Методы решения задач квадратичного программирования в гильбертовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение

Глава I. О существовании седловой точки в задаче квадратичного программирования в банаховом пространстве.

§ I. Предварительные сведения. Обозначения

§ 2. Теорема о существовании седловой точки

§ 3. Условия Куна-Таккера для задачи квадратичного программирования

§ 4. Эквивалентность условий Слейтера и сильной совместности при наличии внутренности конуса

4.1. Контрпримеры.

Глава П. Вычислительный метод для задачи квадратичного программирования в пространстве /.^[О,!]

§ I. Сведение задачи квадратичного программирования к двойственной задаче

§ 2. Описание метода и доказательство сходимости

2.1. Пример.

2.2. Описание программы

§ 3. Регуляризация в задаче квадратичного программирования

§ 4. Случай матричных ограничений

В 1939 году Л.В.Канторовичем был сформулирован ряд условно-экстремальных линейных задач экономического происхождения - задач линейного программирования, и указаны эффективные методы их решения. В дальнейшем в работах Г.Данцига и многих других авторов, как в нашей стране, так и за рубежом, теория линейного программирования получила широкое развитие (см., например Г16] , [40] ).

Следующим этапом в развитии теории математического программирования явилась разработка теории выпуклого программирования. Первая значительная работа в этом направлении принадлежит Г.Куну и А.Таккеру [46] . Теорема Куна-Таккера дает необходимые условия для задач выпуклого программирования, а ее дифференциальная форма применима к задачам невыпуклого программирования в конечномерном пространстве и позволяет сформулировать необходимые условия для таких задач.

Уже в 50-х годах, наряду с работами по линейному и нелинейному программированию в конечномерных пространствах появились работы, посвященные задачам математического программирования в бесконечномерных пространствах. По-видимому, впервые такие задачи были рассмотрены Р.Беллманом [2] , но им рассматривалась не общая, а частная задача - так называемая задача на "узкие места".

Существует большое количество экономических задач, решение которых приводит к решению задач математического программирования в бесконечномерных пространствах. Приведем один пример. mm 4 —

Задача Марковича о максимизации чистой прибыли [3} .

Пусть Xi r xz , - • • * Хп - объемы выпуска и видов продукции (в стоимостном выражении) в момент i на каком-то производстве. Часть величины , обозначаемая ^ ■ , идет на расширение производства, причем увеличение выпуска продукции в зависимости от размеров вложений дается соотношениями dxi Ж п i Я f, 2,., п

Требуется определить такую стратегию вложений, при которой прибыль за время Т будет максимальной, т.е. а т

Z J(x.(i) max

Если xf0 , X2Q , . . . , Xno - начальные объемы выпуска продукции, то задача может быть переписана в виде:

0 ie[o,T],i=t.n у>/ 0

Эта задача является задачей линейного программирования в бесконечномерном пространстве.

Ряд обобщений результатов теории Куна-Таккера по линейному и нелинейному программированию в линейных топологических пространствах содержится в работе Гурвица [13] . При выполнении условия Слейтера для задачи выпуклого программирования выводятся необходимые условия экстремума в форме существования седловой точки функции Лагранжа. Для задачи линейного программирования необходимые (и достаточные) условия экстремума в той же форме доказываются в предположении, что множество

U/T = IШ*: uf*e Ш * мЛ Г (>*), \г*г>0, v% V*} регулярно выпукло. Здесь J - линейное непрерывное преобразование линейного топологического пространства UJ , состоящего из пар (р,х ) ( р - действительное число, х - элемент линейного топологического пространства X ), в топологическое пространство У х Щ s У (У - локально выпуклое линейное пространство), определенное соотношением

Т((р,Х)) = (-рв 4 Ах , (р,Х)) f где элемент 8 и оператор А берутся из линейного ограничения задачи Ах > $

Далее ГУрвицем получены необходимые условия при условии регулярности оператора /4 в задаче минимизации функционала f(X) при ограничениях Ах >/S , где f - дифференцируемый по Фреше функционал, Д - дифференцируемый по Фреше оператор.

При условии, что конус, частично упорядочивающий пространство, имеет непустую внутренность, для задачи нелинейного программирования в банаховом пространстве в [49] получены необходимые условия экстремума при более слабых предположениях, чем регулярность оператора А и регулярная выпуклость множества Ш * . В работе [49] используются некоторые определения и утверждения из [55] , а также применяется линейное непрерывное отображение , впервые введенное Л.Нейштадтом в [50] и [51] : для каждого 2е X существует линейный непрерывный оператор (т*2 : X —* У ( X и У *" банаховы пространства), такой, что iim —--—- = & fx) Для любого X € X (I), е^о е z у-х где /1 - непрерывный оператор, отображающий X в У .

Предположим еще, что для каждого 2 е X существует линейный непрерывный функционал f , определенный на X такой, что

Iim - = f (х) для любого Хе Л (2),

->о £ 2 где / - непрерывный функционал.

Если выпуклый конус К имеет! непустую внутренность и выполняются соотношения (I) и (2), то для задачи min f(x)

Ах>,у0 (3),

ХЕ Р где Р - произвольное множество X , следующая теорема, доказанная в [49] , дает необходимые условия минимума.

Теорема I. Если х° - решение задачи (3), то существуют число Др и функционал у*е У* , не равные нулю одновременно, такие, что о+^ *° ллялюбых для любых у е К , где S - выпуклый конус, являющийся выпуклой аппроксимацией первого порядка, определенный Нейштадтом [50] .

Проверка выполнимости соотношений (I), (2), при которых доказывается теорема I, намного проще, чем соответствующие предположения Гурвица [13] .

В работе [24] В.Л.Левиным доказана так называемая обобщенная теорема о седловой точке для задачи линейного программирования в локально выпуклых пространствах: х) min

Ах

Условие М (lD) означает соотношение

А"(Ку°) = А"(Ку°) где К у = (A iQ : "h >/0} * К у ( К у - неотрицательный конус).

Теорема 2. Цусть Х0Е (X ■ Л X } > = Уо ~ И выпол" няется условие M(z0) . Для того, чтобы минимум функционала f на множестве fx : fix >/ достигался в точке XQ , необходимо и достаточно существование обобщенной последовательности { у у } функционалов yj б У со следующими свойствами:

1) { Л у у } сходится к / в слабой топологии б"(Х, X) ;

2) у J в К у' для всякого V ; ( К у' - конус, сопряженный к Ку ); I

3) уu для всякого V .

Если же, наряду с условием /И (н0) , выполняется и условие заключающееся в слабой замкнутости множества /ГР(20) (Р(20) WyeKy' •• yW =0]) , ТО в [24] до-называется теорема (теорема 2'), дающая необходимые условия экстремума в форме существования седловой точки функции Лагранжа.

Для задачи min

Ах » у,

X >S О в работе [13] выводятся необходимые условия минимума в форме существования седловой точки функции Лагранжа при предположении, что конус К имеет внутренние точки и выполняется условие Слей-тера. Но при этих предположениях выполняются условия /И(%0) и N fro) , для 2Q = у0 - А х0 , где Х0 - решение задачи (5). А тогда применима теорема z' , т.е. результат Гурвица сразу следует из указанной теоремы.

Следовательно, В.Левиным установлено существование седловой точки функции Лагранжа для задачи линейного программирования при более слабых предположениях, чем в [13] .

В работе [30] , Б.Н.Пшеничным получены необходимые условия для задачи выпуклого программирования в банаховом пространстве, в формулировке которых используется понятие субдифференциала. В частности, в [30>] показано, что результат ГУрвица совпадает с результатом применения к данной задаче теоремы Милютина-Дубовиц-кого о необходимых условиях в терминах непересечения конусов.

Е.Г.Голыптейном в [II] рассмотрены задачи выпуклого программирования без предположения о существовании у К внутренней точки, но основное внимание здесь уделено, в основном, формулировке теорем двойственности. Слабая форма критерия оптимальности (критерий оптимальности I) предполагает лишь соблюдение соотношения двойственности и поэтому имеет весьма широкий круг приложений.

Теорема 3. Пусть X s / X*} - план ~ последовательность задачи выпуклого программирования достаточно, а в случае соблюдения соотношения двойственности и необходимо существование последовательности функционалов Л*е/С к такой, что

Sup f(x) Ах у/ о

X 7/0 . б)

Для того, чтобы X был решением задачи

Ьт [{(хк) *ъ*(Ах*)] = йт $up[ftx) + Л*(Ах)]

С-+оо * /с ->оо ' к

К(Ахк)=0.

IS . ЛЛ * '

К -+оо

Если же помимо соблюдения соотношения двойственности, известно, что одним из решений двойственной задачи является некоторый план, то критерий оптимальности I может быть уточнен:

Критерий оптимальности П

Теорема 4. Пусть X а (X } ~ план-последовательность задачи (6) и /(X) < оо . Для того, чтобы X был решением этой задачи достаточно, а в случае соблюдения соотношения двойственности и достижимости нижней грани в двойственной задаче на одном из ее планов необходимо существование функционала Л е К , такого, что tun [ fax к) + \(Ах*)1 = Sup[f(X) 4 } *(Ах)]

К-+оо tin Л*(Ах*) = о .

К -ТОО

В частности, если X ,т.е. решение X задачи является ее планом, то утверждение теоремы 4 переходит в f(x') +}*(Ax°)=Sup[f(x)+}*(/lx)]

Ах*) = о .

Теоремы двойственности, обеспечивающие не только совпадение экстремальных значений исходной и двойственной задач, но и достижимость нижней грани в двойственной задаче доказываются Голь-штейном в предположении соблюдения обобщенного условия Слейтера, впервые введенного автором. А это условие требует, в частности, чтобы конус К имел непустую внутренность.

В работе [17] Р.Дж.Даффин ввел понятие слабой совместности для задач линейного программирования и доказал теоремы двойственности, которые являются, в основном, достаточными условиями экстремума.

Целью работы [56] К.Вереана является построение правила абстрактных множителей в задачах с операторными ограничениями при Т •' X У ( X - линейное пространство, У - линейное топологическое пространство). Эти правила дают возможность получить необходимые условия в форме принципа максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств.

Основным требованием при выводе правила абстрактных множителей (условие П теоремы 2 и теоремы 3 [56] ) является существование отображения А , удовлетворяющего системе функциональных неравенств. Однако метод доказательства этих теорем не позволяет дать удовлетворительных условий для построения такого отображения А в общем случае.

Для применения правила абстрактных множителей к задачам оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств, К.Вереан конструирует отображение весьма громоздким способом.

В работах [34] и [35] , А.М.Тер-Крикоровым рассмотрены линейные и выпуклые задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями. Эти задачи сведены им, соответственно, к задачам линейного и выпуклого программирования в банаховых пространствах. С применением результатов работы [13]»для полученных задач математического программирования выписаны необходимые условия. Далее, переходя обратно к задачам оптимального управления с фазовыми ограничениями, А.М.Тер-Крикоров получил необходимые условия для этих задач в виде принципа максимума Понтрягина.

Что касается вычислительных методов для задач математического программирования, в настоящее время имеется огромное количество работ в этом направлении (см., например [20] » [22] , [23], [53 ] , [54-] ). Мы коснемся только некоторых работ по линейному й квадратичному программированию.

Многие методы решения задач квадратичного программирования в конечномерных пространствах ( [41] , [43] , [44] ) основываются в получении для этих задач условий Куна-Таккера - необходимых и достаточных условий в виде системы линейных равенств и неравенств. Для нахождения решения этой системы в свою очередь применяется симплеко-метод - универсальный метод для решения задач линейного программирования.

К сожалению, для задач квадратичного программирования в бесконечномерных пространствах этот путь неприемлем. Причина заключается в том, что аналога симплекс-метода для бесконечномерных задач не существует. В работе [47] сделана попытка построить непрерывный аналог симплекс-метода, но главный интерес в этой работе представляет анализ многочисленных трудностей и выяснение причин, из-за которых такой аналог не может быть построен.

На первый взгляд наиболее простой способ решения бесконечномерной задачи математического программирования состоит в ее аппроксимации конечномерными задачами. Недостатком такого подхода является жесткость условий, при которых доказывается сходимость последовательности приближенных решений к оптимальному решению исходной задачи.

В работе [53] В.Тиндалом рассмотрена задача максимизации линейного функционала Т fa(i)zd)cH (?) о при

Bid) - fCz($)ds 0

2CO ?,0

0£UT (8) и при условиях - I) /Я e ЕП; 6>X^0 , ос >,0 } = {0} 2) матрицы S , С и вектор сС£) имеют неотрицательные компоненты, - доказана теорема существования решения задачи (7),(8) и двойственной задачи.

Работа Тиндала интересна тем, что доказательство вышеуказанной теоремы является конструктивным. Сначала задача (7), (8) и двойственная задача аппроксимируются конечномерными задачами линейного программирования и затем доказывается сходимость последовательности решений аппроксимирующих задач к решению задачи (7), (8).

Представляется интересным метод, предложенный в работе [28] . Он разработан для специального класса задач - для так называемых

- задач. В частности, к таким задачам приводится задача оптимального управления процессом нефтедобычи в упругом режиме и вышеприведенная задача Марковича о максимизации чистой прибыли. Специфика задачи в данной работе позволяет ввести такие понятия, как опорный план, базис, и предложить некоторый аналог симплекс метода.

В работе [Ю] вопросы конечномерной аппроксимации задач линейного программирования с операторными ограничениями исследовались с привлечением аппарата двойственности и изучалась аппроксимация двух типов: пространственная аппроксимация, заключающаяся в сужении пространства допустимых элементов до конечномерного и параметрическая, в которой аппроксимируются параметры исходной задачи.

Прямой подход к этой проблеме предложен в Г 9] , где рассмотрены задачи линейного и выпуклого программирования в банаховом пространстве. Здесь рассмотренные задачи непосредственно заменяются конечномерными задачами и, если пары, составленные из параметров конечномерных и бесконечномерной задач дискретно слабо непрерывны, доказывается сходимость последовательности оптимальных значений конечномерных задач к оптимальному значению бесконечномерной задачи. Следует отметить, что в теореме о сходимости кроме, в общем-то, естественного, условия Слейтера требуется не только существование решений конечномерных и бесконечномерных задач, но и равномерная ограниченность множества решений конечномерных задач, что является весьма обременительным.

Настоящая работа посвящена выводу необходимых условий в форме существования седловой точки функции Лагранжа и разработке на их основе метода для решения задачи квадратичного программирования в пространстве L2 [ 0 , Т] .

Диссертация состоит из двух глав.

В § I первой главы приведены некоторые обозначения и факты, необходимые для дальнейшего изложения.

Как отмечено выше, во многих работах для получения необходимых условий в виде существования седловых точек функций Лагранжа требуется выполнение условия Слейтера. А для выполнения этого условия необходимо наличие внутренности у конуса, частично упорядочивающего пространство. Но, как известно, во многих важных пространствах конусы, определяющие соотношение порядка, не обладают внутренностью. К этим пространствам относятся, например, пространства Lp и fp(i<p<oo).

6 § 2 первой главы рассматривается задача минимизации выпуклого функционала в банаховом пространстве при линейных операторных ограничениях, причем конус, частично упорядочивающий пространство, может не иметь внутренних точек. В этом случае об условии Слейтера не может идти речь и поэтому вводится условие сильной совместности, заключающееся в следующем: существует некоторая окрестность правой части ограничений, для каждой точки которой данные ограничения совместны.

При условии сильной совместности доказана теорема, в которой устанавливается необходимое и достаточное условие в виде существования седловой точки функции Лагранжа. Достаточность в этой теореме, как известно, справедлива и без условия сильной совместности. В работе она доказана для полноты изложения.

Из доказанной теоремы, в частности, получается утверждение теоремы 4.2 работы ГЕ8] .

В § 3 первой главы рассмотрена задача квадратичного программирования в гильбертовом пространстве. При выполнении условия сильной совместности, для этой задачи выписаны так называемые условия Куна-Таккера, т.е. необходимые и достаточные условия оптимальности в виде системы линейных равенств и неравенств и условий дополняющий нежесткости. Полученные условия являются аналогом условий Куна-Таккера для задачи квадратичного программирования в конечномерных пространствах.

§ 4 первой главы посвящен изучению связи между условием Слейтера и условием сильной совместности. Показано, что в случае когда внутренность частично упорядочивающего конуса непуста, условия Слейтера и сильной совместности эквивалентны. При доказательстве используется теорема отделимости для выпуклых множеств.

Во второй главе предложен вычислительный метод для решения задачи квадратичного программирования в пространстве L f10, Т]

- пространстве вектор-функций, каждая компонента которых интегрируема с квадратом на отрезке [0 > Т ] .

В § I второй главы рассматривается задача квадратичного программирования, в которой функционал сильно выпуклый. С использованием результатов первой главы эта задача сводится к задаче минимизации квадратичного функционала при более простых ограничениях, а именно при неотрицательности переменных.

Функционал в полученной задаче будет выпуклым, но может не быть сильно выпуклым.

Предполагается, что в каждой строке матрицы операторов в ограничениях первоначальной задачи существует оператор, имеющий ограниченный обратный. При этом предположении показано, что диагональные элементы матрицы в полученном квадратичном функционале являются положительно определенными операторами.

В § 2 второй главы дается вычислительный метод для решения полученной в § I задачи - задачи минимизации квадратичного функ mr тп ционала при неотрицательных переменных в пространстве /2 [О, Т] . Метод напоминает метод покоординатного спуска при данных ограничениях, но здесь на каждом шагу приходится решать задачу квадратичного программирования с сильно выпуклым функционалом в пространстве i2 [О, Т]

При доказательстве сходимости существенно используются некоторые свойства сильно выпуклых функционалов.

Метод, предложенный в § 2, применим при условии положительной определенности оператора С в квадратичном функционале

У(х) = (х,Сх) +f/l ,Х) . Но во многих задачах С является всего лишь неотрицательным оператором (для любого X, (х,Сх)>/0), т.е. функционал У(х) является выпуклым, но не сильно выпуклым.

В § 3 второй главы осуществляется регуляризация функционала х,Ся) 4 С ~ неотрицательный оператор) и тем самым функционал превращается в сильно выпуклый. И тогда к полученной регуляризованной задаче можно применить результаты 1-го и 2-го параграфов данной главы. Доказана теорема о сходимости. в § 4 второй главы метод, предложенный в § 2, применяется к частному случаю - к задаче квадратичного программирования Т Т f(x(4),C(i)x(i))c/{ +Ш),х<{))Д min о о где

Ш и № , соответственно и m*fl - матрицы с ограниченными измеримыми компонентами.

В этом случае реализация метода существенно упрощается. Причина заключается в том, что при определении итераций на каждом шаге минимизируется квадратичная функция на положительной полуоси и поэтому компоненты итераций легко получаются по рекуррентным формулам.

В заключение отметим, что многие линейные задачи оптимального управления со смешанными ограничениями и с квадратичным критерием качества сводятся к задачам квадратичного программирования в бесконечномерных пространствах (см., например, 16] , [361 ). Рассмотрим одну из этих задач.

•2 зирующее квадратичный функционал

Задача I. Найти управления ud) € L "ro,T] , минимиТ

J(u)*f(x(4)tR (i)xii))cl4 (9) о при следующих ограничениях: = Ш)хсЬ (Ю) at х(0) *х0 , и({) ъо (II)

С({)хсЬ i Sd)u(i) ш (12)

Матрицы /}({) ,/!(/), В (4) , С({) и ЗГСО .и векторы и имеют ограниченные измеримые компоненты. Соответствующие матрицы и векторы имеют следующие размеры: R [ П * п ] , А[п*п1 , Е>Сп*т] , С[г хп] , %[гхпi] , ami , tf/^j . ЙСО - самосопряженная матрица. Нетрудно видеть, что решение задачи (10), (II) есть xfo*M(bu * а) +F(t)x0 (13) где Mf * F(i)f F^Ct) fWd* эа /Чт?) - фундаментальная о матрица = ЛСО/W , /W*Z flr

Подставив выражение я(^) из (12) в (9) и (II) получим У(Ц) * (и, B'M*RM(Bu)) *2(B'M*R(M(Q) + Fx0 .и) 4 <*

СМ(Ви) ^ 6-CM(a)-Fx9 , и > о где ( ) означает скалярное произведение в L^tO, Т] , оС -постоянное число. Эта задача является задачей квадратичного программирования в гильбертовом пространстве.

Нумерация параграфов идет по главам, нумерация формул и теорем по параграфам с указанием номера параграфа. При ссылке из одной главы в другую указывается номер главы и номер формулы или теоремы, а при ссылке на формулу или теорему той же главы, номер главы не указывается.

1. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ.- М.: Наука, 1980, 384с.

2. Беллман Р. Динамическое программирование,- М.: ИЛ, I960, 400с.

3. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс 0,- Некоторые вопросы математическоц теории процессов управления.- М.: 1962, 336с.

4. Будак Б.М., Беркович Е.М., Гапоненко Ю.Л. О построении сильно сходящейся минимизирующей последовательности для непрерывного сильно выпуклого функционала.- ЖБМ и МФ, 1969, т.9, № 2, с.286-300.

5. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов.- М.: Гостехиздат, 1956, 344с.

6. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.- М.: Изд.МГУ, 1974, 375с.

7. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1981, 400с.

8. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.» М.: Наука, 1980, 520с.

9. Васин В.В. Устойчивая аппроксимация бесконечномерных задач линейного и выпуклого программирования.- Изв.вузов, сер. Математика, 1978, т.198, № II, с.23-33.

10. Вершик A.M., Темельт В. Некоторые вопросы аппроксимации оптимального значения задач линейного программирования.- Сиб. матем.журнал, 1968, т.9, № 4, с.790-803.

11. Голыитейн Е.Г. Двойственные задачи выпуклого и дробно-выпуклого программирования в функциональных пространствах.В сб. Исследования по математическому программированию.- М.: Наука, 1965, с.10-108.- 81

12. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения.- М.: Наука, 1971, 252с.

13. Гурвиц Л. Программирование в линейных пространствах.В сб.: Исследования по линейному и нелинейному программированию.-М.: ИЛ, 1962, с.65-155.

14. Гурвиц Л., Удзава X. Заметка о седловых точках функции Лагранжа.- В сб.: Исследования по линейному и нелинейному программированию.- М.: ИЛ, 1962, с.156-172.

15. Данфорд З.Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория.- М.: ИЛ, 1962, 895с.

16. Данциг Дж. Линейное программирование, его применения и обобщения.- М.: Прогресс, 1966, 600с.

17. Даффин Р.Дж. Бесконечные программы.- В сб.: Линейные неравенства и смежные вопросы.- М.: ИЛ, 1959, с.263-276.

18. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Минимизация гладкого выпуклого функционала на выпуклом множестве.- Вестник ЛГУ, 1964, вып.4, № 19, с.5-17.

19. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений.- ЖВМ и МФ, 1965, т.5, № 3, с.395-453.

20. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений.- М.: ИЛ, 1963, 176с.

21. Канторович Л.В. О перемещении масс.- ДАН СССР, 1942, т.37, № 7-8, с.227-229.

22. Карманов В.Г. Математическое программирование.- М.: Наука, 1980, 256с.

23. Кюнци Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование,- М.: Сов.радио, 1965, 303с.

24. Левин В.Л. Условия экстремума в бесконечномерных задачах с операторными ограничениями.- В сб.: Исследования по математическому программированию.- М.: Наука, 1965, с.159-197.- 82

25. Левитин Е.С., Поляк Б.Т. Методы минимизации при наличии ограничений.- ЖВМ и Mi, 1966, т.6, № 5, с.787-823.

26. Левитин Е.С., Поляк Б.Т. О сходимости минимизирующих последовательностей в задачах на условный экстремум.- ДАН СССР, 1966, т.168, № 5, с.997-1000.

27. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.- М.: Наука, 1965, 520с.

28. Мееров М.В., Берщанский Я.М. Решение динамических задач оптимизации для линейных многосвязных систем.- Препринт: М.: Ин-т проблем упр.АН СССР, 1975, 67с.

29. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем.- М.: Наука, 197I, 424с.

30. Пшеничный Б.Н. Выпуклое программирование в нормированном пространстве.- Кибернетика, 1965, № 5, с.46-54.

31. Пшеничный Б.Н. Об одном алгоритме спуска.- ЖЕМ и МФ,1968, т.8, № 3, с.647-652.

32. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума.- М.: Наука, 1969, 152с.

33. Пшеничный Б.Н., Ненахов Э.И. Необходимые условия минимума в задачах с операторными ограничениями.- Кибернетика, 1971,3, с.35-45.

34. Тер-Крикоров A.M. Выпуклое программирование в пространстве, сопряженном пространству Банаха и выпуклые задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями.- ЖЕМ и МФ, 1976, т.16, № 2, с.351-358.

35. Тер-Крикоров A.M. Некоторые линейные задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями.- ЖВМ и МФ, 1975, т.15, № I, с.55-66.

36. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математичес- 83 кая экономика.- М.: Наука, 1977, 216с.

37. Тихонов А.Н. О методах регуляризации задач оптимального управления.- ДАН СССР, 1965, т.162, № 4, с.763-765.

38. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1979, 288с.

39. Халилов З.И., Асланов Э.Дж. Об одной вариационной задаче в гильбертовом пространстве и ее применение к уравнениям с частичными производными.- ДАН СССР, 1966, т.169, № 5, с.1020-1023.

40. Юдин Д.Б., Голыптейн Е.Г. Задачи и методы линейного программирования.- М.: Сов.радио, 1964, 736с.

41. Barankin Е., and Dorfman R. On Quadratic Programming.-University of California Publications in Stat., 1958, v.2, N 13, p.285-317*

42. D*Esopo D.A. A Convex Programming Procedure.- Nav. Res.Log.Qu., 1959, v.6, N 1, p.33-42.

43. Prank R.and Wolfe Ph. An Algorithm for Quadratic Programming.- Nav.Res.Log.Qu., 1956, p.95-110.

44. Hildreth C. A Quadratic Programming Procedure.-Nav.Rea.Log.Qu., 1957, v.4, N2, p.79-85#

45. Kretschmer K.S. Programs in Paired Spaces.- Canadian Journal of Mathematics, 1961, v.13, N 2, p.221-238.

46. Kuhn H.W« and Tucker A.W. Nonlinear Programming.-Proc.Second Berkeley Symposium ©n Mathematical Statistics and Probability. University of California Press, 1950,p.481-492.

47. Lehman R.S. On the Continuous Simplex Method.-RM- 1386, RAND Corporation, 1954.

48. Levinson N. A Class of Continuous Linear Programming Problems. J.Math.Anal.Appl., 1966, v.16, N1, p.73-83.

49. Nagahisa Y., and Sakawa Y. Nonlinear Programming in- 84 Banach Spaces.- J.Optim.Theory and Appl., 1969, v.4, N3, p.182-190*

50. Neustadt L. An Abstract Variational Theory with Applications to a Broad Class of Optimization Problems, I: General Theory- SI AM Journal on Control, 1966, v.4, N 3, p.505-527.

51. Neustadt L. An Abstract Variational Theory with Applications to a Broad Class of Optimization Problems. II: Applications.-SLAM Journal on Control,1967,v.5, N1,p.90-137.

52. Neustadt L. A General Theory of Extremals.-Journal of Computer and System Sciences, 1969, v.3, N 1, p.57-92.у

53. Tindall W.F. A Duality Theorem for a Class of Continuous Linear Programming Problems.- J.Soc.Indust.Appl. Math., 1965, v.13, N 3, p.644-666.

54. Tindall W.P. An Extended Duality Theorem for Continuous Linear Programming Problems.- SI AM J.Appl. Math., 1967, v.15, If 5, p.1294-1298.

55. VI&?iaya P. Nonlinear Programming in Banach Space.-SIAM Journal on Applied Math., 1967, v.15, N 2, p.284-293.

56. Virsan C. Necessary Conditions for Optimization Problems with Operatoral Constraints.- SIAM Journal on Control, 1970, v.8, N 4, p.527-558.

57. Warga J. Control Problems with Functional Restrictions.- SIAM Journal on Control, 1970, v.8, N 3, p.360-371.

58. Ахмедов Ф.Г. Условия Куна-Таккера для задачи квадратичного программирования в пространстве /.2Г0,Т. Изв. АН Азерб.ССР, сер.физ.-техн. и матем.наук, 1978, № 3, с.21-24.

59. Ахмедов Ф.Г. Вычислительный метод для задачи квадратичного программирования в пространстве вектор-функций с суммируемыми с квадратом компонентами.- Изв. АН Азерб.ССР, сер.физ.-техн. и матем.наук, 1983, № 4, с.102-106.