Многогранники весов и их приложения к теории представлений алгебраических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.745

СМИРНОВ Александр Владимирович

Многогранники весов и их приложения к теории представлений алгебраических

групп

Специальность: 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

ЛУ

'/гг/',.

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Э. Б. Винберг

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор А. Л. Онищик;

доктор физико-математических I наук, профессор В. Л. Попов

Ведущая организация: Институт передачи проблем информации РАН

Защита состоится 2005 г. в 16 часов 15

минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан: ОХ/ГкХС^Щ 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 в МГУ

доктор физ.-мат. наук, профессор " В.Н. Чубариков

гооог 4

ТСШ

характеристика работы

Актуальность темы

Настоящая работа посвящена исследованию двух тесно связанных между собой задач теории представлений полупростых групп Ли — классификации квазизамкнутых орбит в проективных представлениях и описанию многогранников Бриона. Эти задачи, известные на протяжении двух десятилетий, ранее были решены лишь частично.

Первая задача возникла независимо в двух ситуациях. Хорошо известно, что замкнутые орбиты связной полупростой комплексной линейной алгебраической группы (7 С СЬ(У) в проективном пространстве Р(У") — это проективизации орбит старших векторов. Естественно рассмотреть орбиты, замыкание которых состоит из двух орбит (одна из которых замкнута). В диссертации они называются квазизамкнутыми. Квазизамкнутые орбиты впервые рассматривались Э.Б. Винбергом и Д.Н. Ахиезером в 1977 году. Ими были получены некоторые результаты, но они не были опубликованы ввиду своей незавершенности.

Близкая задача возникла у Д. Луны при изучении сферических многообразий. Напомним, что (^-многообразие называется сферическим, если оно нормально и борелевская подгруппы группы (7 имеет на нем открытую орбиту. Д. Луна в 1987 году сформулировал гипотезу о том, что все нормальные полные двухорбитные многообразия являются сферическими.

1

I РОС. НАЦИОНАЛЫ!. I БИБЛИОТЕКА

С.Пет<ц#,ргУ/7

Задача классификации полных нормальных многообразий является в некотором смысле упрощением задачи классификации квазизамкнутых орбит и были темой многих работ. Д.Н. Ахиезер1 и, независимо, А. Хаклберри и Д. Сноу2 классифицировали нормальные полные двухорбитные многообразия с замкнутой орбитой коразмерности один. М. Брион3 повторил эти результаты, используя теорию однородных вложений Луны-Вюста4. Затем Д. Фельдмюллер5 описала двухорбитные многообразия с замкнутой орбитой коразмерности два. Классификация всех нормальных полных двухор-битных многообразий была независимо получена С. Кюпи- ^

Футу 6 Однако классификации квазизамкнутых орбит получено не было.

Вторая задача, рассматриваемая в диссертации, возникла из следующих соображений. Стандартной проблемой теории представлений является задача о разложении тензорной степени данного представления редуктивной алгебраической «,

группы в сумму неприводимых. Часто бывает естественно

1 Akhiezer D., Equivariant completion of homogeneous algebraic varieties be homogeneous divisors // Ann. Global Anal. Geom. V. 1 (1983). P. 49-78.

2Huckleberry A., Snow D., Almost-homogeneous Kâhler manifolds with hypersurface orbits // Osaka J. Math. V. 19 (1982). No 4. P. 763-768.

3Brion M., A note on two-orbit varieties // Topology Hawaii (Honolulu, HI, 1990). Singapore: World Sci., 1992. P. 36-40; Brion Ai., On spherical varieties of rank one // Group actions and invariant theory. Montreal, 1988. CMS Conf. Proc., Providence, V. 10 (1989). P. 31-41.

4Luna D., Vust T., Plongements d'espaces homogènes // Comment. Math. Helv. V. 58 (1983). P. 186-245.

sFeldmûller D., Two-orbit varieties with smaller orbit of codimension two // Arch. Math. (Basel). V. 54 (1990). No 6. P. 582-593.

6 Cupit-Foutou St. Classification of two-orbit varieties 11 Comment. Math. Helv. V. 78 (2003). P. 245-265.

разлагать не конкретную тензорную степень, а всю тензорную алгебру. Подобный подход привел М. Бриона7 к определению некоторого многогранника, соответствующего пространству представления V группы G, или, более общо, любому коническому G-инвариантному многообразию X в V, и в некотором смысле описывающего разложение тензорной алгебры и алгебры функций на X в сумму неприводимых пространств представлений. В той же работе было получено описание многогранника Бриона через образ отображения моментов, что являлось обобщением аналогичных результатов М. Атьи8 для торических многообразий. Многогранник Бриона является подмножеством многогранника весов.

Многогранник Бриона представляет интерес и сам по себе, так как он является естественным объектом, соответствующим любому коническому G-инвариантному многообразию X в V, и свойства многогранника напрямую связаны со свойствами многообразия. Такой подход был использован M Бри-оном9.

Задача описания многогранников Бриона для замыканий проективизаций орбит в присоединенном представлении была поставлена B.JI. Поповым10 в докладе на конференции по

7Brion M., Sur l'image de l'application moment // Sémin. d'algèbre P. Dubreil et. M.-P. Malliavin, Proc., Paris 1986, Lect. Notes Math. V. 1296 (1987). P. 177-192.

6Atiyah M., Convexity ang commuting Hamiltonians, Bull. London Math. Soc. V. 14 (1982), P. 1-15.

9Brion M., On the general faces of the moment polytope, Int. Math. Res. Notices, V. 4 (1999). P. 185-201.

10Popov V.L., Moment polytopes of nilpotent orbit closures; Dimension and isomorphism of simple modules; and Variations on the theme of J. Chipalkatti, Inv. Theory in All Characteristics, С an ad. Research Math. Proc. Lecture Notes, AMS, Providence, RI, V. 35 (2004). P. 193-198.

теории инвариантов (Кингстон, 2002).

Р. Сьямаар, используя метод носителей, получил11 описание многогранника Bri(V) для представлений, все числовые отметки которых отличны от единицы.

Тем не менее, описания многогранника Бриона произвольного представления, а, тем более, произвольного G-инвари-антного конуса остается открытой проблемой.

Цель работы

Целью работы является развитие метода носителей и его применение к классификации квазизамкнутых орбит в проективных представлениях полупростых групп, а также к описанию многогранников Бриона представлений полупростых групп.

Основные методы исследования

В работе используется метод носителей, а также методы и результаты теории представлений алгебраических групп, теории сферических многообразий и теорема о локальной структуре.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

• Получена полная классификация квазизамкнутых орбит

11 Sjamaar Д., Convexity properties of the moment mapping re-examined // Adv. in Math. V. 138 (1998). P. 46-91.

полупростых групп в проективных представлениях, что, в частности, дает апостериорное доказательство гипотезы Луны.

• Методом носителей получено описание многогранника Бриона в терминах частичного порядка на множестве замыканий проективных орбит.

• Описан многогранник Бриона для большинства неприводимых представлений полупростых групп (в частности, для всех представлений со строго доминантными весами), и для их нуль-конусов.

• Описан многогранник Бриона присоединенных представлений и их нуль-конусов для всех простых групп, кроме Ее и А„ для п > 4.

• Исследованы свойства параболической индукции (7-мно-гообразий.

Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для решения различных задач теории представлений и изучения действий редуктивных алгебраических групп.

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались неоднократно на семинаре Э.Б. Винберга и А.Л. Онищика "Группы Ли и тео-

рия инвариантов" кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ; на семинаре И.Р. Шафареви-ча отдела алгебры МИРАН (в 2004 и 2005 году); на международной конференции "Classical Invariant Theory" (Queen's University, Kingston, 2002); на научно-исследовательском семинаре

A. Huckleberry "Globale Methoden der komplexen Geometrie" (Bochum, 2003); на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ (2005).

Публикации

Основные результаты опубликованы в четырех работах список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Полный объем диссертации — 151 страница, библиография включает 32 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении отражена история вопросов, изучаемых в диссертации, и приведен обзор результатов, связанных с темой исследования. Кратко излагается содержание работы и формулируются основные результаты.

В первой главе описываются методы, используемые в работе, как разработанные автором, так и известные ранее.

В первом параграфе рассказывается о многогранниках весов и о свойствах носителей и доказывается теорема о параболической индукции орбит. Любой грани Г многогранника весов сопоставляется полупростая подгруппа Gr С G и Gr-инвариантное подпространство Vv C.V. Теорема о параболической индукции говорит, что пересечение любой G-орбиты с Vr либо пусто, либо является одной Gr-орбитой, а разнесение любого Gr-инвариантного замкнутого подмногообразия t пространства P(Vr) при помощи группы G также является

" замкнутым многообразием.

Во втором параграфе формулируются понятия и теоремы ^ теории сферических многообразий.

В третьем параграфе рассказывается о связи многогранника Бриона с отображением моментов и о применении метода отображения моментов для его описания. Часть приводи-1 мых здесь результатов была получена Р. Сьямааром. Также в

' этом параграфе доказывается теорема, позволяющая приме-

* нить теорему о локальной структуре Бриона Луны и Вюста12

к описанию многогранника Бриона.

В четвертом параграфе описывается конструкция, дающая возможность получить другое описание многогранника Бриона и применить метод носителей к его описанию. Эта конструкция интересна и сама по себе.

Во второй главе перечисленные выше методы применяются для получения классификации квазизамкнутых орбит.

В первом параграфе описываются возможные стабилиза-

12 В л on M., Luna D., Vust Th., Espaces homogènes sphériques // Invent. Math. V. 84 (1986). P. 617-632.

торы точек квазизамкнутых орбит. В основном доказательство опирается на метод носителей, а также важную роль играют теорема о параболической индукции и конструкция из четвертого параграфа первой части, позволяющие свести задачу к случаю простой квазизамкнутой орбиты в неприводимом представлении.

Во втором параграфе доказывается, что все полученные в первом параграфе пары сферичны, и описываются их сферические данные. При этом используется описание сферических многообразий, полученное Брионом13, а также теорема Панюшева14 о ранге и сложности многообразий.

В третьем параграфе завершается классификация квазизамкнутых орбит. В том числе оказывается, что в неприводимом пространстве представления содержится конечное число квазизамкнутых орбит.

Третья глава посвящена описанию многогранников Бри-она для пространств представлений и их нуль-конусов.

В первом параграфе описываются многогранники Брио-на пространств присоединенных представлений и из нуль-конусов. При доказательстве используется метод отображения моментов и теорема о локальной структуре, рассмотренные в третьем параграфе первой главы.

Во втором параграфе описываются многогранники Бри-она для некоторых неприводимых пространств представлений, а в третьем — для их нуль-конусов.

13Brion M., Variétés Sphériques // Notes de la session de la S. M. F. "Operations hamiltoniennes et operations de groupes algebriques". Grenoble, 1997.

l4Panyushev D.I., Complexity and nilpotent orbits // Manuscr. Math. V. 83 (1994). No 3-4. P. 223-237.

Благодарности

Автор глубоко благодарен Эрнесту Борисовичу Винбергу за подлинное научное руководство, постоянное внимание и поддержку, а также Дмитрию Андреевичу Тимашову за полезные обсуждения и ценные замечания и Владимиру Леонидовичу Попову за постановку задачи, которая легла в основу одного из направлений диссертационной работы. Автор считает, что он никогда бы не стал математиком, если бы не его любимый шкальный учитель Рафаил Калманович Гордин.

Список публикаций по теме диссертации

1. Смирнов A.B. Квазизамкнутые орбиты в проективных представлениях полупростых комплексных групп Ли // Труды Моск. Мат. Общ., Т. 64 (2003). С. 213-270.

2. Смирнов A.B. Проективные орбиты редуктивных групп и многогранники Бриона // Усп. Мат. Наук. Т. 60. (2005:2). С. 147-148.

3. Смирнов A.B. Разложение симметрических степеней неприводимых представлений полупростых алгебр Ли и многогранник Бриона // Труды Моск. Мат. Общ. Т. 65 (2004). С. 230-252.

4. Smirnov A.V. Classification of Nearly Closed Orbits for the Action of Semisimple Complex Linear groups on the Projective Spaces // CRM Proceedings and Lecture Notes. Vol. 35. 2004. P. 251-257.

•18 712

РНБ Русский фонд

2006-4 16000

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете

МГУ им М.В.Ломоносова. _

Подписано в печать И О 3,0$

Формат 60 x 90 1/16. Усл. печ. л 0,5

Тираж 100 экз. Заказ гъ

Введение

1 Используемые методы

§1 Носители, многогранники весов и параболическая индукция

§2 Геометрия сферических многообразий.

§3 Многогранник Бриона и отображение моментов.

§4 Другое описание многогранника Бриона.

2 Классификация квазизамкнутых орбит

§1 Описание возможных стабилизаторов точек квазизамкнутых орбит.

§1.1 Квазизамкнутые орбиты первого типа.

§1.2 Квазизамкнутые орбиты второго типа.

§2 Вычисление сферических данных.

§3 Завершение классификации квазизамкнутых орбит.

3 Описание многогранников Бриона

§1 Описание многогранников Бриона присоединенных представлений

§2 Описание многогранника Bri(y) для большинства неприводимых представлений.

§3 Описание внутренней границы многогранника Bri(Af(V))

§3.1 Ограничения с внутренней стороны.

§3.2 Описание многогранника Bri(JV(g)).

§3.3 Описание многогранника Бриона Bri(Л/*(У)).

В теории представлений редуктивных алгебраических групп естественно возникает понятие многогранника весов представления группы. Каждому вектору пространства представления можно поставить в соответствие подмножество этого многогранника, называемое носителем вектора. Изучение носителей векторов является удобным инструментом в теории инвариантов (см., напр., [4]). Целью диссертации является применение метода носителей к некоторым задачам теории представлений и теории алгебраических групп преобразований.

Стандартной задачей теории представлений является задача о разложении тензорной степени данного представления редуктивной алгебраической группы в сумму неприводимых. Часто бывает естественно разлагать не конкретную тензорную степень, а всю тензорную алгебру. Подобный подход привел М. Бриона к определению некоторого многогранника, соответствующего пространству представления V группы G, или, более общо, любому коническому G-инвариантному многообразию X в V, и в некотором смысле описывающего разложение тензорной алгебры и алгебры функций на X в сумму неприводимых пространств представлений. Многогранник Бриона является подмножеством многогранника весов. Задача описания многогранников Бриона для замыканий проективизаций орбит в присоединенном представлении была поставлена B.JI. Поповым в докладе на конференции по теории инвариантов (Кингстон, 2002, см. [29]). В некоторых случаях эти многогранники были описаны Сьямааром [30]. В диссертации с помощью метода носителей описаны многогранники Бриона для "большинства" неприводимых представлений редуктивных групп и их нуль-конусов.

Другая задача, решенная в диссертации при помощи метода носителей, — задача классификации квазизамкнутых орбит, или двухорбитных многообразий. Хорошо известно, что замкнутые орбиты связной полупростой комплексной линейной алгебраической группы g С gl(v) в проективном пространстве P(V) — это проективизации орбит старших векторов. Естественно рассмотреть орбиты, замыкание которых состоит из двух орбит (одна из которых замкнута). Назовем их квазизамкнутыми. Квазизамкнутые орбиты впервые рассматривались Э.Б. Винбергом и Д.Н. Ахиезером в 1977 году. Ими были получены некоторые результаты, но они не были опубликованы ввиду своей незавершенности.

Похожая задача возникла у Д. Луны при изучении сферических много-' образий. Напомним, что (7-многообразие называется сферическим, если оно нормально и борелевская подгруппы группы g имеет на нем открытую орбиту. Луна в 1987 году сформулировал гипотезу о том, что все нормальные полные двухорбитные многообразия являются сферическими.

Нормальные полные двухорбитные многообразия были ранее классифицированы при некоторых допущениях. Д.Н. Ахиезер [10] и, независимо, А. Хаклберри и Д. Сноу [22] классифицировали двухорбитные многообразия с замкнутой орбитой коразмерности один. М. Брион [14, 13] повторил эти результаты, используя теорию однородных вложений Луны-Вюста [27]. Затем Д. Фельдмюллер [20] описала двухорбитные многообразия с замкнутой орбитой коразмерности два. Классификация всех нормальных двухорбитных многообразий была независимо получена С. Кюпи-Футу [19].

В диссертации получена полная классификация квазизамкнутых орбит. Как следствие, получается классификация абстрактных полных двухорбитных многообразий, а также апостериорное доказательство гипотезы Луны.

Введем некоторые понятия и обозначения, необходимые для формулировки результатов. Пусть g — редуктивная алгебраическая группа, v — пространство ее представления, Т — фиксированный максимальный тор группы g, 0 и t — касательные алгебры групп g и Т соответственно, t(R) — вещественная форма алгебры t, состоящая из элементов с вещественными собственными значениями, Е = t(M)*, Х(Т) С Е — группа характеров тора Т, А С Х(Е) — система корней группы G, А+ С А — множество положительных корней относительно фиксированного упорядочения на А, П — система простых корней, С С Е — доминантная камера Вейля, V(A) — неприводимое представление со старшим весом А С С П Х(Т), Ф(У) с Е — система весов группы G в пространстве представления V и = е %

А€Ф(У) весовое разложение пространства V. Выпуклую оболочку множества Ф(У) в Е назовем многогранником весов группы G и обозначим через M(V).

Для каждого вектора v = Х^АеФ(у) ^а определим множество его весов Ф(У) = {A G Ф(У){г?л т^ 0}. Выпуклую оболочку этого множества назовем носителем вектора v и обозначим suppv. Для любого множества S С Е положим vs= ф Vxvlvs= Ух

А65ПФ(У) Ае5ПФ(и)

Очевидно, что для веса А имеется равенство г;{д} = v\.

Напомним определение многогранника Бриона. Пусть X С V — G-инвариантный неприводимый конус. Положим

Bri(X) = {х G Е | Зп е Z+, А <Е Х(Т) : х = Х/п, mA.,n(X) ф 0}, где А* — вес, сопряженный весу А (старший вес представления V*(A))3 а т\,п(Х) — кратность вхождения неприводимого (^-модуля V(А) со старшим весом А в С[Х]П. В работе Бриона [16] доказывается, что Bri(X) — выпуклый многогранник. Мы будем его называть многогранником Бриона конуса X. Пусть X — проективное многообразие, соответствующее конусу X; положим Bri(X) = Bri(X).

Поясним как это понятие возникает из теории представлений. Если мы интересуемся разложением алгебры S'V = ^2nSnV = С [У*], то имеется один дополнительный параметр - степень в которой содержится представление. Таким образом, нас интересуют числа m\jn(V). Можно еще несколько упростить задачу, и задаться вопросом, для каких пар (Л, п) верно тд>п(У) Ф 0. Очевидно, что если это верно для пары (Л, п), то это верно и для пары (кХ, кп) для всех целых к. Таким образом, можно заинтересоваться всевозможными отношениями Х/п, для таких (А,п), что тд)П(У) Ф 0, что и приводит к понятию многогранника Бриона.

Как достаточно легко показать, многогранник Бриона содержится в многограннике весов. Также можно заметить, что все старшие веса представления G : V лежат в Bri(V). Если отказаться от требования неприводимости конуса X, то аналогичным образом определенный многогранник будет совпадать с объединением многогранников Бриона неприводимых компонент, то есть может оказаться и не выпуклым. Описание многогранника Бриона для нуль-конуса является хорошим приближением к описанию представления группы G в градуированной алгебре функций на V. Например, в случае присоединенного представления мы имеем равенство (7-модулей:

C[fl] = С[о\с®С[ЛГ(д)], (0.1) где C[Qf — алгебра инвариантов, a Af(V) С V — нуль-конус (многообразие нильпотентных элементов в V), см. [26].

Это описание является одной из задач диссертации. С другой стороны, многогранники Бриона естественным образом возникают в задаче классификации квазизамкнутых орбит. Сейчас мы опишем две конструкции, введенные в диссертации, которые позволяют существенно упростить последнюю задачу.

Пусть Г — грань многогранника Af(V), flr — подалгебра алгебры д, порожденная картановской подалгеброй t и корневыми векторами, соответствующими корням, параллельным Г, a G? —- соответствующая связная подгруппа группы G. Подпространство Vr, очевидно, инвариантно относительно Gr• В диссертации показано, что пересечение любой G-орбиты с Vp либо пусто, либо является одной Gr-орбитой, а разнесение любого Gr~ инвариантного замкнутого подмногообразия пространства P(Vr) при помощи группы G также является замкнутым многообразием.

Применим это к случаю квазизамкнутых орбит. Пусть пересечение Gv Г) Vr не пусто. Получается, что орбита G(v) С P(V) квазизамкнута тогда и только тогда, когда орбита Gr(v) С P(Vr) квазизамкнута (через (и) обозначается точка проективного пространства, определяемая вектором и). В последнем случае будем говорить, что квазизамкнутая орбита G(v) индуцирована с грани Г. Как показано в теореме 1, грань Г с указанными условиями определена однозначно с точностью до действия группы Вейля.

Будем называть квазизамкнутую орбиту простой, если ее нельзя индуцировать ни с какой собственной грани. Ввиду вышесказанного изучение произвольных квазизамкнутых орбит сводится к изучению простых квазизамкнутых орбит.

Перейдем к следующей конструкции. Пусть Gv — орбита группы G в пространстве V. Рассмотрим множество пар (V, v), где G : V — конечномерное представление, v G V, и линейная оболочка орбиты Gv совпадает с V. Введем на этом множестве частичный порядок следующим образом: будем говорить, что пара (W,w) доминирует пару (V,v), и писать (Wtw) >- (V,v), если существует такое G-эквивариантное линейное отображение тг: W —> V что tt(w) = v, и соответствующее отображение п : P(W) —» Р(У) проективных пространств индуцирует конечный морфизм G(w) —> G(v). Если (W,w) >- (V,v) и (V,v) >- (W,w), то будем называть пары (W,w) и (V» изоморфными. Очевидно, что пары (W, w) и ('V., v) изоморфны тогда и только тогда, когда существует G-эквивариантный изоморфизм пространства W на У, переводящий w в v. Множество классов изоморфных пар обозначим через T(G); класс изоморфных пар, содержащий пару (W, w), — через [W,iu]. Отношение доминирования индуцирует наГ((7) частичный порядок. Рассмотрим отношение эквивалентности на Г(С), порожденное отношением порядка. Классы эквивалентности будем называть связными компонентами множества Г(<7).

В диссертации показано (теорема 7), что любая связная компонента множества Г (С?) содержит конечное количество элементов и имеет наибольший и наименьший элементы, а, кроме того, если элементы [V, и] и [W, w] лежат в одной связной компоненте, то стабильные подалгебры точек (v) и (w) сопряжены, а количество замкнутых орбит в многообразиях G(w) и G(v) одно и то же.

В случае квазизамкнутых орбит легко показать, что векторное пространство из наименьшего элемента связной компоненты пары [У, v] неприводимо. Благодаря этому классификация квазизамкнутых орбит в значительной степени сводится к случаю, когда группа G действует в пространстве V неприводимо.

Дальнейшее изучение позволяет получить сравнительно короткий список полупростых комплексных линейных групп Ли, которые могут иметь простые квазизамкнутые орбиты, а также описать носители и стабилизаторы подходящим образом выбранных точек этих орбит.

Все орбиты из найденного списка оказываются сферическими, что позволяет применить теорию сферических вложений [11, 17, 14, 27]. Для каждого из полученных однородных пространств находятся все полные двухорбит-ные (нормальные) сферические вложения (для всех случаев, кроме одного, имеется ровно одно такое вложение). Затем для каждого из найденных сферических вложений X рассматриваются пространства сечений всевозможных линейных G-расслоений на нем и таким образом находим все линейные представления G —» GL(V), для которых в пространстве P(V) имеется такая квазизамкнутая орбита, что нормализация ее замыкания (7-эквивариантно изоморфна X.

Как уже было сказано выше, в пространстве представления, проекти-визация которого содержит квазизамкнутую орбиту, естественным образом выделяется одна неприводимая компонента. Дальнейшей целью является описание "дополнительных неприводимых компонент" пространства, содержащего квазизамкнутую орбиту, что равносильно описанию кратностей неприводимых компонент у наибольшего элемента в классе эквивалентности точки

V,v]>

Обозначим множество старших весов наибольшего элемента классе эквивалентности пары (У,г>) через A(V,v) и рассмотрим множество C(V,v) :— U^=1A((V, v)®n)!n. В диссертации показано (теорема 8), что множество C(V, v) зависит только от класса эквивалентности точки для некоторого п выполняется равенство C(V,v) — conv A((y,v)®n)/n, и C(V,v) = Bri(G(v)). Эти идеи в том числе дают один из методов описания многогранников Бриона.

Таким образом, в общем случае единственным естественным ограничением является условие, что все старшие веса этого пространства содержатся в многограннике Бриона Вп(6?(г>)). Но теория сферических многообразий позволяет получить точное описание — весами этого пространства оказываются все точки некоторой решетки, содержащиеся в многограннике Бриона, причем все они входят с кратностью 1. Более того, этот многогранник описывается через сферические данные многогранника.

Теперь можно сформулировать классификацию квазизамкнутых орбит. Как было сказано выше, достаточно дать описание простых квазизамкнутых орбит. Эта классификация резюмирована в таблицах 1 и 2 (подробное описание получено во втором параграфе второй главы). В первом столбце таблицы указывается тип алгебры д, во втором — тип подалгебры Леви 6 стабилизатора точки квазизамкнутой орбиты, в последнем — вершины носителя подходящим образом выбранной точки этой орбиты. В третьем столбце мы указываем старший вес Л основной неприводимой компоненты представления группы G, в котором реализуется данная квазизамкнутая орбита. Параметры а и b суть произвольные натуральные числа, a 7Ti,., тгп — фундаментальные веса алгебры д. В последнем столбце указана коразмерность d замкнутой орбиты в замыкании квазизамкнутой орбиты.

N 0 t Л вершины Р вершины supp v d

0 аг i (iа + b) 7Ti (а - Ъ)7гь (а + Ь)7Г1 (а — b) 7Ti 1

1 Ai© Ах A\ а(7Г1+7Г2) 0, а(-7Ti + 7Г2) а(—7Г1 + 7Г2), а(7Г1 - 7Г2) 1

2 а2 С Й(7Г1 + 7Г2) а(7Ti + 7Г2), «7Г1, air2 2«7Г1 — «7Г2, —<27Г1 + 2(27Г2 2

3 в2 С а(7Г1+7Г2) а(7Г1 + 7Г2), (5а/4)тгь (5а/3)тг2 2a7Ti — а7Г2, —атг! -f За7г2 2

4 g2 С а(7Г1+7Г2) а(7Г1 + тг2), (7а/3)7гь (7а/5)тг2 4а7Гх — а7г2, —а7Гх + 2атг2 2

5 в3 g2 атгз 0,а7г3 а{7Г1 - 7г3), а (Уз - 7п) 1

6 С3 Ai®C атт2 <27Г2, (а/3)(7Г1 + 7Г3), (а/2)тг2 ft(7r3-7Ti), а(7Г1+7Г2-7Г3) 4

7 Dn Bn-1 0/К\ 0,a7Ti а(тгп 1 — 7ГП), а(7Гп -TTn-l) 1

8 g2@ с аж\ ащ, (а/2)7ГЬ (а/3)7г2 а(7Г2—7Г4), а(7Г1+7Г4 —7Г2) 8

Таблица 1.

В качестве дополнительных неприводимых компонент можно брать с кратностями 0 или 1 любые неприводимые представления группы G, стар

10 шие веса которых лежат в множестве (Р П (Л + Х((2/Я)))\А, где ~X.(G/H) — некоторая подгруппа решетки весов группы G, описанная во втором параграфе второй части, а Р — многогранник Бриона замыкания квазизамкнутой орбиты в соответствующем неприводимом представлении. Вершины этого многогранника указаны в четвертом столбце таблицы. При этом квазизамкнутые орбиты, соответствующие данным рассматриваемой строки таблицы, образуют семейство, число параметров которого равно числу дополнительных неприводимых компонент. В частности, в неприводимом представлении имеется ровно одна квазизамкнутая орбита этого типа.

N 0 t Л вершины Р вершины suppw d

9 Лп С <ИГ1+ Ып a) (а — b) 7Ti, airi + Ьтгп (ft — 6)7Ti 1 б) (6 — а) 7ГП, ажх + Ьжп (6 - ft)7Tn 1

10 вп А» 0, <27Tl 0 1

11 вп АПФС атт\ + Ькп Ькп, а7Гх + Ьтгп Ь-Кп 1

12 вп Л,-1 ее фс атгг + Ьтгп а) 07Г1 + bitn, (а — 6)7Ti 4- Ьтгп, (а - 6/2)тп + (6/2)тгп1 (ft - 6)7Г1 + Ь7Гп n б) a7ri+67rn, a7rni+(—2ft+6)7rn, Ькп ft7Tni + (6 - 2ft)7Tn n в) airi + 67ГП, (6 — ft)7Ti + (2ft — Ь)7Г„, &7ГП, (ft-6/2)7Ti + (V2)^n-l (6 - ft)7Ti + (2ft — b)irn n

13 сп C„-i©C7i <Ж2 0,ft7T2 0 1

14 Сп Сп-1 фС ЬК\ + Й7Г2 &7Г1, Ь7Г1 + G7T2 1

15 Сп Лг-! Ф С фС a7Ti + Ьтгп a) ft7Ti+&7Tn, (ft —6)7Г1 + 67ГП, (ft — 6/2)тп+ (Ь/2)тгя1 (ft-26)7Tl + Ь7Гп n б) ШГ1 + &7ГП, а7Тп1 + (-а+Ь)7гп, Ьтгп a7rni + (-а + 6)7Г„ п в) а7Г1 + &7г„, (26 — а)7Гх + (а — 6)7ГП, &7ГП, (а — 6)7Г1 + 67Гп1 (26-a)?ri + (а - 6)7гп п

16 G2 t (27Г1+ ЬтГ2 а)а7Г1+б7Г2, (a+6)7Ti, (а—6)7гх+ Ьтг2 (а — 6)7Ti + Ьтг2 2

6)атг1 + 67г2, (а + 6)7гь 67г2, (6 -а)7Г1 + 67Г2 (6 — a) 7Ti + Ьтг2 2

17 g2 t airi+ ьк2 а) тг1+б7г2, (6+а/3)7г2, 2a7Ti + (6 — a) ir2 2атг\ + (6 -а) 7Г2 2 б) а7Г1 + б7Г2, (a + 6)7Ti, ьп2, (а — 36)тг1 + 26тг2 (а - 36)TTI + 26тг2 2 в) а7Т1 + б7г2, (a-f- 6)7Ti, ((а/3) + 6)7г2, (36 — a)7Ti -Ь (а — 6)7г2 (36 - а)тг! + (а - 6)7г2 2

18 g2 ai ФС д)атг2 а-к2 + &7Г1, (а + 6)71*1 (а + 6)7Ti 1 б)а7Г2 а7г2, атг\ aiti 2

19 g2 0,a7Ti 0 1

20 fa атгг 0,a7Ti 0 1

21 ьтг\ + а7Г4 а) 67Г1 + а7Г4, (6/2)7Гз + (а — (6/2))7г4, 67г2 + (а - 6)774 67Г2 + (а — 6)тг4 6 б) б7гх + а7Г4, (6 — a)7Ti 4- «7г2, (6 — 2a)7Ti + а7Гз (6-2a)7Ti + а7г3 6 в) &7Г1 + а7г4, (6/2)7г3 -I- (а — 6/2)7Г4, (6 — a)7Ti + а7г2, (2а — 6)тг2 + (6 - а)7г3 (2а-6)тг2 + (6 - а)7г3 6

Таблица 2.

Стабилизаторы точек орбит из таблицы 1 содержат тор коразмерности 1 в максимальном торе, стабилизаторы точек орбит из таблицы 2 содержат максимальный тор. В пункте 1 стабилизатор А\ вкладывается диагонально в Ai Ф Ai.

Перейдем к формулировке результатов, связанных с описанием многогранников Бриона пространств представлений и их нуль-конусов.

Как известно, старший вес представляется в виде линейной комбинации фундаментальных весов щ с неотрицательными целыми коэффициентами. Эти коэффициенты называются числовыми отметками старшего веса.

Выберем такую компактную вещественную форму К группы G, чтобы пересечение Т П К являлось максимальным тором в К. Пусть I — касательная алгебра группы К, а (-,-) — if-инвариантное эрмитово скалярное произведение на V. Рассмотрим отображение моментов fi : X —» t*. Как известно, оно задается формулой

Имеем С С Е = t(R)* = i(tfl 6)* С it* и гц{Х) С iV\ таким образом, можно рассмотреть пересечение ifi(X) П С. В работе Бриона [16] доказывается, что

Это дает другой подход к описанию многогранника Бриона. В частности, непосредственным следствием этого равенства является утверждение Bri(X) с С П M(V). Такой подход был использован в работе Сьямаара [30], где были описаны многогранники Bri(V) для некоторых пространств V (ниже об этом будет сказано подробнее). Кроме того, использование отображения моментов сводит изучение многогранника Бриона для полупростых групп к его изучению для простых групп.

Пусть G : д — присоединенное представление. Оно имеет нетривиальные инварианты, следовательно, 0 € Bri(0), согласно формуле 0.1. Кроме того,

ММ = 2ЙЙ

0.2) щ(Х) П С = Bri(X).

0.3) формула 0.1 имеет более сильное следствие:

Bri(fl) = conv (Вп(Що)), 0), (0.4)

Введем теперь понятия внутренней и внешней границ многогранника Р, содержащегося в каком-либо векторном пространстве:

Pint = {х € Р I гх Р Vr с К, 0 < г < 1}, если 0 £ Р, иначе Pint = {0}

Pext = {х G Р I гх Р Vr С М, г > 1}.

Грани многогранника, содержащиеся во внутренней и внешней границах многогранника также будем называть внутренними и внешними соответственно. Как следует из формулы 0.4,

Briton = {0} и

Bri(g)ext = Bri(A/"(0)) ext

Как хорошо известно, нуль-конус присоединенного представления неприводим; поэтому его многогранник Бриона выпукл. Из того, что многогранник Бриона выпукл, следует, что знание его внутренней и внешней границ полностью его определяет. Таким образом, задача распадается на две независимые — описать внешнюю границу многогранника Bri(g) и внутреннюю границу многогранника Bri(Л/")

Используя метод отображения моментов, возможно строить некоторые точки многогранника Бриона. Если бы мы могли получить ограничения на многогранник, совпадающие с тем, что дает отображение моментов, мы получили бы точное описание. Все ограничения, которые будут получены в диссертации, можно разделить на два типа. В обоих случаях у будет иметься некоторое множество R С Е, пересекающее любой луч, лежащий в камере Вейля и начинающийся в нуле, ровно один раз. Ограничениями с внутренней стороны будем называть ограничения вида BripQ с R>iR, ограничениями с внешней стороны — ограничения вида Bri(X) С R<iЯ, где R>iR

14

M.<\R) — множество, получаемое домножением точек множества R на числа большие (меньшие) или равные единице.

Чтобы получить ограничения с внешней стороны, используется конструкция Гроссханса [21] и каскад Костанта. Конструкция Гроссханса была независимо изобретена Брионом, Луной и Бюстом (теорема о локальной структуре — см. [18]) и использована Брионом в его работе [16] для описания структуры многогранника Бриона в окрестности его точки. Это описание, в свою очередь, было использовано Сьямааром [30] для получения некоторого ограничения на Bri(V). На самом деле, применение локального описания является лишним шагом, а более правильным путем представляется непосредственное применение конструкции Гроссханса, что можно делать многократно, тем самым строя каскад Костанта. В диссертации применение этого метода позволило описать внешнюю границу многогранника Бриона для присоединенных представлений алгебр А\, А2, A3, Вп, Сп, Dn, G2, F4, Е? и Eg (теорема 15). К сожалению, для случаев А>4 и Eq этих ограничений оказывается недостаточно, и нужен другой метод.

Кроме того, в диссертации получен следующий результат: внутренняя граница многогранника Бриона для нуль-конуса присоединенного представления получается как пересечение доминантной камеры Вейля и аффинной плоскости, натянутой на простые корни. Вершинами этого многогранника являются точки где Ci — число, обратное к сумме элементов г-ого столбца обратной матрицы Картана. Описание вершин внешней границы многогранника Бриона для нуль-конуса присоединенного представления для указанных выше алгебр дано в таблице 3.

В случае V Ф g задача описания многогранника Бриона для нуль-конуса резко усложняется. Во первых, перестает быть верным разложение С [У] = <C[V]G <g> CpV(V)], хотя, если действие имеет нетривиальные инварианты, равенство Bri(V) = сопу(Вп(Л/"(У)),0) остается верным. Но наибольшие проблемы связаны с тем, что нуль-конус может быть приводим и, соответственно, многогранник Бриона не выпукл, из-за чего знание нижней и верхней границ недостаточно для полного его описания. Пусть g : v — неприводимое представление. Если множество его весов содержит старший вес присоединенного представления, нами получено описание нижних границ многогранников Бриона для нуль-конуса и для всех его неприводимых компонент. Если же, кроме того, числовые отметки достаточно большие, то нами описан и сам многогранник Бриона для нуль-конуса. g вершины внешней границы Bri(g) ах 2tti а2 аг 7Г1 + 7Г3, 27Ti/3, 27ГЗ/3, (27Q + 7Г2)/3, (27ГЗ + 7Г2)/3, 7Г2 в2 7Г1,27Г2 вп при п > 2 ТГ2, 7Гз/2, 7Г4/2,., 7rni/[n/2], 7Г„/[(п + 1)/2]

С„ при п > 2 2-7Г1, 27Г2/2, 27Гз/3, ., 27Tni/(n - 1), 27гп/п dn при n/2 G Z 7ГЬ 7Г2, 7Гз/2, 7Г4/2,. . . , 7Гп3/((^ - 2)/2), 7rn2/((n - 2)/2); 47Tni/n, 47Гп/П

Dn при п/2 & Ъ 7ГЬ 7Г2, тгз/2,тг4/2, ., тгп3/((п - 3)/2), 7Гп-2/((п - 1)/2); 2тгп1/(п + 3), 2тгп/(тг + 3); 2(714 + 2тгтг1)/(п + 3), 2(тт3 + 2тгп1)/(п+5),., 2(тгп2+2тгп1)/(2гг); 2(тг1+27гп)/(п+ 3), 2(тг3 + 2тгп)/(п + 5),., 2(тгп2 + 2тгп)/(2п)

G2 ТГ1,7Г2

Fa 7Г1,7Г2/2,7Гз/3,7Г4 еу 2тп/3, тг2/2, 2ТГ3/7, ТГ4/4, ТГ5/3, ТГ6, 4ТГ7/5 eg 7ГЬ ТГ2/3, 7Гз/4, 7Г4/6, 7Г5/7, 7Г6/5, 7Г7/2, 7Г8/4

Таблица 3.

Сьямаар, используя метод носителей, получил (см. [30]) описание многогранника Bri(V) для представлений, все числовые отметки которых отличны от единицы. В диссертации при помощи метода носителей и конструкции Гроссханса получен более сильный результат — описан многогранник Bri(V) почти для всех представлений, у которых среди числовых отметок не встречаются ноль и единица, соединенные ребром на диаграмме Дынкина (для случаев с ветвящейся диаграммой Дынкина накладывается небольшое дополнительное ограничение); в частности, к этому классу относятся все представления со строго доминантными старшими весами.

Опишем структуру работы по главам и параграфам.

В первой главе описываются методы, используемые в работе, как разработанные автором, так и известные ранее.

В первом параграфе рассказывается о многогранниках весов и о свойствах носителей и доказывается теорема о параболической индукции орбит.

Во втором параграфе напоминаются понятия и теоремы теории сферических многообразий (см. [17, 11, 14, 27]).

В третьем параграфе рассказывается о связи многогранника Бриона с отображением моментов и о применении метода отображения моментов для его описания. Часть из описанных здесь результатов была получена Сья-мааром [30]. Также в этом параграфе доказывается теорема, позволяющая применить теорему о локальной структуре к описанию многогранника Бриона.

В четвертом параграфе описывается конструкция, позволяющая получить другое описание многогранника Бриона и применить метод носителей к его описанию.

Во второй главе описанные выше методы применяются для получения классификации квазизамкнутых орбит.

В первом параграфе описываются возможные стабилизаторы точек квазизамкнутых орбит. В основном доказательство опирается на метод носителей, а также важную роль играют теорема о параболической индукции из первого параграфа первой главы и конструкция из четвертого параграфа первой части, позволяющие свести изучение к случаю простой квазизамкнутой орбиты в неприводимом представлении.

Во втором параграфе доказывается, что все полученные в первом параграфе пары сферичны, и описаны их сферические данные.

В третьем параграфе завершается классификация квазизамкнутых орбит.

Третья глава посвящена описанию многогранников Бриона для пространств представлений и их нуль-конусов.

В первом параграфе описываются многогранники Бриона пространств присоединенных представлений. При доказательстве используется метод отображения моментов и теорема о локальной структуре, рассмотренные в третьем параграфе первой главы.

Во втором параграфе описываются многогранники Бриона для некоторых неприводимых пространств представлений, а в третьем - для их нуль-конусов.

Список обозначений:

G связная редуктивная алгебраическая группа;

Т фиксированный максимальный тор в G;

В фиксированная борелевская подгруппа группы G, содержащая Т;

U максимальная унипотентная подгруппа группы G, содержащаяся в В]

К такая компактная вещественная форма G, что пересечение

Т П К является максимальным тором в К.

S, t, ь, u, £

Е = А

Д*

Д+ = Ль W = NG(T)/T с raeW

VA v*

А*

Gx= {д(Е G\gx = х} Qx = {е G g\ex = 0} M с Е

Ф(Т0 ф(«)

M(V) = сот (Ф(У)) supp (У) = conv (Ф(г>)) Vs = Фле5ПФ(У) ^А VS = Х)ле5ПФ(^)

Р(Ю касательные алгебры групп G, Т, В, U и К соответственно; вещественная форма алгебры t, состоящая из элементов с вещественными собственными значениями; t(K)*; точки пространства Е будем в некоторых случаях для удобства считать векторами система корней группы G; система корней регулярной подалгебры f) С д; множество положительных корней; группа Вейля пары (G,T); доминантная камера Вейля; отражение относительно гиперплоскости, ортогональной корню а; неприводимое пространство представления со старшим весом Л; пространство, сопряженное пространству V; сопряженный вес — вес пространства V*(A); стабилизатор точки х в группе G; стабилизатор точки х в алгебре д; многогранник весов группы G в пространстве V; множество весов представления V; множество весов вектора v 6 У; многогранник весов; носитель вектора; подпространство, задаваемое множеством S; проекция вектора v на Vs] проективизация векторного пространства V; точка проективного пространства, которая соответствует прямой, натянутой на вектор г»; проективное многообразие, соответствующее конусу X С V; нуль-конус (многообразие нильпотентных элементов в V)', i^-инвариантное скалярное произведение на V; отображение моментов; многогранник Бриона;

X С Р(У)

ЛГ(\О v) li: X -> Г Bripf) = Bri(X) щ(Х))ПС {ai,.,, an}

7Г1,.,7Г„} система простых корней алгебры g (см. [3]); система фундаментальных весов алгебра jg;

Кроме того, мы будем использовать принятые в [3] обозначения £{ для весов. Если а Е t(K)*, то ha обозначает такой элемент из t, что ha ортогонален ядру Кега и a{ha) = 2. Если a Е А, то символом еа будет обозначаться, корневой вектор, соответствующий этому корню (определенный с точностью до пропорциональности). Мы будем требовать, чтобы [еа, еа] = ha (таким образом, набор {ha,ea,e-a} будет 512-тройкой).

Операция сопряжения, определенная на множестве старших весов, продолжается до линейного автоморфизма множества Е, которое мы также будем обозначать символом *.

Автор глубоко благодарен Эрнесту Борисовичу Винбергу за подлинное научное руководство, постоянное внимание и поддержку, а также Дмитрию Андреевичу Тимашову за полезные обсуждения и ценные замечания и Владимиру Леонидовичу Попову за постановку задачи, которая легла в основу одного из направлений диссертационной работы.

1. Бурбаки Я. Группы и алгебры Ли. Гл. 1.-VI. М.: Мир, 1972.

2. Винберг Э.Б, О некоторых коммутативных подалгебрах универсальной обертывающей алгебры // Изв. Акад. Наук СССР, Т. 54 (1990). С. 3-25.

3. Винберг Э.Б., Онищик A.JI. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 2-е изд. М.: УРСС, 1995.

4. Винберг Э.Б., Попов B.JI. Теория инвариантов // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современные проблемы математики, Фундаментальные направления. Т. 55 (1989). С. 137-309.

5. Смирнов А.В. Квазизамкнутые орбиты в проективных представлениях полупростых комплексных групп Ли // Труды Моск. Мат. Общ., Т. 64 (2003), стр. 213-270.

6. Смирнов А.В. Проективные орбиты редуктивных групп и многогранники Бриона // Усп. Мат. Наук (в печати).

7. Смирнов А.В. Разложение симметрических степеней неприводимых представлений полупростых алгебр Ли и многогранник Бриона // Труды Моск. Мат. Общ., Т. 65 (2004), стр. 230-252.

8. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. Изд. Наука, Москва 1972.

9. Шпиз Г. Б. Классификация неприводимых локально транзитивных линейных групп Ли // Геом. Методы в задачах алгебры и анализа. Ярославль, 1978, С. 152-160.

10. Akhiezer D., Equivariant completion of homogeneous algebraic varieties be homogeneous divisors // Ann. Global Anal. Geom. V. 1 (1983). P. 49-78.

11. Akhiezer D., Spherical varieties // Forschungsschwerpunkt Komplexe Mannigfaltigkeiten: Schriftenreihe. Ht. 199. Bochum, 1993.

12. Atiyah M., Convexity ang commuting Hamiltonians, Bull. London Math. Soc. V. 14 (1982), P. 1-15.

13. Brion M, A note on two-orbit varieties // Topology Hawaii (Honolulu, HI, 1990). Singapore: World Sci., 1992. P. 35-40.

14. Brion M., On spherical varieties of rank one // Group actions and invariant theory. Montreal, 1988. CMS Conf. Proc., Providence, V. 10 (1989). P. 3141.

15. Brion M., On the general faces of the moment polytope, Int. Math. Res. Notices, V. 4 (1999). P. 185-201.

16. Brion M., Sur l'image de l'application moment // Semin. d'algebre P. Dubreil et. M.-P. Malliavin, Proc., Paris 1986, Lect. Notes Math. V. 1296 (1987), P. 177-192.

17. Brion M., Variёtёs Spheriques // Notes de la session de la S. M. F. "Operations hamiltoniennes et operations de groupes algebriques". Grenoble, 1997, 59 pages.

18. Brion M., Luna D., Vust Th., Espaces homogenes spheriques // Invent. Math. V. 84 (1986), P. 617-632.

19. Cupit-Foutou St Classification of two-orbit varieties // Comment. Math. Helv. V. 78 (2003), P. 245-265.

20. Feldmiiller D., Two-orbit varieties with smaller orbit of codimension two // Arch. Math. (Basel). V. 54 (1990). No 6. P. 582-593.

21. Grosshans F., Constructing invariant polynomials via Tschirnhaus transformations // Invariant theory (S.S. Koh, ed.) Lect. Notes in math. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, V. 1278 (1987), 95-102.

22. Huckleberry A., Snow D., Almost-homogeneous Kahler manifolds with hypersurface orbits // Osaka J. Math. V. 19 (1982). No 4. P. 763-768.

23. Humphreys J.E., Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge University Press, 1990.

24. Humphreys J.E., Linear algebraic groups. Corr. 2nd printing. // Graduate Texts in Mathematics, 21. New York Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag, 1981.

25. Kramer M., Spharishe Untergruppen in kompakten zusammenhangenden Lieghruppen // Compositio Math. V. 38 (1979). P. 129-153.

26. Kostant В., Lie group representations on polynomial rings // Amer. J. Math. V. 85 (1963), P. 327-404.

27. Luna D., Vust T., Plongements d'espaces homogfcnes // Comment. Math. Helv. V. 58 (1983). P. 186-245.

28. Panyushev D.I., Complexity and nilpotent orbits. // Manuscr. Math. V. 83 (1994). No 3-4. P. 223-237.

29. Sjamaar R.} Convexity properties of the moment mapping re-examined // Adv. in Math., V. 138 (1998), P. 46-91.

30. Smirnov A.V. Classification of Nearly Closed Orbits for the Action of Semisimple Complex Linear groups on the Projective Spaces // CRM Proceedings and Lecture Notes, V. 35, 2004, p. 251-257.

31. Vinberg E.B. On Reductive Algebraic Semigroups, Amer. Math. Soc. Transl., V. 169 (1995), P. 145-182.ft151