Эффекты внешнего поля в нанотрубках полупроводникового типа и квантовых точках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Московский государственный университет приборостроения и информатики

На правах рукописи

Гордеева Светлана Валерьевна

Эффекты внешнего поля в нанотрубках полупроводникового типа и квантовых точках

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

і я ноя гт

Москва - 2013

005540337

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет приборостроения и информатики».

Научный руководитель: доктор физико-математический паук,

профессор Эминов Павел Алексеевич Официальные оппоненты: доктор физико-математический наук,

профессор Родионов Василий Николаевич доктор физико-математический наук, профессор Николаев Павел Николаевич

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики»

Защита состоится «19» декабря 2013 г. в 1600 часов на заседании диссертационного совета Д212.155.07 при Московском государственном областном университете, расположенном по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д.Юа.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан «13» ноября 2013 года.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук, доцент Барабаиова Н. Н.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Современные технологии позволяют получать наноструктуры различной геометрии (квантовые ямы и точки, каналы, проволоки и кольца в гетероструктурах, наиотрубки) и каждая из этих наноструктур обладает своими уникальными физическими свойствами. Нанораз-меры области движения частиц приводят к квантованию энергии, а неодносвязность области движения в присутствии магнитного поля - к эффектам, которые являются производными от эффекта Ааронова-Бома. Кривизна наиотрубки даже в отсутствии магнитного поля приводит к новым макроскопическим осцилляционным эффектам тина осцилляции де Гааза-ван Альфена, которые связаны с квантованием энергии поперечного движения электрона и корневыми особенностями плотности электронных энергетических состояний на цилиндрической поверхности. Эффекты размерного ограничения электронов и фононов играют ключевую роль в формировании свойств электронных, оптических и сверхпроводящих устройств, использующих наноструктуры в качестве своих существенных элементов. С помощью внешнего поля можно управлять электронным энергетическим спектром, а переход к системам пониженной размерности приводит к качественно новым физическим результатам по сравнению с эффектами, известными в трехмерном случае. Это позволяет создавать новые электронные приборы, физические характеристики которых определяются взаимодействием электронов с электромагнитными полями различной конфигурации в низкоразмерных системах. К таким устройствам относятся, например, фотодетекторы на гетероструктурах с квантовыми ямами, диоды и триоды с резонансным туннелированием электронов, джозефсоновскне контакты. Развитие технологии полупроводниковых гетероструктур с одной стороны, н использование в практике современного эксперимента мощных источников электромагнитного излучения с другой, делают актуальным теоретическое исследование процесса ионизации низкоразмерных систем в интенсивных внешних полях, когда нельзя пользоваться теорией возмущений и требуется точный учет взаимодействия элек-

тронной системы с внешним полем (1-2].

После получения графена и наиотрубок значительно возрос интерес к проблеме поверхностной сверхпроводимости. В работах [3-4] сообщается о наблюдении явления сверхпроводимости с критической температурой Т ~ 1 К в пучках однослойных углеродных наиотрубок с радиусом Л = 5 А и с критической температурой Тс = 16 К в нанотрубках с радиусом Я = 2 А. Микроскопическая теория сверхпроводимости намагниченного электронного газа на цилиндрической поверхности построена в работах [5-6]. В то же время исследование термодинамических свойств намагниченной сверхпроводящей нанотрубки и их флуктуаций, играющих существенную роль в системах пониженной размерности, какой является нанотрубка, не проводилось. В последнее время активно проводятся экспериментальные и теоретические исследования проводимости наиотрубок. Для различных механизмов рассеяния электронов на акустических фононах были получены аналитические формулы для проводимости квантового цилиндра в продольном магнитном поле с учетом эффекта размерного ограничения фононов. Однако количественный анализ этих результатов не был проведен, несмотря на его актуальность.

Цель работы. Аналитическое и численное исследование проводящих и сверхпроводящих свойств квантового цилиндра с учетом их флуктуаций в продольном магнитном поле и построение теории нелинейной ионизации двумерной квантовой точки в интенсивных электромагнитных полях.

Научная новизна. На основе метода точных решений волновых уравнений в квазиклассическом приближении получены аналитические выражения для скорости ионизации и парциальных вероятностей ионизации двумерной квантовой точки в поле линейно-поляризованной электромагнитной волны. Вычислена полная вероятность ионизации двумерной квантовой точки постоянным электрическим полем п суперпозицией постоянного и низкочастотного электрических полей. Квазиклассическим методом мнимого времени получены аналитические формулы для импульсного распределения и полной вероятности ионизации связанных короткодействующими силами низкоразмерных систем суперпозицией постоянного и переменного электрических полей. Про-

ведено численное и аналитическое исследование зависимости критической температуры и термодинамических величин сверхпроводящего квантового цилиндра от параметров нанотрубкн II магнитного поля. Используя теорию Гинзбурга-Ландау, получены аналитические формулы, описывающие зависимость от характерных параметров системы флуктуацпонного вклада в термодинамические свойства намагниченного квантового цилиндра в окрестности критической температуры. Выполнен численный расчет вклада электронного рассеяния на продольных и нзгибных фононах в проводимость намагниченного квантового цилиндра.

Научная и практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших теоретических и экспериментальных исследованиях электронных свойств нанотрубок полупроводникового типа и двумерных квантовых точек в интенсивных внешних нолях.

Положения выносимые на защиту:

1. Квазиклассическая теория нелинейной ионизации связанных короткодействующими силами низкоразмерных систем суперпозицией переменного и постоянного электрических полей.

2. Результаты аналитического и численного исследования зависимости критической температуры п термодинамических свойств сверхпроводящего квантового цилиндра от концентрации электронов, радиуса нанотрубкн н параметра Ааронова-Бома.

3. Флуктуации термодинамических свойств намагниченного квантового цилиндра в окрестности критической температуры.

4. Численный расчет вклада электрон-фонопного рассеяния в проводимость квантового цилиндра в продольном магнитном поле.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на: ХЬУШ Всероссийской конференции по проблемам физики частиц, плазмы и конденсированного состояния (г. Москва, май 2012); Международном научном семинаре "Углеродные нанотрубкн: результаты и исследования "(г. Москва,

май 2012); International workship on advances in nanoscience. (Hungary. October 2012); XX Международной научной конференции "Ломоносов-2013". Секция Физика (г. Москва, апрель 2013); научном семинаре кафедры теоретической физики МГУ (г. Москва, март 2013); научном семинаре кафедры общей физики МГОУ (г. Москва, 2013).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, в том числе 5 из списка ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 106 страниц машинописного текста, включая 11 рисунков. Библиография включает 112 наименований на 15 страницах.

Содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения, приведен обзор современного состояния исследований посвященных изучению воздействия внешних электромагнитных полей на нанотрубки полупроводникового типа и квантовые точки.

В первой главе исследован процесс ионизации двумерной квантовой точки в интенсивных внешних полей, когда нельзя пользоваться теорией возмущений и требуется точный учет взаимодействия электронной системы с внешним полем.

Удерживающий потенциал двумерной квантовой точки моделируется двумерной потенциальной ямой вида

[0, р > а,

где а - радиус квантовой точки, Щ - глубина ямы.

В § 1 рассматривается задача об ионизации двумерной квантовой точки

полем линейно-поляризованной электромагнитной волны.

В квазмклассическом приближении, когда выполняется условие

Го < к2 < 2110, (2)

где Г - амплитуда напряженности электрического поля, шо = к2/2 - энергия связи электрона, решение нестационарного уравнения Шредингера для электрона в двумерной потенциальной яме в присутствии переменного электрического поля представляется в виде:

М2

, г , ______ip22(t — tг)

Р> = —5 ехр {гр2р +-------+

4тт2

—ОО

, гу2хР ( . . гкЧ-2 (3)

-I--(сояоя — сояшгг)-----

иг °

1

12ш1

(гТ1 ~ ~

где

9(т = тгаВ(е + К2) +

х (&1(£а)К0(ка) - к^а)Кх(ка)):

(4)

В формулах (3)-(5) приняты обозначения: - частота волны, Ец - энергия основного состояния электрона в двумерной квантовой точке, к = л/2\Ео\, А = у/2(11о — |£0|), ./1(2:), К{)(х), К\{х) - функции Бссселя и Макдональда

нулевого и первого порядка соответственно.

Вероятность ионизации в единицу времени определяется полным потоком частиц через бесконечно удаленные (х —Ь ±оо) от центра квантовой точки прямые, перпендикулярные оси ОХ [1-2], т. е.

и> = 2 Нт Мх,е). (6)

Х-++00

В (С) черта означает усреднение по периоду волны, поток

J(x,t) =

а плотность потока частиц

^Ш-^)- О

В предельном случае и <С шц, когда для ионизации требуется поглощение большого числа фотонов, полная вероятность процесса представляется в виде суммы парциальных вероятностей:

ос

1» = 53юп(ед, (8)

п>и

где вероятность гг-квантовой ионизации основного уровня электрона в двумерной квантовой точке определяется формулой

1

Си> 7

«'»(*» = —;-гсхР

4^0;;) у'+ 1

™ — «¡г

о

параметр Келдыша, величина г/ = ^ + ^ определяет порог

ионизации - мшшмальиое число квантов, поглощение которых необходимо

для вырывания электрона из квантовой точки и приняты обозначения:

27 27

а = 2Лгв/г7-- , ¡3 =

1' у/^ТТ

/(7)=(1 + ^2М"А (10)

Быстрорастущая в показателе экспоненты формулы (9) функция /(7) в поле линейно-поляризованной волны имеет такой же вид, как и в трехмерном или одномерном случае.

В отличие как от одномерной модельной задачи об ионизации связанного уровня в поле короткодействующих сил, так и от аналогичной задачи в трехмерном случае, формула (8) допускает точное проведение суммирования по квантовому числу п:

1

Сш-у

ги =-. ехр

47г2ш0у72 +1

2^0 , . -—т

(И)

В § 2 получены импульсное распределение и полная вероятность ионизации в единицу времени двумерной квантовой точки постоянным электрическим полем Е(г) = (^,0,0).

В квазиклассическом приближении (2) для импульсного распределения и полной вероятности ионизации двумерной квантовой точки в постоянном электрическом поле в единицу времени получены формулы:

йхи (1ру

с

V) =

Апк Щ - |£о|

ехр

ехр

РОР;

Рк

у/жЁ

■ ехр

2£Ь

(12) (13)

и0 ) 4а2К*(ка)у/Г0 где /*о = к3 -величина размерности поля для связанной системы.

Характерной особенностью формулы (13) является то, что иредэкспо-ненциальный множитель пропорционален (^уРо)1/2. Для сравнения в одномерном случае квантовой ямы предэксионента не зависит от напряженности электрического поля, а в формуле для вероятности вырывания электрона из основного состояния в трехмерной потенциальной яме предэкепоненцналь-ный множитель пропорционален напряженности поля. Таким образом, в квазиклассическом приближении для системы с короткодействующим потенциалом с увеличением размерности системы зависимость предэкспоненцпалыюго множителя от параметра Р/ Гц уменьшается.

В §3 исследован процесс ионизации двумерной квантовой точки полем представляющим собой суперпозицию постоянного и переменного электрических полей

Р(г) = -^совшг,

где ^ - напряженность постоянного электрического поля, - амплитуда напряженности переменного поля.

В п. 1 §3 рассмотрен процесс ионизации двумерной квантовой точки в суперпозиции низкочастотного переменного и постоянного электрического ПОЛЯ в адиабатическом приближении.

Если процесс ионизации происходит за время меньшее чем период электромагнитной волны, то в адиабатическом приближении вероятность процесса в периодическом поле с амплитудой напряженности .Р связана с вероятностью в постоянном поле с напряженностью .Ро соотношением:

^айшЬ

ил = ё 1шр сач

(15)

о

В адиабатическом приближении, когда 7< 1, при выполнении условий

вероятность ионизации двумерной квантовой точки в суперпозиции постоянного н переменного электрических полей одинакового направления имеет вид

" = —'г ■ (16)

В п.2 §3 методом мнимого времени вычислено импульсное распределение вероятности ионизации связанной короткодействующими силами низкоразмерной системы (в том числе и квантовой точки) суперпозицией постоянного и переменного электрических полей. Найдена также полная вероятность ионизации системы за единицу времени с экспоненциальной точностью.

В рамках метода мнимого времени туннелированне частицы из потенциальной ямы описывается с помощью подбарьерных траекторий удовлетворяющих классическим уравнениям движения, но с мнимым временем. Случай Рх = Ру = 0, соответствует траектории, которая минимизирует значение мнимой части «укороченного действия» и ей отвечает максимальная скорость ионизации:

\У0 = Роехр-д{Г1,Р2,к,то,ш), (17)

2 р\т?) . (шта ншЬ 2а!Т(Д

3 = — + ---- ) +

+ ^ [ышЬ и>То — и>То созИшто],

от

1. 10 пт

2- 20пт

3- 30 пт

0 1 2 3 4 5

Рис. 1. Зависимость скорости ионизации от параметра Келдыша и характерных параметров квантовой точки. Значение удерживающего потенциала С/ = 0.3 эВ, амплитуда напряженности переменного электрического поля К = 70кВт/с, радиус квантовой точки 1 — а = 10 им, 2 — а = 20 нм, 3 — а = 30 нм

Рис. 2. Импульсное распределение вероятности процесса ионизации квантовой точки для различных значений отношения напряженности постоянного электрического поля к амплитуде напряженности переменного поля 1 — Р1/Г2 = 10; 2 — р1/р2 = 1; 3-^/^2 = 0.1

где момент времени Гц = — га;£о определяется из уравнения

F2SІnwío \2 2 ,10х ----\-Fitoj = -к. (18)

Для нахождения импульсного спектра электронов учитывается вклад классических траекторий, близких к экстремальной и вычисляется мнимая часть «укороченного действия» с точностью до квадратичных членов по отклонению таких траекторий от экстремальной. Из уравнения

Рх +

F2sinwt0

+ +РІ

-к2.

(19)

следует, что при р2 <С к~ начальный момент времени подбарьерного движения определяется формулой

<¿>0 = wt'n = гшт = і

1 2 22 17 pi Ыо + ^

sinh щ

+г

ИРІ

2 к (cosh щ + F1/F2)3 ПРх 1

■ +

2к2 cosh щ+ F\/F2 к cosh щ + F\jF2

(20)

(21)

где величина щ является решением уравнения

віпЬ и0 + тгио = 7-їо

В результате импульсное распределение вероятности ионизации двумерной квантовой точки в поле, представляющем собой суперпозиции переменного и постоянного электрических полей, имеет вид

1

d\v = Рехр |-5(Fi, F2, к, То, и)

-{арі + иор\

2\ \ dpxd.py )у)] 4тг2 '

(22)

где функция д = р2,к,То,ш) определяется формулой (18) и принято обозначение

а = Щ--, (23)

СО.чЬ?/() +

В диссертации показано, что имеет место существенное увеличение скорости ионизации связанной системы в постоянном электрическом поле в присутствии слабого переменного электрического поля, и, наоборот, в переменном электрическом поле под влиянием относительно слабого постоянного поля.

Во второй главе проведено аналитическое и численное исследование проводящих и сверхпроводящих свойств намагниченного квантового цилиндра с учетом их флуктуаций.

В § 1 проведен аналитический и численный расчет зависимости ширины щели, критической температуры, разности термодинамических величин сверхпроводящей и нормальной фазы от радиуса нанотрубки, линейной концентрации электронов, температуры н магнитного поля. Вычислен скачок теплоемкости сверхпроводящего и нормального состояний при критической температуре.

На цилиндрической поверхности стационарное состояние электрона в продольном магнитном поле с напряженностью Н направленным вдоль оси 02 цилиндра задается азимутальным квантовым числом п £ 2, импульсом Рз продольного движения и и спиновым квантовым числом в, задающим проекцию спина на направление магнитного поля (в = ±1). Нормированные собственные функции и энергия стационарных состояний электрона задаются формулами:

Здесь т - эффективная масса электрона е = h2/2mR2 - энергия размерного конфайнмента, /!д - магнетон Бора, Ф = тгИ2Н - магнитный поток через сечение цилиндра длиной L и радиусом R, Фо = 2пНс/\е\ - квант магнитного потока h - постоянная Планка, с - скорость света, е - заряд электрона.

Исходя из гамильтониана Бардина-Купера-Шриффера сверхпроводящего квантового цилиндра, в котором оставлено взаимодействие электронов с противоположными по знаку значениями всех квантовых чисел и, используя статистический вариационный принцип H.H. Боголюбова, получено следующее уравнение для определения ширины энергетической щели Д нанотрубки в сверхпроводящем состоянии:

(24)

Ф{п,Рз) =

\/2тг RLC

,in<p Игр з

(25)

где

, „ч , Е(р) + Ё(р) , Е(р) - Ё(р) ір(р, в) = tanh у ' Л у ' + tanli - ' v /

29 1

ё = 2 (£(">Рз, s) + £(-п, -р3, s)) = ^ + £

20

П +Ж2

1 Ф

Е = о (Е(п'Рь s) - -Рз, ¿0) = -

2 Фо

(28)

5 = 2пйЬ - площадь поверхности нанотрубки, в = А'дТ, Т - температура (далее кв = 1), 9 - величина, описывающая эффективное взаимодействие в модели БКШ.

В предельном случае, когда выполнено условие

/< » е (29)

для ширины энергетической щели До и критической температуры Тс при нулевой температуре получены асимптотические формулы:

где приняты обозначения 47Г

а =

Ао(|-)=2^ехР(-|),Гс = 1До, гения

оо , , ч

1 + 2 cos y2itk—j J0(2nkRPF)

, 7 = е-

(ЗО)

(31)

С - постоянная Эйлера, Jq(x) - функция Бесселя нулевого порядка действи-

тельного аргумента, р^ = у/2ц,тп* - импульс Ферми электронного газа квантового цилиндра.

Считая, что одновременно с (29) также выполнено условие

(32)

где Nl - линейная концентрация электронов, для ширины щелн при нулевой температуре получен следующий результат: Л п. ( 2тг/12\

Д0 = 2 Нш ехр--х

V т*д)

1 + х -L sin \^irky/NLR - Зтг/4] cos ^тгА; .

Для вычисления термодинамических величин сверхпроводящей фазы воспользуемся формулой

- <ж> («)

выражающей производную по параметру А от термодинамического потенциала П по отношен ню к переменным Т, //, Б через среднее по статистическому распределению для производной гамильтониана Н системы по тому же параметру А. Угловые скобки в правой части формулы (34) означают усреднение по распределению Гнббса. В качестве параметра А выбрана константа связи д.

В предельном случае (29), когда ширина щели определяется формулой (30) получена формула для разности свободных энергий и соответственно намагничснностей при пулевой температуре в расчете на единицу площади поверхности нанотрубки:

= (35)

1[Л/|-Л/*] = -±Д§А[1па]. (36)

В том же предельном случае (29) для скачка теплоемкости и соответственно для разности намагничснностей сверхпроводящей и нормальной фазы в окрестности критической температуры находим следующие представления:

7С(3)5а дГГ (38)

где £(х) - дзета-функция.

Чнсленный расчет полученных результатов для критической температуры, ширины щели (рис. 3), а также термодинамических величин проведен при следующих значениях параметров нанотрубки: Н. == о = 28.1 • 109

м"1, е = 1.51442 мэВ, Ер = 0.2139 эВ в свободном случае, когда Ф = 0,

15

т

4

8

г, К

Рис. 3. Зависимость ширины щели от температуры. 1-Ф/Ф0 = 0,2 - Ф/Фо = 0.04, 3 - Ф/Ф0 = 0.08

0 1 2 3 4 3 6 7

Рис. 4. Разность свободных энергий нормальной и сверхпроводящей фазы.

1С

h/mg = 0.231. В этом случае условие (29) выполняется, электроны наряду с продольным движением совершают и вращательное движение, а максимальное значение азимутального квантового числа п = 11, т. е. электроны заполняют достаточно большое число подзон энергии поперечного движения.

При выбранных параметрах нанотрубки численный расчет на основе формул (26)-(28) п расчет на основе асимптотических формул (30) дают практически совпадающие результаты.

Результат для разности свободных энергий (рис. 4), намагниченностей сверхпроводящей и нормальной фазы, следующий из формулы (38) также находится в удовлетворительном согласии с численным расчетом, проведенным на основе формул (26)-(28).

В случае конечной температуры для определения зависимости ширины щели от температуры найдено интегральное уравнение

„и , dx

In

Xі 4- и2

о

1 1

: + '

\Jx2 + и2 + х у/я2 + и1 - X

(39)

где приняты обозначения

ßßH А

В частности, из формулы (39) в предельном случае, когда х < 1 следует:

оо

]пАо= Г da? 1 |

П А J ^/x2+u2eV^4ÜZ + 1

,__,_ (41)

+I -Jl= sinh ыеш. cosh-3

4 J sf.

\Jx2 4- и2 T

о

В критической температуры получено:

где число К выражается через дзета-функцшо Рішала:

со

dt tanh t 7<(3)

_ f dt tanh t _ 703) ~J t cosh21 _ TT2 '

К

о

Полагая Д = 0 из (42) для критической температуры получено уравнение

fAo = 7С(3)„ВЯ

тг Тс 4тг2Т2 [ >

В формуле (42) пропорциональное х2 слагаемое обусловлено спиновой энергией спаривающихся электронов в продольном магнитном поле. В предельном случае когда R —)■ оо, Ns = Const (Ns - поверхностная концентрация электронов) результат (44) совпадает с аналогичным результатом полученным ранее Горьковым и Барзыкиным для плоской структуры.

В § 2 впервые исследован флуктуационный вклад в термодинамические свойства нанотрубки полупроводникового типа в продольном магнитном поле. В рамках теории Гинзбурга-Ландау вычислен флуктуационный вклад в свободную энергию в окрестности критической точки

+ЭС 74

1Г = £ [ Pdpe-2^Jo(2n\k\Rp) In -¿Z— (45)

fc=-oо () 2m- +

где t — T — Tc, 5 = Jo{x) - функция Бссселя нулевого порядка дей-

ствительного аргумента, фа - половина одноэлектронного кваита магнитного потока.

Двукратное дифференцирование (45) по переменной t дает первую флук-туационную поправку к теплоемкости квантового цилиндра в магнитном поле в области применимости теории Гинзбурга-Ландау:

fc=—оо

где /3 = 21г\к\Я, Ь = \f2M5t, М = 2т*. Для флуктуацнонного вклада в намагниченность квантового цилиндра выше точки перехода получена формула

где приняты обозначения с = 2т:к, 7 = К\/2М5(Т — Тс).

Флуктуационные поправки к термодинамическим величинам испытывают осциляции Ааропова-Бома.

Формула (46) допускает предельный переход к плоскому 2.0-случаю, когда поверхностная плотность электронов фиксирована, а радиус цилиндра

Сравнение показывает, что если в трехмерном случае флуктуацнонная поправка к теплоемкости при приближении температуры к критической температуре увеличивается пропорционально (Т—Тс)"1^2, то в двумерном случае она возрастет пропорционально (Т —Гс)-1, т.е. роль флуктуациопных эффектов существенно возрастает с уменьшением размерности системы.

В §3 проведено численное исследование зависимости от свойств нано-трубки и параметра Ааронова-Бома вклада электронного рассеяния на продольных и нзгибпых фононах в проводимость квантового цилиндра с учетом эффекта размерного ограничения фононов.

В длинноволновом пределе, когда доминирует взаимодействие электронов только с продольной волной имеющей линейный закон дисперсии зависимость проводимости от параметра Ааронова-Бома представлена на рисунке 5. В другом предельном случае, когда доминирует взаимодействие электронов с изгнбной волной, причем процессы поглощения н испускания фонона происходят с изменением электронного азимутального квантового числа на единицу, т.е. п' = п ±1 соответственно, зависимость проводимости от параметра Ааронова-Бома представлена на рисунке 6.

Амплитуда осцилляций заметно возрастает как при учете эффекта размерного ограничения фононов, так и за счет процессов, приводящих к изменению энергии поперечного движения электронов в результате их взаимодействия с фононами.

Рис. 5. Изгнбные фонопы. Зависимость проводимости нанотрубкн от параметра Ааро-нова-Бома. <т0 - проводимость нанотрубкн в свободном случае, температура Т = 10 К, заполняются уровни п = 0, п = 1, п = — 1, п = — 2

Рис. 0. Продольные фонолы. Зависимость проводимости нанотрубкн от параметра Ааро-нова - Бома. Сто - проводиость нанотрубкн в свободном случае, температура Т = 10 К, заполняются уровни п = 0,п = 1,п = — 1 ,п = —2

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации:

1. Получены аналитические выражения для скорости ионизации и парциальных вероятностей ионизации двумерной квантовой точки в поле линейно-поляризованной волны в единицу времени. Изучена зависимость вероятности процесса от параметров удерживающего потенциала и параметра Келдыша.

2. Получены аналитические формулы для импульсного спектра электронов и полной вероятности процесса ионизации двумерной квантовой точки постоянным электрическим полем. Вычислена вероятность процесса в суперпозиции постоянного и низкочастотного переменного электрических полей.

3. Методом мнимого времени найдено импульсное распределение вероятности ионизации связанной системы в интенсивном поле, образованном суперпозицией постоянного и переменного электрических полей одинакового направления. С экспоненциальной точностью вычислена полная вероятность процесса за единицу времени.

4. Получены аналитические и численные зависимости критической температуры, разности свободных энергий и намагниченностей сверхпроводящей и нормальной фазы нанотрубки от параметра Ааронова-Бома, радиуса трубки и энергии Ферми. Вычислен скачок теплоемкости сверхпроводящего и нормального состояний при критической температуре.

5. Получены анали тические формулы, описывающие зависимость от характерных параметров системы флуктуационного вклада в термодинамические свойства намагниченного квантового цилиндра и установлено, что роль флуктуацнй становится существенной вблизи точки перехода.

6. Показано, что учет эффекта размерного ограничения фононов и изменение энергии поперечного движения электронов при их рассеянии на фононах приводят к существенному изменению амплитуды осцилляций Ааронова-Бома для вклада электрон-фононного рассеяния в проводимость квантового цилиндра.

Список публикаций

1. Эминов, П. А. Ионизация квантовой точки электрическими полями [Текст] / П. А. Эминов, С. В. Гордеева // Квантовая электроника. 2012. T. 42.-С. 733-739.

2. Эминов, П. А. Иоизация двумерной квантовой точки полем электромагнитной волны [Текст] / П. А. Эминов, С. В. Гордеева // ВМУ. Серия 3. Физика. Астрономия - 2013.- Т. 4 - С. 3-7.

3. Рассеяние электронов на акустических фононах н проводимость квантового цилиндра в магнитном поле [Текст] / П. А. Эминов, Ю. И. Сезонов, С. В. Гордеева [и др.] // "Раднацнанпая физика твердого тела": Труды XIX Международного совсщания.Т.2. Севастополь, июнь 2010г.-Москва: ГНУ НИИ ПТМ, 2010,- С. 6404Î44.

4. Электрон-фононное рассеяние и проводимость квантового цилиндра в продольном магнитном поле [Текст] / П. А. Эминов, Ю. И. Сезонов, С. В. Гордеева, А. А. Ульдип // Известия ВУЗов. Физика- 2011.-Т. 1- С. 51-53.

5. Thermodynamical properties of a superconducting quantum cylinder [Text] /Р. A. Eminov, A. A. Ul'din, Yu. I. Sezonov, S. V. Gordeeva // Russian Journal of Mathematical Physics.- 2010- Vol. 17.- P. 154-158.

6. Eminov, P. Superconductivity of carbon nanotubes in a longitudinal magnetic fields [Text] / P. Eminov, Y. Sezonov, S. Gordeeva.- Hungary: International workshop on advances in nanoscience. Book of abstracts programme, October 2012,- P. 181-183.

7. Эминов, П. А. Флуктуации термодинамических свойств намагниченного квантового цилиндра в окрестности критической температуры [Текст] / П. А. Эмннов, С. В. Гордеева, В. В. Соколов // Доклады академии наук.-2013- Т. 450.- С. 1-4.

8. Эминов, П. А. Электропроводность нанотрубок в магнитном поле [Текст] / П. А. Эминов, Ю. И. Сезонов, С. В. Гордеева // "Радиационная физика твердого тела": Труды XXXIII Международной конференции. Се-

вастополь, июль 2013г.- Москва: ФГБНУ НИИ ПМТ, 2013.-С. 432-439.

Цитированная литература

1. Ннкишов, А. И. Квантовая электродинамика явлений в интенсивном поле. Труды ФИАН т.111 [Текст] / В. И. Ритус, А. И. Никишов - Москва: Наука, 1979. 280 с.

2. Попов, В. С. Туннельная и многофотонная ионизация атомов и ионов в сильном лазерном поле (теория Келдыша)[Текст]/ В. С. Попов // УФН. 2004,- Т. 174.- С. 921-951.

3. Tang, Z. Superconductivity in 4 angstrom single-walled carbon nanotubes[Text]/ Z. K. Tang//Science.-2001.-V. 284.- P. 2462-2465.

4. Kociak, M. Superconductivity in ropes of single-walled carbon nanotubes [Text]/M. Kociak , S. Gueron, B. Reutel ct. al.//Phys. Rev. Lett-2001.-V. 86 - P. 2416-2419.

5. Эминов, П. А. Сверхпроводимость намагниченного электронного газа квантового цнлпндра[Тскст]/П. А. Эмииов, Ю. И. Сезонов //ЖЭТФ.-2008.-Т. 134 - С. 772-778.

6. Ермолаев, А. М. К теории сверхпроводимости электронного газа на поверхности нанотрубки[Текст]/А. М. Ермолаев, С. В. Кофанов, Г. И. Рашба//Віспік XHY, Фізик.-2010.-Т.14. -С.5-10.

Подписано к печати 11.11.2013 г. Формат 60x84. 1/16 Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 174 Московский государственный университет приборостоения и информатики 107996, Москва, ул. Стромынка, 20

Московский государственный университет приборостроения и

информатики

На правах рукописи

04201450104

Гордеева Светлана Валерьевна

Эффекты внешнего поля в нанотрубках полупроводникового типа и квантовых

точках

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н.. проф. Эминов Павел Алексеевич

Москва - 2013

Содержание

Введение ................................ 3

Глава 1. Ионизация квантовой точки электрическими полями ................................. 29

§1. Вероятность ионизации в поле линейно-поляризованной

электромагнитной волны................... 35

§2. Ионизация квантовой точки постоянным электрическим

полем.............................. 45

§3. Ионизация квантовой точки в суперпозиции постоянного

и переменного электрического полей ............ 50

Глава 2. Сверхпроводящие свойства квантового цилиндра 60

§1. Критическая температура и термодинамические свойства

сверхпроводящей нанотрубки в продольном магнитном поле 60

§2. Флуктуационный вклад в теплоемкость и намагниченность

нанотрубки выше точки перехода............................74

§3. Электропроводность нанотрубок в магнитном поле .... 79

Заключение..............................................................89

Литература..............................................................91

Введение

В наноструктурах реализуются наиболее благоприятные условия для проявления квантового характера процессов, на основе которых могут быть созданы новые элементы функциональной электроники. Нанораз-меры области движения частиц приводят к квантованию энергии, а неодносвязность области движения в присутствии магнитного поля - к эффектам, которые являются производными от эффекта Ааронова-Бома. Кривизна нанотрубки даже в отсутствии магнитного поля приводит к новым макроскопическим осцилляционным эффектам, типа осцилляций де Га-аза-ван Альфена, которые связаны с квантованием энергии поперечного движения электрона и корневыми особенностями плотности электронных энергетических состояний на цилиндрической поверхности. Эффекты размерного ограничения электронов и фононов играют ключевую роль в формировании свойств электронных, оптических и сверхпроводящих устройств, использующих наноструктуры в качестве своих существенных элементов. С помощью внешнего поля можно управлять электронным энергетическим спектром, а переход к системам пониженной размерности приводит к качественно новым физическим результатам по сравнению с эффектами, известными в трехмерном случае.

Аналогично тому, как в свое время возникла новая область физики -физика плазмы твердого тела, сегодня можно говорить о физике плазмы низкоразмерных систем.

В настоящем разделе рассматриваются физические свойства бес-столкновительной плазмы полупроводниковой нанотрубки в магнитном

поле, в основе которых лежит явление пространственно-временной дисперсии и термодинамические свойства сверхпроводящего квантового цилиндра в продольном магнитном поле [1].

В последнее время большое внимание уделяется исследованию физических свойств плазмы полупроводниковой нанотрубки в магнитном поле, в основе которых лежит явление пространственно-временной дисперсии.

Для нанотрубок полупроводникового типа электронный спектр в продольном магнитном поле задается формулой [2]:

в(п,й) = £(п+*)2 + |1 (1)

Здесь т* - эффективная масса электрона, рз - продольный импульс, 5 = 2-кЯЬ - площадь поверхности цилиндра длиной Ь и радиусом Д, п € Ъ - азимутальное квантовое число, определяющее также номер зоны поперечного движения, е = Н2/2т*В? - энергия размерного конфайнмен-та, Ф = ттЯ2Н - магнитный поток через сечение цилиндра, Ф0 = 2тгНс/\е\ - квант магнитного потока. Если электроны заселяют при нулевой температуре одну нулевую зону (п = 0) и совершают только продольное движение вдоль нанотрубки, то электронная система называется одномерной (.Ш-система). Если же концентрация электронов достаточно большая и электроны находятся на нескольких низколежащих зонах, то система называется квазиодномерной. На свойства одномерного электронного газа большое влияние оказывают электрон-электронные взаимодействия, описание которых проводится в модели латтинджеровской жидкости. Тем не менее, как это подчеркивается в работе [3], представляется важным изучение свойств и невзаимодействующих электронов в одномерном случае.

Одной из важнейших характеристик З/Э-плазмы является плазменная частота, которая определяет характер отклика плазмы на переменное внешнее возмущение. Например [4], продольное электрическое поле с частотой и < шр, где шр - плазменная частота, экранируется в плазме, а влияние плазмы на поля большей частоты несущественно. Плазма отражает поперечные электромагнитные волны с частотой ниже плазменной, но пропускает более высокочастотные волны. Типичное значение плазменной частоты в металлах си ~ 1016 с"1, а энергия соответствующего кванта плазменных колебаний порядка 10 эВ.

В легированных полупроводниках частота низкочастотных плазменных колебаний, в которых участвуют только электроны проводимости, порядка 1013 с"1, что соответствует энергии плазмона Ъм ~ 0.01 эВ

(Са-Ав). Полупроводники сравнительно прозрачны для световых волн,

£

частота которых лежит в интервале шр < и < (Ед - ширина запрещенной зоны в кристалле). Эта полоса частот находится в инфракрасной области спектра. Поэтому рассеяние света с использованием СО^-лазера стало мощным средством изучения электронной плазмы полупроводников, которая особенно интересна своим разнообразием и сильным влиянием внешних полей и квантовомеханических эффектов на её свойства.

Второй важнейший параметр плазмы - длина экранирования плазмы - расстояние, на которое проникает в трехмерную плазму внешнее электростатическое поле, нейтрализуемое полями, индуцированными вследствие поляризации плазмы. В классической трехмерной плазме эта величина называется дебаевским радиусом экранирования, а в вырожденной - радиусом Томаса-Ферми. В легированных ^-полупроводниках

радиус экранирования находится в пределах Ю-4 — 10~6 см, а его значение в вырожденном электронном газе металлов порядка Ю-8 см.

Как и в ¿Ш-плазме, для определения закона дисперсии плазменных волн на поверхности нанотрубки и построения теории экранировки куло-новского поля неподвижного точечного заряда надо вычислить продольную диэлектрическую проницаемость е(ш, кз) электронного газа.

Зависимость диэлектрической проницаемости плазмы от частоты волны и называют временной, а от волнового вектора кз - пространственной дисперсией. В основе этих явлений лежит принцип причинности и нелокальная связь вектора электрического смещения и напряженности электрического поля в плазме.

Пространственная дисперсия приводит к возможности распространения в плазме продольных электрических волн, закон дисперсии которых определяется из уравнения

е(иМ) = 0- (2)

Продольная диэлектрическая проницаемость электронного газа нанотрубки в продольном магнитном поле определяется формулой [5] 2е2

£(си,к3) =1 + —/,(|Аз|Д)ЯК|А;з|Д)х

7Г

+оо

X

Е

п=—оо____т

где ис — - циклотронная частота, /¿(ж) и К^х) - модифицированные функции Бесселя мнимого аргумента. I и кз задают азимутальный момент и продольный импульс плазмона.

Для величины к3) из (3) при I = 0 точное представление имеет

вид:

2е2Я

оо

£{ш,кз) = 1 +-10(к3Я)Ко{кз11) У" ехр

7Г —'

к=—оо

Ф

-2ттк— Ф0

Сь (4)

С,

сю 2п рйр О О

ехр[2ткКр вт </?] ■

ехр

1

+ 1

. , , кзрсоьу , Г. _ к-хрсов^ , -п

(5)

Формулы (4), (5) в явном виде описывают осцилляции Ааронова-Бома реальной и мнимой части продольной диэлектрической проницаемости и ан отрубки.

В случае вырожденного электронного газа при выполнении условий

Ф

2— < 1, Фо

ль <

тгД

(6) (7)

электроны могут находиться только в нулевой зоне (п = 0). для которого импульс Ферми продольного движения

7ГЛ^

(8)

где Л^ - линейная плотность электронов. На рисунке 1 показаны закон дисперсии для симметричного плазмона (I = 0) при выполнении условий (6), (7), когда заселена одна нижняя зона, а также зависимости фазовой и групповой скорости от продольного импульса плазмона. На возможность распространения плазменных волн на поверхности нанотрубки было указано в статьях [6, 7]. Авторы этих работ ограничились численными расчетами спектра плазменных волн.

Теория этих волн на поверхности нанотрубки развита в работах [5, 8, 9]. В статье [8] свойства плазменных волн исследуются в квазиклассическом приближении, когда импульс плазмона кз мал по сравнению с фермиевским импульсом электронов рг-

Авторы работ [8, 9] отметили особенности спектра плазмонов в отсутствие магнитного поля, отличающие его от спектра трехмерных и плоских двумерных систем.

Если в трехмерной и плоской двумерной плазме из-за затухания Ландау плазмонный спектр оканчивается уже в области к$ <С то в одномерном случае дисперсионная кривая плазмона не имеет точки окончания спектра. Спектр межподзонных плазмонов начинается с конечной частоты, а с ростом числа заполненных подзон число ветвей спектра плазменных волн увеличивается. В работах [5, 8, 9] показано также, что в присутствии магнитного поля, направленного вдоль оси нанотрубки, частоты плазмонов испытывают осцилляции Ааронова-Бома. Этот эффект может проявляться в ИК-поглощении и в комбинационном рассеянии света электронным газом нанотрубки [9]. Продольная диэлектрическая проницаемость электронного газа нанотрубки в магнитном поле и дисперсионное уравнение для плазмонов при произвольном отношении фазовой скорости волны к скорости Ферми получены в статье [5]. Результаты расчета спектров магнитоплазмонов, нулевого звука и спиновых волн на поверхности неферромагнитной цилиндрической нанотрубки в продольном магнитном поле приведены в работах [10, 11], где закон дисперсии электронов, как и в статьях [5, 8, 9] предполагается параболическим. Показано, что в магнитном поле существует сдвиг частоты межподзонного

Рис. 1. Зависимости частоты а), фазовой скорости б), групповой скорости в) от волнового числа. Линейная концентрация электроновА^ = 6 • 107 м-1, радиус трубки Я = 10 им.

плазмона, пропорциональный магнитному потоку через сечение трубки. Рассчитаны частота и декремент затухания магнитоплазменных волн в невырожденном электронном газе.

Одним из возможных механизмов переноса электромагнитного излучения через нанотрубки могло бы стать возбуждение плазменной волны на одном конце нанотрубки, распространение плазмона вдоль трубки и высвечивание его на другом конце трубки. Эффективность такого переноса определяется эффективностью преобразования энергии падающей волны в энергию плазменной волны и обратно, а также относительно малым затуханием плазмона при его распространении по поверхности нанотрубки.

Можно выделить три различных механизма затухания плазменных волн [12]:

1. диссипативное затухание, связанное с рассеянием электронов на примесях и на границе плазмы;

2. радиационное затухание, связанное с излучением фотонов;

3. затухание Ландау, которое возникает уже в бесстолкновительной плазме и тем самым принципиально отличается от диссипации в обычных поглощающих средах; бесстолкновительная диссипация не связана с возрастанием энтропии и представляет собой термодинамически обратимый процесс.

Обсудим особенности затухания Ландау в полупроводниковых нано-трубках. Корни уравнения (2) определяющего закон дисперсии плазмо-нов, оказываются комплексными (и = ш\(к) + Ш2(к)), что и означает

наличие диссипации энергии продольного электрического поля в плазме. Затухание Ландау возникает в классической плазме от электронов, скорость которых в направлении распространения продольной электрической волны совпадает с фазовой скоростью волны. По отношению к этим электронам поле стационарно и поэтому оно может производить над электронами работу, не обращающуюся в нуль при усреднении по времени [13]. Говорить о распространяющейся плазменной волне можно, если декремент затухания 7 = —и2 мал по сравнению с частотой волны и>1. В трехмерной, а также в плоской двумерной системе, плазменный спектр из-за затухания Ландау оканчивается уже в пределах применимости квазиклассического приближения. Принципиальной особенностью закона дисперсии плазмонов в нанотрубках является существование свободных от затухания Ландау плазмонов с импульсами вплоть до импульсов порядка и более импульса Ферми [9, 14].

Для иллюстрации на рисунке 2 показано, что в случае вырожденного электронного газа и при указанных параметрах нанотрубки, затухание Ландау имеет место только начиная с определенного значения ко продольного импульса плазмона. Таким образом, плазменные волны с частотой не превосходящей величины и = 3 х 1013 с"1 распространяются по поверхности нанотрубки полупроводникового типа не испытывая затухания Ландау. При увеличении волнового числа мнимая часть продольной диэлектрической проницаемости одномерного вырожденного электронного газа уменьшается обратно пропорционально квадрату волнового числа [14].

Как известно [13], продольная диэлектрическая проницаемость си-

Рис. 2. Зависимости частоты а), фазовой скорости б) от волнового числа. Линейная концентрация электроновА^ = 6 ■ 10' м-1. радиус трубки Я = 10 нм. ко - красная граница затухания Ландау.

стемы используется в статистической физике и для описания эффекта экранировки поля внешнего заряда, обусловленного перераспределением зарядов самой системы.

Если некоторый внешний покоящийся заряд с плотностью р = вносится в плазму, то Фурье-образ потенциала поля заряда дается выражением [13]:

= МЬ-Ш (9)

£¿{0, к)

где К) (0, к) - Фурье-образ потенциала заряда в свободном случае, а £¿(0, к) - продольная диэлектрическая проницаемость вещества в статическом пределе, когда си = 0. Формула (9) представляет собой обобщение элементарной формулы для потенциала поля точечного заряда в однородной и изотропной среде с постоянной диэлектрической проницаемостью на случай, когда имеется пространственная дисперсия.

Пусть точечный заряд д в используемой цилиндрической системе координат находится на поверхности нанотрубки в точке с координатами г = Я, (/? = 0, г = 0. Тогда экранированный потенциал поля точечного заряда в произвольной точке на поверхности квантового цилиндра определяется формулой [15]:

+оо

е(0,Л3)

& = - -77?По-(Ю)

7Г

1=-°°-оо

Основной вклад в асимптотику (10) в наиболее интересной области относительно больших расстояний от заряда, когда выполнено условие Я дает аксиально-симметричная часть потенциала. Таким образом, нас будет интересовать нулевая (I = 0) гармоника разложения (10) экраниро-

ванного потенциала, которая определяется формулой

7Г ' ■

+оо

+оо

/=—оо

£(0, *3)

с1к3

(И)

где

= £ Е

7Г *—'

+оо

+оо

е^//(|А;з|ДЖ/(|А;з|Д) е(0, Л3)

(12)

2е

X

+оо

Е

+оо

п=—оо

Фз

тар (п,Рз + у) - ^ (п,Рз - I1)

(13)

Рз

Интеграл по переменной рз в (13) согласно формуле Сохоцкого понимается в смысле главного значения. В случае вырожденного электронного газа при выполнении условий (6), (7) и

г > 2Д, грг < 1

(14)

асимптотика экранированного кулоновского потенциала в цилиндрической нанотрубке задается формулой

2

™ - (ё)!

1

/8те2\ сов(2грр)

1п2 Ш У^РР ) 1п2(4

(15)

В статическом пределе продольная диэлектрическая проницаемость в случае симметричного плазмона и при выполнении условий одномериза-ции (б), (7) имеет логарифмическую сингулярность в точке к3 = 2р? и задается формулой

е(0, кь) = 1 + ^-1о(\к3\В.)К0(\к3\Я) 1п 12рзР + к*1

к3 7Г

2р3г ~ к3

(16)

Для сравнения в трехмерном случае продольная диэлектрическая проницаемость [16] вырожденной плазмы является непрерывной и монотонно убывающей функцией волнового числа.

Таким образом, экранированный кулоновский потенциал наряду с монотонной частью содержит квантовую осциллирующую часть, которая соответствует осцилляциям Фриделя в трехмерном случае [15, 1719].

Главный член асимптотики экранированного потенциала в предельном случае больцмановского электронного газа, т.е. при условии

|д| >> Т,ц < 0 (17)

где [I - химический потенциал, Т - температура газа, определяется формулой

\ф) « \-у--2. (18)

ьп 2И \ Т )

В квазиклассическом приближении для случая сильного вырождения электронного газа (Т <С Ер) для величины е(0, кз) имеет место компактное представление

£(0, к3) = 1 + 4е2т*ЯЕ10(\кз\Я)Ко(\кз\Я), (19)

где принято обозначение

^ =

°° ( Ф \ 1 + 2^сое (2кк—) /0(2тгкЯл/2тЕР)

/ъ — 1

(20)

Как следует из формул (19), (20) статическая продольная диэлектрическая проницаемость действительно испытывает осцилляции при изменении магнитного потока через сечение нанотрубки.

В итоге, для асимптотики {х 2Я) аксиально-симметричной части экранированного кулоновского потенциала в рассматриваемом приближении справедливо следующее выражение

= !(4е2т*^)21п2^ (21)

Таким образом, формула (21) описывает осцилляции Ааронова-Бома экранированного кулоновского поля в квантовом цилиндре.

В работе [20] задача экранирования кулоновского потенциала, ставится с учетом хиральности углеродной на�