Модель упругопластического деформирования тел с физическим разрезом при симметричном нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

□□3481Е

На правах рукописи

^ Раврилкина Мария Владимировна

МОДЕЛЬ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВА1ШИЯ ТЕЛ С ФИЗИЧЕСКИМ РАЗРЕЗОМ ПРИ СИММЕТРИЧНОМ НАГРУЖЕНИИ

I

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула - 2009

003481507

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный, руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Глаголев Вадим Вадимович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация: Институт механики сшшшных сред Уральского отделении! Российской академии наук, г. Пермь

на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»: 300600, Тула, пр. Ленина, 92 (9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Пеньков Виктор Борисович

кандидат физико-математических наук, доцент Агарков Сергей Иванович

Защита диссертации состоится «¿С» У— 2009 г. в 14 — часов

Автореферат разослан ¿ЙЗЗ&З 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л.А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Механика разрушения к настоящему времени имеет множество подходов к описанию напряженно-деформированного состояния (НДС) тел, ослабленных трещиной. Каждый из подходов включает в себя как модель трещины, так и соответствующий критерий ее продвижения. Наиболее распространенной моделью трещины в сплошной среде является представление в виде математического разреза. Используя критерий Гриффитса в энергетическом или силовом варианте удается прогнозировать трещиностойкость материалов, поведение которых описывается моделью линейно упругого тела. Если же материал проявляет пластические свойства, то модель математического разреза может рассматривать различные критерии начала образования новых материальных поверхностей в зависимости от вида нагружения и степени пластической деформации. В этом случае ни одно из представлений не дает ответа на вопрос о начале пластического деформирования в концевой области трещины Гриффитса. В частности, наиболее известная и используемая модель Леонова-Панасюка-Дагдейла (ЛПД) предполагает наличие пластической зоны при сколь угодно малой внешней нагрузке. Однако определение начала пластического деформирования в вершине трещины является важным вопросом, в частности, при циклическом нагружении поврежденного материала. Таким образом, разработка математических моделей, адекватно описывающих зарождение и развитие пластических областей в вершине трещины является достаточно актуальным.

Научные исследования, проведенные в диссертационной работе, поддержаны грантом РФФИ (проект № 07-01-96402), АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1/941) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (проект №НК-14(6)).

Цель и задачи диссертации. Цель данной диссертационной работы состоит в исследовании процесса зарождения и развития тонкой пластической области в вершине трещины при различных видах напряженного состояния и степени упрочнения.

Научная новизна работы

1. Из данных эксперимента по распространению начального разреза в двухконсольнон балке (ДКБ-образце) получена оценка толщины слоя взаимодействия с учетом образования пластической области.

2. Поставлена и решена задача о зарождении и развитии тонкой пластической зоны в окрестности трещины нормального отрыва в рамках критерия текучести Губера - Мизеса.

3. Рассмотрено влияние упрочнения материала на развитие и НДС тонкой пластической зоны в плоском напряженном и деформированном состояниях.

4. Из положения о лучевом характере деформирования, предложен метод решения упругопластической задачи, сводящий постановку к статически определимой.

Практическая ценность работы

1. Предложена программа обработки результатов стандартных экспериментов на ДКЕ!-образцах, позволяющая определить масштабный параметр материала (толщину слоя взаимодействия).

2. Результаты данной работы могут быть использованы для прогнозирования прочности упругопластических материалов в профилирующих НИИ и КБ.

3. Материалы работы могут использоваться в теоретических курсах для студентов, обучающихся по направлению «Механика. Прикладная математика».

Основные положения, выносимые на защиту

1. Построение и исследование модели упругопластического деформирования ДКБ-образца на основе концепции слоя взаимодействия.

2. Опр еделение толщины слоя взаимодействия по результатам решения задачи о разделении ДКБ-образца.

3. Постановка и решение задачи о развитии пластической зоны вдоль физического разреза при плоской деформации идеально упругопластического и упрочняющегося материала.

4. Постановка и решение задачи о развитии пластической зоны вдоль физического разреза при плоском напряженном состоянии идеально упругопластического и упрочняющегося материала.

Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.

Апробация работы. Результаты исследования обсуждались на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2007-2008г.), семинаре по МДТТ им. JI.A. Толоконникова (руководитель - проф. Маркин A.A., 2009), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.

Публикации. По материалам работы опубликовано 7 работ, в том числе 4 статьи и 3 тезиса докладов на конференциях. Две статьи опубликованы в изданиях из списка ВАКа.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы. Объем работы - 110 страниц, включая 47 рисунков, и список литературы из 101 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, рассмотрены исторически сложившиеся направления исследования механики разрушения, указаны цель и основные задачи исследования, отмечена научная новизна работы. Проанализированы подходы к описанию поведения твердых тел, ослабленных трещиной, на различных масштабных уровнях. Отмечены работы Н.Ф. Морозова, Е.М. Морозова, Ю.В. Петрова, М.В. Паукшто, Р.В. Гольдштейна, В.З. Партона, В.Б. Пенькова, И.М. Лавита, Г.Б. Олсона, М. Каннинена, Дж. Н. Гудьера, Л. Прандтля и ряда других отечественных и зарубежных исследователей. Уделено внимание представлению Ф. Макклинтока о возможности описания продвижения трещиноподобного дефекта вдоль траектории трещины тонкого слоя конечной толщины, где НДС строится на основе тензоров деформаций и напряжений.

В первом разделе рассмотрен процесс деформирования внешней симметричной нагрузкой ДКБ-образца, ослабленного трещиной, моделируемой физическим разрезом и слоем на его продолжении, согласно схеме представленной на рис.1.

X,

11 В' | А О' К'

А 0'

х2

11 В" с , О" У К"

Р\ а 1 /, 1

Рис. 1

В отличие от классической постановки данной задачи, когда трещина представлена математическим разрезом, предлагается учесть влияние введенного характерного размера на процесс деформирования. Толщина 30 данного физического разреза считается характеристикой материала, а материал на продолжении физического разреза трактуется как слой взаимодействия, свободная энергия которого в процессе разрушения

частично переходит в поверхностную. В этом случае данный слой определяется как область локализации процесса разрушения. Постулируется однородность НДС слоя по его толщине. Материал слоя взаимодействия в данном разделе полагается идеально упругопластическим.

В силу симметрии задачи рассматривается верхняя консоль (Х[^60/2), а ее взаимодействие со слоем заменяется искомой нагрузкой(](х) = -ст,,?!, где х = х2. Касательной составляющей нагрузки, действующей на балку со стороны слоя взаимодействия, пренебрегается. Рассматривается случай малых деформаций £,, =- 2 ч(х)/30. Связь между внешней нагрузкой и компонентой перемещения принимается в виде:

9Р

?(*)Ч "о (1)

У (*) = -0-т < О' - * - ,

где Е — модуль Юнга материала; стт — предел текучести; [0'8']= /р — длина

участка пластического деформирования.

Решение строится в предположении, что поведение материала каждой из консолей вне слоя взаимодействия обратимое и описывается соотношениями теории изгиба Кирхгоффа-Лява, и с учетом (1) определяется системой дифференциальных уравнений:

+ 4 А < х < О'

(к

ск4 50

„ Е • Ь3

где О = —;--жесткость полосы единичнои толщины.

12

Из (2) с учетом условия затухания перемещений в точке К' получены выражения для поля перемещений:

"Мао-+ +

240 1234 и(х)5К' = е~н-'(Ь1соз(1Ъс)+ Ь2<;т([Ъ:)),

ГЁ~

где Я = 4 ~——,к,,к2.С,-С4,Ь1>Ь2 -постоянные.

V 20

Математическая модель сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно основных неизвестных задачи:

длины пластической зоны 1р, расклинивающего усилия Р и толщины слоя взаимодействия <50.

Предложен метод, позволяющий, для нахождения конкретных значений длины пластической зоны 1р, свести задачу к последовательности линейных систем уравнений. Ускорение сходимости решения реализовано с помощью метода Давиденко и последовательного применения методов минимизации и метода Стеффенсена.

Обработка прямых экспериментальных данных по разрушению ДКБ-образца позволит определить из полученной системы уравнений параметр структуры 5а. При отсутствии прямых экспериментальных данных, получена оценка толщины слоя взаимодействия через известные механические характеристики:

К2

где е(11)- критическая деформация, соответствующая пределусгт, £(а>-предел упругости по деформациям, К1С - коэффициент вязкости разрушения.

С учетом связи вязкости разрушения и критического усилия в модели ДКБ-образца получена оценка толщины слоя взаимодействия через измеряемое критическое усилие:

12 а2Р2

В результате решения рассмотренной задачи была исследована обусловленность полученной системы от параметра равного отношению толщины консоли к толщине слоя взаимодействия. Оценены реальные размеры образцов, для которых может быть получено решение. Изучена

Рис. 2

На рис.2 представлена зависимость числа обусловленности N матрицы коэффициентов (по норме Ь2), соответствующей системы, от

толщины слоя взаимодействия при А = 0.1м, а-20А при следующих физических свойствах: Е = 2.1 • 105 МПа, стт = 600 МПа.

График 1 соответствует значению 1р=8а, графики 2 и 3 - значениям /р = 10£о и /р = 50£0 соответственно.

Данный параметр существенно влияет на обусловленность системы и является определяющим при выборе метода решения поставленной задачи и геометрии образца в опыте по определению параметра 30.

На рис.3 приведены результаты расчета зависимости длины пластической области от длины плеча консоли дня следующих значений геометрических и физических параметров материала: ¿>0 = 5- 10~5м, Е = 2.1 • 105 МПа, сгт = 900 МПа, гг(0)=0.01, г(к)=0.33, А = 2-103го-

36

100

я/А юо 20 и/50

Рис. 3 Рис. 4

Длина пластической зоны практически не зависит от длины плеча прикладываемого усилия при а»А.

На рис.4 представлена зависимость длины пластической зоны от высоты консоли. В этом случае область диссипации существенно зависит от геометрии образца.

Во втором разделе рассматривается задача упругопластического деформирования плоскости под действием внешней симметричной нагрузки, приложенной к берегам трещины, рдя случая плоского деформированного состояния. Схема нагружения представлена на рис.5.

В данной постановке наряду с напряжением о",,(х2) в слое учитываем напряжение <т„(х2), обусловленное наличием касательных напряжений сг2|(х2) вдоль границы с полуплоскостью. В пределах слоя взаимодействия также предполагается возможным существование пластической области длиной /, а вне его среду считаем линейно упругой.

Поведение материала слоя при активном нагружении определяется физическими соотношениями модифицированного варианта деформационной теории Ильюшина - Ленского, предложенными Зубчаниновым:

|Дст = 20(э)Де;

{Д/7 = КД0,

(3)

где а - тензор истинных напряжений; а - девиатор тензора истинных напряжений; е- тензор деформаций; £ — девиаторная составляющая тензора деформаций; в = е--Е - относительное изменение объема, К -

модуль объемного сжатия; р = ^ст--Е - гидростатическая составляющая

тензора напряжений; Е - единичный тензор; э - параметр упрочнения; С(э) - сдвиговой модуль; считаем, что С(э)=Оу при а -д <х2т\ 0(э)=0р при а ■-а > г^; гт- предел текучести. Параметр тт связан с пределом текучести при одноосном растяжении:

т„, = .

Рис.5

Действие слоя на сопряженный с ним материал заменяется нагрузкой 4(дг) = -^о,цё1 + СГ21 е2 ^ (где х = безразмерная координата;

2(1-V2)

(Гц = а,.р /,У = 1,2 - безразмерные напряжения; Р = ~1——1 - параметр

яЕ

материала, Е - модуль упругости; V - коэффициент Пуассона.

Основными неизвестными компонентами слоя считаются средние напряжения, определяемые в виде:

V

д0 -г,/ /2

Из условия равновесия элемента слоя среднее напряжение о 21 (х)

л

будет связано с касательным напряжением а 21, действующим вдоль границы слоя соотношением:

d(72l{x)

л (4)

Из решений Фламана получена связь между внешними нагрузками и перемещениями границы:

= -Р1п(^-1 + (5)

\Ь + а) & 1.-4

И2(*) = (б)

о ^ ~ ь

л л

где 1ч = и,/60, (' = 1,2 - безразмерные перемещения; Р = Рр/30-безразмерная сила на единицу толщины; Ь - удаленная точка с нулевым перемещением; I - расстояние от начала координат до Ь.

Предполагаем процесс нагружения материала слоя лучевым. В этом случае, поведение материала на стадии пластического деформирования определяется выражениями:

л л _ л _

=С+ АрСТи — ВР(Т22,

л л _ л _

=С 1+ Арсг 22 — ВрСп,

— —к {— —к — — к \ сгзз =стзз + уЛоп -<т\] +а22-022 I,

9KGp * (* * 1 f * * * р

/л л

-I В-Bp 1<тй;

С1 = А- Ар jcri2 - - Bp j<Tn;

—k —Ic —h

о\\t(X22¡»о"33 - критические напряжения, соответствующие переходу материала слоя в пластическое состояние.

Напряжения, до достижения предела текучести, связаны с деформациями законом Гука:

л_ л_

= A(Ti\ - В а 22,

л_ л_

s22 = Ао22 -В(Тп, сгзз = +СТ22),

л, Л * V7T

А = —, В - ---- — оезразмерные постоянные.

Критерий Губера - Мизеса для случая плоского деформированного состояния преобразуется к виду:

л/сГИ + <722 -СГцО-22 + С(<711 + £722)' = £>Ч, (7)

где С = у(у- I).

Построенная математическая модель сводится к системам интегральных и дифференциальных уравнений относительно основных неизвестных задачи: средних напряжений <тц(л:), ап(*), касательного напряжения сг21(х) по границе слоя и безразмерной силы Р, при выполнении граничного условия

О" 22

= 0.

Система уравнений для пластической области:

<

2 1+а а

л л _

1

С\+АРаг7 -Врет = [<721(^)7-

о [х-¿¡)

дет 22

дх

- — —2сз" 21 •

(8)

Для области переходящей из упругого в пластическое состояние: Л ¿ + <з '

Л _ Л _ - Л }

Ло-22 - Ваи = 1сг21(^)т-

о (*-£)

ЙСТ22

сЬс

- = -2(721,

^/с7ц +<722 —<ТцО"22 + с(о"Ц +<722^ = Ст . Система уравнений для упругой области слоя:

1Л„ А __Л у I Я Ь___

2 £ + а 5

Л __Л __1л |

А(Т22 ~ бс-ц = |о-21(^)т-

о

да 22

дх

= -2<72|.

(9)

(Ю)

Поведение материала слоя взаимодействия рассмотрено в рамках дискретной модели, согласно которой слой представлен в виде набора

квадратных в плане <50- элементов. Постулируется однородность НДС в каждом из элементов. Данное предположение позволило свести системы интегральных и дифференциальных уравнений в общем случае к бесконечным системам нелинейных алгебраических уравнений. Показана сходимость, решения полученных систем и возможность описания НДС окрестности зоны предразрушения при количестве элементов слоя N=1000. Для решения системы нелинейных уравнений использовался метод Ньютона - Рафсона. В качестве начального приб лижения использовалось решение соответствующих линейных систем уравнений, в которых в качестве критерия перехода в пластическое состояние вместо условия (7) применялся критерий Треска — Сен-Венана в зависимости от распределения НДС на пластически деформируемых элементах.

На рис.6 построены эпюры распределения напряжений в слое взаимодействия при следующих расчетных характеристиках: N = 1000; а = 1; Е = 2.1 • Ю5 МПа; стт=600'МПа; »'=0.25 для двух пластических элементов. Непрерывные линии соответствуют решению нелинейных систем ()})--(10), а штриховые - начальному приближению. Кривые 1 и 4 определяют напряжение сгц ,2и5 - а22, 3 и 6 - а п.

а и

Рис.6 Рис. 7

Проведено исследование влияния параметра упрочнения на распределение напряжений в зоне предразрушения.

На ри:с.7 построены эпюры напряжений для одного пластического элемента. Непрерывные линии соответствуют Ор = 0,ЮУ, штриховые определяют = 0.00 Юу.

Анализ графиков позволил сделать вывод, что напряжения отрыва в окрестности конца трещины могут превышать преде л текучести для случая плоской деформации. Учет упрочнения материала не оказывает существенного влияния на распределение напряжений в слое в силу существенной гидростатической составляющей тензора напряжений в окрестности физического разреза.

Рассмотрен характер распространения пластической зоны в слое взаимодействия при идеально упругопластическом поведении материала для двух критериев перехода в состояние пластичности: Треска — Сен-Венана и Губера - Мизеса.

В модельном представлении предполагалось, что справедливо следующее разложение приращения полной деформации через упругую и пластическую составляющие:

а^еЦ + 4, (11)

где еи - компоненты тензора полных деформаций, s¡¡ - компоненты

тензора пластических деформаций, s"¡ - компоненты тензора упругих деформаций.

Материал слоя полагался пластически несжимаемым. В случае плоского деформированного состояния, когда -£*)г = 0:

0 (12)

На основе предположений (11), (12) построены соответствующие системы интегральных и дифференциальных уравнений для идеально упругопластической модели поведения материала.

Система уравнений, описывающая поведение материала слоя в пластической области:

J L + a 0 L-g 0 (х д)

dan «л

—Ю 21,

i/oru +СТ22-Gucr-iz +с(сгц + a2if = о\.

Для области, переходящей из упругого в пластическое состояние:

[а- Лстп +ffa)=-2Pln^ + 2:+

I ) L + a i L-4 i (x-f)

d<T22

- =-2СГ21,

La

Aa22 - Bou = [0-21(^)7-

o (*-£)

ijcru + ah -email + c(a¡i + a2^f =<гт.

Система уравнений для упругой области слоя:

А- | + <722 да 22

)=_2/>1п^ + 2|ап№ ,

х 1

дх

-=--2.721,

____»-А

Аагг - -Зсгц = |о-2|(£}т-гч^.

к

Исходя из рассмотренного подхода к дискретному решению интегральных и дифференциальных систем уравнений, получены нелинейные системы уравнений относительно основных неизвестных задачи, а именно поля напряжений в слое и сосредоточенной силы, обеспечивающей заданную форму пластической области.

Проведено исследование НДС в области, прилегающей к слою со стороны плоскости, представленной на рис.8.

X,

а

ШШЩ

Рис.8

В рамках дискретного подхода данная область моделировалась рядом квадратных элементов с единичной стороной, в пределах которых НДС соответствует осредненным напряжениям, определяемым в виде:

Л к

о х5

где Д - площадь квадратного элемента с единичной толщиной.

На рис. 9 построены эпюры интенсивности девиатора напряжений и максимального касательного напряжения в области, прилегающей к слою со стороны плоскости для случая достижения предела текучести на втором элементе (на рис.8,9 соответствует напряжению на 4 элементе области, прилегающей к слою). Непрерывные линии соответствуют интенсивности девиатора напряжений (критерий Губера - Мизеса), а штриховые -максимальному касательному напряжению (критерий Треска - Сен-Венана). Кривые 1, 3 определяют характеристики напряжений в слое взаимодействия, 2, 4 - в области, прилегающей к слою со стороны плоскости.

К

ъ / // •Л. _____ 1:

2 ^4

1 2 3 „ п 4 5 6 II

Рис. 9

Из анализа результатов следует, что развитие пластической области (по крайней мере, ее начальная стадия) будет проходить в пределах слоя взаимодействия.

В третьем разделе рассматривается задача упругопластического деформирования для случая плоского напряженного состояния.

С учетом того, что процесс деформирования носит лучевой характер, поведение материала слоя на стадии пластического деформирования согласно (3) определяется следующими выражениями

где

ЕЖ

£ц = С+ Ар сгм — Вр а22,

Л А __Л _

С22 — С\+ Ар О"22 — Вр <7П ,

-С2-ВР{^\\ +СТ22), ВР=

(13)

(14)

(15)

ЕрР

у =--

р 6К + 20 г

р ЪК + вр'

л / л л

С= А- Ар £711

Л > —к ( Л Л

Ар <722 - В-ВР

^ /

—к (7ц;

С2=Н В-Вр (о-п+о-22^; р--

лЕ

■ параметр материала,

—к —к

<711,<722 - критические напряжения, соответствующие переходу материала

слоя в пластическое состояние.

Выражения главных деформаций соответствующие напряжения из закона Гука:

л_ л_

£",, = Л<7|1 -£<722,

л_ л_

е22 =Аа22 -Ва\\, £)} = ~в(<7ч +<7 22),

л 71 л \>7Т

А = —, В = —--безразмерные постоянные.

определены через

(16)

(17)

Критерий Губера - Мизеса для случая плоского напряженного состояния преобразуется к виду:

ГГ^ _ _ Л

■у/СП + (722-(711(722 = (7Т, (19)

Исходя из предложенной постановки (соотношения (4)-(6), (13)-(19)), получены системы дифференциальных и интегральных уравнений характеризующие процесс деформирования тонкого слоя для случая плоского напряженного состояния.

1

Л Л Л *

Для пластической области &■ ■&> 2сгт:

{С+Лрсгц -В,,а22) = -Р1п--—+ \аи{£)\

¿ + а ' 1

1 *

¡-Ч

Л Л __л __Ч л |

С[+ Л,,СГ22 -Вр СГЦ = |о-21(^)т-

О

(20)

Эег22

дх

= -2(721.

Для области, переходящей из упругого состояния в пластическое

Л Л Л ^

ь

1 а __ л _ л х + а ь |л: -

~(Аа\\ -Д<7:2) = -/,1пт——+ кифМ—^сЦ,

2 I + а й £ - £

Аагг-Всти = {стгК^Ь-рг^,

д(7 27

~дх~

(21)

-2ст21,

{сту.

I + (722 -СГ||0"22 =(7т.

Система уравнений для упругой области слоя а--а < 2егт:

(Лстн -¿Ст22) = ->1п^+

I Хл » I — Р

£ + а

Л____Л __^ д ^

Аа2г-В<тИ = <Г21(£)7-

(22)

Зсггг

"аГ

= -2(721

Результатом решения систем интегральных, и дифференциальных уравнений (20)-(22) является нахождение поля средних напряжений о и и

СТ22, а также касательных напряжений по границе со слоем -а 21, силы Р, при граничном условии:

л

<7 22 = 0 .

х=0

В рамках дискретного подхода к описанию процесса упругопластического деформирования получим системы нелинейных алгебраических уравнений для нахождения Зи+1 неизвестного: Ъп обобщенных безразмерных напряжений и силы. Для решения нелинейных систем уравнений использовался метод Ньютона - Рафсона. Как и в случае плоского деформированного состояния для начального приближения использовалось решение соответствующих линейных систем уравнений, в которых в качестве критерия перехода в пластическое состояние вместо условия (19) применяется критерий Треска - Сен-Венана.

На рис. 10 построены эпюры распределения напряжений в слое взаимодействия для трех пластических элементов.

(Га

Л

Тт 1.5

1.2

0.9

0.6 0.3

0.0

Непрерывные линии соответствуют Ор = О.Юу, штриховые - в,, = 0.0ШУ, а штрихпунктирные Ор = 0.00ЮУ. Кривые 1, 3 и 5 определяют напряжение а и , 2,4 и 6 - <722.

Из графика видно, что в плосконапряженном случае упрочнение материала играет существенную роль при определении критического состояния в окрестности конца трещины.

Рис.10

V 40

20

1 4

: * Л ✓

у Г......Г........

V 30

20 10

■ У /

| > ; /

о • .......'"V— > ^ " ...... • 1

1 2 3 4 / 1 2 3 4 /

Рис.11 Рис.12

В качестве критерия дискретного разрушения использовалось условие достижения удельной свободной энергией в структурном элементе критического значения. На рис.11,12 показана зависимость значения удельной свободной энергии в первом элементе слоя от длины пластической зоны при плоском деформированном и напряженном состояниях. Штриховые линии соответствуют = 0.ЮУ,

штрихпунктирные - вР = 0.0 Юу.

На рис. 13 показана зависимость длины пластической зоны от приложенной нагрузки в концепции слоя взаимодействия и классического

0 1 2 3 4 Р^

Р.

Рис.13

График 1 соответствует аналитическому решению Р - 2<т0+ а) в рамках гипотез ЛПД, графики 2,4 характеризуют

плоское напряженное состояние, графики 3,5 характеризуют плоское деформированное состояние для предложенной модели. Штриховые линии соответствуют Ор = 0.Юу, а штрихпунктирные вр== 0.0ЮУ.

Как видно из графика, предлагаемая модель, в отличие от ЛПД модели, позволяет отразить чисто упругое поведение материала.

г„7з

10

05 0.0

1 2 3 4 5 6 л

Рис.14

Проведено исследование НДС в области, граничащей со слоем, и рассмотрено поведение тонкой пластической области для случая, когда материал слоя описывается в рамках идеально упругопластической модели с критерием перехода Губера - Мизеса для плоского напряженного состояния.

На рис. 14 построены эпюры интенсивности девиатора напряжений в области, прилегающей к слою со стороны плоскости для случая достижения предела текучести на втором элементе, согласно схеме на рис.8. Непрерывные линии соответствуют = 0,ЮУ, а штриховые -идеально упругопластическому поведению материала. Кривые 1,3 определяют характеристики напряжений в слое взаимодействия, 2, 4 - в области, прилегающей к слою со стороны плоскости.

Анализ результатов показывает корректность работы модели в начале развития пластической зоны.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. На основе концепции слоя взаимодействия поставлены и решены задачи о зарождении и развитии пластической области на начальной стадии процесса разделения тел с физическим разрезом.

2. Предложенная модель позволяет отразить стадию чисто упругого поведения материала, а также различный характер развития тонкой пластической зоны при плоском деформированном и напряженном состояниях.

3. Получена оценка величины слоя взаимодействия исходя из результата эксперимента по разрушению ДКБ-образца.

4. Показано, что учет возможного упрочнения материала слоя не оказывает существенного влияния на развитие тонкой пластической области в слое взаимодействия для случая плоского деформирования. В

': 3 1

// 2 ;

плоско напряженном состоянии упрочнение материала играет существенную роль при определении длины пластической зоны и НДС на пластически деформируемых элементах.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Гаврилкина М.В. Модель процесса разрушения с учетом характерного размера // В сб. «1-я магистерская научно-техническая конференция. Тезисы докладов», Тула: ТулГУ, 2.006, С.101.

2. Гаврилкина М.В., Глаголев В.В. Модель процесса разделения двуконсольной балки, ослабленной физическим разрезом // В сб. «Современные проблемы математики и механики глазами студентов», Тула: ТулГУ, 2006, С. 6-10.

3. Гаврилкина М.В., Глаголев В.В., Маркин А.А. К решению одной задачи механики разрушения II Прикладная механика и теоретическая физика. -2007. - Т.48. -ЛЬ4.-С. 121-127.

4. Гаврилкина М.В. Моделирование процесса разделения плоскости // Материалы докладов XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Москва: Издательский центр Факультета журналистики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007. -Т.1.-С. 115-118.

5. Гаврилкина М.В., Глаголев В.В. Вариант постановки задачи разрушения типа нормального отрыва // Вестник Чувашского государственного педагогического университета. Серия: Механика предельного состояния. -№2(5) - 2008г. - С. 52-57.

6. Гаврилкина М.В. Модель образования тонкой пластической зоны при нагружении типа нормального отрыва // В сб. «Современные проблемы математики, механики, информатики. Тезисы докладов», Тула: ТулГУ, 2008, С. 157-160.

7. Гаврилкина М.В., Глаголев В.В. Модель напряженно-деформированного состояния окрестности трещины //Известия Тульского государственного университета. Серия: Естественные науки. - Вып.2. - 2009. - С. 74-89.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97 Подписано в печать 14 10.2009 Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л.. 1,2 . Уч.-над. л, 4.6.Тираж 100 экз. Заказ Тульский государственный университет. 300600. г. Тула, просп. Ленина. 92. Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, лросл. Ленина. 95.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ДКБ-ОБРАЗЦА . В РАМКАХ КОНЦЕПЦИИ СЛОЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Определение толщины слоя взаимодействия по испытаниям на ДКБ-образцах.

1.3. Анализ системы нелинейных уравнений.

Основные результаты первой главы.

ГЛАВА II. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ

ОКРЕСТНОСТИ ТРЕЩИНЫ НОРМАЛЬНОГО ОТРЫВА

ПРИ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ.

2.1. Постановка задачи для плоского деформированного состояния.

2.2. Дискретная модель упругопластического деформирования тонкого слоя.

2.3. Исследование идеально упругопластического поведения материала слоя при использовании критерия Губера - Мизеса.

Основные результаты второй главы.

ГЛАВА III. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ОКРЕСТНОСТИ ТРЕЩИНЫ НОРМАЛЬНОГО ОТРЫВА ДЛЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СЛУЧАЯ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Дискретная модель деформирования слоя в условиях плосконапряженного состояния.

3.3. Согласование предложенной модели с результатами подхода ЛПД. 8.

Основные результаты третьей главы.

Механика разрушения к настоящему времени имеет множество подходов к описанию напряженно деформированного состояния тел, ослабленных трещиной. Каждый из подходов включает в себя как модель трещины, так и соответствующий критерий ее продвижения. Наиболее распространенной моделью трещины в сплошной среде является представление в виде математического разреза, связанное с именем А.А. Гриффитса [78,79]. Основные результаты его исследования связывают причины развития трещины в линейно упругом теле с процессами накопления и освобождения в нем энергии деформаций. Основываясь на асимптотических выражениях Вейгхарда [100], он сформулировал условие начала распространения трещины, как момента, когда высвобождающаяся удельная (отнесенная к приращению площади образующихся поверхностей) упругая энергия станет равной удельной энергии разрушения, необходимой для образования новой поверхности разрыва. Данное условие называют энергетическим критерием хрупкого разрушения.

Классическая концепция Гриффитса применима для идеального упругого разрушения хрупкого материала. В действительности же для большинства реальных материалов в малой области конца разреза из-за больших напряжений возникает зона проявления нелинейных свойств материала (текучесть, вязкость, ползучесть и прочие явления). Для обобщения теории Гриффитса на более широкий класс материалов, Дж.Р. Ирвином [80-83] и Е.О. Орованом [91] была предложена концепция квазихрупкого разрушения. Ее сущность заключается в введении в рассмотрение необратимых, пластических деформаций в вершине трещины. Базируясь на экспериментах с малоуглеродистой сталью, Орован предположил, что затраты энергии в процессе образования новых материальных поверхностей при разрушении типа нормального отрыва связаны в первую очередь с работой пластической деформации в малой окрестности зоны предразрушения. Ирвин ввел понятие вязкости разрушения как достижение коэффициентом интенсивности напряжений критического значения. Данное условие носит название силового критерия разрушения. Критическое значение коэффициента интенсивности напряжений является характеристикой материала. В случае хрупкого разрушения Ирвин показал эквивалентность энергетического и силового критериев разрушения. Следует отметить, что использование силового критерия для упругопластических материалов является недостаточно обоснованным и справедливо только при длине пластической зоны равной менее 20% полудлины трещины.

Если же характерный линейный размер пластической зоны у вершины трещины начинает на 20% превышать длину трещины, то понятие коэффициента интенсивности напряжений утрачивает смысл (из-за ограниченности области справедливости асимптотических формул). В этом случае формулировка закономерностей, определяющих поведение тела с трещиной, так или иначе, связана со свойствами сопротивления материала пластическим деформациям. В такой постановке задача относится к нелинейной механике разрушения, все модели, которой исходят из наличия достаточно развитой пластической зоны перед вершиной трещины.

Развитие нелинейная механика разрушения получила в работах П.М. Витвицкого, М.Я. Леонова и В.В. Панасюка [5, 42], Дагдейла [74]. С целью ликвидации бесконечных напряжений и учета пластической области были введены распределения фиктивных нагрузок постоянной интенсивности, притягивающих концевые участки берегов трещины. Длина участка притяжения трактовалась Дагдейлом как область пластической деформации. В качестве критерия начала разделения использовалась длина критического раскрытия трещины. Дальнейшее развитие данный подход получил в работах Г.И. Баренблатта [4,71], Н.А. Махутова [47,86], Е.М. Морозова [62,85,89]. Модель развития трещины с учетом сил сцепления в упругопластических телах была предложена И.М. Лавитом [39,40].

Вопросам теории механики разрушения посвящены исследовательские работы Ф. Макклинтока [45,46,87], В.В. Новожилова [56,57], Д.Д. Ивлева [26-28], В.Б. Пенькова [67], Ю.Н. Работнова [65], А.Ю. Ишлинского [32], Н.Ф. Морозова [53], В.И. Астафьева [70], В.З. Партона [62], A.M. Линькова [43], Р.В. Гольдштейна [17-22,75], Ю.Г. Матвиенко [85,86], Болотина В.В. [72], Паукшто М.В. [54] и ряда других отечественных и зарубежных исследователей [1,2, 23, 35, 5052, 55, 63, 69, 72, 73, 84, 88-90, 92, 94, 98-101].

Оригинальный подход к решению задач нелинейной механики разрушения был рассмотрен в работах Г.П. Черепанова [68] и Дж. Райса [95-97]. В качестве критерия разрушения материала предполагается использование независимого от контура интегрирования интеграла (Г, J -интегралы). Данный критерий носит инвариантный характер и в отличие от предположений Ирвина не использует асимптотические представления линейной теории разрушения. Тем не менее, в случае развитого пластического течения интегральный критерий теряет универсальный характер [14].

Развитие сингулярной теории трещин с учетом больших деформаций дано в работах К.Ф. Черныха [53,66].

Таким образом, используя критерий Гриффитса в энергетическом или силовом варианте удается прогнозировать трещиностойкость материалов, поведение которых описывается моделью линейно упругого тела. Если же материал проявляет пластические свойства, то модель математического разреза может рассматривать различные критерии начала образования новых материальных поверхностей в зависимости от вида нагружения и степени пластической деформации [34]. В этом случае ни одно из представлений не дает ответа на вопрос о начале пластического деформирования в концевой области трещины Гриффитса. В частности, модель Леонова-Панасюка-Дагдейла предполагает наличие пластической зоны при сколь угодно малой внешней нагрузке. Однако определение начала пластического деформирования в вершине трещины является важным вопросом, в частности, при циклическом нагружении поврежденного материала [57]. Таким образом, разработка математических моделей, адекватно описывающих зарождение и развитие пластических областей в вершине трещины является достаточно актуальным.

Другим модельным представлением трещиноподобного дефекта является разрез физический. В этом случае решение задачи сводится к моделированию взаимодействия материального слоя на продолжении разреза с остальной средой. Масштабный уровень данного слоя определяет подход к описанию процесса разрушения [46,49,62]. Если это уровень кристаллической решетки [56,65], то процесс в данном случае описывается потенциалами межатомного взаимодействия [36], либо «атомной» моделью со связями типа пружин в модели Прандтля [93], или нелинейным законом связи между силой взаимодействия атомов и величиной их раздвижения в теории Гудьера и Каннинена [76]. Среда вне слоя, как правило, полагается линейно упругой.

Альтернативным подходом является выбор масштабного уровня, когда остаются справедливыми гипотезы механики сплошной среды. Одним из таких подходов, является представление Макклинтока [45]. Следуя статье [45] в окрестности прохождения трещины выделяется слой некоторой толщины 80 механические свойства которого не отличаются от окружающего материала вплоть до начала разрушения, локализирующегося в данном слое. В этом случае на толщину слоя накладывалось ограничение, чтобы он включал в себя несколько зародышей пор или микротрещин, а перемещения на толщине рассматриваемого слоя описывались нормальной и касательной компонентами деформации, умноженными на толщину слоя. Отметим, что постановок конкретных задач, базирующихся на конкретном модельном представлении [45] дано не было.

В работах [13,14] слой взаимодействия определяется как материал, приращение свободной энергии которого в процессе разделения переходит в поверхностную энергию образуемых поверхностей. В этих статьях показано, что толщина слоя лежит в пределах <50 » 10~4 -ь10~бм. По классификации, приведенной в монографиях [49,62] этот масштаб соответствует размеру зерен. Распределение напряжений по толщине слоя взаимодействия ограничивается линейным законом. В случае нагружения типа нормального отрыва в работах [10,15] принималась однородность напряжений по толщине слоя. Следуя концепции [9-15] трещину в данной работе будем рассматривать как физический разрез. Толщину разреза выбираем минимально допустимой с точки зрения выполнения гипотез механики сплошной среды. В совокупности с данным представлением в модель трещины включаем и материал среды, лежащий на мысленном продолжении физического разреза. Деформация слоя формирует граничные условия для сопряженной с ним среды, которые определяются из решения соответствующих краевых задач.

Цель данной диссертационной работы состоит в исследовании процесса зарождения и развития тонкой пластической области в вершине трещины при различных видах напряженного состояния и упрочнения поврежденного материала. Основными задачами при данном подходе являются определение численного значения толщины слоя, включая постановку возможных натурных экспериментов по ее нахождению, а также исследование конкретных краевых задач механики разрушения. Следует отметить, что в работе [9] приведена оценка слоя взаимодействия через межатомное расстояние, а в диссертационной работе [48] рассмотрены возможные постановки задач разрушения для случая, когда материал слоя описывался в рамках идеально упругопластической модели с критерием перехода Треска — Сен-Венана. В работе получена оценка толщины слоя взаимодействия с использованием такой механической характеристики как вязкость разрушения, а также рассмотрено влияние возможного упрочнения материала слоя на развитие тонкой пластической области. В качестве условия перехода материала из упругого состояния в пластическое принимается критерий Губера — Мизеса.

Научная новизна работы заключается в следующих основных результатах:

1. Определена оценка слоя взаимодействия в балочном приближении эксперимента по разрушению двухконсольной балки (ДКБ-образца) с использованием такой механической характеристики как вязкость разрушения.

2. Получена система уравнений, позволяющая из экспериментальных . данных, оценить соответствующий параметр по длине пластической зоны и соответствующей критической нагрузке. Исследована обусловленность полученной системы. Найдены ограничения на линейные размеры ДКБ-образца для экспериментального определения параметра структуры.

3. Рассмотрена модель деформирования линейно упругой плоскости, ослабленной полубесконечной трещиной, моделируемой физическим разрезом, под действием внешней симметричной нагрузки с учетом касательной составляющей.

Показано, что учет напряжений, действующих ортогонально отрыву, существенно влияет на напряженно-деформированное состояние окрестности трещины.

4. Учет возможного упрочнения материала слоя, лежащего на продолжении трещины, не оказывает существенного влияния на развитие тонкой пластической области в слое взаимодействия для случая плоского деформирования. В плоско напряженном случае упрочнение материала играет существенную роль при определении критического состояния.

5. В предложенной модели напряженное состояние и длина пластической области определяются из решения соответствующих краевых задач и, в отличие от классического подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла, позволяют отразить чисто упругое поведение материала.

Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.

Результаты данной работы могут быть использованы для прогнозирования прочности упругопластических материалов в профилирующих НИИ и КБ," а также использоваться в теоретических курсах для студентов по направлению «Механика. Прикладная математика».

Результаты исследования обсуждались на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2007-2008г.), семинаре по МДТТ им. Л.А. Толоконникова (руководитель — проф. Маркин А.А., 2009), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.

По материалам работы опубликовано 7 работ, в том числе 4 статьи и 3 тезиса докладов на конференциях. Две статьи опубликованы в изданиях из списка ВАКа.

Работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка литературы, включающего 101 наименование.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, рассмотрены исторически сложившиеся направления исследования механики разрушения, указаны цель и основные задачи исследования, отмечена научная новизна работы. Проанализированы подходы к описанию поведения твердых тел, ослабленных трещиной, на различных масштабных уровнях.

В первой главе рассматривается вариант модели процесса разрушения типа нормального отрыва ДКБ-образца, ослабленного физическим разрезом, в геометрически линейном приближении. Совокупность полученных результатов позволяет корректно определить реальные размеры образцов для проведения экспериментальных исследований. Интерес представляют полученные оценки толщины слоя взаимодействия, как параметра структуры, через известные механические характеристики материала.

Во второй , главе рассматривается задача упругопластического деформирования плоскости под действием внешней симметричной нагрузки, приложенной к берегам трещины, для случая плоского деформированного состояния. Изучено влияние параметров модели на развитие тонкой пластической зоны, ее напряженно-деформированного состояния. Проведено сравнение результатов для идеально упругопластического и упрочняющегося материала слоя.

В третьей главе исследуется процесс упругопластического деформирования линейно упругой плоскости, ослабленной физическим разрезом, в случае плоского напряженного состояния. В рамках предложенной модели проведено сравнение результатов с классическим подходом Леонова-Панасюка-Дагдейла.

В заключении приведены основные результаты и выводы по работе.

Основные результаты третьей главы 1. Предложенная модель позволила исследовать процесс развития тонкой пластической зоны в случае плоского напряженного состояния для упрочняющегося и идеально упругопластического материала.

2. Упрочнение материала играет существенную роль при определении критического состояния в плосконапряженном состоянии в отличие от случая плоской деформации.

3. В предложенной модели напряженное состояние и длина пластической области определяются из решения соответствующих краевых задач и в отличие от классического подхода Леонова-Панасюка-Дагдейла позволяют отразить чисто упругое поведение материала.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная диссертационная работа является продолжением исследований [6-16] в рамках, которых трещиноподобный дефект моделируется физическим разрезом и материальной областью, лежащей на мысленном продолжении физического разреза со сплошной средой - слоем взаимодействия. Задание толщины разреза позволяет рассматривать разрушение как процесс на определенном масштабном уровне. В рассматриваемом случае это уровень выполнения гипотез механики сплошной среды. Следовательно, разрушение есть термомеханический процесс [13,14] и решение задачи о нахождении критического состояния сводится к постановкам соответствующих краевых задач в рамках тех или иных определяющих соотношений.

На основе концепции слоя взаимодействия в работе поставлены и решены задачи о зарождении и развитии пластической области на начальной стадии процесса разделения тел с физическим разрезом.

На первом этапе исследования основной проблемой являлось определение соответствующего характерного размера для конкретного материала.

В работе получена оценка минимального характерного размера (толщины слоя взаимодействия) через известные механические характеристики (вязкость разрушения), а также предложена программа прямого эксперимента по определению соответствующего параметра структуры в рамках стандартного нагружения ДКБ-образца. Построенная математическая модель сведена к системе нелинейных уравнений относительно основных неизвестных задачи: длины пластической зоны, расклинивающего усилия и толщины слоя взаимодействия. Анализ задачи позволил предложить оригинальный метод решения, позволяющий для нахождения конкретных значений длины пластической зоны свести задачу к последовательности линейных алгебраических систем. Отмечено, что обработка прямых экспериментальных данных по разрушению ДКБ-образца позволит определить из полученной системы уравнений толщину слоя взаимодействия д0 и длину зоны пластического деформирования /р.

В результате решения задачи о разделении ДКБ-образца была исследована обусловленность полученной системы от параметра равного отношению толщины консоли к толщине слоя взаимодействия. Результаты исследования позволяют оценить реальные размеры образцов, для которых может быть получено решение. Изучена зависимость длины пластической зоны от различных граничных условий.

На следующем этапе исследования в качестве модели рассматривается процесс деформирования линейно упругой плоскости, ослабленной полубесконечным физическим разрезом, под действием внешней симметричной нагрузки для случая плоского деформированного и плоского напряженного состояний. Рассмотрены различные постановки задачи о зарождении и развитии пластической области для идеально упругопластического и упрочняющегося материала. Предположение о лучевом характере нагружения, позволило свести задачу к статически определимой.

Предложенная модель позволила отразить стадию чисто упругого поведения материала, а также различный характер развития тонкой пластической зоны при плоском деформированном и напряженном состояниях. Показано, что для случая плоской деформации величина напряжения отрыва может существенно превышать предел текучести, по сравнению с плосконапряженным состоянием. Проведено сравнение полученных результатов с классическим подходом Леонова - Панасюка - Дагдейла.

В работе показано, что учет упрочнения материала слоя не оказывает существенного влияния на развитие тонкой пластической области в слое взаимодействия для случая плоского деформирования. В плоско напряженном состоянии упрочнение материала играет существенную роль при определении длины пластической зоны и НДС на пластически деформируемых элементах.

1. Агарков С.И. Распределение напряжений в жаропрочной пластинке с круговым отверстием при ползучести // Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. Тула: ТулПИ, 1981. С.112-114.

2. Агарков С.И. Определение скорости роста трещины в рамках усовершенствованной модели ползучести с возвратом // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи: Сб. науч. трудов. Тула: ТулПИ, 1996. С.89-90,

3. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. Учеб. Пособие. М.: Высш. шк., 1994. - 544с.

4. Баренблатт Г.И., Христианович С.А. О модуле сцепления в теории трещин // Инженерный журнал. Механика твердого тела. 1968. № 2. С. 69-75.

5. Витвицкий П.М., Леонов М.Я. О разрушении пластинок со щелью // Прикладная механика. 1961. -№5. С. 15-23.

6. Гаврилкина М.В., Глаголев В.В. Вариант постановки задачи разрушения типа нормального отрыва // Вестник Чувашского государственного педагогического университета. Серия: Механика предельного состояния. №2(5) - 2008. - С. 52-57.

7. Гаврилкина М.В., Глаголев В.В. Модель напряженно-деформированного состояния окрестности трещины // Известия Тульского государственного университета. Серия: Естественные науки.-Вып.2,-2009.- С. 74-89.

8. Гаврилкина М.В., Глаголев В.В., Маркин А.А. К решению одной задачи механики разрушения // ПМТФ. 2007. - Т.48. - №4. - С. 121127.

9. Глаголев В.В., Кузнецов К.А., Маркин А.А. Модель процесса разделения деформируемого тела // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 6. С.61-68.

10. Глаголев В.В., Маркин А.А. Об одной постановке задачи упругопластического разделения // Прикладная механика и техническая физика. 2009. - Т. 50-№4.-С. 187-195.

11. Глаголев В .В., Маркин А.А. Модель установившегося разделения материального слоя // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 5. С. 121-129.

12. Глаголев В.В., Маркин А.А. Об одном способе определения связей между критическими значениями характеристик процесса установившегося разделения материала // Проблемы прочности. 2006. №2. С. 47-58.

13. Глаголев В.В., Маркин А.А. Термомеханическая модель дискретного разделения упругопластических тел // Изв. ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Том 12. - Вып. 2. - 2006. - С. 103-129.

14. Глаголев В.В., Маркин А.А. Определение термомеханических характеристик процесса разделения // Известия РАН. Механика твердого тела. №6. - 2007. - С. 101-112.

15. Глаголев В.В., Маркин А.А., Мерцалова Т.А. Дискретно-континуальная модель процесса симметричного разделения // Прикладная механика и техническая физика. — 2009. — Т. 50 №1. - С. 134-140.

16. Глаголев В.В., Мерцалова Т.А. Упругопластическое поведение тонкого слоя в окрестности трещины нормального отрыва // Известия Тульского государственного университета. Серия: Естественные науки.-Вып.2.-2008.- С. 67-85.

17. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Моделирование отслоений покрытий при термомеханичесом нагружении в балочном приближении // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 5. С. 75-90.

18. Гольдштейн Р.В., Перельмутер М.Н. Рост трещин по границе соединения материалов // В кн.: Проблемы механики. Сб. статей. М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2003. - С. 221-239.

19. Гольдштейн Р.В., Сарычев М.Е. Влияние дислокаций на критерий роста трещин по границе соединения деформируемых материалов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 1. С. 125-135.

20. Гольдштейн Р.В., Шаталов Г.А. Моделирование процессов разрушения в рамках обобщенной модели атомистической трещины нормального отрыва // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 4. С. 151-164.

21. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. О возможной искривления трещины нормального отрыва в анизотропной плоскости // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 6. С. 173-182.

22. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. О возможной неустойчивости прямолинейного пути трещины в ортотропной плоскости в условиях одноосного нормального растяжения // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 3. С. 33-45.

23. Ентов В.М., Салганик Р.Л. К модели хрупкого разрушения Прандтля // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 6. С. 87-99.

24. Зегжда С.А., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. О «балочном» подходе в задачах распространения трещин // Известия РАН. МТТ. 1999. - № З.-С. 114-120.

25. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность. Т.2. Пластичность. М.Физматлит, 2008 336с.

26. Ивлев Д.Д. О выводе соотношений, определяющих пластическое течение при условии полной пластичности // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. — №3. - С. 137.

27. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности.М.:Наука, 1966. 232с.

28. Ивлев Д.Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности: избранные работы. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2005. 357с.

29. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.30." Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. -310с.

30. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности М: ФИЗМАТ ЛИТ, 2001. 701 с.

31. Ишлинский И.Ю. Сопоставление двух моделей развития трещин в твердом теле // Изв. АН СССР МТТ.-1971.-№4.-С.116-121.

32. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.:Наука, 1969. 420с.

33. Клевцов Г.В., Ботвина Л.Р. Микро- и макрозона пластической деформации как критерии предельного состояния материала при разрушении // Проблемы прочности. 1984. — №4. - С. 24-28.

34. Корнев В.М. Обобщенный достаточный критерий прочности. Описание зоны предразрушения // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 5. С. 153-161.

35. Кравчук А.С. О задачах механики наноконтакта // Современные проблемы прочности, пластичности и устойчивости: сборник статей к 75-летию со дня рождения В.Г. Зубчанинова. Тверь: ТГТУ. - 2007. - С. 144-156.

36. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: Пер. с. англ. М.: Мир, 1987. — 328 с.

37. Кузнецова В.Г., Роговой А.А. Эффект учета слабой сжимаемости материала в упругих задачах с конечными деформациями // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 4. С. 64-77.

38. Лавит И.М. Об устойчивом росте трещины в упругопластическом материале // Проблемы прочности.-198 8.-№7.-С. 18-23.

39. Лавит И.М., Толоконников Л.А. Силы сцепления и J-интеграл // Изв. Сев.-Кавказского научного центра высш. Школы. Естественные нуки.-1985 .-№ 1 .-С.28-30.

40. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г. Феноменологические основы оценки трещиностойкости материалов по параметрам спадающих участков диаграмм деформаций//Пробл. прочности. 1983. №2. С. 6-10.

41. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикладная механика. — 1959. Т. 5. - № 4. - С. 391401.

42. Линьков A.M. Об условиях устойчивости в механике разрушения // ДАН СССР.-1977.-Т.233.-№1.-С.45-48.

43. Лурье А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. М.: Наука, 1970.

44. Макклинток Ф. Пластические аспекты разрушения // Разрушение. Т.З. М.: Мир, 1975. С. 67-262.

45. Макклинток Ф.А., Ирвин Дж. Р. Вопросы пластичности в механике разрушения. В. кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения. 1968. С.143-186.

46. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конствукций на прочность.-М. Машиностроение, 1981.-270с.

47. Мерцалова Т.А. Модель развития пластической области при нормальном отрыве. Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Тула, 2008.

48. Механика от дискретного к сплошному/ А.Н. Андреев и др. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008. - 344 с.

49. Мир-Салим-заде М.В. Зарождение трещины в подкрепленной пластине // ПМТФ. 2007. Т. 48, № 4. С. 111-120.

50. Мирсалимов В.М. Зарождение трещин в перфорированном тепловыделяющем массиве // ПМТФ. 2007. Т. 48, № 5. С. 121-133.

51. Мирсалимов В.М. К решению задачи механики контакного разрушения о зарождении трещины со связками между берегами во втулке фрикционной пары // ПММ. 2007. Т.71. Вып. 1. С. 132-151.

52. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы механики разрушения твердых тел Спб.: Изд-во С-Петербурского ун-та, 1997.- 132 с.

53. Назаров С.А., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. JI., 1984. - 93 с.

54. Назаров С. А., Шпековиус-Нойгебауер М. Применение энергетического критерия разрушения для определения формы слабоискривленной трещины // ПМТФ. 2006. Т. 47, № 5. С. 119-130.

55. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. 1969. № 2. С. 212-222.

56. Новожилов В.В., Рыбакина О.В. О перспективах построения критерия прочности при сложном нагружении // Прочность при малом числе циклов нагружения / М.: Наука. 1969. - С. 71-80.

57. Новокшанов Р.С., Роговой А.А. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных деформаций // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 4. С. 77-95.

58. Новокшанов Р.С., Роговой А.А. Эволюционные определяющие соотношения для конечных вязкоупругих деформаций // Изв. РАН. МТТ. 2005. № 4. С. 122-140.

59. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения. М: Металлургия, 1978.-256 с.

60. Партон В.З., Морозов Е.М. Об одном обосновании критерия Ирвина на конце трещины//Изв. АН СССР. МТТ. №6.1968. С. 147-153.

61. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластичекого разрушения 2-е изд., перераб. и доп. - М.:Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.-504с.

62. Перельмутер М.Н. Критерий роста трещин со связями в концевой области // ПММ. 2007. Т.71. Вып. 1. С. 152-171.

63. Петров Ю.В. О «квантовой» природе разрушения хрупких сред // Докл. АН. 1991. Т. 321. № 1. С. 66-68.

64. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1987.-80с.

65. Разрушение / Под ред. Г. Либовица. Т.2.-М.:Мир, 1975-764с.

66. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. О сильном разрыве упругого поля // Известия СКНЦ ВШ. Естественные науки. 1989. - № 3. - С.49-51.

67. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

68. Шоркин B.C. Математическая модель механического взаимодействия тела детали и ее поверхностного слоя / B.C. Шоркин // Справочник. Инженерный журнал.-2006, №7.-С.30-36

69. Astafiev V.I. Grigorova T.V. Pastukhov V.A. Influence of continuum damage on stress distribution near a tip of growining crack under creep conditions // Proc. 2 nd Intern. Collog. On Mech. Of Creep Brittle Materials. Leicester, UK, 1991. P. 49-61.

70. Barenblatt G.I. On a model of small fatigue cracks // Eng. Fract. Mech. 1987. - V.28. - №5/6. - P. 623-626.

71. Bolotin V.V., Lebedev V.I. Analytical model of fatigue crack growth retardation due to overloading // International Journal of Solids and Structures. 1996. - №9. - P. 1229-1242.

72. Cook J., Gordon J.E. A mechanism for the control of crack propagation in all brittle system // Proc. Roy. Soc, London. Ser. A, 1964. V. 282. № 1391. P. 508-520.

73. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits J. Mech. and Phys. Solids. - 1960. - V.8. -№ 2. - P.100-108.

74. Goldstein R.V., Perelmuter M.N. Modeling of bonding at the interface crack // Internal J. of Fracture. 1999. - V. 99. - №1-2. - P. 53-79.

75. Googier J.N., Kanninen M. Crack Propagation in a Continuum Model with Nonlinear Atomic Separation Lawn // Tech. Rep. No. 165, Div. Eng. Mechanics, Stanford Univ., 1966.

76. Green A.E., Rivlin R.S., Shield R.T. General theory of small elastic deformations superimposed on finite elastic deformations // Proc. Roy. Soc. London. 1951.-V.A211.-P. 128-154.

77. Griffith A.A. The phenomenon or rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc., Ser. A. 1920. -V. 221. -P.163-198.

78. Griffith A.A. The theory of rupture // In: Proc. 1st Int. Congr. Appl. Mech.- Delft. 1924. - P. 55-63.

79. Irwin G.R. Linear fracture mechanics, fracture transition, and fracture control // Engn. Fracture Mechanics. 1968. V.l. P. 241-257.

80. Irwin G.R. Relation or stresses near a crack to the crack extension force //Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech.- Brussels. 1957. - V. 8. - P. 245-251.

81. Irwin G.R. Analysis of stresses and stain near the end of a crack traversing a plate // J. Appl. Mech. 1958. V. 24. - № 3. - P. 361-364. (Discussion // J. Appl. Mech. 1958. - V. 25. - № 2. - P. 299-303 ).

82. Irwin G.R. Plastic zone near a crack and fracture toughness. — 7th Samagore Ardance Materials Research Conference. — Syracuse: Syracuse Univ. Press, 1960.

83. Levin V.A. Theory of Repeated Superposition of Large Deformations. Elastic and Viscoelastic Bodies // Intern. J. Solids a. Structures. 1998. - V. 35.-№20.-P. 2585-2600.

84. Matvienko Yu. G., Morozov E.M. Some problems in linear and nonlinear fracture mechanics // Engineering Fracture Mechanics. — 1987. V.62. -P. 127-138.

85. Matvienko Yu. G., Makhutov N.A. Strength and survivability analysis in engineering safety for structures damaged by cracks // Int. J. Vessels and Piping. 1999. -V. 76. - P. 441-444.

86. McClintock F.A. Ductile fracture instability in shear // J. Appl. Mech. -1958.-V. 25.-P. 581-588.

87. Mishra R.S., Bieler T.R., Mukhetjee A.K. // Acta Metall. Mater. -1995. V.43.-№3.-P. 887-891.

88. Morozov E.M. Some Heuristic Models of Propageting Cracks // FRACTURE; A Topical Encyclopedia of Current Knowledge. Ed. By G.P. Cherepanov. Melborn: Grieger Publ. Сотр., 1998. - P. 440-449.

89. Murakami S. Mechanical modeling of material damage // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1988. - V. 55. June. - P.280-286.

90. Orowan E.O. Proc. Symposium on internal stresses in metals and allows.- London: Institut of Metals, 1948, p.451.

91. Perelmuter M.N. Fracture model for an interface with bridged zone // Proc. of the 14 European Conference on Fracture, ECF-14, Crackow, Poland, 8-13 September. 2002. - P. 655-662.

92. Prandtl L. Ein Gedankenmodell fur den Zerreibvorgand sproder Korper //ZAMMBd. 13. 1933. P. 129-133.

93. Qi-Kui Du. Evaluations of certain hypersingular integrals on interval // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2001. -V. 51. - P. 1195-1210.

94. Rice J.R. The elastic-plastic mechanics of crack extension // Int. J. Fracture Mech. 1968. - V. 4. - № 1. - P. 41-47.

95. Rice J.R. Some mechanics research topics related to the hydrogen embrittlement of metals // Corrosion. 1976. - V. 32. — № 1. - P. 22-26.

96. Rice J.R., Johnson M.A. The role of large crack tip geometry changes in plane strain fracture // Inelastic Behaviour in Solids. New York: McGraw-Hill. - 1970. - P. 641-672.

97. Schwalbe K.N., Zerbst U. The Engineering Treatment Model // Int. J. Pressure Vessels and Piping. 2000. - V. 77. - P. 895-918.

98. Vasyutin A.N. Fracture mechanics of physically short cracks // Fatigue and Fracture Engng Mater, and Struct. 1992. - V. 15. - № 2. - P. 203-212.

99. Weighardt K. Uber das Spalten und Zerresen elastischer Korper // Zeitschr. fur Math. Und Phys. -1907. Bd. 55. - № 1/2. - S. 60-103.

100. Will P., Totzauer W., Michel B. Analysis of surface cracks by holography // Theor. Appl. Fract. Mech. 1988. - V. 9. - P. 33-38.