Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико—математический факультет

На правах рукописи УДК 514.17

Гусев Никита Сергеевич

МНОГОГРАННИКИ-СЛЕДЫ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

003450587

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор А. О. Иванов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор И. X. Сабитов (Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова)

кандидат физико-математических наук доцент Е. Г. Григорьева

(Волгоградский государственный университет)

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита диссертации состоится 21 ноября 2008 г. в 16 ч. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 21 октября 2008 г.

/Ученый секретарь

диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук профессор

А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Задачи, при изучении которых естественно возникают деформации с изменением топологической структуры рассматриваемых объектов1, давно и хорошо известны в разных областях науки.

Например, деформации такого типа играют важную роль в многомерных геометрических вариационных задачах, таких как классическая проблема Плато и ее аналоги. Напомним, что проблема Плато состоит в поиске так называемых глобально минимальных поверхностей, т. е. поверхностей, имеющих наименьший возможный объем при заданной границе, или, скажем, в данном гомологическом (гомотопическом) классе. В 60—70-е годы XX века многомерная проблема Плато была решена (т.е. были доказаны теоремы существования) сразу для нескольких широких классов обобщенных поверхностей, таких как G-поверхности2, целочисленные потоки3, варифолды4, спектральные многообразия и экстраординарные кого-мологии5, мультиварифолды6. Отметим, что перечисленные подходы носят весьма абстрактный характер, и привлекают множество разнородных теорий, уводя от начальной простой и наглядной постановки задачи. Таким образом, естественно попытаться более ясно описать геометрические объекты, возникающие при изучении проблемы Плато. В данной диссертации предлагается наглядный геометрический подход к задачам такого типа, основанный на понятиях многогранника-следа, его объема и деформаций.

Деформации, изменяющие структуру объекта, давно изучаются в теории экстремальных сетей (одномерная проблема Плато). Около двадцати лет назад в теории сетей появилось понятие расщепления вершин при деформации, а также (как естественное средство моделирования их) — понятие сети—следа как класса специальных параметризаций сети7. Понятие многогранника—следа, рассматриваемое в диссертации, представляет собой естественное обобщение сети—следа на старшие размерности.

Кроме того, при построении многогранников—следов в диссертации рассматриваются только кусочно—аффинные отображения. Это связано с давней практи-

'См., например, обзор в Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия минимальных сетей и одномерная проблема Плато.— Успехи матем. наук, 47, № 2, С. 53—115,1992.

2Reifenberg Е. R. Solution of the Plateau Problem for m-dimensional surfaces of varying topological type.— Acta Mathematica, 1960, V. 104, R 1—92.

3Federer H., Fleming W. H. Normal and integral currents — Ann. Math., 1960,72, P. 458—520.

4Almgren F. J. Existence and regularity almost everywhere of solutions to elliptic variational problem among surfaces of topological type and singularity structure.— Ann. Math., Ser. 2, 1968, 87, №2, P. 321—391.

5Фохенко А. Т. Вариационные методы в топологии.— М.: Наука, 1982.

6Дао Чонг Тха, Мультиварифолды и классические многомерные задачи Плато.— Известия АН СССР, 1980,44,5, С. 1031—1065.

7См., например, Иванов А. О., Тужилин А. А. Теория экстремальных сетей.— Москва—Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

кой приближать и характеризовать сложные отображения и пространства многогранниками и кусочно—аффинными отображениями (за их наглядность и простоту).

Таким образом, в диссертации строится новый класс "обощенных поверхностей", изучаются его строение и основные свойства. Для многогранников—следов вводится аналог локальной минимальности в смысле функционала объема и изучаются локальные свойства локально минимальных многогранников-следов.

Цель работы

Построить класс обобщенных многомерных поверхностей, наглядно позволяющий моделировать сложные деформации с изменением топологии, и исследовать свойства полученных объектов в приложении к задаче о локально минимальных поверхностях.

Основные методы исследования

В работе используются методы кусочно—аффинной геометрии, выпуклой геометрии, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления, теории графов, теории экстремальных сетей.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми, и состоят в следующем:

• введены и изучены специальные типы кусочно—аффинных отображений (смятия и контракции) и установлена представимость (см. Теорему 1) произвольного кусочно—аффинного отображения в виде композиции смятия и контракции;

• построены и изучены понятия многогранника—следа, его объема (см. Теорему 2) и деформации (см. Теорему 3);

• изучены особенности локального строения локально—минимальных многогранников—следов (см. Теорему 4);

• получено доказательство принципов Плато в кусочно-линейной категории, в частности, построены явные деформации, уменьшающие объем для не минимальных случаев (см. Теорему 5).

Теоретическая, практическая и научная ценность работы

Диссертация носит теоретический характер и может быть полезна в исследовании минимальных сетей, обобщенных поверхностей, геометрических вариационных задач (таких, как задача Плато).

Апробация работы

Содержание и результаты диссертации доложены на

• семинаре профессора А. О. Иванова и профессора А. А. Тужилина по теории минимальных сетей (Механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова) в 2001—2004 гг.;

• семинаре профессора Г. Книпера (Рурский университет, г. Бохум, Германия) в 2003 г.;

• семинаре по геометрии в целом под руководством профессора И. X. Сабитова и доцента Э. Р. Розендорна (Механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова) в 2005 г. и 2008г.;

• XXVII Конференции.молодых ученых Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 2005 г.;

• кафедральном семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений под руководством академика А. Т. Фоменко в 2008 г;

• топологическом семинаре имени В. А. Рохлина в СПО Математического Института РАН имени В. А. Стеклова под руководством профессора Н. Ю. Нецветаева в 2008 г.

Публикации по теме работы

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, указанных в конце автореферата [1—3].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем диссертации — 94 страницы. Список литературы— 15 наименований.

Содержание работы Обзор

Диссертация состоит из введения и двух глав.

Во введении кратко излагается история вопроса, обсуждается актуальность темы диссертации и связи с имеющимися исследованиями других авторов. Также там описана структура и основное содержание диссертации.

В первой главе даются основные определения и известные факты, после чего изучаются кусочно—аффинные отображения и их связь с симплициальными комплексами; вводятся особые классы этих отображений — смятия и контракции, и

изучаются их некоторые свойства; далее показана представимость произвольного кусочно—аффинного отображения в виде композиции смятия и контракции; наконец, на основе этих построений вводится понятие многогранников—следов, их деформаций, объема и рассматривается поведение объема при деформации.

Во второй главе изучается локальная структура многогранников—следов в предположении локальной минимальности их объема. Рассмотрены некоторые особенности этой структуры в многомерном случае, а также проведен более подробный анализ для двумерного случая в трехмерном пространстве и показана возможность существования только классических структур Плато.

Предварительные сведения

"Считаются известными обычные понятия топологии, теории аффинных пространств над К, теории сетей8, некоторые сведения о выпуклых множествах и многогранниках.

"Часто используются следующие общие обозначения.

• Для произвольного множества А обозначим иА := |J а,— объединение

а:абА

всех элементов множества А, его "тело" (заметим, что тело пустого множества — пустое множество).

• Для бинарного отношения (т. е. множества упорядоченных пар, например, функции или отображения, то есть функционального бинарного отношения) f обозначаются im f = {а : 3b((b, a) е f)}— образ его, ndomf = {a:3b((a,b) е f)} — область действия или определения его.

• Для четкости формулировок сопоставим бинарному отношению f функциональное бинарное отношение

Г := {(А, В) : А С dorn f, В = {b : За(а 6 А, (а, Ь) 6 f)»,—

естественное отображение, определенное на множестве всех подмножеств в dorn f.

"Если не оговорено противное, то всякий раз при рассмотрении композиции а о Ъ каких-либо бинарных отношений а и Ь предполагается их последовательная согласованность, то есть dorn а = im 6.

"Все построения проводятся в некотором бесконечномерном вещественном аффинном пространстве UNI, причем предполагается, что на нем задана некоторая топология такая, что на каждом конечномерном аффинном подпространстве А пространства UNI она порождает топологию обычного пространства RdimA.

«См. .например, Иванов А. О., Тужи дан А. А. Теория экстремальных сетей.— Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

Глава 1

Введение

°Df • У всякого подмножества А в Uni определим его аффинную оболочку aff А как совокупность всевозможных конечных аффинных комбинаций точек множества А, относительную внутренность rint А как внутренность множества А в его аффинной оболочке aff А и его относительную границу rmrgA как его границу в его аффинной оболочке.

°Df • Множество Р есть выпуклый полиэдр, если и только если найдется непустое конечное множество S точек в UNI, относительная внутренность выпуклой оболочки которого совпадает с Р.

°Df-Многогранником или многогранным, множеством, или полиэдром называется объединение конечного числа выпуклых полиэдров. Далее будем считать, что все многогранники связны.

°Df- Простая ломаная есть многогранник, гомеоморфный отрезку [0,1].

°Df ■ Аффинное подпространство L пространства UNI зоветсяопорною кнеко-торому выпуклому полиэдру В плоскостью, если она пересекает замыкание полиэдра В и для всяких двух разных точекр и q из В если (р, q) П L ф 0, то [р, q] с L. Грань выпуклого полиэдра А есть всякий выпуклый полиэдр В, у которого найдется некоторая опорная к многограннику А плоскость С такая, что А П С = В (обозначим через А < В отношение "А является гранью в В"). Также говорится, что выпуклый полиэдр А инцидентен выпуклому полиэдру В, если или А — грань у В или наоборот В — грань у А.

°Df- Вершина есть всякий нульмерный выпуклый полиэдр. Вершина выпуклого полиэдра есть вершина, являющаяся его гранью, а точка х — вершинная точка выпуклого полиэдра, если множество {х} — вершина его. Совокупность всех вершинных точек выпуклого полиэдра Р обозначим через vert Р. А совокупность всех вершинных точек всех выпуклых полиэдров из некоторого их набора Р обозначим через VertP = u(vert°(P)).

Ребро есть одномерный выпуклый полиэдр.

°Df-Симплекс есть выпуклый полиэдр с аффинно независимым множеством всех вершинных точек его.

°Df • Для двух симплексов А и В, объединение вершинных множеств которых аффинно независимо, определяется их произведение А*В, также симплекс, по формуле

А * В = В * А := rint conv(vert A U vert В), где conv обозначает выпуклую оболочку.

°Df • Напомним, что два выпуклых полиэдра согласованы, если пересечение их замыканий или пусто или является замыканием некоторой грани в каждом из них.

Выпуклополиэдральный комплекс А есть конечное множество попарно согласованных выпуклых полиэдров. Выпуклополиэдральный комплекс А полон, если его тело иА (то есть объединение всех его элементов) компактно, что эквивалентно принадлежности комплексу всякой грани всякого элемента комплекса.

°Df • Выпуклополиэдральный комплекс симплициален, если каждый элемент его — симплекс.

°Df • Отображение о из некоторого компактного полиэдра — подмножества пространства UNI — в то же пространство назовем аффинным относительно набора А выпуклых полиэдров, если оно непрерывно, иА = dorn а и отображение а аффин-но на каждом полиэдре из набора А.

°Df • Отображение а из некоторого подмножества пространства UNI в это же пространство назовем кусочно-аффинным (сокращенно будем писать "РА—отображение"), если оно аффинно относительно некоторого набора выпуклых полиэдров.

'Известен9 и иной подход к кусочной аффинности, однако на компактных полиэдрах класс кусочно—аффинных отображений тот же, что здесь.

°Df • Если о — некоторое РА—отображение, то

• скажем, что а — смятие, если для всякого ребра А такого, что А с dom а, верно, что множество а°(А) не одноточечно;

• в противном предыдущему случае скажем, что отображение — консумпция;

• скажем, что а — контракция, если для всякой точки х из im а верно, что множество (сг1)°({х}) связно.

°Df • Скажем, что тройка (К, f, L) двух полных симплициальных комплексов К и L и отображения f, заданного на иК, симплициальна, если отображение f аффинно относительно комплекса К, и для каждого симплекса К 6 К его образ f°(K) € L.

Скажем, что отображение о симплициально относительно полного симплици-ального комплекса К, если найдется полный симплициальный комплекс L такой, что тройка (К, о, L) симплициальна.

Разложение кусочно—аффинного отображения

i Теорема Для всякого РА—отображения f найдется РА—контракция f) и РА— смятие g, в композиции дающие f, то есть f = 0 о Ï).

Определение многогранника-следа

"Df • Если а — РА—отображение, то его редуктом назовем всякое РА—смятие Ь такое, что найдется РА—контракция с, в композиции с Ь дающая отображение а (то есть а = Ь о с).

8Рурк К., СанЗерсок Б. Введение в кусочно линейную топологию.— М.: Мир, 1974.

°Df- Скажем, что два РА—отображения а' и а" ребуктиено—эквивалентны, если у них есть общий редукт. То есть найдутся РА—смятие Ь, РА—контракции с' и с" такие, что а' = b о с' и а" = b о с".

Th-Отношение редуктивной эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно.

"Df • Произвольное множество РА—отображений назовем редуктивно coôep-жателькьш, если у всякого элемента того множества есть редукт в том множестве.

Обозначать будем кратко: rd-ct-множество.

"Df • Если А — некоторое rd-ct-множество, то классы редуктивно-эквивалент-ных элементов того множества назовем А—м.ного арапниками— след ам.и.

"Заметим, что всякий элемент всякого А—многогранника—следа обладает ре-дуктом из того же многогранника—следа, а всякие два элемента его обладают общим редуктом из него же.

"Df • Для некоторого РА—отображения о скажем, что некоторый замкнутый многогранник Р — аффиктура к отображению а, если Р с dorn а.

"Df ■ Если а — РА—отображение и Р — некоторая аффиктура к отображению а, то af-pedyKtnoM пары (о, Р) назовем всякую пару (b,Q) такую, что b — РА— смятие, Q — аффиктура к отображению Ь, и найдется РА—контракция с такая, что а = b о си с°(Р) = Q.

"Df ■ Скажем, что две пары (а', Р') и (а", Р"), где а' и а" — РА—отображения, Р' — аффиктура к а', Р" — аффиктура к а", af-редуктиено—эквивалентны, если у них есть общий af-редукт.

Th • Отношение af-редуктивной—эквивалентности рефлексивно, симметрично, транзитивно.

"Df-Произвольное множество пар РА—отображений и аффиктур к ним назовем af-peöyKtnueno соЗержательньш, если у всякого элемента того множества есть af-редукт в том множестве.

Обозначать будем кратко: af-rd-ct-множество.

"Df • Если А — некоторое af-rd-ct-множество, то классы af-редуктивно—эквивалентных элементов того множества назовем А—af-многогранниками—следами.

Деформации многогранников-следов

"Df • Возьмем некоторые разные числа а и ß из R, некоторый полный симпли-циальный комплекс А и некоторое rd-ct-множество W. Тогда непрерывное отображение а из [а, ß] х иА в UNI —

• элементарная деформация относительно четверки (ос, ß, A, W), если

- при каждом т из [а, ß] отображение а(т, •) симплициально относительно комплекса А и принадлежит классу W;

— при всяких числах ст и т из (а, р] и всяких точках v и w из Vert(A) верно, что если o(o-,v) = a(cr,w), то a(T,v) = a(T,w).

• аналитическая элементарная деформация относительно четверки (а, (3, A, W), если оно элементарная деформация относительно той же четверки (а, Р, A, W) такая, что при каждой точке v из Vert(A) отображение a(-,v) анали-тично (то есть локально представимо степенным рядом с центром) в а. и один раз непрерывно—дифференцируемо на [а, (3].

°Df ■ Возьмем некоторые разные числа а. и р из R, некоторый полный симпли-циальный комплекс А и некоторый замкнутый полиэдр Р, являющийся объединением симплексов из А, и некоторое af-rd-ct-множество W. Тогда непрерывное отображение а из [а, р] х иА в UNI —

• элементарная деформация относительно пятерки (с*, р, А, Р, W), если

— при каждой точке х из Р отображение а(-,х) постоянно на [а, р];

— при каждом т из [а, р] отображение а(т, •) симплициально относительно комплекса А и пара (а(т, •), Р) принадлежит классу W;

— при всяких числах а и т из (а, р] и всяких точках v и w из Vert(A) верно, что если a(tr,v) = a(o-,w), то o(t,v) = a(T,w).

• аналитическая элементарная деформация относительно пятерки (а, р, А, Р, W), если оно элементарная деформация относительно той же пятерки (а, Р, А, Р, W) такая, что при каждой точке v из Vert(A) отображение a(-, v) аналитично в а и один раз непрерывно—дифференцируемо на [а, р].

"Df • Возьмем некоторые разные числа а и р из R и некоторое [af-Jrd-ct-множе-ство W. Тогда отображение b из [сс, р] в совокупность W—многогранников-следов — элементарная W—деформация относительно пары (ос, ¡3), если найдется полный симплициальный комплекс А[ и некоторый замкнутый полиэдр Р, являющийся объединением симплексов из А] и непрерывное отображение а из [а, р] х иА в UNI такие, что отображение а — элементарная деформация относительно четверки (сс, р, A, W) [пятерки («, р, А, Р, W)] и при каждом т из [а, р] отображение а(т, •) принадлежит множеству Ь(т).

°Df • Возьмем некоторые числа а и Р из R, причем а < Р, и некоторое [af-]rd-ct-множество W. Тогда отображение а из [а, р] в совокупность W—многогранников—следов — W—деформация на отрезке [а, 0], если найдется набор чисел а = то < ... < tv = Р таких, что при каждом i = 1,... ,-v отображение а|[т ^ т ] — элементарная W—деформация относительно пары (т^-ьт,.) или пары (TcTt-i).

Объем многогранника—следа

"Выберем некоторое конечномерное аффинное подпространство Y, в нем некоторое скалярное произведение (■, •) и порожденный им объем mest (размерностей i = 0.. .dim Y).

"Df-Для всяких кусочно—аффинного отображения f с образом в выбранном пространстве Y, и полного симплициального комплекса К, относительно которого отображение f симплициально, определим объем. vol£' f по формуле

vol£"f:= Y. meSvf(K),

К:К£К

где -V = max dim К.

К:КеК

2 Теорема • Если f—некоторое РА—отображение с образом в Y, то число voi^" g не зависит от выбора отображения q и комплекса К из всех таких, что g — симпли-циальный относительно полного симплициального комплекса К редукт отображения f.

"Df-Для произвольного кусочно—аффинного отображения f, образ которого лежит в выбранном пространстве Y, определим его объем vol f как число vol^" g при некотором симплициальном относительно некоторого полного симплициального комплекса К редукте g с образом в Y отображения f.

"Df • Для произвольного [af-Jrd-ct-множества А определим для всякого А—многогранника—следа а его образ im а как образ некоторого представителя его (im а := im f, где f 6 а[ или (f, Р) е а]), и если im А лежит в выбранном пространстве Y, то его объем Vol А по формуле Vol а := vol f, где f [или (f, Р)] — некоторый представитель из А.

"Замечание ■ При этом от представителя это число не зависит.

Объем многогранников—следов при деформации

"Df • Определим множество Т — совокупность всех РА—отображений с образом в Y.

Скажем, что [аналитическая] элементарная деформация а относительно некоторой четверки (а, Э, А,Т) проста, если dimimo(T, •) не зависит от т из [а, р]. зТеорема

I. Пусть а — простая [аналитическая] элементарная деформация относительно некоторой четверки («., 0, А, Т);

тогда отображение р, определенное формулою р(т) = vol я(т, •) при т е [а, (3], непрерывно, а при аналитичности С1 —гладко.

II. Пусть п — [аналитическая] Т—деформация на отрезке [а, (3] с постоянною размерностью образа;

тогда отображение го, действующее по формуле ю(т) = Vol гц-, т 6 [а, (3], непрерывно, а при аналитичности кусочно—С1—гладко.

Глава 2

Введение

"Возьмем некоторую конечномерную плоскость Y в пространстве UNI, на ней выберем некоторое положительно—определенное скалярное произведение (•,•), и рассмотрим порожденные этим скалярным произведением лебеговы меры (объемы) meso,..., mesdim y соответствующих размерностей 0,..., dim Y.

°Df • Скажем при каком-либо у из чисел 0,..., dim Y, что множество А —у— квазиповерхность, если

• оно включено в плоскость Y, многогранно, компактно;

• -v—мерно всякое множество, открытое в множестве А.

Еще скажем, что множество А—кеазиповерхность, если оно—-v—квазиповерхность для некоторого у из 0,..., dim Y.

"Df • Скажем, что точка х — точка полу плоско го muría в многогранном множестве Р, если X е Р, и найдется симплекс А такой, что А — открытое множество в Р, есть симплекс В такой, что dim В + 1 = dim АиВ <АихеВиВиА — открытое в Р множество.

°Df • Обозначим через F множество всех пар (a, M), у которых найдется представление вида a = бос, где 6 — РА—смятие; с — PA-контракция; M — аффиктура в РА—отображении a; im о и dorn Ь = im с — квазиповерхности; и всякая точка х из (dom a) \ M. не полуплоского типа в dorn о = dorn с как только точка с(х) не полуплоского типа в im с = dorn b.

Из этого определения следует, что F — af-редуктивно содержательный класс.

°Df • Скажем, что пара (а', М') из F проецируема е пару (а", М.") из F, если найдется РА—контракция с такая, что а' = а" о с и с°(М') = М".

°Df- Скажем, что пара (А,х) —локальный конус, еслих G А, множество А многогранно, компактно и такое, что для всякой точки у из множества А верно, что [х,у] С А.

°Df • Если (А, х) — некоторый локальный конус, то определим его край fn(A, х) по формуле

fn(A, х) := {z : для всякой точки w из множества А верно, что z £ [х, w)}.

°Df • Скажем, что тройка (а, М, х) — коническая, если

• (а, M) G F;

• (dom а, х) — локальный конус;

• M = fn(dom а,х).

°Df- Скажем, что коническая тройка (а, М,х) минимальна, если при всякой элементарной простой аналитической деформации m относительно некоторой пятерки (0,1, А, Р, F) итакой, что пара (т(0,-),Р) проецируема в пару (а, М), верно, что найдется некоторое е из (0,1) такое, что при всяком тиз [0, е) верно vol ш(т, •) > volm(0,-) = vola.

°Df • Скажем, что пара (a, М) из F локально—минимальна, если для всякой точки х из множества (doma) \ М найдется локальный конус (С,х) такой, что С — замкнутая окрестность точки х во множестве dorn a, С \ fn С с dom a \ М и коническая тройка (a|c,fn(C,x),x) минимальна.

°Df- Скажем, что F—многогранник—след локально—минимален, если таков каждый его элемент.

Многомерный случай

4 Теорема • Для всякой локально—минимальной пары (a, М) (при этом обозначим -V := dim im a) и всякого симплициального комплекса А если отображение о локально-инъективно на (dom a) \ М, а также симплициально относительно комплекса А, то

• если точка х лежит в множестве (dom a) \ М, то не найдется ("V — 1)—мерного симплекса А в комплексе А такого, что х € А и симплекс А инцидентен только одному-V—мерному симплексу комплекса А;

• для всякого ("V — 1)—мерного симплекса В' степени 2 в комплексе А, лежащего в (dom a) \ М, верно, что симплексы a°(A¡) и ас(А2) лежат в одной-v— мерной плоскости, где и А'2 суть те два симплекса комплекса А, которые инцидентны симплексу В' и имеют размерность -v;

• для всякого ("V—1)—мерного симплекса В' комплекса А, включеного в (dorn a)\ М, и имеющего степень в комплексе А не менее трех верно, что

— для произвольных двух -V—мерных симплексов А{ и А^, инцидентных симплексу В', двугранный угол между симплексами a°(Aj) и а°(А2) не

2п

менее —;

— в тех же условиях степень симплекса В' равна трем, и тот двугранный

2л

угол равен —.

Двумерный случай в трехмерном пространстве

5 Теорема ■ При условии dim Y = 3 рассмотрим (a, М) —локально—минимальную пару из F такую, что отображение a локально инъективно на (dom a)\M; будем считать, что dim im a = 2. Еще рассмотрим некоторый полный симплициальный комплекс А, относительно которого симплициально отображение а, и некоторую

точку х такую, что {х} € А их € (dorn а)\М. Тогда найдется локальный конус (С,х) такой, что С — замкнутая окрестность точки х в dorn а, отображение о инъективно на С, и a-образ К множества int^dom а)\ги.С имеет один из следующих трех видов:

тип 1: множество К лежит в некоторой плоскости;

тип II: найдется симплициальный комплекс К такой, что тело комплекса К есть К, в К всего три двумерных симплекса, всего один одномерный симплекс, нет нульмерных симплексов, причем двумерные симплексы инцидентны одномерному, двугранный угол между каждыми двумя двумерными симплексами составляет 120°, и точка я(х) лежит в одномерном симплексе;

тип III: найдется симплициальный комплекс К такой, что тело комплекса К есть К, в К всего шесть двумерных симплексов, четыре одномерных и один нульмерный, причем каждый двумерный симплекс инцидентен двум и только двум одномерным, каждый одномерный симплекс инцидентен трем и только трем двумерным, нульмерный же симплекс инцидентен всем четырем одномерным симплексам, двугранный угол между каждыми двумя двумерными симплексами, инцидентными некоторому одномерному симплексу, составляет 120°, и нульмерный симплекс есть (а(х)}.

Автор благодарит своего научного руководителя профессора А. О. Иванова и профессора А. А. Тужилина за постановку задач и внимание к работе; а также благодарит весь коллектив кафедры дифференциальной геометрии и приложений, возглавляемой академиком РАН А. Т. Фоменко, за возможность плодотворно заниматься научной работой.

Работы автора по теме диссертации

[1] Гусев Н. С. Каноническое разложение кусочно-аффинных отображений и многогранники-следы II Вестник МГУ, Сер. 1, Математика, Механика (краткое сообщение).— 2005.— № 5.— С. 72—77.

[2] Гусев Н. С. Применение канонического представления кусочно-аффинных отображений к объему их при деформациях с изменением геометрии // Труды XXVII Конференции молодых ученых Механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. М.: Изд—во МГУ—2005,—С. 41-44.

[3] Гусев Н. С. Каноническое разложение кусочно-аффинных функций, многогранники-следы и геометрические вариационные задачи // Фундамент. и прикл. матем., 2006,12:1, С. 57—94.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова

Подписано в печать /О. О3 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. Тираж 400 экз. Заказ 55

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение

1 Кусочно—аффинные отображения и многогранники—следы

1— Введение.

1.1 Последовательная примитивизация.

1.2 Свойства смятий и контракций.

1.2.1 Смятия.

1.2.2 Контракции

1.2.3 Связь смятий и контракций.

1.3 Разложение РА-отображений

1.3— Введение.

1.3.1 Стяжения ребер.

1.3.2 Разложение на комплексе.

1.3.3 Разложение на смятие и контракцию.

1.4 Многогранники—следы.

1.4.1 Построение

1.4.2 Деформации.

1.4.3 Объем.

1.4.4 Объем при деформации.

2 Локальная минимальность '

2— Введение.

2.1 Многомерный расчет

2.1.1 Расчет расщепления

2.1.2 Степени симплексов.

2.2 Двумерный случай в трехмерном пространстве.

2.2.1 Предварение.

2.2.2 Описание десяти типов сетей на сфере.

2.2.3 Деформации с уменьшением объема.

Предисловие

Хорошо известны задачи, при решении которых рассматриваются деформации с изменением топологической структуры объекта, см., например, обзор в [3]. При изучении геометрии "обобщенных поверхностей" и функционалов на них (например, объема) необходимы (по возможности, "геометрически наглядные") средства задавать и деформировать эти "поверхности". Также у этих сложных "поверхностей" следует изучать внутренние соотношения и задачи поиска и построения.

В частности, деформации, при которых меняется топологическая структура объекта, играют важную роль и в многомерных геометрических вариационных задачах, таких как проблема Плато и ее аналоги. В теории экстремальных сетей (одномерная проблема Плато) появилось понятие расщепления вершин при деформации, а также (как естественное средство моделирования их) — понятие сети—следа как класса специальных параметризаций сети, см., например, [4]. Приняв во внимание давнюю практику приближать и характеризовать сложные отображения и пространства многогранниками и кусочно-аффинными отображениями (за их наглядность), именно такие объекты выбраны основными элементами построений. Схема построений распространяет понятия теории сетей—следов на большие размерности, но с указанными ограничениями типа отображений. Таким способом в первой главе определяются и изучаются многогранники—следы, их деформации и объем.

Как уже сказано, классическим примером задач с деформациями, изменяющими геометрию, является проблема Плато, состоящая в поиске так называемых глобально минимальных поверхностей, т. е. имеющих наименьший возможный объем при заданной границе, или, скажем, в данном гомологическом (гомотопическом) классе. В 60—70-е годы XX века многомерная проблема Плато была решена (т.е. было доказано существование глобально минимальных поверхностей) для нескольких широких классов обобщенных поверхностей, таких как й-поверхности (Райфенберг [6]), целочисленные потоки (Федерер, Флеминг [7]), варифолды (Альмгрен [8]), спектральные многообразия и экстраординарные когомологии (Фоменко [9]), мультиварифолды

Дао Чонг Тхи [10]). Отметим, что„перечисленные подходы носят весьма абстрактный характер, и привлекают множество разнородных теорий, уводя от простоты задачи. Тем самым, возникает задача более наглядно описать геометрические особенности, характерные проблеме Плато. На основе понятия многогранников—следов, их объема и деформаций некоторые такие особенности рассмотрены во второй главе.

Благодарности

Автор благодарит своего научного руководителя профессора А. О. Иванова и профессора А. А. Тужилина за постановку задач и внимание к работе; а также благодарит весь коллектив кафедры дифференциальной геометрии и приложений, возглавляемой академиком РАН А. Т. Фоменко, за возможность плодотворно заниматься научной работой.

Общие сведения

Во всем изложении считаются известными обычные понятия топологии, теории аффинных пространств над R, теории сетей (см., например, [4]), некоторые сведения о выпуклых множествах и многогранниках (см., например, [2] и [1]). "Часто используются следующие общие обозначения.

• Для произвольного множества А обозначим иА := (J а,— объединеааеА ние всех элементов множества А, его "тело" (заметим, что тело пустого множества — пустое множество).

• Скажем, что множество А является азлгелъчение.м множества В или вписано е множество В и обозначим это отношение формулою А В, если совпадают их тела (иА - иВ) и Vb(b G В —► ЗС(С с А, иС = Ь)).

• Для бинарного отношения (т. е. множества упорядоченных пар, например, функции или отображения, то есть функционального бинарного отношения) f обозначаются imf = {а : ЗЬ((Ь,а) g f)} — образ его, и domf = {а : ЗЬ((а, Ь) g f)} — область действия или определения его.

• Для четкости формулировок сопоставим бинарному отношению f функциональные бинарные отношения ff, f°°, f°°°, где f° := {(А, В) : А с dorn f, В = {b : За(а g А, (а, b) G f)}},— естественное отображение, определенное на множестве всех подмножеств в dorn f; еще заметим, что f°° = (f°)°; f00 - (f = ((f Также применяются следующие обозначения множеств:

• N={0,1,2,3,.},— все натуральные (неотрицательные целые) числа;

• N+ = {1,2,3,.} — N \ {0},— положительные целые числа;

• = Rj. = [0, +оо),— неотрицательная полуось;

• = х [0, +оо), ос g N\{0,1},— неотрицательное полупространство.

Если не оговорено противное, то всякий раз при рассмотрении композиции сю Ь каких-либо бинарных отношений а и Ь предполагается их последовательная согласованность, то есть dorn а = im b.

Все построения проводятся в некотором бесконечномерном вещественном аффинном пространстве Uni, причем предполагается, что на нем задана некоторая топология такая, что на каждом конечномерном аффинном подпространстве А пространства Uni она порождает топологию обычного пространства RdimA.

Краткое изложение диссертации

Обзор

Диссертация состоит из введения и двух глав.

1. Рурк к., Сандерсон Б. Введение в кусочно линейную топологию.— М.: Мир, 1974.

2. Фоменко А. Т. Топологические вариационные задачи.— М.: Издательство МГУ, 1984.

3. Reifenberg Е. R. Solution of the Plateau Problem for m—dimensional surfaces of varying topological type.— Acta Mathematica, 1960, V. 104, P. 1-92.

4. Federer H., Fleming W. H. Normal and integral currents.— Ann. Math., 1960, 72, P. 458-520.

5. Almgren F. J. Existence and regularity almost everywhere of solutions to elliptic variational problem among surfaces of topological type and singularity structure — Ann. Math., Ser. 2, 1968, 87, № 2, P. 321-391.

6. Фоменко А. Т. Вариационные методы в топологии.— М.: Наука, 1982.

7. Дао Чонг Тхи, Мультиварифолды и классические многомерные задачи Плато — Известия АН СССР, 1980, 44, 5, С. 1031-1065.HeppesA. Isogonalspherischen Netze jj Ann. Univ. Sci., Budapest, Sect. Math., 7, P. 41-48, 1964.

8. Taylor J. E. The Structure of Singularities in Soap-bubble-like and Soap-film-like Minimal Surfaces // Annals of Mathematics, 103(1976), P. 489-539.Работы автора по теме диссертации

9. Гусев Н. С. Каноническое разложение кусочно-аффинных отображений и многогранники-следы // Вестник МГУ, Сер. 1, Математика, Механика (краткое сообщение).— 2005.— № 5.— С. 72—77.

10. Гусев Н. С. Каноническое разложение кусочно-аффинных функций, многогранники-следы и геометрические вариационные задачи II Фундамент, и прикл. матем., 2006, 12:1, С. 57—94.