Электронные свойства квантового цилиндра во внешних электромагнитных полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Ульдин Александр Алексеевич

На правах рукописи

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА КВАНТОВОГО ЦИЛИНДРА ВО ВНЕШНИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

Специальность 01.04.07- физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

\\ 1 АВГ 2011

Москва-20II

4851999

Работа выполнена в Московском государственном университете приборостроения и информатики.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Эминов Павел Алексеевич

Официальные оппоненш:

доктор физико-математических наук, профессор Николаев Павел Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Дадиванян Артем Константинович

Ведущая организация:

Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики.

Защита диссертации состоится « О» О? _2011 г. в /Счас, на заседании диссертационного совета Д 212.155.07 при Московском государственном областном университете по адресу 105005, Москва, ул. Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан « п» 01 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

А

'г>и/_ БарабановаНН.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Развитие нанотехнологий стимулирует широкую исследовательскую деятельность, направленную на теоретическое и экспериментальное исследование электронных свойств наноструктур во внешних электромагнитных полях.

Многообразие физических явлений, предсказываемых в наноструктурах, связано как с размерами и топологическимхвойствами области, в которой движутся частицы, так и с учетом влияния внешнего ноля. В нанообъектах реализуются наиболее благоприятные условия для проявления квантовых эффектов, на основе которых могут быть созданы новые элементы функциональной электроники. В связи с этим основным инструментом теоретических исследований становятся методы квантовой теории поля и квантовой статистической физики в интенсивном внешнем поле.

Анализ экспериментальных данных показывает, что наряду с баллистическим механизмом электронного транспорта, изучение вклада электрон-фононного рассеяния в сопротивление нанотрубки представляет не только теоретический, но и важный практический интерес. До недавнего времени, при вычислении вклада электрон-фононного рассеяния в электропроводность нанотрубок и квантового кольца, фононный спектр считался либо изотропным, либо рассматривался простейший случай одномерного движения электронов вдоль нанотрубки в отсутствие продольного магнитного поля. Актуальным представляется решение этой задачи с учетом размерного ограничения фононов и влияния магнитного поля.

Интерес к проблеме поверхностной сверхпроводимости, поставленной в работах Гинзбурга В.Л. и Киржница Д.А., существенно возрос после получения графена и нанотрубок. Магнитное поле, приложенное к наноструктурам, создает новые возможности для изучения сверхпроводимости наноструктур. В графепе явление сверхпроводимости экспериментально пока не наблюдалось. В то же время явление сверхпроводимости наблюдается в углеродных нанотрубках, разные типы которых представляют собой свернутый определенным образом лист графена. Теоретическому изучению сверхпроводимости нанотрубок в свободном случае уделяется большое внимание, как об этом свидетельствуют недавние обзоры по электронным свойствам нанотрубок. В литературе появились результаты измерений намагниченности пучка однослойных углеродных нанотрубок в сверхпроводящем состоянии. В связи с этим актуально теоретическое исследование и термодинамических свойств сверхпроводящей нанотрубки в магнитном поле.

В последнее время существенный прогресс достигнут при изучении свойств плазменных волн в наноструктурах с цилиндрической симметрией. Для современной литографической техники манометровые масштабы стали вполне доступными, а фермиевская длина волны электронов в типичных двумерных системах порядка 10-30 нм. В связи с этим актуальным стал вопрос о поведении дисперсионных кривых квазиодномерных и двумерных плазмонов в квантовой коротковолновой области, когда нельзя пренебрегать пространственной дисперсией и пользоваться полученными ранее квазиклассическими результатами. Особый интерес представляет изучение влияния внешнего магнитного поля на явление экранировки кулонов-ского взаимодействия заряженных частиц в нанотрубках.

Широкое применение при теоретических исследованиях электронных свойств однослойных нанотрубок находит используемая и в диссертационной работе модель квантового цилиндра.

Цель работы. Теоретическое изучение и установление новых закономерностей электронных свойств однослойных нанотрубок во внешних электромагнитных полях.

Научная новизна. Применение современных методов квантовой статистической физики позволило изучить сверхпроводящие свойства квантового цилиндра в продольном магнитном поле и получить новые результаты - исследовать эффект осцилляции Лиггла-Паркса, а также впервые предсказанные в работе осцилляции критической температуры, параметром которых является отношение энергии Ферми к энергии размерного конфайнмента.

Получены аналитические формулы, описывающие осцилляции Ааропова-Бома экранированного кулоновского поля неподвижного точечного заряда, находящегося на поверхности квантового цилиндра. Дано аналитическое описание явления экранировки в случае больцма-новского электронного газа

В приближении времени релаксации с учетом размерного ограничения фононов и влияния магнитного поля изучен вклад электрон-фононного рассеяния в электропроводность нанот-рубки.

Научная и практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в дальнейших теоретических исследованиях электронных свойств нанотрубок, а также при разработке методов целенаправленного формирования и вариации электрофизических свойств наноструктур в интенсивных внешних полях.

Положения, выносимые на защиту:

1. Электрон-фотонный механизм проводимости квантового цилиндра в магнитном поле.

2. Теория сверхпроводимости намагниченного электронного газа квантового цилиндра и осцилляции критической температуры в свободном случае.

3. Аналитические результаты для потенциала кулоновского поля точечного заряда в намагниченном электронном газе квантового цилиндра.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: ежегодной научной конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов (г. Москва, МГИЭМ, 2008г, 2009г); XIX и XX Международных совещаниях "Радиационная физика твердого тела" (г. Севастополь, 2009г, 2010г); школе - семинаре "Наноструктуры, модели, анализ и управление" (г. Москва, 2009г); Международном форуме по нанотсхнологиям 08 (г. Москва, 2008г); научном семинаре кафедры общей физики МГОУ (г. Москва, 2011г).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 6 работ из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Работа изложена на 101 стр. машинописного текста, иллюстрируется 13 рисунками и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 98 наименований.

Во Введении обоснована актуальность темы исследований, показана ее научная новизна и практическая значимость, сформулированы цели работы, а также представлены сведения о структуре и содержании работы, приводятся положения, выносимые на защиту.

В Главе 1 вычислен вклад электрон-фононного рассеяния в электропроводность нанот-рубки в продольном магнитом поле, как в случае изотропного фононного спектра, так и с учетом эффектов размерного ограничения фононов.

Волновые функции стационарных состояний и энергетический спектр электрона на цилиндрической поверхности в продольном магнитном поле задаются формулами:

где р, - продольный импульс, направленный вдоль оси г, пег - азимутальное квантовое число, <р - полярный угол, 5=2хШ - площадь поверхности цилиндра длиной I и радиусом

СОДЕРЖАНИЕ Д ИССЕРТАЦИИ

(1)

(2)

К, е = 1/(2тЛ2) - энергия размерного конфайнмента, т - эффективная масса электрона, Ф = лН~Н - магнитный поток через сечение цилиндра, Ф0 =2я1\е\ - квант магнитного потока, е - заряд электрона.

Для решения поставленной задачи используется уравнение Больцмана в приближении времени релаксации. Невозмущенное элекгрическим полем движение электрона описывается решением стационарного уравнения Шредингера на цилиндрической поверхности, параллельно оси 02 которой направленно постоянное магнитное поле. Интересуясь линейным откликом квантового цилиндра на электрическое поле с напряженностью Е1, и суммируя вклады от каждой зоны энергии поперечного движения, дня продольной проводимости на-нотрубки в магнитном поле получаем следующую формулу

где г(п,р,) - время релаксации, /0 - равновесная функция распределения. В качестве механизма релаксации рассматривается рассеяние электронов на акустических фононах.

Гамильтониан электрон-фоношюго взаимодействия в случае длинноволновых акустических фононов с линейным законом дисперсии и изотропным спектром задается формулой

(4)

где 6Ч - оператор уничтожения фонона с импульсом ц, В - постоянная деформационного потенциала, д - модуль вектора q, У- объем системы.

Рассматривая гамильтониан (4) как возмущение, вероятность квантовых переходов электрона за единицу времени из состояния (л,р3) в состояние (Н,р,') с поглощением (или испусканием) фонона с энергией (Жд)=\ч можно представить в виде

\Г/

где •/„-„(*) - функция Бесселя, V - скорость звука, п9 - среднее число фононов с энергией

ю = >'<7.

Учитывая далее, что скорость хаотизации продольного импульса определяется из уравнения

-у1 = -й М", Д -> л', а ') = ,

п" г

для обратного времени релаксации получено следующее представление Вт 1

г '\п,пг) =

Я Pf{»')\\

K-O?!«)

M-pU»1))1

+1 ЦРД"1)") +

Pf(")j

0"

(7)

где Т - температура, рДл) - продольный импульс Ферми п-й зоны энергии поперечного движения электрона, равный

■ы

(Ю

ПрИЧСМ Рр — у!2.171 Ер, Ер. - энергия Ферми.

В итоге, после интегрирования по переменной р3 линейная проводимость квантового цилиндра в продольном магнитном поле в случае акустических фотонов с изотропным спектром представляется в виде

(9)

где

I 2 4Pp(l)i 1 , „

(10)

тй (2я-)г

а время релаксации определяется формулой (7).

В работе вычислена также проводимость квантового цилиндра в продольном магнитном поле с учетом эффектов размерного ограничения фононов. Пусть в нанотрубке возбуждена акустическая волна с квазиимпульсом д, вдоль оси нанотрубки и азимутальным квантовым числом I. Гамильтонианы взаимодействий электрона и фононов с азимутальным квантовым числом / = 0 (продольная акустическая волна) и / = ±1 (изгибная волна) на цилиндрической поверхности задаются формулами

Яы(/ = 0)

a(q,) ехр(19зг - iv |<7,ю+С.с, 5

(П)

-а(д3)схр(1^3г ± ¡<р - ¿у/}?, /) + с.с.,

(12)

^Дл/г^руД?,2

где £'„ - постоянная деформационного потенциала, р - поверхностная плотность материала, из которого изготовлена нанотрубка, а скорость продольной акустической волны оценивается величиной V я 10"4 т / 5.

В случае продольной акустической волны для вероятности квантовых переходов р~> р' за единицу времени получаем следующее представление

2т т

+",(1-л,■)("-,+!)<?

2т т

(13)

где и5 - средние числа заполнения для фононов, пр - средние числа заполнения идеального Ферми-газа и принято обозначение

„ОН

йру

Выражение для обратного времени релаксации принимает вид т-'=(2х)А24т[Г(Рз) + Г(-Рз)1

где принято обозначение

— * Г. »IV 1 1

1

(14)

(15)

(16)

В результате, продольная проводимость надатрубки в случае аксиально-симметричных фононов представляется в виде

* = (17)

где

¿т л к

«•(Дг(л)) =

^ехр^

-1—1 ехр! ~ | ^ (п)+иу|

»лтА2\ 1+

И

(18)

(19)

рЛп))

Когда доминирует взаимодействие (12) электронов с изгибной волной, процессы поглощения и испускания фонона происходят с изменением азимутального квантового числа на единицу, т.е. г?= п ± 1 соответственно. Для проводимости нанотрубки в этом случае получаем следующую формулу

* = (20)

т

(21) (22)

где

(2л )т

рг(п)ре(п + \)

(23)

л

2К>

Для изотропного фононного спектра вклад электрон-фоношюго рассеяния в сопротивление квантового цилиндра меняет свою температурную зависимость от линейной в области высоких температур, до кубической при умеренно низких температурах (рис. 1). Последний результат существенно отличается от полученных с учетом эффектов размерного ограничения фононов. Результаты численного расчета зависимости проводимости нанотрубки от параметра Ааронова-Бома в случае изотропного фононного спектра приведены на рисунке 2. Изменение дробной части параметра Ааронова-Бома сопровождается изменением проводимости по сравнению с проводимостью нанотрубки в свободном случае, когда нет магнитного поля, примерно на 10-20 %. Осциллирующая зависимость электропроводности от магнитного имеет место и в результатах, полученных с учетом особенностей элеюрон-фононного взаимодействия на цилиндрической поверхности.

р'р.

т,к

Рис. 1. Зависимость сопротивления единицы длины нанотрубки в свободном случае от температуры для изотропного фононного спектра. Радиус нанотрубки Л=5-10м, линейная концентрация//¿=0.25-109 и\ро=р(Т =10 К).

о/а.

Рис. 2. Зависимость проводимости нанотрубки от параметра Ааронова-Бома. во — проводимость нанотрубки в свободном случае (Л=5-10'9 м, % = 0.25-10V1, Г=15 К).

В Главе 2 рассматриваются сверхпроводящие свойства нанотрубки. В представлении вторичного квантования часть гамильтониана слабо неидеального ферми газа с не зависящим от спина парным эффективным взаимодействием и = [/(¡г, -г2|), ответственная за формирование куперовских пар, имеет вид

р

где J{p,p') - образ Фурье потенциальной энергии взаимодействия электронов и приняты обозначения

Ф„ 2т

/1д- магнетон Бора, р - химический потенциал. Совокупность квантовых чисел, характеризующих стационарное состояние электрона в формуле (24), будем обозначать символом (/»,.?), где р = (р,,п), 5 = ±1 - спиновое квантовое число.

Применяя к исходному гамильтониану каноническое (и-у) преобразование Боголюбова ферми-операторов

а(р, Т) = ира (р) +у,/Г (р), о* (р,Т) = ира* (р)+у, р(р), а(-рЛ) = ирР(р)-мра+(р), а' (-рЛ) = и,/Г (р)-гра(р),

(25)

приводим получившийся гамильтониан к диагональному виду.

Используя статистический вариационный принцип Н.Н.Боголюбова для термодинамического потенциала системы с этим гамильтонианом, получаем ограничение сверху:

16 V

(26)

где 9 - темперагура, <р{р,0) = йлЕ(р)+Е(р)+ &Е(р)~Е(р\ Е(р) = ^с\р)+С2(р),

29 20

С(р)=1: 2 Др,р>рур-

' Р.р'^Р

Минимальное по отношению к величине энергетической щели значение термодинамического потенциала, соответствующее устойчивому термодинамическому состоянию системы, находится из условия

№

-=0, 6С

которое приводит к уравнению для энергетической щели

Для теории БКШ это уравнение принимает вид

1=ху дкД

(29)

где<г>(р,б) = Л

Уе2+Д2+£ |{ЬУ?2+А2-£ £(р3,и,д) + £(-р„-п,-д) 26» 20 2

26»

20

£(р3,я,д)-£(-р3,-я,-д)

2 .

Полученное уравнение описывает зависимость ширины энергетической щели и температуры фазового перехода в нормальное состояние от характерных параметров системы, включая электронную концентрацию, геометрические размеры квантового цилиндра и напряженность магнитного поля. Существенно, что сюда явно входит параметр Ааронова-Бома, равный отношению магнитного потока через поперечное сечение цилиндра к кванту магнитного потока (рис.3).

Рис. 3. Зависимость критической температуры от магнитного потока (Ай = 28,МО9 м Л=5Ю "9 м, £=810 "5кг ').

Рассмотрим далее случай, когда ц » е, который соответствует условию квазиклассично-сги поперечного движения электронов. Полагая, что также выполнено условие

Г,.к;

Ф/Фо

где Л^ - линейная концентрация электронов, находим асимптотику для ширины энергетической щели

Д = 2<вехр

2я тъ

т8 1=1

г 7 ™гктл (з1)

Таким образом, ширина энергетической щели испытывает осцилляции двух типов.

Первый тип - это осцилляции Литтла-Паркса - Ааронова-Бома, в основе которых лежит неодносвязность области движения электронов в присутствии внешнего магнитного поля.

Второй тип осцилляции - это осцилляции, параметром которых является величина

. Существенно, что эти осцилляции сохраняются и при выключении внешнего магнитного поля. В связи с этим можно говорить об этих осцилляциях, как о физическом эффекте, в основе которого лежит изменение геометрии нанотрубки. Устремляя радиус нанотрубки к бесконечности, получаем выражение

2я'

Д = 2юехр

тё

(32)

Этот результат соответствует предельному случаю плоской поверхности, а магнитное поле сюда не входит, так как оно направлено параллельно поверхности.

Обратимся далее к свободному случаю, когда магнитное поле отсутствует. В этом случае спариваются электроны в состояниях с противоположными значениями всех квантовых чисел и с одинаковой энергией, которые переходят друг в друга при обращении времени.

Уравнение для энергетической щели преобразуется к виду

1

25

Е(П,р,)-М)г+А2

2 Т

(33)

_^Е(п,р,)-ц)1+ Д2

Из этого уравнения получаем формулу, описывающую зависимость критической температуры сверхпроводящего квантового цилиндра от радиуса нанотрубки и энергии Ферми

ТС(Я

■0ехр[--].

(34)

ЗдесьА = —, а = 1+2У^(2лкКре), где С - постоянная Эйлера; тё ».1

Для вычисления термодинамических величин сверхпроводящего квантового цилиндра удобно использовать соотношение

выражающее среднее значение от производной гамильтониана системы по параметру к через производную по тому же параметру от термодинамического потенциала.

Например, разность теплоемкостей сверхпроводящей и нормальной фазы при Т - > Тг + О описывается формулой:

где £(х) - дзета-функция Римана.

Критическая температура, определяемая формулой (34), испытывает осцилляции при изменении величины = е . Такие же осцилляции имеют место в формуле (36) для скачка теплоемкости электронного газа нанотрубки в момент перехода из сверхпроводящего в нормальное состояние.

Кривизна нанотрубки приводит к осцилляциям критической температуры типа осцилляции де Гааза-ван Альфена, связанных с квантованием энергии поперечного движения электронов и корневыми особенностями плотности электронных энергетических состояний на цилиндрической поверхности (рис.4).

(36)

3.0

В главе 3 рассматривается экранирование кулоновского поля, создаваемого покоящимся на цилиндрической поверхности точечным зарядом, в намагниченном электронном газе квантового цилиндра

Экранированный потенциал поля точечного заряда q в произвольной точке на поверхности квантового цилиндра определяется формулой

(37)

я,¿11 £Д0Д3)

Квантовая формула для продольной диэлектрической проницаемости намагниченного электронного газа на цилиндрической поверхности получена на основе формализма матрицы плотности

*(и4Л-2ЫИ4Л+2) (38)

.-ЕЬ-^и •

т {т!? 2)

Этот результат является обобщением формулы Силина-Климонтовича применительно к намагниченному электронному газу на цилиндрической поверхности. В формуле (38) 1,(х) и

К,(х) - модифицированные функции Бесселя мнимого аргумента, су = И— - циклотронная

т

частота, т - эффективная масса электрона, пг (п,р,) - функция распределения электронов в магнитном поле, направленном вдоль оси цилиндра.

Формулы (37) и (38) описывают влияние внешнего магнитного поля на эффект экранировки кулоновского поля неподвижного точечного заряда, расположенного на поверхности на-нотрубки.

В работе получены асимптотические формулы, описывающие экранировку кулоновского поля в различных предельных случаях.

Основной вклад в асимптотику (37) в наиболее интересной области г » Л дает аксиально-симметричная часть потенциала (/ = 0)

(39)

1Г * гШ 1г I

я и Ф,*,)

В случае вырожденного электронного газа продольная диэлектрическая проницаемость при 1=0 задается выражением

*, + 2р,Р(л)

В итоге для нулевой гармоники экранированного кулоновского потенциала в продольном магнитном поле находим выражение

1 +

я

¿кг. (41)

Когда электроны могут находиться только в основном состоянии (я=0) в предельных случаях

г»2Л, гр,, »1 (42)

асимптотика экранированного кулоновского потенциала в нанотрубке задастся формулой

1 8тег саъф-грр)

(43)

: |_1п (г/2Д) л ¿у !п {АхрР)

Вычислен также экранированный кулоновский потенциал в предельном случае больцма-новского электрошюго газа, т.е. при условии

|//|»Г,^<0, (44)

где /I - химический потенциал, Т - температура газа.

В этом случае продольная диэлектрическая проницаемость определяется асимптотической формулой

(45)

N

где = — - линейная концентрация электронов. С учетом (45) для главного члена асимптотики экранированного потенциала при условии г> Л в работе получено следующее представление

К(г)-Д

1

(46)

Впервые в аналитическом виде получены формулы, описывающие эффект Ааронова-Бома.

Для вырожденного электронного газа (Г « ЕР) и в квазиклассическом приближении относительно малых значений продольного импульса, для продольной диэлектрической проницаемости получено компактное представление в следующем виде

ф,^) = 1+(4те2Я)^Л(|^|Л)К„(|*3|Д), (47)

где принято обозначение

1 + соэ! 2як— |/0[2лк^2тЕр]

(48)

Как следует из формул (47) и (48), статическая продольная диэлектрическая проницаемость испытывает осцилляции при изменении магнитного потока через сечение нанотрубки.

В итоге, для аксиально-симметричной части экранированного кулоновского потенциала в первом приближении получаем следующую асимптотику( г » 2Л)

Я 1

(49)

где величина Г0 определяется формулой (48).

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации:

1. Вычислен вклад электронного рассеяния на акустических фононах в сопротивление квантового цилиндра во внешнем магнитном поле. Показано, что проводимость квантового цилиндра является осциллирующей функцией параметра Ааронова-Бома, равного отношению магнитного потока через сечение нанотрубки к кванту магнитного потока

2. В аналитическом виде получена формула, описывающая зависимость сопротивления наноструктуры от температуры и магнитного поля с учетом эффектов размерного ограничения фононов.

3. Получена температурная зависимость проводимости квантового цилиндра в случае изотропного фотонного спектра с линейным законом дисперсии. Показано, что в предельном случае относительно низких температур сопротивление квантового цилиндра пропорционально третьей степени температуры.

4. На основе микроскопической теории сверхпроводимости Н.Н. Боголюбова вычислен термодинамический потенциат сверхпроводящего квантового цилиндра в продольном магнитном поле. Получено и исследовано уравнение, определяющее зависимость критической температуры от параметров нанотрубки и магнитного поля. Показано, что наряду с осцилля-циями Лштла-Паркса, критическая температура испытывает осцилляции, параметром которых является отношение энергии Ферми к энергии размерного конфайнмента

5. В свободном случае изучена зависимость критической температуры и теплоемкости сверхпроводящего квантового цилиндра от концентрации электронов и радиуса нанотрубки.

6. С использованием метода матрицы плотности для нанотрубки в магнитном поле получено общее выражение для экранированного кулоновского поля неподвижного точечного заряда. Дано аналитическое описание осцилляций Ааронова-Бома кулоновского потенциала неподвижного точечного заряда, экранированного электронным газом нанотрубки. Впервые получена формула для экранированного кулоновского потенциала в случае больцмановского электронного газа

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Эминов П.А., Ульдин A.A., Сезонов Ю.И., Гордеева C.B. Элекгрон-фононное взаимодействие и электропроводность нанотрубки во внешнем магнитном поле // Известия ВУЗов. Физика. 2011.Т.1. С. 51-53.

2. Эминов П.А., Ульдин A.A., Сезонов Ю.И.. Элекгрон-фононное рассеяние и проводимость квантового цилиндра в магнитном поле//ФТТ. 2011. Т.53. №8. С. 1621-1627.

3. П.А. Эминов, A.A. Ульдин. Сверхпроводимость квантового цилиндра// Физика низких температур. 2011. Т.37. № 4. С. 356-359.

4. Eminov P.A., Uldin A.A., Sezonov Yu.I., Gordeeva S.V. Thermodyiiamical properties of a superconducting quantum сilinder// Russian Journal of Mathematical Physics. 2010. Vol.17. Л° 2. P.154-158.

5. Eminov P.A., Sezonov Yu.I., Uldin AA., Aharonov-bohm effect for the potential of a coulomb field in electronic gas of quantum cylinder // Russian Journal of Mathematical Physics. 2009. Vol. 16. №4. P. 563-565.

6. Эминов П.А., Сезонов Ю.И., Гордеева C.B., Ульдин A.A., Пюрбеев Ю.А., Рассеяние электронов на акустических фононах и проводимость квантового цилиндра в магнитном поле. // Труды. XIX Международного совещания "Радиационная физика твердого тела"т.2. -М.: ГНУ НИИ ПТМ, 2010.-С.640-644.

7. Эминов П.А., Сезонов Ю.И., Ульдин A.A., Николаев C.B. Осцилляции критической температуры сверхпроводящей нанотрубки в магнитном поле. И Международный форум по нанотехнологиям 08. Сборник тезисов докладов научно-технических секций. Т.1. -М., 2008.-С.804-806.

8. Сезонов Ю.И., Ульдин A.A., Вклад электрон-фононного взаимодействия в проводимость углеродной нанотрубки// Химическая физика 2009. Т. 28. Xs 12. С. 81-83.

9. Эминов П.А., Сезонов Ю.И., Ульдин A.A., Экранирование электрического поля электронным газом нанотрубки. // Труды. XIX Международного совещания "Радиационная физика твердого тела"... -М. ГНУ НИИ ПТМ, 2009.-С.724-729.

, 10. Эминов П.А., Маджитова Ф.Ш., Сезонов Ю.И., Ульдин A.A. Экранированный куло-новский потенциал намагниченной нанотрубки. // Труды. XIX Международного совещания "Радиационная физика твердого тела"т.2. - М.: ГНУ НИИ ПТМ, 2010.-С.633-639

Подписано в печать:

04.07.2011

Заказ № 5755 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www. autorcferat. ru

Введение

Глава I

Электрон-фононное рассеяние и проводимость квантового цилиндра в магнитном поле

1. Введение.

2. Рассеяние электронов в квантовом цилиндре на акустических фононах с изотропным спектром.

3. Рассеяние электронов на продольных и изгибных акустических фононах.

4. Обсуждение.

Глава II

Эффект Ааронова-Бома и термодинамические свойства сверхпроводящего квантового цилиндра

1. Введение.

2. Эффект Купера в намагниченном электронном газе квантового цилиндра.

3. Статистический вариационный принцип Боголюбова.

4. Осцилляции критической температуры при изменении внешнего магнитного поля и геометрии сверхпроводящей нанотрубки.

5. Термодинамические свойства сверхпроводящего квантового цилиндра

6. Обсуждение.

Глава III

Экранирование кулоновского поля в намагниченном электронном газе квантового цилиндра

1. Введение.

2. Продольная диэлектрическая проницаемость и экранированное взаимодействие.:.

3. Осцилляции Фриделя экранированного потенциала.

4. Экранирование кулоновского потенциала Больцмановским электронным газом.

5. Осцилляции Ааронова-Бома экранированного кулоновского потенциала

6. Обсуждение.

Выводы

Физика наноразмерпых структур продолжает’ развиваться, быстрыми темпами. Современные технологии открыли возможность исследования структур и систем, имеющих размеры, порядка нескольких нанометров по одному или нескольким направлениям? и конструирования обширной группы новейших приборов на их основе. ,

Сюда можно отнести,; например; полупроводниковые лазеры на структурах, содержащих квантовые точки: и работающие при комнатной температуре; транзисторы, на углеродных нанотрубках; межподзонные полупроводниковые лазерь1 на квантовых ямах; диоды на! структурах,- содержащих-квантовые ямы и др. ' . . ' ' . . ,

Неожиданные физические явления; в электронных системах; со спин-орбитальным взаимодействием, предложенным в работах Рашбы Э.И., возникают. за счет ограничения электронной спиновой степени, свободы. Интерес :К: изучениюспиновых эффектов .в низкоразмерных, системах обусловлен, В', том числе, возможностью применения спиновой степени свободы/ для создания-квантовых битов. Развитие нанотехнологий стимулирует широкую исследовательскую деятельность, направленную на выяснение технологических и электронных свойств квантовых точек, квантовых ям; нанотрубок, квантовых, проволок и сверхрешеток. Такая работа позволяет разработать методы целенаправленного формирования и вариации: электрофизических свойств наноструктур в интенсивных внешних полях.

Многообразие физических; явлений, предсказываемых в нанофизике, связано как, с наноразмерами и топологическими свойствами области; в-которой движутся1 частицы, так и с учетом влияния внешнего: поля. В нанообъектах реализуются наиболее благоприятные условия для*проявления квантового характера процессов [1, 2], на основе которых могут быть созданы, новые элементы; функциональной- электроники. В связш с этим, основным инструментом теоретических исследований становятся: методы квантовой теории?поля и квантовой; статистической физики в интенсивном; внешнем поле. , ,

Таким образом нанотрубки; являются* перспективными^ элементами• наноэлектроники и для их внедрения' в=производство необходимо теоретическое и экспериментальное изучение влияния внешних условий на их электронные свойства., ;

Целью диссертационной работы является исследование электронных свойств однослойных нанотрубок во/внешних электромагнитных полях.

Анализ; последних; экспериментальных данных показывает, что? изучение вклада-- электрон-фононного- рассеяния в сопротивление нанотрубки представляет не только теоретический, но и важный практический интерес. Исследования показывают, что для1 объяснения; экспериментальных данных наряду с баллистическим механизмом электронного транспорта следует учесть вклад электрон-фононного рассеяния в сопротивление нанотруб1 ки. До •• настоящего* времени при вычислении. вклада электрон-фононного рассеяния в электропроводность нанотрубок и квантового цилиндра, фо-нонный спектр считался либо/изотропным, либо рассматривался -простей-, ший; случай одномерного движения- электронов вдоль нанотрубки :в, отсутствие продольного магнитного поля. . • .

Решение этой задачи в первой! главе диссертации; впервые дается с учетом размерного Ограничения ФОНОНОВ-И ВЛИЯНИЯ МагНИТНОГО ПОЛЯ:

Интерес к проблеме поверхностной сверхпроводимости, поставленной в работах Гинзбурга В.Л. и Киржница Д.А., существенно возрос после получения графена и нанотрубок. Магнитное поле, приложенное к наноструктурам, создает новые, возможности для изучения сверхпроводимости наноструктур. В графене явление сверхпроводимости эксперементально пока не наблюдалось. В то же время явление сверхпроводимости наблюдается в углеродных нанотрубках, разные типы которых представляют собой свернутый определенным образом лист графена.

Теоретическому изучению сверхпроводимости нанотрубок в свободном случае уделяется большое внимание, как об этом свидетельствуют недавние обзоры по электронным свойствам нанотрубок [3,4]. В литературе появились результаты измерений намагниченности пучка однослойных углеродных нанотрубок в сверхпроводящем состоянии [5]. В связи с этим актуально теоретическое исследование и термодинамических свойств сверхпроводящей нанотрубки в магнитном поле.

Микроскопическая теория сверхпроводимости намагниченного электронного газа на цилиндрической поверхности излагается во второй главе диссертации, причем магнитное поле, направленное вдоль оси-трубки, учтено точно. Решение этой задачи представляется особенно важным в связи с тем, что в теории фазовых переходов во внешних полях имеется лишь ограниченное число точно решаемых примеров.

В диссертации методом H.H.Боголюбова получено уравнение, определяющее зависимость критической температуры от концентрации электронов, геометрических размеров нанотрубки и параметра Ааронова-Бома. Показано, что наряду с осцилляциями Литтла-Паркса имеют место размерные осцилляции критической температуры, в основе которых лежит изменение геометрии поверхности и которые сохраняются при выключении внешнего поля.

Исследована зависимость термодинамического потенциала и теплоемкости сверхпроводящего квантового цилиндра от поверхностной концентрации и радиуса нанотрубки. Эти результаты в простейшем предельном случае R —» оо и постоянной поверхностной концентрации сравниваются с работами, в которых изучается сверхпроводимость электронного газа на плоскости.

В последнее время существенный прогресс достигнут при изучении свойств плазменных волн в системах пониженной размерности и в наноструктурах с цилиндрической симметрией. Это связано с успехами в технике возбуждения и регистрации плазменных волн, а также с возможностями их практических приложений в технике терагерцовых электромагнитных волн.

Учитывая, что для современной литографической техники наномет-ровые масштабы стали вполне доступными, а фермиевская длина волны электронов в типичных двумерных системах порядка 10 — 30 нм, актуальным стал вопрос о поведении дисперсионных кривых квазиодномерных и двумерных плазмонов в существенно квантовой коротковолновой области, когда нельзя пренебрегать пространственной дисперсией, и пользоваться полученными ранее квазиклассическими результатами.

Квантовая формула для продольной диэлектрической проницаемости и дисперсии плазмона в нанотрубках во всей области импульсов и в присутствии внешнего магнитного поля впервые была получена в работе [6] и независимо в случае, когда электроны заселяют только одну нулевую зону поперечного движения, в работах А.В.Чаплика с сотрудниками [7]. Было показано, что замечательной особенностью одномерного случая является существование свободных от затухания Ландау плазмонов вплоть до импульсов порядка рр. Это принципиально отличается от двумерного и трехмерного случаев, для которых плазмонный спектр оканчивается из-за затухания Ландау уже в пределах применимости квазиклассического приближения (Нк рр).

В третьей главе диссертации развивается квантовая теория экранирования кулоновского поля точечного заряда в намагниченном электронном газе нанотрубки.

Впервые получены аналитические формулы, описывающие осцилляции Ааронова-Бома экранированного кулоновского поля неподвижного точечного заряда и рассмотрен случай больцмановского электронного газа.

Актуальной задачей современной физики нанотрубок является получение аналитических формул, описывающих проявление в конкретном физическом явлении макроскопического эффекта Ааронова-Бома, квантового эффекта, в основе которого лежит неодносвязность области пространства, в которой движется частица во внешнем магнитном поле. Во всех главах диссертации дается систематическое исследование осцилляционных явлений в нанотрубках, индуцированных эффектом Ааронова-Бома.

Широкое применение при теоретических исследованиях физических свойств нанотрубок [8,9] находит используемая в диссертации модель углеродной нанотрубки в виде свернутого в цилиндр двумерного электронного газа (см., например, [7,10-12]).

Для квантового цилиндра с радиусом Л гамильтониан нерелятивистского электрона в постоянном магнитном поле, направленном вдоль оси г, в цилиндрических координатах записывается в виде: эффективная масса электрона, шс = еВ/т*с - циклотронная частота, р2 -оператор проекции импульса, е = Н2/2т* В? - энергия размерного конфай-нмента, В - индукция магнитного поля. Векторный потенциал однородного магнитного поля, направленного вдоль оси совпадающей с осью цилиндра, выбран в виде А = (—Ву/2, Вх/2,0).

1)

Гамильтониан Но коммутирует с операторами проекции спина электрона (52), проекции орбитального момента импульса (Ьг) и проекции импульса электрона (рг) на направление магнитного поля: [Но, 5г] = [Но, Ьг] = [Н0,рг] - 0.

В результате, для нормированной волновой функции и уровней энергии электрона, в приближении эффективной массы получим: ехр^п/^ + рзг)] фп'Ра-° ~ ТШШ ’ (2)

Е(п,Рз,(т) = е (п+ ^-Л + ~ + цвНа. (3)

В формулах (2), (3) спиновая часть волновой функции электрона имеет вид С = С (|) = ^ ^ или С = С (—|) = ^ ^ для случаев, когда спин направлен по (сг = +1) или против (<т=- 1) направления оси 2 соответственно, а также приняты обозначения: р% — рг, (р - полярный угол, п = 0,±1,±2,.- азимутальное квантовое число, задающее величину Ьг = пН, Ф = 7гК?В - магнитный поток через сечение цилиндра, Фо = Кс/е

- квант магнитного потока, е - заряд электрона, цв — - магнетон Бора.

Энергия Ферми связана с линейной концентрацией электронов формулой д 2\/2т* Г~ ( Ф \ 2 . .

Ыь = —^'£^ЕР-е(п + -), (4) а импульс Ферми продольного движения сТ) \ 21 тг2ЯМ1 (5)

Рз =

2т*

ЕР-е[п + где Щ - число электронов в /2-ой зоне, приходящихся на единицу площади поверхности.

В свободном случае, когда нет магнитного поля, заполнение электронами дискретных уровней энергии поперечного движения происходит в следующем порядке: Ео —> £?і, Е+і —*■ Е-2, Е+% —* .

На рис.1 изображен график зависимости энергии Ферми от линейной концентрации электронов в отсутствие магнитного поля. Гладкий характер кривой нарушается при тех значениях параметра А^, при которых начинает происходить заполнение следующего уровня энергии поперечного движения.

В магнитном поле, если выполнено условие

2'£<х- <в> то заполнение электронами дискретных уровней энергии поперечного движения происходит следующем образом: Ео —> Е-\ —> Е+\ —» Е-2 —> Е+2.

Если вместе с (6) выполнено также условие то электроны могут находиться только в основном состоянии (п = 0), для которого импульс Ферми продольного движения будет:

Результаты численного расчета зависимости энергии Ферми от параметра Ааронова-Бома представлены на рисунках 2,4. Пики обусловлены характером заполнения зон энергии поперечного движения, который показан на рисунках 3 и 5 соответственно.

В дальнейшем будем использовать систему, где постоянная Планка, скорость света и постоянная Больцмана равны единице (Ь= с — кв = 1).

Материалы, отражающие основное содержание диссертации, изложены в 12 научных публикациях [13-25], в том числе в б журнальных статьях из перечня ВАК [13-15,18,19,23].

Работа изложена на 101 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 98 наименований; имеет 13 иллюстраций.

Рис. 1. Зависимость энергии Ферми от линейной концентрации электронов в отсутствие магнитного поля (Я = 10~8м, Л/£ = 108 м-1).

Ф/Ф о

Рис. 2. Зависимость энергии Ферми от параметра Ааронова-Бома (Л^ = 1,5 • 108 м"1, Я = 10~8м).

Ф/Ф О

Рис. 3. Заселенность зон поперечного движения в зависимости от параметра Ааронова-Бома (ЛГь = 1,5- 108 м-1, Я = 10-8м). ф/ф0

Рис. 4. Зависимость энергии Ферми от параметра Ааронова-Бома (Л^ = 5, 7 • 108 м"1, Я = 108м). ф/ф0

Рис. 5. Заселенность зон поперечного движения в зависимости от параметра Ааронова-Бома (Л^ = 5,7 • 108 м-1, Я = 10~8м).

Выводы

В рамках диссертационной работы получены следующие основные результаты: '

1. Вычислен вклад электронного рассеяния на акустических фононах в сопротивление квантового цилиндра во внешнем магнитном поле. Показано, что проводимость квантового цилиндра является осциллирующей функцией параметра Ааронова-Бома, равного отношению магнитного потока через сечение нанотрубки к кванту магнитного потока.

2. В аналитическом виде получена формула, описывающая зависимость сопротивления наноструктуры от температуры и магнитного поля с учетом эффектов размерного ограничения фононов.

3. Исследована температурная зависимость проводимости квантового цилиндра в случае изотропного фононного спектра с линейным законом дисперсии. Показано, что в предельном случае относительно низких температур сопротивление квантового цилиндра пропорционально третьей степени температуры.

4. На основе микроскопической теории сверхпроводимости H.H. Боголюбова вычислен термодинамический потенциал сверхпроводящего квантового цилиндра в продольном магнитном поле. Получено и исследовано уравнение, определяющее зависимость критической температуры от параметров нанотрубки и магнитного поля. Показано, что наряду с осцилляциями Литтла-Паркса критическая температура испытывает осцилляции, параметром которых является отношение энергии Ферми к энергии размерного конфайнмента.

5. В свободном случае изучена зависимость термодинамического потенциала и теплоемкости сверхпроводящего квантового цилиндра от концентрации электронов и радиуса нанотрубки.

6. Для нанотрубки в магнитном поле получено общее выражение для экранированного кулоновского поля неподвижного точечного заряда.

7. В аналитическом виде получена формула для экранированного кулоновского потенциала в случае больцмановского электронного газа. Дано аналитическое описание осцилляций Ааронова-Бома кулоновского потенциала неподвижного точечного заряда, экранированного электронным газом нанотрубки.

Выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю -профессору Эминову Павлу Алексеевичу, профессору Соколову Виктору Васильевичу, всем сотрудникам кафедры "Высшая математика" МГУПИ, кафедре "Прикладная математика" МИЭМ, а так же профессору Сезонову Юрию Ивановичу и Гордеевой Светлане Валерьевне.

1. R.Saito, G.Dresselhaus, M.S.Dresselhaus. Physical properties of Carbon Nanotubes. — London: 1.P, 1998.

2. В.Я.Демиховский, Г.А.Вугалыпер. Физика квантовых низкоразмерных структур. — М.: Логос, 2000.— С. 248.

3. Т. Ando. The electronic properties of graphene and carbon nanotubes // NPG Asia Materials. — 2009. — Vol. 1(1). — P. 17.

4. J.C.Charlier, X.Blase, S.Roshe. Electronic and transport properties of nanotubes // Rev. Mod. Phys. — 2007. — Vol. 79, no. 2. — P. 677.

5. Superconducting diamagnetic fluctuations in ropes of carbon nanotubes / M.Ferrier, F.Ladieu, M.Ocio et al. // Phys. Rev. B. — 2006. —Vol. 73.— P. 094520.

6. П.А.Эминов, Ю.И.Сезонов. Диэлектрические свойства намагниченного квантового цилиндра // ФТТ. — 2008. — Т. 50. — С. 2220.

7. А.И.Ведерников, А.О.Говоров, А.В.Чаплик. Плазменные колебания в нанотрубках и эффект Ааронова-Бома для плазмонов // ЖЭТФ. — 2001.-Т. 120.- С. 979.

8. S.Iijima. Helical microtubules of graphitic carbon // Nature.— 1991. — Vol. 354. P. 56.

9. V. Ya.Prinz. Precise semiconductor nanotubes and nanocorrugated quantum systems // Physica E. — 2004. — Vol. 54. — P. 24.

10. Р.3 .Витплипа, Л.И.Магарилл, A.B. Чаплик. Экранирование кулонов-ского взаимодействия в полупроводниковых нанотрубках // Письма в ЖЭТФ. 2007. - Т. 86. - С. 132.

11. А.А .Григорькин, С.М.Дунаевский. Электронный спектр и баллистический транспорт спиральной нанотрубки // ФТТ. — 2007. — Т. 49. — С. 557.

12. И. О. Кулик. Квантование потока в нормальном металле // Письма в ЖЭТФ. 1970. — Т. 11. — С. 407.

13. Электрон-фононное взаимодействие и электропроводность нанотрубки во внешнем магнитном поле / П.А.Эминов, А.А.Ульдин, Ю.И.Сезонов, С.В.Гордеева// Известия ВУЗов. Физика. — 2011. — Т. 1.-С. 51-53.

14. П.А.Эминов, А.А.Ульдин, Ю.И.Сезонов. Электрон-фононное рассеяние и проводимость квантового цилиндра в магнитном поле // ФТТ. — 2011.-Т. 53.- С. 1621-1627.

15. Ю.И.Сезонов, А.А.Ульдин. Вклад электрон-фононного взаимодействия в проводимость углеродной нанотрубки // Химическая физика. 2009. — Т. 28. - С. 81-83.

16. А.А.Ульдин, К.Н.Фотов. Фононный вклад в проводимость нанотрубки во внешнем магнитном поле. // Труды ежегодной научной конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. — М.: МИЭМ, 2009.

17. П.А.Эминов, А.А.Улъдин. Сверхпроводимость квантового цилиндра // Физика низких температур. — 2011. — Т. 37. — С. 356-359.

18. Thermodynamical properties of a superconducting quantum cilinder / P.A.Eminov, A.A.Uldin, Yu.I.Sezonov, S.V.Gordeeva // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2010. — Vol. 17. — P. 154.

19. А.А.Улъдин. Сверхпроводимость намагниченного электронного газа квантового цилиндра. // Труды ежегодной научной конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ.— М.: МИЭМ, 2008.

20. А.А.Улъдин. Сверхпроводимость намагниченного электронного газа квантового цилиндра. // Дипломная работа.— М.: МИЭМ, 2008.— С. 38.

21. P.A.Eminov, Yu.I.Sezonov, A.A.Uldin. Aharonov-bohm effect for the potential of a coulomb field in electronic gas of quantum cylinder // Russian Journal of Mathematical Physics. — 2009. — Vol. 16. — P. 563.

22. П.А.Эминов, Ю.И.Сезонов, А.А.Улъдин. Экранирование электрического поля электронным газом нанотрубки. // Труды. XIX Международного совещания "Радиационная физика твердого тела". — М.: ГНУ НИИ ПТМ, 2009. С. 724-729.

23. Экранированный кулоновский потенциал намагниченноей нанотрубки. // Труды. XIX Международного совещания "Радиационная физика твердого тела"т.2 / П.А.Эминов, Ф.Ш.Маджитова, Ю.И.Сезонов, А.А.Ульдин. — М.: ГНУ НИИ ПТМ, 2010.- С. 633-639.

24. M.S.Dresseihaus, G.Dresseihaus, P.C.Eklund. Science of fullerenes and carbon nanotubes. — N.Y.: Acad. Press., 1996.— P. 965.

25. M.S.Dresseihaus, G.Dresselhaus, P.Avouris. Carbon Nanotubes: Synthesis, Structure, Properties, and Applications. — Sringer: Acad. Press., 2001.

26. A.B.Елецкий. Транспортные свойства углеродных нанотрубок // УФН. 2009. - Т. 179. - С. 225.

27. M.F.Lin, K.W.K.Shung. Magnetoconductance of carbon nanotubes // Phys. Rev. B. 1995. - Vol. 51. — P. 7592.

28. N.Hamada, S.Sawada, A.Oshiyama. New one-dimensional conductors: Graphitic microtubules // Phys. Rev. Lett. — 1992. — Vol. 68. — P. 1579.

29. Б.Л. Альтшулер, А.Г. Аронов, Б.З.Спивак. Эффект Ааронова Бома в неупорядоченных проводниках // Письма в ЖЭТФ. — 1981. — Т. 33. — С. 101.

30. Д.Ю.Шарвин, Ю.В.Шарвин. Эффект Ааронова Бома в неупорядоченных проводниках // Письма в ЖЭТФ. — 1981. — Т. 34. — С. 285.

31. С.С.Савииский, С.С.Белослудцев. Кондактанс однослойной углеродной нанотрубки в однопараметрической модели сильной связи // ФТТ. — 2004. — Т. 46. — С. 1333.

32. В. Э. Каминский. Магнетотранспорт в углеродных нанотрубах и отрицательное магнетосопротивление. Метод матрицы плотности // ФТТ. 2002. - Т. 44. - С. 460.

33. Д. В. Завьялов, С.В.Крючков, Н.Е.Мещерякова. Влияние сильного магнитного поля на проводимость квантового цилиндра в условиях "штар-ковской лестницы-// ФТТ. — 2005. — Т. 47. — С. ИЗО.

34. П.А.Эминов. Экранирование кулоновского поля в намагниченном электронном газе квантового цилиндра // ЖЭТФ. — 2009. — Т. 135. — С. 1029.

35. V.A.Margulies, A.V.Shorokhov, M.P.Trushin // Phys. Letters A. — 2000. Vol. 276. - P. 180.

36. B.M.Ковалев, A.B. Чаплик. Кондактанс квантового кольца со спин-орбитальным взаимодействием в присутствии примеси // ЖЭТФ. — 2006. Т. 130. - С. 902.

37. Л.И.Магарилл, М.В.Энглин. Кондактанс квантового кольца со спин-орбитальным взаимодействием в присутствии примеси // Письма в ЖЭТФ. 2004. - Т. 80. - С. 477.

38. H.Suzuura, Т.Ando. Phonons and electron-phonon scattering in carbon nanotubes // Phys. Rev. B.— 2002. —Vol. 65.— P. 235412.

39. А.И.Ведерников, A.B. Чаплик. Колебательные моды и электронно-фононное взаимодействие в полупроводниковых нанотрубках // ФТП. 2004. - Т. 38. — С. 1358.

40. М.Строшио, М.Дутта. Фононы в наноструктурах. — М.: Физматлит,2006. С. 320.

41. И.А.Квасников. Теория неравновесных систем.— М.: УРСС, 2003.— С. 448.

42. В.Ф.Гантмахер, И. Б. Левинсон. Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках. — М.: Наука, 1984.

43. О.Маделунг. Теория твердого тела. — М.: Наука, 1980.

44. У.Харрисон. Теория твердого тела.— М.: Мир, 1972.— С. 616.

45. С.Н.Артеменко, А.Ф.Волков, С.В.Зайцев-Зотов. Квазиодномерные проводники с волной зарядовой плотности // УФН. — 1996. — Т. 166. — С. 434-439.

46. В.Л.Гинзбург. О сверхпроводимости и сверхтекучести (что мне удалось сделать, а что не удалось), а также о «физическом минимуме» на начало 21-го века // УФН. — 2004. — Т. 174. — С. 1240.

47. В.Л.Гинзбург, Д.А.Киржниц // ЖЭТФ.— 1964. — Т. 46.— С. 397.

48. The electronic properties of graphene / A. Neto, F.Guinea, N.M.R.Peres et al. // Reviews of Modern Physics.— 2009. — Vol. 81. — P. 109.

49. V.M.Edelstein // Sov. Phys. JETP. — 1989. — Vol. 68.—P. 1244.

50. L.P. Gorkov, E.I.Rashba. Superconducting 2d system with lifted spin degeneracy: Mixed singlet-triplet state // Phys. Rev. Lett.— 2001.— Vol. 87. P. 037004.

51. V.Barzykin, L.P. Gorkov. Inhomogeneous stripe phase revisited for surface superconductivity // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 89. — P. 227002.

52. E.G.Marino, Nunes L. H. Quantum criticality and superconductivity in quasi-two-dimensional dirac electronic system // Nucl. Phys.— 2006.— Vol. B741. P. 404.

53. Ю.Е.Лозовик, С.Л. Огарков, А.А. Соколик. Теория сверхпроводимости дираковских электронов в графене // ЖЭТФ.— 2010.— Т. 137.— С. 57.

54. Ю.Е.Лозовик, С. П. Мерку лова, А.А. Соколик. Коллективные электронные явления в графене // УФН. — 2008. — Т. 178. — С. 757.

55. Неоднородные электронные состояния в углеродных наноструктурах различной размерности и кривизны образующих их графеновых слоев / А.И.Романенко, А.В.Окотруб, В.JI.Кузнецов и др. // УФН. — 2005. Т. 175. - С. 1000.

56. A. Yu.Kasumov, R.Deblock, et al. Supercurrents through single-walled carbon nanotubes // Science. — 1998. — Vol. 284. — P. 1508.

57. A. Yu.Kasumov, M.Kodak, M.Ferrier. Quantum transport through carbon nanotubes: Proximity-induced and intrinsic superconductivity // Phys. Rev. В. — 2003. — Vol. 68. P. 214521.

58. Superconductivity in ropes of single-walled carbon nanotubes / M.Kodak,

59. A.Yu.Kasumov, S.Gueron et al. // Phys. Rev. Lett. — 2001. — Vol. 86.— P. 2416.

60. Z.K.Tang. Superconductivity in 4 angstrom single-walled carbon nanotubes // Science. — 2001. — Vol. 292. — P. 2462.

61. Y.Aharonov, D.Bohm. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory // Phys. Rev. — 1959.— Vol. 115.— P. 485.

62. W.A.Little, R.D.Parks. Observation of quantum periodicity in the transition temperature of a superconducting cylinder // Phys. Rev. Lett.— 1962. Vol. 9. - P. 9.

63. П. А.Эминов, Ю.И. Сезонов. Сверхпроводимость намагниченного электронного газа квантового цилиндра // ЖЭТФ. — 2008.— Т. 134.— С. 772.

64. L.X.Benedict, V.H.Crespi, S. G.Louie. Static conductivity and superconductivity of carbon nanotubes: Relations between tubes and sheets // Phys. Rev. B.— 1995.-Vol. 52, —P. 14935.

65. K.Sasaki, J. Jiang, R.Saito // Journal of the Physical Society of Japan.—2007. Vol. 76. - P. 033702.

66. J.Gonzalez. Microscopic model of superconductivity in carbon nanotubes // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88.— P. 076403.

67. B.Bellafi, S. Haddad, S.Charbi-Kaddour. Disorder-induced superconductivity in ropes of carbon nanotubes // Phys. Rev. B. — 2009. — Vol. 80. — P. 075401.

68. Zero-bias anomaly and possible superconductivity in single-walled carbon nanotubes / J.Zhang, A.Tselev, Ya.Yang et al.// Phys. Rev. B. — 2006.— Vol. 74. P. 155414.

69. В.А.Гейлер, В.А.Маргулис, А.В.Шорохов. Магнитный отклик двумерного вырожденного электронного газа в наноструктурах с цилиндрической симметрией // ЖЭТФ. — 1999.— Т. 115.— С. 1450.

70. A. V.Chaplik, L.I.Magarill, R.Z. Vitlina. Electrostatic screening and friedel oscillations in semiconducting nanotubes // Fizika Nizkikh Temperatur. —2008. Vol. 34, no. 10. — P. 1094.

71. J. Bardeen, L.N. Cooper, J.R.Shrieffer. Theory of superconductivity // Phys. Rev. — 1957. — Vol. 108. — P. 1175.

72. И.П.Базаров, Э.В. Геворкян, П. H. Николаев. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем.— М.: МГУ, 1986.— С. 312.

73. И.А.Квасников. Термодинамика и статистическая физики, т.Н, Теория равновесных систем: Статистическая физика. — М.: УРСС, 2002. — С. 429.

74. Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский. Статистическая физика ч.2. — М.: Наука, 1987. — С. 448.

75. Е.Г.Максимов. Проблема высокотемпературной сверхпроводимости. Современное состояние // УФН. — 2000.— Т. 170.— С. 1033.

76. П.И.Арсеев, С.О.Лойко, Н.К. Федоров. Теория калибровочноинвариантного отклика сверхпроводников на электромагнитное поле // УФН. 2006. - Т. 176. - С. 3.

77. V.L.Ginzburg. On two-dimensional superconductors // Phys. Rev.— 1989.-Vol. 27.-P. 76.

78. H.H.Боголюбов, В.В. Толмачев, Д.В.Ширков. Новый метод в теории сверхпроводимости. — М.: АН СССР, 1959.— С. 128.

79. N. Byers, C.N. Yang. Theoretical considerations concerning quantized magnetic flux in superconducting cylinders // Phys. Rev. Lett.— 1961.— Vol. 7. — P. 46.

80. И.А.Квасников. Термодинамика и статистическая физики, t.IV, Квантовая статистика. — М.: УРСС, 2005. — С. 349.

81. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков. Квантовые поля.— М.: Наука, 1980. — С. 319.

82. И.С.Градштейн, И.М.Рыэюик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Наука, 1971.— С. 1108.

83. Н.Н.Боголюбов. Собрание научных трудов в двенадцати томах, т.VIII.— Москва: Наука, 2007.— С. 642.

84. G.Y.Hu, R.F. О‘Connell. Dielectric response of a quasi-one-dimensional electron system // J.Phys: Condens Mather. — 1990. — Vol. 2. — P. 9381.

85. Р.З.Витлина, Л.И.Магарилл, А.В.Чаплик. Коротковолновые плазмо-ны в гизкоразмерных системах // ЖЭТФ. — 2008. — Т. 133. — С. 906.

86. M.F.Lin, D.S. Chuu. Impurity screening in carbon nanotubes // Phys. Rev.

87. B. 1997. - Vol. 56. - P. 4996.

88. B.M.Ковалев, А.В. Чаплик. Эффекты экранирования и осцилляции Фриделя в наноструктурах с квантовыми ямами // ЖЭТФ. — 2008. — Т. 134. — С. 980.

89. H.J. Schulz. Wigner crystal in one dimension // Phys. Rev. Lett. — 1993. — Vol. 71.-P. 1864.

90. R.Egger, H.Grabert. Electroneutrality and the friedel sum rule in a lut-tinger liquid // Phys. Rev. Lett. — 1997. — Vol. 79. — P. 3463.

91. Е.М.Лифшиц, Л.П.Питпаевский. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979.-С. 528.

92. В. Л. Гинзбург. Теоретическая физика и астрофизика. — Москва: Наука, 1987.

93. В.Л.Гинзбург, Д.А.Киржниц. Проблема высокотемпературной сверхпроводимости. — Москва: Наука, 1977. — С. 400.

94. А.Н. Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1972.-С. 724.

95. В.Д.Скаржинский // Труды ФИ АН. — 2008. — Т. 134.— С. 772.

96. А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. — Москва: Наука, 1983. — С. 752.

97. Модель электронной структуры наполненной металлом углеродной нанотрубки / Н.А.Поклонский, Е.Ф.Кисляков, Г.Г.Федорук,

98. С.А.Вырко // ФТТ.- 2000.-Т. 42.-С. 1911.

99. М. Gell-Mann, K.Brueckner. Correlation energy of an electron gas at high density // Phys.Rev. — 1957. — Vol. 106. — P. 364.