Метрические свойства неаменабельных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Кшвсьхий ушверситет ímchí Тараса Шевченка

РГБ ОД

4 - ДОГ ; •

НЕКРАШЕВИЧ Володимир Володимирович

УДК 512.4

МЕТРИЧН1 ВЛАСТИВОСТ1 НЕАМЕИАБЕЛЬНИХ

ГРУП

{01.01.06 — алгебра та Teopia чисел)

АВТОРЕФЕРАТ

дисертапи на здобуття паукового ступеня кандидата ф13ико-математичнпх наук

Khïb 1998

Дисертащею € рукопис.

Роботу виконано в Кшвському ушверсител ¡м. Тараса Шевченка. Науковий кер1вник:

• СУЩАНСЬКИЙ ЕМталш 1ванович, доктор ф^зико-математичних наук, професор кафедри алгебри i математично! логши Кшвського ушверси-тету ¡меш Тараса Шевченка^ м.Кшв

Офщшш опоненти:

• САМОЙЛЕНК'О Юрш Стеф^ноьич, докюр ф1зйко-математичких наук, професор, провиний науковий сшвроб1тнпк 1нстптут математики HAH Укра'ши, м. Кшв

• ЗЕЛЕНЮК Свген Григорович, кандидат фЬико-математичних наук, Луцький бютехнолопчний шститут, ы. Луцьк

Провшна установа:

• Ужгородський державний ушверситет.

Захист вщбудеться 14 вересня 1998 року о 14 год. на засщанш спещал!зо-вано! вчено! ради Д 26.001.18 при Кшвському ушверситет! ¡м. Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Kuie-127, пр. акад. Глушкоеа, 6, мехашко-ма-тематьчний факультет.

3 дисерташею можна ознайомитися в б1блютеш Кшвського ушкерситету iM. Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розклано "_"_1998 року.

Вчений секретар

спешал!зовано1 вчено! ради

ПЕТРАВЧУК А. П.

ЗЛГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальшсть теми Осташпм часом в комбшаторшй теорн груп видши-лась галузь гид назвою геометричноУ (чи асимптотично\) теорп груп. Ця галузь вивчае з одного боку групи, яш виникають в геометра (фунда-ыенталын групи, групи клаав вщображень ьт.д.), а з шшого застосовуе до вивчення груп i отримання нав1ть чисто алгебраиших результата геометричну технику. Асимптотична теор1я груп вивчае поведшку груп "на нескшченностГ', тобто picT, аменабельшсть, ¿зопериметрпчщ nepiB-HOCTi i пов'язаш з ними алгоритм1чш проблеми, "екзотичт" когомологн та наш глобалый iiiBapiaiiTii груп. Одними з перших po6iT, що можна вщнести до геометричноУ теорп груп вцдаш роботи Дена про фундамен-талып групи поверхонь.

Основний 3aci6 геометризацп теорн груп полягае у перетворенш скпг-ченно-породженоУ групи в словарний метричний простф введениям сло-варноУ метрики на нш, та в дослщженш да груп на метричних просторах.

Словарний метричний npocTip визначенпй неоднозначно, i залежить гид вибору системи Tiiipinix. Але Bci еловарш метричт простори од шел групи Mi>i< собою бшшншцево екв1валентш. Б1екщя / : X1 -> £2 метрич-ного простору Xi в метричний npocTip Х2 називасться бытшицевою еквгваленттстю, якидо icnye таке додатне число L, що:

L~l\x - y|.tl < If(x) - f(y)\X2 < L\x - y|x,;

простора Xi i бытшицево еквгвалентпг якщо icHye бшшшицева ckbi-валентшеть одного з них на шший.

Загальшшим поняттям шж 6ininuinneBa екглвалептшсть е поняття квазпзометрп метричних простор1в.

Вщображення f : X1 —> £2 е (L, 6)-квазглгпшицевим коли

I №-M\b<L\x-y\Xl+6.

Пара квазшщшицепих вщображень /1 : £1 —> X->,f > : £2 £i називасться парою С-обернених квазизометргй якщо

|/2(/i(*i)) - < С,\fi(f2(x2)) - rr2|x3 < с

ДЛЯ BCix Х\ £ Xl i X2 € £2.

Квазизометр1я e головним вщношенням екв1валентносп в асимпто-тичшй та геометричнш xeopii груп. Квазнзометричш метричш ripo-стори з точки зору асимптотично'1 теори груп вважаються ¡дептичиими.

Використання поняття квазизометрп допомагае перенести багато гео-метричних понять i результаив у теорпо груп. Важливим прикладом такого перенесения е теор1я ппербол1чних груп за М.Громовим. В одшй 3i CBoix poGiT1 М.Громов запропонував узагальнення поняття многовиду вщ'смно1 кривизни для метричних npocropiB, яке с швар1антним при квазпзометр1ях для кваз1геодезичних простор1в. Це узагальнення дае змогу ввести поняття rmepGoniMHoi групи, тобто групп вщ'емноУ кривизни. KpiM важлшюст! теорп гшербол1чних груп для геометрп, вона стала джерелом багатьох чисто теоретико-групових результат):!2.

Шдмножина метричного простору с слткою, коли для деякого сличенного Е весь npocTip с околом niei шдмножшш.

У своему MCMyapi3, що вказував на noni перспективи i напрямки розвитку асимптотичноТ теори груп, М.Громов, зокрема, поставив таю питания:

G1) Яш ознаки гарантують бшшшицеву екв1валентшсть м1ж довшь-ними двома роздшеними атками метричного простору?

G2) Чи будуть бшшшицево екв1валентними роздшеш атки rinep6oni4-ного простору Нп при п > 2?

G3) Чи будуть бшшшицево гааивалентпнми роздшеш атки нескш-ченних регулярпих дерев?

G4) Коли шдгрупи скшченного шдексу скшченноиороджено'1 групи бшшшицево екв1валентш?

G5) Зокрема, чи будуть вшып групи F2 i F3 бшшшицево еквталент-ними?

G6) Чи будуть 6ininunmeBO екв1валентними роздшеш атки евклшо-вого простору Ж" при п > 21

1 Gromov М. Hyperbolic groups. — in: Essays in Group Theory. - Springer,1987. - p.75 -263.

2 Ol'shanskii A.Yu. On residualing homomorphisms and (7-subgroups of hyperbolic groups//Int. J. of Algebra and Сотр. — 1993. — v.3. — No. 4 — p.365 - 409.

3 Gromov M. Asymptotic invariants of infinite groups. — in: Gi-ometric Group Theory, volume 2. — Cambridge University Press, 1993. -295 p.

Першою роботою, в якш було дано вщповщъ на питания G4 та G5 була робота П.Папазоглу4. В нш доведено бьчшшицеву екв1валентшсть однорщних дерев валентное^ бшьше одиниш.

О.В.Богопольським5 було узагальнено результати Папазоглу на ви-падок гшерболнших за М.Громовпм груп. А саме, доведено, що довшып дрл cyMipni rinep6oni4ni групи бшшшипепо еквталентш. В nirt робот1 також допедно бьчшшииеву екшвалентшст.ь (насправд1 зсувну екв1ва-лентшсть) роздшених аток простор1в Лобачевського Ни.

Бшын загалыи результати було отримано автором дисертацп.

Hacripanni, у вишезгаданих роботах ПапазоГлу та Богопольського по сут1 доводиться зсувна екв1валентшсть роздшених аток, хоча автори цього i не зазначають.

Нагадаемо, то група G називаеться аменабельною, якщо icnye скшченно-адитивна право1нввар1антна Mipa // : 2G —> [0, оо), тобто така, що ¡¡.{Ад) = ц(А) при довшьних д € G,A С G.

Вщомо щлий ряд критернв аменабелыюст1 груп, як1 формулюються в pi3Hnx термшах.ь

3 аменабелыпстю груп TicHO пов'язано поняття росту групп i метрич-ного простору. Довшьна неаменабельна група мае експоненцшний picT.

Теор]я рост1в — розвинена галузь геометрично'1 та асимптотпчно1 reopi'i груп. М.Г1)омовнм7 повшстю описано клас груп полшом1алыюго

росту,

Р.Григорчуком наведено приклади груп пром1жного росту, доведено, що множина рост1в континуальна i мктить континуальний ланцюг i антиланцюг.

Мета роботи. Метою диссртацшно1 роботи е

4Papasoylu P. Homogeneous Trees are Bilipschitz Equivalent// Geometriae Dedieata. - 1995. - № 54. -p.301-306.

5Bogopolskii O.V. Infinite commesuiable hyperbolic groups are bi-Lipschitz equivalent// Algebra i Logika. — 1997. — v . 36. — No 3. — p. 259-272.

6Felner E. On groups with full Banach mean value// Math.Scand. - 1955. - № 3. - p. 243 -254. Namioka I. Felner's condition for amenable semi-groups// Math. Srand. — 1961. — 15. — p. 18-28.

7 Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps// Publ. Math. I. II. E. S. — 1981. — 53. — p.53-73.

1) вивчення класу неаменабельних метричних npocTopiB i доведения зсувно'1 екв1валентност1 ïx роздшених cîtok, що дасть часткову нщновщь на перше питания Громова;

2) елементарне доведения зсувно! екв1валентносп роздшених cîtok в гшербол1чних за М.Громовим метричних просторах. Це дае позитивну вщповшь на питания G2 та G3;

3) доведения бшшшицево*1 екв1валентност1 cîtok та шдгруп оконченного шдексу в неаменабельних та неелементарних rincp6oni4niix трупах. Це дасть часткову вщповщь на питания G4 та позитивну вщповщь на питания G5. KpiM того, це доводить бшпшицеву екв1валент1исть квазизометричних неаменабельних груп, що в свою чергу посилюе ре-зультати П.Папазоглу8 та О.Богопольського.9

Ми узагалышмо поняття росту групи, давши квазизометрично ш-вар1антне означения росту простору, розвинемо техшку геометризаци Teopiï груп, яка б узагальнювала поняття словарно'1 метрики на випа-док нескшченно породженоУ групи. Побудуемо iiobî к и аз i i зом е т р и ч н i та асимптотичш iiiBapianTH груп (не лише скшченно породжених). Отри-маемо доведения в загальнш ситуаци узагальнень класичних теорем теорп'аменабельних груп (таких як теореми Фолнера та Тарського).

Методи доопджешш. У дисертащйнш po6oTi використовуються методи теори груп, зокрема теори гшербол^чних груп, методи теори комутатив-них HaniBrpyn, та методи топологи.

Наукова новизна. В дисертацшнш робот! автором отримано нов1 теоре-тич1и результат!, зокрема:

- побудовано загальну Teopiio аменабельности для piBHOMÎpHO обме-жених npocTopiB, яка узагальнюе класичш поняття аменабелыюст1 груп та HaniBrpyn i дозволяе розглядати щ поняття для метричних простор1в;

^Papasoglu P. Homogeneous Trees are Bilipschitz Equivalent// Geometriae Dedicata. - 1995. - № 54. -p.301-306.

9 Bogopolskii O.V. Infinite commesurable hyperbolic groups are bi-Lipschitz equivalent// Algebra i Logika. — 1997. — v . 36. — No 3. — p. 259-272.

- узагальнено поняття бшшшицевсн еквталентност1 та квазнзометри для нескшченно пород жених труп;

- доведено зсувну екв1валентшсть слток та шдгруп сличенного ш-дексу в скшченно породжених неаменабелышх трупах, що дае вщ-пов1дь на питания 04 та СБ поставлен! М. Громовим;

- доведенно зсувну екгпвалентшсть регулярних аток неаменабелышх метричних простор1в, що дае вщповщь на перше питания М. Громова;

- доведено бшшшицеву еквшалентшсть квазпзометричних неамена-бельних труп;

- знайдено елемептарне доведения неаменабсльност! 1 зсувноУ екв1ва-лентност1 аток неелементарних гшербол1чних труп.

Теоретична 1 практична цшшсть дисертацп. Результати дисертацп е певним внеском в геометричну та асимптотичну теорпо труп. Побудо-ваш конструкцп та методи можуть бути використаш для подальших дослщжень квазпзометричних швар1ант1в груп та в геометришй теорн неаменабелышх груп та простор!в.

Апробащя роботи. Результати отримаш в дисертацп доповщалися: на семшар1 "Теор1я груп та натвгруп" у Кшвському Ушверситет1 ¿мен! Тараса Шевченка; на П'ятш лИжнародшн конференцп ¿мен! академжа М.Кравчука (м. Кшв, 1996 рш); на IV м1жнародшй конференцп "Групп 1 групов1 кшьця" (м. Великий Любшь 1996 рж); на М1жнародшй ал-гебраиппй конференщУ прпсвячешй памЧт професора Л.М.Глускша (м. Слов'янськ, 1997 р.)

Публшаци. Осношп результати дисертацп опублшоваш в 3 наукових статтях, а також в 2 тезах доповщей наукових конференцш, список яких подано в кшщ автореферату.

Особистий внссок дисертаита. В а результати дисертаци отримаш автором самостшно.

Структура 1 об'ем роботи. Дисертацшна робота складаеться з1 вступу, трьох роздпнв 1 списку л1тератури, викладених па 112 сторшках машинописного тексту. Список л1тератури мктить 37 найменувань.

ЗМ1СТ РОБОТИ

У встуш зроблено короткий огляд л1тератури по тем1 дисертаци, ви-кладено осиовш результати роботи.

Перший роздш присвячена означениям та основним властивостям р1вном1рно обмежених простор!в.

В шдроздип 1.1. дасться означення нашвгругш р1вном!рних вщно-шень (псевдоекв1валентност1) та piвнoмipнo обмеженого простору. Нашвгрупи р1вном1рно обмежених вщношень — основний техшчшш ш-струмент дисертацшноУ роботи.

Нашвгрупою р1вном1рно обмежених вщношень називаемо таку шдна-швгрупу нашвгрупи рефлексивних вщношень на множит X, що вона за-мкнена вщносно операци взяття зворотного вщношення 1 разом з довшь-ним вщношенням мютить довшьне його шдвщношепня.

Аналопчно до позначень теори ртпомфпих тополопчпнх простор1в, для р1вном1рно обмеженого вщношення замкть (х,у) 6 71 ми пишемо ¿х{х,у) < 7Z або с1(х,у) < 7Z.

Якщо 72-1 С Тг2, то ми пишемо 7^ <71%.

Кулею рад1уса 72. з центром в точщ х Е де 71 — р1вном1рно обме-жене вщношення, називаемо множину:

ВХ{П)^ {у. ¿х{х, у) <П).

Множина разом ¿з нашвгрупою ртном1рно обмежених вщношень на шй називаеться р1вном1рно обмеженим простором. Техшка нагпвгруп р1вном1рно обмежених вщношень узагальнюе поняття словарних метрич-них простор1в, граф]в Keлi та шшу техгаку геометрично1 теорп груп, та дозволяс будувати теорно аналопчну до геометршю! теорп скшчешго породжених груп у нескшченно породженому випадку.

С

В шдроздт 1.1. вводяться основш техшчш поняття теори piBHOMipHO обмежених вщношснь, тара як поняття обмеженоУ множини, piBHOMipiro обмежено!' сукуиност1 множин, бази, передбази, шдпростору piBnoMipno обмеженош простору, зв'язшсть та моногеншсть npocropiB.

В пщроздш1 1.2. будуються каношчш нашвгрупи piBHOMipHO обмеже-них вщношснь для класичних o6'eKTiB: граф1в, метричних простор1в, та дискретних груп. В цьому пщроздШ доводиться

Теорема 1.13. Якщо група сктченно породжена, то натвгрупа pienoMipuo обмежених вгдношень групп G збжаеться si стапдартними натогрупами ргвнолирно обмежених eidnovieнь словарного метричного простору г графу Кел1 групп для довыъног системи твгрних.

Таким чином, пщхщ з точки зору piBHOMipHO обмежених простор1в узагальнюе класичш шдходи геометрично! теори груп.

В пщроздин 1.3. вводяться поняття морф1зму та ¿зоморф1зму piB-HOMipHO обмежених npocTopia, яке узагальнюе поняття бшшшицево1' еквь валентност1 груп та метричних npocTopiB.

Вщображення / : X] —» Х2 е морф(змом pienoMipuo обмежених про-сторгв, якщо для довщьного pinnoMipno обмеженого вщношення TZi простору Xj icnye piBHOMipiro обмежене вщношення простору Хг таке, що для довшышх х,у £ Xi з dx^x^y) < 1Z\ випливае dx2{f(x),f(y)) <

Для метричних npocTopiB морф1зми вщповщних piBHOMipHO обмежених npocTopiB описуються настугаюю

Теоремою 1.17. Нехай — метричт простора. Вгдображення / : X —> 2) буде морф{змом eidnoeidmix стандартних ргвном{рно обмежених npocmopie modi г лише modi, коли icnye uecnadna фyнкцiя Л : R+ R+ така, що dAx довыъних xi,xo G X виконана uepienicmb:

\f(Xl) - f(x2)\v < А(\Х1 - х2\).

У eunadKy, коли npocmip X Kea3izeode3U4HUU, icnyiomb neeid'cMHi сталг L,S, dля яких функцт Л(t) можно, покласти pienoK) Lt + 5, тобто у цьому оипадку f с мopфiзлloм modi i лише modi, коли f — каазшпшицевс вidoбpaжeння.

KpiM того, в пшрозд1Л11.3. означаеться узагальнення поняття квазнзо-

метри для piBHOMipHO обмежених простор'в, ототожненням в категорп р1вном1рно обмежених npocxopiB (разом з означеними ввище морф1з-мами) зсувно еквгвалепгпних морф1зм1в.

Два морф13ми /, : Х\ —> X2,i = 1,2 зсувно еквшалентш, коли ¡снуе таке piBHOMipHO обмежене вщношення 1Z простору Х2, що для довшыкн точки х £ Xj:

<1(Ш,Ь(х))<П.

В niflpo3flini 1.4. даються необхщш означения ciTOK та роздшених ciTOK piBHOMipHO обмежених npocTopiB та груп.

CiTKOio piBHOMipHO обмеженого простору £ називають таку множину N С X, що icHye таке piBHOMipHO обмежене вщношення 7Z, що для довшь-Hoi точки х Е X знайдеться точка у £ N така, що d(x, у) < 7Z.

Поняття цих двох пщроздЫв е основными об'ектами дослщження дисертаци.

В другому роздmi будуеться теор1я аменабельности яка узагаль-нюе теорпо аменабельних дискретних груп та Tcopiio аменабелышх метричних npocTopiB.

В гпдрозд1л1 2.1. вподяться 0CH0Biii нашгрупи piBHOMipHO обмежених функцш: HaniBrpyna piBHOMipHO обмежених Mip /¿(X) та нашвгрупа клаав зсувно ективалентних piBHOMipiro обмежених Mip £+ (X).

Скшченно адитивна Mipa визначена на обмежених множинах piB-HOMipHO обмеженого простору X pienoMipno обмежена, якщо для довшь-ного piBHOMipHO обмеженого тдношення 7Z маемо

supц(Вх{%)) < оо.

х£Х

HaniBrpyna /¿(X) е узагальненням поняття нашвгрупи додатшх обмежених функцш на rpyni. Останне поняття використовуеться при кла-сичному означенш аменабелыюст1 групи через так зване "банахове середнс" тому ми поклали це дослщження нашвгрупи ¿¿(X) в основу теори аме-Ha6enbHOCTi piBHOMipHO обмежених npocTopiB.

Дв1 piBHOMipHO обмежеш Mipn //1, /¿2 називаються зсувно екв1валент-ними, якщо icnye таке piBHOMipHO обмежене вщношення 7Z, що для довшь-

hoi обмеженох миожини В виконаш nepÍBHOCTÍ:

/íi(Neib(£,ft)) > /i2(B) ц2(ШЪ(В,П)) >щ(В).

(Тут Neib(Z?, 7Z) — множина bcíx таких х, для яких icnye деяке у £ В, хцо знаходиться у вщношенш 71 з х.)

Вщношепня зсувнох адавалентноси е конгруеншсю на imninrpyni /¿(X). Факторнашвгрупа по дашй конгруенцп i е нашвгрупа Пшроздш 2.1. присвячено вивчешпо нашвгрупових властивостей нешв-групи £+(£).

В пщроздш1 2.1. вводиться поняття регулярно!' (piBHOMipiio дискрет-ноУ) cítkii та тотально'! MÍpu. СЛтка називаеться регулярною (Mipa — тотальною), якхцо для довшыюго pafliycy максимум кшькосп точок cítkii в кулях (значения MÍpu на кул1) цього рад1усу скшченний. Поняття регулярно!' cítkii виявилося адекватшхпим при дослщженш зсувнох ei<BÍ-banehthoctí шж поняття роздшено! cítkii. Але ni поняття виявилися досить близыотми, а саме мае мкце така

Теорема 3.3. Якщо в npocmopi X гснус регулярна егтпка, то генуе таке ргвпомгрно обмежене вгдношення С, що кожна TZ-роздыена Ытка с регулярною, як тыъки С < 7Z.

В бшьшост1 класичних ciiTyaniÍJ (таких як pÍMaHOBÍ многовидн чи графи) hí два поняття збшаються.

Нашвгрупову характеристику тотальних Mip дае нас.тупна

Теорема 2.8. PieuoAtipno обмежепий npocmip мае тоталъну Mipy modi i лише modi, коли ein мае регулярну cimKy. (Ми називатимемо mam простори шртуально дискретними.)

Mipa ц £ £+(;£) тотальна modi i лише modi, коли dля кожного v Е icnye стала К > 0 i елемент ф £ такг, iцо

V + ф = К/г,

а тому V С Кц.

В пщроздт 2.2. ми вводимо означения ÍHBapiaHTHoró середнього та аменабельности а також доводимо загальний критерш Фолнера аменабельности використовуючи поняття тотального елемента.

Ми називаемо швар1антиим середшм нетрив1альний гомоморф1зм

т Ж+

в адитивну нашвгрупу дшсних невщ'емних чисел. Кожне швар1антне середне означав нетрив1альний гомоморф1зм з нашвгрупи /¿(X) в нашв-групу М+, який inBapiaiiTHini вщносно зсувно! екв1валентност1. Звщси i походить назва "швар1антне середне".

Два елементи £ ££,(-£) називаемо лшшно екв1валентними, коли

icnye деякий v G ££>(£), для якого + v = Ц2 + v. Вщношешш линй-iioi екв1валентност1 е конгруенщсю, вщповщна факторнашвгрупа буде напшгрупою i3 законом скорочення. Трупа часток отримано! факторна-швгрупи позначаеться L(3£).

Ми називаемо npocrip аменабелышм, коли група L(X) нетрив!альна. Теорема 2.10 показус екв1валентшсть аменабельности ¡снуваншо швар!ант-ного середнього.

В наших терм1нах узагальнепий критерш Фолнера формулюеться настунним чином:

Теорема 2.13. Простгр X аменабельний modi i лише modi, коли натвгрупа ££.(£) не мае тоталъних ideMnomenmio.

В пщроздт 2.3. основними результатами е теореми:

Теорема 2.17. У тртуалъио дискретному неаменабслъному про-cmopi довмыа dei регулярна cirriKU зеувно еквгвалентт.

Теорема 2.18. Нехай X, 2) — р1вном1рно дискреты неамеиабельнг npocmopu. Todi, вони асимптотично 1зоморфт modi г лише modi, коли вони гзоморфнг.

В третьему роздпп застосовуються отримаш результата до розв'язання проблем Громова.

В шдроздпп 3.1. детал1зуються i застосовуються поняття i резуль-тати попередшх роздЫв до Teopii метричних простор1в. Зокрема в цьому шдроздщ1 будуеться квазизометрично iiiBapianTHe означення росту в1рту-ально дискретного метричного простору, оцшюеться об'ем окола геоде-зичн01. lli дослщження використовуються в наступному шдроздшь

В кшщ шдроздшу 3.1. розглядаються застосування Teopii аменабель-HOCTi до метричних npocTopiB. OcuoBui результати uiei частини шцродшу

дають приклад простор1в з бшшшицево сквталентшши роздшеними ciTKaMii та наводять cepiro iipocTopie, для яких поняття квазпзометрн зб1гаеться з поняттям бшшшицево1 екв1валентиост1. Це дае вщповщь питания М.Громова G1.

Теорема 3.12. У довыьному иеаменабельпому в(ртуалъно дискретному метричному просторг довыыа двг регулярт Ытки зсувно екегеа-лентпг.

Якщо у eipmyadbuo дискретному метричному npocmopi X нижнл функцгя росту прямус до нес.ктчспност1 (такими, з?лдно з лсмою 3.9 будуть вел вгртуальио дискретт необмеже.м геодезичш простора), то £ чсаменабелъний modi i лише modi, коли довыът двг його регулярней а тки зсувно скв1валептт.

Теорема 3.13. Нехай X, 2) — ргвномгрно дискретт роздыем не-аменабелът метричш простори. Тодг, вони квазпзометричнг modi i лише modi, коли вони быгпшицево еквгва.лентнг.

В шдроздш1 3.2. наводимо нсзалежне В1д попередтх двох роздш1в елементарне доведения зсувно1 екв1валетност1 регулярних ciTOK широкого клас.у rinep6oniTn;nx за М.Громовим npocropiB. В цеп клас входять Bci неелементарш гшербол1чш групп, стандартш гтербол1чш простори Н" та дерева обмежено! валентност1 пперквадратичного нижнього росту. Таким чином, ми даемо позитивну вщповщь на питания G2, G3, G5 та частков! вщповщ! на питания Gl, G4, та отримуемо незалежне елементарне доведения неаменабелыюст1 цих простор1в та груп.

Основним результатом цього пщроздшу с теорема:

Теорема 3.25. Довыът двг несктченш кв аз Из о метричш ггперболгчт групи быгпшицево еквгвалентнг.

Зауважимо, що ця теорема силыпша за аналопчний результат О.В.Бо-гопольського.10

В шдроздЫ 3.3. застосовусться теор1я аменабельности розвинута в перших трьох роздшах, до теорп груп. Доводиться екв1валентшсть поняття класичноУ груповоУ аменабелыюст! та поняття аменабельности

10Bogopobhi O.V. Infinite commcsurable hyperbolic groups are bi-Lipschitz equivalent// Algebra i Logika. --■ 1997. — v . 36. — No 3. — p. 259-272.

означеного в другому роздшь При доведеиш цього факту отримуеться незалежне доведения критер!я Тарського аменабельност! груп.

В кшщ цього шдроздшу доводяться основш результати дисертацп, що дають вцшовщь на питання Gl, G4:

Теорема 3.30. Довглыа dei сгтки несктчснног сктченно-породженог групи зсувно екв1валептт modi i лише modi, коли вона пеалшшбелъна.

Теорема 3.31. Нехай Gi i G2 — dei cкinчeнuo-nopodжeнi нсамена-бслъш квазИзометричш групи. Todi G\ г G2 бытшицево eквiвaлenmнi.

Аналопчш теореми були незалежно доведен! К.Уайтом.11

висновки

В дисертацшнш робот! даються вщповщ! на поставлен! М.Громовим питання про бшшшицеву екв1валентшсть с1ток груп та метричних про-стор1в, зв'язок М1ж ионяттями квазнзометри та бшшшпцево! екв1валент-noCTi. Дано позитивш вцшовцй на ni питання в клаа неаменабельних груп та метричних иросторш. Наведено елементарне доведения екв'ша-лентност! с1ток для гшерболичних груп та метричних npociopiB.

Розвинуто техшку piBHOMipHO обмежених простор1в, яка дозволяе з единих позиций будувати теорпо аменабельност! як для дискретних груп так i для метричних npocxopiB. Узагальнено поняття бтшшицево! еквь валентност1 та квазнзометри для випадку нескшченно породжених груп i доведено аналопчш результати про екв1валентшсть аток.

Результати роботи можна використовувати для подалыиих дослщжень в асимптот ичнш та геометричнш теорш груп, зокрема для знаходження нових квазпзометричних iHBapiaHTiB груп.

Користуючись нагодою, автор висловлюе подяку своему пауковому кер1вников1 B.I. Сухцанському за увагу i пщтримку в робот1 та P.I. Гри-горчуку за корисну шформащю за темою дисертацп.

11 Whyte К. Amenability and biLipschitz maps// preprint. — # 199704-20-001 (a.k.a. magnus/97-01-05A)- 1997.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦП

1. Nekrashevych V. Quasi-isometry groups// Математичш Студи. — 1998. — Т. 8, No. 2. — р.227-232.

2. Nekrashevych V. On Equivalence of Nets in Hyperbolic Spaces// До-повш HAH Украши. — 1997. — No 11. — стр.18--21.

3. Nekrashevych V. Quasi-isometric Hyperbolic Groups are Bi-Lipschitz Equivalent,// Доповш HAH Украшд. — 1998. — No 1. — стр.32-35.

4. Некрашсвич В.В. Критерш лшшицевост! вщображень труп// V Мтнародна конференщя iMeiri академ1ка Кравчука. Кш'в 16 - 18 травля 199G piK. 36ipiniK тез. — ст.290.

5. Nekrashevych V. Equivalence of nets in hyperbolic spaces// Млжнародна алгебргачна конференц1я присвячена пая'ят1 професора Л.М.Глускша Слов'янськ 1997. — ст. 107.

Некрашевич В.В. Метричт властшюсп неаменабельних груп. — Ру-копис.

Дисертащя на здобуття паукового ступени кандидита ф1зико-математичних наук за спещалыпстю 01.01.06 — алгебра 1 теор1я чисел. — Кшвський ушверситет ¡меш Тараса Шсвченка, м.Кшв, 1098.

Дисертацио присвячено дослщженшо бшшшицевоУ та зсувно! еквша-лентноеп регулярних та роздтених сггок скшченно породжених груп та метричних простор!в. Дано вщповщ! на питания поставлен! М.Громовым про бшшшицеву еквшалентшсть слток в трупах. Зокрема доведено бшш-шицеву екв1валентшсть квазпзометричних скшченно породжеиих неаменабельних груп. У випадку гшербол1чних груп наведено елемен-тарне доведения зсувноУ екв1валентност1 аток та шдгруп скшченного шдексу. Побудовано узагальнення поняття аменабельност1 груп на за-галышй випадок р1вном1рно обмежених простор1в, що дозволяе, зокрема, вводити поняття аменабельност1 для метричних простор1в. Розвинуто техшку геометризаци для нескшчснпо породжених груп, яка узагаль-шое поняття графу Кел1 та словарного метричного простору.

Ключов1 слова: аменабельш груии, бшшшицева екв1валентшсть, квазазометр1я, аткн, гшербол1чш групп, гшербол1чш метрич|й простори, неаменабелый метричт простори, парадоксальш розбиття.

Некрашевич В.Б. Метрические свойства неаменабельных групп. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математичес* наук по специальности 01.01.06 — алгебра и теория чисел. — Киевский университет имени Тараса Шевченко, г.Киев, 1998.

Диссертация посвящена исследованию билипшицевой и сдвиговой эквивалентности регулярных и разделенных сетей конечно порожденных групп и метрических пространств. Даны ответы на вопросы, поставленные М.Громовым о билипшицевой эквивалентности сетей в группах. В частности доказано билипшицсвую эквивалентность квазиизометрических конечно порожденных неаменабельных групп. В случае гиперболических групп указано элементарное доказательство сдвиго-

вой эквивалентности сетей и подгрупп конечного индекса. Построено обобщение понятия аменабельности групп на общий случай равномерно ограниченных пространств, которое позволяет, в частности, ввести понятие аменабельности для .метрических пространств. Развита техника геометризации для бесконечно порожденных групп, которая обобщает понятие графа Келли и словарного метрического пространства.

Ключевые слова: аменабельные группы, билипшицевая эквивалентность, квазиизометрия, сети, гиперболические группы, гиперболические метрические пространства, неаменабельные метрические пространства, парадоксальные разбиения.

Nekrashcvych V. V. Metric properties of nonamenable groups. — Manuscript.

Thesis of a dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 — algebra and number theory. — Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 1998.

Bi-Lipschitz and shift equivalence of regular and separated nets is investigated in the dissertation. Answers on the questions posed by M.Gromov about bi-Lipschitz equivalence of nets in groups are given. In particular, a bi-Lipschitz equivalence of quasiisometric finitely generated nonamenable groups is proved. For the hyperbolic groups an elementary proof of the shift equivalence of regular nets and subgroups of a finite index is proposed. A generalization of amenability for the general class of uniformly bounded space is constructed. This allows to introduce a notion of amenability for metric spaces. A technique of geometrization for infinitely generated groups is developed. It generalizes the notions of a Cayley graph and a word metric space of a finitely generated group.

Key words: amenable groups, bi-Lipschitz equivalence, quasiisometry, nets, hyperbolic groups, hyperbolic metric spaces, nonamenable metric spaces, paradoxical partitions.