Многообразия с редуцированной голономией в суперструнных теориях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2005-189

На правах рукописи УДК 539.12.01 + 514.764.214

САНТИЛЛАН Освальдо Пабло

МНОГООБРАЗИЯ С РЕДУЦИРОВАННОЙ ГОЛОНОМИЕЙ В СУПЕРСТРУННЫХ ТЕОРИЯХ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 2005

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Л.П.Исаев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук С.О.Кривонос

ЛТФ, ОИЯИ

доктор физико-математических наук И.Л.Бухбиндер

Томский государственный университет, г. Томск

Ведущая организация:

ГНЦ ИФВЭ - Институт физики высоких энергий, г. Протвино.

Защита диссертации состоится "_"_2006 г. в 15— на заседании диссертационного совета К 720.001.01 при Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан "_"_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

г №74о

Общая характеристика диссертации.

Актуальность темы. Модель Салама-Вайнберга - это квантовая теория поля, которая успешно объясняет два из четырех известных взаимодействий природы, а именно электромагнитные и слабые взаимодействия. Сильное взаимодействие в свою очередь описывается квантовой хромодинамикой, которая успешно согласуется с данными по неупругому рассеянию лептонов на нуклонах. Последнее, четвертое взаимодействие - гравитация - описывается на классическом уровне с помощью теории относительности Эйнштейна. Стандартная модель (модель Салама-Вайнберга плюс квантовая хромодинамика) с одной стороны, и гравитация Эйнштейна с другой, становятся несовместимыми на малых расстояниях или, что одно и то же, для высоких энергий, порядка массы Планка Mpi и 1019ГэВ. Такие масштабы энергии пока являются неисследованной областью физики.

Теории суперструн пытаются объяснить физические явления в этом диапазоне энергий, и поскольку данные теории формулируются в пространствах с числом измерений > 4, существует большой интерес к вопросу редукции размерности за счет компактификаций лишних измерений. Многообразия с уменьшенной голономией играют существенную роль как компактифицированные многообразия суперструн и М-теории, сохраняющие определенное число супер-симметрий после компактификации, а также в качестве геометрического пространства модулей суперсимметричной сигма-модели, возникающего после компактификации. Настоящая диссертация связана с приложениями гиперкэлеро-вых и кватернионно-кэлеровых многообразий (которые являются 4п-мерными пространствами с голономиями реализованными группами Ли Sp(n) х Sp(l) и Sp(n) соответственно) в струнной теории. Кроме того в диссертации рассматриваются многообразия с G2 и Spin(7) голономиями. Данная диссертация также имеет дело с гиперкэлеровой геометрией с кручением и SU(3) структурами в шести измерениях.

В течение последних двадцати лет стало ясно, что кватернионно-кэлерова

и гиперкэлерова геометрия являются эффективным инструментом в квантовой теории поля независимо от наличия суперсимметрии. Например, пространство модулей магнитных монополей или пространство модулей инстантонов в теории Янга-Миллса в плоском пространстве являются гиперкэлеровыми [3]. Гиперкэлерова геометрия также возникает в сигма-моделях с N=4 суперсим-метриями [10]. Если в действие сигма-модели включено слагаемое типа Весса-Зумино, то target- пространство (пространство модулей) будет гиперкэлеровым с кручениями (ГКК). Когда суперсимметрия является локальной, гипермуль-типлеты взаимодействуют с гравитонами и итоговое пространство модулей -это кватернионно-кэлерово пространство [4]. Эта геометрия также связана с построением фона (классических решений) одиннадцатимерной супергравитации в виде D-браны. Метрика бозонного target- пространства для D = 4 суперсимметричной сигма модели, полученной компактификацией суперструнной теории типа ИА на многообразие Калаби-Яу, также является гиперкэлеровой [13] (даже с учетом поправок за счет D-инстантонов). Таким образом, возникает интересная задача построить кватернионно-кэлерово и гиперкэлерово пространства, в том числе и с сингулярностями.

Одним из последних достижений в гиперкэлеровой геометрии является построение гиперкэлерова фактора (quotient) [5], простейший пример которого найден в рамках ADHM конструкции (это фактор гиперкэлерова многообразия более высокой размерности по определенной группе три-голоморфных изомет-рий). Важно напомнить, что идея этого построения имеет физическое и интуитивное основание, связанное с дуальностями суперсимметричной сигма-модели. Обратное построение было найдено Шваном [6]. Он показал как кватернионно-кэлерова метрика при D=4п может быть расширена до метрики кватернионных и гиперкэлеровых пространств в D=4(n +1). Метод Швана использован для построения гиперкэлеровых пространств, применяемых в теориях с глобальными N=2 суперсимметриями. Это построение также важно для целей настоящей диссертации

Задача классификации возможных групп голономий для римановых и псев-

доримановых пространств достаточно стара. Она была поставлена Картаном и частично решена Бергером, который представил список возможных групп голономий для этих геометрий [1]. Математическая особенность уменьшения групп голономий п-мерного пространства от 50(п) к подгруппе - это наличие глобально определенных тензоров а, которые являются инвариантными при параллельном переносе. Это свойство эквивалентно исчезновению их ковари-антной производной, т.е. Ба = 0. Такой глобально определенный тензор является в некотором смысле аналогом инвариантного подпространства для группы Ли. Наличие инвариантного подпространства подразумевает редукцию 50(п) к ее подгруппе Ли с более низкой размерностью. Общая особенность уменьшенной голономии - наличие ковариантной постоянной р-формы. Например, в £> = 4 имеет место изоморфизм 50(4) ~ 577(2)ь х 5Г/(2)Д и пространство с го-лономией ви(2) характеризуется ковариатно постоянным правосторонним (или левосторонним) спинором ец, определенным на всем многообразии. Присутствие бд подразумевает, что кривизна является самодуальной и что существует вращение системы отсчета, приводящее анти-самодуальную часть связности к нулю. Примеры - многообразия Егучи-Хансона и Тауба-Нута. Также для многообразия с голономией (?2 можно выбрать ортогональную систему отсчета ег, в которой октонионная 3-форма

Ф = е1 А е2 А е7 + е1 А е3 А е6 + е1 А е4 А е5 + е2 А е3 А е5 + е4 Л е2 А е6

+ е3 А е4 А е7 + е5 А е6 А е7

и его дуальная 4-форма *Ф замкнуты. Эти формы являются действительно инвариантными относительно действия группы (?2, и их замкнутость эквивалентна присутствию ковариянтно постоянного спинора г\, такого что Югг/ = 0. Напомним, что Съ - это на самом деле подгруппа 50(7), которая выделяется с помощью одномерного инвариантного подпространства. Существование этого подпространства - самая важная особенность с физической точки зрения, потому что число суперсимметрий, сохраняемое обычной процедурой Калуца-Клейна связано с числом таких спиноров на внутреннем многообразии.

Вообще говоря, если данная риманова метрика размерности п и допускает по крайней мере один ковариатно постоянный спинор т), удовлетворяющий .0,7/ = О, то группа голономий будет Sí7(|), 5р(|), G2 либо Sptn(7). Два последних случая соответствуют семи и восьми измерениям. Для метрики с голо-номией 6'2 (и Spin{7)) существует только один r¡. После публикации работы Бергера вопрос о существовании метрики с голономией G2 и Spin(7) оставался открытым. Тридцать лет спустя после появления работы Бергера эта задача была решена Бриантом и Саламоном [7], которые доказали ее существование, а также построили некоторые явные примеры [8]. Они нашли интересную связь между кватернионно-кэлеровой метрикой и пространством с уменьшенной голономией и показали, что большой класс метрик с уменьшенной голономией может быть построен как расширение четырехмерных кватернионно-кэлеровых пространств. Это называется расширением Бриант-Саламона, и имеет некоторую аналогию с построением Швана.

Пространства с G? голономией являются Ричи-плоскими. Их тензор кривизны Rabat удовлетворяет обобщению условия самодуальности в пространстве D = 7, а именно,

__LCabcd р

ai — ±—■

Структурные константы октонионов саьы в D = 7 играют роль, аналогичную символам Кронекера £аьы в D = 4. Самодуальность подразумевает G2 голоно-мию и то, что тензор кривизны является Ричи-плоским (то же самое утверждение имеет место в восьмимерном случае для голономии Spin(7)). Хотя условие самодуальности в итоге приводит к нелинейной системе уравнений, она, тем не менее, может быть решена в случаях с подходящей симметрией.

После работы Брианта были построены несколько явных примеров компактных и некомпактных G2 метрик. В литературе есть примеры так называемых "слабых <?2 голономий" [12], которые снова являются фонами 11-мерной супергравитации, и которые также сохраняют N=1 суперсимметрию в D = 4. В этом случае существует нековариантно постоянный спинор r¡ удовлетворяющий условию D,r¡ ~ Условие = 0 (Ричи-плоские многообразия) заменяется

в этом случае условием Rn ~ \gv. В пределе А —> О получаем G2 как ограниченную группу голономий. Хитчин показал, что при определенных условиях этот вид пространства можно описать с помощью конической метрики с голо-номией Spin(7) [10]. Физическая интерпретация слабого G2 пространства - это суперсимметричные фоны в теориях суперструн при наличии специальнных тензорных полей (fluxes).

Несмотря на большой прогресс в исследовании многообразий с уменьшенной голономией, все еще остаются открытые вопросы, в особенности связанные с теориями Калуца-Клейна. Реалистичная компактификация должна объяснить наличие киральной материи (киральных фермионов), а такая материя не может быть получена применением процедуры Калуца-Клейна на гладких G2 многообразиях. В гладком случае гармоническое разложение Калуца-Клейна одиннадцатимерной супергравитации будет приводить к N=1 четырехмерной супергравитации, включающей абелевы векторные мультиплеты (без киральных фермионов). Отметим, что киральные фермионы могут появиться, как указано в [11], только если компактифицированное многообразие является сингулярным. Т.о , оказывается, что для построения реалистичной модели нужно исследовать динамику суперструн на орбифолдах.

Еще одно требование состоит в том, что внутреннее пространство должно быть компактным. Существование компактных пространств со специальной голономией и сингулярнями (орбифолдов) было строго доказано Джойсом в [9]. Но явная метрика для таких пространств до сих пор не известна. Тем не менее предполагается, что пространства (типа орбифолда) с (?2-голономией возникают как факторы (quotient) определенного конического гиперкэлерова многообразия в пространстве D = 8 по одной из его изометрий [11]. Это дает еще одну связь между "гипергеометрией" и пространствами с G2 голономией.

Несмотря на то, что явная G2 метрика для компактных многообразий не известна, в [12] были построены некоторые примеры со слабой G2 голономией, которые являются компактными и допускают некоторые виды сингулярности. Кроме того Виттен показал, что физика вблизи сингулярности является по

существу локальной, то есть не зависит от глобальных свойств (типа компактности) внутреннего пространства [11]. По этой причине все еще существует большой интерес к построению многообразий со специальной голономией и коническими сингулярностями без требования компактности.

Целью работы:

Настоящая диссертация представляет собой исследование многообразий с редуцированной голономией с упором на построение явных примеров, которые применимы для компактификаций в суперструнных и М- теориях, а также в суперсимметричных сигма моделях.

Научная новизна:

В работе впервые представлена полная классификация слабых гиперкэлеро-вых пространств с кручением посредством их идентификации с гиперкомплексными пространствами, а также с использованием результатов исследований самодуальных пространств в контексте комплексной геометрии.

Получены новые суперсимметричные фоны суперструнной теории с использованием некоторых новых результатов в кватернионно-кэлеровой геометрии. Также построенно обобщение метрики target- пространства D = 4 сигма модели (метрики Оогури-Вафа), полученной при компактификации НА-струн, при наличии нескольких идентичных гипермультиплетов (принимая во внимание также и D-инстантонные поправки).

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им.Н.Н.Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, а также представлялись и докладывались на: Международном коллоквиуме "X International Colloquium Quantum Groups and Integrable Systems" (2001, Прага,

Чешская республика); Международном коллоквиуме "XIII International Colloquium Quantum Groups and Integrable Systems" (2004, Прага, Чешская республика) и Международной конференции " XI-th International Conference Symmetry Methods in Physics" (2004, Прага, Чешская республика).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 работы.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения. Общий объем 104 станиц, включая список литературы.

На защиту выдвигаются следующие результаты:

1) Показано, что четырехмерные слабые гиперкэлеровы пространства с кручением (СГКК) - это то же самое, что гиперкомплексные пространства и то же самое, что некоторые пространства, рассмотренные Плебански и Финли. С помощью такого отождествления найдена наиболее общая локальная форма для метрики гиперкэлерова пространства с кручением в четырех измерениях. Для СГКК пространств предложена формулировка типа Аштекара-Якобсона-Смолина, в которой проблема построения СГКК метрики сводится к решению квадратичной системы дифференциальных уравнений. Показано, что существует более общее решение (нежели решение Калана-Харви-Строминжера), для которого не существует сохраняющаяся форма объема. Построены несколько явных примеров таких метрик с изометриями [18].

2) Найдена наиболее общая форма метрики target- пространства для D — 4 сигма модели (с несколькими идентичными гипермультиплетами), которая возникает в теории суперструн типа IIA, компактифицированной на некоторое многообразие Калаби-Яу (вместе с непертурбативными вкладами в метрику от D-инстантонов). Рассматриваемый метрический тензор является "торически гиперкэлеровым", если не принимать во внимание гравитационные поправки.

Этот результат обобщает решение Оогури-Вафа. Мы нашли, что квантовые поправки к классическим (логарифмическим) членам экспоненциально подавлены факторами, полученными от вкладов Б-инстантона в квази-классическом описании [17].

3) Построено семейство метрик для пространств с голономией 5рт(7), <32 а также для пространств со слабой <?2 голономией. Результат был также распространен на случай фонового решения для супергравитации, сохраняющего одну суперсимметрию. Наличие торических симметрий дает возможность редукций к фоновым решениям типа НА путем обычной редукции по одному из векторов Киллинга [15].

4) С помощью математического приема, называемого расширением Швана, построено семейство торических гиперкэлеровых метрик для восьмимерного случая. Найдена система координат, для которой метрика имеет вид типа метрики Гиббонса-Хокинга. Решение было расширено до одиннадцатимерной супергравитации, сохраняющей определенное число суперсимметрий, независимо от присутствия потоков. Некоторые типы НА и ИВ решений были найдены с помощию редукций (вдоль изометрии), и при помощи правил Т-дуальности [16].

Содержание диссертации. В главе "Предварительные материалы" представлено подробное описание основных особенностей гиперкэлеровой геометрии, гиперкомплексных структур, кватернионно-кэлеровых пространств и многообразий с (?2 и 5ргп(7) голономиями. Результаты данной главы скорее математические и не новые. Надеемся, что данный обзор может быть использован в педагогических целях, поскольку в нем сделана попытка по новому представить формальные результаты с помощью простого языка, понятного физикам. В разделе 2.1.1 дан обзор о главных свойствах кватернионно-кэлеровой и гиперкэлеровой геометрии в размернностях И > 4. В разделе 2.1.2 мы показываем что в 4-измерениях любое кватернионно-кэлерово пространство яв-

ляется самодуальным пространством Эйнштейна. В разделе 2.2 описаны гиперкомплексные структуры и их связь со структурами Плебански-Финли, которые играют существенную роль в нашей классификации СГКК пространств в четырехмерном случае. Этот контекст использован для описания формулировки Плебански и Аштекара-Якобсона-Смолина для 4-мерных самодуальных пространств в разделе 2.3. Эта часть важна для результата 1) упомянутого выше. В глабе 2.4 мы рассматриваем редукцию "небесного" уравнения Плебански при наличии одной изометрии, и мы возвращаемся к классификации Боера-Финли возможной локальной формы метрики для самодуальных пространств с одной изометрией. Мы представляем геометрическую интерпретацию интегрируемости аксиального в и (оо) уравнения Тода, показывая, что оно описывает некоторые метрики Гиббонса-Хокинга в специальной системе координат. Соотношение Джонса-Тода, которое устанавливает связь между самоду-альнными структурами и структурами Эйнштейна-Вейля рассмотрено в разделе 2.4.3. В разделе 2.4.4 мы расматриваем случай с двумя коммутирующими изометриями, который соотвествует пространствам Джойса. Мы рассматриваем подкласс пространств Джойса, которые являются эйнштейновскими и таким образом кватернионно-кэлеровыми. В этом контексте мы находим метрики Калдэрбанка-Педерсена, которые соотвествуют наиболее общим кватернионно-кэлеровыми многообразиями с[/(1)х[/(1) изометриями, и играют важную роль в этой диссертации, в особенности для получения результатов 3) и 4).

В разделе 2.5 мы обсуждаем некоторые важные особенности кватернионно-кэлеровой и гиперкэлеровой геометрии с размернностями £> > 4. В разделе 2.5.1 представлены самые общие 4п-мерные гиперкэлеровые пространства с п коммутирющими три-голоморфными изометриями, которые являются обобщениями метрики Гиббонса-Хокинга на более высокие размерности. Этот результат будет использоваться при обсуждении результатов 2) и 4). Мы в общих чертах даем описание расширения Швана в 2.5.3. Эта часть используется, главным образом, при получении результата 4).

В разделе 2.6 обсуждаются некоторые важные особенности групп (32 и 5ргп(7)

и их связь с алгеброй октонионов. После этого мы обсуждаем классические особенности пространств с голономиями G2 и Spin(7), а именно самодуальн-ность тензора кривизны, наличие ковариантно постоянных тензоров и их связь с алгеброй октонионов. Мы даем прямое доказательство построения Брианта-Саламона и объясняем роль пространств со специальными голономиями. Прослеживаются определенные аналогии между этим построением и построением Швана. Мы также показываем, что некоторые примеры метрики со слабой голономией G2 могут быть построены с помощью редукции определенной метрики (конического типа) с голономиями Spin{7). Так же строятся полуплоские 6-мерные метрики, исходя из определенных G2 метрик конического типа. Мы подчеркиваем связь между G2 пространствами и компактификацией 11-мерной супергравитации (сохраняющей определенное количество суперсиммет-рий). Эта часть важна для вывода результата 3).

Другие разделы посвящены подробному обсуждению результатов 1)-4) данной диссертации. Результат, сформулированный в пункте 1), представлен в двух эквивалентных утверждениях [18]:

Утверждение 1 Пусть метрический тензор g определен на многообразии M вместе с три-комплексными структурами J1, удовлетворяющими алгебре J1 ■ J3 — —6г] + f,jkJk и для которых метрика является кватернионно-эрмитовой, то есть g(X,Y) — g(J'X, J'Y). Определим конформный класс метрик [g], состоящий из всех метрик g' связанных с метрикой g произвольным конформным преобразованием.

а) Тогда имеет место эквивалентность

dT + aA7 = 0 N4X,Y) = 0, (1.1)

где Т кэлерова 1-форма, a Nl(X,Y) - тензор Ниенхойса, связанный с «/'; d - обычная внешняя производная и а - некоторая 1-форма. Если какое-либо из равенств (1.1) выполняется для g, то (11) также верно для любой метрики

д' конформного класса [д].

b) Оба соотношения (1.1) выполняются для любой четырехмерной слабой гиперкэлеровой метрики с кручением, и существует локальная система координат (х,у,р,д) для которой метрический тензор принимает вид

д = (с1х — Фхйр + Фх(1д) ® йр + (с1у + Фуйр - Ъхйд) ® йд, (1.2)

с точностью до конформного преобразования д —> ш2д. Потенциалы Ф и Ф удовлетворяют нелинейной системе дифференциальных уравнений

[Фудхдх + Фхдуду - (Ф, + Фу)дхду + дхдр + дудч] ^ * | = 0. (1.3)

c) Обратное утверждение также имеет место, то есть любая метрика (1-2) определяет конформное семейство [</], в котором все элементы д' являются слабой гиперкэлеровой метрикой с кручением. Кручение Т, соответствующее (1.2') имеет вид

Т = —"Ехйд Л {¿у А(1х + Фу<1р л йх — Фуду А йр)

+Еус1р Л {д.у Л с1х + Фхйу Л йд - ^хйд Л йх), (1.4)

где Е = Фх — Фу. При конформном преобразовании д —> ш2д кручение преобразуется как Т + *д2с/ .

Утверждение 2 Пусть д = 6аьеа ® еь один из представителей конформного семейства [д] из утверждения 1.

а) Тогда имеют место равенства

[еь е2] + [е3) е4] = -А2е1 + Аге2 - А4е3 + А3е4

[ей е3] + [е4, е2] = -А3е1 + А4е2 + Ахе3- А2е4 (1.5)

[еье4] + [е2,е3] = -А4е 1 - А3е2 + А2е3 + А,е4

где еа - векторные поля, дуальные к е", и А, - произвольные функции на пространстве М, где определено семейство [р].

Ь) Справедливо обратное утверждение. Любое решение (1.5) определяет конформное семейство [<7], которое описано в утверждении 1. Кручение Т, соответствующее (1.2) определяется формулой

Т - - (1.6)

где с^ь - структурные константы, задаваемые скобками Ли [еа, = ссаЬес. Преобразование кручения при g —>• oj2g следует непосредственно из Утверждения 1.

Теперь более подробно представим результат 2). Оогури и Вафа нашли метрику target- пространства для D = 4 сигма модели с одним гипермультиплетом, возникающей в теории суперструн IIA, компактифицированных на многообразии Калаби-Яу вблизи сингулярности типа конифолда. Результат учитывает непертурбативные вклады в метрику от D-инстантонов. Эта метрика является гиперкэлеровой с одним самодуальным вектором Килинга и имеет вид [14]

g = l(dt + A)2 + V(dx2 + dy2 + dz2), (1.7)

где функция V и 1-форма А удовлетворяют соотношениям

W + VxA = 0. (1.9)

Здесь Килинг вектором для метрики (1.7) является dt. Предположения Оогури-Вафа для построенния явного вида метрики (1.7) следующее

• периодичность метрики по радиалной переменной р = \fx2 + у'2 с периодом 1, как следствие квантованния заряда D-браны,

• классический потенциал V вблизи сингулярности Калаби-Яу (типа кони-фолд) должен обладать логарифмическим поведением V ~ log(p), и неза-висеть от координаты z и угловой координаты в.

• метрика должна быть полной

Уравнение (1.8) описывает потенциал V электрических зарядов в евклидовой полуплоскости (р, т}), р > О, распределенных вдоль оси г, при р = 0, в каждой точке г) = п £ Ъ [14]. Единственное решение (1.8) удовлетворяющее этим предположениям следующее [14]

1 ц2 °°

Уоу (Л*?) = — к^(-х) + V ехр(-2тттр) сов^тти]) 47Г ^

°° Г(п + 1) , 1 ,„+-

"¿bv^niri-n + ij^W" 5 (110)

Константа связи струны д может быть восстановлена в формулуе (1.10) с помощью масштабного преобразования р —> р/д. Тогда возникающая экспонента ехр (—2-ктр/д) интерпретируется как вклад в метрику от D-инстантонов [14].

Обобщение метрик (1.7) на случай 4тг-измерений является метрикой Педерсена-Пуна и имеет вид

д = U,]dxl • dx> + Uv(dt, + A^dtj + A,) (1.11)

где U,J = (UtJ)-\ U, = ((7,i,..., [/,„) и Ax - решения уравнений

= Vx\U„

Ж, (1.12)

A A

Ut = (UtU..,Um),

и F - тензор напряжености для потенциала А. С помощью (1.11) и предположений Оогури и Вафа мы построили метрики пространства модулей для нескольких идентичных гипермультиплетов для суперструн типа НА, компактифицированных на многообразии Калаби-Яу вблизи сингулярности типа конифолда, вместе с непертурбативними вкладами в метрику от D-инстантонов.

Фоновое решение супергравитации, которое упоминается в пункте 3), имеет вид

dv^ т^ h(r) i

(1.13)

где (^-плоская метрика Минковского, а остальная часть является метрикой с голономией (?2. Тензор С/ц, 1-форма С}, и функция Я определяются функцией .Р, которая является решением следущего линейного уравнения

ог

ррр+рпп = ^- а-14)

Метрика может быть записана как

9п = + еУ°{йф + йх^С^х))2 (1.15)

где дилатон (ро и рамон-рамоновская 1-форма С имеют вид

3, ,г2£/п

Редукция (1.15) вдоль изометрии ф\ дает следующую метрику типа ПА

г2ТТ 2

2 /1(г) ¿(Уц

(1.16)

Компоненты метрики также определены через решения .Г уравнения (1.14)

Что касается результата 4), то мы построили решение 11-мерной супергравитации с фермионными полями и Рй„ар, равным нулю. Решение имеет общий вид

д = д(Е2,1) + иг]<1х1 ■ йх3 + и13{<Иг + А,)(сИ] + А,), (1.17)

то есть, представимо в виде прямого произведение плоского пространства Л3 и торического гиперкэлерова внутреннего многообразия. Мы нашли с помощью Т и и дуальностей решения в теории суперструн типа НА и ПВ.

В заключении кратко сформулированы полученные в диссертации результаты, которые выносятся на защиту.

В приложении описывается связь между СГКК пространствами и суперсимметрическими сигма-моделями в двух измерениях.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. M.Berger Bull.Soc.Math.France. 83 (1955) 279

2. D.Joyce J.Diff.Geom. 43 (1996) 2; J.Diff.Geom. 43 (1996) 329.

3. M. Atiyah, N.J.Hitchin The geometry and dynamic of magnetic monopoles. Princeton University Press 1988.

4. E.Witten, J.Bagger Nucl.Phys.B 222 (1983) 1.

5. P.B.Kronheimer J.Diff.Geometry 29 (1989) 665; P.B.Kronheimer

J.Diff.Geometry 29 (1989) 685; N.J.Hitchin, A.Karlhede, U.Lindstrom and M.Rocek Comm.Math.Phys.108 (1987) 535.

6. A.Swann Math.Ann.289 (1991) 421.

7. R.Bryant Ann.Math.126 (1987) 525.

8. R. Bryant and S.Salamon Duke Math. Journal 58 (1989) 829.

9. D.Joyce Compact manifolds with special holonomy First edition (Oxford University Press 2000).

10. N. Hitchin Stable forms and special metrics math.DG/0107101.

11. B.Acharya, E.Witten Chiral Fermions from Manifolds ofG2 Holonomy hep-th/0109152.

12. A.Bilal, S.Metzger Nucl.Phys. В 663 (2003) 343.

13. B.de Wit, M. Rocek, S.Vandoren JHEP 0102 (2001) 039.

14. H. Ooguri, C. Vafa Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 3298.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

15. О.Р. Santillan Nucl.Phys.B 660 (2003) 169.

16. O.P. Santillan, A.Z. Zorin Commun.Math.Phys 255 (2005) 33.

17. S.Ketov, O.P. Santillan, A.Z. Zorin Mod.Phys.Lett. A19 (2004) 2645.

18. A.P.Isaev, O.P. Santillan JHEP 0510 (2005) 061.

Получено 2 декабря 2005 г.

§2 5 9 8 Г

РНБ Русский фонд

2006-4 29680

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 05.12.2005. Формат 60 X 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,15. Тираж 100 экз. Заказ № 55131.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@pds.jmr.ru www.jinr.ru/publish/

61:06-1/412

BOGOLUBOV LABORATORY OF THEORETICAL PHYSICS JOINT INSTITUTE FOR NUCLEAR RESEARCH

Santillan, Osvaldo Pablo MANIFOLDS WITH REDUCED HOLONOMY IN STRING THEORIES

(01.04.02 - Theoretical Physics)

Dissertation for the Degree of Candidate of physical and mathematical sciences

Scientific Advisor : A.P.Isaev

Doctor of physical and mathematical sciences

Dubna - 2005

Contents

1. Introduction 2

2. Preliminary material 8

2.1 Quaternion Kahler and hyperkahler spaces..........................................8

2.1.1 Quaternionic Kahler spaces in dimension higher than four ................9

2.1.2 Quaternion Kahler manifolds in dimension four............................12

2.2 Hypercomplex structures..............................................................14

2.2.1 Basic concepts..................................................................14

2.2.2 Some explicit examples........................................16

2.3 Hyperkahler spaces in four dimensions..............................................18

2.4 Quaternion Kahler and hyperkahler metrics in d = 4 with at least one isometry . 21 2.4.1 Hyperkahler metrics with Killing vectors that are not self-dual............21

♦ 2.4.2 Integrability of the axial continuum Toda equation ........................23

2.4.3 Einstein-Weyl structures and hyperkahler metrics..........................25

2.4.4 Self-dual structures with one Killing vector..................................27

2.4.5 The Joyce spaces..............................................................29

2.4.6 Identification of the quaternionic-Kahler metrics with at least one isometry 31

2.4.7 Examples of toric quaternion Kahler spaces ................................33

2.5 Higher dimensional hypergeometry..................................................39

2.5.1 Construction of 4n hyperkahler manifolds with Tn tri-holomorphic isometry 39

2.5.2 Quaternion Kahler spaces in quaternion notation..........................41

2.5.3 The Swann extension..........................................................43

2.6 Spaces with Gi holonomy............................................................45

2.6.1 The group (?2 and the octonions..............................................45

2.6.2 G2 holonomy and self-duality................................................51

2.6.3 The Bryant-Salamon construction............................................53

2.6.4 Weak G2 and Spin(7) holonomy spaces......................................55

Э 2.7 G2 holonomy spaces and M-theory compactifications ..............................59

3. Heterotic geometry without isometries 62

3.1 Introduction............................................................................62

3.2 Hyperkahler torsion manifolds........................................................65

3.2.1 Main properties................................................................65

3.2.2 Relation with the Plebanski-Finley conformal structures..................67

3.3 The general solution..................................................................70

3.4 Discussion..............................................................................75

4. D-instanton sums for matter hypermultiplets 77

4.1 Ooguri-Vafa solution..................................................................77

4.2 Pedersen-Poon Ansatz................................................................79

4.3 D-instanton sums......................................................................80

4.4 Discussion..............................................................................82

5. Hyperkahler spaces with local triholomorphic Z7(1) x U( 1) isometry and su-pergravity solutions 83

5.1 Toric hyperkahler metrics of the Swann type........................................83

5.2 Supergravity solutions related to hyperkahler manifolds............................86

6. G2 toric metrics and supergravity backgrounds 89

7. Conclusion 93 A Supersymmetric sigma models 94

3 1. Introduction

The Weinbcrg-Salam theory is a quantum field theory that explain successfully two of the four known interactions of the nature, the electromagnetic and the weak interactions. The strong interaction is widely believed to be described by quantum chromodynamic, which is a theory that fits successfully with deep inelastic lepton nucleeon scattering data. The remaining interaction, namely gravity, is believed to be described at classical level, by Einstein's General Theory of Relativity. The Weinberg-Salam model plus quantum chromodynamics and Einstein gravity are incompatible for small distances or, which is the same, for high energy scales of the order of the Planck mass Mpi & 1019 GeV. The physics at this scale of energy is not known yet.

Superstring theory attempts to explain the physical phenomena at this scale. The present work deal with applications of manifolds with reduced holonomy to supersymmetric and superstring theories. The problem of classifying the possible holonomy groups for Riemannian and pseudo Riemannian spaces was possed by Cartan in [2] and partially solved by Berger in ^ [1], who presented a list of all the possible holonomy groups. Two special cases of this list, relevant for are purposes, are the quaternion Kahler and hyperkahler spaces. By definition these spaces are 4n-dimensional with holonomies included in the Lie groups Sp(n) x Sp( 1) and Sp(n), respectively. Some of their properties has been investigated in [3], [4], and [5] but they are not completely classified at the present.

It is convenient to explain what we mean when we speak about an holonomy group. Consider a field ф defined over a given point x on a n-dimensional manifold M, and let us parallel transport it around a given closed curve 7. In general the result of this transport will be a new field ф*, at p that is different than the original one ф. Let us introduce the transformation matrix H1 by

V>7 = Щф. (1.1)

If we take into account all the possible closed C^-piecewise curves passing through the point p it can be shown that the corresponding matrices H(p) form a group. This is the full holonomy group of the manifold at the point x and is a subgroup of the orthogonal group 0(TP). If ф instead we consider only curves 7 that are contractible to a point, we will obtain the so called restricted holonomy group H°(p) which is a subgroup of SO(Tp).

If we change from the point p to a point q and fix some C^-piecewise curve connecting both point we will have the transformation

H(q) = A№)H(p)A(P)~l

and the same for H°(p). The matrix A belongs to the holonomy group H(p) and it follows that H(p) and H(q) are isomorphic. Therefore we can talk about holonomy groups without reference to some specific point p. An space is orientable if and only if the holonomy group is in SO(ri). If the fundamental group (M) = 0, then H = H°. We recall that there exist non simply connected manifolds for which iti(M) = 0, an example is the flat tori [6].

From the definition of the curvature tensor Rabcd [7] it is known the variation of ф under an infinitesimal closed curve 7 is given by

5ф = ОаЬ5АаЬф. (1.2)

^ Here Aab is the area spanned by the curve 7 and Gab = Rabcdlcd being jcd some generators of SO(n) in the representation of the field (for applications to string theory we deal usually with spinor fields ф but this is not important in our discussion). Then it is clear that the

"infinitesimal" holonomy group Hl is determined completely by the curvature tensor. Under infinitesimal parallel transport ф satisfies

дгФ = -OWV, (1-3)

being cuff the spin connection defined by

dea + A eb - 0.

From (1.3) we infer that the transformation around a (not necessarily infinitesimal) curve 7 is given by the operator

t/(7) = Pexp(- [ uiab-yаЬ<1х1) (1.4)

where P denote path-ordering of the exponential [8]. By considering all this curves we obtain ф the full holonomy group, which could be larger than the infinitesimal one.

If the curve 7 is homotopic to the identity then the matrices U(7) are generically in SO(n) with the tangent indices of cog taking values in its Lie algebra so(n). But there exists infinitely many examples in which the holonomy is reduced to a subgroup of SO(n). A characteristic feature of this reduction is the presence of globally defined tensors a that are invariant under parallel transport. This property is equivalent to the annulation of their covariant derivative, i.e, Da — 0 [6]. A globally parallel transported field is an analogous concept of an invariant subspace for the Lie group SO(n). The presence of an invariant subspace implies the reduction of SO(n) to another Lie group with lower dimension. A common feature of reduced holonomy is in general the presence of covariantly constant j>forms that plays an analog role than those invariant subspaces. For instance in D = 4 we have the isomorphism SO(4) ~ SU(2)l x SU(2)r and SU(2) holonomy spaces are characterized by a covariantly constant right-handed (or left-handed) spinor cr defined over the whole manifold. The presence of cr implies that the curvature is self-dual and that there exist a rotation of the frame taking the anti-self-dual part of to zero. Examples are the Eguchi-Hanson and Taub-Nut spaces. Also for G2 holonomy ф manifolds one can choose an orthogonal frame e1 in which the octonionic 3-form

Ф = e1 A e2 A e7 + e1 Л e3 Л e6 + e1 A e4 A e5 + e2 Л e3 A e5 + e4 A e2 A e6

+ e3 A e4 Л e7 + e5 Л e6 A er

and its dual *Ф are closed [9]. This forms are indeed invariant under the action of G2 and their closure is equivalent to the presence of a spinor 77 such that Dif] = 0. We recall that G2 is indeed a subgroup of SO (7) with a one dimensional invariant subspace (as the space generated by rj).

During the last twenty years it became clear that quaternion Kahler and hyperkahler geometry is an effective tool in field theory with and without the presence of supersymmetries. For example the moduli space of magnetic monopoles or the moduli space of Yang-Mills instantons in flat space are hyperkahler [10] , [11]. Hyperkahler geometry also describe the couplings of supersymmetric sigma models with N=4 rigid supersymmetries [12],[13] and [44]. If a Wess-Zumino type term is included, then the resulting geometry will be hyperkahler torsion (HKT) [94]. When the supersymmetry is local the hypermultiplets appears coupled to gravity and * the resulting target space is a quaternionic Kahler manifold [14]. Quaternionic manifolds also characterize the hypermultiplet geometry of classical and perturbative moduli spaces of type II

strings compactificd on a Calabi-Yau manifold [133], and even taking into account non pertur-bative corrections due to D-instantons [169]. Therefore there appears an interesting problem to construct quaternion Kahler spaces with singularities [128]. Other applications of this geometry can be found in [15]-[20] and references therein.

One of the latest achievements for constructing this type of manifolds is the hypcrkahler quotient [12], [21], a simple example is realized in the ADHM construction [11]. This is a construction of hyperkahler manifolds of a given dimension taking the quotient of a higher dimensional hyperkahler one by certain group generating tri-holomorphic isometries, and it have a physical origin related to dualities in supersymmetric sigma models [12]. A sort of inverse method is due to Swann [22] who shows how a quaternionic Kahler metric in D=4n can be extended to a quaternionic Kahler and hyperkahler examples in D=4(n +1). The Swann construction was applied recently to construct hyperkahler cones in [23], relevant in theories with N=2 rigid supersymmetries, and to construct certain scalar manifolds in M-theory on a Calabi-Yau threefold in the vicinity of a flop transition [24].

Hypergeometry (that is quaternion Kahler and hyperkahler geometry) is not the only case of the Berger list with application s in modern theoretical physics. Spaces of SU(3), Gi and Spin(7) holonomy play a crucial role as internal spaces of heterotic string and M-theory preserving certain amount of supersymmetries [25], [26]. The main feature of such manifolds is the presence of parallel spinors fields The number of supersymmetries preserved by the usual Kaluza-Klein reduction is related to the number of such spinors over the internal space. In general, if a given Riemannian metric with dimension n admits at least one covariantly constant spinor т] satisfying Д77 = 0 the holonomy group will be SU(Gi or Spin(7). The last two cases corresponds to seven and eight dimensions. For G2 (and Spin(7)) holonomy manifolds there is exactly one 77.

In fact after the completion of the Berger work it remained as an open question the existence of metrics with exceptional holonomies G2 and Spin(7). This problem was solved by Bryant and Salamon thirty years after the appearance of the Berger list [27]. They showed that such spaces indeed exist by providing a family of examples [29]. The construction of this family was based on an interesting link between quaternion kahler and special holonomy spaces allowing to find a large class of spaces with special holonomy can be constructed as extensions of four dimensional quaternion Kahler manifolds. This is called the Bryant-Salamon extension, and has certain analogies with the Swann one.

Spaces with special holonomy has vanishing Ricci tensor, i.e, they are Ricci-flat. Their curvature tensor Rabcd satisfies a generalization of self-duality condition to D = 7 namely

т-> | Cgbcd

-n-aft — ±—^-Kcd.

The octonion constants cabcd in D = 7 play an analogous role of the Kronecker symbols eabCd in D = 4. Self-duality implies Ricci-flatness and G2 restricted holonomy [92] (analogous considerations hold in eight dimensions for Spin(7)). Although self-duality gives a non linear system of equations they have been solved in cases with suitable symmetries [9].

After the Bryant work explicit compact and non-compact G2 holonomy metrics were constructed in [28] and [29], and complete ones in [30] and [31]. Recently, new examples have been found in [32], [33], [34], [36], [37], [38] and [35]. There are in the literature examples of "weak G2 holonomy" [26], which are again backgrounds of the M-theory that give rise to N=1 supersymmetry in D = 4. In this case, there is an spinor field 77 which is not covariantly constant but satisfies DiTj ~ X^r). The Ricci flatness condition is replaced by Rij ~ Xg^. In the

limit A —» 0 one obtain G2 as restricted holonomy group. Hitchin has shown that under certain conditions is possible to construct this kind of manifolds starting with an Spin(7) holonomy one [39]. Physically weak G2 spaces are supersymmetric backgrounds in presence of fluxes.

Although there is a big progress in the study of special holonomy spaces, there are also some open problems, in particular related to Kaluza-Klein theories. A realistic compactification of M-theory should give rise to chiral matter and this can not be obtained by applying Kaluza-Klein procedure over G2 smooth manifolds [40]. In the smooth case the harmonic Kaluza-Klein decomposition of the eleven-dimensional supergravity is the N=1 four dimensional supergravity coupled Abelian vector multiplets plus chiral multiplets. But the chiral matter fields can emerge only if the manifold develops a singularity, as pointed out by Witten and Acharya in [41] and [42]. It turns out that to obtain a realistic model one should investigate the dynamics of the M-theory over orbifolds. Another request is that the internal space should be compact. The existence of compact spaces with special holonomy and orbifold singularities was proved ф rigorously by Joyce in [32]. But no explicit metric over such spaces is known yet.

Fortunately, some examples with weak G2 holonomy that are compact and admitting certain kind of singularities are known [43]. Moreover Witten has shown that the physics near a singularity is local in essence and independent on the global properties of the internal space [94]. For this reason there is still much interest in construct special holonomy manifolds with conical singularities without the restriction to be compact.

It should be mentioned that the study of explicit metrics with exceptional holonomy has also importance in the context of dualities of string theory and M-theory [99]-[102]. Also generalizations of the work of Acharya and Witten on singular G2 spaces were investigated recently in [95], and over complete spaces with torus symmetry and admitting only orbifold singularities in [96] and [97]. Moreover compact ^-holonomy spaces with orbifold singularities are believed to arise as quotients of a certain conical hyperkahler manifold in D=8 by one of its isometries [42], thus providing a new link between special holonomy manifolds and hypergeometry. The range of applications of this topic is very wide; some of them can be found in [105]-[120].

The purpose of this dissertation

This dissertation is based on the works of the author during his studies in order to get the degree of Candidate in Sciences [182],[183], [184] and [185] and is related to applications of reduced holonomy manifolds and hyperkahler torsion geometry to string and M-theory. Our aim is the following:

a) To show that in four dimensions weak hyperkahler torsion geometry is the same than hypercomplex structures, and also equivalent to certain self-dual structures considered by Ple-banski and Finley [185].

b) To find the most general form for a weak hyperkahler torsion metric in four dimensions and discuss some particular examples [185].

c) To construct the hyperkahler target space metric corresponding to several matter hy-permultiplets of type IIA superstring compactified on a Calabi-Yau threefold even taking into

• account the D-instanton contributions, by imposing the physical requirements due to Vafa and Ooguri to a generic An dimensional hyperkahler metric [184].

d) To construct a family of toric hyperkahler spaces with tri-holomorphic killing vectors in eight dimensions. To lift the result to new eleven dimensional backgrounds not related to D-brane solutions. To find new IIA backgrounds by reduction along one of the isometries and new IIB backgrounds by use of dualities [183].

e) To construct a family of toric G2 holonomy manifold and SU(3) torsion structures with two commuting isometries [182]. To lift the result to new eleven dimensional backgrounds. To find IIA backgrounds by reduction along one of the isometries and IIB backgrounds by use of dualities [183].

The structure of this dissertation

In the preliminary material we explain in detail the elementary features about hyperkahler ф geometry, hypercomplex structures, quaternion Kahler spaces, G2 and Spin(7) holonomy manifolds. The results of this section are rather mathematical and not original at all, but the presentation is new. We consider of great importance to make clear certain mathematical features in simple language. In section 2.1.1 we present the most important features about quaternion Kahler and hyperkahler geometry in dimension higher than four. In section 2.1.2 we show that in four dimensions any quaternion Kahler space is self-dual Einstein. In section 2.2 we give definition of an hypercomplex structures. In this context we review in section 2.3 four dimensional hyperkahler geometry, in particular the Ashtekar-Jacobson-Smolin and Plebanski formulations. This part is importance for the points a) and b) mentioned above. Hyperkahler spaces with isometries are presented in section 2.4, in particular it is reviewed the Boyer-Finley classification of the possible Killing vectors for this geometry. It is also remarked a geometrical interpretation for the integrability of the axial SU(00) Toda equation that naturally appears in this context. In section 2.4.3 it is presented a one to one link between self-dual conformal structures and Einstein-Weyl structures, which is known as the Jones-Tod correspondence. We also present in section 2.4.4 the most general self-dual structures with two commuting isometries that are non conformal to an hyperkahler space namely, the Joyce spaces. The other part of ^ section 2.4 present the subcases of the Joyce spaces that are Einstein, and therefore quaternion Kahler. This are the Calderbank-Pedersen spaces, which play an important role in the present dissertation, in particular for the points d) and e).

Section 2.5 concerns with certain aspects of higher dimensional quaternion Kahler and hyperkahler geometry. In section 2.5.1 are presented the most general An dimensional hyperkahler spaces with n commuting tri-holomorphic isometries, which is a higher dimensional generalization of the Gibbons-Hawking metrics. The metrics are written in the momentum map system, which is the most suitable form for the purposes of this dissertation. This result will be used in the point c) and d). We also present in section 2.5.3 the Swann extension, which is a construction of a higher dimensional quaternion kahler space starting with other with less dimensions. This part concerns mainly with the point d).

Section 2.6 presents some features about the groups G2 and Spin(7) and the relation with the octonion algebra. It is shown that We show the link between G2 and Spin(7) holonomy manifolds, the presence of globally defined covariantly constant spinor fields and octonionic self-duality. We present the Bryant-Salamon construction, which extend any quaternion kahler • manifold in four dimensional to a seven dimensional one with holonomy included in G2 and to an eight dimensional one with holonomy in Spin{7). We also present spaces with weak G2 holonomy as the cones of certain Spin(7) spaces, and half-fiat six dimensional manifolds as

the cones of certain G2 spaces. We emphasize the relation between G2 holonomy manifolds and compactifications of M theory preserving certain amount of supersymrnetries. This part is related to the point e).

The remaining sections are devoted to solve the tasks a)-e) enumerated above. The preliminary material plays an important role in order to understand this section. In the conclusions we mention the main results of the present work. We have included an appendix that explain the relations between hyperkahler torsion geometry and supersymmetric sigma models. At the end it is included the bibliography and the publications of the author.

2. Preliminary material

2.1 Quaternion Kahler and hyperkahler spaces

By definition quaternion Kahler manifolds are euclidean An dimensional spaces with holonomy group Г included into the Lie group Sp(n)xSp( 1) С SO(4n) [1]. This statement is true if D > 4 but in D = 4 we have the isomorphism SO(4) ~ SU(2)L x SU(2)я гг Sp( 1) x 5p(l) related to the orthogonal decomposition of spinors in left and right states of chirality, and so the statement Г С Sp( 1) x Sp( 1) is trivial and should be modified. The first subsection of this section concerns with spaces with dimension at least 8, the case D — 4 will be treated separately in the second one. We will show that a quaternionic Kahler metric has the following properties [4], [3].

1) There exists three automorphism J\ (г = 1 ,2, 3) of the tangent space TMX at a given point x satisfying J% • P = —Sij + €ijkJk and for which the metric g is quaternion hermitian,

• that is

g(X1Y) = g(JiX1JiY)f (2.5)

being X and Y arbitrary vector fields.

2) The structures j1 satisfy the fundamental relation

VXJ* = eijkJjut, (2.6)

with Vx the Levi-Civita connection of the manifold and its 5"p(l) part. As a consequence of hermiticity of g stated above the tensor ~Tab — (Jl)°agcb is antisymmetric and therefore there exists an associated 2-form

У = ~Tabea A eb

for which

dT = eijkJ3 Auj'L. (2.7)

• being d the usual exterior derivative.

3) Corresponding to the 5р(1) connection we can define the 2-form

Fi = diol + eijkui A uik_. Then for a quaternion Kahler manifold

R i = AT, (2.8)

Fl = A'7. (2.9)

being A and A' certain constants. The tensor Rt is the part of the curvature. The last two conditions implies that g is Einstein with non zero cosmological constant Rij ~ gij.

4) In a quaternion Kahler space the globally defined (0,4) and (2,2) tensors

• e = j1 a j1 + j2aj2 + Taj3,

E = J1 ® J1 + J2 ® J2 + J3 <8) J3

are covariantly constant with respect to the usual Levi Civita connection.

5) Any quaternion Kahler space is orientable.

6) If there exists some frame for which locally can be set equal to zero, then the metric is called hyperkahler and is Kahler with respect to any of the complex structures. The metric g is in this case Ricci-flat and the holonomy is reduced to a subgroup of Sp(n).

7) In four dimensions quaternion Kahler spaces are equivalent to Einstein spaces and with self-dual Weyl tensor.

This section is devoted to explain this concepts in more detail. By taken granted properties 1-7 the reader can go directly to the next section.

2.1.1 Quaternionic Kahler spaces in dimension higher than four

It is well known that the generators J% of the Lie algebra sp(l) of Sp( 1) c^ SU(2) have the multiplication rule

f . ji = _sijI + cijkJk, (2.10)

which implies the so(3) ~ su(2) commutation rule

[J\P) = eijkJk.

(2.11)

We see that J1 J1 = —I and therefore J% will be called almost complex structures. An useful An x An representation is

Jx =

/ 0 Inxnr 0 0 f 0 0 Лгхп 0 \

Лгхп 0 0 0 , J2 = 0 0 0 Лгхп

0 0 0 Inxn Лгхп 0 0 0

V 0 0 Лгхп 0 / \ 0 Лгхп 0 0

Jz = J1 J2 =

( 0 0 0 InXn

0 0 ~lnxn 0

0 Inxn 0 0

\ Inxn 0 0 0

(2.12)

The group SO {An) is a Lie group and this means in particular that for any SO (An) tensor A% the commutator [A, J1] will take also values in SO (An). We will say that A belong to the subgroup Sp(n) of SO (An) if and only if

[A, f] = 0.

(2-13)

Condition (2.13) together with (2.11) implies that a tensor В% belongs to the subgroup Sp(n) x Sp(l) if and only if

being the components of В in the basis Jk. Both conditions are independent of the representation.

Consider for the moment a An dimensional manifold M endowed with a metric g = 5аьеа<8>еь, being ea the 4n-bein basis for which g is diagonal. Let us define the triplet of (1,1) tensors

У = {У)аьеа®еь, (2.14)

corresponding to (3.302). If the holonomy is in Sp(n) x S'p(l) from the beginning will take values on its lie algebra sp(n) ф sp(l). This implies that

[a;, J1} = €ijkJj^~- (2.15)

As usual, the connection is defined through

Vxea = -uab(X)eb,

together with the Levi-Civita conditions Vg = 0 and T(X,Y) = 0. Using the chain rule У(Л <g> B) = (Vi4) ® В + A <g> (VB) for tensorial products show us that in the einbein basis

= (2.16)

Comparing (2.15) and (2.16) we see that quaternionic Kahler manifold are defined by the relation

= eijkjiuk_,

which is independent on the selected frame. This proves that (2.6) describe quaternion Kahler metrics [4].

The basis ea for a metric g is defined up to an SO(An) rotation. Under this 50(4) transformation the tensors (2.14) are also transformed. It can be shown that the multiplication (2.10) is unaffected under such transformation. In other words, given the tensors Jx one can construct a new set of complex structures

J'1 = C)J\ JH ■ J'j = -5ijI + eijkJ'k С[С) = 8) (2.17)

This can be paraphrased by saying that a quaternionic Kahler manifold has a bundle V of complex structures parameterized by the sphere S2. Using the textbook properties of V it can be seen that (2.6) is unaltered under such rotations.

Let us define three new tensors (Т)аь by (Т)аь = (Jl)l$cb- From (3.302) it follows that

(Jtb = -{J'fa <=> (?)аЬ = -(Т)ьа

This show that (Т)аь are the components of the two-forms 7 defined by

У = (7)аьеа Л eb. (2.18)

The forms (3.332) are known as the hyperkahler forms. From (2.6) it is obtained that

VxJ1 = eijkJjojk_ d~T - eijkul A Jk,

being d the usual exterior derivative. The last implication proves relation (2.7).

If we change the frame ea to a new one x^ then the definition (Т)аь = (Jl)a&cb should be modified by the covariant one (Т)а0 = {JlVa9iP- Here the greek index indicates the components in the new basis and g^ are the corresponding components of the metric. Therefore

(7) ob = ~{7)ba (J'ftgrf = {J%9-ya

The last relation is equivalent to

g(J% Y) = g(X, fY) g(X, Y) = д(ТХ, JlY)

for arbitrary vector fields X and Y in TM. Then the metric g will be always quaternion hermitian with respect to the complex structures. Relation (2.5) is also invariant under the automorphism of the complex structures.

In general, if in a given manifold there exist three complex structures satisfying (2.10), and we take intersecting coordinate neighborhoods U and U', then we have two associated basis J1 and Jn related by an SO(3) transformation as in (2.17) above. This applies for quaternion Kahler spaces as well and in particular implies that any quaternion Kahler space is orientable [4]. Consider now the fundamental 4-form

e=J1AJ1 + J2AJ2 + J3A7\ (2.19)

and the globally defined (2,2) tensor

E = J1 ® J1 + J2 <g> J2 + J3 <g> J3. (2.20)

By means of the formula (2.17) it follows that both tensors (2.19) and (2.20) are globally defined on the manifold M. For a quaternionic Kahler manifold it is obtained directly from (2.6) and (2.7) that [4]

VG = 0, VE = 0.

In D = 8 for a quaternion Kahler manifold dQ = 0 and if the manifold is of dimension at least 12 then dQ determines completely V0. In particular dQ = 0 implies VO = 0 [22].

One of the most important consequences of (2.6) is that quaternionic Kahler spaces are always Einstein with cosmological constant [3]. The proof is sketched as follows. From the definition of the curvature tensor R(X,Y) = [Vx, Vy] — V[x,y] together with (2.6) it follows in the einbein basis that

RijmiJ0')™ - R?jk(Ja)lm = eabc(Fb)ij(JC)lk. (2.21)

where R\jm