Многомерные когерентные меры риска и их применение к решению задач финансовой математики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М В Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.21

Куликов Александр Владимирович

МНОГОМЕРНЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ МЕРЫ РИСКА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

01 01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2009

003465274

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей Механико-математического факультета Московского Государственного Университета им M В Ломоносова

Научный руководитель- член-корреспондент РАН, профессор,

доктор физико-математических наук Ширяев Альберт Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Богачев Владимир Игоревич, МГУ имени M В Ломоносова,

доктор физико-математических наук, профессор Павлов Игорь Викторович, Ростовский государственный строительный университет

Ведущая организация Ульяновский государственный университет

Защита диссертации состоится 13 марта 2009 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501 001 85 при Московском Государственном Университете им M В Ломоносова по адресу 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж)

Автореферат разослан 12 февраля 2009 года

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 501 001 85 при МГУ,

доктор физико-математических наук,

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Одной из наиболее важных задач финансовой математики является задача измерения риска В работе1 Ф Артцнера, Ф Делбаена, Ж -М Эбера и М Хига было введено понятие когерентной меры риска

Отметим, что необходимость рассмотрения новою класса мер риска была вызвана, в частности, наличием недостатков у меры V@R (Value at Risk, "стоимость под риском") очень широко используемой на прак-

В настоящее время теория когерентных мер риска активно развивается Достаточно упомянуть работы2'3'4'5'0'71 а также обзоры8,9 Наряду с когерентными мерами риска был рассмотрен более общий случай выпуклых мер риска5'10'п Во всех перечисленных работах рассматриваются одномерные меры риска, т е измеряется риск одномерных случайных величин, имеющих смысл стоимости портфелей, выраженной в единицах некоторой базовой валюты Такой подход оправдан в том случае, когда имеется базовая валюта, или в том случае, когда в конечный момент времени все финансовые позиции ликвидируются, т е

1 Arlznei Р , Dclbatn F, ЕЪет J А!, Heath D Thinking coherently Risk, 10 (1997), No 11, p 6S-

71

2 Черпый А С Нахождение справедтивой цены на основе когерентных мер риска Теория вероятностей и ее применения, 52 (2007), и .1, с: 506-540

3 АеетЬг С ^pcctial measures of risk a coherent representation of subjective lisk aversion Journal of Banking and Finance, 28 (2002), No 7, p 1505-1518

л Aurbt С, Tasrhe D Oil the coliereme of expeeted shortfall Journal of Banking and Finance, 26 (2002), No 7, ]) 1487-1503

Burgert С, Ruschendorf L Consistent risk measures for portfolio vectors Insurance Mathematics and Economics, 38 (200C), No 2 p 2S9-297

r> Dtlbaf n F Coherent risk measure s on general probability spaces In К Sandmann, P Schonbue her (Eds ) Advances in finance and stochasties Essavs in honor of Dieter Sondermann Springer 2002 p 1-37

7 Foilmer II, Schied A Robust preferences and convex measures of risk In К Sandmann, P Sehonbuehcr (Eds ) Advances in finance, and slochastics Essays m honor of Dieter Sondermann Springer, 2002, p 39-56

8 Foilmer H, Schied A Stochastic finance An introduction in disciete time 2nd Ed Walter de Giujter, 2004 Chapter 4

y Schied A Risk me asures and robust optimization problems Stochastic Models 22 (2006) No 4,

10 Fullmer H, Schied A Convex measures of risk and trading constraints Finance and Stochastics, 6 (2002), No 4, p 429-447

11 Frittelh M, Rosazza Giamn E Putting order m risk measures Journal of Banking and Finance, 26 (2002), No 7, p 147V1486

тике

p 753-831

превращаются в некоторое количество единиц базового актива

Однако подход с использованием одномерных когерентных и выпуклых мер риска неудобен, например, при описании портфеля, состоящего из нескольких валют, когда нет единой "канонической" валюты, к которой должен приводиться портфель В этом случае гораздо естественнее пользоваться подходом, предложенным Ю М Кабановым12 (см также работу13), при котором портфель описывается не как число, а как вектор, г-я компонента которого имеет смысл количества в портфеле активов г-го типа

Если описывать портфели как векторы, то возникает необходимость рассмотрения многомерных мер риска Понятие многомерной когерентной меры риска было введено в работе Э Жуини, М Меддеба, Н Тузи14 (см также работы15'16) Их подход нацелен на то, чтобы учесть операционные издержки при обмене одной валюты на другую Однако в их модели операционные издержки являются неслучайными Таким образом, не учитывается риск, связанный с изменением обменных курсов, являющийся па сегодняшний день одним из важнейших финансовых рисков Многомерные когерентные и выпуклые меры риска, учитывающие этот вид риска, вводятся в настоящей диссертации

В работе17 Ф Артцнер, Ф Делбаен, Ж-М Эбер и М Хис доказали базовую теорему о представлении когерентных мер риска (теорема о представлении выпуклых мер риска была доказана в работах10'11) В диссертации рассмотрены аналогичные представления в многомерном случае Отметим, что эти теоремы доказаны для случая ограниченных случайных величин

Поскольку во многих моделях, рассматриваемых в финансовой мате-

12 Kabanov Yu М Hedging and liquidation under transaction costs m currency markets Finance and Stochastics, 3 (1999), No 2 p 237-248

13 Kabanov \u M, Strieker С The Harrison-Pliska arbitrage pricing theorem under transaction costs Journal of Mathematical Economics, 35 (2001), No 2 p 185-19G

14 Jouim E, Meddeb M, Touzi N Vector-valued coherent risk measures Finance and Stocliastics,

8 (2004), No 4, p 531-552

15 Cascos I, Molchanov I Multivariate Risks and Depth-Trimmed Regions Finance and Stocliastics, 11 (2007) No 3 p 373-397

16 Ilamel A H, Heyde F, Ilohne M Set-valued Miasures of Risk Preprint No 15-2007, Halle Martin-Luther-Urmcrsitat Halle-Wittenberg, Institut fur Matematik 2007 To appear in Finance and Stochastics

l' Artzner P , Dtlbaen F, Eba J -M, Heath D Coherent measures of risk Mathematical Finance,

9 (1999), No 3, p 203-228

матике, активы не являются ограниченными случайными величинами, то следует расширить класс случайных величин, для которых применима теория когерентных и выпуклых мер риска Л именно, используя потученные представления, можно продолжить когерентные (выпуклые) меры риска на пространство L0 всех случайных величин

Теперь рассмотрим применение мер риска к задачам финансовой математики При этом когерентные меры риска, определенные на L0, оказывакнея более удобными, чем выпуклые

Одной из таких задач является задача распределения капитала между несколькими частями портфеля (например, распределение риска портфеля большой фирмы между различными отделами этой фирмы) В одномерном стучае эта задача была введена в работе18 Вопросы, связанные с распределением капитала также рассматривались в работах19,20,21

В работе2 доказана теорема, которая дает геометрическое и вероятностное решения задачи распределения риска, испотьзуя понятие экстремальной меры

Задача распределения риска тесно связана с проблемой определения риск-вклада, рассмотренной в работах2,18 Два первых применения многомерных когерентных мер риска — решение задачи распределения капитала и задача определения риск-вклада в многомерном случае — завершают первую главу диссертации

Глава 2 посвящена задаче нахождения справедливых цен платежных поручений Основным результатом в этой области является фундаментальная теорема теории арбитража В одномерном случае было введено условие отсутствия арбитража (NA) и доказана соответству-

18 Delbarn F Coherent monetär} utility functions Препринт, доступен на сайте http //www ciath ethz ch/"delbaen под названием 'Pisa lecture notes , 38 p

19 Denault M Coherent allocation of risk capital Journal of Risk, 4 (2001), No 1, p 1-34

20 Fischer T Risk capital allocation by coherent risk measures based on one-sided moments Insurance Mathematics and Economics, 32 (2003), No 1, p 135-146

21 Kalkbrenncr M An axiomatic approach to capital allocation Mathematical Finance, 15 (2005), No 3, p 425-437

ющая теорема (см работы22>2!>24) В случае рынка валют с операционными издержками Ю М Кабановым был предложен многомерный NA-подход12 (см также работы13'25,26,27 )

В то же время, интервал NA-справедлнвых цен является обычно слишком широким в неполных моделях, поэюму появились новые подходы к ценообразованию, ставящие своей целью добиться сужения границ Новый подход к ценообразованию (NGD (No Good Deals, отсутствие "хороших сделок'')) был рассмотрен в работах28'29 Поясним идею этого подхода Рассмотрим платежное поручение, которое с вероятностью 1/2 ничего не приносит своему владельцу, а с вероятностью 1/2 приносит 1000 рублей Тогда интервал NA-справедливых цен для данного платежного поручения будет (0,1000) Но если, например, цена такого платежного поручения будет 15 рублей, то каждый будет стремиться купить такое платежное поручение и никю не будет стремиться его продать Таким образом, 15 рублей будет нереалистичной ценой для данного платежного поручения, н покупка этого платежного поручения будет являться ' хорошей сделкой" для всех участников рынка Техника NGD основана на том факте, что "хороших сделок" нет В работах2'18 было рассмотрено условие NGD, основанное на одномерных когерентных мерах риска

Целыо главы 2 является введение условия NGD и вычисление NGD-справедливых цен в многомерном случае В качестве примера применения этой техники рассмотрена динамическая модель обменных курсов и проведено сравнение полученных результатов с результатами, полу-

22 Dalanq R С, Morton А , Wihnger W Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic set unties market models Stochastics and Stochastic Reports, 29 (1990), No 2, p 185-201

23 Harrison 1 M} Pliska S R Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading Stochastic Processes and Their Applications, 11 (1981), No 3, p 215-2G0

24 Kabanov Yu M, Strieker Ch A teachers' note on no-arbitrage criteria Lectures Notts 111 Mathematics, 1755 (2001), p 149-152

25 Kabanov Yu M, Rasonyi M, Strieker Ch No-arbitragc criteria for financial markets with efficient friction Finance and Stochastics, 6 (2002), No 3, p 403-411

26 Kabanov Yu M, Rasonyi M, Stncktr Ch On the closedness of sums of cones m L° and the robust no-arbitiage property Finance and Stochastics, 6 (2003), No 3, p 371-382

27 Schachermaycr W The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs m finite discrete time Mathematical Finance, 14 (2004), No 1, p 19-48

28 Bernardo A , Ledoit О Gain, loss, and asset pricing Journal of Political Economy, 108 (2000) No 1, p 144-172

29 Cochrane J H, Saa-Requtjo / Beyond arbitrage good-deal asset price bounds in incomplete markets Joinnal of Political Economy, 108 (2000), No 1, p 79-119

ченными при использовании многомерного NA-подхода

Помимо самого ценообразования другими важными вопросами явля-Ю1ся вопросы определения верхних; и нижних справедливых цен, суб-и суперхеджирующих стратегий и доказательства теорем об их нахождении, многомерные аналоги коюрых рассматриваются в главе 2

Глава 3 посвящена многомерным аналогам широко распространенных мер риска В работе1 был введен первый пример одномерной когерентной меры риска (худшее условное математическое ожидание (WCE)) Эта мера риска является первым когерентным аналогом V@R В работе17 был введен хвостовой VÜR (называемый еще средним V@R или ожидаемым убытком) Эта когерентная мера риска совпадает с WCE при выполнении некоторых простых условий Важность хвостового VSR видна из результата С Кусуоки30, который доказал, что хвостовой V@R является наименьшей инвариантной по распределению когерентной мерой риска, доминирующей V@R

Описывая портфель как вектор и используя многомерные меры риска в диссертации рассматриваются разчичные многомерные аналоги V@R, хвосювого V@R и более общей меры — взвешенного V@R

Два многомерных аналога V@R (сильный и слабый V@R) были введены в работе31, а также рассматривалась в работе16 Сильный V@R (соответственно, слабый V@R) считает безрисковыми портфели, которые не MOi ут быгь переведены с вероятностью меньше чем Л в нулевой поргфель (соответственно, не могут быть получены из нулевого портфеля) Заметим, что приведенные выше многомерные аналоги совпадают с V@R в одномерном случае (на рынке только одна валюта) Следовательно, они не удовлетворяют свойству диверсификации, т е не являются многомерными когерентными мерами риска

Многомерный аналог WCE был введен в работе14 Один из многомерных аналогов хвостового V@R был введен в работе16 посредством множественно-значного математического ожидания и назван средним VOR

10 Kusuoka S On law invariant coherent risk measures Advances in Mathematical Economics, 3 (2001), p 83-95

41 Einbrichts P , Puccetti G Bounds for functions of multivariate risk Journal of Multivariate Anal}sis, 97 (2006), No 2, p 526-547

Однако далее в одномерном случае хвостовой V@R имеет ряд недостатков32 Например, он зависит только от "хвоста'' распределения Чтобы устранить этот недостаток, С Кусуокои в работе30 был введен взвешенный V@R

Одним из наиболее важных классов когерентных мер риска в одномерном случае является класс мер р, инвариантных по распределению, т е если X У, то р(Х) = p(Y) В одномерном случае базовыми элементами этого класса являются хвостовой V@R и взвешенный V@R Точное представление инвариантных по распределению когерентных мер риска было установлено С Кусуокои 30 и обобщено на случай выпуклых мер риска в работе33 и независимо в работе34

Глава 3 посвящена изучению свойств уже упомянутых мер, а также мер, вводимых в диссертации Также мы рассматриваем свойства инвариантности по распределению и согласованности с пространством, определение которых для многомерного случая вводятся в настоящей диссертации

Цель работы

Целью настоящей работы является определение когерентных и выпуклых мер риска в многомерном случае, нахождение представления этих мер риска, а также их применение к решению задач распределения капитала и определения риск-вклада Целью работы также является рассмотрение многомерного аналога условия NGD (No Good Deals, отсутствие "хороших сделок"), введение хвостового и взвешенного V@R, а также условий инвариантности по распределению и согласованности с пространством в многомерном случае

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

1 Введена аксиоматизация многомерных когерентных (выпуклых) мер риска и показана их связь с одномерными когерентными (вы-

32 Cherny A S Weighted VäR and its properties Finance and Stochastics 10 (2006), Nu 2, p 367-393

33 Kunze M Verteiligungsmvariante konvexe Risikoma/?e Diplomarbeit Hiinibolt Unmrsitat Berlin, 2003

34 Fnttclli M, Rosazza Gianin E Dynamic convex risk measures In G Szego (Ed ) Risk measures for the 21-st century Wiley, 2001

пуклыми) мерами риска Доказана теорема о представлении многомерных когерентных (выпуклых) мер риска и введены понятия определяющего множества и штрафной функции п многомерном случае Введено понятие экстремального элемента и рассмотрены его применения к решению некоторых задач финансовой математики распределению капитала и определению риск-вклада в многомерном случае

2 Дано определение условия N00 в многомерном случае, а также доказана теорема о нахождении ХОО-справедливых цен Применена техника ХвО в случае динамическом модели обменных курсов Введены понятия верхних и нижних цен вдоль направления доказана теорема об их нахождении и приведен пример нахождения справедливых обменных курсов в модели с двумя валютами

3 Введено понятие многомерного хвостового и взвешенного Введены и рассмотрены свойства инвариантности по распределению и согласованности с пространством в многомерном случае Проведена проверка выполнения этих свойств для различных многомерных обобщений хвостового

Методы исследования.

В доказательстве утверждений диссертации применены методы стохастического анализа теория мартингалов, теория измеримого выбора и др , а также элементы функционального анализа теоремы об отделимости, теория слабой топологии

Теоретическая и практическая значимость.

Задачи диссертации относятся к финансовой математике В то же время, полученные утверждения относятся и к области стохастического анализа

Работа носит теоретический характер Ее результаты могут быть полезны при изучении вопросов, связанных с определением риска портфеля на валютном рынке, сужением интервалов справедливых цен для платежных поручений на рынке валют в моделях непрерывного времени, а также в моделях с операционными издержками Кроме того, результаты могут быть применены при решении вопросов оптимального

распределения портфеля компании и определения риск-вклада отдела компании в случае мультивалютного рынка

Апробация диссертации

Результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах

1 Научно-исследовательский семинар "Случайные процессы и стохастический анализ" кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством А Н Ширяева МГУ, 2006-2008 гг (неоднократно)

2 Большой Семинар кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством А Н Ширяева МГУ, октябрь 2008 г

3 Семинар "Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании" ЦЭМИ РАН под руководством В А Аркина и Э JI Пресмана г Москва, ЦЭМИ РАН, декабрь 2008 г

Также результаты докладывались на следующих конференциях

1 XIV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" Название доклада "Определение и теоремы представления многомерных когерентных и выпуклых мер риска " МГУ, апрель 2007 г

2 Woikshop and Mid-Term Conference on Advanced Mathematical Methodb for Finance Название доклада "Multidimensional Coherent and Convex Risk Measures " Австрия, г Вена, сентябрь 2007 г

3 XV Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам Название доклада "Согласованность с пространством, инвариантность но распределению многомерных мер риска и многомерные аналоги хвостового V@R " г Волжский, октябрь 2008 г

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 2 работах, список которых приводится п конце автореферата Работ, написанных в соавторстве, нет

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и трех глав Общий объем работы составляет 139 страниц Список литературы включает 69 наименований Собственные результаты автора и в тексте диссертации, и в автореферате называются "теоремами" Цитируемые утверждения называются "предложениями'

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1 посвящена введению многомерных когерентных и выпуклых мер риска

Наш подход аналогичен подходу14, однако, в огличие от этой работы, матрица обменных курсов считается случайной Также рассматриваются и многомерные выпуклые меры риска Пусть (П, Т, Р) — вероятностное пространство, К О, —> К. — измеримое отображение, где К, — множество непустых замкнутых конусов С таких, что С ф + = С С финансовой точки зрения, К — кон^с об-

менных курсов в момент времени 1 для (I различных валют (т е К(и>) — множество портфелей, которые мы можем получить в момент времени 1 из нулевого при элементарном исходе ш) Пусть С — множество непустых выпуклых замкнутых множеств на К**, векторы X = (X1, тХ11) 6 (Ь°°)'1 имеют смысл портфелей в момент времени 1, т е Хг — количество единиц г-й валюты в портфеле в момент времени 1 Зададим частичное отношение порядка на множестве портфелей по формуле X У, если Х(и) — У(ш) € К(ш) для п в ш Введем следующее определение

Определение 1 (1) Многомерная когерентная функция полезности — функция и (Ь°°У —> С \ {Е^}, удовлетворяющая следующим аксиомам

(а) (диверсификация) и(Х + У) О и(Х) + гг(У),

(b) (отношение частичного порядка) если X < У, то и(Х) С и(У),

(c) (положительная однородность) и(ХХ) = Хи(Х) \/Л > 0,

(с!) (инвариантность относительно сдвига) и(Х + т) = и(Х) + т для любого тб®*1,

р

(е) (свойство Фату) если ||Х„|| < с и Хп —» X, то и(Х) 3 1ш1„ и(Хп), т е если х принадлежит бесконечно многим и(Хп), то х принадлежит и(Х)

(и) Многомерная вогнутая функция полезности — функция и (Ь°°У > С \ {К^}, удовлетворяющая аксиомам (Ь), (с!), (е) и аксиоме (а') (вогнутость) и(аХ + (1 — а)У) 2 аи(Х) + (1 — а)л(У) для любого а е [0,1]

С финансовой точки зрения, и(Х) — множество неслучайных портфелей, которые "не лучше" портфеля X Соответствующая многомерная когерентная (соответственно, выпуклая) мера риска определяемся как р(Х) — —и(Х) С финансовой точки зрения, р(Х) — множество неслучайных портфелей х 6 которые делают позицию X + х без-рисковои

Очевидно, что если и — одномерная когерентная (соответственно, вогнутая) функция полезности, то отображение ь(Х) = (—оо, ирО] будет многомерной когерентной (соответственно, вогнутой) функцией полезности в смысле определения 1 с <1 = 1 и К(ш) = Ж_ Обратно, если в, — 1, К (и) — М- и и — когерентная (соответственно, вогнутая) функция полезности в смысле определения 1, то функция у(Х) = зир{х £ 1 х £ мрО} является одномерной когерентной (соответственно, вогнутой) функцией полезности Таким образом, данное выше определение является многомерным обобщением одномерного

В главе 1 доказаны теоремы о представлении для многомерных когерентных и вогнутых функций полезности

Теорема 2 (г) Функция и (Ь00)11 —> С является многомерной когерентной функцией полезности тогда и только тогда, когда существует непустое множество Т> С (Ь1)Л такое, что для любого

Z 6 Т> выполнено свойство Z(ul) £ К*{и)) Р -пи и

и(Х) = |х е Е'г VZeVJ2 Ехггг <^ЕХггг\, (1)

г=1 1=1 )

где К*(и>) — отрицательная поляра к конусу К(и>), т е К*(ш) = {хеШ1 Уг е К (и) (х, г) < 0}

(гг) Функция и (Ь00)'1 —» С является многомерной вогнутой функцией полезности тогда и только тогда, когда существуют непустое множество V С {ЬХ)Л такое, что для любого Z Е.Т> выполнено свойство Е К*{ш) Р-п п , и функция а V —» К такие, что

и(х) = 1Х е ^ уг е х> ^ Ех1гг < ^ Ехггг + а(2)| (2) ^ 1=1 1=1 '

Поскольку во многих моделях, рассматриваемых в финансовой математике, активы не япляютс я ограниченными случайными векторами, то следует расширить класс случайных векторов, для которых применима теория когерентных и выпуклых мер риска А именно, используя представления (1) и (2), аналогично работе2 можно продолжить многомерные когерентные и вогнутые функции полезности на

Видно, что множество Т> из представления (1) не единственно Однако существует наибольшее множество

( <1 (I -V

| г е {ь1У Ех1гг < ^ Ехгг1 для любых х е (ьа)Л, х е и{х) I

г=1 г=1 '

Также видно, что штрафная функция а из представления (2) не единственна Однако существует наименьшая из ннх

<1

V ^ Л

1=1

оо\(1

(.г)= зир ^Е(-хггг),

где Аи = {Хе {Ь™У и(Х) Э 0}

Определение 3 (1) Назовем наибольшее множество, для которого выполнено (1), определяющим множеством для когерентной функции полезности и

(и) Назовем минимальную функцию, для которой выполнено (2), минимальной штрафной функцией для вогнутой функции полезности и

Определим многомерную когерентную функцию полезности по формуле (1) Тогда V будет определяющим множеством для и Таким образом, если мы вводим многомерную когерентную функцию полезности посредством множества Т>, являющегося (Ь1)*2-замкнутым выпуклым конусом, то мы знаем определяющее множество этой многомерной когерентной функции полезности

Далее рассматривается применение мер риска к задачам финансовой математики При этом когерентные меры риска оказываются более удобными, чем выпуклые, поэтому будем иметь дело с многомерными когерентными функциями полезности, определенными на {Ьа)а

Для решения некоторых задач с помощью многомерных когерентных функций полезности введем понятие экстремального элемента, которое в одномерном случае было рассмотрено в работе2

Определение 4 Пусть и — многомерная когерентная функция полезности с определяющим множеством V Пусть X 6 (Ь°У,х £ ди(Х), где ди(Х) — граница множества и(Х) Назовем ненулевой случайный вектор 2 £ Т> экстремальным элементом для X в точке х для когерентной функции полезности и, если

Множество всех экстремальных элементов для X в точке х обозначим через Хр(Х,х)

Для следующей теоремы нам понадобится еще одно определение

Определение 5 Пусть и — многомерная когерентная функция полезности на (Ь°У, V — ее определяющее множество Положим

Важное замечание Пусть Т> — (¿^-замкнутый выпуклый конус

¿1

а

Тогда сиаьное Ь1-пространство ассоциированное с и, задается следующим образом

В диссертации доказана следующая теорема

Теорема 6 Если Г>П£ слабо компактно, X £ ^(И) и х £ ди(Х), то х) фа

Рассмотрим задачу распределения капитала в многомерном случае Пусть Т> П С является слабо компактным, Х\, ,Хп £ Ь\(Т>), соответствующая мноюмерная когерентная функция полезности и = — р С финансовой точки зрения, Хг — прибыль г-го отдела фирмы за единичный период времени, выраженная портфелем валют Обозначим через Л° внутренность множества А Приводимое ниже определение является многомерным обобщением определения из работы18

Определение 7 Назовем х\, ,1„ е К1' распредмением полезности между Х\, ,Хп, если

(и) для любых Нп > 0 верно, что ^"=1 ^ ^Л)

С финансовой точки зрения, хг — вклад г-го отдела фирмы в полезность суммарного капитала фирмы С точки зрения риска, —хг — вклад г-го отдела фирмы в общий риск фирмы, или, другими словами капитал, который должен быть выделен г-й компоненте фирмы Тогда верна следующая теорема

Теорема 8 (г) Пусть Хо £ 1-^г) Пусть го — внешняя

нормаль к множеству Хг) в точке Хо Тогда существует на-

бор (х\, ,хп) такой, что выполнены следующие два условия

(a) £Г=1 хг = хо,

(b) существует Z £ з"о) такой, что

(О ЕГ=1хг е ы(ЕГ=1Х0.

<г

а

Ег = г0

Любой набор такого вида является распределением полезности между Х\, ,Хп

(гг) Все решения задачи о распределении полезности между Хх, , Хп представляются в вышеуказанном виде (с некоторыми хц,го)

Помимо вероятностного решения в диссертации также дано геометрическое решение задачи распределения полезности (см теорему 1 19)

Также в диссертации рассмотрена проблема определения риск-вклада в многомерном случае с помощью когерентных мер риска Полученные результаты являются многомерными аналогами одномерных результатов из работы2 В виду громоздкости формулировок мы не цитируем этот результат в автореферате — см определение 1 23 и теорему 1 24 диссертации

Глава 2 посвящена рассмотрению условия N00 и введению множества справедливых цен для платежных поручении в многомерном случае

Пусть V — определяющее множество многомерной юлерентной функции полезности и такое, что V П С — слабо компактно Пусть А — выпуклое замкнутое подмножество в (Х/0)^ С финансовой точки зрения, А — множество дисконтированных прибылей, которые могут быть получены в данной модели с помощью различных стратегий, выраженных случайным портфелем валют Это множество будет называться множеством достижимых прибылей Введем понятие риск-нейтрального вектора

Определение 9 Назовем риск-нейтральным вектором ненулевой вектор ^ е (Ь1+У такой, что ^ 0 для любого X € А

Множество риск-нейтральных векторов будем обозначать через К или ЩЛ), если это важно подчеркнуть

Теперь введем понятие Т> -согласованности

Определенно 10 Будем говорить, что А является V-согласованным, если существует множество А' С А П ЬК'Р) такое, что V П Я = V П ЩА')

Предположим, что множество достижимых прибылей А является V-согласованным Как показано в диссертации, это предположение автоматически выполняется для естественных моделей

Теперь введем условие отсутствия 'хороших сделок" (NGD, No Good Deals (NGD))

Определение 11 Модель удовлетворяет условию NGD (No Good Deals), если не существует X £ А такого, что и(Х) П (R+ \ {0}) ^ 0

Тогда выполнена следующая теорема

Теорема 12 Модель удовлетворяет условию NGD тогда и только тогда, когда Т> П R ^ 0

Данные выше определение и теорема являются многомерными аналогами результатов, полученных А С Черным2 В случае d, = 1 они совпадают

Перейдем к понятию справедливой цены для платежных поручений Пусть F £ (L°)d — дисконтированная прибыль платежного поручения, выраженная ¿-мерным портфелем валют

Определение 13 NGD-справедливой ценой для платежного поручения F назовем вектор х £ Rd такой, что расширенная модель (П, Т, Р, V, А + {h(F -х) he Щ) удовлетворяет условию NGD

Множество NGD-справедливых цен для платежного поручения F обозначим через I^cd(F)

Из теоремы 12 получается следующий результат

Следствие 14 Для F £ Ь\(Т>) Ingd(F) = {х Е(Z, х) = Е(Z, F) для некоторого Z £ Т> П R}

В диссертации приведен пример применения техники NGD к динамической модели обменных курсов Рассмотренный подход во многом аналогичен работам 12>13»25.26>27 > однако полученные нами результаты применимы не только в случае дискретного, но и в случае непрерывного времени Множества справедливых цен оказываются меньше,

при этом не требуется накладывать никакие технические условия па множество стратегий А, как это было в указанных работах

Также ь диссертации введены понянш верхних и нижних цен, суб- и суперхеджнрующих стратегий вдоль направления (определение 2 19 диссерхации), доказаны теоремы об их нахождении (теоремы 2 20, 2 21, 2 27, 2 29), а также приведены примеры для их нахождения в некоторых моделях

Глава 3 посвящена различным примерам многомерных когерентных мер риска аналогов У@И, хвостового УЙИ. взвешенного УМ1

Ранее в работах, где предлаюлись разные примеры многомерных мер риска, конус был неслучайным Поэтому мы сначала рассмагрива-ем обобщения на этот случай, а затем исследуем возможности определения меры и для случайного конуса Оказывается, что естественные обобщения на случанный конус в некоторых случаях не всегда возможны, а в некоторых — можно предложить несколько обобщении

В диссертации вводится весьма естественны!! многомерный аналог У@Л — гиперполуплоскостной У@11 (У@Я,Н1)) Отметим, что это понятие можно ввести, основываясь на областях скопления меры (в частности, на монотонных гиперполуплоскостях скопления меры), рассмотренных в работе15 Также может быть построен двумя путями (сильный и слабый У@Ннп), когда конус обменных курсов случаен

Класс многомерных когерентных мер риска является весьма широким Чтобы его сузить, введем важное свойство "согласованности с пространством'' (определение 3 23) Оно означает, что результат многомерной когерентной меры риска не меняется при изменении базовой единицы вдоль каждой из осей координат (к примеру, если мы берем копейки вместо рублей в качестве базовой единицы) Оказывается, что не все рассматриваемые меры риска удовлетворяют этому свойству В диссертации приводятся необходимые и достаточные условия согласованности с пространством для многомерных когерентных мер риска (лемма 3 24 и теорема 3 28)

Другим важным свойством мно1 омерных мер риска являет ся свойство инвариантности но распределению

Определение 15 Многомерная когерентная функция полезности и

на (L°)d является инвариантной по распределению, если для всех X, Y таких, что (X, К) L= (Y, К), верно, что

и{Х) = u{Y)

Отметим, что если конус обменных курсов К является случайным, то важно, чго не только X ^ Y, но и (X, К) (У, К)

Приводятся некоторые необходимые и достаточные условия инвариантности по распределению для многомерных когерентных мер риска Опишем полученные результаты для некоторых многомерных мер риска WCE, хвостовой V@R, средний V@R

В главе 3 показано, что WCE не является инвариантной по распределению мерой даже в одномерном случае, но она согласована с пространством Рассмотрены условия, при которых она становится инвариантной по распределению, а также введен ее инвариантный по распределению аналог (инвариантное по распределению худшее условное математическое ожидание (LIWCE)) В диссертации показано, что LIWCE совпадает с многомерной когерентной мерой риска, основанной на областях скопления меры (в частности, на зонных областях скопления меры), введенной в работе15 (см также работу3о) Приведены примеры когда в естественных ситуациях WCE и LIWCE дают неудовлетворительный результат с финансовой точки зрения Для случайного конуса обменных курсов эти меры могут быть построены двумя путями (сильное и слабое WCE и LIWCE)

Также показано, что средний V@R является инвариантным по распределению но не является согласованным с пространством Очень часто эта мера может быть обобщена на случай недетерминированного конуса

Другой многомерный аналог хвостового V@R введен в главе 1 для случайного конуса обменных курсов и также назван хвостовым V@R Эта мера риска инвариантна по распределению и согласована с пространством

Свойства многомерных аналогов V@R и хвостового V@R приведены в таблице 1

35 Koshevoy G А , Моч1ет К Zonoid trimming for multivariate distributions Annals of Statistics, 25 (1097), p 1998-2017

\ Меры Свойства ^ч Слабый V@R Сильный V@R V@RHD WCE LIWCE Средний V@R Хвостовой V@R

Когерентность - — - + + + +

"Финансовый смысл" ± + ± =F + +

Случайный конус + + Т ± +

Инвариантность по распределению + + + - + + +

Согласованность с пространством + + + + + - +

Таблица 1 Многомерные аналоги V@R и хвостового V@R и свойства, которыми они обладают

Суммируя все выше перечисленное, можно сделать вывод, что лучшим кандидатом для многомерного аналога хвостового является хвостовой УСШ, введенный в диссертации

В диссерхации также вводятся многомерные аналоги другой важной одномерной когерентной меры риска — взвешенного Эти аналоги

можно построить, основываясь на хвостовом У@11, на среднем У@К или на Ы\¥СЕ

Работа выполнена под руководством член-корреспондеша РАН, профессора А Н Ширяева и дф-мн АС Черного, помощь в организации изложения была оказана к ф -м н А В Селивановым, которым автор выражает глубокую благодарность

Список работ автора по теме диссертации

[1] Куликов А В Многомерные когерентные и выпуклые меры риска Теория вероятностей и ее применения, 52 (2007), в 4, с 685-710

[2] Куликов А В Ценообразование с использованием многомерных когерентных мер риска Обозрение прикладной и промышленной магематики, 15 (2008), в 2, с 211-228

Введение

1. Аксиомы когерентных и выпуклых мер риска.

2. Представление когерентных и выпуклых мер риска.

3. Экстремальные элементы.

4. Распределение капитала и риск-вклад.

5. Ценообразование и хеджирование с использованием NGD.

6. Обобщение V@R, хвостового V@R, взвешенного V@R на многомерный случай, согласованность с пространством и инвариантность по распределению.

7. Структура работы.

8. Апробация диссертации.

Глава 1. Определение многомерных когерентных и выпуклых мер риска.

§ 1.1. Основные определения.

§ 1.2. Теоремы о представлении.

§ 1.3. Экстремальные элементы.

§ 1.4. Примеры многомерных когерентных мер риска

§ 1.5. Задача распределения капитала.

§ 1.6. Риск-вклад.

§ 1.7. Технические результаты.

Глава 2. Ценообразование с использованием многомерных когерентных мер риска.

§ 2.1. Ценообразование.

2.1.1. Основные определения

2.1.2. Ценообразование, основанное на многомерных когерентных функциях полезности.

2.1.3. Основанное на RAROC ценообразование

§ 2.2. Динамическая модель обменных курсов.

§ 2.3. Хеджирование с использованием NGD.

2.3.1. Верхняя и нижняя цены вдоль направления.

2.3.2. Хеджирование в одношаговой модели с использованием обмена валют.

2.3.3. Различные способы для нахождения верхних и нижних цен, а также суб- и суперхеджирующих стратегий и их использование.

Глава 3. Многомерные определения хвостового V@R и взвешенного VOR.

§ 3.1. Определения

3.1.1. Многомерные когерентные меры риска

3.1.2. Различные определения V@R и хвостового V@R в многомерном случае.

§ 3.2. Примеры

3.2.1. Связь между различными обобщениями хвостового V@R

3.2.2. Случай случайного конуса

§ 3.3. Согласованность с пространством.

§ 3.4. Различные обобщения взвешенного V@R.

§ 3.5. Инвариантность по распределению.

§ 3.6. Двумерный случай.

1. Аксиомы когерентных и выпуклых мер риска. В работе [10] Ф. Артцнера, Ф. Делбаена, Ж.-М. Эбера и М. Хиса было введено понятие когерентной функции полезности.

Определение 1. когерентная функция полезности определяется как функция и : Ь°° —> М, обладающая следующими свойствами: a) (диверсификация) и(Х + У) > и(Х) + и(У); b) (отношение частичного порядка) если X < У, то и(Х) < и(У); c) (неотрицательная однородность) и{XX) — Хи(Х) для любого d) (инвариантность относительно сдвига) и(Х + т) = и{Х) + т для любого mGl;

Соответствующая когерентная мера риска определяется как

Класс когерентных мер риска был введен, чтобы устранить недостатки V@R (Value at Risk, "стоимость под риском") — меры, наиболее активно используемой на практике, но имеющей ряд недостатков (например, см. [Ю]).

С этого момента теория когерентных мер риска стала активно развиваться. Достаточно упомянуть работы [5], [6], [8], [9], [И], [17], [22], [29], [34], [35], [37], [58], а также обзоры [30], [36; Ch. 4], [63]. Во всех этих работах рассматриваются одномерные меры риска, т. е. измеряется риск одномерных случайных величин, имеющих смысл стоимости портфелей, выраженной в единицах некоторой базовой валюты. Такой подход оправдан в том случае, когда имеется базовая валюта, или в том случае,

А > 0; е) (свойство Фату) если р(Х) = -и(Х). когда в конечный момент времени все финансовые позиции ликвидируются, т. е. превращаются в некоторое количество единиц базового актива. Помимо когерентных функций полезности были рассмотрены вогнутые функции полезности (см. работы [17], [34], [37]).

Определение 2. вогнутая функция полезности определяется как функция и : Ь°° —» М, обладающая свойствами (Ь), (с1), (е), а также свойством а') (вогнутость) и(аХ + (1 — а)У) > аи(Х) + (1 — а)и(У) для любого а € [0,1].

Соответствующая выпуклая мера риска определяется как р(Х) = -и(Х).

Однако подход с использованием одномерных когерентных мер риска неудобен, например, при описании портфеля, состоящего из нескольких валют, когда нет единой "канонической" валюты, к которой должен приводиться портфель. В этом случае гораздо естественнее пользоваться подходом, предложенным Ю. М. Кабановым [50] (см. также [52]), при котором портфель описывается не как число, а как вектор, г-я компонента которого имеет смысл количества в портфеле активов г -го типа.

Если описывать портфели как векторы, то возникает необходимость рассмотрения многомерных мер риска. Понятие многомерной когерентной меры риска было введено в работе Э. Жуини, М. Меддеба, Н. Тузи [48] (см. также [20], [40]). Их подход нацелен на то, чтобы учесть операционные издержки при обмене одной валюты на другую. Однако в их модели операционные издержки являются неслучайными. Таким образом, не учитывается риск, связанный с изменением обменных курсов, являющийся на сегодняшний день одним из важнейших финансовых рисков.

В диссертации вводится понятие многомерных когерентных мер риска, учитывающее риск обменных курсов. Наш подход аналогичен подходу [48], однако, в отличие от указанной работы, матрица обменных курсов считается случайной. Также рассматриваются и многомерные выпуклые меры риска. Пусть Т, Р) — вероятностное пространство, К : Г2 —> /С — измеримое отображение, где К — множество непустых замкнутых конусов С таких, что С ф С + — С. С финансовой точки зрения, К — конус обменных курсов в момент времени 1 для (1 различных валют (т. е. К (и) — множество портфелей, которые мы можем получить в момент времени 1 из нулевого при элементарном исходе и). Пусть С — множество непустых выпуклых замкнутых множеств на векторы X = (X1,., Ха) € (Ь°°У имеют смысл портфелей в момент времени 1, т. е. Хг — количество единиц г-й валюты в портфеле в момент времени 1. Зададим частичное отношение порядка на множестве портфелей по формуле: X ^ У, если Х(и) — У (си) ¡Е К (и) для п.в. и. Введем следующее определение.

Определение 3. (1) Многомерная когерентная функция полезности — функция и : (Ь00)^ —» С \ {К^}, удовлетворяющая следующим аксиомам: a) (диверсификация) и(Х + У) 2 и(Х) + и(У); b) (отношение частичного порядка) если X ^ У, то и(Х) С и(У); c) (положительная однородность) и(ХХ) — Хи(Х) \/Х > 0; с!) (инвариантность относительно сдвига) и(Х + т) — и(Х) + т для любого т £ ; р е) (свойство Фату) если ЦХ^Ц < си Хп —> X, то и(Х) Э Нт^ и(Хп), т. е. если х принадлежит бесконечно многим и(Хп), то х принадлежит и(Х).

11) Многомерная вогнутая функция полезности — функция и : (1,°°)^ —» С \ {М^}, удовлетворяющая аксиомам (Ь), (с1), (е) и аксиоме а') (вогнутость) и(аХ + (1 — а)У) Э аи(Х) + (1 — а)и(У) для любого а Е [0,1].

С финансовой точки зрения, и(Х) — множество неслучайных портфелей, которые "не лучше" портфеля X. Соответствующая многомерная когерентная (соответственно, выпуклая) мера риска определяется как р(Х) = —и(Х). С финансовой точки зрения, р(Х) — множество неслучайных портфелей х £ , которые делают позицию X + х безрисковой.

Очевидно, что если и — одномерная когерентная (соответственно, вогнутая) функция полезности, то отображение у(Х) = (—оо,и(Х)] будет многомерной когерентной (соответственно,, вогнутой) функцией полезности в смысле определения 3 с й = 1 и К(ш) = Ж. Обратно, если с1 = 1, К[ш) = и и — когерентная (соответственно, вогнутая) функция полезности в смысле определения 3, то функция у(Х) = вир{х является одномерной когерентной (соответственно, вогнутой) функцией полезности. Таким образом, данное выше определение является многомерным обобщением одномерного.

1. Булинский А. В., Шашкин А. П. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. М.: Физматлит (2008), 480 с.

2. Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространствах функций и его применения в математике и экономике. М.: Наука (1965), 352 с.

3. Матерой Ж. Случайные множества и интегральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир (1978), 318 с.

4. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир (1967), 257 с.

5. Черный А. С. Нахождение справедливой цены на основе когерентных мер риска. Теория вероятностей и ее применения, 52 (2007), в. 3, с. 506-540.

6. Черный А. С. Равновесие на основе когерентых мер риска. Препринт, доступен на сайте http://mech.math.msu.su/~cherny.

7. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир (1969), 1071 с.

8. Acerbi С. Spectral measures of risk: a coherent representation of subjective risk aversion. Journal of Banking and Finance, 26 (2002), No. 7, p. 1505-1518.

9. Acerbi C., Tasche D. On the coherence of expected shortfall. Journal of Banking and Finance, 26 (2002), No. 7, p. 1487-1503.

10. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Thinking coherently. Risk, 10 (1997), No. 11, p. 68-71.

11. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent measures of risk. Mathematical Finance, 9 (1999), No. 3, p. 203-228.

12. Barbati A., Beer G., Hess C. The Hausdorf metric topology, the Attouch-Wets topology, and the measurability of set-valued functions. Convex Analysis, 1 (1994), No. 1, p. 107-119.

13. Barrieu P., El Karoui N. Pricing, hedging, and optimally designing derivatives via minimization of risk measures. To appear in: R. Carmona (Ed.). Volume on indifferent pricing. Princeton.

14. Beer G. A Polish topology for the closed subsets of a Polish space. American Mathematical Society, 113 (1991), No. 4, p. 1123-1133.

15. Berkes I., Philipp W. Approximation theorems for independent and weakly dependent random vectors. Annals of Probability, 7 (1979), No. 1, p. 29-54.

16. Bernardo A., Ledoit 0. Gain, loss, and asset pricing. Journal of Political Economy, 108 (2000), No. 1, p. 144-172.

17. Burgert C., Riischendorf L. Consistent risk measures for portfolio vectors. Insurance: Mathematics and Economics, 38 (2006), No. 2, p. 289-297.

18. Carr P., Geman H., Madan D. Pricing and hedging in incomplete markets. Journal of Financial Economics, 62 (2001), No. 1, p. 131— 167.

19. Cascos I. Depth functions based on a number of observations of a random vector. Working paper 07-29. Statistics and EconometricsSeries, Universidad Carlos III de Madrid (2007). Available from http://econpapers.repec.org/paper/ctewsrepe.

20. Cascos /., Molchanov I. Multivariate Risks and Depth-Trimmed Regions. Finance and Stochastics, 11 (2007), No. 3 p. 373-397.

21. Cherny A.S. General arbitrage pricing model: probability approach. Lecture Notes in Mathematics, 1899 (2007), p. 415-446.

22. Cherny A.S. Weighted V@R and its properties. Finance and Stochastics, 10 (2006), No 2, p. 367-393.

23. Cherny A.S., Madan D. Coherent measurement of factor risks. Препринт, доступен на сайте http://mech.math.msu.su/~cherny.

24. Cherny A.S., Madan D. САРМ, rewards, and empirical asset pricing with coherent risk. Arvix:math.PR/0605065 (2006).

25. Cherny A.S., Madan D. Pricing and hedging through coherent acceptability. Препринт, доступен на сайте http://mech.math.msu.su/~ cherny.

26. Cochrane J. H., Saa-Requejo J. Beyond arbitrage: good-deal asset price bounds in incomplete markets. Journal of Political Economy, 108, (2000), No. 1, p. 79-119.

27. Cvitanic J., Karatzas I. On dynamic measures of risk. Finance and Stochastics, 3 (1999), No. 4, p. 451-482.

28. Dalang R. C., Morton A., Wilinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models. Stochastics and Stochastic Reports, 29 (1990), No. 2, p. 185-201.

29. Delbaen F. Coherent risk measures on general probability spaces. In: K. Sandmann, P. Schonbucher (Eds.). Advances in finance andstochastics. Essays in honor of Dieter Sondermann. Springer, 2002, p. 1-37.

30. Delbaen F. Coherent monetary utility functions. Препринт, доступен на сайте http: //www. math. ethz. ch/~delbaen под названием "Pisa lecture notes".

31. Denault M. Coherent allocation of risk capital. Journal of Risk, 4 (2001), No. 1, p. 1-34.

32. Embrechts P., Puccetti G. Bounds for functions of multivariate risk. Journal of Multivariate Analysis, 97 (2006), No. 2, p. 526-547.

33. Fischer T. Risk capital allocation by coherent risk measures based on one-sided moments. Insurance: Mathematics and Economics, 32 (2003), No. 1, p. 135-146.

34. Follmer H., Schied A. Convex measures of risk and trading constraints. Finance and Stochastics, 6 (2002), No. 4, p. 429-447.

35. Follmer H., Schied A. Robust preferences and convex measures of risk. In: K. Sandmann, P. Schonbucher (Eds.). Advances in finance and stochastics. Essays in honor of Dieter Sondermann. Springer, 2002, p. 39-56.

36. Follmer H., Schied A. Stochastic finance. An introduction in discrete time. 2nd Ed., Walter de Gruyter, 2004, 459 p.

37. Frittelli M., Rosazza Gianin E. Putting order in risk measures. Journal of Banking and Finance, 26 (2002), No. 7, p. 1473-1486.

38. Frittelli M., Rosazza Gianin E. Dynamic convex risk measures. In G. Szego (Ed.). Risk measures for the 21-st century. Wiley, 2001.

39. Grothendick A. Topological vector spaces. New York-London-Paris: Gordon and Breach, (1973), 245 p.

40. Hamel A. H., Hey de F., Hohne M. Set-valued Measures of Risk. Preprint No. 15-2007, Halle: Martin-Luther-Universitàt HalleWittenberg, Institut fiir Matematik, 2007.

41. Harrison J. M.} Kreps D. M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets. Journal of Economic Theory, 20 (1979), No. 3, p. 381-408.

42. Harrison J. M., Pliska S. R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. Stochastic Processes and Their Applications, 11 (1981), No. 3, p. 215-260.

43. Hess C. Loi de probabilité des ensembles aléatoires à valeurs fermées dans un espace métrique séparable. C.R. Academy Science Paris, Series I, 296 (1983), No 21, p. 883-886.

44. Hess C. Contributions à l'étude de la measurabilité, de la loi de probabilité, et de la convergence des multifunctions. Thèse d'État, Montpellier, 1986.

45. Himmelberg C. J. Measurable relations. Fundamental Mathematics, 87 (1975), p. 53-72.

46. Jaschke S., Kuchler U. Coherent risk measures and good deal bounds. Finance and Stochastics, 4 (2001), No. 2, p. 181-200.

47. Jouini E., Kallai H. Martingales and arbitrage in securities markets with transaction costs. Journal of Economic Theory, 66 (1995), No. 1, p. 178-197.

48. Jouini E., Meddeb M., Touzi N. Vector-valued coherent risk measures. Finance and Stochastics, 8 (2004), No. 4, p. 531-552.

49. Jouini E.} Schachermayer W., Touzi N. Law invariant risk measures have the Fatou property. Advances in Mathematical Economics, 9 (2006), No. 1, p. 49-71.

50. Kabanov Yu. M. Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets. Finance and Stochastics, 3 (1999), No. 2, p. 237— 248.

51. Kabanov Yu. M., Strieker Ch. A teachers' note on no-arbitrage criteria. Lectures Notes in Marhematics, 1755 (2001), p. 149-152.

52. Kabanov Yu. M., Strieker Ch. The Harrison-Pliska arbitrage pricing theorem under transaction costs. Journal of Mathematical Economics, 35 (2001), No. 2, p. 185-196.

53. Kabanov Yu.M., Rasonyi M., Strieker Ch. No-arbitrage criteria for financial markets with efficient friction. Finance and Stochastics, 6 (2002), No. 3, p. 403-411.

54. Kabanov Yu. M.; Rasonyi M., Strieker Ch. On the closedness of sums of cones in L° and the robust no-arbitrage property. Finance and Stochastics, 6 (2003), No. 3, p. 371-382.

55. Kalkbrenner M. An axiomatic approach to capital allocation. Mathematical Finance, 15 (2005), No. 3, p. 425-437.

56. Koshevoy G.A., Mosler K. Zonoid trimming for multivariate distributions. Annals of Statistics, 25 (1997), p. 1998-2017.

57. Kunze M. Verteiligungsinvariante konvexe Risikomaße. Diplomarbeit. Humbolt Universität. Berlin, 2003.

58. Kusuoka S. On law invariant coherent risk measures. Advances in Mathematical Economics, 3 (2001), p. 83-95.

59. Molchanov I. Theory of random sets. Springer, London (2005).

60. Nakano У. Efficient hedging with coherent risk measure. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 293 (2004), No. 1, p. 345354.

61. Overbeck L. Allocation of economic capital in loan portfolios. In: W. Hardle, G. Stahl (Eds.). Measuring risk in complex stochastic systems. Lecture Notes in Statistics, 147 (1999), p. 1-17.

62. Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time. Mathematical Finance, 14 (2004), No. 1, p. 19-48.

63. Schied A. Risk measures and robust optimization problems. Stochastic Models, 22 (2006), No. 4, p. 753-831.

64. Sekine J. Dynamic minimization of worst conditional expectation of shortfall. Mathematical Finance, 15 (2005), No. 4, p. 605-618.

65. Staum J. Fundamental theorems of asset pricing for good deal bounds. Mathematical Finance, 14 (2004), No. 2, p. 141-161.

66. Tasche D. Expected shortfall and beyond. Journal of Banking and Finance, 26 (2002), No. 7, p. 1519-1533.

67. Zsilinczky L. Polishness of the Wijsman topology revisted. American Mahematical Society, 126 (1998), No. 12, p. 3763-3765.

68. Куликов А. В. Многомерные когерентные и выпуклые меры риска. Теория вероятностей и ее применения, 52 (2007), в. 4, с. 685-710.