Усреднение задач оптимального управления системами с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

- ^ ! 1нститут к1бернетики ¡мен! В.М. Глушкова * « Нацюнально? академн наук Укра'ши

На правах рукопису

КОГУТ Петро 1.шич

УСЕРЕДНЕННЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ СИСТЕМАМИ 3 РОЗПОД1ЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ

01.01.09 - вар1ацшне числення та теор1я оптимального керування

Автореф ерат

дисертацц на здобуття наукового ступени доктора ф1зико-математичних наук '

Кшв - 1998

Дисертащя е рукописом

Робота виконана в Дншропетровському державному техшчному ушверситет! загазничного транспорту (ДПТ)

Науковий доктор ф1зико-математичних наук, професор

консультант: €горов Олександр Гванович, кафедра вищоТ

математики, Московський фЬико-техшчний ¡нститут

Офщшш доктор ф1зико-математичних наук, академж HAH

опоненти: Укра'ши Пшеничний Борис Миколайович, завщуючий

вщдтом чисельних методов оптим!зацп, Гнститут прикладного та системного анал1зу HAH та MiHicrepcTBa освпги Укра'ши

доктор ф1зико-математичних наук, професор Плотиков BiKTop Одександрович, завщувач кафедрою оптимального керування та економ!чноГ кибернетики, Одеський державний ушверситет ¡меш I.I. Мечшкова

доктор ф1зико-математичних наук, професор Паюсов Олександр Андршович, кафедра вищо'1 математики, Вшницький педагопчний ¡нститут

Провщна КиТвський ушверситет ¡меш Тараса Шевченка,

установа: кафедра автоматизованих систем.

Захист вщбудеться "^jjL" Щ_1998 року о годин!

на засщанш спещал1зовано'1 вчено'1 ради Д 26.194.01 при 1нституп юбернетики iM. В.М. Глушкова HAH Укра'ши (252622, Кшв-22, проспект Академка Глушкова, 40).

3 дисертащею можна ознайомитись в науково-техшчному apxiai шституту.

Автореферат розклано " (И_1998 року.

Вчений секретар спег»ал1зовано1 вчено! ради

r^jz.-s Мо1сеенко B.B.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

В дисертацшшй робот! розробляються математичш методи теори усе-реднення задач оптимального керування в системах з розподшеними параметрами при обмеженнях на функци керування та фазов1 3MiHHi. Основним об'ектом дослщження висту пас задача оптимального керування, компонента математичноТ модел1 яко'Г (в т.ч. функцюнал якосп, р1вняння стану, множини обмежень) можуть довшьним чином залежати вщ "малого" параметра s. Вщомо, наприклад, що основною складовою математичних моделей керованих процеав в сильно неоднорщних середовищах е диферен-uiÜHi р1вняння в частинних похщних з швидкоосцилюючими коефвден-тами. В цьому випадку малий параметр е пов'язують з маштабом неодно-р1дносп середовища (зокрема ним може бути перюд м1кроструктури). [нтерес до такого класу задач обумовлений не тшыси потребами практич-них застосувань в теори пружност) i пдродинам1'ки, в теори гетерогенних середовищ i композитних матер1ал1в, в теори фшьтрацп та шших задачах ф1зики i мехашки, але й внутршшми потребами математично! Teopi'i оптимальних систем з розподшеними параметрами. Як правило, обчислю-вальш методи в досшджешп такого класу задач при "малих" значениях s е неспроможними. Про те, з точки зору практичних застосувань, важливо bmith дослщити "поведшку" при г 0 таких задач оптимального керування i побудувати в деякому розумшш граничну (тобто усереднену) задачу. Отже, виникае необх1Дшсть введения поняття граничного переходу на такш множиш об'оспв, як задач! оптимального керування.

Актуальшсть теми. Починаючи з праць Гауса та Пуанкаре, в задачах небесно! мехашки неодноразово зверталась увага на те, що швидко-осцилююч! величини не сутгево впливають на точность розрахунгав траекторий планет, отже, ix можна вщкинути. Такий процес ¡сторично одержав назву усереднення. I титьки багато шзшше в роботах М.М. Крилова та A.A. Боголюбова були наведен! перил достдження щодо математичного обгрунтування процесу усереднення.

Систематичне досл1"дження ф!зичних задач, що призводять до необ-худаосп усереднення pictwiib з частинними noxiдними, було розпочато на початку 70-х рогав. Одним з найбшьш важливих фактор1в, який сутгево стимулював розвиток Teopi'i усереднення нескшченновдаирних систем, стало поняття G-iöixHocri диференцшних операторов, яке було започатко-вано в роботах Е. Де Джордж! i С. Спаньоло. На сьогодшшнш день питаниям усереднення крайових та початково-крайових задач присвячено надзвичайно великий обсяг математично!' лператури. Вперше метод усереднення в задачах оптимального керування був застосований в працях М.М. Мокесва. Шсля чого багатьма дослщниками за допомогою цього методу були розв'язаш важлив! для практичного впровадження задаЧ1 керування рухом об'екпв.

АналЬ численних публкацш, що стосуються проблеми усереднення задач оптимального керування, дозволяе умовно вшйлити два самостшних

шдходи до побудови усереднено'1 задач!. В одному вигшдку автори засто-совують так звану пряму схему для знаходження усередненоУ зaдaчi А саме, поклавши в основу математичного апарату методи теорц збурень теорц С- га Г-збикносп, усередненню пщлягае окремо кожне Ь сшввщ-ношень в ВИХ1ДН1Й математичнш модел1 (тобто р1вняння стану, можлив! обмеження, функщонал якосп). В ¡ншому випадку - апарат усереднення застосовуеться безпосередньо до кеобхщних умов оптимальности яким пот1м (якщо це можливо) ставиться у ввдповвдшсть деяка задача оптимального керування. Разом з тим, можна навести багато прикладав, коли означен1 вище шдходи дають неузгоджеш м1ж собою результата. Огже анал!з доступних публжацш з проблеми усереднення задач оптимального керування дозволяе зробити висновок про те, що на сьогодшшнш день теорш усереднення оптим1зацшких задач знаходиться в стали свого становления 1 багато важливих проблем залишаються вдаритими або повшс-тю не дослщженими. В першу чергу це пов'язано з тим, що вщсутня едина концепцш тако"! процедури, як усереднення задач оптимального керування Ьшьше того, немае едино! термшологц з цих питань, а одш й п ж понятгя вживаються в р1зних тлумаченнях (налриклад, такий термш як "усереднення ). Отже, вщсутш аксюматичм основи теорн усереднення задач оптимального керування. В зв'язку з цим багато важливих питань залишаються В1дкритими. Зокрема, що е усередненою задачею оптимального керування, яка и структура та вар{ацшш властивосп, яю умови ¡снування усереднено! задач! та чи буде вона единою, чи залежить структура та оптимальш розв'язки для усередненоТ задач! ввд вибору топологи усереднення та чи можна ошнити м!ру "близькocтi" мгж усередненою та збуре-ною задачами? Актуальною задачею е також застосування обчислюваль-них методов для побудови усереднених задач. Практично вщсутш роботи в яких були б дослшкеш питания cпiввiднoшeння теорн двоУстосп та теоЫ! усереднення оптимвацшних задач.

Таким чином, наведений вище аналв пщгверджуе необхщшсть роз-робки для широкого класу задач оптимального керування единого формализму процесу 1'х усереднення та вщповщного йому математичного апарату.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась згщно з шдивщуальним планом шдготовки докторанта, який Ьуло затверджено на засщанш вченоГ ради университету (протокол № 3 в!д 16 жовтня 1995 р.).

Мета 1 задач]- дослцження. Дисертащйна робота ставить за мету ввести для широкого класу задач оптимального керування единий форма-Л1зм процесу IX усереднення, запропонувати математичний апарат для побудови усереднених задач, встановити достатш умови ¡снування таких задач, визначити 1'х структуру, варшцшш та тополопчш властивост1.

Наукова новизна результат дисертаци. В дисертацшнш робст пооудован! основи теорп усереднення задач оптимального керування системами з розподщеними параметрами при обмеженнях на функцп керуван-

ня та фазов)' змшш. В якостч нового математичного апарату розроблена теор1я вартцшно! Б-збгжносп задач умовноТ м1шм1заш1. Вперше запропо-новано на множит задач умовно! мЫмвацн в довтьному хаусдорфовому тополопчному простор! ввести поняття вар1ац1Йно! 5-з61жносп. Для цього даеться означения нижньо'Т, верхньоТ, сильно! та абсолютно! вар)ацшно! Б-гранищ, кожна з яких також являе собою певну задачу умовно! шшлизаци. Вказаш гранита задач1 можуть вшр1знятися М1Ж собою як функшею, що м1шм!зуеться, так 1 множимою, на якш шукаеться и мдамум. Довшьний напрямок задач умовно! мш1\доаци пропонуеться назвати абсолютно Б-зб!жним в вар1ацшному розумшш, якщо нижня та верхня Б-граничт задач! ствпадають м1ж собою.

Дослщжено тополопчш та вар!ацшш властивосп Б-граничних задач, встановлено зв'язок запропоновано"! вар1ацшно!' 5-зб1жност1 з тополопч-ною збшшстю звужень нaдгpaфiкiв вщповщних функщй.

В тополопчних просторах, що задовольняють першш акаом! зл1че-носп, дано етвалентне означения Б-границь в термшах зб1жних послцдов-ностей. Встановлет достатш умови, при яких довшьний напрямок задач умовноТ митшаш! е компактним вщносно вархацшно! 5-зб1жностк В бака-хових просторах одержано узагальнення цього результату на випадок слабких та *-слабких тополопй.

Для вар1ацшних Б-границь дано формулу Тх подання через пото-чечну зб!ЖН1сть перетворень Моро-1оада, що робить можливим застосу-вання обчислювалышх метод1В для '¿х знаходження. У випадку нормаль-них тополопчних простор1в одержано анал^тичний вид для вар1ацшних Б-границь послщовностей задач умовно! мтаьнзацп.

Проведено тополопчний анализ вар!ацшно! Б-зб^жносп. На множит задач умовноТ мшкчпаш!, як1 розгладаються на локально компактних просторах, побудувано хаусдорфову тополопю, зб1жшсть в якш екв1ва-лентна абсолютшй вар1ацшшй 8-зб1жнога. Встановлено достатш умови, при яких довшьна множина задач умовно! мппм1зацп буде тополопчним компактом. Показано, що у тому випадку, коли вихщний тополопчний проспр е сепарабельким 1 метричним, на множит задач умовно! минмь зацн можна побудувати. повний компактний сепарабельний метричний фактор-проспр. Отже, в даному випадку абсолютна пар^ашйна 3-зб1жн!сть довшьного напрямку задач умовно!' мшмзацп буде еквшалентна и зб1ж-ност! у побудованш метрицк

Для довшьного напрямку вар1ащйних нер1вностей в гшьбертових просторах введено поняття С-зб1жност1, яке визначаеться як слабка збгж-шсть Ух розв'язк1в до розв'язку гранично! вар!ашйноУ нер1вность Встановлено достатш умови, при яких вар1ацшна 8-збшшсть задач умовноТ «.ншмизаш! забезпечус 0-зб1Жшсть вщповщних вар1ацшних нер1вностей.

Для опуклих задач умовноТ мпнм1зацГ1 запропоновано подальший розвиток теорп двоТстогп. 3 щсю метою для класу опуклих функций, що шдлягають мшм1защ1 на заданих множинах, введено поняття М-поляри,

яке узагальнюе класичне означения спряжено"! за Фенхелем функцй. Встановлено оластишсть М-двоютосп мгж множиною опуклих функцш та IX апроксимацш Моро-1осща. Одержано аналггичне подання нашвнепе-рервних знизу регуляризацш довшьних функщй на замкнутих пщмно-жинах.

Встановлено взаемозалежнють М1Ж Б-зб1Жшстю довшьного напрям-ку опуклих функщй та секвенцшною 5-зб1жн1Стю вщповщного напрямку \х М-поляр. Отримаш достатж умови, при яких 5-границя вихщного напрямку буде бшолярою до S-гpaниц¡ М-спряжених функций. Побудована комута-тивна д!аграми обчислешя 5-границь в слабких тополопях на лшшних нормованих просторах.

Показано, що перехщ вщ вихщноУ множини задач умовноУ мшмь защУ до вщповщного напрямку двоУстих (М-двоУстих) задач в загальному випадку не буде неперервним вщносно запропонованоУ вар1ацшноУ Б-зб!жносп, тобто Б-граничш задач1 для вихщноУ та спряженоУ множини не будуть взаемно отряженный. В зв'язку з цим для опуклих задач умовноУ мшьизаци введено^ понятгя вар1ацшноУ М5-зб1жно<гп, при якш вар1авдйш Э-границ! в слабкщ та сильнш тополопях ствпадають мш собою (хо.ча в загальному випадку це не так). Показано, що операщя переходу до напрямку двоУстих задач е неперервною вщносно введено! М8-зб1Жносп.

Для широкого класу нелппйних оптим1'зацшних задач, що опису-ються нелшшними операторними р1вкяннями в банахових просторах з обмеженнями на функщУ керування та фазов! змшж, складов» математич-ного опису яких'можуть довшьним чином залежати вщ деякого "мультипа-раметра" е, введено поняття Б-усередненоУ I сильно Б-усередненоУ задач. Встановлена структура Б-усереднених задач, одержан! достатш умови Ух 1снування. Доведена комутатнвтсть дааграми переходу до усереднених задач через усереднення Ух апроксимацш. Дослщжеш вар1ацшш власти-вост усереднених задач та Ух залежшсть вщ вибору тополопУ на множит пар "стан-керування". Дано правило для побудови сильно Б-усереднених задач оптимального керування в терминах зб1жних послщовностей допус-тимих пар.

Одержано анаштичне подання для сильно усереднених задач оптимального керування га необхщш 1 достатш умови Ух ¡снування. Встановлено в явнш форм1 усереднену задачу для лшшних елттичних систем керування з квадратичним функцюналом якосп при наявносп обмежень як на фазов! змшш, так 1 на функцп керування, а також для задач оптимального керування коефщкнтами в головнш частит оператора. Показано, що запропонована процедура Б-усереднення мае тшний зв'язок з теор^ею в-зб!жност1 диференшйних оператор!в.

Встановлена безпосередня залежшсть вар1ашйних властивостей усе-реднено! задач1 вщ вибору топологи усереднення. На приклад1 сутгево нелшшноУ сингулярно збуреноУ задач1 оптимального керування показано, що в залежносп вщ вибору топологи на множиш допустимих пар резуль-

татом iï усереднення може бути як задача оптимального керування, так i задача умовно}' мшш'заш. Ця обставина дозволила дати пояснения контрприкладам А.Оро i Ф.Мюрата, як1 вперше поставили шд сумн'т справед-лив1сть прямо'( схеми усереднення в задачах оптимального керування роз-подщеними системами.

На приклад) некласично!' задач! оптимального керування з швидко осцилюючими коефйнентами показано, що запропонована процедура S-усереднення узгоджуггься з асимптотичними методами багатомаштабних разкладень. Встановлено, що нульове наближення за методом Бахвалова в T04H0CTÎ сшвпадае з сильно S-усередненою задачею оптимального керування.

Практична значения одержаних результате. Результата, одержан! в дисертацп, дозволяють для широкого класу задач оптимального керування, що залежать вщ малого параметра i чисельне дослщження яких неможливе, встановити анал1тичний вид усередненоГ (однор1'дно'0 задач!, OIrгимaльнi характеристики якоУ е грани чними величинами аналопчних характеристик для збурених задач. В першу чергу це вщноситься до дослщ-ження як регулярно, так i сингулярно збурених задач оптимального керування, а також до оотишзацшних задач в сильно неоднордаих перюдич-них середовищах. Основш результата дисертацп включено в спецкурси "Системний анал1з та машинне моделювання", "Програмування задач огтш1зацп", "Методи та алгоритма прийняття р!шень", що викладаються на кафедрах прикладно'1 математики i комп'ютерних щформацшних технолог!й в Дншропетровському державному техшчному ушверситет! эал13ничного транспорту для студентов IV-V курав за специальностями "Прикладна математика" i "Програмне забезпечення автоматизованих систем".

Особистий внесок автора. Bei результата, що наведет в дисертацп, отримаш автором особисто.

Апробация результатов дисертацй. Основш положения та результата дисертацп доповщались на 1-й, 3-й та 4-й М1жнародних науково-техшчних конференщях "Контроль i управлшня в техшчних системах" (Вшниця, 1993, 1995,1997 pp.), на 1-й, 2-й та 4-й Украшських конференщях з автоматичного керування "Автоматика-94" (Кш'в, 1994), "Автоматика-95" (JlbBie, 1994) i "Автоматика-97" (Черкаси, 1997), на М1жнародшй математичнш конференций присвяченш гтам'яп' Ганса Хана (Чершвт', 1994), на науково-техшчнш конференци "Аерокосмгчний комплекс: конверсия та технологи" (Житомир, 1995), на Укршнськщ конференци "Моделювання i дошдження ctîhkooti систем" (Khîb, 1996), на 7-й Кримськш осшнш математичнш unconi (Севастополь, 1996), on International conference "Nonlinear partial differential equations" (Kiev, 1997), on International conference "Modelling and Investigation System Stability" (Kiev, 1997), на IV М[жнародшй конференци "Математика, компьютер, образование" (Пущино, 1997), on International workshop "Singular solution and perturbations in control systems" (Pereslavl-

Zalessky, 1997). KpiM того, робота "S-усереднення задач оптимального управлшня нелшшними розподшеними системами" удостоена премн Национально!" академи наук Украши для молодих вчених (постанова Президн HAH УкраТни вщ 12.03.1997 р.). Матер1али дисертаци неодноразово обговорювалися на наукових семшарах кафедри прикладноТ математики Дншропетровського державного техшчного ушверситету зал!зничного транспорту (Дшпропетровськ, 1995-1997), кафедр1 диферен-цшних р!внянь Дшпропетровського держушверситету (Дшпропетровськ, 1997), кафедр! математичного модетаовання економ!чних систем Национального техн1чного университету Украши (Кшв, 1997), в!ддш нелшшного анал1зу 1нститутс прикладного системного анал1зу HAH Украши та MiHOCBira Украши (Кшв, 1995-1997), факультет юбернетики Кшвського Национального ушверситету (Кшв, 1997), шститут! кибернетики имеш В.М. Глушкова HAH Украши (Кит, 1997), кафедр1 вищо!" математики Вшниць-кого педагопчного шституту (Вшниця, 1998), кафедр1 оптимального керування Одеського держушверситету (Одеса, 1998).

Публ1кацй. За основними результатами дисертаци опублшовано 14 статей в наукових журналах, 2 статт! в трудах \пжнародних конференций 1 в зб1рнику наукових праць IK HAH Украши, 11 тез ¡в доповщей.

Структура та об'ем роботи. Дисерташя викладена на 318 сторшках друкованого тексту i складаеться з вступу, чотирьох роздшв, висновюв, списку використаних лпгературних джерел та двох додапав. Список використаних джерел мютить 195 найменувань i займае 10 сторшок. Додат-ки з результатами чисельних розрахунюв виклаш на 10 сторшках друкованого тексту.

3MICT РОБОТИ

У Btrryni розкрито сутшсть i стан науковоТ проблеми, що розглядаеть-ся в дисертацй", ц актуальшсть, наведена мета роботи та наукова новизна одержаних результатов.

В першому роздш даеться огляд лггератури за обраною темою, окре слеш основш етапи розвитку науковоУ думки в oблacтi метод ¡в усереднення задач оптимального керування. Показано, що сьогодшшнш день Teopin усереднення оптим!защйних задач знаходиться в стади свого становления i багато важливих проблем залишаготься вщкритими або повшстю не дослщженими. Наведено перелж питань, розв'язання яких дозволить побудувати акаоматичн! основи теорн усереднення. В кшщ даного роздшу даеться резюме стосовно необхщносп проведения дослщжень в дан1'й галузк

В другому роздш вивчаються тополопчш влacтивocтi абстрактних множин, елементами яких е задач! умовноГ м!шмпацп. В HKoeri нового математичного апарату розроблена теор»я Bapiauifmoi S-36iKHocTi таких задач. Вперше запропоновано на множит задач умовно! м1тм1заци в довшьному хаусдорфовому топояопчному простор! ввести поняття Bapia-щйно! 8-збшносгп.

Праграф 2.1 носить аксюматичний характер, де наводяться основш математичш поняття, що пов'язаш з питаниями вар1ацшно1 S-36i/KHOcri. Нехай в довшьному хаусдорфовому тополопчному npocripi задано

наступну сукупшсть задач умовно! мш1м1зацп

де А - деяка впорядкована множина, що направлена за зростанням,

{/a:Xa->i?} - довшьний напрямок функцш, {Ха \аеА - непусп пщ-сс 6/4

множини простору (ЛГ,т).

Особлив1Стю наведено! cyKynHOCTi задач е та обставина, що множини Ха в загальному випадку можуть не ствпадати як М1Ж собою, так i з цшим простором X, а функцп Fa:Xa-> R можуть бути не визначеними поза множинами Ха. Для такого напрямку задач вводяться поняття нижньо'й верхньоТ, сильно!' та абсолютно? Bapiamfnroi S-границь, кожна з яких теж е задачею умовноТ мшм!зацп.

Позначимо через ЗУ^(х) фихьтр Bcix т-викритих околш довтьного елемента х е X.

Означения 1.4. Нижньою S-границею ви.хлдного напрямку функцш -» Л/ будемо називати функщю т - lisFa:(x - LsXa) -> R таку,

що (х-lisFa)(x) = sup liminf inf jFa(x), Vx e x - Ls Xa, де через

x- LsXa позначено верхню тополопчну границю для , як сукуп-

шсть точок х, для будь якого околу U eoVt(x) яких знайдеться елемент а0 £ А такий, що &ПХа * 0, при bcix a >- a0.

Означения 1.5. Верхньою S-границею ви.-одного напрямку функций {F*:Хп R f будемо називати функцпо х - ISeF0-:(х -LiX„) -> R таку,

L аеА

що (х~ lssFa)(x) = sup limsup inf Fa(x), Vx ex -LiXa, де через

HeiVjjc) «е/> xeX^ftV x - Li Xa позначено нижню тополопчну границю для {^a}aS/), як сукуп-шсть точок х, для будь якого околу U <= aVT(x) яких знайдеться елемент a е А такий, що Uf\Xa ^0.

Означения 1.6. Функшю х-lmsFa:{x-LiXa)-> R будемо називати S-границею для [f(1 : Ха R } , якщо Vx е x-Li Ха виконуеться умова

as/4

F(x) = (т - lisF«)(x) = (х - lssFa)(x).

Якщо наведене стввщношення виконусться при Bcix х е(т - LsXa), то такий напрямок функцш будемо називати абсолютно S-36ikhhm.

Надал1' абсолютну S-границю позначатимемо як т - lmasFa. Ясно, що всякий напрямок функцш буде абсолютно Б-збшним, якщо вш Б-зб^гасться 1 виконусться умова т - LmXa = х - LiХа = х - LsХа, тобто для вщповщ-ного напрямку пщмножин {*а}це>( ¡снуе тополопчна границя.

Лема 1.1. Якщо для {Ха виконусться умова т - Li Ха * 0, то при BC1X х ex-Li Ха буде справедливою нер1вшсть

(г -lisF«)(x)<{x-lssF«)(x).

Приймаючи до уваги наведе» вище означення, зауважимо, що Б-з&жшсть е очевидним узагальненням вщомого поняття Г-зб1жносп, яке було запо-чатковане в середин} 7.0-х ромв для послщовностей функцш, що задан! на всш множиш X. Разом з там, якщо кожна з функцш {/^:Х(1

допускае продовження на весь npocrip X, то на множинах т - Li Ха i х - LsXa вщповццн S- та Г-гранищ можуть не ствпадати м^ж собою i будуть знаходитись у сшвв^дношеннях

(т - lssF*)(x) s (/ - lim sup (т - lisFa}(x) > {г - lim inf jF«)(*).

Бшьше того, в ззгальному випадку мае мкце HepiBHicTb

' Г — lim Fa\x~imxa & х — lm°Fa. (2)

Вих1дному напрямку задач умовноГ м1шм1зацп (1) поставимо у В1дпов1дшсть дв1 граничш задач1

taaU'-^H^i&^-^H го

яи будемо вщповщно називати верхньою та нижньою вар1ащйними S-границями. Надал! пролонуеться розр1зняти так-i позначення: |inf F(x)j

Та ПеРше означае задачу умовно!' мш1м1зацн як об'ект, що

задаеться парою (F,£). Друге - е точна нижня грань функцн F на множит £. Ясно, що у тому випадку, коли т - Li Ха * 0, мае м1сце таке стввщношення x4Mjx - tisF«)(x) = x<Mjx - b,F*)ix).

Будемо казати, що напрямок задач MiHiMi3auii (1) мае:

а) сильну вар1ацшну S-границю, якщо на множит х - Li Ха виконусться тожшеть т - iisFa = т - lssFa.

б) абсолютну вар1ац'1Йну Б-границю, якщо для напрямку функцш -> д) ¡снуе г - 1ггР5Ра:{х-ЬтХа -> д).

Отже, для вар1ацшно! та абсолютно! вар1ацпшо! Б-границь справедливе подання

Му (х-1т^){х)\1 М (т-К^Ы

х^х-и ХаУ / \x4x-LmXa)

В параграфах 2.2 та 2.3 вивчаються тополопчж властивосп Б-граничних фупкш'Т.

Теорема 2.1. Якщо т - Ы Ха 0, то

р - П(ер1 = еР1 (т - Ь,Ра) {,-иха)'

р - 15(ер/ |хв) = ерг(т -//, Я*) Ха), де через ер1 Р\ £ позначено звуження надграфку функцй Р на множину Е, а р- добуток т-топологи в X 1 тополоп!'поточечно! зб^жносп в Я.

Твердження 2.2. Нижня та верхня Б-границ! напрямюв

{ра:Хп -» л] та :с/Да я} сшвпадають м!ж собою, де через 1 аеЛ ае А

с/тХа позначено операцию т-замикання множили Ха.

Нехай т 1 а - ДВ1 р1зш топологи на множиш X. Якщо сг слабгаша шж т,то Ы (о-П;Р«)(х)< Ы (х-И,Ра)(х)\

Твердження 3.2. Якщо в (Х,х) задано напрямки {ра:Ха -> та

{(?":Хп л} так!, що Г*(.х) < Са(х), V* еХа, а е А,то

1 аеА

(г - ИяР*)(х) < (т - на (т - ЬзХа),

(т - < (т - ^а)(х) на (т - П Ха).

Суттевою ознакою Б-граничних функцш е !х наступна властивкть: функцн т-//5/а та х-1$5Ра с т-нашвнеперервними зназу (нн.зн.) на множинах т - 15 Ха та 1 - П Ха вщповщно I до того ж виконуеться рзв-шсть х-Н,Ра = ), де через яГ/%

позначено т-нн.зн. регуляризацп функщй Ра на множинах Ха. Кр1м того, в параграф! 2.3 досгаджено питания Б-зшжносп функцш, що задовольняють певним умовам монотонности, та означен; внутр(шш операцп над полем функцш, по вдаошенню до яких процедура переходу до Б-ганиць е неперервною.

В параграф! 2.4 одержано альтер кативш означення S-граничних функцш в тополопчних просторах, що задовольняють першш aKcioMÍ зл1ченосп'.

Означення 4.4. Напрямок точок {хр}р в в простор! (А*,т), де jВ -

впорядкована за зростанням множина шдекав, будемо називати екв1узгодженою з напрямком пщмножин {Jfa } ^ того ж тополопчного

простору, якщо icHye функщя G:B->A така, що: 1) хр е Д^51 кожного (3 еВ; 2) для будь якого а' е А ¡снуе таке (3' еВ, що Í3 Р > (3' вип-ливае G((3) > а'.

Теорема 4.2. Нехай тополопчний npocrip (Х,х) задовольняе ríepuuiil aKcioMÍ зл!ченост1, \ра:Ха /?} - довшьшш напрямок функцш, для

а еА

якого т - Li Ха * 0. .Tofli; для нижньоТ S-гранищ Fs:(x ~ Ls Ха)-+ R справедливо наступне:

(а) для кожного х е (т - Ls Ха) та довшьного напрямку точок } ; що т-зб!гаеться до х i екв!узгоджений з {ХЛаеЛ> виконуеться умова F^iXimM^iy^

peo

- (b) для кожного х ex-LsXa icnye x -збгжний до x та екв^узгоджений з {^alag^ напрямок точок {ур} . такий, що

Fs{x) > liramf^(e)(j0). Для верхньо'1 Б-гранищ Fs:(т - LiXa) -> R справедлив! твердження:

с) для кожного х е {х-Li Ха) та довшьного т-зб1жного до х напрямку {-ta , для.якого, починаючи з деякого a0 е А, ха е Ха V а > а0, виконуеться сшввщношення Fs(x) < lim sup Fa(xrj)\

aeA

(d) для кожного xe(x-LiXa) ¡снуе т-зб!жний до х напрямок } такий, що 3 а0 б А ха&А Va.>a0,Fs(x)>límsupFa(xa).

аел as/i

Вихццшй напрямок функцш Б-зб1гаеться до функци F:(x - Li Ха) R тод1 i тьтьки тод1, якщо виконуються наступш умови:

(e) для кожного х е(х~ Li Ха) та довшьного напрямку g, який х-зб!гаеться до х i екв1узгоджений з {Ха }аеА, справедлива нер'шшсть

F(x) < liminf

(f) для кожного х е(т -LiXa) ¡снуе т-зб1жний до д; напрямок {^а}ое/4 такий, що 3aQ еА ха е А Vcc > а0, F{x) > lim sup Fa{xa).

Дослщженню вар^ацшних властивостей S-границь присвячено параграф 2.5. Зокрема встановлено, що ¡снування BapiauiÜHo'i S-гранищ для сукупносп задач (1) забезпечус пев Hi тополопчш властивосп множини ff MiHiMi3aHTiB.

Теорема 5.2. Нехай напрямок функцш {ра:Ха я}^ с piBHOMipHO

т-коэрцитивним i такий, що т - Li Ха ф 0. Тод1 множини мшм^занпв для нижньоУ та верхньоУ вар1ацшних S-границь е не пустими т-компактними i виконусться тожшсть

min ч т-li,Fa (л) = lim inf inf Fa {x).

xds-LsXa) 0ieA xeXa

Якщо вихщний напрямок функщй абсолютно Б-збнаеться до функцй' F:(x~LmXa)~> R, то вщповщний напрямок задач MiHiMi3auii (1) мае абсолзотну вар1ацшну S-границю, для яко! справедливо стввщношення

min /'(x) = lim inf Fa(x).

хе(т-LmXaj аеЛхеХа

Введемо для множин мшм(зант1В та е-мннм1затпв кожно\' з задач

inf Fa (х)) наступш позначення

*еДГа /

= Fa(y)J, а еА,

ME(Fa,Xa) = j* вХа Fa(x)< sup^inf /■"OO + e.-l/ejJ.a в А.

Твердження 5.3. Для всякого напрямку функщй

виконуються включения х - Li м(ра ,Ха) с f\x - Li M*{Fa,Ха) с

ё>0

с M{Fs,x - LsХа)Г)М(р*,t- LiXa).

Теорема 5.3. Нехай J:(г - LiХа) R с S-границею для напрямку функ-щ'й \р*:Х„ -> r\ , тобто F(x) = (т - lmsFa){x), i на множит

1 asA

х - LiХа виконуеться умова F(x) ^ +оо. Тод1

M{F,x~ LiХа) = П^-LiME(Fa,Xay, min /(x) = lim inf Fa(y).

Якщо ж напрямок \Fa:X0 Я \ абсолютно Б-збкаеться до функцп

аеА

F:{x-LmXa) -+R, то , min F(x) = lim inf Fa(y) i

asA ysXa

M(F,x - LmXa) = П t-I/\Mc(Fa,Za)= fl r-Ls Mc(Fa ,Xa).

e>0 £>0

Теорема 5.4. Нехай /*:(x - LiXa) R e S-границею напрямку функцш {Fa:Xa -> i?} i для сукупносп задач (1) bwomi ix мш1м!занти

аеА

}ае/( (або Еа-м1тм1занти, якщо Иш£а=0 ). Тоди при умов!, що Ха -—I—). х, будемо мати х eM(F,х- Li Ха) та = lim F° (х„).

ae/f

Ha В1ДМ1ну В1Д аналопчкого результату з теори Г-границь, теорема 5.4 буде порушена, якщо в и формулюванш елемент х буде граничною точкою (а не границею) для напрямку м1шм1зант!в Д'йсно, в

цьому випадку х е x-LsМ''а (f11 Jijj. Отже, елемент х може не належати - до облает визначення S-гранищ, тобто множит x-LiXa. OKpiM того, в загальному випадку стввщношення x-li,Fa (л) = lim inf Fa (х„) також

аеА

буде хибним.

Параграф 2.6 присвячено питаниям компактное^ довшьноТ множини задач типу (1) вщносно BapiaqmHo'f 5-зб1жностк 3 точки зору практичних застосувань особлива увага придшяеться встановленню таких критерпв компактносп, яш б для довшьного напрямку задач гарантували можли-

BiCTb ВИДШИТИ 3 НЬОГО 8-зб1ЖНу ПЦЩОСЛ1ДОВШСТЬ.

Теорема 6.1. (Узагальнення теореми Больцано-Вейерштраса) Нехай тополопчний npocTip (X ,х) задовольняе другш aKcioMi злiчeнocтi. Тода уз довшьного напрямку задач умовно! мппм^заци (1), при yMoei x-LiXa Ф0, можна видшити тдпослщовшсть, для якоГ ¡снуе абсолютна aapiaiiiiina S-границя.

Як випливае з результате параграфа 2.3, властивосп вар!ацшних S-границь суттево залежать В1д вибору топологи на X. Ясно, що у тому випадку, коли X - V с банаховим простором, то тополопя норми на X не мае значного практичного застосування. Тому в параграф! 2.6 розглянуп питания застосування загальних результата з S-3oi>KHocTi на випадок слабко'1 та *-слабко1 топологш на X.

Теорема 6.6. Нехай X = V* - npoerip, що е тополопчно спряженим до деякого сепарабельного банахового простору V, {Ха}аеА - напрямок

тдмно-жин ¡3 У*, для якого w*-Li Ха* 0, де w* - скорочено a(V',V)-тополопя на V*. Тод! для всякого р1вном1рно <j(V',V)-kоерцитивного

напрямку функцш ] Ра: Ха —> Я | буде справедлив™ наступне: 1) Б-

аеЛ

гранищ такого напрямку в просторах (у*,^) та (у* ,а(У* ,У)) сщвпа-дають як по значениям, так 1 по областям визначення, тобто

и»* - И,Г1 = ^ - - = т, -

де -тополопя на V, що породжена узгоджеиою з а (У*,У) метрикою;

2) функцп та а(Ут,У)-нн.зн, а Тх облает! визначення - о(К*,К)-замкнут) множини;

3) множини миим1зант1В для вар1ацшних 5-траничних задач

/ М {»•-Н3Г*)(х)\ ( М (у»*-&,/»)<х))

\х4»'-ЬХа) / \хе(*'-иХа) I

непусп1 а(У, Г)-компактт;

4) 1з всякого напрямку задач (1) з р1вном1рно ст(К",К)-коерцитивними функциями можна видшити пщпослщовшсть, для якоТ в а(У*, К)-тополоп1 ¡снуе абсолютна вар1ацшна Б-границя;

5) функщя *-ЫХа)-^ Я буде с(К*,К)-5-границею заданого напрямку тод11 ттьки тод1, коли на множит у/*-Ы Ха ця функцш буде Э-границею в <з(У*, К)-топологи кожного з його шднапрямюв.

Проблемам вар1'ащйноГ Б-збхжносп в метризованих тополопчних просторах {Х,х) присвячено параграф 2.7. Нехай - ¡нвар!антна метрика, що узгоджена з топодопею х. Вважаючи, що функцп Ра:Ха —> В. можуть бути невизначеними поза множинами Ха, введено узагальнения ведомого понятгя апроксимапи Моро-1осща.

Означения 7.1. Для кожного а е А та постшних X > О I р > 0 апрок-симащею Моро-1ос1да степеш (3 з шдексом X функца : Ха —> Я назо-вемо функщю -> Я таку, що

/^(х) = (у) + Х-ЧР(х,У)}, V* еX.

Характерною особливктю таких функцш е та обставина, що вони означен! на всш множит X 1 задовольняють певним умовам неперервносп. Основний результат цього параграфу стосуеться аналогичного подання Б-границь для напрямюв невщ'емних функщй та множин, на яких вони означет, в термшах вщповщних апроксимацш Моро-1осща.

Теорема 7.1. Нехай (X,х) - метризований тополопчний прослр,

1 }це/) " сукупшсть його т-вщкритих тдмножин,

довшьний напрямок функцш. Тод] при кожному значенш ß > 0 будуть справедлив! стввиношення

(т - lisFa )(х) = sup lim inf F£Ax), Vx e t - Ls Xa,

Ä>0 a 6/4

(т - lssFa )(x) - sup lim sup F"» {x), Vx ex- Li Xa.

X>u ae/1

x - Li Xa = Domi sup lim sup inf (c + v't/f (x, >'))]»

V^ X.>t) as/f ysXu )

x - LsXa = Dom] sup lim inf inf (c + X~ldHx,y))

a a sA увХчК тЧ J.

де с> 0 - довиьна константа. Лкщо ж вихщний напрямок функшй с pißHOMipHo обмеженим,то

х - LiХа = Dom ^sug limsup j, x - LsXa - Dom ^sug lim inf j.

Таким чином, одержаний результат дозволяе подати вархацшш S-гранищ (3) в термiпах поточечно'! збгжносп неперервних функцш, що означеш на всш множит X.

Оскшьки Б-зб1жшсть мае сутгев! В1дмшн0ст1 в¡д Г-зб!жносгп (див., напр., (2)), то параграф 2.8 присвячено питаниям Г-подання вар1ацшних S-границь. Зпдно леми Урисона вщомо, що всякий нормальний простер мае достатньо багатнй запас неперервних функцш. Отже, кожшй множиш Ха

можна поставите у вщповщшсть t-неперервну функцпо Ga:X —> [0,1] таку, що <?a(x) = Q для Bcix х ecizXa i Ga(x)*0 в шшому випадку. Основний результат цього параграфу полягае в наступному.

Теорема 8.3. Нехай (Х,х) - нормальний хаусдорфовий npocTip, {la}aej - сукуптсть його шдмножин, для яко\' x-LiXa г- 0, {f1:^-*/?}

piBHOMipHo обмежеш знизу функцш. Тод! необхиною та достатньою умовою S-ioiKiiocri напрямку 1 Fa: Х„ R f е ¿снування Г-границ!

a sA

Г - lim(/'a + ДГ'С") при Bcix X > 0. KpiM того, для S-граниш F = х - lmsFa на множит н визначення т - Li Ха буде справедливим стввщношення

/-limf f-lim(/a + r'c?a)l = F = r-limf f-lim(fa + r'Ga)l

X V ae/T ') аеЛ\ X k 4

Якщо (4) виконуеться при Bcix xex-LsXa, то F.x-LsXa->R e абсолютною S-границею в входного напрямку.

Таким чином, при виконанш умов даноГ теореми сильна вар1ацшна S-границя напрямку задач М1ш.\пзаци (3) в довольному нормальному тополо-пчному простор! може бути поданою у ВИГЛЯД1

(4)

inf (т -tm,Fa)(x)) = l inf / - limf f - Iimif" + АГ1^11)Vx)\ =

inf /-limi Г-lim(fa + Г'(?а))(х)У xex-LiXu а V x I /

В параграфах 2.9 i 2.10 розглядаються тополопчш аспекта Bapiauifi-ho'i S-36i>KHocTi. Позначимо через P(X) - множину Bcix задач умовноТ

мшшзацивиду ( inf F(x)), де F:E R т-нн.зн. функцн, E - т-замкнул

\xe£ /

пщмножини множини X. Множину f{X) пропонуеться розглядати як

сукупшсть об'етв ( inf F(x)), кожний з яких визначаеться парою (F,Е}.

\хеЕ I

Основне питания полягае в наступному: чи можна на множиш Я(ЛГ) ввести топологпо, яка була б узгодженою з napianifinoio 5-зб1жшстю? В зв'язку з дим визначимо на множшй Т>{Х) сукупшсть функцюнал^в за таким правилом

\. , f inf F(x), ЕПи * 0,

7 u UK (+00, EC\U=0,

де U - довшьна пщмножина X. На множиш Р{Х) означимо топологи \х* та як TaKi сукупност! його тдмножин, тдбаза яких задаеться вщповщно

множинами {JCr <t} = ^iniF(x)j eP{X)\J(j{F,E^ </|, де U е будь якою т-

вгдкритою тдмножиною в X, та {J% >s} = ||infef{X)\ JK(F,E)>s

де К належить сукупност! ecix i -компактних пщмножмн в X. Тополопею ц на Р{Х) будемо називаги сильншу з топологш та

Теорема 9.1. Якщо ( inf F(x)\ еР(Х) е абсолютною eapiauift-

\.tet -LmXa /

ною S-границею напрямку (1), то

1 inf Fa(x)\—inf F(x)V

'/ \х€Г ~LmXu /

Обернене твердження буде справедливим тшьки у випадку локально комнактних простор1в (ЛКП).

Теорема 9.5. Якщо (X ,т) - ЛКП, \( inf Fa{x)), a sA I - довшьний

I \xsXa / J

напрямок з P(X), для якого t - LiXa ф 0. то :

(а) Fa(x)j, a e/j| ¡лЛзб^аеться до задач! ^ inf ^ F(x)^J тод! i

тшьки тод), якщо на множим г - Li Ха виконуеться умова

F(x)> x-lssFa(x)\

(б) вихщний напрямок зб1гаеться до задач! ( inf F(x)) в топологи ц"

\лет-Ь*ц /

года i титьки тода, якщо на т - LsXa виконуегься нер!вн1сть

F{x)<x-lisFa{x)\

(в)•<( inf Fa(x) ),a e/J > 361'гаеться до задач! ( inf F(x)) в топологи

\JtsJr« / \xe-c-LiX,, / .

p. TOfli i тшьки тод1, якщо { inf Fix)} е сильною Bapiauifmoio S-грани-

\xez-LiXa /

цею вихщного напрямку.

Встановлено, що тополопчш простори (^>(Лг),ц"),(я(Л'),ц+), (Я(АГ),^) е компактнкми, а у випадку, коли (Х,х) - ЛКП, с

хаусдорфовим. Саме цей факт дозволив одержали незалежно вщ теореми 6.1 принцип вар!ацшного S-вибору для задач (1) у просторах, що не задовольняють друпй aKcioMi зл1ченост1. В параграф! одержано достатш умови, при як их тополопчний компакт (р(Х), ц) буде метризовании, а отже, сепарабельним. Нехай РЧ,(Х) - множина ва'х задач умовноГ м!шм!за-

цн | inf/'(х)^, для яких функца F:F~>[0,+ccJ е т-нн.зн., задаш на т-замк-

нутих шдмножинах Е i задовольняють умов! F(x) > Ч'(х) на Е, де -> [0,+оо] коерцитивна т-нк.зн. функщя. Таким чином, функца F: Е -> [0,+<ю] можуть бути не обмеженими зверху. Нехай (Х,т)-сеггарабельний метризований тополопчний npocrip, dx - метрика на А", що узгоджена з тополопею т.

Будемо вважати, що зада1« (inf Fix)) i ( inf G(x) \ з Py(X) e екв1ва-

\xe£ / \xeM j

лентними, якщо ¡снуе т -замкнута множина Z така, що Z q Mf]E i виконуються умови F(x) = G(x) на Z, F*е\м = G\m\e = +c0- Нехай Lv(X) - множина вщповщних клапв етвалентносп на Р^{Х), Тод!, прий-маючи до уваги апарат апроксимацн Моро-Госща, на елементах множини LV( X) можна констуктивно побудувати функшю

dsX) х Ly (X) R

таку, що фактор-npocTip (Lv (Х),с/5) буде метричним. Встановлено, що в цьому випадку вар!ацшна Б-збмнкть задач м1шм!зацп (1) буде узгоджена ¡3 зб!жностю в метрищ d6 вщповщних клаав екв^валентносп з LV{X).

В останньому параграф! даиого роздшу розглядаються питания BapiayiriHo'i 8-зб1жносп задач умовно! мшЬтацп в векторних просторах. Особливе мкце займае той випадок, коли функц!!' Fa: Ха -> R е невщ'ем-ними квадратичними формами на Ха, a npocrip X пльбертовим. В цьому

випадку з кожною задачею умовно! мпнм!зацп | М (fa{x)-2{/a,x)fj

можна пов'язати вар1ащйну HepiBHicTb, яку умовно можна задати як тршку

o6'ei<TiB ,Ха,/г^. Для такого напрямку об'ектш введено понятгя G-

зб1жност! sapiayiiiHux нер1вностей, яке визначаеться як слабка збгашсть i'x розв'язюв до розв'язку гранично! вар1ацшноТ нер!вност1. Встановлено достатш умови, при яких сильна eapiauhraa 8-зб1жшсть вихщного напрямку задач умовно! м!шм1заци забезпечуе 0-зб1жшсть виповцщих вар1ащй-них нер1вностей.

В третьому розд!Л1 розглядаються пштання вар!ацшно! зб1жносп опуклих задач умовно!" м1шм1зацп. Оскьчьки опукл! об'екти (в т.ч. таю, як задач! умовно'Г мипмпзаци) допускають двоктий опис, то одним з основних питань, що розглядаються в даном у роздйп, е наступне: чи буде неперерв-ним вщносно BapiauiKnoi S-36iKHocri перех1д вщ вихщно! множили задач типу (1) до вщповщного напрямку дво'/стих задач? 3 шею метою для класу опуклих функцш \Fa:Xa ->■/?} , що щдлягають мппмпацп на заданих

аеЛ

т'дмножинах [Ха }цы банахового простору X, вводиться понятгя М-

поляри, яке узагальнюе класичне означения спряжено!' за Фенхелем функ-цн.

Означения 1.2. М-перетворенням_Юнга-Фенхеля функцн F :E R (або М-спряженою до функци F:E R) на множин! Е будемо називати

функщю Fe'.X* -» R, таку, що F'E(х*) = sup ((х*,х) - F(х>).

re Е ' ' %

Введения тако! конструкци дозволило, з одше! сторони, встановити в замкнутш форм1 взаемозалежшсть М!Ж Vl-двоТстостю опуклими функщями та i'x апроксимащями Моро-Гоада, а з друго! - одержати аналппчний вид для представления нашвнеперервних знизу регуляризацш довЬтьних функ-щй на замкнутих пданожинах.

Твердження 1.1. Нехай Е - опукла замкнута множина в X. Тод1 для всяко! функцн F'.E-^R при Bcix х е Е мае мкце тожшсть ЕЩх) = Fe"(x), де через Fg\ Е -» R позначено M-61'спряжену функщю на множиш Е. а через Fg - ii" Г^ -регуляризацйо на Tift же множиш.

Теорема 1.1. Нехай Е - опукла замкнута тдмножина лшшного нор-мованого простору X, F:E-±R - доваьна опукла нн.зн. власна функщя. Тод1 при Bcix X. > 0 i Р > 1 виконуеться умова

Л>0 ^ ' А.Ю ^ ' ЕК ' Кргм того, буде комутативною наступна Д1аграма

> Р(Х)

и т*

к>Н Ф')

де через позначено апроксимацш Моро-1оада функцп Г: Е->К.

В параграф! 3.2 встановяено взаемозадежшсть \пж З-збшшстю довшьного напрямку опуклих функщй ¡Га:Ха Я } в банаховому

аеЛ

простор! та секвенцшною Б-зб^жшстю М-спряжених до них функщй ■X* К | .. Встановлено достатш умови, при яких Б-границя

JаеЛ

вихщного напрямку буде бшолярою до секвенцшно! Б-гранищ М-спряжених функщй. Зокрема у тому випадку, коли X = V*, де V - довшьний банаховий проспр, 1 X надшено *-слабкою тополопею а(у*,у), показано, що при виконанш певних умов, будуть мати мкце наступш сшввщио-шення:

в яких: х{Хх) - тополопя норми на X, (т(Х,) - И3£а)* - М-спря-

жена функщя по множит т(А^) - до нижньоТ Б-гранищ в топологи - тополопя норми на сильно сопряженому до X простор! X*,

- Вфхня з-границя в тополош т(лГ*)

напрямку М-спряже-

Ла <5

них функщй |(/°)а . н[х .) -ЬзХа - верхня тополопчна

I а ^аеЛ

границя за Хаусдорфом для напрямку шдмножин {Ха}ае/} в *-слабкш

топологи, •*?<?(/С) - ¿?,(/7а) : Ха -* Я - верхня секвенщйна

границя напрямку М-спряжених функщй в слабкш топологи на X*, яка визначаеться за правилом

-&,(/■*)* = inf limsup(^)' (.<)

л a I Ct s A л -x

w [ X* J *

Vx 6 н(х:)-ах„.

Зауважимо, що S-гранищ i секвекцшш S-rpammi сшвпадають м1ж собою, якщо тополоКя, в якш вони визначеш, задовольняе першш аксюм1 злтеность

Завершуе параграф 3.2 теорема, в якш сформульовано достатш умови комутативносп наступних д!аграми для визначення S-границь в слабких та сильних тополоп'ях на лшШних нормованих просторах.

Я* L F fa 4Х,) у F

^ t* *1 т.

(f0)* > f* (Fa)' F*

В наступному параграф! розглядаеться проблема побудови двоГстих задач до Б-граничних задач умовно! мшш1зацп (3). Для цього розгляда-ються наступи! два яапрямки задач

ш| Фа(х,0)УаеА (5)

де Zа = Ха х М, Фа:Ха х М -у (~оо,+оо] - функцп збурень, що означен!

за правилом Фа(х,0) = Га{х), Ух е Ха. \?а е Л, М - деяка шдмножина банахового простору У.

Ясно, що напрямок (5) сшвпадае з (I), а напрямок (б) будемо нази-вати напрямком М-двоГстих задач до (5). Наступна теорема встановлюе стввцшошення мгж вартцшними Б-границями для кожпого ¡з наведених напрямюв (5)-(6).

Теорема 3.1. Нехай X, У ■ пара банахових простор1в, що е тополо-пчно сопряженими до сепарабельних банахових прослыв V та IV вщпо-В1дио. Будемо вважати виконаними наступш умови:

а) в X задана р1вном1рно обмежений напрямок опуклих х[х , )-замкнутих шдмножин {^а}ае/1; б) в У задана опукла т:(у .}

-замкнута оомежена

шдмножина М, внутршшеть яко! М1стить нульовий елеме:гг; в) задано напрямок р1вном1рно власних опуклих т(Л' . )-пн.зн. функщй

{F«:Xa (-ao,+«]}

aeA

Tofli можна побудувати напрямок опуклих р1вном1рно власних

t(z . )-нн.зн. функцш {фа: Ха х М -> (-00,4-00]} таких, що w аеЛ

Фа(х,0) = /-a(jc), Фа{х,р) > Фа{х, 0), Vx е Ха, Vp € М, Va е А i будуть екв1валентними наступи! твердження:

(i) задача умовно? шшмЬаци

inf F(x, 0) а

щг )(*><>))

е абсолютною секвенцшною вар1ащйнок> Б-границею в

-тополога

для напрямку задач (1);

(И) для напрямку М-двоГстих задач (6) в топологи норми на У* киус абсолютна вар!ацшна Б-границя, для як о! справедливо подання

\\

-г, Ло,у)

к \лз '

sup,

I * ту*

I у еУ

—( sup -

\у*€уЧ

де F: H(X^W )-Lm Za (-qo,+co]- опукла власна )-нн.зн. функщя.

Зокрема, функци збурень в наведенш TeopeMi можна будувати за

правилом Фа{х,р) = Fa(x) + Аа(^), де (ла:Л/ /?} е неперервно

аеЛ

зб1жним при р = 0 напрямком функцш.

Отже, М-двоТстою задачею до S-граничноУ задач] умовно'1 MiHiMisauii

inf (seq(x .) - lmaFa){x) ) буде наступназадача ,XSH[X.)-LmXa

Бир

t(z;)-/<(<p«r (о,/)

rt

Зауважимо, що аналопчний твердження встановлено i для задач

Таким чином, результата даного параграфу дають пщстави стверджувати, що операщя переходу до М-дво'/стих задач не буде неперервною вщносно запропонованоТ вище вар1ацшно! 5-зб1жносп, тобто S-граничш задач» для вихщно! та М-спряжено\' множин не будуть взаемно спряженими. В зв'язку з цим для опуклих задач умовноГ м1шм1заци в пapaгpaфi 3.4 вводиться новий тип зб!жност1, який названо вар1ацшною MS-36i*'nicTio. Суть uie'i зб1жност1 полягае в тому, що Bapiauifmi S-граниш в слабкш та сильнш тополопях повинш сшвпадати м!ж собою.

Дшсно, функцп jF, = seq(Xw, j-ingF": Н{х^. )-LmXa R та

F2 = т(Xs)-lmas Fa:x{Xs )-LmXa —> R с S-границями для одного i того ж напрямку, але в р1зних тополопях, то в загальному випадку F, i F2 можуть не сшвпадати мiж собою. Бшьше того, вщмшшсть М1Ж функциями F, i F2

може мати Micue не тшьки по !'х значениям, але й по множинам, на яких вони визначеш. Тому в основу введено!' вар1ащйноТ М5-зб1жно<гп покла-

дена наступна piBHicrb S-границь seg(x *)-lm°Fa = x(Xs)-lm°Fa.

Означения 4.1. Напрямок пщмножин {Да}ае/4 банахового простору

X називаеться ЛГш-зб1жним (вщповщно Mw. -зб1жним) до Хд, якщо для

{Ха }ае/| ¡снуе в топологи норми на X тополопчна границя

x{Xs) - Lm Ха та в слабкш (вщповщно в *-слабкш) топологи на X ¡снуе

границя за Хаусдорфом H{XW )-Lm Ха (вщповщно Ji(Xw*)-LmXa), яю

задовольняють умов1

Х0 = H{Xw)-LmXa = т(ЛГ,) - LmXa

(соответственно Х0 = н{х^,) - LmXa = т(А^) - LmXa).

Зауважимо, що для рефлексивного простору X наведет Mw - та М . - зб1жност1 пщмножин ствпадають М1Ж собою.

Означения 4.2. Будемо казати, що функци \Fa:Xa (-оо, +<»]}

аеА

яю задан] на пщмножинах банахового простору X, MSW -зб^аються (вщповщно Л/5^,-зб1гаються)до функцш F.E (-<ю,+оо], якщо:

Ха —» £ (вщповщно Ха —М™ > Е) i

F(x) = x(Xs) - lm"Fa (x) = seq{Xw) - lmasFa(x), VxeE

(вщповщно F(x) = x{Xs )-lmaFa (x) = seq(Xw. )-lmasFa(x), Vx e E).

Означения 4.3. Задачу умовноУ мппм1зацп ( шГ Е(х)) будемо називати

\хеЕ /

вар1ац!йною МЗ^,-границею (в'щповщно М^»-границею) напрямку

задач (1), якщо функщя Е:Е -> (-00,4-00] е -границею (вщповщно

МБ »-границею) для (-ао.+оо]}

^ аеА

В даному параграф! наведен! достатш умови, при яких операщя

переходу до напрямку двоУстих задач буде неперервною вщносно МБ-

зб!жносл, тобто будуть екв1валентними наступи! твердження:

М /°(х)\ >(мЕ(х,0)

хеХа / \хеЕ

вир р<й"

г

В четвертому, заключному роздш дисертащУ, даеться застосування наведеного вище апарату вар!ащйноУ 5-зб1Жносгп для усереднення задач оптимального керування об'ектами, як! описуються нел!н!йними опера-торними р!вняннями в банахових просторах при обмеженнях на функцп керування ! фазов! змшш у вигляд! операторних нер1вностей та вклю-чень.

Нехай Х,У - банахов! простори так!, що X- рефлексивно, а У -неперервно ! щшьно вкладено в X, X*„ - прогар, що е тополопчно спряженим до Х,11 - прогар керувань, який е спряженим до деякого сепарабельного банахового простору V (тобто II = V), Vг - пщмножина допустимих керувань в II, Кг - слабко замкнут! шдмножини ъ У, 2 -банаховий прогар, нап!ввпорядкований утворюючим конусом Ь.

Розглядаеться наступна множина задач оптимального керування

(7)

Л£(",у) = /е, ивиз, у е КЕ, (8)

де позначено: е- мультипараметр, що належить частково впорядкованш за спаданням множин! Е, для котроТ нульовий елемент е мшмальним;

Е)сХ)-+Г, Г„'М5 х У ^ Z - нелшшш вщображення;

1Е'.ид х X Я - функщонал якост!; /£ - ф!ксований в У* елемент. Кр!м того, вважаеться, що виконуеться умова К? с

Надал! пара "керування-стан" (и,у) е1/ х У називаеться допустимою, якщо (и,у) задовольняе обмеженням (8). Множина вах допустимих

пар в задач1 (7)-(8) позначаеться як Не. Toдi задача оптимального керування полягае у визначенш пари еН£ такоУ, що

тГ /е(и,у). Будемо вважати, що при кожному значенш

бе£ виконуються наступш умови:

(а) функцюнал /с(и,у) е секвенщйно натвнеперервним знизу (ск.нн.зн.) в *-слабк1Й топологи V 1 топологи слабкоТ зб1жност1 в X, тобто з того, що 1/дэ ип-> и *-слабко в и I Кг э у„ у слабко в Л' випливае

ШЫ 1г{ип,уп) > Ци,у)\ (Ь) оператор А£Мд х (П(Ае) с х) -» 7* - *-

П—><Ю

демшеперевний, тобто з того, що Пг ъ ип -> и *-слабко в и \ В(Ае) э уп ^ у еВ(АЕ) сильно в X випливае А£(ип,у„) -> ЛЕ(ы,,у) *-слабко в 7*; (с) оператор Ае коерцитивний в том розумшш, що

. Лля(и,у),у)

1П1 ——гг-т-'— -» оо при у „ оо, де и - довшьна обмежена пщмно-

\\У\\у

жина в I/; (с!) х 7 - слабко неперервне вщображення; (е) (Iд -*-слабко замкнута 1 обмежена множина; (Г) вкладення компактно;

{%) Къ а (1>(Ае)ПУ) - не пуста слабко замкнута пщмножина в 7.

В параграф! 4.1 встановлено, що при кожному значенш е е Е задача (7)-(8) мае роз'язок тод! I тьтьки тод1", якщо вона е регулярною (тобто ЕгФ0)1 виконуються умови (а)-^).

В наступному параграф! 4.2 наводяться формальт основи теорп усереднення задач оптимального керування системами з розподшеними параметрами. 3 шею метою вих1дна множина задач (7)-(8) подаеться у вигляда напрямку задач умовноУ м1шм13ащ'1

{{<..й/'(-'4вб4 (9>

Определение 2.1. Сукупшсть задач оптимального керування (7)-(8) допускае Б-усереднення (сильно Б-усереднення), якщо для напрямку задач умовноУ мпиктацГУ (9) ¡снуе вар1ащйна (абсолютна вар!ащйна) Б-границя. При цьому вар1ащЙ1п Б-гранищ

^ _ 13(и,у)\ та / и* Г(и,у)\ (10)

(и,у)е т-Ьг, / \(а,у)ег-/.(г.6 /

будемо називати для (7)-(8) вщповцзно нижньою та верхньою Б-усеред-неними задачами оптимального керування, де позначено: т тополопя в и х 7, що утворена добутком *-слабкоУ топологи на II \ тополопУ слабкоУ зб1жносп на 7, т - Ц Н£, х - - вщповщно нижня та верхня

тополопчш границ! напрямку множин допустимих пар {=Е}ее£ »

Я та Р'.х - ЫЕе -> Я - вцшовцщо нижня та верхня Б-граниш для напрямку функцюнал!в { /Е: Не .

Ясно, що для 8-усереднено1 та сильно Б-усереднено"! задач оптимального керування будуть справедлив! подання:

inf _ x-lmsUu,y)\ infт-/</,(«,У)). (П)

Таким чином, приймаючи до уваги основш результати попередн!х роздшв, в параграф! 4.2 для S-усереднених задач оптимального керування (10)-(11) встановлено i'x вар!ацшш та тополопчш властивост!, одержано достатн! умови i'x ¡снування, наведено i'x альтернативне означения в термшах зб!жних послщовностей допустимих пар, проанал!зовано i'x структуру в залежносп вщ вибору топологи на множит U xY.

Як було зазначено вище, за основну топопю на множин! U х Y було взято топологпо т, яка утворена добутком *-слабко!' топологи на U i топологи сдабко! зб!жност! на У. Ясно, що в загальному випадку, топо-лог!чний npocTip (U хУ,т) не е нормальним. Отже, для Г-подання вар!а-цшних S-границь скористатися результатами параграфу 2.8 неможливо. 3 !ншо"1 сторони, якщо доозначити функщонали якосп /е поза множина-ми Не значениями +оо, то для Г-подання усереднених задач оптимального керування можна скористатися результатами параграфу 2.3. Разом з там таке подання буде неконструктивним, сскшьки множини НЕ a priori невщомк Тому в параграф! 4.3 запропоновано анал!тичне подання для сильно усереднених задач оптимального керування в термшах S-границь в!д напрямк!в звужень ц-апроксимацш функц!онал!в якосп на множини вихщних обмежень Ug x Кг.

Теорема 3.3. Нехай вихщна множина задач оптимального керування (7)-(8) piBHOMipHO регулярна, виконуються умови (a)-(g), напрямок функ-щонал!в {/£: С/ xj-^iij ^ piBHOMipHO обмежений знизу та icHye пос-

тшна у > О така, що /е (и,у) < у при Bcix (и,у) е U8 х Кй. Тод! для задач оптимального керування (7)-(8) ¡снуе сильно S-усереднена в тому i тшьки тому випадку, якщо на множин! Ug х x{Yw)-Ls Кг виконуеться умова

sugit-//,[/, + + ц-'С! i Ua X KE}) = SUj>(x-lSs[ls + p-'G! + Ц-'СЦ Ug X Г,]) ф +0C

де позначено

0\{и,у) = Щи,у)- ft\r,G\{u,y)= sup [у((<р,/;(й,у))г)]2.

«ре?," П L'

Наслщок 1. При виконанн! умов дано'!' теореми, для сильно S-yce-реднено! задач! оптимального керування справедливо наступне подання

inf | U0 х j)(«,j)

(«.» ejl/xK jug(t-il, | ff,»Kz ])<+.} й> /

де/?«/, +H!1 (<?i+Gf).

В параграф! 4.4 даеться застосування одержаних вище результата до проблеми усереднення лшшних елштичних вар!ацшних задач, що описуються сшввщношеннями

Агу = Вйи + /е, у еКе, ueUg, (12)

= (13)

де /е eF*, еХ - фжсоваш елементи;

сукупн!сть лшшних неперервних оператор1"в; Кг - непуст! опукл! слабко замкнут! п!дмножини в Г, I и F - рефлексивн! банахов! простори, У неперервно та щигьио вкладено в X, X* - тополопчно спряжений з X npocrip, U - npocTip керувань, що е спряжении до деякого банахового простору V, Ug - тдмножина допустимих керувань, яка вважаеться непустою опуклою i *-слабко замкнутою в U.

Теорема 4.3. Нехай: а) множина задач оптимального керування (12)-(13) piBHOMipHO регулярна i сукупность множин допустимих пар задо-вольняе умов! х-Li Не ф 0, де т е добутком *-слабкоГ топологи на U i слабко"1 топлогп на У; Ъ) банахов! простори Y та V сепарабельш; с) множини фазових обмежень piBHOMipHO обмежещ в У; d) icHye

оператор В0 е J2[u,Х') такий, що ¡Д. - 50|| 0; е) /е -> /0 сильно в У" i Zz Z0 сильно в I; f) вкладення Y -> X та X* К* компакта!; g) функцюнали - ВЕи - £ р!вном!рно коерцитивш в *-

слабк!й топологи на U або, що екв!валентно, множина Us е обмеженою; !) оператори {Ае е¿>{у,Y*);z ei?} piBHOMipHO коэрцитивш. Тода сильно S-усереднена задача в х -топологи юнуе i для Hei справедливо подання ■АаУ - В0и + /0, {и,у) €T-Zm(0e xfij, (14)

/в(«.у) = Ь - 2о!Йг + Иу (^)е1_Й5в1хПж) ' <")

де ->Дэ, а множини ©Е с IIг и Ое с Ке означеш за правилом

НЕ = 0Е х ПЕ.

Наслщок 1. При виконанш умов даноУ теореми ¡снуе единий розв'язок бх - Ьт(&е х Пе) Б-усередненоУ задач! (14)-(15) 1 при

цьому з напрямку оптимальних пар {(и^у") е£/э х .йГе} в вихщних задачах (12)-(13) можна видолити послщовшсть ((иЕ ,у\ )} таку, що

" " пеЫ

у° сильно в X 1 слабко в У, иЕ„ и® сильно в V.

Визначною особлив!стю Б-усередненоУ задач1 (14)-{15) е та обста-вина, що вона вщноситься до задач оптимального керування 13 змшани-ми обмеженнями. Оскшьки 1-Х/и(©Е х Ое) с 11д х т(Ки, )~Ьт то буде дощльним таке питания: чи можна обмеження в сильно Б-усереднешй задач1 (14)-{15) замшити наступними

иеиа; у ^{¥„)-ЬтКЕ1

Виявляеться, що в загальному випадку задача оптимального керування

2 2

и сильно Б-усереднена задача (14)-(15) можуть мати вщмшш м!ж собою множини допустимих пар, а отже I р!зш розв'язки.

В параграф! 4.5 розглядаеться задача оптимального керування для лшшного елштичного р!вняння, в якому функщею керування служить множник в коефвдентах його головного оператора. Особливють такоУ задач! полягае в тому, що головний оператор мостить швидко осцилюкуп коефппенти ! за допустим! керування вибираються функщУ з обмеженоУ множини в нерефлексивному банаховому простор! РК^(О). Конкретним прикладом такоУ ситуащУ може служили л!неар13ована модель дифуз!У в перюдичному потенцшному поль Для таких задач доведена теорема ¡снування оптимальних розв'язюв, наведен! необхщш умови оптимальности у вигляд! вар1ацшних нер!вностей та встановлена структура усередненоУ задач! оптимального керування. Показано, що результат сильного Б-усереднення сшвпадае з усередненням через необхщш умови оптимальност! ! виражаеться через С-гранищ вихдаоУ послщовносп ел!птичних оператор!в. Встановлено, що для вихщноУ послщовносп оптимальних керувань \ вщповщних Ум ршень {ыд ;е -» о|,{>'„;с -> о} вико-

нуються умови: м0Е -» м0 *-слабко в у1 ->у0 слабко в Н1а(0.), де

иа е1/д оптимальне керування, а у0 = у(и0) е Н\ (й) вщповщний йому розв'язок З-усереднено!' задач!.

Параграф 4.6 присвячено усередненню сильно нелшшно! сингулярно збурено'! задач! оптимального керування, що описуеться стввщно-шеннями

Пи,у) = ¡\у(х) - гЛх)\Ьйх + N /1«(*) - /(х)\2с1х М, п п

-еАу(х)-у*(х) = и(х), хеП, уу(х) = 0, иеид, (16)

де / еХ2(п) - задан! функцп, е>0 - малий параметер,

у(х),и(х) - функцп стану та керування, Ду - оператор Лапласа, у -оператор звуження функцп у(х), що задана в О,, на границю дО: 1У = у\дП'^д - опуклазамкнута множина в I?(О).

Показано, що результат сильного Б-усереднення по сут1 залежить вщ вибору топологи на множит пар "керувакня-стан". Зокрема, розля-нуто три наступш випадки.

Припущення 1. В топологи г, що е добутком слабкоТ топологи на Х2(п)! топологи сильно! зб!жносп на ¿б(о) нижня тополопчна границя напрямку допустимих пар {НЕ}ее£ задовольняе умов! х - ЫЕе * 0.

Припущення 2. В тополога и>, що е добутком слабких топологий в X2 (о) та в Х6(п) нижня тополопчна границя напрямку }ге£ задовольняе УМОВ1 м> - Ы Ее ^0.

Прнпущення 3. 0 * НЕ с 12(0) х 1 в топологи ц, що е добутком

топологи норми на £2(0.) та *-слабко1 топологи на ¿^(О.) при кожному значенш е > 0 множини допустимих пар {Н6} £ р1Вном!рно ц-обмежеш I виконуеться умова ¡х-П Ее * 0.

Встановлено, що при виконанн! умов кожного з наведених вище припущень, сильно З-усереднеш задач! оптимального керування кнують \ для них справедлив! подання

( шГ _ 1(и,у)\А шГ __ 1 (и,у)),{ и* _ х;Ци,у)\, причому х-ЬтН£ с ((и,у) е 12(0) х Х6(П)| и е!7э,ы = -у3} ,

уу-1|нЕеп{(ы,у) еХ2(0)хХ6(а)|н е1Г5,и = ~уг} * 0,

Л е ц-нн.зн. регуляризащею функцюналу 1{и,у) на

множиш ц-Х/Ееп.

Зауважиио, що кожна з наведених задач може не сшвпадати з виродженою задачею оптимального керування

и* , Пи,у) ,

якщо порушуеться ппотеза про ¡снування нескшченноГ кшькост розв'яз-гав для крайовоТ задач! (16) при кожному допустимому керуваннь Разом з тим мають мкце наступи! результати.

Твердження 6.2. Нехай еЕе; ео} - довшьна -с-збщна

послщовшсгь оптимальних пар для вихщно!' задач!. Тод!

и° —>• ы° сильно в у1 -» у° сильно в /(<«)=, _ Ци,у) = 1(и° у),

де гранична пара (г/5,/) належить множиш {(и,у)] и<а1Тд,и- -у3} 1 е оптимальною для сильно Б-усередненоТ задач! в топологи т.

Теорема 6.2. Нехай виконуегься припущення 1 та ¡снують тополо-пчш границ! \-Lrn НЕ ф 0 I №-£/яНЕ ф 0 вщповщно. Тод!

М{1,т-1тЕь) = М{1 с {(и,у) е1/д х 16(0)| и = -у3},

шГ _/(и,у)= М 1{и,у)> ^ 1(и,у). (и,у)ех~Ы^ Не (ц,у)<=г/гх16(а)

Зпдно означению ц-нн.зн. регуляризаци функцп /, на множиш ц-Хг Ее„ буде в!рною нер^вшсть эс~1(и,у) < /(и,у) 1 Ф I. Отже, в загальному випадку пор!вняти найменш! значения функц!онал!в в вирод-жен!й задач! ! в сильно Б-усередненш в р-топологп неможливо. Разом з тим, при виконанн! припущення 3, можливе таке згрупування вихадних параметр!в, при якому шшмальне значения функцюналу якост! в усеред-ненш задач! буде строго меншим аналогичного значения в вироджен!й задач!, тобто

М 1(и,у)> М (17)

з

Показано, що вщомий конгрприклад Оро та Мюрата, яким вперше була поставлена тд сумшв пряма схема усереднення в задачах оптимального керування, задовольняе припущенню 3 \ нер^вносл (17).

В параграф] 4.7 на приклад! некласично! задач! оптимального керування з швидко осцилюючими коефвдентами показано, що запропоно-вана процедура Э-усереднення узгоджуеться з асимптотичними методами багатомаштабних разкладень. Встановлено, що нульове наближення за методом Бахвалова в точнослт сшвпадае з сильно Б-усередненою задачею оптимального керування. Будуеться та даеться обгрунтування повного асимптотичного розв'язку задач! оптимального керуванняя системою парабол1чного типу, що описуе процес високоштенсивного теплоперено-су в неоднорщних середовищах з е-перюдичною структурою. Встановлено структуру асимптотичного розв'язку, дослщжено його диференцшш властивост]', доведена !х зб!жшсть при е 0 до розв'язку сильно Б-усереднено! задач! оптимального керування. Побудовано рекурентну послщовшсть задач оптимального керування !з значно прост!шою структурою шж вих!дна, що асимптотично наближують початкову.

Параграф 4.8 присвячено застосуванню наведених вище результата з вар1ацшно1 8-зб1жносп до розв'язання проблеми усереднення задач оптимального керування системами з розподшеними параметрами, яю описуються штегральними р1вняннями Вольтерра.

Додаток А присвячено проблем! апроксимативного шдходу до розв'язання задач умовноГ мщ!м1зацп через !'х наближення задачами безумовно!' малмчзацп вщ штрафних функцш. Показано, що застосування апарату вар1ащйно1 5-зб1жност! дозволяе встановити зб1жшсть послщов-ност! розв'язк!в задач безумовно'! мппм!заш'| до розв'язку вихщно! задач! математичного програмування.

В додатку В розглядаються результата чисельного моделювання задач оптимального керування елштичною системою з швидко осцилюючими коефвдентами в головн!й частиш диференщ иного оператора. Встановлено, що при малих значениях параметра е > 0 чисельш метода можуть приводити до неузгоджених результат!с, тим самим шострусться !'х неспроможшсть в розв'язанш таких задач. Разом з тим, даеться пор!в-няльна характеристика моделювання вихщного процесу на модел! для усереднено! зада>п оптимального керування.

висновки

В дисертацшнш робот! для широкого класу задач оптимального керування системами з розподшеними параметрами при обмеженнях на функци керування та фазов! змшш запропоновано аксюматичш основи теори ïx усереднення, розроблена теор!я BapiauiKuoï збгжностг задач умовно'1 мш1м1зацп, що служить математичним апаратом для побудови усереднених задач, встановлено достаrai умови ¡снування усереднених задач, визначено ïx структуру, Bapiauiiini та топояопчш властивостк

Ochobhï положения дисертацН опубл^коват в таких працях:

1. Егоров А.И., Когут П.И. Оптимальный синтез для уравнений нейтрального типа И Докл. АН УССР, Сер. А. - 1989. - № 5. - С. 6467.

2. Егоров А.И., Когут П.И. Усреднение задач оптимального управления коэффициентами в линейных эллиптических уравнениях // Проблемы управления и информатики. - 1995. - №6. - С.89-104.

3. Когут П.И. S-сходимость в теории усреднения задач оптимального управ-ления II Укр. мат. журн. - 1997. - № 10. - С.1488-1498.

4. Когут П.И. S-сходимость задач условной минимизации и ее вариационные свойства // Проблемы управления и информатики. - 1997. -№4.-С. 64-79.

5. Когут П.И. Вариационная S-сходимость задач минимизации. Часть

I. Определение и основные свойства. // Проблемы управления и информатики. - 1996. - №5. - С.29-43.

6. Когут П.И. Вариационная S-сходимость задач минимизации. Часть

II. Топологические свойства S-пределов // Проблемы управления и информа-тшси. - 1997. - № 3. - С. 78-90.

7. Когут П.И. Вариационная сходимость задач оптимального управления для систем эллиптического типа II Проблемы управления и информатики. - 1995. - №3. - С. 72-84.

8. Когут П.И. О конструировании топологических пространств на множестве задач условной минимизации // Матер5али 4-oï м1жнар. наук.-техн. хонф. "Контроль i управления в техшчних системах". -Вшниця. - 1997. - T. 1.-С. 10-16.

9. Когут П.И. Об экспоненциальной устойчивости по состоянию счетной системы интегральных уравнений Вольтерра // Автоматика. -1991.-№5.-С. 38-47.

10. Когут П.И., Северенчук C.B. Об усреднении линейно-квадратичных задач оптимального управления эллиптическими системами // Мате-р!али 4-oï м1жнар. наук-техн. конф. "Контроль i управлшня в техшчних системах". -Вшниця. - 1997. -Т.1. -С. 17-23.

11. Когут ПЛ. Асимптотичний анашз керованих парабол^чних систем з еволющего на границ] // Доп. HAH Украши. - 1996. - № 10. - С. 99103.

12. Когут ПЛ. Асимптотики вищих ггорядюв розв'язку одшеУ задач1 оптимального керування розподщеною системою з швидкоосцшпою-чими коефщентами ¡1 Укр. Мат. жури., 1996. - Т. 48, №7. - С. 940-948.

13. Когут ПЛ. Bapiauiflna 5-зб1жшсть задач мптпзацп та ïï геометрична ш-терпретащя //Доп. HAH Украши. - 1997. - № 6. - С. 89-93.

14. Когут ПЛ., Северенчук C.B. S-усереднення задач оптимального керування i питания двоУстосп /У Вюник Житомирського шж.-тех. ш-ту,- 1997. -№6. -С. 105-115.

15 Когут П.И. Секвенциальные свойства S-пределов и их приложение в задачах оптимизации // Компьютерные методы в задачах прикладной математики и механики. Сб. трудов ИК HAH Украины, 1997. -С. 47-54.

16. Когут П.И. О конструировании метрических пространств на множестве задач условной минимизации И Проблемы управления и информатики. - 1998. -№ 1. - С. 37-47.

17. Kogut P.I. On the S-homogenization of optimal control problems // Доп. HAH Украши. - 1998. - № 1. - С. 132-136.

Когут ПЛ. Усереднення задач оптимального керування системами з розподшеними параметрами. - Рукопис.

Дисертащя на здобуття наукового ступеня доктора фшисо-матема-тичних наук за спещальтстю 01.01.09 - варкщшне числения та теория оптимального керування. - 1нститут кибернетики ¡м. В.М. Глушкова HAH Украши, Кшв, 1998.

Дисерташю присвячено проблем! усереднення задач оптимального керування об'ектами, що описуються операторними р!вняннями в банахо-вих просторах з обмеженнями на функцн керування та фазов1 змшш. В дисертащУ побудовано основи reopii" усереднення оттайзацшних задач. Для широкого класу задач оптимального керування запропоновано единий формализм процесу ïx усереднення, розроблено математичний апарат для побудови усереднених задач, одержано достатш умови Vx ¿снування, дослщжено ïx структуру, Bapiauumi та тополопчш властивосп. В якосп матемагкчноУ основи вказаного форм&гпзму розроблено теорио BapiauifiHoï 8-зб1жносп задач умовноУ лшпмпацп.

Ключов1 слова: усереднення, оптимальне керування, вар1ацшна S-зб1жн!сть, тополопя, задача умовноУ лшшпзацп.

Когут П.И. Усреднение задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.09 - вариационное исчисление и теория оптимального управления. - Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 1998.

Диссертация посвящена проблеме усреднения задач оптимального управления объектами, описываемые операторными уравнениями в банаховых пространствах при ограничениях на управляющие и фазовые переменные. В диссертации построены основы теории усреднения оптимизационных задач. Для широкого класса задач оптимального управления предложен единый формализм процесса их усреднения, разработан математический аппарат для построения усредненных задач, получены достаточные условия их существования, исследованы их структура, вариационные и топологические свойства. В качестве математической основы предлагаемого формализма разработана теория вариационной S-сходимости задач условной минимизации.

Ключевые слова: усреднение, оптимальное управление, вариационная S-сходимость, топология, задача условной минимизации.

Kogut P.I. Homogenization of optimal control problems of systems with distributed parameters. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 01.01.09 - calculus of variations and theory of optimal control. - The Institute of Cybernetics of National Academy of Scince of Ukraine, Kyiv, 1998.

The dissertation is devoted to homogenization theory of optimal control problems of object wich described of operator equations in Banach space with state and control constrains. In this dissertation the bases of homogenization theory for optimization problems are builded. For diffrent classes of optimal control problems a unique formalism of homogenization theory is postulated. The mathematical methods for construction of homogenized problems and sufficient conditions of existence of a such problems are obtained. The structure of homogenized problems and their variational and topological properties are investigated. As. mathematical bases of its formalism the variational convergence of minimum problems is introduced.

Key words: homogenization, optimal control, variational of S-convergence, topology, minimum problem.