Метризованные распределения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

^ Л 3 %

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРЛСШП) ЗНАМЕНИ ~ ■ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правят рукописи

КОРЯКИНА ЕЛЕНА ЕВГЕНЬЕВНА

МЕТРИЗОВАНИЕ РАСПРЕДЛЕНИЛ 01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени канцидотя физико-математических пауте

Казань - 1992

Работа выполнена в Томском Научно-исследовательском институте прикладной математики и механики

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент В,В.Слухаев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Широков А.П.;

кандидат физико-математических наук, доцент Сосов Е.Н.

Ведущая организация - Московский педагогический государственный университет.

Защита диссертации состоится ^ЖР)" (ХИр^^-С 1992 г. часов на заседании с п е циа л и з и ровашгого совета

К 053.2P.D5 по присуждению ученых степеней по математике в Казанском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени В.И,Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г.Казань, уд,Ленина,18, ауд. 217.

С диссертацией можнс ознакомиться в. научной библиотеке университета (г.Казань, ул.Ленина,18).

Автореферат разослан " М "... 19Э2 г.

Учоный секретарь специализированного совета (£¿¿¿4/— Б.Н.Шапулов

ОБЩАЯ ХАРШЕПКЯИКА. РАБОТ!!

. л ,

Актуальность тепы. Теория распредел«ний возникла как об. б-шение задач теоретической механики (динамика неголономных систем) и дифференциальной геометрии (теория поверхностей).

Распределением ил дифференцируемом многообразии називае.^я векторное подрасслоенио его касательного расслоения. Распределение называется неголономнкм (или неинтегрируемкм), если на мю-гообразии но сушестаует слоения, касательные пространства слоев которого совпадают с плоскостями изданного распределения. Дифференциальная геометрия распределений возникает при задании на распределении дополнительной структуры: метрики или связности.

Большом вклад в теорию распределений внесли Д.М.Синцов, Г.Врэнчану, Я.А.Схоутен, В.Б.Вагнер. Геометрии векторных полой, тесно связанную с теорией распределений, рассматривал С.С.Бш-генс. И в последние десятилетия многие исследователи посвящали свои работы теории распределения: Г.¿.Лаптев, А.П.Широков, В.Г. Луадста, Д.Е.Евтупмк, НЛ.Остнану. Теория векторных полей нашла, свое продолжение в работах Г).А.А:/инопа, В.В.Слухаева.

Во всех этих работах предполагалось, что кроме метрики и связности задана еш-э и структура почти произведения, иначе говоря, распределение предполагалось еще и оснякеннш, Внутренняя геометрия распределения (В.В.Вагнер) понималась как совокупность свойств, которые зависят как от метрики внутри локальных касательных пространств и параллельного перенесения касательных векторных полей вдоль интегральных кривых распределения, так и от его оснащения. Поэтому представляет, несомненно, научтгй интерес и актуально исследование геометрии распределения без заранее заданного оснащения. Как показано з данной работе заданна метрики и связности на кеголононном распределении нк-чрипнтно определя'т его оснащение. Поэтому естественно называть внутренней геометрией распределения совокупность свойств, зависящих только от связности и метрики, заданных на саисм распределении.

Цель работы - исследовать локальную внутренних) геометрия распределения на дифференцируемом многообразии, определяемую только заданием метрики и связности на само« распределении.

Научная новизна, практическая и теоретическая ценность. Впервые исследуется распределение без заранее заданного сснп^з-ния. Доказывается, что метрика и связность на распределении по-

- _

роадаог инвариентное оснащений, В силу этого появляется возможность исследовать те свойства распределения, которые зависят только от метрики и связности.

Результаты, полученный в диссертация, имеют теоретическое значение и могут, бить применены при исследовании распределений и при чтении спецкурсов по теории распределений.

Апробация диссертации, Основные результаты работы докладц-ьали'ь на заседаниях геометрических семинаров Томского университета (1981-1991 гг.), МГУ (1981 г.), МПМ им.Ленина (1902 г.), Харьковского университета (1957.г.), докладывались на Омской областной математической кон^ренции (1981 г.), Всесоюзные школах-семинарах "Оптимальное управление. Геометрия и анализ" в г.Кемерово (1985, 1938, 1990 гг.), докладывались на заседании геометрического семинара Казанского университета (Ï99I г.).

Структура ц обг-ем работы. Диссертация состоит из «ведения, двух глав, включаоишх 12 параграфов,« списка литературы из 47 наименований и изложена на 75 страницах машинописного текста.

Результаты диссертации опубликованы в девяти работах. Из совместной работы п диссертация включены только ре-оультатн, полученный автором.

СОДЗЖИЖ РАБОТЫ

Во вьедении обоснована актуальность темы, положена история вопроса, кшлечена цель и приведены основные положения н вывода диссертации.■

Все результаты в работе носят локальный характер, то есть справодялш в некоторой окрест ;ос?к точки дифференцируемого многообразия, где все всяречагоакэся функции достаточное число раз дифференцирует. Работа ытоянена с использованием метода внешних: форм'« подвижного ponspa Каргаиа, а таккэ аппарата векторных полей.

В нерпой главе, которая состоит ио се.ми параграфов, рассматриваются метризованные двумерные распределения à - аядашше на трзхнорнси дифференцируемом многообразии М^. Вводится понятие метрики но. распределении и исследуются то енутршшкэ своАстпа распределения, которые зависят от метрики.

В 5 I рассттрипаютск допустимые преобразования яокаг.ыюго бозис.а касательного пространства многообразия И,4. Пусть (¿1) |»но.ч«стро допустимых векторнше полой-ссчэпиР пэдрасслоеняя /.)

касательного расслоении ТМ^. Метрика на рас; ¡ределотш Л определяется как билинейно* отображение на множества С ' (Л") о cöm-ииия сзойстваг."я: У)а ), tX)fx ><9.

Локально распределение но.тно задать ди,г>';еронц.;альчой фор-» моП (W такой, что (й(Х)-О, УА £ . wopm ла-

дана с точностью до обдрго К-НСЖИТ8ЛЯ. Заданна метрики на ресгре-деленин пгиподкт к возможности нормирозки фор«; OJ . Tai: как распределение докагькэ всегда ориентируемо, ка метр!?<ч»аннп:5 ряс.прздо-тен'/.'д иоздо шбрать класс прав«/. оргоноршросэдшых базисов. Усйох-ийк ¡'.орп'.розк:'. форта; будет узлогае СО ( [л , У ] ) = - X для зсе>: npir-nx op?oj'ор-шровагод-гс Саэксоа Х,У . Тог.т* усло-г>;;сн л^ого, транегерез.тигзго р?епрС!Д0ЛС!п::з, ncv:vop«o-

го поля if б'удот условно Oj(2) з

Крок.> того, M'Tp^o'izr.m рзспрздол-гнкя пэзаоляот определить кнп1р;:ачткг.-> эг.:пг,сг;и елодук'П'Л! обраасч.

Тоорг':п I. Згги распределений метриогтко, го cyms'Jrnycr одглшг.тг.'.'ло^ аехгорпоэ пол? р, удое,чет eopnosw еяедг/гоц^м уоло-

ч.) (С(Р) - /

для va::c Af'C" (А).

Ввктсриоо по-тэ Р буд.-< называть иетричзским осиадс-нион распределения.

По любому, трансп-ерсальному распределения, векторному полю иоячо построить рщ-пнпгу метрику на псэм многообразна Н^, которая im ра!мрздсл'ж:и совладает с заданной метрикой ß . Для итого достаточно ,:олзл.йгь векторное поде единичным яо длино и орто-гоичльннм плоскости« распределения в к&кдоХ точке. Метрику, про-дохтенкуп по «отрйчэскону оенздеиг.» Р, будси иазнзать канонической.

Для того, чгоби дать более полную характеристику метрическому оскшаенк», 5 2 посвяден ашэоду уравнений Эйлера-Яагрзи-га для подвижного ропера ршанова многообразия. Как известно^ реез-:тяш уравнений Эйлера-Лпгранта с лагранжианом SC ~ \fciS£ шлггэтея геодезические линии, кратчайшие (локально) среди все-зоэчожши кривых, соединяющих фиксированные точки. Доказана •

- б -

Теорема ?., Распределение плоскостей, ортогональных единичному векторному полз У , инвариантно относительно локальной однопараметрической группы диффеоморфизмов, порожденной векторным полем <5 тогда и только тогда, когда интегральная кривая поля ^ является геодезической кратчайшей римановой метрики.

В § 3 доказаны следующие геометрические характеристики метрического оснащения: I) интегральные кривые метрического оснащения являются геодезическими канонической метрики, 2) дивергенция метрического оснащения равна нулю, 3) в произвольной продолженной метрике многообразия И^, построенной по метрике на распределении ^ и нормированному полю X, справедливо равенство ю1Х = Р .

В 5 4 рассматриваются .киллинговы поля распределения. Векторное поле X назовем инфинитезимальной лзометрией или киллинговым векторным полем для метризованного распределения, если локальная однопараметричзскап группа диффеоморфизмов, порожденная полем X в окрестности .каждой точки , состоит из локальных

изометрий, то есть сохраняет локально распределение Л и метрику на распределении ^ . Среди нормированных векторных полей таким свойством мокет обладать только метрическое оснащение, гак как именно оно, в силу условия ($) теоремя I сохраняет распределение. Чтобы метрическое оснащение било киллинговым для своей метрики р , должно выполняться еаз условие Ьр о - О .

Рассмотрим вырожденную риманову метрику многообразия Ма, которая на распределении совладает с заданной метрикой ^ , а изотропным векторным .полем для которой является метрическое оснащение Р. Доказана

Теорема 3. Следующие два условия эквивалентны: (а) метрическое оснащение является киллинговым для своей метрики £ ,

(б) существует связность без кручения, согласованная с вырожденной метрикой многообразия М3, построенной по метрике и полю р.

Распределения, обладающие килдиигсвым полем, будем называть локально-изгибаемыми. В силу доказанной георемы неизгибаоми те распределения, которые "оакручзки".

В § 5 вводятся_понятг.е формальной второй квадратичной формы распределения как Ц - £ . Определяются формаиьн. з асимптотические линии и .лшшн кривизны первого рода. На касательных вен-

торных полях к асимптотическим линиям формальная вторая квадратичная форма обращается в ноль. На касательных векторных по.'-,к к линиям кривизны первого рода - имеет экстремальное значение. Определяется такие формальная полная кривизна и главные кривизны,

В 5 б рассматриваются геодезические кратчайшие метрики'wi распределении, то есть интегральные кривые распределения, дающие минимум длины (локально) среди всех интегральш« кривых,.соединяющих фиксированные точки. Доказана-

Теорема 9. Геодезическая кратчайшая продолженной метрики на многообразии Мд, идущая в любом касательном направлении, будет интегральной кривой распределения (а, следовательно, геодезической кратчайшей метрики на распределении у ) тогда и только тогда, когда продолженная метрика является канонической и метрическое оснащение является киллинговым для своей метрики Q .

В общем случае это не справедливо. Однако доказан результат, аналогичный результату А.А.Козлова. А тленно: геодезические кратчайшие любой продолженной метрики, пр., стремлении последней к метрике на распределении, становятся интегральными кривыми распределения. Часть геодезических кратчайших всех продолженных метрик (в.каждой точке таких метрик двупараметрическое множество) в пределе совпадают и, в результате, в каждом касательном направлении проходит однолараметричзскоа множество геодезических кратчайших метрики на распределении.

В §'7 рассматриваются распределения в евклидовой пространстве. Доказывается существование распределений, для которых каноническая метрика совпадает с евклидовой. Поясняется возможность определения формы LpQ как второй квадратичной формы. Лояо в том, что асимптотические линии и хинин крнвиэ'гы первого рода п евклидовом пространстве получпюгсл из обращения в ноль и экстремалей второй квадратичной форми " (d/ь. ¿{ь) , где Л -- нормальное в евклидовой метрике юеитошоя попе. Но о?у г.<з мо-руи квадратичиуо форму можно предстает, еще н как Lf. Q , гдо ^ - лроехтт евкяидоьой па распрэделемг.е.

Обношэ асимптотические ли'тн, линии кривизны мерного рлда полная кривизна распределения зависл? от метрики на распределении н осттенмя . Л » <5ар.м<лльнна ».симитотячесниа и линии крквиз-№1 первого рода зависят только ov метрики пч райпрзделчжп;.

Глава вторая, состоящая яа пчтч параграфе :-s, поствдона евяя-ностяч, задшпшн на «огриэор.юточ роснрпдежяиич п ипяярмозгпп'м

- в -

образом, продолженным на псе многообразие М^.

В § I вводится неголоноына« связность V , как отображение V • С (Л С ' (¿\) С'"'' (£) , удовлетворяющее обычным условиям линейной связности. Эта связность не будет евяз-ностьо на векторном расслоении, которая определяется как отображение V± : ТМ^ С А ) и зависит от оснащения. Ноголопсмную связность ыо;,'но задать при почоци козфрициенгов связности Г^ , похэкгв X* ~ Г*, Лг , где не симметричные по н-иним индексам функции точки, при допустимых преобразованиях главы первой, преобразующиеся как коэффициенты связности.

Для нсголономной связности не определено когариантное дифференцирование допустимых векторных полей вдоль полой трансвер-сальньог. Следовательно, тензор кривизны в обычном с»отеле опре-делгп- нельзя, но мо»ю определить тензор кручения. Он представляет собой векторное поле, всегда трановерсальноо распределопию. Доказана

Теорема 2. Для метрике» ванного расяредеяешя, осиашенмого произвольным нормированным полом 'Г, существует ёдинстюшг.я Связность, согласованная с метрике/ ^ , кручение которой рщно заданному векторному поля Г,

' Хотя тензорное поле кривизны построить для такой ссяоиоггк нельзя, удается построить гедторко? поле крипизны. йто пол<з принадлежит распределению и сбрацяшо его координат в ноль является необходимым и достаточном условием существования плоской неголо-номной связности, кох'да параллельное перенесение допустимых век-горных. полей вдоль иитеграяьних рявых не зависит от пути. Это поле называется полегл внутренней кривизны V; обозначается

3 § 2 рассматривается еоэмояиость построить линзкнуы связность 7 на всем многообразии ¡-Ц так, чтобы на -распределении ¡эта связность совпадала л ноголоиомпой связность« V и -,'Прзде-лялась ба ей. Тогда тензор кривизны связности У будет характеризовать связность V . Связность эта строится согласованная с произвольной продолженной метрикой, при стремлении последней к метрике яа распределении О . Поэтому полученную искомую связность будем называть предельной. Чтобы существовала предельная связность, продолженпзш метрика, с которой согласуется связность, должна бить метрикой канонической.

§ 3 посвяшзн тбизору хриаиэнн предельной связности. В с,!лу особенности построения связности часть компонент тензора кривизны рапна нулп. Отличные от нуля компонента разбивается на отдельные блоки и поззоляв"1 дать следующие характеристики. Тройка ¡сом-коиент образует пнларнантное векторное поле, в обком случае, трансЕорсйльно<з распрздоленлл. Обращение этого поля »'нуль является условием абсолютного параллелизма распределения Л в г»яз-ности V . сто поле будем называть полей внспнеЛ кривизны и обозначать <5 . Между полями внутренней и ЕнепноГ; крпэизкц распределения с обшим тензором кручения V существует спязь £ » = S ~ tOl- (KiX^X^P) , ^гдэ К (^-f, /¿j римочова кривиз-

на связности D друмсрноа направлении, а именно: з :;пярз.?,ле-нии плоскости распределения.

Остальные, оттаччъз от нуля компоненты тензора крпьизмк образуют оператор и билинейную форму, обзиз для всех првдадьиьэс срязностай. Оператор имеет только одно вещественное себстгзекясе значение. Соотлетству/лцео &iy собесвоннбе векторное параллельно переносится вдоль любой кризов, ядукзй г» кастге.мяк-м направлении. Квадратичная форма, соответствующая билинеаюй, определяет риманову криптону предельной связности в двумгр.млм дапрчзде-нпи (?,Х), где Р - метрическое оснащение , а X - дояусетшоэ векторное поло. _

В 5 4 определяется линии кривизны предельной езязности Ч . Определяются так, как я евчладовом пространстве определяется ли-шги кривизны второго рода. А именно: кая интегральные кризис собственных некторнж полей оператора Vx Р , принадлежащих распределению. -В ен.-слидовеч пространстве такие кривые, для оператора .ty /I , не сорпадавт с линиями кривизны первого рода. Интегральные кривые собс'гзенпых полей оператора Ч' Р ярляйтся.по-перзьгх, обпиш для всех продольных сгязкостей, ио-эторше, совпадают с фор.малыпг,'и линиями крпаиэнц первого род?.', определенном я первой глаго. С то'-пи зрения внутренней геометрии линии кривизны метрики ЯПЛФ9ТСЯ и линиями кривизны СВЯЗНОСТИ.

В г 5 ¡¡сслелувтея геодезические примейсич предельна связ--юстой, то есть интегральные кркзне векторного поля X, при сме-ле-•ив лдоль катер«« вмгоячяегсл раявнегрэ Д ~ О . 'Дсклзызает-ея, что клипая геодезическая кратчайшая метрики (j лиляотся •еоцезичеекой прямейшей соответствующей предельной связности.

Г; общем случае, из верно. Найд<п-:н услопил к каком слу-

- ТО -

чае геодезическая прямейшая является геодезической кратчайшей. Предельную связность V' , построенную по векторному полю Т«Р, назовем связностью канонической. Доказана

Теорема 7. В случае изгибаемого распределения каждая геодезическая прямейшая канонической связности, идущая в касательном . направлении, является геодезической кратчайшей метрики на распределении ^ и наоборот.

В заключении дается пример локально изгибаемого распределения на дифференцируемом многообразии.

Еьиош. На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:

1. Доказывается, что задание метрики на распределении дает возможность нормировки векторных полей, трансверсалышх распределении. Найдено инвариантное оснащение распределения, определяемое метрикой на распределении. Определены свойства этого оснащения.

2. Найдены условия локальной изгибаемости распределения. -

" 3, Найдены распределения в евклидовом пространстве,для которых каноническая метрика совпадает с евклидовой.

4. Построена неголонсмная связность на распределении. Определены для нее векторное поле кручения и векторное поле внутренней кривизны.

5. Построена предельная связность на всем дифференцируемом многообразии Ид, согласованная с канонической метрикой и на распределении совпадающая со связность» неголономной. Изучен тензор кривизны предельной связности.

6. Доказывается, что линии кривизны, определяемые* метрикой , совпадают с линиями.кривизны» опродев мыми связностью. Доказывает ся, что каждая геодезическая кратчайшая метрики на распределении является и геодезической ярямейше,, некоторой предельной связности. То есть во внутренней геометрик не происходит того расцепления свойств интегральных кривых, какое наблюдается у оснащенных заранее распределений.

РАКШ АВТОРА,' БЫПОЛНЕННКН ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Корякина Е.Е. Связности на неголономном многообразии,// Гвом.сб. Томск: Изд-во Том. ун-та,-1984г Вып.24г С.26-31.

2. Корякина Е.Е. Вывод уравнений Зйлэра-Лаграниа в подвижном репере. // Геом.сб. Томск: 1!зд-во Toi!, ун-та,-1985,- 1_;п.25.-

■ С,24-26.

3. Корякина Е.Е. Связность п метрика на пфаффовых «ногообра-

зиях. // Тез.докл. / Всесоюзная шк. "Оптиы. улр, Гэонетрия и анализ ".-Кемерово, 1968р С.59-60.

4. Корякина Е.Е,, Слухаев В.В. Связность и метрика на пфаффовых многообразиях.// Геом. сб. Томск: Изд-во Том. ун-та,-198?г Вып. 27С. 13-24.

5. Корякина Е.Е. Преде, ¿ныв связности на'пфаффовых многообразиях. // Геом.сб. Томск: Изд-во Том.ун-та,-1988,-Вып .29.3,34-40.

6. Корякина Е.Е. Киллинговы поля на пфаффовых многообразиях.// Геэ.докл./ Всесоюзная шн. "Оптим. упр. Геометрия и анализ"гКемерово , 19Шг С.-24-25.

7. Корякина Е.Е. Геодезические кратчайииэ метризованного эаспределения. // Тез. докд, / Всесоюзная шк. "Оптим. упр. Гаопет-рня и анализ "-Кемерово, J990.-G._36.