Многомерная ланжевеновская динамика деления, индуцированного тяжёлыми ионами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

На правах рукописи

ГЕГЕЧКОРИ Александр Евгеньевич

МНОГОМЕРНАЯ ЛАНЖЕВЕНОВСКАЯ ДИНАМИКА ДЕЛЕНИЯ, ИНДУЦИРОВАННОГО ТЯЖЁЛЫМИ ИОНАМИ

01.04.16 - физика атомного ядра и элементарных частиц

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4848335

2 ИЮН 2011

Томск-2011

4848335

Работа выполнена на кафедре экспериментальной физики и радиофизики Омского государственного Университета имени Ф. М. Достоевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации Адеев Геннадий Дмитриевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Главанаков Игорь Владимирович;

кандидат физико-математических наук, доцент Курманов Рамиль Султангареевич

Ведущая организация: Лаборатория ядерных реакций имени Г. Н. Флёрова

Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна

Защита состоится 21 июня 2011 года в 15м часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.269.05 при ГОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет» (634050, г. Томск, проспект Ленина, 2а).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет».

Автореферат разослан « /8 » мая 2011 года.

Учёный секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций кандидат физико-математических наук Лу^ _ /7 А. В. Кожевников

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одной из отличительных особенностей реакций с тяжёлыми ионами является, как правило, образование компаунд-систем с высокими энергиями возбуждения и большими угловыми моментами. Это обстоятельство, с одной стороны, позволяет сделать вывод о незначительности оболочечных эффектов, а с другой — о необходимости явного учета ориентации ядра при построении моделей процесса.

Неспособность моделей переходного состояния [1-7] описать наблюдаемые в эксперименте значения анизотропии углового распределения [8] указывает на необходимость динамического описания эволюции ориентационной степени свободы ядра. К сожалению, подавляющее большинство динамических моделей процесса деления не включает рассмотрение ориентации ядра как отдельной коллективной координаты. Этот факт может приводить к тому, что наряду с угловыми распределениями будут также неверно оценены такие характеристики как массово-энергетические распределения осколков, средняя множественность нредразрывных частиц, скорость и среднее время деления.

Ерёменко с соавторами предложили рассматривать эволюцию ориентационной степени свободы ядра (Комоды, проекции полного углового момента на ось симметрии ядра) методом Монте-Карло [9, 10]. Величиной, характеризующей эволюцию К-моды в данном подходе, является время релаксации координаты К — тк- В качестве коллективной координаты формы авторы выбрали расстояние между центрами масс нарождающихся осколков. Деление является сложным многомерным процессом, для описания которого необходимо использовать по меньшей мере три коллективных координаты формы [11]. Поэтому, в работах [12, 13] предложенная модель была обобщена на трехмерный случай.

Альтернативный способ рассмотрения эволюции К-моды предложил Лестоун [14, 15]. В его работах динамика координаты К описывается уравнением Ланжевена. Такой подход является более последовательным ввиду того, что эволюция всех коллективных степеней свободы ядра описывается единообразно. Однако и модель Лестоуна учитывает только одну коллективную координату формы. В связи с этим представляется актуальным обобщение подхода Лестоуна на случай трёх коллективных координат формы.

Отметим, что построение многомерных динамических моделей процесса деления является актуальной задачей в современной ядерной физике. Интерес к таким моделям связан, в первую очередь, с тем, что учет большего числа степеней свободы ядра при его эволюции от основного состояния до поверхности разрыва позволяет описать большую совокупность экспериментальных данных. Однако расчёты в многомерных моделях сопряжёны с рядом трудностей, главная из которых — доступные вычислительные мощности. В работе [16] авторами разработана динамическая модель процесса деления, учитывающая пять коллективных координат формы ядра. Кроме традиционных координат удлинения, шейки и массовой асимметрии, в [16] рассмотрены также координаты деформации правого и левого нарождающихся осколков [17]. Стоит заметить, что предложенная в [16] динамическая модель находится только на начальном этапе развития: эволюция всех коллективных координат рассматривается в рамках алгоритма Метрополиса. Кроме того, авторами [16] учтены только коллективные координаты формы, т. е. ориентационная степень свободы ядра не рассматривалась.

Цель работы:

1. Построить полную четырёхмерную ланжевеновскую динамику деления, индуцированного тяжёлыми ионами.

2. Исследовать применимость ланжевеновской динамики для описания формирования

углового распределения осколков деления возбуждённых компаунд-ядер.

3. Выявить закономерности эволюции ориентационной степени свободы делящегося ядра при его движении от основного состояния до поверхности разрыва.

Научная новизна:

1. Впервые проведён расчёт угловых распределений осколков и множественностей предраз-рывных частиц в рамках четырёхмерной ланжевеновской динамики деления, индуцированного тяжёлыми ионами.

2. Показано, что при включении в трёхмерную ланжевеновскую модель ориентационной степени свободы ядра наблюдается существенное уменьшение скорости деления и увеличение среднего времени деления.

3. Указана необходимость распространения четырёхмерной динамической модели на более «лёгкие» компаунд-ядра в районе А ~ 200.

4. Выявлено увеличение скорости деления и уменьшение среднего времени деления с ростом времени корреляции случайной силы.

5. Показано, что марковское приближение является оправданным для такого медленного процесса, как деление, при значениях времени корреляции случайной силы, меньших 0.5 х Ю-21 с, т. е. при температурах выше 2.3 МэВ.

Практическое значение результатов. Проведенные исследования показали важность учёта ориентационной степени свободы ядра при динамическом моделировании процесса деления. Результаты диссертации представляют иитерес для научных центров по изучению ядерных реакций: Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (Москва, Россия), Лаборатория ядерных реакций им. Г. Н. Флёрова Объединенного института ядерных исследований (Дубна, Россия), ГНЦ Физико-энергетический институт им. А. И. Лейпунского (Обнинск, Россия), УРАН Петербургский институт ядерной физики им. В. П. Константинова (Гатчина, Россия), Gesellschaft fuer Schwerionenforschung (Darmstadt, Germany), Grand Accélérateur Nationl d'Ions Lourds (Caen, France), Université Bordeaux I, (Gradignan, FVance), Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (Rome, Italy) и др. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработана четырёхмерная ланжевеновская модель динамики деления, индуцированного тяжёлыми ионами.

2. Предложенная модель позволяет описывать угловые распределения совместно с характеристиками деления, которые традиционно исследуются в трёхмерной модели: массово-энергетическим распределением осколков, средней множественностью предраз-рывных частиц в корреляции с массой и энергией осколков, скоростью и средним временем деления.

3. При введении четвёртой координаты — ЙТ-моды — в трёхмерную динамическую модель наблюдается значительное увеличение среднего времени деления и уменьшение скорости деления по сравнению с трёхмерным случаем. Этот факт может привести к переоценке значения коэффициента редукции вклада формулы стены к„ традиционно используемого для описания экспериментальных закономерностей.

4. Марковское приближение является оправданным для такого медленного процесса,

как деление, при значениях времени корреляции случайной силы, меньших 0.5 х Ю-21

с, т. е. при температурах выше 2.3 МэВ.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на международном симпозиуме по экзотическим ядрам «EXON — 2009», Сочи, Россия, 28 сентября — 2 октября 2009 года; на Российской научно-практической конференции «Физико-технические проблемы получения и использования пучков заряженных частиц, нейтронов, плазмы и электромагнитного излучения» (с международным участием), Томск, 24 — 26 ноября 2009 года; на 45-ой конференции по ядерной физике в Закопане, Закопане, Польша, 30 августа — 5 сентября 2010 года; на семинарах кафедры экспериментальной физики и радиофизики Омского государственного университета имени Ф. М. Достоевского 2008 — 2011 годов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ [1-14], из которых 7 — в изданиях, определённых ВАК.

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации, перечисленные в заключении, получены лично автором. Автор принимал активное участие во всех этапах научно-исследовательской работы по теме диссертации: в решении поставленной задачи, разработке методов и программ для ЭВМ, проведении расчётов, анализе и обсуждении полученных результатов, подготовке статей.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, трёх приложений и списка литературы. Объем диссертации — 115 страниц, включая 20 рисунков и 3 таблицы. Список литературы содержит 151 наименование.

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор существующих динамических моделей эволюции ориентационной степени свободы ядра, обоснована актуальность диссертационной работы.

В первой главе описана использованная в диссертации модель. В настоящей работе использовались коллективные координаты (<Ji, <fti (]з) со следующими пределами изменения: qi G [0.5,4.5], 92 6 [0,1] и <7з 6 [—1,1]. Набор коллективных координат (г/ь /¡2,1з) однозначно выражается через параметры формы (с, h, а) [18]: qi = с, q2 = (h + 3/2)/(hno + 3/2), Яз = a/(A„ + Q(B)B). Здесь 0(В) — функция Хевисайда, h^ — значение параметра h, при котором толщина шейки ядра равна нулю при условии, что а = 0: hsc = 5/(2с3) + (1 — с)/4. Такой выбор коллективных координат полностью решает проблему запрещённых форм и делает сетку коллективных координат прямоугольной [19].

В стохастическом подходе [20] эволюция коллективных степеней свободы делящегося ядра описывается по аналогии с движением броуновской частицы, помещённой в термостат, образованный всеми остальными степенями свободы ядра. В расчётах обычно используется система стохастических дифференциальных уравнений Ланжевена. В разностной форме эта система имеет вид

+

(la) (lb)

где — набор коллективных координат; р< — сопряжённые им импульсы; = Ц^Ц-1)

инерционный тензор; — фрикционный тензор; Qi — консервативная сила; — случайная сила; — амплитуда случайной силы (в^в^ = Т7^); — гауссова случайная величина со следующими статистическими свойствами: = О, = 2б^5„1т. Угловые скобки здесь и далее означают усреднение по статистическому ансамблю. Верхний индекс п в уравнениях (1) означает, что соответствующая величина вычисляется в момент времени <п = пт, где т — шаг интегрирования уравнений Ланжевена по времени. В уравнениях (1) по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до М, где М — размерность динамической модели (в нашем случае М = 3, т. е. в этом уравнении учтены только коллективные координаты формы). Температура термостата Т определялась в модели ферми-газа: Т = у/Е-,^/а(ц), где Е-т1 — энергия возбуждения внутренних степеней свободы составного ядра, а^) — параметр плотности уровней, явный вид которого взят из [21]. Расчёт консервативной силы производился с использованием свободной энергии: (¿¡{<1,1, К) = - . Свободная энергия имеет вид Р{ц,1,К,Т) = - а{ц)Т2, где У(с\, I, К) — потенциальная энергия ядра, рассчитываемая в модели жидкой капли, учитывающей конечный радиус действия ядерных сил и диффузность поверхности ядра с параметрами Сирка [22, 23].

Как следует из закона сохранения энергии

Ет1 = Е* - Есо11(Ч, р) - У(Ч, К) - (2)

где Е" — полная энергия возбуждения составного ядра; .Есои = ^fíij(q)pipj — кинетическая энергия коллективного движения ядра; Еечщ>(1) — энергия возбуждения ядра, унесённая испарившимися частицами к моменту времени £.

Энергия вращения ядра определяется выражением

р (а Г ю _ № , Й' [/(/+!)- К2] Н21(1 + 1) ЯК*

' ' ~ 27,(4) + ад -~%Ш~ + 21ЖГ { )

Функционалы J^\ и ■]представляют собой твердотельные моменты инерции ядра относительно оси симметрии и оси, перпендикулярной ей, соответственно; — ./.Г1 —

С учётом диффузности ядерной поверхности они рассчитываются выражением Ух(||) =

т(зЬаг(

"'ДИ)

4- 4Ма?м, где ам = 0.704 фм — параметр диффузности ядерной поверхности, М ■

масса составного ядра, — моменты инерции ядра, рассчитанные в модели жидкой

капли с резким краем.

Начальные значения коллективных координат (}0, импульсов р0, полного момента I составного ядра и его проекции на ось симметрии ядра К разыгрывались методом Неймана с образующей функцией [19]

Р(Чо,ро, № = о) ~ схр|_^о.Л/0 + Дгаи(Чо,ра)|г (чо _ ^ к)) а{1)РШ

(4)

где К) — координаты основного состояния ядра (д1 = 1, = 0.375, <73 = 0). Функция а(/) описывает начальное распределение составных ядер по моментам и рассчитывается в модели [24]. Для бесспиновых ионов, участвующих в реакциях слияния, и энергий налетающих частиц, существенно превышающих барьер слияния, состояния с различными К должны заселяться с почти равной вероятностью. Исходя из этого, начальное распределение Ро(К) по К выбиралось равномерным на интервале [—/; /], как и в [15].

В рамках .модели ферми-газа плотность уровней ядра с энергией возбуждения Ети спином I и его проекцией на ось симметрии К имеет вид

\/а(а) I Н2 \3/2 ехР = [ ^ (5)

В процессе эволюции составного ядра от основного состояния до точки разрыва (вдоль ланжевеновской траектории) учитывалось испарение предразрывных лёгких частиц (у = п,р, а, 7). После испарения предразрывной частицы производился пересчёт всех размерных факторов, кроме функционалов кулоновской и ядерной энергий, а так же моментов инерции ядра, поскольку они не зависят от массового числа составного ядра. Потеря углового момента составным ядром в процессе испарения учитывалась в предположении, что лёгкие частицы, испаряясь, уносят Ц = 1,1,2,1(Л) [25]. Такой учёт является необходимым, поскольку в процессе испарения предразрывных лёгких частиц изменяются иуклонный состав и угловой момент начального составного ядра. Как показали проверочные расчеты, даже при испарении нескольких частиц разница между точным значением потенциальной энергии и найденным без пересчета функционалов не превышает 1 МэВ.

Во второй главе дан обзор теорий формирования угловых распределений осколков деления. Описаны модели переходного состояния в седловой точке (ПОСТ) [1, 2] и точке разрыва (ПСТР) [3-7]. Отдельный параграф посвящен методу Монте-Карло [9, 10, 12, 13] в динамическом расчёте угловых распределений. Приведён вывод уравнения Ланжевена для ориентационной степени свободы К [15].

Эволюция ориентационной степени свободы описывается уравнением Ланжевена в режиме сверхзатухания. В конечно-разностной форме это уравнение имеет вид [15]

*Он-Ч = !<("'> - "М- <П) г + (6)

где £ — нормально распределённое случайное число с единичной дисперсией, — параметр, характеризующий взаимодействие ориентационной степени свободы с термостатом (фрикционный параметр ЛГ-моды). Преимущество уравнения (6) заключается в том, что в него не входит инерционный параметр ЛГ-моды, способ расчёта которого не описан в литературе.

Система уравнений (1) и (6) интегрировалась совместно до выполнения одного из условий: разделения ядра па осколки или образования остатка испарения. Таким образом, состоянием, определяющим угловое распределение в данной модели, считается разрывная конфигурация составного ядра.

Из работ [26, 27] можно получить выражение для 7к

~ 1 \4Jes\JR ,7)

1К тыО^Ш^ V 1\ ' 1 ;

где ,1ц — \Мц02 (для системы без массовой асимметрии); И — расстояние между центрами масс нарождающихся осколков; По = 0.263 МэВ 10~22 с фм~4 — объёмный поток в стандартной ядерной материи [27]; 7> — радиус шейки. Стоит отметить, что выражение (7) было получено для двойной ядерной системы и, следовательно, справедливо только для систем со сформировавшейся шейкой. Экстраполяция на более компактные конфигурации является предметом отдельного исследования и дана лишь для качественной оценки возможной природы взаимодействия ориентационной степени свободы с термостатом.

0.5 1 1.5 2 2.5

А «о

Рис. 1. Зависимость фрикциопного параметра ориептационной степени свободы от расстояния между центрами масс нарождающихся осколков для ядра 224 ТЪ в одномерном случае (к — а = 0). Расстояние П приведено в единицах радиуса начальной сферы Но

На рис. 1 представлена зависимость ук от расстояния Б между центрами масс нарождающихся осколков для случая Н = а — 0. Поменяв некоторые предположения, использованные при выводе (7), можно увеличить или устранить расходимость в сфере, не повлияв при этом на поведение 7« при больших деформациях [15]. Как видно из рисунка, К почти не меняется при больших деформациях. Наличие же пика в сфере приводит к тому, что равновесие по К устанавливается достаточно быстро для систем, осциллирующих вокруг основного состояния. Более полная и точная модель взаимодействия ориентационной степени свободы с термостатом, скорее всего, приведет к выражению для 7/с, зависящему от коллективных координат формы, коллективных скоростей и ориентации ядра [15].

В работе [28] из анализа угловых распределений осколков в реакциях слияния-деления с актинидными мишенями при подбарьерных и околобарьерных энергиях налетающих тяжёлых ионов была получена эффективная независящая от деформации оценка величины -ук ~ 0.077 (МэВ 10~21с)""1''2. Эта оценка была дана, исходя из достаточно простой модели деления, и может отличаться от истинного значения в 2 и более раз [15].В данной работе 7/ч- также полагалось независящим от деформации. Кроме того, для описания экспериментальных данных по анизотропиям угловых распределений осколков деления использовались и значения, отличные от оценки Лестоуна с соавторами [28].

В рамках предложенной четырёхмерной ланжевеновской модели в главе анализируются экспериментальные энергетические зависимости множественности предцелительных нейтронов и анизотропии угловых распределений для реакций 160 + 208РЬ при Е\лъ = 90 + 215 МэВ, 20Ке + 209 В! при £1аь = 148 ^ 220 МэВ, 160 + 232ТЬ при Еил = 90- 160 МэВ, ш0 + 21Ву при рЛлЪ = 90 ^ 250 МэВ, 160 + 248Сш при Еиъ = 110-г 148 МэВ. Три последних реакции выбраны нами ввиду того, что модели ПССТ и ПСТР дают для них неудовлетворительные результаты [12, 13]. Результаты расчётов сравнивались с экспериментальными данными работ [29-34].

Угловое распределение осколков деления рассчитывалось с помощью выражения

И^) = Ж Е ^ + Х/2) |<СД0)|2 - (8)

где Р, К3 — значения полного момента и его проекции в момент разрыва ядра для траектории деления; Nf — число событий деления; (1'ак(в) — функция вращения Вигнера [2, 29]; в — угол между направлением вылета осколков деления и осью пучка налетающих ионов.

-1аЬ>

130 140

МэВ

Рис. 2. Множественность предразрывных частиц для реакции 1вО + 248Ст -> 264ЯГ. (а) □ — теоретические расчёты с ук = 0.154 (МэВ 10""21с)~]</2; ■ — ук = 0.077 (МэВ 10~21с)~1/2. В обоих случаях к, — 0.35; (Ь) □ — теоретические расчёты с ка = 1; о — ка — 0.5 • — к, = 0.35 ■ — к, — 0.25. Во всех случаях "¡к = 0.154 (МэВ 10_21с)-1''2; сплошная кривая — систематика работы [35]

Рис. 3. Множествеппость предразрывных частиц для реакций (а) 160 + 208РЬ —> 221ТЬ и (Ь) 20Ке + 209В1 -4 229Кр. О - теоретические расчёты с к, = 0.25 и -уК = 0.077 (МэВ Ю-21^-1/2; Т -расчёты в рамках трёхмерной модели с ка = 0.25 [36]; В — экспериментальные данные; сплошная кривая — систематика работы |35]

Выражение (8) в данном подходе использовалось для расчёта анизотропии углового распределения, определяемой отношением

А = МГ(0°)/1¥(90°). (9)

Как видно из рис. 2, значение фрикционного параметра ух не влияет на рассчитанные нейтронные множественности. Это обстоятельство объясняется тем, что К- мода воздействует на остальные коллективные координаты только через член к2К2/2-/еа во вращательной энергии ядра. При этом ук входит лишь в уравнение движения для /С-моды, но не в уравнения для остальных коллективных координат. Таким образом, фрикционный параметр ориентационной степени свободы не оказывает влияния на коллективные координаты формы и, как следствие, на время деления. При этом рассчитанные средние множественности нейтронов увеличиваются с ростом коэффициента редукции вклада формулы стены ка. Как отмечают сами авторы, для тяжёлых компаунд-ядер систематика [35] отклоняется от наблюдаемых в эксперименте значений нейтронных множественностей, чем и может объясняться расхождение теоретически рассчитанных значений с систематикой,

Е|аЬ, МэВ

Рис. 4. Анизотропия углового распределения для реакции 16О+208РЬ 224ТЬ. □ — теоретические расчёты с ка — 0.25 и 7;с = 0.077 (МэВ 10~21с)-1/2; ■ — экспериментальные данные работы [29]; Т — [32]. Сплошная и пунктирная кривые — расчёты в ПССТ и ПСТР соответственно

представленной на рис. 2Ь сплошной прямой.

Рис. 3 демонстрирует хорошее согласие рассчитанных множественностей предразрыв-ных нейтронов с экспериментальными данными при к, = 0.25 и jk = 0.077 (МэВ 10-21с)-1/2. Отметим также, что для реакции 160 + 208РЬ —> 224Th четырёхмерная модель воспроизводит множественности предразрывных нейтронов существенно лучше трёхмерной.

Результаты расчётов анизотропии угловых распределений в четырёхмерной модели представлены на рис. 4 и 5. Заметим, что развитая в работе модель достаточно хорошо описывает экспериментальные данные по анизотропии угловых распределений осколков деления. Из рис. 4 видно, что наилучшее согласие теоретических расчётов анизотропии с экспериментом наблюдается для компаунд-ядра 221Th — отклонение рассчитанных значений от эксперимента не превышает 5%. Таким образом, предложенная Лестоуном оценка 7/с = 0.077 (МэВ 10-21с)-1/2 хорошо подошла для описания углового распределения в данной реакции несмотря на упомянутое в [15] возможное отличие от истинного значения в два и более раз. Однако в работе не ставилась цель как можно более точно описать имеющиеся экспериментальные данные по анизотропии угловых распределений. Взятое значение 7д- позволяет проверить принципиальную применимость ланжевеновской динамики к описанию эволюции К-моды.

Чтобы выявить влияние параметров кв и 7к на результаты расчётов анизотропии, были проведены расчёты с фиксированным значением ks = 0.35 и двумя значениями 7к — 0.154 и jK = 0.077 (МэВ lO-^c)'1/2, а также, с фиксированным 7а- = 0.154 (МэВ 10_21с)~1!2 и тремя значениями ks: 0.25, 0.35 и 0.5. Из рис. 6 видно, что при увеличении к, в два раза, от 0.25 до 0.5, значения анизотропии изменяются не больше чем на 10% от первоначальной величины. Напротив, при увеличении ik в два раза, от 0.077 до 0.154 (МэВ 10-21с)-1/2, анизотропия увеличивается почти в полтора раза. Этот пример демонстрирует, что определяющим параметром для угловых распределений является именно фрикционный параметр К-моды в то время как значение fes влияет на результаты расчётов анизотропии существенно слабее.

Как следует из рис. 5 и 6, рассчитанные значения анизотропии увеличиваются с ростом параметра 7а-. Это обстоятельство можно объяснить, воспользовавшись решением усреднённого по статистическому ансамблю уравнения (6):

{K(t)) = K(t0)exp

ll^u t,

2J^{t~to\

(Ю)

При больших значениях '/к координата К будет быстрее релаксировать к нулевому зна-

£ € 3 ^ 2

229,

- О

140 150 160 170 180 190 200 210 220 230

МэВ

254т

я:

♦

о

100 120 140 160 180 200 220 240 260

£1аЬ,МэВ

£

€

£5 I4

о ^ 2

248,

сг

о

90 100 110 120 130 140 150 160 170

£1аЬ,МэВ

2в4М

о ■

о

□ ■

о

100 110 120 130 140 150 160

£1аЬ,МэВ

Рис. 5. Анизотропия углового распределения для изученных в работе реакций. □ — теоретические расчёты с кз = 0.25 и = 0.154 (МэВ 10~21с)-1'2 для всех реакций, кроме ^Ке+^В!, где ук — 0.077 (МэВ 10-21с)~1/2; о - теоретические расчёты ск,= 0.35 = 0.077 (МэВ 10~21с)"1/2; ■ -экспериментальные данные работы [29]; ♦ — [30]; • — [31]; ▼ — [32]; А — [33]; * — [34]. Сплошпая и пупктирная кривые — расчёты в ПССТ и ПСТР соответственно

о

3.5 3 2.5 2 1.5

М

а

□

€ г

ъ

£

100 110 120 130 140 150 160

Е1аЬ, МэВ

3.5 3 2-5 2 1.5 1

(Ь)

100 110 120 130 140 150 160

£1аЬ, МэВ

Рис. 6. Зависимость анизотропии углового распределения от параметров к, и ЧК ДОЯ реакции 16О + 248Ст -> 264Б!. (а) расчёты с 1К = 0.154 (МэВ 10-21с)~1/г: О - к. = 0.25, ■ -к, = 0.35, о - к, - 0.5; (Ь) расчёты с к, = 0.35: ■ - - 0.154 (МэВ 10~21с)-1/2, о -УК = 0.077 (МэВ 10~21с)~1/2.

с

а.

Рис. 7. Динамически рассчитанное в рамках четырёхмерной ланжевеновской динамики распределение значений проекции К спина I для ядер (а) 224 ТЬ при = 110 МэВ и (Ь) 248С£ при £)аь = 120 МэВ в точке разрыва. Пунктирной кривой изображено распределение Р(К) в модели переходного состояния в точке разрыва; гистограмма — расчёт в рамках четырёхмерной ланжевеновской модели

чению, что приведет к более узкому конечному распределению по К (т. е. распределению с меньшей дисперсией А"2). Если воспользоваться приближённым выражением для анизотропии, полученным в модели переходного состояния в случае, когда (/+ 1/2)2/4А"2 2> 1,

ЦТ (90°)

то увеличение анизотропии с ростом 7к становится понятным.

Рис. 5 также демонстрирует, что выбранные значения 'ук позволяют описать экспериментальные данные в разных диапазонах энергии налетающего иона с различной точностью. Так, для 218 С£ расчёты с -ук = 0.154 (МэВ 10-21с)-1/2 воспроизводят экспериментальные значения анизотропии при < 100 МэВ с точностью до 7%, а с = 0.077 (МэВ 10~21с)_1/2 лучше описываются данные при Е^ ^ 120 МэВ. Этот факт может служить свидетельством того, что в более реалистичных расчётах необходимо учитывать координатную зависимость 7^.

Динамически рассчитанные в рамках четырёхмерной ланжевеновской динамики распределения по К в разрыве представлены на рис. 7. Для сравнения на рисунке изображены кривые, полученные в модели ПСТР. Как следует из рисунка, процесс деления является достаточно медленным, чтобы по К установилось статистическое равновесие в разрывных конфигурациях [8]. Отметим также, что теория переходного состояния в седловой точке не применима для тяжёлых делящихся ядер, у которых высота барьера деления меньше температуры ввиду значения параметра делимости или большого углового момента.

Третья глава посвящена двум важным в коллективной ядерной динамике величинам — скорости и среднему времени деления. Рассмотрен вопрос о влиянии ориентаци-онпой степени свободы на эти характеристики процесса деления. Приведено обобщение формулы Крамерса [37] на многомерный случай [38] и определение концепций среднего времени первого и последнего прохождения.

Задача расчёта скорости и среднего времени деления является актуальной в коллективной ядерной динамике. Скорость деления пропорциональна ширине деления, определяющей вероятность распада системы из метастабильного состояния (сильно возбуждённое компаунд-ядро) в стабильное состояние (система разделившихся осколков) [20]. Среднее время деления связано с множественностью предразрывных нейтронов и часто использу-

Рис. 8. Зависимость среднего времени деления от энергии налетающего иона для реакции 160 + 208РЬ в одномерном, трёхмерном и четырёхмерном случаях без учёта (а) и с учётом испарения (Ь). Значения фрикционного параметра для К-моды указаны на рисунке в единицах (МэВ 10-21с)~1/'2

Рис. 9. Скорость деления как функция времени для реакции 160 + 232ТЬ при I — ЗОЯ: (а) Даь = 148 МэВ; (Ь) Е\лЪ = 90 МэВ. Испарение частиц не учтено

ется для извлечения информации о ядерной вязкости [39, 40].

Из общего определения среднего времени деления {£;) для квазиперавновесных процессов [41]:

М

| Лг(0Л = 1, (12)

о

следует, что если время достижения квазистационарного значения скорости деления маг ло, то среднее время деления обратно пропорционально квазистационарному значению скорости деления, т. е. (¿г) = 1/ЯВ1-

В ланжевеновских расчётах скорость деления вычисляется по формуле

д (Л - 1 ,Пч

т~ N-N.it) Д* ' (13)

где N — полное число траекторий, ДА'{(£) — число траекторий, разделившихся за временной интервал ;(—>■£ + Д£, — число траекторий, разделившихся к моменту времени

г.

Рис. 8 демонстрирует обнаруженное увеличение среднего времени деления при введении в трёхмерную модель ориентационной степени свободы. Увеличение среднего времени

деления было обнаружено как в расчётах с учётом испарения, так и без его учёта. Кроме того было выявлено, что среднее время деления в четырёхмерной модели не зависит от величины параметра 7к- Этот факт хорошо согласуется с независимостью нейтронных множественностей от 7^. В полном согласии с данным результатом находится выявленное в расчётах уменьшение скорости деления при переходе от трёхмерной к четырёхмерной модели, показанное на рис. 9. Увеличение среднего времени деления и уменьшение скорости деления в четырёхмерном случае объясняется ростом барьера деления с ростом К, как это видно из (3). Из выражения для консервативной силы и вида вращательной энергии (3) следует, что консервативные силы, действующие в трёхмерном и четырёхмерном случаях отличаются выражением

лп - - „л

% 2Л* ~ а* ■ {1>

Рассмотрим данное выражение на примере делительной координаты <71. Эффективный момент инерции уменьшается при увеличении деформации ядра, т. е. при движении ядра от основного состояния до поверхности разрыва. Таким образом, производная от эффективного момента инерции отрицательна, и, следовательно, консервативная сила, действующая на делительную координату в четырёхмерном случае, меньше чем в трёхмерном. Это обстоятельство на качественном уровне объясняет увеличение среднего времени деления и уменьшение скорости деления в четырёхмерном случае.

Четвёртая глава касается фундаментального вопроса применимости марковского приближения к описанию процесса деления. Традиционно принято считать марковское приближение выполненным, однако число работ, посвящённых этому вопросу по-прежнему невелико. В главе приведены результаты расчётов скорости и среднего времени деления, выполненных с использованием обобщённого уравнения Ланжевена [42]. Данное уравнение является основным инструментом описания систем при наличии эффектов немарковости. Рассчитанные стационарные значения скорости деления сравниваются со значениями, полученными по формуле Крамерса [37], обобщённой на немарковский случай [43].

В работе был исследован вопрос о влиянии эффектов немарковости на скорость и среднее время деления в одномерном случае. Испарение частиц не рассматривалось, а время корреляции случайной силы, входящей в уравнение Ланжевена, было выбрано свободным параметром, независимым от энергии возбуждения, вязкости, формы ядра и других параметров системы. Все эти приближения были сделаны для того, чтобы исключить из анализа эффекты, не связанные с немарковосгью.

При наличии эффектов немарковости для случая одной коллективной координаты система уравнений движения имеет вид [20]

(15а)

Р = /с + - | ят(« - ¿МП + ¿0(1), (15Ь)

—оо

где 9 — обобщённая координата, р — сопряжённый ей импульс, К. — консервативная сила, ш — инерционный параметр, Г(£) — фрикционное ядро, — случайная сила. Фрикционное ядро Г(£) связано с &?(£) посредством второй флуктуационно-диссипационной теоремы:

(¿<Э(«)<5<2(0) = тТГ{1 - *'), (16)

10

0 20 40 60 80 100 28 30 32 34 36 38 40

МО-21 с г2/а

Рис. 10. (а) Скорость деления как функция времени доя ядра 200РЬ при паличии эффектов пемарковости. (Ь) Зависимость среднего времени деления от параметра X2¡А. Значения времени корреляции т случайной силы указаггы на рисунке в единицах Ю-21 с

где Т — температура термостата.

В настоящей работе фрикционное ядро выбрано в виде [20]

(17)

где т — время корреляции случайной силы, /3 = f /т — приведённый коэффициент трения, 7 — фрикционный параметр.

Легко показать, что при г -* 0 выражение (17) переходит в ¿-функцию, таким образом, выбор T(t) в виде (17) является естественным обобщением случая дельта-коррелированной случайной силы.

Систему (15) с фрикционным ядром (17) можно заменить системой трёх марковских уравнений [20]:

Я = (18а)

m

$ = (18с)

Т Т Т

где {£(«)>= 0,

Исходя из оценки т = 2.6/Т2 [МэВ2] х 10 21с [25], в работе были выбраны следующие значения времени корреляции случайной силы: 0, Ю-22, 0.3 х Ю-21, 0.5 х Ю-21 и Ю-21 с. Отметим, однако, что величина Ю-21 с для времени корреляции была выбрана нами в методических целях, т. к. маловероятно, чтобы г было сравнимо с характеристическими временами коллективных степеней свободы. В расчётах скорости и среднего времени деления полное число траекторий N полагалось равным 105, а энергия возбуждения компаунд-ядра Е* = 200 МэВ.

Расчёты выявили уменьшение среднего времени деления и увеличение стационарного уровня скорости деления с ростом времени корреляции случайной силы. При этом оказалось, что величина стационарного значения скорости деления для немарковского случая может на 30%-40% превышать стационарный уровень для марковского случая при времени корреляции случайной силы г = 10~21 с. Однако при близком к нулю времени

корреляции эффекты немарковости проявляются крайне слабо. Так для г = 0.1 х Ю-21 с отличие марковского и немарковского стационарных уровней крайне мало, и данные для этого значения времени корреляции не представлены на рис. 10, т. к. кривые сливаются с кривыми для марковского случая. Отличие в величине среднего времени деления для случая г = 0 и т = 10~21 с составляет от 19% до 25% марковского значения. На рис. 10а также показаны стационарные значения скорости деления, вычисленные по формуле Крамерса, обобщённой на немарковский случай [43]. Как видно, эти значения хорошо согласуются с результатами моделирования.

Поведение скорости и среднего времени деления с ростом времени корреляции случайной силы можно объяснить следующими обстоятельствами. Если время корреляции случайной силы много меньше характерного времени коллективной степени свободы q(t) (марковский случай, который математически можно выразить как г —> 0), то можно перейти к следующим приближениям для интеграла из системы уравнений (15) [44]:

t t

J dt'T{t - t')p(t') ^ P(í) | dt'T{t - t'), (19)

U> ío

в свою очередь при 2> 1

i

f díT(í - í') — • J m

ÍO

Тогда обобщённое уравнение Ланжевена (15) переходит в обычное марковское тивоположиых предположениях о величине г, а именно, при г —> оо, получим:

í г

| dt'T{t - í')p(í') ^ Г(0) | dt'p(t) 0, (21)

ío Ui

т. е. предел кулевого трения. Таким образом, эффекты немарковости уменьшают влияние эффектов диссипации.

В заключении формулируются основные выводы диссертации:

1. Предложена и разработана динамическая модель для расчёта угловых распределений осколков в реакциях слияния-деления. Динамическая эволюция ЛТ-моды, определяющая угловое распределение осколков, описывалась уравнением Ланжевена в режиме сверхзатухания. Эволюция параметров формы делящегося ядра описывав лась системой уравнений Ланжевена для коллективных координат, введенных на основе {с, h, а}~параметризации.

2. Разработанная четырёхмерная ланжевеновская динамика позволяет рассчитать угловое распределение осколков наряду с характеристиками деления, которые традиционно исследуются в трёхмерной модели: массово-энергетическим распределением осколков, средней множественностью предразрывных частиц в корреляции с массой и энергией осколков [19, 36], скоростью и средним временем деления.

3. Испарение частиц учитывалось на протяжении всего процесса деления. При этом

ширины испарения зависели от координаты К. Таким образом, в работе впервые

в полном объеме реализована многомерная ланжевеновская динамика для углового

распределения.

(20) При про-

4. Предложенная модель достаточно точно описывает угловые распределения осколков пяти исследованных компаунд-систем в широком интервале энергий налетающего иона. В частности, рассчитанные значения анизотропии близки к экспериментальным данным, и отклонения не превышают 30%.

5. Рассмотрение динамически рассчитанных распределений Р(К) по проекции полного момента на ось симметрии показало, что процесс деления таких «тяжёлых» систем, как 248Cf и 254Fm, является достаточно медленным, а средние времена деления достаточно большими, чтобы Л"-мода успевала релаксировать к статистически равновесному распределению для разрывных конфигураций. Этот вывод тем более справедлив для более «лёгкого» компаунд-ядра 224Th.

6. Результаты расчётов, проведенных в четырёхмерной динамической модели показали, что при переходе от трёхмерной к четырёхмерной модели с учётом К-моды наблюдается существенное уменьшение скорости деления и, соответственно, увеличение среднего времени деления.

7. Проведенные расчёты указывают на необходимость распространения модели на более «лёгкие» компаунд-ядра в районе А ~ 200.

8. Расчёты, проведенные с учётом эффектов немарковости в уравнениях Ланжевена, выявили увеличение скорости деления и уменьшение среднего времени деления с ростом времени корреляции случайной силы.

9. Результаты расчётов свидетельствуют о том, что марковское приближение является оправданным для такого медленного процесса, как деление, при значениях времени корреляции случайной силы, меньших 0.5 х Ю-21 с, т.е. при температурах выше 2.3 МэВ. Таким образом, результаты, полученные ранее для деления в марковском приближении [19, 25], не нуждаются в пересмотре.

10. Разработанный ранее комплекс программ для динамического моделирования процесса деления с использованием трёх коллективных координат модифицирован для учёта эволюции Я"-моды.

11. Для анализа роли эффектов немарковости был модифицирован созданный ранее комплекс программ для динамического моделирования процесса деления с использованием одной коллективной координаты.

В приложениях даны формулы тензорной алгебры для перехода от параметров (с, h, а) к коллективным координатам (q¡, qi, <73), приводятся соотношения для расчёта моментов инерции делящегося ядра, а также описан метод численного решения обобщённого уравнения Ланжевена.

Список цитируемой литературы

1. Halpern I., Strutinsky V. M. Angular distributions in particle induced fission at medium energies // Proceedings Of the Second United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy, Geneva, Switzerland, 1957. Vol. 15. United Nations, Geneva, Switzerland, 1958. Pp. 408-418.

2. Vandenbosch R., Huizenga J. R. Nuclear Fission. New York, Academic Press, 1973. 424 p.

3. Bond P. D. Reexamination of fission fragment angular distributions and the fission process: Formalism // Phys. Rev. C. 1985. Vol. 32. Pp. 471-482.

4. Bond P. D. Reexamination of fission fragment angular distributions and the fission process: Analysis of data // Phys. Rev. C. 1985. Vol. 32. Pp. 483-487.

5. Rossner H. H., Huizenga J. R., Schroder W. U. Statistical scission model of fission-fragment angular distributions // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 53. Pp. 38-il.

6. Rossner H., Huizenga J. R., Schroder W. U. Fission fragment angular distributions // Phys. Rev. C. 1986. Vol. 33. Pp. 560-575.

7. John В., Kataria S. K. Statistical prescission point model of fission fragment angular distributions // Phys. Rev. C. 1998. Vol. 57. Pp. 1337-1348.

8. Freifelder R., Prakash M., Alexander J. M. Interplay between theory and experiment for fission-fragment angular distributions from nuclei near the limits of stability // Phys. Rep. 1986. Vol. 133. Pp. 315-335.

9. Eremenko D. O., Drozdov V. A., Eslamizadex M. H. et al. Stochastic model of tilting mode in nuclear fission // Phys. At. Nucl. 2006. Vol. 69. Pp. 1423-1427.

10. Drozdov V. A., Eremenko D. O., Fotina О. V. et al. Stochastic Model of the Tilting Mode in Nuclear Fission // Tours symposium on nuclear physics V, Tours 2003. Vol. 704. Tours, France: AIP Conf. Proc., 2004. Pp. 130-138.

11. Krappe H. J. Achievements and problems in modelling fission of hot nuclei // Proceedings of the XIII Meeting on Physics of Nuclear Fission in Memory of Prof. G. N. Smirenkin, Obninsk, 1995 / Ed. by B. D. Kuzminov. SSCRF-IPPE, Obninsk, 1995. Pp. 134-144.

12. Karpov A. V., Hiryanov R. M., Sagdeev A. V., Adeev G. D. Dynamical treatment of fission fragment angular distribution // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 2007. Vol. 34. Pp. 255-269.

13. Хирьянов P. M., Карпов А. В., Адеев Г. Д. Стохастическая модель формирования угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер // ЯФ. 2008. Т. 71. С. 1389-1400.

14. Lestone J. P. Calculating fission rates at high spin: Incorporation of rotational degrees of freedom in thermodynamically fluctuating axially symmetric systems // Phys. Rev. C. 1999. Vol. 59. Pp. 1540-1544.

15. Lestone J. P., McCalla S. G. Statistical model of heavy-ion fusion-fission reactions // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 79. P. 044611.

16. Randrup J., Moller P. Brownian shape motion on five-dimensional potential-energy surfaces: Nuclear fission-fragment mass distributions // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 106. P. 132503.

17. Moller P., Sierk A. J., Ichikawa T. et al. Heavy-element fission barriers // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 79. P. 064304.

18. Brack M., Damgaard J., Jensen A. S. et al. Funny hills: The shell-correction approach to nuclear shell effects and its applications to the fission process // Rev. Mod. Phys. 1972. Vol. 44. Pp. 320-405.

19. Адеев Г. Д., Карпов А. В., Надточий П. Н., Ванин Д. В. Многомерный стохастический подход к динамике деления возбужденных ядер // ЭЧАЯ. 2005. Т. 36. С. 732-820.

20. Abe Y., Ayik S., Reinhard P.-G., Suraud E. On stochastic approaches of nuclear dynamics // Phys. Rep. 1996. Vol. 275. Pp. 49-196.

21. Игнатюк А. В., Иткис M. Г., Околович В. Н. и др. Деление доактинидных ядер. Функции возбуждения реакции (a J) // ЯФ. 1975. Т. 21. С. 1185-1205.

22. Krappe Н. J., Nix J. R., Sierk A. J. Unified nuclear potential for heavy-ion elastic scattering, fusion, fission, and ground-state masses and deformations // Phys. Rev. C. 1979. Vol. 20. Pp. 992-1013.

23. Sierk A. J. Macroscopic model of rotating nuclei // Phys. Rev. C. 1986. Vol. 33. Pp. 2039-2053.

24. Frobrich P., Gontchar I. I. Langevin description of fusion, deep-inelastic collisions and heavy-ion induced fission // Phys. Rep. 1998. Vol. 292. Pp. 131-237.

25. Гончар И. И. Ланжевеновская флуктуационно-диссипативная динамика деления возбужденных атомных ядер // ЭЧАЯ. 1995. Т. 26. С. 932-1000.

26. D0ssing Т., Randrup J. Dynamical evolution of angular momentum in damped nuclear reactions: (I). Accumulation of angular momentum by nucleón transfer // Nucl. Phys. A. 1985. Vol. 433. Pp. 215-279.

27. Randrup J. TYansport of angular momentum in damped nuclear reactions // Nucl. Phys. A. 1982. Vol. 383. Pp. 468-508.

28. Lesione J. P., Sonzogni A. A., Kelly M. P., Vandenbosch R. Near- and sub-barrier fission fragment anisotropies and the failure of the statistical theory of fission decay rates //J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1997. Vol. 23. Pp. 1349-1357.

29. Back В. В., Betts R. R., Gindler J. E. et al. Angular distributions in heavy-ion-induced fission // Phys. Rev. C. 1985. Vol. 32. Pp. 195-213.

30. Gavron A., Eskola P., Sierk A. J. et al. New Evaluation of Fission-Fragment Angular Distributions in Heavy-Ion Reactions // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 52. Pp. 589-592.

31. Карамян С. А., Кузнецов И. В., Музычка Ю. А. и др. Эффективные моменты инерции тяжелых ядер в седловой точке // ЯФ. 1967. Т. 6. С. 494-504.

32. Vaz L. С., Logan D., Duek Е. et al. Fission and emission of H and He in the reactions of 215 MeV 160 with шТа, 208Pb and 238U // Z. Phys. A. 1984. Vol. 315. Pp. 169-182.

33. Toke J., Bock R., Dai G.-x. et al. Compound nucleus fission and quasi-fission in reactions of 238U with 160 and 27Al // Phys. Lett. B. 1984. Vol. 142. Pp. 258-262.

34. Rossner H., Hilscher D., Holub E. et al. Angular distributions of fragments from fission induced by 220-MeV 20Ne on targets of 165Ho, 197Au, and 209Bi // Phys. Rev. C. 1983. Vol. 27. Pp. 2666-2678.

35. Иткис М. Г., Музычка Ю. А., Оганесян Ю. Ц. и др. Деление возбужденных ядер с Z1 /А = 20 — 33: массово-энергетические распределения осколков, угловой момент и капельная модель // ЯФ. 1995. Т. 58. С. 2140-2165.

36. Nadtochy P. N., Adeev G. D., Karpov А. V. More detailed study of fission dynamics in fusion-fission reactions within a stochastic approach // Phys. Rev. C. 2002. Vol. 65. P. 064615.

37. Kramers H. A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions // Physica. 1940. Vol. 7. Pp. 284-304.

38. Jing-Shang Z., Weidenmiiller H. A. Generalization of Kramers's formula: Fission over a multidimensional potential barrier // Phys. Rev. C. 1983. Vol. 28. Pp. 2190-2192.

39. Hilscher D., Rossner H. Dynamics of nuclear fission // Ann. Phys. (Prance). 1992. Vol. 17. Pp. 471-552.

40. Hilscher D., Gontchar I., Rossner H. Fission dynamics of hot nuclei and nuclear dissipation // Phys. At. Nucl. 1994. Vol. 57. Pp. 1187-1199.

41. Bhatt К. H., Grange P., Hiller B. Nuclear friction and lifetime of induced fission // Phys. Rev. C. 1986. Vol. 33. Pp. 954-968.

42. Mori H. A continued-fraction representation of the time-correlation functions // Prog. Theor. Phys. 1965. Vol. 34. Pp. 399-416.

43. Grote R. F., Hynes J. T. The stable states picture of chemical reactions. II. Rate constants for condensed and gas phase reaction models //J. Chem. Phys. 1980. Vol. 73. Pp. 2715-2732.

44. Boilley D., Lallouet Y. Non-Markovian diffusion over a saddle with a generalized Langevin equation // J. Stat. Phys. 2006. Vol. 125. Pp. 473-489.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Гегечкори А. Е., Аиищенко Ю. А., Надточий П. Н., Адеев Г. Д. Влияние эффектов немарковости на скорость и времена деления // Ядерная физика. 2008. Т. 71. С. 2041-2051.

2. Гегечкори А. Е., Адеев Г. Д. Угловое распределение осколков деления возбужденных компаунд-ядер в ланжевеновской динамике // Изв. вузов. Физика. 2009. Т. 52, № 11/2. С. 63-68.

3. Анищенко Ю. А., Гегечкори А. Е., Адеев Г. Д. Временные характеристики процесса деления возбужденных ядер в многомерной ланжевеновской динамике // Изв. вузов. Физика. 2009. Т. 52. С. 57-62.

4. Анищенко Ю. А., Гегечкори А. Е., Надточий П. Н., Адеев Г. Д. Скорость деления возбужденных ядер в многомерном стохастическом подходе // Ядерная физика. 2009. Т. 72. С. 2056-2068.

5. Гегечкори А. Б., Адеев Г. Д. Угловое распределение осколков деления возбужденных компаунд-ядер в многомерной ланжевеновской динамике // Ядерная физика. 2011. Т. 74. С. 3-12.

6. Анищенко Ю. А., Гегечкори А. Е., Адеев Г. Д. Влияние ориентационной степени свободы на скорость и время деления сильновозбужденных ядер // Ядерная физика. 2011. Т. 74. С. 361-371.

7. Anischenko Y. A., Gegechkori А. Е., Adeev G. D. Fission rate and time of highly excited nuclei in multi-dimensional stochastic calculations // Act. Phys. Pol. B. 2011. Vol. 43. Pp. 493-496.

8. Gegechkori A. E., Adeev G. D. Impact of non-markovian effects and orientation degree of freedom on the fission rate and time // International Symposium on Exotic Nuclei, Sochi, Russia, 2009 / Ed. by Y. E. Penionzhkevich, S. M. Lukyanov. Vol. 1224. AIP Conf. Proc., 2010. P. 366-371.

9. Anischenko Y. A., Gegechkori A. E., Nadtochy P. N., Adeev G. D. Fission rate and transient time of highly excited nuclei in multi-dimensional stochastic calculations // International Symposium on Exotic Nuclei, Sochi, Russia, 2009 / Eld. by Y. E. Penionzhkevich, S. M. Lukyanov. Vol. 1224. AIP Conf. Proc., 2010. Pp. 350-355.

10. Гегечкори A. E. Влияние эффектов немарковости на характеристики вынужденного ядерного деления // Омский научный вестник. 2007. Т. 56, № 2. С. 15-18.

11. Гегечкори А. Е., Адеев Г. Д. Описание вынужденного ядерного деления с помощью обобщенного уравнения Ланжевена // Вестник омского университета. 2007. Т. 44, № 2. С. 31-34.

12. Gegechkori А. Е. Orientation degree of freedom as an essential collective coordinate in fission dynamics. // Book of abstracts of the XLV Zakopane Conference on Nuclear Physics «Extremes of the nuclear landscape», Zakopane, Poland, 2010. Pp. 83-84.

13. Gegechkori A. E., Adeev G. D. Impact of non-markovian effects and orientation degree of freedom on the fission rate and time. // Book of abstracts of the International Symposium on Exotic Nuclei (Exon-2009), Sochi, Russia, 2009. P. 101.

14. Anischenko Y. A., Gegechkori A. E., Nadtochy P. N., Adeev G. D. Fission rate and transient time of highly excited nuclei in multi-dimensional stochastic calculations. // Book of abstracts of the International Symposium on Exotic Nuclei (Exon-2009) Sochi, Russia,-2009. P. 96.

Отпечатано с оригинал-макета, предоставленного автором

Подписано впечатъ 17052011 Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Оперативный способ печати. Усл.печ.л. 1,5. ТиражЮОэкз. Заказ№106

Отпечатано в «Полиграфическом центре КАН» теп. (3812) 24-70-79 644122, г. Омск, у л. Красный Путь,30 E-mail: рс kai@mail.ru Лицензия ПЛД№ 58-47 от21.0497

Введение

Глава 1. Модель.

1.1. Уравнения Ланжевена. Параметризация формы делящегося ядра

1.2. Транспортные коэффициенты.

1.3. Потенциальная энергия.

1.4. Начальные и конечные условия. Критерий разрыва ядра на осколки.

1.5. Статистическая ветвь расчетов. Объединение статистической и динамической ветвей расчетов.

Глава 2. Угловое распределение осколков деления в реакциях с тяжелыми ионами

2.1. Модели переходного состояния.

2.2. Алгоритм Метрополиса.

2.3. Ланжевеновский формализм для ориентационной степени свободы

2.4. Результаты расчетов угловых распределений в ланжевеновском подходе.

Глава 3. Скорость и среднее время деления в четырехмерной ланжевеновской динамике.

3.1. Скорость и среднее время деления.

3.2. Результаты расчетов скорости и среднего времени деления в четырехмерной ланжевеновкой динамике.

Глава 4. Эффекты немарковости в ланжевеновской динамике

4.1. Применимость марковского приближения в динамике вынужденного деления.

4.2. Обобщенное уравнение Ланжевена

4.3. Влияние эффектов немарковости на скорость и среднее время деления.

Процесс деления ядер был открыт в 1939 году. Тогда же Бором и Уиле-ром была создана первая модель процесса деления, рассматривавшая ядро по аналогии с бесструктурной осциллирующей каплей жидкости [1]. Вскоре Крамере решил задачу о прохождении броуновской частицы через потенциальный барьер посредством уравнения Фоккера-Планка [2]. Стоит отметить, что Крамере впервые ввел концепцию диссипации в ядерной физике и получил формулу парциальной ширины деления, которая в явном виде зависела от фрикционного параметра. Однако идеи Крамерса долгое время оставались в тени модели Бора-Уилера, весьма точно описывавшей существовавшие на тот момент экспериментальные данные. В 1973 году Струтинский напомнил об этой работе Крамерса, обобщив его формулу на случай малой величины потенциального барьера и произвольного расстояния между седловой точкой и точкой разрыва [3, 4].

По причине хорошего согласия результатов теории Бора-Уилера с имевшимися на тот момент экспериментальными данными, изучение деления оставалось вне основного русла ядерных исследований до начала 80-х годов прошлого столетия. Ситуацию изменило появление нового поколения ускорителей, способных давать пучки тяжелых ионов с энергиями достаточно высокими для того, чтобы преодолеть кулоновский барьер любого стабильного ядра. Современные ускорители позволили изучать новые примеры крупномасштабных коллективных движений, связанные с кардинальными перестройками ядерного вещества, такие как глубоконеупругие столкновения и слияние тяжелых ионов.

Одним из наиболее интересных результатов исследований стало выявление важной роли эффектов диссипации в реакциях под действием тяжелых ионов. Особенно неожиданным оказался такой вывод для реакций деления, вопреки принятому на протяжении многих лет мнению о незначительной величине вязкости в этом процессе.

Одной из отличительных особенностей реакций с тяжелыми ионами является, как правило, образование компаунд-систем с высокими энергиями возбуждения и большими угловыми моментами. Это обстоятельство, с одной стороны, позволяет сделать вывод о незначительности оболочечных эффектов, а с другой — о необходимости явного учета ориентации ядра при построении моделей процесса.

Неспособность моделей переходного состояния [5-11] описать наблюдаемые в эксперименте значения анизотропии углового распределения [12] указывает на необходимость динамического описания эволюции ориентационной степени свободы ядра. К сожалению, подавляющее большинство динамических моделей процесса деления не включает рассмотрение ориентации ядра как отдельной коллективной координаты. Этот факт может приводить к тому, что наряду с угловыми распределениями будут также неверно оценены такие характеристики как массово-энергетические распределения осколков, средняя множественность предразрывных частиц, скорость и среднее время деления.

Еременко с соавторами предложили рассматривать эволюцию ориентационной степени свободы ядра (Х-моды, проекции полного углового момента на ось симметрии ядра) методом Монте-Карло [13, 14]. Величиной, характеризующей эволюцию К-моды в данном подходе, является время релаксации координаты К — тк- В качестве коллективной координаты формы авторы выбрали расстояние между центрами масс нарождающихся осколков. Деление является сложным процессом, для описания которого необходимо использовать по меньшей мере три коллективных координаты формы [15]. Поэтому, в работах [16, 17] предложенная модель была обобщена на трехмерный случай.

Альтернативный способ рассмотрения эволюции ?Г-моды предложил Лестоун [18, 19]. В его работах динамика координаты К описывается уравнением Ланжевена. Такой подход является более последовательным ввиду того, что все коллективные степени свободы ядра описываются единообразно. Однако и модель Лестоуна учитывает только одну коллективную координату формы. В связи с этим представляется актуальным обобщение подхода Лестоуна на случай трех коллективных координат формы.

Отметим, что построение многомерных динамических моделей процесса деления является актуальной задачей в современной ядерной физике. Интерес к таким моделям связан, в первую очередь, с тем, что учет большего числа степеней свободы ядра при его эволюции от основного состояния до поверхности разрыва позволяет описать большую совокупность экспериментальных данных. Однако расчеты в многомерных моделях сопряжены с рядом трудностей, главная из которых — доступные вычислительные мощности. В работе [20] авторами разработана динамическая модель процесса деления, учитывающая пять коллективных координат формы ядра. Кроме традиционных координат удлинения, шейки и массовой асимметрии, в [20] рассмотрены также координаты деформации правого и левого нарождающихся осколков [21]. Стоит заметить, что предложенная в [20] динамическая модель находится только на начальном этапе развития: эволюция всех коллективных координат рассматривается в рамках алгоритма Метрополиса. Кроме того, авторами [20] учтены только коллективные координаты формы, т. е. ориентационная степень свободы ядра не рассматривалась.

Суммируя вышесказанное, можно сформулировать цели настоящей диссертации.

Цели данной диссертационной работы:

• Построить полную четырехмерную ланжевеновскую динамику деления, индуцированного тяжелыми ионами.

• Исследовать применимость ланжевеновской динамики для описания формирования углового распределения осколков деления возбужденных компаунд-ядер.

• Выявить закономерности эволюции ориентационной степени свободы делящегося ядра при его движении от основного состояния до поверхности разрыва.

Научная новизна и значение результатов

1. Впервые проведен расчет угловых распределений осколков и множе-ственностей предразрывных частиц в рамках четырехмерной ланжевеновской динамики деления, индуцированного тяжелыми ионами.

2. Показано, что при включении в трехмерную ланжевеновскую модель ориентационной степени свободы ядра наблюдается существенное уменьшение скорости деления и увеличение среднего времени деления.

3. Указана необходимость распространения четырехмерной динамической модели на более «легкие» компаунд-ядра в районе А ~ 200.

4. Выявлено увеличение скорости деления и уменьшение среднего времени деления с ростом времени корреляции случайной силы.

5. Показано, что марковское приближение является оправданным для такого медленного процесса, как деление, при значениях времени корреляции случайной силы, меньших 0.5 X Ю-21 с, т. е. при температурах выше 2.3 МэВ.

Практическая значимость результатов

Проведенные исследования показали важность учета ориентационной степени свободы ядра при динамическом моделировании процесса деления. Результаты диссертации представляют интерес для научных центров по изучению ядерных реакций: Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (Москва, Россия), Лаборатория ядерных реакций им. Г. Н. Флёрова Объединенного института ядерных исследований (Дубна, Россия), ГНЦ Физико-энергетический институт им. А. И. Лейпунского (Обнинск, Россия), УРАН Петербургский институт ядерной физики им. Б. П. Константинова (Гатчина, Россия), Gesellschaft fuer Schwerionenforschung (Darmstadt, Germany), Grand Accélérateur Nationl d'Ions Lourds (Caen, France), Université Bordeaux I, (Gradignan, France), Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (Rome, Italy) и др.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка литературы.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Предложена и разработана динамическая модель для расчета угловых распределений осколков в реакциях слияния-деления. Динамическая эволюция К-моды, определяющая угловое распределение осколков, описывалась уравнением Ланжевена в режиме сверхзатухания. Эволюция параметров формы делящегося ядра описывалась системой уравнений Ланжевена для коллективных координат, введенных на основе {с, h, а}-параметризации.

2. Разработанная четырехмерная ланжевеновская динамика позволяет рассчитать угловое распределение осколков наряду с характеристиками деления, которые традиционно исследуются в трехмерной модели [34, 89, 90, 145]: массово-энергетическим распределением осколков, средней множественностью предразрывных частиц в корреляции с массой и энергией осколков [34, 90], скоростью и средним временем деления [118, 144].

3. Испарение частиц учитывалось на протяжении всего процесса деления. При этом учитывалась зависимость ширин испарения от координаты К. Таким образом, в работе впервые в полном объеме реализована многомерная ланжевеновская динамика для углового распределения.

4. Предложенная модель достаточно точно описывает угловые распределения осколков пяти исследованных компаунд-систем в широком интервале энергий налетающего иона. В частности, рассчитанные значения анизотропии близки к экспериментальным данным, и отклонения не превышают 30%.

5. Рассмотрение динамически рассчитанных распределений Р{К) по проекции полного момента на ось симметрии показало, что процесс деления таких «тяжелых» систем, как 248С£ и 254Рт, является достаточно медленным, а средние времена деления достаточно большими, чтобы .КГ-мода успевала релаксировать к статистически равновесному распределению для разрывных конфигураций. Этот вывод тем более справедлив для более «легкого» компаунд-ядра 224ТЪ.

6. Результаты расчетов, проведенных в четырехмерной динамической модели показали, что при переходе от трехмерной, использованной в [118], к четырехмерной модели с учетом К-моды наблюдается существенное уменьшение скорости деления и, соответственно, увеличение среднего времени деления.

7. Проведенные расчеты указывают на необходимость распространения модели на более «легкие» компаунд-ядра в районе А ~ 200.

8. Расчеты, проведенные с учетом эффектов немарковости в уравнениях Ланжевена, выявили увеличение скорости деления и уменьшение среднего времени деления с ростом времени корреляции случайной силы.

9. Результаты расчетов свидетельствуют о том, что марковское приближение является оправданным для такого медленного процесса, как деление, при значениях времени корреляции случайной силы, меньших 0.5 х Ю-21 с, т.е. при температурах выше 2.3 МэВ.

10. Разработанный ранее комплекс программ для динамического моделирования процесса деления с использованием трех коллективных координат модифицирован для учета эволюции .К'-моды.

11. Для анализа роли эффектов немарковости был модифицирован созданный ранее комплекс программ для динамического моделирования процесса деления с использованием одной коллективной координаты.

В заключение выражаю глубокую признательность своему научному руководителю, Геннадию Дмитриевичу Адееву, за неоценимую помощь, ценные советы и всестороннюю поддержку на всех этапах выполнения работы.

Особо благодарю своих соавторов Ю. А. Анищенко и П. Н. Надточего за плодотворную совместную работу.

Выражаю искреннюю благодарность организационному комитету конференции ЕХОМ-2009, Лаборатории ядерных реакций имени Г. Н. Флёрова ОИЯИ, и, в особенности, профессору Ю. Э. Пепионжкевичу за финансовую поддержку моего участия в конференции. Благодарен ректорату Омского Государственного Университета имени Ф. М. Достоевского за финансовую помощь и поддержку исследований в рамках гранта «Молодых ученых ОмГУ».

Благодарен А. Я. Русанову, А. В. Карпову, Д. О. Еременко и Е. Г. Рябову за внимание к работе и ценные обсуждения.

Выражаю благодарность всем сотрудникам кафедры экспериментальной физики и радиофизики физического факультета ОмГУ за поддержку и внимание к работе.

Сердечно благодарен своим родителям, Ирине Владимировне и Евгению Трдатовичу, за внимательное отношение к работе, поддержку и понимание. Трудно выразить словами, как много это для меня значит.

Заключение

1. Bohr N., Wheeler J. A. The mechanism of nuclear fission // Phys. Rev. 1939. Vol. 56. Pp. 426-450.

2. Kramers H. A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions // Physica. 1940. Vol. 7. Pp. 284-304.

3. Strutinsky V. M. The fission width of excited nuclei // Phys. Lett. B. 1973. Vol. 47. Pp. 121-123.

4. Струтинский В. M. Ширина деления нагретых ядер // ЯФ. 1974. Т. 19. С. 259-262.

5. Vandenbosch R., Huizenga J. R. Nuclear Fission. New York, Academic Press, 1973. 424 p.

6. Bond P. D. Reexamination of fission fragment angular distributions and the fission process: Formalism // Phys. Rev. C. 1985. Vol. 32. Pp. 471-482.

7. Bond P. D. Reexamination of fission fragment angular distributions and the fission process: Analysis of data // Phys. Rev. C. 1985. Vol. 32. Pp. 483-487.

8. Rossner H. H., Huizenga J. R., Schroder W. U. Statistical scission model of fission-fragment angular distributions // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 53. Pp. 38-41.

9. Rossner H., Huizenga J. R., Schroder W. U. Fission fragment angular distributions // Phys. Rev. C. 1986. Vol. 33. Pp. 560-575.

10. John В., Kataria S. K. Statistical prescission point model of fission fragment angular distributions // Phys. Rev. C. 1998. Vol. 57. Pp. 1337-1348.

11. Freifelder R., Prakash M., Alexander J. M. Interplay between theory and experiment for fission-fragment angular distributions from nuclei near the limits of stability // Phys. Rep. 1986. Vol. 133. Pp. 315-335.

12. Eremenko D. 0., Drozdov V. A., Eslamizadex M. H. et al. Stochastic model of tilting mode in nuclear fission // Phys. At. Nucl. 2006. Vol. 69. Pp. 1423-1427.

13. Drozdov V. A., Eremenko D. O., Fotina О. V. et al. Stochastic Model of the Tilting Mode in Nuclear Fission // Tours symposium on nuclear physics V, Tours 2003. Vol. 704. Tours, France: AIP Conf. Proc., 2004. Pp. 130-138.

14. Karpov A. V., Hiryanov R. M., Sagdeev A. V., Adeev G. D. Dynamical treatment of fission fragment angular distribution //J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 2007. Vol. 34. Pp. 255-269.

15. Хирьянов P. M., Карпов А. В., Адеев Г. Д. Стохастическая модель формирования угловых распределений осколков деления возбужденных компаунд-ядер // ЯФ. 2008. Т. 71. С. 1389-1400.

16. Lestone J. P. Calculating fission rates at high spin: Incorporation of rotational degrees of freedom in thermodynamically fluctuating axially symmetric systems // Phys. Rev. C. 1999. Vol. 59. Pp. 1540-1544.

17. Lestone J. P., McCalla S. G. Statistical model of heavy-ion fusion-fission reactions // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 79. P. 044611.

18. Randrup J., Möller P. Brownian shape motion on five-dimensional potential-energy surfaces: Nuclear fission-fragment mass distributions // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 106. P. 132503.

19. Möller P., Sierk A. J., Ichikawa T. et al. Heavy-element fission barriers // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 79. P. 064304.

20. Abe Y., Grégoire C., Delagrange H. Langevin approach to nuclear dissipative dynamics // J. Phys. Colloques. 1986. Vol. 47. Pp. C4-329-C4-338.

21. Abe Y., Ayik S., Reinhard P.-G., Suraud E. On stochastic approaches of nuclear dynamics // Phys. Rep. 1996. Vol. 275. Pp. 49-196.

22. Jing-Shang Z., Weidenmüller H. A. Generalization of Kramers's formula: Fission over a multidimensional potential barrier // Phys. Rev. C. 1983. Vol. 28. Pp. 2190-2192.

23. Weidenmüller H. A., Jing-Shang Z. Stationary diffusion over a multidimensional potential barrier: A generalization of Kramers' formula //J. Stat. Phys. 1984. Vol. 34. Pp. 191-201.

24. Boilley D., Abe Y., Ayik S., Suraud E. A Bohr-Mottelson model of nuclei at finite temperature // Z. Phys. A. 1994. Vol. 349. Pp. 119-127.

25. Kolomietz V. M., Radionov S. V., Shlomo S. Memory effects on descent from nuclear fission barrier // Phys. Rev. C. 2001. Vol. 64. P. 054302.

26. Kolomietz V. M., Radionov S. V., Shlomo S. The influence of memory effets on dispersions of kinetic energy at nuclear fission // Phys. Scr. 2006. Vol. 73. Pp. 458-465.

27. Kolomietz V. M., Radionov S. V. Nuclear fission dynamics within a generalized Langevin approach // Phys. Rev. C. 2009. Vol. 80. P. 024308.

28. Mori H. A continued-fraction representation of the time-correlation functions // Prog. Theor. Phys. 1965. Vol. 34. Pp. 399-416.

29. Lee M. H. Solutions of the generalized Langevin equation by a method of recurrence relations // Phys. Rev. B. 1982. Vol. 26. Pp. 2547-2551.

30. Grote R. F., Hynes J. T. The stable states picture of chemical reactions. II. Rate constants for condensed and gas phase reaction models // J. Chem. Phys. 1980. Vol. 73. Pp. 2715-2732.

31. Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. 538 с.

32. Адеев Г. Д., Карпов А. В., Надточий П. Н., Ванин Д. В. Многомерный стохастический подход к динамике деления возбужденных ядер // ЭЧАЯ. 2005. Т. 36. С. 732-820.

33. Pal S., Chaudhuri G., Sadhukhan J. The role of neck degree of freedom in nuclear fission // Nucl. Phys. A. 2008. Vol. 808. Pp. 1-16.

34. Brack M., Damgaard J., Jensen A. S. et al. Funny hills: The shell-correction approach to nuclear shell effects and its applications to the fission process // Rev. Mod. Phys. 1972. Vol. 44. Pp. 320-405.

35. Hasse R. W., Myers W. D. Geometrical relationships of macroscopic nuclear physics. Springer-Verlag, Heidelberg, 1988. 116 p.

36. Mamdouh A., Pearson J. M., Rayet M., Tondeur F. Large-scale fission-barrier calculations with the ETFSI method // Nucl. Phys. A. 1998. Vol. 644. Pp. 389-414.

37. Nadtochy P. N., Adeev G. D. Dynamical interpretation of average fission-fragment kinetic energy systematics and nuclear scission // Phys. Rev. C. 2005. Vol. 72. P. 054608.

38. Davies К. T. R., Sierk A. J., Nix J. R. Effect of viscosity on the dynamics of fission // Phys. Rev. C. 1976. Vol. 13. Pp. 2385-2403.

39. Kelson I. Dynamic calculations of fission of an axially symmetric liquid drop // Phys. Rev. 1964. Vol. 136. Pp. B1667-B1673.

40. Ставинский В. С., Работнов Н. С., Серегин А. А. Вычисление эффективной массы в геометрической модели симметричного деления // ЯФ. 1969. Т. 9. С. 779-782.

41. Серегин А. А. Расчеты эффективной массы и поля скоростей делящегося ядра в модели жидкой капли // ЯФ. 1992. Т. 55. С. 2639-2646.

42. Ivanyuk F. A., Kolomietz V. М., Magner A. G. Liquid drop surface dynamics for large nuclear deformations // Phys. Rev. C. 1995. Vol. 52. Pp. 678-684.

43. Радионов С. В., Иванюк Ф. Я., Коломиец В. М., Магнер А. Г. Динамика деления возбужденных ядер в рамках модели жидкой капли // ЯФ. 2002. Т. 65. С. 856-863.

44. Lawrence J. N. P. Static fission-barrier calculations of a two-parameter liquid drop // Phys. Rev. 1965. Vol. 139. Pp. B1227-B1231.

45. Jeffreys H., Jeffreys B. S. Methods of mathematical physics. Cambridge University Press, 2001. 718 p.

46. Соболев С. J1. Уравнения математической физики, Под ред. В. С. Рябенького, Ю. А. Горькова. М.: Наука, 1966. 444 с.

47. Blocki J., Boneh Y., Nix J. R. et al. One-body dissipation and the super-viscidity of nuclei // Ann. Phys. (N. Y.). 1978. Vol. 113. Pp. 330-386.

48. Randrup J., Swiatecki W. J. One-body dissipation and nuclear dynamics // Ann. Phys. (N. Y.). 1980. Vol. 125. Pp. 193-226.

49. Sierk A. J., Nix J. R. Fission in a wall-and-window one-body-dissipation model // Phys. Rev. C. 1980. Vol. 21. Pp. 982-987.

50. Randrup J., Swiatecki W. J. Dissipative resistance against changes in the mass asymmetry degree of freedom in nuclear dynamics: The completed wall-and-window formula // Nucl. Phys. A. 1984. Vol. 429. Pp. 105-115.

51. Griffin J. J., Dworzecka M. Classical wall formula and quantal one-body dissipation // Nucl. Phys. A. 1986. Vol. 455. Pp. 61-99.

52. Blocki J., Planeta R., Brzychczyk J., Grotowski K. Fusion-fission dynamics // Z. Phys. A. 1992. Vol. 341. Pp. 307-313.

53. Krappe H. J., Nix J. R., Sierk A. J. Unified nuclear potential for heavy-ion elastic scattering, fusion, fission, and ground-state masses and deformations // Phys. Rev. C. 1979. Vol. 20. Pp. 992-1013.

54. Myers W. D., Swiatecki W. J. Anomalies in nuclear masses // Ark. Phys. 1967. Vol. 36. Pp. 343-352.

55. Cohen S., Plasil F., Swiatecki W. J. Equilibrium configurations of rotating charged or gravitating liquid masses with surface tension // Ann. Phys. (N. Y.). 1974. Vol. 82. Pp. 557-576.

56. Sierk A. J. Macroscopic model of rotating nuclei // Phys. Rev. C. 1986. Vol. 33. Pp. 2039-2053.

57. Davies K. T. R., Nix J. R. Calculation of moments, potentials, and energies for an arbitrarily shaped diffuse-surface nuclear density distribution // Phys. Rev. C. 1976. Vol. 14. Pp. 1977-1994.

58. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. M. Статистическая физика // Теоретическая физика / Под ред. Л. П. Питаевского. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Т. 5. 616 с.

59. Bohr A., Mottelson В. R. Nuclear structure. World Scientific., Singapore, 1998. Vol. 2. 748 p.

60. Frobrich P., Gontchar I. I. Langevin description of fusion, deep-inelastic collisions and heavy-ion induced fission // Phys. Rep. 1998. Vol. 292. Pp. 131-237.

61. Marten J., Frobrich P. Langevin description of heavy-ion collisions within the surface friction model // Nucl. Phys. A. 1992. Vol. 545. Pp. 854-870.

62. Frobrich P. Fusion and capture of heavy ions above the barrier: Analysis of experimental data with the surface friction model // Phys. Rep. 1984. Vol. 116. Pp. 337-400.

63. Strutinsky V. M., Lyashchenko N. Y., Popov N. A. Symmetrical shapes of equilibrium for a liquid drop model // Nucl. Phys. 1963. Vol. 46. Pp. 639-659.

64. Brosa U., Grossmann S., Miiller A. Nuclear scission // Phys. Rep. 1990. Vol. 197. Pp. 167-262.

65. Адеев Г. Д., Гончар И. И., Пашкевич В. В. и др. Диффузионная модель формирования распределений осколков деления // ЭЧАЯ. 1988. Т. 19. С. 1229-1298.

66. Adeev G., Pashkevich V. Theory of macroscopic fission dynamics // Nucl. Phys. A. 1989. Vol. 502. Pp. 405-422.

67. Bao J., Zhuo Y., Wu X. Systematic studies of fission fragment kinetic energy distributions by Langevin simulations // Z. Phys. A. 1995. Vol. 352. Pp. 321-325.

68. Davies К. T. R., Managan R. A., Nix J. R., Sierk A. J. Rupture of the neck in nuclear fission // Phys. Rev. C. 1977. Vol. 16. Pp. 1890-1901.

69. Адеев Г. Д., Надточий П. Н. Вероятностный разрыв делящегося ядра на осколки // ЯФ. 2003. Т. 66. С. 647-661.

70. Junghans A. R., de Jong M., Clerc H.-G. et al. Projectile-fragment yields as a probe for the collective enhancement in the nuclear level density // Nucl. Phys. A. 1998. Vol. 629. Pp. 635-655.

71. Hansen G., Jensen A. S. Energy dependence of the rotational enhancement factor in the level density // Nucl. Phys. A. 1983. Vol. 406. Pp. 236-256.

72. Karpov A. V., Nadtochy P. N., Ryabov E. G., Adeev G. D. Consistent application of the finite-range liquid-drop model to Langevin fission dynamics of hot rotating nuclei //J. Phys. G: Nucl. Phys. 2003. Vol. 29. Pp. 2365-2380.

73. Игнатюк А. В., Иткис M. Г., Околович В. Н. и др. Деление доактинид-ных ядер. Функции возбуждения реакции (а:,/) // ЯФ. 1975. Т. 21. С. 1185-1205.

74. Влатт Дж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. Москва. Иностранная литература, 1954. 660 с.

75. Iljinov A., S., Mebel M. V., Bianchi N. et al. Phenomenological statistical analysis of level densities, decay widths and lifetimes of excited nuclei // Nucl. Phys. A. 1992. Vol. 543. Pp. 517-557.

76. Mavlitov N. D., Frôbrich P., Gontchar I. I. Combining a Langevin description of heavy-ion induced fission including neutron evaporation with the statistical model // Z. Phys. A. 1992. Vol. 342. Pp. 195-198.

77. Tillack G.-R. Two-dimensional Langevin approach to nuclear fission dynamics // Phys. Lett. B. 1992. Vol. 278. Pp. 403-406.

78. Tillack G.-R., Reif R., Schiilke A. et al. Light particle emission in the Langevin dynamics of heavy-ion induced fission // Phys. Lett. B. 1992. Vol. 296. Pp. 296-301.

79. Wada Т., Carjan N., Abe Y. Multi-dimensional Langevin approach to fission dynamics // Nucl. Phys. A. 1992. Vol. 538. Pp. 283c-289c.

80. Гончар И. И. Ланжевеновская флуктуационно-диссипативная динамика деления возбужденных атомных ядер // ЭЧАЯ. 1995. Т. 26. С. 932-1000.

81. Vaz L. С., Alexander J. М. Reassessment of fission fragment angular distributions from continuum states in the context of transition-state theory // Phys. Rep. 1983. Vol. 97. Pp. 1-30.

82. Jia Y., Bao J.-D. Calculations of the anisotropy of the fission fragment angular distribution and neutron emission multiplicities prescission from Langevin dynamics // Phys. Rev. C. 2007. Vol. 75. P. 034601.

83. Back В. В., Betts R. R., Gindler J. Б. et al. Angular distributions in heavy-ion-induced fission // Phys. Rev. C. 1985. Vol. 32. Pp. 195-213.

84. Karpov A. V., Nadtochy P. N., Vanin D. V., Adeev G. D. Three-dimensional Langevin calculations of fission fragment mass-energy distribution from excited compound nuclei // Phys. Rev. C. 2001. Vol. 63. P. 054610.

85. Nadtochy P. N., Adeev G. D., Karpov A. V. More detailed study of fission dynamics in fusion-fission reactions within a stochastic approach // Phys. Rev. C. 2002. Vol. 65. P. 064615.

86. Надточий П. H., Карпов А. В., Ванин Д. В., Адеев Г. Д. Reduction coefficient in surface-plus-window dissipation: Analysis of experimental data from fusion-fission reactions within a stochastic approach // ЯФ. 2003. T. 66. C. 1240-1248.

87. Metropolis N., Rosenbluth A. W., Rosenbluth M. N. et al. Equation of State

88. Calculations by Fast Computing Machines //J. Chem. Phys. 1953. Vol. 21. Pp. 1087-1092.

89. Binder K., Heermann D. W. Monte Carlo Simulation in Statistical Physics: An Introduction. Springer-Verlag, Heidelberg, 2010. 200 p.

90. Хеерман Д. В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике. М: Наука, 1990. 176 с.

91. Binder К. Applications of Monte Carlo methods to statistical physics // Rep. Prog. Phys. 1997. Vol. 60. Pp. 487-559.

92. D0ssing Т., Randrup J. Dynamical evolution of angular momentum in damped nuclear reactions: (I). Accumulation of angular momentum by nucleon transfer // Nucl. Phys. A. 1985. Vol. 433. Pp. 215-279.

93. Randrup J. Theory of transfer-induced transport in nuclear collisions // Nucl. Phys. A. 1979. Vol. 327. Pp. 490-516.

94. Randrup J. Transport of angular momentum in damped nuclear reactions // Nucl. Phys. A. 1982. Vol. 383. Pp. 468-508.

95. Lestone J. P., Sonzogni A. A., Kelly M. P., Vandenbosch R. Near- and sub-barrier fission fragment anisotropies and the failure of the statistical theory of fission decay rates //J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1997. Vol. 23. Pp. 1349-1357.

96. Gavron A., Eskola P., Sierk A. J. et al. New Evaluation of Fission-Fragment Angular Distributions in Heavy-Ion Reactions // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 52. Pp. 589-592.

97. Карамян С. А., Кузнецов И. В., Музычка Ю. А. и др. Эффективныемоменты инерции тяжелых ядер в седловой точке // ЯФ. 1967. Т. 6. С. 494-504.

98. Vaz L. С., Logan D., Duek Е. et al. Fission and emission of H and He in the reactions of 215 MeV 160 with 181Ta, 208Pb and 238U // Z. Phys. A. 1984. Vol. 315. Pp. 169-182.

99. Toke J., Bock R., Dai G.-x. et al. Compound nucleus fission and quasi-fission in reactions of 238U with 160 and 27Al // Phys. Lett. B. 1984. Vol. 142. Pp. 258-262.

100. Rossner H., Hilscher D., Holub E. et al. Angular distributions of fragments from fission induced by 220-MeV 20Ne on targets of 165Ho,197Au, and 209Bi // Phys. Rev. C. 1983. Vol. 27. Pp. 2666-2678.

101. Гегечкори A. E., Адеев Г. Д. Угловое распределение осколков деления возбужденных компаунд-ядер в ланжевеновской динамике // Изв. вузов. Физика. 2009. Т. 52, № 11/2. С. 63-68.

102. Гегечкори А. Е., Адеев Г. Д. Угловое распределение осколков деления возбужденных компаунд-ядер в многомерной ланжевеновской динамике // ЯФ. 2011. Т. 74. С. 3-12.

103. Иткис М. Г., Музычка Ю. А., Оганесян Ю. Ц. и др. Деление возбужденных ядер с Z2¡А = 20 — 33: массово-энергетические распределения осколков, угловой момент и капельная модель // ЯФ. 1995. Т. 58. С. 2140-2165.

104. Itkis М. G., Oganessian Y. Т., Chubarian G. G. et al. Study of fission modes in the neutron-deficient nuclides of Th and Ac // Proceedings of the EPS XV Nuclear Physics Divisional Conference on Low Energy Nuclear Dynamics

105. ND-95), St Petersburg, Russia, April, 1995 / Ed. by Y. T. Oganessian, R. Kalpakchieva, W. von Oertzen. World Scientific, 1995. Pp. 177-180.

106. Hilscher D., Rossner H. Dynamics of nuclear fission // Ann. Phys. (Prance). 1992. Vol. 17. Pp. 471-552.

107. Hilscher D., Gontchar I., Rossner H. Fission dynamics of hot nuclei and nuclear dissipation // Phys. At. Nucl. 1994. Vol. 57. Pp. 1187-1199.

108. Brinkmann H. C. Brownian motion in a field of force and the diffusion theory of chemical reactions. II // Physica. 1956. Vol. 22. Pp. 149-155.

109. Landauer R., Swanson J. A. Frequency factors in the thermally activated process // Phys. Rev. 1961. Vol. 121. Pp. 1668-1674.

110. Langer J. S. Theory of nucleation rates // Phys. Rev. Lett. 1968. Vol. 21. Pp. 973-976.

111. Langer J. S. Statistical theory of the decay of metastable states // Ann. Phys. (N.Y.). 1969. Vol. 54. Pp. 258-275.

112. Brink D. M., Canto L. F. The decay rate in a multi-dimensional fission problem // J. Phys. G: Nucl. Phys. 1986. Vol. 12. Pp. L147-L150.

113. Frobrich P., Tillack G. R. Path-integral derivation for the rate of stationary diffusion over a multidimensional barrier // Nucl. Phys. A. 1992. Vol. 540. Pp. 353-364.

114. Nadtochy P. N., Kelic A., Schmidt K.-H. Fission rate in multi-dimensional Langevin calculations // Phys. Rev. C. 2007. Vol. 75. P. 064614.

115. Анищенко Ю. А., Гегечкори A. E., Надточий П. H., Адеев Г. Д. Скорость деления возбужденных ядер в многомерном стохастическом подходе // ЯФ. 2009. Т. 72. С. 2056-2068.

116. Bhatt К. H., Grange P., Hiller В. Nuclear friction and lifetime of induced fission // Phys. Rev. C. 1986. Vol. 33. Pp. 954-968.

117. Понтрягин JI. С., Андронов А. А., Витт А. А. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ. 1933. Т. 3. С. 165-180.

118. Boilley D., Marchix A., Jurado В., Schmidt К.-Н. A new formula for the saddle-to-scission time // Eur. Phys. J. A. 2007. Vol. 33. Pp. 47-52.

119. Bao J.-D., Jia Y. Determination of fission rate by mean last passage time // Phys. Rev. C. 2004. Vol. 69. P. 027602.

120. Boilley D., Jurado В., Schmitt C. Simple relations between mean passage times and Kramers' stationary rate // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 056129.

121. Hofmann H., Nix J. R. Fission dynamics simplified // Phys. Lett. B. 1983. Vol. 122. Pp. 117-120.

122. Анищенко Ю. А., Гегечкори A. E., Адеев Г. Д. Временные характеристики процесса деления возбужденных ядер в многомерной ланжевеновской динамике // Изв. вузов. Физика. 2009. Т. 52. С. 57-62.

123. Анищенко Ю. А., Гегечкори A. E., Адеев Г. Д. Влияние ориентацион-ной степени свободы на скорость и время деления сильновозбужденных ядер // ЯФ. 2011. Т. 74. С. 361-371.

124. Anischenko Y. A., Gegechkori А. Е., Adeev G. D. Fission rate and timeof highly excited nuclei in multi-dimensional stochastic calculations // Act. Phys. Pol. B. 2011. Vol. 43. Pp. 493-496.

125. Boilley D., Suraud E., Abe Y., Ayik S. Nuclear fission with a Langevin equation // Nucl. Phys. A. 1993. Vol. 556. Pp. 67-87.

126. Boilley D., Lallouet Y. Non-Markovian diffusion over a saddle with a generalized Langevin equation // J. Stat. Phys. 2006. Vol. 125. Pp. 473-489.

127. Shlomo S., Kolomietz V. M. Hot nuclei // Rep. Prog. Phys. 2005. Vol. 68. Pp. 1-76.

128. Kubo R. The fluctuation-dissipation theorem // Rep. Prog. Phys. 1966. Vol. 29. Pp. 255-284.

129. Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем. М.: МГУ, 1987. 448 с.

130. Morgado R., Oliveira F. A., Batrouni G. G., Hansen A. Relation between Anomalous and Normal Diffusion in Systems with Memory // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 89. P. 100601.

131. Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Rep. 2000. Vol. 339. Pp. 1-77.

132. Metzler R., Klafter J. The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics //J. Phys. A. 2004. Vol. 37. Pp. R161-R208.

133. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т. 2. 738 с.

134. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. M.-JL: ГИТТЛ, 1949. 264 с.

135. Marchesoni F., Grigolini P. On the extension of the Kramers theory of chemical relaxation to the case of nonwhite noise //J. Chem. Phys. 1983. Vol. 78. Pp. 6287-6298.

136. Гончар И. И., Пономаренко Н. А. Влияние нуклонного состава на длительность процесса деления возбужденных ядер // ЯФ. 2007. Т. 70. С. 2051-2067.

137. Karpov А. V., Adeev G. D. Langevin description of charge fluctuations in fission of highly excited nuclei // Eur. Phys. J. A. 2002. Vol. 14. Pp. 169-178.

138. Гегечкори A. E. Влияние эффектов немарковости на характеристики вынужденного ядерного деления // Омский научный вестник. 2007. Т. 56, № 2. С. 15-18.

139. Гегечкори А. Е., Адеев Г. Д. Описание вынужденного ядерного деления с помощью обобщенного уравнения Ланжевена // Вестник омского университета. 2007. Т. 44, № 2. С. 31-34.

140. Гегечкори А. Е., Анищенко Ю. А., Надточий П. Н., Адеев Г. Д. Влияние эффектов немарковости на скорость и времена деления // ЯФ. 2008. Т. 71. С. 2041-2051.

141. Ryabov Е. G., Karpov А. V., Nadtochy P. N., Adeev G. D. Application of a temperature-dependent liquid-drop model to dynamical Langevin calculations of fission-fragment distributions of excited nuclei // Phys. Rev. C. 2008. Vol. 78. P. 044614.

142. Korn G. A., Korn Т. M. Mathematical handbook for scientists and engineers. Dover Publications, 2000. 832 p.

143. Higham D.J. An algorithmic introduction to numerical simulation of stochastic differential equations // SIAM Rev. 2001. Vol. 43. Pp. 525-546.

144. Wilkie J. Variational principle for stochastic wave and density equations // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67. P. 017102.

145. Wilkie J. Numerical methods for stochastic differential equations // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 017701.

146. Burrage K., Burrage P., Higham D. J. et al. Comment on "Numerical methods for stochastic differential equations" // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 74. P. 068701.

147. Ван Кампен H. Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высш. шк., 1990. 376 с.