Макроскопические квантовые эффекты в намагниченных нанотрубках

Сезонов, Юрий Иванович

Макроскопические квантовые эффекты в намагниченных нанотрубках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Сезонов, Юрий Иванович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Макроскопические квантовые эффекты в намагниченных нанотрубках»

Автореферат диссертации на тему "Макроскопические квантовые эффекты в намагниченных нанотрубках"

На правах рукописи

004607754

Сезонов Юрий Иванович

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В НАМАГНИЧЕННЫХ НАНОТРУБКАХ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

-2 СЕ И 2010

Москва-2010

004607754

Работа выполнена в Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете).

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Эминов Павел Алексеевич.

доктор физико-математических наук, профессор Поляков Петр Александрович.

доктор физико-математических наук, Тютаев Андрей Павлович.

доктор физико-математических наук, профессор Шешин Евгений Павлович.

Московский инженерно - физический институт (Государственный университет)

Защита диссертации состоится СРр 2010 г. в 14.00 час. на заседании диссертационного совета Д 212.133.02 при Московском государственном институте электропики и математики по адресу: 109028, г. Москва, Б. Трехсвятитсльский пер., д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан

«/Г»

2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

Саенко В.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Развитие микроэлектроники идет по пути уменьшения размеров интегральных микросхем и их элементов. Уже сейчас существуют лабораторные образцы будущих элементов наноэлектроники па основе нанотрубок. В нанотрубках реализуются наиболее благоприятные условия для проявления квантовых эффектов, на основе которых могут быть созданы элементы функциональной электроники.

Особый интерес традиционно представляют осцилляционные эффекты. Сюда можно отнести, например, изучение осцилляции фотопроводимости двумерного электронного газа в магнитном поле, магнитотранспортные исследования в холловской геометрии для случая двумерного электронного газа на цилиндрической поверхности и осцилляции маг-нитосопротивлення низкоразмерных наноструктур. Исследование магнитного отклика в квазидвумерных структурах позволяет получить важные данные о параметрах энергетического спектра таких структур. Магнитное поле может изменять характер проводимости нанотрубки.

В связи со значительным интересом к исследованию плазменных волн в наноструктурах представляется важным изучение условий распространения и затухания плазменных волн, а также возможных механизмов управления этим затуханием в нанотрубках. Непосредственно с твердотельной плазмой связано явление экранирования кулоновского взаимодействия заряженных частиц в наноструктурах.

Электропроводность - один из важнейших параметров нанотрубок, определяющих возможность их использования в наноэлектронике. В последнее время активно проводится экспериментальное и теоретическое изучение проводимости нанотрубок. Исследования показывают, что для объяснения экспериментальных данных наряду с баллистическим механизмом электронного транспорта следует учесть вклад электрон- фотонного рассеяния в сопротивление нанотрубки.

В связи с появившимися сообщениями о наблюдении сверхпроводимости в плоских двумерных электронных системах, а учитывая уже имеющиеся экспериментальные результаты о сверхпроводимости пучков однослойных углеродных нанотрубок, представляется актуальным теоретическое исследование сверхпроводящих свойств таких структур.

Следует отметить, что кроме углеродных надатрубок на сегодняшний день получены нанотрубки и из других материалов. Это дисульфид вольфрама и другие дихалькоге-ниды, бор - углеродо - нитрид, нитрид - бора, арсенид галлия.

Таким образом, теоретическое изучение электронных свойств нанотрубок представляет несомненный интерес для развития наноэлектроники.

Цель работы. Изучение электрофизических характеристик (магнитных, диэлектрических, проводящих, сверхпроводящих) однослойных нанотрубок во внешних электромагнитных полях.

Научная новизна работы заключается в установлении новых закономерностей электронных свойств нанотрубок, а именно:

- Вычислена энергия обменного взаимодействия двумерного электронного газа на цилиндрической поверхности. Изучен вклад обменного взаимодействия в осцилляции намагниченности нанотрубки.

- Развита теория коллективных колебаний 20 электронов в нанотрубках с цилиндрической симметрией в магнитном поле.

- Дано квантовое описание явления пространственной и временной дисперсии продольной диэлектрической проницаемости. Построена теория экранирования кулоновского поля точечного заряда в намагниченном электронном газе нанотрубки.

- Исследовано влияние неупругого электрон — фононного рассеяния на продольную проводимость нанотрубки во внешнем магнитном поле.

- Построена микроскопическая теория сверхпроводимости электронного газа на цилиндрической поверхности в продольном магнитном поле. Исследована зависимость критической температуры и термодинамических величин сверхпроводника от параметра Аа-ронова- Бома

Теоретическая и практическая ценность результатов работы состоит в том, что для двумерных наноструктур с цилиндрической симметрией создан аналитический комплексный подход к описанию электрофизических свойств нанотрубок, который согласуется с имеющимися экспериментальными данными и позволяет целенаправленно планировать экспериментальные исследования. Результаты работы используются в учебном процессе МИЭМ, МГУПИ.

Достоверность научных результатов и выводов диссертации обеспечивается корректной постановкой изучаемых задач и их физической обоснованностью; использованием современных методов квантовой физики, а также их сравнением в предельных случаях с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов.

Все изложенные в диссертации результаты получены автором лично или при его непосредственном участии. Автор осуществлял выбор направлений и постановку задач исследований, а также анализ полученных данных.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: VII Российской конференции по физике полупроводников (г. Москва, 2005г.); III Международном симпозиуме "Качество, инновации, образование и CALS-технологии" (г. Шарм-аль Шейх, 2007г); Международном форуме "Новые информационные технологии и менеджмент качества" (г. Шарм-аль Шейх, 2009г); XVIII, XIX и XX Международных совещаниях "Ра-диацимшая физика твердого тела" (г. Севастополь, 2008 - 2010гг.); школе - семинаре "Наноструктуры, модели, анализ и управление" (г. Москва, 2008, 2009гг.); XI Международной конференции "Физика диэлектриков" (г. Санкт-Петербург, 2008г); Международном форуме по нанотехнологиям 08. (г. Москва, 2008г).

Публикации. Материалы, отражающие основное содержание диссертации, изложены в 26 научных публикациях, в том числе в 12 журнальных статьях из перечня ВАКа.

На защиту выносятся

1. Аналитические зависимости вклада обменного взаимодействия в намагниченность нанотрубки.

2. Квантовая теория явления пространственно - временной дисперсии диэлектрической проницаемости нанотрубки.

3. Электрон - фононный механизм продольной проводимости нанотрубки в магнитном поле.

4. Микроскопическая теория сверхпроводимости намагниченной нанотрубки

Структура и объем диссертации. Работа имеет объем 160 стр. машинописного текста, состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 111 наименований; имеет 27 иллюстраций.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, определены научная новизна и практическая ценность результатов работы, представлены основные положения, выносимые на защиту.

В главе 1 приводится обзор литературы по строению и физическим свойствам уникальных графитовых образований - фуллеренов и нанотрубок. Основное внимание уделяется однослойным нанотрубкам, наиболее близким по геометрии к цилиндру. Нанотрубки

перспективные элементы наноэлектроники и для их внедрения в производство необходимо теоретическое и экспериментальное изучение влияния внешних условий на электронные свойства наноструктур.

Модель углеродной нанотрубки в виде свернутого в цилиндр двумерного электронного газа находит широкое применение при теоретических исследованиях физических свойств нанотрубок.

Для квантового цилиндра гамильтониан нерелятивистского электрона в постоянном магнитном поле, направленном вдоль оси г в цилиндрических координатах с фиксированным радиусом R, много меньшим длины трубки L, записывается в виде:

Н0 JL+J-nst (1Д)

dip 2 dip 8 2т тс

~ h

Здесь St = —аг - оператор проекции спина на направление напряженности магнитного поля Н tt OZ, аг — ^ ^ ^ - матрица Паули, т - эффективная масса электрона,

сос ~ еВ/т'с - цикло гронная частота,/>г- оператор проекции импульса, £• = h212т'R2 -энергия размерного конфайнмента, В - индукция магнитного поля. Векторный потенциал однородного магнитного поля, направленного вдоль оси z, совпадающей с осью цилиндра, выбран в виде А = (-Ву/2, Вх/2,0).

Гамильтониан Н„ коммутирует с операторами проекции спина электрона (Sz), проекции орбитального момента импульса ( L,) и проекции импульса электрона (р,) на направление магнитного ноля:

[я0Д] = [Я0,£,]=[Я0,а]=О

В результате для нормированной волновой функции и уровней энергии электрона в приближении эффективной массы получим:

exp [Unbcp + p3z)}

2 2

+ 2mr+fJ"Hff- (U)

В формулах (2), (3) спиновая часть волновой функции электрона имеет вид

с.с-

- Ч-М

для случаев, когда спин направлен по (<т= +1) или против (сг = — 1) направления оси г соответственно, а также приняты обозначения: рэ = рг, <р-полярный угол, п = 0, ±1, ±2,... -азимутальное квантовое число, задающее величину пН, Ф = лЯ2В - магнитный лоток через сечение цилиндра, Фо = /¡с/г - квант магнитного потока, е - заряд электрона, еГг

/4В -----магнетон Бора.

2 тс

Энергия Ферми связана с линейной концентрацией электронов формулой

2^2/7 ^

кЪ.

п + -

_Ф Фп

а импульс Ферми продольного движения формулой

Рг

Г /- . \21

2т Ьг -е «+ —

= п2Ш%

(1Д)

(1Д>

где Л^- число электронов в п - ой зоне, приходящихся на единицу площади поверхности.

В свободном случае заполнение электронами дискретных уровней энергии поперечного движения происходит в следующем порядке:

Е0 -» ->£-2, ■■■ В магнитном поле, если выполнено условие

2--<1,

Ф„

(1,6)

то заполнение электронами дискретных уровней энергии поперечного движения происходит следующем образом:

Еа Е. 1 £+1 -» Е-г -* £+ 2 ■■■ Если вместе с (6) выполнено также условие

(С

Ф„

(1,7)

то электроны могут находиться только в основном состоянии (л = 0), для которого импульс Ферми продольного движения будет:

с я

Ръ

(1.8)

В дальнейшем будем использовать систему, где постоянная Планка, скорость света и постоянная Больцмана равны единицы (Л = с = кв = 1).

В главе II рассматривается вклад обменного взаимодействия электронного газа на цилиндрической поверхности на магнитные свойства нанотрубок.

Используя метод вторичного квантования, энергию обменного взаимодействия можно представить в виде:

е2 чгр

и = ~~2 2-, «Ла,РсгК(а,2>с)х

Х [ГаЛ^Уа, (О]----(Г2>/оЛГ2^ГА2-

- |Г.-Г2|

где суммирование проводится по всем квантовым числам а=(прг) и проекциям спина ст пар электронных состояний, УоДО^^) " волновые функции стационарных состояний электронов, взятых в различных точках с радиус-векторами Г] и гги пр(а,&) - числа заполнения данного квантового состояния электронов. Химический потенциал я идеального электронного газа связан с температурой Т полпым количеством электронов в газе N и напряженностью магнитного поля соотношением

Из уравнения (2,1) с учетом соотношений (2) и (3) находим энергию обменного взаимодействия в виде

2 1п

и = X «,(«>,а)п„ (а2,а) (2рК*,\п%1<р, (2,2)

где п=п\ - П2, р=[рз1 - рп\, А"0(х) - функция Макдональда, а суммирование проводится по квантовым состояниям а1=(п,,р32) и 02=(«2,/?з2) Формула (2,2) описывает непосредственно вклад обменного взаимодействия в термодинамический потенциал электронного газа, который можно представить в виде

и=ОГ=~ ]Г п,.(а1,стХ,(а},а)1п(рЯ)Кп(р!?), (2,3)

где /л - модифицированная функция Бесселя «-го порядка, К„ - функция Макдональда п-го порядка. Этот результат (2,3) использован для вычисления вклада обменного взаимодействия в намагниченность квантового цилиндра

в различных предельных случаях.

Рассмотрим осцилляции намагниченности вырожденного газа для реальных ситуаций, когда выполняется условия

л(Г = 0) = £,»г, £»1.

В этом случае из формул (2,2) (2,3) находим

П" « - —т У Г ¿лФ2 -, ■ пг (и,, рх (п2 ,р2), (2,5)

8л -%/Си,-«г> +Р *

где мы также пренебрегли зависимостью энергии электрона в функциях распределения Ферми-Дирака от спина электрона.

Осциллирующую часть намагниченности выделяем с помощью формулы суммирования Пуассона. В итоге для магнитного момента квантового цилиндра получаем следующий результат:

• и Ф

БШI2лп-

^ " 1 (2,6) Ив 72 V"

где С = -—-ат'/. — ) и о^е2 - постоянная тонкой структуры.

/г2 \е)

Выражение, стоящее под знаком суммы в формуле (2,6), является периодической функцией дробных частей параметров Ф/Ф0 и -/¡й/е , а сама намагниченность представляет собой осциллирующую функцию магнитного потока через поперечное сечение ншгот-рубки (рис.1).

Магнитный отклик идеального вырожденного двумерного электронного газа на цилиндрической поверхности в продольном постоянном магнитном поле вычислен в работе [1]. Например, при = 10,6 и Ф/Ф0 = 0,45 отношение вклада обменного взаимодейст-

вия в намагниченность квантового цилиндра к аналогичному результату работы [1] можно представить в виде

-«2аИт ,

причем в реальных наноструктурах т'К » 1.

Ф/Фо

Рис. 1. Зависимость вклада обменного взаимодействия в магнитный момент цилиндра от параметра Ааронова - Бома. Номер кривой соответствует дробной части величины ^/х/е = 0; ОД; .... 0,9.1=10 мкм.

Таким образом, обменное взаимодействие вносит существенный вклад в намагниченность квантового цилиндра, а магнитный огклик испытывает осцилляции Ааронова -Бома при изменении магнитного потока через поперечное сечение нанотрубки и размерные осцилляции при изменении радиуса нанотрубки.

В случае больцмановского газа, т.е. при условии:

>>Т,р <0, Т»е, формула (2,2) преобразуется к виду:

х/„(рй)/:„(р/г)ех

В результате, для вклада обменного взаимодействия в намагниченность квантового цилиндра в случае больцмановского газа в высокотемпературном пределе получено следующее выражение:

Существенно, что полученный результат предсказывает осцилляции намагниченности квантового цилиндра и в высокотемпературном пределе. Следует заметить, что при повышении температуры резкие пики в зависимости магнитного момента квантового цилиндра от параметра Ааронова-Бома, характерные для вырожденного случая, сглаживаются, и в пределе больцмаповского газа имеет место синусоидальная зависимость намагниченности от магнитного потока.

В главе ИГ рассматриваются диэлектрические свойства намагниченного электротю-го газа нанотрубки.

Под влиянием возмущения, задаваемого скалярным потенциалом <р= /), происходит изменение плотности намагниченного электронного газа. Для се вычисления исходим из квантово-механического уравнения для матрицы плотности.

Независящая от спина матрица плотности р('> гъ гг) является решением уравнения

^=(я1-//2>, (3,1)

где индексы 1 и 2 относятся к координатам п и гг, на которые действует гамильтониан электрона

Я = Я0+<?<»(/, г).

Здесь Я0 - гамильтониан электрона, определяемый формулой (1)

Зависимость возмущения <р{1,г) от времени и координат в цилиндрической системе координат имеет следующей вид:

г/>(/,г) = Л(г)ехр[-1йХ + И<р + И^г]. (3,2)

Влияние магнитного поля на электронный газ учитывается точно, а реакция системы на возмущение (3,2) - по теории возмущений в линейном приближении. Таким образом , решение уравнения (3.1) находится в виде

р=ра + др,

где ро = ро(<р< - <р2, - г2) - точное решение стационарного уравнения (1,1) в постоянном магнитном поле, а бр(1, гь г2) ~ поправка к малице плотности за счет возмущения (3,2). Для изменения поверхностной плотности намагниченного электронного газа

°Р - д, получена следующая формула:

¿Л^ = -еЛ(Я) ехр[-/гуг + ¡7 <р + /¿Зг] х

✓ ч ^ "г и--,Р, - -

х^Ё -Ж 1 2 , Л 2" Ч (3,3) т »г Л 2

где согласно правилу обхода полюсов Ландау при наличии полюса частота т должна пониматься как со + /О, т.е. полюсные множители надо понимать в смысле формулы Сохоц-кого.

Пространственная дисперсия приводит к возможности распространения в нанотруб-ке продольных электрических волн, для которых вектор Е направлен вдоль волнового вектора к

Продольную диэлектрическую проницаемость найдем исходя из связи плотности заряда индуцированного возмущением (3,2) с вектором диэлектрической поляризации. В итоге возмущение (3,2) должно быть решением уравнения Пуассона

АяедЫц £,-1

где <5(г - Я)- дельта-функция Дирака, £1=ъ^ю,к3) - продольная диэлектрическая проницаемость намагниченного электронного газа, определяется формулой (3,3).

В результате находим следующую формулу для электронного вклада в продольную диэлектрическую проницаемость намагниченного электронного газа квантового цилиндра:

с, («,*,) -1 = х

хУ и3 I 2 , 2), \ 2—и т

т т Я2 2

Полученный результат является обобщением формулы Силина-Климонтовича применительно к намагаиченному электронному газу на цилиндрической поверхности.

Дисперсионное уравнение Е/(юДз)=0 определяет закон дисперсии продольных волн. В квазиклассическом случае (¿3 «рг, со« Ер) и при / = 0 получаем:

= 1 -^КММ^/^-- (3,5)

к „ о/ -цУрУп)

причем суммирование по и в (3,5) ограничено условием положительное™ подкоренного выражения в (1,4).

Таким образом, дисперсионное уравнение для симметричного плазмона в квазиклассической области значений Аз имеет вид:

(3,6)

„со2 - к]Ур(п)

Проведенный анализ показывает, что для произвольных значений параметра k^V^Ico, закон дисперсии продольных электрических волн и спектр электронных колебаний следует вычислить на основе полученной квантовой формулы (3,4), а не его квазиклассического приближения (3,6), которое соответствует случае относительно слабой пространственной дисперсии [2].

Рассмотрим далее случай сильной пространственной дисперсии. Особый интерес представляет статический случай со-* 0, когда особенно ясно видна роль пространственной дисперсии в плазме.

Исходя из формулы суммирования Пуассона из (3,4) при 1=0 получено следующее точное представление для величины ¿¡{со, кз):

е, (й), к^) = 1 + /0 (к,ft) Ки (k^R)^ схр -link Ф

где

„ "г Л , г,. • 1 1

Ф„

(3,7)

ехр

2т

М\1Т

+ 1

2 т т 2т т

В частном случае, когда условия (1,6) и (1,7), из формулы (3,4) при /-0 находим

л к.

2 pi + к3

(3,8)

Ы-К

Существенно, что выражение (3,8) как функция къ в точке ]къ\ = 2р^ имеет особенность (рис.2), аналогичную коновской особенности в трехмерном случае для продольной диэлектрической проницаемости свободного электронного газа. Наличие коновской особенности приводит к изменению характера экранировки заряда

Рис. 2. Зависимость диэлектрической восприимчивости иаиотрубки от волнового числа. Сильная пространственная дисперсия, статический случай. Линейная концентрация электронов N¡.=6 107 м'1, радиус трубки Л=10 нм, импульс Ферми /^10"гб кг м/с.

Формула (3,7) в явном виде показывает, что продольная диэлектрическая проницаемость электронного газа квантового цилиндра является осциллирующей функцией параметра Ааронова-Бома и зависит от радиуса трубки (рис.3).

Мнимая часть продольной диэлектрической проницаемости описывает затухания плазменных волн. Исходя из формулы Сохоцкого, из (3,4) при /=() выделена мнимая часть продольной диэлектрической проницаемости и, проведя интегрирование по рз, получен точный результат, описывающий затухание Ландау:

2т со - к

п,-

2к,

2 т' ш + А,г

2ку

(3,9)

Рис. 3. Зависимость диэлектрической восприимчивости нанотрубки от параметра Ааронова-Бома при различных значениях радиуса. Сильная пространственная дисперсия, статический случай. Ькз-Юр^. Импульс Ферми рр= 1 10 26 кг м/с, лилейная концентрация электронов Л'/.= 108 м"1: а.) Л=10 нм, б.) «=12,5 нм, е.) Я=15 им, г.) Л-17,5 нм, д.)Я=20 нм.

Здесь пе

ехр

( Ф„ 2т

+ 1

]

ч = -

2т'со + к?

2к,

Поглощение для предельного случая больцмановского газа, т.е. при условии р <0, \р\»'Г, Т » е, как следует из (3,9), определяется формулой:

«,>,*,)= (~2е2)10(.к,Л)К0(к,П)

- ехр

/л 1 ( (2т'ю)г + Т 2т'т\ (2 А,)2

х 11 + 2 со5(2я- ехр(-1 Ф/ *

25Ь(—)х К2Т'

(3,10)

В случае полностью вырожденного электронного газа, когда выполнены условия (1,6) и (1,7), электроны могут находиться только в основном состоянии (и = 0).

Для «=0 в предельном случае вырожденного газа и при выполнении условия ц(Т = 0) = Ер»е область значений параметров, для которых г"(й>Д3) -*■ 0 задается не-

равенством

(2/я'<а - )2 2 {2т'го +

(2*3)2

(2/с3)2

(3,11)

азависимость ш = со(к3) находится из уравнения е,(а),к3)~ 0.

В результате для вырожденного электронного газа получено:

/в(*,Л)*в(М).

(3,12)

На рис. 4. представлены зависимости частоты (а), фазовой скорости (б) от волнового числа и указана область, определяемая соотношением (3,11), где наблюдается затухание Ландау. Затухание соответствует коротковолновой области к > ко и при уменьшении длины волны уменьшается обратно пропорционально квадрату волнового числа (3,12).

Мнимая часть диэлектрической проницаемости, так же, как и реальная часть, является осциллирующей функцией параметра Ааронова-Бома.

В главе III используется продольная диэлектрическая проницаемость системы для описания эффекта экранировки поля внешнего заряда, обусловленного перераспределением зарядов самой системы.

Фурье-образ потенциала поля покоящегося заряда с плотностью р = д${г) дается выражением:

1 ' *,(0,к)

где Р0(О,к) - Фурье-образ потенциала заряда в свободном случае, а /;,((), к) - продольная

диэлектрическая проницаемость вещества в статическом пределе, когда <и = 0.

Пусть точечный заряд д в используемой цилиндрической системе координат находится в точке с координатами г-11,1р= 0,г = 0. Тогда, без учета поляризации среды, Фурье-образ потенциала поля, создаваемого этим зарядом в произвольной точке на цилиндрической поверхности радиусом И, определяется из формулы:

1 Т_

т Л/с

V .м/с

!кхг+Иф

(3,13)

к ,1/м

О о)

к ,1/м

Рис. 4. Зависимости частоты а), фазовой скорости 6) от волнового числа. Линейная концентрация электронов N¡=6 107 м'\ радиус трубки Й=Ю нм., ^-Ш4 м/с. ко - красная граница затухания Ландау.

г2 + 4/?2зт2 —

(3,14)

Из формул (3,13)-(3,14) следует, что

где /;(х) и А',(-х) - модифицированные функции Бесселя мнимого аргумента Так как основной вклад в асимптотику в наиболее интересной области относительно больших расстояний от заряда, когда выполнено условие ->>/<', дает аксиально-симметричная часть потенциала (/=0), то экранированный потенциал поля точечного заряда с] на поверхности квантового цилиндра определяется формулой:

7Г 1

где

г(0Д3) = 1+

(3,15)

(3,16)

Ръ

Фэ

Рассмотрим осцилляции Фриделя экранированного потенциала. В случае вырожденного электрошюго газа из формулы (3,16) получено:

к, + 2р,(п)

(3,17)

Здесь р1 (п) определяется формулой (1,7).

При выполнения условий (1,6) и (1,7) значение е, (0, к) определяется формулой (3,8). Вычислив действительную часть интеграла (3,15), при выполнении условий =» 27?, »1 получаем, что экранированный кулоновский потенциал в нанотрубке задается формулой

4 ' 1Ч4те~

1 (8/шг^ со$(2срг) лру ) ^Ч^Рг)

(3,18)

где = ■ С ' постоянная Эйлера.

Заметим, что монотонная часть (3,18) согласуется с результатом работы [3].

Наиболее интересными представляются осцилляции Фриделя экранированного ку-лоновского потенциала, асимптотика которых вычислена здесь в аналитическом виде.

Как это следует из (3,18), по мере заселения электронами новых зон, осцилляции Фриделя происходят уже не только на одной "частоте" й>0 = лр, , но и на "частотах" ап ~ 2р„. где рп - импульс Ферми п- й зоны, определяемый формулой (1,7). Этот эффект в квазиклассическом приближении должен быть сильно сглажен в связи с наложением осцилляций с разными, но относительно близкими "частотами". Тем не менее, он может быть существенным для случая нескольких заполненных зон, представляющего практический интерес.

В работе [4], в вырожденном случае и в отсутствии внешнего поля, также изучались осцилляции Фриделя экранированного электрон - электронного взаимодействия в квантовом цилиндре. Следует отметить, что в настоящей работе исследована другая по своему физическому смыслу задача, как это и указано при ее постановке, - экранирование куло-повского поля, создаваемого внешним зарядом ц, который неподвижен и не испытывает обратного влияния со стороны электронного газа нанотрубки.

Вычислен также экранированный кулоновский потенциал в предельном случае больцмановского электронного газа, т.е. при условии Т, ц <0.

В квазиклассическом приближении, т.е. нри к3 « рР, имеем:

Впе

Применив формулу суммирования Пуассона, статическую диэлектрическую проницаемость намагниченного электронного газа нанотрубки, задаваемую формулой (3,16), представим в виде:

г(0Д3) = 1 + (4те!я)

+2£схв|2я* £ | ] т-—- dxJ0 [ ТякЛрт {р + хТ)'1 *-< V фо)1'1е'+1} ь J

(3,19)

Юие'+1)

х10(\ф)К0{\Ця),

где J<¡(:) - функция Бесселя нулевого порядка. Из формулы (3,19) для больцмановского электронного газа получено

Главный член асимптотики экранированного потенциала определяется формулой:

.4 1

V (:) = !-

(3,20)

График зависимости экранированного потенциала от расстояния показан на рис 5.

У/д, В/Кл

ю 2$ '46 ц гг

Рис. 5. Зависимость удельного потетр/ала от расстояния для на-нотрубки. Концентрация Л'г=108 м ', температура Т = 300 К, радиус трубки Л'=10 нм.

Заметим, что результат, как это и должно быть в классическом пределе, не содержит осцилляциоиных эффектов.

Исследуем осцилляции Ааронова-Бома экранированного кулоновского поля точечного заряда вырожденным электронным газом квантового цилиндра. Ограничимся рассмотрением той части экранированного потенциала, которая не содержит осцилляции Фриделя. В квазиклассическом приближении для случая сильного вырождения электронного газа (Г«£>) из формулы (3,19) для величины е(0,к,) получено следующее представление:

* (0, ) = 1 + (4 те2 И) Пв (|*31П) К0 (|*3| Л), (3,21)

где принято обозначение

1 +

2^ 1/0

(3,22)

Как следует из формул (3,21) и (3,22), статическая продольная диэлектрическая проницаемость испытывает осцилляции при изменении магнитного потока через сечение на-нотрубки.

В итоге для асимптотики (- » 24) аксиально-симметричной части экранированного кулоновского потенциала в рассматриваемом приближении получена следующая форму-

: (4те2 Ю-')11п3

2К

(3,23)

где величина ^ определяется формулой (3,22).

Таким образом, формула (3,23) описывает осцилляции Ааронова-Бома экранированного кулоновского ноля в квантовом цилиндре (рис.б).

■2 1.

0.5

[Л г

1 \

О й.2 0.4 0.6 0.8

Ф/Ф0

Рис. 6. Зависимость квадрата обратной величины от параметра Аароноеа - Бома. Произведение импульса Ферми на радиус рРЩ =7,2.

В главе IV. рассматриваются проводящие свойства нанотрубки для различных механизмов рассеяния электронов на фононах и вычислена проводимость квантового цилиндра в магнитном поле.

Отправной точкой при изучении электрон - фононного взаимодействия выбран гамильтониан Фрелича, который в представлении вторичного квантования имеет вид

=с4-1)

где ар+ - оператор рождения электронов, - оператор рождения фононов, Ф^) - амплитуда, характеризующая интенсивность взаимодействия.

Рассмотрено рассеяние электронов на длинноволновых акустических фононах в случае, когда доминирует деформационный механизм рассеяния. Решение этой задачи дано на основе кинетического уравнения Больцмана в приближении времени релаксации. Движение электронов в невозмущеппой электрическим полем задаче описывается решением стационарного уравнения Шрсдингера на цилиндрической поверхности, вдоль оси которого приложено постоянное магнитное поле (1,1).

Рассматривая линейный отклик квантового цилиндра на внешнее электрическое поле с напряженностью Е, также направленным вдоль оси нанотрубки, из кинетического уравнения Больцмана находим, что поправка /, к равновесной функции распределения /а описывается формулой

/,(«,Рз) = (-*М",А)| II в И" <4'2>

Суммируя вклады от каждой зоны энергии поперечного движения, для продольной проводимости нанотрубки получаем следующую формулу.

•■'хЫгм-*

II--. -II I 'V./'VI dp,- (4>3)

¿{2я2Н){т) v ' L дЕ\ 3 Рассматривая гамильтониан (4,1) как возмущение, вероятность квантовых переходов электрона за единицу времени из состояния (п,р,) в состояние (п д,') с поглощением (испусканием) фонона с импульсом q = и энергией &)(q) можно представить в ви-

де:

<и(",А -» "',Ру) = 2xBDqJl,iqLR)y,

I 1 (4>4)

х{«/(£(«,р,) + % - Е(п ',Рз )] + (! + n,)S[E(n,/>,)-»„- Е{п\р, )]}

где J„_„.{x) - функция Бесселя, п^ - среднее число фотонов с энергией со(д), зависящее от распределения Бозе - Эйнштейна, Вс - постоянная деформационного потенциала.

Учитывая далее, что скорость хаотизации продольного импульса определяется из уравнения

для обратного времени релаксации в случае линейного закона дисперсии получено следующее представление:

1 _ +

+1 ц +

1 • (4,6)

Фа

Здесь К- скорость звука, - продольный импульс Ферми и-й зоны энергии по-

перечного движения электрона, определяемый формулой (5).

В итоге, после интегрирования по переменной р, линейная проводимость квантового цилиндра в продольном магнитном поле представляется в виде

где

г(л,л) , (4,8)

а время релаксации определяется формулой (4,6).

На основании формулы (4,7) вычислен вклад электрон - фононного рассеяния на акустических фонон&х в сопротивление квантового цилиндра. В высокотемпературном пределе сопротивление линейно зависит от температуры. Аналогичное поведение сопротивления металлических углеродных нанотрубок, причем независимо от хиральности, было установлено ранее в [5]. В предельном случае относительно низких температур и линейного закона дисперсии для фононов, сопротивление квантового цилиндра пропорционально третьей степени температуры.

Для двумерной наноструктуры (п*п') формула (4,6) описывает зависимость времени релаксации от параметра Ааронова - Бома. Электропроьодность является осциллирующей функцией магнитного потока через сечение нанотрубки. Изменение дробной час-

ти параметра Ааронова - Бома сопровождается изменением проводимости по сравнению со свободным случаем, когда нет магнитого поля, на 10 - 20% (рие.7).

Рис. 7. Зависимость проводимости от параметра Ааронова — Бома. Радиус трубки Л=10 нм. Температура Г=10 К Линейная концентрация N¿=0,04 ю'м"1 (7), N¿=0,06 109 м"1 (2); оь - проводимость нанотрубки при линейной концентрации N¿=0,04 109 м"1 в свободном случае.

В главе V рассматриваются сверхпроводящие свойства нанотрубки. Исследована возможность образования куперовской пары на цилиндрической поверхности в постоянном магнитном поле.

Рассмотрим уравнение Шредингера для системы из двух взаимодействующих друг с другом электронов, находящихся на цилиндрической поверхности в присутствии продольного магнитного поля:

(Н1 + Н2 + Нм)у, = Еу,. (5,1)

Здесь Е - энергия куперовской пары,

#;„ = II - С/([г, -г2|) = - :2)2 + К2 С05(<р, = (:,<р) - потенциальная энергия

взаимодействия электронов в цилиндрической системе координат, г = г,-г2, <р - <рх - (р2, индексы 1 и 2 относятся к координатам п и г2, на которые действует гамильтониан электрона на цилиндрической поверхности в продольном магнитном поле, который определя-

ется формулой (1,1), нормированные собственные функции и собственные значения определяются формулами (1,2), (1,3).

Далее рассматриваем электронные нары, у которых орбитальные моменты импульсов, а также импульсы продольного движения и проекции спина электронов па направление магнитного поля направлены в противоположные стороны.

В нулевом приближении волновую функцию такой электронной пары, составленную из решений соответствующих одночастичных уравнений Шредингера, ищем в виде:

где 2 = г,-г2, <р = <р1-<р2, р-{п,рг) -совокупность квантовых чисел, задающих стационарное состояние электрона.

В результате уравнение (5,1) принимает вид:

Е - 2еп2 - т'й^й2 - —

С(и,й) = ЕС("'.Л Р(п-п\р^р3'), (5,2)

где и (п-п',р, - рг') - матричный элемент оператора взаимодействия электронов.

Следуя модели БКШ, аппроксимируем матричный элемент мультипликативной постоянной взаимодейсгвия

и = (53)

где

[ 1, если Ес < Е (п, р,) < Ег + со,

/ V (5'4>

10, если Е(п,Рз) > Ег + со, т.е. считаем, что во взаимодействии через обмен фононами участвуют только электроны, энергия которых лежит в узком интервале энергий шириной со над уровнем Ферми.

Из (5,2) с учетом (5,3) и (5,4) для определения энергии основного состояния купе-ровской пары на цилиндрической поверхности и в присутствии продольного магнитного ноля получаем уравнение:

-41 (¿Ь———>

где мы положили Е = -Д + 2Ее, g - константа взаимодействия. В правой части (5,5) суммирование по я и интегрирование по р% проводятся по области, определяемой условием (5,4), величина Д > 0 равна энергии связи куперовской пары, а энергия Ферми определяется формулой (4).

25 г-'-р^ (5,6)

В работе показано, что решение уравнения (5,5), соответствующее связанному состоянию электронной пары с Д > 0, возможно в случае, когда $ < 0, т.е. при наличии динамического притяжения между электронами.

Используя картину Фарри и метод (и-у) преобразования Боголюбова ферми-операторов, была построена микроскопическая теория сверхпроводимости электронного газа квантового цилиндра во внешнем постоянном магнитном поле.

В представлении вторичного квантования исходный гамильтониан слабонеидеально-го ферми газа с парным эффективным взаимодействием и - [/((г, -г2|), которое не зависит от спина, имеет вид:

Я = + ~ £ ¿(Р'Р')

где .1 — образ Фурье потенциальной энергии взаимодействия электронов и приняты

обозначения:

Е/(">Рз)3Е1^Фз/(*>Рз)> = » -химический

потенциал. Совокупность квантовых чисел, характеризующих стшшонарное состояние электрона в (5,6), будем обозначать символом (р,<г), где р - (п,р}), <т = ±1 - спиновое

п л?

квантовое число, задающее в единицах — проекцию спина электрона на ось и£.

Используя статистический вариационный принцип Боголюбова для термодинамического потенциала системы с гамильтонианом (5,6), получаем оценку:

в о

(5,7)

Шр% ' Е(рУК ' 2 , Е(р)

где в -температура, = ^ £ J(p,p')up.vr. ■

Минимальное по отношению к величине энергетической щели значение термодинамического потенциала (5,7), соответствующее устойчивому термодинамическому состоянию системы, находится из условия:

в* = 0,

5С(р)

которое приводит к уравнению для энергетической щели:

С(Р) = 1&Ш-г=ЩПЧ>(р,Л (5,8)

Таким образом, термодинамические свойства сверхпроводящего электронного газа на цилиндрической поверхности и в присутствии постоянного магнитного поля должны определяться из формулы (5,7) при условии (5,8).

Для теории БКШ уравнение (5,8) принимает вид:

1 = (5,9)

где

2т

2 ( Ф

я + —■ 1Фо

Ё = 2еп^—ЦьН, (5,10)

20 2в

Полученное уравнение описывает зависимость ширины энергетической щели и температуры фазового перехода в нормальное состояние от характерных параметров системы, включая геометрические размеры квантового цилиндра и напряженность магнитного поля. Существенно, что в уравнение (5,10) для энергетической щели явно входит параметр Ааронова-Бома. Зависимость критической температуры от магнитного потока показаны на рис.8.

Проведем исследование уравнения (5,10) при нулевой температуре. В случае, когда выполнены условия (1,6) и (1,7), электроны мот-ут находиться только в основном состоянии (п=0), для которого импульс Ферми продольного движения (1,8). Для этого случая получено

ДОЛг^шехр-М^2)/)/

I т 8

Для проведения дальнейших вычислений удобно исходить из следующего представления для линейной концентрации вырожденного электронного газа:

Jl (2/гф,Д)со5^2я£ ф

(5,11)

Г, К

20-

ОМ

0.5

Ф/Ф0

Рис. 8. Зависимости критической температуры от магнитного потока. Линейная концентрация Л7,=28Д ДО^м"1, радиус трубки /?=5 нм, Энергия Ферми в отсутствии магнитного поля £/.=0,173 эВ, максимальная критическая индукция магнитного поля5=8,9 Тл,£=8 105 кг"1, ¿'=1,2 мэВ.

где ре = т/2т р . Формула (5,11) в неявном виде определяет зависимость энергии Ферми р от линейной концентрации электронов, радиуса цилиндра и параметра Ааронова-Бома. Рассмотрим далее предельный случай, когда р » е. Это условие эквивалентно »1.

Проводя в (5,9) суммирование по квантовым состояниям, энергии которых лежат в слое шириной со над уровнем Ферми, получаем:

Л„ = 2шехр

8 I др

(5Д2)

2 к,

Полагая также, что выполнено условие -^-(.Л^Л)" «1, из формул (5,11) и (5,12) нахо-

дим:

Д0 - 2с)ех.р

2л

тг.

1 + —(ЛГ.Ярх > -

Зтг 4

Гк

5 2лк

ф_ ф7

(5,13)

Таким образом, как это следует из формул (5,12) и (5,13), ширина энергетической щели испытывает осцилляции двух типов.

Первый тип - это осцилляции Ааронова-Бома, в основе которых лежит неодносвязность области движения электронов в присутствии внешнего магнитного поля. Здесь следует подчеркнуть, что осцилляции Ааронова-Бома для критической температуры в случае тонкостенных сверхпроводников цилиндрической формы наблюдались экспериментально [б].

Второй тип осцилляции - это осцилляции, параметром которых является величина

(Т^Я)2 ~ (Л^)2 Я. Существенно, что эти осцилляции сохраняются и при выключении

= 2&>ехр

(5,14)

внешнего магнитного поля. В связи с этим можно говорить об этих осцилляциях как о физическом эффекте, в основе которого лежит изменение кривизны поверхности, т.е. геометрии нанотрубки.

Наконец, в предельном случае, когда /?->°о, из формулы (5,13) получено

2ж~ gm_

Этот результат соответствует предельному случаю плоской поверхности, а магнитное поле не входит в (5,14), так как оно направлено параллельно поверхности.

Вычислим далее величину скачка теплоемкости структуры при достижении критической температуры.

Термодинамический потенциал сверхпроводящего электронного газа квантового цилиндра в свободном случае можно представить в виде:

1 ____ШШ. V

£! = (_)У Гф3[£-л/£2 + Д2-2Лп(1 + е т )] + -Д2, (5,15)

2л V : g

где Д - ширина энергетической щели, которая находится из уравнения:

1 = ХуГ(5,,6)

Как и в трехмерном случае, изучение термодинамических свойств наноструктуры начнем с исследования температурной зависимости величины щели Д. При нулевой темпера-

туре, как уже отмечалось, получено выражение (5,12). Линейная концентрация вырожденного электронного газа связана с импульсом Ферми соотношением (5,11). Из уравнения (15,16) получаем:

1п-^- = 2Р(-), (5,17)

Д (Г) Г

где

ДО-) , Ск. (5,18)

¿ф2+х2\еяр ф2+х*+Ц

Таким образом, термодинамические свойства сверхпроводящего газа квазичастиц вычисляются на основе формулы (5,15) для термодинамического потенциала с учетом формул (5,11), (5,12) и (5,17), (5,18). При этом зависимость О - потенциала от геометрических размеров наиотрубки и электронной концентрации определяется шириной щели при нулевой температуре, а зависимость от температуры - формулой (5,18), имеющей такой же вид, как и в трехмерной теории сверхпроводимости.

Теплоемкость системы находится дифференцированием термодинамического потенциала по температуре:

С=-Ищ. дТ2

В итоге для теплоемкости сверхпроводящего электронного газа квантового цилиндра получаем следующую формулу.

С 1 — = -пТс I 3 с

1 + -

7«3)

Учитывая далее, что теплоемкость идеального ферми-газа при Т=ТС

4<гл»и

I 3 '{¿?Гг<п))

находим, что разность теплоемкостей сверхпроводящей и нормальной фазы в точке фазового перехода стремится к конечному значению:

ь пт. у

Таким образом, при достижении критической температуры в системе происходит фазовый переход второго рода из сверхпроводящего в нормальное состояние электронного газа с конечным скачком теплоемкости (5,19).

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ.

1. Вычислена обменная энергия электронного газа на цилиндрической поверхности в постоянном магнитном поле. Получены аналитические формулы, описывающие вклад обменного взаимодействия в осцилляции намагниченности квантового цилиндра. Показано, что магнитный отклик системы испытывает осцилляции Ааропова - Бома как в случае вырожденного, так и в случае больцмановскою газа.

2. Вычислена статистическая матрица шютностн электронного газа на цилиндрической поверхности во внешнем магнитном поле, представляющем суперпозицию магнитного и электрического полей. Проведено полное исследование явления пространственной и временной дисперсии продольной диэлектрической проницаемости нанотрубки.

3. Исследовано влияние магнитного поля на коллективные колебания 20 - электронов в нанотрубках. Получены асимптотики закона дисперсии плазменных волн и продольной диэлектрической проницаемости. Указаны условия, про которых возможно экспериментальное наблюдение эффекта Ааронова - Бома.

4. Найдена мнимая часть продольной диэлектрической проницаемости. Определена коротковолновая граница затухания Ландау. Показано, что коэффициент поглощения продольной электрической волны в нанотрубках испытывает осцилляции Ааронова - Бома.

5. Для нанотрубки в магнитном поле получено общее выражение для экранированного кулоновского ноля неподвижного точечного заряда. Вычислены асимптотики экранированного потенциала. Показано, что экранированное взаимодействие наряду с монотонной частью содержит квантовую осцилляционную часть, которая соответствует осцилля-циям Фриделя. Выяснено, что осцилляции Фриделя могут представлять собой суперпозицию колебаний с разными частотами, которые определяются микроскопическими свойствами нанотрубки.

6. В аналитическом виде получена формула для экранированного кулоновского потенциала в случае больцмановского газа, которая может найти применение для описания свойств полупроводниковых нанотрубок. Показано, что экранированное взаимодействие заряженных частиц на цилиндрической поверхности испытывает осцилляции Ааронова -Бома, которые могут претендовать на экспериментальную проверку в ближайшем будущем.

7. Вычислен вклад электронного рассеяния на продольных акустических фононах на-нотрубки в проводимость квантового цилиндра во внешнем магнитном поле. Показано, что проводимость нанотрубки является осциллирующей функцией параметра Ааронова -Бома.

8. Изучена температурная зависимость сопротивления нанотрубки. Установлено, что вклад электрон - фононного рассеяния в удельное сопротивление меняет свою температурную зависимость от линейной в области высоких температур до кубической при низких.

9. В аналитическом виде получена формула, описывающая зависимость сопротивления 1£> наноструктуры от температуры.

10. На основании статистического вариационного метода Боголюбова и гамильтониана БКШ исследованы сверхпроводящие свойства электронного газа квантового цилиндра в продольном магнитном поле. Вычислен термодинамический потенциал сверхпроводящей системы. Получено уравнение для энергетической щели, определяющее зависимость критической температуры от геометрических размеров нанотрубки и магнитного потока через сечение цилиндра.

11. Установлено, что критическая температура испытывает два типа осцилляции. Первый тип - это осцилляции Ааронова - Бома. Второй тип осцилляции, в основе которого лежит изменение геометрии поверхности, сохраняется и при выключении внешнего магнитного поля. Дано физическое обоснование полученных результатов и указаны условия, которые являются наиболее благоприятными для наблюдения осцилляции Ааронова - Бома критической температуры.

12. Исследованы термодинамические свойства сверхпроводящего квантового цилиндра. Вычислена величина скачка теплоемкости сверхпроводящей и нормальной фазы при критической температуре.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. P. A. 'Eminov, A. A. Ul'din, Yu. I. Sezonov, and. S. V. Gordeeva. Thermo-dynamical Properties of a Superconducting Quantum Cylinder.// Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 17, No. 2, 2010 - P. 154-158.

2. Маджитова Ф.Ш. Сезонов Ю.И., Ульдин A.A., Эминов П.А. Экранированный кулоновский потенциал намагниченной нанотрубки. // Труды. XIX Международного совещания "Радиационная физика твердого тела" т.2. М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2010.- С.633-639.

3. Эминов П.А., Сезонов Ю.И., Гордеева С.П., Ульдин A.A., Пюрбеев Ю.А. Рассеяние электронов на акустических фононах и проводимость квантового цилиндра в магнитном поле. // Труды. XIX Международного совещания "Радиационная физика твердого тела" т.2. М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2010,- С.640-644.

4. Эминов П.А., Ульдин A.A. Сезонов Ю.И., Гордеева C.B. Электрон-фононное взаимодействие и электропроводность нанотрубки во внешнем магнитном поле.// Известия ВУЗов. Физика. 2010.

5. Р. А. 'Eminov, Yu. 1. Sezonov, and A. A. Ul'din. Ahaionov-Bohm Effect for the Potential of a Coulomb Field in Electronic Gas of Quantum Cylinder. // Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 16, No. 4,2009,- P. 563-565.

6. Сезонов IO. И., Ульдин А. А. Вклад электрон-фононного взаимодействия в проводимость углеродной нанотрубки. // Химическая физика, т. 28, №12, 2009.- С.73-75.

7. Сезонов Ю.И., Эминов П.А., Ульдин А. А. Модель электронного газа на цилиндрической поверхности для описания диэлектрических свойств нанотрубок. // Аннотации лекций 2-ой Всероссийской школы - семинара. "Наноструктуры, модели, анализ и управление". М. МИЭМ. 2009.- С.17-18.

8. Перепелкина Ю.В., Сезонов Ю.И., Эминов П.А. Затухание электромагнитного поля в нанотрубках. // Труды. XIX Международного совещания "Радиационная физика твердого тела" М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2009,- С.730-737.

9. Сезонов Ю.И., Ульдин A.A., Эминов П.А. Экранирование электрического поля электронным газом нанотрубки. // Труды. XIX Международного совещания "Радиационная физика твердого тела" М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2009.- С.724-729.

10. Сезонов Ю.И., Перепелкина Ю.В. Влияние внешнего магнитного поля на затухание Ландау в углеродных нанотрубках. // Химическая физика, т. 28, №4, 2009.- С.81-84.

11. Сезонов Ю.И. Макроскопические квантовые эффекты в намагниченных нанотрубках. // Известия РГПУ им. А.И. Герцена. №11(79): Естественные и технические науки: Физика: Научный журнал - СПб.: Известия РГПУ им. А.И.Герцена. 2009.- С.89-100.

12. Сезонов Ю.И., Ульдин A.A., Эминов П.А. Фононный вклад в проводимость нанотрубки во внешнем магпитном поле. // Материалы международного форума "Новые информационные технологии и менеджмент качества" М.: Фонд "Качество" 2009,- С. 145148.

13. Эминов П.А., Перепелкина Ю.В., Сезонов Ю.И. Диэлектрические свойства намагниченного электронного газа нанотрубки. // ФТТ, т. 50, вып.12,2008.- С.2220-2224.

14. Сезонов Ю.И,, Перепелкина Ю.В., Эминов П.А. Диэлектрические свойства намагниченного электронного газа квантового цилиндра. // Материалы XI Международной конференции Физика диэлектриков, Санкт-Петербург, 3-7 июня 2008 г. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, т. 2.2008.- С.256-259

15. Сезонов Ю.И., Эминов П.А. Макроскопические квантовые эффекты в нанотрубках. II Аннотации лекций школы - семинара. "Наноструктуры, модели, анализ и управление". М. МИЭМ. 2008,- С.29.

16. Эминов П. А., Сезонов Ю. И. Сверхпроводимость намагниченного электронного газа квантового цилиндра. //ЖЭТФ, т. 134, вып.4(10), 2008.- С.772-778.

17. Вологина М.В., Перепелкина Ю.В., Сезонов Ю.И., Эминов П.А. Распространение электромагнитного излучения в углеродных нанотрубках. Труды. XVIII Международного совещания "Радиационная физика твердого тела" М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2008.-С.537-545.

18. Сезонов Ю.И., Эминов П.А. Осцилляции Ааронова - Бома намагниченности нанотрубки. // Труды. XVIII Международного совещания "Радиационная физика твердого тела" М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2008,- С.530-536.

19. Сезонов Ю.И., Перепелкина Ю.В., Эминов П.А., Ульдин A.A., Николаев С.В. Осцилляции критической температуры сверхпроводящей нанотрубки в магнитном поле. // Международный форум по нанотехнологиям 08. Сборник тезисов докладов научно-технических секций, т.1. 2008.- С.804-806.

20. Sezonov Yu.I., Eminov Р.Л., Fotov K.N. Macroscopic quantum effects in nano-tubes. // Russian journal of mathematical physics. Vol. 15. № 3.2008 - P. 425-427.

21. Сезонов Ю.И., Эминов П А., Журидов Д.В Проводимость нанотрубок в магнитном поле. // Материалы симпозиума. 111 международный симпозиум. "Качество, ннновании, образование и CALS-технологии". М.: Фонд "Качество" 2007,- С.173-174.

22. Эминов П.А., Сезонов Ю.И., Альпсрн А.В , Сальников II.В Обменное взаимодействие и осцилляции намагниченности электронного газа в квантовом цилиндре. // ЖЭТФ. т. 130, вын.4,2006,- С.724-728.

23. Гвоздев В.И., Попов О Н., Сезонов Ю И. Основные принципы развития микроэлектроники // Успехи современной радиоэлектроники. № 6. 1999, стр.75-77.

24. Сезонов Ю.И., Эминов П.А. Вклад обменного взаимодействия в намагниченность вырожденного электронного газа в квантовом цилиндре. И Известия ВУЗов. Физика. 12,2006.- С.51-54.

25. Эминов П.А., Сезонов Ю.И., Альперн А.В., Сальников Н.В. Обменное взаимодействие двумерного электронного газа в наноструктурах с цилиндрической симметрией в магнитном поле. // Материалы VII Российской конференции по физике полупроводников. Полупроводники 2005. РИИС ФИАН М. 2005.- С.121-122.

26. Перепелкииа Ю.В., Сезонов Ю.И., Рыбалко В.В. Наноразмерные структуры. (Учебное пособие). // М.: РИО МИЭМ. 2009, 5,75 п.л.

Цитируемая литература.

1. В.А. Гейлер, В.А. Маргулис, A.B. Шорохов. ЖЭТФ. т. 115, вып 4. 1999.-С. 1450.

2. А.И.Ведерников, Л.О.Говоров, А.В.Чаплик. ЖЭТФ. т. 120, вып 4. 2001.-С. 979.

3. Р.З. Витдина, Л И. Магарилл, A.B. Чаплик. Письма в ЖЭТФ, Т 86, вып. 2. 2007 .-С. 132.

4. A.B. Чаплик, Л.И.Магарилл, Р.З. Витлина. Физика низких температур, т. 34, № 10. 2008.-С. 1094.

5. Н. Suzuura, Т. Ando. Phys. Rev. В. v 65, 2002.-P. 235412.

6. W.A.Little, R.D. Parks. Phys. Rev. Lett, v.9, №1, 1962,- P. 9.

Подписано в печать 06.08.2010 Формат 60x84/16. Бумага типографская № 2. Печать - ризография. Усл. печ. л. 2,25 Тираж 100 экз. Заказ №$*! .

Московский государственный институт электроники и математики 109028, Москва, Б.Трехсвятительский пер., 3.

Центр оперативной полиграфии (495) 916-88-04, 916-89-25

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Сезонов, Юрий Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ФУЛЛЕРЕНЫ И НАНОТРУБКИ.

§ 1. Открытие новых форм углеродных соединений.

1Л. Фуллерены.

1.2. Нанотрубки.

§ 2. Теоретические исследования нанотрубок.

§ 3. Основные уравнения для электронного газа в намагниченном квантовом цилиндре.

Выводы по первой главе и постановка задачи исследования.

Глава II. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА НАНОТРУБОК.

§ 4. Намагниченность идеального электронного газа квантового цилиндра.

§ 5. Энергия обменного взаимодействия электронного газа в квантовом цилиндре.

§ 6. Вклад обменного взаимодействия электронного газа в намагниченность квантового цилиндра.

6.1. Вырожденный электронный газ.

6.2. Больцмановский электронный газ.

Выводы по второй главе.

Глава III. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НАНОТРУБОК.

§ 7. Электромагнитное поле в среде с пространственной и временной дисперсией.

§ 8. Диэлектрическая проницаемость намагниченного электронного газа квантового цилиндра.

8.1. Матрица плотности электронного газа квантового цилиндра.

8.2. Продольная диэлектрическая проницаемость и закон дисперсии продольных плазменных волн.

§ 9. Затухание Ландау в намагниченном электронном газе квантового цилиндра.

§ 10. Экранирование кулоновского поля в намагниченном электронном газе квантового цилиндра.

10.1. Продольная диэлектрическая проницаемость и экранированное взаимодействие.

10.2. Осцилляции Фриделя экранированного потенциала.

10.3. Экранирование кулоновского потенциала больцмановским электронным газом.

10.4. Осцилляции Ааронова - Бома экранированного кулоновского потенциала.

Выводы по третьей главе.

Глава IV. ЭЛЕКТРОПРОВОДИМОСТЬ НАНОТРУБОК.

§ 11. Гамильтониан X. Фрелиха и рассеяние электронов в квантовом цилиндре на акустических фононах.

§ 12. Рассеяние электронов на продольных и изгибных акустических фононах.

Выводы по четвертой главе.

Глава V. СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СВОЙСТВА НАНОТРУБОК.

§ 13. Эффект Купера в намагниченном электронном газе квантового цилиндра.

§ 14. Микроскопическая теория сверхпроводимости намагниченного электронного газа квантового цилиндра.

§ 15. Термодинамические свойства сверхпроводящего квантового цилиндра.

Выводы по пятой главе.

Введение диссертация по физике, на тему "Макроскопические квантовые эффекты в намагниченных нанотрубках"

Актуальность работы. Развитие микроэлектроники идет по пути умень- ' шения размеров интегральных микросхем и соответственно элементов этих схем. Дальнейшее уменьшение размеров уже приводит к ограничению создания новых сверхбольших интегральных микросхем (СБИС) потому, что на первый план выступают проблемы совершенствования процессов лито-, рентгено и электронографии, остается актуальным отвод тепла от микросхемы [1]. Проблемы физических ограничений в СБИС в настоящее время представляют особый интерес, так как развитие технологии приводит к уменьшению размеров пассивных и особенно активных элементов, что они достигли таких значений, что приблизились к характерным квантовым длинам, где уже на передний план выходят такие явления как туннелирование, спиновые эффекты. В связи с этим, дальнейшее развитие СБИС требует постоянного анализа принципов работы элементов с привлечением все более фундаментальных физических подходов. В динамике развития электроники заметен один существенный фактор - каждый этап определялся открытием нового физического явления (термоэлектронная эмиссия, транзисторный эффект, пространственные электромагнитные связи) [2]. Можно идти по традиционному пути планарной технологии, но можно и искать новые направления.

В конце 20 века были открыты новые углеродные соединения сначала фуллерены, затем нанотрубки [3, 4]. Для нанотрубок, имеющих диаметр порядка нанометров и длину на много порядков большую диаметра, становятся важными квантовые эффекты, что в сочетании с необычной симметрией привело к предсказанию замечательных электронных, магнитных и решетчатых свойств, которые можно использовать для создания элементов функциональной электроники. Уже сейчас уже существуют лабораторные образцы будущих элементов наноэлектроники.

Особый интерес традиционно представляют осцилляционные эффекты. Сюда можно отнести, например, изучение осцилляций фотопроводимости двумерного электронного газа в магнитном поле, магнитотранспортные исследования в холловской геометрии для случая двумерного электронного газа на цилиндрической поверхности и осцилляции магнитосопротивления низкоразмерных наноструктур. Исследование магнитного отклика в квазидвумерных структурах позволяет получить важные данные о параметрах энергетического спектра таких структур. Магнитное поле может изменять характер проводимости нанотрубки.

Электропроводность — одни из важнейших параметров нанотрубки, определяющих возможность их использования в наноэлектронике. В последнее время активно проводится экспериментальное и теоретическое изучение проводимости нанотрубок. Исследования показывают, что для объяснения экспериментальных данных наряду с баллистическим механизмом электронного транспорта следует учесть вклад электрон - фононного рассеяния в сопротивление нанотрубки.

В связи* с появившимися сообщениями о наблюдении сверхпроводимости в плоских двумерных электронных системах, а также имея в виду уже имеющиеся экспериментальные результаты о сверхпроводимости пучков однослойных углеродных нанотрубок, представляется актуальным теоретическое исследование сверхпроводящих свойств таких структур.

Следует отметить, что кроме углеродных нанотрубок на сегодняшний день получены нанотрубки и из других материалов. Это дисульфид вольфрама и другие дихалькогениды [5], бор - углеродо — нитрид [6], нитрид - бора [7] и нет никаких оснований полагать, что не будут получены другие нанотрубки.

При описании характеристик нанотрубок, сравнительно редко удается получить не только аналитические результаты, но и асимптотические формулы, описывающие зависимость электрофизических свойств от температуры, хиральности и других параметров однослойной нанотрубки. Поэтому актуально получение аналитических формул, описывающих электронные свойства нанотрубок в рамках различных моделей, как с учетом, так и без учета хиральности, а также сравнение этих результатов в предельных случаях.

Таким образом, изучение электрофизических характеристик нанотрубок на основании модели квантового цилиндра, представляется весьма перспективным, как в теоретическом, так и в практическом аспекте, и не ограничивается только лишь углеродными нанотрубками.

Научная новизна заключается в установлении новых закономерностей электронных свойств нанотрубок:

Вычислена энергия обменного взаимодействия двумерного электронного газа на цилиндрической поверхности. Изучен вклад обменного взаимодействия в осцилляции намагниченности нанотрубки.

Развита теория коллективных колебаний 2й электронов в нанотрубках с цилиндрической симметрией в магнитном поле.

Дано квантовое описание явления пространственной и временной дисперсии продольной диэлектрической проницаемости. Построена теория экранирования кулоновского поля точечного заряда в намагниченном электронном газе нанотрубки.

Исследовано влияние неупругого электрон — фононного рассеяния на продольную проводимость нанотрубки во внешнем магнитном поле.

Построена микроскопическая теория сверхпроводимости электронного' газа на цилиндрической поверхности в продольном магнитном поле. Исследована зависимость критической температуры и термодинамических величин проводника от параметра Ааронова - Бома

Теоретическая и практическая ценность заключается в том, что для двумерных наноструктур с цилиндрической симметрией создан аналитический комплексный подход к описанию электрофизических свойств нанотрубок, который согласуется с имеющимися экспериментальными данными и позволяет целенаправленно планировать экспериментальные исследования. Результаты работы используются в учебном процессе МИЭМ, МГУПИ.

Достоверность и научная обеспеченность результатов и выводов диссертации обеспечивается: корректной постановкой изучаемых задач и их физической обоснованностью; использованием современных методов квантовой физики, а также их сравнением в предельных случаях с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: VII Российской конференции по физике полупроводников (г. Москва, 2005г.); III Международном симпозиуме "Качество, инновации, образование и САЬБ-технологии" (г. Шарм-аль Шейх, 2007г); Международном форуме "Новые информационные технологии и менеджмент качества" (г. Шарм-аль Шейх, 2009г); XVIII, XIX и XX Международных совещаниях "Радиационная физика твердого тела" (г. Севастополь, 2008 - 2010гг.); школе - семинаре "Наноструктуры, модели, анализ и управление" (г. Москва, 2008, 2009гг.); XI Международной конференции "Физика диэлектриков" (г. Санкт-Петербург, 2008г); Международном форуме по нанотехнологиям 08. (г. Москва, 2008г).

На защиту выносятся

1. Аналитические зависимости вклада обменного взаимодействия в намагниченность нанотрубки.

2. Квантовая теория явления пространственно — временной дисперсии диэлектрической проницаемости нанотрубки.

3. Электрон — фононный механизм продольной проводимости нанотрубки в магнитном поле.

4. Микроскопическая теория сверхпроводимости намагниченной нанотрубки

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

Выводы по пятой главе

Изучение сверхпроводящих свойств намагниченного электронного газа квантового цилиндра представляется особенно актуальным в связи с тем, что в теории фазовых переходов имеется лишь ограниченное число точно решаемых примеров.

Получена квантово-механическая оценка возможности образования ку-перовской пары на цилиндрической поверхности в постоянном магнитном поле.

Вычислен термодинамический потенциал сверхпроводящей системы. Получено уравнение для энергетической щели, определяющее зависимость критической температуры от геометрических размеров квантового цилиндра и магнитного потока через поперечное сечение нанотрубки.

Вычислена ширина щели при нулевой температуре в различных предельных случаях. Обнаружены два типа осцилляций, которые испытывает величина ширины щели. Первый тип — это осцилляции Ааронова-Бома при изменении магнитного потока через сечение цилиндра. Вторым параметром осцилляций является величина (А^я)г. Этот тип осцилляций, в основе которого лежит изменение геометрии поверхности, сохраняется и при выключении внешнего магнитного поля.

Получена формула описывающая скачек теплоемкости при переходе нанотрубки из сверхпроводящей фазы в нормальную.

Заключение

1. Вычислена обменная энергия электронного газа на цилиндрической поверхности в постоянном магнитном поле. Получены аналитические формулы, описывающие вклад обменного взаимодействия в осцилляции намагниченности квантового цилиндра. Показано, что магнитный отклик системы испытывает осцилляции Ааронова — Бома как в случае вырожденного, так и в случае больцмановского газа.

2. Вычислена статистическая матрица плотности электронного газа на цилиндрической поверхности во внешнем магнитном поле, представляющем суперпозицию магнитного и электрического полей. Проведено полное исследование явления пространственной и временной дисперсии продольной диэлектрической проницаемости нанотрубки.

3. Исследовано влияние магнитного поля на коллективные колебания 2В — электронов в нанотрубках. Получены асимптотики закона дисперсии плазменных волн и продольной диэлектрической проницаемости. Указаны условия, про которых возможно экспериментальное наблюдение эффекта Ааронова - Бома.

5. Для нанотрубки в магнитном поле получено общее выражение для экранированного кулоновского поля неподвижного точечного заряда. Вычислены асимптотики экранированного потенциала. Показано, что экранированное взаимодействие наряду с монотонной частью содержит квантовую осцилля-ционную часть, которая соответствует осцилляциям Фриделя. Выяснено, что осцилляции Фриделя могут представлять собой суперпозицию колебаний с разными частотами, которые определяются микроскопическими свойствами нанотрубки.

6. В аналитическом виде получена формула для экранированного кулоновского потенциала в случае больцмановского газа, которая может найти применение для описания свойств полупроводниковых нанотрубок. Показано, что экранированное взаимодействие заряженных частиц на цилиндрической поверхности испытывает осцилляции Ааронова — Бома, которые могут претендовать на экспериментальную проверку в ближайшем будущем.

7. Вычислен вклад электронного рассеяния на продольных акустических фононах нанотрубки в проводимость квантового цилиндра во внешнем магнитном поле. Показано, что проводимость нанотрубки является осциллирующей функцией параметра Ааронова — Бома.

9. В аналитическом виде получена формула, описывающая зависимость сопротивления Ш наноструктуры от температуры.

10. На основании статистического вариационного метода Боголюбова и гамильтониана БКЩ исследованы сверхпроводящие свойства электронного газа квантового цилиндра в продольном магнитном поле. Вычислен термодинамический потенциал сверхпроводящей системы. Получено уравнение для энергетической щели, определяющее зависимость критической температуры от геометрических размеров нанотрубки и магнитного потока через сечение цилиндра.

11. Установлено, что критическая температура испытывает два типа осцил-ляций. Первый тип - это осцилляции Ааронова - Бома. Второй тип осцилляции, в основе которого лежит изменение геометрии поверхности, сохраняется и при выключении внешнего магнитного поля. Дано физическое обоснование полученных результатов и указаны условия, которые являются наиболее благоприятными для наблюдения осцилляций Ааронова — Бома критической температуры.

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Сезонов, Юрий Иванович, Москва

1. A.A. Суханов, В.Б. Сандомирский, Ю.В. Гуляев, Ю.Я. Ткач. УФН. т. 144 вып. 11. 1984.-С. 475.

2. Гвоздев В.И., Попов О.Н., Сезонов Ю.И. Успехи современной радиоэлектроники. № 6. 1999. С. 75.

3. Н. Khoto, R. Smolly. Nature. v. 318. 1985. Р. 162.

4. S. Iijima. Nature. v. 354. 1991. P. 56.

5. R. Tenne, L. Margulis, M. Genut, G. Hodes. Nature. v. 360. 1992. P. 444.

6. O. Stephan, P.M. Ajayan, C. Colliex et al. Science, v. 266. 1994. P. 1683.

7. P. Gleize, M.C. Schouler, P. Gadelle, M. Caillet. J. Mater. Sei. v. 29. 1994. P. 1575.

8. R. Saito, G. Dresselhaus., M.S. Dresselhaus. Physical properties of Carb Nano-tubes. London: World Scientific Publ. 1998. P. 259.

9. П. Харрис. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века. М.: Техносфера, 2003. 336. С.

10. Э.Г. Раков. Нанотрубки и фуллерены. М.: Университетская книга, Логос. 2006. 376 С.

11. Ю.В. Перепелкина, В.В. Рыбалко Ю.И. Сезонов. Наноразмерные структуры. М.: РИО МИЭМ. 2009. 90. С.

12. А.В. Елецкий. УФН. т. 172. вып. 6. 2002. С. 401.

13. А.В. Елецкий. УФН. т. 179. вып. 2. 2009. С. 225.

14. J.M. Mintmire, B.l. Dunlap, В.Т. White. Phys. Rev. Lett. v. 68. 1992. P. 631.

15. R. Saito, M. Fujita, G. Dresselhaus., M.S. Dresselhaus. Phys. Rev. B. v. 46. 1992.-P. 1804.

16. M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus and R. Saito. Physics of carbon nanotubes. Carbon, v. 33. 1995.-P. 883.

17. M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus and P.C. Eklund. Science of fullerenes and nanotubes. Academic Press. San Diego. 1996, 956.P.

18. B.A. Гейлер, В .А. Маргулис, А.В. Шорохов. ЖЭТФ. т. 115, вып 4. 1999. -С. 1450.

19. Н. Г. Галкин, В. А. Маргулис, А. В. Шорохов, ФТТ т.44, 2002. С. 466.

20. Yu. N. Ovchinnikov, W. Lehle, and A. Schinid, Ann. Phys. v. 6, 1997. P. 489.

21. Л.И.Магарил, Д.А.Романов, А.В.Чаплик. ЖЭТФ. т. ИЗ, 1998. С. 1411.

22. Л.И.Магарил, А.В.Чаплик, М.В.Энтин. УФН. т. 175, № 9, 2005. С. 995.

23. В.В.Белов, С.Ю.Доброхотов, В.П.Маслов, Т.Я.Тудоровский. УФН. т. 175, № 9, 2005. С. 1004.

24. М. Buttiker, Y. Imry and Landauer. Phys. Rev. Lett. A v. 96. 1983. P. 365.

25. V.A. Geyler and V.A. Margulis. Phys. Rev. B. v. 55. 1997. P. 2543.

26. M.F. Lin and K.W.- K. Shung. Phys. Rev. B. v. 52. 1995. P. 8423.

27. H.F. Cheung, Y. Gefen, E.K. Riedel and W.H. Shin. Phys. Rev. B. v. 37. 1988 P. 6050.

28. Y. Meyr, O. Entin-Wohlman and Y. Gefen. Phys. Rev. B. v. 42. 1990. P 8531.

29. H.Ajiki and T.Ando. J. Phys. Soc. Japan, v. 62. 1993. P. 1255.

30. H.Ajiki and T.Ando. J. Phys. Soc. Japan, v. 65. 1996. P. 505.

31. С.С.Савинский, C.C Белослудцев, ФТТ, в.7, 2004. С Л 333.

32. А.И.Ведерников, А.О.Говоров, А.В.Чаплик. ЖЭТФ. т. 120, вып 4. 2001. С. 979.

33. Т.Л.Макарова. ФТП. т. 38, вып. 6. 2004. С.641.

34. В.А. Гейлер, В.А., О.Г.Ко- Сов, В.А. Маргулис. ФТП. т. 44, вып 3. 2002. С. 449.

35. Р.З. Витлина, Л.И.Магарилл, А.В.Чаплик. ЖЭТФ. т. 133, вып 4. 2008. С 906.

36. F.Stern. Phys. Rev. Lett. v. 21. 1967. P. 1687.

37. E.M. Лившиц, Л.П. Питаевский. Физическая кинетика (Серия: «Теорети ческая физика», Том X). М.: Наука, 1979. 528 С.

38. А.В. Ключник, С.Ю. Курганов, Ю.Е. Лозовик. ФТТ. т. 45, вып. 7, 2003. С.1267.

39. М. F. Lin and D. S. Chuu, Phys. Rev. v. 56. 1997. P. 4996.

40. Р.З. Витлина, Л.И. Магарилл, A.B. Чаплик. Письма в ЖЭТФ. т. 86. 2007. -С. 132.

41. В.М. Ковалев, A.B. Чаплик. ЖЭТФ. т. 134. 2008. С. 980.

42. A.B. Чаплик, Л.И. Магарилл, Р.З. Витлина. ФНТ. т. 34. 2008. С. 1094.

43. Т. Ando. NPG Asia Materials, v.l(l). 2009. Р. 17.

44. В.Э. Каминский, ФТТ, т.44(3), 2002.- С. 460

45. A.A. Григоркин, С.Н. Дунаевский, ФТТ, т. 49(3), 2007.- С. 557

46. Д.В. Завьялов, С.В. Крючков, Н.Е. Мещерякова, ФТТ, т. 47(6), 2005.-СЛ130.

47. Y.A. Margulies, A.V. Shorokhov, М.Р. Trushin, Phys. Letters, А 276, 2000.-P.180.

48. В.М. Ковалев, A.B. Чаплик, ЖЭТФ, т. 130, в.5, 2006.- С.902.

49. Л.И. Магарилл, М.В.Энтин, Письма в ЖЭТФ, т.80, вып. 6, 2004.- С. 477.

50. Н. Suzuura, Т. Ando. Phys. Rev. В 65, 2002 Р. 235412.

51. А.И. Ведерников, A.B. Чаплик, ФТП, т.38(11), 2004.- С. 1358.

52. А.Н Castro Neto, F. Guinea, N.M.R. Peres and oth., Reviews of Modern Physics. v.81. 2009. P. 109.

53. Проблема высокотемпературной сверхпроводимости. Под редакцией В.Л. Гинзбурга и Д.А. Киржница. М.: Наука, 1977. 400 С.

54. M. Kociak, A. Yu. Kasumov, S. Gueron, B. Reulet, 1.1. Khodos, Yu. B. Gorba-tov, V. T. Volkov, L. Vaccarini, and H. Bouchiat. Phys. Rev. Lett. v. 86. 2001. P. 2416.

55. Z. K. Tang, L. Y. Zhang, N. Wang, X. X. Zhang, J. N. Wang, G. D. Li, Z. M. Li, G. H. Wen, С. T. Chan and P. Sheng. Synthetic Metals, v. 133-134. 2003. P. 689.

56. А.И. Романенко, A.B. Окотруб, В.JI., Кузнецов А.С. Котосонов, А.Н. Образцов. УФН. т. 175, № 9, 2005. С. 1000.

57. В.М. Эделыитейн. ЖЭТФ. т. 95, вып.6, 1989, С. 2151.

58. L.P. Gorkov and E.I. Rashba. Phys. Rev. Lett. v. 87. 2001. P. 037004.

59. V. Barzykin and L.P. Gorkov. Phys. Rev. Lett. v. 89. 2002. P. 227002.

60. Ю.Е. Лозовик, С.Л. Огарков, А.А. Соколик. ЖЭТФ. т. 137, вып.1, 2010, -С. 57.

61. Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. Квантовая механика (Серия: «Теоретическая физика», Том 111). М.: Наука, 1974. 752 С.

62. Y. Aharnov, D.Bohm. Phys. Rev. v. 115. 1962. P. 485.

63. Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 792. С.

64. П.А. Эминов, Ю.В. Перепелкина, Ю.И. Сезонов. ФТТ. т. 50, вып. 12, 2008.-С. 2220.

65. H.A. Поклонский, Е.Ф. Кисляков, Г.Г. Федорук, С.А. Вырко. ФТТ. вып. 42, 2000. С. 1911.

66. Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. Статистическая физика, часть 1. (Серия: «Теоретическая физика», Том V). М.: Наука, 1976. 584 С.

67. В.Д. Скаржинский. Труды ФИАН. т. 167. М.: Наука. 1986. С. 139.

68. П.А. Эминов, Ю.И. Сезонов, A.B. Альперн, Н.В. Сальников. ЖЭТФ. т. 130, вып.4, 2006, С. 724.

69. Ю.И. Сезонов, П.А. Эминов. Известия ВУЗов. Физика. 12, 2006, С. 51.

70. Ю.И. Сезонов. Известия РГПУ им. А.И. Герцена. №11(79): Естественные и технические науки: Физика: Научный журнал СПб.: Известия РГПУ им. А.И.Герцена. 2009, - С. 89.

71. Ю.И. Сезонов, П.А. Эминов. Труды. XVIII Международного совещания "Радиационная физика твердого тела" М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2008, С.530.

72. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Ф.М. 1963.

73. М.В. Федорюк. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.

74. Г. Вейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, т. 1. М.: Наука, 1973.

75. В.Г. Левич. Курс теоретической физики, т. 1. М.: Наука, 1969. 910. С.

76. Ю.И. Сезонов, Ю.В. Перепелкина, П.А. Эминов. Материалы XI Международной конференции Физика диэлектриков, Санкт-Петербург, 3-7 июня 2008 г. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, т. 2. 2008. с. 256.

77. Ю.И. Сезонов, М.В. Вологина, Ю.В. Перепелкина, П.А. Эминов. Труды. XVIII Международного совещания «Радиационная физика твердого тела» М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2008-. С.537.

78. Yu.I. Sezonov, P.A. Eminov, K.N. Fotov. Russian journal of mathematical physics. Vol. 15. No. 3. 2008. P.425.

79. B.JI. Гинзбург. Теоретическая физика и астрофизика. М.: Наука, 1987. 334 С.

80. Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. Электродинамика сплошных сред (Серия: «Теоретическая физика», Том VIII). М.: Наука, 1982. 620. С.

81. Ю.И. Сезонов, Ю.В. Перепелкина Химическая физика, т. 28, №4, 2009, -С. 81.

82. Ю.В. Перепелкина, Ю.И. Сезонов, П.А.Эминов. Труды. XIX Международного совещания "Радиационная физика твердого тела" М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2009,-С. 730.

83. П.А. Эминов. ЖЭТФ. т. 135, вып 5. 2009. С. 1029.

84. P. A. 'Eminov, Yu. I. Sezonov, and A. A. Ul'din. Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 16, No. 4, 2009, P. 563

85. Ю.И. Сезонов, A.A. Ульдин, П.А. Эминов. Труды. XIX Международного совещания "Радиационная физика твердого тела" М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2009, -С. 724.

86. Маджитова Ф.Ш. Сезонов Ю.И., Ульдин A.A., Эминов П.А. Труды. XIX Международного совещания "Радиационная физика твердого тела" М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2010.- С.ЗЗО.

87. А.Н Тихонов, A.A. Самарский. Уравнения математической физики, М., Наука, 1972. 724 С.

88. A.B. Чаплик, Л.И.Магарилл, Р.З. Витлина. Физика низких температур, т. 34, № Ю. 2008.-С. 1094.

89. М. Gell-Mann and К. Brueckner. Phys. Rev. 106, 1957. P.364.

90. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 752 С.

91. Е.М. Лившиц, Л.П. Питаевский. Статистическая физика, часть 2. Теория конденсированного состояния. М.: Наука, 1987. 448 С.

92. Р.Кубо. Статистическая механика. М. КомКнига. 2007. 450 С.

93. Ю. И. Сезонов, А. А. Ульдин. Химическая физика, т. 28, №12, 2009. С. 73.

94. Ю.И. Сезонов, A.A. Ульдин, П.А. Эминов.Материалы международного форума "Новые информационные технологии и менеджмент качества" М.: Фонд "Качество" 2009, С. 145.

95. Ю.И. Сезонов, П.А. Эминов, Д.В. Журидов. Материалы симпозиума. III международный симпозиум. "Качество, инновации, образование и CALS-технологии". М.: Фонд "Качество" 2007, С. 173.

96. М. Строшио, М.Дутта. Фононы в наноструктурах, М., Физматлит, 2006.320. С.

97. И.А.Квасников, Теория неравновесных систем, М., УРСС, 2003.- 448с.

98. В.Л. Гинзбург. УФН. т. 174. 2004. С. 1240.

99. Е.Г.Максимов. УФН. т. 170. 2000. С. 1033.

100. В.Л. Гинзбург, Д.А. Киржниц. ЖЭТФ. т. 46. 1964. С. 397.

101. V.L. Ginzburg. Phys. Scripta, v. 27. 1989. P.76.

102. W.A. Little and R.D. Parks. Phys. Rev. Lett. v. 9. 1962. P. 9.

103. П. А. Эминов, Ю. И. Сезонов. ЖЭТФ, т. 134, вып.4(10), 2008, С. 772.

104. Сезонов Ю.И. Известия РГПУ им. А.И. Герцена. №11(79): Естественные и технические науки: Физика: Научный журнал СПб.: Известия РГПУ им. А.И.Герцена. 2009.- С.89.

105. Сезонов Ю.И., Перепелкина Ю.В., Эминов П.А., Ульдин А.А., Николаев С.В. Международный форум по нанотехнологиям 08. Сборник тезисов докладов научно-технических секций, т.1. 2008.- С.804.

106. Н.Н.Боголюбов. Собрание научных трудов в двенадцати томах. Том VIII, Наука, М. 2007, С. 642.

107. Л.П.Горьков, Т.К.Мелик-Бархударов. ЖЭТФ, т. 40, 1961, С. 1452.

108. W.A.Little, R.D. Parks. Phys. Rev. Lett, v.9, №1, 1962. P. 9.

109. P. A. 'Eminov, A. A. Ul'din, Yu. I. Sezonov, and. S. V. Gordeeva. Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 17, No. 2, 2010.- P. 154.