Методы вейвлет-анализа в задачах обработки экспериментальных данных тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

Государственный Научный Центр Российской Федерации "Институт Теоретической и Экспериментальной Физики"

На правах рукописи

Борисенко Никита Андреевич

МЕТОДЫ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА В ЗАДАЧАХ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХДАННЫХ

Специальность 01.04.01 — Приборы и методы экспериментальной финики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

йЛ

Москва 2004 г.

Работа выполнена в Государственном Научном Центре РФ "Институт Теоретической и Экспериментальной Физики", г. Москва.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

М.М. Баско (ИТЭФ, Москва)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профедсор П.В. Сасоров (ИТЭФ, Москва)

Защита состоится "21" декабря 2004 г. в 11 часов в конференц-зале ИТЭФ на заседании диссертационного совета Д.201.002.01 по защите докторских диссертаций в ГНЦ РФ ИТЭФ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ.

Автореферат разослан "19" ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук О.В. Иванов (ФИАН, Москва)

Ведущая организация: НИИП (Лыткарино)

кандидат физ.-мат. наук

Васильев

Диссертационная работа посвящена разработке и внедрению в технику эксперимента простых и надежных методов обработки цифровых данных, основанных на сравнительно новом и мощном математическом аппарате — вейвлет-анализе, обладающем неоспоримыми преимуществами над большинством традиционных схем обработки экспериментальных сигналов. Настоящая работа предлагает ряд готовых и тщательно апробированных решений типичных задач анализа цифровой информации, позволяющих обработку сходных по структуре данных с любых измерительных систем.

Актуальность работы

Мотивация настоящей работы была обусловлена повседневной необходимостью работы с большими объемами экспериментальной информации, получаемой в исследованиях по взаимодействию пучков тяжелых ионов с веществом на базе лаборатории 118 Института Экспериментальной и Теоретической Физики (Москва). Часть измерений проводились непосредственно в самом институте на создаваемом в настоящее время ускорительно-накопительном комплексе ИТЭФ-ТВН, часть была выполнена на ускорителе GSI (Gesellschaft für Schweiionenforschung) в Дармштадте (Германия). При этом разработанные методики носят универсальный характер. Так, в главе 3 и 4 алгоритмы очистки сигналов от шумов и алгоритмы нахождения характерных точек сигнала (положения максимумов, минимумов, начала нарастания и конца спада сигнала) применены к обработке медицинских сигналов — электрокардиограмме и реовазограмме человека. В главе 5, помимо обработки экспериментов, основанных на времяпролетной методике, описана схема работы с иптер-ферограммами, а в главе б дан рецепт обработки спектрометрических сигналов, имеющий весьма широкий круг приложений.

Отличительной особенностью каждого алгоритма, предложенного в настоящем исследовании, является использование вейвлет-преобразова-ния исходного цифрового сигнала, позволяющего деликатно обходить сложности, связанные с необходимостью одновременного разрешения сигнала как по частоте, так и по времени. Адаптивные базисные функ-

ции вейвлет-преобразования, хорошо разрешающие по времени высокочастотные процессы, в то же время позволяют относительно точно работать с частотными характеристиками сигнала на больших временных интервалах. Это свойство вейвлетов оказывается очень удобным во многих практических приложениях. Так, например, при удалении помех из цифровых сигналов оказывается возможным удалять помеху локально, не внося искажений в сигнал вне малой окрестности некоторой точки, вблизи которой убирается помеха.

Несмотря на то, что термин вейвлет появился сравнительно недавно — пионерские работы в этой области относятся к началу восьмидесятых годов двадцатого века — интерес к вейвлет-анализу стал взрыво-образно расти всего через несколько лет после его открытия, покрывая практически все сферы современной научной деятельности. К разделам науки, где в настоящее время успешно применяются методы, основанные на вейвлет-преобразовании, относятся как чисто прикладные задачи (фильтрация сигналов, сжатие информации, распознавание речи, численное решение уравнений в частных производных, анализ сигналов и изображений в медицине, астрономии, сейсмологии, метеорологии, акустике и.т.д.), так и задачи фундаментальной и теоретической физики и математики (конформная теория поля, нелинейная динамика хаоса, функциональный анализ). Столь широкий спектр приложений математического аппарата вейвлет-анализа объясняется его впечатляющими возможностями с одной стороны, и легкостью практического применения с другой.

К сожалению, за счет того, что наука движется в сторону сужения специализации, существует определенный дефицит обмена информацией между различными сферами научной деятельности, что в некотором смысле сдерживает внедрение новых эффективных решений уже устоявшихся задач. В этом смысле результаты диссертации полезны для специалистов в области экспериментальной техники, не имеющих возможности детально разбираться в тонкостях математического построения вейвлет-анализа, но испытывающих некоторые неудобства при работе со стандартными программными пакетами обработки экспериментально измеряемых сигналов.

Общая характеристика работы

Настоящая работа представляет набор современных методов вей-влет-обработки цифровых сигналов и изображений, непосредственно готовых к применению. Некоторые из описываемых методик уже успешно зарекомендовали себя в применении к тем или иным областям науки, и лишь подверглись незначительной модернизации или обоснованию. Другие являются оригинальными и открывают альтернативные возможности решения задач обработки сигналов по сравнению с традиционно используемыми методами.

С помощью предлагаемых методик в ряде исследований удалось существенно улучшить качество результатов, применяя лишь программные методы обработки экспериментальных данных. Таким образом, открывается возможность значительного повышения точности измерений на действующих экспериментальных установках без модернизации аппаратной части путем лишь программной обработки получаемых данных с помощью вейвлетов. В то же время большинство предлагаемых в настоящей диссертации алгоритмов довольно просты в использовании и имеют наглядную интерпретацию, позволяющую избежать трудностей математического и практического характеров, что позволяет применять их в повседневной экспериментальной практике.

В настоящей работе сделан шаг к созданию общедоступных алгоритмов математической обработки больших массивов данных, цифровых кривых и изображений, пригодных для массового применения в естественнонаучных и технических приложениях. Стремительное развитие фундаментальных исследований, включающих в себя технику вейвлет-преобразования, показывает перспективность этого направления.

Цели и задачи исследования

В связи с отсутствием доступного специализированного программного обеспечения, пригодного для качественной автоматической обработки экспериментов по взаимодействию пучков ионов с веществом, основной целью работы являлось создание надежных и математически обоснованных методов решения задач обработки экспериментальных данных

с последующей их программной реализацией. Конкретные задачи, поставленные перед диссертантом, приведены ниже.

1. Разработка, тестирование и внедрение в экспериментальную практику алгоритмов автоматизированной обработки токовых сигналов с пояса Роговского.

2 Разработка, тестирование и внедрение в экспериментальную практику методов автоматического анализа сигналов со стоп-детектора для времяпролетной методики.

3. Разработка, тестирование и внедрение в экспериментальную практику методов автоматического поиска и параметризации источников гауссовой формы, необходимых для обработки экспериментов по радиационной безопасности.

Научная новизна работы

1. Разработан и применен новый метод анализа токовых сигналов с пояса Роговского, позволяющий проводить надежную обработку за-шумленных данных в автоматическом режиме. Предлагаемая методика состоит из двух этапов. Сначала исходный сигнал при помощи вейвле-тов подвергается очистке от шумов. Для этого применяется оригинальный алгоритм разделения сигнала и шума с использованием дискретного вейвлет-преобразования, основанный на частотно-временном анализе сигнала. Обоснован простой рецепт выделения полезного сигнала из набора данных на основании априори известного приблизительного спектрального состава сигнала. Предложенная схема фильтрации в отличие от методов Фурье-анализа, практически не искажает полезный сигнал, восстанавливая его с точностью до константы в заданном интервале времени. Для реализации второго этапа предложен алгоритм для автоматического выделения пиков полезного сигнала из зашумлен-ных данных, основанный на применении дискретного вейвлет-преобра-зования с квадратичным сплайновым вей влетом в качестве базиса. На основе данного алгоритма создан пакет программ, позволяющий автома-

тизировать процесс анализа экспериментальных кривых для широкого круга исследований.

2. Разработан и применен новый метод автоматической обработки сигналов со стоп-детектора для экспериментов по измерению потерь энергии в холодном веществе и в плазме взрывного генератора, использующих времяпролетную методику. Обоснована методика обработки квазипериодических сигналов, основанная на применении непрерывного вейвлет-преобразования и псевдовейвлета Морле. В частности, методика расширена до применения к осциллирующим сигналам, основная частота которых является функцией времени, и выведены ограничения, в рамках которых схема обработки может успешно применяться. Предлагаемый метод используется в настоящее время при обработке экспериментов, ведущихся в ИТЭФ и GSI.

3 Разработан и применен новый метод обработки спектрометрических сигналов. Для сигналов, имеющих форму нормального распределения, предложена оригинальная мегодика разложения сигнала на гаус-сиану и шум, основанная на минимизации нормы разности анализируемой и тестовой функций в вейвлет-домепе. Математически обоснована возможность восстановления функции с точностью порядка одного процента по ее вейвлет-преобразованию в узком диапазоне масштабов а и параметров сдвига Ь, что определяет практическую ценность данной методики. Схема была успешно применена к анализу спектров в экспериментах по радиационной безопасности.

Научная и практическая значимость

Предложенные в настоящей работе методы анализа цифровых сигналов применяются в течение нескольких лет в экспериментальных программах по высокой плотности энергии в веществе, созданной пучком тяжелых ионов, ведущихся на ТераВаттном Накопителе в Институте Теоретической и Экспериментальной Физике (ИТЭФ) в Москве и на ускорителях SIS-18 и UNILAC, входящих в состав ускорительного комплекса Gesellschaft fur Schwerionenforschung (GSI) в Дармштадте в Германии. К ним относятся серии экспериментов по измерению тормозной

способности газов и плазмы, эксперименты по определению зарядового распределения пучка ионов в веществе, эксперименты по измерению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер в элементах линии пучка.

Помимо ускорительной тематики, разработанные автором схемы используются и в медицине в рамках опытно-конструкторских разработок, проводимых в ГУП "Распределенные Информационные Системы и Технологии для Медицины" совместно с НИИ Нормальной Физиологии РАМН, где предложенные алгоритмы реализуются в виде пакета прикладных программ обработки медицинских сигналов электрокардиограммы (ЭКГ) и реовазограммы человека.

С помощью защищаемых методик проводилась тестовая обработка экспериментальных данных по анализу интерферограмм при дифракции Фраунгофера лазерного излучения на двух взаимно перпендикулярных щелях (Физический Институт им. Лебедева Российской Академии Наук) и динамике торможения ионов в аэрогелях (в81). Было установлено, что предлагаемые схемы решения задач обработки сигналов и изображений одинаково эффективно работают в применении к весьма широкому спектру прикладных задач. В результате выполненной работы можно сделать вывод о необходимости введения вейвлет-преобразования в повседневную практику физических измерений.

Подготовлена для направления в печать серия статей в журналах естественнонаучной и технической тематики, предназначенных вниманию широкого круга пользователей, заинтересованных во внедрении новейших технологий и математических методов для рутинной обработки и анализа цифровых сигналов и изображений.

Личный вклад автора

Настоящая работа является результатом научных исследований, проведенных лично Н.А. Борисснко. Автор принимал участие на всех этапах работы — от постановки задач и их математического решения, до программной реализации разработанных схем и подготовки статей к публикации.

Основные защищаемые положения

1. Развиты методы фильтрации цифровых сигналов на основе дискретного вейвлет-прсобразования. Указан выбор вейвлст-коэффициен-тов, значимых для восстановления сигнала с заданной точностью. Предложенные алгоритмы фильтрации применены для удаления помех из токовых сигналов с пояса Роговского в серии экспериментов по радиационной безопасности (ИТЭФ-ТВН, GSI). Методика обобщена на случай двумерных сигналов и использована для обработки изображений спектров ионов пучка с пространственным разрешением при изучении динамики торможения ионов в аэрогелях (GSI).

2. На основе дискретного вейвлет-преобразования построен алгоритм автоматического анализа цифровых сигналов. Метод позволяет определять характерные параметры цифровой кривой, такие как положение и амплитуды пиков полезного сигнала, начала фронта нарастания и конец спада сигнала даже в случае присутствия сильных помех различного вида и артефактов. Предложенный метод использовался для нахождения полного тока пучка ионов при облучении мишеней в экспериментах по радиационной безопасности (ИТЭФ-ТВН, GSI).

3. Новый метод обработки сигналов со стоп-дстсктора для времяпро-летной методики, основанный на использовании непрерывного вейвлет-преобразования и вейвлета Морле. Метод позволяет отследить изменение основной частоты сигнала в зависимости от времени и восстановить последовательность пиков баичевой структуры пучка даже в случае сильных шумов, сравнимых по мощности с полезным сигналом. Предлагаемый метод используется в настоящее время при обработке экспериментов, ведущихся па ускорителе GSL

4 Разработана оригинальная методика обработки сигналов гауссовой формы, на базе непрерывного вейвлет-преобразования с вейвлетом "мексиканская шляпа". Метод основан на минимизации нормы разности тестовой и анализируемой функций в вейвлет-домене. Построен новый алгоритм поиска гауссовых источников. Предложенная схема обработки сигналов применена к автоматическому анализу спектрометрических данных в экспериментах по радиационной безопасности (ИТЭФ, GSI).

Объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, изложенных на 192 страницах текста с 47 рисунками, 6 таблицами и 141 наименованиями библиографии.

Содержание работы

Первая глава является введением и освещает некоторые типичные проблемы обработки экспериментальных данных, получаемых в ходе исследований по торможению пучков ионов в веществе. Приведены схемы экспериментальных установок и краткие описания экспериментов, обработанных в настоящей работе.

Во второй главе, являющейся обзором литературы по математическому аппарату, используемому в работе, вводятся основные понятия и обозначения, излагаются элементы теории вейвлет-анализа, применяемые в настоящем исследовании. По аналогии с оконным преобразованием Фурье, вводится непрерывное вейвлет-преобразование, поясняются принципиальные отличия этих двух подходов в применении к задачам частотно-временной локализации сигналов. Построение наиболее интересного с прикладной точки зрения дискретного вейвлет-преобразования существенно отличается от дискретизации преобразования Фурье, требуя введения некоторых дополнительных понятий: фрейм, скейлинг-функция, кратно-масштабный анализ, которые также приведены в первой главе. На примере вейвлета Хаара дано наглядное пояснение дискретного вейвлет-разложения. Рассмотрены применения вейвлет-преобразования для сжатия информации, приведены алгоритмы быстрого вейвлст-преобразования, а также одна из возможных схем для распространения вейвлет-разложения на случай функций двух переменных, необходимая для преобразования изображений.

Третья глава посвящена схемам очистки сигналов и изображений от шумов с помощью вейвлетов. Для наглядной аналогии с устоявшимися методами фильтрации сигналов вводится альтернативный подход к описанию вейвлет-преобразования, заключающийся в рассмотрении вейвлет-преобразования на каждом масштабе у как сигнала, получаю-

щегося из исходного при пропускании его через набор эквивалентных фильтров Qj{<jj), •ftj(w), однозначно определяемых коэффициентами h^, gk в двухуровневых соотношениях для материнского всйвлета и соответствующей скейлинг-функции.

Приведены общепризнанные схемы очистки сигналов от белого шума с помощью вейвлетов, получившие в последнее время наиболее широкое распространение, и рассмотрены примеры их использования. Предложена оригинальная методика разделения двух сигналов па основе частотно-временного анализа, использующая преимущество хорошей частотной и временной локализации вейвлетов. Дан простой рецепт выделения сигнала из шума в случае, если области их частотно-временной локализации перекрываются слабо, не накладывающий никаких других ограничений на спектр шума, и показаны варианты его практического применения.

В качестве примера на рис. 1 приведен исходный сигнал, представляющий собой кривую гауссовой формы с единичной амплитудой и дисперсией на которую наложены низкочастотная и высокочастотная помехи на порядок (!) превосходящие по амплитуде чистый сигнал. После зануления всех вейвлет-коэффициентов, не лежащих на масштабах j = 4, 5, 6, исходная гауссиана восстанавливается из зашумлен-ного сигнала с точностью порядка нескольких процентов в интервале В таблице 1 показаны ошибки по норме при занулении вейвлет-коэффициентов функции с рис. 1 на первых девяти масштабах (использован койфлет с 4-мя нулевыми моментами). При этом ошибки для больших масштабов J, начиная с J = 7, сильно завышены, поскольку в конечном интервале рассмотрения функция с хорошей точностью восстанавливается с точностью до константы см. таблицу 2. Тот факт, что в дискретном вейвлет-преобразовании масштаб зависит от шага оцифровки лишь логарифмически, делает масштаб более универсальной величиной, нежели частота, и позволяет использовать одни и те же схемы фильтрации для достаточно широкого класса сигналов.

Методы фильтрации сигналов с помощью вейвлетов были применены к очистке от шумов токовых сигналов с пояса Роговского и сигналов ЭКГ и РВГ человека. На рис. 2 приведен фрагмент исходного и очищен-

Рис. 3: Исходное и очищенное изображение спектра с пространственным разрешением частицы в малоплотной мишени.

Таблица 2: Норма Ь2 разности исходной и восстановленной функции ||/(<) -/(011 в

процентах по отношению к но

>ме исходной функции для некоторых 7.

3=7 Д=8 Л=9 1=10 :=п

4=2 3.18 0 49 7.43 • 10"2 1.89 ■ Ю-2 1.43-Ю-2 1 40 • 10"2

а=з 7.42 1.18 0.17 3 41 • 10"2 2.18-Ю"2 2.12 • 10"2

4=4 13.3 2.22 0 33 5.38 • 10~2 2.64-Ю-2 2.51 ■ 10"2

пого сигналов с пояса Роговского. Также показано применение методики к очистке от шумов изображений: спектра с пространственным разрешением, полученного в экспериментах по измерению динамики торможения пучка ионов в аэрогелях (см. рис. 3).

Результаты настоящей главы использовались при дальнейшей обработке экспериментальных данных.

В главе 4 описан один из возможных подходов к автоматической параметризации цифровых сигналов, то есть определения положений максимумов и минимумов полезного сигнала, начала фронта нарастания каждого пика и конца спада сигнала — задачи, которая не может быть так просто решена во временном домене ввиду возможности присутствия шумов различного спектрального состава и артефактов в экспериментальной кривой.

Предложенный способ использует в качестве основы дискретное вей-влет-преобразование, порожденное квадратичным сплайновым вейвле-том, являющимся гладким, симметричным и равным первой производной от соответствующей скейлинг функции, который был предложен Stephanie Mallat в начале девяностых годов двадцатого века. Приведены соображения, по которым был выбран именно этот вейвлет и сформулированы его свойства, позволяющие проводить параметризацию сигнала. Введено понятие Липшиц-регулярности функций и его связь с вей-влет-преобразованием, дающее дополнительный инструмент для анализа функций.

Для сигналов, предварительно очищенных от высокочастотных белых шумов, даны алгоритмы нахождения характерных точек сигнала. Основной идеей является отслеживание смещения характерных точек вейвлет-преобразования сигнала, к которым относятся точки пересечения с нулем и точки начала фронта нарастания и конца фронта спада сигнала, при движении от больших масштабов к меньшим. Такой подход является наиболее надежным в данной ситуации, кроме того, он позволяет экономить вычислительные ресурсы за счет того, что количество точек пересечений вейвлет-преобразования с нулем резко спадает при увеличении масштаба.

Ошибка метода состоит в возможности определения ложной точки

пересечения с нулем при переходе с масштаба ] на масштаб ] - 1. Теоретически, наибольшую опасность представляют ошибки при переходе с одного масштаба на другой для больших значений масштабов 3 ~ 5, поскольку это могло бы привести к заметным расхождениям при определении характерных точек сигнала. Однако практически такие ситуации не реализуются за счет того, что ширина вейвлетов на масштабах является большой, поэтому все характерные точки находятся далеко друг от друга и четко различаются. Экспериментально установлено, что при проведении предварительной фильтрации сигнала путем заиу-ления вейвлет-коэффициептов на первых двух масштабах (при фильтрации сигнала используется достаточно регулярный вейвлет с числом нулевых моментов нахождение ложных точек возможно лишь

при переходе с масштаба } = 2 на j = 1, крайне редко для переходов с j = 3 на j = 2. Поэтому максимально возможная ошибка параметризации предлагаемым методом не превосходит нескольких точек оцифровки. Типичное ее значение — 1 - 3 точки оцифровки в определении положения максимума и 1 -- 5 точек при определении начала фронта нарастания и конца спада пика.

В этой же главе приведены схемы и результаты применения алгоритмов к анализу токовых сигналов, полученных при измерении тока пучка ионов на ускорителе ИТЭФ-ТВН, и к анализу медицинских сигналов ЭКГ человека.

Глава 5 посвящена обработке квазипериодических сигналов. Для обработки квазипериодических сигналов предложено использовать непрерывное вейвлет-разложенис, основанное на псевдовейвлете Морле, который, строго говоря, не является вейвлстом, поскольку не удовлетворяет условию допустимости вейвлет-преобразования. Тем не менее, данный псевдовейвлет оказывается очень удобным инструментом в работе с периодичными сигналами, так как он обладает следующим полезным свойством: для периодической ф у н к — [ ь н а я часть

преобразования

00

-оо

Рис. 6: Фрагмент исходной интерферограммы (вверху) и этот же фрагмент после обработки с помощью предлагаемой методики (внизу)

где

на масштабе атах(Ь), где абсолютное значение вейвлет-преобразования достигает максимума по параметру а, оказывается пропорциональной самому сигналу

»(^1/(0110 (1)

Таким образом, мы имеем возможность восстанавливать периодический сигнал, несмотря на возможное присутствие сильных помех. Предложенная схема работает и для сигналов, у которых частота является функцией времени = Ц) + а.1. В этом случае необходимо, чтобы выполнялось условие: Тогда квазипериодический сигнал также может быть восстановлен по формуле (1). При этом разность фаз исходного и восстановленного сигналов с точностью до членов 0(<55) будет равна Д^ = агс1ап<5.

В силу линейности непрерывного вейвлет-преобразования, приведенная методика работы с периодическими функциями распространяется практически на любой вид квазипериодических сигналов, удовлетворяющих приведенному выше требованию, в том случае, если необходимо исследовать зависимость частоты сигнала от времени, не вдаваясь в подробности поведения сигнала на каждом периоде. В качестве примера использования описанных в главе алгоритмов приведена обработка экспериментов по измерению тормозной способности плазмы взрывно-

Таблица 3: Суммарная ошибка аппроксимации для некоторых значений параметров P. Pit <?• 7 в процентах по отношению к норме исходной функции._

го генератора, где ключевым звеном обработки результатов было измерение задержки прихода на детектор пиков банчевой структуры пучка. Сложность обработки сигналов традиционными методами заключалась в сильном искажении периодической структуры пучка помехами различного рода в момент взрыва (см. рис. 4), которые не позволяли восстановить периодическую структуру пучка стандартными методами. На рис. 5 показана восстановленная с помощью предложенной методики баичевая структура пучка в момент взрыва. В качестве второго примера дана схема обработки интерференционной картины. Фрагмент исходной и обработанной интерферограммы приведен на рис. 6.

В главе 6 приведена методика работы с цифровыми данными, имеющими форму нормального распределения. Схема, так же как и в предыдущей главе, опирается на непрерывное вейвлет-преобразование, однако используемый в настоящей главе вейвлет — мексиканская шляпа — удовлетворяет условию допустимости и разрешает обратное преобразование. Алгоритмы обработки гауссовых сигналов базируются на аналоге равенства Парсеваля для вейвлет-анализа:

Если экспериментально измеренный сигнал упредставим в виде простой суммы чистого сигнала {) и шума п(Х), то минимизируя функ-

ционал

F= WTa.b[y{t)} WTa,b а а

где двойные вертикальные скобки обозначают корень из интеграла абсолютной величины по параметрам а, 6 в вейвлет-домене, а WTa^ есть вейвлет-преобразование некоторой гауссовой кривой с положением, дисперсией и постоянным множителем в качестве параметров, по которым происходит минимизация функционала, мы восстанавливаем сигнал f(t) с точностью по норме L2(R) не хуже двух норм шума 2 ||Ti(i)||.

Практическая ценность данной методики заключается в том, что при минимизации функционала F нет необходимости проводить интегрирование в бесконечных пределах. Область итерирования при восстановлении функции по ее вейвлет-образу может быть существенным образом сужена как по параметру а до конечного отрезка [ат!П, атах\ так и по параметру b до [bmm, bmax\, при этом функция восстанавливается с точностью до величины порядка 1% в смысле среднеквадратичного отклонения от чистой функции. В таблице приведены ошибки при восстановлении функции в интервале Параметры задают область по параметрам в вейвлет-домене, по которой происходит восстановление функции:

Приведены алгоритмы обработки одиночного гауссового пика и алгоритмы поиска источников, имеющих форму гауссовой кривой. В качестве примера методика, базирующаяся на минимизации функционала, была применена к автоматизированной обработке спектров предварительно облученных пучком ионов образцов в экспериментах по измерению сечений образования вторичных ядер-продуктов в медных и кобальтовых мишенях. На рис. 7 показан один из спектров облученной мишени и ее фрагмент. Обработанный спектр приведен на рис. 8.

Основные результаты работы

Итогом настоящей работы стала разработка и систематизация современных методов анализа цифровых сигналов и изображений, основанных па математическом аппарате вейвлет-анализа. Использование опи-

санных методик позволяет быстро и качественно проводить обработку экспериментальной информации в автоматическом режиме с экономией времени и человеческих ресурсов. Основные результаты работы перечислены ниже.

1. Разработан комплексный метод очистки сигналов и изображений от шумов с помощью дискретного вейвлет-преобразования, базирующийся на уже существующем подходе к удалению белых шумов и на впервые предложенном способе, использующем приблизительные частотно-временные характеристики сигнала. Методика фильтрации применена к обработке сигналов с пояса Роговского при измерении тока пучка ионов и к медицинским сигналам.

2. Предложена методика автоматической параметризации цифровых сигналов с использованием дискретного вейвлет-преобразования, позволяющая без участия исследователя находить параметры и характерные точки экспериментальной кривой даже в случаях присутствия сильных помех различного спектрального состава. Методика была успешно применена при обработке предварительно очищенных от шумов токовых и медицинских сигналов.

3. Развиты методы анализа квазипериодических сигналов, основанные на применении непрерывного вейвлет-преобразования. Общая схема решения была адаптирована для обработки сигналов времяпролетной методики, с возможностью переложения на любой другой вид экспериментальных сигналов с ярко выраженной периодической структурой, основной задачей обработки которых является выявление зависимости основной частоты от времени. Также алгоритмы были применены для анализа интерферограмм.

4. Разработана оригинальная методика обработки сигналов, имеющих форму нормального распределения, на основе анализа их непрерывного вейвлет-преобразования. Ключевым звеном метода является возможность восстановления функции с точностью до константы и ошибки порядка одного процента в некотором конечном интервале времени при вычислении обратного вейвлет-преобразования не в бесконечных пределах, а лишь в узкой области, ограниченной как по параметру а, так и но параметру 6. Итогом явилось написание и тестирование программы ав-

тематического поиска всех гауссовых кривых, содержащихся в сигнале, ошибки в определении математических ожиданий и дисперсий которых не превосходят заданную исследователем величину. Данный код используется в настоящее время для обработки спектрометрических данных в

ИТЭФ.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы проходили обсуждение на общеинститутском и внутрилабораторных семинарах ИТЭФ. Сделаны доклады на следующих конференциях.

1. International conference "Physics of High Energy Density in Matter", Austria, Hirschegg, February, 2000.

2. International conference "Physics of High Energy Density in Matter", Austria, Hirschegg, February, 2001.

3. 28-ая Звенигородская конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, Звенигород, февраль 2001.

4. 14— International Symposium on Heavy Ion Inertial Fusion, June Moscow, 2002.

5.. Научная сессия Московского Инженерно-физического Института, секция "Микроэлектроника", Москва, январь 2003.

б.' Вторая международная конференция "Влияние внешних воздействующих факторов на элементную базу аппаратуры авиационной и космической техники", Королев, апрель 2003.

Публикации

1. Tauschwitz A., BakhmetyevI., Borisenko N., Fertman A., Geissel M., Golubev A., Roth M., Sharkov В., Suss W., Turtikov V., Wahl H. Bestimung des Ladungzustands eincs Schwerionenstrahls beim Durchgang durch ein dichtes Plasmatargct, Verhandlungen der Deutschen Physikalischcn Gesellschaft, ii.4, p.370, 1999.

2. Borisenko N.A., Golubcv A.A., Sharkov B.Yu. Estimation of the influence of nuclear fragmentation effects on the energy deposition profile, GSI Ann. Rep. 1999 High Energy Density in Matter Produced by Heavy Ion Beams, p.9, June 2000.

3. Васко М.М., Борисенко Н.А., Голубев А.А. Кулоновское торможение пучка ионов в веществе с учетом эффекта ядерной фрагментации, 28-ая Звенигородская конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, М., с. 118, 2001.

4. Борисенко Н.А., Орехов СБ. Применение вейвлет-преобразова-ния для анализа сигналов ЭКГ и РВГ, Инженерная Физика, No 5, с. 9-12, 2002.

5. Borisenko N.A. Discrete wavelet transform for experimental data processing, 14th International Symposium on Heavy Ion Inertial Fusion, Moscow, p.46, May 2002.

6. Fertman A., Bakhmetjev I., Batyaev V., Borisenko N., Cherkasov A., Golubev A., Kantsyrev A., Karpikhin E., Koldobsky A., Lipatov K., Mulam-betov R., Mulambetova S., Nekrasov Yu., Prokouronov M., Roudskoy I., Sharkov В., Smirnov G., Titarenko Yu., Turtikov V., Zhivin V., Fehrcnbacher G., Hasse R., Hoffmann D., Hofmann I., Mustafin E., Weyrich K., Wieser J., Mashnik S., Barashenkov V., Gudima K. Induced radioactivity problem for high-power heavy ion accelerators: Experimental investigation and long-time predictions, Laser & Particle Beams, v.20, No 3, pp.511-514, 2002.

7. Борисенко Н.А., Фертман А.Д. Автоматизированный анализ экспериментальных данных с применением вейвлет-преобразования, Приборы и Техника Эксперимента, No 2, с. 28-34, 2003.

8. Golubcv A., Alekseev N., Smirnov G., Basko M., Borisenko N., Dubenkov V., Fertman A., Kantsyrev A., Kats M., Korolev V., Mutin Т., Prokuronov M., Roudskoy I., Sharkov В., Turtikov V. First experimental results on high energy density in matter produced by heavy ion beam at the ITEP-TWAC facility, GSI Ann. Rep. on High Energy Density Physics with Intense Laser and Ion Beams, 2002, p.51, September 2003.

••23778

9. Borisenko N.A., Fertman A.D. A method for automatic analysis of experimental data using wavelet transforms, High Energy Density Physics with Intense Laser and Ion Beams, GSI Ann. Rep. 2002, p. 52, September 2003.

10. Борисенко Н.А., Орехов СБ., Швецов-Шиловский И.Н. Использование вейвлет-преобразования для нахождения максимумов при компьютерной обработке экспериментальных кривых, Научная сессия МИФИ-2003, сборник научных трудов т.1, секция Микроэлектроника, с.128-129, 2003.

И. Борисенко Н.А., Швецов-Шиловский И.Н., Орехов СБ., Бло-хин О.Н., Доминов Д.Е. Применение всйвлет-преобразования для компьютерного анализа результатов мониторинга, Вопросы Атомной Науки и Техники, серия физика радиационного воздействия па радиоэлектронную аппаратуру, вып. 4, с. 80-83, 2003.

12. Борисенко Н.А. Применение непрерывного вейвлет-преобразо-вания к обработке экспериментальных кривых гауссовой формы, Препринт ИТЭФ 10-04, М., 16 стр., 2004.

Подписано к печати 04.11.04 Формат 60x90 Усл. печ. л. 1,4 Уч.-изд. л. 1,0 Тираж 100.

Индекс 3649

1/16 Заказ 509

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б.Черемушкинская, 25

Краткая характеристика работы

1 Введение

1.1 Проблемы обработки экспериментальных данных.

1.2 Вейвлеты для обработки сигналов.

1.3 Обзор обработанных экспериментов.

1.3.1 Экспериментальное определение потерь энергии пучка ионов в веществе: времяпролетная методика

1.3.2 Эксперименты по измерению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер, образующихся при прохождении пучка ионов через вещество

1.3.3 Эксперименты по определению динамики торможения пучка ионов в аэрогелях.

1.3.4 Дифракция лазерного излучения на двух щелях

1.3.5 Электрокардиограмма человека

2 Обзор используемого математического аппарата

2.1 Преобразование Фурье.

2.2 Принцип неопределенности.

2.3 Непрерывное вейвлет-преобразование.

2.4 Дискретное вейвлет-преобразование.

2.5 Скейлинг-функция и кратномасштабный анализ.

2.6 Простейший пример.

2.7 Нулевые моменты материнского вейвлета.

2.8 Алгоритмы быстрого вейвлет-преобразования

2.9 Вейвлет-преобразование изображений.

3 Фильтрация сигналов и изображений

3.1 Введение.

3.2 Эквивалентные фильтры вейвлет-преобразования.

3.3 Фильтрация сигналов от белого шума.

3.4 Разделение двух сигналов на основе частотно-временного анализа.

3.5 Оценка ошибок, вносимых в экспериментальные данные при использовании методов вейвлет фильтрации.

3.6 Удаление из сигнала искусственно сгенерированной помехи

3.6.1 Фильтрация от белого шума.

3.6.2 Фильтрация от высокочастотного и низкочастотного шумов

3.7 Применение методов вейвлет-фильтрации к экспериментальным данным.

3.7.1 Фильтрация сигналов с пояса Роговского в экспериментах по определению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер при облучении мишени пучком ионов.

3.7.2 Фильтрация медицинских сигналов

3.7.3 Фильтрация спектров с пространственным разрешением

3.7.4 Фильтрация сигналов априори известного вида

3.8 Выводы.

4 Выделение пиков сигнала

4.1 Постановка задачи.

4.2 Выбор вейвлета для параметризации сигнала.

4.3 Квадратичный сплайновый вейвлет.

4.4 Точка пересечения вейвлет-преобразования с нулем

4.5 Анализ сингулярностей сигнала на основе вейвлет-преобразования

4.6 Алгоритм обработки одиночного пика.

4.7 Оценка ошибки метода.

4.8 Применение алгоритмов параметризации сигналов.

4.8.1 Обработка сигналов с пояса Роговского в экспериментах по определению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер при облучении мишени пучком ионов.

4.8.2 Обработка медицинских сигналов

4.9 Выводы.

5 Обработка квазипериодических сигналов

5.1 Введение.

5.2 Вейвлет Морле.

5.3 О применимости непрерывного вейвлет-преобразования к цифровым сигналам.

5.4 Анализ сигналов с помощью псевдовейвлета Морле

5.5 Вычисление ошибок.

5.6 Алгоритм обработки квазипериодических сигналов

5.7 Применение методики обработки квазипериодических сигналов

5.7.1 Анализ модулированного квазипериодического сигнала с искусственно сгенерированным шумом

5.7.2 Обработка экспериментов по измерению потерь энергии пучка ионов в плазме, основанных на времяпролетной методике.

5.7.3 Анализ интерферограмм.

5.8 Выводы.

6 Обработка гауссовых кривых и поиск источников

6.1 Введение.

6.2 Вейвлет мексиканская шляпа.

6.3 Методика обработки гауссовых сигналов

6.4 Аппроксимация функций вида / ~ .^g

6.5 Алгоритм обработки гауссовых сигналов.

6.6 Алгоритм поиска источников.

6.7 Применение метода к анализу спектрометрических данных в экспериментах по определению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер при облучении мишени пучком ионов.

6.8 Выводы.

Настоящая работа представляет набор современных методов вей-влет-обработки цифровых сигналов и изображений, непосредственно готовых к применению. Некоторые из описываемых методик [89, 127] уже успешно зарекомендовали себя в применении к тем или иным областям науки, и лишь подверглись незначительной модернизации или обоснованию. Другие [7, 8] являются оригинальными и открывают альтернативные возможности решения задач обработки сигналов по сравнению с традиционно используемыми методами.

С помощью предлагаемых методик в ряде исследований удалось существенно улучшить качество результатов, применяя лишь программные методы обработки экспериментальных данных. Таким образом, открывается возможность значительного повышения точности измерений на действующих экспериментальных установках без модернизации аппаратной части путем лишь программной обработки получаемых данных с помощью вейвлетов. В то же время большинство предлагаемых в настоящей диссертации алгоритмов довольно просты в использовании и имеют наглядную интерпретацию, позволяющую избежать трудностей математического и практического характеров, что позволяет применять их в повседневной экспериментальной практике.

В настоящей работе сделан шаг к созданию общедоступных алгоритмов математической обработки больших массивов данных, цифровых кривых и изображений, пригодных для массового применения в естественнонаучных и технических приложениях. Стремительное развитие фундаментальных исследований, включающих в себя технику вейвлет-преобразования, показывает перспективность этого направления.

Цели и задачи исследования

В связи с отсутствием доступного специализированного программного обеспечения, пригодного для качественной автоматической обработки экспериментов по взаимодействию пучков ионов с веществом, основной целью работы являлось создание надежных и математически обоснованных методов решения задач обработки экспериментальных данных с последующей их программной реализацией. Конкретные задачи, поставленные перед диссертантом, приведены ниже. 1. Разработка, тестирование и внедрение в экспериментальную практику алгоритмов автоматизированной обработки токовых сигналов с пояса Роговского.

2. Разработка, тестирование и внедрение в экспериментальную практику методов автоматического анализа сигналов со стоп-детектора для времяпролетной методики.

3. Разработка, тестирование и внедрение в экспериментальную практику методов автоматического поиска и параметризации источников гауссовой формы, необходимых для обработки экспериментов по радиационной безопасности.

Научная новизна работы

1. Разработан и применен новый метод анализа токовых сигналов с пояса Роговского, позволяющий проводить надежную обработку за-шумленных данных в автоматическом режиме. Предлагаемая методика состоит из двух этапов. Сначала исходный сигнал при помощи вейвле-тов подвергается очистке от шумов. Для этого применяется оригинальный алгоритм разделения сигнала и шума с использованием дискретного вейвлет-преобразования, основанный на частотно-временном анализе сигнала. Обоснован простой рецепт выделения полезного сигнала из набора данных на основании априори известного приблизительного спектрального состава сигнала. Предложенная схема фильтрации в отличие от методов Фурье-анализа, практически не искажает полезный сигнал, восстанавливая его с точностью до константы в заданном интервале времени. Для реализации второго этапа предложен алгоритм для автоматического выделения пиков полезного сигнала из зашумлен-ных данных, основанный на применении дискретного вейвлет-преобразования с квадратичным сплайновым вейвлетом в качестве базиса. На основе данного алгоритма создан пакет программ, позволяющий автоматизировать процесс анализа экспериментальных кривых для широкого круга исследований.

2. Разработан и применен новый метод автоматической обработки сигналов со стоп-детектора для экспериментов по измерению потерь энергии в холодном веществе и в плазме взрывного генератора, использующих времяпролетную методику. Обоснована методика обработки квазипериодических сигналов, основанная на применении непрерывного вейвлет-преобразования и псевдовейвлета Морле. В частности, методика расширена до применения к осциллирующим сигналам, основная частота которых является функцией времени, и выведены ограничения, в рамках которых схема обработки может успешно применяться. Предлагаемый метод используется в настоящее время при обработке экспериментов, ведущихся в ИТЭФ и GSI.

3. Разработан и применен новый метод обработки спектрометрических сигналов. Для сигналов, имеющих форму нормального распределения, предложена оригинальная методика разложения сигнала на гаус-сиану и шум, основанная на минимизации нормы разности анализируемой и тестовой функций в вейвлет-домене. Математически обоснована возможность восстановления функции с точностью порядка одного процента по ее вейвлет-преобразованию в узком диапазоне масштабов а и параметров сдвига 6, что определяет практическую ценность данной методики. Схема была успешно применена к анализу спектров в экспериментах по радиационной безопасности.

Научная и практическая значимость

Предложенные в настоящей работе методы анализа цифровых сигналов применяются в течение нескольких лет в экспериментальных программах по высокой плотности энергии в веществе, созданной пучком тяжелых ионов, ведущихся на ТераВаттном Накопителе в Институте Теоретической и Экспериментальной Физике (ИТЭФ) в Москве и на ускорителях SIS-18 и UNILAC, входящих в состав ускорительного комплекса Gesellschaft fur Schwerionenforschung (GSI) в Дармштадте в Германии. К ним относятся серии экспериментов по измерению тормозной способности газов и плазмы, эксперименты по определению зарядового распределения пучка ионов в веществе, эксперименты по измерению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер в элементах линии пучка.

Помимо ускорительной тематики, разработанные автором схемы используются и в медицине в рамках опытно-конструкторских разработок, проводимых в ГУП "Распределенные Информационные Системы и Технологии для Медицины" совместно с НИИ Нормальной Физиологии РАМН, где предложенные алгоритмы реализуются в виде пакета прикладных программ обработки медицинских сигналов электрокардиограммы (ЭКГ) и реовазограммы человека.

С помощью защищаемых методик проводилась тестовая обработка экспериментальных данных по анализу интерферограмм при дифракции Фраунгофера лазерного излучения на двух взаимно перпендикулярных щелях (Физический Институт им. Лебедева Российской Академии Наук) и динамике торможения ионов в аэрогелях (GSI). Было установлено, что предлагаемые схемы решения задач обработки сигналов и изображений одинаково эффективно работают в применении к весьма широкому спектру прикладных задач. В результате выполненной работы можно сделать вывод о необходимости введения вейвлет-преобразования в повседневную практику физических измерений.

Подготовлена для направления в печать серия статей в журналах естественнонаучной и технической тематики, предназначенных вниманию широкого круга пользователей, заинтересованных во внедрении новейших технологий и математических методов для рутинной обработки и анализа цифровых сигналов и изображений.

Личный вклад автора

Настоящая работа является результатом научных исследований, проведенных лично Н. А. Борисенко. Автор принимал участие на всех этапах работы — от постановки задач и их математического решения, до программной реализации разработанных схем и подготовки статей к публикации.

Основные защищаемые положения

1. Развиты методы фильтрации цифровых сигналов на основе дискретного вейвлет-преобразования. Указан выбор вейвлет-коэффициен-тов, значимых для восстановления сигнала с заданной точностью. Предложенные алгоритмы фильтрации применены для удаления помех из токовых сигналов с пояса Роговского в серии экспериментов по радиационной безопасности (ИТЭФ-ТВН, GSI). Методика обобщена на случай двумерных сигналов и использована для обработки изображений спектров ионов пучка с пространственным разрешением при изучении динамики торможения ионов в аэрогелях (GSI).

2. На основе дискретного вейвлет-преобразования построен алгоритм автоматического анализа цифровых сигналов. Метод позволяет определять характерные параметры цифровой кривой, такие как положение и амплитуды пиков полезного сигнала, начала фронта нарастания и конец спада сигнала даже в случае присутствия сильных помех различного вида и артефактов. Предложенный метод использовался для нахождения полного тока пучка ионов при облучении мишеней в экспериментах по радиационной безопасности (ИТЭФ-ТВН, GSI).

3. Новый метод обработки сигналов со стоп-детектора для времяпро-летной методики, основанный на использовании непрерывного вейвлет-преобразования и вейвлета Морле. Метод позволяет отследить изменение основной частоты сигнала в зависимости от времени и восстановить последовательность пиков банчевой структуры пучка даже в случае сильных шумов, сравнимых по мощности с полезным сигналом. Предлагаемый метод используется в настоящее время при обработке экспериментов, ведущихся на ускорителе GSI.

4. Разработана оригинальная методика обработки сигналов гауссовой формы, на базе непрерывного вейвлет-преобразования с вейвлетом "мексиканская шляпа". Метод основан на минимизации нормы разности тестовой и анализируемой функций в вейвлет-домене. Построен новый алгоритм поиска гауссовых источников. Предложенная схема обработки сигналов применена к автоматическому анализу спектрометрических данных в экспериментах по радиационной безопасности (ИТЭФ, GSI).

Объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, изложенных на 192 страницах текста с 47 рисунками, 6 таблицами и 141 наименованием библиографии.

6.8 Выводы

Рассмотрено применение непрерывного вейвлет-преобразования к анализу гауссовых сигналов. Показан способ разделения сигнала на гаус-сиану и шум на основании минимизации функционала F с точностью до величины порядка нормы шума.

Доказано, что функция, имеющая форму нормального распределения и рассматриваемая лишь в конечном интервале времен, может быть восстановлена из вейвлет-преобразования с использованием вейвлета "мексиканская шляпа" с точностью до константы в узком диапазоне изменения масштабов а и параметров сдвига Ь.

Создан алгоритм разложения сигнала на гауссиану и шум, выделяющий из сигнала гауссову кривую, определяя ее параметры, считающий норму шума и исходя из этого вычисляющий ошибку в определении параметров.

Разработан алгоритм автоматического поиска источников нормально распределенных данных, основное преимущество которого, по сравнению с используемыми в настоящее время, заключается в отсутствии необходимости задания пороговых значений вейвлет-преобразования, эмпирически определяемых исследователем, для отделения полезных кривых от шума.

Заключение

Итогом настоящей работы стала разработка и систематизация современных методов анализа цифровых сигналов и изображений, основанных на математическом аппарате вейвлет-анализа. Использование описанных методик позволяет быстро и качественно проводить обработку экспериментальной информации в автоматическом режиме с экономией времени и человеческих ресурсов. Основные результаты работы перечислены ниже.

1. Разработан комплексный метод очистки сигналов и изображений от шумов с помощью дискретного вейвлет-преобразования, базирующийся на уже существующем подходе к удалению белых шумов и на впервые предложенном методе, использующем приблизительные частотно-временные характеристики сигнала. Методика фильтрации применена к обработке сигналов с пояса Роговского при измерении тока пучка ионов в серии экспериментальных работ по измерению остаточной радиоактивности в элементах линии пучка на ускорителях и к фильтрации медицинских сигналов.

2. Предложена методика автоматической параметризации цифровых сигналов с использованием дискретного вейвлет-преобразования, позволяющая без участия исследователя находить параметры и характерные точки экспериментальной кривой даже в случаях присутствия сильных помех различного спектрального состава. Методика была успешно применена при обработке предварительно очищенных от шумов токовых и медицинских сигналов.

3. Развиты методы анализа квазипериодических сигналов, основанные на применении непрерывного вейвлет-преобразования. Общая схема решения была адаптирована для обработки сигналов времяпролетной методики, с возможностью переложения на любой другой вид экспериментальных сигналов с ярко выраженной периодической структурой, основной задачей обработки которых является выявление зависимости основной частоты от времени. Также алгоритмы были применены для анализа интерферограмм при дифракции Фраунгофера лазерного излучения на двух взаимно перпендикулярных щелях.

4. Разработана оригинальная методика обработки сигналов, имеющих форму нормального распределения, на основе анализа их непрерывного вейвлет-преобразования. Центральным звеном метода является возможность восстановления функции с точностью до константы и ошибки порядка одного процента в некотором конечном интервале времени при интегрировании вейвлет-преобразования не в бесконечных пределах, а лишь в очень узкой области, ограниченной как по параметру а так и по параметру b. Итогом явилось написание и тестирование программы автоматического поиска всех гауссовых кривых, содержащихся в сигнале, ошибки в определении математических ожиданий и дисперсий которых не превосходят заданную исследователем величину. Данный код используется в настоящее время для обработки спектрометрических данных в ИТЭФ.

Автор признателен сотрудникам лаборатории 118 ИТЭФ: д.ф.-м.н. проф. Б.Ю.Шаркову и к.ф.-м.н. А.А.Голубеву за поддержку, д.ф.-м.н. М.М.Баско за внимание, проявленное к работе и ценные замечания, к.ф.-м.н. А.Д.Фертману за техническую помощь при написании работы и обсуждение результатов, А.Л.Канцыреву, В.И.Туртикову и к.ф.-м.н. Руд-скому И.В. за полезные обсуждения.

Отдельно хочется поблагодарить ст.н.сотр. МИФИ, к.т.н. И.Н.Швецова-Шиловского за постановку задачи и помощь на начальном этапе работы.

1. астафьева н.м. Вейвлет-анализ: основы теории и некоторые приложения, УФН, N. 11, с. 1145-1170, 1996.

2. Баско М.М. Предварительный разогрев тяжелоионных мишеней вторичными частицами, Препринт ИТЭФ, Москва 1990.

3. Баско М.М. Диссертация, ИТЭФ, Москва, 1995.

4. Борисенко Н.А. Кулоновское торможение пучка ионов в веществе с учетом эффекта ядерной фрагментации, Физический Факультет МГУ им. Ломоносова, кафедра Атомной Физики, Физики Плазмы и Микроэлектроники, Дипломная работа, январь 2001.

5. ВОРОБЬЕВ В.И., ГРИВУНИН В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования, СПб, ВУС, 1999.10. градштейн И.е., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм рядов и произведений, М., Физматгиз, 1963.

6. Кормен Т., ЛбЙЗЕРСОН Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ, МЦНМО, М., 2001. Перевод: Cormen Т.Н. et al. Introduction to algorithms, MIT press, Cambridge, 1990.

7. СПИРИДОНОВ В.П. Самоподобие, всплески и квазикристаллы, Компьютерра, N. 8, с.38, 1998.

8. ХАРАТИШВИЛИ Н.Н. Пирамидальное кодирование, М., Мысль, 1997.

9. AkAY M. Wavelet applications in medicine, IEEE Spectrum, May 1997.26. allan J.B., Rabiner L.R. A unified approach to short-time Fourier transform analysis and synthesis, Proc. of IEEE, v. 65, pp. 1558-1564, November 1977.

10. ANTONINI M., BARLAUD M., MATHIEU P., DAUBECHIE I. Image coding using wavelet transforms, IEEE Trans. Image Process, v. 1, pp. 205-220, 1992.

11. Argoul F., Arneodo A., Elezgaray J., Grasseau G.,murenzi r. Wavelet transform of two-dimensional fractal aggregates, Phys. Let. A, v. 135, pp. 327-336, 1989.

12. Argoul F., Arneodo A., Grasseau G., Gagne Y., Hopfinger j., frisch u. Wavelet analysis of turbulence reveals the multifractal nature of the Richardson cascade, Nature, v. 338, pp. 51-53, 1989.

13. Borisenko N.G., Gromov A.I., Merkulyev Yu.A. Microhetero-geneous targets — a new challenge in technology, plasma physics, and laser interaction with matter, J. Moscow Phys. Soc., v. 4, pp. 247-273, 1994.

14. Box G.E.P, muller m.E. A note on the generation of random normal deviates, Annals Math. Stat, v. 29, pp. 610-611, 1958.

15. BURT P., Adelson H. The Laplacian pyramid as a compact image codec, IEEE Trans, on Communications, v. 4, pp. 23-38, 1983.41. calderon A.P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method, Stud. Math., v. 24, pp. 113-190, 1964.

16. Casazza P.G., christensen О., К alton N.J. Frames of translates, Collect. Math., v. 52, N. 1, pp. 35-54, 2001.

17. Chambolle A., DeVore R.A., Lee N.Y., Lucier B.J. Nonlinear wavelet image processing: Variational problems, compression, and noise removal through wavelet shrinkage, IEEE Trans. Image Processing, v. 7, N. 33, pp. 319-335, 1998.

18. Christensen 0., Jensen Т.К. An introduction to the theory of bases frames and wavelets, Technical University of Denmark, Department of mathematics, 1999.

19. CHUI Ch.K. An introduction to wavelets, Academic press, N.Y., 1992. Перевод: Чуй К. Введение в вейвлеты, М., Мир, 2001.48. chui С.К. Wavelets: A tutorial гп theory and applications, Academic press, New York, 1992.

20. Chui C.K., schumaker L.L. Wavelets and multilevel approximation, New Jersy, World Scientific, 1995.50. chui c.k. Wavelets: A mathematical tool for signal analysis, Philadelphia, SIAM, 1997.

21. Cohen A., Daubechie I., Feauveau J.C. Biortogonal bases of compactly supported wavelets, Comm. Pure Appl. Math., pp. 485-560, 1993.

22. Cohen A., Daubechie I., Vial P. Wavelets on the interval and fast wavelet transforms, Applied and Computational Harmonic Analysis, v. 1, pp. 54-58, 1993.

23. Criminal Justice Information Services. WSQ grayscale fingerprint image compression specification. Federal Bureau of Investigation, Feb. 1993.

24. Damiani F., Maggio G., Micela G., Sciortino S. A Method Based on Wavelet Transforms for Source Detection in Photon-counting Detector Images. I. Theory and General Properties, The Astrophysical Journal, v. 483, pp. 350-369, 1997

25. Damiani F., Maggio G., Micela G., Sciortino S. A Method Based on Wavelet Transforms for Source Detection in Photon-counting Detector Images. II. Application to ROSAT PSPC Images, The Astrophysical Journal, v. 483, pp. 370-389, 1997.

26. DeVore R.A., lucier B.J. Wavelets, Acta Numerica, Cambridge University Press, v. 1, pp. 1-56, 1992.

27. DONOHO D. Denoising by soft thresholding, IEEE, Trans. On Inform. Theory, v.41, N. 3, pp. 613-627, 1995.

28. Donoho D., Johnstone I., Kerkyacharian G., Pigard D. Wavelet shrinkage: asymptotia. Jour. Roy. Stat. Soc., series B, v. 57, N. 2, pp. 301-369, 1995.

29. Freeman P.Б., Kashyap V., Rosner R., Nichol R.,Holdem В., lamb D.Q. X-Ray Source Detection Using the Wavelet Transform, ASP Conference Series, v. 101, 1996.

30. Goedecker S., ivanov O.V. Frequency localization properties of the density matrix and its resulting hypersparsity in a wavelet representation, Phys. Rev. B, v. 59, N. 11, pp.7270-7273, 1999.

31. Goswami J.C., Chan A.K., Chui C.K. On solving first-kind integral equations using wavelets on a bounded interval, IEEE Trans. Antenna Propag., v. 43, pp. 614-622, 1995.

32. Goswami J.C., Chan A.K. Fundamentals of wavelets, N.Y., John Willey and Sons, 1999.

33. ISO. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. International Organization for Standardization (ISO) and the International Committee on Weights and Measures (CIPM): Switzerland, 1993.

34. Jawerth В., Sweldens W. An overview of wavelet based multiresolution analyses, SIAM Review, v. 36, N. 3, 1994.82. kaiser G. A friendly guide to wavelets, Birkhauser, 1994.

35. Kowalewicz R., Boggasch E., Hoffmann D.H.H., Laser and Particle Beams, v.14, N. 5, pp. 599-, 1995.

36. LEWALLE J. Tutorial on continuous wavelet analysis of experimental data, available on internet: http://www.ecs.syr.edu/faculty/lewalle/ tutor/tutor.html.

37. Lewis A., Knowles G. Image compression using 2D wavelet transform, IEEE Trans, on Image Process., v. 2, pp. 244-250, 1992.

38. Li C., Zheng Ch., Tai Ch. Detection of ECG characteristic points using wavelet transforms, IEEE, Trans, on Biomedical Engineering, v. 42, N. 1, pp. 21-28, 1995.

39. MAJANI E. Biorthogonal wavelets for image compression, Proc. SPIE Visual Communications and Image Processing, 1994.

40. MALLAT S. Multiresolution approximation and wavelets, Trans. Amer. Math. Soc., v. 315, pp. 69-88, 1989.

41. MALLAT S. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation, IEEE Trans, on PAMI, v. 11, pp. 674-693,1989.

42. MALLAT S. Zero-crossings of wavelet transform, IEEE, Trans.on Inform. Theory, v. 37, N. 4, pp. 1019-1033, 1991.

43. MALLAT S., ZHONG S. Characterization of signals from multiscale edges, IEEE Trans, on PAMI, v. 14, N. 7, pp. 710-732, 1992.

44. MALLAT S., HWANG W.L. Sigularity detection and processing with wavelets, IEEE Trans on Inform. Theory, v. 38, pp. 617-643, 1992.

45. MALLAT S. A wavelet tour of signal processing, New York: Academic Press, 1998.

46. MANDEL J. On multi-level iterative methods for integral equations of the second kind and related problems, Numer. Math., v. 46, pp. 147-157, 1985.

47. McCandless D.A., Rogers S.K., Hoffmeister J.W., Ruck D.W., Raines R.A., Suter B.W. Wavelet detection of clustered microcalcification, Proc. SPIE Wavelet Appl., v. 2762, pp. 388-399, 1996.

48. Morlet J., Arens G., Fourgeau I., glard D. Wave propagation and sampling theory, Geophysics, v. 38, pp. 608-616, 1982.

49. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing. Second Edition, Cambridge University Press 1992.

50. Pan J., Tompkins W.J. A real time QRS detection algorithm, IEEE Trans. Biomed. Eng., v. 32, pp. 230-236, 1985.

51. PlETKA E. Feature extraction in computerized approach to the ECG analysis, Pattern Recog., v. 24, pp. 139-146, 1991.

52. Restrepo J.M., Leaf G.K. Wavelet-Galerkin discretization of hyperbolic equations,109. rloul o., duhamel p. Fast algorithms for discrete and continuous wavelet transforms, IEEE Trans. Inform. Theory, v. 38, pp. 569-586, 1992.

53. Robertsson J.O.A., Blanch J.O., Symes W.W., Burrus C.S. Galerkin-wavelet modeling of wave propagation: Optimal finite-difference stencil design, TRIP, 1994.111. rosmej O.N. et al. NIM A, v. 495, p. 29, 2002.

54. ROSMEJ O.N. et al. Direct observation of ion stopping dynamics in solid matter, Phys. Rev. Let., to appear.113. ruskai m.b., beylkin G., Coifman r., Daubechies I. Wavelets and their applications, Jones and Barlett, Boston, 1992.

55. SAID A., Pearlman W.A. A new, fast, and efficient image codec based on set partitioning in hierarchical trees, IEEE Trans. Circuits Syst. Video Technol., v. 6, pp. 234-250, 1996.

56. SAID A. An image multiresolution representation for lossless and lossy compression, IEEE Trans. Image Process., v.4, pp.1303-1310, 1996.

57. SMITH S.W. The scientist and enineer's guide to digita signal processing, 2nd edition, California Technical Publishing, 1999.

58. SHAPIRO J.M. Embedded image coding using zerotrees of wavelet coefficients, IEEE Trans. Signal Process., v. 41, pp. 3445-3462, 1993.

59. Sharkov B.Yu., koshkarev D.G., Churazov M.D., Alexeev N.N., Basko M.M., Golubev A.A., Zenkevich P.R. Heavy-ion fusion activities at ITEP, NIM A, v. 415, pp. 20-26, 1998.

60. Sharkov B.Yu., Alexeev N.N., Churazov M.D., Golubev A.A., Koshkarev D.G., Zenkevich P.R. Heavy ion fusion energy program, in Russia, NIM A, v. 464, pp. 1-5, 2001.

61. Simoncelli е., Adelson E. Subband transforms in Woods J. Subband image coding, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA, 1990.

62. Stark J.L., Donoho D.L., С andes E.J. Very high quality image restoration by combining wavelets and curvelets, Wavelet Applications in Signal and Image Processing IX, A. Aldroubi, A. F. Laine, M. A. Unser eds., Proc. SPIE 4478, 2001.

63. Stark J.L., Donoho D.L., Candes E.J. Astronomical image representation by the curvelet transform, Astronomy and Astrophysics, to appear.

64. Strang G., Nguyen T. Wavelets and filter banks, Wellesley, Mass.: Wellesley-Cambridge Press, 1996.

65. VOLKMER H. On the regularity of wavelets, IEEE Trans. Inform. Theory, v. 38, pp. 872-876, 1992.

66. Wetzler H., Tauschwitz A., Hoffmann D.H.H. Laser and Particle Beams, v. 15, N. 3, p. 449, 1997.

67. XlANG Z., Lu Y. An effective matrix transform approach for efficient solutions of electromagnetic integral equations, IEEE Trans. Antennas Propag., v. 45, pp. 1332-1339, 1997.

68. XlE Q.Z., Ни Y.H., TOMPKINS W.J. Neutral-network based adaptive matched filtering of QRS detection, IEEE Trans. Biomed. Eng., v. 39, pp. 317-329, 1992.

69. Xu J., SHANN W. Galerkm-wavelet methods for two-point bounary value problems, Numer. Math., v. 63, pp. 123-144, 1992.