Модели калибровочных полей с абелевой и неабелевыми группами симметрии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Сысоев, Павел Николаевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2012
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
СЫСОЕВ Павел Николаевич
МОДЕЛИ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ С АБЕЛЕВОЙ И НЕАБЕЛЕВЫМИ ГРУППАМИ СИММЕТРИИ.
Специальность 01.04.02 - теоретическая физика Автореферат
Диссертация на соискание Ученой степени кандидата Физико-математических наук
- 7ИЮН Ш2
Москва-2012
005045287
Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор Иноземцева Н.Г.
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Тареева Е.Е. доктор физико-математических наук, профессор Кротов С.С.
Ведущая организация:
Математический институт им. В.А.Стеклова РАН
Защита состоится 14 июня 2012 г. в 15 часов 30 минут на заседании Диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском Государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр.2, физический факультет, аудитория СФА.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.
Автореферат разослан « I ( »
2012 г.
Общая характеристика работы.
Диссертация посвящена изучению моделей калибровочных полей с абелевой и неабелевыми группами _ симметрии, изучению модели низкоэнергетического комптон-эффекта на составной мишени, состояние которой вырождено; рассмотрению конфигурации классических полей Янга - Миллса с симплектическими группами симметрии, обладающих топологическим зарядом К = 4. Актуальность темы.
В последние 35 лет теория калибровочных полей получила значительное развитие в связи с построением Стандартной Модели, призванной объяснить основные закономерности электрослабого и сильного взаимодействий элементарных частиц.
Открытие и детальное экспериментальное исследование низкоэнергетического комптон эффекта (рассеяния фотонов-квантов простейшего электромагнитного калибровочного поля с абелевой группой симметрии) поставило перед теоретической физикой элементарных частиц задачу построения соответствующих моделей. Неабелевые калибровочные теории, открытые Янгом и Миллсом в 1954 году, получили сильнейший стимул к развитию с появлением в 1974 году квантовой хромо динамики (КХД). За доказательство перенормируемости квантовой теории калибровочных полей с нулевой массой были присуждены две Нобелевские премии.
В значительной степени прогресс в изучении калибровочных полей был достигнут при открытии инстантонов - топологически устойчивых конфигураций неабелевых полей в 4-х мерном евклидовом пространстве с целочисленным топологическим зарядом и конечным вкладом в функционал действия.
Изучение низкоэнергетического комптон-эффекта на электрически нейтральном атоме водорода, состоящим из двух заряженных частиц-
электрона и протона - положило начало построению моделей,
рассмотренных в диссертации.
Основное состояние атома водорода не вырождено, но вырождение имеет место, согласно квантовой механике, для всех возбужденных состояний.
В предлагаемой диссертационной работе впервые проведено детальное исследование эффектов, связанных с вырождением.
Мультиинстантонные конфигурации калибровочных полей с неабелевыми группами симметрии были описаны вскоре после пионерской ВРБТ* - работы советско-английской группой выдающихся математиков Атиа, Дринерельдом, Хитчином и Маниным (АДХМ) .
Причем оказалось, что общая формула АДХМ допускает аналитическое построение решений лишь для значений топологического заряда К в ситуации общего положения равным 2 и 3. В предлагаемой работе впервые проведена эффекгивизация формул АДХМ для К=4. Оказалось также, что подобная эффекгивизация не может быть проведена для К>5.
Цель диссертационной работы.
Целью диссертационной работы является детальное исследование низкоэнергетического Комптон- эффекта на электрически нейтральных составных частицах в состояниях с вырождением. В работе изучаются также способы эффективизации формулы АДХМ для ситуации общего положения в задаче о четырех инстантонах.
* A.A. Belavin, A.M. Polyakov, A.S. Schwartz and Yu. S. Tyupkin Phys. Letters, 59B, 85 (1975).
" M.F. Atiyah, N.J. Hitchin, V.G. Drinfeld and Yu. I. Manin, Phys. Letters, 65A, 185 (1978)
Научная новизна работы.
В модели низкоэнергетического комптоновского рассеяния на системе двух частиц с нулевым полным моментом впервые вычислен дополнительный полюсный член и вклады в него от промежуточных состояний с той же массой, но с разными спинами.
Впервые осуществлена эффективизация формул АДХМ для мультиинстантонных конфигураций с топологическим зарядом К=4.
Научная и практическая значимость.
Теоретические результаты, полученные в диссертации, могут быть полезны для качественного понимания и количественного описания низкоэнергетического комптон-эффекта в экспериментах по рассеянию электромагнитного излучения на струйной мишени, состоящей из разогретого до высоких температур 2000°С водорода.
Результаты по эффективизации формул АДХМ имеют важное фундаментальное значение для вычисления вклада мультиинстантонов общего положения в функционал действия для калибровочных групп Sp(n) и их подгрупп, включая особо важную группу SU(2).
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на семинарах Лаборатории теоретической физики имени H.H. Боголюбова объединённого института ядерных исследований, на физическом факультете Государственного Санкт-Петербургского университета, в Санкт-Петербургском отделении Математического института РАН имени В.А. Стеклова, на семинарах на факультете ядерной физики Технического университета Праги (Чешская Республика), на конференции QMath7, проходившей в 2011 году в Праге, организованной Карловым университетом. Работа также докладывалась на семинаре теоретического отдела Института Ядерной физики в Ржеже (Чешская Республика).
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах в журналах из списка ВАК. Ссылка на эти работы приведены в конце автореферата.
Структура диссертации.
Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и
списка литературы.
Содержание диссертации.
Во введении обоснована актуальность исследуемых проблем и сформулированы цели приведённых исследований.
В Главе 1 рассмотрены основные закономерности задачи вычисления эффектов, возникающих при учете диаграмм Фейнмана с двумя свободными фотонными концами - модели низкоэнергетического комптон-эффекта при рассеянии у - кванта на заряженных точечных частицах (бесструктурных частицах). Получены выражения для амплитуды рассеяния для частицы спина О, в которые наряду с зарядом частицы е и массой т вошли только две дополнительные постоянные а и Д - коэффициенты электрической и магнитной поляризуемости частиц. В этой же главе обрисованы методы вычислении амплитуды рассеяния у - кванта на системе из двух связанных частиц, описываемых нерелятивистским уравнением Шредингера с точностью до членов, квадратичных по частоте.
Изложение теории рассеяния у - кванта на системе из двух связанных частиц позволяет лучше понять результаты релятивистского расчета амплитуды рассеяния. В этой же главе построена простейшая модель мишени, имеющей внутреннюю структуру (электромагнитный потенциал -вторично квантованное поле- введен в уравнение Шрёдингера минимальным
образом). С точностью до е2 амплитуда Т комптоновского рассеяния имеет форму:
Еп-Е1+со' + (2тТ1й)'2
/
где кик'- четырехмерные импульсы начального и конечного фотонов а,Р = 1,2,3, в матричных элементах подразумевается интегрирование по относительной координате; ^ - сумма (интеграл) по всем состояниям
спектра, |/) — волновая функция начального и конечного состояния мишени. Здесь є' - вектор поляризации начального и конечного фононов, функции У.М.ЇЇ определяются следующим образом. Пусть
г(/с) = ехр(—). Тогда
7( г) = д1є(к - к') + ц\б(к - іс), М?(г) = А+ + {к')ка+2А_ + {к')ра М*(г) = 2А.-{к)Р/, ^{г) = А+_(к)к'р+2А__р? Щ{г) = 2А_ + {к')ра
А±+(к) = Ч{є(-к)±д1є(к), А±_(к) = дхє{к)±ч1є(-к).
V
+
(1)
где
ра=-ід/дга
здесь ?,и?2- заряды компонент мишени, Еп и Е1 - энергии основного и промежуточного состояний, со = хг0, а>' = кг0.
Глава 2 посвящена изучению модели низкоэнергетического комптон-эффекта на составной мишени с вырожденными состояниями.
В ней доказана теорема об асимптотике низкоэнергетического комптоновского рассеяния в вырожденном случае на мишени. Доказано, что с точностью до членов порядка 0(V) амплитуда
комптоновского рассеяния равна: где
Г, = со2 (а-с cos <р)-2е2,
T2=b + f cos ср.
<р - угол рассеяния, а, Ъ, с, f - структурные константы. Константы си/, обусловливающие принципиальное отличие случая мишени с вырождением от невырожденной мишени, обязаны суммированию в (1) по состояниям |и) с энергией Ея = , причем с отлична от нуля- и в нерелятивистском случае для потенциалов типа кулоновского, где энергетический уровень не имеет определенной четности. А для потенциалов типа осцилляторного, где уровень Е, всегда имеет определённую чётность, при нерелятивистском
рассмотрении (2) не отличается от (1).
Рассмотрен также вопрос о дифференцируемости инвариантных амплитуд рассеяния. В кулоновской калибровке и лабораторной системе координат амплитуда Т может быть выражена через инвариантные амплитуды А и В:
Т = (££')
f+**Мяф+т
+ {£ X ic)(s' х £') А +
Bt
(3)
Амплитуда В имеет вид: 2
-Н
2 -г -2
~ X -Т2т .
Выражение для амплитуды г имеет аналогичную структуру.
2
После вычитания борновского члена Вв°гп = 2е
.2
- X
,2
получается простое выражение
Б_ВВогп =С_Л{
2
2 •
I +т-\с-а-Ъ-/)
Оно не дифференцируемо в нуле по X' и г ,что делает неприменимыми известные низкоэнергетические теоремы. Это обстоятельство важно при рассмотрении рассеяния у - квантов на атомах водорода и моделей физики элементарных частиц, в которых мезоны и мезонные резонансы являются радиально возбужденными и, возможно, вырожденными состояниями.
В Главе 3 рассматриваются вопросы эффективизации формул АДХМ для инстантонных конфигураций для ситуации общего положения и топологического заряда К= 4. Показано, что они сводятся к исследованию чисто алгебраической нелинейной проблемы. Все решения уравнений дуальности для произвольных комплектных калибровочных групп, не имеющие (с точностью до калибровочных преобразований) сингулярных особенностей в 4-х мерном евклидовом пространстве Я*, допускают представление в виде
N+N = 1,
где I - единичная матрица , N - матрица, размеры которой определяются калибровочной группой и топологическим зарядом.
Ам(х) = М+(х)дмМ(х),
(4)
Для симплектических групп Бр(п) (частности, для 8Щ2)^р(1) структура этой матрицы наиболее проста: N - матрица кватернионов размером („ + *)*«. где «с - топологический заряд, являющийся решением
линейного уравнения
Ы+М(х) = О, Ф
где М-матрица кватернионов (п + к)хп, линейно зависящая от кватерниона
х = х0- 0Х, гдест- матрицы Паули,
М = В-Сх (6)
Для любых значений * матрица М должна удовлетворять нелинейному
соотношению М+М = г(х),
где г(х) - матрица вещественных чисел размером ку.к, обладающая обратной всюду в Я', за исключением конечного числа точек {*„}•
Инвариантность соотношений (5), (6) и потенциала ^(х) (4) относительно линейных преобразований позволяет привести М к каноничекой форме
С„ = 0, 1<п\
где 5 - символ Кронекера.
Показано, что поле А/х) соответствующее произвольной мультиинстантонной конфигурации, может быть построено по матрице В посредством стандартных операций линейной алгебры.
Для приложений в квантовой теории (вычисления пропагаторов скалярных и фермионных полей в присутствии инстантонов, детерминантов линейных операторов, возникающих при оценках функциональных
интегралов) необходимо найти решения системы нелинейных алгебраических уравнений, позволяющие определить явную зависимость Ы(х), Ам(х) от параметров конфигураций «гинстантонов.
Показано, что посредством обращения матриц кватернионов можно построить решения матричного уравнения (5), зависящее от (4к±3) параметров, из которых к являются параметрами групповой ориентации инстантонов.
Доказано, что оценка квантовых эффектов точных к — инстантонных конфигураций не может быть найдена посредством решения нелинейных алгебраических уравнений 3 и 4 порядка и требует привлечения численных методов.
Заключение
Сформулируем основные положения диссертации, выносимые на защиту:
1. Получена компактная формула, описывающая низкоэнергетический комптон-эффект на мишенях со структурой в случае вырождения ее состояний.
2. Найдено, что инвариантные амплитуды низкоэнергетического рассеяния фотонов на составных частицах не являются дифференцируемыми функциями переменной Мандельстама I.
3. Впервые доказано, что эффективизация формул АДХМ для мультиинстантонных конфигураций с топологическим зарядом К-4 может быть проведена посредством нахождения решений алгебраических уравнений 3 и 4 порядка.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. Иноземцева Н.Г. Сысоев П.Н. Иноземцев В.И. О комптоновском рассеивании на мишени, находящейся в вырожденном состоянии. Вестник Московского университета. Серия 3 Физика.
Астрономия. 2011. №3 стр.115-117.
2. Иноземцева Н.Г., Сысоев П.Н. Теорема об асимптотике низкоэнергетического комптоновского рассеяния в вырожденном случае. Математические заметки, 89:1 (2011) стр. 131-133.
3. Иноземцева Н.Г., Сысоев П.Н. О конфигурациях классических полей Янга-Миллса, обладающих топологическим зарядом К= 4. Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2012, №1, стр. 65-69.
Подписано к печати ^ & - 05. Тнсдэд 400 Зжаз Э£
Отпечатано н отделе опсртгкзнон печати физического факультета МГУ
61 12-1/1127
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
на правах рукописи
Сысоев Павел Николаевич
Модели калибровочных полей с абелевой и неабелевыми группами симметрии
специальность 01.04.02 теоретическая физика
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
Москва 2012.
Содержание
Глава I. Комптон - эффект на бесспиновых частицах со
структурой...........................................................................................- 13 -
§ 1. S - матричный элемент.............................................................-15-
§2. Низкоэнергетические теоремы..................................................- 18 -
§З.Учёт структуры мишени, описываемой уравнением
Шрёдингера.........................................................................................- 20 -
Глава II. Рассеяние у - квантов на мишени, находящейся в
вырожденном состоянии...................................................................- 25 -
§1. Изменение вида амплитуды Т....................................................- 26 -
§2. Дифференцируемость инвариантных амплитуд......................- 29 -
Глава III. Конфигурации классических полей Янга-Миллса с
симплектическими группами симметрии, обладающие
топологическим зарядом К= 4...........................................................- 32 -
§ 1. Общая структура АХДМ - конструкции..................................- 33 -
§2. Определение матриц В и q.......................................................- 38 -
§3. Построение (4к+3) параметрического множества матриц В и q
для группы SU(2), не входящего в анзац т' Хоофта......................- 45 -
Заключение..........................................................................................- 51 -
Литература...........................................................................................- 52 -
Введение
В последние 35 лет теория калибровочных полей получила значительное развитие в связи с построением Стандартной Модели, призванной объяснить основные закономерности электрослабого и сильного взаимодействий элементарных частиц.
Открытие и детальное экспериментальное исследование низкоэнергетического комптон - эффекта (рассеяния фотонов -квантов простейшего электромагнитного калибровочного поля с абелевой группой симметрии) поставило перед теоретической физикой элементарных частиц задачу построения соответствующих моделей.
Неабелевые калибровочные теории, открытые Янгом и Миллсом в 1954 году, получили сильнейший стимул к развитию с появлением в 1974 году квантовой хромодинамики (КХД).
За доказательство перенормируемости квантовой теории калибровочных полей с нулевой массой были присуждены две Нобелевские премии (т' Хоофт и Вельтман; Абдус Салам и другие).
В значительной степени прогресс в изучении калибровочных полей был достигнут при открытии инстантонов - топологически устойчивых конфигураций неабелевых полей в 4-х мерном евклидовом пространстве с целочисленным топологическим зарядом и конечным вкладом в функционал действия, которое было сделано A.A. Белавиным, А.М.Поляковым, A.C. Шварцем и Н.С. Тюпкиным в 1976 году (BPST).
Изучение низкоэнергетического комптон - эффекта на электрически нейтральном атоме водорода, состоящем из двух заряжённых частиц - электрона и протона - положило начало построению моделей, рассмотренных в диссертации.
Основное состояние атома водорода не вырождено, но вырождение имеет место, согласно квантовой механике, для всех возбуждённых состояний. В предлагаемой диссертационной работе впервые проведено детальное исследование эффектов, связанных с вырождением.
Мультиинстантонные конфигурации калибровочных полей с неабелевыми группами симметрии были описаны вскоре после пионерской ВР8Т - работы советско - английской группой выдающихся математиков АтМ, Дринфельдом, Хитчином и Маниным в работе (АХДМ).
Причём оказалось, то общая формула АХДМ допускает аналитическое построение решений лишь для значений топологического заряда К в ситуации общего положения равным 2 и 3. В представляемой работе впервые проведена эффективизация формул АХДМ для К=4. Оказалось также, что подобная эффективизация не может быть проведена для К>5.
Основные закономерности задачи вычисления эффектов, возникающих при учёте диаграмм Фейнмана с двумя свободными фотонными концами - модели низкоэнергетического комптон -эффекта при рассеянии у - квантов на заряженных точечных частицах рассмотрены в первой главе диссертации.
Построено общее выражение для £ - матричного элемента для комптоновского рассеяния на бесспиновой частице, которое учитывает Лоренцеву и калибровочную инвариантность.
Динамика взаимодействия и, следовательно, структура частицы описывается двумя инвариантными амплитудами А и В.
Общее выражение значительно упрощается при использовании кулоновской калибровки и лабораторной системы координат. В низшем порядке теории возмущений сформулированы
низкоэнергетические теоремы, имеющие место при явном или неявном предположении о невырожденности состояния частицы.
С точностью до со (со - энергия начального фотона) амплитуда Г может быть представлена в виде:
Т = ё-£'(асо2-2е2) + (ё х к)(е'х к') ¡3, (1.1)
где
заряд мишени,
£ и £ - векторы поляризации начального и конечного фотонов, к и к' - импульсы фотонов,
а и ¡3 - ассоциированы с электрической и магнитной поляризуемостями.
Инвариантные амплитуды А я В, как показано в главе 1, разлагаются в ряды:
А{х\^АВот+^А{Кп)-х1к^п, (1.2а)
к,п> О
в{х2^) = вв0гп+ £ В[Кп)-х1к -л (1.2Ъ)
к,п>а
где
X = (я - (о) / 4, - переменные Мандельстама.
Коэффициенты А{Кп) и В{к'п) называются обобщёнными поляризуемостями частицы.
Отдельно выделены борновские члены АВогп и ВВогп, полученные в предположении о бесструктурности частицы (тогда все структурные константы равны нулю).
Особенностью формы (1.1) является то обстоятельство, что она справедлива как для (квантовой и классической) нерелятивистской
системы с потенциальным взаимодействием между составными частями, так и для скалярной частицы в квантовом описании, где структурные константы возникают за счёт виртуального облака.
начальный фотон \
Рис.1. Диаграмма Фейнмана для комптон - эффекта на составной частице.
Вторая глава диссертации посвящена изучению модели низкоэнергетического комптон - эффекта на составной мишени, состояния которой вырождены [1].
Доказана теорема об асимптотике низкоэнергетического \у
комптоновского рассеяния в вырожденном случае [2].
/1
Д. ' т-\ О и
В качестве простейшей модели мишени, имеющеи внутреннюю
т
структуру, рассмотрена система двух скалярных частиц с массами —
и зарядами ^ и д2> взаимодействующих посредством центрального потенциала.
Считаем, что модель нерелятивистская, и масса всей системы равна т. Электромагнитный потенциал (вторично квантованное поле) вводится в уравнение Шрёдингера минимальным образом. С
точностью до д2 амплитуда Т комптоновского рассеяния имеет
форму:
Т(к,к') = - 4(^')(г|7|г) + 2
/
т
М?
п){п
М?
Еп- - со + (2т)"1 со1 Еп - Е( + со'+ (2т)~1о)1
+ ■
П)(П
щ
1 ^л
(1.3)
где
кик'- трехмерные импульсы начального и конечного фотонов, а и /3= 1,2,3, в матричных элементах подразумевается интегрирование по относительной координате;
Е - сумма (интеграл) по всем состояниям спектра; |г) - волновая функция начального и конечного состояния мишени.
Здесь£б' - вектор поляризации начального и конечного фотонов,
/
функции 7, М, N определяются следующим образом.
Пусть
Тогда
где
ра=-гд/дга
и
V ^ У
Г (г) = д{е(к - к') + (к' - к)
М?(г) = А++(к')ка+2А_+{к')Ра,
М2 {г) = 2А__{к)р
>
Щ(г) = 2А_+(к')ра,
А±+(гс) = д1£(-к)±д2£(к), А±_(к) = д1е(к)±д2е(-к),
здесь
дх и д2 - заряды компонент мишени,
Еп и Е1 - энергии основного и промежуточного состояний,
со = к0, со' = к'().
0 /
В случае вырождения начального состояния доказано, что с точностью до членов порядка О(о)2^ амплитуда комптоновского рассеяния равна:
Т = (££')Т1 + (£хк)(ё'хк')Т2, (1.4)
где
Тх = со2 (а- ссо8<р)-2е2,
Т2=Ь + / сов^.
<р - угол рассеяния,
а, Ь, с,/ - структурные константы.
Константы си/, обусловливающие принципиальное отличие случая мишени с вырождением от невырожденной мишени, обязаны суммированию в (1.3) по состояниям с энергией Еп = Е1, причём с отлична от нуля и в нерелятивистском случае для потенциалов типа кулоновского, где энергетический уровень Е1 не имеет определённой чётности. А для потенциалов типа осцилляторного, где уровень Е1 всегда имеет определённую чётность, при нерелятивистском рассмотрении (1.4) не отличается от (1.3).
Рассмотрен также вопрос о дифференцируемости инвариантных амплитуд рассеяния. В кулоновской калибровке и лабораторной системе координат амплитуда Т может быть выражена через инвариантные амплитуды А и В:
Т = (её>)
А + —
V
+ (ё хк)(£'хк')(а +—1 (1.5)
V 8)
Амплитуда В имеет вид
B(x\t) = -Tx
-J
w
-l
-T2m
-2
(1.6)
Выражение для амплитуды А имеет аналогичную структуру.
После вычитания борновского члена В
Born .
ВВот=-2е2
<V2
X
-1
получается простое выражение
В-В
Вот
c-f
~Х
Ч^У
+ т (с-а — Ъ — f)
0V\
д
(1.6а)
У4/
Это выражение не дифференцируемо в нуле по %2 и t, что и ' делает неприменимыми известные низкоэнергетические теоремы. Это обстоятельство важно при рассмотрении рассеяния у - квантов на атомах водорода и моделей физики элементарных частиц, в которых мезоны и мезонные резонансы являются радиально возбуждёнными и, | возможно, вырожденными состояниями.
В третьей главе диссертации рассматривается проблема эффективизации формул АХДМ для инстантонных конфигураций для ситуации общего положения и топологического заряда К = 4.
Показано, что вопросы эффективизации в этом случае сводятся к исследованию чисто алгебраической нелинейной проблемы.
Все решения уравнений дуальности для произвольных компактных калибровочных групп, не имеющие ( с точностью до калибровочных преобразований) сингулярных особенностей в 4-х мерном евклидовом пространстве Л4 допускают представление в виде:
AM(x) = N+(x)8MN(x),
N+N = I,
(1.7)
где
/- единичная матрица,
N - матрица, размеры которой определяются калибровочной группой и топологическим зарядом.
Для симплектических групп Sp(n) (в частности, для SU(2) = ) структура этой матрицы наиболее проста:
N - матрица кватернионов размером (п + К)хп, где К -топологический заряд, являющаяся решением линейного уравнения
N+M(x) = 0 (1.8)
где М - матрица кватернионов [п + К)хК, линейно зависящая от кватерниона х = х0 - iáx (а - матрица Паули),
М = В-Сх. (1.9)
Для любых значений х матрица М должна удовлетворять нелинейному соотношению:
М+М = г(х), (1.10)
где г(х) - матрица вещественных чисел размером К х К, обладающая
обратной всюду в R4, за исключением конечного числа точек [ха].
Инвариантность соотношений (1.8), (1.9) и потенциала А [х)
(1.7) относительно линейных преобразований позволяет привести М к канонической форме:
Су = 0, i<n,
cij=si-nj> i>n> (1-11)
ву = BJ+n,i-m i>ni - 11 -
где 8 - символ Кронекера.
Показано, что поле А (х), соответствующее произвольной
мультиинстантонной конфигурации, может быть построено по матрице В посредством стандартных операций линейной алгебры.
Для приложений в квантовой теории (вычисления операторов скалярных и фермионных полей в присутствии инстантонов, детерминантов линейных операторов, возникающих при оценках функциональных интегралов) необходимо найти решения системы нелинейных алгебраических уравнений, позволяющие определить явную зависимость Ы(Х), А^ (х) от параметров конфигураций к
инстантонов.
Показано, что посредством обращения матриц кватернионов можно построить решения матричного уравнения (1.8), зависящее от (4К + 3) параметров, из которых к являются параметрами групповой
ориентации инстантонов.
Доказано, что оценка квантовых эффектов точных К -инстантонных конфигураций не может быть найдена посредством решения нелинейных алгебраических уравнений 3 и 4 порядка и требует привлечения численных методов [3].
Глава I. Комптон - эффект на бесспиновых частицах со структурой.
Упругое рассеяние у - квантов на элементарных частицах со спином (электронах и протонах), а также составных бесспиновых частицах является одним из фундаментальных процессов, исследование которых может дать ценную информацию о характере особенностей взаимодействия элементарных частиц.
В отличие от классического комптоновского рассеяния на электроне, которое является чисто электродинамическим эффектов, в рассеянии у - квантов на нуклоне решающую роль играют сильные взаимодействия в промежуточном состоянии. Это делает невозможным использование аппарата теории возмущений при проведении расчётов амплитуды рассеяния и других параметров.
Интерес к комптоновскому рассеянию на бесспиновых частицах со структурой связан прежде всего с тем обстоятельством, что структура частиц мишени проявляется в структуре амплитуды рассеяния, и экспериментальное исследование 5 - матричных элементов позволяет проникнуть в непознанную до сих пор структуру частиц сильных взаимодействием (мезонов и нуклонов).
Следует отметить, что сильные взаимодействия не являются первичными взаимодействиями процесса комптоновского рассеяния и проявляются лишь в промежуточном состоянии процесса.
Однако с ростом энергии у - квантов вклад сильного взаимодействия увеличивается, и при энергиях выше порога фоторождения одиночных п - мезонов, оказывается значительно превышающим вклад хорошо изученного взаимодействия у - кванта с электрическим зарядом и магнитным моментом, и практически полностью определяет поведение процесса.
По этой причине экспериментальное исследование комптон -эффекта на составных частицах может явиться источником сведений, необходимых для построения теории сильных взаимодействий.
§1. £ - матричный элемент.
Комптоновское рассеяние на бесспиновой составной частице может быть описано в виде [1-3].
(5-/> = /(2яг)2(16к0к'0р0р'0) 2Я4(к + р-к'~р')Т, Т = е;(к')Т^(к), (1.1)
ТЦУ = ' К'ёцу ~ к' РцРу - х(рмК + Рукм + %28му ]
где
5 - матричный элемент; I- единичная матрица;
А и В - инвариантные амплитуды, отражающие динамику взаимодействия составных частей мишени между собой и, следовательно, структуру частицы; к и к';
р и р' - начальный и конечный 4-х мерные импульсы фотона (мишени);
р=(Р + Р')
2 > X 4 '
я, и, переменные Мандельстама; е {к) - вектор поляризации фотонов; g - метрический тензор;
к • к' - скалярное произведение 4-х мерных векторов; - комплексно сопряжен с £м(кг);
б4 - четырёхмерная 8 - функция.
Это выражение учитывает Лоренцеву калибровочную инвариантность теории.
Далее везде будем использовать кулоновскую калибровку и лабораторную систему координат. Формула (1.1) справедлива для частиц с произвольной структурой, но будет применяться только для нерелятивистской модели частиц со структурой.
В отличие от классического комптоновского рассеяния на электроне, которое является чисто электродинамическим эффектом, в рассеянии у - квантов на частице со структурой решающую роль играют сильные взаимодействия в промежуточном состоянии. Это делает невозможным при проведении расчётов использование аппарата теории возмущений.
Поэтому единственным последовательным методом анализа таких процессов является метод дисперсионных соотношений [4-22, 26], позволяющий исходя из самых общих принципов теории поля, вывести интегральные соотношения между действительной и мнимой частями амплитуды рассеяния, рассматриваемой как функция энергии при фиксированном и ограниченном передаваемом импульсе. Или, наоборот, как функция передаваемого импульса при фиксированной энергии.
Сравнения расчётов в [24, 25], проведённых на основе таких дисперсионных соотношений, с опытными данными даёт возможность в принципе проверить основные постулаты квантовой теории поля.
Для бесструктурной частицы с нулевым спином в низшем порядке теории возмущений справедливы формулы
АВогп=1д2
ВВогп=2д2
ч4у
■X
(1.2)
■X
определяющие борновский член; здесь: д - полный заряд частицы;
t = {к- к')2 - переменная Мандельстама.
Для частиц со структурой, а также высших порядков теории возмущений А я В являются довольно сложными функциями переменных Мандельстама (напомним, что лишь две переменные являются независимыми; в их качестве можно выбрать, например, I и
%). В дальнейшем будем опускать эффекты высших порядков по ц1, и,
в частности, не учитываем проблемы инфракрасных расходимостей, подробно изученных в работах [24-26].
§2. Низкоэнергетические теоремы.
Низкоэнергетические теоремы [27-38], полученные при явном или неявном предположении о невырожденности состояния мишени,
утверждают, что с точностью до со1{сд = к()) амплитуда рассеяния у -
квантов на частице со структурой представима в виде
Т = её'(асо2 -2qг) + {£x к){е' х к')(3, (1.3)
где
д - заряд мишени;
£ и е' - трёхмерные векторы поляризации начального и конечного фотонов;
к и к' - трёхмерные импульсы начального и конечного фотонов;
А/ л V/ V
аир- ассоциированы с электрической и магнитнои поляризуемостями мишени.
Инвариантные амплитуды А и В разлагаются в ряды
А(Ж2,0 = АВогп + 2 АМ ■ (Ь4)
к,п>0
В(х2,0 = ВВогп + X в{к'п) ■ (1.5)
к,п> О
В выражениях (1.4), (1.5) выделен борновский член (1.2), полученный в предположении о бесструктурности частицы в низшем порядке теории возмущений (тогда все структурные константы равны
нулю). Коэффициенты А(к,п) и В(к,п} называются обобщёнными поляризуемостями системы.
�
