Модель нанотрубки со спиральной симметрией и её транспортные, магнитные и оптические свойства тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

00460936

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ ИМЕНИ Б.П. КОНСТАНТИНОВА РАН

На правах рукописи

УДК 93.115

Григорькин Алексей Александрович

Модель нанотрубки со спиральной симметрией и её транспортные, магнитные и оптические свойства

Специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2010

3 О СЕН 2010

004609361

Работа выполнена в Отделении нейтронных исследований Петербургского института ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Дунаевский Сергей Михайлович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Малеев Сергей Владимирович;

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

политехнический университет.

заседании диссертационного совета Д 002.115.01 при Петербургском институте ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН по адресу: 188300, Ленинградская область, г. Гатчина, Орлова роща, ПИЯФ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПИЯФ РАН.

доктор физико-математических наук, профессор

Соколов Александр Иванович.

Защита состоится " У "

2010 г., в _часов, на

Автореферат разослан " 2,

срнщл 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Митропольский И.А.

Актуальность темы. В последние годы появилась технология создания квазидвумерных наноструктур на основе методики сворачивания двойных слоев СоЛя/Уп^а,.,^. На её основе получены полупроводниковые трубки и скрученные ленты, радиусы и толщины стенок которых контролируются в процессе создания. Большой интерес к этим системам со стороны теоретиков и экспериментаторов [1,2] связан с перспективами их использования в устройствах квантовой электроники. Спиральная симметрия, часто встречающаяся у таких структур, обуславливает наличие интересных физических свойств, имеющих широкие перспективы практического применения. Нарушение Г-инвариантности [3] во внешнем магнитном поле приводит к асимметрии их электронного спектра по скорости электрона V. Неравенство Е(\) ^ Е(-\) приводит к возникновению специфических особенностей транспортных и магнитных свойств [4,5], а также ряда магнитооптических эффектов [6].

Очевидно, что разработка устройств на базе полупроводниковых трубок возможна только после детального теоретического исследования их электронных свойств. Следует отметить, что число точно решаемых теоретических моделей нанотрубок очень ограничено, причем используемые в настоящее время модели не отражают в полной мере спиральную симметрию реальных структур.

Цель работы заключается в теоретическом исследовании транспортных, магнитных и оптических свойств электронного газа на поверхности нанотрубки, спиральная симметрия которой обусловлена наличием границ раздела. В исследовании ставились следующие задачи:

1. Построить модель, позволяющую получить аналитические формулы для электронного спектра и волновых функций нанотрубки.

2. Исследовать баллистический транспорт через нанотрубку и магнитные эффекты, возникающие при протекании баллистического тока.

3. Произвести расчет равновесного магнитного момента электронного газа и исследовать влияние на него параметров трубки.

4. Исследовать поглощение падающего на трубку линейно-поляризованного излучения и магнитоиндуцированный линейный фотогальванический эффект.

Методы исследования. Для получения электронного спектра использован метод решения уравнения Шредингера в неортогональной системе координат, аналогичный разработанному в [7] для изогнутых квантовых проволок. При рассмотрении баллистического транспорта и связанного с ним магнетизма используется формализм Ландауэра-Бьюттикера [8]. Оптическое поглощение и линейный фотогальванический эффект (ЛФГЭ) при малой мощности излучения исследованы с использованием формализма Кубо в приближении постоянного времени релаксации. Расчет ЛФГЭ при большой мощности излучения производится с помощью метода точной диагонализации гамильтониана с включенными в него резонансными членами электрон-фотонного взаимодействия [9]. Научная новизна:

1. Построена теоретическая модель, позволяющая описать цилиндрические структуры со спиральной симметрией - нанотрубку и спиральную ленту. Спиральная симметрия модели достигается введением в гамильтониан протяженного спирального дельта-потенциала.

2. Показано, что протекание по трубке баллистического тока сопровождается появлением индуцированного магнитного момента. Получены аналитические выражения, определяющие баллистический кондак-танс и индуцированный момент как явные функции параметров трубки.

3. Показано, что в зависимости от амплитуды спирального потенциала равновесный магнитный момент трубки может быть как гладкой функцией магнитного потока, так и иметь изломы. Получено аналитическое выражение для магнитного момента в пределе большой амплитуды потенциала.

4. Показано, что при большом спиральном потенциале поглощение нанотрубкой продольно-поляризованного излучения происходит на дискретных частотах, определяемых радиусом трубки и периодом спирали. При малой амплитуде потенциала спектр поглощения сплошной.

5. Исследован магнитоиндуцированный линейный фотогальванический эффект. Получены аналитические формулы для стационарного фототока при малой и высокой мощности падающего излучения. Определена связь характеристик тока с параметрами нанотрубки. Практическая значимость работы

1. Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными может дать ценную информацию о геометрических параметрах цилиндрических структур со спиральной симметрией, их электронном спектре, эффективной массе и времени релаксации импульса электронов в них.

2. Результаты расчетов могут быть применены для исследования влияния спиральной симметрии на магнитные, транспортные и оптические свойства нанотрубок и лент на основе СаА$ 1.

3. На основе оптических эффектов, рассмотренных в данной работе, возможно создание различных приборов оптоэлектроники. Основные положения.выносимые на защиту

1. Электронный спектр нанотрубки со спиральной симметрией представляется суммой двух слагаемых, одно из которых — квадратичная функция импульса движения электрона по спирали, а другое - осциллирующая функция этого импульса и магнитного потока через сечение цилиндра. При магнитном потоке, не равном целому или полуцелому числу квантов, дисперсионная кривая имеет асимметричный вид.

2. Баллистический кондактанс нанотрубки со спиральной симметрией является немонотонной функцией химического потенциала системы. Величина кондактанса трубки ограничена сверху кондактансом квантового цилиндра, а снизу - кондактансом спиральной ленты.

3. Баллистический ток при большой амплитуде спирального потенциала не зависит от магнитного потока, но его циркулярная компонента является осциллирующей функцией потока.

4. Равновесный магнитный момент трубки при большой амплитуде спирального потенциала является гладкой функцией магнитного потока и зависит от амплитуды спирального потенциала гиперболически.

5. Форма пиков поглощения продольно-поляризованного излучения определяется плотностью электронных состояний. При больших значениях спирального потенциала максимумы поглощения, соответствующие переходам между разными парами подзон, разнесены по частоте, при этом пики поглощения имеют лоренцевскую форму.

6. Фотогальванический ток является осциллирующей функцией уровня Ферми. При малой мощности излучения максимальную интенсивность имеют лоренцевские пики тока, обусловленные электронными переходами между соседними подзонами. При высокой мощности интенсивность всех пиков тока одного порядка, а ширина их определяется матричным элементом оператора электрон-фотонного взаимодействия. Апробация работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [AI-All], а также докладывались на V11-1X Всероссийских молодежных конференциях по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург, 2006-2008), на V, VI и VIII Всероссийских молодежных школах «Материалы нано-, микро-, опто-электроники и волоконной оптики: физические свойства и применение» (Саранск, 2005, 2006, 2008) и Международном форуме по нанотехноло-гиям Rusnanotech-08 (Москва, 2008).

Личный вклад автора в работу заключается в разработке модели, решении поставленных задач и в интерпретации полученных результатов.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 132 наименований, содержит 120 страниц текста, включая 36 рисунков и одну таблицу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются задачи исследования, приводятся методы исследования, описываются основные результаты, полученные в диссертации.

Глава 1 представляет собой литературный обзор наиболее важных работ, сделанных в области исследования. Рассматриваются основные подходы к моделированию наноструктур со сложной геометрией. Описываются методы и результаты исследований баллистического транспорта, магнитных и оптических свойств различных моделей нано-трубок, а также квантовых проволок,имеющих спиральную симметрию.

Глава 2 посвящена описанию модели нанотрубки, получению электронного спектра и волновых функций. Трубка моделируется цилиндром радиуса Я с бесконечно тонкими стенками, на поверхности которого на 20 электроны действует потенциал, имеющий спиральную симметрию. Потенциал имеет вид навитого на поверхность цилиндра протяженного д -потенциала амплитуды У0 с периодом Тг по оси системы (Рис. 1). Вдоль оси трубки направлено однородное магнитное поле В.

При У0 = 0 модель переходит в известную модель квантового цилиндра. В пределе бесконечной амплитуды барьера туннелирование электронов через него невозможно, и модель соответствует уже реализованной в эксперименте квазидвумерной спиральной ленте на основе /я08<7а02Л.у/6а/4$ [1]. Общий случай конечной амплитуды ¿-потенциала соответствует нанотрубке. Барьер конечной высоты экспериментально может быть реализован, например, при механическом контакте витков спиральной ленты.

Рис. 1. Квантовый цилиндр с навитым на поверхность спиральным 6-потенциалом. Магнитное поле В направлено вдоль оси цилиндра

Одноэлектронный гамильтониан данной системы имеет вид

N24

2т

т+л

гдг) Я2

( д Ф —+—

0<Р Фо/

0)

Здесь т - эффективная масса электрона, Ф = пКгВ - поток магнитного поля через поперечное сечение цилиндра, Ф0 - квант потока, а соответствует волновому вектору спирали: \а\ = 2л/Т!У изменение направления вращения спирали соответствует смене знака а. Гамильтониан (1) коммутирует с оператором импульса движения по спирали К, который имеет следующий вид:

я я

(2)

¡дг ¡д(р

Спектр гамильтониана (1) находим, перейдя в систему координат, соответствующую симметрии задачи. Спектр имеет вид

« (к Ф" 2 «гЛ2А„21

= £ у --1-- +--^

< фо; Г 4J

(3)

/г

-, т = 1, 2...- нумерует подзоны, к - собствен-

0 • п а

.здесь е = —г-г-, у = — , , 2т Я2 1+а Я

ное значение оператора (2). Числа Д„- осциллирующие функции Ф/Ф0 и к ищутся как решения трансцендентного уравнения. Амплитуда их ос-

цилляций определяется безразмерным эффективным потенциалом V:

V --

I

1 +а1И2 е

Для Д,„ с номерами от, меньшими целой части V, получено приближенное аналитическое выражение:

II 1 I я

■ т\ 1--+—сое

4V ) 4У

2 щ

к Ф — + —

а Ф,

о /

' о Ф ' -2л — + лт

(5)

При потоке, не равном целому или полуцелому числу квантов, спектр нанотрубки асимметричен (Рис. 2Ь). Спектр спиральной ленты, соответствующий V - со, как видно из (3) и (5), имеет параболический вид.

Модель (1) можно обобщить на случай нескольких ¿-потенциалов, или прямоугольного потенциала конечной ширины, навитого в виде спирали на поверхность цилиндра. Эти модели являются аналитически решаемыми, но требуют намного более громоздких расчетов. В работе рассмотрен широкий барьер бесконечной высоты, соответствующий спиральной ленте, витки которой пространственно разделены щелью с угловой шириной %. Числа Ат этой системы даются выражением

Ьа=т1{\-%12п). (6)

При <р0 - 2л- (3) и (6) дают спектр одномерной спиральной проволоки [7].

-4 -2 О к1а

Рис. 2. Спектр при V — 4 (сплошная линия), V = со (пунктир).

а)Ф/Ф0=О; Ь)Ф/Ф0=1.3

В Главе 3 рассматривается баллистический кондактанс и орбитальный магнитный момент системы.

Раздел 3.1 посвящен баллистическому транспорту через нано-трубку. При Т = 0 в отсутствие рассеяния баллистический кондактанс системы определяется следующим выражением:

(7)

2

Здесь С0=2е/И - квант кондактанса, И- число точек пересечения уровня Ферми электронной подсистемы и подзон спектра (3). Поскольку N — четное число, кондактанс всегда равен целому числу квантов.

Наличие локальных минимумов и максимумов энергии на подзонах электронного спектра приводит к немонотонной зависимости кондактанса трубки от величины химического потенциала ц электронной подсистемы (Рис. 3). Обычная лестничная зависимость (?(//) имеет место только в предельных случаях квантового цилиндра и спиральной ленты.

Из вида электронного спектра (3) следует, что при конечном значении амплитуды спирального потенциала величина кондактанса трубки ограничена снизу значением кондактанса спиральной ленты, а сверху -кондактансом квантового цилиндра.

14 ; ю д

(0 1

еГ ( л \

<5 « : 1 п (V-"' .....

2 г____! —г

Л 1 « ' ) 1 ■ ' . * . ' , 1 : ' , ' . : !....... . , , ....... .

О К 16 24 32 О И 16 32 40

2цт*;'Ь2а2 2цт*/1га2

Рис. 3. Баллистический кондактанс при а Я = \1о.5 Ф/Фо =0. а) V = 0 (сплошная линия) и V = оо (штриховая); Ь) V = 3 (сплошная линия) и V = 30 (штриховая)

В Разделе 3.2 рассмотрен равновесный магнитный момент трубки Мд. Расчет производится при постоянном химическом потенциале электронного газа. Показано, что Ма не зависит от направления вращения спирали и меняет знак при изменении направления магнитного поля. Из свойств спектра следует, что М0 - периодическая функция потока, причем на периоде 0 < Ф/Ф0 < 1 он является нечетной функцией (Рис. 4).

В отличие от квантового цилиндра [10], равновесный момент трубки со спиральной симметрией при Т~0 может иметь более двух особенностей-изломов как функция Ф/Ф„ на единичном периоде. Изломы обусловлены пересечениями уровнем Ферми локальных экстремумов энергии. В общем случае количество изломов и нулей А/0 сложным образом зависит от положения Ер, периода спирали и величины V. При больших значениях V экстремумы энергии на подзонах исчезают и момент становится гладкой функцией (Рис.4). При V »1 для момента единицы длины трубки получено аналитическое выражение:

М0 = -^©(¿;,Н)15т(2*Ф/Ф0), (8)

где цв'=еЫ2тс- эффективный магнетон Бора, ,|аЛ|)- функция, зависящая от положения уровня Ферми и периода спирали.

Ф/Ф0

Рис. 4. Равновесный магнитный момент при ЕГ1 е =56, а2/?2 = 1.1. Номеру кривой N = 1, 2, 3,4 соответствует значение спирального потенциала V = ЗОЛ'

В Разделе 3.3 рассматривается магнитный момент трубки М,, индуцированный баллистическим током. М, пропорционален циркулярной компоненте тока, существование которой обусловлено спиральной симметрией системы. Индуцированный момент ищется как добавка к равновесному моменту, возникающая вследствие наличия разности потенциалов и между электронными резервуарами, которые соединяет трубка.

При нулевой температуре М, как функция Ф/Ф0 имеет особенности при тех же значениях потока, которые соответствуют скачкам баллистического кондактанса и изломам равновесного момента. Особенности представляют собой сочетание излома и скачка (Рис. 5).

На единичном периоде по потоку М, является четной функцией, при смене направления вращения спирали меняет знак. С ростом V, по достижении некоторого значения Ус = Ус{Ег ,аК) М, становится гладкой функцией магнитного потока аналогично равновесному моменту.

Б»

ф/фп

ф/ф0

Рис. 5. а) Баллистический ток, протекающий по трубке при Я = 0.1 мкм, аИ = 1.1, £/. = 56е', V = 10. Ь) Магнитный момент единицы длины, обусловленный током

Интересно, что полный ток при V > Ус от потока не зависит. Зависимость индуктивности в баллистическом режиме \-. = М,11 от внешнего магнитного потока является специфической особенностью квантового соленоида, которым является нанотрубка со спиральной симметрией.

При V »1 найдено явное выражение для момента М,:

М, = М?ь + МЧ ,

где

е' Аж

(10)

Здесь М',иь— индуцированный момент спиральной ленты, т,- число подзон спектра ленты, пересекающих уровень Ферми, , |аЛ|) -

функция, зависящая от уровня Ферми и периода спирали.

В Главе 4 рассмотрено внутризонное поглощение оптического излучения, плоскость поляризации которого лежит вдоль оси трубки.

В Разделе 4.1 рассматривается поглощение падающего излучения. В расчетах используется приближение постоянного времени релаксации импульса электрона г. Найдены матричные элементы оператора возмущения, из вида которых следует, что вынужденные электронные переходы вертикальны - происходят без изменения значения к.

Поглощаемую мощность IV можно представить как сумму парциальных мощностей Штп, соответствующих поглощению при переходах электронов из /я-й подзоны в п-ю. В пределе спиральной ленты электронные переходы возможны только между подзонами с номерами разной четности и максимумы поглощения соответствуют частотам из ряда

где а>0 = е /Л, N = 1,2... При этом 1Утп как функция частоты представляется функцией Лоренца. В большинстве случаев каждая частота из ряда (11) соответствует переходам между одной парой подзон. Из полученных аналитических выражений следует, что наибольшую интенсивность

(П)

имеют пики поглощения, соответствующие переходам между соседними подзонами (Рис. 6а).

Поглощением, обусловленным переходами между подзонами одной четности, можно пренебречь и для трубки при любом V. Пики поглощения в случае конечного V имеют характерную двугорбую форму (Рис. 6Ь). Максимумы 1Ут„ соответствуют переходам электронов между состояниями вблизи локальных экстремумов энергии и обусловлены повышенной плотностью электронных состояний на этих участках спектра (3). Влияние магнитного поля сводится к изменению относительной интенсивности максимумов 1УШ1.

При уменьшении У экстремумы энергии на соседних подзонах сближаются, что приводит к слиянию всех пиков поглощения в один, амплитуда которого уменьшается при стремлении V к нулю.

25

.<=15

Рис. 6. Мощность поглощаемая на единице длины трубки, а) V = 300; Ь) У = 30. №0=Ъе'Е02Н/Н, «Я=2,Ф/Ф0 = 0.33,Л = 0.05мкм, г = 10""с,£/, =2.5 мэВ. Первые три пика соответствуют Следующие - 1У25, соответственно

Раздел 4.2 посвящен рассмотрению магнитоиндуцированного линейного фотогальванического эффекта (ЛФГЭ). Эффект состоит в появлении постоянного тока в системе при поглощении падающего излучения. Необходимым условием существования тока является магнитное поле, обеспечивающее невыполнение принципа детального равновесия в электронной подсистеме при наличии оптического возмущения [6, 11].

При малой интенсивности излучения фототок является откликом второго порядка по электрическому полю и ищется как постоянная по времени часть оператора тока вдоль оси трубки. Для упрощения расчетов используем результаты предыдущего раздела, из которых следует, что области поглощения, соответствующие различным парам подзон т и п, слабо перекрываются при достаточно большом значении V и периоде спирали порядка радиуса трубки. Это позволяет искать ток, ограничившись двумя подзонами, связанными возмущением. Парциальный ток /„„ в системе из подзон тип представим в виде суммы «диагонального» и «недиагонального» токов:

Недиагональный вклад мал и приводит лишь к слабому искажению формы линии тока. При Т=0 и V »1 получено явное выражение тока 1тп через параметры трубки. Основной вклад в ток при этом имеет вид:

(12)

где

г-= (-!)- ^ (*2 + "'г)

кт„=зт(2лгКтк'ь)-вт(2лгК;'ь).

Здесь

[£, а2 К2 т2 уе у2 4

Частота сопт принимает значения (11). Амплитуда тока, как следует из (14) и (15), осциллирует как функция уровня Ферми. Направление тока определяется величиной ЕР и номерами подзон тип (Рис.7).

Рис. 7. Фототек. Л = 0.05 мкм, аЛ =2, V = 60, Е,.- = 2.5 мэВ, Ф / Ф0 = 0.3

В Разделе 4.3 рассматривается ЛФГЭ в сильном поле, когда частота вынужденных переходов между подзонами много больше обратного времени релаксации 1/г. В этом случае взаимодействие с излучением не является малым возмущением. Переходя к квазичастичному представлению, производим диагонализацию гамильтониана с включенными в него членами электрон-фотонного взаимодействия. При этом получаем точное выражение для парциального тока при Т = 0. Аналогично предыдущему разделу при V » 1 фототок представляется в виде явной функции параметров трубки (обозначения аналогичны (14) и (15)):

о

10

20

30

ю/ю0

Аил ~

(16)

4 еЕ0 тп лтса (т - п)(т + п)'

Ширина линии парциального тока /шп при сильном излучении зависит от номеров соответствующих подзон. Наиболее широкие пики соответствуют соседним подзонам, поскольку в этом случае максимален матричный элемент возмущения Ят. Вблизи резонанса знаменатель и числитель (16) в значительной мере компенсируют друг друга, благодаря чему интенсивность всех парциальных токов одного порядка. Зависимость Атп от частоты приводит также к искажению лоренцевской формы тока, имеющей место в слабом поле (Рис. 8).

С0/(00

Рис.8. Фототок при сильном излучении. 1=5-10}Вт/сМ*, Я = 0.05мкм, К=80, Ф/Ф0 = 0,2, аЯ = 6.5, Ег = 17 мэВ, т = 0.067т0, т0 -масса электрона, /0 = 8 • 10"6 Л

Заключение содержит основные результаты диссертационной работы:

1. Построена модель, позволяющая найти аналитические выражения для электронного спектра трубки и двумерной ленты со спиральной симметрией.

2. Исследован баллистический транспорт через нанотрубку со спиральной симметрией. Показано, что баллистический кондактанс является немонотонной функцией химического потенциала системы, найдены его предельно возможные значения при заданном химическом потенциале.

3. Показано, что при большой амплитуде спирального потенциала равновесный магнитный момент трубки является гладкой функцией магнитного потока, а при малой - имеет изломы. Найдено аналитическое выражение для момента при больших значениях потенциала.

4. Изучено влияние параметров спирального потенциала и внешнего магнитного поля на характер резонансного поглощения продольно-поляризованного излучения нанотрубкой со спиральной симметрией.

5. Исследован магнитоиндуцированный фотогальванический эффект. Получены аналитические формулы для стационарного тока. Показано, что основной вклад в ток при малой мощности излучения дают переходы между соседними подзонами спектра. При высокой мощности излучения пики фототока, соответствующие переходам между соседними подзонами, имеют наибольшую ширину.

В Приложении А вычислены нормировочные коэффициенты волновых функций и матричные элементы оператора продольного импульса.

РАБОТЫ. ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Al. Григорькин А. А., Дунаевский С.М., «Электронный спектр и баллистический транспорт спиральных нанотрубок», ФТТ 49, 557-561 (2007).

А2. Григорькин А. А., Дунаевский С.М., «Магнитный момент нано-

трубки со спиральной симметрией», ФТТ 50, 507-511 (2008). АЗ. Григорькин А. А., Дунаевский С.М., «Оптическое поглощение в нанотрубке со спиральной симметрией», ФТТ 51,403-409 (2009). А4. Григорькин А.А. «Спектр и кондактанс хиральной нанотрубки», Тезисы докладов Седьмой всероссийской молодежной конференции по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике, Санкт-Петербург, 2005, 51-52.

А5. Григорькин A.A. «Хиральная нанотрубка в магнитном поле», Тезисы докладов 2-ой зимней молодежной школы-конференции «Магнитный резонанс и его приложения», Санкт-Петербург, 2005, 42-43.

А6. Григорькин A.A., Дунаевский С.М. «Электронный спектр нано-трубки и тора со спиральной симметрией», Сб. трудов 5-й всероссийской молодежной школы «Материалы нано-, микро-, опто-электроники и волоконной оптики: физические свойства и применение», Саранск, 2006, 21-22.

А7. Григорькин A.A. «Оптические свойства спиральной нанотрубки», Тезисы докладов Восьмой всероссийской молодежной конференции по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике, Санкт-Петербург, 2006, 41-42.

А8. Григорькин A.A., Дунаевский С.М. «Магнитный момент спиральной нанотрубки», Сб. трудов 6-й всероссийской молодежной школы «Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение», Саранск, 2007,23-24.

А9. Григорькин A.A. «Фотогальванический эффект в спиральной нано-трубке», Тезисы докладов Седьмой всероссийской молодежной конференции по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике, Санкт-Петербург, 2007, 35-36.

А10. Григорькин A.A., Дунаевский С.М. «Фотогальванический эффект в нанотрубке со спиральной симметрией», Сб. трудов 8-й всероссийской молодежной школы «Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение», Саранск, 2008, 23-24.

All. Григорькин A.A., Дунаевский С.М. «Магнитоиндуцированный линейный фотогальванический эффект в нанотрубке со спираль-

ной симметрией», Сборник тезисов докладов участников Международного конкурса научных работ молодых ученых в области на-нотехнологий, Москва, 2008, 14-15.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] V.Ya. Prinz, Physika Е 24, 54 (2004).

[2] Ch. Deneke, O.G. Schmidt. Appl. Phys. Lett. 85,2914 (2004).

[3] В.Я. Демиховский, A.A. Перов. Письма в ЖЭТФ 76, 723 (2002).

[4] A.G.Pogosov, M.V. Budantsev, O.V. Kibis, A. Pouydebasque, D.K. Maude, J.C. Portal. Phys. Rev. В 61, 15603 (2000).

[5] O.V. Kibis, Physika E 12, 741-744 (2002).

[6] E. L. Ivchenko, B.Spivak. Phys. Rev. В 66,155404 (2002).

[7] Л. И. Магарилл, М. В. Энтин, ЖЭТФ 123, 867 (2003).

[8] R. Landauer. IBM J.Res. Dev. 1, 223 (1957).

[9] В. M. Галицкий, С.П. Гореславский, В.Ф. Елесин. ЖЭТФ, 57, 207 (1969).

[10] И.И. Чучаев, В.А. Маргулис, A.B. Шорохов, С.Е. Холодова. ФТТ 41, 856 (1999).

[11] В.И. Белинчер, Б.И. Стурман. УФН130,415 (1980) .

Отпечатано в типографии ПИЯФ РАН

188300, Гатчина Ленинградской обл., Орлова роща Зак. 287, тир. 100, уч.-изд. л. 1; 02.08.2010 г.

Введение.

Глава 1 Литературный обзор.

1.1 Электроны в низкоразмерных искривленных наноструктурах

1.2 Баллистический кондактанс

1.3 Магнитный момент

1.4 Оптическое поглощение

1.5 Фотогальванический эффект

Глава 2 Модель нанотрубки со спиральной симметрией.

2.1 Модель нанотрубки

2.2 Электронный спектр.

2.3 Аналитическое выражение для спектра при большой амплитуде спирального потенциала

2.4 Волновая функция

2.5 Спиральная лента

Глава 3 Баллистический транспорт и магнитные свойства нанотрубки.

3.1 Баллистический кондактанс

3.2 Равновесный магнитный момент

3.3 Магнитный момент, обусловленный баллистическим током

Глава 4 Оптическое поглощение.

4.1 Поглощение продольно-поляризованного излучения

4.2 Линейный фотогальванический эффект

4.3 Линейный фотогальванический эффект при высокой мощности излучения

Физические свойства квантовых наноструктур в настоящее время привлекают к себе большое внимание, что обусловлено несколькими причинами. Во-первых, в данной области обнаружен ряд интересных физических явлений, таких как эффект Ааронова-Бома ['], квантование баллистического кондактанса [2], целый [3], дробный [4] и спиновый [5] квантовые эффекты Холла. Это дает надежду обнаружить и другие важные с фундаментальной точки зрения эффекты. Во-вторых теоретические исследования наноструктур стимулируют прогресс электронной инженерии. Некоторые типы наноструктур, такие как сверхрешетки, квантовые ямы, проволоки уже применяются в современных технологиях.

6 7

Считается, что широкое применение в наномеханизмах [ , ] и вычислительной электронике найдут нанотрубки. На их основе сейчас изготавливаются прототипы устройств, применение которых можно ожидать в ближайшем будущем. В 2001 г., был создан первый одноэлектронный транзистор CNFET (Carbon Nanotube Field-Effect Transistors). С тех пор создано несколько различных вариантов подобных устройств, которые могут найти применение в качестве вычислительных элементов компьютеров будущего. В настоящее время уже создан работающий прототип оперативной памяти по технологии NRAM (Nanotube-based Random Access Memory) на основе нанотрубок. Такая память является энергонезависимой и обладает высокой стойкостью к воздействию температуры и магнитных полей.

Перечисленные устройства основаны на использовании углеродных нанотрубок. Однако в последние годы прогресс в наноиженерии сделал возможным создание различных квазидвумерных структур на основе напряженных двойных полупроводниковых слоев GaAs / InxGaxxAs [8,9]. В отличие от углеродных трубок, радиус таких цилиндрических структур может колебаться в широких пределах - от десятков нанометров, до десятков микрометров. Это представляет интерес с точки зрения экспериментальной проверки теоретических расчетов и практических приложений.

У трубок различной природы часто встречается спиральная симметрия, когда ось цилиндра является винтовой осью симметрии. (Углеродные нанотрубки, обладающие спиральной симметрией, называют хиральными.) Ленты и трубки на основе GaAs / InxGa^xAs приобретают спиральную симметрию в ходе сворачивания напряженных слоев. Симметрия существенно влияет на физические характеристики электронного газа в нанотрубках. Так, углеродные трубки в зависимости от симметрии могут проявлять полупроводниковые или металлические свойства [10]. Отмечается, что в трубках и проволоках со спиральной симметрией возможно

11 12 значительное изменение электрон-фононного взаимодействия [ , ].

Особенно сильно на физические свойства электронного газа в структуре, не имеющей центра инверсии, влияет внешнее магнитное поле, которое приводит к возникновению асимметричного по скорости электрона v спектра, когда Е{v) ^ Е{-\). Электронная система с асимметричным спектром обладает необычными свойствами [13].

В связи с этим исследование транспортных, магнитных и оптических свойств цилиндрических наноструктур, не имеющих центра инверсии, представляется актуальной задачей.

Следует отметить, что число точно решаемых моделей квантовых наноструктур очень ограничено. Теоретические исследования электронных свойств систем со сложной геометрией в большинстве своем производятся методами численного моделирования. Однако из-за ограниченности численных расчетов число электронов, рассматриваемое в таких исследованиях обычно мало. Кроме того, численные методы не всегда позволяют выявить физическую природу различных явлений и проанализировать их особенности.

В приложении к электронам в углеродных трубках аналитические результаты получены большей частью при использовании приближения сильной связи [п,14,15]. Моделирование осуществлялось так же с помощью

16 17 метода потенциалов нулевого радиуса [ ] и модели Хаббарда [ ].

Отметим, что известные на сегодняшний день модели, применяемые для описания электронного газа на поверхности полупроводниковых нанотрубок, нанопроволок, и лент либо никак не отражают часто встречающуюся спиральную симметрию структуры, либо не позволяют провести аналитические вычисления спектра и физических свойств электронного газа. В связи с этим возникает задача диссертационного исследования:

Построить модель для описания 2D цилиндрической структуры, обладающей спиральной симметрией, позволяющую получить аналитические формулы для энергетического спектра и волновых функций системы.

Произвести расчет баллистической проводимости, магнитного и электродинамического отклика электронной подсистемы.

Исследовать характер зависимости транспортных, магнитных и оптических свойств электронного газа от геометрических параметров трубки, величины химического потенциала, и внешнего магнитного поля.

В работе используется модель независимых электронов в приближении эффективной массы. Электронные состояния считаются вырожденными по спину, что оправдывается малым значением эффективной массы в структурах на основе GaAs, которые являются основными прототипами рассматриваемой модели. В малых магнитных полях модель независимых электронов является хорошим приближением для реальных квантовых 18 наноструктур П. Кроме того, данная модель способствует пониманию некоторых эффектов и позволяет произвести сравнение с результатами полученными ранее в ряде работ с использованием других подходов.

Перечислим используемые в диссертации методы и подходы. Для получения спектра использовался метод решения уравнения Шредингера в криволинейной неортогональной системе координат, соответствующей симметрии задачи, аналогичный разработанному в работах [19,20] для изогнутых квантовых проволок. При рассмотрении баллистического транспорта, и связанного с ним магнетизма используется формализм о

Ландауэра - Бьюттикера [ ]. Рассмотрение оптического поглощения и линейного фотогальванического эффекта при малой мощности излучения производится с использованием формализма Кубо в приближении постоянного времени релаксации. Оптические эффекты при большой мощности излучения рассматриваются с использованием метода точной диагонализации гамильтониана с включенными в него резонансными 1 членами электрон-фотонного взаимодействия ].

Научная новизна и значимость работы определяется следующими основными результатами теоретического исследования:

1. Построена модель, позволяющая описать цилиндрические наноструктуры со спиральной симметрией: нанотрубку и двумерную ленту. Спиральная симметрия модели обусловлена введением в гамильтониан протяженного спирального дельта - потенциала.

2. Исследован баллистический транспорт через нанотрубку со спиральной симметрией. Показано, что баллистический кондактанс является немонотонной функцией химического потенциала системы.

3. Исследован равновесный магнитный момент нанотрубки. Показано, что в зависимости от амплитуды спирального потенциала он может быть как гладкой функцией магнитного потока, так и иметь изломы. Получено аналитическое выражение для магнитного момента трубки в пределе больших значений амплитуды спирального потенциала.

4. Изучено поглощение продольно поляризованного оптического излучения нанотрубкой со спиральной симметрией. Показано, что оно носит резонансный характер. Изучено влияние амплитуды спирального потенциала и внешнего магнитного поля на характер поглощения.

5. Рассмотрен магнитоиндуцированный линейный фотогальванический эффект. Получены аналитические формулы для индуцированного стационарного тока при малой и высокой мощности падающего излучения.

Характеризуя практическую значимость работы нужно отметить следующие моменты:

1. Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными может дать ценную информацию о геометрических параметрах цилиндрических структур со спиральной симметрией, их электронном спектре, эффективной массе и времени релаксации импульса электронов.

2. Результаты расчетов могут быть применены для исследования влияния спиральной симметрии на магнитные, транспортные и оптические свойства нанотрубок и нанолент на основе двойных слоев GaAs / InxGaxxAs.

3. На основе оптических эффектов, рассмотренных в данной работе, возможно создание различных приборов оптоэлектроники.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [А1 —All], а так же докладывались на VII, VIII, IX Всероссийской молодежной конференции по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург, 2006 г., 2007 г., 2008 г.), на V, VI Всероссийской молодежной школе «Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение» (Саранск, 2005 г., 2006 г., 2008 г.) и Международном форуме по нанотехнологиям Rusnanotech 08 (Москва 2008 г.).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Энергетический спектр электронов на поверхности нанотрубки со спиральной симметрией представляется суммой двух слагаемых, одно из которых является квадратичной функцией импульса движения электрона по спирали, а другое - осциллирующей функцией этого импульса и магнитного потока через сечение цилиндра. Амплитуда и период осцилляций энергии определяются параметрами спирального потенциала. При магнитном потоке, не равном целому или полуцелому числу квантов, спектр имеет асимметричный вид.

2. Баллистический кондактанс нанотрубки со спиральной симметрией является немонотонной функцией химического потенциала системы. Величина кондактанса нанотрубки ограничена сверху баллистическим кондактансом квантового цилиндра, а снизу — кондактансом спиральной ленты.

3. Циркулярная компонента баллистического тока при большой амплитуде спирального потенциала является осциллирующей функцией магнитного потока. При этом полный ток через нанотрубку, от магнитного потока не зависит.

4. При большой амплитуде спирального потенциала равновесный магнитный момент нанотрубки является гладкой функцией магнитного потока, а его величина обратно пропорциональна амплитуде спирального потенциала.

5. Основной вклад в линейный фотогальванический эффект при"малой мощности падающего излучения дают электронные переходы между соседними подзонами спектра. При высокой мощности излучения интенсивность всех пиков парциальных токов одного порядка. При большой амплитуде спирального потенциала парциальный фотогальванический ток как функция частоты представляется функцией Лоренца от частоты.

Личный вклад автора в работу заключается в разработке модели, решении поставленных задач и в интерпретации полученных результатов. Численный анализ произведен автором самостоятельно.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. В Главе 1 дан литературный обзор наиболее важных работ, посвященных исследованиям физических свойств нанотрубок, квантовых колец, проволок и других квазиодномерных и квазидвумерных наноструктур. В Главе 2 получены электронный спектр и волновые функции в общем случае модели нанотрубки и рассмотрены частные случаи модели, соответствующие большому значению амплитуды спирального потенциала и спиральной ленте.

Заключение

В диссертации произведено исследование транспортных, магнитных и оптических свойств двумерного электронного газа на поверхности нанотрубки, обладающей спиральной симметрией. В работе получены следующие основные результаты:

1. Построена модель, позволяющая найти аналитические выражения для электронного спектра нанотрубки со спиральной симметрией. В предельных случаях бесконечно большой амплитуды спирального потенциала модель пригодна для описания квазидвумерной спиральной ленты и квазиодномерной спиральной проволоки.

2. Исследован баллистический транспорт через нанотрубку со спиральной симметрией. Показано, что баллистический кондактанс является немонотонной функцией химического потенциала системы, найдены предельно возможные значения кондактанса при заданном химическом потенциале системы.

3. Исследован равновесный магнитный момент трубки и магнитный момент, обусловленный баллистическим током. Показано, что при нулевой температуре и большой амплитуде спирального потенциала оба момента являются гладкими функциями магнитного потока, а при малой амплитуде имеют особенности. В пределе больших значений амплитуды спирального потенциала получены аналитические выражения для равновесного и индуцированного током моментов.

4. Изучено поглощение продольно поляризованного оптического излучения нанотрубкой со спиральной симметрией. Показано, что поглощение имеет резонансный характер. Изучено влияние параметров спирального потенциала и внешнего магнитного поля на интенсивность и частоты поглощения. Показано, что форма линии поглощения определяется плотностью электронных состояний.

5. Исследован магнитоиндуцированный линейный фотогальванический эффект. Получены аналитические формулы для индуцированного стационарного тока. Показано, что при большом значении спирального потенциала наибольшую интенсивность имеют пики фототока, обусловленные переходами между соседними подзонами электронного спектра. Число основных пиков тока равно числу подзон, пересекаемых уровнем Ферми.

6. Рассмотрен линейный фотогальванический эффект при высокой мощности падающего излучения. Показано, что при высокой мощности излучения интенсивность всех пиков фототока одного порядка. При этом пики фототока, соответствующие переходам между соседними подзонами электронного спектра, имеют наибольшую ширину.

1. Aharonov У., Bohm D. Phys. Rev. 115, 485-491, (1959). "Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory".

2. Buttiker M. Phys. Rev. Lett 57, 1761-1764, (1986). "Four-Terminal Phase-Coherent Conductance".

3. Von Klitzing K., Dorda G., Pepper M. Phys. Rev. Lett 45, 494-497, (1980). "New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance".

4. Laughlin R.B. Phys. Rev. Lett. 50, 1395-1398, (1983). "Anomalous Quantum Hall Effect: An Incompressible Quantum Fluid with Fractionally Charged Excitations".

5. E.M. Chudnovsky, Phys. Rev. Lett. 99, 206601-206604, (2007). "Theoryy of Spin Hall Effect Extension of the Drude Model".

6. P.Krai, H.R.Sadeghpour, Phys. Rev. В 65, 161401-161404, (2002), "Laser spinning of nanotubes: A path to fast rotating microdevices".

7. Ю.Е. Лозовик, A.M. Попов УФН 177, 786-799, (2007). "Свойства и нанотехнологические применения нанотрубок" .о

8. V.Ya. Prinz, Physika Е 24, 54-62, (2004). "Precise semiconductor nanotubes and nanocorrugated quantum systems ".

9. Cristoph Deneke. "Aufgerollte Nanorohren auf III-V Halbleiterbasis". Max-Plank -Institut fur Festkorperforschung, Stuttgart 2005 r.

10. R. Saito, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus, Phys. Rev. В 50, 14698-14701, (1994). "Magnetic energy bands of carbon nanotubes".

11. O.B. Кибис, 43, 2237-2243, (2001). "Особенности электрон-фононного взаимодействия в нанотрубках с хиральной симметрией в магнитном поле".

12. О.В. Кибис, ФТП 33, 1232-1234, (1999). "Влияние конфигурации квантовой проволоки на электрон-фононное взаимодействие".

13. В .Я. Демиховский, А.А. Перов. Письма в ЖЭТФ 76, 723-728, (2002). "Магнитные блоховские состояния и холловская проводимость двумерного электронного газа в периодическом потенциале без центра инверсии".

14. O.V. Kibis, Physika E 12, 741-744, (2002). "Electronic phenomena in chiral carbon nanotubes ib the presence of a magnetic field".

15. C.C. Савинский, A.B. Белослудцев. ФТТ 46, 1333-1338, (2004). "Кондактанс однослойной углеродной нанотрубки в однопараметрической модели сильной связи".

16. В.А. Гейлер, О.Г. Костров, В.А. Маргулис. ФТТ 44, 449-451, (2002). "Плотность состояний для углеродных нанотрубок в однородном магнитном поле".

17. X. Wan, J.Dong, D.Y. Xing, Phys. Rev.В 58, 6756-6759, (1998). "Optical properties of carbon nanotubes".

18. T. Chakrabotry, P. Pietilainen. Phys. Rev. B. 50, 8460-8468, (1994). "Electron-electron interaction and the persistent current in a quantum ring".

19. Л.И. Магарилл, Д.А. Романов, A.B. Чаплик. Письма в ЖЭТФ 64, 421-426, (1996). "Кинетика двумерных электронов на искривленной поверхности".

20. Л.И. Магарилл, М.В. Энтин. ЖЭТФ 123, 867-876, (2003). "Электроны в криволинейной квантовой проволоке".21

21. В. М. Галицкий, В.Ф. Елесин. Резонансное взаимодействие электромагнитных полей с полупроводниками. Энергоатомиздат. 1986 192 с.

22. И.О. Кулик. Письма в ЖЭТФ 11, 407-410 (1970). "Квантование потока в нормальном металле".

23. Л. И. Магарилл, Д.А. Романов, А.В. Чаплик. ЖЭТФ 113, 1411-1428, (1998). "Баллистический транспорт двумерных электронов на цилиндрической поверхности".

24. Л. И. Магарилл, Д.А. Романов, А.В. Чаплик, ЖЭТФ 110, 669-678, (1996). "Энергетический спектр электронов и незатухающий ток (persistent current) в эллиптическом квантовом кольце".

25. R.C.T. da Costa. Phys. Rev. A 23, 1982-1987, (1981) "Quantum mechanics of a constrained particle".

26. Л. И. Магарилл, Д.А. Романов, A.B. Чаплик. УФН 170, 325-327, (2000). "Низкоразмерные электроны в криволинейных наноструктурах".

27. D.N. Aristov. Phys. Rev. В 59, 6368-6372, (1999). "Metallic nanosphere in a magnetic field: An exact solution".

28. D.N. Aristov, Письма в ЖЭТФ 70, 405-409, (1999). "Landau quantization and equatorial states on a surface of a nanosphere".

29. H. Aoki, Suezava H., Phys. Rev. A 46, 1163-1166, (1992). "Landau quantization of electrons on a sphere ".

30. Bulaev D.V., Geyler V.A., Margulis V.A. Physika В 337, 180-185, (2003). "Quantum Hall effect on the Lobachevsky plane".

31. Ali Mostafazadeh, Phys. Rev. A 54, 1165-1170, (1996). "Scalar curvature factor in the Schrodinger equation and scattering on a curved surface".

32. В.Я. Демиховский, Г.А. Вугальтер. Физика квантовых низкоразмерных структур, М. Логос (2000)- 248 с.

33. M.V.Entin, L.I. Magarill. Phys. Rev. В 64, 085330-1 085330-5, (2001) "Spin-orbit interaction of electrons on a curved surface".

34. M.V.Entin, L.I. Magarill. Phys. Rev. В 66, 205308-1 205308-5, (2002). " Electron in a twisted quantum wire".

35. В. В. Белов, С.Ю. Доброхотов, В.П. Маслов, УФН 175, 1004-1010, (2005). "Обобщенный адиабатический принцип для описания динамики электрона в искривленных наноструктурах".

36. R. Landauer. IBM J. Res. Dev., 1, 223-231, (1957). "Spatial Variation of Currents and Fields Due to Localized Scatterers in Metallic Conduction".

37. R. Landauer. IBM J. Res. Dev., 32, 306-316 (1988). "Coherent and sequential tunneling in series barriers".

38. P. W. Anderson. Phys. Rev. В 23, 4828-4836, (1981). "New method for scaling theory of localization. II. Multichannel theory of a "wire" and possible extension to higher dimensionality".

39. Lee P.A., Fisher D.S. Phys. Rev. Lett, 47,882-885, (1981). "Anderson Localization in Two Dimensions".

40. Langreth D.C., Abrahams E. Phys. Rev. В 24, 2978-2984, (1981). "Anderson Localization in Two Dimensions".

41. Buttiker M ., Imry Y., Landauer R. Pinhas S. Phys. Rev. В 31, 6207-6215, (1985) "Generalized many-channel conductance formula with application to small rings".

42. Datta S. Electronic transport in mesoscopik systems.-Cambridge Univ. Press. 2002.

43. Van Wees B. J., van Houten H.5 Beenaker C.W. Williamson J. G., Kouwen-hoven L. P. van der Marel D., Foxon C.T. Phys. Rev. Lett 60, 848-850, (1988). "Quantized conductance of point contacts in a two-dimensional electron gas".

44. Fertig H.A., Halperin B.I. Phys. Rev. В 36, 7969-7976, (1987). "Transmission coefficient of an electron through a saddle-point potential in a magnetic field".

45. Buttiker M. Phys. Rev. В 41, 7906-7909, (1990). "Quantized transmission of a saddle-point constriction".

46. Bogachek E.N., Scherbakov A.G., Landman U. Phys. Rev. В 62, 10467-10473, (2000). "Magnetocohesion of nanowires".

47. Гейлер B.A., Маргулис B.A. ЖЭТФ 113, 1376-1382, (1998) "Проводимость квантовой проволоки в продольном магнитном поле".

48. Geyler Y.A., Margulis V.A., Physica Е 4, 128-131,(1999). "Ballistic transport in a quantum wire with a noncircular cross-section".

49. Geyler Y.A., Margulis V.A. Phys. Rev. В 61, 1716-1719, (2000). "Quantization of the conductance of a three-dimensional quantum wire in the presence of a magnetic field".

50. Leng M., Lent C.S. Phys. Rev. В 50, 10823-10833, (1994). "Conductance quantization in a periodically modulated channel".

51. Nicolic K., Sordan R. Phys. Rev. В 58, 9631-9634 (1998) "Electronic transport in quantum waveguide systems with attached stubs".

52. Nikolic K., MacKinnon A. Phys. Rev. В 50, 11008-11017, (1994). "Conductance and conductance fluctuations of narrow disordered quantum wires".

53. M. Okamoto, T. Uda, K. Takayanagi. Phys. Rev. В 64, 033303-033306, (2001). "Cuantum conductance of helical nanowires".

54. Chaplik A.Y., Magarill L.I., Romanov D.A., Physika B, 249-251, 377-382, (1998). "Effect of curvature of a 2D electron sheet on the ballistic conductance and spin-orbit interaction".

55. Frank S., Poncharal P., Wang Z. L., de Heer W. A. Science, V.280. 1744-1746, (1998). "Carbon Nanotube Quantum Resistors".

56. Kim J., Kim J.-R.,.Lee Jeong-O., Park J. W., So H.M. Kim N., Kang K., Yoo K.-H., Kim J.-J., Phys. Rev. Lett 90,166403-166406,(2003). "Fano Resonance in Crossed Carbon Nanotubes".

57. Babic В., Schronenberger C. Phys. Rev.B 70, 195408-195414,(2004). "Observation of Fano resonances in single-wall carbon nanotubes".

58. Kasumov A., Kociak M., Ferrier M., Deblock R., Gueron S., Reulet В., Khodos I., Stephan O., Bouchiat H., Phys. Rev. В 68, 214521-214536, (2003). "Quantum transport through carbon nanotubes: Proximity-induced and intrinsic superconductivity"

59. Javey A., Guo J., Paulsson M., Wang Q., Mann D., Lundstrom M., Dai H. Phys. Rev. Lett 92, 106804-106807,(2004). "High-Field Quasiballistic Transport in Short Carbon Nanotubes".

60. Yao Z., Kane C.L., Dekker C. Phys. Rev.Lett 84, 2941-2944, (2000). "High-Field Electrical Transport in Single-Wall Carbon Nanotubes"

61. Nardelli M. B. Phys. Rev. В 60, 7828-7833, (1999). "Electronic transport in extended systems: Application to carbon nanotubes".

62. M.P. Anantram, T.R. Govindan. Phys. Rev. В 61, 5020-5025, (2000). "Transmission through carbon nanotubes with polyhedral caps"

63. Sanvito S., Kwon Y.-K., Tomanek D., Lambert C.J. Phys. Rev. Lett 84, 19741977, (2000). "Fractional Quantum Conductance in Carbon Nanotubes".

64. Kong J, Yenilmez E., Tombler T.W. Kim W., Dai H., Laughlin R.B., Phys. Rev. Lett 87, 106801-106804, (2001). "Quantum Interference and Ballistic Transmission in Nanotube Electron Waveguides".

65. Bachtold A., Fuhrer M. S. , Plyasunov S., Forero M., Anderson E. H., Zettl A., McEuen P.L. Phys. Rev. Lett 84, 6082-6085, (2000). "Scanned Probe Microscopy of Electronic Transport in Carbon Nanotubes".

66. Yaish Y., Park J.-Y., Rosenblatt S., Sazonova V., Brink M., McEuen P.L., Phys. Rev. Lett 92, 046401-046404, (2004). "Electrical Nanoprobing of Semiconducting Carbon Nanotubes Using an Atomic Force Microscope".

67. J.-C. Charlier, X. Blase, S. Roche. Reviews of modern physics 79, 677-732 "Electronic and transport properties of nanotubes".

68. Chibotaru L.F., Compernolle S., Ceulemans A. Phys. Rev. В 68, 125412125432, (2003). "Electron transmission through atom-contacted carbon nanotubes"

69. И.И. Чучаев, В.А. Маргулис, А.В. Шорохов, С.Е. Холодова. ФТТ 41, 856858, (1999). "Магнитный момент квантового цилиндра".

70. Л. И. Магарилл, А.В. Чаплик, ЖЭТФ 115, 1478-1483, (1999). "Влияние спин-орбитального взаимодействия двумерных электронов на намагниченность нанотрубок".

71. Н. Ajiki, T.Ando, J. Phys. Soc. Japan 62, 2470-2480, (1993). "Magnetic Properties of Carbon Nanotubes".

72. M.F. Lin, Kenneth W.-K. Shung, Phys. Rev. В 52, 8423-8438, (1995). "Magnetization of graphene tubules ".

73. M.Szopa, M. Marganska, E. Zipper, M. Lisowski, Phys. Rev.B 70, 075406075412, (2004). "Coherence of persistent currents in multiwall carbon nanotubes".

74. L.P. Levy, G. Dolan, J. Dunsmir, H. Banchiat, Phys. Rev. Lett 54, 2049-2052, (1985). "Resistance of Small Metallic Loops".

75. L. P. Levy, G. Dolan, J. Dunsmuir, H. Bouchiat. Phys. Rev. Lett 64, 2074-2077, (1990). "Magnetization of mesoscopic copper rings: Evidence for persistent currents".

76. D. Mailly, C.Chapelier, A.Benoit, Phys. Rev. Lett 70, 2020-2023, (1993). "Experimental observation of persistent currents in GaAs-AlGaAs single loop".

77. A.O. Говоров, А. В. Чаплик, JI. Вендлер, B.M. Фомин, Письма в ЖЭТФ 60, 633-636, (1994). "Зависит ли незатухающий ток (persistent current) в квантовых кольцах от межэлектронного взаимодействия?".

78. Л. И. Магарилл, М.В. Энтин, Письма в ЖЭТФ 80, 477-481, (2004). "Индукционный ток в квантовом кольце".

79. V. Ambegaokar, U.Eckern. Phys. Rev.Lett 65, 381-384, (1990). "Coherence and persistent currents in mesoscopic rings".

80. A. Schmid. Phys. Rev. Lett 66, 80-83, (1991). "Persistent currents in mesoscopic rings by suppression of charge fluctuations".

81. R. Berkovits, Y.Avishai. Phys. Rev. Lett, 76, 291-294, (1996). "Interacting Electrons in Disordered Potentials: Conductance versus Persistent Currents ".

82. V.A. Margulis, A.V. Shorokhov, H.P. Trushin. Physica E 10, 518,(2001). "Magnetic response of an electron gas in a quantum ring of non-zero width".

83. В.А. Маргулис, В.А. Миронов. ФТТ 50, 148-153, (2008). "Магнитный момент кольца Волкано".

84. W.-C. Tan, J.C. Inkson. Phys. Rev. В 60, 5626-5635, (1999). "Magnetization, persistent currents, and their relation in quantum rings and dots".

85. В.А. Гейлер, В.А. Маргулис, О.Б. Томилин. Письма в ЖЭТФ 63, 549-552, (1996). "Магнитный момент квазиодномерной наноструктуры в наклонном магнитном поле."

86. В.А. Гейлер, В.А. Маргулис, И.В. Чудаев, ЖЭТФ 109, 762-771, (1996). "Маг-нитный момент параболической квантовой ямы в перпендикулярном магнит-ном поле".

87. К. Richter, D. Ulmo, R.A. Jalabert. Phys. Rep. 276, 1, (1996). "Orbital magnetism in the ballistic regime: geometrical effects".

88. Y. Miyamoto, A. Rubio, S.G. Louie, M.L. Cohen. Phys. Rev. Lett 76, 2121-2124, (1996). "Chiral Conductivities of Nanotubes".

89. Y. Miyamoto A. Rubio, S.G. Louie, M.L. Cohen Phys. Rev. B. 60, 1388513889, (1999). "Self-inductance of chiral conducting nanotubes".

90. Ф.Г. Басс, И.Б. Левинсон. ЖЭТФ 49, 914, (1965) "Циклотронно-фононный резонанс в полупроводниках".

91. Ajiki, Т. Ando. J. Phys. Soc. Japan 62, 1255-1266, (1993). "Electronic states of Carbon Nanotubes".

92. H. Ajiki, T. Ando. Physica B, 201, 349-352, (1994). "Aharonov-Bohm effect in carbon nanotubes".

93. H. Ajiki, T. Ando. J. Phys. Soc. Japan, 65, 505-514, (1996). "Energy Band of Carbon Nanotubes in Magnetic Field".

94. S. Tasaki, K. Maekawa, T. Yamabe. Phys. Rev. B, 57, 9301-9318, (1998). "тг-band contribution to the optical properties of carbon nanotubes: Effects of chirality".

95. J.M. Pitarke, F.J. Garsia-Vidal. Phys. Rev. В 63, 073404-073407, (2001). "Electronic response of aligned multishell carbon nanotubes ".

96. E. Malie, М. Hirtschulz, F. Milde, A. Knorr, S. Reich. Phys. Rev. В 74, 195431195438, (2006). "Analytical approach to optical absorption in carbon nanotubes ".

97. Н.Г. Галкин, B.A. Маргулис, A.B. Шорохов. ФТТ 43, 511-519, (2001). "Внутризонное поглощение электромагнитного излучения квантовыми нанострукту-рами с параболическим потенциалом конфайнмента".

98. L.Brey, N. Jonson, B.J. Halperin. Phys. Rev. В 40, 10647-10649, (1989). "Optical and magneto-optical absorption in parabolic quantum wells".

99. Tempere J., Silvera I., Devreese J. Phys. Rev. В 65, 195418-195426, (2002). "Many-body properties of a spherical two-dimensional electron gas".

100. B.A. Маргулис, Н.Ф. Павлова, A.B. Шорохов. ФТТ 48, 880-884, (2006). "Гибридно-примесный резонанс в трехмерной анизотропной квантовой проволоке".

101. П.А. Эминов, Ю.В. Перепелкина, Ю.И. Сезонов, ФТТ 50, 2220-2224, (2008). «Диэлектрические свойства намагниченного электронного газа нанотрубки».

102. F. Hache, Н. Mesnil, М.С. Schanne-Klein, Phys. Rev. В, 60, 6405-6411, (1999). "Nonlinear circular dichroism in a liquid of chiral molecules: A theoretical investigation".

103. Jian Ping Peng, Shi-Xun Zhou, Phys. Rev. В 44, 4021-4023, (1991). "Faraday rotation in quasi-two-dimensional electron systems in the quantized Hall regime ".

104. Л. И. Магарилл, B.H. Созинов, Письма в ЖЭТФ 52, 1230-1232, (1990). "Эффект Фарадея при спиновом резонансе n-InSb".

105. Vl.A. Margulis, Е.А. Gaiduk, E.N. Zhidkin, Physics Letters A 258, 394-400, (1999). "Quadratic electro-optik effects in semiconductor carbon nanotubes".

106. O.B. Кибис. Письма в ЖЭТФ 66, 551-555, (1997). "Эффект анизотропной передачи импульса в низкоразмерных электронных системах в магнитном поле".

107. Ю. А. Романов, Ю.Ю. Романова. ФТП 35, 211-215, (2001). "О спектрах колебаний поля и тока, возникающих в сверхрешеткахпод воздействием терагерцового лазерного излучения ".

108. Ю. А. Романов, Ю.Ю. Романова. ФТП 39, 162-170, (2005). "Елоховские колебания в сверхрешетках. Проблема терагерцового генератора".

109. O.V. Kibis, Phys. Rev. В 71, 035411-035415, (2005). "Superlattice properties of carbon nanotubes in a transverse electric field".

110. O.B. Кибис, Письма в ЖТФ 31, 85-89, (2005). "Углеродные нанотрубки как терагерцовые излучатели нового типа".

111. В.И. Белинчер, Б.И. Стурман, УФН 130, 415-458, (1980). "Фотогальванический эффект в средах без центра инверсии".

112. В.И. Белинчер, Е. Л. Ивченко, Б.И. Стурман. ЖЭТФ 83, 649-661, (1982). "Кинетическая теория сдвигового фотогальванического эффекта в пьезоэлектриках".

113. Е. Л. Ивченко, Г. Е. Пикус. Письма в ЖЭТФ 27, 640-643 (1978). "Новый фотогальванический эффект в гиротропных кристаллах".

114. V. I. Belinicher. Phys. Lett. А 66, 213-216, (1978). "Space-oscillating photocurrent in crystals without symmetry center".

115. E. L. Ivchenko, G. E. Pikus. Superlattices and Other Heterostructures. Symmetry and Optical Phenomena (Springer Series in Solid State Sciences) vol. 110 (Springer-Verlag) (1995); second edition (1997), Ch. 10.

116. S. D. Ganichev, H. Ketterl, W. Prettl, E. L. Ivchenko, L. E. Vorobjev. Appl. Phys. Lett. 77, 3146-3148, (2000). "Circular photogaivanic effect induced by monopolar spin orientation in /?-GaAs/AlGaAs multiple-quantum wells".117

117. S. D. Ganichev, E. L. Ivchenko, S. N. Danilov, J. Eroms, W. Wegscheider, D. Weiss, W. Prettl. Phys. Rev. Lett 86, 4358-4361, (2001). "Conversion of Spin into Directed Electric Current in Quantum Wells".

118. M.V. Entin, L.I. Magarill. Phys. Rev. В 73, 205206-205213, (2006). "Photo-current in nanostructures with asymmetric antidots: Exactly solvable model".

119. A.A. Горбацевич, В.В. Капаев, Ю.В. Копаев, Письма в ЖЭТФ 57, 565-569, (1993). "Асимметричные наноструктуры в магнитном поле".

120. Алещенко Ю.А., Воронова И.Д., Гришечкина С.П., Капаев В.В., Копаев Ю.В., Кучеренко И.В., Кадушкин В.И., Фомичев С.И., Письма в ЖЭТФ 58, 377-380, (1993). "Индуцированный магнитным полем фотогальванический эффект в асимметричной системе квантовых ям".

121. И.В. Кучеренко, Л.К. Водопьянов, В.И. Кадушкин, ФТП 31, 872-874, (1997)."Фотогальванический эффект в асимметричной наноструктуре GaAs/AlGaAs при лазерном возбуждении ".

122. Стурман Б.И., Фридкин B.M. Фотогальванический эффект в средах без центра симметрии и родственные им явления. 1-ое изд. Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992, 208 с.

123. Беженарь Игорь Михайлович. "Низкоразмерные электронные состояния и эффекты в квантовых структурах на основе полупроводников AIVBVi и висмута". Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Кишинев 2006.

124. Е. L. Ivchenko, В. Spivak, Phys. Rev. В 66, 155404-155412, (2002). "Chirality effects in carbon nanotubes".

125. Ralph von Baltz, W. Kraut. Phys. Rev. В 23, 5590-5596, (1981). "Theory of the bulk photovoltagic effect in pure crystals".

126. В. M. Галицкий, С.П. Гореславский, В.Ф. Елесин. ЖЭТФ, 57, 207-217, (1969). "Электрические и магнитные свойства полупроводника в поле сильной электромагнитной волны".130

127. Вопросы теории атомных столкновений. Сб. статей, Атомиздат, 1970, 180 е., С.П. Гореславский, В.Ф. Елесин, "Эффект насыщения в полупроводниках", с. 157.

128. Б. И. Стурман, ЖЭТФ 75, 674-683, (1978). "Фотогальванический эффект в поле сильной электромагнитной волны".

129. Ю.А. Артамонов, А.А. Горбацевич, Ю.В. Копаев, ЖЭТФ 101, 557-571, (1992). "Фотогальванический эффект в орбитальном антиферромагнетике".