок на формулы, рисунки и т.д. Так, для указания на формулу (14) из § 3 в пределах этого параграфа приводится номер (14), а в остальных случаях - номер (3.14). Ссылки на формулы из введения, таблицы (леммы) из Приложения содержат букву В и номер формулы, букву П и номер таблицы (леммы), соответственно. Например, указание на уравнения (I) дается в форме (B.I).

Заканчивая введение, автор хотел бы выразить признательность научному руководителю В.П.Ильину за постановку ряда задач, ценные замечания и внимание к работе, благодарность Ю.А.Куне-цову, А.М.Мацокину, а также Е.Г.Дьяконову за обсуждения, стимулировавшие дальнейшие исследования и оказавшие значительное влияние на окончательное содержание работы.

- II

- 146 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выделим основные результаты работы.

1. На основе предложенных методов частичного решения систем линейных алгебраических уравнений построены алгоритмы I и 2 - устойчивые обобщения алгоритмов четно-нечетной циклической редукции 0. Бунемана и А.А.Самарского, Е.С.Николаева.

2. Разработан алгоритм редукции, основанный на принципе деления пополам - алгоритм 3. Он является наиболее экономичным среди построенных и известных как по требованиям к памяти, так и по быстродействию.

3. Для всех методов редукции исследована устойчивость и получены достижимые оценки трудоемкости сверху и снизу, а также при решении ряда характерных задач. Построены модификации алгоритмов 1-3 на случаи систем, отвечающих аппроксимациям эллиптических задач с условиями второго, третьего рода.

4. Построены и исследованы альтернирующие процессы на подпространстве. Дано достаточное условие сходимости альтернирующего процесса в нормах » ^' ^Ск. 0 одинаковой скоростью. На основе анализа в подпространстве предложены методы ускорения сходимости альтернирующего процесса, опирающиеся! на алгоритм верхней релаксации и симметризуе-мость описанного в работе процесса типа Шварца.

5. Рассмотрен двухступенчатый альтернирующий процесс и доказана его симметризуемость на подпространстве. Предложен метод построения на подпространстве операторов, эквивалентных по спектру данному. С его помощью получен эффективный

- 147 алгоритм решения уравнения диффузии в многозонной ступенчатой области.

6. Разработаны программы SW , CuCRED , S0RSW , реализующие алгоритм четно-нечетной редукции, алгоритм редукции делением пополам и метод итераций по подобластям. С их помощью выполнено решение ряда модельных и практических задач, подтверждающих эффективность предложенных методов.

1. Марчук Г.И. Методы-вычислительной математики. - М.:Наука; 1980. - 536 с.

2. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.- 592 с.

3. Бахвалов H.G. Численные методы. М.:Наука, 1973. -631 с,

4. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.:Наука, 1977.- 655 с.

5. К&ее B.L.,eo{ut&.H.,Afei8son,C.W.,0Kdbtici mAcds foftsoftM PoissouPs equations 31 AM 2f-l Muw*(>. A wit., 49*0, v.6. 0. Ebuwewavt. A compac.1 nonlletaitve PoCssoa- Ptaswa (ksea^k, SW-foed

6. Swee-t А c^cu'c Waeno^aigo'bi'rktttr- SIAM NTuweft,

7. Фаге Д.М., Шайдуров В.В. Об одном прямом методе решения систем уравнений с блочно-трехдиагональной матрицей.- В сб.:Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН, 1977, с.117-122.

8. Hockneu R. W- Jki peienlicd c&iutlakon audtome appjftekmi.-Is,: 4 &mMuf. PLyoS.- J\le*T

9. Honk, A&adenm Р*вм, 19JO, v. Q p. 455-Ш

10. НпкыцШ * hit drx^ vhfton of РиноиЪгриакы иШе ТвипШ awUs. 5 ( fcsoc. Cmfut. Май., Щ v. 11, p. qt-нз

11. S-шЫчмЬл P.N. Tut narked of toUte. «tJuekiu. futVw. aicafym aud Ни. F№R ateobHm Д Mi

12. Темрег+оп C. On Ш FACM) atMbihru fotfa Jteuh

13. Pots&n Mm.-kcu.-'J-l Gomm~(. Pkt&as, 49$0} v. 54^fap. 544-3 29 * ' '

14. Николаев E.G. Метод неполной циклической редукции. Б сб.: Разностные методы математической физики. М.:Изд-воI1. МГУ, 1981, с.3-12.16. &at\ к Л Rose Л X On 0(tiz) mtHtcd joe emtiaui ^((itizwt iouncjabu value in info cliwn-Sfmi. Anal, 42 p. 526-540.

15. Капорин И.Е. Модифицированный марш-алгоритм решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. В сб.: Разностные методы математической фи-.зики. - М. Изд-во Моск. ун-та, 1980, с.П-21.

16. Пап к R. £., я X MaAcfuutj aJl^cuihm (огеМгркс- ёоипЛал^ 1/aAd^ъоШт. SIM 7-f NameR,

17. Anai.n {Щ v. Ц, УS.\p. m-m.19. &mk ft. £,) Пои D\ 7, MwcL'tifj ai^ttmt aud(лаиг&аи ейтшЬ'оп, P/we, ^mj), 0yi Sfjm&t Haiti* C&m^kb'ou.^ Ачпм, Mto. <6/, Sept Щ tie<u) AceJtouc

18. Ильин В.П., Лиснянский И.М. 0 решении алгебраических уравнений с ленточными теплицевыми матрицами. Сиб.мат. журн., 1978, т.XII, JS I, с.44-48.

19. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Некоторые вопросы итерационных методов., В сб.-.Вычислительные методы линейной алгебры.' Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1972, с.4-20.

20. Кузнецов Ю.А.,Мацокин A.M. Решение уравнения Гельмгольца методом фиктивных областей. В сб.: Вычислительные методыi линейной алгебры. Новосибирск:Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1972, с. 127-144.

21. Мацокин A.M. К развитию метода фиктивных областей. В сб.: Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск:Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1973, с.48-56.

22. Оганесян Л.А.,Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Труды семинара Дифференциальные уравнения и их применение, ч.П. вып.8, Вильнюс, 1974.

23. Кузнецов Ю.А.-,Мацокин A.M. Об оптимизации метода фиктивных компонент. В сб.:Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск:Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1977, с.79-86.

24. Мацокин A.M. Метод фиктивных компонент и модифицированный разностный аналог метода Шварца. В сб.вычислительные методы линейной алгебры. - Новосибирск:Изд-во ВЦ СО1. АН, 1980, с.66-77.

25. Мацокин A.M. Вариационно-разностный метод решения эллиптических уравнений в круге. Новосибирск:Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1975. - 12 с. (Препринт В 13).

26. Дьяконов Е.Г. Некоторые классы операторов, эквивалентныхпо спектру, и их применения. В сб.: Вариационно-разностные методы решения в математической физике, Новосибирск : Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1976, с.49-62.

27. Дмитренко. М.Е.,Оганесян Л.А. Вариант метода Шварца для прилегающих сеточных областей. В сб.: Вычисления с разряженными матрицами. - Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1981,'с.36-44.

28. Лебедев В.И., Агошков В.И. Обобщенный алгоритм Шварца с переменными параметрами. ГЛ.:Изд-во ВИНИТИ, 1981. - 40 с. (Препринт 19).

29. Матвеева Э.И.,Пальцев Б.В. О разделении областей при решении краевых задач для уравнения Пуассона в областях сложной формы. Журн. вычисл. мат. и мат.физ., 1973, т.13, $ 6, с.1411-1452.

30. Мацокин A.M., Непомнящих С.В. О сходимости метода альтернирования Шварца по подобластям без налегания. В сб.: Методы аппроксимации и интерполяции. - Новосибирск:Изд-во ВЦ СО АН, 1981, с.85-97.

31. Осмоловский В.Г. ,-Ривкинд В.Я. О методе разделения областей ! для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами.- Журн. вычисл.мат. и мат.физ., 1981, т.21, 1Гз I, с.35-39.

32. Смелов В.В.Журавлева Т.Е. Принцип итерирования по подобластям в задачах с эллиптическим уравнением. М.:Изд-во ВИНИТИ, 1981, - 16 с. (Препринт $ 14).

33. Цвик Л.Б. Обобщение алгоритма Шварца на случай областей, сопряженных без налегания. Докл. АН СССР, 1975, т.224, & 2, с.309-312.

34. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1971. - 416 с.

35. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. -Ы.:Наука, 1968,-648 с.

36. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач.- М.:Изд-во МГУ, 1971, вып. I. 240 с.

37. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М.-Л.:Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1949.- 695 с.

38. Курант Р. Уравнения с частными производными. М., Мир, 1964. - 830 с.

39. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.1. Гостехиздат, 1945, Т.П.

40. Смирнов В.И. Курс высшей математики. -М.:Наука, 1981, ; т.4, 4.2. 550 с.

41. Волков Е.А. О методе регулярных составных сеток для уравнения Лапласа на многоугольниках. Труды Матем. ин-та

42. АН СССР, 1976, т.140, с.68-102.

43. Волков Е.А. О гладкости решений задачи Дирихле и методе составных сеток на многогранниках. Труды Матем. ин-та АН СССР, 1979, т.150, с.67-98.

44. Дьяконов Е.Г. Об одном способе решения уравнения Пуассона.- Докл. АН СССР, 1962, т.143, А« I, с.21-24.

45. Millet К. MumMeal anabcjs {о Ни Sefwtfatx аИ&гка-кк ytccedit'U. Миш,*. Mailt.1 Д р.

46. Романова С.Е. О решении альтернирующим методом Шварца смешанной краевой задачи для разностного уравнения Лапласа на ступенчатых областях. Докл. АН СССР, 1979, т.245, J2 3, с.536-539.j

47. Методы вычислительной математики. Новосибирск:Наука, 1975.

48. Кузнецов Ю.А. Блочно-релаксационные методы в подпространстве, их оптишзация и применение. В сб.: Вариационно! - разностные методы в математической физике. - Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН, 1978, с.178-212.

49. Кузнецов 10.А. Блочно-релаксационный метод в подпространстве решения задачи Дирихле. Новосибирск:Изд-во ВЦ СО АН ССССР, 1979. - 21 с. (Препринт JS 63).

50. Кузнецов Ю.А. Блочно-релаксационный метод в подпространстве решения двумерных и трехмерных уравнений диффузии в многозонных областях. В сб.:Методы решения систем вариационно- разностных уравнений. - Новосибирск. : Изд-во ВЦ СО АН,1979, с. 24-59.

51. Кузнецов Ю.А. Блочно-релаксационные методы в подпространстве для двумерных эллиптических уравнений. В сб.:Численные методы в математической физики. - Новосибирск : Изд-во1. ВЦ СО АН, 1979, с.20-44.

52. Дьяконов Е.Г. О некоторых прямых и итерационных методах, основанных на окаймлении матрицы. В сб.:Численные методы в математической физики. - Новосибирск : Изд-во ВЦ СО АН, 1979, с.45-68.

53. Bawe<jas A. Fas+ Pois&on tboivzis p^jo^&ms» KjvRi £>pats Ify- Mft+K.6,Wpai.,19?«,V.32L, p.M-MC.

54. Капорин PI.E. О задаче решения разностного уравнения Пуассона в неполно-разреженной постановке. В сб.:Разностные методы математической физики. - 1л.:Изд-во МГУ, I98I,c.3-I2.

55. Бахвалов Н.С., Орехов М.ГО. О быстрых способах решения уравнения Пуассона. Журн. вычисл.мат. и мат.физ., 1982, т. 22, № 6, с.1386-1392.

56. Сандер С.А. Модификация алгоритма Шварца для решения сеточных краевых задач в областях, составленных из прямоугольников и прямоугольных параллелепипедов. Новосибирск : Изд-во ВЦ СО АН, 1981, - 21 с. (Препринт гё 83).

57. Сандер С.А. Циклическая редукция без ограничений на представление числа неизвестных. Новосибирск : Изд-во ВЦ

58. СО АН, 1980. 26 с (Препринт 1Ь 69).- 214

59. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -М.:Наука, 1969, т.2. 800 с.

60. Сандер С.А. Программа метода циклической редукции. ГосФАЛ, программа J£ П006576, 1983.

61. SwatzteaubeR P.M., R.A.;Effi<uevi± «хврго^. |OR Ik* seWcon. eiti'plia paifeat di'ffmwkat «^uffkous -Repoti NCAR-TN/IA-H09, M. C+R. |oe AWspkate R*sM boaWe^.CoUado,^?^.

62. Sw^ftaafee* P.M., Sweei RX Aty*u4U 5k\-. ьЦ^гЦ FORTRAH uifeWt'vt* ion 4-U vMiow SepauiWt S^p+icp«*W Aft^wiW e^aakoHs.-TOWSSOTOXp.^.

63. AJawieSr.C^SwateWeee PJ.^weetR.A. Sffi<u«i+ P0KTR.M4 ^ptoota^ so&x-kon of etttp-kc patehatcblWUt JaW.-Iv,: Sttpfce PUW1. Academte IW, «М, p

64. Сандер С.А. Некоторые варианты метода циклической редукции.- В сб.вычисления с разряженными матрицами. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН, 1981, с.123-133.65. g-uaus D.CL On 4кг ъо&л-кои о| aiH -toepWg iiUclfctfjoftattniflt SIM Я-1 Ni^R.Anal, шо^^л/^,

65. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.К. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.-Л., Физматгиз, 1963. 734 с.

66. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. О некоторых свойствах якобиевых матриц и их приложениях. В сб.:Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск:Изд-во ВЦ СО АН, I98-, т.З, П 5, с.40-51.

67. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрооптики.- Новосибирск:Наука, 1974. 202 с.

68. Маркус М., Минк X. Обзорпотеории матриц и матричных неравенств. М.:Наука, 1972. - 232 с.

69. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.,Наука, 1977. 304 с.

70. Оганесян Л.А.,Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван, Изд-во АН Арм.1. ССР, 1979. 335 с.

71. Дьяконов Е.Г. О построении итерационных методов на основе использования операторов эквивалентных по спектру. К.вычисл. матем. и мат. физ., 1966, т.6, $ I, с.12-34.

72. Дьяконов Е.Г. Итерационные методы решения разностных аналогов краевых задач для уравнений эллиптического типа. -Киев; Изд-во ин-та Кибернетики АН УССР, 1970, вып.4. -144с.

73. Николаев Е.С. Об оптимизации двухступенчатого итерационного метода. Ж.вычисл. мат. и мат.физ., 1972, т.12, $ 12, & 6, с.1456-1464.

74. Дрыя М. Алгоритм с матрицей емкости для вариационно-разностной задачи Дирихле. В сб.:Вариационно-разностные методыв математической физикие. Новосибирск, Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1981, с.63-73.

75. Diamond №. д. Fette^ta "tX V. On а ацейе <uduckcn hulked Де Ike sofa-lion 0/ PoCs^on^s гс^иакощ, SI AAA 3-1 AtumR. Anal , Ш, и. 13} л/f, p. 54-70.

76. Сандер С.А. Решение задачи Дирихле для уравнения диффузии в многозонной ступенчатой области. Новосибирск, Изд-во

77. ВЦ СО АН СССР, Препринт JS 381, 1982. 23 с.

78. Горбенко Н.И.,Ильин В.П.,Попова Г. С., Свешников В.М. Пакет программ ЭРА для автоматизации электрооптических расчетов. В сб.:Численные методы решения задач электрооптики. -Новосибирск, Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1976, с.34-60.

79. Вассерман С.Б. и др. Высоковольтный импульсный генератор электронного пучка ЭЛИТ-ЗА. Новосибирск; Изд-во ин-та Ядерной физики СО АН СССР, препринт й 79-III, 1979. -13 с.

80. Горбенко Н.Й., Ильин В.П. Об автоматизации решения трехмерных краевых задач. Новосибирск; Йзд-во ВЦ СО АН СССР, препринт J£ 102, 1978, - 24 с.

81. Никольский С.М. Граничные свойства функций, определенных на областях с угловыми точками. Матем. сб., 1957, т.43, J2 I, с. 127-144.