Микроскопическая теория структурных и фазовых превращений в смектических жидких кристаллах

Хейфец, Борис Борисович

Микроскопическая теория структурных и фазовых превращений в смектических жидких кристаллах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Хейфец, Борис Борисович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Микроскопическая теория структурных и фазовых превращений в смектических жидких кристаллах»

Автореферат диссертации на тему "Микроскопическая теория структурных и фазовых превращений в смектических жидких кристаллах"

На правах рукописи

Борис Борисович Хейфец

Микроскопическая теория структурных и фазовых

превращений в смектических жидких кристаллах

01.04.07

«Физика конденсированного состояния»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- 6 ПАР 2014

005545697

Москва, 2014

005545697

Работа выполнена на кафедре теоретической физики и квантовых технологий ФГАОУ ВПО "Национальный Исследовательский Технологический Университет «МИСиС»"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

С. И. Мухин (НИТУ «МИСиС»)

Официальные оппоненты: 1. доктор физико-математических наук, профессор

Ефим Иосифович Кац (ИТФ им. Ландау, РАН) 2. доктор физико-математических наук, профессор Константин Вольдемарович Шайтан (Биофак МГУ)

Ведущая организация: Институт физической химии и электрохимии им. А. Н.

Фрумкина

Защита состоится 27 марта 2014 г. в 15:30 на заседании диссертационного совета Д 212.132.08 при НИТУ «МИСиС» по адресу: 119049, г. Москва, Ленинский проспект 4, ауд. Б-1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Национальный Исследовательский Технологический Университет «МИСиС»"

«2^ ^

Автореферат разослан « Цъ 2014 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

с.М^,

С. И. Мухин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Введение. Актуальность проблемы. Физика структурных и фазовых превращений в смектиче-ских жидких кристаллах представляет собою активно развивающееся направление физики конденсированного состояния. Отдельное важное место в развитии этого направления занимают фундаментальные и прикладные исследования липидных и болалипидных биологических мембран клеток живых организмов, рассматриваемых как мультикомпонентные двухслойные смектические жидкие кристаллы. Их изучение преследует такие цели как понимание процессов, протекающих в живых организмах, так и дальнейшее развитие перспективных методов лечения человека, таких как адресная доставка активных молекул к поражённым клеткам организма.

Данную работу можно разделить на три части.

В первой части рассматривается теоретическая микроскопическая модель болалипидной мембраны — мембраны архей [1,2]. В отличие от обычных липидов (см. рис. 1(a)), болалипиды простираются на весь бислой (см. рис. 1(b)), имеют более прочную химическую связь, соединяющую гидрофильную голову и гидрофобные хвосты [3], менее гибкие углеводородные цепочки [4]. Всё это способствует тому, что болалипидная мембрана может быть устойчивей липидной при внешних термодинамических и химических воздействиях [3-5]. Это открывает потенциальные возможности применения болалипидных мембран в медицинских приложениях и обуславливает к ним повышенный интерес [6].

Болалипиды рассматриваются в рамках модели гибких струн (см. раздел "Методы вычисления", далее). Модель гибких струн применяется и в остальных частях диссертационной работы.

Во второй части рассматривается эффект добавочной площади на границе домена жидко-неупорядоченных липидов в жидко-упорядоченной матрице [7] (см. рис. 2). Задача имеет отношение к проблеме малого размера рафтов [8] — метастабильных доменов в мультикомпонентных липидным мембранах. In vivo рафты существуют до 103 с [9], и до нескольких дней in vitro [10]. При этом они имеют небольшой размер: 10-100 нм in vivo [8], и порядка нескольких микрон in vitro [И].

В экспериментах, проводимых на модельных мембранах, было установлено, что рафты бислойны и имеют практически круглую форму, которая быстро (за времена порядка секунд) восстанавливается при возмущении, что указывает на наличие достаточно большой (по сравнению с температурными флуктуациями) энергии границы рафтов. Часть этого натяжения приходится на гидрофобное несовпадение рафта и мембарны по высоте [12-14]. Другая часть, вероятно, приходится на эффект добавочной площади, о котором мы упоминали выше (см. рис. 2).

Рис. 1. (а): монолипиды; (Ь): болалипид; (с): бо- Рис. 2. Двух компонентная мембрана, вид свер-лалипид в hair-pin конформации ху: на границе домена имеется добавочная

площадь, которую граничные липиды должны поделить между собой

Экспериментальному [9,10,15] и теоретическому [16 -18] исследованию рафтов посвящено большое количество работ. Однако физические механизмы фазовых переходов, приводящих к появлению рафтов до конца не выяснены. В частности не оценён эффект добавочной площади, приводящий к более высокому линейному натяжению на границе рафт-мембрана. Свойства и состояние рафтов оказывают решающее влияние на функционирование большинства мембранных белков и протекание таких процессов, как внутри- и внеклеточная передача сигналов, экзо- и эндоцитоз, сборка вирусных частиц. Это обуславливает актуальность теоретического исследования вопросов связанных с энергией границы рафтов.

Третья часть, так же как и первая, посвящена теоретическому сравнению устойчивостей к порообразованию при латеральном растяжении липидной и болалипидной мембран. Однако, если в первой части сравнивались свободные энергии мембран, то в этой части сравниваются критические давления — наименьшие давления при которых в мембранах возникают стабильные поры.

Критическое давление — это важный показатель устойчивости мембраны к внешним латеральным напряжениям, а теория пор имеет фундаментальную ценность для теории липидных мембран.

Цели и задачи исследования. Целью работы является построение фазовых диаграмм порообразо-

вания жидкокристаллической монолипидной мембраны, и гельфазной болалипидной мембраны из микроскопической модели. Кроме того, работа посвящена вычислению вклада в энергию границы раф га энергии связанной с дополнительной площадью несовпадения на границе рафт — окружающая мембрана.

Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие задачи:

• построить микроскопическую модель гибких струн для болалипидов

• использовать микроскопическую теорию для параметризации феноменологического описания пор в липидных мембранах

• получить аналитическое выражение для критического давления в терминах микроскопической модели

• оценить как зависит величина добавочной площади на границе домена другой фазы от

Методы вычисления. Вычисления проводились в рамках теории гибких струн, впервые предложенной в [19]. В этой модели липид моделируется в виде эффективной струны с несжимаемой площадью поперечного сечения, с заданной изгибной жёсткостью (см.рис. 3), К). Под действием тепловых флуктуации (и движения липида как целого по мембране), эффективная струна, в среднем, заметает цилиндр сечения А.

Рассмотрение ведётся в терминах отклонений формы струны как функции от координаты г по толщине мембраны от вертикали, Щ.г). Взаимодействие липидов между собой моделируется с помощью квадратичного потенциала, жёсткость которого. В, находится с помощью условия самосогласования которое учитывает энтропийное отталкивание между цепочками соседних липидов как функцию от площади на липид. Функционал энергии цепочки в самосогласованном поле соседей, которое учитывает энтропийное отталкивание между цепочками, записывается в виде:

(записано для болалипидов) Здесь первое подинтегральное слагаемое описывает кинетическую энергию колебаний цепочки, второе слагаемое — изгибная энергия цепочки с изгибным модулем (жесткость цепочки) К/, последнее слагаемое — описанный выше самосогласованный потенциал

размера домена, и микроскопических характеристик липидов мультикомпонентной мембраны

оценить влияние на величину и термодинамическую стабильность рафтов эффекта добавочной площади на их границе

(1)

энтропийного отталкивания. Таким образом, последние два слагаемых в (1) представляют в сумме функционал «потенциальной энергии» для произвольной конформации цепочки Щг).

Произвольную конформацию липида Л.(.г) можно разложить по собственным функциям оператора потенциальной энергии липида: Ях = 52п Далее, с помощью техники интеграла по траекториям, удаётся вычислить вклад энтропийного отталкивания между липидами в свободную энергию липидной мембраны и получить последнюю в виде функции от площади на липид. Зная свободную энергию углеводородных цепочек в мембране, можно вычислить профиль латерального давления (отталкивания) по толщине мембраны (см. рис. 4). Это энтропийное отталкивание компенсируется поверхностным натяжением в области гидрофобных голов липидов (см. рис. 4). Из условия баланса этих сил, т.е. из условия минимальности свободной энергии мембраны, находится равновесная площадь на липид, А.

Рис. 3. Липид как гибкая стру- , _ , _ ч . , „

Рис. 4. Типы взаимооеиствия липидов в мембране между собой и

качественный профиль латерачьного давления.

Зная площадь на липид, величину энтропийного отталкивания между липидами и их эффективную изгибную жёсткость, можно вычислить свободную энергию липидных цепочек, что даёт ключ к вычислению эффективных упругих модулей и других механических и термодинамических характеристик (бола)липидных мембран.

Научная новизна. В работе впервые построена и применена модель гибких струн для описания фазовых и структурных превращений в болалипидной мембране. На ее основе произведено сравнение свободных энергий моделируемых мембран из моно- и бола- липидов. Аналитически вычислен профиль латерального давления болалипидной мембраны, и ряд других её термодинамических свойств. Построена феноменологическая теория порообразования в липидных мембранах для ансамбля с заданными объемом, числом липидов и температурой (NVT ансамбль) с использованием коэффициента латерального растяжения/сжатия мембраны вычисленного на основе микроскопической модели гибких струн . Вычислены фазовые диаграммы порообразования в жидкокристаллической монилипидной мембране, и гельфазной болалипидной мембране одинаковых площадей. Обнаружено, что выражение для критического давления жидкокристаллической монолипид-ной мембраны содержит дополнительный малый параметр по сравнению с выражением для гель-фазной болалипидной мембраны. Вычислен вклад в линейное натяжение границы домена другой фазы в липидной мембране связанный с добавочной площадью несовпадения в области соприкосновения разных фаз.

Практическое значение работы. Практическая значимость работы заключается в разработке и применении модели гибких струн для расчёта термодинамических и упругих свойств болалипид-ных мембран. Эта модель позволяет рассматривать термодинамику болалипидных мембран на основе микроскопической теории, и сравнивать стабильность бола- и монолипидных мембран в терминах свободных энергий липидов. Построение микроскопической теории порообразования в мембранах позволяет сравнить механическую стабильность бола- и монолипидных мембран в терминах критических латеральных давлений. Кроме того, эта теория связывает критическое давление с линейным натяжением кромки поры. В случае болалипидной мембраны обе величины экспериментально неизвестны. Однако если удастся измерить одну из них, то теория даст предсказание для величины другой. Результат вычисления вклада в энергию линейного натяжения доменов энергии связанной с площадью несовпадения на границе может быть по порядку равен энергию гидрофобного несовпадения. В перспективе этот эффект можно оценить численно с помощью молекулярной динамики.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

1. Kheyfets B.B. Bolalipid Membrane As a Coating Material For The Address Delivery Of Healing Molecules // 31 st International SAMPE Conference, Paris, France, 2010.

2. Kheyfets B.B., Mukhin S.I. Flexible Strings Model: Two Types of Lipids in the Same Membrane // Coarse-Grained Biomol. Model. CECAM-HQ-EPFL, Lausanne, Switzerland, 2011.

3. Kheyfets B.B., Mukhin S.I. Analytical approach to thermodynamics of bolalipid membrane // 19th

International Symposium «Metastable Amorphous Nanostructured Materials» ISMANAM 2012, NUST "MISiS", Moscow, 2012.

4. Mukhin S.I., Kheyfets B.B. Analytical Derivation Of Thermodynamic Properties Of Bolalipid Membrane // 54th Annual Meeting of American Biophysical Society, San Francisco, California, 2010.

5. Mukhin S.I., Kheyfets B.B. Analytical approach to thermodynamics of bolalipid membrane // 9th International Frumkin Symposium "Electrochemical Technologies and Materials for the XXI Century" Russian Journal of Electrochemistry, Moscow, 2010.

Публикации. Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в трех статьях в отечественных и зарубежных реферируемых журналах, входящих в список изданий, рекомендуемых Высшей аттестационной комиссией России для опубликования научных результатов диссертации на соискание учёной степени кандидата наук.

1. Mukhin S.I., Kheyfets B.B. Analytical approach to thermodynamics of bolalipid membranes // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82, № 5. P. 051901.

2. Kheyfets B.B., Mukhin S.I. Entropic part of the boundary energy in a lipid membrane // Biochem. Mosc. Suppl. Ser. Membr. Cell Biol. 2011. Vol. 5, № 4. P. 392-399.

(см. также [24]).

Объём и структура диссертации. Работа изложена на 176 страницах и иллюстрирована 50 рисунками. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Список цитированной литературы содержит 93 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Обзор литературы посвящен анализу литературы и содержит четыре раздела, описывающие смектические жидкие кристаллы, липидные мембраны, теорию гибких струн для монолипидных мембан и теорию пор в липидных мембранах.

В первой части главы приведено краткое описание основных типов жидких кристаллов. Особое внимание уделено лиотропным смектическим жидким кристаллам. Рассмотрены основные физические свойства и методы теоретического исследования этих систем. Описываются существующие микроскопические и феноменологические модели смектических жидких кристаллов.

Вторая часть главы посвящена липидным мембранам, рассматриваемым как бислойные лиотропные смектические жидкие кристаллы. Описаны их основные физические свойства. Рассмотрены особенности моделей, описывающих липидные мембраны, по сравнению с моделями жидких кристаллов. Введено понятие рафтов - доменов жидко-упорядоченной фазы в липидных мембранах. Ключевыми для постановки целей и задач теоретического моделирования свойств рафтов являются следующие факты: 1. Рафты обогащены сфингомиелином; 2. Бислой в рафтах толще окружающей мембраны.

Третья часть посвящена краткому изложению теории гибких струн для монолипидных мембран. Даны параметры при которых производятся расчёты для монолипидных мембнан. Эта часть содержит описание базовой модели, применяющейся на протяжении всей работы. В изложении, в отличие от оригинальной работы [19], функционал энергии цепочки включает в себя кинетическую энергию осциляций цепочки.

Четвёртая часть главы посвящена теории пор в липидных мембранах. Изложены теории пор в РТ и ЛГУТ ансамблях, а также принципы теоретического описания пористой фазы. Введены понятия: критическое давление и растяжение мембраны. Глава 4 написана на основе макроскопической ЛГУТ теории пор. Вводятся понятия жидкий предел и предел гель-фазы.

Глава 2. Теория гибких струн для болалипидных мембран содержит вывод теории гибких струн с симметричными относительно голов липидов граничными условиями для эффективной струны, которые отличаются от асимметричных граничных условий использованных ранее для монолипидных мембран (см. раздел "Методы вычисления" выше):

Я'(0) = 0 цепочка выходит из поверхности мембраны под прямым углом

Я"'(0) = 0 полная сила действующая на голову на поверхности мембраны равна нулю

Д'(2£) = О

то же самое для другой поверхности мембраны

Д (2Х<) = О

Далее, применяется стандартная техника модели гибких струн и вычисляются профили латерального давления и ориентационного параметра порядка струны (липидной цепочки) по толщине мембраны.

Результаты теоретических расчётов представлены на рис. 5 и 7. Как следует из рис. 5, профили латерального давления в бислойной монолипидной мембране качественно отличны от профилей латерального давления в болалипидной мембране. Максимум латерального давления в области межслойной поверхности бислоя (сплошная линия) отсутствует в болалипидной мембране (штриховая линия).

Профиль латерального давления

71 - 31» А. А, - 20 к. Т - 300 к, )' - 30 эрг/см"

Рис. 5. Профиль латерального давления углеводородных цепочек болалипидной мембраны (пунктирная линия) и монолипидной мембраны (сплошная линия) вычисленные при одних и тех же параметрах. Пик на профиле латерального давления монолипидов имеет лишь условное значение: в области пика перестаёт работать приближение. Однако эту тенденцию подтверждают эксперименты и компьютерные симуляции. Видимо по той же причине тощади под кривыми моно-и бола- липидов не равны. Штрих-пунктирная линия показывает профиль латерального давления болалипидной мембраны, имеющей ¡0% липидов в 11-конформации (см. рис. 1с): по 5% в каждом монослое

Эту тенденцию подтверждают компьютерные симуляции [20] (см. рис. 6).

300

cyclic di-DPPC (40% trans)

-500

-4

-3

-2

-1

z(nm)

Рис. 6: Профили латерального давления для моно- (чёрная кривая) бола- липидных мембран (синяя кривая) вычисленные с помощью компьютерных симуляций [20]. Область гидрофобных цепочек

выделена прямоугольником.

Это различие объясняют результаты теоретического вычисления ориеитационного параметра порядка 5(г) углеводородных цепочек липидов в мембранах обоих типов:

где в(г) — локальный угол отклонения цепочки от прямой вдоль оси г, угловые скобки означают термодинамическое среднее. На рис. 7 видно, что 5(г) в области межслойной поверхности в бислое (г = Ь) достигает глубокого минимума, т.е. происходит значительная разориентация сегментов липидной цепочки. В случае же болалипидной цепочки (штриховая линия на рис. 7) глубокий минимум £(.г) отсутствует, поскольку флуктуации ориентации болалипидной цепочки не имеющей разрывов по всей длине между противоположными поверхностями мембраны (рис. 1, цепочка (Ь)) нарастают медленней, чем в монолипидном бислое, в котором монолипидные цепочки имеют "свободные" концы в середине бислоя (рис. 1, цепочка (а)). Сопоставляя теперь рис. 5 и 7 видим, что максимум в профиле латерального давления в середине монолипидного бислоя соответствует минимуму ориеитационного параметра порядка монолипидной цепочки: энтропийное от-

(2)

талкивание максимально в области, где изгибные флуктуации цепочки наибольшие.

Параметр порядка 11 = .10 А, А, - 20 А', Т = 300 К, у - 30.0 эрг/см1

Рис. 7: Параметр порядка углеводородных цепочек вычисленный с помощью модели гибких струн для болалипидов (пунктирная линия) и монолипидов (сплошная линия) при одних и тех же параметрах; г-координата нормирована на толщину монослоя, Ь. Пик в параметре порядка монолипидов имеет лишь условное значение: в области пика перестаёт работать приближение.

Однако эту тендецию подструждают эксперименты

В случае монолипидов вблизи области между слоями не работает приближение малых отклонений, поэтому вблизи вершины пик имеет лишь умозрительное значение: он показывает тенденцию монолипидов иметь пик в межслоевой области, по сравнению с болалипидами.

Эту тенденцию подтверждают как эксперименты [21] (см. рис. 8) так и компьютерные симуляции [20] (см. рис. 9).

8 14 20 О Carbon Index (/)

Рис. 8: Параметр порядка монолипидов (красная линия) и болалипидов (синяя линия) определённые с помощью ЯМР [21]

«s-

• W ^

Л ^ с> &

Рис. 9: Параметр порядка монолипидов (синяя линия) и болалипидов (чёрная линия) определённые с помощью молекулярной динамики [20]

Глава также содержит изложение теории жёстких стрежней для моно- и бола- липидов применяющихся в последующих главах. Даны теоретические оценки применимости приближения классической механики для вычисления колебательного вклада молекулярных цепочек в свободную энергию мембраны вместо квантовомеханического расчёта для цепочки с использованием мод квантовых колебаний.

Глава 3. Эффект добавочной площади на границе доменов

Рассматривается двух-компонентрая мембрана, компоненты которой имеют разные площади на липид, и даётся модельное выражение для добавочной площади (см. рис. 2) на границе доменов:

АЕ = Щ(Ае~Ас)Ыье (3)

Эта формула даёт ожидаемые результаты в предельных случаях: малую величину добавочной площади в случае когда площади на липид почти не отличаются, или, наоборот, когда площади на липид отличаются во много раз. Используя это модельное выражение и модель гибких струн можно получить зависимость энергии границы домена от радиуса домена (см. рис. 10).

- - Верхняя граница эффекта, КгС = «>

• • Нижняя граница эффекта, Кгс = 2Кгс

• • Один липид, К[С ~ 00

— Энергия гидрофобного несовпадения

15 к, А

Рис. 10. Зависимость энергии границы домена от радиуса домена в двух предельных случаях: липиды с почти одинаковыми изгибными модулями цепочек (вверху), и случай домена из жёстких стержней в жидко-кристачлической матрице (внизу)

Рассмотрение твёрдых стержней в рамках модели гибких струн будет использовано и в Главе 4.

Показывается, что энергетический эффект добавочной площади по порядку величины совпадает с энергией гидрофобного несовпадения.

Далее, рассматривается свободная энергия мембраны конечного размера с доменами имеющими положительную энергию границы, и показывается, что свободная энергия не имеет минимума. На основе сделанных расчётов, мы делаем вывод, что существование рафтов конечного размера невыгодно, однако т.к. энергия границы как функция от радиуса домена имеет минимум, то возможно образование метастабильных доменов флуктуационным образом.

Глава 4. Микроскопическая теория пор в мембранах строится на основе макроскопической теории мембран для NУТ ансамбля гибких струн.

Полуфеноменологический функционал свободной энергии для болалипидов:

где N - число углеводородных цепочек; - свободная энергия осцилляций хвостов в мем-

бране возможно под давлением; Ар - площадь на липид в мембране; 7 - коэффициент энергии по-

Г = N ■ Ь(АР) + 2у ■ 7г(К| - Я2) + 2тгК • ук

(4)

верхностного натяжения на гидрофобной границе мембраны (см. рис. 4); Дц - внешний радиус круговой мембраны с порой или без; Я - радиус поры; -уд - линейное натяжение на границе поры.

Начиная с функционала энергии (4), и используя модель гибких струн (1) , удаётся привести выражение для свободной энергии мембраны с порой к виду [22,23]:

здесь Ка это модуль сжатия мембраны, Яц это радиус круга, который мембрана с или без поры должна накрыть, Но это радиус мембраны без поры и без внешнего напряжения, -уц это линейное натяжение на кромке поры.

Здесь выражение для модуля латерального растяжения/сжатия болалипидной мембраны находится дифференцированием по площади на липид свободной энергии вычисленной в микроскопической модели гибких струн:

где А - это равновесная площадь заметаемая цепочкой болалипида в мембране без пор и внешнего растягивающего латерального давления.

Если считать что N- это число липидов в монослое, то выражение (4) остаётся справедливым и для монолипидной мембраны, а выражение (6) надо переписать в виде:

где А - это средняя площадь заметаемая цепочкой монолипида в мембране без пор и внешнего давления.

Болалипиды имеют более прочную химическую связь соединяющую гидрофильную голову и гидрофобные хвосты [3], менее гибкие углеводородные цепочки [4]. Видимо это и приводит к тому, что болалипиды имеют склонность к образованию гель-фазы [20]. Поэтому в этой работе бо-лалипидная мембрана моделируется в виде твёрдых стержней, а монолипидная мембрана в виде гибких струн.

Чтобы получить аналитические выражения для параметров фазовой диаграммы порообразования в терминах модели гибких струн, приходится рассматривать отношение "поверхностной

энергии" липида к тепловой энергии, в том или ином пределе. Для монолипидов мы рассматриваем предел

(6)

(7)

В диссертации показано, что этот предел соответствует жидко-неупорядоченному состоянию мембраны.

Болалипиды имеют изопренные цепочки [б], вместо цепочек жирных кислот монолпидных мембран, поэтому мы рассматриваем большие несжимаемые площадиЛо в случае болалипидов:

В диссертации показано, что этот предел соответствует жидко-упорядоченному состоянию мембраны.

В макроскопической теории мембран для ЛГУТ ансамбля, изложенной, например, в [23], наименьшее растяжение мембраны, начиная с которого в мембране существует стабильная пора, находится из условия равенства свободных энергий растянутой мембраны с порой конечного радиуса и без поры:

Д = Щ — Кд "растяжение" мембраны: избыток площади мембраны [без учёта поры] по сравнению с площадью до приложения растягивающего латерального давления, делённый на число тт. Соответственно, истинное "растяжение" пропорционально Я| - Щ - Я2. Однако именно Д фигурирует в расчётах для NУТ ансамбля. Из этого уравнения и условия минимума свободной энергии как функции от радиуса поры 7? удаётся найти параметры мембраны с равновесной порой:

Ч^г

Де= з (Ч^У73 (12)

21/3 ^ Ка

С помощью рассмотренных выше пределов в рамках модели гибких струн удаётся получить микроскопические выражения для Ка. Выражения приводятся в тексте диссертации.

Наконец, мы можем формально ввести латеральное давление в мембране, в которой существует пора радиуса Я, покрывающая площадь тгД:

7ГЭД Щ

Если в мембране нет поры, то Я = 0. Если в мембране есть пора, то можно учесть что радиус поры минимизует ДF (см. (5)). Тогда получаем:

Это давление проинтегрировано по толщине мембраны, оно имеет размерность: сила делённая на длину. Чтобы перейти к обычным единицам для давления приведённые выражения надо поделить на 2L. Давление отрицательно, т. к. положительным считается подголовное поверхностное натяжение, а растягивающее внешнее давление Р действует в противоположную ему сторону.

Сравнивая давления при которых в моно- и бола- липидных мембранах одинаковой площади существуют стабильные поры видим, что

oí

Напомним, что е — малый параметр (см. (9))), а>1 это монолипиды в жидком пределе, a а и 1 это болалипиды в гель-фазе. Т.о. болалипиды имеют большее критическое давление, чем монолипиды. При открытии поры происходит «сброс» давления см. рис. 11.

Монолипиды: L = 15 Á, А„ = 10 А2, N - 1.4 х 1!/ (монослой)

Болалипиды: 21. = 30 А. АП = 30 Аг, N = 8x10*

Мембрана и среда: yR = 20 пН, у - 30 эрг/см2, R, = 97 нм, Г - 300 К

Рис. 11: При достаточно большом растяжении в мембране появляются поры, и происходит сброс давления. Видно что критическое давление для болалипидов меньше чем для монолипидов (при той же площади мембран). Когда в мембране нет поры, то давление пропорционально растяжению (см. (5), Я = 0). Когда же в мембране есть пора, то давление Р ~ 1/Кга (см. (14)), а

Кт ~ \/Д (см. [23])

Когда в мембране нет поры, её свободная энергия пропорциональна квадрату растяжения Д = К| — Кр (красная линия на рис. 12, см. (5)). Когда в мембране есть пора, но растяжение равно нулю (в этом случае равно нулю внешнее давление) то свободная энергия пропорциональна Л4 (красная линия на рис. 13).

Монолипидная мембрана

Рис. 12: Свободная энергия мембраны, К как функция от растяжения, Д, при фиксированном радиусе поры, Я Параметры расчёта как на рис. 11. Видно, что критические поры метастабиль-

Если мы увеличим растяжение мембраны до критического, Дс — то в мембране будут появляться метастабильные поры (зелёная кривая на рис. 12). При таком растяжении на кривой Р(К) впервые появляется перегиб (см. зелёную линию на рис. 13).

Монолипидная мембрана

, хЮ"11

— А = О

— Д,— Д,

ООО 0.02 0.04 0.0(1 0.08 0Л0 0.12 0.14 0.16 0.18

R/R„

Рис. 13: Свободная энергия мембраны, F, как функция от радиуса поры, R, при фиксированном растяжении Д. Параметры расчёта как на рис. 11

Зависимость наименьшей стабильной поры, Re от внешнего давления сложно найти аналитически. Мы построили сё численно. Приводим график для болалипидной мембраны (см. рис. ).

Болалипидная мембрана в гель-фазе

0.001) 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.1)12 0.014 0.016

A/R3

Рис. 14: Радиус поры мембраны, Я как функция от растяжения, Д. Параметры как на рис. 11

Выводы

1. Получены в аналитическом виде выражения для модулей латерального растяжения/сжатия жидко-неупорядоченной монолипидной мембраны и жидко-упорядоченной болалипидной мембраны, а также выражения в аналитическом виде для профилей латерального давления в этих мембранах.

2. Вычислены фазовые диаграммы порообразования для жидко-неупорядоченной монолипидной мембраны и жидко-упорядоченной болалипидной мембраны.

3. Критическое латеральное давление для порообразования жидко-неупорядоченной монолипидной мембраны содержит дополнительный малый параметр по сравнению с жидко-упорядоченной болалипидной мембраной.

4. Различная концентрация болалипидов в «булавочной» конформации в монослоях делает профиль латерального давления болалипидной мембраны несимметричным относительно середины слоя.

5. Колебания липидных цепочек в мембране при комнатных температурах удовлетворительно описываются законами классической (больцмановской) статистики.

6. Энергия границ доменов жидкоупорядоченной фазы в жидкокристаллической матрице связанная с перераспределением площади составляет по порядку величины до квТ на нм в зависимости от разницы коэффициентов изгибной жёсткости липидов.

7. Существование доменов с положительной энергией границы в конечной мембране энергетически невыгодно, однако возможно существование метастабильных доменов если зависимость энергии границы от радиуса домена имеет минимум на малых радиусах.

Список цитируемой литературы

1. Woese C.R., Fox G.E. Phylogenetic structure of the prokaryotic domain: the primary kingdoms. // Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A. 1977. Vol. 74, № 11. P. 5088-5090.

2. Woese C.R., Kandler O., Wheelis M.L. Towards a natural system of organisms: proposal for the domains Archaea, Bacteria, and Eucarya. // Proc. Natl. Acad. Sci. 1990. Vol. 87, № 12. P. 4576-4579.

3. Albers S.V. et al. Adaptations of the archaeal cell membrane to heat stress // Front. Biosci. J. Virtual Libr. 2000. Vol. 5. P. D813-820.

4. Rosa M.D., Gambacorta A., Gliozzi A. Structure, biosynthesis, and physicochemical properties of archaebacterial lipids. // Microbiol. Rev. 1986. Vol. 50, № 1. P. 70-80.

5. Hanford M.J., Peeples T.L. Archaeal tetraether lipids // Appl. Biochem. Biotechnol. 2002. Vol. 97, № 1. P. 45-62.

6. Thompson D.H. et al. Tetraether bolaform amphiphiles as models of archaebacterial membrane lipids: Raman spectroscopy, phosphorus-31 NMR, x-ray scattering, and electron microscopy // J. Am. Chem. Soc. 1992. Vol. 114, № 23. P. 9035-9042.

7. McConnell H.M., Vrljic M. Liquid-liquid immiscibility in membranes // Annu. Rev. Biophys. Biomol, Struct. 2003. Vol. 32. P. 469-492.

8. Simons K., Ikonen E. Functional rafts in cell membranes // Nature. 1997. Vol. 387, № 6633. P. 569572.

9. Pralle A. et al. Sphingolipid-Cholesterol Rafts Diffuse as Small Entities in the Plasma Membrane of Mammalian Cells // J. Cell Biol. 2000. Vol. 148, № 5. P. 997-1008.

10. Brown D.A., London E. Structure and function of sphingolipid- and cholesterol-rich membrane rafts // J. Biol. Chem. 2000. Vol. 275, № 23. P. 17221-17224.

11. Samsonov A.V., Mihalyov I., Cohen F.S. Characterization of cholesterol-sphingomyelin domains and their dynamics in bilayer membranes. // Biophys. J. 2001. Vol. 81, № 3. P. 1486-1500.

12. Akimov S.A. et al. An elastic theory for line tension at a boundary separating two lipid monolayer regions of different thickness Hi. Electroanal. Chem. 2004. Vol. 564. P. 13-18.

13. Akimov S.A. et al. Line Tension Of Membrane Domains Calculated From Chemical Interactions Betweem Lipids And Elastic Splay And Tilt // Biophys. J. 2009. Vol. 96, № 3, Supplement 1. P. 607a.

14. Akimov S.A. et al. Lateral tension increases the line tension between two domains in a lipid bilayer membrane // Phys. Rev. E Stat. Nonlin. Soft Matter Phys. 2007. Vol. 75, № 1 Pt 1. P. 011919.

15. Pavlov K.V. et al. Influence Of Ganglioside GM1 On Formation And Properties Of Rafts In Lipid Membranes //Biophys. J. 2009. Vol. 96, № 3, Supplement 1. P. 448a.

16. Yethiraj A., Weisshaar J.C. Why Are Lipid Rafts Not Observed In Vivo? // Biophys. J. 2007. Vol. 93, № 9. P. 3113-3119.

17. Yuan C. et al. The size of lipid rafts: an atomic force microscopy study of ganglioside GM1 domains in sphingomyelin/DOPC/cholesterol membranes // Biophys. J. 2002. Vol. 82, № 5. P. 2526-2535.

18. Frolov VA. J. et al. "Entropie traps" in the kinetics of phase separation in multicomponent membranes stabilize nanodomains // Biophys. J. 2006. Vol. 91, № 1. P. 189-205.

19. Mukhin S.I., Baoukina S. Analytical derivation of thermodynamic characteristics of lipid bilayer from a flexible string model // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71, № 6. P. 061918.

20. Bulacu M., Périole X., Marrink S.J. In Silico Design of Robust Bolalipid Membranes // Biomacromolecules. 2011. Vol. 13, № 1. P. 196-205.

21. Holland D.P. et al. Bolalipid Membrane Structure Revealed by Solid-State 2H NMR Spectroscopy // J. Am. Chem. Soc. 2008. Vol. 130, № 14. P. 4584-4585.

22. Farago O. "Water-free" computer model for fluid bilayer membranes // J. Chem. Phys. 2003. Vol. 119, № l.P. 596-605.

23. Tolpckina T.V., den Otter W.K., Briels WJ. Simulations of stable pores in membranes: System size dependence and line tension // J. Chem. Phys. 2004. Vol. 121, № 16. P. 8014-8020.

24. Mukhin S.I., Kheyfets B.B. Pore formation phase diagrams for lipid membranes // to be published 2014-03-25 JETPLett.

Подписано в печать 20.02.2014. Формат 60x90/16. Бумага офсетная 1,0 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 2780

МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 062809 Код издательства 5X7(03)

Отпечатано в типографии Издательства Московского государственного горного университета

Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД№ 53-305

ИЗДАТЕЛЬСТВО

119991 Москва, ГСП-1, Ленинский проспект, 6; Издательство МГГУ; тел. (499) 230-27-80; факс (495) 737-32-65

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Хейфец, Борис Борисович, Москва

На правах рукописи

04201156512

Борис Борисович Хейфец

Микроскопическая теория структурных и фазовых

превращений в смектических жидких кристаллах

01.04.07

«Физика конденсированного состояния»

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор, Сергей Иванович Мухин

Москва, 2014

(обратная сторона обложки)

Краткое содержание:

Введение............................................................................................1

Обзор литературы..........................................................................9

часты. Теория гибких струн для болалипидных мембран............57

Часть п. Эффект добавочной площади на границе доменов..........67

частый. Микроскопическая теория пор в мембранах.......................76

Заключение.....................................................................................87

Выводы.............................................................................................89

Приложения....................................................................................90

Список публикаций...................................................................151

Список литературы....................................................................152

Полное содержание:

Введение............................................................................................1

Обзор литературы..........................................................................9

1. Смектические жидкие кристаллы.............................................................9

1.1. Жидкие кристаллы....................................................................................................................9

1.2. Теоретическое описание.......................................................................................................72

2. Липидные мембраны...................................................................................18

2.1. Биологическая роль................................................................................................................78

2.2. Биологические мембраны....................................................................................................79

2.3. Липиды........................................................................................................................................20

2.4. Теоретическое описание.......................................................................................................25

2.5. Рафты...........................................................................................................................................29

2.6. Болалипиды...............................................................................................................................32

3. Теория гибких струн для монолипидных мембран...........................34

3.1. Входные параметры................................................................................................................35

3.2. Функционал свободной энергии........................................................................................36

3.3. Граничные условия.................................................................................................................37

3.4. Условие самосогласования...................................................................................................39

3.5. Условие равновесия.................................................................................................................42

3.6. Латеральное давление............................................................................................................42

3.7. Площадь на ли пи д..................................................................................................................43

3.8. Профиль латерального давления.......................................................................................43

3.9. Проверка приближения.........................................................................................................44

з.ю. Параметр порядка..................................................................................................................46

З.и. Термодинамические коэффициенты..............................................................................46

3.12. Свободная энергия осцилляции цепочек......................................................................47

3.13. Оценка квантовых эффектов..............................................................................................48

4. Теория пор в липидных мембранах........................................................50

4.1. Связь изгиба и растяжения..................................................................................................57

4.2. Теория пор в большом каноническом ансамбле..........................................................52

4.3. Геометрический фактор........................................................................................................52

4.4. Переход бислоя в пористую фазу......................................................................................53

4.5. Теория пор в каноническом ансамбле.............................................................................53

часты. Теория гибких струн для болалипидных мембран............57

1. Входные параметры.....................................................................................57

2. Функционал свободной энергии..............................................................57

3. Граничные условия.......................................................................................57

4. Условие самосогласования.........................................................................59

5. Условие равновесия......................................................................................60

6. Суммарное латеральное давление.........................................................61

■й- V

7. Площадь на липид........................................................................................61

8. Профиль латерального давления и параметр порядка...................61

9. и-конформация.............................................................................................65

часть п. Эффект добавочной площади на границе доменов..........67

1. Суть эффекта..................................................................................................67

2. Энергия границы одного домена.............................................................67

3. Монолипиды как жёсткие стержни........................................................71

4. Оценка эффекта добавочной площади.................................................73

5. Стабильность доменов................................................................................74

частьш. Микроскопическая теория пор в мембранах.......................76

1. «Микроскопические корни» теории пор в ЫУТ мембранах.........76

1.1. Для болалипидов.....................................................................................................................76

1.2. Для монолипидов....................................................................................................................77

2. Давление..........................................................................................................78

3. Микроскопическая теория пор в липидных мембранах.................78

3.1. Монолипиды: жидкий предел............................................................................................78

3.2. Болалипиды: жёсткие струны.............................................................................................79

3.3. Фазовая диаграмма порообразования.............................................................................80

3.4. Сравнение с экспериментальными данными...............................................................84

Заключение.....................................................................................87

Выводы.............................................................................................89

Приложения....................................................................................90

Список публикаций...................................................................151

Список литературы....................................................................152

ж ^

Список рисунков:

Рис. 1 Типы липидов: монолипид, болалипид, болалипид в U-конформации......2

Рис. 2 Домен в двукомпонентной мембране: добавочная площадь...........................2

Рис. 3 Липид как гибкая струна...............................................................................................5

Рис. 4 Типы взаимодействия липидов в мембране между собой и качественный профиль латерального давления...............................................................................5

Рис. 5 Различные структуры образуемые лиотропными жидкими кристаллами в воде в зависимости от концентрации.................................................................10

Рис.6 Нематик............................................................................................................................11

Рис.7 Смектики:АиС.............................................................................................................11

Рис.8 Хиральные жидкие кристаллы..................................................................................11

Рис.9 Схематическая репрезентация интенсивности рассеяния рентгеновских

лучей от различных жидкокристаллических фаз..............................................12

Рис.ю Углы Эйлера.....................................................................................................................13

Рис. И Твёрдые стержни Онзагера........................................................................................14

Рис. 12 Элементарные деформации жидких кристаллов...............................................16

Рис. 13 Элементарные деформации в нематике...............................................................18

Рис. 14 Биологическая мембрана............................................................................................19

Рис. 15 Концентрации липидов во внутреннем и внешнем слое мембраны

эритроцита человека....................................................................................................20

Рис. 16 Химическая структура фосфатидилхолина..........................................................20

Рис. 17 Вода это полярная жидкость......................................................................................21

Рис. 18 Схема молекулы липида и виды взаимодействия липидов в мембране

между собой.....................................................................................................................21

Рис. 19 Схема получения искусственных мембран..........................................................22

Рис. 20 Характерные размеры и основные взаимодействия липидного бислоя....23

Рис. 21 ЯМР: Параметр порядка для монолипида............................................................24

Рис. 22 Равновесная форма мембраны при различной Гауссовой кривизне..........26

Рис. 23 При концентрации дефектов больше критической в мембрен образуются рафты.................................................................................................................................30

Рис.24 Энергия гидрофобного несовпадения....................................................................31

Рис. 25 Сравнение химической структуры моно- и бола- липидов............................33

Рис.26 Оценка несжимаемой площади...............................................................................35

Рис. 27 Модель гибких струн: эффективный потенциал................................................37

Рис. 28 Первые пять собственных функций оператора потенциальной энергии

монолипидов...................................................................................................................39

Рис. 29 Приближение для расчёта свободной энергии осцилляций цепочек.........48

Рис. 30 Молекулярная динамика: образование поры в ООРС.....................................51

Рис. 31 Критические величины в теории пор.....................................................................55

Рис. 32 Первые пять собственных функций оператора потенциальной энергии

болалипидов....................................................................................................................59

Рис. 33 Модель гибких струн: профиль латерального давления.................................62

Рис. 34 Молекулярная динамика: профиль латерального давления..........................63

Рис. 35 Модель гибких струн: параметр порядка..............................................................64

Рис.36 ЯМР: параметр порядка...............................................................................................65

Рис. 37 Молекулярная динамика: параметр порядка......................................................65

Рис. 38 Домен в двукомпонентной мембрана, вид сверху.............................................68

Рис. 39 Сравнение эффекта добавочной площади с энергией гидрофобного

несовпадения..................................................................................................................73

Рис.40 Конечные рафты в конечных мембранах..............................................................75

Рис. 41 Фазовая диаграмма порообразования...................................................................81

Рис. 42 Свободная энергия мембраны, как функция от растяжения, А, при

фиксированном радиусе поры, К.............................................................................82

Рис. 43 Свободная энергия мембраны, как функция от радиуса поры, ^ при

фиксированном растяжении А..................................................................................83

Рис. 44 Радиус поры мембраны, ^ как функция от растяжения, А.............................84

Рис. 45 Корни уравнения 1ап(х) + 1апЬ(х) = 0.......................................................................92

Рис. 46 Связь между квадратом среднего отклонения центров цепочки от

вертикали, с средней площадью заметаемой цепочкой..................................94

Рис. 47 Контур интегрирования для взятия суммы..........................................................98

Рис. 48 Контур интегрирования для взятия суммы: полюсы после замыкания.....99

^ У

•vT

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Физика структурных и фазовых превращений в смек-тических жидких кристаллах представляет собою активно развивающееся направление физики конденсированного состояния. Отдельное важное место в развитии этого направления занимают фундаментальные и прикладные исследования липидных и болалипидных биологических мембран клеток живых организмов, рассматриваемых как мультикомпонентные двуслойные смектиче-ские жидкие кристаллы. Их изучение преследует такие цели как понимание процессов, протекающих в живых организмах, так и дальнейшее развитие пе- ' рспективных методов лечения человека, таких как адресная доставка активных молекул к поражённым клеткам организма.

Данную работу можно разделить на три части.

Б первой части рассматривается теоретическая микроскопическая модель болалипидной мембраны — мембраны архей [1,2]. В отличие от обычных липи-дов (см. рис. 1(а)), болалипиды простираются на весь бислой (см. рис. 1(Ь)), имеют более прочную химическую связь, соединяющую гидрофильную голову и гидрофобные хвосты [3], менее гибкие углеводородные цепочки [4]. Всё это способствует тому, что болалипидная мембрана может быть устойчивей липидной при внешних термодинамических и химических воздействиях [3-5]. Это открывает потенциальные возможности применения болалипидных мембран в медицинских приложениях и обуславливает к ним повышенный интерес [6].

лалипид в hair-pin конформации ху: на границе домена имеется добавочная

площадь, которую граничные липиды должны поделить между собой

Во второй части рассматривается эффект добавочной площади на границе домена жидко-неупорядоченных липидов в жидко-упорядоченной матрице [7] (см. рис. 2). Задача имеет отношение к проблеме малого размера рафтов [8] — ме-тастабильных доменов в мультикомпонентных липидным мембранах. In vivo рафты существуют до Ю3 с [9], и до нескольких дней in vitro [10]. При этом они имеют небольшой размер: 10-100 нм in vivo [8], и порядка нескольких микрон in vitro [11].

Экспериментальному [9,10,15] и теоретическому [16-18] исследованию раф-

тов посвящено большое количество работ. Однако физические механизмы фазовых переходов, приводящих к появлению рафтов до конца не выяснены. В частности не оценён эффект добавочной площади, приводящий к более высокому-линейному натяжению на границе рафт-мембрана. Свойства и состояние рафтов оказывают решающее влияние на функционирование большинства мембранных белков и протекание таких процессов, как внутри- и внеклеточная передача сигналов, экзо- и эндоцитоз, сборка вирусных частиц. Это обуславливает актуальность теоретического исследования вопросов связанных с энергией границы рафтов.

Третья часть, так же как и первая, посвящена теоретическому сравнению устойчивостей к порообразованию при латеральном растяжении липидной и бо-лалипидной мембран. Однако, если в первой части сравнивались свободные энергии мембран, то в этой части сравниваются критические давления — наименьшие давления при которых в мембранах возникают стабильные поры.

Цели и задачи исследования. Целью работы является построение фазовых диаграмм порообразования жидкокристаллической монолипидной мембраны, и гельфазной болалипидной мембраны из микроскопической модели. Кроме того, работа посвящена вычислению вклада в энергию границы рафта энергии связанной с дополнительной площадью несовпадения на границе рафт — окружающая мембрана.

Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие задачи:

• построить микроскопическую модель гибких струн для болалипидов

• получить аналитическое выражение для критического давления в терминах микроскопической модели

• оценить как зависит величина добавочной площади на границе домена другой фазы от размера домена, и микроскопических характеристик липидов мультикомпонентной мембраны

• оценить влияние на величину и термодинамическую стабильность рафтов эффекта добавочной площади на их границе

Методы вычисления. Вычисления проводились в рамках теории гибких струн, впервые предложенной в [19]. В этой модели липид моделируется в виде эффективной струны с несжимаемой площадью поперечного сечения, Ао, с заданной изгибной жёсткостью (см.рис. 3), Kf. Под действием тепловых флуктуаций (и движения липида как целого по мембране), эффективная струна, в среднем, заметает цилиндр сечения А.

Рассмотрение ведётся в терминах отклонений формы струны как функции от координаты г по толщине мембраны от вертикали, К,(2:). Взаимодействие липидов между собой моделируется с помощью квадратичного потенциала, жёсткость которого, В, находится с помощью условия самосогласования учитывающее энтропийное отталкивание между цепочками соседних липидов как функцию от площади на липид. Функционал энергии цепочки в самосогласованном поле соседей, которое учитывает энтропийное отталкивание между цепочками, записывается в виде:

(записано для болалипидов) Здесь первое подынтегральное слагаемое описывает кинетическую энергию колебаний цепочки, второе слагаемое — изгибная энергия цепочки с изгибным модулем (жёсткость цепочки) Кпоследнее слагаемое — описанный выше самосогласованный потенциал энтропийного отталкивания. Так