Многозначные динамические системы и системы итерированных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи ^........._

Трошин Павел Игореви

□□34316БЗ

Многозначные динамические системы и системы итерированных функций

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 ФЕЗ

Казань - 2010

Работа выполнена на кафедре геометрии Казанского государственного университета им. В. И. Ульянов а-Ленина.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент

Игудесман Константин Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Кац Борис Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент

Андреев Павел Дмитриевич

Ведущая организация:

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Защита состоится «18» февраля 2010 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете им. В.И. Ульянов а-Ленина, расположенном по адресу: г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324-

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан «. 4Ъ» ДН&хра 20Ю г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д 212.081.10 при КГУ, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Липачёв Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В настоящее время теория многозначных динамических систем и теория систем итерированных функций являются интенсивно развивающимися разделами эргодической теории и фрактальной геометрии, тесно связанными со многими областями математики: топологией, алгеброй, дифференциальной геометрией, теорией чисел, теорией меры, теорией случайных процессов, теорией особенностей, функциональным анализом и вариационным исчислением (см., например, монографии Х.В. Брура, Ф. Дюмортье, С.Дж. ван Стринга и Ф. Такенса1, Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса и В.В. Обу-ховского2, А.Б. Катка и Б. Хасселблата3, P.M. Кроновера4, М.Ф. Барнсли5, Дж. Кигами6).

Многозначные (обобщенные) динамические системы возникли при рассмотрении дифференциальных уравнений, не удовлетворяющих условию единственности решения, дифференциальных уравнений с параметрами и дифференциальных включений (работы Б.М. Будака7 и Е.А. Барбашина8), с топологической точки зрения многозначные отображения рассматривались еще К. Куратовским9. Свое применение такие динамические системы нашли так-

1Брур X. В. [и др.]. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 336 с.

2Борисович Ю. Г. [и др.}. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: КомКнига, 2005. 216 с.

гКаток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. 768 с.

4Кроновер Р. Ы. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

bBarnsley M. F. ïYactals everywhere. Boston: Acadeinic Press, 1988. 394 p.

8Kigami J. Analysis on fractals. Cambridge: Cambridge uriv. press, 2001. 226 p.

1 Будак Б. M. Дисперсные динамические системы // Вестник МГУ. 1947. Т. 8. С. 135-137.

8 Барбашин Е. А. К теории обобщенных динамических систем // Учен. зап. МГУ. Сер. Математика. 1948. Т. 135, вып. 2. С. 110-113.

BKuratowski С. Les fonctions semi-continues dans i'éspace des ensembles fermés // Fand. Math. 1931. Vol. 18.

же в теории игр и математической экономике, в выпуклом и нелинейном анализе (см. монографии К. Бержа10, В. Гильденбранда11, Дж. Юана12).

Отметим монографию К.С. Сибирского и А.С. Шубэ13, в которой подробно изучаются топологические свойства многозначных динамических систем, а также работу Э. Роксина14 по исследованию их устойчивости. В работе A.M. Вершика15 дано систематическое изложение основных понятий теории многозначных отображений пространств с инвариантной мерой и их функциональных эквивалентов — марковских операторов. Многозначным динамическим системам и их связи с задачами фрактальной геометрии посвящена работа К.Б. Игудесмана16.

Для исследования нелинейных динамических систем наряду с явным или приближенным «вычислением» индивидуальной траектории все более внедряются геометрические и алгебраические методы: вместо эволюции точек изучаются эволюции плотностей распределения точек системы, вместо эволюции плотностей — эволюции меры (монография А. Ласоты и М. Макея17, работы А. Ласоты, Ж. Мижака и Т. Жарека18, Дж.Э. Хатчинсона19). При этом рассматриваются различные критерии асимптотической стабильности оператора

Р. 148-159.

10Берме К. Общая теория игр нескольких лиц. М.: Физматгиз, 1961. 128 с.

11 Гильденбранд В. Ядро и равновесие в большой экономике. М.: Наука, 1986. 200 с.

12 Yuan G. X.-Z. ККМ theory and applications in nonlinear analysis. New-York: Marcel Dekker, 1999. 648 p.

13 Сибирский К. С., Шубэ А. С. Полудинамические системы. Кишинев: Штиинца, 1987. 271 с.

uRoxin Е. On generalized dynamical systems defined by contingent equations // J. Differential Equations.

1965. Vol. 1, no. 2. P. 188-205.

15 В ершик A. M. Многозначные отображения с инвариантной мерой (полиморфизмы) и марковские операторы // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1977. Т. 72. С. 26-61.

19Igudesman К. Б. Dynamics of finite-multivalued transformations // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2005. Vol. 17. P. 47-60,

17Lasota A., Mackey M. C. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. New York: SpringerVerlag, 1994. 472 p.

18Lasota A., Myjak J., Szarck T. Markov operators and semifractals // Fractal Geometry and Stochastics3 / ed. by C. Bandt [et al.]. Basel, 2004. P. 3-22.

18 Hutchinson J. E. fractals and self-similarity 11 Indiana Univ. Math. J. 1981. Vol. 30. P. 713-747.

Фробениуса-Перрона, характеризующего преобразование мер под действием трансформации. В терминах систем итерированных функций аттрактор может быть представлен как носитель меры, инвариантной относительно этого оператора.

Вопрос о существовании и нахождении инвариантных относительно заданной трансформации мер является одним из основных в теории динамических систем. Как показал П.Р. Халмош20, без ограничения общности меру можно считать конечной, а трансформацию — несингулярной. Для некоторых семейств одномерных динамических систем этот вопрос рассматривался в работах М.В. Якобсона21, М. Мизиуревича22, Р. Боуэна23, А. Боярского и П. Горы24.

Из специальной символической реализации многозначных динамических систем возникает связь эргодической теории и теории арифметических разложений: одномерная 2-значная динамическая система особого вида задает разложения чисел из отрезка [0,1] по основанию ,5 € (1,2]. Основной целью работ в этой области послужила еще не решенная проблема сингулярности бесконечной свертки распределений Бернулли, поставленная П. Эрдешем25. С этой проблемой непосредственно связано понятие /^-представления чисел, введенное в работе А. Реньи26 и изучаемое Б. Парри27, П. Эрдешем, И. Жу

20Ха.шош П. Р. Лекции по эргодической теории. Ижевск: РХД, 2000. 136 с.

21 Jakubsan М. V. Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps // Comm. Math. Phys. 1981. Vol. 81. P. 39-88.

22Misiurewicz M. Absolutely continuous measure for certain, maps of an interval // Puhl. Math. [RES. 1981. Vol. 53. P. 17-51.

23Bowen R. Invaxiant measures for Markov maps of the interval // Comm. Math. Physics. 1979. Vol. 69. P. 1-17.

24Boyarsky A., Gora P. Laws of chaos: invariant measures and dynamical systems in one dimension. Boston: Birkhauser, 1997. 399 p.

23Erdos P. On a family of symmetric Bernoulli convolutions // Amer. J. Math. 1939. Vol. 61. P. 974-975.

2eR(nyi A. Representations for real numbers and their ergodic properties // Acta Math. Acad. Sci, Hung. 1957. Vol. 8. P. 477-493.

27Parry W. On the /3-expansions of real numbers // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1960. Vol. 11. P. 401-416.

и В. Коморником28, A.M. Вершиком и Н.А. Сидоровым29, Н. Сидоровым30, Ю. Пересом, В. Шлагом и Б. Соломяком31.

Важный частный случай многозначных динамических систем со сжимающими трансформациями представляют системы итерированных функций (СИФ). Они стали пристально изучаться сравнительно недавно, начиная с 1981 г., после работ Дж.Э. Хатчинсона32 и М. Хаты33, уже ставших классическими в области фрактальной геометрии монографий М.Ф. Барнсли34, К.Дж. Фальконера35 и патентования М.Ф. Барнсли и А. Слоуном алгоритма фрактального сжатия изображений на их основе (1991 г.).

В работах М.Ф. Барнсли, С.Г. Демко, Дж.Х. Элтона и Дж.С. Джерони-мо , А. Ласоты, Ж. Мижака и Т. Жарека37, в монографии М. Иозифеску и С. Григореску38 рассматриваются СИФ с вероятностями, зависящими от точки пространства, исследуются вопросы существования инвариантной меры и асимптотической стабильности оператора Фробениуса-Перрона при различных условиях на вероятности и трансформации («условие Дини», «условие усредненного сжатия», «условие ограниченной положительности»),

2sErdfis P., Jo6 I., Komomik V. Characterization of the unique expansions X Z^ii-"1 and related problems // Bull. Soc. Math. France. 1990. Vol. 118. P. 377-390.

25Вершик A. M., Сидоров H. А. Арифметические разложения, ассоциированные с поворотом окружности и непрерывными дробями // Алгебра и анализ. 1993. Т. 5, вып. 6. С. 97-115.

3aSidorov N. Expansions in non-integer bases: lower, middle and top orders // J. Number Theory. 2009. Vol. 129, no. 4. P. 741-754.

21 Peres Y., Schlag W., Solomyak B. Sixty years of Bernoulli convolutions // Fractal Geometry and Stochastics 2 / ed. by C. Bandt [et al.]. Basel, 2000. P. 39-65.

32Hutchinson J. E. Fractals and self-similarity // Indiana Univ. Math. J. 1981. Vol. 30. P. 713-747.

33 Fata M. On the structure of self-similar sets // Japan J. Appl. Math. 1985. Vol. 2. P. 381^14.

3iBamsley M. F. Fractals everywhere. 394 p.

35Falconer K. J. The geometry of fractal sets. Cambridge: Cambridge univ. press, 1985. 162 p.

36Barnsley M. F. [et at.}. Invariant measures for Markov processes arising from iterated function systems with place-dependent probabilities // Ann. Inst. Henri Poincare. Ser. Probab. Statist. 1988. Vol. 24, no. 3. P. 367-394.

37 Lasota A., Myjak J., Szarek T. Op. cit.

36 losifeseu M., Grigorescu S. Dependence with complete connections and its applications. Cambridge:

Cambridge univ. press, 1990. 324 p.

В работах М.Ф. Барнсли и А.Н. Харрингтона39, К. Бандта40, Б. Соло-мяка41 вводится и изучается множество Мандельброта для СИФ, состоящей из пары линейных отображений на комплексной плоскости. К. Бандтом и Н.В. Хунгом42 для такой СИФ исследовался вопрос о выполнении «условия открытого множества», введенного П. Мораном43.

Вычислению хаусдорфовой размерности аттракторов СИФ, когда не выполняется «условие открытого множества», посвящены работы Ю. Переса и Б. Соломяка44, Т. Жордана45, С.М. Нгаи и Ю. Ванга46, К.Б. Игудесмана47'48.

М.Ф. Барнсли49,50 введены понятия верхних адресов, верхней динамической системы и адресной структуры для СИФ. Эти объекты изучаются также в работе К.Б. Игудесмана51.

Z9Barnsley М. F., Harrington A. A Mandelbrot set for pairs of linear maps // Phisica. 1985. Vol. 15 D. P. 421-432.

l0Bandt C. On the Mandelbrot set for pairs of linear maps // Nonlinearity. 2002. Vol. 15. P. 1127-1147.

41 Solomyak B. On the Mandelbrot set for pairs of linear maps: asymptotic self-similarity 11 Nonlinearity. 2005. Vol. 18. P. 1927-1943.

i2Bandt C.} Hung N. V. Self-similar sets with open set condition and great variety of overlaps 11 Proc. Amer. Math. Soc. 2008. Vol. 136. ?■ 3895-3903.

i2Moran P. Additive functions of intervals and HausdorfF measure // Proc. Cambridge Philos. Soc. Vol. 42. 1946. P. 15-23.

44Peres Y., Solomyak B. Self-similar measures and intersections of Cantor sets // Trans. Amer. Math. Soc. 1998. Vol. 350. P. 4065-4087.

45 Jordan T. Dimension of fat Serpiriski gaskets // Real Anal. Exchange. 2005. Vol. 31, no. 1. P. 97-110.

i6Ngai S. M.. Wang Y. Hausdorif dimension of self-similar sets with overlaps 11 J. Lond. Math. Soc. 2001. Vol. 63. P. 655-672.

47 Игудесман К. Б. Фрактальная размерность пересечения стандартных канторовых множеств // Изв. вузов. Сер. Математика. 2002. Т. 11. С. 32-35.

i%Igudesman К. В. Lacunary self-similar fractal sets and intersection of Cantor sets // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2003. Vol. 12. P. 41-50.

iQBarnsley M. F. Superfractals. Cambridge: Cambridge univ. press, 2006. 453 p.

5aBarnsley M. F. Transformations between self-referential sets //' Amer. Math. Monthly. 2009. Vol. 116. P. 291-304.

51 Игудесман К. Б. Верхние адреса для одного семейства систем итерированных функций на отрезке // Изв. вузов. Сер. Математика. 2009. Т. 9. С. 75-81.

Цели диссертационной работы:

1. Изучение связи между многозначными динамическими системами и системами итерированных функций.

2. Нахождение инвариантных мер для специальной динамической системы, связанной с арифметическими разложениями.

3. Нахождение адресной структуры для системы двух итерированных линейных функций на комплексной плоскости.

4. Классификация аттракторов для системы двух итерированных линейных функций над телом кватернионов.

Методы исследования. В работе используются методы теории динамических систем и фрактальной геометрии.

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение при проведении научных исследований и чтении спецкурсов по теории динамических систем и фрактальной геометрии в Казанском, Московском, Нижегородском, Новосибирском и Саратовском государственных университетах.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Доказано, что при специальном оснащении п-й итерации т-трансфор-мации Я™ операторы Купмапа и Фробспиуса- Перрона для нее совпадают с п-ми итерациями соответствующих операторов для т-трансформации 5:

из- = Щ, = Р§.

2. Найден критерий инвариантности меры Лебега для специального семейства одномерных 2-значных динамических систем. Построено семейство инвариантных мер с непостоянными плотностями.

3. Для системы двух итерированных линейных функций над полем ком-

плексных чисел найдено семейство параметров, при которых пересечение двух подобных подмножеств аттрактора имеет любую конечную мощность вида 2П, п = 0,1,..либо мощность континуума. Для этого семейства параметров найдена адресная структура данной системы итерированных функций.

4. Дана классификация аттракторов для системы двух итерированных линейных функций над телом кватернионов. Выяснена структура аттракторов в важных частных случаях.

Апробация работы. По результатам диссертации были сделаны доклады на следующих конференциях и семинарах:

- всероссийские молодежные научные конференции «Лобачевские чтения» (Казань, Казан, гос. ун-т, 2006, 2009 гг.);

- международные школы-семинары по современным проблемам теоретической и математической физики «Петровские чтения» (Казань, Казан, гос. ун-т, 2007, 2008 гг.);

- международная конференция «Fractals and Stochastics 4» (Грайфсвальд, Германия, ун-т Эрнста-Моритца-Арндта, 2008 г.);

- научный семинар программы «Михаил Ломоносов» (Москва, ДААД, 2008 г.);

- научный семинар «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике» (Фря-зино, НИИ Гиперкомплексных систем в геометрии и физике, 2008 г.).

Результаты работы регулярно докладывались на научных семинарах кафедры геометрии и итоговых научных конференциях Казан, гос. ун-та (20062009 гг.), а также на семинаре «Fractals» профессора К. Бандта (Грайфсвальд, Германия, ун-т Эрнста-Моритца-Арндта, 2007-2008 гг.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы общим объемом 44 страницы в шести тезисах [1]-[6] и трех статьях в рецензируемых журналах [7]-[9], включая две статьи в журналах из списка ВАК [7], [9].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, списка условных обозначений, четырех глав и списка литературы. Работа

набрана в системе ЖЩХ и содержит 115 страниц. Список литературы насчитывает 110 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность выбранной темы, дан обзор литературы по теме диссертации, сформулированы цели, представлены выносимые на защиту научные положения и кратко изложено содержание работы.

Первая глава состоит из четырех разделов и посвящена введению аппарата многозначных динамических систем с зависящими от точки пространства вероятностями. В частном случае систем итерированных функций их аттракторы не зависят от выбора вероятностей, однако от него зависят инвариантные распределения точек пространства52. Для многозначных динамических систем мы приводим аналоги основных понятий эргодической теории: оператор эволюции мер (оператор Фробениуса-Перрона), оператор Купмана, понятие эргодичности, а также рассматриваем соответствующие им примеры.

В разд. 1.1 вводятся некоторые базовые понятия: m-значная трансформация S, представимая в виде объединения однозначных измеримых трансформаций S = IJ/L], на пространстве с нормированной мерой (X,B,ß), оснащение для S — набор измеримых функций {а7- : X —> (0, l]}^ со свойством Yj%iaj(x) = 1- По оснащенной m-значной трансформации S конструируется новая мера ¡is и вводятся понятия несингулярности трансформации S {fis ß) и инвариантности меры (fis = ß)- Также приводятся примеры сохраняющих меру 2-значных трансформаций на отрезке [0,1].

В разд. 1.2 для несингулярных m-трансформаций S по аналогии с однозначными динамическими системами вводится оператор Купмана U. Мы по-

s2Barnsley M. F., Demko S. Iterated function systems and the global construction of fractals // Proc. Roy. Soc. London. 1985. Vol. 399, no. 1817. P. 243-275.

казываем, что из //^-интегрируемости функции следует ее /¿-интегрируемость (Теорема 1.1), приводим критерий сохранения меры в терминах оператора 17 (||£//||1 = Ц/Ц1 для всех / > 0), характеризуем оператор 17 как марковский оператор, являющийся также сжатием на V = 1?{Х, В, /¿), 1 < р< оо, доказываем индивидуальную эргодическую теорему Биркгофа применительно к т-значным динамическим системам: для сохраняющей мерут-трансфор-мации средние £ ^¡с=о сходятся поточечно (а также сильно в 17, если / е I/, 1 < р < оо) к инвариантной относительно 17 функции (Теорема 1.4).

В разд. 1.3 для несингулярных т-трансформаций определяется оператор Фробениуса-Перрона Р: Ь1 —» Ь1, отвечающий за преобразование плотностей распределения точек в динамической системе под действием т-транс-формации б1. Операторы V к Р оказываются сопряженными в следующем смысле: если / Е Ь1 и д £ то ¡х(Р/)-д<1ц = ¡х / • (17д) йц (Теорема 1.5). Мы приводим критерий сохранения меры в терминах оператора Р (Р1 = 1) и удобную лемму для вычисления оператора Р.

Также в этом разделе мы представляем п-ю итерацию несингулярной т-трансформации 51 как тГ1-трансформацию, снабженную специальным оснащением. Основным результатом главы является

Теорема 1.6. При специальном оснащении тп-трансформация 5" также является несингулярной и для нее операторы Купмана и Фробениуса-Перрона совпадают с п-ми итерациями соответствующих операторов для т-трансформации 5: Щ = С/у и Р£ = Р5П.

Этот результат обобщает известный факт для 1-трансформацийо3.

В разд. 1.4 вводится определение эргодичности /¿-инвариантной трансформации через свойство оператора Р: 5 — эргодическая, если для любой функции / € Ь1 последовательность Рк/ сходится к 1 по Чезаро. Эргодиче-

53£<мо4а Л., Маскеу М. С. Ор. ей.. Р. 43.

ские трансформации характеризуются тем, что только постоянные функции являются неподвижными точками оператора Р (Следствие 1.4) и оператора и (Теорема 1.9).

Мы также проверяем условие эргодичности для некоторых примеров 1-и 2-трансформаций на отрезке [0,1] и находим для них оператор Фробениу-са-Перрона (примеры нахождения оператора Р есть также в Главе 2 (Следствие 2.1) и в Главе 4 (с. 95)).

Результаты первой главы опубликованы в работе [7].

Во второй главе, состоящей из двух разделов, рассматривается одномерная 2-значная динамическая система, естественным образом возникающая при исследовании /3-представлений и связанных с ними инвариантных мер. Находится критерий существования абсолютно непрерывной относительно меры Лебега инвариантной меры для данного однопараметрического семейства 2-значных трансформаций 5' = 5(а),0<а<|, отрезка [0,1], где

Разд. 2.1 является вводным: в нем указывается связь рассматриваемой динамической системы с /^-представлениями чисел и проблемой сингулярности бесконечной свертки распределений Бернулли, а также формулируется вопрос о сохранении трансформациями Б (а) мер р, абсолютно непрерывных относительно меры Лебега Л.

На этот вопрос мы отвечаем в разд. 2.2 в Лемме 2.1 (как следствие из которой находится оператор Р), в Лемме 2.2 (связывающей параметр а, плотность р(х) меры ц и оснащение {^(я), «2 (я)}) и в Теореме 2.1, описывающей случай меры Лебега (/х = А).

ЗД =

^ ~_ "

1-а 1-а>

х € [0,а); х € [а, 1].

Теорема 2.1. = А тогда и только тогда, когда а = п £ М, тг > 2, и оснащение имеет специальный ступенчатый вид:

На промежутках [0, [^,1] функция а\(х) выбирается произвольно.

В этом разделе мы также доказываем Теорему 2.2, позволяющую строить инвариантные меры с отличными от констант плотностями для некоторой сходящейся к нулю последовательности значений параметра а.

плотность р(х) и оснащение {ai(x), аг(а;)} такие, что fis = М- Более того, плотность р(х) не является константой.

В разд. 2.2 получено некоторое обобщение классических результатов из эргодической теории54,55: как частные случаи нашей конструкции найдены два примера инвариантной меры для трансформаций, связанных с 2-транс-формацией S (Следствия 2.4 и 2.6).

Результаты второй главы опубликованы в работе [8].

В третьей главе, состоящей из трех разделов, вводится понятие системы итерированных функций (СИФ), а также предложенные М.Ф. Барнсли56,57 понятия верхних адресов и адресной структуры. Мы исследуем эти объекты на примере семейства СИФ {C;/0(z) = qz,fi(z) = qz + 1, q, z 6 С}, состоящих из двух линейных отображений на комплексной плоскости (q € С, 0< \q\ < 1, — параметр). Мы ограничиваемся рассмотрением частного случая, когда выполняется условие единственности коэффициентов щ € {—1,0,1}, удовлетворяющих уравнению 1 + ^CtU ukQk = 0.

uRényi A. Op. cit.

55 Parry W. Op. cit.

Bamsley M. F. Superfractals. 453 p.

67Barnsley M. F. Transformations between ... P. 291-304.

Теорема 2.2. Для любого n = 2,3,... существуют параметр а, ^ <а<

Разд. 3.1 носит вводный характер: в нем даются определения СИФ, адресного пространства, адресного отображения, приводится теорема Хатчинсона

0 СИФ, а также теоремы об инвариантной мере для СИФ с вероятностями.

В разд. 3.2 показывается, что при сделанном выше предположении о единственности коэффициентов щ аттрактор рассматриваемой СИФ представим в виде дизъюнктного объединения А = WU V множества точек W, имеющих ровно один адрес, и множества точек V, имеющих ровно два адреса.

Известно58, что для параметра 42 ~ 0.367 + 0.520г (корень уравнения

1 ~ <7 + <f + 2<?3 =0) коэффициенты щ единственны и выполняется «условие открытого множества». Основным результатом главы является Теорема 3.8 из разд. 3.3, описывающая строение адресной структуры для данной СИФ и дающая новые примеры чисел q, для которых выполняется условие единственности коэффициентов щ, а также «условие открытого множества». Мы находим такое множество ф сС мощности континуума, что справедлива

Теорема 3.8. Если уравнение 1 + YlkLiuk1k = 0. имеет единственное решение и, то адресная структура для СИФ (С;/о(г) = qz,fi(z) = qz + 1} такова:

С = {тГЧ*) : х € W} [_|{7Г-1(аО : х € V}.

Если q £ то уравнение 1 + ukQk = 0 имеет, единственное решение и и для СИФ (С;/о(г) = qz,fi{z) = qz + 1} выполняется «условие открытого множества».

Кроме того, доказано, что для любого п = 0,1,... существует q € такое, что множество fo(A) П !\{А) состоит из 2" точек. Существуют также q 6 ф, для которых это множество имеет мощность континуума. Результаты третьей главы опубликованы в работе [6].

ssBandt a, Hung N. V. Op. cit.

Четвертая глава, содержащая три раздела, посвящена классификации СИФ, состоящих из пар линейных отображений над телом кватернионов

{H;/o(z) = qzp + a,fi{z) = qzp + b, a,b,q,p,z € H}, a ± b, 0 < \qp\ < 1.

Обозначим эту СИФ через QIFS(q,p,a,b). Мы находим канонический вид для СИФ QIFS(g,p, а, Ь) и исследуем устройство аттракторов таких СИФ в случаях р = q и р = 1. Также в этой главе приводятся примеры четырех-, трех-, двух- и одномерного аттракторов СИФ QIFS(q,p,a,b).

В разд. 4.1 мы показываем, что, в отличии от случая пары линейных отображений на комплексной плоскости59, в общем случае нельзя свести рассмотрение СИФ QIFS(q,p, а, 6) к СИФ QIFS(q,p,0,1) так, чтобы их аттракторы были подобны (Пример 4.2).

СИФ QIFS(g, р, а, Ь) можно свести к некоторому стандартному виду, о чем утверждает

Теорема 4.1. Пусть 0 < \pq\ < I, а ф Ь. Тогда существуют d,p*,q* € H, d yé 0, |p*| = jp|, \q*\ = |ç|, такие, что аттракторы СИФ QIFS(q,p,a,b), QlFS(q,p,Q,d) и QIFS (g*, p*, 0,1) подобны между собой.

В разд. 4.2 рассматривается частный случай, когда р = q. Оказывается, что аттрактор СИФ QIFS(ç, g, a, b) лежит в трехмерном подпространстве и изометричен аттрактору, задаваемому парой аффинных сжатий в R3.

В разд. 4.3 мы полагаем р = 1. Показывается, что в этом случае аттрактор СИФ QIFS(g, 1, а, Ь) является плоским множеством, подобным аттрактору СИФ над С, рассмотренному в Главе 3.

Результаты четвертой главы опубликованы в работе [9].

59Bandt С. Op. cit.

Список публикаций автора по теме диссертации

[1] Трошин П. И. Многозначные динамические системы // Итоговая научно-образовательная конференция студентов Казан, гос. ун-та 2006 г. : сб. статей / Казан, гос. ун-т ; под ред. И. Г. Кондратьевой. — Казань, 2006. - С. 32-33.

[2] Трошин П. И. Многозначные динамические системы с весами // Тр. Мат. центра им. Н.И. Лобачевского / Казан, мат. общ-во. — Казань, 2006. — Т. 34. - С. 202-203.

[3] Трошин П. И. Многозначные динамические системы с весами // XIX Международная школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга'19-2007» : тез. докл. / Казан, гос. ун-т ; под ред. А. В. Аминовой. — Казань, 2007. — С. 48-49.

[4] Трошин П. И. Системы двух итерированных функций над кватернионами // XX Международная школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга'20-2008» : сб. материалов / Казан, гос. ун-т ; под ред. А. В. Аминовой. — Казань,

2008.-С. 52.

[5] Трошин П. И. Системы итерированных функций над телом кватернионов // Научный семинар стипендиальной программы «Михаил Ломоносов» 2007/08 года : сб. материалов / ДААД ; под ред. Н. Праль. — М., 2008.- С. 216-218.

[6] Трошин П. И. Адресная структура для пары линейных отображений в С // Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского / Казан, мат. общ-во. —

2009. - Т. 39. - С. 365-367.

[7] Трошин П. И. Многозначные динамические системы с весами // Изв. вузов. Сер. Математика. — 2009. — Т. 7. — С. 35-50.

[8] Трошин П. И. Об инвариантности меры для одной 2-трансформации // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.— 2009.— Т. 151. — С. 183-191.

[9] Трошин П. И. Системы двух итерированных функций над телом кватернионов // Изв. вузов. Сер. Математика. — 2009. — Т. 12. — С. 95-100.

Отпечатано с готового оригинала-макета

в типографии издательства Казанского государственного университета Тираж 100 экз. Заказ 24/1

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: 233-73-59, 292-65-60

Список условных обозначений

Введение.

Глава 1. Многозначные динамические системы с весами

1.1. Основные понятия.

1.2. Оператор Купмана

1.3. Оператор Фробениуса-Перрона.

1.4. Эргодичность

Глава 2. 2-значные динамические системы на отрезке.

2.1. Динамические системы, связанные с арифметическими разложениями

2.2. Критерий инвариантности меры.

Глава 3. Системы двух итерированных линейных функций на комплексной плоскости.

3.1. Системы итерированных функций.

3.2. Адресная структура для систем итерированных функций

3.3. Достаточные условия для вычисления адресной структуры

Глава 4. Системы двух итерированных линейных функций над телом кватернионов

4.1. Общий случай: вращения в!4.

4.2. Частный случай: вращения в М3.

4.3. Частный случай: вращения в!2.

Актуальность работы. В представленной работе изучаются динамические системы, порожденные многозначными трансформациями, которые можно рассматривать как набор отображений, выбираемых с заданными в каждой точке пространства вероятностями. Такие системы интересуют нас особенно как «надстройка» над системами итерированных функций, имеющими, как правило, фрактальные аттракторы.

В настоящее время теория динамических систем и теория систем итерированных функций являются интенсивно развивающимися разделами эрго-дической теории и фрактальной геометрии, тесно связанными со многими разделами математики: топологией, алгеброй, дифференциальной геометрией, теорией чисел, теорией меры, теорией случайных процессов, теорией особенностей, функциональным анализом и вариационным исчислением и имеющими широкое применение в математической физике, компьютерных технологиях. Хороший обзор в этой области можно найти, например, в монографиях Х.В. Брура, Ф. Дюмортье, С.Дж. ван Стринга и Ф. Такенса [14], М. Брина и Г. Штука [39], И.П. Корнфельда, Я.Г. Синая и С.В. Фомина [9], P.M. Кроновера [10], Х.-О. Пайтгена, X. Юргенса и Д. Саупа [83], М.Ф. Барнсли [26, 28], А.Б. Катка и Б. Хасселблата [7], С. Уэлстида [16], П.Р. Массопу-ста [77], П.Р. Халмоша [18], Дж. Кигами [68].

Основным классическим подходом к изучению нелинейных динамических систем является явное или приближенное «вычисление» индивидуальной траектории (например, работы Дж.Д. Биркгофа [35], Дж. фон Неймана [99], Б.О. Купмана [69], монографии Дж.Д. Биркгофа [34], А.Я. Хинчина [19],

9 9

Н.С. Крылова [11], П. Биллингслея [1], А.Б. Катка и Б. Хасселблата [7]). Однако все более внедряются геометрические и алгебраические методы в данной области: вместо эволюции точек изучаются эволюции плотностей распределения точек системы (монография А. Ласоты и М. Макея [72]), вместо эволюции плотностей — эволюции меры (монографии А. Ласоты и М. Макея [73], работы А. Ласоты, Ж. Мижака и Т. Жарека [74], М.Ф. Барнсли, С.Г. Демко, Дж.Х. Элтона и Дж.С. Джеронимо [58], Дж.Э. Хатчинсона [55]). При этом рассматриваются различные критерии асимптотической стабильности оператора Фробениуса-Перрона, который отвечает за эволюцию мер. В терминах систем итерированных функций аттрактор может быть представлен как носитель инвариантной относительно этого оператора меры.

Одним из основных вопросов теории динамических систем является вопрос о существовании и нахождении инвариантных относительно заданной трансформации мер. Инвариантные меры существуют для широкого класса динамических систем, определенных на компактном пространстве с непрерывной трансформацией (теорема Крылова-Боголюбова). Как показал П.Р. Халмош [18], без ограничения общности меру можно считать конечной, а трансформацию — несингулярной.

Вопрос об инвариантности меры для некоторых семейств одномерных динамических систем рассматривался в работах А. Ласоты и Дж.А. Йорка [75], М.В. Якобсона [63], М. Мизиуревича [79], Р. Боуэна [37], Д. Руэля [89], в монографии А. Боярского и П. Горы [38].

Из специальной символической реализации динамических систем возникает связь эргодической теории и теории арифметических разложений. Основной целью работ в этой области послужила еще не решенная проблема сингулярности свертки распределений Бернулли, поставленная П. Эрдешем в [47]. С этой проблемой непосредственно связано понятие /^-представления чисел, введенное в работах А. Реньи [88] и изучаемое А.О. Гельфондом [4], Б. Пэрри [82], A.M. Гарсиа [52], П. Эрдешем, И. Жу и В. Коморником [48], Ю. Пересом и Б. Соломяком [85], Д. Молдиным и К. Саймоном [78], A.M. Вер-шиком и Н.А. Сидоровым [3, 94], Н. Сидоровым [91-93], Ю. Пересом, В. Шлагом и Б. Соломяком [84].

Многозначные отображения с топологической точки зрения начали изучаться с работ К. Куратовского [71]. Введение в теорию, а также хороший обзор в этой области дан в монографии [2]. Многозначным динамическим системам и их связи с задачами фрактальной геометрии посвящена работа К.Б. Игудесмана [57]. Некоторые вопросы, касающиеся принципа сжимающих многозначных отображений, можно найти в монографии В.М. Тихомирова [15].

Системы итерированных функций стали пристально изучаться сравнительно недавно (начиная с 1981 г.), после работ Дж.Э. Хатчинсона [55], М. Хаты [54], М.Ф. Барнсли и С.Г. Демко [30], С.Г. Демко, JL Ходжеса и Б. Нэйло-ра [41], уже ставших классическими в области фрактальной геометрии монографий М.Ф. Барнсли [26], К.Дж. Фальконера [49] и патентования М.Ф. Барнсли и А. Слоуном алгоритма фрактального сжатия изображений на их основе (1991 г.), усовершенствованного впоследствии А. Джеквином [62], Ю. Фишером [50] и др. Некоторые важные для этих работ идеи были рассмотрены еще ранее в статьях по композиции сжимающих отображений Р.Ф. Уильям-сом [101] и по марковским случайным процессам В. Доблином и Р. Форте [42], JI. Дубинсом и Д. Фридманом [44], а также в обширном обзоре Т. Кайже-ра [65].

В работах М.Ф. Барнсли, С.Г. Демко, Дж.Х. Элтона и Дж.С. Джерони-мо [58], А. Ласоты, Ж. Мижака и Т. Жарека [74], монографии М. Йозифес-ку и С. Григореску [59] рассматриваются системы итерированных функций с вероятностями, зависящими от точки пространства. Для таких систем исследуются вопросы существования инвариантной меры и асимптотической стабильности оператора Фробениуса-Перрона при различных условиях на вероятности и трансформации (например, «условие Дини», «условие усредненного сжатия», «условие ограниченной положительности»). Более ранние работы С. Карлина [66], Р. Исаака [61], монография М. Йозифеску и Р. Теодореску [60] посвящены так называемым моделям обучения.

В работах М.Ф. Барнсли и С.Г. Демко [30], Дж.Х. Элтона [46], О. Штен-фло [98] и монографии М.А. Бергера [32] представлен рандомизированный алгоритм построения аттрактора систем итерированных функций, позволяющий эффективно получать изображения на персональном компьютере (Б. Мандельброт [76] впервые использовал идею этого алгоритма применительно к фракталам для построения множеств Жюлиа).

В работах М.Ф. Барнсли и А.Н. Харрингтона [31], Т. Буша [36], К. Банд-та [21], Б. Соломяка [96], Б. Соломяка и X. Сю [97] вводится и изучается множество Мандельброта для системы итерированных функций, состоящей из пары линейных отображений на комплексной плоскости. К. Бандтом и Н.В. Хунгом [23] для такой системы итерированных функций исследовался вопрос о выполнении «условия открытого множества», введенного П. Мора-ном [80]. Один важный частный случай аттрактора таких систем рассмотрен Ж. Роузи [87] в связи с проблемой неподвижных точек «подстановки Трибо-наччи» (см. обширный обзор в работе А. Зигель и Дж. Тусвалднера [95]).

В работах К. Бандта и X. Рао [25], К. Бандта и С. Графа [22], К. Бандта, Н.В. Хунга и X. Рао [24], а также А. Шифа [90] «условие открытого множества» исследуется для систем итерированных функций общего вида.

Задачам вычисления хаусдорфовой размерности для аттракторов систем итерированных функций со значительным самопересечением, когда не выполняется «условие открытого множества», посвящены работы Ю. Переса и Б. Соломяка [86], Д. Брумхеда, Дж. Монтальди и Н. Сидорова [40], Т. Жор-дана [64], С.М. Нгаи и Ю. Ванга [81], К.Б. Игудесмана [5, 56].

В работах М.Ф. Барнсли [27, 28] введены понятия верхних адресов, верхней динамической системы и адресной структуры для системы итерированных функций. Эти объекты изучаются в настоящее время М.Ф. Барнсли [29],

К.Б. Игудесманом [6].

Цель диссертационной работы. Целью работы является решение следующих вопросов фрактальной геометрии и эргодической теории.

1. Изучение связи между многозначными динамическими системами и системами итерированных функций.

2. Нахождение инвариантных мер для специальной динамической системы, связанной с арифметическими разложениями.

3. Изучение адресной структуры для системы итерированных функций на комплексной плоскости.

4. Классификация аттракторов для системы двух итерированных линейных функций над телом кватернионов.

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение при проведении научных исследований и чтении спецкурсов в Казанском, Московском, Нижегородском, Новосибирском и Саратовском государственных университетах.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Доказано, что при специальном оснащении n-й итерации га-трансформации Sn операторы Купмана и Фробениуса-Перрона для нее совпадают с 72-ми итерациями соответствующих операторов для m-трансформации S: USn = Щ, PSn = Р§.

2. Найден критерий инвариантности меры Лебега для специального семейства одномерных 2-значных динамических систем. Построено семейство t > инвариантных мер с непостоянными плотностями.

3. Вычислена адресная структура для системы двух итерированных линейных функций над полем комплексных чисел. Найдено семейство параметров, при которых пересечение двух подобных подмножеств аттрактора имеет любую конечную мощность вида 2", п = 0,1,., либо мощность континуума.

4. Дана классификация аттракторов для системы двух итерированных линейных функций над телом кватернионов. Выяснена структура аттракторов в важных частных случаях.

Апробация работы. По результатам диссертации были сделаны доклады на следующих конференциях и семинарах:

Всероссийские молодежные научные конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2006, 2009 гг.).

Международные школы-семинары по современным проблемам теоретической и математической физики «Петровские чтения» (Казань, 2007, 2008 гг.).

Международная конференция «Fractals and Stochastics 4» (Грайфсвальд, Германия, 2008 г.).

Научный семинар программы «Михаил Ломоносов» (Москва, 2008 г.).

Научный семинар «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике» (Фря-зино, 2008 г.).

Кроме того, результаты работы регулярно докладывались на научных семинарах кафедры геометрии и итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (2006-2009 гг.), а также на семинаре «Fractals» научного коллектива проф. К. Бандта (Грайфсвальд, Германия, 2007-2008 гг.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [108-110] и 6 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

1. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация / П. Биллингслей. — М. : МИР, 1969. — 238 с.

2. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский. — М. : КомКнига, 2005. — 216 с.

3. Вершик А. М. Арифметические разложения, ассоциированные с поворотом окружности и непрерывными дробями / А. М. Вершик, Н. А. Сидоров // Алгебра и анализ. — 1993. — Т. 5, вып. 6. — С. 97-115.

4. Гелъфонд А. О. Об одном общем свойстве систем счисления / А. О. Гельфонд // Известия академии наук СССР. Серия математическая. — 1959. — Т. 23. — С. 809-814.

5. Игудесман К. Б. Фрактальная размерность пересечения стандартных канторовых множеств / К. Б. Игудесман // Известия вузов. Математика. 2002. - № 11. — С. 32-35.

6. Игудесман К. Б. Верхние адреса для одного семейства систем итерированных функций на отрезке / К. Б. Игудесман // Известия вузов. Математика. — 2009. — № 9. — С. 75-81.

7. Каток А. Б. Введение в современную теорию динамических систем / А. Б. Каток, Б. Хасселблат. — М. : Факториал, 1999. — 768 с.

8. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин.— 4-е изд., перераб. — М. : Наука, 1976. 544 с.

9. Корнфелъд И. П. Эргодическая теория / И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1980. — 193 с.

10. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / Р. М. Кроновер. — М. : Постмаркет, 2000. — 352 с.

11. Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической физики / Н. С. Крылов. М. ; Л. : Изд-во АН СССР, 1950. - 207 с.

12. Портенко Н. И. Марковские процессы / Н. И. Портенко,A. В. Скороход, В. М. Шуренков // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления / ВИНИТИ. — М., 1989.— Т. 46 : Теория вероятностей — 4. — 248 с.

13. Садовничий В. А. Теория операторов : учеб. для вузов / В. А. Садовничий. — 4-е изд., испр. и доп. — М. : Дрофа, 2001. — 384 с.

14. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы / X. В. Брур, Ф. Дюмортье, С. Д. ван Стринг, Ф. Такенс. — М. ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — 336 с.

15. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений /B. М. Тихомиров. — М. : Изд-во Московского ун-та, 1976. — 304 с.

16. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображения /C. Уэлстид. М. : Триумф, 2003. - 320 с.

17. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения /В. Феллер. М. : МИР, 1967. - Т. 2. - 752 с.t

18. Халмош П. Р. Лекции по эргодической теории / П. Р. Халмош.— Ижевск : РХД, 2000. 136 с.

19. Хинчин А. Я. Математическое основание статистической механики / А. Я. Хинчин. — М. ; Л. : Гостехиздат, 1943. — 128 с.

20. Шерстнев А. Н. Конспект лекций по математическому анализу / А. Н. Шерстнев. — 3-е изд., доп. — Казань : УНИПРЕСС, 1998. — 488 с.

21. Bandt С. On the Mandelbrot set for pairs of linear maps / C. Bandt // Nonlinearity. — 2002. Vol. 15. - P. 1127-1147.

22. Bandt C. Self-similar sets 7. A characterization of self-similar fractals with positive Hausdorff measure / C. Bandt, S. Graf // Proc. Amer. Math. Soc. — 1992. Vol. 114. - P. 995-1001.

23. Bandt C. Self-similar sets with open set condition and great variety of overlaps / C. Bandt, N. V. Hung // Proc. Amer. Math. Soc. — 2008.— Vol. 136. P. 3895-3903.

24. Bandt C. On the open set condition for self-similar fractals / C. Bandt, N. V. Hung, H. Rao // Proc. Amer. Math. Soc. 2006. - Vol. 134, № 5. -P. 1369-1374.

25. Bandt C. Topology and separation of self-similar fractals in the plane / C. Bandt, H. Rao // Nonlinearity. — 2007. — Vol. 20. — P. 1463-1474.

26. Barnsley M. F. Fractals everywhere / M. F. Barnsley. — Boston : Academic Press, 1988. 394 p.

27. Barnsley M. F. Theory and application of fractal tops / M. F. Barnsley // Fractals in engineering: new trends in theory and applications / ed. by J. Levy-Vehel, E. button. ^ London, 2005. P. 3-20. '

28. Barnsley M. F. Superfractals / M. F. Barnsley. — Cambridge : Cambridge University Press, 2006. — 453 p.

29. Barnsley M. F. Transformations between self-referential sets / M. F. Barns-ley // Amer. Math. Monthly. — 2009. — Vol. 116. P. 291-304.

30. Barnsley M. F. Iterated function systems and the global construction of fractals / M. F. Barnsley, S. Demko // Proc. Roy. Soc. London. — 1985. — Vol. 399, № 1817. P. 243-275.

31. Barnsley M. F. A Mandelbrot set for pairs of linear maps / M. F. Barnsley, A. Harrington // Phisica. — 1985. — Vol. 15 D. P. 421-432.

32. Berger M. A. An introduction to probability and stochastic processes / M. A. Berger. — New York : Springer-Verlag, 1993. — 205 p.

33. Bielecki A. Iterated function system analogues on compact metric spaces and their attractors / A. Bielecki // Universitatis Lagellonicae Acta Math-ematica. 1995. — Vol. 32. — P. 187-192.

34. Birkhoff G. D. Dynamical systems / G. D. Birkhoff // American Mathematical Society. Colloquium publications. — New York, 1927. — Vol. 9. — 295 p.

35. Birkhoff G. D. Proof of the ergodic theorem / G. D. Birkhoff // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1931. - Vol. 17. - P. 656-660.

36. Bousch Т. Соппех^ё locale et par chemins holderiens pour les syst^mes iteres de fonctions Electronic resource] / T. Bousch. — Режим доступа :http://topo.math.u-psud.fr/~bousch/preprints/clhifs. pdf, свободный. — Проверено 15.12.2009.f

37. Bowen R. Invariant measures for Markov maps of the interval / R. Bowen //Comm. Math. Physics. — 1979. — Vol. 69. — P. 1-17.

38. Boyarsky A. Laws of chaos: invariant measures and dynamical systems in one dimension / A. Boyarsky, P. Gora. — Boston ; Basel ; Berlin : Birkhauser, 1997. — 399 p.

39. Brin M. Introduction to dynamical systems / M. Brin, G. Stuck. — Cambridge : Cambridge University Press, 2002. — 240 p.

40. Broomhead D. Golden gaskets: variations on the Serpinski sieve / D. Broom-head, J. Montaldi, N. Sidorov // Nonlinearity.— 2004.— Vol. 17.— P. 1455-1480.

41. Demko S. Construction of fractal objects with iterated function systems / S. Demko, L. Hodges, B. Naylor // SIGGRAPH '85 Proceedings. — New York, 1985.-P. 271-278.

42. Doeblin W. Sur des chaines a liaisons competes / W. Doeblin, R. Fortet j j Bulletin de la Societe Mathematique de Prance. — 1937. — Vol. 65. — P. 132-148.

43. Dube S. Undecidable problems in fractal geometry / S. Dube // Complex systems: mechanism of adaptation / ed. by R. J. Stonier, X. H. Yu. — Amsterdam, 1994.— P. 283-290.

44. Dubins L. Invariant probabilities for certain Markov processes / L. Dubins, D. Freedman // Ann. Math. Stat.— 1966. —Vol. 37.- P. 837-848.

45. Dunford N. Convergence almost everywhere of operator averages / N. Dun-ford, J. T. Schwartz // J. Rational Mech. Anal. — 1956. — Vol. 5. — P. 129-178. , ,

46. Elton J. H. An ergodic theorem for iterated maps / J. H. Elton // Ergodic Theory Dynam. Systems. — 1987. — Vol. 7. — P. 481-488.

47. Erdos P. On a family of symmetric Bernoulli convolutions / P. Erdos // Amer. J. Math. 1939. - Vol. 61. — P. 974-975.

48. Erdos P. Characterization of the unique expansions 1 = Q щ arid related problems / P. Erdos, I. Jo6, V. Komornik // Bull. Soc. Math. France. — 1990. Vol. 118. - P. 377-390.

49. Falconer K. J. The geometry of fractal sets / K. J. Falconer. — Cambridge : Cambridge University Press, 1985. — 162 p. — (Cambridge tracts in mathematics ; vol. 85).

50. Fractal image compression: theory and application / ed. by Y. Fisher. — New York : Springer-Verlag, 1995. — 341 p.

51. Foguel S. Selected topics in study of Markov operators / S. Foguel. — Chapel Hill : University of North Carolina, 1980. — 116 p. — (Carolina Lecture Series).

52. Garsia A. M. Arithmetic properties of Bernoulli convolutions / A. M. Gar-sia // Trans. Am. Math. Soc. 1962. - Vol. 102. - P. 409-432.

53. Girard P. R. Quaternions, Clifford algebras and relativistic physics / P. R. Girard. Birkhauser, 2007. — 179 p.

54. Hata M. On the structure of self-similar sets / M. Hata // Japan J. Appl. Math. 1985. - Vol. 2. - P. 381-414.

55. Hutchinson J. E. Fractals and self-similarity / J. E. Hutchinson // IndianaUniv. Math. J. 1981. - Vol. 30. - P. 713-747.f

56. Igudesman К. B. Lacunary self-similar fractal sets and intersection of Cantor sets / К. B. Igudesman // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2003. Vol. 12. - P. 41-50.

57. Igudesman К. В. Dynamics of finite-multivalued transformations / К. B. Igudesman // Lobachevskii Journal of Mathematics.— 2005.— Vol. 17. P. 47-60.

58. Iosifescu M. Dependence with complete connections and its applications / M. Iosifescu, S. Grigorescu. — Cambridge : Cambridge University Press, 1990.-324 p.

59. Iosifescu M. Random processes and learning / M. Iosifescu, R. Teodores-cu. — New York : Springer-Verlag, 1969. — 304 p.

60. Isaac R. Markov processes and unique stationary probability measures / R. Isaac // Pacific J. Math. — 1962. Vol. 12, № 1. — P. 273-286.

61. Jacquin A. Fractal image coding based on a theory of iterated contractive image transformations / A. Jacquin // Proc. SPIE Visual Communications and Image Processing. — 1990. — P. 227-239.

62. Jakobson M. V. Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps / M. V. Jakobson // Comm. Math. Phys. 1981. - Vol. 81. — P. 39-88.

63. Jordan T. Dimension of fat Serpinski gaskets / T. Jordan // Real Anal. Exchange. 2005. - Vol. 31, Щ 1. - P. 97-110.

64. Kaijser T. On a new contraction condition for random systems with complete connections / Т. Kaijser // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. — 1981.- Vol. 26.- P. 1075-1117.

65. Karlin S. Some random walks arising in learning models. 1. / S. Karlin // Pacific J. Math. 1953. - Vol. 3. - P. 725-756.

66. Kechris A. S. Classical descriptive set theory / A. S. Kechris. — New York : Springer-Verlag, 1995. — 402 p. — (Graduate texts in mathematics ; vol. 156).

67. Kigami J. Analysis on fractals / J. Kigami. — Cambridge : Cambridge University Press, 2001. — 226 p. — (Cambridge tracts in mathematics ; vol. 143).

68. Koopman B. 0. Hamiltonian systems and transformations in Hilbert spaces / B. 0. Koopman // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S. — 1931. — Vol. 17. — P. 315-318.

69. Krengel U. Ergodic theorems / U. Krengel. — Berlin ; New York : Walter de Gruyter, 1985. — 357 p.

70. Kuratowski C. Les fonctions semi-continues dans i'espace des ensembles fermes / C. Kuratowski // Fund. Math. — 1931. — Vol. 18. — P. 148-159.

71. Lasota A. Probabilistic properties of deterministic systems / A. Lasota, M. C. Mackey. — Cambridge : Cambridge University Press, 1985. — 368 p.

72. Lasota A. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics / A. Lasota, M. C. Mackey. — New York : Springer-Verlag, 1994. — 472 p. — (Appl.Math. Sci. ; vol. 97).f

73. Lasota A. Markov operators and semifractals / A. Lasota, J. Myjak, T. Szarek // Progress in probability / ed. by C. Bandt, U. Mosco,M. Zahle. — Basel, 2004. — Vol. 57 : Fj-actal geometry and stochastics 3. — P. 3-22.

74. Lasota A. On the existence of invariant measures for piecewise monoton-ic transformations / A. Lasota, J. A. Yorke // Trans. Am. Math. Soc. — 1973. Vol. 186. - P. 481-488.

75. Mandelbrot В. B. Fractals: form, chance and dimension / В. B. Mandelbrot. — San Francisco : W.H. Freeman k. Co., 1977. — 365 p.

76. Massopust P. R. Fractal functions, fractal surfaces, and wavelets / P. R. Massopust. — San Diego : Academic Press, 1994. — 383 p.

77. Mauldin D. The equivalence of some Bernoulli convolutions to Lebesgue measure / D. Mauldin, K. Simon // Proc. Amer. Math. Soc. — 1998. — Vol. 126, № 9. P. 2733-2736.

78. Misiurewicz M. Absolutely continuous measure for certain maps of an interval / M. Misiurewicz // Publ. Math. IHES.— 1981.- Vol. 53.- P. 17-51.

79. Moran P. A. P. Additive functions of intervals and Hausdorff measure / P. A. P. Moran // Proc. Cambridge Philos. Soc.— Vol. 42.— 1946.— P. 15-23.

80. Ngai S. M. Hausdorff dimension of self-similar sets with overlaps / S. M. Ngai, Y. Wang // J. bond. Math. Soc.- 2001.- Vol. 63.-P. 655-672.

81. Ратту W. On the /^-expansions of real numbers / W. Parry j I Acta Math. f Acad. Sci. Hung. 1960. - Vol. 11. - P. 401'-416.

82. Peitgen H.-O. Chaos and fractals, New frontiers of science / H.-O. Peitgen, H. Jiirgens, D. Saupe. — New-York : Springer-Verlag, 1992. — 984 p.

83. Peres Y Sixty years of Bernoulli convolutions / Y. Peres, W. Schlag, B. Solomyak // Progress in probability / ed. by C. Bandt, S. Graf, M. Za-ehle. — Basel, 2000. — Vol. 46 : Fractal Geometry and Stochastics 2. — P. 39-65.

84. Peres Y. Absolute continuity of Bernoulli convolutions, a simple proof / Y. Peres, B. Solomyak // Math. Research Letters. — 1996. — Vol. 3, № 2. — P. 231-239.

85. Peres Y. Self-similar measures and intersections of Cantor sets / Y. Peres, B. Solomyak // Trans. Amer. Math. Soc.— 1998.— Vol. 350.— P. 4065-4087.

86. Rauzy G. Nombres algebriques et substitutions / G. Rauzy j I Bull. Soc. Math. France. 1982. - Vol. 110. - P. 147-178.

87. Renyi A. Representations for real numbers and their ergodic properties / A. Renyi // Acta Math. Acad. Sci. Hung. — 1957. — Vol. 8. — P. 477-493.

88. Ruelle D. Applications conservant une mesure absolument continue par rapport a dx sur 0,1] / D. Ruelle // Comm. Math. Phys. — 1977. — Vol. 55. — P. 47-51.

89. Schief A. Separation properties for self-similar sets / A. Schief // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. - Vol. 122. - P. 111-115.

90. Sidorov N. Almost every number has a continuum of ^-expansions / N. Sidorov // Amer. Math. Monthly. — 2003. Vol. 110. - P. 838-842.t

91. Sidorov N. Arithmetic dynamics / N. Sidorov // London Mathematical Society lecture note series / ed. by S. Bezuglyi, S. F. Kolyada. — Cambridge, 2003. — Vol. 310 : Topics in dynamics and ergodic theory. — P. 145-189.

92. Sidorov N. Expansions in non-integer bases: Lower, middle and top orders / N. Sidorov // J. Number Theory. — 2009. Vol. 129, № 4. — P. 741-754.

93. Sidorov N. Ergodic properties of the Erdos measure, the entropy of the goldenshift, and related problems / N. Sidorov, A. M. Vershik // Monatsh. Math. 1998. - Vol. 126, № 3. - P. 215-261.

94. Siegel A. Topological properties of Rauzy fractals Electronic resource] / A. Siegel, J. Thuswaldner. — Режим доступа : http://www.irisa.fr/ symbiose/people/asiegel/Articles/Topological .pdf, свободный. — Проверено 15.12.2009.

95. Solomyak В. On the Mandelbrot set for pairs of linear maps: asymptotic self-similarity / B. Solomyak // Nonlinearity. — 2005. — Vol. 18. — P. 1927-1943.

96. Solomyak B. On the 'Mandelbrot set' for a pair of linear maps and complex Bernoulli convolutions / B. Solomyak, H. Xu // Nonlinearity.— 2003.— Vol. 16. P. 1733-1749.

97. Ward J. P. Quaternions and Cayley numbers / J. P. Ward. — Dordrecht ; t Boston : Kluwer Academic Publishers, 1997. r~ 237 p. — (Mathematics and its applications ; vol. 403).

98. Williams R. F. Composition of contractions / R. F. Williams // Bol. da Soc, Brasil de Mat. — 1971. — Vol. 2. — P. 55-59.Публикации автора по теме диссертации

99. Трошин П. И. Системы итерированных функций над теломкватернионов / П. И. Трошин // Сборник материалов научного семинара стипендиатов программы «Михаил Ломоносов» 2007/08 года / ДААД ; под ред. Н. Праль. М., 2008. - С. 216-218.

100. Трошин П. И. Многозначные динамические системы с весами / П. И. Трошин // Известия вузов. Математика.— 2009.— № 7.

101. Трошин П. И. Об инвариантности меры для одной 2-трансформации / П. И. Трошин // Ученые записки Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2009. - Т. 151. - С. 183-191.

102. Трошин П. И. Системы двух итерированных функций над телом кваг тернионов / П. И. Трошин // Известия вузов. Математика. — 2009. —С. 35-50.12. С. 95-100.