Моделирование деформации твердых тел на мезоуровне с учетом независимых поворотов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Бакеев Рустам Альфредович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ НА МЕЗОУРОВНЕ С УЧЕТОМ НЕЗАВИСИМЫХ ПОВОРОТОВ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск 2010

004617572

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте физики прочности и материаловедения Сибирского отделения РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Макаров Павел Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Гриняев Юрий Васильевич

доктор физико-математических наук Афанасьева Светлана Ахмед-Рызовна

Ведущая организация: Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образование «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Защита состоится " 22 " октября 2010 г., в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 003.038.01 при ИФПМ СО РАН по адресу: 634021, г. Томск, пр. Академический 2/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФПМ СО РАН.

Автореферат разослан сентября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

п

О.В. Сизова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы.

Развитие континуальных моделей, учитывающих эволюцию микроструктуры для описания особенностей развития упруго-пластической деформации на мезоуровне, и численная реализация этих моделей является актуальной задачей в условиях современного интереса к описанию поведения материалов под нагрузкой в связи со структурными особенностями.

Важную роль в понимании связи между структурной организацией твердых тел и изменением их механических свойств сыграли концепция структурных уровней деформации и разрушения твердых тел, развитая во второй половине XX столетия в научной школе академика В.Е.Панина, и возникшее на ее основе новое научное направление - физическая мезомеханика материалов. В рамках иерархического подхода физической мезомеханики к моделированию материалов со структурой экспериментально было показано, что на мезоуровне реализуется деформационная схема «сдвиг+поворот», обусловленная недостатком активных систем скольжения. Предложенная в работе модель является одним из вариантов описания этого эффекта.

Цель диссертационной работы: разработка модели и численное изучение характерных черт неупругого деформирования материалов на мезоуровне с учетом дополнительной степени свободы - независимых поворотов.

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

1. Развитие модели среды Коссера, позволяющей неявно учесть эволюцию микронеоднородностей на мезоуровне, на случай пластической деформации.

2. Создание конечно-разностных аналогов уравнений модели среды с внутренним вращением и разработка компьютерной программы для решения двумерных задач упруго-пластического течения.

3. Численное исследование влияния независимых поворотов и моментных напряжений на особенности напряженно-деформированного состояния на мезоуровне.

Метод исследования - численный эксперимент: моделирование деформационного отклика нагружаемого образца на основе модели с независимыми поворотами.

Научная новизна.

1. Разработан подход к описанию упругопластической деформации на мезоуровне с неявным учетом эволюции структуры нижележащих масштабов через дополнительную степень свободы.

2. Впервые в численных расчетах конечно-разностным методом реализована математическая модель упругопластической среды с внутренним вращением в динамической постановке. Для этого предложены изменения и дополнения, развивающие известную разностную схему типа "крест" для традиционных моделей упругопластической среды.

3. Получены результаты, показывающие вклад моментных напряжений в упрочнение материала и влияние независимых поворотов на развитие полос локализованной пластической деформации.

Научная и практическая значимость проведённого исследования определяется развитыми в работе подходами, созданными программными средствами, методами постановки и проведения расчётов и полученными результатами. Предложенный подход к изучению влияния структуры материала на развитие пластического течения на мезоуровне, а также разработанные компьютерные программы и методы постановки численных экспериментов были успешно применены и могут быть полезны в дальнейших исследованиях в области физики и механики деформируемого твёрдого тела для углублённого понимания процессов, происходящих в реальных структурно-неоднородных материалах в условиях механического нагружения.

Настоящая работа выполнена в рамках основного научного направления ИФПМ СО РАН «Физическая мезомеханика материалов» в соответствии с тематическими планами НИР лаборатории механики структурно-неоднородных сред ИФПМ СО РАН на 2001-2003 гг., комплексным проектом НИР ИФПМ СО РАН 8.1.1 на 2004-2006 гг., проекта программы фундаментальных исследований СО РАН на 2007-2009 гг. 3.6.1.1. Часть результатов диссертационной работы была получена при выполнении интеграционного проекта СО РАН 1999-2002 гг. № 90, Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН 2003-2006 гг. № 93 и государственных контрактов № 401-14(00)-П и №41.002.1.1.2424 в 2000-2001 и 2002-2004 гг.

Результаты данной диссертационной работы в настоящее время используются при выполнении проекта 111.20.1.1. «Физическая мезомеханика и неравновесная термодинамика как методологическая основа наноматериаловедения» программы фундаментальных исследований СО РАН на 2010-2012 гг. Они также могут быть использованы другими научными и образовательными организациями Российской академии наук, Министерства образования и науки РФ, другими научно-техническими организациями и учреждениями.

Полученные в ходе выполнения диссертационной работы результаты используются в курсе «Динамические задачи упругости и пластичности» раздел «Физическая механика структурно-неоднородных сред» на физико-техническом факультете Томского госуниверситета. Они также могут использоваться в курсах по механике и физике деформируемого твёрдого тела при подготовке студентов по соответствующим специальностям других факультетов и вузов.

На защиту выносятся:

1. Метод моделирования процесса пластической деформации на мезоуровне в рамках моделей с независимыми поворотами, включая критерий пластического течения для модели с независимыми поворотами.

2. Модификация разностной схемы типа "крест" для среды с внутренним вращением. Разработка конечно-разностных аналогов новых геометрических соотношений, уравнения закона сохранения момента количества движения и определяющих соотношений, учитывающих дополнительную степень свободы - независимые повороты. Решение проблемы устойчивости и сходимости численного решения системы уравнений механики деформируемого твердого тела с дополнительной степенью свободы.

3. Результаты численных расчетов с применением модели с независимыми поворотами, выявившие вклад изгибов-кручений и моментных напряжений в напряженно-деформированное состояние в мезообъеме и в упрочнение на макроскопической о-в-диаграмме.

4. Результаты анализа влияния внутренних поворотов и моментных напряжений на развитие пластического течения образца. Анализ характера локализации пластической деформации вблизи концентраторов напряжений в среде с независимыми поворотами.

Обоснованность и достоверность результатов расчетов и выводов, сформулированных в диссертации, обеспечивается математической корректностью постановки задачи, использованием проверенных численных методов, проведением тестовых расчетов, сопоставлением с опубликованными результатами других авторов, а также качественным совпадением расчетов с экспериментальными данными.

Апробация результатов работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: V Российско-Китайском симпозиуме по перспективным материалам и технологиям "Advanced Materials and Processes" (Байкальск, 1999 г.), международных конференциях "Компьютерное конструирование перспективных материалов и технологий - CADAMT" (Томск, 2001, 2003, 2004 и 2009 г.), международных симпозиумах по вычислительной механике материалов "International Workshop on Computational Mechanics of Materials - IWCMM" (Фрайберг, 2001г., Фрайбург, 2006 г.), IV Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики" (Томск, 2004 г.), Международной школе-семинаре "Многоуровневые подходы в физической ме-зомеханике. Фундаментальные основы и инженерные приложения" (Томск, 2008 г.), XIX Международной научной школе им. академика С.А. Христиано-вича "Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках" (Алушта, 2009г.), семинарах ИФПМ СО РАН, объединённых семинарах институтов СО РАН по соответствующим интеграционным проектам СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16-ти работах, включая 2 публикации в журналах из перечня ВАК.

Личный вклад автора состоит в разработке и численной реализации ап-роксимационной схемы для модели с независимыми поворотами, непосредственном проведении численных расчетов, обработке полученных результатов, формулировке основных результатов и выводов диссертации. Формулировка задач и обсуждение результатов проводились совместно с научным руководителем. Модификация разностной схемы проводилась совместно со Смолиным И.Ю. Автором был разработан программный комплекс для расчета и анализа полученных результатов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 108 страниц, включая 32 рисунка и 1 таблицу. Список литературы содержит 92 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цели работы, перечислены новые результаты, представлены положения, выносимые на защиту, и описана структура диссертации.

Первый раздел диссертационной работы носит обзорный характер. В нем представлены история развития и обзор моделей для описания процессов деформирования сред с дополнительной степенью свободы, применяемых для описания деформационных процессов нагружаемых материалов.

Во втором дана математическая постановка задачи для модели с независимыми поворотами.

Движение каждой точки (элементарного объёма) среды Коссера опи-сывается двумя независимыми векторами: смещения и поворота с компонентами и, и йл , соответственно. Компоненты соответствующих им несимметричных тензоров обобщенной деформации у у и изгиба-кручения (кривизны) кц определяются как:

У и =му,;-8!/А' 0)

ку = соЛ,. (2)

Уравнение (1) можно переписать в виде

Уу =("/,< _ЕУл)=|(мЛ> ~ииУеМ(°к = еу -К -^Кь

где Пк =-0,5и, или О = 0,5 гои7 - описывает поворот в поле смещений.

В рассмотрение вводятся несимметричные тензоры силовых а,} и момент-ных напряжений. Они должны удовлетворять уравнениям баланса количества движения (импульса) и момента количества движения:

= Рй/ > (3)

Цду=4'®;- (4)

Здесь точка над символом означает материальную производную по времени, р -плотность, Jíj - компоненты тензора плотности момента инерции. Если присутствуют распределенные массовые силы и моменты М„ то соответствующие слагаемые должны быть добавлены в уравнения (3) и (4).

В области упругости определяющие уравнения для изотропной гипоупру-гой среды имеют вид:

= \yb5f, + (ц + аЦ + (ц - а)уем, (5)

= Р + (У + Фу + (У - Фл. (6)

где X и ц - константы Ляме, а а, р, у, е - новые параметры в обозначениях, веденных В. Новацким, имеющие смысл мгновенных модулей в линейных соотношениях между деформациями и силовыми напряжениями и изгибами-кручениями и

й

моментными напряжениями, — означает коротационную производную.

Классическая теория течения простой среды может быть расширена на случай среды Коссера двумя способами. Можно построить теорию, используя одно условие пластичности, в которое входят и силовые и моментные напряжения, либо использовать для силовых и моментных напряжений два отдельных условия.

В обоих случаях используется аддитивное разложение скоростей деформаций и изгибов-кручений на упругую и пластическую составляющие:

Ь = П+П> (7)

ку= Ч+Ч ■ <*)

Далее, в первом случае формулы для функции текучести/и обобщенной интенсивности напряжений ,/2 (обобщение для выражения второго инварианта тензора напряжений на случай несимметричного тензора и наличия моментных напряжений) приобретают вид:

/(а У-, ну■, у" )= af Jx (а,)+ /2(ау f(f), (9)

fi\sijsy +a2sijsji+blnlj\xlj+b2\iij\iji, Jx{fTy)='~aii, (10) где су — коэффициент внутреннего трения, sLJ - компоненты девиатора тензора силовых напряжений ,$у = сту -J|(cy), ах, а2, l\, Ь2 - новые дополнительные параметры, a Y— предел текучести при одноосном растяжении, который в общем случае является функцией некоторой меры накопленной пластической деформации — параметра упрочнения "f. Классическое условие Друккера - Прагера получается при отсутствии моментных напряжений = 0 или b[= Ь2 = 0), симметричном тензоре напряжений sу = sJf и таких значениях параметров а, и а2, что (а, + а2) = 1,5.

Если применяется подход с раздельными условиями пластичности, то соответствующие формулы для функций текучести и интенсивностей напряжений запишутся в следующем виде:

/а(ау,Гр)=а jJx )+ J2 {а у )- (у"), (11)

Atw'b-'ztaHW'

J2 (?(/) = S'JS'J +a2Sf^ji' (13)

•/2(иу)= vVy^y +Ь2^р ■ 04)

В данном случае отдельно для силовых напряжений и для моментных напряжений вводятся свои значения пределов текучести У„ и , соответственно.

Пластические составляющие деформаций и изгибов-кручений определятся из выражений ассоциированного закона течения:

= (15)

дау

Фу

Далее рассматривается частный случай модели - плоское деформирование материала.

Третий раздел посвящен численной реализации модели с независимыми поворотами. Описана аппроксимационная конечно-разностная схема второго порядка точности типа "крест". Записаны конечно-разностные аналоги уравнений модели.

Уделено внимание вопросу устойчивости и сходимости решения. Для обеспечения устойчивости учитываются волны изгибов-кручений, которые отсутствуют в классической модели.

Как показано В. Новацким, в упругой изотропной среде Коссера может существовать четыре типа упругих волн. В зависимости от условий задачи, не обязательно все они будут реализовываться одновременно. Только одна из этих волн не является диспергирующей — продольная волна, которая существует и в классическом случае.

Рассчитанные графики зависимости фазовых скоростей всех упругих волн от частоты представлены на рис.1. Скорость продольной волны не зависит от частоты. Ее график -прямая линия, параллельная оси абсцисс. Остальные скорости зависят от частоты. Обращает на себя внимание особенность двух волн, скорости которых стремятся к бесконечности при приближении частоты к предельной величине со.. Анализ дисперсионных

2, 4 - сдвиговые волны, 3 - волна изгибов-кручений кривых для разных наборов

свойств материала позволил сделать два важных вывода, которые надо учитывать при численном решении динамических задач.

1.При определенном сочетании значений упругих констант и плотности момента инерции скорость волны кручений и одной из сдвиговых волн может превысить скорость продольной волны даже при очень больших частотах со -»со.

2. Обе эти волны имеют неограниченно большие скорости распространения при частотах, стремящихся справа к со,. Эта ситуация накладывает жесткие ограничения на выбор шага по времени.

Так как при распространении произвольного импульса присутствуют гармоники разных частот, то при численном решении динамических задач в среде Коссера возможен неустойчивый счёт при сколь-угодно малых конечных шагах по времени (когда скорость волн стремится к оо). Для соблюдения условия устойчивости следует использовать максимальную скорость из набора {с1у с3, с4}, причем для последних двух использовать еще и дополнительный множитель = 1,5, чтобы сузить область частот, в которых может наблюдаться неустойчивость.

Модель требует ясного введения в рассмотрение характерного размера г. Он не может быть больше размера шага по пространству Лх (Дх » пг). То есть, по ана-

Рис.1. Зависимости скоростей упругих волн в среде Коссера . 1 - продольная волна,

логии с представительным мезообъемом, каждая ячейка является в определенном смысле представительным объемом, который содержит достаточное для усреднения количество носителей дополнительной степени свободы. Этот размер является границей масштабного уровня: ниже ее структурные элементы необходимо вводить в рассмотрение явно, выше - структура материала учитывается неявно.

Была проведена серия тесто-

350

300-

250

200-

150-

о. О

100

0 500 1000 1500 2000 Количество ячеек

2500

вых расчетов на сходимость решения (независимость решения от пространственного интервала), в которой за характерный размер был принят средний размер дислокационной ячейки 2 мкм, а размер области был 1см х 1см. Расчетная сетка разбивалась на 200x200, 400x400, 800x800, 1600x1600, 2400x2400 ячеек. Полученная кривая демонстрирует сходимость решения при сгущении расчетной сетки (рис. 2).

Рис.2. Сходимость решения для модели с независимыми поворотами.

В четвертом разделе приведены результаты расчетов с использованием модели с независимыми поворотами.

Проведено сравнение численного результата с аналитическим решением для модели с независимыми поворотами. Первый из тестовых расчётов был проведен для сравнения с аналитическим решением задачи о скольжении упругопластиче-ского слоя, где к поверхности приложен распределенный момент. Второй расчет иллюстрирует особенности распределения интенсивностей силовых и моментных напряжений в области концентраторов напряжений (в области кругового отверстия при растяжении образца). Получено хорошее согласие численного и аналитических решений. Средняя ошибка не превосходит 2%.

Для оценки макроскопического вклада дополнительной степени свободы в деформационный процесс был решен ряд тестовых задач по расчету с-е-диаграмм. Скорость изменения плотности энергии деформации в каждой точке континуума в рамках нашей модели определяется выражением

р Ё = ОуЧу + \lyYLy = р(£) +Ё2). Проинтегрировав её по всему объёму рассматриваемого тела, мы получим полную скорость энергии деформации. В то же время через экспериментально измеряемые величины она определится как

рЁ = ае//е.

Приравнивая значения скоростей изменения энергии и определив из численных расчётов скорость деформации по скорости перемещений граней образца

¿= V ..<-¿0 «о '

можно рассчитать эффективные напряжения и построить соответствующие о-е-диаграммы. Получается, что часть усреднённых макроскопических напряжений

вызвана развитием моментных напряжений на мезоуровне. Кривые, приведенные на рис. 3, иллюстрируют этот вывод.

га с 5 '

6,%

6,%

согласно функции /(ер1) = 1- ехр

а) б)

Рис. 3. Усреднённые о-Б-диаграммы растяжения образцов, рассчитанные в рамках модели с независимыми поворотами: верхняя кривая - вклад моментных и силовых напряжений, нижняя кривая соответствует вкладу только силовых напряжений, а - для однородного образца, б - для мезообъёма поликристалла.

В проведенных расчётах параметры материала соответствовали алюминиевому сплаву 6061-Т6: р = 2,7 г/см3, (Л = 27,7 ГПа, К=72,8 ГПа, У = 300 МПа. Для новых модулей и предела текучести для моментных напряжений были приняты следующие выражения: а = 2,77/(ер') ГПа, у + е = 0,01/(ер/) ГПахм2, С' = = 0,001/(е^) см, то есть они плавно увеличивались с ростом накопленной пластической деформации

, где гЦ1 - критическое значение

интенсивности накопленной пластической деформации, при котором функция выходит на насыщение. Еще в диссертации И.Ю. Смолина [1] было показано, что мо-ментные модули не являются параметрами материала, а, фактически, функциями процесса, вклад моментных напряжений тем больше, чем больше степень деформа-ици.

Для сравнения методов расчета кривых был проведен ряд численных экспериментов, в которых кривые течения рассчитывались через приложенные к границе напряжения и через обобщенную работу. В каждом случае моментные напряжения вводились в модель не с начального момента процесса деформирования, а на пластической стадии. Это было сделано из следующих физических соображений. Из экспериментов известно, что повороты наблюдаются на развитой стадии пластического течения, то есть на упругой стадии и при малых деформациях материал ведет себя как однородный образец и повороты в среде отсутствуют. После того как материал достигает предела текучести, структура начинает проявлять себя, и в нем начинают зарождаться моментные напряжения.

Были проведены численные эксперименты и для случая, когда моментность в среде присутствует с начального момента времени, то есть на упругой стадии. Сравнение полученных кривых с классической постановкой показало, что на упругой стадии кривые практически совпадают, что подтверждает физические предпосылки. Математически это связано с тем, что на упругой стадии в среде в отсутствие силь-

ных сдвиговых напряжений, областей сдвига и полос локализованной пластической деформации несимметрия тензора силовых напряжений оказывается настолько незначительной, что величина моментных напряжений практически равна нулю.

Для выяснения влияния поворотов на процесс локализации деформации было выполнено численное моделирование одноосного растяжения однородного образца из алюминиевого сплава. Целесообразность использования однородного материала оправдана тем, что расчет носит тестовый характер и направлен на выяснение особенностей модели. Как с практической, так и с теоретической точки зрения, интересным явлением при пластическом деформировании является образование полос локализованной деформации. Их появление в расчетах обусловлено свойствами определяющих соотношений, а также существованием в среде концентраторов напряжений. На рисунках 4 и 5 представлен расчет, демонстрирующий влияние упрочнения на развитие локализованной деформации в области концентратора напряжений. Простейшей моделью, допускающей образование полос сдвига, является идеальная пластичность (рис. 4.а, 5.а). В качестве концентратора напряжений выступали захваты на границе.

Расчеты показывают, что для среды с независимыми поворотами характерно снижение значений силовых напряжений и накопленных сдвигов в областях концентраторов напряжений (рис. 5.в). Действие концентраторов напряжений "смягчается" (рис. 6). Таким образом, развитие независимых поворотов приводит к такому же эффекту, как и деформационное упрочнение в классическом случае (рис. 5.6).

а) б)

Рис. 4. Деформация расчетной сетки при условии идеальной пластичности (а) и с заданным упрочнением (б).

а) б) в)

Рис.5. Распределение пластической деформации в образце при условии идеальной пластичности (а), с заданным упрочнением (б) и для модели с независимыми поворотами без упрочнения (в).

е-

а

Ширина сечения

Рис.6. Сечение полосы локализованной пластической деформации для модели с идеальной пластичностью, упрочнением и независимыми поворотами.

Аналогичный вывод был сделан ранее на основе анализа а-е-диаграмм для упругопластической среды Коссера.

Рассмотрено поведение материала вблизи мощного концентратора напряжений- "жесткого захвата". Рис. 7.а демонстрирует поведение классической идеально пластичной среды. Наблюдается сильная локализация сдвиговой деформации в полосе. Вместе с тем, в образце можно выделить слабо деформированные области, которые находятся еще на упругой стадии деформационного процесса. То есть деформация объема носит ярко выраженный неоднородный характер.

На рис. 7.6 представлен расчет, выполненный по модели с независимыми поворотами. Полоса локализации в этом случае не формируется, накопление пластической деформации происходит в малой области вблизи концентратора. В остальной части образца пластические деформации распределены почти однородно.

Приведенный расчет демонстрирует важное свойство модели среды с независимыми поворотами - наличие дополнительных степеней свободы позволяет перераспределять энергию внутри образца. Диссипация энергии при пластическом деформировании возможна не только за счет пластических сдвигов, но и за счетнеза-висимых поворотов. Выбором значений параметров модели мы можем регулировать

§1Г

в®? вш

Рис.7. Формирование полосы локализации пластической деформации вблизи концентратора напряжений для классической модели и для модели с независимыми поворотами.

0.65 -0.600,55 -0,50 -0,45 -0,40 -0.35 -0.30 -0.250.20 -0,150,10 -0,05 -0.00

•Модель с независимыми поворотами ^-Классическая модель с упрочнением ♦Классическая модель с идеальной пластичностью

способность материала к внутреннему вращению. Другими словами, можно подобрать такие физико-механические параметры материала и условия нагружения, что элементарным частицам среды будет энергетически выгоднее вращаться.

Таким образом, картина развития полос локализованной деформации для среды с независимыми поворотами качественно очень похожа на результат, полученный для традиционной среды, когда задано некоторое упрочнение. Для выявления принципиальных отличий рассмотрим результаты моделирования поведения неоднородного образца, в котором присутствует включение (рис.8.а). Физико-механические свойства всего образца выбраны одинаковыми, но включение обладает моментными свойствами, то есть в нем присутствуют независимые повороты, а "матрица" описана классической моделью, для которой независимые повороты отсутствуют (рис. 8.в). Для сравнения приведем результаты моделирования, когда во включении задано упрочнение без независимых поворотов (рис. 8.6).

Таким образом, разница между моделью пластичности с упрочнением и моделью с независимым вращением заключается в принципиальной разнице механизмов. В первом случае, диссипация энергии происходит только за счет сдвигов. Отличие от идеальной пластичности заключается в растущем пределе текучести. Это приводит к тому, что в объеме материала перераспределяются области релаксации напряжения, в которых происходит формирование полос пластической деформации. Упрочненное включение сопротивляется сдвигу.

Во втором случае происходит перераспределение энергии между сдвигами и независимыми поворотами, что приводит к изменению качественной картины деформации и к существенному изменению величины пластической деформации в полосах. Включение "пропускает" полосу через себя, но при этом в нем развиваются независимые повороты. Результаты хорошо совпадают при моделировании однородного материала, но при моделировании неоднородного материала, как показано на примере простого включения, возникают принципиальные различия (рис 8.в).

Физический смысл уравнения закона сохранения моментов количества движения достаточно прост - асимметрия тензора силовых напряжений уравновешивается возникновением моментных напряжений, и, наоборот, возникновение момент-ных напряжений приводит к асимметрии тензора силовых напряжений.

а) " " " " б) " " " " ' " " " " " в) "

Рис.8. Модель образца с включением (а) и распределение пластических деформаций

в образце для случаев включения с упрочнением (б) и включения с дополнительной степенью свободы (независимыми поворотами) (в).

То есть из уравнений модели не следует, что независимые повороты в такой среде должны обязательно уравновешивать друг друга. Их зарождение и развитие следует ожидать в местах развития сдвиговых напряжений при условии, что мы задаем асимметрию диагональных компонент тензора силовых напряжений. Этот вывод можно сделать и на основании кривых течения: в упругой области величина вклада моментных напряжений практически равна нулю и значительно возрастает на пластической стадии, когда формируются полосы пластической деформации.

Ожидание поворотов зерен и других фрагментов мезоструктуры оправдано, с физической точки зрения. Но так как модель с независимыми поворотами является моделью неявного учета структуры материала, то эта задача относится к моделированию с явным заданием структуры, когда вводится карта образца, задаются физико-механические свойства элементов структуры, определяются взаимодействия на границах раздела. В такой постановке вращение будет связано не с дополнительной степенью свободы, а с обычным ротором rot и, который возникает как следствие силовых воздействий на границах элементов структуры.

Выходом из ситуации является совмещение подходов - явного учета структуры на верхнем масштабном уровне и неявного учета структуры с нижележащих уровней через введение дополнительной степени свободы. По сути это является математической и численной реализацией многоуровневого подхода к описанию упругопластической деформации на мезоуровне. Если ввести в модель представительный мезообъем, можно одновременно рассматривать три уровня:

• макро - поведение представительного мезообъема и анализ деформационного отклика с помощью интегральных кривых;

• мезо - явное введение структуры материала и анализ локального напряженно-деформированного состояния, в том числе развития деформации на мезоконцентраторах напряжения;

• микро — неявный учет микроструктуры через дополнительную степень свободы. В качестве мезообъема поликристаллического материала были выбраны прямоугольные области, содержащие несколько подобластей различной формы и цвета, изображающих отдельные кристаллиты с разной ориентацией (рис. 9.а). Неоднородность вводилась явно: разным зёрнам приписывались разные физико-механические свойства, в зависимости от ориентации. Способность каждого зерна к независимому повороту (что имитирует недостаток активных систем скольжения)

1.1 мм

а б в

Рис.9. Карта мезообъема поликристаллического алюминиевого образца (а) и распределение в нем положительных (б) и отрицательных (в) поворотов при растяжении.

учтена через новые модули: коэффициент «, который определяет отклонение тензора силовых напряжений от симметрии, и характерный размер г, который определяет величину моментных напряжений.

Были проведены расчёты упругопластической деформации мезообъема поликристаллического алюминия при квазистатическом нагружении. Образец подвергался одноосному растяжению в вертикальном направлении - нагрузка прикладывалась к верхней и нижней границам. Боковые границы считались свободными от действия внешних сил.

Анализ распределения полных поворотов показывает, что максимальные градиенты поворотов сосредоточены в полосах локализованной пластической деформации (рис. 9.6, в). Этот факт согласуется с экспериментальными [2]. Причем эти полосы являются границами раздела областей, которые претерпевают либо повороты одного знака, либо разных знаков. В случае, когда эти полосы разделяют структурные элементы, вращающиеся в одном направлении, их можно рассматривать как линии проскальзывания одного структурного элемента относительно другого. Очевидно, что в этом случае вдоль границы разделов будут наблюдаться большие градиенты поворотов. Когда элементы вращаются в разных направлениях, на их границе происходит растяжение материала, и можно предположить, что в дальнейшем здесь зарождаются трещины отрыва. Распределение независимых поворотов в среде и соответствующая этому распределению структуризация среды посредством определения направления вращения каждого элемента, однозначно определяет соответствующую локализацию пластической деформации.

Аналогичный расчет был проведен для условий стесненного деформирования, когда на боковых границах смещения вдоль горизонтальной оси были приравнены нулю. При таких граничных условия в однородном образце отсутствуют концентраторы напряжений, и картина деформирования существенно однородная.

Если в такие условия поместить неоднородный образец, например, поликристалл, то в качестве концентраторов напряжений выступают границы раздела, стыки зерен. Картина деформирования становится существенно неоднородной (рис. 10).

Рис.10. Изолинии положительных (а) и отрицательных (б) поворотов в поликристалле.

Локализация пластической деформации в образце происходит на внутренних концентраторах напряжений: стыках зерен, межзеренных границах. Распределения независимых поворотов показывают, что поворотам подвержены не отдельные зерна, а их фрагменты. Повороты в основном концентрируются в областях градиентов пластической деформации.

Основные результаты и выводы:

1. Развита модель, учитывающая, наряду с трансляционной степенью свободы и силовыми напряжениями, независимые повороты и моментные напряжения. Данная модель описывает развитие упругопластической деформации на мезо-уровне и позволяет неявно учитывать вклад структурных элементов с нижележащих масштабных уровней в напряженно-деформированное состояние.

2. Выполнена модификация разностной схемы. Явная разностная схема второго порядка точности Уилкинса распространена на уравнение, выражающее закон сохранения моментов количества движения.

3. Изучена устойчивость решения разностных уравнений. Показано, что устойчивость решения обеспечивается учетом существования в среде новых упругих волн, связанных с вращательной степенью свободы. Сходимость полученного решения для модели с независимыми поворотами обеспечивается правильным выбором параметров, в первую очередь, выбором характерного размера.

4. В модель явно введен характерных размер г, который задает масштабный уровень носителей дополнительной степени свободы. Детализация расчетной сетки зависит от характерного размера: шаг расчетной сетки не может быть меньше характерного размера среды (Л* « пг).

5. На основе анализа полученных кривых течения сделан вывод о величине вклада моментных напряжений в деформационный отклик материала. Интегральное действие моментных напряжений оказалось аналогично деформационному упрочнению. Распределение энергии в среде между силовыми и моментными напряжениями приводит к росту вклада моментных напряжений и, соответственно, снижению вклада (и величины) силовых напряжений с ростом степени деформации. Стадийность кривых течения можно связать с развитием в среде независимых поворотов и ростом моментных напряжений.

6. Показано, что наличие дополнительных степеней свободы приводит к перераспределению энергию внутри образца. Диссипация энергии при пластическом деформировании в рамках изучаемой модели происходит как за счет пластических сдвигов, так и за счет независимых поворотов. При определенных параметрах и граничных условиях среде предпочтительнее совершить поворот, чем сдвиг.

7. На основе двумерных расчетов упругопластической деформации для однородных образцов и мезообъемов поликристаллических материалов сделан вывод о характере влияния независимых поворотов на развитие локализованных полос пластической деформации. Величина пластической деформации в полосах снижается, то есть учет поворотов приводит к тому же эффекту, что и деформационное упрочнение.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

В журналах, рекомендованных ВАК:

1. Смолин И.Ю., Макаров П.В., Бакеев Р.А. Обобщенная модель упруго-пластической среды с независимыми пластическими поворотами // Физ. ме-зомех. - 2004. - Т. 7. - Спец. выпуск Ч. 1. - С. 89-92.

2. Стефанов Ю.П., Бакеев Р.А., Смолин И.Ю. О закономерностях локализации деформации в горизонтальных слоях среды при разрывном сдвиговом смещении основания // Физ. мезомех. -2009.-Т. 12.-№ 1.-С. 83-88.

В других научных изданиях:

3. Smolin I.Yu., Bakeyev R.A. Description of Elastoplastic Deformation at the Mesolevel in Framework of Polar Continua // Book of Abstracts of the VI International Conference "Computer-Aided Design of Advanced Materials and Technologies", 29-31 March 2001, Tomsk, Russia. - P.141-142.

4. Smolin I.Yu., Bakeyev R.A. Simulation of strain localization at the mesoscale in the frames of polar continua // 11-th International Workshop Computational Mechanics and Computer Aided Design of Materials, September 24-25, 2001, Freiberg, Germany.

5. Бакеев P.А. Описание упругопластической деформации на мезоуровне с позиции моментной теории // Тезисы докладов IV Всероссийской конференции молодых ученых "Физическая мезомеханика материалов". - Томск: ИФПМ СО РАН, 2001.-С. 82-83.

6. Бакеев Р.А., Макаров П.В., Смолин И.Ю. Моделирование упругопластической деформации на мезоуровне с позиции моментной теории // Моделирование процессов в синергетических системах. Труды международной конференции "Байкальские чтения - II по моделированию процессов в синергетических системах", г. Улан-Удэ, 18-23 июля 2002 г. Улан-Удэ-Томск: Изд-во ТГУ, 2002. - С. 95-97.

7. Бакеев Р.А. Моделирование упругопластической деформации на мезоуровне с учетом независимых поворотов. // Материалы докладов региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, 2002, Томск, Россия.-С. 106-107.

8. Бакеев Р.А., Макаров П.В., Смолин И.Ю., Моделирование упругопластической деформации на мезоуровне с учетом независимых поворотов. // Тезисы докладов XIII Зимней школы по механике сплошных сред. 2003, Пермь, Россия,- С.ЗО.

9. Bakeyev R.A., Makarov P.V., and Smolin I.Yu. A micropolar model of mechanical behavior at the mesolevel of submicrocrystalline and nanocrystalline materials. // Book of Abstracts of the VII International conference "Computational Mechanics and Computer Aided Design of Materials", 18-23 August 2003, Tomsk, Russia. - P. 210-211.

Ю.Смолин И.Ю., Бакеев P.A., Макаров П.В. О применении микрополярной модели для описания деформации материалов с субмикрокристаллической и наноструктурой // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики. Доклады четвертой всероссийской конференции 5-7 октября 2004, Томск. - Томск: Изд-во ТГУ, 2004. - С. 241-242.

П.Бакеев Р.А., Макаров П.В., Смолин И.Ю. Численное решение двумерных упругопластических задач для микрополярной среды // Физика и химия на-номатериалов: Сборник материалов Международной школы-конференции молодых ученых (13-16 декабря 2005 г., Томск). - Томск: Томский государственный университет, 2005. - С. 147-152.

12.Smolin I.Yu. Schmauder S., Makarov P.V., Bakeyev R.A. A Micropolar Framework for Modeling Mechanical Behavior at the Mesoscale with Taking into Account Microstructure Evolution // Proc. of the 3rd Int. Conf. on Multiscale Materials Modeling (MMM-2006), September 18-22, 2006, Freiburg, Germany, Ed. Peter Gumbsch. - P. 112-115.

13.Bakeyev R.A., Makarov P.V. and Smolin I.Yu., Effect of an additional degree of freedom on elastic-plastic deformation at the mesolevel // Тезисы докладов международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов, 19-22 сентября 2006, Томск, Россия. - С. 117-118.

14.Смолин И.Ю., Бакеев Р.А., Макаров П.В. Численное решение некоторых двумерных задач для упругопластической микрополярной среды // Вестник ПГТУ. Математ. моделир. систем и процессов. - 2007. - № 15. - С. 142-155.

15.Бакеев Р.А., Смолин И.Ю., Макаров П.В., Влияние дополнительной степени свободы на развитие пластической деформации на мезоуровне // Тезисы докладов Международной школы-семинара «Многоуровневые подходы в физической мезомеханике. Фундаментальные основы и инженерные приложения», 9-12 сентября 2008 г., Томск, Россия. - Томск: ИФПМ СО РАН, 2008.-С. 44.

16.Бакеев Р.А., Смолин И.Ю., Макаров П.В., Неупругое деформирование среды с независимыми поворотами // Тезисы докладов Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов, 7-11 сентября 2009, Томск, Россия. - Томск: ИФМП СО РАН, 2009. - С. 51.

Список использованных источников:

1. Смолин И.Ю. Моделирование деформации и разрушения материалов с явным и неявным учетом их структуры.: дис. докт. физ.-мат. наук : - Томск, 2008.-310 с.

2. Коротаев А.Д., Тюменцев А.Н., Пинжин Ю.П. Активация и характерные типы дефектных субструктур мезоуровня пластического течения высокопрочных материалов// Физическая мезомеханика- 1998, Т. 1. —№ 1.-С. 23-35.

Тираж 100 экз. Отпечатано в ИФМП СО РАН 634021 г. Томск, пр. Академический 2/4

ВВЕДЕНИЕ

1. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ В МЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА МОДЕЛИ СРЕДЫ С

НЕЗАВИСИМЫМИ ПОВОРОТАМИ.

Введение.

2.1. Полная система уравнений механики сплошных сред с учетом моментных напряжений, независимых поворотов и изгибов-кручений. Упругость

2.2. Определяющие уравнения для упругопластического течения

2.3. Граничные и начальные условия для модели с независимыми поворотами.

2.4. Система уравнений для плоского двумерного упруго-пластического деформирования среды

3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИ

СРЕДЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПОВОРОТАМИ.

Введение.

3.1. Аппроксимационная схема системы уравнений с независимыми поворотами.

3.2. Распараллеливание счетного алгоритма.

3.3. Обеспечение устойчивости решения.

3.4. Сходимость решения.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПОВОРОТАМИ.

Введение.,.

4.1. Тестирование компьютерной программы. Сравнение с аналитическим решением.

4.2. Расчет кривых течения для среды с независимыми поворотами

4.3. Расчеты для однородного образца. Особенности локализации пластической деформации.

4.4. Расчеты для образца с включением.

4.5. Расчеты для мезообъема поликристалла

Актуальность работы. Одной из главных тенденций развития современной механики является учет различными способами* структуры материала при моделировании механического поведения конструкций и создании новых материалов. В рамках иерархического подхода физической мезомеханики к моделированию материалов со структурой экспериментально было показано, что на мезоуровне реализуется деформационная схема «сдвиг+поворот», обусловленная недостатком активных систем скольжения. Предложенная в работе модель является* одним из вариантов описания этого эффекта.

Важную роль в понимании связи между структурной', организацией^ твердых тел и изменением их механических свойств сыграла концепция структурных уровней деформации и разрушения твердых тел, развитая во второй половине XX столетия- в научной школе академика В.Е.Панина, а также возникшее на ее основе новое научное направление - физическая мезомеханика материалов [1, 2, 3, 5, 4]. Основываясь на идеях об элементарных носителях пластической деформации и структурных уровнях деформации, в рассмотрение вводится континуум, состоящий из конечных объемов, которым приписаны и повороты, и смещения. Размеры этих элементов определяют пространственный масштаб выделенного структурного уровня. Структурные элементы рассматриваются как элементарные носители пластической деформации. Поворачиваясь и смещаясь как целое, элементы структуры сами претерпевают деформации, в том числе и аккомодационные, необходимые для сохранения средой сплошности. Деформация структурных элементов каждого масштабного уровня обеспечивается элементарными носителями более мелких масштабов, причем "трансляция на одном уровне обязательно сопровождается поворотом на более высоком и наоборот" [1]. Очевидно, что для каждого материала может быть установлена соответствующая иерархия структурных уровней и характерные размеры структурных элементов, например: дислокации, дисклинации, ячейки, блоки, зерна.

Таким образом, деформируемый материал под нагрузкой« должен-быть рассмотрен как сложная иерархически организованная система элементов разных масштабов. Эта система эволюционирует в ходе нагружения и адаптируется к приложенным воздействиям, а элементы ее внутреннего строения - микроструктура- - способны к самоорганизации. Традиционно анализ упругопластического деформирования нагружаемых материалов проводится с позиций континуальной механики. Такой, подход позволяет моделировать деформацию и разрушение материалов? в рамках макроскопического описания, используя- в расчетах усредненные физико-механические параметры (предел текучести, предел прочности и т.д.). Эти-параметры имеют сугубо макроскопический смысл. С другой стороны, накоплен очень большой экспериментальный материал по изучению эволюции внутренней микроструктуры, нагруженных материалов, особенно металлов.

Мезоуровень как промежуточное связующее звено имеет свои специфические особенности. С одной- стороны, здесь допустимо описание поведения- материала как сплошной среды, а с другой, остаются существенными проявления дискретности микросдвигов. Эта дискретность проявляется* прежде всего в ограниченности формоизменения на мезоуровне (например, работает одна базовая система скольжения в» монокристалле). Как следствие, существенными могут оказаться некомпенсированные внутренние моменты, которые необходимо каким-либо образом ввести в рассмотрение. В результате, на мезоуровне реализуется специфическая схема деформирования "сдвиг+поворот" [6, 7, 8, 9].

Таким образом развитие континуальных моделей, учитывающих эволюцию микроструктуры для описания особенностей развития упругопластической деформации на мезоуровне, и численная реализация этих моделей является» актуальной задачей в условиях современного интереса', к описанию поведения структуры материалов под нагрузкой.

Цель диссертационной работы: разработка модели и численное изучение характерных черт неупругого деформирования материалов на мезоуровне с учетом дополнительной степени свободы - независимых поворотов.

Метод исследования - численный эксперимент: моделирование деформационного отклика нагружаемого образца на основе модели с независимыми поворотами.

Объект исследования - деформируемый1 мезообъем нагружаемого материала.

Достижение поставленной цели потребовало решения1 следующих задач:

1. Развитие модели среды Коссера, позволяющей неявно учесть эволюцию микронеоднородностей на мезоуровне, на случай пластической деформации.

2. Создание конечно-разностных аналогов уравнений модели среды с внутренним вращением и разработка компьютерной программы для решения двумерных задач упруго-пластического течения.

3. Численное исследование влияния независимых поворотов и моментных

I напряжений на особенности напряженно-деформированного* состояния I на мезоуровне. з

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:

5 1. Разработан подход к описанию упругопластической деформации на мезоуровне с неявным учетом эволюции структуры нижележащих масштабов через дополнительную степень свободы.

2. Впервые в численных расчетах конечно-разностным методом реализована математическая модель упругопластической среды с внутренним вращением в динамической постановке, для этого предложены изменения и дополнения, развивающие известную разностную схему типа "крест" [15, 16] для классической упругопластической среды.

3. Получены результаты, показывающие вклад моментных напряжений в упрочнение материала и влияние независимых поворотов на развитие полос локализованной пластической деформации.

Научная и практическая значимость проведённого исследования определяется развитыми в работе подходами, созданными программными средствами, методами постановки и проведения расчётов и полученными результатами. Предложенный подход к изучению влияния* структуры материала на развитие пластического течения на мезоуровне, а также разработанные компьютерные программы и методы постановки численных экспериментов были успешно применены и могут быть полезны в дальнейших исследованиях в области физики и механики деформируемого твёрдого тела, для- углубленного понимания процессов, происходящих в реальных структурно-неоднородных материалах в, условиях механического нагружения. Результаты данной диссертационной работы в настоящее время используются при выполнении проекта 111.20.1.1. "Физическая мезомеханика и неравновесная термодинамика как методологическая* основа наноматериаловедения"программы фундаментальных исследований СО РАН' на 2010-2012 гг. Они также могут быть использованы другими научными и образовательными организациями Российской академии наук, Министерства образования и науки РФ, другими научно-техническими организациями и учреждениями. Полученные в ходе выполнения диссертационной работы результаты используются в курсе "Физическая механика структурно-неоднородных сред читаемом П.В. Макаровым на физико-техническом факультете Томского госуниверситета, а разработанные программы и методы постановки и численного решения задач изучения деформации на мезоуровне используются там. же при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ студентами, обучающимися по направлению 150300 - "Прикладная механика''! Они также могут использоваться? в курсах по механике и физике деформируемого твёрдого тела при: подготовке; студентов по соответствующим специальностям других факультетов и вузов.

На защиту выносятся

1. Метод описания процесса пластической деформации на мезоуровне в рамках моделей с независимыми? поворотами; включая? критерий пластического течения для? модели: с: независимыми^ поворотами; Учет работы моментных напряжений; на изгибах-кручениях, как способа; вклада локальности.

2. Модификация разностной схемы типа "крест" для среды с внутренним! вращением. Разработка конечно-разностных: аналогов новых геометрических соотношений, уравнения/ закона сохранения? момента количества движения«, и определяющих соотношений^ учитывающих новую степень; свободы - независимые повороты: Решение проблемы устойчивости; и сходимости численного решениям системы уравнений механики деформируемого твердого тела с дополнительной? степенью свободы:

3. Результаты численных расчетов с применением» моделис независимыми поворотами, выявившие^ вклад изгибов-кручений? и моментных напряжений в напряженно-деформированное состояние в мезообъеме, и их вклад в упрочнение на макроскопическою «т-е-диаграмме.

4; Влияние внутренних поворотов и моментных напряжений; на диссипацию энергии внутри образца. Анализ характера локализации пластической; деформации; вблизи концентраторов напряжений в среде с независимыми поворотами.

Обоснованность и достоверность результатов расчетов и выводов, сформулированных в диссертации, обеспечивается математической корректностью постановки задачи, использованием проверенных численных методов, проведением тестовых расчетов, сопоставлением с опубликованными результатами других авторов, а также совпадением расчетных данных с экспериментальными.

Апробация результатов работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: на пятом Российско-Китайском симпозиуме по перспективным материалам и технологиям "Advanced Materials and Processes"(Bara«uibCK, 1999 г.), на серии международных конференций "Компьютерное конструирование перспективных материалов, и технологий - С ADAMT" (Томск, 2001, 2003, 2004 и 2009 г.), на серии международных симпозиумов, по вычислительной механике материалов "International Workshop* on Computational Mechanics of Materials - IWCMM" (Фрайберг, 2001г., Фрайбург, 2006 г.), на IV Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики"(Томск, 2004 г.), на Международной школе-семинаре "Многоуровневые подходы в физической мезомеханике. Фундаментальные основы и инженерные приложения"(Томск, 2008 г.), на XIX Международной научной школе им. академика С.А. Христиановича "Деформирование и разрушение материалов* с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках"(Алушта, АР Крым, Украина, 2009г.), на семинарах ИФПМ СО РАН, объединенных семинарах институтов СО РАН по соответствующим Интеграционным проектам СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16-ти работах, включая 2 публикации в журналах из перечня ВАК.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 108 страниц, включая 32 рисунка и 1 таблицу. Список литературы содержит 92 наименования.

Основные результаты, полученные в настоящей, работе, и выводы можно! сформулировать«следующим- образом:

Ь Развита модель, учитывающая, наряду с трансляционной степенью свободы и силовыми напряжениями, независимые повороты, и- моментные напряжения. Данная модель, описывает развитие-упругопластической деформации» на мезоуровне и позволяет неявно« учитывать» вклад структурных элементов с нижележащих масштабных уровней в напряженно-деформированное состояние. Т. Выполнена» модификация разностной» схемы. Явная разностная! схема второго^ порядка точности- Уилкинса распространена-, на уравнение, выражающее закон сохранения-моментов количества движения. 31 Изучена- устойчивость решения- разностных уравнений. Показано; что* устойчивость решения обеспечивается* учетом существования в; среде новых упругих- волн, связанных с вращательной степенью свободы.Сходимость полученного решения для модели: с независимыми* поворотами обеспечивается правильным выбором"параметров; в первую1 очередь,,выбором характерного размера. 4. В модель явно введен характерных размер г, который* задает масштабный, уровень носителей дополнительной степени свободы. Детализация- расчет-ной- сетки зависит от характерного размера: шаг расчетной сетки не может быть меньше характерного размера- среды (Ах « пг).

5. На основе анализа полученных кривых течения сделан вывод о величине вклада моментных напряжений в деформационный отклик материала. Интегральное действие моментных* напряжений- оказалось аналогично деформационному упрочнению. Распределение энергии в среде между силовыми и моментными напряжениями приводит к.росту вклада моментных напряжений и, соответственно, снижению вклада (и величины) силовых напряжений с ростом степени деформации. Стадийность кривых течения можно связать с развитием в среде независимых поворотов и* ростом моментных напряжений.

6. Показано, что наличие-дополнительных степеней свободы'приводит к перераспределению энергию внутри образца. Диссипация энергии при пластическом деформировании в-рамках изучаемой мод ели, происходит как за счет пластических сдвигов, так и за счет независимых, поворотов. При определенных параметрах и граничных условиях среде предпочтительнее совершить поворот, чем сдвиг.

7. На основе двумерных расчетов упругопластической деформации для однородных образцов и мезообъемов поликристаллических материалов сделан вывод' о характере влияния' независимых поворотов, на развитие локализованных полос пластической деформации. Величина пластической деформации,в полосах снижается, то есть учет поворотов приводит к тому же эффекту, что и-деформационное упрочнение.

Заключение

Предложенная- модель, ее численная, реализация и анализ полученных* результатов в совокупности^ представляют из, себя комплекс, позволяющий решать задачи моделирования упруго-пластической деформации наг макроскопическом и мезоскопическом масштабных уровнях структурно-неоднородных сред.

1. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Елсукова Т.Ф., Иванчин А.Г., Структурные уровни деформации твердых тел. //Известия вузов. Физика. 1982. №6. С.5-27.

2. Панин В.Е., Лихачев Ю.В., Гриняев Ю.В. Структурные* уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985. 225 с.

3. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. / Панин В. Е., Гриняев Ю. В., Данилов В. И. и др. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. 255 с.

4. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физическая мезомеханика. 1998. - №1. - С. 5-22.

5. Физическая мезомеханика и*компьютерное конструирование материалов: В 2 т. / В.Е.Панин, В.Е.Егорушкин, П.В.Макаров и др. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995. Т. 1. - 298 с.

6. Макаров П. В. Микродинамическая1 теория пластической среды, с внутренней структурой // Труды международной конф. "Новые методы в физике и механике деформируемого твердого тела": Издательство Томского университета, 1990. С.56-68.

7. Макаров. П. В. Микродинамическая теория пластичности и разрушения структурно-неоднородных сред // Известия вузов. Физика-. 1992. №. 4: -С. 42-58.

8. Wilkins M.L., Guinan M.W. Plane Stress Calculations with a Two Dimensional Elastic-Plastic Computer Program«// Preprint / University of California, Lawrence Livermore Laboratory. 1976. - №77251 - P. 1-15

9. Voigt W. Theoretische Studien über die Elastizitätsverhältnisse der Kristalle //

10. Abh. Königlichen Gesellschaft Wiss. Göttingen. 1887. - 34.

11. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des corps déformables. Paris: A. Hermann et fils, 1909: - 226 p.

12. Миндлин P.Д. Микроструктура в линейной упругости // Механика. 1964. - Т. 86. - №4. - С. 129-160.

13. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой: Нелокальная теория упругости. MI: Наука, 1975. - 416 с.

14. Морозов Н.Ф: Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. - 255 с.

15. Ерофеев В.И. Волновые процессы-в твердых телах с микроструктурой. -М.: Изд. Моск. ун-та, 1999. 328 с.

16. Günther W. Zur Statik und Kinematik des Cosseratchen Kontinuum // Abh. Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft. 1958. - 10.- - S. 195213.

17. Ericksen J.L., Truesdeir C.A. Exact theory of stress and strain in rods andshells // Arch. Rat. Mech. Anal". 1958. - №1. - P. 259-323.

18. Truesdell1 C.A., Toupin R:A. The classical1 field theories // Handbuch der Physik, Ed. by S. Flügge, Band 3,Teil 1, Berlin: Springer-Verlag, 1960: P. 226-793.

19. Toupin R.A. Elastic materials with couple stresses // Arch. Rat«. Mech. Anal. -1962. -№1'1. P. 385-414.

20. Кувшинский Е.В., Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметрической! упругости. Учет "внутреннего"вращения. // ФТТ. 1963. - Т. 5, вып.9.- С. 2591-2598.

21. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметрической упругости. Равновесие изотропного тела // ФТТ. 1964. - Т. 6, вып.9. -С. 2689-2699.

22. Eringen А.С., Suhubi E.S. Nonlinear theory of simple microelastic solids. Part I, II // Int. J. Eng. Sci: 1964. - V. 2 - P. 189-203, 389-404.

23. Эринген A.K. Теория микрополярной упругости // Разрушение. М.: Мир.- 1975. Т. 2. - С. 646-751.

24. Гриняев Ю.В. Калибровочно-инвариантное описание деформации структурно-неоднородных сред // Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2 т. Ред. В.Е.Панин.- Новосибирск: Наука. Сиб. Издат. фирма РАН, 1995. Т. 1. - С. 102-112.

25. Green А.Е., Rivlin R.S. Multipolar continuum mechanics // Arch.'Ration. Mech. Anal. 1964. - V. 17. - P. 113-147.

26. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

27. Миндлин Р.Д., Тирстен Г.Ф. Эффекты моментных напряжений в«линейной теории упругости // Механика. 1964. - Т.86, №4. - С. 80-114.

28. Bazant Z., Jirasek М. Nonlocal integral formulations of plasticity and damage: Survey of progress // J. Eng. Mech. 2002. - V. 128. - №11. - P. 1119-1149.

29. Fleck N.A., Hutchinson J.W. Strain gradient plasticity // Adv. Appl. Mech. -1997. Vol. 33. - P. 295-361.

30. Аэро Э:Л. Существенно нелинейная микромеханика среды с изменяемой периодической структурой // Успехи мех. 2002. - №3. - С. 13-176.

31. A generalization of J2-flow for polar continua / Rene; de Borst // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. North-Holland: 1993. -№103. - 347-362:

32. Аэро ЭЛ., Булыгин A.H., Кувшинский E.B. Асимметрическая гидромеханика // Прикл. мат. и мех. 1965. - Т. 29. - №2. - С. 297308.

33. Аэро Э.Л:, Булыгин А.Н., Кинематика нематических жидких кристаллов // Прикл; мех: 19721 - Т. 81 - №3: - С. 97-105:

34. Lakes R. Experimental methods for study of Cosserati elastic solids andl other generalized elastic continua II Continuum models for materials with mi-, crostructure, Ed. H. Muhlhaus. -J. Wiley, N Y. Ch. 1, 1995. P. 1-22.

35. ForestS., Sievert R. Elastoviscoplastic constitutive frameworks for generalized continua // ActaMech; 2003: .-VU60:.-,PJ71И1:1. .

36. Миндлин P.Д. Влияние моментных напряжений на концентрацию напряжений // Механика: 1964: - Т:86; №4: - С. М 5-128.

37. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. - 887 с, . ,

38. Кулеш- ША;,; Матвеенко> ВШ:, Шардаков И:Н! Построение и анализ точного аналитического решения задачи Кирша в рамках континуума и псевдоконтинуума Коссера // Прикл. мех., и техн. физ. 2001. - Т. 42. -№4. - С. 145-154: .

39. Neuber Н. On the general» solutioniofilinear^elastic problems Лш isotropic; and; anisotropic Cosserat continua // Proc. 11th Int. Congr. Appl. Mech. Springer; 1965. - P. 153-158.

40. JLEng: МёсШ- 1997.-^ L23l №2 V-P?. 123-1)33; v

41. GauthierR.Dij:JahsmantW.E. A quest for micropolar elastic constants;. Barfc 1(

42. Trans. ASME^ Ji AppL Mech 1975^ - V.'- 97. - №21 - P. 369-374V 591 Gauthier R?:D!, JahsmaniW.E. Akquest foF micropola® elastkxonstants. Bart 2':1. Arch: Мес&-:Ш^ ; '

43. Павлов И.С. Гранулированная среда" с вращением частиц. Двумерная модель // Пробл. прочн. и пластич. 2003. - Вып. 65. - С. 53-64.

44. Ebinger Т., Steeb H., Diebles S. Modeling macroscopic extended continua with the aid of numerical homogenization schemes // Gomput. Mater. Sci. -2005. V. 32. - 337-347.

45. De Borst R. Simulation of strain localization: a reappraisal of the Cosserat continuum // Eng. Comput. 1991. - Vol. 8. - №4. - P. 317-332.

46. Liu X., Scarpas A., Kasbergen C. A micropolar formulation of the Desai hierarchical model for elastoplastic porous media // Int. J. Solids and Struct. -2007. Vol:.44. - P: 2695-2714.

47. Simo J.C., Taylor Rib. A return mapping algorithm for plane stress elastoplas-ticity // Int: J. Numer. Metb Engrg.- 1986. Vol. 22: - 649-670.

48. Кукуджанов В.Н. О структуре полос локализации деформации в нелокальной теории пластичности при динамическом нагружении // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1998.- №6. - С. 104-114.

49. Forest, S. Cosserat Media // Encyclopedia of Materials: Science and,Technology. Elsevier Sciences, 2001. - P. 1715-1718.

50. Моментная теория деформирования железобетона с трещинами / Киев;инж;тСтроит. ин-т; : Бояндин В!С., Козак; А;Л1 Киев; 19891 - 50?с;: ил. -Библиогр.: 36 назв. - ден. в УКРНИИНТИ 16.01.89; №315-Ук89.

51. Nonlinear microstructural continuous model of a laminated composite: IÏ(^uasi-static:pKenomenolbgicallmodëll/ BlinkowskiiA; '//■ Arch; meclfcstosow;- 1986^ Vol! 381 t №5-6; - 553-563 ; - ISSN 0373r2092:

52. Taylor G.I., Elam C.F. The plastic extension and fracture of aluminium crystals

53. Proc; RlSoc. London. 1925. - A 108. - P. 28-51; 82l Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.83! Годунов С.К^ Элементы механики сплошных:, среду МЩаука^ '19781 -303с.

54. А, А. Букатов, В; Н. Дацюк, А. И. Жегуло. Программирование многопроцессорных вычислительных систем. Ростов-на-Дону. Издательство ООО «ЦВВР», 2003, 208 с.

55. Антонов А.С. Введение в параллельные: вычисления. Методическое пособие Mí:MFY, 2002:.- 69с

56. Г.И. Шпаковский» H.B¿ Сериков. Программирование для многопроцессорных систем в стандарте МР1. Минск. БГУ, 2002,' 323 с. . ' • ;• ■."■'.'.- •

57. Argonne National Laboratory (http://www.mcs.anl;gov/mpi)

58. Панин В:Е. Методология физической мезомеханики как основа построения моделей в компьютерном конструированш! материалов // Изв. вузов. Физика. 1995. - №11. - С. 6-25.

59. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: М.:Наука, 1989. -' 608 с. ' ' ;; . ' ' ' . '

60. Теплякова JT.A., Беспалова И.В, Лычагин Д.В. Пространственная организация деформации в 11.2.-монокристаллах алюминия прт сжатии // Физическая мезомеханика 1998. Т. 12. - №2. - С. 67-76.