Коэрцитивные оценки разностных методов для второй краевой задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ,

АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ВТОРУЮ КРАЕВУЮ ЗАДАЧУ.

1.1. Основные обозначения и вспомогательные утверждения

1.2. Построение разностной схемы.

1.3. Оценки скорости сходимости

1.3.1. Основные леммы.

Т.3.2. Неравенство коэрцитивности. Теоремы сходимости

1.4. Задача Неймана для случая <XL(oc)-=o> СЬ(Х.)=

V 1.5. Случай двух независимых переменных.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ.СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ \ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ

2.1. ^Обозначения и определения

2.2. Регулярность решения задачи Неймана для уравнения

Гел^ьм гольца.

2.3. Регулярность решения задачи Неймана для •.эллиптического уравнения с постоянными. коэффициентами

2.3.1. Постоноша задачи

2.3.2. Гладкость решения второй краевой задачи на секторе

2.3.3. Обобщения

ГЛАВА 3. РАСЧЕТ ГЕОТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ

АЗИАТСКО-ТИХООКЕАНСКОЙ АКТИВНОЙ ОКРАИНЫ.

З.Т. Постановка задачи

3.2. Исходные данные для расчетов

3.3. Численное решение задачи геотермии для профиля

3.3.1 Выбор и исследование разностной схемы

3.3.2,Метод решения сеточных уравнений.

3.3.3 Результаты расчетов

Настоящая диссертация посвящена построению и исследованию разностных схем для второй краевой задачи, изучению дифференциальных сеойств решений задачи Неймана и численному решению прямой задачи геотермии.

В работах [60j , [7] , [i] , [3] , f24J для второй краевой задачи в параллелепипедальних областях строились разностные схемы и изучалась скорость сходимости их решений. В [60] построена разностная схема, аппроксимирующая задачу Неймана для уравнения Лапласа в прямоугольнике с погрешностью 0(1') . Доказана равномерная сходимость этой схемы со скоростью

Работа [7] посвящена исследованию равномерной сходимости разностной схемы, аппроксимирующей ту-же задачу для уравнения Пуассона с ■ погрешностью

О (IV .

В [ij для второй краевой задачи с самосопряженным эллиптическим уравнением без смешанных производных в р - мерном прямоугольном параллелепипеде была построена разностная схема второго порядка погрешности аппроксимации и доказана сходимость в . В [з] было показано, что эта схема сходится к достаточно гладкому реше-^•яию исходной задачи в норме сеточного пространства W/ со скоростью (Р (И) .

В [24J (см. также § 3 гл. 1У j[47j ) была найдена разностная схема для той же, что ив [i] , задачи при условиях, что уравнение содержит смешанные производные и область является прямоугольником. Для решения этой разностной задачи была установлена оценка скорости сходимости в норме пространства , аналогичная [з] .

В настоящей работе разностная схема, аппроксимирующая вторую краевую задачу для несамосопряженного эллиптического уравнения со смешанными производными в параллелепипеде, построена методом аппроксимации интегрального тождества с последующей коррекцией сеточных уравнений на кусках границы. В результате полученная дискретная задача аппроксимирует дифференциальную задачу с погрешностью D(V) . Исследование сходимости приближенного решения разностной схемы к точному решению исходной краевой задачи в нормах сеточных пространств С.Л. Соболева W/ и W/" опирается на разностный аналог неравенства коэрцитивности.

Разностный аналог неравенства коэрцитивности для первой краевой задачи был впервые установлен Ниче. В работе [б!] ими была рассмотрена разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка со смешанными производными в случае двух пространственных переменных. Случай любого числа переменных для уравнения, не содержащего смешанных производных, был изучен В.Б. Андреевым в работе [2] .

В работах Е.Г. Дъяконова [l6] - [19] и П.Е. Соболевского, М'.Ф. Тиунчика J49J , [50j были получены коэрцитивные оценки для разностных решений эллиптических уравнений общего вида с однородными граничными условиями первого рода для любого числа независимых переменных.

В наших заметках [42] , [41] и здесь доказана коэрпитивность разностного оператора, соответствующего построенной разностной схемы для второй краевой задачи; установлена сходимость и оценки скорости сходимости: в норме сеточного пространства W* и в норме 4/1 .

Известно, что при доказательстве сходимости необходимым условием является регулярность решения краевой задачи. В случае, когда область содержит угловые точки, гладкость решения в окрестностях этих точек нарушается. Однако для некоторых задач найдены условия, при выполнении которых потери регулярности решения не происходит.

Так, в работе С.М. Никольского [Зб] установлены необходимые и достаточные условия, при которых решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике принадлежит к классу C^CQ) Суть этих условий заключается в том, что функция, стоящая в правой части граничных условий, на каждой из сторон прямоугольника принадлежит С^ , а в углах для четных ее производных, порядка не больше, чем К , выполняются условия согласования.

В работе S.A. Волкова [8] получены аналогичные необходимые и достаточные условия принадлежности к классу CK/dL(Q) решений задач Дирихле, Неймана и со смешанными граничными условиями для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Эти условия содержат требование заданной регулярности правой части уравнения на области£2 , определенной гладкости правых частей граничных условий на сторонах прямоугольника и выполнения в угловых точках условий согласования для некоторых производных от граничных функций и свободного члена уравнения. В книге [31] Г.И. Марчука и В.В. ШайдуроЕа даны условия, при которых решение задачи Дирихле с однородными граничными условиями для уравнения Гельмгольиа на прямоугольнике принадлежит классу Эти условия состоят в том, что правая часть уравнения должна принадлежать классу C3dC<a?) , а £? углах прямоугольника для нее и ее вторых производных должны выполняться два условия сопряжения. В настоящей работе найдены, по аналогии-с f8] , необходимые и достаточные условия, при которых решения задач Дирихле, Неймана и со смешанными граничными условиями для уравнения Гельмгольиа в прямоугольнике принадлежат классу Отличие данных условий от вышеотмеченных заключается в том, что в условия согласования входит коэффициент из уравнения в некоторых степенях.

В статье [9J Е.А. Волкова, обобщающей результаты работ В.В. Фуфаева [56] - [57J, исследован вопрос гладкости решения задач Дирихле, Неймана и со смешанными граничными условиями для уравнения Лапласа на произвольном многоугольникеQ с прямолинейными сторонами при наличии у областиуглов jf.li , где + q

4 iJJ

Установлено, что для принадлежности решений перечисленных задач классу С LQ.) необходимо и достаточно, чтобы кроме заданной регулярности граничных функций и выполнения в угловых точках условий согласования, выполнялись условия интегрального типа. В настоящей работе рассмотрена вторая краевая задача для однородного эллиптического уравнения второго порядка со смешанными производными и с постоянными коэффициентами в прямоугольнике. Для этой задачи получены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых решение принадлежит к классу f на замыкании прямоугольника. I 04

По сравнению с условиями, установленными в £9 J , изменяется вид условий согласования,' а также вид и количество условий интегрального типа.

Перейдем к более полному описанию полученных результатов. Диссертация состоит из введения и трех глав,

1. Андреев В.Б. Итерационные схемы переменных направлений для численного решения третьей краевой задачи в р - мерном параллелепипеде. - Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1965, т. 5, № 4, с. 626-637.

2. Андреев В.Б. 0 равномерной сходимости некоторых разностных схем. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, т. 6, № 2, с. 238-250.

3. Андреев В.Б. 0 сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1968, т. 8, Т& 6,с. X2I8-I23I.

4. Андреев В.Б. 0 равномерной сходимости разностных схем для задачи Неймана. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т. 9, № 6, с. 1285-1298.

5. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг JI. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. I. М.: Иностранная литература, 1962. - 205 с.

6. Белесенев А.Ф. Строение земной коры и верхней мантии Японского моря. В кн.: Проблемы строения земной коры и верхней мантии. - М.: Наука, 1970. - 299 с.

7. Волков Е.А. 0 решении краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Докл. АН СССР, 1962, т. 147, с. 13-16.

8. Волков Е.А. 0 дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения Лапласа и Пуассона на прямоугольнике. -Тр. матем. ин-та им. В.А. Стеклова, 1965, т. 77, с. 89-П2.

9. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения Лапласа на многоугольниках. Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова, 1965, т. 77, с. II3-I42.

10. Волкова Н.А. Модель теплопроводности земной коры Охотомор-ского региона. Геология и геофизика, 1982, № 5, с. 92-97.

11. Волкова Н.А. Распределение температур в земной коре Южно -Охотоморского региона. Тр. СахКНИИ, 1975, вып. 37,с. 202-212.

12. Веселов О.В., Павлов Ю.А., Соипов В.В., Тараканов Р.З., Федорченко В.И. Верхняя мантия и ее неоднородности. В кн.: Строение земной коры и верхней манти в зоне перехода от Азиатского континента к Тихому океану. Новосибирск, 1976,с. 249-265.

13. Васильев Б.И., Жильцов Г.О., Суворов А.А. Геологическое строение юго-западной части Курильской системы дуга-желоб. -М.: Наука, 1979. 106 с.

14. Гнибиденко Г.С. Тектоника дна окраиных морей Дальнего Востока. М.: Наука, 1979. - 163 с.

15. Голицын Г.С. О профиле температур и мантии Земли. Физика Земли, 1981, № 4, с. 14-17.

16. Дъяконов Е.Г. О сходимости одного итерационного процесса. -У.М.Н, 1966, т. 21, выпуск I (127), с. 179-182.

17. Дъяконов Е.Г. О приближенных методах решения операторных уравнений. Докл. АН СССР, 1971, т. 198, № 3, с. 516-519.

18. Дъяконов Е.Г. О некоторых методах решения систем уравнений разностных и проекиионно-разностных схем. В кн.: Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск : ВЦ СО АН СССР, 1972, с. 28-58.

19. Дъяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач (тексты лекций). М.: МГУ, 1971, выпуск I. - 242 с.

20. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. - 512 с.

21. Ехара С. Тепловой режим земной коры и верхней мантии района острова Хоккайдо по данным теплового потока. В кн.: Вулканизм островных дуг. - М.: Наука, 1977, с. II6-I25.

22. Йодер Г.С., Тилли Н.Э. Происхождение базальтовых магм. -М.: Наука, 1965. 247 с.

23. Ладыженская О.А., Уральпева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. 2-е изд., перераб. -М.: Наука, 1973. - 576 с.

24. Лебедев В.И. Об опенке погрешности метода сеток для задачи Дирихле и Неймана. Докл. АН СССР, 1959, т. 128, Г" 4,с. 665-667.

25. Лебедев В.И. Опенка погрешности метода сеток для двумерной задачи Неймана. Докл. АН СССР, I960, т. 132, № 5,с. I0I6-I0I8.

26. Лебедев В.И. Решение задачи Неймана методом сеток. В кн.: Вопр. вычисл. матем. и вычисл. техн. - М.: Машгиз, 1963,с. 94-98.

27. Любимова Е.А., Никитина В.Н., Томара Г.А. Тепловые поля внутренних и окраиных морей СССР. М.: Наука, 1976. - 224 с.

28. Любошип В.Н. Численное решение прямой задачи геотермии. -Физика Земли, 1976, № 9, с. II5-II9.

29. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 456 с.

30. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979. - 320 с.

31. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Иностранная литература, 1957. - 256 с.

32. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. - 544 с.

33. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. -576 с.

34. Никольский С. М. Квадратурные формулы.- М.: Наука, 1974. -224 с.

35. Никольский С.М. Граничные свойства функций, определенных на областях с угловыми точками. Матем. сб., 1957, т. 43, № I, с. 127-144.

36. Николаев Е.С., Самарский А.А. Выбор итерационных параметров в методе Ричардсона. Ж. вычиел. матем. и матем. физ., 1972, т. 12, ^ 4, с. 960-973.

37. Парфенюк О.И. Об одной численной тепловой модели внутреннего строения зон Заваришого-Беньофа. В кн. Экспериментальное и теоретическое изучение тепловых потоков. - М.: Наука, 1979, с. 138-149.

38. Рукавишников В.А. Об устойчивости разностных схем, аппроксимирующих вторую краевую задачу для эллиптических уравнений второго порядка. В кн.: Модели и уравнения (Сообщ. по прикл. матем.). М.: ВЦ АН СССР, 1980,, с. 3-14.

39. Рукавишников В.А. 0 сходимости разностных схем для второй краевой задачи. В кн.: Численное решение краевых задач и интегральных уравнений: Тез. конф. 21-23 октября 1981. Тарту, 1981, с. 29-33.

40. Рукавишников В.А. О сходимости коэрцитивных разностных схем, аппроксимирующих вторую краевую задачу. Владивосток, 1982. - 29 с. (Препринт/ Вычислительный центр ДВНЦ АН СССР: ВД 14329).

41. Рукавишников В.А. Коэрцитивная опенка скорости сходимости приближенного решения второй краевой задачи. Докл. АН СССР, 1983, т. 271, Ш 4, с. 798-801.

42. Рукавишников В.А. Регулярность решения задачи Неймана на прямоугольнике. В кн.: Тезисы докладов конференции "Методы алгебры и анализа". 28 - 30 сентября 1983. Тарту, 1983,с. 132-135.

43. Родников А.Г. Островные дуги западной части Тихого океана. -М.: Наука, 1979. 152 с.

44. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656 с.

45. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

46. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

47. Соболевский П.Е., Тиунчик М.Ф. 0 разностном методе приближенного решения квазилинейных эллиптических и параболических уравнений. В кн.: Тр. матем. фак. ВГУ. Воронеж, 1970, выпуск I, с. 82-106.

48. Соболевский П.Е., Тиунчик М.Ф. О разностном методе приближенного решения эллиптических уравнений. В кн.: Тр. матем. фак. ВГУ. Воронеж, 1970, выпуск 4, с. II7-I27.

49. Суворов А.А. Глубинное строение земной коры Охотского сектора по сейсмическим данным. Новосибирск: Наука, 1975. - 103 с.

50. Смирнов Я.В., Сугробов В.М. Земной тепловой поток в Курило-Камчатской и Алеутской провинциях. III. Оценки глубинных температур и мощность литосферы. Вулканология и сейсмология, 1980, № 2, с. 3-18.

51. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 5-е изд., стереотипное, учебное пособие для высших учебных заведений. - М.: Наука, 1977. - 736 с.

52. Тараканов Р.З., Ким Гун Ун, Сухомлинов Р.Н. Строение Курильской фокальной зоны. В кн.: Сейсмическое районирование Курильских островов. Приамурья, Приморья. - М.: Наука, 1979. -160 с.

53. Туезов И.К. Литосфера Азиатско-Тихоокеанской зоны перехода. -Новосибирск: Наука, 1975. 232 с.

54. Фуфаев В.В. К задаче Дирихле для областей с углами. Докл. АН СССР, I960, т. 131, w I, с. 37-39.

55. Фуфаев В.В. 0 комформных преобразованиях областей с углами и о дифференциальных свойствах решений уравнения Пуассона в областях с углами. Докл. АН СССР, 1963, т. 152, №4, с. 838-840.

56. Чермак В. Геотермическая модель литосферы и карта мощности литосферы на территории СССР. Физика Земли, 1982, № I, с. 25-38.59» Miranda С. Sur problema raisto per le equazioni lineari ellittiche.-Ann. Mat. Рига Appl., 1955,t. 39, s.279-303.

57. Giese J.H. On the truncation error in a numerical solution of the Neumann problem for a rectangle.-J. Math. Phys., 1958, t. 37,N 2, s.169-177.

58. Nitsche J., Uitsche J.G.G. Error estimates for the numerical solution of elliptic differential equations.- Arch, for Rat. Mech. and Analysis, 1960, t. 5, n. 4,s.293-306.

59. Fridricho K.O., Keller H.B. A finite difference scheme for generalized Neumann problems.-Numer. solut. of part. diff. equat. New York -London: Acad. Press, 1966,s. 1-19*

60. Horai Ki-iti. Heat flow anomaly associated with dike intrusion. -J. Geophysics Res., 1976, t.8l,N5, p.894-898.

61. Hurtig E., Oelsner C. Heat flow, temperature distribution and geothermal models in Europe: same tectonic implications.-Tectonophysics, 1977,N4, p.147-156.