Микроскопические расчеты динамики решетки кристаллов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Р(" бФиэнфДкий институт РАН им. П. !Г. Лебедева

м íjKij

На правах рукописи УДК 539.21 ;53!).32;539.192

Сапрасоп Сергей Юрьевич

Микроскопические расчеты динамики решетки кристаллов

(специальность 01.04.07 - Физика твердого тела)

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1994

Работа выполнена в Отделении Теоретической Физики им. И. Ь Т\шма Физического Института им. II. Н. Лебедева

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор Максимов Е. Г.

< )фициалыше оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Векилои Ю.Х.

Московский Институт Стали и Сплавов, г. Москва

кандидат физико-математических наук Кулатов Э. Т.

Институт Общей Физики РАН, г. Москва

Ведущая организация:

Институт Атомной Энергии им. И. В. Курчатова, г. Москва

2.Д, Г) <Г

Зшцити состоится " У ->______199-1 г. ь и часов

на заседании Специализированного совета К002. 33. 01 Физичс ского института им. П. Н. Лебедева РАН по адресу: г. Москва, Ленинский проспект, 53.

С диссертацией можно гаиакомни.м в библиотеке ФИЛИ. Автореферат' разослан /' "__ОН___1994 г.

Ученый секретарь Спецнализированого совета кандидат фиэ.-цат. наук

В. А. Чуенков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

В последние четверть нека расчеты свойств кристаллов и.» первых принципов заняли прочное место в физике твердого тела Это связано с тем, что они позволяют предсказывать н обьж пять свойства изучаемого вещества с достаточно высокой сте пенью точности. Преимуществом данных расчетов является то, что свойства вещества рассчитываются исходя только из его состава н фундаментальных констант квантовой механики без не пользования каких- либо подгоночных параметров.

Одной из важнейших характеристик кристалла являются его дисперсионные кривые фоионных возбуждений, необходимые для понимания эффектов решеточной неустойчивости, электрон-фононного взаимодействия н сверхпроводимости. Однако су шествующие методы позволяют лишь рассчитывать фононные спектры для веществ, имеющих я,р- характер валентных электронов, что связано с применимостью концепции псевдопотенциала для этого случая. Поэтому создание микроскопического подхода для расчета дисперсионных кривых в произвольной точке зоны Бриллюэна у веществ с сильным ¿-характером зоны проводимости, обладающего хорошей степенью точности и достаточным быстродействием, является важной задачей для развития дальнейших исследований свойств твердых тел. В частности, разработка такого метода позволила-бы рассчитывать из первых принципов критическую температуру перехода л сверх проводящее состояние для переходных металлов, их сплавов и соединений, а также выяснить силу и роль электрон-фононного

и заимо действ и я в явлении высокотемпературной сверхпроводимости.

Цели и задачи исследования Целью настоящей работы является создание метода для пер ьопрцицтшы'л расчетов фононных спектров кристаллов, позволяющего рассчитывать дисперсионные кривые для произвольных волновых векторов ц в зоне Бриллкшш, а также рассматривающего единым образом как материалы с з,р- характером валентных электронов, так и переходные металлы. Данный метод должен обладать достаточно высокой вычислительной эффективностью, и также хорошей степенью точности. В качестве исходного пункта разрабатываемого подхода была поставлена задача учесть эффекты несферичности распределения плотности и потенциала в методе для самосогласованных вычислений зонной структуры твердых тел, а также разработать схему для прямого вычисления сил, действующих на ядра атомов кристаллической решетки. В качестве конкретного Приложения разрабатываемого подхода, была поставлена задача рассчитать полные дисперсионные кривые во всех симметричных направлениях зоны Бриллюэна для Nb и Мо.

Научная новизна В работе предложен новый метод, позволяющий учитывать эффекты иссфернчности распределения плотности и потенциала при самосогласованных расчетах зонной структуры и полной энергии кристаллов. В рамках этого метода развит подход к расчету сил, действующих на ядра атомов, практическая применимость которого была продемострирована на примере расчета

фононных частот в центре и на границах доны БриллюЗпа в 51, Nb и А1, а также ангармонической постоянной третьего порядки в 5«.

В работе предложен принципиально новый подход для ми кроскопических расчетов полных фононных спектроп кристал лов, основанный на теории функционала плотности. Метод по ззоляет рассчитывать динамику решетки переходных металлов, обладает большой вычислительной эффективностью и высокой степенью точности. С его помощью были впервые рассчитаны из первых принципов дисперсионные кривые в симметричных направлениях зоны Бриллюэна для N1 и Мо, согласующиеся с экспериментальными данными в пределах нескольких процентов.

Научная и практическая ценность

Предложенный в работе метод первоприпципного расчета фононных спектроп позволяет рассчитывать динамическую матриц} для произвольного волнового вектора q. Разработанный подход единым образом трактует как широкозонные, так и уэкозоиные материалы, и, в частности, переходные металлы. Метод является достаточно быстрым к точным: время, требуемое для рас . ■тета динамической матрицы в заданной точке зоны Вриллюзнл того-же порядка, чго и время, требуемое для самосогласованного расчета зонной структуры исходного кристалла; точность рассчитываемых фононных спектров порядка нескольких про центов.

Разработанный метод также позволяет рассчитывать из первых принципов злектрон-фононное взаимодействие и критиче

Г)

. кие температуры перехода а сверхпроводящее состояние для переходных металлов, их сплавов и соединений.

Основные положения, выносимые на защиту На защиту выносятся основные результаты диссертации, сфор мулировсшныс о конце автореферата.

Апробация работы Основные результаты докладовались на ежегодных международных симпозиумах по электронной структуре (Дрезден, ФРГ, 1990; Архус, Дания, 1992; Мюнхен, ГЪрмання, 1992); школах-семинарах но методам первопринципных, расчетов свойств твердых тел (Будапешт, Вевгрия, 1990; Триест, Италия, 1992) а также на международной конференции по физике переходных металлов (Дармштадт, ФРГ, 1992) к ежегодной встрече А мери канского'физическогообщества (Сиэтл, США, 1993) Результаты работы также обсуждались на семинарах Отделения теоретиче скоп физики Физического института им. 11.Н. Лебедева (1990, 1993); ¿»а общемосковском физическом семинаре под руководством В. Л. Пгазбурга (1993); на семинарах в Институте физики твердого тела им. Макса-Планка в Штуттгарте (ФРГ, 1990), в Институте исследований твердого тела в Юлихе (ФРГ, 1993), и теоретической лаборатории Эймса госсударсвениого университета Айовы(США, 1993), в отделе исследований сложных систем лаборатории военно-морского флота в Вашингтоне (США, 1993).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура в объем работы

Диссертация состоит из пяти глав включая введение и ключение, а также одного приложения. Она содержит 117 стрз ниц текста, 6 таблиц, 15 рисунков, 39 пунктов библиографии, состоящей из 63 процитированных работ.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава носит вводный характер. Б ней обоснопм-вагтся выбор темы диссертации. Излагаются преимущества и недостатки имеющихся з литературе методов вычислений дина мики решетки кристаллов, основанных на теории функционала плотности (ТФП) [1]: метода вмороженных фононов [2] и пер турСатнвного подхода функции отклика [3]. Приводится исто рия вопроса о методах учета эффектов несферичности распределения плотонооти и потенциала, расчете сил, действующих на ядра атомов, рассмотрены недостатки пертур батиного подх ода к расчету фононных спектров переходных металлов. ТЬкжр кратко излагается содержание проблем, рассмотренных а диссертации.

Вторая глава посвящена обобщению линейного метода МТ орбиталей (ЛМТО) [4], учитывающему эффекты несферлчкости распределения плотности и потенциала в элементарной ячейке кристалла. Подход к решению этой проблемы использует представление сферических гармоник. Кристаллическое пространство разделяется на полиэдрические ячейки Впгнера-Зейца, н

МТ-орбитали представляются в виде одноцентровых разложений по сферическим гармоникам внутри сфер, окружающих полиэдры. Такие одноцентровые разложения правильно описывают плотность лишь в областях, принадлежащих атомным ячейкам. Следовательно, проблемы решения уравнения Пуассона и вычисления матричных элементов потенциала от ыежсферной области сводятся к нахождению эффективного метода интегрирования функций по области между сферой и границей полиэдра. Последнее выполняется сведением об'емных интегралов к поверхностным с помощью теоремы Гаусса.

В первом разделе рассматривается конструирование МТ-орбвталей.

Во втором разделе рассматривается вычисление матриц га-мильтонйана ц перекрытия.

В третьем разделе разрабатывается схема для выполнения интегрирования по междоузельной области, основанная на »ведении об'емных интегралов к поверхностным, для которых плоские границы атомных ячеек легко подлежат триангуляции и которые могут быть вычислены с номо|цью стандартных формул двумерных квадратур.

1у>етья глава посвящена выводу формулы для расчета сил, действующих на атомы кристалла.

В первом разделе рассматриваются известные подходы к расчету атомных сил. Согласно теореме Геллмана-Фейнмана, сила, действующая на атом, есть электростатическая сила, действующая на его ядрг- ч, следовательно, может быть точно определена исходя из знания распределения полной зарядовой плотно-

N

сти в кристалле. К сожалению последняя величина конструиру ется из одноэлектронных волнбвых функций, которые являются лишь приближенными решениями уравнения Шредннгера, най денными с помощью вариационного принципа. Вследствие этого факта, рассчитанные по формуле Геллиана-Фейнмана силы м<> гут быть в высшей степени не точны. Так как, с другой сто роны, атомные силы, найденные путем численного дифференцирования полной энергии по смещениям, дают хорошие результаты, к силе Геллмана-Фейнмана должна бг-ггь прибавлена поправка, связанная с использованием неполного базисного набора для представлении полковых функция. Это - так называемая поправка Пулея [5], исчезающая в точной теории многократного рассеяния [6], а также в расчетах, выполняемых методом псеп допотеициала для материалов с и р— электронами. В литературе имеется ряд работ по исследованию этой проблемы п рамках полноэлектронных методов ЛМТО и ЛППВ (линеаризованные присоединенные плоские залпы [4]) [7]. К сожалению, работоспособность предложенных формул остается весьма проблематичной ввиду отсутствия конкретных вычислений.

Во втором раздела выводится формула для расчета атом-пых сил. Во-первых, покалывается, что на самом деле полная энергия в практических расчетах не является в действитель-нсст:1 ни функционалом плотности, ги однеэлектроняыу. волновал функций, поскольку последние представлены з виде рпэло-жегкл по некоторому базисному набору с неизвестными коэффициентами. Последние находятся путем минимизации функционала полной энергии, и, следовательно, при нахождении про-

изводной энергии но некоторому параметру, лишь изменение вариационных коэффициентов может не приниматься во внимание, а не изменение полной плотности или потенциала, как это делается в рамках теоремы Геллмана-Фешшана или теоремы сил Андерсена [14]. Во-вторых, вычисляя производную полной энергии в рамках ьчеечного метода ЛМТО, описанного в Главе II, показывается, что формула для расчета сил должна состоять из вклада, соответствующего изменению одноэлектрон-кых энергий, вызванного виртуальный перемещением замороженного потенциала внутри атомных ячеек плюс электростатический к обменно-корреляционные вклады.

В третьем разделе представлены результаты тестовых расчетов, выполненные методом полной энергии и с помощью формулы сил, для ряда фононаых мод в 5/, и Л1. Результаты сравниваются с существующими расчетами по методу ЛППВ, цсеидопотенциала и другой версии метода ЛМТО, а также с экспериментальными данными.

Вычисляется частота оптического Г-фонона в 5'«. Результаты этого расчета представлены в Ткблице 1. Здесь приводится величина. частоты рассматриваемой моды, а также силовой постоянной третьего порядка, вычисленных с помощью полной энергии и силовой формулы. Результаты также сравниваются с расчетами Йю, Синха и Кракауэра [8] по методу ЛППВ, псевдопотенциальными вычислениями Йена и Козна [15], другим расчетом по методу ЛМТО Метфесселя, Родригиза и Андерсена [13], а также с экспериментальными чанными. Видно, что согласие между расчетом по полной энергии и атомным силам превосходное.

Полные энергии и силы были также рассчитаны для //~фоиомн в N1». Таблица 2 лредстаплпет рассчитанную полную энергию для четырех искаженных конфигураций, отсчитанную от ран новесиой конфигурации. Смещения 5 даны в пересчете на от дельный атом п единицах параметра решетки. Для численного расчета сил использовалась полиномиальная интерполяция б-го порядка четной серией (из-за симметрии). С ее помощью были рассчитаны силы для каждой величины Л. Они предстгп,»онм п Таблице 2, где сравниваются с силами, рассчитанными Согласно формул". Видно, что различие между ними меньше чем 1.8%, что близко к ошибке 0.8%, найденной рянсе для 5«. Используя эти данные, оценивается частота /Г-фонона, которая найдена лга расчета по полной энергии равной б.56 ТИг. Результат расчета сил дает величину 6.60 ТНг, что лишь на 0.7% больше предыдущей величины и 1.7% больше экспериментальной частоты, равной 0.47 ТН7,[18].

В качестве последнего примера рассматривается расчет А'-фоноиа в ГЦК А1. Так как для ГЦК решетки в точке Х = (001)2/г/и продольные и поперечные моды не вырождены, были выпонены два отдельных расчета. Результаты представлены а Таблице 3, где они сравнираются с измеренными частотами[18]. Согласие между расчетом по полной энергии и силам хорошее, однако различие больше, ^ем найдено у £» и N1, и составляв'! 7%. Все тгоретичсскне значения близки к г.ксперимснту с точностью, не превышающей 4.5%.

Четвертая глава посвящена, разработке метода расчета фо ионных спектров кристаллов для любых волновых пекторон

В первом раздела рассматривается основная причина, затормозившая более чем па 20 лет данную область физики твердого тела, - использование неполных базисных наборов дня представления одноэлектронных волновых функций валентных электронов. В выражение для связанного со смещениями изменения волновых функций в рамках стандартной теории возмущении первого порядка входит сумма по всем заполненным и пустым состояниям, которая требует знания высоковоэбужденных блоховских функций [9]. Последние могут быть формально найдены путем диагонализации матриц гамильтониана лишь очекь больших размерностей, что ограничивает практическую применимость метода. Физически такая медленная сходимость в случае переходного металла связана с весьма цростым обстоятельством: как с&мк одноэлсктронные волновые функции, так и поправки первого порядка к ним осциллируют в области внутренних оболочек атомов.

Во втором раздело рассматривается метод, позволяющий избавиться от су»шы по заполненным состояниям в выражении для поправок первого порядка к волновым функциям, который был предложен Штернханмером [10] в связи с расчетами атомной поляризуемости. Ок основан на решении дифференциального уравнения, которому удовлетворяют поправки первого порядка и которое является линеаризованным уравнением Шре-дингера. Преимущества данного метода следующие: Во-первых, «и не требует введения суперячеек, как это делается и методе вмороженных фоноиоз, и, следовательно, применим для любых ц. Во-вторых, он не требует знания каких-либо возбужденных со-

о

К)

стоянки, так как уравнение Штернхаймера связывает поправки первого порядка, которые необходимо найти лишь для заполненных состояний, с самими заполненными состояниями. Данное обстоятельство позволяет изб;иштся от трудности пертурбатнв-ного метода функций отклика, связанного с суммированием по высоковозбужденным энергетическим уровням.

Описанный подход к проблеме динамики решетки был ирод-ложен в работе [11], и независимо в [12], где было дано обобщение метода Штернхаймера в рамках псевдопотенцнального формализма и продемострировано его применение на примере расчета фононного спектра 5|.

В третьем разделе рассматривается вариациоиши формулировка метода .тененного отклика, которая необходима п связи с решением линеаризованного уравнения Шредингера с помощью разложения поправок первого порядка к одноэлектронным волновым функциям по базису подстроенных МТ-орбпталей. Находится энергетический функционал, минимизация которого но поправкам первого порядка приводит к уравнению Штернхаймера. Если исходное уравнение Шредингера получается как уело вне, которому должны удовлетворять волновые функции, минимизирующие функционал полной энергии, то функционал интересующий нас может быть получен путем разложения полной энергии по изменению внешнего потенциала (смещениям ядер) до членов второго порядка малости. В него должны входить поправки второго порядка к волновым функциям, так как не-воамущенные волновые функции являются лишь приближенными решениями уравнения Шредингера, как это имеет место в ме-

годе ЛМТО. Изменение полной энергии во втором порядке и есть нн что иное как динамическая матрица. Свойство экстремальности непосредственно вытекает из вариационного Шишкина Хохэнберга-Кона и позволяет расчитывать ее достаточно аккуратно: в то время как поправки первого порядка и сами зарядовые плотности точны вариационно, ошибка будет лишь ето-рого порядка малости по ошибке в поправках первого порядка. Получаемое выражение для динамической матрицы может интерпретироваться как результат Геллмана-Фейнмана плюс поправка на неполноту базисного набора. Последняя вызвана приближенным характером невозмущенных состояний и совершенного аналогична силе Пулея, известной в расчетах атомных сил, описанных в Главе III.

В четвертом раздело рассматривается конструирование бы-стросходящегося базисного набора для представления поправок первого порядка. Это - центральное место метода, предлагаемого в диссертации. В работе используется представление МТ-орбитами, что позволяет расчитывать фононные спектры любых кристаллов, включая переходные металлы. Метод также является достаточно быстрым и точным: времл расчета динамической матрицы для произвольного вектора q сравнимо с временем, затрачиваемым на самосогласованный расчет зонной структуры невозмущенного кристалла; точность расчитанных фононных частот, как будет показано на примере Nb и Мо, составляет несколько процентов.

В пятом разделе рассматриваются практические аспекты метода линейного отклика, даются формулы для расчета изме-

нения потенциала, МТ-орбиталей, а также описан метод интегрирования по зоне Бриллюэна и процедура самосогласованна.

В шестом разделе демонстрируется применение метода линейного отклика к расчету фононных спектров в N1 н Л/о. Рассматривается в начале NЬ. Дисперсионные кривые этого металла были рассчитаны вдоль направлений Г — 11, Г — I' и Р— 11 зоны Бриллюэна, что отвечает шшравяеиняи ((Юг) и (ххх) и обратном пространстве. Рнс.1 пока'.илпает сравнение рассчитанных дисперсионных кривых (квадраты) с данными эксперимента [18] (сплошные линии). Видно, что дли бссх направлений согласие теории н эксперимента очень хорошее и ошибка не превышает 3.4%. В частности, теория хорони; воспроизводит аномальное поведение кривой дисперсии продольно!! моды в области волновых векторов q около точки (0,0,0.7) и около точки (0.7,0.7,0.7), а также поперечной моды в направлении Г — // в области малых <1.

В конце раздела обсуждаются результаты расчета фононного спектра Л/о. Как н в случае N6, дисперсионные кривые этого металла были рассчитаны вдоль направлений Г-//, Г — Р и !'- Н зоны Бриллюэна. Рис.2 шжазыиает сравнение рассчитанных дисперсионных кривых (квадраты) с данными экспернмента(18] (сплошные линии). Видно, что, также как и в Лг6, для всех направлений согласие теории и эксперимента [18] очень хорошее II ошибка не превышает 4.1%. В частности, теории хорошо воспроизводит известное аномальное поведение кривой дисперсии продольной н поперечной моды в области нодноиих векторов q около точки (001).

В заключении приводятся осноиные результаты и выводы диссертации.

В приложении выводится формула для изменения одноэлск-гронной энергии в нервом порядке, вызванного смещениями узлов кристаллической решетки.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1, Приставлено обобщение метода линейных МТ-орбиталей для самосогласованного расчета энергетической зонной структуры в рамках теории функционала плотности, что позволяет учитывать эффекты несферичности распределения электронной плотности и потенциала внутри элементарной ячейки кристалла.

'¿Основными преимуществами метода являются (1) его быстрота с точки зрения затрат времени счета на электронно - вычислительных машинах, (и) относительная простота и физическая прозрачность, позволяющая легко учитывать вклад несферической части потенциала в существующих программах расчета электронных спектров и (ш) высокая точность вычислений, позволяющая находить изменение полной энергии любого кристалла при искажениях решетки.

.4. Выяснены причины неприменимости теоремы Геллмана-Фейимана для расчета сил, действующих на ядра атомоэ кристаллической решетки, которые связаны с неполнотой базисного набора, используемого в представлении одиизлек-тронных волновых функций. Представлена формулировка теоремы сил, учитывающая поправки на неполноту базисного набора.

4. Насчитанные в рамках метода полной энергии и но выведенной формуле сил частоты оптического Г-фонона в Я-фонона в N6, а также продольной и поперечной Л'-моды в А1 хорошо (в пределах 4.5%) согласуются с экспериментальными данными. ТЪкжв рассчитанный и рамках метода полной энергии и по формуле сил коэффициент ангармоничности третьего порядка в 5« согласуется с измеренной величиной в пределах 13%.

5. Разработан новый подход к расчету фононных спектров кри

сталлов, позволяющий вычислять динамическую матрицу дли любого произвольного волнового вектора в рамках теории линейного отклика. Метод основан на представлении поправок первого порядка к одноэлектронным волновым функциям при помощи МТ-базисных наборов. Важным преимуществом данного подхода яачяетси возможность проводить расчеты фононных спектров переходных металлов, их соединений II сплавов, а также других веществ.

'>. Метод является быстрым и точным: время, затрачиваемое на вычисление динамической матрицы для произвольного волнового вектора такого же порядка, как и время, затрачиваемое на самосогласованный расчет зонной структуры неноэмущенного кристалла; точность рассчитываемых фононных частот составляет несколько процентов.

7. Продемострироиана возможность вычисления кривых дисперсии фононов для N1) и Мо вдоль основных направлений симметрии в зоне Брпллюэна. Результаты расчетов нахо-

дятся в очень хорошем согласии с данными эксперимента, ошибка не превышает 4.1%.

ПУБЛИКАЦИИ

|1] S. Y. Savrasov, "Linearized direct approach for calculating static rrspome in solids", Solid State Coniffiun. 74, 69 (1990).

I'i] Д.. N1. Bratkoveky and S. Y. Savrasov, "On the calculation of combined corrections in the LMTO methodJ. Сотр. Phys. 88, 243 (1990).

[3] О. K. Andersen, A. Postnikov, and S. Y. Savrasov "Lineai-uiuffin-tin-orbital point of view"1, in Applications of Multiple Scattering Theory to Material Science, edited by W. II. Butler, P. 11. Dederich.4, A, Gouis, and R. L. Weaver, MRS Symposia Proceedings No 253 (Material Research Society, Pittsburgh, 1992).

|1| S. Y. Savrasov and D. Y. Savrasov, "Fill-potential linear-muffin-tin-orbital method for calculating total energies and forces', Phys. Rev. В 46, 12181 (1992).

¡5) S. Y. Savrasov, "Linear-response calculation* of lattice dynamics using muffin-tin basis sets", Phys. Rev. Lett. G9, 2819 (1992).

[0] S. Y. Savrasov, "Calculated phonon dispersions in Nb using fastly-convcrgent density-functional perturbation-theory'', in Physic* of Transition Metals, edited by P. M. Oppeneer and J. Kubler, (World Scientific, Singapure, 1993), p.197.

[7] S. Y. Savrasov, "Linear-response calculations of lattice dynamics: an all-elcctnm approach", Bull. Am. Phys. Soc. 38, 140(1993).

Рис. 0.1: Кривые фононной дисперсии для Л/Ь: свлошиыо линии экспериментальные данные по неупругой дифракции нейтронов, квадраты - рассчитанные значения в рамках метода линейного отклика.

Г Р Г

(М() ((({)

Рис. 0.2; Кривые фононной дисперсии для Л/о: щ'шшныс .пиши экспериментальные данные по неупругой диФракшш нейтроном, квадраты - рассчитанные значения в рамках метода линейного отклика.

Н Р I

(оо<> (НО

Таблица 1. Сравнение частоты оптического Г-фонока в Si и силовой постоянной третьего порядка кх1/г в 5«, рассчитанных методом полной энергии и с помощью атомных сил; результаты расчетов методами ЛГНШ, псевдопотеициала и другой версии метода ЛМТО, также как и экспериментальные данные.

и> (ТНг) кг,г (Лу/ад)

Данная работа:

полная энергия 15.43 0.4304

атомные силы 15.51 0.4338 ЛИГШ:"

полная энергия 15.37 0.4020

атомные силы 15.40 0.4030

Псевдопотгнцпал:*

полная энергия 15.16 0.357

атомные силы 15.14 0.355

ЛМТО:с

полная энергия 15.47 0.4212

Эксперимент 15.53'' 0.3820'

"Ссылка [8]

'Ссылка 151

гСсылка 13

''Ссылка 16

'Ссылка 17

Таблица 2. Расчнтанная зависимость полной энергии, отсчитанной от равновесной конфигурации, как функция смещения А" (н единицах параметра решетки) для 7/-фонона в N6. Сравненш-между найденными численно (Рпит) и рассчитанными ) сп лами.

~5 (1005 0.010 _ 0.015 0.020

~КЁ,Ы (тЪу) 0.1668 0.6781 1.5696 2.8103 Кит (%/ив) 0.01073 0.02241 0.03494 0.04623 (Иу/ао) 0.01070 0.02233 0.03153 0.04706

Таблица 3. Насчитанные по полной энергии и атомным силам, а также измеренные частоты для А'-фонона в .1/. Частоты даны в ТНг.

Прод. мода Попер, мода

Полная энергия 9.38 5 62

Атомные сипы

10.05

0.07

Эксперимент"

9 69

5.79

"Ссылка [18]

Список литературы

[1] для обзора см., например, Theory of Inhomogeneoun Electron Gas, edited by S. Lundqvist and N. H. March (Plenum, New York, 1983), имеется русский перевод под ред. Д. А. Кирж-ница и Е. Г. Максимова (Москва, Мир, 1987).

[2] Н. Wendel and R. М. Martin, Phys. Rev. В 19, 5251 (1979).

[3] для обзора ex«., например, Ab tuition Calculations of Phonon Spectra, edited by J. T. Devreese, V. E. Van Dören, and P. E. Van Camp (Plenum, New York, 1983).

[4] О. K. Andersen, Phys. Rev. В 12, 3060 (1975).

[5] P. Pulay, Mol. Phys. 17, 197, (1969).

[6] J. Molenaar, J. Phys. С 21, 1455 (1988); A. Gonis, X. -G. Zhang, and D. M. Nicholson, Phys. Rev. В 38, 3564 (1988); R. Zellcr, ibid. 38, 5993 (1988).

[7] J. Harris, R. 0. Jones, and J. E. Müller, J. Chein. Phys. 75, 3904 (1981); L. M. Soler, and A. R. Williams, Phys. Rev. В 40, 1560 (1989).

[8] R. Yu, D. Singh, and H. Krakauer, Phys. Rev. 3 43, 6411 (1991).