Температурно-зависимая модель жидкой капли и ее применение в теории деления ядра тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

На правах рукописи

РЯБОВ Евгений Геннадьевич

ТЕМПЕРАТУРНО-ЗАВИСИМАЯ МОДЕЛЬ ЖИДКОЙ КАПЛИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ ДЕЛЕНИЯ ЯДРА

01.04.16 — физика атомного ядра и элементарных частиц

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск — 2006

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Омского государственного университета имени Ф.М. Достоевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации Г. Д. Адеев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Трясучее Владимир Андреевич; кандидат физико-математических наук, доцент Литневский Леонид Аркадьевич

Ведущая организация: Научно—исследовательский инстинут

ядерной физики им. Д. В. Скобельцына Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Защита состоится 26 июня 2006 года в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д212.269.05 при Томском политехническом университете (634050, г. Томск, проспект Ленина, 2а).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского политехнического университета.

Автореферат разослан _2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук _ Кононов В. К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Модель жидкой капли за прошедшие десятилетия подверглась ряду модификаций и. улучшений: был учтен короткодействующий характер ядерных сил и диффузно-сть распределения ядерной материи, вращение ядра, но существенным недостатком модели жидкой капли на протяжении многих лет было отсутствие учета температуры ядерной системы. Оправданием такой ситуации может служить отсутствие обширных экспериментальных данных для нагретых ядер, привлекаемых обычно для определения параметров жидкокапельной модели. Например такие как энергии связи ядер в основном состоянии и барьеры деления, некоторые барьеры слияния, эквивалентный радиус ядра и диффузность зарядового распределения. В этом случае для определения коэффициентов модели надо полагаться на результаты микроскопических расчетов, выполненных, например, в рамках расширенного температурно-зависимого метода Томаса-Ферми. Обобщение модели вращающейся жидкой капли, учитывающей диффузность ядерной плотности (Krappe et.al., 1979; Sierk, 1986), на случай нагретых ядер было проведено Краппе (Krappe, 1999). Параметры этой модели были определены Краппе на основе расчетов, выполненных в рамках микроскопического метода Томаса-Ферми. Таким образом, обобщенная модель позволяет адекватно и согласованно учесть в макроскопическом подходе, сама применимость которого определяется возбуждением и вращением ядра, влияние и углового момента, и температуры ядра на различпые характеристики ядер и на динамику деления ядра.

Деление ядра -— это особый процесс, в котором происходят крупномасштабные изменения в структуре ядра. Модель жидкой капли, используя аналогию с разделением обычной капли жидкости, позволяет описать большие деформации ядра, характерные для процесса деления. Простота и наглядность такого подхода, вероятно, одна из причин, по которой МЖК так широко используется и в наши дни, а сама модель до сих пор остается объектом исследования.

В последние два десятилетия при изучении проблем ядерной динамики и, в частности, деления высоковозбужденных составных ядер, предпочтение отдается стохастическому подходу, основанному на системе многомерных уравнений Ланжевена. Они могут быть решены на основе численных методов без привлечения дополнительных аппроксимаций и приближений. Стохастический подход, основанный на системе трехмерных уравнений Ланжевена, дает возможность одновременно изучать множественность предразрывных легких частиц (нейтронов, протонов, а-частиц) и . двумерное массово-энергетическое распределение осколков деления, несущее наиболее полную информацию о распределении осколков по кинетическим энергиям и массам.

Появившаяся в последние десятилетия возможность экспериментального изучения процесса деления атомных ядер, образующихся в реакциях с тяжелыми ионами, стимулировала теоретические исследования процессов формирования и распада ядер с большими угловыми моментами и относительно большой энергией возбуждения. В большинстве теоретических работ при определении различных характеристик ядер не были одновременно учтены и температурные эффекты, и вращение ядра. Важность такого учета нельзя переоценить, особенно в случае реакций с тяжелыми ионами, но это, тем не менее, не уменьшает ценности ранее проведенных исследований. Обобщение модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил на случай ненулевой температуры ядра, осуществленное Краппе, позволяет в рамках единого подхода учесть влияние обоих факторов возбуждения ядра (тепловое и вращательное возбуждения). В частности, эта новая модель позволяет определить как свободную энергию ядра, так и параметр плотности уровней для деформаций, реализующихся в процессе деления, — два важнейших параметра при ланжевеновском моделировании динамики деления ядра. Таким образом, появляется возможность в рамках одного подхода согласованно учесть влияние как температуры ядра, так и его вращения на массовое и энергетическое распределения осколков деления.

Цель работы:

1. Согласованный расчет термодинамических и статистических характеристик делящихся ядер: плотности уровней, потенциальной энергии деформации, свободной энергии, энтропии. Определение статических характеристик делящихся ядер, таких как барьеры деления, конфигурации седловых точек, точек характерных неу-стойчивостей (точки Бусинаро-Галлоне, 2"1 ¡АС1\{), эффективных моментов инерции и критических угловых моментов, а также изучение влияния температуры и вращ-атения ядра на эти характеристики.

2. Исследование согласованного применения температурно-зависимой макроскопической модели, учитывающей конечность ядерных сил, в теории деления атомного ядра. Использование изучаемой модели в рамках флуктуационно-диссипативной динамики для расчета характеристик двумерного массово-энергетического распределения осколков деления высоковозбужденных ядер.

3. Исследование влияния углового момента и температуры ядра на характеристики массового и энергетического распределений осколков деления в широком диапазоне параметра делимости. Изучение эффекта "памяти" ядра о спуске с барьера к разрыву и влияния данного эффекта на массовое распределение осколков деления.

Научная новизна результатов

1. Впервые проведено подробное изучение и апробация температурно-зависимой модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил. Изучены статические и статистические свойства ядер в рамках изучаемой модели- Рассмотрена зависимость этих свойств как от углового момента, так и от температуры составного ядра для ядер в широком интервале параметра делимости.

2. Впервые исследовано применение температурно-зависимой МЖК в теории деления атомных ядер: модель была использована для расчета консервативной движущей силы в уравнениях Ланжевена и параметра плотности уровней. В рамках исследования были изучены двумерные массово-энергетические распределения осколков деления совместно с множественностями предразрывных нейтронов и вероятностями деления.

3. В рамках трехмерных динамических ланжевеновских расчетов была впервые изучена зависимость параметров массового и энергетического распределений осколков деления от углового момента и температуры составного ядра в широком диапазоне параметра делимости.

4. В рамках ланжевеновской динамики впервые исследовано влияние эффекта "памяти" составной ядерной системы о предыстории своего динамического спуска с барьера к разрыву на массовое распределение осколков деления.

Практическое значение результатов

Апробированная и изученная в диссертации температурно-зависимая модель жидкой капли с учетом конечного радиуса действия ядерных сил может применяться в дальнейшем для предсказания свойств возбужденных атомных ядер. Использоваться как при статистическом, так и при динамическом моделировании распада возбужденных атомных ядер. Результаты исследований представляют интерес для научных центров по изучению ядерных реакций (Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В. Скобельцына Московского государственного университета, г. Москва; Лаборатория ядерных реакций Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна; Физико-энергетический институт имени Лейпунского, г. Обнинск; Институт ядерных исследований РАН, г. Москва; Радиевый институт им. В.Г. Хлопина, Санкт-Петербург; институт ядерной физики Национального ядерного центра республики Казахстан, г. Алматы а также других ядерных центров стран СНГ и дальнего зарубежья).

Основные положения, выносимые на защиту

1. Адекватность описания статических и статистических свойств нагретых вращающихся ядер в рамках температурно-зависимой модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил экспериментальным данным и результатам феноменологических подходов. Применимость модели в трехмерных динамических ланжевеновских расчетах для изучения различных характерисик деления: массово-энергетического распределения осколков деления и средней множественности предразрывных частиц.

2. Определяемый в рамках модели параметр плотности уровней ядра слабо зависит от температуры ядра. Коэффициенты аппроксимации параметра плотности уровней в рамках температурно-зависимой МЖК выражением диффузного типа av — 0,0598 МэВ-1 и as = 0,1218 МэВ~1 находятся в хорошем согласии с коэффициентами, определенными ранее Игнатюком с сотрудниками, и заметно отличаются от часто применяемых параметров Теке-Святецки.

3. В рамках рассмотренной модели в большинстве случаев влияние углового момента на статические характеристики делящихся ядер оказывается более заметным, чем температурное, а с ростом энергии возбуждения влияние углового момента ослабевает.

4. Применение в рамках трехмерной ланжевеповской динамики выражения диффузного типа для параметра плотности уровней с широко используемыми коэффициентами Игнатюка и согласованные динамические расчеты в рамках температурно-зависимой модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил и приводят к одинаковым значениям наблюдаемых величин. Показано, что полученные ранее результаты, где для расчета потенциальной энергии использовалась МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил, а параметр плотности уровней вычислялся с коэффициентами Игнатюка, не вызывают сомнений с точки зрения надежности.

5. Для легких и промежуточных делящихся ядер дисперсии массового и энергетического распределений осколков деления являются нелинейными функциями углового момента. Анализ зависимости дисперсий массового и энергетического распределений от углового момента для широко диапазона ядер может быть дан в терминах конкуренции между делительным и нейтронным каналами распада.

6. Эффект "памяти" ядра о больших флуктуациях масс-асиммстричной координаты во время спуска с барьера к разрыву имеет место и наиболее ярко выражен в случае тяжелых делящихся ядер. Однако, данный эффект не оказывает решающего влияния на исследованные зависимости дисперсий массового и энергетического распределений осколков деления от f.

Личный вклад соискателя

Все результаты диссертации, перечисленные в заключении, получены лично автором. Во всех этапах работы автор принимал активное участие: в решении поставленной задачи, разработке методов и программ для ЭВМ, анализе полученных результатов и подготовке статей. Совместно с Карповым A.B. был модифицирован разработанный ранее комплекс программ для динамического моделирования процесса распада ядра путем деления и эмиссии легких предразрывных частиц с использованием трех коллективных координат. Лично автором были разработаны программы расчета свободной энергии и параметра плотности уровней ядра в рамках температурно-зависимой модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил, расчета статических и статистических свойств ядер в этой модели.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и одного приложения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации — 177 страниц, включая 31 рисунок и 4 таблицы. Список литературы содержит 171 наименование.

Краткое содержание работы

Во введении дан краткий обзор модели жидкой капли и рассмотрены существующие подходы к описанию процесса деления ядра. Сформулированы научная новизна и цель работы.

В первой главе изложены детали температурно-зависимой модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил. В §1.1 обсуждается вопрос описания формы ядра. В качестве параметризации формы ядерной поверхности выбрана хорошо известная {с, Л, а} параметризация. В качестве обобщенных коллективных координат ч, используемых в дальнейшем при динамическом моделировании, мы выбрали (с, /г, а'). Новый параметр массовой асимметрии а' = ос3 был введен с целью сделать более равномерной сетку по координате массовой асимметрии во всем интервале изменений двух других парамтеров с и Л. Свободная энергия ядра как функция массового числа А ~ N + Z, нейтронного избытка приходящегося на один нуклон I = (Ы — Z)/A, температуры и коллективных координат я, описывающих форму ядра, имеет вид

= -ау(1-^/2)А + аз(1-*;5/2)Вп(ч)Лг/:1+соЛ0 +

где а„, и ас — параметры объемной, поверхностной, кулоновской энергии температурно-зависимой МЖК с диффузным краем при нулевой температуре, а ку и ке соответствующие объемный и поверхностный параметры энергии симметрии.

Зависимость от деформации в уравнепие (1) входит через функционалы 2?п(ч), Вс(ч),

иЛч)

л С Г / I- -/I ч / I- «/I

(2)

+QC

П in! - 1 f f (■> lr~r'h exp(-|r-r'|/g)

Cn(4) = 8я2а4ГдЛг/3 J J I2 ~ ""Г") |r — r'|/a drdr '

V v' V v'

Легко видеть, что функционалы (2),(3) — это, фактически, функционалы ядерной и кулоновской энергии в МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил (Sierk, 1986). Последнее слагаемое в формуле (1) представляет собой вращательную энергию с зависящим от деформации твердотельным моментом инерции ядра с учетом диффузности ядерной плотности J(q) (полный аналог вращательной энергии в МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил (Sierk, 1986)). Температурная зависимость семи коэффициентов, входящих в уравнение (1) av, as, kv, ке, го, а, и ad, параметризована в форме :

«¿(Г) = а<(Г = 0)(1-*;Т2), (4)

которая может считаться адекватной для Т < 4 МэВ (Brack, 1985).

Значения четырнадцати параметров, использовавшиеся в настоящей работе, приведены в таблице 1. Прочие параметры формулы (1) считаются температурно-независимыми.

Если рассматривать ядро в рамках модели ферми-газа, то с помощью термодинамических соотношений, зная свободную энергию, можно получить и энтропию, и параметр плотности уровней

в

Таблица 1! Коэффициенты уравнения (1). (В первой строке приведены значения при нулевой температуре, во второй — термические коэффициенты ж,-.)

го а ad Oy hv as k,

о4(0) 1,16 0,68 0,7 16,0 1,911 21,13 2,3

103хь МэВ-* -0,73G -7.37 -7.37 -3,22 5,61 4,81 -14,79

Также в рамках модели ферми-газа справедливо соотношение

£U (Ч, Т) = Е(q, Т) - £(q, Т = 0) = e(q)Т2, (6)

где Ei„t(q,T) и E(q,T) — внутренняя энергия системы и полная энергия возбуждения системы соответственно, a o(q) — параметр плотности уровней. Из формул (5), (6), в частности, следует температурная зависимость свободной энергии

F(q,T) = V(q)-a(q)T2, (7)

где V(q) — потенциальная энергия ядра при температуре Т — 0 (V(q) = F(q,Т — 0)), a(q) — параметр плотности уровней возбужденного ядра. Микроскопические расчеты (Brack, 1985), проведенные в рамках расширенного температурно-зависимого метода Томаса-Ферми, показали, что уравнение (7) для свободной энергии F является достаточно точным приближением для Т < 4 МэВ.

Параметр плотности уровней а -— это одна из важнейших характеристик возбужденного атомного ядра, рассматриваемого в рамках модели ферми-газа. Используя термодинамические соотношения в рамках этой модели (5),(6) и формулу (1), мы можем определить параметр плотности уровней в рамках МЖК, учитывающей конечность ядерных сил и возбуждение ядра. Неявная зависимость а от деформации ядра в этом случае задается зависимостью от коллективных координат свободной энергии F, входящей в уравнения (5),(6). Вместе с тем, зависимость параметра плотности уровней от деформации ядра часто представляется разложением диффузного(лептодермного) типа в виде (Игнатюк и др., 1975; Töke et.al., 1981)

a(q) = avA + asA2'3Bs{ q). (8)

В этом уравнении А :—• массовое число делящегося ядра, безразмерный множитель ßs(q) определяет площадь поверхности деформированного ядра в единицах поверхности равновеликой сферы и является функционалом поверхностной энергии МЖК с резким краем. Среди множества наборов параметров в» и а3 для параметризации зависимости (8) наиболее часто используются два: предложенный Игнатюком с соавторами (qv = 0,073МэВ-1 и а3 = 0,095МэВ-1) и рекомендованный Теке и Святецки (Töke и Swiatecki) (av - 0,0685МэВ-1 и as = 4av).

На Рисунке 1 приведена зависимость от параметра формы ядра с, описывающего деформацию удлинения ядра, параметров плотности уровней, рассчитываемых по формуле (8) с параметрами Игнатюка и параметрами Теке-Святецки, и параметра плотности уровней, рассчитанного в МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил и учетом возбуждения ядра по формулам (1),(5) при двух значениях температуры ядра. Отметим, что рассчитываемый в этом подходе параметр плотности уровней ядра a(q) слабо зависит от температуры. Такой же результат был получен ранее для сферических ядер. Поэтому мы полагаем в дальнейшем параметр плотности уровней в МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил не зависящим от температуры.

Мы аппроксимировали зависимость от деформации параметра плотности уровней в температурно-зависимой МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил часто используемым выражением (8). Чтобы получить свои коэффициенты av и qs аппроксимации мы взяли 70 ядер вдоль линии бета-стабильности с зарядовым числом от Z — 47 до Z = 116. Значение коэффициента o.s определяет зависимость параметра плотности уровней от деформации и поэтому имеет важное значение для статистической

03

т

s

D . 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 С

ГИС. I: Зависимость различных параметров плотности уровней от деформации для ядра Th: МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил и учетом возбуждения ядра, (сплошная кривая — Т ~ 0,001 МэВ, штрихпунктирная — Т = 4 МэВ); коэффициенты Игнатюка — штрих; коэффициенты Теке—Святецки — короткий штрих; ö(q) — А/10 — точечная линия.

и динамической моделей ядерного деления. Полученное нами при аппроксимации значение этого коэффициента (ая = 0,1218 МэВ-1) близко к коэффициенту Игнатюка as = 0,095 МэВ-1 и более чем в 2 раза отличается от значения, полученного Теке и Святецки as = 0,274 МэВ-1. Значение второго коэффициента av приблизительно одинаково во всех рассматриваемых нами аппроксимациях (av = 0,0598 МэВ"*1 в рамках температурно-зависимой МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил, ач — 0,073 МэВ-1 — Игнатюк с сотрудниками, av = 0,0685 МэВ-1 — Теке-Святецки).

На рисунке 2 представлена зависимость параметра плотности уровней, рассчитываемого в разных моделях, от массового числа для основного состояния ядер вдоль линии бета-стабильности. Из рисунка хорошо видно лучшее согласие в величине параметра плотности уровней, рассчитанного с коэффициентами Игнатюка и в температурно зависимой МЖК, со значениями, полученными в микроскопических подходах, чем с набором параметров Теке-Святецки. Кривая параметров плотности уровней, рассчитываемая с коэффициентами Игнатюка, в свою очередь, практически совпадает с линией, полученной в рамках релятивистской теории среднего поля. Так как параметры температурно зависимой МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил были получены на основе аппроксимации результатов, полученных с использованием расширенного метода Томаса-Ферми с эффективным взаимодействием Скирма SkM*, то соответствующие им на графике кривые совпадают.

Как уже было отмечено, параметр плотности уровней вместе с потенциальной энергией позволяет определить свободную энергию ядра (7). Поэтому очевидно, что разные значения параметра плотности уровней (o(q) рассчитанный с параметрами Игнатюка и в МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил), приводят к разным значениям свободной энергии в зависимости от деформации ядра. Отметим, что зависимость свободной энергии от удлинения ядра практически одинакова как в случае согласованных расчетов (МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил), так и для несогласованных расчетов с параметром плотности уровней Игнатюка. Например для ядра 200 РЬ разница в высоте барьеров хотя к увеличивается с ростом температуры, но не превосходит величииы в 15 -4- 20% даже при температуре Т = 4 МэВ. Так как при моделировании реакций слияния-деления высоковозбужденных составных ядер нужно рассчитывать значения коэффициентов уравнения Ланжевена в диапазоне температур Т — 1,5 4- 3,0 МэВ, то разница в высоте барьеров, не должна решительным образом влиять на динамику деления в целом и на наблюдаемые процесса деления.

Вторая глава посвящена изучению статических и статистических свойств нагретых ядер в макроскопической температурно-зависимой модели, учитывающей конечно-

«

л

я

26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6

i—)—i—i—i—i—i—i—i—i—i—т—■—i—■-1—I-1—I—|—.—ч

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 А Рис. 2: Параметр плотности уровней для ряда ядер вдоль линии бета-стабильности в основном состоянии. Сплошная кривая — параметр плотности уровней в МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил, штриховая линия — параметр плотности уровней по уравнению (8) с коэффициентами Игнатюка штрихпунктирная — то же, но с коэффициентами Теке-Святецки. Квадратами показана зависимость параметра плотности уровней от массового числа для бета-стабильных ядер , определенная в рамках расширенного метода Томаса-Ферми с эффективным взаимодействием Скирма SkM*, кругами — согласованные расчеты в рамках релятивистской теории среднего поля (Pomorska ct. al., 2002).

сть радиуса действия ядерных сил. На примере расчета высоты барьеров, определения седловых конфигураций ядер и отношения a.f/an, продемонстрировано, что при теоретическом описании реакций слияния-деления с участием тяжелых ионов (где вал<нейшую роль играют перечисленные выше параметры) необходимо учитывать как влияние температуры, так и вращения формирующейся составной ядерной системы. Причем в большинстве случаев влияние углового момента оказывается более заметным, а с ростом температуры — ослабевает.

Исследуемый в настоящей работе вариант МЖК, пусть и с коэффициентами, определенными на основе микроскопических расчетов, остается по своей сути макроскопическим. Область применимости его, как и любого другого варианта модели жидкой капли, это — достаточно нагретые ядра, для которых одночастичными эффектами спаривания и оболочечными эффектами можно пренебречь. Для сверхтяжелых ядер оболочечные поправки играют существенную роль, поэтому использованная нами МЖК Краппе для этих ядер оказывается неприменимой.

Величины эффективных моментов инерции ядер в седловой точке, рассчитанные и данной работе, хорошо согласуются с экспериментальными оценками лишь для ядер Z2/А > 36. Для ядер с Z2/A ~ 33 — 34 к лучшему согласию приводит МЖК с резким краем. Однако извлекаемый из информации о Jeff параметр (Z2/A)CT\t в рамках МЖК с резким краем оказывается равным (Z2/A)crit ~ 50, что заметно больше экспериментальных оценок 44,3-44,9, которые, в свою очередь, хорошо воспроизводятся температурно-зависимой МЖК с диффузным краем Краппе, использованной нами в настоящей работе.

При расчетах жесткости ядер мы уделили основное внимание оценке температурных эффектов. При увеличении температуры точка Бусинаро—Галоне, где ядро полностью теряет устойчивость к масс-асимметричной деформации в седловой точке (жесткость обращается в нуль), смещается в сторону более легких ядер на оси Z2jA. При увеличении температуры 0 до 2 МэВ положение точки Бусинаро-Галоне на оси делимости х остается неизменным, а дальнейшее увеличение температуры приводит к увеличению xjjp =

' что СБЯЗан0 с более быстрым уменьшением параметра (Z2/A)cr\t с ростом температуры. Этот факт еще раз подтверждает важность согласованного применения ядерных моделей в теоретических расчетах.

В третьей главе рассматривается стохастический подход к динамике деления ядра, основанный на уравнениях Ланжевена. Эволюция коллективных степеней свободы рассматривается в стохастическом подходе как движение броуновской частицы в термостате, образованном одночастичными степенями свободы ядра. Система связанных уравнений Ланжевена в разностной форме имеет вид:

9(п+1) = ?(П) + ^(п) + р(.+1, j г> , (9)

где i,j,k = 1, 2, 3; q — набор коллективных координат; р — сопряженные им импульсы; mij (llMill = llmO'H_1) — тензор инерции; 7у — тензор трения (фрикционный тензор); jK"((q) — консервативная сила, действующая на систему; — случайная сила; —

случайная величина, обладающая следующими статистическими свойствами:

(ein)) = o, (€ГЧ-"2)} = 2Мп,п2. (ю)

Угловые скобки в (10) означают усреднение по статистическому ансамблю, а верхний индекс п в уравнениях (9), (10) означает, что соответствующая величина вычисляется в момент времени t„, а г — шаг интегрирования уравнений Ланжевена по времени. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до 3.

Для нахождения амплитуд случайной силы 0{j, входящих в систему (9), использовалась связь величин бу с диффузионным тензором Dij, а также соотношение Эйнштейна

Dij=eik0kj, Dij = Tjij. (11)

При изучении динамики вынужденного деления мы ограничились случаем высоковозбужденных составных ядер с температурой Т > 1 МэВ. Это позволяет пренебречь оболочечными эффектами и эффектами спаривания нуклонов при определении свободной энергии и транспортных коэффициентов, входящих в систему (9). Поскольку для нагретых систем более естественно использовать в качестве потенциала, определяющего величину консервативной силы, какой-либо термодинамический потенциал вместо потенциальной энергии, например функционал свободной энергии, то консервативная сила определялась как Ki — —{dh'{(\)ldqi)T-

Связь коллективных степеней свободы со внутренними определяется типом и величиной ядерной вязкости. Тензор трения рассчитывался в предположении двухтелыюго и модифицированного одпотельного механизмов ядерной вязкости. При двухтсльном механизме диссипация энергии происходит за счет двухчастичных соударений нуклонов, как и в обычных вязких жидкостях. Сила диссипации определяется коэффициентом двухтельной вязкости uq. Для расчета инерционного и фрикционного тензоров в случае двухтельной вязкости использовался метод Вернера-Уилера безвихревого течения несжимаемой ядерной жидкости.

В ядре, в силу действия принципа Паули, длина свободного пробега нуклонов достигает размеров системы, н диссипации энергии коллективного движения за счет парного соударения нуклонов практически не происходит. Предположение о том, что ядерная вязкость имеет однотельную природу, является физически более обоснованным. Для слабодеформированных форм ядра (до момента образования шейки) процесс диссипации энергии коллективного движения во внутреннюю в случае однотельной вязкости описывался формулой «стены», редуцированной с помощью коэффициента ks. Для форм ядра, имеющих ярко выраженную шейку, использовался модифицированный вариант однотельного механизма диссипации, так называемый «поверхностный с окном* (surface— plus-window dissipation). Расчет тензора трения для сильно деформированных форм ядра

проводился нами по формуле:

где V = — средняя скорость нуклонов внутри ядра, ьр — скорость Ферми,

Да — площадь «окна», т. е. перемычки между двумя будущими осколками, £)2

— положения их центров масс относительно координаты центра масс всей системы, VI —- объем одного из будущих осколков деления. Первое и второе слагаемые в (12) — формула «окна» и дополнительное слагаемое, описывающее диссипацию энергии при относительном изменении массовой асимметрии осколков. Выражение в квадратных скобках — формула «стены» отдельно для каждого из осколков, умноженная на коэффициент редукции кг.

Начальные условия для стохастических уравнений Ланжевена (9) выбирались в основном состоянии составного ядра, распределение по импульсам предполагалось равновесным. Начальные значения импульсов и углового момента разыгрывались по методу Неймана с образующей функцией:

где яо и ро —' координаты и импульсы основного состояпия составного ядра, ^(ч, I)

— свободная энергия ядра, зависящая от углового момента {, /?Соп(ч>р) — \!Ч] (ч)р«р^

— кинетическая энергия коллективного движения ядра. Функция описывает распределение компаунд-ядер но угловым моментам. Часть расчетов, в которых исследовалось влияние углового момента па наблюдаемые делительного процесса, была проведена при фиксированном угловом моменте. Фактически, это соответствует дельта-образному начальному условию ¿(1 — 1о), описывающему распределение формирующихся при слиянии составных ядер по угловым моментам.

Следуя предложению Струтинского, мы предполагали, что разрыв ядра на осколки происходит при равенстве радиуса шейки в форме ядра 0,ЗЯо.

В §3.5 описаны детали объединения статистической и динамической ветвей расчетов. Здесь мы использовали метод, предложенный впервые в работе Мавлитова, Фребриха и Гончара (МауЩоу, а а1., 1992).

Четвертая глава посвящена результатам применения температурно-зависимой модели жидкой капли с учетом конечности радиуса действия ядерных сил для расчета характеристик деления возбужденных вращающихся ядер.

Среди набора различных характеристик ядерных реакций самыми "чувствительными" к параметру плотности уровней являются средняя множественность предразрывных нейтронов (прге) и вероятность деления Р/.

Чтобы оценить влияние выбора параметра плотности уровней на наблюдаемые на эксперименте характеристики ядерных реакций, мы провели одномерные лаижевеновские расчеты в широком диапазоне энергий возбуждения, в которых оценили среднюю множественность предразрывных нейтронов (прге) и вероятность деления Р/ для двух хорошо изученных (теоретически и экспериментально) реакций 19К + 181Та —► 200РЬ и 160 + 208РЬ —> 224ТЬ. Результаты наших расчетов для трех параметров плотности уровней и экспериментальные данпые представлены на Рисунке 3. Как видно из рисунка, значения.(прге) и Р/, рассчитанные согласованно в рамках температурно-зависимой

P(чo,Po,l,t = 0) ~ ехр

■ЕЧчо.О + ДСо11 (до.ро) Т

} 5(4 -40)^1. (13)

Е (МэВ)'" " °° £ (МэВ)"

Рис. 3: Зависимость {пргв) и Р/ от энергии возбуждения составного ядра для реакции:19Р+181 Та ->'21>" РЬ[(а) и (с)] и 1еО +208 РЬ -+224 ТЬ[(Ь) и (<!)]. Экспериментальные значения — открытые символы . Закрашенные символы — результат теоретических расчетов: квадраты - МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил; круги - параметризация Игнатюка; треугольники - параметризация Теке и Святецки. Открытые круги получены без учета коллективных усилений плотности уровней с использованием параметра плотности уровней с коэффициентами Игнатюка.

МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил, практически совпадают с значениями, полученными с коэффициентами Игнатюка, и заметно отличаются от значений, полученных с коэффициентами Теке и Святецки. Экспериментальные данные по {пРге} лучше воспроизводятся в расчетах с использованием параметра плотности уровней Игнатюка, тогда как данные по Р/ — с коэффициентами Теке и Святецки. Подобные результаты были получены ранее в двумерной ланжевеновской модели (Гончар 2000).

На Рисунке 3 хорошо заметно,. что учет, коллективных усилений плотности уровней ощутимо влияет на рассчитываемые величины (прге) и Р^. И лучшего согласия с экспериментальными данными для рассмотренных двух реакций удается достичь в случае учета коллективных усилений параметра плотности уровней. Такие характеристики, как средняя множественность предразрывных нейтронов и вероятность деления, часто используются в различных анализах как инструмент для получения информации, например, о величине и типе ядерной вязкости. Поэтому вопрос корректного расчета плотности уровней и, в частности, коллективных усилений этой величины и эффектов затухания усилений с ростом энергии возбуждения является очень важным.

Оценочные трехмерные ланжевеновские расчеты, проведенные нами (в которых помимо (гарге) и Р] мы дополнительно анализировали влияние выбора параметра плотности уровней и на (Ек), °м)' подтверждают наши выводы, сделанные

на основе одномерных расчетов. По нашему мнению, набор коэффициентов Игнатюка более предпочтителен, чем Теке и Святецки, потому что параметр плотности уровней, рассчитываемый с коэффициентами Игнатюка ближе к параметру плотности уровней, определяемому в рамках температурно-зависимой МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил.

В рамках изучения влияния углового момента на параметры массово-энергетического распределения осколков деления мы моделировали процесс деления следующих составных возбужденных ядерных систем: 244Сш (Е* = 77 МэВ, Т = 1,9 МэВ), 224ТЬ (Е* = 184 МэВ, Т = 3,1 МэВ), 195(Б* = 75,7 МэВ, Т = 2 МэВ), 184Р1 (Е* = 117,3 МэВ, Т = 2,65 МэВ), и 162УЬ (Е" = 117,5 МэВ, Т = 2,07 МэВ). Начальные энергии возбуждения и температуры составных ядер указаны в скобкам. Первые два составных ядра являются тяжелыми делящимися ядрами. и 184Р1 — средние делящиеся ядра, а 162УЬ — это

легкое делящееся ядро.

Для того, чтобы оценить по отдельности влияние углового момента и температ-

уры составных ядер на параметры массово-энергетического распределения, мы также провели расчеты для трех составных систем 244Ст, 1841Ч и 162УЬ при одинаковых исходных температурах Г;П|Ь = 2 МэВ и 71пц — 3 МэВ, варьируя I в том же диапазоне I = 0-Н70Л. Было получено, что величины исследуемых в настоящей работе коэффициентов чувствительности (1 (Ек) /(II2, 11 слабо меняются при варьировании

исходной температуры составных ядерных систем.

»г44Ст

т Е1

I'

♦ 1МР1

♦ «

УЬ

О 1000 2000 р 3000 4000 5000

Рис. 4: Средняя кинетическая энергия для трех составных систем Сш, 14 и УЬ при двух значениях исходных температур как функция углового момента. Открытыми ромбами показаны значения (Ек) при Т = 2 МэВ, закрашенными квадратами — при Т = 3,1 МэВ.

На Рисунке 4 представлены результаты наших расчетов средней кинетической энергии осколков деления для трех составных систем Сш, 14 и УЬ при двух значениях исходных температур. Хорошо заметна слабая зависимость рассчитанной нами (Ек) от энергии возбуждения и углового момента. Наша верхняя оценка ё{Ек) /Л2 <0,5 кэВ-Л~г для тяжелых и средних ядер хорошо согласуется с экспериментальной (Чубарян, 1993;Иткис 1995; Иткис 1998), где она составила <1{Ек) /<112 <0,3 кэВ Л-2. В случае УЬ, получаемое нами значение много больше — <1{Ец) /<И2 — 13,8 кэВ-й-2, однако отметим, что в экспериментальных работах при анализе {Ец) системы легче 18614 и 188Оз не рассматривались. Абсолютная величина коэффициента \Л{Ец) /ЛЕ*\ в наших расчетах не превысила 0,024 — наибольшего значения, полученного нами при делении 162УЬ при I — ОД. Если же ограничиться тяжелыми и средними делящимися ядрами, то по абсолютной величине \й (Е/с) ¡ЛЕ"\ < 0,017, что тоже близко к верхней оценке данного коэффициента <1(Ек) /<1Е* — 0,01 -г 0,02, полученной в экспериментальных работах.

На Рисунках 5 и С изображена зависимость дисперсий массового ст^ и энергетического распределений от углового момента для трех ядерных систем Сга, Р1 и УЬ. У обеих зависимостей общие характерные особенности, и все, отмеченное ниже для дисперсии массового распределения, относится и к дисперсии энергетического. Хорошо видно из Рисунка 5, что для ядер Р1 и УЬ зависимость а2м от I имеет сложный характер, а коэффициент Ла^/еИ2 даже меняет знак. Мы аппроксимировали зависимость дисперсии массового распределения от ¡2 на участках монотонной зависимости линейными функциями и определили величину коэффициента йа^/сИ2. Именно поэтому на Рисунке 5 г), где проводится сравнение с экспериментальными данными (сплошная кривая), и даны результаты теоретических расчетов группы Адеева в рамках диффузионной модели (штриховая кривая), нашим результатам по 14, УЬ и Hg (закрашенные квадраты) соответствует несколько символов.

Общий характер влияния углового момента на дисперсии массового и энергетического распределений очевиден, поэтому ниже мы рассмотрим подробно лишь зависимость от I. Процесс формирования массового распределения, особенно в случае тяжелых ядер,

200t^J JOÜO

« Z2¡A

Рис. 5t a-e) зависимость дисперсии массового распределения от /2 для í44Cm, 184Pt и 162Yb (сплошная линия) и линейная аппроксимация зависимости (штриховая линия). Рядом указаны коэффициенты линейной аппроксимации, г) на графике отмечены итоговые результаты в виде зависимости d<7^ /di2 от Z2/А. Закрашенные квадраты, соединенные линиями — это результаты наших расчетов. Стрелками указано, какому составному ядру соответствуют данные квадраты. Для каждого из ядер 162Yb, iQ5Hg и l84Pt несколько закрашенных квадратов соответствуют нескольким значениям коэффициента da^f /ей2. Три значения данного коэффициента для ядра 162Yb и два для 184Pfc отражают измене«ия в характере зависимости от I2. Сплотнвл кривая — оценка коэффициента daj^/dl* на основе экспериментальных данных (Иткис, 1995). Щтрихпунктирные кривые показывают пределы погрешности этой оценки. Штриховая кривая — результаты теоретических расчетов группы Адеева с помощью уравнений Фоккера-Планка (Адеев, 1988).

оц2(МэВУ

244Ст

1000 2000 J i000 4000 зооо

,ч2

(мэв)

0 1000 2000 J 3000 4000 S000

Г,ь1

do^WcMbB/b)2 IMPt

fí

1000 1000 j 3000 4000 3000

Г, ьа

40 Z2/A

РиС. 6' Зависимость дисперсии энергетического распределения от 12 для 244Ст, 184Pt и 162УЬ (сплошная линия) и линейная аппроксимация зависимости (штриховая линия). Рядом указаны коэффициенты линейной аппроксимации. Остальные обозначения аналогичны рисунку 5.

сложен, и немаловажную роль в нем играет так называемый "эффект памяти" о спуске ядра с седла к разрыву — эффекта "запоминании предыдущих ббльших флукт-уаций масс-асимметричной координаты во время спуска с седла к разрыву". В работе Иткиса и Русанова (Иткис, 1995) с помощью анализа поведения жесткости ядер при варьировании углового момента объясняются результаты экспериментального анализа зависимостей а2м от I2. А учет "эффекта памяти" в случае тяжелых ядер позволяет объяснить положительную величину коэффициента Лг^ /<й2.

Расчеты показывают, что жесткости, полученные нами для ядер вдоль средней траектории, практически неизменны при варьировании углового момента. Таким образом, в случае наших динамических расчетов, жесткость вдоль средней траектории слабо зависит от углового момента ядра, поэтому величина "усредненной" или "эффективной" жесткости на спуске также не зависит от I. Для осколков деления нагретого ядра можно оценить величину дисперсии массового распределения, имеющего гауссову форму, в рамках статистического похода хорошо известным соотношением

о*и = ЛаГ/16(<^/й,а)- (14)

Здесь ц — координата массовой асимметрии согласно определению Струтинского (Струтинский, 1903). Если в соотношении (14) использовать значения величин в точке разрыва (Тзс и то можно определить так называемый статистический

предел дисперсии массового распределения "д^- А величина отношения дисперсии, определенной нами в результате динамического моделирования сгд|с]уп, к величине статистического предела и позволяет судить о наличии "эффекта памяти" ядра о спуске. Было установлено, что соотношение 0д/,зупслабо зависит от I. Для тяжелых делящихся ядер это отношение велико и, в случае 2,<Сш, составляет примерно 2,8. Это свидетельствует, что ядро эффективно "помнит предыдущие ббльшие флуктуации масс-асимметричной координаты во время спуска с седла к разрыву", то есть ядро "запоминает" меньшие значения жесткости вдоль делительной траектории на спуске с седла к разрыву. Однако, как было отмечено выше, эти значения не зависят от I, поэтому отношение аМбуп я» сла^0 зависит от углового момента. То есть "эффект памяти" о спуске с седла к разрыву действительно имеет место и наиболее ярко выражен для тяжелых и промежуточных делящихся ядер, однако он не позволяет объяснить наблюдаемую зависимость дисперсии массового распределения от углового момента. Эффект этот имеет одинаковое действие независимо от величины углового момента составного ядра.

Итак, на первый план выходят иные характеристики, адекватный расчет которых возможен лишь при динамическом моделировании, учитывающем испарение частиц. Этот процесс приводит к изменению внутренней энергии и, следовательно, температуры ядра. Оказалось, что существует сильная корреляция между зависимостями а2м и (Т8С> от углового момента. В том диапазоне I, где убывает (Т8С), убывает и дисперсия ег^. Если (Т8С) практически постоянна, то слабо меняется и сг2^. Росту средней температуры ядра в разрыве с увеличением I соответствует рост дисперсии массового распределения. Подобная корреляция обнаружена и между (Т^с) и с%к ■ Фактически, среднюю температуру ядра в разрыве {Тес) в наших расчетах определяет энергия, которую унесут испарившиеся в процессе деления предразрывные нейтроны. Чем больше нейтронов ядро успело испустить перед тем как поделиться, тем ниже будет его температура в момент распада на осколки.

Зависимость испущенных предцелительных нейтронов от углового момента может быть объяснена, если мы привлечем в анализ такие величины, как барьеры деления Ву и энергии связи нейтрона Вп и их зависимость от углового момента составного ядра. Энергия связи нейтрона не зависит от углового момента. Напротив, барьер деления очень чувствителен к этой величине. Из Рисунка 7 видно, что, например, в случае ядра 162УЬ, можно довольно точно разделить весь диапазон исследованных угловых моментов на 3 области. Выделить область где Вп > Вf, Вп близко к В/ и область где В» < В¡. Такие соотношения между энергией связи нейтрона Вп и барьером деления В/ определяют и соотношение между нейтронной Гп и делительной Г/ ширинами для ядер, возникающих в нейтронном испарительном каскаде при делении исходного составного ядра. Для

Рис. 7: Зависимость нейтронной Г/ и делительной Г„ ширин, барьера деления В/ (сплошные кривые) и энергии связи нейтрона Вп {штриховые линии) от углового момента составного ядра для ядер в нейтронном испарительном каскаде исходного ядра 162УЫ кривые с квадратами соответствуют ядру 162УЬ, кривые с кругами — 159УЬ, с треугольниками — 15аУЬ.

нейтронной и делительной ширин можно также разделить диапазон угловых моментов на 3 области, а границы этих областей приходятся на те же величины угловых моментов, что были определены для соотношения энергии связи нейтрона и барьера деления.

То есть, наблюдаемую в наших расчетах зависимость средней температуры в разрыве от I можно объяснить, рассмотрев процесс конкуренции между двумя каналами: нейтронным и делительным. Обнаруженную зависимость средней множественности предразрывных нейтронов можно объяснить, рассмотрев соотношение между делительной и нейтронной ширинами в зависимости от 2 в испарительном каскаде исходного ядра. Величина углового момента очень сильно влияет на соотношение нейтронной и делительной ширин, которое в свою очередь и задает более вероятный канал распада ядра.

Немного отличается от вышеизложенного ситуация для . В случае с ядром

184Р1, область, где энергии связи нейтрона и барьер деления для ядер в нейтронном испарительном каскаде близки, и, соответственно, близки нейтронная и делительная ширины, оказывается очень широкой. При дальнейшем увеличении углового момента вероятность делительного канала все больше возрастает и мы наблюдаем ту же картину, что и в случае ядра 162УЬ в области больших угловых момептов. Для тяжелых ядер картина еще более проста и однозначна. В случае ядра 244 Ст, мы имеем во всем диапазоне угловых моментов ситуацию, аналогичную 162УЬ или 1В-114 при больших угловых моментах. Для всех ядер в нейтронном испарительном каскаде 244 Ст для любых I Вп больше, чем В¡. Это приводит к тому, что делительная ширина становится больше, чем нейтронная, уже после нескольких испарённых нейтронов, а делительный канал распада становится доминирующим, и ядро быстро делится.

В недавней работе Гончара с коллегами (Гончар, ЯФ, 2004) в рамках одномерного ланжевеиовского подхода был проведен анализ зависимости от углового момента средней множественности предразрывных нейтронов и среднего времени деления при фиксированной энергии возбуждения для составного ядра 190Р1. Детали этого анализа подобны анализу, проведенному нами. Отметим хорошее качественное согласие данных анализа Гончара с коллегами и результатов наших расчетов относительно зависимости среднего времени деления и средней множественности предразрывных нейтронов от углового момента как для 184Р1;, так и для 244Ст.

В заключении сформулированы основные результаты работы и выводы:

1. Систематически изучена температурко-зависимая модель жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил. Показана адекватность описания в

рамках изучаемой модели статических и статистических свойств нагретых вращающихся ядер экспериментальным данным и результатам феноменологических подходов. Проведены согласованные расчеты термодинамических и статистических характеристик делящихся ядер: асимптотического параметра плотности одноча-стичных уровней возбужденного ядра, потенциальной и свободной энергии, энтропии.

2. Установлено, что определяемый в рамках модели асимптотический параметр плотности уровней ядра слабо зависит от температуры ядра. Данный факт существенно упрощает использование температурно-зависимой макроскопической модели в многомерных лапжевеновских расчетах, так как позволяет уменьшить размерность задачи до числа коллективных переменных, описывающих форму ядра. Аппроксимация асимптотического параметра плотности уровней в рамках температурно-зависимой МЖК выражением диффузного тина показала, что коэффициенты этой аппроксимации = 0,0598 МэВ-1 и а, = 0,1218 МэВ-1 находятся в хорошем согласии с коэффициентами, определенными ранее Игнатюком с сотрудниками, и заметно отличаются от часто применяемых параметров Токс-Святецки.

3. В рамках изученной модели были рассчитаны статические характеристики делящихся ядер, такие как барьеры деления, конфигурации седловых точек, точек характерных неустойчивостей (точка Бусинаро-Галлоне Z'2критические параметры ядра 22/Лсгл), эффективных моментов инерции и критических угловых моментов, а также изучено влияние температурного и вращательного возбуждений на эти характеристики. Оказалось, что в большинстве случаев влияние углового момента оказывается более заметным, чем влияние температуры, а с ростом энергии возбуждения —ослабевает. Положение точек и ¡Астл на оси параметров ядра 22/А находится в хорошем согласии с экспериментальными оценками, а при нулевой температуре ядра совпадает с таковыми для МЖК с диффузным краем с параметрами Сирка.

4. Согласованное применение температурно-зависимой модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил в ланжевеновской динамике деления ядер позволило сделать важный вывод: применение выражения диффузного типа для параметра плотности уровней с широко используемыми коэффициентами Игнатюка и согласованные расчеты в рамках МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил приводят к одинаковым значениям наблюдаемых. Поэтому все полученные ранее результаты, где для расчета потенциальной энергии использовалась МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил, а параметр плотности уровней вычислялся с коэффициентами Игнатюка, не вызывают сомнений с точки зрения надежности.

5. Исследовано влияние углового момента и температуры ядра на характеристики массового и энергетического распределений осколков деления в широком диапазоне параметра делимости. Полученные результаты находятся в неплохом согласии с данными экспериментальных анализов, качественно воспроизводя основные особенности. Для легких и промежуточных делящихся ядер дисперсии массового и энергетического распределений осколков деления являются нелинейными функциями от углового момента. Зависимость от I дисперсий обоих распределений коррелирует с аналогичной зависимостью средней температуры ядра в точке разрыва. Проведенный анализ показал, что эта последняя зависимость определяется вариацией средней множественности предразрывных нейтронов от I. Анализ этой зависимости представлен в терминах конкуренции между делительным и нейтронным каналами распада.

6. В рамках проведенных исследований был изучен вопрос об эффекте "памяти ядра о больших флуктуациях масс-асимметричной координаты во время спуска с барьера к разрыву". Установлено, что данный эффект имеет место и наиболее ярко выражен

в случае тяжелых делящихся ядер. Однако, этот эффект не оказывает решающего влияния на исследованные зависимости дисперсий массового и энергетического распределений осколков деления от i.

В приложении уделено внимание соотношениям, задающим свободную энергию ядра в рамках модифицированного метода Томаса-Ферми и связи этих соотношений с коэффициентами температурно-зависимой МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на VIII международной конференции по ядерным столкновениям (Москва, июнь 2003), на международной конференции по экзотическим ядрам "EXON-2004" (Петергоф, июль 2004), на 5-ой международной конференции "Ядерная и радиационная физика" (Алматы, Казахстан, сентябрь 2005), на научных семинарах кафедры теоретической физики и физического факультета ОмГУ.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Рябов Е.Г., Карпов А.В., Адеев Г.Д. Исследование влияния углового момента на массово-энергетическое распределение осколков деления в ланжевеновской динамике.// Препринт ОИЯИ. Р7-2005-206. Принято к публикации в журнал "Письма в ЭЧАЯ"

2. Ryabov E.G., Karpov A.V., Adeev G.D. Influence of angular momentum on fission fragment mass distribution: interpretation within Langevin dynamics.// Nucl.Phys.

' 2006. V A765. P. 39-60

3. Karpov A.V., Ryabov E.G. and Adeev G.D. Mass-Energy distribution of fission „fragments and nuclear viscosity. // JINR. FLNR. Scientific report 2003-2004 Heavy ion

physics. Dubna. 2005. Edited by Popeko A.G. P. 72-74.

4. Karpov A.V., Nadtochy P.N., Ryabov E.G., Vanin D.V. and Adeev G.D. Consistent . application of the finite-range liquid-drop model to Langevin fission dynamics of hot

rotating nuclei. // JINR. FLNR. Scientific report 2003-2004 Heavy ion physics. Dubna. 2005. Edited by Popeko A.G. P. 70-71.

5. Ryabov E.G., Adeev G.D. Statical and statistical properties of heated rotating nuclei in the temperature-dependent finite-range model, //in Proceedings of the Internationa] Symposium on Exotic Nuclei(EXON-2004), Peterhof, 2004, edited by Yu. E. Penionzhkevich, E.A. Cherepanov (World Scientific, Singapore, 2005), P. 495-498

6. Рябов Е.Г. и Адеев Г.Д. Статические и статистические характеристики нагретых ядер в макроскопической температурно-зависимой модели, учитывающей конечность ядерных сил. // ЯФ. 2005. том 68. С. 1583-1598

7. Karpov А. V., Nadtochy P. N., Ryabov Е. G., Vanin D. V. and Adeev G. D. Level-density parameter of hot rotating fissioning nuclei within the finite-range liquid-drop model. //Nucl. Phys. 2004. Vol. 734. P. E37-40

8. Karpov A.V., Nadtochy P.N., Ryabov E.G., and Adeev G.D. Consistent application of ' finite-range liquid-drop model to Langevin fission dynamics of hot rotating nuclei. // J. Phys. G. 2003. Vol. 29. P. 2365-2380

9. Рябов Е.Г., Адеев Г.Д., Термодинамические потенциалы делящегося ядра в макроскопической модели, учитывающей конечный радиус ядерных сил. //Вестник Омского Университета. 2003. Вып. 1. С. 27-29. ,

10. Карпов А.В., Рябов Е.Г. Массово-энергетические распределения осколков деления и ядерная вязкость. //Вестпик Омского Университета. 2002. Вып. 2. С. 29-31

Рябов Евгений Геннадьевич

ТЕМПЕРАТУРНО-ЗАВИСИМАЯ МОДЕЛЬ ЖИДКОЙ КАПЛИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ ДЕЛЕНИЯ ЯДРА

01.04.16 — физика атомного ядра и элементарных частиц

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 22.05.2006. Формат бумаги 60 х 80 1/16. Печ.л.1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 173.

Издательство ОмГУ

644077, г. Омск, пр. Мира 55 А, госуниверситет

Введение

I Температурно-зависимая модель жидкой капли

§1.1 Параметризация формы ядра.

§1.2 Свободная энергия ядра. Функционалы ядерной, кулоновской и вращательной энергии ядра.

§1.3 Асимптотический параметр плотности уровней. Сравнение с ® феноменологическими формулами.

II Статические и статистические свойства нагретых ядер в макроскопической температурно-зависимой модели

§2.1 Зависимость высоты барьера деления от температуры и углового момента ядра.

§2.2 Влияние температуры и углового момента на характеристики, определяемые седловой конфигурацией ядра.

§2.3 Жесткость относительно масс-асимметричной вариации формы ядра в модели нагретых вращающихся ядер.

III Стохастический ланжевеновский подход к динамике деления атомного ядра

§3.1 Эволюция нагретого делящегося ядра как динамика броуновской частицы.

§3.2 Уравнения Ланжевена и коллективные координаты. Консервативная сила.

§3.3 Выбор начальных условий и критерия разрыва ядра на осколки

§3.4 Транспортные коэффициенты. Ядерная вязкость

§3.5 Статистическая ветвь расчетов. Объединение динамической и статистической ветвей расчетов

IV Применение температурно-зависимой модели жидкой капли для расчета характеристик деления возбужденных вращающихся ядер

§4.1 Введение.

§4.2 Метод расчета МЭР осколков деления.

§4.3 Механизмы ядерной вязкости и МЭР осколков деления

§4.4 Влияние выбора параметра плотности уровней на наблюдаемые делительного процесса.

§4.5 Двумерные МЭР осколков деления и угловой момент ядра

§4.6 Средняя кинетическая энергия, дисперсия массового и энергетического распределений осколков деления как функция углового момента и энергии возбуждения ядра.

§4.7 Эффекты "памяти" ядерной системы о бблыних флуктуациях масс-асимметричной моды в процессе спуска с барьера

§4.8 Объяснение зависимости а2м и о\к от I при анализе конкуренции между нейтронным и делительным каналами распада

Прошло уже более шести десятилетий с момента появления пионерских теоретических работ по физике деления атомного ядра Френкеля [1], Бора и Уиллера [2]. Простая идея рассмотреть ядро как классическую заряженную жидкую каплю оказалась очень плодотворной. При таком подходе отдельные нуклоны, составляющие ядро, теряют свою индивидуальность, а ядерная система представляет собой каплю ядерного вещества. Особые свойства ядерного вещества, такие, например, как слабая сжимаемость, свойство насыщения ядерных сил, схожесть процесса деления ядра и разделения заряженной жидкой капли и послужили предпосылками возникновения первой теоретической модели атомного ядра. Отметим работу [3], в которой жидкокапельный формализм и разные варианты ядерных МЖК с успехом применялись для описания слияния-деления обычной капли жидкости.

Конечно, атомное ядро является квантовой системой, состоящей из N нейтронов и Z протонов. Поэтому классическая по своей природе МЖК и не претендует на описание всей совокупности экспериментальных данных. Так, например, долго ставивший ученых в тупик вопрос об асимметрии деления тяжелых ядер получил объяснение лишь в рамках метода оболо-чечной поправки Струтинского [4-6]. Модель жидкой капли, безусловно, используется в рамках этого метода, но не менее важную роль играют и одночастичные оболочечные эффекты и эффекты спаривания нуклонов.

За прошедшие годы был накоплен богатый экспериментальный материал по вопросам физики деления. Значительная часть его суммирована и систематизирована в [7-12]. Теоретическое рассмотрение [13,14], экспериментальные исследования, в частности анализ экспериментальных работ по исследованиям массово-энергетических распределений в областях низких и средних энергий возбуждения [8], показали, что при энергии возбуждения ядра выше 50 МэВ одночастичные оболочечные эффекты и эффекты спаривания нуклонов перестают играть существенную роль, и ядро можно рассматривать как каплю заряженной ядерной жидкости. При этом температура ядра довольно высока Т > 1 -f-1,5 МэВ.

МЖК за прошедшие десятилетия подверглась ряду модификаций и улучшений: был учтен короткодействующий характер ядерных сил и диффуз-ность распределения ядерной материи в ядре [15], вращение ядра [16]. Но существенным недостатком модели жидкой капли на протяжении многих лет было отсутствие учета температуры ядерной системы. Оправданием такой ситуации может служить отсутствие для нагретых ядер экспериментальных данных, привлекаемых обычно для определения параметров жидкокапельной модели (энергии связи ядер в основном состоянии и барьеры деления, некоторые барьеры слияния, эквивалентный радиус ядра и диффузность зарядового распределения). В этом случае для определения коэффициентов модели надо полагаться на результаты микроскопических расчетов, выполненных, например, в рамках расширенного температурно-зависимого метода Томаса-Ферми [17]. Обобщение модели вращающейся жидкой капли, учитывающей диффузность ядерной плотности [15,18], на случай нагретых ядер было проведено Краппе в [19], а параметры этой модели были определены Краппе на основе расчетов, выполненных в рамках микроскопического метода Томаса-Ферми. Таким образом, обобщенная модель позволяет адекватно и согласованно учесть в макроскопическом подходе, сама применимость которого определяется возбуждением и вращением ядра, влияние и углового момента, и температуры ядра на различные характеристики ядер, на динамику деления ядра.

Деление ядра — это особый процесс, в котором происходят крупномасштабные изменения в структуре ядра. Модель жидкой капли, используя аналогию с разделением обычной капли жидкости, позволяет описать большие деформации ядра, характерные для процесса деления. Простота и наглядность такого подхода, вероятно, одна из причин, по которой МЖК так широко используется и в наши дни, а сама модель до сих пор остается объектом исследования [14,20].

Описание делительного процесса — одна из важнейших задач теории атомного ядра. Долгое время для описания распределений осколков и множественности испущенных ядром в процессе деления частиц применялась статистическая модель деления, предложенная Бором и Уилл ером [2] и Вайскопфом [21]. В случае легких делящихся ядер с параметром Z2 jА < 31 статистическая модель может успешно применяться для описания многих характеристик делящихся ядер. Так, например, на основе статистических расчетов было предсказано значительное уширение массового распределения для ядер, лежащих вблизи точки Бусинаро-Галлоне [22,23]. Но статистическая модель в стандартном виде [24] не способна описать экспериментальные данные по дисперсиям массового и энергетического распределений в области тяжелых ядер с параметром Z2/А > 32 [9]. В отличие от легких ядер, для тяжелых седловая точка уже сильно удалена от точки разрыва, и ядру требуется некоторое время для достижения разрывной конфигурации. В этом случае концепция переходного состояния, в качестве которого в статистической модели обычно используется седловая точка, не позволяет добиться количественного согласия с экспериментальными данными. За время спуска от седловой точки к разрыву многие характеристики делящегося ядра могут сильно измениться, что в статистической модели не учитывается.

Другая модель, успешно применявшаяся для анализа экспериментально наблюдаемых характеристик деления, — динамическая модель с нулевой вязкостью [25-27]. В рамках этой модели были впервые изучены двумерные МЭР осколков деления, наблюдаемые экспериментально. Но, как и в случае статистической модели, в динамической модели с нулевой вязкостью не удалось описать резкий рост дисперсий массового и энергетического распределений в области тяжелых ядер. Эту неудачу двух противоположных по своей сути моделей делительного процесса можно объяснить тем, что в них рассматриваются два предельных случая представления о вязкости ядерного вещества, которые вряд ли реализуются в делении.

В семидесятых годах прошлого века появился новый подход к описанию распределения осколков деления — диффузионный. Начало ему положила ставшая уже классической работа Крамерса [28], в которой он обобщил выражения Бора и Уиллера для статистической делительной ширины на случай вязкого ядерного вещества. Делительный процесс Крамере рассмотрел как диффузионный процесс при наличии внешнего поля. Позже к этой идее вернулись [29-33] и для описания динамики деления стали применять уравнение Фоккера-Планка (УФП) для функции распределения коллективных координат и сопряженных им импульсов. В рамках этого подхода процесс деления описывается с помощью небольшого числа коллективных переменных, которые рассматриваются как броуновская частица, находящаяся в термостате. Роль термостата в данном случае играют внутренние одночастичные) степени свободы ядра. То есть все степени свободы ядра разделяются на две группы: коллективные, динамику которых и отслеживают (обычно это степени свободы, отвечающие параметрам формы ядра) и внутренние (прочие) степени свободы. Внутренние степени свободы обобщенно учитываются как термостат, влияющий на динамику коллективных степеней свободы ядра. Это взаимодействие подобно процессу блуждания броуновской частицы в вязкой жидкости. Введение взаимодействия между частицей и термостатом приводит естественным образом к появлению трения. Это позволяет в рамках диффузионной модели достичь еще более полного описания процесса деления и воспроизвести в теоретических расчетах резкий рост дисперсий массового и энергетического распределений с увеличением А в области тяжелых ядер.

В последнее время большее предпочтение в теоретических расчетах в рамках диффузионного подхода отдается физически эквивалентным УФП уравнениям Ланжевена. Как известно, уравнение Фоккера-Планка — многомерное уравнение в частных производных, имеющее точное решение лишь для небольшого круга задач. Применение его в рамках диффузионной модели приводит к необходимости использования различных приближений и упрощений, что негативно сказывается на точности и достоверности получаемых результатов. Напротив, уравнения Ланжевена могут быть решены на основе численных методов без привлечения дополнительных аппроксимаций и приближений. Использование системы уравнений Ланжевена для описания динамики деления ядра было впервые предложено Абе [34,35]. А сам подход, основанный на системе уравнений Ланжевена, зачастую называют флуктуационно-диссипативной динамикой. Однако и в этом случае возникают свои трудности. Желание добиться в рамках ланжевеновского подхода описания максимально возможного числа экспериментальных данных приводит к необходимости решения уравнений Ланжевена для как можно большего числа коллективных переменных.

При введении каждой новой коллективной переменной в уравнения Ланжевена значительно возрастают объем и трудоемкость вычислений. Поэтому первоначально задача о формировании массовых и энергетических распределений решалась в ограниченном виде — расчеты проводились в рамках одномерных и двумерных моделей. В рамках одномерных расчетов [36-41] были детально изучены средние множественности предразрывных нейтронов, дипольных 7-квантов и вероятности деления. Двумерные расчеты позволили дополнительно изучить либо энергетические распределения для симметричного деления [42-47], либо массовые распределения осколков деления, соответствующие наиболее вероятной кинетической энергии [48-50].

Однако определяемые экспериментально характеристики массового и энергетического распределений осколков деления получаются из двумерного массово-энергетического распределения. Ограничения и упрощения, накладываемые двумерной ланжевеновской моделью, в итоге приводили к заниженным теоретическим значениям дисперсий распределений. Расчеты, проведенные в рамках трехмерной ланжевеновской динамики [51-56], подтвердили этот факт. В них помимо координаты, соответствующей удлинению ядра, и координаты, описывающей эволюцию шейки, была дополнительно включена координата массовой асимметрии, описывающая отношение масс будущих осколков. Учет новой коллективной переменной привел к увеличению объема фазового пространства, росту флуктуаций в системе и, как следствие, к росту дисперсий распределений осколков, а самое главное — еще более приблизил ланжевеновскую динамику деления ядра к реальному физическому процессу. Именно трехмерная ланжевеновская модель позволяет получать и изучать теоретическое двумерное массово-энергетическое распределение, а из него уже одномерные массовое и энергетическое распределения осколков деления.

Появившаяся в последние десятилетия возможность экспериментального изучения процесса деления атомных ядер, образующихся в реакциях с тяжелыми ионами, стимулировала теоретические исследования процессов формирования и распада ядер с большими угловыми моментами и относительно большой энергией возбуждения [57,58,17,59-67]. В большинстве упомянутых выше теоретических работ при определении различных характеристик ядер не был проведен одновременно учет влияния, как температуры ядра, так и вращения его как целого на исследуемые характеристики. Важность такого учета нельзя переоценить, особенно в случае реакций с тяжелыми ионами, но это, тем не менее, не уменьшает ценности ранее проведенных исследований. Обобщение модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил на случай ненулевой температуры ядра, осуществленное Краппе, позволяет в рамках единого подхода учесть влияние обоих факторов возбуждения ядра (тепловое и вращательное возбуждения). В частности, эта новая модель позволяет определить как свободную энергию ядра, так и асимптотический параметр плотности одночастичных уровней возбужденного ядра (в дальнейшем просто парамтер плотности уровней) для деформаций, реализующихся в процессе деления, — два важнейших параметра при ланжевеновском моделировании динамики деления ядра. Таким образом, появляется возможность в рамках одного подхода согласованно учесть влияние, как температуры ядра, так и его вращения на массовое и энергетическое распределения осколков деления.

В связи с вышеизложенным, цель настоящей диссертации состоит в следующем:

1. Согласованный расчет термодинамических и статистических характеристик делящихся ядер: асимпотического параметра плотности уровней возбужденного ядра, потенциальной и свободной энергии, энтропии ядра. Определение статических характеристик делящихся ядер, таких как барьеры деления, конфигурации седловых точек, точек характерных неустойчивостей (точки Бусинаро-Галлоне, Z2/Асх\х), эффективных моментов инерции и критических угловых моментов, а также изучение влияния температурного и вращательного возбуждений ядра на эти характеристики.

2. Использование изучаемой модели в рамках флуктуационно-диссипа-тивной динамики для теоретического расчета характеристик двумерного массово-энергетического распределения осколков деления высоковозбужденных ядер. Исследование влияния выбора асимптотического параметра плотности уровней, используемого при динамическом моделировании, на изучаемые характеристики ядерных реакций.

3. Исследование влияния углового момента и температуры ядра на характеристики массового и энергетического распределений осколков деления в широком диапазоне параметра делимости ядра Z2/А. Изучение эффекта "памяти" ядра о спуске с барьера к разрыву и влияния данного эффекта на массовое распределение осколков деления.

Научная новизна и значение результатов

1. Впервые проведено подробное изучение и апробация температурно-зависимой модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил. Изучены статические и статистические свойства ядер в рамках изучаемой модели. Рассмотрена зависимость этих свойств, как от углового момента, так и от температуры составного ядра для ядер в широком интервале параметра делимости.

2. Впервые исследовано применение температурно-зависимой МЖК в теории деления атомных ядер: модель была использована для расчета консервативной движущей силы в уравнениях Ланжевена и параметра плотности уровней. В рамках исследования были изучены двумерные массово-энергетические распределения осколков деления совместно с множественностями предразрывных нейтронов и вероятностями деления.

3. В рамках трехмерных динамических ланжевеновских расчетов была впервые изучена зависимость параметров массового и энергетического распределений осколков деления от углового момента и температуры составного ядра в широком диапазоне параметра делимости ядра Z2/A.

4. В рамках ланжевеновской динамики впервые исследовано влияние эффекта "памяти" составной ядерной системы о предыстории своего динамического спуска с барьера к разрыву на массовое распределение осколков деления.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, одного приложения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации — 178 страниц, включая 31 рисунок и 4 таблицы. Список литературы содержит 171 наименование.

Заключение

Сформулируем основные результаты работы:

1. Систематически изучена температурно-зависимая модель жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил. Показана адекватность описания в рамках изучаемой модели статических и статистических свойств нагретых вращающихся ядер экспериментальным данным и результатам феноменологических подходов. Проведены согласованные расчеты термодинамических и статистических характеристик делящихся ядер: асимптотического параметра плотности одночастич-ных уровней возбужденного ядра, потенциальной и свободной энергии, энтропии.

2. Установлено, что определяемый в рамках модели асимптотический параметр плотности уровней ядра слабо зависит от температуры ядра. Данный факт существенно упрощает использование температурно-зави^ макроскопической модели в многомерных ланжевеновских расчетах, так как позволяет уменьшить размерность задачи до числа коллективных переменных, описывающих форму ядра. Аппроксимация асимптотического параметра плотности уровней в рамках температурно-зависимой МЖК выражением диффузного типа показала, что коэффициенты этой аппроксимации av = 0,0598 МэВ-1 и as = 0,1218 МэВ-1 находятся в хорошем согласии с коэффициентами, определенными ранее Игнатюком с сотрудниками, и заметно отличаются от часто применяемых параметров Теке-Святецки.

3. В рамках изученной модели были рассчитаны статические характеристики делящихся ядер, такие как барьеры деления, конфигурации седловых точек, точек характерных неустойчивостей (точка Бусинаро-Галлоне Z2/Agp, критические параметры ядра Z2/АС1 it), эффективные моменты инерции и критические угловые моменты, а также изучено влияние температурного и вращательного возбуждений на эти характеристики. Оказалось, что в большинстве случаев влияние углового момента более заметно, чем влияние температуры, а с ростом энергии возбуждения — ослабевает. Положение точек Z2р и Z2/Acl\t на оси параметров ядра Z2/А находится в хорошем согласии с экспериментальными оценками, а при нулевой температуре ядра совпадает с таковыми для МЖК с диффузным краем с параметрами Сирка.

4. Согласованное применение температурно-зависимой модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил в ланжевеновской динамике деления ядер позволило сделать важный вывод: применение выражения диффузного типа для параметра плотности уровней с широко используемыми коэффициентами Игнатюка и согласованные расчеты в рамках МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил приводят к одинаковым значениям наблюдаемых. Поэтому все полученные ранее результаты, где для расчета потенциальной энергии использовалась МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил, а параметр плотности уровней вычислялся с коэффициентами Игнатюка, не вызывают сомнений с точки зрения надежности.

5. Исследовано влияние углового момента и температуры ядра на характеристики массового и энергетического распределений осколков деления в широком диапазоне параметра делимости. Полученные результаты находятся в неплохом согласии с данными экспериментальных анализов, качественно воспроизводя основные особенности. Для легких и промежуточных делящихся ядер дисперсии массового и энергетического распределений осколков деления являются нелинейными функциями углового момента. Зависимость от I дисперсий обоих распределений коррелирует с аналогичной зависимостью средней температуры ядра в точке разрыва. Проведенный анализ показал, что эта последняя зависимость определяется вариацией средней множественности предразрывных нейтронов от I. Анализ этой зависимости был дан в терминах конкуренции между делительным и нейтронным каналами распада.

6. В рамках проведенных исследований был изучен вопрос об эффекте "памяти" ядра о больших флуктуациях масс-асимметричной координаты во время спуска с барьера к разрыву. Установлено, что данный эффект имеет место и наиболее ярко выражен в случае тяжелых делящихся ядер. Однако, данный эффект не оказывает решающего влияния на исследованные зависимости дисперсий массового и энергетического распределений осколков деления от I.

В заключении выражаю глубокую признательность своему научному руководителю — Адееву Геннадию Дмитриевичу за постановку задач, неоценимую помощь и поддержку на всех этапах выполнения работы. Я благодарен ему за большое терпение, понимание и участие, порой, даже при решении не научных проблем и вопросов. Я искренне признателен Русанову Александру Яковлевичу за постоянный интерес к работе, ценные замечания и обсуждения, а также теплый прием в стенах Институт ядерной физики НЯЦ Республики Казахстан.

Особую признательность хочу выразить своим соавторам и коллегам по работе Надточему Павлу Николаевичу и, в особенности, Карпову Александру Владимировичу, теснейшее сотрудничество с которыми и поддержка неоценимы. Благодарю Косенко Григорию Ивановича за многочисленные полезные обсуждения, помощь с литературой и внимание к результатам работы. Признателен Хайдукову Сергею Владимировичу за помощь в проведении части расчетов.

Выражаю искреннюю благодарность организационному комитету конференции "EXON-2004" в целом и, в частности, Лаборатории ядерных реакций имени Флерова ОИЯИ за финансовую поддержку моего участия в конференции. Благодарен ректорату Омского Государственного Университета имени Ф.М. Достоевского за финансовую помощь и поддержку исследований в рамках гранта "Молодых ученых ОмГУ". Признателен кафедре Теоретической физики и ее заведующему, профессору Прудникову Владимиру Васильевичу за поддержку исследований в рамках единого заказа-наряда.

Неоценимой была поддержка родных, которые взяли на себя большую часть моих бытовых проблем, и за это я выражаю им свою благодарность. Я признателен Даниловой Арине Александровне за помощь в оформлении работы.

1. Френкель JL И., Электрокапиллярная теория расщепления тяжелых ядер медленными ионами. // ЖЭТФ, 1939, Т. 9, С. 614-620.

2. Bohr N. and Wheeler J.A., The mechanism of nuclear fission. // Phys. Rev., 1939, Vol. 56, P. 426-450.

3. Menchaca-Rocha A., Cuevas A., and Silva M. Rotating-liquid-drop model limit tested on macroscopic drops. //Phys.Rev. 1993. Vol. E47. P. 14331436

4. Strutinsky V. M., Shell effects in nuclear masses and deformation energies. // Nucl.Phys., 1967, Vol. A95, P. 420-442.

5. Strutinsky V.M., "Sheir'in deformed nuclei. // Nucl.Phys., 1968, Vol. A122, P. 1-33.

6. Brack M., Damgaard J., Jensen A. S., Pauli H. C., Strutinsky V. M., Wong C. Y. Funny hills: The shell-correction approach to nuclear shell effects and its application to the fission process. // Rev. Mod. Phys. 1972, Vol. 44, P. 320-405.

7. Oganessian Yu. Ts., Lazarev Yu. A. Heavy ions and nuclear fission. // In: Treatise on heavy ion science (ed. D. Bromley). New York. Plenum Press. 1985. V. 4. P. 1-251.

8. Иткис M. Г., Околович В. H., Русанов А. Я., Смиренкин Г. тт Симметричное и асимметричное деление ядер легче топчя. // ЭЧАЯ. 1988. Т. 19. С. 701-784.

9. Ньютон Дж. О. Деление ядер под действием тяжелых ионов. // ЭЧАЯ. 1990. Том. 21. С. 821-913.

10. Чубарян Г. Г., Иткис М. Г., Лукьянов С. М. и др. Массово-энергетические распределения осколков и угловой момент при делении возбужденных ядер.// ЯФ. 1993. т.56. вып.З. С.3-29.

11. Иткис М. Г., Музычка Ю. А., Оганесян Ю. Ц. и др. Деление возбужденных ядер с Z2(А — 20 — 30: массово-энергетические распределения осколков, угловой момент и капельная модель. // ЯФ. 1995. Том. 58. С. 2140-2165.

12. Иткис М. Г., Русанов А. Я. Деление нагретых ядер в реакциях с тяжелыми ионами: статические и динамические аспекты. // ЭЧАЯ. 1998. Том. 29. С. 389-488.

13. Бор О., Моттельсон Б. Структура атомного ядра. Том.2. Пер. с англ. М.: Мир, 1977. 534 с.

14. Kolomietz V. М., Shlomo S. Nuclear Fermi-liquid drop model.// Phys. Rep. 2004. vol.390. P.133-233.

15. Krappe H. J., Nix J. R., Sierk A. J. Unified nuclear potential for heavy-ion-elastic scattering, fusion, fission and ground state masses and deformations. // Phys. Rev. 1979. Vol. C20. P. 992-1013.

16. Cohen S., Plasil F., Swiatecki W.J. Equilibrium configurations of rotating charged or gravitating liquid masses with surface tension. II // Ann. Phys. 1974. Vol. 82. P. 557-596.

17. M. Brack, С. Guet, Н.В. Hakansson. Selfconsistent semiclassical description of average nuclear properties—a link between microscopic and macroscopic models. // Phys.Rep. 1985. Vol. 123, P. 275-364.

18. Sierk A. J. Macroscopic model of rotating nuclei. // Phys. Rev. 1986. Vol. C33. P. 2039-2053.

19. H.J. Krappe. Temperature dependence of the nuclear free energy based on a finite-range mass formula. // Phys. Rev. С 59. 1999. P. 2640

20. Pomorski K., Dudek J. Fission barriers within the liquid drop model with the surface-curvature term //Int. Journal of Mod. Phys. E., 2004. Vol. 10. P. 107-112

21. Weisskopf V. Statistics and Nuclear Reactions. // Phys. Rev. 1937. V. 52. P. 295-303.

22. Businaro U. L., Gallone S. On the interpretation of fission asymmetry according to the liquid drop nuclear model. // Nuovo Cim. 1955. Vol. 1. P. 629-643;

23. Businaro U. L., Gallone S. Saddle shapes, threshold energies and fission asymmetry on the liquid drop model. // Nuovo Cim. 1955. Vol. 1. P. 1277-1279.

24. Fong P. Statistical theory of nuclear fission. // New York. Gordon and Breach. 1969.

25. Nix J. R., Swiatecki W. J. Studies in the liquid-drop theory of nuclear fission. // Nucl. Phys., 1965, Vol. 71, P. 1-94;iuU

26. Nix J. R., Further studies in the liquid-drop theory of nuclear fission. // Nucl. Phys., 1969, Vol. A130, P. 241-292.

27. Hasse R.W., Dynamic model of asymmetric fission.// Nucl.Phys., 1969, Vol. A128, P. 609-631; Fission of heavy nuclei at higher excitation energies in a dynamic model. // Phys. Rev, 1971, Vol. C4, P. 572-580.

28. Kramers H.A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions. // Physica. 1940. Vol. 7. P. 284-304.

29. Струтинский В. M. Ширина деления нагретых ядер. // ЯФ. 1974. Том. 19. С. 259-262.

30. Grange P., Pauli Н. S., Weidenmuller Н. A. The influence of thermal fluctuations on the kinetic-energy distribution of fission fragments. // Phys. Lett. 1979. Vol. 88B. P. 9-12.

31. Gr£goire C., Scheuter F. Mass distribution of heavy ion fission within a dynamical treatment. // Z. Phys. 1981. Vol. A303. P. 337-338.

32. Адеев Г. Д., Гончар И. И., Пашкевич В. В., Писчасов Н. И., Сердюк О. И. Диффузионная модель формирования распределений осколков деления. // ЭЧАЯ. 1988. Том. 19. С. 1229-1298.

33. Adeev G. D., Pashkevich V. V. Theory of macroscopic fission dynamics. // Nucl. Phys. 1989. Vol. A502. P. 405-422.

34. Delagrange H., Gregoire C., Abe Y., Carjan N. Particle emission but also fission in the decay of very excited nuclei. // J.Phys. 1986. Vol. C47. P. 305-315.

35. Abe Y., Ayik S., Reinhard P.-G., Suraud E. On stochastic approaches of nuclear dynamics. // Phys. Rep.-1996. Vol. 275. P. 49-196.

36. Frobrich P., Gontchar 1.1. Langevin description of fusion, deep-inelastic collisions and heavy-ion-induced fission. // Phys. Rep. 1998. Vol. 292. P. 131-237.

37. Гончар И. И. Ланжевеновская флуктуационно-диссипативная динамика деления возбужденных атомных ядер. // ЭЧАЯ. 1995. Том. 26. С. 932-1000.

38. Chaundhuri G., and Pal S. Fission widths of hot nuclei from Langevin dynamics// Phys. Rev. 2001. Vol. C63. P. 064603

39. Chaundhuri G., and Pal S. Prescission neutron multiplicity and fission probability from Langevin dynamics of nuclear fission// Phys. Rev. 2002. Vol. C65. P. 054612

40. Chaundhuri G., and Pal S., Evaporations residue cross-sections as a probe for nuclear dissipation in the fission channel of hot rotating nucleus // Eur. Phys. J. 2003. Vol. A18. P. 9-15.

41. Tillack G.-R., Reif R., Schulke A. et al. Light particle emission in the Langevin dynamics of heavy-ion induced fission. // Phys. Lett. 1992. Vol. B296. P. 296-300.h

42. Bao J., Zhuo Y., Wu X. Systematic studies of fission fragment kinetic energy distributions by Langevin simulations. // Z. Phys. 1995. Vol. A352. P. 321-325.

43. Косенко Г. И., Гончар И. И., Сердюк О. И., Писчасов Н. И. Расчет моментов энергетического распределения осколков деления ядер методом уравнений Ланжевена. // ЯФ. 1992. Том. 55. С. 920-928.

44. Wada Т., Carjan N., Abe Y. Multi-dimensional Langevin approach to fission dynamics. // Nucl. Phys. 1992. Vol. A538. P. 283-290.

45. Wada Т., Abe Y., N. Carjan One-body dissipation in agreement with prescission neutrons and fragment kinetic energies. // Phys. Rev. Lett., 1993, Vol. 70, P. 3538-3541.

46. Косенко Г. И., Коляри И. Г., Адеев Г. Д. Применение объединенного динамическо-испарительного подхода для описания деления, индуцированного тяжелыми ионами. // ЯФ. 1997. Том. 60. С. 404-412.

47. Vanin D. V., Kosenko G. I., Adeev G. D. Langevin calculations of fission fragment mass distribution in fission of excited nuclei. // Phys. Rev. 1999. Vol. C59. P. 2114-2121.

48. Ванин Д. В., Надточий П. Н., Косенко Г. И., Адеев Г. Д., Ланжеве-новское описание массового распределения осколков деления возбужденных ядер. // ЯФ, 2000, Том. 63, С. 1957-1965.

49. Гончар И. И., Геттингер А. Э., Гурьян Л. В., Вагнер В., Многомерная динамическо-статистическая модель деления возбужденных ядер. // ЯФ, 2000, Том. 63, С. 1778-1797.

50. Wada Т., Dissipative dynamics of nuclear fission. // in Proceedings of the 2nd Tours Symposium on Nuclear physics, Tours, 1994, edited by H. Utsunomiya, M. Ohta, J. Galin, and G. Munzenberg (World Scientific, Singapore, 1995), P. 470-479.

51. Karpov A.V., Nadtochy P.N., Vanin D.V., and Adeev G.D. Three-dimensional Langevin calculations of fission fragment mass-energy distribution from excited compound nuclei. // Phys. Rev., 2001, Vol. C63, P.054610.

52. Nadtochy P.N., Adeev G.D., Karpov A.V.; More detailed study of fission dynamics in fusion-fission reactions within a stochastic approach.// Phys. Rev., 2002, Vol. C65, P.064615.

53. Адеев Г.Д., Надточий П.Н. Вероятностный разрыв делящегося ядра на осколки. // ЯФ, 2003, Том. 66, С. 647-661

54. Адеев Г.Д., Карпов А.В., Надточий П.Н., Ванин Д.В., Многомерный стохастический подход к динамике деления возбужденных ядер. // ЭЧАЯ, 2005, том 36, вып. 4. С.732-820.

55. Nadtochy P.N., and Adeev G.D., Dynamical interpretation of average fission-fragment kinetic energy systematics and nuclear scission. // Phys. Rev, 2005, Vol. C72. P.054608.

56. Diebel M., Albrecht K., and Hasse R. Microscopic calculations of fission barriers and critical angular momenta for excited heavy nuclear systems. //Nucl. Phys. 1981 Vol. A355, P. 66-92.

57. Pi M., Vinas X., and Barranco X. Estimation of temperature effects on fission barriers. // Phys. Rev. 1982. Vol. C26, P. 733-735.

58. Guet С., Strumberger E. and Brack M. Liquid drop parameters for hot nuclei. // Phys. Lett. 1988 Vol. B205, P. 427-431.

59. Jaqaman H.R. Instability of hot nuclei. // Phys. Rev. 1989. Vol. C40 P. 1677-1684.

60. Dai G.X., Natowitz G.X., Wada R. et al. Symmetric multi-fragmentation barriers and their temperature dependence in medium and heavy mass nuclei. // Nucl. Phys. 1993 Vol. A568, P. 601-616.

61. Garcias F., Barranco M., Wio H.S. et al. Fission stability diagram of 240Pu. // Phys. Rev 1989. Vol. C40. P. 1522-1524.

62. Garcias F., Barranco F., Nemeth J. et al. The fission of hot rotating nuclei: A selfconsistent thomas-fermi calculation. // Nucl. Phys. 1989. Vol. A495. P. 169-184.

63. Bartel J. and Quentin P. Fission barriers of excited nuclei. // // Phys. Lett. 1985. Vol. B152. P.29-34.

64. Royer G. and Mignen J. Binary and ternary fission of hot and rotating nuclei. // J.Phys. 1992. Vol. G18, P. 1781-1792.

65. Bartel J., Mahboub K.f Richert J., and Pomorski K. Phenomenological model of fission barriers of hot rotating nuclei. // Z. Phys. 1996. Vol. A354. P. 59-65.

66. Myers W. D. and Swiatecki W. J. Nuclear properties according to the Thomas-Fermi model. // Nucl. Phys. 1996. Vol. A601. P. 141-167.

67. Рябов Е.Г., Карпов A.B., Адеев Г.Д. Исследование влияния углового момента на массово-энергетическое распределение осколков деления вланжевеновской динамике.// Препринт ОИЯИ. Р7-2005-206. Принято к публикации в журнал Письма в ЭЧАЯ.

68. Ryabov E.G., Karpov A.V., Adeev G.D. Influence of angular momentum on fission fragment mass distribution: interpretation within Langevin dynamics.// Nucl.Phys. 2006. V-A765. P. 39-60

69. Karpov A.V., Ryabov E.G. and Adeev G.D. Mass-Energy distribution of fission fragments and nuclear viscosity. // JINR. FLNR. Scientific report 2003-2004 Heavy ion physics. Dubna. 2005. Edited by Popeko A.G. P. 7274.

70. Рябов Е.Г. и Адеев Г.Д. Статические и статистические характеристики нагретых ядер в макроскопической температурно-зависимой модели, учитывающей конечность ядерных сил. // ЯФ. 2005. том 68. С. 1583-1598

71. Karpov A. V., Nadtochy P. N., Ryabov E. G., Vanin D. V. and Adeev G. D. Level-density parameter of hot rotating fissioning nuclei within the finite^range liquid-drop» model. //Nucl. PKys: 2004. Vol: 734: P. E37-40

72. Karpov A.V., Nadtochy P.N.,'Ryabov E.G., and Adeev G.D. Consistent application of finite-range liquid-drop model to Langevin fission dynamics of hot rotating nuclei. // J. Phys. G. 2003. Vol. 29. P. 2365-2380

73. Рябов Е.Г., Адеев Г.Д., Термодинамические потенциалы делящегося ядра в макроскопической модели, учитывающей конечный радиус ядерных сил: //Вестник Омского Университета. 2003. Вып. 1. С. 2729.

74. Карпов А.В., Рябов Е.Г. Массово-энергетические распределения осколков деления и ядерная вязкость. //Вестник Омского Университета. 2002. Вып. 2. С. 29-31

75. Pauli Н. С. On the shell model and its application to the deformation energy of heavy nuclei. // Phys. Rep. 1973, Vol. 7. P. 35-100.

76. Сердюк О. И., Адеев Г. Д., Гончар И. И., Пашкевич В. В., Писча-сов Н. И. Массово-энергетическое распределение осколков деления в диффузионной модели. // ЯФ. 1987. Том. 46. С. 710-721.

77. Strutinsky V. М., Lyashchenko N. Ya., Popov N. A. Symmetrical shapes of equilibrium for a liquid drop model. // Nucl. Phys. 1963. Vol. 46. P. 639-659.

78. Струтинский B.M., Лященко H. Я., Попов Н. А. Симметричные фигуры равновесия в модели ядра с резкой поверхностью (капельная модель). // ЖЭТФ. 1962. Том. 43. С. 584-594.

79. P. Ring. Relativistic mean field theory in finite nuclei. // Prog. Part. Nucl. Phys. 1996. Vol. 37. P.193-263.

80. Shlomo S., Kolomietz V.M. Hot nuclei.// Rep. Prog. Phys. 2005. Vol. 68. P. 1-76

81. Ravenhall D. G., Pethick C.J. and Lattimer J.M. Nuclear interface energy at finite temperatures. // Nucl. Phys. 1983 Vol. A407 P. 571-591;

82. Ravenhall D. G., Pethick C.J. and Wilson J.R. Structure of Matter below Nuclear Saturation Density. // Phys. Rev. Lett. 1983 Vol. 50. P. 20662069

83. Hasse R.W. and Stocker W. Temperature effects in the liquid drop description of nuclear fission. // Phys. Lett. 1973. Vol. B44. P. 26-28

84. Stocker W. The effective mass concept and thermal properties of nuclear matter. //Phys. Lett. 1973. Vol. B46. P. 59-61

85. Nerlo-Pomorska В., Pomorski K., Bartel K., and Dietrich K. Nuclear level densities within the relativistic mean-field theory. // Phys. Rev. 2002 Vol. C66. P. 051302.

86. Campi X., Stringari S. Temperature dependence of nuclear surface properties.//Z. Phys. 1983. Vol. A309. P. 239-242.

87. Duijvestijn M.C., Koning A.J., and Hambsch F.-.O. Mass distribution in nucleon-induced fission at intermediate energies. // Phys. Rev. 2001. Vol. C64. P. 014607

88. Brosa U, Grossmann S., and Miiller A. Nuclear scission // Phys. Rep. 1990. Vol. 197. P. 167-262.

89. Игнатюк А.В., Иткис М.Г., Околович В.Н., Смиренкин Г.Н., Тишин А.С. Деление доактинидных ядер. Функции возбуждения реакции (а,/). // ЯФ. 1975. Том. 21. С. 1185-1205.

90. Игнатюк А. В. Статистические свойства возбужденных атомных ядер. // Москва. Энергоатомиздат. 1983. С. 175.

91. Balian R., Bloch С. Distribution of eigenfrequencies for the wave equation in a finite domain: I. Three-dimensional problem with smooth boundary surface. // Ann. Phys. 1970. Vol. 60. P. 401-447.

92. Toke J., Swiatecki W. J. Surface-layer corrections to the level-density formula for a diffuse Fermi gas. // Nucl.Phys. 1981. Vol. A372. P. 141150.

93. Green A. E. S. Nuclear Physics. (McGraw-Hill, New York, 1985), 185.

94. Haddad F. and Royer F. On the competition between symmetric and asymmetric fission. // J. Phys. G 1995. Vol. 21. P. 1357-1362.

95. Blocki J., Randrup J., Swiatecki W. J., and Tsang C.F. Proximity forces. // Ann. Phys. 1976. Vol. 105. P. 427-462.

96. Myers W. D., Swiatecki W. J. Anomalies in nuclear masses. // Ark. Phys. 1967. Vol. 36. P. 343-352.

97. E.M. Растопчин, Ю.Б. Остапенко, М.И. Свирин, Г.Н. Смиренкин. Влияние поверхности ядра на плотность уровней и вероятность деления.// ЯФ. 1989. Том. 49. С. 24-32.

98. Пик-Пичак Г.А., Струтинский В.М. Статистическая теория деления //В сб.: Физика деления атомных ядер, (под редакцией Н.А. Перфи-лова и В.П. Эйсмонта) Госатомиздат, Москва, 1962. С. 357-366.

99. Игнатюк А. В., Смиренкин Г.Н., Иткис М.Г., Мульгин С.И., Около-вич В.Н. Исследование делимости доактиноидных ядер заряженными частицами.// ЭЧАЯ 1985. Том. 16. С. 709-772.

100. A. S. Iljinov, М. V. Mebel, et al. Phenomenological statistical analysis of level densities, decay width and lifetimes of excited nuclei. // Nucl. Phys., 1992, Vol. A543, P. 517-557.

101. Newton J.O., Popescu D.G., and Leigh J.R. Inclusion of temperature dependence of fission barriers in statistical model calculations. // Phys. Rev. 1990. Vol. C42. P. 1772-1774.

102. Карамян C.A., Кузнецов И.В., Музычка Ю.А. и др. Эффективные моменты инерции тяжелых ядер в седловой точке. // ЯФ. 1967. Том. 6. С. 494-504.

103. Reising R.F., Bate G.L., Huizenga J.R. Deformation of the Transition-State Nucleus in Energetic Fission. // Phys. Rev. 1966. Vol. 141. P. 11611166.

104. Schroder W.U. and Huizenga J.R. Heavy-ion-induced fission — experimental status. // Nucl. Phys. 1989. Vol. A502, P. 473-496.

105. Halpern I. and Strutinsky V. M., Angular distributions in particle-induced fission at medium energies, //in Proceedings of the Second United Nations International Conference on the Peaceful Uses of

106. Atomic Energy, Geneva, Switzerland, 1957 (United Nations, Geneva, Switzerland, 1958), P. 408-418.

107. В. M. Струтинский. Равновесная форма ядра в капельной модели с переменным поверхностным натяжением. // ЖЭТФ. 1963. Том. 45. С. 1891-1899.

108. Русанов А.Я., Пашкевич В.В., Иткис В.В. Асимметричные барьеры деления нагретых ядер и экспериментальные распределения масс осколков. // ЯФ. 1999. Том.62. С. 595-609.

109. Pashkevich V.V. On the asymmetric deformation of fissioning nuclei. // Nucl. Phys. 1971. Vol. A169. P. 275-293.

110. Hassani S. and Grang£ P. Neutron multiplicities in fission viewed as a diffusion process. // Phys. Lett. 1984. Vol. B137. P. 281-286.

111. Grange P., Jun-Quing Li and Weidenmiiller. Induced nuclear fission viewed as a diffusion process: Transients. // Phys. Rev. 1983. Vol. C27. P. 2063-2077.

112. Воеводин В. В., Ким Г. Вычислительные методы и программирование. // Изд-во МГУ, 1962.

113. Mamdouh A., Pearson J. М., Rayet М. and Tondeur F. Large-scale fission-barrier calculations with the ETFSI method. // Nucl. Phys. 1998. Vol. A644. P. 389-414.

114. Marten J., Frobrich P. Langevin description of heavy-ion collisions within the surface friction model // Nucl. Phys. 1992. Vol. A545. P. 854-870.

115. Старцев А. И. Эффект конечности длины когерентности в динамике деления ядер. // XIII Meeting on Physics of Nuclear Fission, (SSCRF-IPPE), Obninsk, 1998, edited by B. D. Kuzminov, P. 94.

116. Ivanyuk F.A., Kolomietz V.M., Magner A.G. Liquid drop surface dynamics for large nuclear deformations. // Phys.Rev. 1995. Vol. C52. P. 678-684.;

117. Радионов С.В., Иванюк Ф.Я., Коломиец В.М. и Магнер А.Г. Динамика деления возбужденных ядер в рамках модели жидкой капли // ЯФ. 2002. Том. 65. С. 856-863.

118. Koonin S.E., Hatch R.I., Randrup J. One-body dissipation in a linear response approach. // Nucl. Phys. 1977. Vol. A283. P. 87-107.

119. Yamaji S., Hofmann H., and Samhammer R., Self-consistent transport coefficients for average collective motion at moderately high temperatures. // Nucl. Phys., 1988, Vol. A475, P. 487-518.

120. Hofmann H., Yamaji S., and Jensen A.S. Strength distribution of isoscalar vibrations around thermal equilibrium . // Phys. Lett., 1992, Vol. B286, P. 1-6.

121. К. T. R. Davies, A. J. Sierk, J. R. Nix Effect of viscosity on the dynamics of fission. // Phys. Rev. 1976. Vol. C13. P. 2385-2403.

122. Серегин А. А. Расчеты эффективной массы и поля скоростей делящегося ядра в модели жидкой капли. // ЯФ, 1992, Т. 55, С. 2639-2646

123. Blocki J., Boneh .Y., Nix J. R., Randrup J., Robel M., Sierk A. J., $wi§,tecki A. J. One-body dissipation and the super-viscidity of nuclei. // Ann. Phys. (N.Y.), 1978, Vol. 113, P. 330-386.

124. Davies К. Т. R., Managan R. A., Nix J. R., Sierk A. J. Rupture of the neck in nuclear fission. // Phys. Rev., 1977, Vol. C16, P. 1890-1901.

125. Randrup J., Swiatecki W. J. Dissipative resistance against changes in the mass asymmetry degree of freedom in nuclear dynamics: the completed wall-and-window formula. // Nucl. Phys., 1984, Vol. A429, P. 105-115.

126. Feldmeier W. J. Transport phenomena in dissipative heavy-ion collisions: The one-body dissipation approach. // Rep. Prog. Phys., 1987, Vol. 50, P. 915-994.

127. Griffin J. J., Dvorzecka M. Classical wall formula and quantal one-body dissipation. // Nucl. Phys., 1986, Vol. A455, P. 61-99.

128. Koonin S.E., Randrup J. Classical theory for one-body nuclear dynamics. // Nucl. Phys. 1977. Vol. A289. P. 475-510.

129. Blocki J., Shi J.-J., Swiatecki W.J. Order, chaos and nuclear dynamics. // Nucl. Phys. 1993. Vol. A554. P. 387-412.

130. Pal S., Mukhopadhyay T. Shape, dependence of single particle response and the one body limit of damping of multipole vibrations of a cavity. // Phys. Rev. 1996. Vol. C54, P. 1333-1340.

131. Pal S., Mukhopadhyay T. Chaos modified wall formula damping of the surface motion of a cavity undergoing fissionlike shape evolutions. // Phys. Rev. 1998. Vol. C57, P. 210-216.

132. Blocki J., Brut F., Srokowski T. and Swiatecki W. J. The order to chaos transition in axially symmetric nuclear shapes. // Nucl. Phys. 1992. Vol. A545. P. 511-521.

133. Hofmann H., Ivanyuk F. A., Rummel C., and Yamaji S., Nuclear fission: onset of dissipation from a microscopic point of view. // Phys. Rev. 2001. Vol. C64. P. 054316.

134. Bush B. W., Bertsch G. F., and Brown B. A. Shape diffusion in the shell model. // Phys. Rev. 1992. Vol. C45. P. 1709-1719.

135. F. A. Ivanuyk and H. Hofmann, Pairing and shell effects in the transport coefficients of collective motion. // Nucl. Phys., 1999, Vol. A657, P. 1958.

136. Wegmann G. Static viscosity of nuclear matter. //Phys.Lett. 1974. Vol. B50. P. 327-329.

137. Mavlitov N. D., Frobrich P., Gontchar I. I. Combining a Langevin description of heavy-ion induced fission including neutron evaporation with the statistical model. // Z. Phys., 1992, Vol. A342, P. 195-198.

138. Dostrovsky I., Fraenkel Z., and Friedlander G. Monte Carlo calculations of nuclear evaporation processes. III. Applications to low-energy reactions. // Phys. Rev., 1959, Vol. 116, P. 683-702.

139. Junghans A. R., de Jong M., Clerc H.-G., Ignatyuk A. V., Kudyaev G. A. and Schmidt K.-H. Projectile-fragment yields as a probe for the collectiveenhancement in the nuclear level density. // Nucl. Phys. 1998. Vol. A629. P. 635-655.

140. Bj0rnholm S, Bohr A. and Mottelson B. R. // in Proc. Third IAEA Symp. on Physics and Chemistry of fission (Rochester) vol. 1. (Vienna: IAEA) 1973. P. 367.

141. Hansen G. and Jensen A. S. Energy dependence of the rotational enhancement factor in the level density. // Nucl Phys. 1983. Vol. A406. P. 236-256.

142. Weindenmiiler H. A. and Jing-Shang Zhang, Stationary diffusion over a multidimensional potential barrier: a generalization of Kramers' formula. // Journ. Statist. Phys. 1984. Vol. 34, P. 191-201;

143. Jing-Shang Zhang and Weidenmiiller H. A., Generalization of Kramers's formula: fission over a multidimensional potential barrier. // Phys. Rev. 1983. Vol. C28. P. 2190-2192.

144. Gontchar I.I., РгоёЬпсЬ P., Pischasov N.I. Consistent dynamical and statistical description of fission of hot nuclei. // Phys. Rev. 1993. Vol. C47. P. 2228-2235.

145. Hofmann H., Ivanyuk F.A. Mean First Passage Time for Nuclear Fission and the Emission of Light Particles. // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 90. P. 132701.;

146. Hofmann H., Magner A.G. Mean first passage time for fission potentials having structure //Phys. Rev. 2003. Vol. C68. P. 014606.

147. Bao J.D., Jia Y. Determination of fission rate by mean last passage time. // Phys. Rev. 2004. Vol. C69. P. 027602.

148. Carjan N. and Kaplan M. Asymmetric fission of 149Yb from the finite-range, rotating-liquid-drop modehMean total kinetic energies for binary fragmentation. // Phys. Rev. 1992. Vol. C45. P.2185-2195.

149. Sanders S.J., Szanto de Toledo A., and Beck C. Binary decay of light nuclear systems. // Phys. Rep. 1999. Vol. 311. P.487-551.

150. Newton J. О., Hinde D. J., Charity R. J., Leigh R. J., Bokhorst J. J. M., Chatterjee A., Foote G. S. and Ogaza S. Measurement and statistical model analysis of pre-fission neutron multiplicities. // Nucl. Phys. 1988. Vol. A483. P. 126-152.

151. Hinde D. J., Hilscher D., Rossner H., Gebauer В., Lehmann M., Wilpert M. Neutron emission as a probe of fusion-fission and quasifission dynamics. // Phys. Rev., 1992, Vol. C45, P. 1229-1259.

152. Hinde D. J., Ogata H., Tanaba M., Shimoda Т., Takahashi N., Shinohara A., Wakamatsu S., Katori S. and Okamura H. Systematics of fusion-fission time scales. // Phys. Rev. 1989. Vol. C39. P. 2268-2284.

153. H. Rossner, D. J. Hinde, J. R. Leigh, J. P. Lestone, J. 0. Newton, J. X. Wei, and S. Elfstrom, Influence of pre-fission particle emission on fragment angular distributions studied for 208Pb(16O,/).// Phys. Rev., 1992, Vol. C45, P. 719-73.5.

154. Leigh J. R., Hinde D. J., Newton J. 0., Galster W. and Sie S. H. Fission-Imposed Limits to the Angular Momentum Carried by Evaporation Residues from the Compound Nucleus 200Pb. // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 48. P. 527-530

155. Morton C. R., Hinde C. R., Leigh C. R., Lestone J. P., Dasgupta J. P., Mein J. C., Newton J. 0., and Timmers H. Resolusion of the anomalousfission fragment anisotropics for the 1G0 +208 Pb reaction. // Phys. Rev. 1995. Vol. C52. P. 243-251.

156. Brinkmann K.-T., Caraley A. L., Fineman B. J., Gan N., Velkovska J., and McGrath R. L. Residue excitation functions from complete fusion of 160 with 197Au and 208Pb. // Phys. Rev. 1994. Vol. C50, P. 309-316.

157. Videbaek F., Goldstein R. В., Grodzins L., Steadman S. G., Belote T. A., and Garrett J. D. Elastic scattering, transfer reactions, and fission induced by 160 ions on 181Ta and 208Pb. // Phys. Rev. 1977. Vol. C15. P. 954-971.

158. Back В. B. , Betts R. R., Gindler J. E., Wilkins B. D., Saini S., Tsang M. В., Gelbke С. K., Lynch W. G., McMahan M. A., and Baisden P. A. Angular distributions in heavy-ion-induced fission. // Phys. Rev., 1985, Vol. C32, P. 195-213.

159. Русанов А.Я., Иткис М.Г. и Околович В.Н. Свойства массовых распределений осколков деления нагретых вращающихся ядер. // ЯФ. 1997. Том. 60. С. 773-803.

160. Faber М.Е. The mass distribution width of heavy-ion fission for various composite systems // Z.F^hys. 1980. Vol. A297, P .277-278

161. Glagola B.G., Back B.B., and Betts R.R. Effects of large angular momenta on the fission properties of Pt isotopes //Phys. Rev. 1984. Vol. C29, P. 486-497.

162. Адеев Г.Д., Гончар И.И., Марченко J1.A., Писчасов Н.И. Флуктуационно-диссипативная динамика формирования зарядового распределения осколков деления. // ЯФ. 1986. Том. 43. С. 1137-1148.

163. W.Q. Shen, J. Albinski et al. Characteristics time for mass asymmetry relaxation in quasi-fission reaction. // Europhys. Let. 1986. Vol. 1 113121.;

164. W.Q. Shen, J. Albinski et.al. Fission and quasifission in U-induced reactions. // Phys. Rev. 1987. Vol. C36 P. 115-142.

165. Гончар И.И., Пономаренко Н.А., Туркин В.В., Литневский JI.A. Теоретическое исследование зависимости среднего времени деления возбужденных атомных ядер от углового момента. // ЯФ. 2004. Том. 67. С. 2080-2095.

166. Hohenberg P., Kohn W. Inhomogeneous Electron Gas.// Phys.Rev. 1964. Vol. B136. P. 864-871.

167. Wigner E.P. On the Quantum Correction For Thermodynamic Equilibrium. // Phys.Rev. 1932. Vol. 40 P. 749-759.

168. Kirkwood J.G. Quantum Statistics of Almost Classical Assemblies // Phys.Rev. 1933. Vol. 44 P. 31-37.