Многоточечная задача Валле Пуссена для операторов свертки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

о

На правах рукописи

Нуятов Андрей Александрович

МНОГОТОЧЕЧНАЯ ЗАДАЧА БАЛЛЕ ПУССЕНА ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ СВЕРТКИ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005562492

2 3 СЕН 2015

Нижний Новгород - 2015

005562492

Работа выполнена на кафедре математической физики механико - математического факультета Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского.

Научный руководитель: Напалков Валентин Васильевич

чл.-корр РАН, доктор физико - математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Дрожжинов Юрий Николаевич

доктор физико - математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник ФГБУН "Математический институт имени В.А.Стеклова" Российской академии наук

Сакбасв Всеволод Жанович доктор физико - математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики ФГАОУ ВПО "Московский физико - технический институт (государственный университет)"

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО "Казанский (Приволжский)

федеральный университет"

Защита диссертации состоится /57 /О. в А- час. Д£?мин. на заседании диссертационного совета Д 212.166.20 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Федеральном государственном автономном учреждении высшего образования "Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского" по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, тел. 462-33-20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГАУ ВО "Нижегородский государственный университет им. Лобачевского". Автореферат разослан «

Ученый секретарь совета Д 212.166.20, к.ф.-м.н.

Н. В. Кротов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории функций, комплексному анализу, функциональному анализу и теории дифференциальных уравнений. Изначально, многоточечная задача Балле Пуссена1, рассмотренная в диссертации, ставилась для однородного линейного дифференциального уравнения порядка п

коэффициенты которого р\(х), ...,рп-\{х),рп{х) являются непрерывными функциями от х на отрезке [а, Ь] с некоторым дополнительным условием.

Теорема существования и единственности говорит, что для данной точки х° из [а, Ь] и данных значений у0, у\,..., существует одно и только одно решение у(х) уравнения (0.1), удовлетворяющее начальным условиям

но в задачах математической физики и прикладной математики зачастую требуется найти решение уравнения (0.1) в случае, когда не все начальные условия заданы в одной и той же точке ж0. К примеру, требуется найти решение у(х) уравнения (0.1), проходящее через п заданных точек, другими словами, необходимо построить решение (0.1), удовлетворяющее условиям

Балле Пуссеном1 доказано, что в случае, когдаРк(х) 6 С[ад, к = 1, ...,п и выполнено неравенство

где h > |pfc(z)|, к = 1, 2,.... п, х е [а, 6], то существует единственное решение задачи (0.1),(0.2) для конечного числа узлов.

В русскоязычной литературе этот результат можно найти в книге Сан-соне Дж.2

1 Ch. J. De La Yallee Poussin, Sur l'équation différentielle lineaire du second ordre. Determination d'une integrate par deux valeurs assignees. Extension aux equations d'ordre n //' Journ. de Math. (9), 8 (1929), 125-144.

2 Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения Т.1 М.:Мир. 1953. 346 с.

У(п) + pi{x)y{n~l] + ... + Pn-i(x)y' + Рп(х)у = о, (0.1)

y(x0) = y°,y'(x0)=y0l,...,y^-1\x0)=yl

у(ак) = Ак (fc=l,2,...,ra).

(0.2)

В 2001 году B.B. Напалковым3 доказана разрешимость многоточечной задачи Балле Пуссена в ядре оператора свертки для бесконечного числа узлов, когда узлы принадлежат множеству {0, ±1, ±2,...}. В этой же работе доказывается, что разрешимость многоточечной задачи Валле Пуссена для бесконечного числа узлов эквивалентна тому, что имеет место представление Фишера

Я (С) = KerM„ + (V0, (0.3)

где ip - целая функция экспоненциального роста, "ф - целая функция, КегМ9 - ядро оператора свертки в пространстве целых функций, (ф) - идеал в пространстве целых функций, построенный с помощью функции ф. Если имеет место равенство (0.3), то (ф,гр) называют парой Фишера для пространства целых функций.

В данной работе найдены условия при которых, существуют пары Фишера, которые используются для доказательства разрешимости многоточечной задачи Валле Пуссена в ядре оператова свертки, но применение пар Фишера не ограничивается только этой задачей. Изучение пар Фишера началось с работы Эрнста Фишера4, в которой для P(z) Е Hk (Hk -множества однородных многочленов степени к > 0 в пространстве Сп), всякий полином Q(z) € Нт, 0 < т < оо представляется в виде

Q(z) = h(z) + g(z),

где g,h £ Нт, причем д кратно Р, a h удовлетворяет дифференциальному уравнению P*(D)h = О, D = (D1,...,Dn), Dj = Р* - полином в Нт, получаемый из P(z) заменой коэффициентов на комплексно-сопряженные (т.е. P*(z) = P(z)). Таким образом, (Р, Р*) - пара Фишера для множества однородных многочленов, где Р - произвольный однородный многочлен. Приведем список работ, в которых можно найти дальнейшее развитие теории пар Фишера и их связь с различными областями математики, в том числе с теорией дифференциальных уравнений, и физики, например, с квантовой механикой, следует отметить рабо-

3 Напалков В.В., Комплексный анализ и задача Коши для операторов свертки // Труды мат. инс. им.В.А.Стеклова. 2001. т.235. С.165-168.

4 Fischer Е., Ueber Differentiationsprozesse der Algebra // J. Math. 1917. Bd.148. S.l-78.

ты Баргмана5, Шапиро6'7'8'9, Ныомана6,7'8, Эрснпрайса10, Хермандера11, Мерила12-13, Струппы12, Ягера13, С.Г. Мерзлякова14, С.В. Попенова14. В частности, в работе Шапиро6 доказано, что если Р - произвольный многочлен в С", тогда любую функцию / 6 Я(СП) (Я(С") - пространство целых функций многих комплексных переменных) можно представить единственным образом в виде / = g + h, где д, h G Я(СП), причем д/Р е Н(Сп) и P*(D)h = 0, следовательно, (Р, Р*) будет также парой Фишера для пространства целых функций многих комплексных переменнных (Р - однородный многочлен).

Следует также отметить, что с помощью пар Фишера можно устанавливать разрешимость не только многоточечной задачи Балле Пуссена, но и задачи Дирихле. В работе Шапиро6 доказывается разрешимость задачи Дирихле на единичной сфере, в 2003 году в работе Акслсра15, Горкина15, Восс15 приводится алгоритм, который позволяет с помощью пар Фишера решать задачу Дирихле на квадратичных поверхностях.

Прослеживается связь представления Фишера с задачей Коши для уравнений с частными производными гиперболического типа, начало исследования в этом направлении можно найти в книге Эренпрайса10. Как показа-

5 Bargman V., On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform // Comm. Pure Appl. Math.1961. Y.14(3). p.187-214.

G Shapiro H.S. An algebraic theorem of E. Fischer, and the holoinorphic Goursat problem //Bull.London Math. Soc.1989. V.21. P.513-537.

''Newman D.J., Shapiro H.S., A Hilbert space of analytic functions related to the operational calculus// Ann Arbor, 19G4.

8 Newman D.J., Shapiro H.S., Certan Hilbert space of entire function // Bull. Amer. Math. Soc. 1970. Y.72. p. 971-977.

9 Newman D.J., Shapiro H.S., Fischer spaces of entire functions // Proc. Symp. Pure Math. 1968. V.ll. P.360-3G9.

Ehrenpreis L., Fourier analysis in several complex variables// New York: Wiley - Interscience publishers, 1970.

11 Хермандер А., Анализ линейных дифференциальных операторов с частпъши производ-huaiu. Т. 2: Дифференциальные операторы с постоянными коэффгщиенталш М.:Мпр. 1986. 455 с.

12 Meril A., Struppa D.C., Equivalence of Cauchy problems for entire and exponential type functions // Bull. London Math. Soc. 1985.Y.17.P.4G9-473.

13 Meril A., Yger A., Problemes de Cauchy globaux // Bull.Soc. Math. France. 1992. V.120. P.87-111.

1-1 Мерзляков С.Г., Попепов С.В. Кратная интерполяция рядами экспоненте Н(С) с узлами на вещественной оси//Уфимскнй математический журнал. 2013. Т.о. Л"3 3. С. 130 - 143.

15 S. Axler, P. Gorkin,I\. Yoss The Dirichlet problem on quadratic surfaces //Math, of computation. 2003. V.73..V.246. P.637-651.

но в работе В.В.Напалкова3 представление Фишера равносильно разрешимости многоточечной задачи Балле Пуссена оператора свертки, действующего из FS- или DFS - пространства (пространство Шварца и сопряженное к нему) в себя, с данными на дивизоре функции из FS- или DFS - пространства. Эти результаты можно рассматривать как обобщение (глобальной) голоморфной задачи Коши для операторов в частных производных. Одна из наиболее общих в этой области теорем - классическая теорема Коши-Ковалевской дает лишь локальную информацию.

С помощью пар Фишера можно решать задачу Балле Пуссена не только в ядре классического оператора свертки, но и ядре оператора свертки Данкла, этот результат можно найти в работе 2013 года В.В.Напалкова16 и K.P. Забировой16, информацию об операторе Данкла можно найти в работе коллектива авторов Бетанкура17, Сифи17, Тримеше17. Здесь же мы лишь отметим, ссылаясь на работу В.В.Напалкова16, K.P. Забировой16, что оператор Данкла используются в решении квантовой задачи Калоджера-Мозера-Сазерленда, об этой задаче можно прочитать в работе авторов Лапоинта18 и Вине18.

Эти, а также многочисленные другие результаты, указывают на актуальность задачи представления пространства целых функций парами Фишера, и исследования связи этого понятия с многоточечной задачей Балле Пуссена.

Цели работы. 1. Найти условия на функции ¡р и ф в терминах секвенциально достаточных множеств, при которых пространство if (С) предста-вимо в виде суммы ядра оператора свертки с характеристической функцией ip £ Pc п идеала, порожденного функцией ф G H (С), что эквивалентно разрешимости многоточечной задачи Балле Пуссена в ядре оператора свертки.

2. Выяснить, при каких условиях - нулевое множество характеристической функции оператора свертки, является секвенциально достаточным

Забирова К. Р., Напалков В. В. Операторы свёртки Данкла и многоточечная задача Валле-Пуссена //Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1(30). С. 70-81.

17 J. J. Betancor, M. Sifi, К. Triméche Hypercyclic and chaotic convolution operators associated with the Dunkl operators on С //Acta Math. Hung. 2005. V.106. Ж 1-2. P. 101-116.

L. Lapointe, L. Vinet Exact operator solution of the Calogero-Sutherland model //Commun. Math. Phys. 1996. V.178, -V.2. P. 425-452.

в ядре оператора

ММг) = Ъ\

с

где - функция, ассоциированная по Борелю с /(г), С - замкнутый контур, охватывающий все особые точки 7(£).

Научная новизна и основные результаты. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Доказано представление Фишера Н(С) = КегМ9 + (ф) для функций <р £ Рс, Ф € когда нулевое множество функции ср является секвенциально достаточным в КегМу, М^[/](г) = ^ /е^7{£)Ф{£)<1£, где

с

7(0 - функция, ассоциированная по Борелю с /(л), С - замкнутый контур, охватывающий все особые точки 7(£). Отметим, что представление пространства целых функций в виде суммы множества целых решений однородного уравнения свертки и идеала, порожденного функцией вгтгг доказано В.В. Напалковым3 и, следовательно, решена интерполяционная задача в множестве целых решений однородного уравнения свертки, когда узлами интерполяции является множество {0, ±1,±2,...}.

2. Доказана секвенциальная достаточность множества в КегМ-ф при условиях:

(1) нулевая последовательность ./V, = функции ¡р € Рс лежит в углах {г 6 С : \Irnz] < а\Яег\}, 0 < а < оо, пронумерована целыми числами в порядке возрастания вещественных частей, все нули простые и ДеА^. —» ±оо, когда к —» ±оо.

(2) нулевая последовательность Л^, = {Цк}к=-ос Функции ф(х) 6 Н{С) лежит на вещественной оси, пронумерована целыми числами в порядке возрастания, при этом все нули простые.

Тем самым доказана разрешимость многоточечной задачи Балле Пуссена с вещественными узлами в ядре оператора свертки.

3. Доказана секвенциальная достаточность множества Л^ в КегМу при условии, что для некоторого фиксированного а £ [0, +оо) число ¡3 6 [О, -Ноо) таково, что

«■/?< 1, 7

при этом выполнены следующие условия:

(1) имеет место включение Л^ С !)„ = {: Е С : \1тг\ < аЯег}, и существует подпоследовательность А^ такая, что

Яе(Акз) < Де(А*.+1), 5 е N.

(2) имеет место включение Л^, С Ир = {г £ С : \1тг\ < /ЗЯег}, причем

ДеЫ < /сеМ.

При этих условиях разрешима многоточечная задача Балле Пуссена с комплексными узлами в ядре оператора свертки.

Методика исследования. В диссертации используются методы комплексного анализа, функционального анализа и алгебры.

Степень обоснования результатов диссертации. Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы. Результаты, полученные в диссертации, хорошо согласуются с работами других авторов как отечественных, так и зарубежных.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть полезны в теории целых функций, теории аппроксимации функций, теории дифференциальных уравнений с частными производными. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном Федеральном Университете, Казанском (Приволжском) Федеральном Университете, Московском, Башкирском, Нижегородском, Сыктывкарском госуниверситетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на оказание услуг в 2012-2014 гг. подведомственными высшими учебными заведениями (шифр заявки 1.1907.2011).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на XIII Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения (Саратов, 2006); на V международной

молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения"(Казань, 2006); на 13 международной конференции по функциональным уравнениям и неравенствам (Польша, Краков, 2009); на Уфимской международной конференции, посвященной 70-тп летию В.В. Напалкова (Уфа, 2011); на 20 международной конференции по теории итераций (Польша, Лагов, 2014).

По теме диссертации неоднократно делались доклады на семинарах по комплексному анализу (рук. проф. Напалков В.В., 2005-2014 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 8 научных публикациях, в том числе 2 статьи из них опубликованы в журналах, входящих в список ВАК изданий, рекомендуемых для публикации результатов диссертаций. Общее научное руководство исследованиями в течение всего времени работы над диссертацией осуществлялось научным руководителем Напалковым В.В. В опубликованных совместно с научным руководителем работах Напалкову В.В. принадлежат постановка задачи, идеи доказательств основных результатов и общее руководство, участие диссертанта 50%. Диссертант выражает благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук Напалкову Валентину Васильевичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Содержание изложено на 100 страницах, включая список литературы из 48 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В первой главе собраны предварительные сведения и дано определение пар Фишера.

В первом параграфе даются основные обозначения пространств и определение индуктивного предела.

Доклад был отмечен дипломом за лучший доклад.

Определение 0.1. Целой функцией называют функцию комплексного переменного, аналитическую во всей плоскости, т.е. представляющуюся всюду сходящимся стеенным рядом

эо п=1

Обозначим Н{С) - пространство целых функций в С; Н*(С) - сопряженное пространство к Н(С). Топология этого пространства определяется полунормами

Рк{Л = вир |/(2;)|, гек

где К - всевозможные компактные подмножества С и называется топологией равномерной сходимости на компактах из С. В работе Робертсона А.19 и Робертсона В.19 показано, что Н(С) является пространством Фреше, то есть полным, метризуемым, локально выпуклым пространством. Пусть /(г) - целая функция. Положим

М/(г)= тах|/(г)|.

|г|=г

Говорят, что целая функция /(г) - целая функция конечного порядка, если существует такое ц > 0, что неравенство

Л//(г) < ег"

выполняется для всех достаточно больших значений г = \г\ (г > Го(/х)). Нижняя грань р таких чисел ц называется порядком целой функции.

Пусть целая функция /(г) имеет конечный порядок р > 0. Говорят, что /(г) имеет конечный тип при порядке р, если существует а > 0 такое, что неравенство

М/(г) < еагР

выполняется для всех достаточно больших значений г = \г\ (г > го(а)). Нижняя грань а таких чисел а называется типом целой функции порядка Р-

Определение 0.2. Целая функция /(г) называется целой функцией экспоненциального роста, если порядок и тип фу71кции равны 1.

Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.

Обозначим пространство таких функций через Рс- Я*(С) - сопряженное пространство к Я(С).

Пусть Л - некоторое множество индексов, может быть несчетное. Пусть Ба {а 6 Л) - семейство локально выпуклых пространств, да : За —5 -линейное отображение и

5 = и

аеЛ

Среди локально выпуклых топологий в 5, относительно которых непрерывны все отображения да, существует сильнейшая. Обозначим ее т. Базис окрестностей нуля в топологии т состоит из всех абсолютно выпуклых (поглощающих) множеств И7 С 5, для которых множество 5ц1 (МО является окрестностью нуля в 5а для каждого а £ Л. Топологию г в 5 называют индуктивным пределом топологий пространств 5а относительно отображений да. Пространство Б, наделенное топологией индуктивного предела, называют индуктивным пределом пространств 5а относительно отображений да. В том частном случае, когда Ба - векторное подпространство в 5, а да : 5а —> 5 - вложения, говорят о внутреннем индуктивном пределе.

Пусть Р € Я*(С). Функционал Р порождает в пространстве Я(С) оператор свертки АР.

М[/](г) =<Ри/(г + 1)>,ге С.

Функция Р - преобразование Лапласа функционала Р - называется характеристической функцией оператора свертки М.

Конкретными примерами оператора свертки являются линейные дифференциальные операторы конечного порядка с постоянными коэффициентами, дифференциально - разностные операторы, интегро - дифференциальные операторы и др.

Во втором параграфе дастся определение пар Фишера и теорема об интерполяции в пространстве Рс в целых точках.

Изучение пар Фишера началось в 1917 году с работы Фишера Э.4 , в которой получен следующий результат:

Теорема 0.1. Если Р(г) £ Я(Як - пространство однородных полиномов степени к в С), то всякий полипом С}(г) € Нт,О < т < оо представля-

ется в виде

С2(г) = Н(г) + д(г),

где д, К € Нт, причем д кратно Р, а 1г удовлетворяет дифференциальному уравнению

Р*(£)/г = О, В = (£>ьАО, = А р*(2) = рЩ. Тем самым Фишер приходит к разложению

Нк+Р = гтТ® кегР*(П),

где отображение

Г : / н-> Р/,

действует из Нк -»■ Я^.+р и

отображение сопряженное с Т. Разложения такого вида стали называться разложениями Фишера.

В 1989 году Шапиро6 обобщил теорему Фишера на пространство Я (С"), п > 1. Им получен следующий результат:

Теорема 0.2. Пусть Р - произвольный однородный полином в Сп. Тогда любую функцию / 6 Я(С") можно представить единственным образом в виде

/ = 9 + Л, где й е Я(С"), причем % е Я (С") и

Р*(1>)Л = 0.

Определение 0.3. Пара полипомов (Р,0) (более точно: Р(г) и (¿(О), где И = (£>!, ...,£)„), = д/дг^) называется парой Фишера, если они удовлетворяют (а) или (6):

(а) Каждая / € Я(С") может быть представлена единственным образом

1 = 9 + К

где д, /г € Я(С"), причем д кратно Р и С2(В)1г = 0.

(Ь) Оператор Т : / —> С}(0)(Р/) биективно отображает Н(С) —>

Я( С").

Условие (а) можно записать с помощью разложения Фишера, а именно,

Н(Сп) = (Р) ® КегСЦО),

где (Р) - это идеал, порожденный полиномом Р, на пространстве Я(С").

В работе Мерила А.12 и Струппы Д.12 для случая п = 1 показано: если пара (Р, О) удовлетворяет (Ь), то пара (<5,Р) также удовлетворяет (Ь). В работе Мерила А.13 и Ягера А.13 доказана:

Теорема 0.3 .Для выполнения (Ъ) при п = 1 необходимо и достаточно, чтобы дедР = йедС^ и отображение Т было ипъективно.

Дальнейшее исследование было основано на том, что идеал порождается не полиномом, а некоторой целой функцией и вместо ядра дифференциального оператора рассматривается оператор свертки. В статье Напалкова В.В.3 доказана теорема, в которой приводятся условия, когда имеет место представление Фишера, когда главный идеал порождается функцией ф(г) = втугг. Фактически в этой теореме даются условия на характеристическую функцию оператора свертки с помощью секвенциально достаточных множеств в пространстве целых функций экспоненциального роста, при которых разрешима задача интерполяции, в случае, когда узлами являются целые числа.

Теорема 0.4. Пусть множество состоит из простых пулей {Л^.}, к = 0,1,... иП = {А к е : Хк + 2тт},к = 0,1,..., 7п = 0,1,... -секвенциально достаточное лтоэ/сество в пространстве Рс, тогда

Я (С) = КегМ9 + (вттгг).

Во второй главе в терминах секвенциально достаточных множеств найдены условия на функции {(р. ф), при которых имеет место представление Фишера Я(С) = КегМ1р + {ф), тем самым найдены условия, при которых разрешима многоточечная задача Балле Пуссена (см. [2]).

В параграфе 1 даются предварительные результаты и постановка задачи.

Пусть F G H*(С) известно, что преобразование Лапласа

F(z) = (Fll,en

устанавливает топологический изоморфизм между Я*(С) и Pc с топологией тс индуктивного предела пространств

Вп = (<р(А) е Рс : Ы\п = sup|ip(A)|e~"'A' < оо},

Аес

где п G N.

Пусть S - множество единственности в Pc- Тогда в Pc можно ввести топологию Ts индуктивного предела пространств

Bn,s = МЛ) £ Pc : IMks = sup |^(А)|е~"'л' < сю},

as s

где п G N.

Определение 0.4. Множество S называется секвенциально достаточным в пространстве Pc, если сходимость rm(z) —> a, m —> оо в топологии тс эквивалентна сходимости rm(z) —ï a, то —> оо в топологии ts-

Пусть tp(z) G Pc и F G H*(С) такой, что

F(z) = <p(z).

Оператор свертки в Я(С) запишем в виде

Mv>[f](z) = (Ft,f{z + t)),feH( С).

Обозначим KerMv = {/ G Я(С) : Mv[f} = 0} - ядро оператора свертки Mv.

Определение 0.5. Многоточечную задачу Балле Пуссена вКег AIV с узлами ¡j,j, j = 1,2,..., являющимися нулями функции ip(z) G Я(С), поставим следующим образом: для произвольной последовательности комплексных чисел dj, j — 1,2,... существует ли функция y(z) G Ker AIV такая, что

y(fij) = aj, j = 1,2,...

Определение многоточечной задачи Балле Пусснена можно найти в работах Балле Пусеена1 и Сансоне Дж.2.

Поскольку разрешимость задачи Балле Пуссена тесно связана с понятием пар Фишера, дадим определение представления Фишера в терминах оператора свертки. Возьмем произвольную функцию "ф(Х) G Я(С) и построим в Я(С) идеал

(ф) = МЛ) • Д(А) : Я(А) е Я(С)}.

Определение 0.6. Пара функций (<р(г),ф(г)) называется парой Фишера, если пространство Н(С) можно представить в виде

Я (С) = KerMv + (ф), (0.4)

равенство (0.4) называется представление Фишера.

Замечание 0.1. Яд равенства (0.4) следует, что любая функция пред-ставима неединсгпвеиным образом в виде

f(z) = ш + Mz), Ш е KerMv, Hz) € (Ф). Приведем результат статьи Напалкова В.В.3 :

Теорема 0.5. Следующие утверждения эквивалентны:

(1) Задача Балле Пуссена для разрешима.

(2) Имеет место представление Фишера.

Согласно результатам статьи Муггли X.20 (см. также работу Леонтьева А.Ф.21) функция ф(г) £ Я(С) порождает в пространстве Рс линейный и непрерывный оператор М^ : Рс —> Рс, действующий по правилу

Л/«[/](г) = ¿/ (0.5)

с

где 7(£) - функция, ассоциированная по Борелю с f{z), С - замкнутый контур, охватывающий все особые точки 7(£).

Н. Muggli Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung mit konstanten Koeffizienten, Comment. Math. Helv., 11:1 (1938), 151-179.

21 Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент М.: Наука, 1980. 384 с.

Введем линейный и непрерывный оператор

ЛЦф(г) ■ у{г)\ : Я(С) Я(С).

Существует связь между представлением Фишера и операторомЛ/(1?[^(г)-]. В работе Напалкова В.В.3 доказана

Теорема 0.6. Равенство (0.4) эквивалентно сюръективности оператора

лцфШ-

Оператор М^[ф-\ линейно и непрерывно отображает пространствоЯ(С) в Я(С), тогда сопряженный оператор линейно и непрерывно

отображает пространство Я*(С) в Я*(С). Поскольку пространства Я*(С) и Рс топологически изоморфны, то оператор {М^[ф-\}* порождает линейный и непрерывный оператор

ЛЦф) • ад] : Рс ->■ Рс,

где Мф - оператор вида (0.5). Так как Я(С) - пространство Фреше, то верна теорема Дьедонне Ж.22 и Шварца Л.22

Теорема 0.7. Справедливы следующие утверждения.

(1) Замкнутости {тМр[р-] в Рс эквивалентна замкнутость гтМ^[ф-]

в Я(С).

(2) Иизективность оператора ЛД)[<£>•] эквивалентна всюду плотности

1тАЦф] в Я(С).

Согласно теореме 0.5 разрешимость задачи Валле Пуссена для оператора свертки эквивалентна тому, что существует представление Фишера

Я( С) = КегЫ^ + (ф).

В связи с этим, возникает вопрос: при каких условиях на функции € Рс и ф 6Е Я(С) имеет место представление Фишера?

Учитывая теорему 0.6 для того, чтобы доказать, что имеет место представление Фишера необходимо доказать сюръективность операторам^[?/>•],

Дьедонне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (Г) и (ЬР). Сб. Математика. 1958. Т.2. У"-2. С. 77-107.

для этого, согласно теореме 0.7, надо доказать, что оператор Мф[ip-\ инъ-ектнвен и 1тМф[р-\ замкнут в Pc.

В параграфе 2 доказывается инъективность оператора M&[tp-], доказательство этого факта опирается на то, что инъективность линейного оператора эквивалентна тривиальности его ядра, в этом же параграфе доказывается замкнутость образа оператора в пространстве Pc, которое основывается на доказательстве того, что Nv является секвенциально достаточным множеством в КегМф[<р-\ тем самым доказана

Теорема 0.8. (см. [1])Пусть G Pc, ф G П(С) и Nç, является секвенциально достаточным в КегМ. Тогда имеет место представление Фишера

Я (С) = КегМç + {ф).

Замечание 0.2. Согласно теореме 0.5 для функций G Pc и ф G Я(С), удовлетворяющих условиям теоремы 0.8, разрешима многоточечная задача Балле Пуссена для М^.

В третьей главе в первом параграфе доказывается секвенциальная достаточность множества нулей функции в КегМдля вещественных узлов при условиях, что нулевая последовательность Nv = {\k}£=-œ Дел°й функции экспоненциального типа <p(z) лежит в углах {z G С : \Imz\ < a\Rez\}, 0 < а < оо} и пронумерована целыми числами в порядке возрастания вещественных частей. Предполагается, что все нули простые и ReXk ±оо, когда к —> ±оо. Последовательность нулей целой функции ф(г) обозначим через N^ = {/Jk}t=-oc и предполагаем, что все нули простые, вещественные и пронумерованы целыми числами в порядке возрастания.

В параграфе 2 доказывается теорема, в которой приводятся условия секвенциальной достаточности множества нулей функции ц> в КегМф для комплексных узлов (см. [2]).

Теорема 0.9. Предположим, что для некоторого фиксированного a G [О, +оо) число /3 G [0, +оо) таково, что

а-Р<1,

и при этом выполнены следуюи^ие условия:

(1) имеет место включение N^ С Da — {z 6 С : \Imz\ < aRez}, и существует подпоследовательность Xks такая, что

Де(А*.) < Яе(Ал,+1), s € N. (0.6)

(2) имеет место включение Ny С Dp = {z £ С : \Imz\ < pRez}, причем

Re(fik) < LLE£.Re(fik+1), k € N. (0.7)

1 + ар

Тогда N9 является секвенциально достаточным в Кег М-ф.

Замечание 0.3. При /3 = 0 получаем результат работы [1].

В пятом параграфе приводятся иллюстративные примеры разрешимости и неразрешимости задачи Балле Пуссена для бесконечного числа узлов.

Список основных обозначений

© - прямая сумма;

(со) - идеал, порожденный функцией

Н(С) - пространство целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах;

Н*(С) - пространство, сопряженное к Н(С);

Рс - пространство целых функций экспоненциального роста;

F{rj) = (F, ехр <т), z >);

= (F, f(z + t)) - оператор свертки с характеристической функцией ш(А) = F{А), / € Я(СП); Кег А - ядро оператора А; P*(z) = P{fy,

Нумерация

Нумерация параграфов в каждой главе, а также пунктов, формул, теорем, лемм, следствий, замечаний в каждом параграфе своя.

Публикации автора по теме диссертации

Из списка периодических изданий, рекомендованных ВАК:

[1] Напалков В. В., Нуятов А. А. Многоточечная задача Балле Пуссена для операторов свертки// Математический сборник. 2012. 203:2. С.77-86. Англ. перевод: V. V. Napalkov, A. A. Nuyatov, The multipoint de la Vallee-Poussin problem for a convolution operators// Sbornik: Mathematics. 2014. 203:2. P. 224-233.

[2] Напалков В. В., Нуятов А. А. Многоточечная задача Балле Пуссена для операторов свертки с узлами, заданными в угле// Теоретическая и математическая физика. 2014. 180:2. С.264-271. Англ. перевод: V. V. Napalkov, A. A. Nuyatov, Multipoint Vallee Poussin problem for convolution operators with nodes defined inside an angle// Theoretical and Mathematical Physics. 2014. 180(2). P. 983-989.

Публикации в других изданиях:

[3] Напалков В.В., Нуятов А.А. О представлении пространства целых функций парами Фишера//' Материалы Пятой молодежной научной конференции. Казань: Казанское математическое общество, 2006. С. - 169-170.

[4] Напалков В.В., Нуятов А.А. О парах Фишера /'/ Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы. Саратов: Научная книга, 2006. С.127-128.

[5] Нуятов А.А. О представлении пространства целых функций парами Фишера// Материалы межд. конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ". Уфа. 2009. С.82-83.

[6] Nuyatov A. A. Representation of space of entire function of Fischer's pairs// Thirteenth International Conference on Functional Equations and Inequalities. Poland, Krakow, 2009. P.133-134.

[7] Нуятов А.А. Связь многоточеной задачи Валлс-Пуссена с представлением Фишера// Комплексный анализ и дифференциальные уравнения: Материалы VI Международной научной конференции, посвя-ценной 70-ти летию Напалкова В.В. - Уфа. 2011. С.98.

[8] Nuyatov A. A. Interpolation problem in the kernel of the convolution operator with nodes specified in a corner// 20th Europ. Conf. on Iterat. Theory. Poland, Lagow, September 14-20, 2014. P.20.

Подписано в печать 09.07.2015 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1. Заказ № 455. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ННГУ им. Н.И. Лобачевского. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37