Многообразия и псевдомногообразия треугольных матричных полугрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

005554694

На правах рукописи

Первухина Татьяна Вячеславовна

МНОГООБРАЗИЯ И ПСЕВДОМНОГООБРАЗИЯ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЧНЫХ ПОЛУГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 НОЯ 2014

Екатеринбург 2014 г.

005554694

Работа выполнена на кафедре алгебры и дискретной математики Института математики и компьютерных наук Уральского федерального университета имени первого Президента России Б. Н. Ельцина, г. Екатеринбург.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Волков Михаил Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Кублановский Станислав Ицхокович, директор ООО ТПО «Северный очаг», г. Санкт-Петербург.

кандидат физико-математических наук, доцент Перминов Евгений Александрович, кафедра физико-математических дисциплин ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет», г. Екатеринбург.

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Национальный

исследовательский университет «МИЭТ», г. Москва.

Защита диссертации состоится «18» поября 2014 г. в на заседании

диссертационного совета Д 004.006.03 на базе ФГБУН «Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН» по адресу: г.Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан « [ 4 » октября 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

И. Н. Белоусов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многообразия, будучи объектами, которые определяются набором тождеств, являются естественным инструментом для классификации полугрупп. Псевдомногообразия играют аналогичную роль в контексте конечных полугрупп. Основная мотивация к использованию именно таких классов, как псевдомногообразия, для классификации конечных полугрупп исторически проистекает из соответствия Эйленберга, согласно которому существует взаимно однозначное соответствие между псевдомногообразиями моноидов и определенными классами формальных языков, называемыми многообразиями языков [21]. Это соответствие позволяет классифицировать распознаваемые языки, исходя из свойств их синтаксических моноидов. Особую роль здесь играют псевдомногообразия, порожденные моноидами, удовлетворяющими определенным ограничениям на отношения Грина. В частности, М. Шютценберже показал, что псевдомногообразие всех ¿^-тривиальных моноидов соответствует многообразию беззвездных языков [21,25], а И. Саймон доказал, что псевдомногообразие всех ^"-тривиальных моноидов соответствует многообразию кусочно-тестируемых языков [21,26]. Подробную информацию о современном состоянии направления, посвященного изучению псевдомногообразий полугрупп, можно найти в монографиях [5,22].

Под универсальным объектом для некоторого класса полугрупп мы далее будем понимать набор конкретных полугрупп (например, серию полугрупп, зависящую от одного или нескольких параметров), таких, что каждая полугруппа из .У реализуется как подполугруппа или делитель некоторой полугруппы из этого набора. Напомним, что полугруппа 5 делит полугруппу Т, если 5 является гомоморфным образом некоторой подполугруппы из Т. В теории псевдомногообразий полугрупп однопараметрические серии треугольных матричных полугрупп выступают универсальными объектами для псевдомногообразия всех ^-тривиальных моноидов 3 и псевдомногообразия всех ^-тривиальных моноидов 11. Приведем соответствующие результаты. Обозначим через 2$п моноид всех рефлексивных

бинарных отношений на множестве из п элементов. Каждое такое отношение представимо булевой матрицей с единицами на главной диагонали. Обозначим через подмоноид состоящий из верхнетреугольных матриц. Согласно классической теореме Г. Страубин-га [27], конечный моноид М является ^-тривиальным тогда и только тогда, когда М делит для некоторого п или, что эквивалентно, М делит для некоторого п.

Далее, обозначим через §п моноид всех направленных преобразований на множестве {1,..., п}. Всякое такое преобразование представимо верхнетреугольной булевой матрицей, каждая строка которой содержит лишь один ненулевой элемент. Согласно классической теореме об ^-тривиальных моноидах [21], конечный моноид М является ^"-тривиальным тогда и только тогда, когда М изоморфно вкладывается в моноид ёп для некоторого п.

Отметим, что, несмотря на сходные по характеру утверждения двух приведенных теорем, их доказательства опираются на существенно различные идеи. Доказательство теоремы для тривиальных моноидов конструктивно: по данному конечному моноиду Б вычисляется размер матриц и строится вложение в соответствующий моноид £п. Доказательство же теоремы Страубинга неконструктивно и опирается на упомянутую выше теорему Саймона. Более того, можно показать, что эти две теоремы эквивалентны. На данный момент еще пе получено конструктивного доказательства теоремы Страубинга, которое позволяло бы указать конкретный моноид его подмоноид и соответствующий гомоморфизм.

Ввиду приведенных утверждений представляет интерес дальнейшее изучение возможности классифицировать конечные полугруппы в виде псевдомногообразий, порожденных полугруппами треугольных матриц. Рассмотрим следующую двухпараметрическую серию треугольных матричных полугрупп. Конечную группу (7 с присоединенным нулем 0 обозначим через (2 и 0. Назовем матрицу порядка п над (7 и 0 мономиальной (по строкам), если каждая строка содержит в точности один ненулевой элемент. Для всех элементов д 6 (? и 0 положим дополнительно .9 + 0 = 0 + 5 = 0. Обозначим через ТМ„((?) моноид всех верхнетреугольных мономиальных матриц

порядка п над и 0. Умножение двух матриц из ТМп(С) с учетом дополнительного условия осуществляется по правилам стандартного матричного умножения.

Моноиды ТМп(С1) интересны тем, что их можно рассматривать как естественное обобщение моноидов ёп. В этом случае каждый из моноидов £п можно считать моноидом всех верхнетреугольных моно-миальных матриц порядка п над единичной группой с нулем. Более того, как будет показано в диссертационной работе, на каждом моноиде ТМ„(С?) совпадают отношения Грина 3% и Ж, что, в свою очередь, обобщает случай ^-тривиальных моноидов. Возникает предположение, что серия моноидов ТМП((?) может играть для класса моноидов, удовлетворяющих соотношению ^ = Ж, роль универсального объекта аналогично роли серии £п для класса ^-тривиальных моноидов и серии % для класса ^-тривиальных моноидов.

Задача 1. Верно ли, что каждый моноид, удовлетворяющий соотношению & = Ж, делит некоторый моноид ТМп{С) ?

Отметим, что моноиды, на которых совпадают определенные отношения Грина, уже изучались в литературе. Так, например, в [14] Ж. Лаллеман показал соответствие между классом конечных регулярных моноидов, удовлетворяющих соотношению Я = и конечными префиксными кодами. В [19] М.В. Волков и Ф. Пастэйн охарактеризовали многообразия, полугруппы которых удовлетворяют одному из соотношений Я = Ж, @ = ££', $ = ¿% или ® = ^.

Возникает также вопрос о разрешимости псевдомногообразия, порожденного серией моноидов ТМп(С). Иначе говоря, необходимо выяснить, существует ли алгоритмически проверяемый критерий, позволяющий определить, принадлежит ли данный конечный моноид этому псевдомногообразию. Для псевдомногообразий 3 и К такие критерии, очевидно, существуют.

Задача 2. Определить, является ли псевдомногообразие, порожденное серией моноидов ТМп{С1), разрешимым, и если да, найти алгоритмически проверяемый критерий.

Напомним, что полугруппа 5 называется конечно базируемой, если все тождества этой полугруппы следуют из некоторого конечного

набора ее тождеств (базиса тождеств полугруппы 5); в противном случае 5" называется бесконечно базируемой. Пусть У — некоторый класс конечных полугрупп. Проблема конечного базиса для класса У состоит в том, чтобы определить, какие полугруппы из являются конечно базируемыми и какие — бесконечно базируемыми. Решение проблемы конечного базиса известно для класса конечных групп, а именно, как показали Ш. Оутс и М. Пауэлл в [18], любая конечная группа является конечно базируемой. Для класса конечных полугрупп это условие может не выполняться. Первый пример бесконечно базируемой конечной полугруппы привел П. Перкинс [20]. Результаты исследований проблемы конечного базиса для класса конечных полугрупп по состоянию на 2001 г. систематизированы в обзоре [29].

Изучение матричных тождеств, включающих операции умножения и сложения, является классическим направлением исследований, которое было мотивировано несколькими важными проблемами в геометрии и алгебре (см. обзор [6]) и в итоге привело к созданию теории Р1-колец (см., например, [23]). Матричные тождества, включающие наряду с умножением и сложением одну или несколько унарных операций (таких, например, как обычное или симплектическое транспонирование) также привлекали большое внимание исследователей [8-10,23]. Задача классификации матричных тождеств определенного типа естественным образом сводится к проблеме конечного базиса тождеств. Так, например, все тождества полугруппы матриц порядка п над бесконечным полем относительно операции умножения следуют из закона ассоциативности [12]. В противоположность этому, мультипликативная полугруппа матриц порядка п над конечным полем не имеет конечного базиса тождеств. Этот результат был независимо получен в работах М. В. Волкова [1] и М. В. Сапира [3].

Напомним, что конечная полугруппа называется существенно бесконечно базируемой, если она не содержится ни в каком локально конечном конечно базируемом многообразии полугрупп. Фактически, свойство существенной бесконечной базируемости намного сильнее, чем свойство обычной бесконечной базируемости. В 2003 г. в [2] И. А. Гольдберг и М. В. Волков классифицировали с точки зрения существенной бесконечной базируемости полугруппы Т„(/С) всех верх-

нетреугольных матриц порядка п над конечным полем 1С. Также из результатов работ [11] и [17] вытекает соответствующая классификация полугрупп ТВП булевых треугольных матриц порядка п.

В работе К. Ауингера, И. Долинки и М.В. Волкова [7] методы, использовавшиеся в работах [1] и [3], были реализованы в контексте унарных полугрупп, то есть полугрупп, снабженных одной или несколькими дополнительными унарными операциями. Применение этих методов позволило классифицировать с точки зрения конечной базируемости несколько важных классов унарных матричных полугрупп. В частности, было показано, что следующие полугруппы не имеют конечного базиса тождеств: полугруппа п х п-матриц над конечным полем относительно умножения и транспонирования, полугруппа 2п х 2п-матриц над конечным полем относительно умножения и симплектического транспонирования, полугруппа булевых п х п-матриц относительно умножения и транспонирования.

Представляет интерес дальнейшая классификация унарных матричных полугрупп с точки зрения конечной базируемости их тождеств и, в частности, с точки зрения существенной бесконечной базируемости. Заметим, что полугруппу Тп(/С) можно в качестве инволюции снабдить операцией ° отражения относительно побочной диагонали. Полученную инволюторную полугруппу обозначим через (Т„(/С), •, Кроме того, для п = 2т полугруппу т{К) можно рассматривать как полугруппу матриц вида

Здесь ДС € Тт(/С) и В £ Мт(/С), где Мт(/С) — полугруппа всех т х т-матриц над полем 1С. Для произвольной инволюции * на полугруппе Мт(/С), которая одновременно является инволюцией на Тт(/С), снабдим Т2т(£) следующей унарной операцией

Несложно проверить, что операция 7 является инволюцией. Обозначим полученную инволюторную полугруппу через (Т2т(/С), -,7).

Задача 3. Классифицировать инеолюторные полугруппы (Тп(/С), ■) и (Тгт(^),-!7) с точки зрения существенной бесконечной базируемости.

Задачу 3 ввиду упомянутого результата И. А. Гольдберга и М. В. Волкова [2] можно естественным образом рассматривать в контексте более широкого вопроса: в каких случаях инволюция х х*, определенная на существенно бесконечно базируемой полугруппе (51, •), сохраняет этот вид базируемости в том смысле, что получившаяся инволюторная полугруппа Б = (Б, ■.*) будет существенно бесконечно базируемой как унарная полугруппа?

Вопрос о соотношении конечной базируемости унарной полугруппы и ее редукта до сих пор не исследовался систематически в контексте конечных полугрупп. Первый пример бесконечно базируемой конечной унарной полугруппы с конечно базируемым редуктом был построен только в 1998 г. в работе Дж. Лоуренса и Р. Уилларда [15]. Другие примеры унарных операций с подобными свойствами (включая пример бесконечно базируемой конечной инволюторной полугруппы с конечно базируемым редуктом) появились лишь недавно в статье М. Джексона и М.В. Волкова [13]. Более того, упомянутая полугруппа из [15], фактически, существенно бесконечно базируема, и, таким образом, в общем случае существенно бесконечно базируемая унарная полугруппа может обладать конечно базируемым редуктом. Тем не менее, редукт существенно бесконечно базируемой инволюторной полугруппы обязан также быть существенно бесконечно базируемым, но обратное утверждение, как показано в [24], неверно, что и порождает указанный выше вопрос. Отметим также, что совсем недавно в [16] Э. Ли привел пример конечно базируемой конечной инволюторной полугруппы с бесконечно базируемым редуктом, то есть в общем случае даже обычная бесконечная бази-руемость не обязана сохраняться при добавлении инволюции.

Задача 4. Найти условия, при которых инволюция х м- х*, определенная на существенно бесконечно базируемой полугруппе (5, •), сохраняет этот вид базируемости на получившейся инволюторной полугруппе <!> = (5, •, *).

Целью работы является решение поставленных задач 1-4.

Методы исследования. В работе применяются методы структурной теории полугрупп, основанные на использовании отношений Грина и группы Шютценберже; методы теории псевдомногообразий полугрупп, связанные с операцией полупрямого произведения псев-домнообразий; методы теории категорий; метод существенно бесконечно базируемых инволюторных полугрупп.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории полугрупп, полугрупповых многообразий и псевдомногообразий.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации были представлены на 42-й Всероссийской молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2011 г.), на международной конференции «Алгебра и линейная оптимизация» (Екатеринбург, 2012 г.), на рабочем совещании по общей алгебре ААА84 (Дрезден, 2012 г.), на международной конференции «Semigroups and applications» (Уппсала, 2012 г.), на международной конференции «Алгебра и комбинаторика» (Екатеринбург, 2013 г.). Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах: семинар Института математики TUD под руководством проф. Р. Пешеля (Технический университет Дрездена, 2012 г.); международный семинар Института математики TUD под руководством М. Шнайдера (Технический университет Дрездена, 2012 г.); семинар Института теоретической информатики под руководством проф. М. Лори (Университет Лейпцига, 2012 г.); семинар Института математики под руководством проф. Й. Коппитца (Университет Потсдама, 2012 г.); семинар «Алгебраические системы» иод руководством проф. Л. Н. Шеврина (Уральский федеральный университет,

2013 г.); алгебраический семинар Института математики и механики УрО РАН под руководством проф. А. А. Махнева (Екатеринбург,

2014 г.).

Публикации. По теме диссертации написано 8 работ: [30-37]. Из них статьи [30,31] опубликованы в издании из списка, рекомендованного ВАК, а статья [32] — в зарубежном издании, удовлетворяющем достаточному условию ВАК. Работы [33-37] являются тезисами. Одна из публикаций по теме диссертации написана совместно с М. В. Волковым, две публикации — совместно с М. В. Волковым, К. Ауингером и И. Долинкой. Результаты этих работ были получены в нераздельном соавторстве.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 78 страниц. Библиографический список содержит 55 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обсуждается история проблематики диссертации, даются определения и формулируются основные результаты работы.

В главе 1 рассматривается взаимосвязь между псевдомногообразием, порожденным серией моноидов ТМп(С), и классом моноидов, удовлетворяющих соотношению & = Ж. В §1.1 приводятся вспомогательные понятия и утверждения. В частности, доказывается, что каждый моноид ТМП((3) удовлетворяет соотношению = Ж. Помимо этого, на произвольном моноиде, удовлетворяющем этому соотношению, исследуются свойства конгруэнции порожденной отношением которые необходимы для доказательства основного результата главы. Основным результатом главы 1 является следующая теорема, решающая поставленную задачу 1.

Теорема 1.1. Всякий конечный моноид, удовлетворяющий соотношению & = Ж, делит моноид ТМп(С) для подходящей группы <3 и подходящего натурального п.

Доказательству теоремы 1.1 посвящен §1.2. Отметим, что доказательство проводится конструктивно: группа б и размер матриц п эффективно вычисляются по данному конечному моноиду 5. Приведенный алгоритм построения группы (7, подмоноида ТМп(0) и

соответствующего гомоморфизма реализован на серии примеров в §1.3. Теорема 1.1 представляет собой аналог теоремы Страубинга для класса моноидов, удовлетворяющих соотношению — Ж. Из нее следует, что серия моноидов ТМп(С) и класс моноидов, удовлетворяющих соотношению & = Ж, порождают одно и то же псевдомногообразие. Обозначим это псевдомногообразие через ИН.

В главе 2 исследуется разрешимость псевдомногообразия Ш3. Первым результатом главы является следующая теорема, идентифицирующая псевдомногообразие ИН с полупрямым произведением псевдомногообразия всех конечных групп в на псевдомногообразие всех конечных ^-тривиальных моноидов И.

Теорема 2.1. ИН = С * В..

Полученное в теореме 2.1 представление позволяет воспользоваться мощным подходом, который был разработан Б. Тилсоном. В [28] Тилсон рассмотрел категории как алгебраические структуры и обобщил с помощью них многие понятия и операции из теории полугрупп. В частности, он разработал критерий разрешимости псевдомногообразия вида V * \У. Специализируя этот результат для псевдомногообразия в*К, мы получаем алгоритмически проверяемый критерий того, что данный конечный моноид принадлежит псевдомногообразию ИН. Для его формулировки приведем необходимые определения.

Определенную выше конгруэнцию назовем ^-минимальной, если для произвольного фиксированного ^'-класса любой класс, лежащий в С}, минимален во множестве всех ¿^-классов, лежащих в относительно стандартного частичного порядка < на множестве ^"-классов моноида 5: Д, < Кь тогда и только тогда, когда о5 С а, 6 € 5. Также для произвольного ¿^-класса Н обозначим через Рь]т{Н) множество элементов, поточечно стабилизирующих Н при умножении справа: Ргиг(Н) = {х б 51 Нх = И для любого к 6 Я}. Основным результатом главы 2 является следующая теорема, решающая поставленную задачу 2.

Теорема 2.2. Конечный моноид 5 принадлежит псевдомного-образиюКН. тогда и только тогда, когда конгруэнция3$ является

минимальной на S и для произвольного ¡0-класса Q множества Pwr(H) совпадают для всех Ж-классов Н С Q.

Доказательству теоремы 2.2 посвящен §2.2. Несколько следствий этой теоремы приводится в §2.3. В частности, следствие 2.6 обобщает результат теоремы 1.1 с класса моноидов, удовлетворяющих соотношению £$ = Ж, на все псевдомногообразие RH.

Следствие 2.6. Конечный моноид принадлежит псевдомногообразию RH тогда и только тогда, когда он делит моноидТМп(0) для некоторой группы G и некоторого натурального п.

В главе 3 исследуется взаимосвязь между существенной бесконечной базируемостью конечной инволюторной полугруппы и существенной бесконечной базируемостью ее полугруппового редукта. В §3.1 приводятся необходимые предварительные сведения. В §3.2 доказывается основная теорема о том, что инволюторная полугруппа S наследует этот вид базируемое™ от редукта, когда многообразие varS, порожденное S, содержит трехэлементную инволюторную полугруппу («скрученную полурешетку») TSC, что решает поставленную задачу 4.

Теорема 3.1. Пусть S = (5, ■, *) — конечная инволюторная полугруппа, и пусть TSC G varS. Если редукт (S, •} существенно бесконечно базируем, то и S существенно бесконечно базируема.

Теорема 3.1 находит несколько применений. Во-первых, мы приводим новые, простые и однотипные доказательства для некоторых примеров существенно бесконечно базируемых инволюторных полугрупп, найденных в [7]. Во-вторых, мы классифицируем инволютор-ные полугруппы (Тn(K.),-,D} и (Т2т(£),-,7} с точки зрения существенной бесконечной базируемое™, что решает поставленную задачу 3.

Теорема 3.2. Инволюторная полугруппа {Тn(K.),-,D), где 1С — конечное поле, существенно бесконечно базируема тогда и только тогда, когда п > 4 и К содержит не менее трех элементов.

Теорема 3.3. Инволюторная полугруппа (T2m(/С), 7), где 1С —

конечное поле, существенно бесконечно базируема тогда и только тогда, когда т > 2 и 1С содержит не менее трех элементов.

В §3.3 мы покажем, что если (S, ■) — конечная регулярная полугруппа, то условие теоремы 3.1 является не только достаточным, но и необходимым для наследования свойства существенной бесконечной базируемое™. В сочетании с результатом М.В. Сапира [4] это ведет к эффективному описанию регулярных существенно бесконечно базируемых инволюторных полугрупп.

Теорема 3.4. Пусть S = (S, •, *) — конечная регулярная инво-люторная полугруппа. Тогда следующие условия эквивалентны.

1. S существенно бесконечно базируема;

2. редукт (S, •) существенно бесконечно базируем, и трехэлементная скрученная полурешетка TSC принадлежит varó1;

3. редукт {S, •) существенно бесконечно базируем, и существует идемпотент е, удовлетворяющий соотношению е е*е;

4. все слова Зимина Zn, где Zi = х\, Zn+i = Znxn+iZn, являются инволюторными изотермами для S.

Основные результаты диссертации

В диссертации основными являются следующие результаты.

1. Доказано, что двухпараметрическая серия моноидов TMn(G) является универсальным объектом для класса моноидов, удовлетворяющих соотношению & = Ж, что обобщает соответствующие классические результаты для ^-тривиальных и Sí-тривиальных моноидов.

2. Найден алгоритмически проверяемый критерий того, что данный конечный моноид принадлежит псевдомногообразию, порожденному серией моноидов TMn(G).

3. Классифицированы с точки зрения существенной бесконечной базируемое™ инволюторные полугруппы (Тп(/С), и (T2ra(£),-J).

4. Найдено условие, при котором инволюция х ж*, определенная на существенно бесконечно базируемой полугруппе {S, •), сохраняет этот вид базируемости на получившейся инволютор-ной полугруппе S = (S, ■,*). Получено эффективное описание регулярных существенно бесконечно базируемых инволютор-ных полугрупп.

Список литературы

[1] Волков М. В. О конечной базируемости многообразий полугрупп / М. В. Волков // Мат. заметки. - 1989. - Т. 45. - С. 12-23.

[2] Волков М. В. Тождества полугрупп треугольных матриц над конечными полями / М.В. Волков, И. А. Гольдберг // Мат. заметки. - 2003. - Т. 73. № 4. - С. 502-510.

[3] Сапир М.В. Проблемы бернсайдовского типа и конечная бази-руемость в многообразиях полугрупп / М. В. Сапир // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1987. - Т. 51. № 2. ~ С. 319-340.

[4] Сапир М. В. Существенно бесконечно базируемые полугруппы / М.В. Сапир Ц Мат. Сб. - 1987. - Т. 133. № 2. - С. 154-166.

[5] Almeida J. Finite semigroups and universal algebra / J. Almeida // Singapore: World Scientific. — 1994. — 511 p.

[6] Ainitsur S.A. Polynomial identities / S.A. Amitsur // Israel J. Math. - 1974. - Vol. 19. - P. 183-199.

[7] Auinger К. Matrix identities involving multiplication and transposition / K. Auinger, I. Dolinka, M.V. Volkov // J. Europ. Math. Soc. - 2012. - Vol. 14. № 3. - P. 937-969.

[8] D'Amour A. "-Polynomial identites of matrices with the transpose involution: the low degrees / A. D'Amour, M. Racine. // Trans. Amer. Math. Soc. - 1999. - Vol. 351. - P. 5089-5106.

[9] D'Amour A. ""-Polynomial identites of matrices with the symplectic involution: the low degrees / A. D'Amour, M. Racine. // Comm. Algebra. - 2004. - Vol. 32. - P. 895-918.

[10] Giambruno A. On '-polynomial identities for n x n-matrices / A. Giambruno // J. Algebra. - 1990. - Vol. 133. - P. 433-438.

[11] Goldberg I. A. The finite basis problem for monoids of triangular boolean matrices / I. A. Goldberg, M.V. Volkov // In: Algebraic Syst. Formal Lang, and Convent, and Unconvent. Comput. Theory. Research Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. Kyoto. — 2004. — P. 205-214.

[12] Golubchik I. Z. A note on varieties of semiprime rings with semigroup identities / I. Z. Golubchik, A. V. Mikhalev // J. Algebra.

- 1978. - Vol. 54. - P. 42-45.

[13] Jackson M. The algebra of adjacency patterns: Rees matrix semigroups with reversion / M. Jackson, M.V. Volkov // In: Fields of Logic and Comput., Lect. Notes in Comput. Sci. — 2010. — Vol. 6300. - P. 414-443.

[14] Lallement G. Regular semigroups with 2i = Si as syntactic monoids of finite prefix codes / G. Lallement // Theoretical Computer Science. - 1997. - Vol. 3. - P. 35-49.

[15] Lawrence J. On finitely based groups and nonfmitely based quasivaricties / J. Lawrence, R. Willard // J. Algebra. — 2008.

- Vol. 203. № 1. - P. 1-11.

[16] Lee E.W. H. Finitely based finite involution semigroups with non-finitely based reducts / E. W. H. Lee // Preprint.

[17] Li J. R. On the finite basis problem for the monoids of triangular boolean matrices / J.R. Li, Y. F. Luo // Algebra Universalis. — 2011. - Vol. 65. - P. 353-362.

[18] Oates S. Identical relations in finite groups / S. Oates, M. B. Powell // J. Algebra. - 1964. - Vol. 1. - P. 11-39.

[19] Pastijn F. ^-compatible semigroup varieties / F. Pastijn, M.V. Volkov // J. Algebra. - 2006. - Vol. 299. - P. 62-93.

[20] Perkins P. Bases for equational theories of semigroups / P. Perkins // J. Algebra. - 1969. - Vol. 13. № 2. - P. 298-314.

[21] Pin J.-E. Varieties of formal languages / J.-E. Pin // London: North Oxford Academic Publishers. — 1986. — 148 p.

[22] Rhodes J. The q-theory of finite semigroups / J. Rhodes, B. Steinberg // New York: Springer. - 2009. - 666 p.

[23] Rowen L. H. Polynomial identities in ring theory / L. H. Rowen // New York-London: Academic Press. — 1980. — 382 p.

[24] Sapir M.V. Identities of finite inverse semigroups / M.V. Sapir // Internat. J. Algebra Comput. - 1993. - Vol. 3. № 1. - P. 115-124.

[25] Schiitzenberger M. P. On finite monoids having only trivial subgroups / M. P. Schiitzenberger // Inf. Control. — 1965. — Vol. 8. - P. 190-194.

[26] Simon I. Piecewise testable events / I. Simon // Lect. Notes in Comput. Sci (Proc. 2nd GI Conf.) - 1975. - Vol. 33. - P. 214-222.

[27] Straubing H. On finite ^-trivial monoids / H. Straubing // Semigroup Forum. - 1980. - Vol. 19. — P. 107-110.

[28] Tilson B. Categories as algebra: an essential ingredient in the theory of monoids / B. Tilson //J. Pure and Applied Algebra. — 1987. — Vol. 48. - P. 83-198.

[29] Volkov M. V. The finite basis problem for finite semigroups / M. V. Volkov // Sei. Math. Jpn. - 2001. - Vol. 53. № 1. - P. 171-199.

Работы автора no теме диссертации

Публикации автора по теме диссертации, опубликованные в ведущих рецензируемых журналах, определенных ВАК

[30] Первухина Т. В. Структура конечных моноидов, удовлетворяющих соотношению = Ж / Т. В. Первухина // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2013. — Т. 19. № 4. — С. 181-191.

[31] Первухина Т. В. О псевдомногообразии, порожденном всеми конечными моноидами со свойством Si = Ж / Т. В. Первухина // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2014. — Т. 20. № 1. - Р. 215-220.

[32] Pervukhina T.V. Unary enhancements of inherently non-finitely based semigroups / K. Auinger, I. Dolinka, T.V. Pervukhina, M.V. Volkov // Semigroup Forum. - 2014. — Vol. 89. Issue 1. - P. 41-51.

Другие публикации

[33] Первухина Т. В. Тождества инволюторных полугрупп треугольных матриц над конечными полями / М. В. Волков, Т. В. Первухина // Алгебра и линейная оптимизация: Тез. Междунар. конф., посвящ. 100-летию С. Н. Черникова, Екатеринбург, 14-19 мая 2012 г. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. - 2012. - С. 42-43.

[34] Первухина Т. В. О структуре полугрупп, на которых совпадают отношения Грина и Ж / Т. В. Первухина // Совр. пробл. матем.: Тез. 42-й Всерос. молодеж. школы-конф. Екатеринбург, 30 янв.-б фев. 2011 г. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. - 2011. -С. 231-232.

[35] Pervukhina Т. V. On identities of involution semigroups of triangular matrices over a finite field / K. Auinger, I. Dolinka, Т. V. Pervukhina, M. V. Volkov // Semigroups and applications: материалы междунар. конф., Уписала, 30 авг.-1 сент. 2012 г. — 2012. - Published online: http://www.math.uu.se/digitalAssets/127/127399_pervukhinatv_ full.pdf

[36] Pervukhina Т. V. Structure of finite monoids satisfying Si = Ж / T.V. Pervukhina // Материалы 84-го рабоч. совещ. по общ. алгебре ААА84, Дрезден, 8-10 июня 2012 г. - 2012. - С. 19.

[37] Pervukhina T.V. Pseudovariety generated by finite monoids satisfying the relation 2% = Ж / Т. V. Pervukhina // Алгебра и комбинаторика: Тез. Междунар. конф., посвящ. 60-летию А. А. Махнева, Екатеринбург, 3-7 июня 2013 г. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. - 2013. - С. 169-170.

Подписано в печать 01.10.2014. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ № 136

Отпечатало в типографии ИПЦ УрФУ 620000, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4