Мезоскопические эффекты в низкоразмерных сильнокоррелированных бозонных и спиновых системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Карцев Пётр Фёдорович

МЕЗОСКОПИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИЛЬНОКОРРЕЛИРОВАННЫХ БОЗОННЫХ И СПИНОВЫХ СИСТЕМАХ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Автор:

Москва 2004

Работа выполнена в Московском инженерно-физическом институте (Государственном университете)

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор Кашурников Владимир Анатольевич

Научный консультант:

Кандидат физико-математических наук, профессор Свистунов Борис Владимирович

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, член-корр. РАН, профессор Максимов Леонид Александрович

Доктор физико-математических наук, профессор Аплеснин Сергей Степанович

Ведущая организация:

Физико-технологический институт РАН

Зашита состоится 16 июня 2004 г. в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д212.130.06 в МИФИ по адресу: 115409, Москва, Каширское шоссе, д. 31, тел. 323-91-67. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ. Автореферат разослан 2004 г.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации. Учёный секретарь диссертационного совета,^¿¿^^Скельнер С Р.

ке

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Физика наноструктур - раздел физики конденсированного состояния, имеющий дело с объектами нанометровых размеров. Наряду с эффектами размерного квантования, здесь не менее важными являются мезоскопиче-ские эффекты, связанные с небольшим количеством задействованных частиц. На основе этих эффектов создаются новые пано-технологические устройства с необычными свойствами.

Один из путей развития вычислительных устройств использует квантовую природу и особенности атомарных систем - это направление квантовых вычислений и передачи данных. Интерес к квантовым вычислениям объясняется возможностью ускорить многие трудоёмкие задачи, не решаемые на классических компьютерах за полиномиальное время. Такой задачей, в частности, является разложение больших составных чисел на множители (факторизация). Невозможность решения этой задачи на классических суперкомпьютерах за практически приемлемое время обеспечивает надёжность наиболее популярных криптографических схем, таких как RSA и метод Диффи-Хеллмана генерации секретных ключей.

Уже производятся коммерческие защищенные линии связи, надёжность которых обеспечивается методами квантовой криптографии. Линии связи фирм MagiQ Technologies и id Quantique способны передавать секретные криптографические ключи на расстояние до 70 км по стандартному оптическому волокну. В отличие от классических схем защиты информации, которые являются лишь практически невскрываемыми, то есть невскры-ваемыми современными суперкомпьютерами за разумное время, квантовая криптография опирается на постулаты квантовой механики и потому может обеспечить абсолютную надёжность.

Вместе с тем квантовый компьютер как вычислительное устройство делает только первые шаги. Спиновые состояния электронов в твердотельных квантовых точках рассматриваются в настоящее время одним из кандидатов на реальную физи-

ческую систему для реализации квантовых алгоритмов. Отработанность полупроводниковых технологий позволяет создавать точки с практически любыми параметрами. По той же причине здесь нет ограничений на увеличение количества кубитов. В последние 2-3 года началось активное исследование запутанных состояний в спиновых системах. Создание существенно запутанного состояния оказалось сложной задачей. В данной диссертации представлены данные о влиянии анизотропии на запутанность в присутствии внешнего магнитного поля.

Второй путь развития вычислительных устройств продолжает миниатюризацию известных устройств. Для этого, в частности, предложены логические элементы на основе спиновых состояний электронов в квантовых точках, реализующие классическую логику [1]. Предложены различью схемы логических вентилей на этой основе [2]. Однако построение таких систем затрудняется, прежде всего, необходимостью создания на управляющих квантовых точках сильных магнитных полей порядка 10 Тл [3]. В данной диссертации представлен метод, позволяющий кардинально улучшить чувствительность подобных элементов и снизить требующееся магнитное поле до практичных значений, рассчитаны параметры нескольких таких элементов.

Не меньший интерес с момента открытия в 1995 году и до настоящего времени вызывает бозе-конденсация атомарных газов щелочных металлов при сверхнизкой температуре порядка 10-8 кельвин. Возможность регулировать многие параметры конденсата, такие как плотность газа, взаимодействие между атомами и внешний потенциал, позволяет экспериментально исследовать свойства различных моделей конденсированного состояния вещества. Создание т.н. атомного лазера позволяет говорить о появлении атомной оптики и интерферометрии с разрешающей способностью порядка нескольких ангстрем. Однако об особенностях таких систем при сравнительно небольшом числе частиц известно мало.

Большинство изотопов, изучаемых в экспериментах по бозе-конденсации, характеризуются положительной длиной s-рассея-

ния, что отвечает отталкивающему взаимодействию. Притяжение наблюдается между атомами лития-7. Притяжение приводит к нестабильности конденсата, его коллапсу и разрушению из-за трёхчастичных процессов. Однако, анализ выражения для энергии конденсата в ловушках различной размерности показывает, что в одномерном случае конденсат стабилен. (Понижение размерности бозе-газа наблюдается в тонких каналах и пористых веществах [4].

В работе [5] был рассмотрен бозе-газ с притяжением между атомами в тонком тороидальном сосуде и при помощи приближения среднего поля показано, что в пределе слабого взаимодействия данная система демонстрирует свойство невращающей-ся жидкости (англ. irrotational fluid), то есть при скорости вращения сосуда меньше некоторой критической газ не увлекается стенками. Аналогичный эффект наблюдается при вращении сосуда с жидким гелием при температуре ниже сверхтекучего перехода (эффект Хесса-Фербенка). При этом все частицы занимают одно состояние углового момента, то есть образуют конденсат в пространстве моментов.

Позже в работе других авторов [6] было представлено приближённое исследование данной системы при помощи формализма когерентных состояний. Численное решение полученных уравнений показало нестабильность и распад конденсата при любой величине взаимодействия.

Таким образом, дать окончательный ответ могло только точное, без каких-либо приближений, решение задачи о многочастичном основном состоянии данной системы.

Мезоскопические системы оказываются наиболее трудными для изучения. В то время как для исследования и описания макроскопических систем достаточно развиты и успешно применяются методы статистической механики, а для одиночных частиц ту же роль выполняют методы квантовой механики, промежуточный случай одинаково сложен для обоих подходов и чаще всего поддаётся исследованию лишь численными методами. Моделирование такой системы расчётом "из первых принципов" ока-

зывается основным методом предсказания её экспериментальных свойств. Современное развитие вычислительных комплексов позволяет исследовать весьма сложные квантовые системы из 100 и более частиц, становится возможным исследование всё более сложных систем. В число наиболее перспективных и универсальных численных подходов входят квантовые методы Монте-Карло. Однако существуют трудности, принципиально ограничивающие их возможности, одной из них является т.н. проблема знака, усиливающаяся с понижением температуры и часто не позволяющая получить надёжный результат даже при значительном увеличении вычислительных затрат. В данной работе представлен эффективный алгоритм, существенно ослабляющий проблему знака.

Цели диссертационной работы:

1. Разработка новых эффективых численных алгоритмов для моделирования квантовых систем;

2. численное исследование мезоскопических бозонных и спиновых систем, выявление новых фазовых состояний, анализ особенностей поведения с уменьшением числа слагающих систему частиц;

3. расчёт реальных элементов вычислительных устройств.

Научная новизна результатов:

1. Впервые получено аналитическое выражение для фазовой границы эффекта Хесса-Фербенка в квазиодномерном притягивающемся бозе-газе в тороидальном сосуде.

2. Для квазиодномерного бозе-газа с притяжением впервые корректно рассчитаны и продемонстрированы мезоскопиче-ские эффекты на фоне эффекта Хесса-Фербенка при уменьшении числа атомов в сосуде.

3. Разработан принципиально новый эффективный траектор-ный алгоритм квантового Монте-Карло в импульсном представлении. Показано, что переход в импульсное представление существенно подавляет проблему знака, характерную для методов Монте-Карло.

4. Впервые показано, что использование вырождения основного состояния спиновых логических элементов, предназначаемых для вычислений в основном состоянии, позволяет кардинально повысить чувствительность к управляющему магнитному полю.

5. Показано, что анизотропия взаимодействия в спиновых системах существенно расширяет диапазон магнитного поля, при котором существует согласованность квантовых состояний.

Практическая значимость работы. Разработанный алгоритм квантового Монте-Карло позволит рассчитывать макроскопически и локальные характеристики взаимодействующих систем с бозе- и ферми степенями свободы, для больших размеров систем и более низкой температуры. Анализ перепутывания квантовых состояний позволяет глубже понять взаимосвязь пе-репутывания и взаимодействия в реальных системах.

Определены параметры сложных спиновых схем, реализующих логический элемент "НЕ" для вычислений в основном состоянии. Значительно понижена вероятность ошибки. Требуемое для работы магнитное поле не превышает 0.01 тесла, что важно для возможной реализации нанокомпьютера на квантовых точках.

Полученные в диссертации результаты обладают предсказательной силой: позволяют описывать поведение атомарного газа лития-7 в магнитных и оптических ловушках, запутанность квантовых состояний в реальных спиновых системах, разрабатывать вычислительные устройства на квантовых точках. Построены фазовые диаграммы рассмотренных систем.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Разработка и реализация эффективного траекторного алгоритма квантового Монте-Карло в импульсном представлении, расширяющего класс моделей, которые можно изучать кластерными методами, и ослабляющего проблему знака.

2. Демонстрация поведения квазиодномерной системы притягивающихся бозонов в тороидальном вращающемся сосуде как невращающейся жидкости (эффект Хесса-Фербенка); данное поведение сохраняется при сравнительно малом числе частиц порядка 10. Определена фазовая картина эффекта.

3. Анализ чувствительности классических вычислительных элементов на основе взаимодействующих магнитных моментов. Показано, что она кардинально увеличивается при использовании вырождения основного состояния.

4. Существенная зависимость парной запутанности квантовых состояний спиновой цепочки в магнитном поле от анизотропии взаимодействия, заключающаяся в увеличении энтропии запутанности в магнитном поле и расширении диапазона рабочего магнитного поля при усилении анизотропии.

Апробация диссертационной работы. Изложенные в диссертации результаты докладывались на семинаре теоретического отдела Института сверхпроводимости и физики твёрдого тела (РНЦ "Курчатовский институт"), ежегодной научной конференции ИСФТТ-2003, международной конференции ЕЛБТМЛ0-2004 (г. Красноярск) и Научных Сессиях МИФИ (1999-2004).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 5 в соавторстве. Список публикаций приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из

Введения, пяти Глав и Заключения. Общий объём - 111 страниц, включая 34 иллюстрации и список литературы из 90 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность исследований, сформулирована цель работы, рассмотрена практическая ценность работы, приведены основные результаты, полученные в диссертации, и положения, выносимые на защиту.

В Главе 1 рассматривается поведение квазиодномерного бозе-газа с притяжением между атомами, помещённого в сосуд в виде тонкого кольца, способный вращаться вокруг главной оси.

Низкая температура позволяет пренебречь поперечным движением атомов и геометрия станоится эффективно одномерной. Гамильтониан системы записывается в виде

Здесь и - угловая скорость вращения контейнера, uic — h/2MR2

- критическая угловая скорость, д = 2aati2/MRS < 0 - эффективная амплитуда взаимодействия, М - масса атома, S = 7гг2

- площадь поперечного сечения тора. Далее полагается h ~ 1, 2М = 1, ис '= 1. Тогда макроскопические характеристики системы будут определяться только безразмерным параметром взаимодействия

Соответствующее модели (1) уравнение Гросса-Питаевского

Ш/0)с

Рис. 1: Вращательный момент системы в приближении Гросса-Пита-евского, рассчитанный для 7 = 0.2, 0.3, 0.4 и 0.5. При 7 < 0.5 на графиках видны плато макроскопического квантования момента.

для волновой функции конденсата

- 27г-у|Ф(аг)|2Ф(ж) - цЩх) = 0 (2)

решалось численно методом минимизации функционала градиентным спуском. На рис. 1 показаны рассчитанные графики вращательного момента для нескольких значений 7, демонстрирующие наличие эффекта Хесса-Фербенка при 7 < 1/2.

Анализ спектра квазичастиц в данной системе, найденного методом Боголюбова, даёт точное выражение для границы эффекта Хесса-Фербенка в пределе N оо (см. рис. 2):

В Главе 2 представлен новый оригинальный алгоритм квантового Монте-Карло (КМК) в импульсном представлении для задач, описываемых гамильтонианом вида

и = л €pâpàp + y, upqrsâpàqàrâs. (4)

Рис. 2: Точная фазовая диаграмма эффекта Хесса-Фербенка для данной системы в пределе N —► оо (нижняя сплошная кривая, формула (3); эффект существует при 7 < 7« (ш)) Точками показана приближённая зависимость из работы [5]. Верхняя кривая Л/(ц;)/ЛГ приведена для иллюстрации.

Разложение статистической суммы в диаграммном методе КМК [8] имеет вид

Расчёты проводятся в непрерывном мнимом времени г = О Ч-(3, которое для простоты реализации алгоритма разбивается на достаточно мелкие отрезки Каждое слагаемое в

выражении (5) может быть представлено набором траекторий

частиц в (ё+1)-мерном пространстве (х,т) и записывается в виде

УТ - П (-Дт |{п}^> ехр (...)) , (В)

где значения 7} отвечают временам изменений мировых линий под действием возмущения - так называемых "кинков" [8], а набор значений г^-, {тг}^, задаёт монтекарловскую конфигурацию. В качестве элементарного шага Монте-Карло используются добавление и уничтожение кинков, а также изменение их положения т в мнимом времени. Вычисление производится при помощи алгоритма Метрополиса [9].

Взимодействие, взятое в качестве возмущения V", порождает кинки вида, показанного на рис. 3. Соответствующий кинку множитель, входящий в вес конфигурации помимо экспоненциально -го множителя, даётся суммой соответствующих для всех неэквивалентных перестановок импульсов При-

мер конфигурации приведён на рис. 4.

Знак статистического веса определяется количеством кинков и соответствующими матричными элементами возмущения V. Среднее число кинков в конфигурации оценивается как ~ поэтому при моделировании слабовзаимодействую-щих систем описываемый алгоритм оказывается предпочтительней обычных траекторных алгоритмов из-за соответствующего ослабления проблемы знака.

Также важно отметить, что при взаимодействии частиц в точке диагональная часть взаимодействия даёт всего лишь сдвиг энергии, что позволяет упростить алгоритм, исключив из него диагональные (рис. За,Ь) кинки. Тогда даже в случае отталкивания или ферми-статистики статистический вес может стать отрицательным лишь для конфигураций с количеством кинков не менее трёх, тем самым проблема знака существенно ослабляется. В случае притягивающего взаимодействия и бозе-статистики алгоритм свободен от знака, так как вклад любого кинка в статистический- вес положителен. Такая задача

о

(а) (с)

(Ь) «О

О

Рис. 3: Кийки, порождаемые двухчастичным взаимодействием: а, Ь - диагональные, с, <1 ~ недиагональные; а, Ь в случае контактного взаимодействия ирдгз = можно учесть аналитически; а, с

возникают лишь при моделировании Бозе-системы. Здесь и далее ось мнимого времени направлена горизонтально, импульсы отсчитывают-ся вертикально, число заполнения символизируется толщиной линии, кинк обозначен кружком.

Рис. 4: Пример конфигурации траекторий со всеми .типами кинков а-с1.

исследуется далее в Главе 3.

Данный алгоритм существенно меньше подвержен проблеме знака по сравнению со стандартными траекторными методами, что ускоряет расчёты и тем самым позволяет исследовать систе-

мы больших размеров и при значительно более низкой температуре [7].

В Главе 3 представлены результаты численного исследования эффекта Хесса-Фербенка для бозе-газа с притяжением при небольшом числе частиц N = 2.. 100 представленным в Главе 2 алгоритмом Монте-Карло. Рассчитывались энергия, вращательный момент и парные корреляционные функции многочастичного основного состояния.

ол -0.« ■

7,

S

0.4 ■

Ы 0.0

о

Рис. 5: Зависимость вращательного момента системы из 10 частиц в основном состоянии от скорости вращения, при 7 = 7С = 1/2. Абсолютная погрешность составляет Ю-2. Штриховая линия - макроскопическая зависимость.

На рис. 5 показана зависимость вращательного момента М от скорости вращения сосуда и для системы из 10 атомов и взаимодействия 7 = 0.5. На фоне макроскопической зависимости заметны мезоскопические ступени, отвечающие квантованию углового момента.

На рис. 6 показаны графики M(u)/N для N = 5, 10 и 20 частиц при 7 = 0.2. Для сравнения на том же графике приведена макроскопическая зависимость, полученная при помощи числен-

ного решения Гросса-Питаевского для того же значения 7- Отметим, что ширина плато практически не меняется с уменьшением числа частиц и выражение (3) оказывается применимым даже при N < 10. Вместе с тем ширина промежуточных ступенек уже сравнивается с размером плато.

0.0' ' '—■—■—■—■— 0.6 0.8 1.0 <о1<вс

Рис. 6: Зависимость вращательного момента системы в основном состоянии от скорости вращения, рассчитанная для 5, 10, 20 частиц, при 7 = 0.2. Наклонным пупктиром показана макроскопическая зависимость. Существенно, что с изменением числа частиц размер плато остаётся практически постоянным.

Таким образом, точный расчёт многочастичного основного состояния подтверждает существование эффекта Хесса-Фербен-ка в данной системе, свидетельствующего о наличии конденсата. Фазовая граница (3) эффекта, найденная в пределе N оо, при малом количестве частиц остаётся неизменной.

Глава 4 посвящена запутанности квантовых состояний спиновых систем, рассматриваемых в настоящее время как один из вариантов для реализации квантовых вычислений.

Запутанность (или перепутывание, англ. entanglement) квантовых состояний - основное понятие, лежащее в основе квантовых алгоритмов. Это необычный тип нелокальных и принципи-

ально квантовых корреляций. Если волновую функцию системы, состоящей из нескольких частей, нельзя представить произведением волновых функций этих частей: |Ф.дв} Ф ® , то нельзя говорить о состоянии какой-либо одной частицы в системе. Вместо этого можно лишь сказать, что в некотором состоянии находится вся система многих частиц. Впервые на это явление обратил внимание Э. Шрёдингер в 1935 году (ср. т.н. парадокс "кота Шрёдингера").

Взаимодействие с окружением в общем случае нарушает чистоту состояния, запутывает волновую функцию системы с векторами окружения в единое квантовое состояние. Такое состояние называется смешанным, так как исследуемой системе уже не отвечает какое-либо конкретное квантовое состояние, и теперь она описывается лишь матрицей плотности Тем не менее запутанность при этом может сохраниться. Для пары кубитов, находящихся в запутанном состоянии с окружением, известно выражение [10], позволяющее определить их запутанность между собой:

где - упорядоченные по убыванию собственные значения матрицы являющейся произведением приведённой (reduced) матрицы плотности этих двух кубитов и её аналога после обращения времени, ау - матрица Паули. Величина С (согласованность, англ. concurrence) однозначно определяет парную запутанность кубитов Е(С) (запутанность формирования, entanglement offormation):

Исследуется согласованность соседних спинов в цепочке, описываемой XXZ-моделью Гейзенберга:

где в = |<7, о1^ - матрицы Паули, == 81. Анизотропия взаимодействия определяется параметром Д, все величины измеряются в единицах обменной энергии I. Для исследования данной задачи применялся численный метод точной диагонализации га-мильтоновой матрицы. Представлены результаты по запутанности в цепочках от 4 до 16 узлов в общем случае анизотропии взаимодействия и произвольного внешнего магнитного поля.

На рис. 7 показаны результаты расчётов запутанности формирования Е для соседних спинов цепочки из 10 спинов для; нескольких значениях Д. С увеличением параметра анизотропии возникает значительное различие запутанности в поле (£mag) и в отсутствие поля (Е°). Более того, Ета% превышает запутанность, существовавшую в системе без анизотропии.

С увеличением числа узлов в цепочке значение согласованности С в отсутствие магнитного поля стремится с известному асимптотическому значению

Область значений магнитного поля, при которых существует ненулевая запутанность состояний соседних спинов, с усилением анизотропии расширяется, отражая общую связь запутанности и взаимодействия.

Граница области ненулевой согласованности соответствует квантовому фазовому переходу, при котором все спины цепочки выстраиваются вдоль поля (т.н. спонтанная намагниченность антиферромагнетика). Ближайшая к переходу ступень на графике запутанности (рис. 7) соответствует семейству состояний вис проекцией полного спина = у _ 1- Соответствующее ему

значение равно С = 2/14 (см. рис. 7). Выражение для момента исчезновения запутанности имеет вид:

В Главе 5 обсуждаются булевы логические элементы на основе взаимодействующих систем магнитных моментов, предназначенные для классических вычислений в основном состоянии.

Рис. 8: Характеристика антиферромагнитного элемента "НЕ" - зависимость проекции спина (5| на выходе от управляющего магнитного поля В на входном спине. Схемы элементов показаны на рис. 9. Т = 0. Для элементов (Ь,с^,Ь) также показаны характеристики при Т = 0.01.

При таком способе вычислений значение бита информации связывается с направлением проекции спина. Информация о задаче кодируется полем, накладываемым на управляющие спины. После того, как система релаксирует в состояние, соответствующее минимальной энергии, проекции магнитных моментов на выходе дают результат вычислений. Релаксация системы в новое основное состояние происходит из-за рассеяния на длинноволновых акустических фононах. Выполнение логических операций обеспечивается соответствующим расположением и взаимодействием магнитных моментов.

В литературе предложены различные логические вентили. Однако типичная величина магнитного поля, требуемого для работы этих элементов, составляет около 10 Тл.

Исследование элементов "НЕ" (обращающих входной сигнал) показало, что их чувствительность к управляющему магнитному полю кардинально улучшается при наличии вырождения основного состояния. Простейшим примером такого улучшенного элемента "НЕ" является система спинов 1 и 1/2, взаимодействующих антиферромагнитно:

Я = -В5хг + З^а. (9)

При изменении знака поля на первом узле переключается ветвь основного состояния и проекция выходного спина испытывает скачок величиной 1/3 (см. кривую (с) на рис. 8. Для сравнения на графике (а) показана плавная зависимость, характерная для элемента "НЕ" из пары спинов 1/2 [1]).

Данный элемент эффективно представляет собой спин 1/2, стремящийся направить свою проекцию по внешнему полю. Оценка величины магнитного поля ЦвВ ~ квТ даёт соотношение Б[Тесла] ~ Т [Кельвин]. Поэтому при температуре 0.002 К, достижимой во многих лабораториям при помощи рефрижераторов растворения гелия-3, требующееся магнитное поле не превысит 20 - 50 эрстед.

На том же графике представлены рассчитанные характеристики для более сложных схем спинового элемента "НЕ". Скачок

Я •*$>'

(g). (h)

(d) (e) Т. (f)

(a)

(b)

Рис. 9: Схемы антиферромагнитных элементов "NOT'. Кружки показывают расположение спинов 1/2; сплошные и пунктирные линии обозначают ферромагнитное (FM) и антиферромагнитное (AFM) взаимодействия. Jfm = —1.0, Jafm — 1-0. В схемах (e,f) Jafm — 0.05. Стрелки вверх и вниз обозначают соответственно входной и выходной узлы.

проекции спина 2St определяет вероятность ошибочного измерения ¿ = 1 — 25t. Для системы "1-1/2" вероятность ошибки равна 0.33. У показанных на рис. 9 схем (g,h) эта величина не превышает 0.025.

В Заключении кратко перечислены результаты диссертации.

1. Подтверждено существование эффекта макроскопического квантования вращательного момента (эффекта Хесса-Фер-бенка) для квазиодномерного бозе-газа с притяжением во вращающемся тороидальном сосуде. Аналитически найде-

Основные результаты работы

на область существования эффекта.

2. Подтверждено существование эффекта Хесса-Фербенка в квазиодномерной бозе-системе с притяжением при числе частиц порядка 10. Область параметров, соответствующих эффекту, практически совпадает с макроскопическим описанием.

3. Предложен, разработан и реализован новый эффективный алгоритм квантового Монте-Карло, позволяющий исследовать новые статистические системы, которые ранее не поддавались моделированию точными кластерными методами. При расчётах данным алгоритмом существенно ослаблена проблема знака, что позволяет моделировать системы больших размеров и при более низкой температуре.

4. Показано, что анизотропия взаимодействия расширяет область существования ненулевой согласованности состояний спиновой ХХ2-цепочки. Построена соответствующая фазовая диаграмма.

5. Показано, что для повышения чувствительности классических вычислительных элементов на основе спиновых состояний в квантовых точках необходимо использовать вырождение основного состояния. Предложены эффективные схемы инвертора. Показано, что требующееся для работы магнитное поле может быть уменьшено до 0.01 тесла.

Список публикаций по теме диссертации

1. K.G. Balabanyan, P.F. Kartsev. Degeneracy of the ground state of the system of interacting magnetic moments and its implementation in nanoelectronics // Phys. Low-Dim. Struct. - 1999. - Vol. 9/10. - P. 121-130.

2. К.Г. Балабанян, П.Ф. Карцев. Явления, связанные с вырождением основного состояния взаимодействующих магнитных моментов, возможности использования в нано-электронике // Научная сессия МИФИ-1999: Сб. науч. тр.

- М., 1999. - Т. 3. - С.32-33.

3. В.А. Кашурников, П.Ф. Карцев, Ю.Г. Харченко,

Точный квантовый метод Монте-Карло для кластерных задач: расчёт элементарных возбуждений, учёт дальнодей-ствующего потенциала // Инж. Физика - 2000. - Т. 1. -С. 16-21.

4. П.Ф. Карцев, В.А. Кашурников. Новый метод квантового Монте-Карло в импульсном пространстве. // Научная сессия МИФИ-2000: Сб. науч. тр. - М., 2000 - Т. 4. -С.138-139.

5. П.Ф. Карцев, Эффект Хесса-Фербенка: численный анализ // Научная сессия МИФИ-2001: Сб. науч. тр. - М., 2001

- Т. 4. - С.150-151.

6. П.Ф. Карцев. Корреляционные свойства мезоскоиических бозонных систем // Научная сессия МИФИ-2002: Сб. науч. тр. - М., 2002 - Т. 4. - С.141.

7. П.Ф. Карцев. Новый квантовый алгоритм Монте-Карло в импульсном представлении: проблема знака и эффект Хесса-Фербенка // ЖЭТФ - 2003. - Т. 124, N. 4. - С. 932-942. / JETP - 2003. - Vol. 97, N. 4. - Р. 836-845.

8. P.F. Kartsev. Rotating Bose-Einstein condensate with attractive interaction in one dimension: single-L states and mesoscopics // Phys. Rev. A. - 2003. - Vol. 68. - P. 063613. -4 p.

9. Д.С. Морев, П.Ф. Карцев. Численный расчёт энергетического спектра носителей заряда в обобщённой модели

Хаббарда.// Научная сессия МИФИ-2004: Сб. науч. тр. -М., 2004 - Т. 5. - С.167.

10. P.F. Kartsev. Effect of anisotropy in XXZ Heisenberg chain on entanglement properties // Конф. 2nd Euro-Asian Symposium "Trends in Magnetism" (EASTMAG-2004): Тез. докл.

Список литературы

[1] S. Bandyopadhyay, V.P. Rowchowdhury, X. Wang.

Computing with quantum dots: Novel architectures for nanoelectronics // Phys. Low-Dim. Struct. - 1995. - N. 8/9. - P. 29-82.

[2] A.V. Krasheninnikov, R.A. Koltsov. Temperature effect on the operation of elementary quantum-dot spin gates by the example of the NOT-AND gate 7/ Phys. Low-Dim. Struct. -1998. - N. 9/10. - P. 179-192.

[3] A.M. Бычков, Л.А. Опенов, И.А. Семенихин. Single-electron computing without dissipation // Письма в ЖЭТФ -1997. - Т. 66. - С. 275-179 [JETP Lett. - 1997. - Vol. 66. - P. 298-303].

[4] P.A. Crowell, F.M. van Keuls, J.D. Reppy. Superfluid-insulator transition in 4He films sdsorbed in Vycor glass // Phys. Rev. Lett. - 1995. - Vol. 75. - P. 1106-1109.

[5] Masahito Ueda, A.J. Leggett. Ground-state properties of a rotating Bose-Einstein condensate with attractive interaction // Phys. Rev. Lett. - 1999. - Vol. 83. - N. 8. - P. 1489 1493.

[6] G.P. Berman, A. Smerzi, A.R. Bishop. Quantum instability of a Bose-Einstein Condensate with attractive interaction // Phys. Rev. Lett. - 2002. - Vol..88, No. 12 - P. 120402. 4 p.

[7] P.F. Kartsev. Diagrammatic quantum Monte Carlo algorithm in momentum representation: Hess-Fairbank effect and mesoscopics in ID ВЕС with attractive interaction // LANL E-print -- 2002. - cond-mat/0211356. - 11 p.

[8] H.B. Прокофьев, Б.В. Свистунов, И.С. Тупицын. Exact, complete and universal continuous-time wordline Monte Carlo approach to the statistics of discrete quantum systems // ЖЭТФ - 1998. - T. 114. - С 570-573.

[9] N.A. Metropolis et al. Equation of state calculation by fast computing machines // J. Chem. Phys. - 1953. - Vol. 21 - P. 1087-1090.

[10] W.K. Wo otters. Entanglement of formation of an arbitrary state of two qubits // Phys. Rev. Lett. - 1998. - Vol. 80. -- P. 2245-2248.

[11] V. Subrahmanyam. Quantum entanglement in Heisenberg antiferromagnets // Phys. Rev. A - 2004. - Vol. 69. - P. 022311. [LANL E-print - 2003. - quant-ph/0309004v2. - 7 p.]

Подписано в печать 29.042004 г. Формат 60 х 90/16. Объем 1.0 пл. Тираж 70 экз. Заказ № 29041

Оттиражировано в ООО «САТУРН мтк» 111020, Москва, Авиамоторная ул., 11

Введение

Мезоскопические эффекты в физике наноструктур

Структура и объём диссертации.

1 Квазиодномерный. бозе-газ с притяжением во вращающемся кольце. Часть I.

1.1 Введение.

1.1.1 Конденсация Бозе-Эйнштейна в разреженных атомарных газах

1.1.2 Притяжение в случаях различной размерности

1.1.3 Формулировка проблемы

1.2 Анализ модели в пределе N —> оо.

1.2.1 Подход среднего поля.

1.2.2 Случай бесконечной оси.

1.2.3 Результат исследования: численное решение уравнения Гросса-Питаевского в кольце.

1.2.4 Результаты исследования: точная фазовая картина эффекта.

2 Алгоритм квантового Монте-Карло в . импульсном представлении

2.1 Общие сведения

2.2 Диаграммный метод.

4 2.3 Описание алгоритма.

2.4 Тестирование.

3 Квазиодномерный бозе-газ с притяжением во вращающемся кольце. Часть И: Мезоскопика.

3.1 Модификация алгоритма.

3.1.1 Особенности процессов.

3.1.2 Аналитика для выбора импульса

3.2 Зависимость физических величин от числа частиц.

3.3 Макроскопическое квантование момента вращения системы для малого числа частиц.

4 Запутанность квантовых состояний в спиновых системах 73 « 4.1 Введение.

4.1.1 Квантовые вычисления.

4.1.2 Запутанность (entanglement)

4.2 Модель

4.3 Результаты исследования.

5 Повышение чувствительности спиновых вычислительных элементов

5.1 Классические вычисления на спиновых системах в основном состоянии.

5.2 Схемы элементов и результаты исследования.

5.2.1 Инвертор.

5.2.2 Входной элемент.

Мезоскопические эффекты в физике наноструктур

Физика наноструктур - раздел физики конденсированного состояния, имеющий дело с объектами нанометровых размеров. Наряду с эффектами размерного квантования, здесь не менее важными являются мезоскопические эффекты, связанные с небольшим количеством задействованных частиц [1]. На основе этих эффектов создаются новые нанотехно-логические устройства с необычными свойствами. К примеру, в так называемом одноэлектронном транзисторе [2] используется явление куло-новской блокады, позволяющее "заметить" появление на базе всего лишь одного электрона.

Квантовые законы природы используются в новой быстро развивающейся области квантовых вычислений и квантовой криптографии. Место классического бита информации здесь занимает т.н. "кубит" (англ. qubit, квантовый бит). Это двухуровневая система, которая может находиться не только в состояниях |0) и |1), но также и в произвольной их суперпозиции а |0) + (311). Линейность квантовых уравнений эволюции позволяет выполнять вычисления одновременно над многими наборами исходных данных, что кардинально ускоряет многие операции.

Прогресс последних лет в исследованиях квантовых вычислений объясняется появлением практически применимых алгоритмов. Так, алгоритм Гровера [3] существенно ускоряет поиск в неупорядоченной базе данных, а алгоритм Шора факторизации больших составных чисел [4] делает возможной компрометацию некоторых криптографических схем (прежде всего RSA), считающихся неподдающимися для классических компьютеров.

Уже производятся коммерческие защищённые линии связи, надёжность которых обеспечивается методами квантовой криптографии. Так, линии связи фирм MagiQ Technologies и id Quantique способны передавать секретные криптографические ключи на расстояние до 70 км по стандартному оптическому волокну. В отличие от классических схем защиты информации, которые являются лишь практически невскрывае-мыми, то есть невскрываемыми современными суперкомпьютерами за разумное время, квантовая криптография опирается на законы квантовой механики и потому может обеспечить абсолютную надёжность.

Вместе с тем квантовый компьютер как вычислительное устройство делает только первые шаги. Требуется добиться выполнения вычислений в течение существенного времени (хотя бы 105 операций), решить проблему накопления ошибок и потери когерентности. Такой же важной задачей является увеличение количества кубитов по крайней мере до 103. Наибольшее количество кубитов КК, достигнутое к настоящему времени в эксперименте, составляет 7 и было продемонстрировано в схеме жидкостного ЯМР компьютера [5]. Однако в этой схеме увеличение количества кубитов свыше 30 считается практически невозможным.

В основе одной из наиболее перспективных схем квантового компьютера лежат взаимодействующие спины электронов в твердотельных квантовых точках [б]. Отработанность полупроводниковых технологий позволяет создавать точки с практически любыми параметрами. По той же причине здесь нет ограничений на увеличение количества кубитов.

В последние 2-3 года началось активное исследование перепутывания квантовых состояний в спиновых системах, количество работ отражает значительный интерес специалистов к этому явлению. Создание существенно запутанного состояния оказалось сложной задачей. Вместе с тем, данных по реалистичным системам явно недостаточно. В данной диссертации демонстрируется влияние анизотропии взаимодействия в спиновых системах на запутанность квантовых состояний.

Второй путь построения нанотехнологических вычислительных устройств предполагает реализацию на основе отдельных атомов или электронов классической булевой логики. Биту информации сопоставляется нахождение элемента в одном из двух выбранных состояний. В литературе предложены спиновые логические элементы, опирающиеся на взаимодействие магнитных моментов электронов в квантовых точках. Однако, оценки магнитного поля, которое потребуется накладывать на отдельные квантовые точки, дают величину порядка 10 Тл. В данной диссертации предложена схема организации магнитных элементов, позволяющая уменьшить требуемое магнитное поле до 10~2 Тл и тем самым дающая возможность практической реализации подобных вычислительных устройств.

Не меньший интерес с момента открытия в 1995 году и до настоящего времени вызывает бозе-конденсация атомарных газов щелочных металлов при сверхнизкой температуре порядка 10~8 кельвин. Возможность регулировать параметры конденсата, такие как внешний потенциал, плотность газа и взаимодействие между атомами позволяет экспериментально исследовать свойства различных моделей конденсированного состояния вещества. В течение этих 8 лет Нобелевский комитет уже дважды присудил премии по физике за работы, посвящённые бозе-кон-денсации, отражая важность этих исследований как для теории, так и для практических применений. Однако об особенностях таких систем при сравнительно малом числе частиц известно мало. В данной диссертации представлены результаты исследования мезоскопической одномерной бозе-системы с притяжением, демонстрирующей необычное поведение даже в макроскопическом случае. Получено аналитическое описание данного эффекта.

Между тем, мезоскопические эффекты оказываются наиболее трудными для изучения. В то время как для исследования и описания макроскопических систем достаточно развиты и успешно применяются методы статистической механики, а для одиночных частиц ту же роль выполняют методы квантовой механики, промежуточный случай одинаково сложен для обоих подходов и чаще всего поддаётся исследованию лишь численными методами. Моделирование такой системы расчётом "из первых принципов" оказывается основным методом предсказания её экспериментальных свойств. Прогресс современных вычислительных комплексов позволяет исследовать квантовые модели из 100 и более частиц. Одним из наиболее перспективных и универсальных подходов является квантовый метод Монте-Карло. Однако существуют проблемы, принципиально ограничивающие его возможности даже при существенном увеличении вычислительных затрат. В данной диссертации представлен новый эффективный алгоритм, свободный от этой проблемы.

Цель работы:

1. Разработка новых эффективых численных алгоритмов для моделирования квантовых систем;

2. численное исследование мезоскопических бозонных и спиновых систем, выявление новых фазовых состояний, анализ особенностей поведения с уменьшением числа слагающих систему частиц;

3. расчёт реальных элементов вычислительных устройств.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из Введения, пяти Глав и Заключения. Общий объём - 111 страниц, включая 34 иллюстрации и список литературы из 90 наименований.

Основные результаты, представленные в диссертации:

1. Подтверждено существование эффекта макроскопического квантования вращательного момента (эффекта Хесса-Фербенка) для квазиодномерного бозе-газа с притяжением во вращающемся тороидальном сосуде. Аналитически найдена область существования эффекта.

2. Подтверждено существование эффекта Хесса-Фербенка в квазиодномерной бозе-системе с притяжением при числе частиц порядка 10. Область параметров, соответствующих эффекту, практически совпадает с макроскопическим описанием.

3. Предложен, разработан и реализован новый эффективный алгоритм квантового Монте-Карло, позволяющий исследовать новые статистические системы, которые ранее не поддавались моделированию точными кластерными методами. При расчётах данным алгоритмом существенно ослаблена проблема знака, что позволяет моделировать системы бблыпих размеров и при более низкой температуре.

4. Показано, что анизотропия взаимодействия расширяет область существования ненулевой согласованности состояний спиновой XXZ-цепочки. Построена соответствующая фазовая диаграмма.

5. Показано, что для повышения чувствительности классических вычислительных элементов на основе спиновых состояний в квантовых точках необходимо использовать вырождение основного состояния. Предложены эффективные схемы инвертора. Показано, что требующееся для работы магнитное поле может быть уменьшено до 0.01 тесла.

Все результаты, представленные в диссертации, получены точно, т.е. аналитические выражения верны в пределе бесконечного числа частиц, а соответствующие квантовые задачи для конечных'систем решены с контролируемой точностью и без использования каких-либо упрощений и проближений.

Благодарности

Автор выражает благодарность Владимиру Анатольевичу Кашурни-кову за научное руководство и поддержку и Борису Владимировичу Свистунову за инициирование исследования бозе-газа с притяжением и критические обсуждения. Беседы с Николаем Викторовичем Прокофьевым помогли в разработке представленного алгоритма квантового Монте-Карло. Работы [7, 8] написаны в соавторстве с Кареном Гурге-новичем Балабаняном и при существенном общении с Леонидом Артуровичем Опёновым. Александр Александрович Кокин и Алексей Александрович Ларионов оказали существенную поддержку в исследовании запутанности квантовых состояний.

1. Й. Имри. Введение в мезоскопическую физику - М.: Физматлит, 2002.-304 с.

2. Т.А. Fulton, G.J. Dolan. Observation of single-electron charging effects in small tunnel junctions // Phys. Rev. Lett. 1987. - Vol. 59. -P. 109-112.

3. L. Vandersypen. Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance // Nature — 2001. Vol. 414. - P. 883-887.

4. S. Bandyopadhyay, B. Das, A.E. Miller. Supercomputing with spin-polarized single electrons in a quantum coupled architecture // Nanotechnology 1994. - Vol. 5, N. 2. - P. 113-133.

5. K.G. Balabanyan, P.F. Kartsev. Degeneracy of the ground state of the system of interacting magnetic moments and its implementation in nanoelectronics // Phys. Low-Dim. Struct. 1999. - Vol. 9/10. - P. 121-130.

6. К.Г. Балабанян, П.Ф. Карцев. Явления, связанные с вырождением основного состояния взаимодействующих магнитных моментов, возможности использования в наноэлектронике // Научная сессия МИФИ-1999: Сб. науч. тр. М., 1999. - Т. 3. - С.32-33.

7. В.А. Кашурников, П.Ф. Карцев, Ю.Г. Харченко, Точный квантовый метод Монте-Карло для кластерных задач: расчёт элементарных возбуждений, учёт дальнодействующего потенциала // Инж. Физика 2000. - Т. 1. - С. 16-21.

8. П.Ф. Карцев, В.А. Кашурников. Новый метод квантового Монте-Карло в импульсном пространстве. // Научная сессия МИФИ-2000: Сб. науч. тр. М., 2000 - Т. 4. - С.138-139.

9. П.Ф. Карцев, Эффект Хесса-Фербенка: численный анализ // Научная сессия МИФИ-2001: Сб. науч. тр. М., 2001 - Т. 4. - С.150-151.

10. П.Ф. Карцев. Корреляционные свойства мезоскопических бозон-ных систем // Научная сессия МИФИ-2002: Сб. науч. тр. М., 2002 -Т. 4. - С. 141.

11. П.Ф. Карцев. Новый квантовый алгоритм Монте-Карло в импульсном представлении: проблема знака и эффект Хесса-Фербенка // ЖЭТФ 2003. - Т. 124, N. 4. - С. 932-942. / JETP - 2003. - Vol. 97, N. 4. - Р. 836-845.

12. P.F. Kartsev. Rotating Bose-Einstein condensate with attractive interaction in one dimension: single-L states and mesoscopics // Phys. Rev. A. 2003. - Vol. 68. - P. 063613. - 4 p.

13. Д.С. Морев, П.Ф. Карцев. Численный расчёт энергетического спектра носителей заряда в обобщённой модели Хаббарда // Научная сессия МИФИ-2004: Сб. науч. тр. М., 2004 - Т. 5. - С.167.

14. P.F. Kartsev. Effect of anisotropy in XXZ Heisenberg chain on entanglement properties // Конф. 2nd Euro-Asian Symposium "Trends in Magnetism" (EASTMAG-2004): Тез. докл.

15. E.R. I. Abraham, W.I. McAlexander, C.A. Sackett, R.G. Hulet. Spectroscopic determination of the s-Wave scattering length of lithium // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 74. - P. 1315-1318.

16. J.L. Roberts et al. Controlled collapse of a Bose-Einstein condensate // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - P. 4211-4214.

17. I. Bloch, T.W. Haensch, T. Esslinger. Atom laser with a cw output coupler // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 82. - P. 3008-3011.

18. M.-O. Mewes et al. Output coupler for Bose-Einstein condensed atoms // Phys.Rev.Lett. 1997. - Vol. 78. - P. 582-585.

19. M.R. Andrews et al. Observation of interference between two Bose condensates // Science 1997. - Vol. 275. - P. 637-641.

20. I. Bloch et al. Optics with an atom laser beam // Phys. Rev. Lett. -2001. Vol. 87. - P.030401.

21. R.A. Duine, H.T.C. Stoof. Explosion of a collapsing Bose-Einstein condensate // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - P. 2204-2007.

22. D.G. Fried et al. Bose-Einstein condensation of atomic hydrogen // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81. - P. 3811-3814.

23. F. Pereira dos Santos et al. Bose-Einstein condensation of metastable helium // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - N. 16 -P. 3459-3463. '

24. Yosuke Takasu et al. Spin-singlet Bose-Einstein condensation of two-electron atoms // Phys.Rev.Lett. 2003. - Vol. 91. - P. 040404.

25. A. Leanhgardt. Cooling Bose-Einstein condensates below 500 picokelvin // Science 2003. - Vol. 301. - P. 1513 - 1515.

26. V.A. Kashurnikov, N.V. Prokof'ev, B.V. Svistunov. Critical temperature shift in weakly interacting Bose gas // Phys. Rev. Lett.- 2001. Vol. 87. - P. 120402. - 4 p.

27. Masahito Ueda, A.J. Leggett. Ground-state properties of a rotating Bose-Einstein condensate with attractive interaction // Phys. Rev. Lett.- 1999. Vol. 83. - N. 8. - P. 1489-1493.

28. S.L. Cornish et al. Stable 85Rb Bose-Einstein condensates with widely tunable interactions // Phys.Rev.Lett. 2000. - Vol. 85. - P. 1795-1798

29. E.V. Shuryak. Metastable Bose condensate made of atoms with • attractive interaction // Phys. Rev. A 1996. - Vol. 54. - P. 3151-3154

30. E.P. Gross. Structure of quantized vortex // Nuovo Cimento 1961.- Vol. 20. P. 454. / Л.П. Питаевский // ЖЭТФ - 1961. - Т. 40.- С. 646.

31. C.C. Bradley, C.A. Sackett, R.G.HuIet. Bose-Einstein condensation of lithium: observation of limited condensate number // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 78. - P. 985-989.

32. P.A. Crowell, F.M. van Keuls, J.D. Reppy. Superfluid-insulator transition in 4He films adsorbed in Vycor glass // Phys. Rev. Lett. -1995. Vol. 75. - P. 1106-1109.

33. A. Safonov et al. Observation of quasicondensate in two-dimensional . atomic hydrogen // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81. - P. 4545-4548.

34. N. Byers, C.N. Yang. Theoretical considerations concerning quantized magnetic flux in superconducting cylinders // Phys. Rev. Lett- 1961. Vol. 7. - P. 46-49.

35. G.P. Berman, A. Smerzi, A.R. Bishop. Quantum instability of a Bose-Einstein Condensate with attractive interaction // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 88, No. 12 - P. 120402. - 4 p.

36. E.M. Wright, J. Arlt, K. Dholakia. Toroidal optical dipole traps for atomic Bose-Einstein condensates using Laguerre-Gaussian beams // Phys. Rev. A 2000. - Vol. 63. - P. 013608. - 6 p.

37. A.S. Arnold, E. Riis. Bose-Einstein condensates in 'giant' toroidal magnetic traps // LANL E-print 2001. - cond-mat/0110295v2. - 5 p.

38. J.B. McGuire // Jour, of Math. Phys. 1964. - Vol. 5 - P. 622.

39. Hidenori Hasimoto. A soliton in a vortex filament //J. Fluid Mech.- 1972. Vol. 51, part 3 - P. 477-485.

40. Y. Castin, Ch. Herzog. Bose-Einstein condensates in symmetry breaking states // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris- 2001. Vol. 2, Ser. IV. - P. 419-443. LANL E-print - 2000. - cond-mat/0012040. - 24 p.

41. D.L. Kovrizhin, L.A. Maksimov. "Cherenkov radiation" of a sound in a Bose condensed gas.// Phys. Lett. A 2001. - Vol. 282, N. 6. - P. 421-427.

42. W.Bao, D. Jaksch, P.A. Markowich. Numerical solution of the Gross-Pitaevskii equation for Bose-Einstein condensation //J. Comput. Phys. 2003. - Vol. 187, N. 1 - P. 318-342. LANL E-print - 2003. -cond-mat/0303239. - 33 p.]

43. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 9: Статистическая физика, ч. 2 / Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский.- М.: Физматлит, 2001. С. 130.

44. Handbook of elliptic integrals for enginneers and scientists. Springer-Verlag, 1971.

45. Rina Kanamoto, Hiroki Saito, Masahito Ueda. Quantum phase transition in one-dimensional Bose-Einstein condensates with attractive interactions // Phys. Rev. A 2003. - Vol. 67. - P. 013608. - 7 p. LANL E-print - 2002. - cond-mat/0210229. - 7 p.]

46. N.V. Prokof'ev, B.V. Svistunov. Worm algorithms for classical statistical models // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 87. - P. 160601. -4p.

47. E.A. Burovski, A.S. Mishchenko, N.V. Prokof'ev, B.V. Svistunov. Diagrammatic quantum Monte Carlo for two-bodyproblems: applied to excitons // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 87.- P. 186402. 4 p.

48. P.C.E. Stamp, I.S. Tupitsyn. Coherence window in the dynamics of quantum nanomagnets // Phys. Rev. В 2004. - Vol. 69. - P. 014401.- 5 p. LANL E-print 2003. - cond-mat/0302015. - 5 p.

49. Yu. M. Kagan et al. Quasicondensation in a two-dimensional interacting Bose gas // Phys. Rev. A 2000. - Vol. 61. - P. 043608. -4 p.

50. Nobuo Furukawa, Masatoshi Imada. Minus sign problem in the Monte Carlo simulation of lattice fermion systems //J. Phys. Soc. Jpn. -1991.-Vol. 60, N. 3.-P. 810.

51. E.H. Lieb, F.Y. Wu. Absence of mott transition in an exact solution of the short-range, one-band model in one dimension // Phys. Rev. Lett.- 1968. Vol. 20, N. 25. - P. 1445-1448.

52. J.E. Hirsch, D.J. Scalapino, R.L. Sugar, R. Blankenbecler.

53. Efficient Monte Carlo, procedure for systems with fermions // Phys. Rev. Lett. 1981. - Vol. 47. - P. 1628-1631.

54. P.F. Kartsev. Diagrammatic quantum Monte Carlo algorithm in momentum representation: Hess-Fairbank effect and mesoscopics in ID ВЕС with attractive interaction // LANL E-print 2002. - cond-mat/0211356. - 11 p.

55. H.B. Прокофьев, Б.В. Свистунов, И.С. Тупицын. Exact, complete and universal continuous-time wordline Monte Carlo approach to the statistics of discrete quantum systems // ЖЭТФ 1998. - T. 114. - C. 570-573.

56. N.V. Prokof'ev, B.V. Svistunov, I.S. Tupitsyn. "Worm" algorithm in quantum Monte Carlo simulations // Phys. Lett. A -1998. Vol. 238. - P. 253-257.

57. А.А. Абрикосов, JI.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский. Методы теории поля в статистической физике М. Физматлит, 1962. - 444с.

58. N.A. Metropolis et al. Equation of state calculation by fast computing machines // J. Chem. Phys. 1953. - Vol. 21 - P. 1087-1090.

59. I. Carusotto, Y. Castin. Condensate statistics in one-dimensional interacting Bose gases: exact results // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 90, N. 3. - P. 030401. - 4 p.

60. N. Kawashima, J.E. Gubernatis. Loop algorithms for quantum simulations of fermion models on lattices // Phys. Rev. В 1994. -Vol. 50, N. 1. - P. 136-149.

61. Z. Neda and Z. Dezco. Limits of the Quantum Monte Carlo method •// LANL E-print 1999. - cond-mat/9912383. - 17 p.

62. Ю.И. Манин. Вычислимое и невычислимое. М.: Сов. Радио, 1980, с. 128.

63. А.К. Ekert. Quantum cryptography based on Bell's theorem // Phys. Rev. Lett. 1991. - Vol. 67. - P. 661-663.

64. A. Einstein, В. Podolsky, N. Rosen. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? // Phys. Rev. 1935. - Vol. 47. - P. 777-780. Успехи физ. наук - 1936. - Т. 16. -С. 440-442.

65. W.K. Wootters. Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 80. - P. 2245-2248.

66. K.A. Валиев, А.А. Кокин. Квантовые компьютеры: надежды и реальность Ижевск: НИЦ "Регуляр. и хаотич. динам.", 2001. - с. 42.

67. D. Greenberger, М. Home, A. Shimony, A. Zeilnger. Bell's theorem without inequalities // Am. J. Phys. 1990. - Vol. 58. - P. 1131.

68. X. Wang. Threshold temperature for pairwise and many-particle thermal entanglement in the isotropic Heisenberg model // Phys. Rev. A 2002. - Vol. 66. - P. 044305. LANL E-print - 2002. - quant-ph/0205049v3 - 4 p.]

69. X. Wang, P. Zanardi. Quantum entanglement and Bell inequalities in Heisenberg spin chains Phys. Lett. A 2002. - Vol. 301, N. 1-2. - P. 1-4. LANL E-print - 2002. - quant-ph/0202108vl. - 4 p.]

70. V. Subrahmanyam. Quantum entanglement in Heisenberg antiferromagnets // Phys. Rev. A 2004. - Vol. 69. - P. 022311. LANL E-print - 2003. - quant-ph/0309004v2. - 7 p.]

71. M.C. Arnesen, S. Bose, and V. Vedral. Natural thermal and magnetic entanglement in the ID Heisenberg model // Phys. Rev. Lett. -2001. Vol. 87. - P. 017901. - 4 p.

72. G. Rigolin. Thermal entanglement in the two-qubit Heisenberg XYZ model // LANL E-print 2003. - quant-ph/0311185vl - 6p.

73. D. Gunlycke, S. Bose, V. M. Kendon, V. Vedral. Thermal concurrence mixing in a ID Ising model // Phys. Rev. A 2001. - Vol. 64. - P. 042302. - 8 p. LANL E-print - 2001. - quant-ph/0102137v2. -7 p.]

74. A. Osterloh, L. Amico, G. Falci, R. Fazio. Scaling of entanglement close to a quantum phase transitions // Nature 2002. - Vol. 416. - P. 608. LANL E-print - 2002. - quant-ph/0202029v2. - 4 p.]

75. Xiaoguang Wang, H. Fu, A.I. Solomon. Thermal entanglement in three-qubit Heisenberg models // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. - Vol. 34. - P. 11307-11315.

76. Shi-Jan Gu, Hai-Qing Lin, You-Quan Li. Entanglement, quantum phase transition and scaling in XXZ chain // Phys. Rev. A 2003. - Vol. 68. - P. 042330 - 4 p. LANL E-print - 2003. - quant-ph/0307131v2. -4 p.]

77. O. Osenda, Zhen Huang, S. Kais. Tuning the entanglement for a one-dimensional magnetic system with anisotropic coupling and impurities // Phys. Rev. A 2003. - Vol. 67. - P. 062321. - 4 p.

78. Aplesnin S.S. The study of magnetic properties of the quasi-one-dimensional antiferromagnet with S = 1/2 by Monte-Carlo method // Phys. Low Dim. Struct. - 2000. - N. 9/10. - P. 32.

79. C. Lancsoz. An iteration method for the solution of the eigenvalue problems of linear differential and integral operators // J. Res. Nat. Bur Stand. 1950. - Vol. 45. - P. 255-282.

80. E. Dagotto. Correlated electrons in high-temperature superconductors // Rev. Mod. Phys. 1994. - Vol. 66, N. 3. - P. 763-840.

81. J.E. Hirsch. Electronic dynamic Hubbard model: exact diagonalization study // Phys. Rev. В 2003. - Vol. 67. - P. 035103. - 15 p.

82. S. Bandyopadhyay, V.P. Rowchowdhury, X. Wang. Computing with quantum dots: novel architectures for nanoelectronics // Phys. Low-Dim. Struct. 1995. - N. 8/9. - P. 29-82.

83. A.V. Krasheninnikov, R.A. Koltsov. Temperature effect on the operation of elementary quantum-dot spin gates by the example of the NOT-AND gate // Phys. Low-Dim. Struct. 1998. - N. 9/10. - P. 179-192.

84. A.M. Бычков, JI.A. Опенов, И.А. Семенихин. Single-electron computing without dissipation // Письма в ЖЭТФ 1997. - Т. 66. -С. 275-179 JETP Lett. - 1997. - Vol. 66. - P. 298-303].

85. S.N. Molotkov, S.S. Nazin. Single-electron spin logical gates // Письма в ЖЭТФ 1995. - Vol. 62, N. 3. - P. 256-263.

86. A.M. Bychkov, L.A. Openov. Non-dissipative logic device NOT based on two coupled quantum dot // Phys. Low-Dim. Struct. 1998. - N. 9/10 - P. 153-178.

87. D. A. Allwood et al. Submicrometer ferromagnetic NOT gate and shift register // Science 2002. - Vol. 296. - P. 2003-2006.

88. S.N. Molotkov, S.S. Nazin. Single-electron spin quantum dot logical gates with ferromagnetic chains // Phys. Low-Dim. Struct. 1997. - N. 10. - P. 85-94.