Метрики Кэлера-Эйнштейна и проблема Торелли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



АКАДЕМИЯ НАУК СССР ¿у?

ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСЖОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 512

ТОДОРОВ Андрей Николаевич

МЕТРИКИ КЭЛЕРА-ЭЙНШТЕЙНА И ПРОБЛЕМА ТОРЕЛЛИ

(01.01.06. - математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА-1990

Работа выполнена в Институте Математики Болгарской Акаде! наук.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Ф. А. Богомолов доктор физико-математических наук, профессор В. В. Шокуров доктор физико-математических наук, профессор А. Т. Фомешсо

Ведущая организация: Ленинградский Государственный Университет.

Защита состоится "_"_1990 года в_

часов на заседании специализированного совета Д 002.38.02 при Матег* ческом институте им. В. А. Стеклова АН СССР по адресу: Москва, ул. Е лова, 42. Математический институт им. В. А. Стеклова.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан "_"_1990 г.

Ученый секретарь спецсовета, кандидат физико-матем. наук

В. Н. Гришин

ВВЕДЕНИЕ I» Актуальность теш.

Одна из основных проблем в комплексной геометрии, это так взываемая проблема модулей, т.е. описание многообразий, кото-ое параметризует все биголоморфно не эквивалентные комплексные труктуры на фиксированном С дифференцируемом многообразии X . Эта задача очень нетривиальна даже в комплексной размерно-ти I. Первый, который начал заниматься этой задачей, был Риман. н вычислил размерность многообразий модулей для римановых по-ерхностей и показал, что эта размерность равна 3 , где - род поверхности, т.е. число ручек.

Многообразие модулей можно определить следупцим образом: Опредаление_1.1.

Пусть X - С дифференцируемое многообразие, тогда мы удем называть 3(Х) пространство Тайхмплера, если

ЛХ)" -'(все интегрируемые комплексные структуры на X) /

/вщсх),

де (*) - это 806 диффеоморфизмы X , гомотопные

ождественному диффеоморфизму.

Тайхмшер доказал, что X) , где X - любая римановая

Зу- 3

оверхность, является областью голоморфности в С 7 . Тео-

ия Тайхмплера была доказана четко Альфорсом и Берсом. (см.[24]).

Обобщение теории Тейхмвдера для размерности > / не суще-твует. По всей вероятности это очень трудная задача. Есть ло-альное обобщение, т.е. существует локальная теории деформации.

Опр еделение_ 1.2.

Пусть X — дифференцируемое многообразие, тогда М1

будем называть ??[.(Х) многообразием модулей, если:

2и(Х) — • С все интегрируемые комплексные структуры на X)/

где (Х)-ъто группа диффеоморфизмов, сохраняпцая ориентацию.

Недавно Мамфорд и Харис доказали, что Ш (X") является ал гебраическим многообразием общего типа. Си.[25].

Теория локальных деформаций многообразий бшш развита Кодайрой, Спенсером и Кураниши. См,{А).

Глобальное описание многообразий модулей для размерности довольно трудная задача. Пока она сделана полностью для КЗ по верхностей, а также и для абелевых многообразий. Обе теории по хожи друг на друга. Конечно, когда многообразие X является поверхностью типа КЗ , то явное описание модулей гораздо тру нее.

Многообразие модулей поляризованных абелевых многообразий изоморфно

Т\$р(<п)/\] (п).}

где /'—дискретная группа, которая действует на Зр(п)IX)(п. и связана с поляризацией.

Определение^ 3.

Пусть X — комплексное компактное многообразие размерное 2, такое что:

а) на X оуазогзусг голоморфная форма и^ (¿,0) , такая, что она не имеет нулей,

б) . Тогда X Называется КЪ поверхностью.

Замечание.

Из определения поверхности типа КЪ следует, что голоморфная две форма Ы/^ (2,0) единственна о точностью до консТанты.

Цельюдиссертации является явное описание модулей так называемых отмеченных поверхностей типа КЪ , а также изучение пространства модулей метрик Эйнштейна на отмеченных поверхностях типа КЗ . Также построены контрпримеры к глобальной теореме То-реляи в случае двумерных комплексных односвязных алгебраических поверхностей.

Определение 1.4.

Пусть X — поверхность типа КЗ и пусть тогда

1, ■■•■■> ) мы будем называть отмеченной поверхности типа КЗ .

Цель_работы.

Построение и явное описание пространства модулей отмеченных поверхностей типа КЗ .

Явное описание пространства модулей всех метрик Эйнштейна на поверхности типа КЪ .

Построение поверхностей о-р , ^ - о § О ¿(К •

$

которые дают контрпримеры к глобальной проблеме Торелли.

Научная_ новизна.

Все результаты диссертации новы. Они снабжены строгими ма-

тематическими доказательствами.

Приложения.'

Работа ноо-'т теоретический характер. Ее результаты и мето да ухе нашли приложения в различных вопросах теоретической физики, дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии.

Вот некоторые применения результатов диссертации:

1) Никулин существенно использовал теорему об впиморфноот отображений периодов для поверхностей типа КЗ при описании всех голоморфных автоморфизмов заданной поверхности типа КЗ при описании вещественной топологии поверхности типа КЗ • а также применил эту теорему к дискретным группам. См. 029].

2) Физики из группы Хокинга (Кэмбридж), а также Зингер и Еургинион интересовались проблемой модулей метрик Эйнштейна на

КЗ поверхности. Этот их интерес возник из теории гравитаци так как поверхности типа К 3 это единственный пример компактно го многообразия, на котором существует Ричй плоская метрика» но эта метрика не тривиальная. См.[31].

3) Результаты из главы 3 получили дальнейшее развитие в работах Катанезе, Дебар, Бовил, Морисон, У суй и др., а также г работах некоторых учеников Клеменса. См.[23],[19].

Ащ>обация.

По результатам по КЗ поверхностей были организованы еле дущие семинары: I) в Станфордском Университете (Сю), 2) в Га| варде (Гркфатс), 3) в Екол Политехник (Бургшшок и Бошл)е Вышла книга по досадам втого сеглшзра» См. [20]. 4) в Чикагском Университет о (Нарастали, ШШвзоп ц Блох)«1

Результаты главы I были вкгажчш в пленарном докладе Сю на Мировом Конгрессе Математиков в Варшаве [32].

- ь -

Результаты главы I и главы 3 были вклггаены в два доклада Бознля на Семинаре Бур баки. См. £33 J а [34].

Результаты главы 2 докладывались Бургинионом на Семинаре Бессе в Парижа и были включены в книгу Бессе "Эйнштейновы многообразия". См, ¡21].

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы. Список приведен в конце автореферата.

Структура дассертшда.

Дисоертация состоит из введения и трех глав. В главе I доказана теорема об эпиморфизме отображения периодов для поверхностей типа КЗ и тем самым дано описание пространства модулей отмеченных поверхностей типа КЪ .

В главе 2 дано описание пространства модулей метрик Эйнштейна ва поверхности типа КЗ •

В главе 3 построены контрпримеры к глобальной проблеме То-релли.

Диссертация содержит 109 страниц машинописного текста. В списке литературы 32 заглавия.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе I доказана следующая теорема:

Теорема_1.

Каждая точка

хе S О (3, t¿)/SO(Z) х SO (i, l j)

соответствует отмеченной поверхностью типа КЗ .

Замечание_.

Из глобальной теоремы Торелли, доказанной Пятецким-Шапиро

и Шафаревичем по форме Берика-Рапопорта, следует, что отмеченная поверхность типа КЗ , которая отвечает точке X , единственна с точностью до изоморфизма. См.[I] и [8].

В главе 2 изучается пространство модулей метрик Кэлера-Эйн-штейна на поверхности типа КЗ .

Чтобы сформулировать основную теоремус нам нужно дать несколько определений.

Определение 4. '

Пусть ^-поверхность типа КЗ и пусть(д ) кэлеровая

метрика на X . Если

то (О ) называется метрикой Кэлера-Эйнштейна. 0пределение_2.1_. .

где Ц>— автоморфизм группы Нг (X,

поверхность типа КЗ} .

Напомним, что < , > - форма пересечения на И^ СХ,2) •

Определение 2^2. Пусть подгруппа в

порозденная отражениями, т.е.

» (У е Ш (Нг (Х,Ю (ёеНг (Х^(б^) « 9(а>0+(0

о 6

Определение 2.3.

Пространство модулей метрик Эйнштейна определяется следующим образом:

Л(Х) ~М(Х)/1>гу£ (X),

т&ъЛСХ)-пространство всех метрик Эйнштейна на X . Определение 2А.

Пусть Х- поверхность типа КЗ и пусть X имеет только хвойные рациональные особенности. Пусть . метрика на Х\8гпу(Х) такая, что

ЪдЬуЫеЬСд .))-0.

Зусть Ое1/ и пусть I/- окрестность О . Из определений двойной рациональной особенности следует, что

I/- 7/(7, Gc.SU(2), & , У<= С*& & ' »нетям группа . Пусть на V существует такая функция ^ (г* 2*1 » что }' <*и*) 0-инвариантна и

-- -д

называть ^ ) сингулярная на поверхности типа

Тогда мы будем

КЗ.

В главе 2 доказана следующая теорема: Теорема_2. ;;

; а) Пространство модулей метрик Эйнштейна Л СХ) , где X-поверхность типа КЗ изоморфно

ТЛ В0(3,19)/50(5)л50(19),

где подгруппа индекса 2 в (~Нг 6) Каадая точка

Хс/КхА:м* ^е^} .

соответствует сингулярной метрике Эйнштейна на X * Замечание.

Заметим, что Т- это просто представление группы Diffi. в Ы(Нд(Х,2)) . Замечание.

Из существования метрики Эйнштэйна на поверхности X та КЗ следует, что на X существует кватераионкая структура

Теорема 2 дает описание пространства модулей кватернионн структур на X .

Определение кватернионной структуры на поверхности типа дано ниже.

Определение^ 2«6>

Кватеряионная структура на поверхности типа КЗ X яазш ется тройка

1,1 и К-И

такая что

^ ,г а' . / I ~J . К~-гс1,

П+71- 1К+Х1 - 7К+ К1'0г

где I , I к К гул нцуигрируеми > комзлексшго структуры Замечание.

Мы можем.считать, что поверхность ткпа К5 является кв тернионной эллиптической кривой.

Гак что теорема 2 дает описание многообразий модулей ква-тернионных эллиптических кривых.

В главе 3 построены поверхности с , а-о и

! 8 ¿¿К - . 9 такие, что все они минимальные в смысле Зарисско-

го, т.е. на них не существует исключительные кривые первого рода. Эти поверхности дают контрпримеры к глобальной проблеме Торелли.

Проблема Торелли спрашивает: верно ли, что классы котомо-логий голоморфных двух форм на проективном комплексном многообразии основного типа размерности 2 определяют комплексную структуру о точностью до диффеоморфизма изотропного тождественному отображению?

Другими словами, верно ли, что классы'когомологий голоморфных двух форм на поверхности основного типа определяют однозначно комплексную структуру с точностью до изоморфизма.

Итак, мы строим в главе 3 поверхности, при этом некоторые из них односвязанные, такие что они дают контрпримеры к проблеме Торелли. .

Методы и идеи, которые использованы в диссертации.

Доказательство теоремы I основано на существовании метрики Кэлера-Эйнштейна на поверхности типа КЗ» Результат существования таких метрик принадлежит Яо, более точно существование таких метрик следует из решений гипотезы Калаби, получено Яо. См.[II].

Основное следствие, которое используется, это то, что любой голоморфный тензор на компактном многообразии с каноническим классом нуль, параллельный относительно метрики Кэлера-Эйнштейна.

Это замечание принадлежит Бохнеру.

Отсвда следует, что если X ~ поверхность типа КЗ и )

метрика Кэлера-Эйнштейна, то тогда существует изометрическая

деформация на поверхности типа КЗ X, совместимая с метрике Кэлера-Эйнштейна ^ ) ,

Это просто означает, что в трехмерном подпространстве .

ЕСТ(Х^) , порожденном

«

Т?е 1^(2,0), 2тигх(&,0) в 2т (д^ ) -

любая ориентированная плоскость Тс Е определяет новую комшк сную структуру Хр на X такую, что голоморфная двух форм

на X определена следующим образом: ?

При втом на Хр существует метрика Кэлера-Эйнштейна ришново эквивалентна метрике Кэлер-Эйнштейна (9 _) на X , о которой мы начинали.

Итак;мы получили следующее соответствие: пусть X пове] ность типа КЗ и пусть Е - трехмерное подпространство в Г(Х,Л*) , пороаденное 7?е 0)*3т 1^(2,0) ъУгп^ Л*

(класс поляризаций), тогда каждой плоскости Т в £ ¿мест о ориентацией определяет новую комплексную структуру на X • 1 ким образом, мы получаем семейства К 3 поверхностей.

Я,1X •—* «У5 , где Х<$Хх$ как С многообразие

&

(где 8 - доукзрная сфера), и каждая таущексаш структура на изспбтрЕЧка комплексно*? структуре / на X . З^ечание,

Семейство, которое лоеггр' «,.о аше, 8!го проем пространс? твкстеров Пенроуза для поверхностей типа КЗ .

Далыве нам пугяо вычислить образ

в ¿0(3.19)/Я0(2)х80 (1>*9)при отображении периодов. Определение.

Отображение периодов определяется следующим образом: каадой отмеченной поверхности типа КЗ (Х,о) сопоставляется прямая в I,® С. » порожденная о) (2,0) •

А'

Напомним, что

это изометрия

где

1-(-Е$)3ф (Н)3

и Я—гиперболическая решетка. Определение ВЛ1Л. Пусть

71:%-* 8

семейство отмеченных поверхностей типа . Тогда отображения р: 3 0 (3, 19) / бО <2) х в О а. Ю с £р3/

где

3{

... ] ЫГ£(2,о),...)е €Р

и

и ) отеченн^я поверхность типа КЗ , на-

зывается отображение периодов.

Замечание 1.2.

Легко доказать, что пространство периодов

является открытой частью вырожденной квадрики в СР .

Образ семейства изометрических деформаций в пространстве периодов является плоской неособой кривой степени два.

Определение_1.3.

Две точки на пространстве периодов 30(3,19)/0(2)х О, 1[ будем называть эквивалентными, если их можно соединить плоскими неособыми кривыми, происходящими из изометрических деформаций л отмеченных поверхностей типа КЗ .

В главе I доказывается, что любые две точки на пространстве периодов

50 СЗ, 19)/(¿ОООк ВОМ,/9)

эквивалентны.

Отсада сразу следует теорема I.

Доказательство теоремы 2 основано на следующих замечаниях:

Замечание .4.

Если р)-метрика Эйнштейна на У , то на ^ существует такая комплексная структура, что ) является метрикой Кэлера-Эйнштейна относительно этой новой комплексной структуры на X .

Замечание_1.5. . 1.-

Пустьметрика Эйнштейна на X , тогда () определяет трехмерную плоскость вместе с ориентацией в

\ (х, Ю .

Так как пространство всех трехмерных плоскостей вместе с ориентацией в Я^ (X, Р) изоморфно

$0(5,49)/$0<3)х80а9),

то все сводится к доказательству факта, что есть взаимно однозначное соответстзг.э между точками на 80(3,19)/ 80(3)х80 в все метрики Эйнштейна на X

Это аналог теоремы Торелли для кватернионных структур на X ,

В главе 3 дан метод конструкций некоторых поверхностей. Напомним этот метод.

Конструкция контрпримеров к глобальной проблеме Торелли очень простая, это просто двулистные накрытия поверхности типа КЗ » разветвленные к гиперплоских сечениях и некоторое число исклшительных кривых второго рода, т.е. рациональные кривые с индексом самопересечения -Л . То, что построенные поверхности в главе 3 дают контрпримеры к проблеме Торелли, основано на следу1 щем замечании, а именно: эти поверхности имеют те де периоды, как и КЗ поверхности, с которым мы начали. Теперь очень легко построить поверхности, которые имеют одни и те же периоды, но бимероморфно не эквивалентны. Они получаются из одной и той же поверхности типа КЗ , но меняя гиперплоское сечение. Заметим, что некоторые из этих поверхностей односвязные.

Исюретеские замечания.

Впервые поверхности типа К 3 появились в 1821 г. в работе Френеля по геометротеской оптике. См.Гз].

В 1835 г. ояЕ снова переоткрыты Гамильтоном. Поверхности Кумера, т.е. поверхности степени 4 в СР с 16 двойных особы-точек встречается у Куммера,

- А Ч-

Потом эти поверхности изучались Кэлли, Корданом в Клайном» Кэлли и Боршар доказали, что поверхность Куммера накрывается двулистно абелевым многообразием. См.13].

Все исследования по геометрии поверхности типа КЗ XIX век содержатся в книге Хадсона. См.[27].

Поверхности типа КЗ изучались итальянцами. Они впервые построили бесконечную серию поверхности типа КЗ с разными кла сами поляризации.

В начале 50-х годов Севери впервые обратил внимание на то, что используя отображение периодов можно изучать многообразие к дулей поверхности типа КЗ •

А.Вейль впервые в явном виде сформулировал три гипотезы, а именно он писал в [15]:

"Для КЗ поверхностей, матрица пересечения двумерных циклов имеет сигнатуру (19.3), определитель -I и четна (т.е. самопересечение любого цикла четно); следовательно^ существует в точности один двойной дифференциал первого рода; если мы назове его (р , тогда мы должны иметь ¿У* О , [) в

; если мы предположим (что кажется весьма правде подобным), что все многообразия КЗ (алгебраические или нет) составляют одно связное семейство, то канонический класс долже! быть нулем, поэтому ф +0 ъФфгО везде; это влечен что комплексная структура полностью определяется по У •

Наоборот, пусть дано дифференцируемое многообразие такого типа, комплекснозначная форма <р степени Я , удовлетворяв щая О , (рК О и <Р¥>? 0 повевду» это опреде-

ляет комплексную структуру. Кажется весьма правдоподобным (но нелегко доказать), что две такие формы о одинмковыми периодами должны определять комплексные структуры, которые могут быть пр

образованы друг в друга дифференциальным гомеоморфизмом, гомотопным товдественному; что все такие структуры кэлерови и что периоды ф не должны удовлетворять каким-либо дополнительным условиям, помимо тех, что следуют из соотношений с/У- О .

Эти гипотезы, которые были также независимо выдвинуты Ан-дреотти) могут быть выражены следующим образом. Пусть ¿>- класс таких структур, причем две структуры принадлежат одному классу в том и только в том случае, если они могут быть переведены друг в друга дифференциальным гомеоморфизмом гомотопным тождественному. Пусть (1) минимальная система образующих двумерной группы гомологий с целыми коэффициентами; ^ такова как описано выше и пусть - её период, соответствующий циклу

(Х - ; пусть Р точка с однородными координатами (Ф _ р ) в комплексном проективном пространстве размерности 21. Пусть 3 - симметрическая билинейная форма от х -

и >•••> ^лх) - матрица которой есть

матрица пересечения циклов €1{ . Тогда условия с1Ч)=0 , (рК 0 влекут, что Н открытое подмножество однород-

ного пространства размерности 20 для ортогональной группы, определенной вещественной формой . Теперь, если мы сопоставим каждому классу -,9 структур описанного типа точку мы получаем отображение множества всех таких классов в // ; и Ниренберг, при помощи рассуждения, использующего технику Ко-даиры-Спенсера и технику теории эллиптических операторов доказал, чфо образ этого множества в Н открыт. Гипотезы, сформулированные выше, утверждают, что отображение взаимно однозначно в на все Я .

Локальная тзорет Торелли для поверхностей типа Добыла

доказана Г.Н.Тюриной, а также Андреотти и А.ВеЙлем. Глобальная теорема Торелли для алгебраических поверхностей типа КЗ была доказана Пятетским-Шапиро и И.Р.Шафаревичем в 1970 г. Повторяя дословно доказательство Пятетски-Шапиро и Шафаревича, Берне и Рапопорт доказали глобальнцю теорему Торелли для всех поверхностей типа КЗ , используя критерии Бишопа, по указанию Деликя. Таким образом была доказана первая из гипотез Вейля. См.(lj,[8J.

Теорема об эпиморфизме отображений периодов для алгебраичес ких поверхностей типа КЗ была доказана Куликовым B.C. Для этого частные случаи в этом направлении бшш получены Хорикавой, Шахов/ и Тодорошм А.Н. См. [36j,t7],[37j.

Теорема об эпиморфности отображений периодов всех поверхностей типа Kl была доказана Тодоровым А.Н. в 1979 г* Впоследст-вие эта теорема была передоказана Сю (с ошибкой, которая была и< правлена Бовилем), Лоенгой и Намикавым. См.

Доказательство кэлеровости КЗ поверхностей было дано автором с пробелом, заполненным Сю. См.C9J.

Теорема, доказанная в главе 2, обобщает критерий Майшезона Накая, когда класс когояологии типа (S,i) не целочисленный и мн гообразие поверхности типа КЗ . Частные результаты в этом направлении были получены Бургинионом. Он вычислил, в частности, инфинитезимальные деформации метрик Эйнштейна на поверхности ти па КЗ . См. [213.

Изометрические деформации впервые для КЗ поверхностей бь ли введены Н.Хитчином. Изометрические деформации это так называемое пространство твистеров Пенроуза. Cm.[I4J,

Несколько слов по поводу проблемы Торелли. Глобальная теорема Торелли в случае кривых впервые строго была доказана Андр< отти, а также А.Вейлем.

В своем пленарном докладе на Мировом Конгрессе Математиков в Нице, Ф.Грифитс поставил следующий вопрос:

"Верна ли глобальная теорема Торелли в случае односвязных поверхностей общего типа".

В главе 3 дается отрицательный ответ на этот вопрос. Другие контрпримеры, используя метод конструкций автора, были построены Бовилем.

г

Поверхности с а4 , и {К изучаличь Энри-

квесом, Бомбиери и Катанезе. См.[16],[173-

Поверхнооти 0 • ср= 0 и 8<(КХ)б? изучались Д.Морри-

соном и Уоуи. См. [23] и [19].

О.Дебаррв и Ф.Катанезе изучали поверхности-с { , О и (К3)'& . см.СшЗ. д

В.Кынев первый заметил, что некоторые поверхности с „

_ п I *

Ц*0 и СК)*£ дают контрпримеры к локальной пройлеме Торелли. Полное описание этих поверхностей дано в главе 3. См.[283 и

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1) Burns D and Raooport M. "On Torelli crobl-m for Kahlerian K3 surf sees", Am. £ci. E NS, 8, 1^75, 235-274. .

2) Chern S. "Comdex manifolds". Chicago Univ., 1937

3) Frenel A. "Supplements au memoire but double refraction" Oeuvres Completes t II, 1321, 243-367.

4> Griffiths Ph. "Periods of integrals on Algebraic manifolds HI" IH.E.S. Publ. Math., vol. 38, 1970, 123-180.

5) Griffiths Ph and Harris J. 'Principles of Algabraic Geometry" John Uiley & Sons, New-York, Tcronto, 1978.

6) Kodjira K., Morrow J. "Comdex Manifolds" Holt, Rinahert and Winston Inc., New-Ycrk, 1971.

7) Kulikov V "Degenerations of K2 surfaces". Math. USSR, Uv. II, 1377, 957-989

B) Piateckii I. and Shafarevich 1. R. "A Torelli theorem for algebraic K3 surfaces"

Msth USSR, Izv., 5. 1971, S47-538

9) Siu Y.T. "Every K3 surface is Kahler" lnv. Math. 73, 1933, 139-150. "

10) Siu Y.T. "A simple proof of the surjectivity of the period map of K3 surfaces" Manuscript» Math. 3&1931>, 311-321.

11) Namikawa Y. "On the surjectivity of the period map for K3 surfaces", in "Classification of Algebraic and Analytic manifolds" Progress in Math. 39,' Birkh»user, 1983.

12) Yau ST. "On Ricci curvature of compact Kahler manifold and the complex

rtonge-Amcer eauation,t" Comm Pur« and Applied Math., 31, 1978, 229-411.

13) Hitchin N "Compact four-dimensional Einstein manifolds" 3. of Diff. Geom ,1974, 435-441

14) Atiah M, Hitchin N, Singer I. "Self-duality in four dimensional Riemannian Geometry" Proc. Royal See London, Ser A, 362, 425-461*

15) Weil A. Collected capers, Berlin-HeidalBera-New-York, Springer-Verlag, 1979, vol 2. 393-355

16) Bomeieri E. "Canonical models of surfjees of general tap«" Puol Math. IhE.S., vol 42, 447-495.

17) Catanasa F; S-rfacei with c$*'K'mui and thair period mapping-;, Springer L.N. in Math, vol 732. 1379, 1-29

18) Catar.asa F. Cabarre 0 "Surf aci» nith q«0. og»l" preprint Crasy

2

19) t'Jui S "Fined rf.ip cf sorties» witn p9oCj"»l and K »mola" Mam. F«= Sci Kccr.i Univ 'Math. 2-.1531), 37-73.

20) "Gecmetrie de* surfaces <3 modules et Periods" Asterisaue N126'.1985).

21) Eesie A. "Eirstein Manifolds" Springer-Verlag, Heidelberg-Berlin-New York 1537

22) Morrucn D. "Seme remarks on the moduli of K3 surfaces" in Classification of Algecraic and Analytic manifolds, Progress in Math. vol. 39, Birkhauser, 1993.

23) Morrison D "TCdorov surfaces" in Advances in Pure and Applied Math, vol 10(19S6>.

, Список опубяихованых работ па результатам лисеотаций.

1) Algebraic Бит faces with Pg»l and (К2Ы. ArtoeitstudLng 1978, preprint of U Dorr» University.

2) Moduli of КЗ surfaces. ArbeitstudLng 1979, preprint of the Bonn University

2

3) Algebraic surfaces with Pg»l and ОСЫ, Алл. Ecale Norm. Suoeriarr vol 1(190 fasc. 13. 1-21.

4) Applications of Kahler-Einstein-Calabi-Yau metric to moduli of КЗ surface Invent »ones Hath. vol. 61 <19BQ>, 2S1-263.

2

5) A construction of surfaces with pg«l. <j=Q and 2< CKK б (counter examoles i Global Torelli problem), Inventiones Math, vol 63 (1981). 287-304

6) Нои many К abler metrics has a КЗ surface? Arithmetic and Geometry, volume honor of I. R Shafarevich, Birkhause. Boston- Basel- Stuttgart, volume II, 1983,45 465

7) Generalized period map for КЗ surfaces Toixfco Journal of Math vol 39(196 N3. p. 341-363.

caaai