Модель упругопластического деформирования трещины нормального отрыва для тел конечных размеров тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

АЙРИХ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ

МОДЕЛЬ УПРУ ГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРЕЩИНЫ НОРМАЛЬНОГО ОТРЫВА ДЛЯ ТЕЛ КОНЕЧНЫХ

РАЗМЕРОВ

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

15 АПР 2015

005567228

Тула 2015

005567228

Работа выполнена на кафедре «Математическое моделирование» в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Глаголев Вадим Вадимович

Официальные оппоненты: Шоркин Владимир Сергеевич, доктор физико-

математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Госуниверситет — УНПК», профессор кафедры «Физика»;

Фурсаев Сергей Александрович, кандидат физико-математических наук, ОАО «Конструкторское бюро приборостроения им. академика А. Г. Шипунова», инженер-исследователь. Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

университет»

Защита диссертации состоится 14 мая 2015 г. в 10:00 часов на заседании диссертационного совета Д.212.271.02 при ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012, г. Тула, пр. Ленина 92. (12105).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» и на сайте tsu.tula.ru

Автореферат разослан 24 марта 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л.А. Тслокошшков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Определение напряженно-деформированного состояния (НДС) поврежденных трещиной тел связано с моделью данного дефекта в твердом теле. Классическое представление трещины в виде математического разреза достаточно хорошо прогнозирует прочность конструкций из хрупких материалов или в случае, когда область пластического деформирования незначительна и используется концепция квазихрупкого разрушения Ирвина - Оро-вана. Исследования в данном направлении приведены в работах Г.П. Черепанова, В.В. Новожилова, Н.Ф. Морозова, Е.М. Морозова, В.М. Ентова, РЛ. Салга-ника, Ю.В. Петрова, М.В. Паукшто, В.З. Партона, В.Б. Пенькова, В.И. Астафьева, Ю.Н. Радаева, В.М. Корнева, Л.И. Степана, Ф. Макклинтока, Г.Б. Олсона, М. Каннинена, Дж. Н. Гудьера, Дж. Райса, Л. Прандтля и ряда других отечественных и зарубежных исследователей. При этом вопрос о переходе от упругого состояния к пластическому и развитии пластических зон на стадии предразрушения не рассматривается. Причина этого сингулярность поля напряжений в концевой зоне трещины. Подавить сингулярность возможно введением сил сцепления, однако в этом случае возникает вопрос о законе распределения этих сил. В данном направлении отметим вклад Г.И. Баренблатга Р.В. Гольдштейна, И.М. Лавита, В. Budiansky, Y.L. Cui, L.R.F. Rose, B.N. Cox, D.B. Marshall. Практическое применение данного подхода ограничено случаем нормального отрыва для плоского напряженного состояния. В этом случае интенсивность этих сил полагают постоянной и равной пределу текучести материала. Экспериментальные данные по определению формы пластического деформирования трещины нормального отрыва дают принципиально разные результаты в случае плоской деформации и плоского напряженного состояния. Кроме того, для плоской деформации в качестве критерия разрушения используют оценки по вязкости разрушения, а при плоском напряжённом состоянии — по критическому раскрытию трещины. Основные аналитические результаты механики разрушения относятся к модельным задачам для бесконечных тел. Поврежденные тела конечных размеров требуют численных методов исследования в рамках тех или иных моделей.

Прямое моделирование методом конечного элемента для физического разреза приведет к неоднозначности решения от выбора формы разреза. Таким образом, разработка математической модели, позволяющей адекватно описывать форму и развитие пластической области при нормальном отрыве в телах конечных размеров, является достаточно актуальной.

Цель работы состоит в исследовании процесса зарождения и развития пластической области в вершине трещины нормального отрыва в телах конечных размеров с учетом возможного разрушения.

Научная новизна. Показано, что для трещины нормального отрыва необходим учет всех главных компонент тензора напряжений в вершине трещины.

в

Предложена математическая модель, в которой исключена сингулярность напряжений, и форма ее окончания не влияет на напряженно-деформированное состояние концевой зоны.

Поставлена и решена новая задача симметричного нагружения берегов трещиноподобного дефекта для упругопластического материала с упрочнением и идеально упругопластическим поведением на основе введения в модель трещины линейного размера.

Теоретическая ценность работы состоит в решении важной научной задачи нахождения критериальных величин напряженно-деформированного состояния для трещины нормального отрыва в упругопластических телах конечных размеров.

Практическая ценность полученных результатов состоит в возможности их использования при расчете на прочность поврежденного упругопластического материала.

Работа выполнена в рамках проекта РФФИ №13-08-00134 и поддержке Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467)

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается использованием фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела, сравнением частных выводов с результатами других авторов, использованием апробированных методов решения получаемых уравнений.

На защиту выносятся:

- вариационная постановка определения напряженно-деформированного состояния тела конечных размеров для упругопластического материала с линейным упрочнением;

- определение введенного в модель трещины линейного размера по известным механическим характеристикам материала.

- численные результаты исследования процесса деформирования тела с трещиноподобным дефектом при симметричном нагружении.

Апробация работы. Основные результаты по теме данной диссертации были доложены и обсуждены на регулярных научных семинарах кафедры «Математическое моделирование», г. Тула, 2010-2014.

Публикации. По теме диссертации опубликовано б печатных работ, 2 из

которых в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации: диссертация состоит из введения, трёх разделов, заключения, списка литературы. Работа содержит 100 страницы машинописного текста, включая 67 рисунков, 6 таблиц и список литературы из 110 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении представлены основные цели диссертационной работы, обосновывается новизна и ценность, приводится краткий анализ работ других исследователей по схожей тематике, а также описывает структура диссертации.

Отмечены исследования, рассматривающие процесс разрушения на различных масштабных уровнях.

В первом разделе рассматривается постановка задачи симметричного нагружения тела с центральной трещиной, моделируемой физическим разрезом с толщиной ¿0, согласно схеме на рисунке 1. Граница разреза полагается неопределенной и показана на рисунке 1 пунктирной волнистой линией. Процесс нагружения предполагается квазистатическим и изотермическим. Условие равновесия принимаем в вариационной форме:

\\а~3е(к = )р-8й<11, (1)

51+2+3 £

где под номером 3 определен материальный слой, лежащий на продолжении физического разреза; 1,2 - смежные с 3 области; Р - внешняя нагрузка на контуре Ь\ а - тензор напряжений; е - тензор напряжений; й - поле перемещений.

о

© сКТ ©?

га

©

-7

тттттттттттт

р~

Рисунок 1 - Схема нагружения

Вводятся напряжения на границах слоя:

*21(*1) = *21(*1 А/2),*й(*1) = »21(*1 -¿о/2). 01г(*\) = <Ъ>(*1А/2),

и средние по толщине слоя напряжения агц,аГ22,дг21-Использование средних характеристик по толщине позволяет отказаться от конкретной формы окончания физического разреза.

Средние напряжения и деформации в слое определяем через их граничные значения следующим образом:

О" 21

Во/

1 2 ! - \ (л,)=— ¡<Т21(хиХ2)сЬс2 =0.5(сг21 +0,21) >

Во/

— 1 { - \ о-22(х1) = — \о21{х1,х2)<1х2 = 0.5{а22 + сг22) ,

Е22(Х1) = -£•11(^1) = 0.5

->о

ди+ ди\ \ 1

Й«1

= 0.5

^ + _ л

ди^^дщ

5г<[ _ — щ

дх-,

дх\ дх\

V У

Связь средних и граничных напряжений слоя запишем в виде:

дети _ <т21 - сг21 дх1 <У0

дан дх,

СХ-у-у — <т

_ 22

22

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

В силу симметрии на границах слоя принимались соотношения:

^=-<т21, (9)

ст22=сг22> (10) «2+=-«2". (П)

«Г=«Г- (12)

Из уравнения (8) и связи (10) при отсутствии внешней нагрузки на торцах слоя получаем: а21 = 0, а уравнение (7) с учетом (9) дает связь:

дети _ 2р-21 ^

ЙГ] <50

Для решения задачи симметричного деформирования тела с центральной трещиной достаточно рассмотреть половину тела 1 {АВСВР) для которого вариационное условие равновесия (1) с учетом (11)-(13) и отсутствия внешней нагрузки на торцах слоя преобразуется к виду:

¡ст~бвк+ \а22ди$сИ + 0.5б0 \ \Р+ -Ш1 (14)

Ялвсог ¿сд ¿со "1 ^гл

при следующих граничных условиях: для грани АВ: и, = 0; ст|2 = 0 - условия симметрии;

для грани AF: сг22 = Р; <т21 = 0 - задание внешней нагрузки; для грани ВС: ст22 = 0; сг21 = О - условия свободной поверхности; для грани FD: сти = 0; <т12 = 0 - условия свободной поверхности.

Поведение материала при активном нагружении определяем в рамках определяющих соотношений деформационной теории пластичности:

ГДст = 2G(y)Al [Ар=:ЗКАв

где ¿г- девиатор тензора истинных напряжений; е- девиаторная составляющая тензора деформаций; у = 14s ■ s ; в = £--Е/3, К — модуль объемного сжатия; р = <г ■ ■Е/3 — гидростатическая составляющая тензора напряжений; G— сдвиговой модуль; G=Ge при а - а <т£\ G(3)=GP при а • а > г/; Тк - предел текучести.

Определяющие соотношения в материальном объеме слоя считаются справедливыми для средних величин. Таким образом, постановка (14), (15) полностью определяет НДС поврежденного тела. Для решения задачи (14), (15) использовался метод конечного элемента с линейной аппроксимацией поля перемещений на элементе в комбинации с методом «упругих решений» A.A. Ильюшина.

Во втором разделе исследовалось решение (14), (15) в состоянии плоской деформации для сталей с механическими характеристиками, приведенных в таблице 1. Соответствующие характеристики брались из работ Лебедева A.A., Чаусова Н.Г., Махутова Н. Л., Трощенко В. Т., Покровского В. В., Каплуненко В. Г.

Таблица 1.

Марка стали стсг ,МПа Е, МПа Scr К МПа Vm cr0i2 ,МПа

Ст.З 900 210000 0.33 81 235

15Х2МФА 1500 220000 0.22 171,05 623

15Х2МНФА 1320 220000 0.22 163,27 606

Где егсг, есг - соответственно предел прочности по напряжениям и деформациям; <т0^—условный предел текучести; Е — модуль упругости.

На рисунке 2 показан график вычислительной сходимости интенсивности напряжений на первом элементе слоя в зависимости от размера грани конечного элемента Д по отношению к толщине слоя для упругого решения стали Ст.З. Соответствующая тенденция наблюдалась и для сталей 15Х2МФА, 15Х2МНФА. Из полученных результатов при решении задач было принято следующее ограничение на размер конечного элемента: = 3.

Рисунок 2 - Вычислительная сходимость упругого решения

Основной проблемой в использовании постановки задачи (14), (15), является значение введенного масштабного параметра 80 конкретного материала. В работе была рассмотрена процедура оценки параметра 80 исходя из известных механических характеристик материала и решения соответствующей упруго-пластической задачи.

Рисунок 3 — Зависимость главного напряжения от толщины слоя

Известно, что основной характеристикой трещиностойкости материалов является вязкость разрушения К[с. Данная величина определяется для нагру-жения трещины нормальным отрывом в состоянии плоской деформации. Отметим, что эта характеристика рассматривается для модельного представления трещины в виде математического разреза и используется для квазихрупких ма-

8

териалов. По данной величине можно рассчитать критическую нагрузку, соответствующую началу образования новых материальных поверхностей для определенной схемы нагружения. Следуя схеме рисунка 1 при 1АВ11Ар=\\1Ар1а = г на рисунке 3 приведена зависимость максимального главного напряжения в концевой зоне трещины от толщины слоя для рассчитанной по вязкости разрушения критической нагрузки для сталей: Ст.З - график 1, 15Х2МФА - график 2, 15Х2МНФА - график 3. Сопоставление критических напряжений с расчетными значениями по графикам рисунка 3 привело к следующим значениям введенного линейного параметра для рассматриваемых сталей: Ст.З - 1.5 -Ю^м., 15Х2МФА — 6 - Ю-4м., 15Х2МНФА - 6.5 • КГ4 м. Отметим, что соответствующие главные деформации в критическом состоянии, рассчитанном по критерию Кулона, оказались несколько меньше предела прочности по деформациям. Так для стали Ст.З максимальная главная деформация составила 0.69 £С1, для стали 15Х2МФА -0.75 всг, для стали 15Х2МНФА -0.73 есг.

Для расчетного значения толщины слоя стали Ст.З на рисунке 4 построена область пластического деформирования в концевой зоне трещины при достижении главным напряжением в концевой зоне трещины критического значения. Соответствующее распределение напряжений в слое показано на рисунке 5. Кривая 1 определяет напряжение о"22, кривая 2 - <ти, кривая 3 - <т33. Для сталей 15Х2МФА, 15Х2МНФА результаты имели аналогичную тенденцию.

Рисунок 4 - Область пластического деформирования в концевой области трещины при плоской деформации 9

2

1

0 2 4 6 */5О!102

Рисунок 5 - Распределение напряжений по длине слоя для плоского деформированного состояния

В третьем разделе для полученных толщин слоя рассматриваемых сталей исследовалось поведение образца с трещиной в случае плоского напряженного состояния. На рисунке 6 приведено распределения главных напряжений по длине слоя, а на рисунке 7 показана форма зоны пластичности для стали Ст. 3 при достижении максимальным главным напряжением предела прочности. Кривая 1 определяет напряжение а22, кривая 2 - сгп.

Рисунок 7 -Область пластического деформирования в концевой области трещины при плоском напряженном состоянии

На рисунке 8 приведено распределение главных деформаций при достижении предела прочности по напряжениям на первом элементе слоя. График 1 на рисунке 8 определяет деформацию ¿г22> 2 - деформацию еп, 3 — деформацию £33.

1 ----

\ \ 2 , 3

\Чч ч 4 N - ..... * ~—'"Т-ат-,

0 1 2 3 1/30Л О2

Рисунок 8 - Распределение деформаций по длине слоя при плоском напряженном состоянии упрочняющегося материала

В этом случае максимальная главная деформация значительно превосходит критическую, следовательно, для данного вида плоской задачи необходимо использования деформационного критерия. Характер поведения для сталей 15Х2МФА и 15Х2МНФА был аналогичен.

В данном разделе так же было рассмотрено идеально упругопластическое поведение поврежденного материала для плоской деформации и плоского

напряжённого состояния. Предел текучести Тк определялся как Тк = ст0 2 /7з , толщины слоя соответствовали значениям, полученным во втором разделе. Результаты расчета напряженно-деформированного состояния повторяли тенденцию для упрочняющихся материалов в плане распределения деформаций. В плоском деформированном состоянии на продолжении трещиноподобного дефекта в силу высокой гидростатической составляющей тензора напряжений имел место рост всех трех компонент напряжений по аналогии с рисунком 5.

Однако в плоском напряженном состоянии распределение напряжений отличалось от распределения, показанного на рисунке б. Так для толщины слоя и предела текучести, соответствующих стали Ст.З, график напряжений в слое приведен на рисунке 9. Кривая 1 определяет напряжение ст22, кривая 2 - ап.

1 1 1

1 1 1 1

1

X V 1 V ! — 1 1

0.5 ^^^ 1

Т"* — ___ 1 1 1 ~ —--

2 4 6 1/б0Л02

Рисунок 9 — Распределение напряжений по длине слоя в случае плоского напряженного состояния и идеально упругопластического поведения материала

Из распределения, показанного на рисунке 9 видно, что напряжения в концевой зоне трещины не могут достичь предела прочности. Однако рост деформаций, аналогичный поведению на рисунке 8, дает право рассматривать деформационный критерий в качестве критерия разрушения для данного модельного представления.

Результаты н выводы.

1) Предложена модель трещины нормального отрыва для упругопластического материала с упрочнением, основанная на представлении трещиноподобного дефекта физическим разрезом с характерной толщиной 50 и материальным слоем на его продолжении. Состояние слоя определяется средними по толщине и граничными напряжениями, что обеспечивает конечность напряжений и независимость напряженного состояния от геометрии концевой зоны.

2) Из решения упругопласгической задачи по известным механическим характеристикам материала определен введенный линейный размер 60 ряда конструкционных материалов. Связь <У0 с механическими характеристиками дает право

его рассматривать в качестве свойства материала.

3) В рамках предложенной модели решена упругопластическая задача нагружения трещины нормального отрыва для ряда сталей. Из решения задачи определена форма пластической области при плоской деформации и плоском напряженном состоянии.

4) В состоянии плоской деформации имеет место высокая гидростатическая составляющая тензора напряжений в концевой зоне трещины, являющаяся следствием решения упругопласгической задачи.

5) В плоском напряженном состоянии для материала с линейным упрочнением и идеально упругопластическим поведением достижение критических значений по максимальной главной деформации происходит быстрее, чем достижение критического значения по главным напряжениям. Следовательно, в плоском напряженном состоянии критерием образования новых материальных поверхностей для исследуемой модели трещины будет служить деформационный критерий по максимальной главной деформации.

6) В состоянии плоской деформации для материала с линейным упрочнением и идеально упругопластическим поведением расчет на прочность может быть рассмотрен в рамках критерия Кулона.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

Статьи в журналах, входящих в список ВАК:

1. Айрих В.А. Исследование процесса упругопластического деформирования концевой области трещины нормального отрыва в состоянии плоской деформации // Известия ТулГУ. Серия: Естественные науки. - №1. 2012. - С. 44-57.

2. Айрих В.А., Глаголев B.B. К определению напряженного состояния упруго-пластических тел с трещиной // Известия ТулГУ. Серия: Естественные науки. - №3 - 2014. - С. 58-70.

Другие публикации;

3. Айрих В.А. Исследование процесса деформирования в окрестности трещины нормального отрыва // V-я магистерская научно-техническая конференция. Доклады статей. Ч. 2. 2010

4. Айрих В.А. Математическая модель упругопластического деформирования мконцевой области трещины нормального отрыва в состоянии плоской де-

. формации // Современные проблемы математики, механики и информатики. Материалы конференции. 2011

5. Айрих В.А. Развитие пластической области трещины нормального отрыва в состоянии плоской деформации // Современные проблемы механики и математики глазами студентов. Вып. 6. 2011. С. 3-7.

6. Айрих В.А., Глаголев В.В. Оценка линейного размера для упругопластического материала в одной модели трещины// Современные проблемы математики, механики, информатики: Материалы Международной научной конференции. Тула: ТулГУ - 2014. - С. 92-98.

Издлиц.ЛР№ 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 19.03.2015 Формат бумаги 60x84 Бумага офсетная. Усл.печ. л. 0,9 Уч.изд. л. 0,8 Тираж 100 экз. Заказ 021 Тульский государственный университет 300012, г. Тула, проспЛенина, 92. Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300012, г. Тула, проспЛенина, 95.