Модели дрейфующих льдов и изгибно-гравитационные волны тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ

' тибрим

МАРЧЕНКО Алексей Валерьевич

МОДЕЛИ ДРЕЙФУЮЩИХ ЛЬДОВ И ИЗГИБНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ

(01. 02. 05 - механика жидкости, газа и плазмы)

Авторефереат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

М.В. ЛОМОНОСОВА

имени

На правах рукописи

Москва - 1997

Работа выполнена в Институте общей физики Российской Академии Наук.

Оффициальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН, профессор Григорян С.С.

Ведущая организация: Федеральный научный центр Арктический и Антарктический научно-исследовательский институт

Защита состоится а.к^/с&лл 1997 г. в час.

На заседании диссертационного совета Д. 053. 05. 02 при МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 119899, Ленинские горы, МГУ] ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

доктор физико-математических наук, профессор Кукуджанов В.Н.

доктор физико-математических наук, профессор Сухоруков А.П.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д. 053. 05. 02 при МГУ, профессор

В.П. Карлико

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

<туальность темы. Большинство морей п рек России в холодное время за частично или полностью покрываются льдом. Образование ледяного по-ова сильно влияет на характер навигации и режим использования гидротех-ческих сооружений на шельфе. В случае формирования достаточно толсто-льда необходимо использование ледоколов и усиление прочностных свойств дротехпических конструкций. Особенно это относится к побережью Север-го Ледовитого океана и трассе Северного Морского пути, инфраструктура торой в настоящее время изменяется в связи с планируемым международным воением. Одним из методов прогноза ледовой обстановки является численное делировавие дрейфа льда и расчет его напряженного состояния в заданном ^графическом районе. Крупномасштабное моделирование движения и состояния ледяного покро- ■ необходимо также для климатического моделирования, так как толщина и руктура льда в Арктике и Антарктике сильно влияют на процессы теплооб-на между атмосферой и океаном в высоких широтах и, как следствие этого, климат Земли и погоду.

Расчеты дрейфа и состояния морского ледяного покрова (ЛП) в настоящее емя проводятся во всех странах, осуществляющих навигацию и имеющих ги-•отехнические сооружения в замерзающих морях (см. Аппель И.П., Гудкович М. Численное моделирование и прогноз эволюции ледяного покрова. С-Пб.: щрометеопздат, 1992). Наиболее часто используемыми моделями ЛП являют-две модели, разработанные американскими учеными в семидесятые годы, го модель, разработанная в ходе эксперимента АГО^Х, и модель, предложен-я ШЫег В этих моделях ЛП рассматривается как сплошная среда с

[астическими свойствами и внутренней структурой, характеризующейся -годиной льда и его концентрацией (сплоченностью) на поверхности жидкости, зедполагается, что ЛП не выдерживает растягивающих напряжений. Исполь-вание этих гипотез позволяет описать движение и деформацию некоторых шов морских льдов в задачах климатической направленности, с характерным ризонтальным масштабом в несколько сотеп километров и более.

Гипотеза о несопротивляемости ЛП растяжениям совершенно непримени-I для припая. Припай образуется около берега и его ширина определяется убиной океана. Ширина припая может изменяться от нескольких километров апример, в Балтийском море) до нескольких сот километров в Восточно Си-рских морях. Значительная часть трассы Северного Морского пути проходит области припая. В то же время припай может отрываться, разбиваться на лее мелкие льдины и превращаться в дрейфующий лед. Поэтому способность П к сопротивлению растяжениям зависит от раздробленностп или поврежден-(Сти ЛП. Параметр раздробленности ЛП давно используется при составлении довых карт ii в базах данных по состоянию ЛП, и не использовался при ма-матичеком моделировании до настоящего времени.

Таким образом, вопрос о создании модели морского льда как среды, внутрен-[я структура которой характеризуется толщиной и повреждеппостыо, являет-в настоящее время актуальным с научной и практической точек зрения.

Не менее актуальной задачей при расчетах в рамках определенной модели является определение характерных размеров пограцелоев в течениях ЛП и скоростей распространения сильных и слабых возмущений параметров, характеризующих структуру ЛП. Параметры погранслоев и скорости распространения разрывов связаны с эмпирическими реологическими константами модели. Эти параметры могут быть оценены из имеющихся экспериментальных данных, и затем использованы для оцепки эмпирических констант. Кроме того, такие оценки полезны для выбора расчетной сетки.

С научной точки зрения ЛП является интересным примером среды с пластическими свойствами, для описания крупномасштабных движений которой пеобходимо использование кинетического подхода, заключающегося в введении функции плотности распределения по толщине и поврежденности, характеризующей внутреннюю структуру ЛП.

Имеется много экспериментальных данных по измерению частот и амплитуд цзгибно-гравитациопных колебаний ЛП в Арктике и Антарктике (см., например, Смирнов В.Н. Динамические процессы в морских льдах. С-Пб.: Гидрометео-издат, 1996). Известно, что основная часть спектра этих колебаний находится в более низкочастотной области, чем спектр поверхностных волн в открытом океане. Считается, что волны с высокими частотами (превышающими 0.5 Гц) затухают при распространении подо льдом. Имеется много физических мехапизмов затухания изгибно гравитационных волн связанных с влиянием вязкости льда, с трением льдин, со стоком энергии поверхностных волн в энергию собственных колебаний структур во льду, с рассеянием волновой энергии на неоднородностях ЛП п т.п.. Для правильного количественного расчета и определения преобладающего механизма затухания необходимо построение математических моделей этих процессов и числепные расчеты. Поэтому тематика, связанная с исследованием дифракции изгибно гравитационных на типичных неоднородностях ЛП (трещинах, торосах, разводьях) и спектрального состава собственных колебаний этих структур является новой и актуальной.

Система жидкость - упругий ледяной покров является интересным примером среды, где возможпо осуществление большого числа нелинейных резонансных взаимодействий между различными гармониками. К таким взаимодействиям относятся трехволповый резонанс, взаимодействие длинных и коротких волн, самовоздействие, процессы генерации высших гармоник. Существование этих взаимодействий приводит к более сложным механизмам неустойчивости периодических волн по сравнению с жидкостью со свободной поверхностью, где имеет место неустойчивость Бенджамена-Фейра, приводящая к распаду . огибающей монохроматической волны на солитоны. Вопрос об устойчивости нзгибнотравитациопной монохроматической волны являлся открытым.

Хорошо известно явление резонансного возбуждения изгибно-гравитационно{ волны движущейся по поверхности ЛП локализованной нагрузкой (Тимохов Л.А., Хейсин Д.Е. Динамика морских льдов (математические модели). Л.: Ги-дрометеоиздат, 1987). Этот эффект используется при разрушении ЛП судном на воздушной подушке, движущемся с критической скоростью, и должен приниматься во внимание при выборе места для посадки самолета на лсд. Теоретически эффект резонанса исследовался только в линейной постановке. Большой .интерес имеет исследование различных механизмов, приводящих к ограниче-

нию амплитуды резонансно возбуждаемой волны. Одним из таких механизмов является нелинейное взаимодействие волн. Поэтому исследование влияние нелинейности па ограничение амплитуды волны при резонансе является актуальной задачей, имеющей практическое применение.

Цель работы. Создание и исследование модели ЛП как сплошной среды с'изменяющейся при пластических деформациях внутренней структурой, характеризующейся функцией плотности распределения по толщине и повреждепности. Исследование свойств изгибно-гравитационных волн, распространяющихся под неоднородным ЛП с трещинами, торосами и каналами. Исследование волновод-ных свойств трещин и торосов по отношению к изгибно-гравитационным волнам. Исследование устойчивости периодических изгибно-гравитационных волн. Исследование структуры стационарных ветровых течений в прикромочной зоне ЛП и их влияния на аивеллинг и даунвеллинг.

Методика исследования. При построении модели ЛП использовались методы теории гранулированных сред (см., например, Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов. ПММ, 1960, Т. 24, Вып. 6, с. 1057-1072) и методы моделирования сред с большим количеством дефектов (см., например, Кукуджанов В.Н: Микромеханическая модель неупругой среды для описания локальных деформаций. Труды IX конференции по прочности и пластичности, Москва, 1996, с. 118-125). При исследовании разрывных решений уравнепий динамики дисперсного ЛП использовался подход развитый в работах Крайко А.Н. (см., например, Крайко А.Н. О поверхностях разрыла в среде, лишенной собственного давления'. ПММ, 1979, Т. 43, N 3, с. 500-511). В общем случае при исследовании разрывных решений уравнений модели использовались методы газовой динамики (Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988).

При исследовании линейных задач дифракции и при построении стационарных решений уравнений Навье-Стокса использовался метод Вппера-Хопфа (Но-бл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: Изд. иностр. лит., 1962).

При получении асимптотических уравнений, описывающих нелинейные резонансные взаимодействия волновых пакетов, использовался гамильтоновский подход (см., например, Захаров В.Е. Гамильтоновский формализм для волн в нелинейных средах с дисперсией. Изв. вузов. Радиофизика, 1974, Т. 17, N 4, с. 431-454).

При исследовании свойств решений асимптотических уравнений использо-влись методы теории нелинейных волн в средах с дисперсией (см., например, Сухоруков А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. М.:Наука, 1988). При исследовании существования решений типа уединенных волн применялись методы качественной теории динамических систем п функционального апализа.

Для численных оценок использовались экспериментальные данные о свойствах ЛП, содержащиеся в монографиях Богородского В.В. и Гаврило В.П. Лед. Физические свойства. Современные методы гляциологии. Л.:Гидрометеоиздат, 1980 и Савельева Б.А. Физика, химия и строение природных льдов и мерзлых горных пород. Изд. МГУ. 1971, а также данные, полученные на советских станциях Северный Полюс, в ходе крупномасштабного американского эксперимента

AIDJEX, данные экспериментов Sea Ice Group из Полярного Института Скотта в Кембридже.

Научная новизна. В диссертации содержатся следующие новые научные результаты:

1. Построена модель ЛП как сплошной среды с изменяющейся при пластических деформациях внутренней структурой, характеризующейся функцией плотности распределения по толщине и повреждепности. Параметр поврежденности впервые рассматривается при математическом моделировании ЛП.

2. Развит кинетический подход к описанию изменений внутренней структуры ЛП при пластических деформациях и соответствующих им условий пластичности. Разработана методика определения ф'упкций плотности перераспределения ЛП по толщине и поврежденности, соответствующих различным сценариям необратимого деформировайия ЛП.

•3. Исследованы решения уравнений модели, описывающие экспериментально наблюдаемое явлечие формирования полос сплоченного льда в дисперсном ЛП под влиянием ветра. Полоса сплоченного льда рассматривается как разрыв типа "пелена" с растущей массой частиц среды на нем.

4. Исследованы разрывные решения уравнений модели. Найдены характерные скорости распространения разрывов, на которых происходит скачкообразное изменение сплоченности или толщины льда. Найденные решения описывают столкновения двух массивов льда друг с другом п столкновение массива льда с твердой стенкой.

5. Исследовали пластические течения сплоченного ЛП, происходящие под влиянием струйных течений в море (задача о ледоходе). Определены характерные размеры пластических погранслоев в ЛП.

6. Найдены канонические переменные для потенциальных движений произвольного объема жидкости в произвольной криволипейной системе координат с учетом поверхностных явлений и заданного движения части границы области.

7. Исследована дифракция линейных изгибно гравитационных, волн на трещинах и торосах в упругом ЛП. Торос моделируется инерционным упругим стержнем, имеющим соединения шарнирного типа с краями подходящих к нему льдин. Основными эффектами являются:

- существования предельных углов падения волны на трещину или торос, начиная с которых происходит полное отражение;

- существование углов падения волны, при которых практически отсутствует отражение;

.- существование частоты, в окрестности которой происходит значительное увеличение амплитуды волны при ее движении из области толстого льда под Тонкий лед;

- полное рассеяние волновой энергии в волновом погранслое в окрестности полубесконечной трещипы, перпендикулярной к фронту падающей волны;

8. Определена спетральная структура колебаний ЛП с большим числом трещин и торосов. Проведены оцев£ки,-показывающие, что основам часть океанской

■ зыби полностью рассеивается на этих неоднородностях и далеко под лед может

заходить только низкочастотный остаток зыби. Это согласуется с экспериментальными данными по измерению спектрального состава изгибно гравитационных колебаний в Арктике.

9. Найден новый тип волн - краевые изгибно-гравитационные волны, распространяющиеся вдоль трещин п торосов в упругом ЛП и экспоненциально затухающие прп удалении от них. Существует одна симметричная краеваямо-да, связанная с трещиной, и две (симметричпая и антисимметричная) моды, связанные с торосом.

10. Исследована спектральная структура собственных колебаний жидкости в ледовом канале. Найдены условия резонансного возбуждения собственных колебаний воды в ледовом канале движущейся по поверхности воды и осциллирующей нагрузкой. Показано, что условия резонанса могут выполняться при движении корабля в ледовом канале. При этом корабль возбуждает резонансным образом некоторую собственную моду канала, которая в свою очередь усиливает собственные колебания корабля. .

11. Выведены все асимптотические уравпепия, описывающие резонансные взаимодействия волновых пакетов изгибпо-гравитационных воли под однородным. Л П. обусловленные квадратичными и кубическими взаимодействиями. К этим резопацсам относятся: трехволновый резонанс, резонанс длинных и коротких волн, процессы генерации высших гармоник, самовоздействие и генерация среднего течения.

12. В пространстве параметров задачи найдены области устойчивости и неустойчивости монохроматической изгибно-гравитационной волны по отношению к "шумовым*1 гармоникам малых амплитуды. Основными механизмами неустойчивости являются квадратичные трехволновые резонансы или неустойчивость Бенджамена-Фейра.

13. Исследовано влияние нелинейности на ограничение амплитуды изгибно-гравитационной волны при ее резонапсном возбуждении бегущим полем внешнего давления.

14. Исследованы резонансные взаимодействия собственных мод колебаний воды в ледовом канале, обусловленные квадратичной нелинейностью уравнений и гранпчных условий на краях канала.

15. Определены условия возникновения апвеллпнга или даупвеллиига слоя скачка плотности в двухслойпой модели океана в прикромочной зоне ЛП.

Практическая ценность работы определяется возможным применением создаппой модели ЛП или использованием ее отдельных фрагментов для прогноза ледовой обстановки в конкретных географических районах. Возможна корректировка уже использующихся моделей ЛП с помощью введения в число реологических постоянных параметра поврежденности, удовлетворяющего эмпирическому уравнению. Применение этого подхода планируется провести на базе Арктического и Антарктического НИИ и Гидрографического Института в Гамбурге (ВБИ).

Эффект резонансного возбуждения и взаимодействия собственных мод колебаний воды в ледовом канале необходимо учитывать при расчете режимов движения корабля в ледовом капале. Особенную роль этот эффект может играть

в случаях, когда ледокол (типа кап. Сорокин) формирует канал, свободный от обломков льда.

Резонансные механизмы возбуждения изгибно-гравитационных волн движущимся полем внешнего давления, найденные в работе, позволяют дать рекомендации по новым способам разрушения льда движущейся по его поверхности и осциллирующей с заданной частотой пагрузкой.

Знание спектральных свойств собственных колебаний структур (трещин и торосов) в ЛП полезно для анализа причин формирования спектрального состава изгибно гравитационных колебаний ЛП.

Апробация. Результаты диссертации излагались и получили положительную оценку на семинарах по теории волн ИОФРАН (рук. акад. РАН Ф.В. Бун-кин), каф. аэромеханики МГУ (рук. акад. PAII Г.Г. Черный), отдела механики МИ РАН (рук. чл.-корр РАН А.Г. Куликовский), теоретического отдела ИОФ РАН (рук. проф. A.A. Рухадзе), по динамике сплошной среды ИПМ РАН (рук. чл. корр РАН А.Г. Куликовский, проф. В.Н. Кукуджанов и д.ф.-м.н. Симонов), по общей гидродинамике НИИМех. МГУ (рук. чл.-корр РАН А.Г. Куликовский и проф. A.A. Бармин), на семинарах отделов физики льда п океана и теории взаимодействия атмосферы и океана ААНИИ.

Результаты диссертации докладывались на школе семинаре Современные проблемы механики жидкости и газа (Иркутск, 1990), на симпозиуме Волны и дифракция - 90 (Винница, 1990), на Первом Советско-Американском совещании по механике льда р ее приложениям (Москва, 1991), на седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991) па Третьем Международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике (ICIAM-95, Hamburg, 1995), на 13-ой Международной конференции по портовой и океанской инженерии в Арктических условиях (РОАС'95, Murmansk,1995), на Международном симпозиуме ''Актуальные проблемы механики сплошных и сыпучих сред" (Москва, 1997).

Основное содержание диссертации опубликовапо в 28 работал,, список которых приводится в конце автореферата.

Объем и структура. Диссертации состоит из пяти глав и списка литературы, включающего 171 наименование. Первая глава и последняя главы - Введение и Заключение. Вторая глава называется "Модель ледяного покрова", третья глава называется "Изгибно гравитадиопные волны", четвертая глава называется "Формирование ветровых течений в прикромочной зоне морского ледяного покрова". В диссертации 296 страниц машинописного текста и 94.иллюстрации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В введении диссертации выведены основные уравнения, описывающие дви жение ЛП, плавающею на поверхности слоя жидкости. Полагается, что поверхность жидкости мало отличается от горизонтальной плоскости. ЛП моделируется двумерной сплошной средой, основными типами деформации которой

являются смещения элементов ЛП по поверхности жидкости и изгиб. Уравнения движения и закон сохранения массы после интегрирования по толщине льда и осреднению по площади поверхности жидкости распадаются па две группы, соответствующие основным типам деформации ЛП. При небольших прогибах ЛП эти группы являются независимыми. Основпыми уравнениями для горизонтальных движений ЛП являются закон сохранения массы и закон сохранения импульса. Изгибным деформациям соответствуют законы сохранения импульса и момента импульса относительно срединной поверхности.

^ + = = V-a + Fs (1)

at at

V - F -Sp, a • V17 + V • M = F

где M - масса льда, находящегося на учаЬтке поверхности жидкости единичной площади, V - двумерный вектор скорости дрейфа, а - тензор внутренних напряжений, F' - вектор сил трения,-действующих на ЛП со стЬроиы ветра и ' течений, FuM - вектор перерезывающих сил и тензор изгибающих моментов.

Системы, полученных уравнений не являются замкнутыми. Замыкание проводится с использованием дополнительных гипотез, определяющих реологию ЛП. Для изгибных деформаций каждой льдины принимаются стандартные приближения теории тонких безинерционпых пластин, которые сводятся к существованию нерастяжимой срединной поверхности и к линейной зависимости деформаций от вертикальной координаты. В этом случае прогиб пластины определяется по разности нормальпых напряжений, действующих на верхнюю и нижнюю поверхности льда

Ро - Pa = bji ' (9)

р 6r¡

где Вии- жесткость п коэффициент Пуассона ЛП, р0 и ра - давления в жидкости подо льдом и в атмосфере, р - плотность жидкости.

Приведены некоторые экспериментальные сведения по спектральному составу изгибно-гравитационных колебаний в Арктике.

В настоящее время большинство расчетов крупномасштабных движений ЛП (дрейфа ЛП) проводятся в рамках двух моделей, предложенных американскими учеными в 70-е годы. Это упруго пластическая модель, разработанная в ходе крупномасштабного эксперимента AIDJEX (Arctic Ice Dynamics Joint Experiment), и нелинейно вязкая модель, автором которой является Hibler W.D. Обе эти модели принимают гипотезу о несопротивляемости ЛП растяжениям и ассоциированный закон с замкнутой кривой текучести, параметрически зависящей от параметра р,, который "является функционалом плотности распределения ЛП по толщинам.

С точки зрения автора диссертации ЛП может сопротивляться растяжениям, и эта способность зависит от его повреждешгости. Условие пластичности также должно зависеть от поврежденности. Наличие параметра ловрежденности в ЛП не позволяет его считать упрочняющися материалом, поэтому использование постулата Друкера и, вытекающего из него ассоциированного закона,

не являются физически обоснованными в рассматриваемом случае. Кроме того, имеются экспериментальные данные о линейной связи между давлением —а/ и максимальным касательным напряжением ац при подвижках ЛП (см., например, Сухорукое К.К. О механизме формирования напряженного состояния морского льда при макроразрывах. ДАН, 1996, Т. 150, N 2). Принятие ассоциированного закона приводило бы в данном случае к отсутствию диссипации.

В введении приведен обзор различных теорий гранулированных материалов. Основными причинами самостоятельного развития этих теорий были отсутствие диссипации в случаях, когда условие пластичности совпадает с законом трения Кулона-Мора, и невозможность осуществить чистый сдвиг без объемной деформации в случае принятия ассоциированного закона. Реологические соотношения для связи между напряжениями и-деформациями строились на основе принятия кинематических гипотез о совпадении скоростных характеристик и линий скольжения при квазистатических движениях. Были построены модели двойного сдвига, в которых любой сдвиг представим в виде суперпозиции сдвигов по двум семействам характеристик. Простейшие представления связаны с использованием вместо ассоциированного закона уравнений Прандтля-Рейса и уравнения состояния, связывающего давление с объемными деформациями (см. Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов. IIMM, I960, Т. 24, Вып. 6).

Для ЛП гипотезы теории гарнулировапных сред представляются физически обоснованными. Поэтому при горизонтальных деформациях ЛП моделируется средой типа гранулированного материала, внутренняя структура которого определяется новрежденностыо Е, пропорциональной площади поверхностей трещин в элементе ЛИ, и толщиной h. Увеличение поврежденности происходит при пластических деформациях. В естественных условиях происходит также залечивание поврежденности из-за наличия жидкого слоя на поверхности льда или проникновения води через поры. Эти процессы определяют структуру эмпирического уравнепия для изменения поврежденности

^ + EV • v = Ri(h, Е, tp) + R2(h, Е, Г), R,> 0, R2 < 0 (3)

at

где величина R\ равна скорость прироста поврежденности при пластических деформациях и зависит от тензора скоростей пластических деформаций еР, и равна скорости залечивания поврежденности и зависит от температуры Т. Во второй главе диссертации построена модель ЛИ и исследованы некоторые ее решения. ЛП моделируется сплошной средой, плавающей на поверхности жидкости, внутренняя структура которой характеризуется функцией плотности распределения g(h, Е) по толщине и поврежденности. Если сплоченность ЛП А < А, (Л, <0.7-0.8), то внутренние напряжения в ЛП полагаются равными нулю и ЛГ1 называется дисперсным. При А £ (А,, 1) ЛП является сплоченным. Полная система уравнений, описывающих движение дисперсного ЛП состоит из уравнений (1), где надо положить М = PikA, pi =const, dh/dt =0, a =0. Условие фазового перехода дисперсного льда в сплоченное состояние имеет вид А = А,.

Вместо закона сохранения массы используется кинетическое уравнение для функций g(h, Е)

+ ffV - v = Ф(Л, Е, ер; д) (4)

где Ф называется функцией плотности перераспределения ЛП по свойствам. Функция Ф представляется в виде суммы Ф — Ф/т + Фг + Ф+Е + Ф_е. Функции Ф/гт.1 Фг, Фц характеризует изменение плотности распределения ЛП по структурным параметрам к и Е в результате процессов таяния или намерзания, торошения, увеличения поврежденпости при сдвигах и сжатиях-растяжениях (приводящих к изменению сплоченности льда без торошения) и залечивания поврежденности соответственно. Предполагается, что торошение происходит при сжатии ЛП сплоченнсти А =1.

Сформулированы нормировочные соотношения, вытекающие из законов сохранения массы и площади, которым должны удовлетворять функции плотности перераспределения. Разработана методика построения этих функций. Построены функции Фг, соответствующие двум сценариям торошения. В первом сценарии толщина льда увеличивается пропорционально объемному сжатию. Торошение по первому сценарию может осуществиться, когда при сжатии или сдвиге возрастает повреждеипость конечной доли ЛП, после чего весь этот лед постепенно выторашивается. Во втором сценарии в торошении участвует доля ЛП, пропорциональная объемному сжатию, а толщтша ЛП увеличивается в заданное число раз. Второй сценарий хорошо описывает подсовы, при которых толщина увеличивается в два раза.

Введено понятие внутренней эпергии ¡7, плотности внутренней энергии и и плотности свободной энергии Р

и = />,■I ЛрийЛйЕ + Пе, Пе = /¡2<?ЛЫ£ (5)

а о

- Р = + ^((е',)2 + (£?/)') - а(Т - Та)е) + Р,(Т, Е, к)

Здесь Пе потенциальная энергия льда, как тела погруженного в жидкость и находящегося в положении статического равновесия. Плотность свободной энергии Г состоит из свободной энергии термоупругого тела и плотности поверхностной энергии Р» ^ (Е/к, зависящей от общей площади кусков льда и трещин в элементе ЛII.

Из первого и второго законов темодпнамики прп пластических деформациях следует закон Гука для упругих деформаций и выражение для мощности работы внутренних напряжений на пластических деформациях

г;Чр + Л /(ЬР + ^ДМ^ФгЛкОЕ + (б)

и

+/>,•/ /гА/^ЫЕ = <7^ п

Соотношения (6) и дополнительные гипотезы о диссипации позволяют определить условия пластичности, соответствующие различным типам необратимых деформаций: торошению, уплотнению, растяжению и сдвигу. Гипотезы сводятся к следующим. Полагается, что в отсутствии торошения вся энергия сжатия или растяжения вдет па увеличение поврежденности п диссипация равна нулю. При сдвиге часть работы напряжений идет на прирост поврежденности, а часть на диссипацию за счет трения между кусками льда. При торошении

полная работа напряжений пропорциональна приросту потенциальной энергии торосов с коэффициентом к, численное значение которого находится в интервале от 5 до 15. Эти оценки были получены в численных экспериментах пс формированию торосов из конечного числа кусков льда (см., Hopkins M. A. Or, the ridging of intact lead ice. J. Geoph. Res., 1994,Vol. 99, N C8).

Условия пластичности сводятся к выражениям для давления торошения, давления уплотнения и давления растяжения (при которых изменяется сплоченность). Условие пластичности для сдвига имеет вид закона Кулона-Мора.

В качестве реологических соотношений между девиаторами напряжений и скоростей деформаций используются уравнения Прапдтля-Рейса, которые и замыкают систему уравнений модели. В модели имеются следующие эмпирические постоянные и функции: упругие модули, скорости изменения поврежденно сти при необратимых деформациях, доли площади элемента ЛП, участвующие в необратимых деформациях, скорости намерзания и таяния льда. Часть из них оценивается с использованием экспериментальных данных.

Построенная модель может быть упрощена для случая однородного ЛП, ï котором функция плотности распределения имеет вид

' g = (1 - A)6{h)6(Z) + A6(h - ho)8(E - E0)

где A - сплоченность ЛП и ho, Но - толщина и новреждепность (далее индекс нуль опускается). Уравнение для изменения поврежденности имеет вид (3). Уравнения для изменения толщины ЛП при торошении и сплоченности при уплотнении и растяжении вытекают из закона сохранения массы. Полагается, что Ri — R[\tp¡\ + R{¡ tv[h где коэффициенты R[, R{' зависят от h, Е, А и sign(t^).

Условие пластичности для сдвига имеет вид

оп = -fciO-/ö(-CT/) + pÀR'1 (7)

где ki и 0.1-0.4 - коэффициент трения и р; - плотность льда.

Давления, при которых происходят необратимые деформации уплотнения, растяжения и торошения при А £ (Л,, 1) даются соответственно формулами

■ тгс = p¿X[, t"¡ < 0; щ = -pi(R{, еЦ > 0 (8)

тгг = lkp¡A,,gh2, А = 1,-А„ =

1 р

Модель однородного ЛП описывает более мелкомасштабные движения, когда можно сделать ■ предположение о постоянстве толщины и поврежденности льда, находящегося в материальной точке модели. Все задачи, решение которых получено в главе 2, рассмотрены в рамках модели однородного ЛП.

Получен эффект деления дисперсного ЛП на полосы сплоченного льда под влиянием постоянного ветра. Математически задача сводится к задаче Коши с нулевыми начальными условиями для скоростей ЛП и с заданным распределение толщины h и сплоченности А. В уравнениях дисперсного ЛП отсутствуют внутренние напряжения, поэтому'эта система в плоском случае не является гиперболической и имеет только одно семейство характеристик, совпадающее с траекториями движения элементов ЛП. Полосы сплоченного льда формируются в местах пересечения характеристик и моделируются разрывами с растущей

массой. Разрывы такого типа ("пелена") рассматривались ранее для описания движения дисперсной пыли в газе (Крайко А.II. О поверхностях разрыва в среде, лишенной собственного давления. ПММ, 1979, Т. 43, N 3). Причиной пересечения траекторий являются пространственная неоднородность толщины п сплоченности льда. Неоднородность толщины приводит к различному ускорению элементов ЛП на начальных этапах движения. Из эксперимента известно, что шероховатость поверхности Л11 зависит от его сплоченности. Поэтому лед различной сплоченности дрейфует с различными скоростями при одинаковом ветре, что может быть причиной столкновений ледяных полей.

Эффект деления дисперсного льда на полосы сплочеппого льда хорошо известен и неоднократно наблюдался в натурных условиях (Зубов Н.Н. Льды Арктики. М., изд. Главсевморпути, 1945). Построенная модель этого явления дает физически приемлимые скорости движения полос и- их ширину. Описаны различные режимы движения, при которых при перемене ветра полосы сливаются пли разделяются, формируя свободные ото льда прострапства.

Получено решение стационарной задачи о пластическом течении сплоченного ЛП под влиянием прямолинейного струйного течения в жидкости (задача о ледоходе). Показано, что если максимальная скорость течения в струе достигает критического значения, то в ЛП формируется два параллельных пластических погранслоя, примыкающих к области, где скорость течения жидкости равна нулю, вдоль которых происходит проскальзывание упругого ядра льда. Скорость движения льда в погранслоях совпадает со скоростью течения жидкости. На границах упругого ядра выполняются условия проскальзывания (7). Из этих условий находится скорость его движения.

Анализ решения проводился для реального диапазона параметров скоростей течений в жидкости. Показано, что ширина пластических погранслоев может быть много меньше характерных размеров струи. Построенное решение показывает, что движения больших масс льда может реализовыпаться за счет проскальзывания в узких погранслоях. При этом структура основной массы льда не меняется, а в погранслоях накапливается поврежденность и формируются торосы.

Исследованы разрывные решения одномерных уравнений динамики однородного ЛП, описывающие уплотнение и торошепия льда при столкновении двух массивов ЛП друг с другом и при столкновении массива льда со стенкой. Найдены характерные скорости движения разрывов различных типов. Показано, что скорость движения разрыва, разделяющего спочепный и дисперсный лед равна Ди/(1 —/1), где сплоченности дисперсного и сплоченного льда полагаются равными Л и 1, и Ди - разпость их скоростей. £>с определяет скорость движения кромки сплошного льда в прикромочных зонах дрейфующих льдов при дрейфе дисперсного льда в сторону неподвижных льдов.

Скорость движения пластической волны торошепия малой интенсивности определяется формулой <?г = кЛ^дк. Полагая Ар =0.1 и к =10, находим с, = у/дК, где к - толщина льда. Скорость упругих волн имеет при модуле Юнга льда Е « 109 Н/м2 порядок се и 103 м/с.

Анализ высоты встороше'нного льда., формирующегося при столкновениях ледяных полей, движущихся с реальными скоростями, показывает, что торосы большой высоты не могут образовываться при этих процессах. Оценки по-

казывают, что основным механизмом образования торосов являются ветровые сжатия или воздействие морских течений.

Построены стационарные решения, описывающие торошение битого льда при движении клиновидной стенки. Полагается, что ЛП перед клином находится в пластическом состоянии и торосится вблизи клина при столконовении с ним. Найдены решения с присоединенным к носику клина скачком, разделяющим всторошенный и невсторошснний лед. Эти решения также как и в газовой динамике могут быть построены в случаях, когда угол клина меньше критического значения, зависящего от скорости движения клина. Такие скачки наблюдаются около корпуса корабля в носовой части при движении в битых льдах.

Построена модель возможного сценария формирования припая при переменном ветре. Предполагается, что вблизи берега имеется массив льда, и ветер дует на берег. Массив льда прибивается к берегу и затем торосится. В результате вблизи берега формируется область, где толщина льда больше первоначальной. После прекращения торошения начнется процесс залечивания поврежденности во льду. При этом прочностные свойства льда вблизи берега будут более мощными в силу большей толщины льда. При повороте ветра область пластических сдвиговых течений возникает вблизи границы, разделяющей всторошенный и невсторошениый лед. В этом месте поврежденное! ь будет возрастать. Поэтому, когда ветер будет дуть в море, отрыв произойдет па этой границе. Впоследствии этот сценарий может повторится несколько раз. Описание такого сценария торошения в рамках данной модели возможно благодаря параметру поврежденности.

В первом разделе третьей главы найдены канопические переменные для потепциальных движений произвольного объема идеальной жидкости, находящейся в потенциальном поле внешпих сил, в произвольной криволинейной координатной системе (х1,!2,!3). Предполагается, что часть границы жидкости свободна, а движение остальной границы задано.^ Доказана теорема, согласно которой кинематическое и динамическое (интеграл Коши-Лагранжа) граничные условия записываются в гамильтоновой форме

Здесь Е - сумма кинетической, потенциальной и поверхностной энергии жидкости, дУ/ и дЦ. - свободная границы жидкого объема V и часть границы, движение которой задано. Уравнения поверхностей дVf и дЦ. имеют вид = Ь.1'т(х1,х2,1) — х3 При-вычислении гамильтониана полагается, что значение во всем объеме движения V связано с канонической переменной ^ также, как решение уравнепия Лапласа с граничным условием на поверхности дУг связано с граничным значением потенциала у на дУ!,

к'

Каноническая переменная т? = / у/дйх^ (д - детерминант метрического тен-

к

зора) имеет наглядный, геометрический смысл. Полагая Л = ^(х1,!2^ = 0),

_ Ш ду1 _

д1 ~~ Ьт)

0)

причем гамильтониан определяется формулой

находим, что величина ^(х1, х2, t)dx1dx'2 равна элементарному объему &V, проходимому элементарной плошадкой, лежащей на свободной поверхности жидкости, в направлении осп х3 за время i. Доказанная теорема обобщает известное утверждение о том, что каноническими переменными для потенциальных движений бескопечпо глубокой жидкости со свободной поверхностью являются значение потенциала на поверхности жидкости и возвышение поверхности жидкости над горизонтальным положением равновесия (Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости. ПМТФ, 1968, N 2).

Во втором разделе главы 3 исследуются закономерности распространения линейных изгибно-гравитационных волн под упругим ледяным покровом с прямолинейными неоднородностями: трещинами и торосами. Торос моделируется инерционным упругим стержнем, имеющим соединения шарнирного типа с подходящими к нему краями льдин. Предполагается, что поперечный размер трещин и торосов много меньше их длины, и рассматриваются волны, дли- ' на которых много больше поперечного размера. В этом случае неоднородности могут рассматриваться как точечные, и их учет при моделировании происходит в контактно граничных условиях на стыке кромок двух ровных льдин в точке х — z =0, где горизонтальная координата х перепендикулярна к линии неоднородности, z - вертпкальпая коордипата.

Контактно граничные условия (КГУ) определяют силы и моменты, действующие на кромки льда. В случае трещины с невзаимодействующими краями КГУ вытекают из равенства нулю перерезывающих сил и изгибающих моментов при х —> ±0. В случае гряды торосов изгибающие силы и перерезывающие моменты приравниваются к упругим и инерционным силам, возникающим при изгибе ii кручении стержня, моделирующего торос. В предельном, случае, когда масса тороса равна нулю, КГУ соответствуют трещине в упругой пластине со сцепленными краями. В этом случае КГУ сводятся к равенству пулю изгибающих моментов, равенству перерезывающих сил и смещений пластины при х —> ±0. В любом случае КГУ сводятся к четырем уравнениям, связывающим значения амплитуды прогиба пластипы r/(x,y,t) и производпых по х, у от rj на краях при х —» ±0.

Дисперсионное уравнение для волн под однородным ЛП имеет вид

72=Atanh(A//)(l + m4), \2 = kl + kl (10)

и имеет при фиксированных 7 и ку действительные и комплексные корни кх, соответствующие действительным и комплексным волнам. Число действительных корней пе превышает двух, комплексных корней бесконечно много. Отметим, что дисперсионное соотношение зависит только от одного параметра D, характеризующего упругие свойства льда. Коэффициент Пуассона входит в КГУ.

Найдены точные решения линеаризованных уравнений потенциальных движений слоя жидкости под упругой пластиной, зависимость которых от времени п горизонтальной координаты у, совпадающей с линией неоднородности, дается множителем ехр[г(7< + fcyy)]. Возможная асимптотика решений при |г| —> оо при фиксированном значении ку определяется соотношением между частотой

волны 7 и частотами 71{ку) = ^куЬа.тА\(ку11)(\ + Величина 71(ку) рав-

на частоте плоской волны распространяющейся под однородным ЛП лощины /¡¿, ] =1,2 в направлении оси у. Здесь и далее используются безразмерные переменные, полученные при выборе в качестве характерного масштаба длины величины I = уЕкУ(12рд(1 — ^2)), обеспечивающий равенство единице безразмерной жесткости ЛП Л] = 1. Нижние индексы "1" и "2" соответствуют областям г >0 и х <0, Е = 109 - 1010Я/л2 и и = 0.3 - 0.4 - модуль Юш-а и коэффициент Пуассона льда.

Если 7 >7», то асимптотика решения при х —> ос определяет амплитуды плоских действительных воли, приносящих энергию из бесконечности на неоднородность и уносящих ее в бесконечность от неоднородности. При 7 = 7' при х —► оо может существовать только одпа действительная волна, переносящая энергию вдоль неоднородности. При'7 < 7] решение экспоненциально стремится к нулю при х —» оо. Аналогичные утверждения справедливы для асимптотики решения при х —>■ —оо после замены индекса "1" на "2". Построенные решения описывают при 7 > ппп; 7^ дифракцию волн, приходящих из бесконечности, на неоднородности. В области 7 < пн^ 7{ могут существовать экспоненциально убывающие при —> оо решения, переносящие энергию вдоль неоднородности. Такие решения называются краевыми волнами.

Аналитическое решение в общем случае найдено методом Винера-Хопфа и содержит произвольные постоянные, число которых равно сумме числа КГУ (4 КГУ) и числа действительных волн, приносящих энергию из бесконечности. Решение выражается через Фурье-интегралы от функций, аналитических в верхней или нижней полуплоскостях комплексной переменной к. Подинтегральные выражения имеют полюсы в точках, соответствующих действительным и комплексным волнам. Фактически, метод Винера-Хопфа определяет как должны сшиваться решения в виде плоских волн при |х| —» оо с помощью комплексных волн, локализованных вблизи прямой х =0.

Для нахождения постоянных в решении используются асимптотические условия и КГУ. При этом в задачах о дифракции для определения постоянных получается неоднородная система линейных алгебраических, где неоднородность пропорциональна амплитудам волн, приносящим энергию на неоднородность. В области 7 < 7{ для определения 4 постоянных в решении имеется 4 однородных алгебраических уравнения, вытекающих из КГУ. Нетривиальное решение этой системы существует в случае, когда ее определитель равен нулю. Это равенство эквивалентно дисперсионному соотношению для краевой волны. Коэффициенты в рассматриваемых системах выражаются через Фурье-интегралы, вычисление которых проводится по вычетам в верхней или нижней полуплоскостях к.

Преимущество метода'Винера-Хопфа но сравнению с другими подходами заключается в том, что он дает решение в аналитической форме, поэтому для вычисления коэффициентов отражения и прохождепия и анализа дисперсии краевых волн не нужно расчитывать потенциал в каждой точке всей области движения.

В задачах о дифракции определяются комплексные коэффициенты отражения Я и прохождения Т, равные отношению комплексных амплитуд прошедшей и отраженной волн к амплитуде падающей волны. Коэффициенты Я и Т явля-

ются функциями частоты 7 (или длиныА) падающей волны и угла падения в, отсчитываемого от нормали к линии неоднородности. Анализ полученного решения проводился с целью определения структуры поверхности, определяющейся уравнением |Т| = |Г|(А, 0).

Показано, что при кг > к2 существует дредельпый угол падения волны .на неоднородность зависящий от А, начиная с которого происходит полное отражение (предполагается, что волна приходит из —оо по х). При А —> оо коэффициент |Г| стремится к пределу Тоо(б). При этом при к2 > 0 имеется конечный интервал в 6 (0, #00), на котором как угодно короткие волны проходят в область х > 0 с ненулевым коэффициентом Тх(в). Если к2 =0, то в^ =0 и Тоо(0) =0.

В задачах о дифракции волны на трещине максимум |Т| при фиксированном А достигается при 0тах = вж, когда кг достаточно сильно отличается от Ь2. Если кх меньше некоторого значения, то максимум |Т| при фиксированном А достигается при 0шах < 0,. Например, для трещины с невзаимодействующими краями 0тах « 0.45тг при Иг = к2 и \Т\(втах) « 1. Немонотонная зависимость коэффициента |Т| от угла падения связана с влиянием коэффициента. Пуассона, входящего в КГУ.

Показано, что при 0 = 7г/2 и Лх = к2 выполняется Т =0. Это означает, что невозможно построить решение в виде стационарной волны, бегущей вдоль трещины и не затухающей при удалепии от пее. Физическая интерпретация этого результата получается при рассмотрении задачи о падении волны на полубесконечную трещину, перепешшкулярпую к .фронту падающей волны. В этом случае вблизи трещины формируется волновой погранслой, амплитуда волн в котором стремится к нулю при удалении от носика трещины.

В задачах о дифракции волны на торосе при фиксированном значении 9 коэффициент Т достигает максимума в двух точках при А = А^пах и А = Поверхность |Г| = |Г|(А,#) имеет два ребра, и положение гребней на плоскости (А,0) описывается уравнениями А = и А = А?па:г(0). Коэффициент \Т\ ~ 1 на гребнях при кг = к2. Кривые А = и А = А^а1(#) начинаются вблизи начала координат и заканчиваются при в = ж/2 при конечных значениях А^„1(х/2) и Х^ах(ж/2). В этих точках выполняется |Г| = 1.

Можно построить два решения, в виде волн, бегущих вдоль трещины и не за тухающих при удалении от нее. Длина этих волн равна А^от(х/2) и ^па7.(ж/2). Одно решение симметрично относительно оси у и связано с изгибными колебаниями тороса. Другое решение антисимметрично п связало с крутильными колебаниями тороса.

Показано, что коэффициент |Г| иемопотопно зависит от А. Наиболее сильно немонотонность проявляется, когда кг < к2. В этом случае существует А, при котором амплитуда прошедшей волны может существенно препышать амплитуду падающей волны. Это явление согласуется с законом сохранения энергии, так как изгибная энергия толстой пластины больше энергии тонкой пластины при одинаковом прогибе.

Открыт новый тип волн - краевые изгибно-гравитациопные волны, распространяющиеся вдоль прямолинейной неоднородности в ЛП постояппой толщины. Показано, что существует одпа симметричная мода краевой волны, распространяющейся вдоль трещины. Дисперсионная кривая начинается на плоскости (7, ку) в начале координат и по форме похожа на кривую 7 = 7,(ку). Показано,

что существует две моды (симметричная и антисимметричная) краевых волн, распространяющихся вдоль тороса. Начало дисперсионных кривых на плоскости (7, ку) находится на кривой -у — ~f.(ky) при ку = А^х(7г/2).

Рассеяние энергии изгибно-гравитационных волн при распространении на большие расстояния может быть связано с диссипацией за счет трения воды о нижнюю поверхность льда с рассеянием на большом числе неодпородностей в ЛП, со стоком волновой энергии в собственные колебания структур в ЛП. Оценки коэффициента затухания ц при трении проводятся также как для волн в канале (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теорстпичехкая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986) и даюг формулу 7¿ = — куДщЗ/2\/2, где - коэффициент кинематической вязкости и ш, к - размерные частота и длина волны. Оценки показывают, что уменьшение энергии волны в е раз благодаря диссипации будет происходить после прохождения расстояния порядка 1000 км при к =0.1 м-1 и порядка 10000км при к =0.01 м-1.

.Для определения затухания волны при ее распространении под ЛII с большим числом неодпородностей получены рекурентные формулы, с помощью которых, зная коэффициент прохождения волны через одну неоднородность, можно найти коэффициент прохождения волны через N параллельных неодпородностей. Показано, что в частотном спектре изгибно гравитационных волн при увеличении N формируются запрещенные зоны. Если частота волны попадает в запрещенную зону, то коэффициент прохождения практически равен пулю.

В расчетах для бесконечно глубокой жидкости максимальное число трещин полагалось равное 200. Расчеты проводились для различных толщин льда и различных расстояний между соседними трещинами. Было показано, что левая граница первой запрещенной зоны соответствует волнам с периодом порядка 15 с. Для приближения мелкой воды рассматривалась задача с бесконечным числом трещин или гряд торосов, расстояния между которыми одинаковы. Для левой границы первой запрещенной зоны была получена оценка того же порядка по частоте. Наличие большого числа гряд торосов может увеличивать граничную частоту первой запрещенной зоны. Характерным масштабом, на котором происходит рассеяние энергии можно считать расстояние между первой и сотой трещиной.

Фактически в силу неоднородности ЛП все волны с периодом меньшим 15 с имеют высокий шанс рассеяться на каком-то участке ЛП. Затухание более длинных волн будет связало в основном с диссипацией. Результаты этих оценок согласуются с экспериментальными наблюдениями в Арктике в 1993, 1994 гг., проведенными Sea Ice Group (Scott Polar Research Institute, Cambridge). Соглас-■ но этим экспериментам спектр изгибно гравитационных колебаний имеет энергетический экстремум соответствующий волнам периода 16 — 30 с. Известно, что значительная часть энергии волновой энергии океана заключена в волнах зыби, которые имеют более короткие периоды. То что измерялось подо льдом интерпретировалось как низкочастотный остаток зыби. Построенная в диссертации теория позволяет выдвинуть гипотезу, согласно которой основная часть зыби не проникает под лед из-за, сильного рассеяния на неоднородностях в ЛП.

Исследована структура собственных колебаний жидкости в ледовом канале. Показано, что существует бесконечное число собственных мод колебаний, при этом только первая мода распространяется вдоль канала без отражения от кро-

мок льда. Краевая волна вблизи трещины является единственной собственной модой канала, которая "выживает" при стремлении ширины канала к нулю.

Найдены условия резонансного возбуждения собственных мод канала движущимся по поверхности жидкости со скоростью с и осциллирующим с частотой иа локализованным полем внешнего давления. Показано, что амплитуда собственной моды, имеющей групповую скорость си частоту, равную ша в системе координат, связанной с нагрузкой, возрастает со временем пропорционально \Д.

Опенки показывают, что для реальных скоростей движения кораблей в каналах за ледоколом (<8 м/с) и для реальных собственных частот колебаний корабля (0.6 - б с-1) можно подобрать резонансно усиливающиеся собственные моды канала. При движении корабля в резонансном режиме должна усиливаться его качка, что может привести к ударам корпуса о кромку льда.

В третьем разделе главы 3 с использованием гамильтопова подхода и асимптотических разложений получены все "укороченные" уравнения, описывающие резонансные взаимодействия изгибно гравитационных волн под упругим ' JI1I постоянной толщины, обусловленные квадратичной и кубической нелиней-ностями среды. Рассматриваются трехволповые резонансы, резонансы длинной и короткой волн, процессы генерации N - ой гармопики и самовоздействие. Асимптотические разложения проводятся по малому параметру г = а/1, где I -характерпый горизонтальный масштаб и а - характерная амплитуда волн. Характерные времена квадратичных и кубичных взаимодействий имеют порядки е-1 и е-2 соответственно.

Рассмотрена задача об устойчивости периодической пзгибно-гравитационной волны по отпошению к малым возмущениям, имеющимся в среде в виде "шумового" фона. Комплексная амплитуда пзгибно-гравитационной волны <¿v будет изменяться с течением времени в результате взаимодействий с шумовыми гармониками. Наибольший интерес представляют взаимодействия, в результате которых происходят сильные изменения амплитуды или формы волны <рг.

Пусть волновой вектор волны <¿jr равен кг = (кг, 0). Квадратичпые резонансные взаимодействия возможны между tpr и любой шумовой гармоникой с волновым вектором к i, удовлетворяющим условию резонанса

7(*i) = 7(*г). h = N, h = К - h (11)

где 7 = 7(к) > 0 - дисперсионное соотношение линейного приближения (10). Волновое число k¡ находится из уравнения (11) как функция кт и угла 0 между векторами k¡ и к2. Решение этого уравнения существует только в том случае, когда kr > fcm,„, где &„,•„ удовлетворяет уравнению 2~¡(kmin/2) = 7(fcmt-4). При D = 1 в бесконечно глубокой жидкости выполняется km¡n » 1.06. В жидкости со свободной поверхностью (D =0) не существует волновых векторов ki и кг, удовлетворяющих условиям резонанса (11).

Волпа и волна ip2 с волповим числом кг являются вторичными по отношению к волне а волна tpT называется накачкой. Основным свойством трехволновых взаимодействий является возможность передачи значительной части энергии накачки вторичным волпам, амплитуда которых в начальный момент времени мала, и невозможность значительного усиления накачки за счет только одиой вторичной волны.

Так как волновое число кт зависит от угла в, то в общем случае волна срт вступает в резонансные взаимодействия с произвольным числом вторичных волн yjj"' и волновые числа которых удовлетворяют условиям (11) резонансного взаимодействия с волной ipr. Уравнения резонансного взаимодействия приводятся к виду

. d (п) ¿11 . d 811

= 'л** = т* (12)

тг — V4,.("),.("),.(") I г Г 11 - Г: " fl VI ТО .О.

где коэффициенты л'"' > 0 выражаются через волновые числа и частоты взаимодействующих волн. Коэффициенты к'"' определяют характерное время взаимодействия в пределах одной триады.

Полагается, что в начальный момент времени амплитуды всех "шумовых" волн имеют одинаковый порядок малости и много мепыпе амплитуды <рг. Поэтому в первую очередь реализуется взаимодействие между <рг и "шумовыми" волнами которым соответствует максимальное значение Показано,

чго если волновое число кт незначительно превышает кт,■„, то волновые вектора к[параллельны кг. В этом случае в первую волна <рг передает энергию попутным "шумовым" гармоникам. Если кг больше кт,п в два и более раз, то k[N<* — и векторы kl'j составляют одинаковые углы с кг, В этом случае распад ipr происходит за счет передачи энергии "шумовым" гармоникам,, распространяющимся под конечным углом к

Такпм образом, при kr > fcm;„ распадиая неустойчивость приводит к передаче энергии волны Т шумовому фону. При этом из всего шума в первую очередь усиливаются определенные гармошгки. Характерное время этого процесса порядка е-1.

Если волновое число кт < kmm, то приходящая волна ipT может быть только вторичной по отношению к резонансным шумовым гармоникам. Поэтому квадратичные взаимодействия не могут приводить к существенным изменениям ее энергии. В этом случае основным механизмом неустойчивости являются кубические взаимодействия. Асимптотические уравнения, описывающие кубические взаимодействия имеют вид

д 7" д2 7' <Э2 д

. {гдт + Тw + KdY^^^^ + ^M*0 (13) - д2 д2 . д 2

где ¡¿о - нулевая гармоника, называемая средним течением. Коэффициенты Kj выражаются через частоту 7(кг) и волновое число кт. Коэффициент а пропор-циопален разности скорости длинных волн и групповой скорости 7' волны ipT.

Система (13) имеет точное решение ipr = 95оехр(—i^ilvol2?1), соответствующее волне Стокса. Условие неустойчивости этого решения совпадает с условием существования солитонных решений уравнений (13). В этом случае малые возмущения на фоне периодической волны увеличиваются и приводят к распаду огибающей на солитоны, (неустойчивость Бенджамена-Фейра).

Особенность этой неустойчивости в рассматриваемом случае заключается в том, что при больших глубинах огибающая распадается на солитоны, фронт которых перпендикулярен к направлению кг. Если глубина сравнима с длиной волны, то имеются диапазоны на оси кг в области кг < кт,п, где условие неустойчивости выполняется только для возмущений, распространяющихся под конечным углом к волне <рг. В этом случае неустойчивость приводит к распаду огибающей на косые солитоны.

При к < ктт/2 имеется счетпый набор волновых чисел, удовлетворяющих условиям генерации гармопики: ^(к^) = При этом выполняется

< к'-1' при г < и к= ктт/2. Уравнения генерации второй гармоники допускают процессы полной передачи энергии из первой гармоники во вторую. Поэтому, при кТ = к^ осповпым мехапизмом неустойчивости будет распадный.

Уравнения геперации третьей гармоники, имеют вид

. Л 811

Я = ^(ЫЬГ + «,(ЗАз)Ьз|4) + «13 Ы2Ы2 +

+»({Ч>\?Ч>1 + <Р*<Р"3)

Отсюда вытекает, что если коэффициенты к](А:'3') и К](3А;'3') имеют одинаковые знаки, то процесс полной передачи энергии третьей гармонике возможен. В противном случае для того, чтобы вся энергия волны у>1 передалась волне ¡рз, амплитуда ¡рз должна в начальный момент времени быть больше некоторого порогового значения. Расчеты показывают, что знаки этих коэффициентов могут различаться только при сравнимых с длиной волны глубинах.

Поэтому, в жидкости большой глубины волна с волновым числом к.г = распадно неустойчива по отношению к "шумовой" гармонике с волновым числом 3Если глубина жидкости порядка (кто для неустойчивости волпы кг уровень шума должен быть достаточно высоким. Процесс распад-ной неустойчивости при генерации третьей гармопики связан с кубическими взаимодействиями, поэтому характерное время распада порядка е'2.

При резонансной геперации более высоких гармоник распад волны с кт = где ] > 3, не происходит при учете только квадратичных и кубичных взаимодействий.

Исследовано влияние нелинейности на ограничение амплитуды изгибно-гравитационной волны при ее генерации бегущим со скоростью с полем внешнего давления. Условия резонанса в линейном случае выполняются, когда скорость периодического поля давления совпадает со скоростью 7/ кг периодической из-гибно гравитационной волны того же периода. Если поле давлений локализовано вдоль горизонтального направления X и постоянно пдоль направления У, то условия резонансного возбуждения волпы кт сводятся к равенствам с = 7' и

= 7 — кГс, где 7' - групповая скорость в направлении X резонасно возбуждаемой волпы пи, - частота вибрации впешнеш давления.

В пространственном случае линейное асимптотическое уравпепие, описывающее стационарные решения с вынуждающей силой, имеет вид

7" д2 7' д2

где р(А', У) - огибающая полны давления, находящейся в резонансе с волной кг. Отсюда видно, что если знаки 7" и 7' различны, то уравнение принадлежит к гиперболическому типу, и его решения всегда ограничены при локализованных и ограниченных давлениях У). Легко видеть, что в жидкости со свободной поверхностью это условие всегда выполнено. Поэтому в жидкости со свободной поверхностью амплитуды волн при резонапсе ограничиваются за счет двумерных дисперсионных эффектов.

В жидкости под упругой пластиной дисперсионная кривая (10) имеет точку перегиба. Поэтому ограничение амплитуды волны при резонансе за счет дисперсии имеет место только в случаях, когда волновое число резонансно возбуждаемой волны кг лежит левее точки перегиба. Этому условию не удовлетворяет хорошо известный резонанс, когда ыа = 0 и нагрузкадвижется с минимальной фазовой скоростью.

В случае периодического поля внешнего давления возможны следующие случаи. Если резопапено возбуждаемая волна имеет волновое число кт > ¿mln, то квадратичная нелинейность ограничивает амплитуду волны за счет передачи энергии в резонансные "шумовые" гармоники. Аналогичный эффект имеет место в случаях, когда резонасно возбуждаемая волна имеет волновое число кили fc'3'. При kr < kmin амплитуда резонансно возбуждаемой волны всегда ограничена благодаря влиянию кубической нелинейности.

В случае плоского локализованного поля внешнего давления исследованы условия существования стационарных ограниченных решений. Показано, что ограниченные решения, можно построить только в случае, когда имеется нену левой приток волновой энергии "шумовых" гармоник к области, где давление отлично отнуля. Если приток энергии отсутствует, то стационарные решения локализованы в окрестности нагрузки и неограничены.

В третьем разделе главы 3 получено пятипараметрическое семейство решений волиоводного типа для уравнений взаимодействия трех волн с учетом дисперсии

д d-t д\ 1327 3! SH .

W + + = (15)

Н = K(v»3VlV2 + С.С.)

Асимптотические уравнения (15) описывают резонансное взаимодействие трех волновых пакетов, групповые скорости которых в направлении Y одинаковы. Все члены в этих уравнениях одинакового порядка малости. Если бы дисПерсия в направлении V не учитывалась, то взаимодействия воли ipj в каждом сечении Y =const протекали бы независимо. При этом возможны ситуации, когда производные от tpj по У существенно возрастают с течением времени при достаточно гладких начальных условиях.

Такие случаи реализуются па плоских волновых пакетах, форма которых вдоль оси А постоянна, а.вдоль оси У имеет вид уединенной волны. Эти волновые пакеты можно назвать решениями волнованного типа. В отсутсвии дисперсии в направлении У характерные времена энергетического обмена между ip} различны. Поэтому градиенты но У с течением времени могут сильно вырасти, и станет необходим учет дисперсии в этом направлении.

Построены и исследованы волноводные решения уравнений (15) в случае, когда групповые скорости волновых пакетов в направлении У одинаковы и от-личпы от нуля. Такие волновые пакеты могут существовать только при достаточно сильном сжатии упругой пластины. Семейство решений волноподного типа зависит от 5 произвольных параметров. Волноводы наклонены под малым ненулевым углом к осп X, пропорциональным ^/ё. Скорость сх движения волноводов вдоль осп X определена единственным образом и зависит от коэффициентов при линейных членах в уравнениях (15). Скорость су в направлении оси У зависит от параметров.

Форма волноводов определяется выражением

Ъ = ^(С)ехр[г(г;Х+ т)У + з}Т)\ (16)

С = с,Х + суУ + Г, гТУ = г'3», .5, + = ^з

где удовлетворяют нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, вытекающей из (15). Исследование системы этих уравнений сводилось к нахождению семейства точных решений, зависящих от 3-х параметров и доказательству существования близких к ним решений при малом изменении двух оставшихся параметров. Доказательство проведено с использованием теоремы о неявной функции.

Исследовано нелинейное взаимодействие собствеппых колебаний жидкости в ледовом канале в приближении мелкой воды. ЯП моделируется жесткой крышкой на поверхности жидкости с бесконечным вырезом в виде полосы с параллельными краями. Грапич7ше условия па кромках канала сводятся к непрерывности потенциала скоростей и непрерывности расхода воды в вертикальных сечепиях,-проходящих через кромки льда в канале. Последние граничные условия пелипейпы.

Показано, что собственные моды канала могут удовлетворять условиям резонансного взаимодействия трех волп (11), где 7(^) лежат на различных ветвях дисперсионных кривых. При этом волны первой моды, распространяющиеся вдоль канала без отражения от его кромок, могут быть только вторичными в резонансных триадах. В то же время для любой высшей моды всегда можно найти волну первой моды, для которой она является накачкой. Таким образом, волны высших мод распадно неустойчивы по отношению, к волнам первой моды.

Получены асимптотические уравнения, описывающие резопапспые взаимодействия собственных мод. Эти уравнения приведены к стандартым уравнениям. грех-волнового взаимодействия. Показано, что в рассматриваемом приближении квадратичная нелинейность не приводит к опрокидыванию собственных мод, так как кратные гармоники собственной моды не являются собственными колебаниями канала.

В главе 4 исследованы стационарные ветровые течения, возникающие в море в прикромочной зоне ЛП.. Океан моделируется двухслойной жидкостью. На границе раздела слоев плотность жидкости меняется скачком. Предполагается, чго верхний слой хорошо перемешан и в коэффициенты турбулентного обмена в нем значительно превышают коэффициенты вязкости в нижнем слое. Поэтому верхний слой моделируется несжимаемой вязкой жидкостью Навье-Стокса, с постоянным коэффициентом кинематической вязкости и равным коэффициенту турбулентного обмена, а нижний слой моделируется несжимаемой жидкостью.

В естественных условиях в прикромочной зоне ЛП в атмосфере всегда имеются градиенты температуры, приводящие к формированию ветра. Направление ветра определяется структурой атмосферных погранслоев. При моделировании полагается, что скорость ветра экспоненциально затухает при удалении от кромки льда, и характерный масштаб, на котором происходит затухание в е раз, равен /. Полагается, что ЛП плавает на поверхности жидкости при х >0. При х < 0 поверхность жидкости свободна.

Постановка задачи сводится к нахождению стационарных решений линеаризованных уравнений Навье-Стокса с учетом силы Кориолиса, удовлетворяющих граничным условиям на нижней поверхности верхнего слоя г — т], на свободной поверхности г — II + т]0 при х < 0 п подо льдом при 2 = II и х > 0, где II - глубина верхнего слоя. Ледяной покров моделируется жесткой крышкой, и на нем выполняются условия прилипания. На свободной поверхности жидкости заданы касательные напряжения и полагается, что вертикальная скорость частиц жидкости равна нулю. Последнее вытекает из предположения, что градиенты уровня свободной поверхности, формирующиеся в результате нагонных явлений, малы. Поэтому граничные условия на свободной поверхности сносятся па плоскость г — И.

После исключения давления уравнения Навье-Стокса сводятся к системе двух уравнений для функции тока Ф и скорости V жидкости в направлении оси у. В безразмерных переменных эта система имеет вид

и

где Не = \jvjf - глубина Экмана, / - параметр Кориолиса.

Граничные условия для (17) имеют вид

<ЭФ дЧ 0у п „ <9Ф & = в? = в; = 0'" = 0:= (18)

<9Ф дЧ ЭУ

— = и = 0, г = 1, х>0;^гт = сце"*, — = а2е"х, 2 = 1, х < 0 02 Ог2 02

где безразмерный параметр ш = Я// > 0 определяет скорость затухания ветра при удалении от кромки льда, и коэффициенты а} пропорциональны скорости ветра при х = 0.

После нахождения поля скоростей уровень свободной поверхности жидкости определяется подформуле

/ / 21/Зи> V [ д дФ

Т]0 = - уёх--т— + - / Д—

9 9 ог __„ д J Ог

V / .а»

=и з

. ¿.х (19)

г—II

Деформация нижней поверхности слоя при медленных движениях оценивается формулой т\ га —рщЦрй — Ро), где р к pd - плотности верхнего и нижнего слоев жидкости.

Решение уравнений (17) строится методом Винера-Хопфа и представляется в виде Фурье интегралов по & в предельном случае е <С 1. Подинтегральные вы раженпя при е2 1 имеют бесконечное число комплексных полюсов в верхней

полуплоскости комплексного переменного к, являющихся корнями уравнения к = sinh к, полюса в точке к = —iui и бесконечное число чисто мнимых полюсов в точках к = —гптг, п 6 N. Вычисление интегралов проводится по вычетам в верхней полуплоскости к при х > 0 и нижней полуплоскости к при х < 0. При этом решение представляется в виде сходящихся рядов.

Комплексные вычеты с действительной частью не равной нулю соответствуют вихрям. При х > 0 решение состоит из цепочки экспоненциально затухающих при х —► оо вихрей. Расход жидкости равен нулю. При и > 0 скорость течения стремится к нулю при |i| —> оо. При и ^ О все интегралы в (19) сходятся при любом х < 0.

При и —♦ 0 на бесконечности формируется плоское стационарное течение с нулевым расходом. Для обеспечения такого течения необходим постоянный гра диепт давления, приводящий к бесконечно большому перепаду уровня свободной поверхности жидкости на бесконечно большом интервале. Градиент уровня свободной поверхности при / = 0 равен CapaV2/(pgH), где С„ коэффициент ' трения ветра о поверхность воды, ра - плотность воздуха и V - скорость ветра. При и> > 0 перепад уровня при нагоне порядка C„paV2l/(pgII). Положим / = 50 км, II = 100 м, V = 20 м/с, Са = 3 • Ю"3, ра - 1 кг/м3, р = 103 кг/м3. Тогда перепад уровня свободной поверхности жидкости равен ~ 0.06 м. При (pi — p)/pd ~ 0.01 перепад уровня скачка плотности ~ 6 м.

Из решения вытекает, что в случае когда течение при х < 0 направлено в сторопу кромки, то вблизи кромки наблюдается нагон и опускание слоя скачка плотности (даунвеллинг). Если течение при х < 0 направлено от кромки, то происходит подъем слоя скачка плотности вблизи кромки (апвеллипг). Явления прикромочного апвеллинга и даунвеллинга известны из экспериментальных наблюдений. D работе (Roed L.P., O'Brien J.J. A coupled ice-ocean model of upwelling in the marginal ice zone. J. Geoph. Res., 1983, Vol. 88, NC 5) этот эффект связывается с движением кромки битых льдов под влиянием ветра. В данной работе построена модель, соответствующая другому сценарию апвеллинга пли даунвеллинга вблизи кромки неподвижных льдов, при котором эти эффекты связаны с нагонными явлениями.

При £ 1 решение строится в погранслойном приближении, когда предполагается, что давление равно гидростатическому. В этом случае в течении имеются вихри, характерный размер которых порядка глубины Экмана Не■ При w —► 0 поле скоростей в жидкости при х —> —оо совпадает со спиральным течением Экмана в бескопечно глубокой жидкости. Построены также решения для слоя жидкости конечной глубипы с условием прилипания па дне в случае в2 < 1.

Главной особенностью построенных решений является вихревая структура течений подо льдом. Размер вихрей в жидкости небольшой глубины порядка глубины жидкости. В глубокой жидкости вихри имеют размер порядка глубины Экмана. Вихри создают осциллирующее поле напряжений в ЛП. Нагонные явления приводят к всплытию или притапливанию ЛП и к его деформированию.

В последнем параграфе главы 4 построена модель генерации волп па границе раздела двухслойной мелкой жидкости бегущим периодическим полем атмосферного давления. Резонансное возбуждение внутренней волны происходит, когда скорость и период атмосферной волны близки к соответствующим па-

раметрам внутренней волны. Показано, что при нулевых начальных условиях вблизи резонанса и при отсутсивии дисперсии происходит возбуждение стационарной внутренней волпы с пилообразным профилем. В местах, где градиенты поверхности раздела слоев велики необходим учет дисперсии.

Учет влияние дисперсии в первом приближении приводит к задаче с нулевыми начальными условиями для уравнения Кортевега-де Вриза с внешней периодической силой. С использованием гамильтонова подхода разработан метод построения стационарных решений этого уравнения. Показано, что стационарным решениям соответствует пенулевое значение гамильтониана. Отсюда вытекает невозможность выхода на стационарный режим решения с нулевыми начальными условиями. Показано, что отпошепие амплитуд стационарных резонансных решений без дисперсии и с учетом дисперсии пропорционально где \1 - дисперсионпый параметр, равный квадрату отношения глубины нижнего слоя к длине волны.

Заключение (глава 5) содержит краткое изложение результатов диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена новая модель ЛП, позволяющая описывать движения более широкого класса морских льдов, чем известные ранее модели. Например, в рамках модели возможно описание формирования припая.

2. Разработан кинетический подход к описанию изменения внутренней структуры ЛП при необратимых деформациях: торошении, подвижках, тре-щинообразовании. Разработана методика построения функций плотности перераспределения ЛП по структурным параметрам: толщине льда и его повре • жденности, соответствующая различным сценариям торошения.

3. В рамках построенной модели описано экспериментально наблюдаемое явление деления дисперсного ЛП на полосы споченного льда под влиянием постоянного ветра.

4. Исследованы разрывные решения уравнений модели, описывающие уплотнение и торошение массивов ЛП при столкновении их друг с другом и с твердой стенкой. Найдены характерные скорости распространения разрывов различного типа.

5. Показано, что кинетической энергии сталкивающихся ледйпых полей недостаточно для образования больших торосов. Основной причиной формирования торосов, в рамках рассматриваемого подхода является сила трения ветра или морских течений о лед, накапливающаяся на больших расстояниях.

6. Решена задача о ледоходе. Исследована структура пластических течений льда, возникающих при движении сплоченного ЛП под влиянием струйного течения в море. Показано, что перемещения больших масс льда могут происхо дить за счет пластических течений ЛП в узких погранслоях, размер которых ■ много меньше характерного масштаба морских течений.

7. Найдены канонические переменные для потенциальных движений произвольного объема идеальной жидкости в произвольной криволинейной систе-

ме координат. Предполагается, что жидкость нахдится в потенциальном поле внешних массовых сил.

8. На основе гамильтонова подхода получены асимптотические уравнения, описывающие все резонансные взаимодействия изгибно-гравитационных волн, возникающие за счет квадратичной и кубической нелинейности К этим резо-цансам относятся: трехволновый резонанс, резопапс длинных и коротких волн, процессы генерации высших гармоник, самовоздействие и генерация среднего течепия.

9. Исследована устойчивость периодической изгибно-гравитационпой волны по отношению к "шумовым" волнам малых амплитуд с учетом всех кубических и квадратичных резонансных взаимодействий. Найдены области устойчивости и неустойчивости. Определены резонансные механизмы, приводящие к распаду периодических волн различных частот.

10. Показано, что если волновое число падающей волны кг больше минимального волнового числа волны накачки £т;„, то основным механизмом не- ' устойчивости являются трехволновые взаимодействия с шумовым фоном. Если кг < £т;п, то основным механизмом неустойчивости является неустойчивость Бенджамена-Фейра, приводящая в зависимости от глубины жидкости к распаду огибающей волны кт на прямые или косые солитоны. Исключение составляют точки генерации второй кг = £т;„/2 и третьей гармоник, в окрестности которых неустойчивость связана с передачей эпергии второй и третьей гармоникам.

11. Исследовано влияние нелинейности па ограничение амплитуды изгибно-гравитационной волны с волновым числом кг при се возбуждении бегущим полем внешнего давления. Если поле внешнего давления периодично, то ограничение амплитуды резонапсно возбуждаемой волны происходит вследствии квадратичных взаимодействий с шумовым фоном при кг > &т!„ и при кг < ктгп благодаря кубическим взаимодействиям. Исключение составляет точка генерации второй гармоники кТ = кш,п/2, в окрестности которой ограничение амплитуды происходит вследствии процесса обмена энергией между гармониками.

12. Исследовано влияние нелинейности и двумерных дисперсионных эффектов на существования стационарных ограниченных решений при резопансном возбуждении изгибно-гравитационной волны внешним локализованным полем давления.

13. Найдены и исследованы новые решения волноводного типа уравнений ззаимодействия трех изгибно-гравитациошшх волн с учетом дисперсии в одном 1ространствегшом паправлении. Волповодные решения локализованы в одном тространственном направлении и периодические в перпендикулярном направлении.

14. В линейном приближении исследованы волноводные свойства упругого педяного покрова с трещипой и с грядой торосов. Предложена модель, в которой ?ряда торосов рассматривается как инерционный упругий стержень, имеющий :оединения шарнирного типа с кромками льдин. Открыт новый тип изгибно-гравитационных волн - краевые волны, распространяющиеся вдоль трещин и горосов и экспоненциально убывающие при удалении от них.

15. Исследована дифракция липейпых изгибпо-гравитациотгаых волн па тре-шгаах и торосах. Исследована структура коэффициентов отражения и прохождения в зависимости от частоты падающей волны и угла падения.

16. Показано, что при прохождении волн с частотой океапской зыби через большое число трещин или торосов происходит сильное рассеяние ее энергии. Слабо затухает только низкочастотный остаток зыби с периодом порядка 15 с, который может распространяться на большие расстояния подо льдом. Результаты исследований согласуются с экспериментальными наблюдениями изгибно-гравитационных колебаний ЛП в Арктике.

17. Исследована структура собственных колебаний жидкости в ледовом канале. Определены условия резонансного возбуждения собственных колебапий движущимся и осциллирующим на поверхности канала полем давления. Показано, что эти условия могут выполняться при движении корабля в ледовом канале с определенными скоростями. При этом частоты собственных колебаний корабля будут близки к частотам резонансно возбуждаемых волн. Этот эффект может привести к раскачиванию корабля и ударам его корпуса о кромку льда.

18. Исследовано резонансое взаимодействие собственных колебаний жидкости в ледовом канале. Показано, что высшие моды распадно неустойчивы по отношению к первой люде, распространяющейся вдоль канала без отражения от его кромок.

19. Построена модель апвеллинга и даунвеллинга слоя скачка плотности морской воды в прикромочпой зоне ЛП, плавающего на поверхности двуслойно стратифицированного океана. Рассматривается сплошной и неподвижный ЛП. Изменение уровня скачка плотности происходит в результате нагоннных явлений в верхнем слое океана под влиянием ветра, действующего па свободную поверхность жидкости в. прикромочной зоне. При нагоне воды на лед происходит даунвеллинг, если же уровень воды вблизи кромки опускается, то имеет место апвеллинг слоя скачка плотности.

20. Построена модель резонансного возбуждения волн на границе раздела двухслойной жидкости бегущим периодическим полем внешнего давления. Показано, что при резонансе происходит рост крутизны профиля внутренней волны, что приводит к необходимости учета дисперсии. Без учета дисперсии решение с нулевыми начальными данными выходит на стационарный режим, и в окрестности резонанса на границе раздела формируется волна с пилообразным профилем. Решение уравнений с дисперсией, развивающееся из начального состояния покоя, нестационарно. Проведены оценки амлитуд стационарных решений с учетом и без учета дисперсии. Показано, что дисперсия приводит к интенсивному стоку волновой энергии в высшие гармоники, что приводит к значительному уменьшению амплитуды стационарной волны.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

Список литературы

[1] Марченко A.B. О длинных волпах в мелкой жидкости под ледяным покровом// ПММ, 1988, Т.52, Вып.2, с. 230-231.

[2] Марченко A.B. О распространении разрывов в дрейфующем ледяном покрове// В кн. "Математическая физика и математическое моделирование в экологии". Часть. 1, Владивосток - 1990, с. 43-50.

Марченко A.B., Сибгатуллин Н.Р. О резонансном возбуждении длинных волн в двухслойной жидкости переменным давлением на свободной поверхности// Изв. АН СССР, МЖГ, 1990, N 2, с. 90-98.

Марченко A.B. Гамильтоново описание волн в слое жидкости под упругой пластиной// III Всесоюзная школа Понтрягинские чтения. Оптимальное управление, геометрия и анализ. Кемерово, 1990, с. -13.

Марченко A.B., Прохоров И.В. О линейных волнах в потоке жидкости с постоянной завихренностью// ПММ, 1991, Т.55, Вып.2, с. 242-249.

Марченко A.B. О резонансном возбуждении волн в тяжелой жидкости под вязкоупругой пластиной// ПМТФ, 1991, N 3, с. 101-109.

Марченко A.B., Шрира В.И. К теории двумерных нелипейных волн в жидкости под ледяным покровом// Изв. АП СССР, МЖГ, 1991, N 4, с. 125-133. ■

Марчепко A.B. О распространении разрывов в дрейфующем ледяном покрове// IIMM, 1992, Т.56, Вып.З. С.419-433.

Марчепко A.B. О расчете ветровых течений в прикромочной зоне морского ледяного покрова// Изв. АН СССР, МЖГ, 1992, N 6, С.132-141.

Марченко A.B. Дифракция поверхностных волн на трещине в ледяном покрове// Изв. РАН, МЖГ, 1993, N2, с. 93-102.

Марченко A.B. Модель дрейфующего ледяного покрова// ПММ, 1994, Т. 58, Вып.1, с. 40-54.

Макштас А.П., Марчепко A.B. К моделированию структуры ледяного покрова в прикромочных зонах морских дрейфующих льдов// В кп. "Закономерности крупномасштабных процессов в Норвежской энергоактпвной зоне". С-Петербург:Гидрометеоиздат. 1994, с. 150-163.

Марченко A.B., Семенов А.Ю. Краевые волны в мелкой жидкости под ледяным покровом с трещиной// Изв РАН, МЖГ, 1994, N 4, с. 185-189.

Марченко A.B., Семенов А.Ю. Вичисление интегралов в методе Винера-Хопфа суммированием рядов по вычетам// ЖВМиФ, 1995, Т. 35, N 3, с. 445-152.

Марченко A.B. О гамильтоновом подходе к исследованию потенциальных движений идеальной жидкости// ПММ, 1995, Т. 59, Вып. 1, с. 102-108.

Марченко A.B. Собственные колебания гряды торосов в упругом ледяном покрове, плавающем на поверхности бесконечно глубокой жидкости// Изв. РАН, МЖГ, 1995, N 6, с. 99-105.

Марчепко A.B. О распространении волн зыби в неоднородном ледяном покрове// Изв. РАН, МЖГ, 1996, N 5, с. 162-169.

[18] Марченко А.В. Об использовании кинетического подхода при крупномас штабиом моделировании динамики морских льдов// Юбилейный Международный Симпозиум "Актуальные проблемы механики сплошных и сы пучих сред", Москва, 1997, с. 53-54.

[19] Marchenko A.V., Sibgatullin N.R. On resonant generation of long waves in th double-layer shallow water by veriable pressure on the free surface// Thin International symposium on computational fluid dynamics - Nagoya, 1988 Japan, pp. 907 912.

[20] Marchenko A.V. On shock waves in drift ice cover// The VI Internatiom symposium on Okhotsk sea and sea ice, 1991, Mombetsu. Hokkaido. Japai: pp. 319-323.

[21] Marchenko A.V. A model of drift ice// The first Soviet - American worksho on the ice mechanics and its applications. Moscow. USSR, 1991, pp. 26-27.

[22] Marchenko A.V., Semenov A.Yu. Wind induced flow in marginal sea ice zone/ The 3rd Russian - Japan joint symposium on computational fluid dynamic: Vladivostok - 1992, Vol.1, pp. 33-34.

[23] Marchenko A.V. Canonic variables of equations covering potential motion с an ideal liquid// BRAS Physics/Supplement, Physics of Vibrations, 1993, ] 2, pp. 95-98.

[24] Marchenko A.V., Semenov A.Yu. Formation of oscillatory vortex flows in marginal zone of the sea ice cover// BRAS Physics/Supplement, Physics ( Vibrations, 1993, V.57, N 4, pp. 172-183.

[25] Marchenko A.V. Spectrum of elastic-gravity waves in the sea under the ic cover// BRAS Physics/Supplement, Physics of Vibrations, 1994, V. 58. No.' pp. 220-235.

[26] Marchenko A., Purini R., Voliak K. Filtering surface waves by ice floe// Pro« of 13th Int. Conf.on Port and Ocean Eng. under Arctic Cond. (POAC'95), S Petersburg-1995, V.3, pp. 134-142.

[27] Marchenko A.V. On formation of spectrum structure of elastic-gravity wav( in the sea beneath an ice' cover// ICIAM - 95, Hamburg, 1995, Book с Abstract, p. 361.

[28] Marchenko A.V. Resonant excitation of waves in the ice channel// BRA Physics/Supplement, Physics of Vibrations, 1996, V. 60. N. 1, pp. 1-12.